Métodos Kramer y gaussiano una de las soluciones más populares SLAU. Además, en algunos casos es recomendable utilizar métodos específicos. La sesión está cerca, y ahora es el momento de repetirlos o dominarlos desde cero. Hoy nos ocupamos de la solución por el método de Cramer. Después de todo, la solución del sistema ecuaciones lineales El método de Cramer es una habilidad muy útil.

Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales

El sistema de ecuaciones algebraicas lineales es un sistema de ecuaciones de la forma:

Conjunto de valores X , en el que las ecuaciones del sistema se convierten en identidades, se llama la solución del sistema, a y b son coeficientes reales. Un sistema simple que consta de dos ecuaciones con dos incógnitas se puede resolver mentalmente o expresando una variable en términos de la otra. Pero puede haber mucho más que dos variables (x) en SLAE, y las manipulaciones simples de la escuela son indispensables aquí. ¿Qué hacer? Por ejemplo, resuelva SLAE por el método de Cramer.

Así que deja que el sistema sea norte ecuaciones con norte desconocido.

Tal sistema se puede reescribir en forma matricial

Aquí A es la matriz principal del sistema, X y B , respectivamente, matrices columna de variables desconocidas y miembros libres.

Solución SLAE por el método de Cramer

Si el determinante de la matriz principal no es igual a cero (la matriz no es singular), el sistema se puede resolver mediante el método de Cramer.

Según el método de Cramer, la solución se encuentra mediante las fórmulas:

Aquí delta es el determinante de la matriz principal, y delta x n-ésimo - el determinante obtenido del determinante de la matriz principal reemplazando la n-ésima columna con una columna de términos libres.

Este es el punto central del método de Cramer. Sustituyendo los valores encontrados por las fórmulas anteriores X en el sistema deseado, estamos convencidos de la corrección (o viceversa) de nuestra solución. Para que te sea más fácil entender el punto, aquí hay un ejemplo. solución detallada SLAE por el método de Cramer:

Incluso si no tiene éxito la primera vez, ¡no se desanime! Con un poco de práctica, comenzará a hacer estallar SLOW como nueces. Además, ahora no es absolutamente necesario estudiar detenidamente un cuaderno, resolver cálculos engorrosos y escribir en la barra. Es fácil resolver SLAE por el método de Cramer en línea, simplemente sustituyendo los coeficientes en la forma final. probar calculadora online soluciones por el método de Cramer pueden ser, por ejemplo, en este sitio.

Y si el sistema se vuelve terco y no se rinde, siempre puedes pedir ayuda a nuestros autores, por ejemplo, para comprar una sinopsis. Si hay al menos 100 incógnitas en el sistema, ¡definitivamente lo resolveremos correctamente y justo a tiempo!

Sea dado un sistema de tres ecuaciones lineales:

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de Cramer, el determinante principal del sistema  se compila a partir de los coeficientes de las incógnitas. Para el sistema (1), el determinante principal tiene la forma
.

A continuación, se recopilan los determinantes con respecto a las variables
,,. Para ello, en el determinante principal, en lugar de una columna de coeficientes para la variable correspondiente, se escribe una columna de miembros libres, es decir

,
,
.

Entonces la solución del sistema se encuentra por las fórmulas de Cramer

,
,

Cabe señalar que el sistema tiene una solución única
si el principal determinante
. Si
y
= 0,= 0,= 0, entonces el sistema tiene un número infinito de soluciones, que no se pueden encontrar con las fórmulas de Cramer. Si
y
0, o 0, o 0, entonces el sistema de ecuaciones es inconsistente, es decir, no tiene soluciones.

Ejemplo

Solución:

1) Componer y calcular el determinante principal del sistema, consistente en coeficientes para incógnitas.

.

Por lo tanto, el sistema tiene solución única.

2) Componer y calcular determinantes auxiliares, reemplazando la columna correspondiente en  por una columna de miembros libres.

Usando las fórmulas de Cramer, encontramos las incógnitas:

,
,
.

Comprobaremos para asegurarnos de que la solución es correcta.

Aquellos.
.

, es decir.

, es decir.

Responder: .

Ejemplo

Resolver el sistema de ecuaciones por el método de Cramer:

Solución:

1) Componer y calcular el determinante principal del sistema a partir de los coeficientes de las incógnitas:

.

Por lo tanto, el sistema no tiene solución única.

2) Componer y calcular determinantes auxiliares, reemplazando la columna correspondiente en  por una columna de miembros libres:

,
, por lo que el sistema es inconsistente.

Responder: el sistema es inconsistente.

método de Gauss

El método de Gauss consta de dos etapas. La primera etapa consiste en la eliminación sucesiva de variables de las ecuaciones del sistema mediante acciones que no violen la equivalencia del sistema. Por ejemplo, considere las dos primeras ecuaciones del sistema (1).

(1)

Es necesario sumando estas dos ecuaciones para obtener una ecuación en la que no hay variable . Multiplica la primera ecuación por , y el segundo en (
) y sumamos las ecuaciones resultantes

Sustituimos el coeficiente anterior y, z y un miembro gratuito en ,y en consecuencia, obtenemos un nuevo par de ecuaciones

Tenga en cuenta que no hay variable en la segunda ecuación X.

Habiendo llevado a cabo acciones similares en la primera y tercera ecuaciones del sistema (1), y luego en la segunda y tercera ecuaciones obtenidas como resultado de la suma, transformamos el sistema (1) a la forma

(2)

Este resultado es posible si el sistema tiene solución única. En este caso, la solución se encuentra utilizando el método de Gauss inverso (segunda etapa). De la última ecuación del sistema (2) encontramos la variable desconocida z, entonces de la segunda ecuación encontramos y, a X respectivamente del primero, sustituyendo en ellos las incógnitas ya encontradas.

A veces, como resultado de sumar dos ecuaciones, la ecuación total puede tomar una de las siguientes formas:

PERO)
, dónde
. Esto significa que el sistema que se está resolviendo es inconsistente.

B), es decir
. Tal ecuación está excluida del sistema, como resultado, el número de ecuaciones en el sistema se vuelve menor que el número de variables, y el sistema tiene un número infinito de soluciones, cuyo resultado se mostrará con un ejemplo.

Ejemplo

Solución:

Considere el siguiente método para implementar la primera etapa de la solución por el método de Gauss. Escribamos tres filas de coeficientes para los términos desconocidos y libres correspondientes a las tres ecuaciones del sistema. Separamos los términos libres de los coeficientes con una línea vertical y dibujamos una línea horizontal debajo de la tercera línea.

Encerramos en un círculo la primera línea, que corresponde a la primera ecuación del sistema: los coeficientes en esta ecuación permanecerán sin cambios. En lugar de la segunda línea (ecuación), debe obtener una línea (ecuación), donde el coeficiente en es igual a cero Para ello, multiplicamos todos los números de la primera fila por (-2) y los sumamos a los números correspondientes de la segunda fila. Escribimos las cantidades resultantes debajo de la línea horizontal (cuarta línea). Para en lugar de la tercera línea (ecuación) obtener también una línea (ecuación) en la que el coeficiente en es igual a cero, multiplicamos todos los números de la primera fila por (-5) y los sumamos a los números correspondientes de la tercera fila. Escribimos las cantidades resultantes en la quinta línea y dibujamos una nueva línea horizontal debajo. La cuarta línea (o la quinta, opcionalmente) estará rodeada por un círculo. Se selecciona la fila con coeficientes más pequeños. En esta línea, los coeficientes permanecerán sin cambios. En lugar de la quinta línea, debe obtener una línea donde dos coeficientes ya sean iguales a cero. Multiplique la cuarta fila por 3 y súmela a la quinta. Escribimos la cantidad debajo de la línea horizontal (sexta línea) y la encerramos en un círculo.

Todas las acciones descritas se muestran en la Tabla 1 usando signos aritméticos y flechas. Escribimos las filas rodeadas en un círculo en la tabla nuevamente en forma de ecuaciones (3) y, usando el movimiento inverso del método de Gauss, encontramos los valores de las variables X, y y z.

tabla 1

Restauramos el sistema de ecuaciones obtenido como resultado de nuestras transformaciones:

(3)

Método de Gauss inverso

De la tercera ecuación
encontrar
.

En la segunda ecuación del sistema
sustituye el valor encontrado
, obtenemos
o
.

De la primera ecuación
, sustituyendo los valores ya encontrados de las variables, obtenemos
, eso es
.

Para asegurarse de que la solución es correcta, se debe hacer una verificación en las tres ecuaciones del sistema.

Examen:

, obtenemos

Obtener

Obtener

Esto significa que el sistema es correcto.

Responder:
,
,
.

Ejemplo

Resuelve el sistema usando el método de Gauss:

Solución:

El orden de las acciones en este ejemplo es similar al orden en el ejemplo anterior, y las acciones específicas se indican en la Tabla 2.

Como resultado de las transformaciones, obtenemos una ecuación de la forma , por lo tanto, el sistema dado es inconsistente.

Responder: el sistema es inconsistente.

Ejemplo

Resuelve el sistema usando el método de Gauss:

Solución:

Tabla 3

Como resultado de las transformaciones, obtenemos una ecuación de la forma , que se excluye de consideración. Por lo tanto, tenemos un sistema de ecuaciones en el que el número de incógnitas es 3 y el número de ecuaciones es 2.

El sistema tiene un número infinito de soluciones. Para encontrar estas soluciones, introducimos una variable libre. (El número de variables libres siempre es igual a la diferencia entre el número de incógnitas y el número de ecuaciones que quedan después de la transformación del sistema. En nuestro caso, 3 - 2 = 1).

Dejar
es una variable libre.

Entonces de la segunda ecuación encontramos
, dónde
y luego encontrar X de la primera ecuacion
o
.

De este modo,
;
;
.

Hagamos una verificación en las ecuaciones que no intervinieron en la búsqueda y , es decir, en la segunda y tercera ecuaciones del sistema original.

Examen:

o, obtenemos
.

o, obtenemos
.

El sistema es correcto. Dando una constante arbitraria varios significados, obtendremos diferentes valores X, y y z.

Responder:
;
;
.

2. Resolución de sistemas de ecuaciones por el método matricial (utilizando la matriz inversa).
3. Método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones.

método de Cramer.

El método de Cramer se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales ( SLAU).

Fórmulas sobre el ejemplo de un sistema de dos ecuaciones con dos variables.
Dado: Resolver el sistema por el método de Cramer

Acerca de las variables X y a.
Solución:
Hallar el determinante de la matriz, compuesta por los coeficientes del sistema Cálculo de determinantes. :

Apliquemos las fórmulas de Cramer y encontremos los valores de las variables:
y .
Ejemplo 1:
Resuelve el sistema de ecuaciones:

con respecto a las variables X y a.
Solución:


Reemplacemos la primera columna de este determinante con una columna de coeficientes del lado derecho del sistema y encontremos su valor:

Hagamos una acción similar, reemplazando la segunda columna en el primer determinante:

Aplicable fórmulas de Cramer y encontrar los valores de las variables:
y .
Responder:
Comentario: Este método se puede utilizar para resolver sistemas de dimensiones superiores.

Comentario: Si resulta que , y es imposible dividir por cero, entonces dicen que el sistema no tiene solución única. En este caso, el sistema tiene infinitas soluciones o ninguna solución.

Ejemplo 2(un número infinito de soluciones):

Resuelve el sistema de ecuaciones:

con respecto a las variables X y a.
Solución:
Encuentre el determinante de la matriz, compuesta por los coeficientes del sistema:

Resolución de sistemas por el método de sustitución.

La primera de las ecuaciones del sistema es una igualdad que se cumple para cualquier valor de las variables (porque 4 siempre es igual a 4). Así que solo queda una ecuación. Esta es una ecuación de relación entre variables.
Obtuvimos que la solución del sistema es cualquier par de valores de variables relacionadas por igualdad.
La solución general se escribe así:
Las soluciones particulares se pueden determinar eligiendo un valor arbitrario de y y calculando x a partir de esta ecuación de relación.

etc.
Hay infinitas soluciones de este tipo.
Responder: decisión común
Soluciones Privadas:

Ejemplo 3(no hay soluciones, el sistema es inconsistente):

Resuelve el sistema de ecuaciones:

Solución:
Encuentre el determinante de la matriz, compuesta por los coeficientes del sistema:

No puedes usar las fórmulas de Cramer. Resolvamos este sistema por el método de sustitución

La segunda ecuación del sistema es una igualdad que no es válida para ningún valor de las variables (por supuesto, ya que -15 no es igual a 2). Si una de las ecuaciones del sistema no es verdadera para ningún valor de las variables, entonces todo el sistema no tiene soluciones.
Responder: sin soluciones

En la primera parte, vimos algunos material teorico, el método de sustitución y el método de suma término por término de ecuaciones del sistema. A todos los que llegaron al sitio a través de esta página, les recomiendo que lean la primera parte. Quizás algunos visitantes encontrarán el material demasiado simple, pero en el curso de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, hice una serie de comentarios y conclusiones muy importantes con respecto a la solución de problemas matemáticos en general.

Y ahora analizaremos la regla de Cramer, así como la solución de un sistema de ecuaciones lineales utilizando la matriz inversa (método matricial). Todos los materiales se presentan de manera simple, detallada y clara, casi todos los lectores podrán aprender cómo resolver sistemas utilizando los métodos anteriores.

Primero consideramos la regla de Cramer en detalle para un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. ¿Para qué? “Después de todo, el sistema más simple puede resolverse con el método de la escuela, ¡mediante la suma término por término!

El hecho es que aunque a veces, pero existe tal tarea: resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas usando las fórmulas de Cramer. En segundo lugar, un ejemplo más simple lo ayudará a comprender cómo usar la regla de Cramer para un caso más complejo: un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Además, existen sistemas de ecuaciones lineales con dos variables, que es recomendable resolver exactamente ¡según la regla de Cramer!

Considere el sistema de ecuaciones

En el primer paso, calculamos el determinante , se llama el principal determinante del sistema.

método de Gauss.

Si , entonces el sistema tiene solución única, y para encontrar las raíces, debemos calcular dos determinantes más:
y

En la práctica, los calificadores anteriores también se pueden denotar con la letra latina.

Las raíces de la ecuación se encuentran mediante las fórmulas:
,

Ejemplo 7

Resolver un sistema de ecuaciones lineales

Solución: Vemos que los coeficientes de la ecuación son bastante grandes, en el lado derecho hay fracciones decimales con coma. La coma es un invitado bastante raro en tareas practicas en matemáticas, tomé este sistema de un problema econométrico.

¿Cómo resolver tal sistema? Puedes tratar de expresar una variable en términos de otra, pero en este caso seguramente obtendrás fracciones terriblemente sofisticadas, con las que es extremadamente inconveniente trabajar, y el diseño de la solución se verá horrible. Puedes multiplicar la segunda ecuación por 6 y restar término por término, pero aquí aparecerán las mismas fracciones.

¿Qué hacer? En tales casos, las fórmulas de Cramer vienen al rescate.

;

;

Responder: ,

Ambas raíces tienen colas infinitas y se encuentran aproximadamente, lo cual es bastante aceptable (e incluso común) para problemas econométricos.

No se necesitan comentarios aquí, ya que la tarea se resuelve de acuerdo con fórmulas preparadas, sin embargo, hay una advertencia. Al utilizar este método, obligatorio El fragmento de la asignación es el siguiente fragmento: "entonces el sistema tiene una solución única". De lo contrario, el revisor puede castigarlo por no respetar el teorema de Cramer.

No estará de más verificar, lo cual es conveniente realizar en una calculadora: sustituimos los valores aproximados en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema. Como resultado, con un pequeño error, se deben obtener números que están en el lado derecho.

Ejemplo 8

Exprese su respuesta en fracciones impropias ordinarias. Haz un cheque.

Este es un ejemplo de una solución independiente (ejemplo de diseño fino y respuesta al final de la lección).

Pasamos a la consideración de la regla de Cramer para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Encontramos el principal determinante del sistema:

Si , entonces el sistema tiene infinitas soluciones o es inconsistente (no tiene soluciones). En este caso, la regla de Cramer no ayudará, debe usar el método de Gauss.

Si , entonces el sistema tiene solución única, y para encontrar las raíces, debemos calcular tres determinantes más:
, ,

Y finalmente, la respuesta se calcula mediante las fórmulas:

Como puede ver, el caso "tres por tres" no es fundamentalmente diferente del caso "dos por dos", la columna de términos libres "camina" secuencialmente de izquierda a derecha a lo largo de las columnas del determinante principal.

Ejemplo 9

Resuelve el sistema usando las fórmulas de Cramer.

Solución: Resolvamos el sistema usando las fórmulas de Cramer.

, por lo que el sistema tiene solución única.

Responder: .

En realidad, no hay nada especial que comentar aquí nuevamente, en vista del hecho de que la decisión se toma de acuerdo con fórmulas prefabricadas. Pero hay un par de notas.

Sucede que como resultado de los cálculos, se obtienen fracciones irreducibles "malas", por ejemplo: .
Recomiendo el siguiente algoritmo de "tratamiento". Si no hay una computadora a la mano, hacemos esto:

1) Puede haber un error en los cálculos. Tan pronto como encuentre un tiro "malo", debe verificar inmediatamente si es la condición reescrita correctamente. Si la condición se vuelve a escribir sin errores, entonces debe volver a calcular los determinantes usando la expansión en otra fila (columna).

2) Si no se encontraron errores como resultado de la verificación, lo más probable es que se haya cometido un error tipográfico en la condición de la asignación. En este caso, resuelva la tarea con calma y CUIDADOSAMENTE hasta el final, y luego asegúrese de comprobar y redactarlo en copia limpia después de la decisión. Por supuesto, verificar una respuesta fraccionaria es una tarea desagradable, pero será un argumento convincente para el maestro, a quien, bueno, realmente le gusta poner un menos por cualquier cosa mala. La forma de tratar con fracciones se detalla en la respuesta del Ejemplo 8.

Si tiene una computadora a mano, use un programa automatizado para verificarla, que se puede descargar de forma gratuita al comienzo de la lección. Por cierto, es más ventajoso usar el programa de inmediato (incluso antes de comenzar la solución), ¡verá inmediatamente el paso intermedio en el que cometió un error! La misma calculadora calcula automáticamente la solución del sistema utilizando el método matricial.

Segunda observación. De vez en cuando hay sistemas en cuyas ecuaciones faltan algunas variables, por ejemplo:

Aquí en la primera ecuación no hay variable, en la segunda no hay variable. En tales casos, es muy importante escribir correctamente y CUIDADOSAMENTE el determinante principal:
– se colocan ceros en lugar de las variables que faltan.
Por cierto, es racional abrir determinantes con ceros en la fila (columna) en la que se encuentra el cero, ya que hay un número notablemente menor de cálculos.

Ejemplo 10

Resuelve el sistema usando las fórmulas de Cramer.

Este es un ejemplo de auto-resolución (ejemplo final y respuesta al final de la lección).

Para el caso de un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, las fórmulas de Cramer se escriben según principios similares. Puede ver un ejemplo en vivo en la lección Propiedades de los determinantes. Reduciendo el orden del determinante - cinco determinantes de cuarto orden son bastante solucionables. Aunque la tarea ya recuerda mucho al zapato de un profesor en el pecho de un estudiante afortunado.

Solución del sistema usando la matriz inversa

El método de la matriz inversa es esencialmente un caso especial ecuación matricial(Ver Ejemplo No. 3 de la lección especificada).

Para estudiar esta sección, debe poder expandir los determinantes, encontrar la matriz inversa y realizar la multiplicación de matrices. Se proporcionarán enlaces relevantes a medida que avance la explicación.

Ejemplo 11

Resolver el sistema con el método matricial

Solución: Escribimos el sistema en forma matricial:
, dónde

Por favor mire el sistema de ecuaciones y las matrices. Por qué principio escribimos elementos en matrices, creo que todos lo entienden. El único comentario: si faltaran algunas variables en las ecuaciones, habría que poner ceros en los lugares correspondientes de la matriz.

Encontramos la matriz inversa por la fórmula:
, donde es la matriz traspuesta de complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la matriz .

Primero, tratemos con el determinante:

Aquí el determinante se expande por la primera línea.

¡Atención! Si , entonces la matriz inversa no existe y es imposible resolver el sistema por el método matricial. En este caso, el sistema se resuelve mediante la eliminación de incógnitas (método de Gauss).

Ahora necesitas calcular 9 menores y escribirlos en la matriz de menores

Referencia: Es útil saber el significado de los subíndices dobles en álgebra lineal. El primer dígito es el número de línea en el que se encuentra el elemento. El segundo dígito es el número de la columna en la que se encuentra el elemento:

Es decir, un subíndice doble indica que el elemento está en la primera fila, tercera columna, mientras que, por ejemplo, el elemento está en la 3ra fila, 2da columna

Deje que el sistema de ecuaciones lineales contenga tantas ecuaciones como el número de variables independientes, es decir tiene la forma

Estos sistemas de ecuaciones lineales se denominan cuadráticos. El determinante compuesto por los coeficientes de las variables independientes del sistema (1.5) se denomina determinante principal del sistema. Lo denotaremos con la letra griega D. Así,

Si en el determinante principal un arbitrario ( j th) columna, reemplácela con la columna de miembros libres del sistema (1.5), luego podemos obtener más norte determinantes auxiliares:

(j = 1, 2, …, norte). (1.7)

regla de Cramer resolver sistemas cuadráticos de ecuaciones lineales es el siguiente. Si el determinante principal D del sistema (1.5) es distinto de cero, entonces el sistema tiene una solución única, que se puede encontrar mediante las fórmulas:

Ejemplo 1.5. Resolver el sistema de ecuaciones usando el método de Cramer

Calculemos el determinante principal del sistema:

Dado que D¹0, el sistema tiene una solución única que se puede encontrar usando las fórmulas (1.8):

De este modo,

Acciones de matriz

1. Multiplicación de una matriz por un número. La operación de multiplicar una matriz por un número se define como sigue.

2. Para multiplicar una matriz por un número, necesitas multiplicar todos sus elementos por este número. Eso es

Ejemplo 1.6. .

Adición de matrices.

Esta operación se introduce sólo para matrices del mismo orden.

Para sumar dos matrices, es necesario sumar los elementos correspondientes de la otra matriz a los elementos de una matriz:

(1.10)
La operación de suma de matrices tiene las propiedades de asociatividad y conmutatividad.

Ejemplo 1.7. .

Multiplicación de matrices.

Si el número de columnas de la matriz PERO coincide con el número de filas de la matriz A, entonces para tales matrices se introduce la operación de multiplicación:

Así, al multiplicar la matriz PERO dimensiones metro´ norte a la matriz A dimensiones norte´ k obtenemos una matriz DE dimensiones metro´ k. En este caso, los elementos de la matriz DE se calculan de acuerdo con las siguientes fórmulas:

Problema 1.8. Encuentre, si es posible, el producto de matrices AB y licenciado en Letras:

Solución. 1) Para encontrar un trabajo AB, necesitas filas de matriz A multiplicar por columnas de matriz B:

2) Obra de arte licenciado en Letras no existe, porque el número de columnas de la matriz B no coincide con el número de filas de la matriz A.

matriz inversa. Resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma matricial

Matriz A- 1 se llama el inverso de una matriz cuadrada PERO si se cumple la igualdad:

por donde yo denota la matriz identidad del mismo orden que la matriz PERO:

Para que una matriz cuadrada tenga inversa, es necesario y suficiente que su determinante sea distinto de cero. La matriz inversa se encuentra mediante la fórmula:

dónde Un ij- adiciones algebraicas a los elementos aij matrices PERO(nótese que las adiciones algebraicas a las filas de la matriz PERO están dispuestos en la matriz inversa en forma de columnas correspondientes).

Ejemplo 1.9. Encuentra la matriz inversa A- 1 a matriz

Encontramos la matriz inversa por la fórmula (1.13), que para el caso norte= 3 parece:

Vamos a encontrar det A = | A| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Dado que el determinante de la matriz original es diferente de cero, entonces existe la matriz inversa.

1) Encuentra sumas algebraicas Un ij:

Por conveniencia de encontrar la matriz inversa, colocamos las sumas algebraicas a las filas de la matriz original en las columnas correspondientes.

A partir de las sumas algebraicas obtenidas, componemos una nueva matriz y la dividimos por el determinante det A. Así, obtendremos la matriz inversa:

Los sistemas cuadráticos de ecuaciones lineales con un determinante principal distinto de cero se pueden resolver utilizando una matriz inversa. Para ello, el sistema (1.5) se escribe en forma matricial:

Multiplicando ambos lados de la igualdad (1.14) a la izquierda por A- 1, obtenemos la solución del sistema:

Por lo tanto, para encontrar una solución a un sistema cuadrado, debe encontrar la matriz inversa a la matriz principal del sistema y multiplicarla a la derecha por la matriz columna de términos libres.

Problema 1.10. Resolver un sistema de ecuaciones lineales

utilizando una matriz inversa.

Solución. Escribimos el sistema en forma matricial: ,

donde es la matriz principal del sistema, es la columna de incógnitas y es la columna de términos libres. Dado que el determinante principal del sistema es , entonces la matriz principal del sistema PERO tiene una matriz inversa PERO-una . Para encontrar la matriz inversa PERO-1 , calcula los complementos algebraicos de todos los elementos de la matriz PERO:

A partir de los números obtenidos, componemos una matriz (además, sumas algebraicas a las filas de la matriz PERO escribir en las columnas correspondientes) y dividirlo por el determinante D. Así, hemos encontrado la matriz inversa:

La solución del sistema se encuentra mediante la fórmula (1.15):

De este modo,

Resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales por Excepciones de Jordan Ordinario

Sea dado un sistema arbitrario (no necesariamente cuadrado) de ecuaciones lineales:

Se requiere encontrar una solución al sistema, es decir, tal conjunto de variables que satisface todas las igualdades del sistema (1.16). A caso general El sistema (1.16) puede tener no solo una solución, sino también un número infinito de soluciones. También puede no tener soluciones en absoluto.

Al resolver tales problemas, se utiliza el método de eliminación de incógnitas, bien conocido del curso escolar, que también se denomina método de eliminaciones ordinarias de Jordan. esencia este método radica en que en una de las ecuaciones del sistema (1.16) una de las variables se expresa en términos de otras variables. Luego esta variable se sustituye en otras ecuaciones del sistema. El resultado es un sistema que contiene una ecuación y una variable menos que el sistema original. Se recuerda la ecuación a partir de la cual se expresó la variable.

Este proceso se repite hasta que queda una última ecuación en el sistema. En el proceso de eliminación de incógnitas, algunas ecuaciones pueden convertirse en verdaderas identidades, por ejemplo. Tales ecuaciones están excluidas del sistema, ya que son válidas para cualquier valor de las variables y, por lo tanto, no afectan la solución del sistema. Si, en el proceso de eliminación de incógnitas, al menos una ecuación se convierte en una igualdad que no se puede satisfacer para ningún valor de las variables (por ejemplo, ), entonces concluimos que el sistema no tiene solución.

Si en el curso de la resolución de ecuaciones inconsistentes no surgieron, entonces una de las variables restantes se encuentra a partir de la última ecuación. Si solo queda una variable en la última ecuación, entonces se expresa como un número. Si quedan otras variables en la última ecuación, entonces se consideran parámetros, y la variable expresada a través de ellos será una función de estos parámetros. Luego se realiza el llamado "movimiento inverso". La variable encontrada se sustituye en la última ecuación memorizada y se encuentra la segunda variable. Luego las dos variables encontradas se sustituyen en la penúltima ecuación memorizada y se encuentra la tercera variable, y así sucesivamente, hasta la primera ecuación memorizada.

Como resultado, obtenemos la solución del sistema. Esta solución será la única si las variables encontradas son números. Si la primera variable encontrada, y luego todas las demás dependen de los parámetros, entonces el sistema tendrá un número infinito de soluciones (cada conjunto de parámetros corresponde a una nueva solución). Las fórmulas que permiten encontrar una solución al sistema en función de un conjunto particular de parámetros se denominan solución general del sistema.

Ejemplo 1.11.

X

Después de memorizar la primera ecuación y traer términos similares en la segunda y tercera ecuaciones, llegamos al sistema:

Expresar y de la segunda ecuación y sustituirlo en la primera ecuación:

Recuerda la segunda ecuación, y de la primera encontramos z:

Haciendo el movimiento inverso, encontramos sucesivamente y y z. Para hacer esto, primero sustituimos en la última ecuación memorizada, de la cual encontramos y:

Luego sustituimos y en la primera ecuación memorizada, de la cual encontramos X:

Problema 1.12. Resolver un sistema de ecuaciones lineales eliminando incógnitas:

Solución. Expresemos la variable de la primera ecuación X y lo sustituimos en la segunda y tercera ecuaciones:

En este sistema, la primera y la segunda ecuación se contradicen. En efecto, expresar y de la primera ecuación y sustituyéndola en la segunda ecuación, obtenemos que 14 = 17. Esta igualdad no se cumple, para cualquier valor de las variables X, y, y z. En consecuencia, el sistema (1.17) es inconsistente, es decir, no tiene solucion

Se invita a los lectores a verificar de forma independiente que el determinante principal del sistema original (1.17) es igual a cero.

Considere un sistema que difiere del sistema (1.17) por solo un término libre.

Problema 1.13. Resolver un sistema de ecuaciones lineales eliminando incógnitas:

Solución. Como antes, expresamos la variable de la primera ecuación X y lo sustituimos en la segunda y tercera ecuaciones:

Recuerda la primera ecuación y da términos similares en la segunda y tercera ecuaciones. Llegamos al sistema:

expresando y de la primera ecuación y sustituyéndola en la segunda ecuación, obtenemos la identidad 14 = 14, que no afecta la solución del sistema y, por lo tanto, se puede excluir del sistema.

En la última igualdad memorizada, la variable z será considerado como un parámetro. Creemos . Después

Sustituto y y z en la primera igualdad memorizada y encontrar X:

Por tanto, el sistema (1.18) tiene un conjunto infinito de soluciones, y cualquier solución se puede encontrar a partir de las fórmulas (1.19) eligiendo un valor arbitrario del parámetro t:

(1.19)
Así, las soluciones del sistema, por ejemplo, son los siguientes conjuntos de variables (1; 2; 0), (2; 26; 14), etc. Las fórmulas (1.19) expresan la solución general (cualquiera) del sistema (1.18 ).

En el caso de que el sistema original (1.16) tenga un número suficientemente grande de ecuaciones e incógnitas, el método indicado de eliminaciones ordinarias de Jordan parece engorroso. Sin embargo, no lo es. Basta con derivar un algoritmo para volver a calcular los coeficientes del sistema en un paso en forma general y formalizar la solución del problema en forma de tablas de Jordan especiales.

Sea dado un sistema de formas lineales (ecuaciones):

, (1.20)
dónde xj- variables independientes (deseadas), aij- coeficientes constantes
(yo = 1, 2,…, metro; j = 1, 2,…, norte). Partes correctas del sistema y yo (yo = 1, 2,…, metro) pueden ser tanto variables (dependientes) como constantes. Se requiere encontrar soluciones a este sistema eliminando incógnitas.

Consideremos la siguiente operación, en lo sucesivo denominada "un paso de las excepciones ordinarias de Jordan". De un arbitrario ( r th) igualdad, expresamos una variable arbitraria ( x s) y sustituir en todas las demás igualdades. Por supuesto, esto sólo es posible si una rs¹ 0. Coeficiente una rs se denomina elemento de resolución (a veces guía o principal).

Obtendremos el siguiente sistema:

De s a igualdad del sistema (1.21), encontraremos posteriormente la variable x s(después de encontrar otras variables). S La línea th es recordada y posteriormente excluida del sistema. El sistema restante contendrá una ecuación y una variable independiente menos que el sistema original.

Calculemos los coeficientes del sistema resultante (1.21) en términos de los coeficientes del sistema original (1.20). Empecemos con rª ecuación, que, después de expresar la variable x s a través del resto de las variables se verá así:

Así, los nuevos coeficientes rª ecuación se calculan mediante las siguientes fórmulas:

(1.23)
Calculemos ahora los nuevos coeficientes b ij(i¹ r) de una ecuación arbitraria. Para ello, sustituimos la variable expresada en (1.22) x s en iª ecuación del sistema (1.20):

Después de traer términos semejantes, obtenemos:

(1.24)
De la igualdad (1.24) obtenemos fórmulas mediante las cuales se calculan los restantes coeficientes del sistema (1.21) (a excepción de rª ecuación):

(1.25)
La transformación de sistemas de ecuaciones lineales por el método de eliminaciones jordanas ordinarias se presenta en forma de tablas (matrices). Estas tablas se denominan "tablas Jordan".

Así, el problema (1.20) está asociado con la siguiente tabla de Jordan:

Tabla 1.1

	X 1	X 2	…	xj	…	x s	…	x norte
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1norte
…………………………………………………………………..
y yo=	un yo 1	un yo 2		aij		un es		una entrada
…………………………………………………………………..
año=	una r 1	una r 2		un rj		una rs		un rn
………………………………………………………………….
S n=	soy 1	soy 2		un mj		una sra.		amén

La tabla de Jordan 1.1 contiene la columna de cabecera izquierda, en la que se escriben las partes derechas del sistema (1.20), y la línea de cabecera superior, en la que se escriben las variables independientes.

Los elementos restantes de la tabla forman la matriz principal de coeficientes del sistema (1.20). Si multiplicamos la matriz PERO a la matriz que consta de los elementos de la fila del encabezado superior, luego obtenemos la matriz que consta de los elementos de la columna del encabezado izquierdo. Es decir, en esencia, la tabla de Jordan es una forma matricial de escribir un sistema de ecuaciones lineales: . En este caso, la siguiente tabla de Jordan corresponde al sistema (1.21):

Tabla 1.2

	X 1	X 2	…	xj	…	año	…	x norte
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 norte
…………………………………………………………………..
y yo =	b yo 1	b yo 2		b ij		b es		b en
…………………………………………………………………..
x s =	hermano 1	hermano 2		b rj		hermanos		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		bmj		b ms		bmn

elemento permisivo una rs destacaremos en negrita. Recuerde que para implementar un paso de las excepciones de Jordan, el elemento de resolución debe ser distinto de cero. Una fila de la tabla que contiene un elemento permisivo se denomina fila permisiva. La columna que contiene el elemento de habilitación se denomina columna de habilitación. Al pasar de una tabla dada a la tabla siguiente, una variable ( x s) de la fila de encabezado superior de la tabla se mueve a la columna de encabezado de la izquierda y, a la inversa, uno de los miembros libres del sistema ( año) se mueve de la columna de encabezado izquierda de la tabla a la fila de encabezado superior.

Describamos el algoritmo para recalcular los coeficientes al pasar de la tabla de Jordan (1.1) a la tabla (1.2), que se deriva de las fórmulas (1.23) y (1.25).

1. El elemento habilitante se reemplaza por el número inverso:

2. Los restantes elementos de la línea permisiva se dividen por el elemento permisivo y cambian de signo al contrario:

3. Los elementos restantes de la columna de habilitación se dividen en el elemento de habilitación:

4. Los elementos que no están incluidos en la fila de resolución y la columna de resolución se vuelven a calcular de acuerdo con las fórmulas:

La última fórmula es fácil de recordar si notas que los elementos que componen la fracción están en la intersección i-Oh y r-ésimas líneas y j y s-th columnas (fila de resolución, columna de resolución y la fila y la columna en la intersección de las cuales se encuentra el elemento que se va a recalcular). Más precisamente, al memorizar la fórmula, puede usar el siguiente diagrama:

-21 -26 -13 -37

Realizando el primer paso de las excepciones jordanas, cualquier elemento de la Tabla 1.3 ubicado en las columnas X 1 ,…, X 5 (todos los elementos especificados no son iguales a cero). No solo debe seleccionar el elemento habilitador en la última columna, porque necesidad de encontrar variables independientes X 1 ,…, X 5 . Elegimos, por ejemplo, el coeficiente 1 con una variable X 3 en la tercera fila de la tabla 1.3 (el elemento habilitador se muestra en negrita). Al pasar a la tabla 1.4, la variable X El 3 de la fila superior del encabezado se intercambia con el 0 constante de la columna izquierda del encabezado (tercera fila). Al mismo tiempo, la variable X 3 se expresa en términos de las restantes variables.

cuerda X 3 (Tabla 1.4) puede, habiendo recordado previamente, ser excluida de la Tabla 1.4. La Tabla 1.4 también excluye la tercera columna con un cero en la línea superior del encabezado. El punto es que independientemente de los coeficientes de esta columna b yo 3 todos los términos que le corresponden de cada ecuación 0 b yo 3 sistemas serán iguales a cero. Por lo tanto, estos coeficientes no se pueden calcular. Eliminando una variable X 3 y recordando una de las ecuaciones, llegamos a un sistema correspondiente a la Tabla 1.4 (con la línea tachada X 3). Eligiendo en la tabla 1.4 como elemento resolutorio b 14 = -5, vaya a la tabla 1.5. En la tabla 1.5, recordamos la primera fila y la excluimos de la tabla junto con la cuarta columna (con cero en la parte superior).

Cuadro 1.5 Cuadro 1.6

De la última tabla 1.7 encontramos: X 1 = - 3 + 2X 5 .

Sustituyendo secuencialmente las variables ya encontradas en las líneas memorizadas, encontramos las variables restantes:

Por lo tanto, el sistema tiene un número infinito de soluciones. variable X 5, puede asignar valores arbitrarios. Esta variable actúa como un parámetro. X 5 = t. Probamos la compatibilidad del sistema y encontramos su solución general:

X 1 = - 3 + 2t

X 2 = - 1 - 3t

X 3 = - 2 + 4t . (1.27)
X 4 = 4 + 5t

X 5 = t

Dando parámetro t diferentes valores, obtenemos un número infinito de soluciones para el sistema original. Entonces, por ejemplo, la solución del sistema es el siguiente conjunto de variables (- 3; - 1; - 2; 4; 0).