Según el libro de texto de Sovetov y Yakovlev: "un modelo (lat. módulo - medida) es un objeto sustituto del objeto original, que proporciona el estudio de algunas propiedades del original". (p. 6) “Reemplazar un objeto con otro para obtener información sobre las propiedades más importantes del objeto original usando el objeto modelo se llama modelado”. (p. 6) “Bajo modelación matemática entenderemos el proceso de establecer la correspondencia a un objeto real dado de algún objeto matemático, denominado modelo matemático, y el estudio de este modelo, que permite obtener las características del objeto real en consideración . El tipo de modelo matemático depende tanto de la naturaleza del objeto real como de las tareas de estudio del objeto y de la confiabilidad y precisión requeridas para resolver este problema”.

Finalmente, la definición más concisa de un modelo matemático: "Una ecuación que expresa una idea."

Clasificación de modelos

Clasificación formal de modelos

La clasificación formal de modelos se basa en la clasificación de las herramientas matemáticas utilizadas. A menudo se construye en forma de dicotomías. Por ejemplo, uno de los conjuntos populares de dicotomías es:

y así. Cada modelo construido es lineal o no lineal, determinista o estocástico, ... Naturalmente, también son posibles tipos mixtos: concentrados en un aspecto (en términos de parámetros), modelos distribuidos en otro, etc.

Clasificación por la forma en que se representa el objeto.

Junto con la clasificación formal, los modelos difieren en la forma en que representan el objeto:

• Modelos estructurales o funcionales

Los modelos estructurales representan un objeto como un sistema con su propio dispositivo y mecanismo de funcionamiento. Los modelos funcionales no usan tales representaciones y reflejan solo el comportamiento percibido externamente (funcionamiento) del objeto. En su expresión extrema, también se denominan modelos de "caja negra". También son posibles tipos combinados de modelos, que a veces se denominan modelos de "caja gris".

Contenido y modelos formales

Casi todos los autores que describen el proceso de modelado matemático indican que primero se construye una construcción ideal especial, modelo de contenido. Aquí no hay una terminología establecida, y otros autores llaman a este objeto ideal modelo conceptual , modelo especulativo o premodelo. En este caso, la construcción matemática final se llama modelo formal o simplemente un modelo matemático obtenido como resultado de la formalización de este modelo de contenido (pre-modelo). La construcción de un modelo significativo se puede llevar a cabo utilizando un conjunto de idealizaciones listas para usar, como en mecánica, donde los resortes ideales, cuerpos solidos, péndulos ideales, medios elásticos, etc. proporcionan elementos estructurales preparados para un modelado significativo. Sin embargo, en áreas del conocimiento donde no existen teorías formalizadas completamente completas (la vanguardia de la física, la biología, la economía, la sociología, la psicología y la mayoría de las otras áreas), la creación de modelos significativos es dramáticamente más complicada.

Clasificación significativa de modelos

Ninguna hipótesis científica puede probarse de una vez por todas. Richard Feynman lo dijo muy claramente:

“Siempre tenemos la capacidad de refutar una teoría, pero tenga en cuenta que nunca podemos probar que es correcta. Supongamos que presenta una hipótesis exitosa, calcula a dónde conduce y descubre que todas sus consecuencias se confirman experimentalmente. ¿Significa esto que tu teoría es correcta? No, simplemente significa que no lo refutaste.

Si se construye un modelo del primer tipo, significa que se reconoce temporalmente como verdadero y uno puede concentrarse en otros problemas. Sin embargo, esto no puede ser un punto en la investigación, sino solo una pausa temporal: el estado del modelo del primer tipo solo puede ser temporal.

Tipo 2: modelo fenomenológico (comportarse como si…)

El modelo fenomenológico contiene un mecanismo para describir el fenómeno. Sin embargo, este mecanismo no es lo suficientemente convincente, no puede ser suficientemente confirmado por los datos disponibles o no concuerda bien con las teorías disponibles y el conocimiento acumulado sobre el objeto. Por lo tanto, los modelos fenomenológicos tienen el estatus de soluciones temporales. Se cree que aún se desconoce la respuesta y es necesario continuar la búsqueda de "verdaderos mecanismos". Peierls refiere, por ejemplo, el modelo calórico y el modelo de quarks de partículas elementales al segundo tipo.

El papel del modelo en la investigación puede cambiar con el tiempo, puede ocurrir que nuevos datos y teorías confirmen los modelos fenomenológicos y sean promovidos al estatus de hipótesis. Asimismo, los nuevos conocimientos pueden entrar progresivamente en conflicto con los modelos-hipótesis del primer tipo, y pueden trasladarse al segundo. Así, el modelo de quarks se está moviendo gradualmente hacia la categoría de hipótesis; el atomismo en la física surgió como una solución temporal, pero con el transcurso de la historia pasó al primer tipo. Pero los modelos de éter han pasado del tipo 1 al tipo 2, y ahora están fuera de la ciencia.

La idea de simplificación es muy popular cuando se construyen modelos. Pero la simplificación es diferente. Peierls distingue tres tipos de simplificaciones en el modelado.

Tipo 3: Aproximación (algo se considera muy grande o muy pequeño)

Si es posible construir ecuaciones que describan el sistema en estudio, esto no significa que puedan resolverse incluso con la ayuda de una computadora. Una técnica común en este caso es el uso de aproximaciones (modelos de tipo 3). Entre ellos modelos de respuesta lineal. Las ecuaciones se reemplazan por ecuaciones lineales. El ejemplo estándar es la ley de Ohm.

Y aquí está el tipo 8, que se usa ampliamente en modelos matemáticos de sistemas biológicos.

Tipo 8: Demostración de posibilidad (lo principal es mostrar la consistencia interna de la posibilidad)

Estos también son experimentos mentales con entidades imaginarias, lo que demuestra que supuesto fenómeno consistente con los principios básicos e internamente consistente. Esta es la principal diferencia con los modelos de tipo 7, que revelan contradicciones ocultas.

Uno de los más famosos de estos experimentos es la geometría de Lobachevsky (Lobachevsky la llamó "geometría imaginaria"). Otro ejemplo es la producción en masa de modelos formalmente cinéticos de oscilaciones químicas y biológicas, autoondas, etc. La paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen fue concebida como un modelo tipo 7 para demostrar la inconsistencia de la mecánica cuántica. De una manera completamente imprevista, eventualmente se convirtió en un modelo tipo 8, una demostración de la posibilidad de teletransportación cuántica de información.

Ejemplo

Considerar sistema mecánico, que consta de un resorte fijo en un extremo y una carga de masa metro unido al extremo libre del resorte. Supondremos que la carga puede moverse solo en la dirección del eje del resorte (por ejemplo, el movimiento ocurre a lo largo de la barra). Construyamos un modelo matemático de este sistema. Describiremos el estado del sistema por la distancia X desde el centro de la carga hasta su posición de equilibrio. Describamos la interacción de un resorte y una carga usando ley de Hooke (F = − kX ) después de lo cual usamos la segunda ley de Newton para expresarlo en forma de ecuación diferencial:

donde significa la segunda derivada de X A tiempo: .

La ecuación resultante describe el modelo matemático del sistema físico considerado. Este patrón se llama "oscilador armónico".

Según la clasificación formal, este modelo es lineal, determinista, dinámico, concentrado, continuo. En el proceso de construcción, hicimos muchas suposiciones (sobre la ausencia de fuerzas externas, la ausencia de fricción, la pequeñez de las desviaciones, etc.), que en realidad pueden no cumplirse.

En relación con la realidad, este suele ser un modelo de tipo 4. simplificación(“Omitimos algunos detalles para mayor claridad”), ya que se omiten algunas características universales esenciales (por ejemplo, la disipación). En alguna aproximación (digamos, siempre que la desviación de la carga del equilibrio sea pequeña, con poca fricción, durante un tiempo no demasiado largo y sujeto a ciertas otras condiciones), tal modelo describe bastante bien un sistema mecánico real, ya que el los factores descartados tienen un efecto insignificante en su comportamiento. Sin embargo, el modelo se puede refinar teniendo en cuenta algunos de estos factores. Esto conducirá a un nuevo modelo, con un alcance más amplio (aunque de nuevo limitado).

Sin embargo, cuando se refina el modelo, la complejidad de su estudio matemático puede aumentar significativamente y hacer que el modelo sea prácticamente inútil. A menudo más modelo sencillo le permite explorar mejor y más profundamente el sistema real que uno más complejo (y, formalmente, "más correcto").

Si aplicamos el modelo oscilador armónico a objetos alejados de la física, su estatus sustantivo puede ser diferente. Por ejemplo, al aplicar este modelo a poblaciones biológicas, lo más probable es que se le atribuya al tipo 6 analogía(“Tomemos en cuenta solo algunas características”).

Modelos duros y blandos

El oscilador armónico es un ejemplo de un modelo llamado "duro". Se obtiene como resultado de una fuerte idealización de un sistema físico real. Para resolver la cuestión de su aplicabilidad, es necesario comprender cuán significativos son los factores que hemos descuidado. En otras palabras, es necesario investigar el modelo "suave", que se obtiene por una pequeña perturbación del modelo "duro". Se puede dar, por ejemplo, mediante la siguiente ecuación:

Aquí, alguna función, que puede tener en cuenta la fuerza de fricción o la dependencia del coeficiente de rigidez del resorte en el grado de su estiramiento, algún pequeño parámetro. Forma explícita de una función. F no nos interesa por el momento. Si demostramos que el comportamiento de un modelo blando no difiere fundamentalmente del comportamiento de uno duro (independientemente de la forma explícita de los factores perturbadores, si son lo suficientemente pequeños), el problema se reducirá al estudio del modelo duro. De lo contrario, la aplicación de los resultados obtenidos en el estudio del modelo rígido requerirá de investigación adicional. Por ejemplo, la solución a la ecuación de un oscilador armónico son funciones de la forma , es decir, oscilaciones con amplitud constante. ¿Se sigue de esto que un oscilador real oscilará indefinidamente con una amplitud constante? No, porque considerando un sistema con una fricción arbitrariamente pequeña (siempre presente en un sistema real), obtenemos oscilaciones amortiguadas. El comportamiento del sistema ha cambiado cualitativamente.

Si un sistema conserva su comportamiento cualitativo bajo una pequeña perturbación, se dice que es estructuralmente estable. El oscilador armónico es un ejemplo de un sistema estructuralmente inestable (no rugoso). Sin embargo, este modelo se puede utilizar para estudiar procesos en intervalos de tiempo limitados.

Universalidad de los modelos

Los modelos matemáticos más importantes suelen tener la importante propiedad universalidad: fenómenos reales fundamentalmente diferentes pueden ser descritos por el mismo modelo matemático. Por ejemplo, un oscilador armónico describe no solo el comportamiento de una carga sobre un resorte, sino también otros procesos oscilatorios, a menudo de naturaleza completamente diferente: pequeñas oscilaciones de un péndulo, fluctuaciones en el nivel del líquido en tu vaso en forma de cilindro o un cambio en la intensidad de la corriente en el circuito oscilatorio. Así, al estudiar un modelo matemático, estudiamos a la vez toda una clase de fenómenos descritos por él. Es este isomorfismo de las leyes expresadas por modelos matemáticos en varios segmentos del conocimiento científico lo que llevó a Ludwig von Bertalanffy a crear la “Teoría General de Sistemas”.

Problemas directos e inversos de modelización matemática.

Hay muchos problemas asociados con el modelado matemático. Primero, es necesario llegar al esquema básico del objeto que se está modelando, para reproducirlo en el marco de las idealizaciones de esta ciencia. Entonces, un vagón de tren se convierte en un sistema de placas y cuerpos más complejos a partir de diferentes materiales, cada material se especifica como su idealización mecánica estándar (densidad, módulos elásticos, características de resistencia estándar), después de lo cual se compilan las ecuaciones, en el camino se descartan algunos detalles como insignificantes, se hacen cálculos, se comparan con las mediciones, se refina el modelo, y así. Sin embargo, para el desarrollo de tecnologías de modelado matemático, es útil desarmar este proceso en sus principales elementos constituyentes.

Tradicionalmente, existen dos clases principales de problemas asociados con los modelos matemáticos: directos e inversos.

Problema directo: la estructura del modelo y todos sus parámetros se consideran conocidos, la tarea principal es estudiar el modelo para extraer conocimiento útil sobre el objeto. ¿Qué carga estática puede soportar el puente? Cómo reaccionará a una carga dinámica (por ejemplo, a la marcha de una compañía de soldados o al paso de un tren a diferentes velocidades), cómo el avión superará la barrera del sonido, si se desmoronará por el aleteo. estos son ejemplos típicos de una tarea directa. Establecer el problema directo correcto (hacer la pregunta correcta) requiere una habilidad especial. Si no se hacen las preguntas correctas, el puente puede colapsar incluso si se construyó. buen modelo por su comportamiento. Entonces, en 1879 en Inglaterra, se derrumbó un puente de metal sobre el río Tey, cuyos diseñadores construyeron un modelo del puente, lo calcularon para un margen de seguridad de 20 veces para la carga útil, pero se olvidaron de los vientos que soplan constantemente en esos lugares. Y después de un año y medio se derrumbó.

En el caso más simple (una ecuación de oscilador, por ejemplo), el problema directo es muy simple y se reduce a una solución explícita de esta ecuación.

problema inverso: se conocen muchos modelos posibles, es necesario elegir un modelo específico basado en datos adicionales sobre el objeto. La mayoría de las veces, se conoce la estructura del modelo y es necesario determinar algunos parámetros desconocidos. Información Adicional puede consistir en datos empíricos adicionales, o en los requisitos para el objeto ( tarea de diseño). Pueden venir datos adicionales independientemente del proceso de resolución del problema inverso ( observación pasiva) o ser el resultado de un experimento especialmente planificado en el curso de la resolución de ( vigilancia activa).

Uno de los primeros ejemplos de una solución virtuosa de un problema inverso con el uso más completo posible de los datos disponibles fue el método construido por I. Newton para reconstruir las fuerzas de fricción a partir de las oscilaciones amortiguadas observadas.

Ejemplos adicionales

dónde X s- tamaño de la población de "equilibrio", en el que la tasa de natalidad se compensa exactamente con la tasa de mortalidad. El tamaño de la población en tal modelo tiende al valor de equilibrio X s, y este comportamiento es estructuralmente estable.

Este sistema tiene un estado de equilibrio donde el número de conejos y zorros es constante. La desviación de este estado conduce a fluctuaciones en el número de conejos y zorros, similares a las fluctuaciones en el oscilador armónico. Como en el caso del oscilador armónico, este comportamiento no es estructuralmente estable: un pequeño cambio en el modelo (por ejemplo, teniendo en cuenta los recursos limitados que necesitan los conejos) puede conducir a un cambio cualitativo en el comportamiento. Por ejemplo, el estado de equilibrio puede volverse estable y las fluctuaciones de la población se desvanecerán. La situación opuesta también es posible, cuando cualquier pequeña desviación de la posición de equilibrio conducirá a consecuencias catastróficas, hasta la extinción completa de una de las especies. A la pregunta de cuál de estos escenarios se realiza, el modelo Volterra-Lotka no da una respuesta: aquí se requiere investigación adicional.

notas

1. "Una representación matemática de la realidad" (Enciclopedia Británica)
2. Novik IB, Sobre cuestiones filosóficas del modelado cibernético. M., Conocimiento, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelado de Sistemas: Proc. para universidades - 3ª ed., revisada. y adicional - M.: Superior. escuela, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Modelado matemático. ideas Métodos. Ejemplos. . - 2ª ed., Rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A. D., Elementos de la teoría de modelos matemáticos. - 3ª ed., corregida. - M.: KomKniga, 2007. - 192 con ISBN 978-5-484-00953-4
6. Wikcionario: modelos matemáticos
7. Notas de los acantilados
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, serie Complexity, Berlín-Heidelberg-Nueva York, 2006. XII+562 págs. ISBN 3-540-35885-4
9. “Se considera que una teoría es lineal o no lineal, dependiendo de qué aparato matemático (lineal o no lineal), qué modelos matemáticos (lineales o no lineales) utiliza. ... sin negar esto último. Un físico moderno, si redefiniera una entidad tan importante como la no linealidad, muy probablemente actuaría de manera diferente y, prefiriendo la no linealidad como el más importante y común de los dos opuestos, definiría la linealidad como “no-no-linealidad”. linealidad”. Danilov Yu. A., Conferencias sobre dinámica no lineal. Introducción elemental. Sinergética: del pasado al futuro serie. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
10. « Sistemas dinámicos, modelado por un número finito de ordinarios ecuaciones diferenciales, se denominan concentrados o sistemas de puntos. Se describen utilizando un espacio de fase de dimensión finita y se caracterizan por un número finito de grados de libertad. El mismo sistema en varias condiciones puede considerarse concentrada o distribuida. Los modelos matemáticos de sistemas distribuidos son ecuaciones diferenciales parciales, ecuaciones integrales o ecuaciones de retardo ordinarias. El número de grados de libertad de un sistema distribuido es infinito y se requiere un número infinito de datos para determinar su estado. Anishchenko V. S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, No. 11, p. 77-84.
11. “Dependiendo de la naturaleza de los procesos estudiados en el sistema S, todos los tipos de modelado se pueden dividir en deterministas y estocásticos, estáticos y dinámicos, discretos, continuos y discretos continuos. El modelado determinista muestra procesos deterministas, es decir, procesos en los que se supone la ausencia de influencias aleatorias; El modelado estocástico muestra procesos y eventos probabilísticos. … El modelado estático se utiliza para describir el comportamiento de un objeto en cualquier momento, mientras que el modelado dinámico refleja el comportamiento de un objeto a lo largo del tiempo. El modelado discreto sirve para describir procesos que se supone que son discretos, respectivamente, el modelado continuo le permite reflejar procesos continuos en sistemas, y el modelado discreto-continuo se usa para casos en los que desea resaltar la presencia de procesos tanto discretos como continuos. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelado de Sistemas: Proc. para universidades - 3ª ed., revisada. y adicional - M.: Superior. escuela, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
12. Por lo general, el modelo matemático refleja la estructura (dispositivo) del objeto que se modela, las propiedades e interconexiones de los componentes de este objeto que son esenciales para los fines del estudio; tal modelo se llama estructural. Si el modelo refleja solo cómo funciona el objeto, por ejemplo, cómo reacciona a las influencias externas, entonces se llama funcional o, en sentido figurado, caja negra. Los modelos combinados también son posibles. Myshkis A. D., Elementos de la teoría de modelos matemáticos. - 3ª ed., corregida. - M.: KomKniga, 2007. - 192 con ISBN 978-5-484-00953-4
13. “Obviamente, pero la etapa inicial más importante para construir o elegir un modelo matemático es obtener la idea más clara posible del objeto que se está modelando y refinar su modelo de contenido en base a discusiones informales. No se debe escatimar tiempo ni esfuerzos en esta etapa; el éxito de todo el estudio depende en gran medida de ello. Más de una vez sucedió que un trabajo considerable dedicado a resolver un problema matemático resultó ser ineficaz o incluso desperdiciado debido a la atención insuficiente a este lado del asunto. Myshkis A. D., Elementos de la teoría de modelos matemáticos. - 3ª ed., corregida. - M.: KomKniga, 2007. - 192 con ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
14. « Descripción del modelo conceptual del sistema. En esta subetapa de construcción de un modelo de sistema: a) el modelo conceptual M se describe en términos y conceptos abstractos; b) se da una descripción del modelo usando esquemas matemáticos típicos; c) finalmente se aceptan las hipótesis y supuestos; d) se fundamenta la elección de un procedimiento de aproximación de procesos reales a la hora de construir un modelo. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelado de Sistemas: Proc. para universidades - 3ª ed., revisada. y adicional - M.: Superior. escuela, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2, pág. 93.

Un modelo matemático de un objeto técnico es un conjunto de objetos matemáticos y relaciones entre ellos que refleja adecuadamente las propiedades del objeto en estudio que son de interés para el investigador (ingeniero).

El modelo se puede representar de varias maneras.

Modelo de formas de representación:

invariante: registra las relaciones del modelo utilizando un lenguaje matemático tradicional, independientemente del método para resolver las ecuaciones del modelo;

analítico: registro del modelo en forma de resultado de una solución analítica de las ecuaciones iniciales del modelo;

algorítmico: registro de las relaciones del modelo y el método numérico de solución seleccionado en forma de algoritmo.

esquemático (gráfico): representación del modelo en algún lenguaje gráfico (por ejemplo, el lenguaje de gráficos, circuitos equivalentes, diagramas, etc.);

físico

cosa análoga

La más universal es la descripción matemática de los procesos: el modelado matemático.

El concepto de modelado matemático también incluye el proceso de resolver un problema en una computadora.

Modelo matemático generalizado

El modelo matemático describe la relación entre los datos iniciales y los valores deseados.

Los elementos del modelo matemático generalizado son (Fig. 1): un conjunto de datos de entrada (variables) X,Y;

X - conjunto de variables variables; Y - variables independientes (constante);

operador matemático L que define operaciones sobre estos datos; que se entiende como un sistema completo de operaciones matemáticas que describen relaciones numéricas o lógicas entre conjuntos de datos de entrada y salida (variables);

conjunto de datos de salida (variables) G(X,Y); es un conjunto de funciones de criterio, incluyendo (si es necesario) la función objetivo.

El modelo matemático es un análogo matemático del objeto diseñado. El grado de adecuación de su objeto está determinado por la formulación y corrección de las soluciones al problema de diseño.

El conjunto de parámetros variables (variables) X forma el espacio de parámetros variables Rx (espacio de búsqueda), que es una métrica con dimensión n igual al número de parámetros variables.

El conjunto de variables independientes Y forman el espacio métrico de los datos de entrada Ry. En el caso de que cada componente del espacio Ry esté dado por un rango de valores posibles, el conjunto de variables independientes se asigna a algún subespacio limitado del espacio Ry.

El conjunto de variables independientes Y determina el entorno para la operación del objeto, es decir condiciones externas en las que operará el objeto diseñado

Puede ser:

• - especificaciones técnicas un objeto que no está sujeto a cambios durante el proceso de diseño;
• - perturbaciones físicas del entorno con el que interactúa el objeto de diseño;
• - parámetros tácticos que debe alcanzar el objeto de diseño.

Los datos de salida del modelo generalizado considerado forman un espacio métrico de indicadores criterioles RG.

El esquema de uso de un modelo matemático en un sistema de diseño asistido por computadora se muestra en la Fig.2.

Requisitos para el modelo matemático

Los principales requisitos para los modelos matemáticos son los requisitos de adecuación, universalidad y economía.

Adecuación. El modelo se considera adecuado si refleja las propiedades dadas con una precisión aceptable. La precisión se define como el grado de acuerdo entre los valores de los parámetros de salida del modelo y el objeto.

La precisión del modelo es diferente en diferentes condiciones funcionamiento del objeto. Estas condiciones se caracterizan por parámetros externos. En el espacio de parámetros externos, seleccione la región de adecuación del modelo, donde el error es menor que el error máximo permitido especificado. La determinación de la región de adecuación del modelo es un procedimiento complejo que requiere grandes costos computacionales, los cuales crecen rápidamente con el aumento de la dimensión del espacio de parámetros externos. Esta tarea puede exceder significativamente la tarea de optimización paramétrica del propio modelo en volumen, por lo tanto, es posible que no se resuelva para objetos de nuevo diseño.

Universalidad: está determinada principalmente por el número y la composición de los parámetros externos y de salida que se tienen en cuenta en el modelo.

La economía del modelo se caracteriza por el costo de los recursos informáticos para su implementación: el costo del tiempo y la memoria de la computadora.

Los requisitos contradictorios para que un modelo tenga un amplio rango de adecuación, un alto grado de universalidad y alta eficiencia determinan el uso de varios modelos para objetos del mismo tipo.

Métodos de recuperación de modelos

Obtener modelos en caso general- procedimiento no formalizado. Las principales decisiones en cuanto a la elección del tipo de relaciones matemáticas, la naturaleza de las variables y los parámetros utilizados, las toma el diseñador. Al mismo tiempo, operaciones como el cálculo de los valores numéricos de los parámetros del modelo, la determinación de las áreas de adecuación y otras se algoritman y resuelven en una computadora. Por lo tanto, el modelado de los elementos del sistema diseñado suele ser realizado por especialistas en campos técnicos específicos utilizando estudios experimentales tradicionales.

Los métodos para obtener modelos funcionales de elementos se dividen en teóricos y experimentales.

Los métodos teóricos se basan en el estudio de las regularidades físicas de los procesos que ocurren en el objeto, determinando la descripción matemática correspondiente a estas regularidades, fundamentando y aceptando supuestos simplificadores, realizando los cálculos necesarios y llevando el resultado a la forma aceptada de representación del modelo.

Los métodos experimentales se basan en el uso manifestaciones externas propiedades del objeto, registradas durante la operación del mismo tipo de objetos o durante experimentos dirigidos.

A pesar de la naturaleza heurística de muchas operaciones, el modelado tiene una serie de disposiciones y técnicas comunes para obtener modelos de varios objetos. Son de naturaleza bastante general.

técnica de macromodelado,

métodos matemáticos para planificar experimentos,

algoritmos para operaciones formalizadas para calcular los valores numéricos de los parámetros y determinar las áreas de adecuación.

Uso de modelos matemáticos

El poder de cómputo de las computadoras modernas, combinado con la provisión de todos los recursos del sistema al usuario, la posibilidad de un modo interactivo al resolver un problema y analizar los resultados, permiten minimizar el tiempo para resolver un problema.

Al compilar un modelo matemático, el investigador debe:

estudiar las propiedades del objeto bajo estudio;

la capacidad de separar las propiedades principales del objeto de las secundarias;

evaluar las suposiciones hechas.

El modelo describe la relación entre los datos de entrada y los valores deseados. La secuencia de acciones que se deben realizar para pasar de los datos iniciales a los valores deseados se denomina algoritmo.

El algoritmo para resolver el problema en una computadora está asociado con la elección de un método numérico. Dependiendo de la forma de representación del modelo matemático (forma algebraica o diferencial), se utilizan varios métodos numéricos.

La esencia de la modelización económica y matemática radica en la descripción de sistemas y procesos socioeconómicos en forma de modelos económicos y matemáticos.

Consideremos cuestiones de clasificación de métodos económicos y matemáticos. Estos métodos, como se señaló anteriormente, son un complejo de disciplinas económicas y matemáticas que son una aleación de economía, matemáticas y cibernética.

Por tanto, la clasificación de los métodos económicos y matemáticos se reduce a la clasificación de las disciplinas científicas incluidas en su composición. Aunque aún no se ha desarrollado la clasificación generalmente aceptada de estas disciplinas, con cierto grado de aproximación, se pueden distinguir en la composición de los métodos económicos y matemáticos los siguientes apartados:

• * cibernética económica: análisis de sistemas de economía, teoría de la información económica y teoría de los sistemas de control;
• * estadística matemática: aplicaciones económicas de esta disciplina - método de muestreo, análisis de varianza, análisis de correlación, análisis de regresión, análisis estadístico multivariante, análisis factorial, teoría del índice, etc.;
• * Economía matemática y econometría que estudia los mismos temas desde un punto de vista cuantitativo: la teoría del crecimiento económico, la teoría de las funciones de producción, los balances intersectoriales, las cuentas nacionales, el análisis de la demanda y el consumo, el análisis regional y espacial, la modelización global, etc. .;
• * métodos para tomar decisiones óptimas, incluyendo el estudio de operaciones en la economía. Esta es la sección más voluminosa, que incluye las siguientes disciplinas y métodos: programación óptima (matemática), incluidos métodos de ramificación y enlace, métodos de control y planificación de redes, métodos de control y planificación dirigidos por programas, teoría y métodos de gestión de inventario, teoría de colas, teoría de juegos, teoría y métodos de decisión, teoría de programación. La programación óptima (matemática) incluye, a su vez, la programación lineal, la programación no lineal, la programación dinámica, la programación discreta (entera), la programación lineal fraccionaria, la programación paramétrica, la programación separable, la programación estocástica, la programación geométrica;
• * Métodos y disciplinas que son específicos tanto de una economía centralmente planificada como de una economía de mercado (competitiva). Los primeros incluyen la teoría del funcionamiento óptimo de la economía, la planificación óptima, la teoría de precios óptimos, modelos de logística, etc. Los segundos incluyen métodos que permiten desarrollar modelos de libre competencia, modelos del ciclo capitalista, modelos de monopolio, modelos de planificación indicativa, modelos de la teoría de la empresa, etc.

Muchos de los métodos desarrollados para una economía centralmente planificada también pueden ser útiles en el modelado económico y matemático en una economía de mercado;

* métodos de estudio experimental de los fenómenos económicos. Estos incluyen, por regla general, métodos matemáticos de análisis y planificación de experimentos económicos, métodos de simulación de máquinas (modelado de simulación), juegos de negocios. Esto también incluye métodos de evaluación de expertos desarrollados para evaluar fenómenos que no pueden medirse directamente.

Pasemos ahora a las cuestiones de clasificación de modelos económicos y matemáticos, en otras palabras, modelos matemáticos de sistemas y procesos socioeconómicos.

Actualmente tampoco existe un sistema de clasificación unificado para tales modelos, sin embargo, generalmente se distinguen más de diez características principales de su clasificación, o encabezados de clasificación. Echemos un vistazo a algunas de estas secciones.

De acuerdo con el propósito general, los modelos económicos y matemáticos se dividen en teóricos y analíticos, utilizados en el estudio. propiedades comunes y leyes de los procesos económicos, y aplicadas, utilizadas para resolver problemas económicos específicos de análisis, previsión y gestión. diferentes tipos En este tutorial solo se consideran modelos económicos y matemáticos aplicados.

Según el grado de agregación de los objetos de modelado, los modelos se dividen en macroeconómicos y microeconómicos. Aunque no existe una distinción clara entre ellos, el primero de ellos incluye modelos que reflejan el funcionamiento de la economía en su conjunto, mientras que los modelos microeconómicos se asocian, por regla general, con partes de la economía como empresas y firmas.

Según una finalidad específica, es decir, según la finalidad de creación y aplicación, se distinguen modelos de equilibrio, expresando la exigencia de que la disponibilidad de los recursos corresponda a su uso; modelos de tendencia, en los que el desarrollo del sistema económico modelado se refleja a través de la tendencia (tendencia a largo plazo) de sus principales indicadores; modelos de optimización diseñados para la selección la mejor opción de un cierto número de opciones de producción, distribución o consumo; modelos de simulación destinados a ser utilizados en el proceso de simulación mecánica de los sistemas o procesos objeto de estudio, etc.

Según el tipo de información utilizada en el modelo, los modelos económico-matemáticos se dividen en analíticos, construidos sobre información a priori, e identificables, construidos sobre información a posteriori.

Teniendo en cuenta el factor tiempo, los modelos se dividen en estáticos, en los que todas las dependencias se relacionan con un punto en el tiempo, y dinámicos, que describen sistemas económicos en desarrollo.

Teniendo en cuenta el factor de incertidumbre, los modelos se dividen en deterministas, si los resultados de salida en ellos están determinados únicamente por acciones de control, y estocásticos (probabilísticos), si cuando se especifica un determinado conjunto de valores en la entrada del modelo. , su salida puede producir diferentes resultados dependiendo de la acción de un factor aleatorio.

Los modelos económicos y matemáticos también se pueden clasificar según las características de los objetos matemáticos incluidos en el modelo, es decir, según el tipo de aparato matemático utilizado en el modelo. Sobre esta base, los modelos matriciales, los modelos de programación lineal y no lineal, los modelos de correlación-regresión,

Conceptos básicos de modelado matemático del modelo de teoría de colas, modelo de planificación y control de redes, modelo de teoría de juegos, etc.

Finalmente, según el tipo de aproximación a los sistemas socioeconómicos estudiados, se distinguen modelos descriptivos y normativos. Con un enfoque descriptivo (descriptive) se obtienen modelos que están diseñados para describir y explicar fenómenos realmente observados o para predecir estos fenómenos; Como ejemplo de modelos descriptivos, podemos citar los modelos de balance y de tendencia anteriormente nombrados. Con un enfoque normativo, no les interesa cómo se organiza y se desarrolla la economía. sistema económico, sino cómo debe organizarse y cómo debe actuar en el sentido de ciertos criterios. En particular, todos los modelos de optimización son de tipo normativo; los modelos normativos de nivel de vida pueden servir como otro ejemplo.

Consideremos como ejemplo el modelo económico-matemático del balance insumo-producto (EMM IOB). Teniendo en cuenta los encabezamientos de clasificación anteriores, se trata de un modelo aplicado, macroeconómico, analítico, descriptivo, determinista, de balance, matricial; mientras existan como métodos estáticos así como dinámico

La programación lineal es una rama particular de la programación óptima. A su vez, la programación óptima (matemática) es una rama de las matemáticas aplicadas que estudia problemas de optimización condicional. En economía, estos problemas surgen en la aplicación práctica del principio de optimización en la planificación y la gestión.

Una condición necesaria para utilizar el enfoque óptimo de planificación y gestión (el principio de optimización) es la flexibilidad, la alternativa de producción y las situaciones económicas en las que deben tomarse decisiones de planificación y gestión. Son estas situaciones, por regla general, las que componen la práctica diaria de una entidad económica (elección de un programa de producción, vinculación a proveedores, enrutamiento, corte de materiales, preparación de mezclas, etc.).

La esencia del principio de optimización radica en el deseo de elegir tal decisión de planificación y gestión. la mejor manera tomaría en cuenta las capacidades internas y las condiciones externas de la actividad productiva de una entidad económica.

Las palabras "de la mejor manera" significan aquí la elección de algún criterio de optimización, es decir, algún indicador económico que permita comparar la eficacia de determinadas decisiones de planificación y gestión. Criterios tradicionales de optimización: “beneficio máximo”, “costos mínimos”, “rentabilidad máxima”, etc. Las palabras “tomaría en cuenta las capacidades internas y las condiciones externas de la actividad productiva” significan que se imponen una serie de condiciones a la elección de una decisión de planificación y gestión (comportamiento), t .e. la elección de X se realiza a partir de una cierta región de soluciones posibles (admisibles) D; esta área también se denomina área de definición del problema. un problema general de programación óptima (matemática), de lo contrario, un modelo matemático de un problema de programación óptima, cuya construcción (desarrollo) se basa en los principios de optimización y consistencia.

Un vector X (un conjunto de variables de control Xj, j = 1, n) se denomina solución factible, o plan de problema de programación óptimo, si satisface el sistema de restricciones. Y ese plan X (solución admisible) que entrega el máximo o mínimo de la función objetivo f(xi, *2, ..., xn) se denomina plan óptimo (comportamiento óptimo, o simplemente solución) del problema de programación óptima.

Así, la elección del comportamiento gerencial óptimo en una situación de producción específica está asociada con la realización de modelos económicos y matemáticos desde el punto de vista de la consistencia y la optimización y la resolución del problema de la programación óptima. Los problemas de programación óptima en su forma más general se clasifican de acuerdo con los siguientes criterios.

• 1. Por la naturaleza de la relación entre variables --
• a) lineal
• b) no lineal.

En el caso a) todas las conexiones funcionales en el sistema de restricciones y la función objetivo son funciones lineales; la presencia de una no linealidad en al menos uno de los elementos mencionados conduce al caso b).

• 2. Por la naturaleza del cambio en las variables --
• un continuo
• b) discreto.

En el caso a) los valores de cada una de las variables de control pueden llenar completamente un área determinada de números reales; en el caso b) todas o al menos una variable puede tomar solo valores enteros.

• 3. Teniendo en cuenta el factor tiempo -
• a) estática
• b) dinámico.

En las tareas a), el modelado y la toma de decisiones se realizan bajo el supuesto de que los elementos del modelo son independientes del tiempo durante el periodo de tiempo para el que se toma una decisión de planificación y gestión. En el caso b), tal suposición no puede aceptarse con razón suficiente y debe tenerse en cuenta el factor tiempo.

• 4. Según la disponibilidad de información sobre las variables --
• a) tareas en condiciones de certeza completa (determinista),
• b) tareas en condiciones de información incompleta,
• c) tareas en condiciones de incertidumbre.

En los problemas b), los elementos individuales son cantidades probabilísticas, pero se conocen sus leyes de distribución o se pueden establecer estudios estadísticos adicionales. En el caso c), se puede hacer una suposición sobre los posibles resultados de los elementos aleatorios, pero no es posible sacar una conclusión sobre las probabilidades de los resultados.

• 5. Según el número de criterios para evaluar alternativas -
• a) tareas simples de criterio único,
• b) tareas complejas y multicriterio.

En las tareas a) es económicamente aceptable utilizar un criterio de optimización o es posible mediante procedimientos especiales (por ejemplo, "ponderación de prioridad")

INTRODUCCIÓN

Es imposible imaginar la ciencia moderna sin aplicación amplia modelo matematico. La esencia de esta metodología es reemplazar el objeto original con su "imagen" - un modelo matemático - y seguir estudiando el modelo utilizando algoritmos lógicos computacionales implementados en computadoras. Este "tercer método" de cognición, diseño, diseño combina muchas ventajas tanto de la teoría como del experimento. Trabajar no con el objeto en sí (fenómeno, proceso), sino con su modelo, permite estudiar sin dolor, con relativa rapidez y sin costos significativos sus propiedades y comportamiento en cualquier situación concebible (ventajas de la teoría). Al mismo tiempo, los experimentos computacionales (computadora, simulación, simulación) con modelos de objetos hacen posible, basándose en el poder de los métodos computacionales modernos y las herramientas técnicas de la informática, estudiar objetos con suficiente detalle y profundidad, con suficiente integridad, inaccesible a enfoques puramente teóricos (ventajas experimentales). No sorprende que la metodología del modelado matemático se esté desarrollando rápidamente, cubriendo todas las áreas nuevas, desde el desarrollo sistemas tecnicos y su gestión al análisis de los procesos económicos y sociales más complejos.

Los elementos del modelado matemático se han utilizado desde el comienzo mismo del surgimiento de las ciencias exactas, y no es coincidencia que algunos métodos de cálculo lleven los nombres de lumbreras de la ciencia como Newton y Euler, y la palabra "algoritmo" proviene del nombre del científico árabe medieval Al-Khwarizmi. El segundo “nacimiento” de esta metodología se produjo a finales de la década de 1940 y principios de la de 1950 y se debió al menos a dos razones. El primero de ellos es el surgimiento de las computadoras (computadoras), aunque modestas para los estándares actuales, pero que salvaron a los científicos de una gran cantidad de trabajo computacional de rutina. El segundo es un orden social sin precedentes: la implementación de los programas nacionales de la URSS y los EE. UU. Para crear un escudo antimisiles nucleares, que no podría implementarse con los métodos tradicionales. El modelado matemático hizo frente a esta tarea: las explosiones nucleares y los vuelos de cohetes y satélites se "realizaron" previamente en las profundidades de las computadoras utilizando modelos matemáticos y solo luego se pusieron en práctica. Este éxito determinó en gran medida los logros posteriores de la metodología, sin cuya aplicación ningún proyecto tecnológico, ambiental o económico a gran escala ahora se considera seriamente en los países desarrollados (esto también es cierto en relación con algunos proyectos sociopolíticos).

Ahora el modelado matemático está entrando en la tercera etapa fundamentalmente importante de su desarrollo, "integrándose" en las estructuras de la llamada sociedad de la información. El impresionante progreso en los medios de procesamiento, transmisión y almacenamiento de información corresponde a las tendencias globales hacia la complicación y la penetración mutua. Varias áreas actividad humana. Sin la posesión de "recursos" de información es imposible siquiera pensar en resolver los problemas cada vez más grandes y diversos que enfrenta la comunidad mundial. Sin embargo, la información como tal a menudo hace poco para el análisis y la previsión, para la toma de decisiones y el seguimiento de su implementación. Necesitamos formas confiables de procesar información como "materias primas" en un "producto" terminado, es decir, en conocimiento preciso. La historia de la metodología de la modelización matemática convence: puede y debe ser el núcleo intelectual tecnologías de la información, todo el proceso de informatización de la sociedad.

Sistemas técnicos, ecológicos, económicos y otros estudiados ciencia moderna, ya no son susceptibles de investigación (en la integridad y precisión requeridas) por métodos teóricos convencionales. Un experimento directo a gran escala con ellos es largo, costoso, a menudo peligroso o simplemente imposible, ya que muchos de estos sistemas existen en una "copia única". El precio de los errores y errores de cálculo al manejarlos es inaceptablemente alto. Por lo tanto, el modelado matemático (más ampliamente, informativo) es un componente inevitable del progreso científico y tecnológico.

Considerando el tema de manera más amplia, recordamos que el modelado está presente en casi todos los tipos de actividad creativa de personas de diversas "especialidades": investigadores y empresarios, políticos y líderes militares. La introducción del conocimiento exacto en estas esferas ayuda a limitar el "modelado" especulativo intuitivo, amplía el campo de aplicación de los métodos racionales. Por supuesto, el modelado matemático es fructífero solo cuando se cumplen requisitos profesionales bien conocidos: una formulación clara de los conceptos y supuestos básicos, un análisis a posteriori de la adecuación de los modelos utilizados, precisión garantizada de los algoritmos computacionales, etc. Si hablamos de modelar sistemas con la participación del "factor humano", es decir, objetos que son difíciles de formalizar, luego a estos requisitos es necesario agregar una distinción precisa entre términos matemáticos y cotidianos (que suenan igual, pero tienen un significado diferente), aplicación cuidadosa de un aparato matemático prefabricado para el estudio de fenómenos y procesos (es preferible el camino "del problema al método", y no viceversa) y un número de otros.

Para resolver los problemas de la sociedad de la información, sería ingenuo confiar únicamente en el poder de las computadoras y otras herramientas informáticas. La mejora continua de la tríada del modelado matemático y su implementación en los sistemas modernos de modelado de información es un imperativo metodológico. Sólo su implementación permite obtener los productos materiales e intelectuales de alta tecnología, competitivos y diversos que tanto necesitamos.

El tema que he elegido es relevante en las matemáticas modernas y sus aplicaciones. En el enfoque científico moderno del estudio de los objetos naturales, técnicos y socioeconómicos, la importancia de la modelización matemática de los procesos que ocurren en ellos es cada vez mayor. El estudio natural del comportamiento de objetos y sistemas en tales modos y condiciones es imposible o difícil, lo que obliga al uso de métodos de modelado matemático.

El propósito de este trabajo de curso es aprender a usar los métodos de modelado matemático para estudiar varios procesos sociales naturales.

Tareas establecidas para lograr el objetivo:

n Estudiar cuestiones teóricas de modelización matemática, clasificación de modelos.

CONCEPTOS BÁSICOS DE LA MODELACIÓN MATEMÁTICA

Modelado- un método de investigación científica de fenómenos, procesos, objetos, dispositivos o sistemas (generalmente - objetos de investigación), basado en la construcción y estudio de modelos para obtener nuevos conocimientos, mejorar las características de los objetos de investigación o gestionarlos.

Modelo- un objeto material o imagen (mental o condicional: hipótesis, idea, abstracción, imagen, descripción, diagrama, fórmula, dibujo, plano, mapa, diagrama de flujo de algoritmo, notas, etc.), que simplemente muestran las propiedades más esenciales del objeto investigar.

Cualquier modelo es siempre más simple que un objeto real y muestra solo una parte de sus características más esenciales, elementos principales y conexiones. Por esta razón, para un mismo objeto de estudio, existen muchos modelos diferentes. El tipo de modelo depende del propósito de modelado elegido.

El término "modelo" se basa en la palabra latina módulo - medida, muestra. El modelo es un sustituto del objeto real de estudio. El modelo es siempre más simple que el objeto de estudio. Al estudiar fenómenos, procesos y objetos complejos, no es posible tener en cuenta la totalidad de todos los elementos y relaciones que determinan sus propiedades.

Pero no se deben tener en cuenta todos los elementos y conexiones en el modelo creado. Solo es necesario señalar los componentes dominantes más característicos, que determinan de manera abrumadora las principales propiedades del objeto de estudio. Como resultado, el objeto de estudio se reemplaza por alguna similitud simplificada, pero con propiedades principales características similares a las del objeto de estudio. Un nuevo objeto (o abstracción) que apareció como resultado de la sustitución se suele llamar modelo del objeto de estudio.

Para compilar modelos matemáticos, puede utilizar cualquier medio matemático: cálculo diferencial e integral, análisis de regresión, teoría de la probabilidad, estadísticas matemáticas, etc. Un modelo matemático es un conjunto de fórmulas, ecuaciones, desigualdades, condiciones lógicas, etc. Las relaciones matemáticas utilizadas en el modelado matemático determinan el proceso de cambio de estado del objeto de estudio en función de sus parámetros, señales de entrada, condiciones iniciales y tiempo. Esencialmente, todas las matemáticas están diseñadas para formar modelos matemáticos.

O gran importancia las matemáticas para todas las demás ciencias (incluido el modelado) dice el siguiente hecho. El gran físico inglés I. Newton (1643-1727) a mediados del siglo XVII conoció las obras de René Descartes y Pierre Gassendi. Estos trabajos establecieron que toda la estructura del mundo puede describirse mediante fórmulas matemáticas. Bajo la influencia de estos trabajos, I. Newton comenzó a estudiar matemáticas intensamente. Su contribución a la física y las matemáticas es ampliamente conocida.

El modelado matemático es un método de estudio de un objeto de estudio basado en la creación de su modelo matemático y su uso para obtener nuevos conocimientos, mejorar el objeto de estudio o gestionar el objeto.

Para el modelado matemático, es característico que los procesos de funcionamiento del objeto se escriban en forma de relaciones matemáticas (algebraicas, integrales), escritos en forma de condiciones lógicas.

Las ecuaciones diferenciales son uno de los principales medios para compilar modelos matemáticos que se utilizan más ampliamente para resolver problemas matemáticos. Al estudiar procesos físicos, al resolver varios problemas aplicados, por regla general, no es posible encontrar directamente las leyes que conectan las cantidades que caracterizan los fenómenos en estudio. Suele ser más fácil establecer relaciones entre las mismas cantidades y sus derivadas o diferenciales. Las relaciones de este tipo se denominan ecuaciones diferenciales. Las posibilidades y reglas para compilar ecuaciones diferenciales están determinadas por el conocimiento de las leyes del campo de la ciencia con el que está asociada la naturaleza del problema en estudio. Entonces, por ejemplo, las leyes de Newton se pueden usar en mecánica, en la teoría de velocidades reacciones químicas- la ley de acción de masas, etc. Sin embargo, en la práctica a menudo se dan casos en los que se desconocen las leyes que podrían hacer posible la elaboración de una ecuación diferencial. Luego recurra a varios supuestos simplificadores sobre el curso del proceso con pequeños cambios en los parámetros-variables. En este caso, el paso al límite conduce a ecuaciones diferenciales. La cuestión de la correspondencia del modelo matemático y el fenómeno real se resuelve sobre la base del análisis de los resultados, los experimentos y su comparación con el comportamiento de la solución de la ecuación diferencial obtenida.

Modelos matemáticos

Modelo matemático - opi aproximadodescripción del objeto de modelado, expresada mediantesimbolismo matemático schyu.

Los modelos matemáticos aparecieron junto con las matemáticas hace muchos siglos. La aparición de las computadoras dio un gran impulso al desarrollo de los modelos matemáticos. El uso de computadoras hizo posible analizar y poner en práctica muchos modelos matemáticos que antes no habían sido susceptibles de investigación analítica. Matemática implementada por computadoracielo modelo llamó modelo matematico por computadora, a llevar a cabo cálculos específicos usando un modelo de computadora llamó experimento computacional.

Etapas de computadora matemática mosupresión se muestra en la figura. El primeroescenario - definición de objetivos de modelado. Estos objetivos pueden ser diferentes:

1. se necesita un modelo para comprender cómo funciona un objeto en particular, cuál es su estructura, propiedades básicas, leyes de desarrollo e interacción
   con el mundo exterior (comprensión);
2. Se necesita un modelo para aprender a controlar un objeto (o proceso) y determinar mejores maneras gestión con metas y criterios dados (gerencia);
3. el modelo es necesario para predecir las consecuencias directas e indirectas de la implementación de los métodos y formas especificados de impacto en el objeto (pronóstico).

Vamos a explicar con ejemplos. Sea el objeto de estudio la interacción de un flujo de líquido o gas con un cuerpo que es un obstáculo para este flujo. La experiencia muestra que la fuerza de resistencia para fluir desde el costado del cuerpo aumenta al aumentar la velocidad del flujo, pero a una velocidad lo suficientemente alta, esta fuerza disminuye abruptamente para aumentar nuevamente con un mayor aumento de la velocidad. ¿Qué causó la disminución de la fuerza de resistencia? El modelado matemático nos permite obtener una respuesta clara: en el momento de una disminución abrupta de la resistencia, los vórtices formados en el flujo de líquido o gas detrás del cuerpo aerodinámico comienzan a separarse y son arrastrados por el flujo.

Un ejemplo de un área completamente diferente: coexistiendo pacíficamente con números estables de poblaciones de dos especies de individuos con una base alimenticia común, "de repente" comienzan a cambiar dramáticamente sus números. Y aquí la modelización matemática permite (con cierto grado de certeza) establecer la causa (o al menos refutar una determinada hipótesis).

El desarrollo del concepto de gestión de objetos es otro objetivo posible del modelado. ¿Qué modo de vuelo de la aeronave debe elegirse para que el vuelo sea seguro y económicamente más ventajoso? ¿Cómo programar cientos de tipos de trabajo en la construcción de una gran instalación para que finalice lo antes posible? Muchos de estos problemas surgen sistemáticamente ante economistas, diseñadores y científicos.

Finalmente, predecir las consecuencias de ciertos impactos en un objeto puede ser un asunto relativamente simple en sistemas físicos simples y extremadamente complejo, al borde de la viabilidad, en sistemas biológicos, económicos y sociales. Si es relativamente fácil responder a la pregunta sobre el cambio en el modo de propagación del calor en una barra delgada con cambios en su aleación constituyente, entonces es incomparablemente más difícil rastrear (predecir) las consecuencias ambientales y climáticas de la construcción de un gran central hidroeléctrica o las consecuencias sociales de los cambios en la legislación fiscal. Quizás, aquí también, los métodos de modelado matemático proporcionen una ayuda más significativa en el futuro.

Segunda fase: definición de parámetros de entrada y salida del modelo; división de los parámetros de entrada según el grado de importancia del impacto de sus cambios en la salida. Este proceso se denomina clasificación o división por clasificación (ver más abajo). "formalisación y modelado").

Tercera etapa: construcción de un modelo matemático. En esta etapa se pasa de la formulación abstracta del modelo a una formulación que tiene una representación matemática específica. Un modelo matemático son ecuaciones, sistemas de ecuaciones, sistemas de desigualdades, ecuaciones diferenciales o sistemas de tales ecuaciones, etc.

Cuarta etapa: elección del método para estudiar el modelo matemático. Muy a menudo, aquí se utilizan métodos numéricos, que se prestan bien a la programación. Como regla general, varios métodos son adecuados para resolver el mismo problema, que difieren en precisión, estabilidad, etc. El éxito de todo el proceso de modelado a menudo depende de la elección correcta del método.

Quinta etapa: el desarrollo de un algoritmo, la compilación y depuración de un programa informático es un proceso difícil de formalizar. De los lenguajes de programación, muchos profesionales para el modelado matemático prefieren FORTRAN: tanto por tradición como por la eficiencia insuperable de los compiladores (para el trabajo computacional) y la presencia de bibliotecas enormes, cuidadosamente depuradas y optimizadas de programas estándar de métodos matemáticos escritos en eso. También se utilizan lenguajes como PASCAL, BASIC, C, según la naturaleza de la tarea y las inclinaciones del programador.

Sexta etapa: prueba del programa Se comprueba el funcionamiento del programa tarea de prueba con una respuesta conocida. Este es solo el comienzo de un procedimiento de prueba que es difícil de describir de una manera formalmente exhaustiva. Habitualmente, las pruebas finalizan cuando el usuario, de acuerdo con sus características profesionales, considera correcto el programa.

Séptima etapa: experimento computacional real, durante el cual queda claro si el modelo corresponde a un objeto real (proceso). El modelo es suficientemente adecuado al proceso real si algunas características del proceso obtenidas en un ordenador coinciden con las características obtenidas experimentalmente con un determinado grado de precisión. Si el modelo no se corresponde con el proceso real, volvemos a una de las etapas anteriores.

Clasificación de modelos matemáticos

La clasificación de los modelos matemáticos se puede basar en varios principios. Es posible clasificar los modelos por ramas de la ciencia (modelos matemáticos en física, biología, sociología, etc.). Puede clasificarse según el aparato matemático aplicado (modelos basados ​​en el uso de ecuaciones diferenciales ordinarias, ecuaciones diferenciales parciales, métodos estocásticos, transformaciones algebraicas discretas, etc.). Finalmente, en base a tareas comunes modelando en diferentes ciencias, independientemente del aparato matemático, la siguiente clasificación es la más natural:

• modelos descriptivos (descriptivos);
• modelos de optimización;
• modelos multicriterio;
• modelos de juego

Expliquemos esto con ejemplos.

Modelos descriptivos (descriptivos). Por ejemplo, modelar el movimiento de un cometa que invadió sistema solar, se realiza con el fin de predecir la trayectoria de su vuelo, la distancia a la que pasará de la Tierra, etc. En este caso, los objetivos del modelado son descriptivos, ya que no hay forma de influir en el movimiento del cometa, de cambiar algo en él.

Modelos de optimización se utilizan para describir los procesos que pueden ser influenciados en un intento de lograr un objetivo dado. En este caso, el modelo incluye uno o más parámetros que pueden ser influenciados. Por ejemplo, al cambiar el régimen térmico en un granero, se puede establecer el objetivo de elegir dicho régimen para lograr la máxima conservación del grano, es decir, optimizar el proceso de almacenamiento.

Modelos multicriterio. A menudo es necesario optimizar el proceso en varios parámetros al mismo tiempo, y los objetivos pueden ser muy contradictorios. Por ejemplo, conociendo los precios de los alimentos y la necesidad de alimentos de una persona, es necesario organizar comidas para grandes grupos de personas (en el ejército, campamento de verano para niños, etc.) fisiológicamente correctamente y, al mismo tiempo, lo más barato posible. Está claro que estos objetivos no coinciden en absoluto; a la hora de modelar se utilizarán varios criterios, entre los cuales se debe buscar el equilibrio.

Modelos de juego puede estar relacionado no sólo con juegos de computadora pero también a cosas muy serias. Por ejemplo, antes de una batalla, en presencia de información incompleta sobre el ejército contrario, un comandante debe desarrollar un plan: en qué orden traer ciertas unidades a la batalla, etc., teniendo en cuenta la posible reacción del enemigo. Hay una sección especial de las matemáticas modernas, la teoría de juegos, que estudia los métodos de toma de decisiones en condiciones de información incompleta.

En el curso escolar de informática, los estudiantes reciben una idea inicial de modelado matemático por computadora en el marco de curso basico. En la escuela secundaria, el modelado matemático se puede estudiar en profundidad en un curso de educación general para clases de física y matemáticas, así como en un curso electivo especializado.

Las principales formas de enseñanza del modelado matemático por computadora en la escuela secundaria son conferencias, laboratorio y clases de crédito. Por lo general, el trabajo de creación y preparación para el estudio de cada nuevo modelo requiere de 3 a 4 lecciones. En el transcurso de la presentación del material, se establecen tareas que en el futuro deben ser resueltas por los estudiantes por su cuenta, en términos generales, se describen formas de resolverlas. Se formulan preguntas, cuyas respuestas deben obtenerse al realizar tareas. Se indica literatura adicional, que permite obtener información auxiliar para una realización más exitosa de las tareas.

La forma de organizar clases en el estudio de material nuevo suele ser una conferencia. Después de la finalización de la discusión del próximo modelo estudiantes tienen a su disposición la información teórica necesaria y un conjunto de tareas para el trabajo posterior. En preparación para la tarea, los estudiantes eligen el método de solución apropiado, utilizando alguna solución privada conocida, prueban el programa desarrollado. En caso de posibles dificultades en el desempeño de las tareas, se brinda consulta, se hace una propuesta para elaborar estas secciones con más detalle en la literatura.

El más relevante para la parte práctica de la enseñanza del modelado por computadora es el método de proyectos. La tarea se formula para el estudiante en forma de proyecto educativo y se completa en varias lecciones, con el principal forma organizativa mientras hacía trabajo de laboratorio de computación. Aprender a modelar utilizando el método de proyectos de aprendizaje se puede implementar en diferentes niveles. El primero es un planteamiento del problema del proceso de ejecución del proyecto, que es dirigido por el docente. El segundo es la implementación del proyecto por parte de los estudiantes bajo la guía de un maestro. El tercero es la implementación independiente por parte de los estudiantes de un proyecto de investigación educativa.

Los resultados del trabajo deben presentarse en forma numérica, en forma de gráficos, diagramas. Si es posible, el proceso se presenta en la pantalla de la computadora en forma dinámica. Al finalizar los cálculos y recibir los resultados, se analizan, se comparan con hechos conocidos de la teoría, se confirma la confiabilidad y se realiza una interpretación significativa, que posteriormente se refleja en un informe escrito.

Si los resultados satisfacen al estudiante y al profesor, entonces el trabajo cuenta y su etapa final es la elaboración de un informe. El informe incluye breve información teórica sobre el tema en estudio, una formulación matemática del problema, un algoritmo de solución y su justificación, un programa de computadora, los resultados del programa, análisis de los resultados y conclusiones, una lista de referencias.

Cuando se han elaborado todos los informes, en la sesión de prueba, los alumnos realizan breves informes sobre el trabajo realizado, defienden su proyecto. Esta es una forma efectiva de informar a la clase por parte del equipo del proyecto, lo que incluye establecer el problema, construir un modelo formal, elegir métodos para trabajar con el modelo, implementar el modelo en una computadora, trabajar con el modelo terminado, interpretar los resultados, pronóstico Como resultado, los estudiantes pueden recibir dos calificaciones: la primera, por la elaboración del proyecto y el éxito de su defensa, la segunda, por el programa, la optimización de su algoritmo, interfaz, etc. Los estudiantes también reciben calificaciones en el curso de las encuestas sobre la teoría.

Una pregunta esencial es ¿qué tipo de herramientas utilizar en el curso de informática escolar para la modelación matemática? La implementación informática de los modelos se puede llevar a cabo:

• usando una hoja de cálculo (generalmente MS Excel);
• mediante la creación de programas en lenguajes de programación tradicionales (Pascal, BASIC, etc.), así como en sus versiones modernas (Delphi, Visual
  Básico para Aplicación, etc.);
• utilizando paquetes de software especiales para resolver problemas matemáticos (MathCAD, etc.).

En el nivel de la escuela primaria, el primer remedio parece ser el preferido. Sin embargo, en la escuela secundaria, cuando la programación es, junto con el modelado, un tema clave de las ciencias de la computación, es deseable involucrarlo como una herramienta de modelado. En el proceso de programación, los detalles de los procedimientos matemáticos se ponen a disposición de los estudiantes; además, simplemente se ven obligados a dominarlos, y esto también contribuye a la educación matemática. En cuanto al uso de paquetes de software especiales, este es apropiado en un curso de informática de perfil como complemento a otras herramientas.

Ejercicio :

• Resume los conceptos clave.

LECCIÓN 4

Definición y finalidad de la modelización matemática

Por debajo modelo(del latín módulo - medida, muestra, norma) entenderemos un objeto representado material o mentalmente que, en el proceso de cognición (estudio), reemplaza el objeto original, conservando algunas de sus características típicas que son importantes para este estudio . El proceso de construir y usar un modelo se llama modelado.

esencia modelo matematico (milímetro) consiste en reemplazar el objeto (proceso) en estudio con un modelo matemático adecuado y el estudio posterior de las propiedades de este modelo utilizando métodos analíticos o experimentos computacionales.

A veces es más útil, en lugar de dar definiciones estrictas, describir un concepto particular con un ejemplo específico. Por lo tanto, ilustramos las definiciones anteriores de MM utilizando el ejemplo del problema de cálculo del impulso específico. A principios de la década de 1960, los científicos se enfrentaron a la tarea de desarrollar combustible para cohetes con el mayor impulso específico. El principio del movimiento de los cohetes es el siguiente: el combustible líquido y el oxidante de los tanques del cohete se introducen en el motor, donde se queman y los productos de la combustión se liberan a la atmósfera. De la ley de conservación de la cantidad de movimiento se deduce que en este caso el cohete se moverá con rapidez.

El impulso específico de un combustible es el impulso resultante dividido por la masa del combustible. Los experimentos fueron muy costosos y provocaron daños sistemáticos en el equipo. Resultó que es más fácil y económico calcular las funciones termodinámicas de los gases ideales, calcular con su ayuda la composición de los gases emitidos y la temperatura del plasma, y ​​​​luego el impulso específico. Es decir, realizar la MM del proceso de combustión del combustible.

El concepto de modelado matemático (MM) en la actualidad es uno de los más comunes en la literatura científica. La gran mayoría de las tesis y disertaciones modernas están asociadas con el desarrollo y uso de modelos matemáticos apropiados. Computer MM hoy es una parte integral de muchas áreas de la actividad humana (ciencia, tecnología, economía, sociología, etc.). Esta es una de las razones de la escasez actual de especialistas en el campo de la tecnología de la información.

El rápido crecimiento de los modelos matemáticos se debe a la rápida mejora de la tecnología informática. Si incluso hace 20 años solo un pequeño número de programadores se dedicaba a los cálculos numéricos, ahora la cantidad de memoria y la velocidad de las computadoras modernas, que permiten resolver problemas de modelado matemático, están disponibles para todos los especialistas, incluidos los estudiantes universitarios.

En cualquier disciplina, primero se da una descripción cualitativa de los fenómenos. Y luego - cuantitativos, formulados en forma de leyes que establecen relaciones entre varias cantidades (intensidad de campo, intensidad de dispersión, carga de electrones, ...) en forma de ecuaciones matemáticas. Por tanto, podemos decir que en cada disciplina hay tanta ciencia como matemáticos hay en ella, y este hecho nos permite resolver con éxito muchos problemas utilizando métodos de modelización matemática.

Este curso está diseñado para estudiantes con especialización en matemáticas aplicadas que están completando su tesis bajo la supervisión de científicos líderes que trabajan en varios campos. Por lo tanto, este curso es necesario no sólo como material educativo sino también como preparación para tesis. Para estudiar este curso Necesitaremos las siguientes secciones de matemáticas:

1. Ecuaciones de la física matemática (mecánica kantiana, gas e hidrodinámica)

2. Álgebra lineal (la teoría de la elasticidad)

3. Campos escalares y vectoriales (teoría de campos)

4. Teoría de la probabilidad (mecánica cuántica, física estadística, cinética física)

5. Características especiales.

6. Análisis tensorial (teoría de la elasticidad)

7. Análisis matemático

MM en ciencias naturales, ingeniería y economía.

Consideremos primero las diversas ramas de las ciencias naturales, la tecnología y la economía, en las que se utilizan modelos matemáticos.

Ciencias Naturales

La física, que establece las leyes básicas de las ciencias naturales, se ha dividido durante mucho tiempo en teórica y experimental. La física teórica se ocupa de la derivación de ecuaciones que describen fenómenos físicos. Por lo tanto, la física teórica también puede considerarse una de las áreas del modelado matemático. (Recuerde que el título del primer libro sobre física: "Los principios matemáticos de la filosofía natural" de I. Newton se puede traducir a idioma moderno como "Modelos matemáticos de las ciencias naturales"). Sobre la base de las leyes obtenidas, se llevan a cabo cálculos de ingeniería, que se llevan a cabo en varios institutos, empresas, oficinas de diseño. Estas organizaciones desarrollan tecnologías para la fabricación de productos modernos que son intensivos en ciencia, por lo que el concepto de tecnologías intensivas en ciencia incluye cálculos utilizando modelos matemáticos apropiados.

Una de las ramas más extensas de la física - mecanica clasica(a veces esta sección se llama mecánica teórica o analítica). Esta sección de física teórica estudia el movimiento y la interacción de los cuerpos. Los cálculos que utilizan las fórmulas de la mecánica teórica son necesarios cuando se estudia la rotación de los cuerpos (cálculo de los momentos de inercia, girostatos, dispositivos que mantienen estacionarios los ejes de rotación), analizando el movimiento de un cuerpo en el vacío, etc. Una de las secciones de la mecánica teórica se llama la teoría de la estabilidad y subyace a muchos modelos matemáticos que describen el movimiento de aviones, barcos, cohetes. Secciones de mecánica práctica: los cursos "Teoría de máquinas y mecanismos", "Piezas de máquinas" son estudiados por estudiantes de casi todas las universidades técnicas (incluida MGIU).

Teoría de la elasticidad- parte de una sección mecánica de Medios Continuos, que supone que el material del cuerpo elástico es homogéneo y está continuamente distribuido en todo el volumen del cuerpo, de modo que el elemento más pequeño recortado del cuerpo tiene el mismo propiedades físicas, que es todo el cuerpo. La aplicación de la teoría de la elasticidad: el curso "resistencia de los materiales", es estudiado por estudiantes de todas las universidades técnicas (incluida MGIU). Esta sección es necesaria para todos los cálculos de resistencia. Aquí está el cálculo de la resistencia de los cascos de los barcos, aviones, misiles, el cálculo de la resistencia de las estructuras de acero y hormigón armado de los edificios, y mucho más.

Gas e hidrodinámica, así como la teoría de la elasticidad - parte de la sección mecánica de Medios Continuos, considera las leyes del movimiento de líquidos y gases. Las ecuaciones de gas e hidrodinámica son necesarias al analizar el movimiento de cuerpos en un medio líquido y gaseoso (satélites, submarinos, cohetes, proyectiles, automóviles), al calcular la salida de gas de las boquillas de los motores de cohetes y aviones. Aplicación Práctica de la Dinámica de Fluidos – Hidráulica (Freno, Timón,…)

Las secciones anteriores de mecánica consideraron el movimiento de los cuerpos en el macrocosmos, y las leyes físicas del macrocosmos no son aplicables en el microcosmos, en el que se mueven partículas de materia: protones, neutrones, electrones. Aquí, operan principios completamente diferentes, y para describir el micromundo, es necesario mecánica cuántica. La ecuación básica que describe el comportamiento de las micropartículas es la ecuación de Schrödinger: . Aquí, es el operador hamiltoniano (Hamiltonian). Para una ecuación de movimiento de partículas unidimensional https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-energía potencial. La solución de esta ecuación es un conjunto de valores propios y funciones propias de energía..gif" width="55" height="24 src=">– densidad de probabilidad. Los cálculos de mecánica cuántica son necesarios para el desarrollo de nuevos materiales (microcircuitos), la creación de láseres, el desarrollo de métodos de análisis espectral, etc.

Se resuelven un gran número de tareas. cinética describir el movimiento y la interacción de las partículas. Aquí y la difusión, la transferencia de calor, la teoría del plasma - el cuarto estado de la materia.

física estadística considera conjuntos de partículas, le permite decir acerca de los parámetros del conjunto, en función de las propiedades de las partículas individuales. Si el conjunto consta de moléculas de gas, entonces las propiedades del conjunto derivadas de los métodos de la física estadística son las ecuaciones del estado del gas conocidas desde la escuela secundaria: https://pandia.ru/text/78/009/images/ image009_85.gif" width="16" height="17 src=">.gif" width="16" height="17">-peso molecular del gas. K es la constante de Rydberg. métodos de estadística también se calculan las propiedades de soluciones, cristales y electrones en metales. fisica estadistica MM - antecedentes teóricos termodinámica, que subyace en el cálculo de motores, redes y estaciones de calefacción.

Teoría de campos describe por métodos MM una de las principales formas de materia - el campo. En este caso, los campos electromagnéticos son de interés primordial. Las ecuaciones del campo electromagnético (electrodinámica) fueron derivadas por Maxwell: , , , . Aquí y https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - densidad de carga, - densidad de corriente. Las ecuaciones de la electrodinámica son la base de los cálculos de la propagación de ondas electromagnéticas necesario para describir la propagación de ondas de radio (radio, televisión, comunicaciones celulares), explicar el funcionamiento de las estaciones de radar.

La química se puede representar en dos vertientes, destacando la química descriptiva - el descubrimiento de los factores químicos y su descripción - y la química teórica - el desarrollo de teorías que permiten generalizar los factores establecidos y presentarlos en forma de un sistema específico (L. Pauling) . La química teórica también se denomina química física y es, en esencia, una rama de la física que estudia las sustancias y sus interacciones. Por lo tanto, todo lo que se ha dicho sobre la física se aplica plenamente a la química. Las secciones de química física serán termoquímica, que estudia los efectos térmicos de las reacciones, cinética química (tasas de reacción), química cuántica (la estructura de las moléculas). Al mismo tiempo, los problemas de la química son extremadamente complejos. Entonces, por ejemplo, para resolver los problemas de la química cuántica, la ciencia de la estructura de los átomos y las moléculas, se utilizan programas que son comparables en volumen a los programas de defensa aérea del país. Por ejemplo, para describir una molécula UCl4, que consta de 5 núcleos atómicos y +17 * 4) electrones, debe escribir la ecuación de movimiento: ecuaciones en derivadas parciales.

Biología

Las matemáticas realmente entraron en la biología solo en la segunda mitad del siglo XX. Los primeros intentos de describir matemáticamente procesos biológicos están relacionados con modelos de dinámica de poblaciones. Una población es una comunidad de individuos de la misma especie que ocupan una determinada área del espacio en la Tierra. Esta área de la biología matemática, que estudia el cambio en el tamaño de la población bajo diversas condiciones (presencia de especies competidoras, depredadores, enfermedades, etc.), siguió sirviendo como campo de pruebas matemáticas en el que se "realizaban" modelos matemáticos en varios campos de la biología. Incluyendo modelos de evolución, microbiología, inmunología y otras áreas relacionadas con las poblaciones celulares.
El primer modelo conocido formulado en un entorno biológico es la famosa serie de Fibonacci (cada número subsiguiente es la suma de los dos anteriores), que se cita en su obra de Leonardo de Pisa en el siglo XIII. Esta es una serie de números que describen el número de parejas de conejos que nacen cada mes, si los conejos comienzan a reproducirse a partir del segundo mes y producen un par de conejos cada mes. La fila representa una secuencia de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

1,

2 ,

3,

5,

8, 13, …

Otro ejemplo es el estudio de los procesos de transporte iónico transmembrana sobre una membrana bicapa artificial. Aquí, para estudiar las leyes de formación de un poro a través del cual pasa un ion a través de la membrana hacia el interior de la célula, es necesario crear un sistema modelo que pueda estudiarse experimentalmente y para el cual pueda realizarse una descripción física bien desarrollada. usó.

Un ejemplo clásico de MM es también la población de Drosophila. Un modelo aún más conveniente son los virus, que pueden propagarse en un tubo de ensayo. Los métodos de modelado en biología son los métodos de la teoría de sistemas dinámicos, y los medios son ecuaciones diferenciales y en diferencias, métodos de la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales, modelado de simulación.
Objetivos del modelado en biología:
3. Elucidación de los mecanismos de interacción entre los elementos del sistema.
4. Identificación y verificación de los parámetros del modelo utilizando datos experimentales.
5. Evaluación de la estabilidad del sistema (modelo).

6. Predicción del comportamiento del sistema bajo diversas influencias externas, varias maneras gestión y así sucesivamente.
7. Control óptimo del sistema de acuerdo con el criterio de optimalidad elegido.

Técnica

Una gran cantidad de especialistas se dedican a la mejora de la tecnología, quienes en su trabajo confían en los resultados. investigación científica. Por lo tanto, los MM en tecnología son los mismos que los MM en ciencias naturales, que se discutieron anteriormente.

Economía y procesos sociales

En general, se acepta que los modelos matemáticos como método para analizar los procesos macroeconómicos fueron utilizados por primera vez por el médico del rey Luis XV, el Dr. François Quesnay, quien en 1758 publicó la obra "Tabla Económica". En este trabajo se hizo el primer intento de describir cuantitativamente la economía nacional. Y en 1838 en el libro O. Cournot Los métodos cuantitativos de "Investigación de los principios matemáticos de la teoría de la riqueza" se utilizaron por primera vez para analizar la competencia en el mercado de bienes en diversas situaciones de mercado.

También es ampliamente conocida la teoría de la población de Malthus, en la que propuso la idea de que el crecimiento de la población está lejos de ser siempre deseable, y este crecimiento es más rápido que las crecientes posibilidades de proporcionar alimentos a la población. El modelo matemático de tal proceso es bastante simple: Sea - crecimiento de la población a lo largo del tiempo https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> la población era igual a y son los coeficientes teniendo en cuenta las tasas de natalidad y mortalidad (personas/año).

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Métodos instrumentales y matemáticos" href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="bookmark">métodos matemáticos de análisis (por ejemplo, en las últimas décadas han aparecido teorías matemáticas del desarrollo cultural en las humanidades, modelos matemáticos de movilización, desarrollo cíclico de procesos socioculturales, un modelo de interacción entre la gente y el gobierno, un modelo de armas modelo de carrera, etc.) han sido construidos y estudiados.

En los términos más generales, el proceso de MM de los procesos socioeconómicos se puede dividir condicionalmente en cuatro etapas:

formular un sistema de hipótesis y desarrollar un modelo conceptual; desarrollo de un modelo matemático; análisis de los resultados de los cálculos del modelo, que incluye su comparación con la práctica; formulación de nuevas hipótesis y refinamiento del modelo en caso de discrepancia entre los resultados de los cálculos y los datos prácticos.

Tenga en cuenta que, por regla general, el proceso de modelado matemático es cíclico, ya que incluso cuando se estudian procesos relativamente simples, rara vez es posible construir un modelo matemático adecuado desde el primer paso y seleccionar sus parámetros exactos.

En la actualidad, la economía es considerada como un sistema complejo en desarrollo, para cuya descripción cuantitativa se utilizan modelos matemáticos dinámicos de diversos grados de complejidad. Una de las áreas de investigación de la dinámica macroeconómica está asociada con la construcción y análisis de modelos de simulación no lineal relativamente simples que reflejan la interacción de varios subsistemas: el mercado laboral, el mercado de bienes, el sistema financiero, el entorno natural, etc.

La teoría de las catástrofes se está desarrollando con éxito. Esta teoría considera la cuestión de las condiciones bajo las cuales un cambio en los parámetros de un sistema no lineal provoca que un punto en el espacio de fases que caracteriza el estado del sistema se mueva de la región de atracción a la posición de equilibrio inicial a la región de atracción. a otra posición de equilibrio. Este último es muy importante no solo para el análisis de los sistemas técnicos, sino también para comprender la sostenibilidad de los procesos socioeconómicos. En este sentido, los hallazgos sobre la importancia del estudio de modelos no lineales para la gestión. En el libro "La teoría de las catástrofes", publicado en 1990, él, en particular, escribe: "... la reestructuración actual se debe en gran medida al hecho de que al menos algunos mecanismos de retroalimentación (miedo a la destrucción personal) han comenzado a operar ."

(parámetros del modelo)

Cuando se construyen modelos de objetos y fenómenos reales, a menudo se encuentra con falta de información. Para el objeto en estudio, la distribución de propiedades, los parámetros del impacto y el estado inicial se conocen con diversos grados de incertidumbre. Al construir un modelo, son posibles las siguientes opciones para describir parámetros inciertos:

Clasificación de modelos matemáticos

(métodos de implementación)

Los métodos de implementación de MM se pueden clasificar de acuerdo con la siguiente tabla.

Métodos de implementación de MM Muy a menudo, la solución analítica del modelo se presenta en forma de funciones. Para obtener los valores de estas funciones para valores específicos de los parámetros de entrada, se utiliza su expansión en serie (por ejemplo, Taylor) y se determina aproximadamente el valor de la función para cada valor del argumento. Los modelos que utilizan esta técnica se denominan aproximado. A enfoque numérico el conjunto de relaciones matemáticas del modelo se reemplaza por un análogo de dimensión finita. Esto se logra con mayor frecuencia discretizando las relaciones iniciales, es decir, pasando de funciones de un argumento continuo a funciones de un argumento discreto (métodos de cuadrícula). La solución encontrada después de los cálculos en una computadora se toma como una solución aproximada del problema original. La mayoría de los sistemas existentes son muy complejos y es imposible crear un modelo real para ellos, descrito analíticamente. Tales sistemas deben ser estudiados usando modelado de simulación. Uno de los principales métodos de modelado de simulación está asociado con el uso de un generador de números aleatorios. Dado que una gran cantidad de problemas se resuelven mediante métodos MM, los métodos para implementar MM se estudian en más de un curso de entrenamiento. Aquí hay ecuaciones diferenciales parciales, métodos numéricos para resolver estas ecuaciones, matemáticas computacionales, simulación por computadora, etc. PAULING, Linus Carl (Pauling, Linus Carl) (), químico y físico estadounidense, premiado en 1954 premio Nobel en química para estudios de la naturaleza enlace químico y determinar la estructura de las proteínas. Nació el 28 de febrero de 1901 en Portland, Oregón. Desarrolló un método de mecánica cuántica para estudiar la estructura de las moléculas (junto con el físico estadounidense J. Slayer): el método de los enlaces de valencia, así como la teoría de la resonancia, que permite explicar la estructura de los compuestos que contienen carbono. , principalmente compuestos de la serie aromática. Durante el período del culto a la personalidad de la URSS, los científicos involucrados en la química cuántica fueron perseguidos y acusados ​​​​de "polingismo". MALTHUS, THOMAS ROBERT (Malthus, Thomas Robert) (), economista inglés. Nacido en Rookery cerca de Dorking en Surrey el 15 o 17 de febrero de 1766. En 1798 publicó de forma anónima Un experimento sobre la ley de población. En 1819, Malthus fue elegido miembro de la Royal Society.