Se muestra cómo reconocer una ecuación diferencial homogénea generalizada. Se considera un método para resolver una ecuación diferencial homogénea generalizada de primer orden. se da un ejemplo solución detallada tal ecuación.

Contenido

Definición

Una ecuación diferencial homogénea generalizada de primer orden es una ecuación de la forma:
, donde ≠ 0 , α ≠ 1 , f - función.

Cómo determinar si una ecuación diferencial es homogénea generalizada

Para determinar si una ecuación diferencial es homogénea generalizada, necesitamos introducir una constante t y hacer la sustitución:
y → t α y , X → t X .
Si logramos elegir un valor α en el que la constante t disminuirá, entonces esto es: ecuación diferencial homogénea generalizada. El cambio en la derivada y′ bajo tal reemplazo tiene la forma:
.

Ejemplo

Determine si la ecuación dada es homogénea generalizada:
.

Hacemos el cambio y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 año:
;
.
Dividir por t α+ 5 :
;
.
La ecuación no contendrá t si
4a - 6 = 0, α = 3/2 .
Ya que para α = 3/2 , t se reduce, entonces esta es una ecuacion homogenea generalizada.

método de solución

Considere la ecuación diferencial homogénea generalizada de primer orden:
(1) .
Demostremos que se puede reducir a una ecuación homogénea por sustitución:
t = xα.
En realidad,
.
De aquí
; .
(1) :
;
.

Esta es una ecuación homogénea. Se resuelve por sustitución:
y = zt,
donde z es una función de t.
Al resolver problemas, es más fácil aplicar inmediatamente la sustitución:
y = z x α ,
donde z es una función de x .

Un ejemplo de resolución de una ecuación diferencial homogénea generalizada de primer orden

Resolver ecuación diferencial
(pág. 1) .

Comprobemos si la ecuación dada es homogénea generalizada. Por esto en (pág. 1) haciendo una sustitución:
y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 año.
.
Dividir por t α :
.
t disminuirá si ponemos α = - 1 . Así que esta es una ecuación homogénea generalizada.

Hacemos una sustitución:
y = z x α = z x - 1 ,
donde z es una función de x .
.
Sustituimos en la ecuación original (pág. 1):
(pág. 1) ;
;
.
Multiplica por x y abre los paréntesis:
;
;
.
Dividir variables - multiplicar por dx y dividir por x z 2 . Para z ≠ 0 tenemos:
.
Integramos usando la tabla de integrales:
;
;
;
.
Potenciar:
.
Reemplazamos la constante e C → C y eliminamos el signo del módulo, ya que la elección del signo deseado está determinada por la elección del signo de la constante C:
.

Volvemos a la variable y. Sustituye z = xy :
.
Dividir por x:
(pág. 2) .

Cuando dividimos por z 2 , asumimos que z ≠ 0 . Ahora considere la solución z = xy = 0 , o y = 0 .
Ya que para y = 0 , el lado izquierdo de la expresión (pág. 2) no está definida, entonces a la integral general obtenida le sumamos la solución y = 0 .

;
.

Referencias:
NUEVO MÉJICO. Gunther, RO Kuzmin, Colección de problemas de matemáticas superiores, Lan, 2003.

Al hacer clic en el botón "Descargar archivo", descargará el archivo que necesita de forma gratuita.
Antes de descargar este archivo, recuerde esos buenos ensayos, control, trabajos finales, tesis, artículos y otros documentos que yacen sin reclamar en su computadora. Este es su trabajo, debe participar en el desarrollo de la sociedad y beneficiar a las personas. Encuentre estos trabajos y envíelos a la base de conocimiento.
Nosotros y todos los estudiantes, estudiantes de posgrado, jóvenes científicos que utilizan la base de conocimientos en sus estudios y trabajos le estaremos muy agradecidos.

Para descargar un archivo con un documento, ingrese un número de cinco dígitos en el campo a continuación y haga clic en el botón "Descargar archivo"

Documentos similares

Problemas de Cauchy para ecuaciones diferenciales. Gráfica de la solución de la ecuación diferencial de primer orden. Ecuaciones con variables separables y reductoras a homogéneas. Ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas de primer orden. ecuación de Bernoulli.

conferencia, agregada el 18/08/2012


Conceptos básicos de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Signo de la ecuación en diferenciales totales, construcción de la integral general. Los casos más simples de encontrar el factor de integración. El caso de un multiplicador que depende solo de X y solo de Y.

documento final, agregado el 24/12/2014


Peculiaridades de las ecuaciones diferenciales como relaciones entre funciones y sus derivadas. Demostración del teorema de existencia y unicidad de la solución. Ejemplos y algoritmo para resolver ecuaciones en diferenciales totales. Factor integrante en ejemplos.

documento final, agregado el 11/02/2014


Ecuaciones diferenciales Riccati. Solución general de una ecuación lineal. Encontrar todas las posibles soluciones de la ecuación diferencial de Bernoulli. Solución de ecuaciones con variables separables. Soluciones generales y especiales de la ecuación diferencial de Clairaut.

trabajo final, agregado el 26/01/2015


Una ecuación con variables separables. Ecuaciones diferenciales homogéneas y lineales. Propiedades geométricas de las curvas integrales. Diferencial total de una función de dos variables. Determinación de la integral por métodos de Bernoulli y variaciones de una constante arbitraria.

resumen, añadido el 24/08/2015


Conceptos y soluciones de las ecuaciones diferenciales más simples y ecuaciones diferenciales de orden arbitrario, incluidas aquellas con coeficientes analíticos constantes. Sistemas de ecuaciones lineales. Comportamiento asintótico de soluciones de algunos sistemas lineales.

tesis, agregada el 10/06/2010


Integral general de la ecuación, aplicación del método de Lagrange para la resolución de una ecuación lineal no homogénea con función desconocida. Solución de una ecuación diferencial en forma paramétrica. Condición de Euler, ecuación de primer orden en diferenciales totales.

trabajo de control, añadido el 02/11/2011

definitivamente 1 tipo de control

llamó ecuación diferencial homogénea de primer orden(ODA).

Th1 Deje que se cumplan las siguientes condiciones para la función:

1) continuo en

Entonces ODE (1) tiene una integral común, que para está dada por la fórmula:

donde es alguna antiderivada de la función Con es una constante arbitraria.

Observación 1 Si, para algunos, se cumple la condición, entonces en el proceso de resolver ODE (1), las soluciones de la forma pueden perderse; tales casos deben tratarse con más cuidado y cada uno de ellos debe verificarse por separado.

Así del teorema Th1 debería algoritmo general para resolver ODE (1):

1) Hacer un reemplazo:

2) De esta forma se obtendrá una ED con variables separables, las cuales deberán ser integradas;

3) Volver a las antiguas variables g;

4) Comprobar los valores para su implicación en la solución control remoto original, bajo la cual la condición

5) Escriba la respuesta.

Ejemplo 1 Resuelve ED (4).

Solución: DE (4) es una ecuación diferencial homogénea, ya que tiene la forma (1). Hagamos el reemplazo (3), esto traerá la ecuación (4) a la forma:

La ecuación (5) es la integral general de DE (4).

Nótese que al separar variables y dividir por, se podrían perder soluciones, pero no es una solución a ED (4), lo cual se verifica fácilmente por sustitución directa en la igualdad (4), ya que este valor no está incluido en el dominio de definición del DE original.

Responder:

Observación 2 A veces uno puede escribir EDO en términos de diferenciales de variables X y y. Se recomienda pasar de esta notación DE a la expresión a través de la derivada y solo entonces realizar el reemplazo (3).

Reducción de ecuaciones diferenciales a homogéneas.

definitivamente 2 La función se llama función homogénea de grado k en el área de, para lo cual se cumplirá la igualdad:

Estos son los tipos más comunes de DE que se pueden reducir a la forma (1) después de varias transformaciones.

1) donde esta la funcion es homogéneo, grado cero, es decir, se cumple la siguiente igualdad: DE (6) se puede reducir fácilmente a la forma (1) si ponemos , que se integra aún más usando el reemplazo (3).

2) (7), donde las funciones son homogéneas del mismo grado k . El DE de la forma (7) también se integra utilizando el cambio (3).

Ejemplo 2 Resuelve ED (8).

Solución: Demostremos que DE (8) es homogénea. Dividimos por lo que es posible, ya que no es una solución a la ecuación diferencial (8).

Hagamos el reemplazo (3), esto traerá la ecuación (9) a la forma:

La ecuación (10) es la integral general de DE (8).

Nótese que al separar variables y dividir por , se podrían perder las soluciones correspondientes a los valores de y . Revisemos estas expresiones. Vamos a sustituirlos en DE (8):

Responder:

Es interesante notar que al resolver este ejemplo aparece una función llamada el "signo" del número X(leer " signo x”), definida por la expresión:

Observación 3 No es necesario llevar DE (6) o (7) a la forma (1), si es obvio que el DE es homogéneo, entonces es posible reemplazarlo inmediatamente

3) La ED de la forma (11) se integra como una EDO si , mientras que inicialmente se realiza la sustitución:

(12), donde es la solución del sistema: (13), y luego usar el reemplazo (3) para la función.Después de obtener la integral general, regrese a las variables X y a.

Si , entonces, asumiendo en la ecuación (11), obtenemos una ED con variables separables.

Ejemplo 3 Resuelve el problema de Cauchy (14).

Solución: Demostremos que DE (14) se reduce a una DE homogénea e integra según el esquema anterior:

Resolveremos un sistema no homogéneo de lineales ecuaciones algebraicas(15) Método de Cramer:

Hacemos un cambio de variables e integramos la ecuación resultante:

(16) – Integral general de DE (14). Al dividir variables, se podrían perder soluciones al dividir por una expresión, que se puede obtener explícitamente después de resolver una ecuación cuadrática. Sin embargo, se tienen en cuenta en la integral general (16) en

Encontremos una solución al problema de Cauchy: sustituimos los valores de y en la integral general (16) y encontramos Con.

Así, la integral parcial vendrá dada por la fórmula:

Responder:

4) Es posible convertir algunas ED en homogéneas para una función nueva, aún desconocida, si aplicamos una sustitución de la forma:

Al mismo tiempo, el número metro se selecciona a partir de la condición de que la ecuación resultante, si es posible, se vuelve homogénea hasta cierto punto. Sin embargo, si esto no se puede hacer, entonces el ED considerado no se puede reducir a uno homogéneo de esta manera.

Ejemplo 4 Resuelve DU. (Dieciocho)

Solución: Demostremos que DE (18) se reduce a un DE homogéneo usando la sustitución (17) y luego se integra usando el reemplazo (3):

Encontremos Con:

Así, una solución particular de ED (24) tiene la forma

.
Ecuaciones diferenciales.

§ 1. Conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Definición 1. Ecuación diferencial ordinaria norte-ésimo orden para la función y argumento X se llama una relación de la forma

dónde F es una función dada de sus argumentos. En el nombre de esta clase de ecuaciones matemáticas, el término "diferencial" enfatiza que incluyen derivadas
(funciones formadas como resultado de la diferenciación); el término - "ordinario" dice que la función deseada depende de un solo argumento real.

Una ecuación diferencial ordinaria puede no contener explícitamente un argumento X, función deseada
y cualquiera de sus derivados, pero el derivado más alto
debe incluirse en la ecuación norte- ordenar. Por ejemplo

a)
es la ecuación de primer orden;

b)
es una ecuación de tercer orden.

Al escribir ecuaciones diferenciales ordinarias, a menudo se usa la notación de derivadas a través de diferenciales:

en)
es una ecuación de segundo orden;

GRAMO)
es la ecuación de primer orden,

formado después de la división por dx forma equivalente de la ecuación:
.

Función
se llama solución de una ecuación diferencial ordinaria si, al sustituirla, se convierte en una identidad.

Por ejemplo, la ecuación de tercer orden

tiene una solución
.

Encontrar por un método u otro, por ejemplo, selección, una función que satisface una ecuación no significa resolverla. Resolver una ecuación diferencial ordinaria significa encontrar todos funciones que forman una identidad cuando se sustituyen en la ecuación. Para la ecuación (1.1), la familia de tales funciones se forma con la ayuda de constantes arbitrarias y se denomina solución general de la ecuación diferencial ordinaria norte th orden, y el número de constantes coincide con el orden de la ecuación: y(X) : En este caso, la solución se llama integral general de la ecuación (1.1).

Por ejemplo, la solución general de la ecuación diferencial
es la siguiente expresión: , y el segundo término también se puede escribir como
, ya que una constante arbitraria dividido por 2 puede ser reemplazado por una nueva constante arbitraria .

Al establecer algunos valores admisibles para todas las constantes arbitrarias en la solución general o en la integral general, obtenemos una determinada función que ya no contiene constantes arbitrarias. Esta función se llama solución particular o integral particular de la ecuación (1.1). Para encontrar los valores de las constantes arbitrarias, y por ende la solución particular, se utilizan varias condiciones adicionales a la ecuación (1.1). Por ejemplo, las llamadas condiciones iniciales para (1.2) se pueden dar

En las partes derechas de las condiciones iniciales (1.2), se dan los valores numéricos de la función y las derivadas, y el número total de condiciones iniciales es igual al número de constantes arbitrarias que se determinan.

El problema de encontrar una solución particular a la ecuación (1.1) a partir de las condiciones iniciales se denomina problema de Cauchy.

§ 2. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden - conceptos básicos.

Ecuación diferencial ordinaria de primer orden ( norte=1) tiene la forma:
o, si puede resolverse respecto del derivado:
. decisión común y= y(X,DE) o integral general
Las ecuaciones de primer orden contienen una constante arbitraria. La única condición inicial para la ecuación de primer orden
le permite determinar el valor de la constante a partir de la solución general o de la integral general. Así, se encontrará una solución particular o, lo que es lo mismo, se resolverá el problema de Cauchy. La cuestión de la existencia y unicidad de una solución al problema de Cauchy es una de las cuestiones centrales en teoría general ecuaciones diferenciales ordinarias. Para una ecuación de primer orden, en particular, es válido el teorema, que se acepta aquí sin demostración.

Teorema 2.1. Si en la ecuación la función
y su derivada parcial
continua en alguna zona D plano XOY, y se da un punto en esta área
, entonces existe y, además, una solución única que satisface tanto la ecuación como condición inicial
.

Geométricamente decisión común Las ecuaciones de primer orden son una familia de curvas en el plano XOY, que no tiene puntos comunes y se diferencian entre sí por un parámetro: el valor de la constante C. Estas curvas se llaman curvas integrales para la ecuación dada. Las curvas integrales de la ecuación tienen una propiedad geométrica obvia: en cada punto, la tangente de la pendiente de la tangente a la curva es igual al valor del lado derecho de la ecuación en ese punto:
. En otras palabras, la ecuación está dada en el plano XOY campo de direcciones de tangentes a curvas integrales. Comentario: Cabe señalar que para la ecuación
se dan la ecuación y la llamada ecuación en forma simétrica
.

§ 3. Ecuaciones diferenciales de primer orden con variables separables.

Definición. Una ecuación diferencial con variables separables es una ecuación de la forma
(3.1)

o una ecuación de la forma (3.2)

Para separar las variables en la ecuación (3.1), es decir, reducir esta ecuación a la llamada ecuación con variables separadas, realizar las siguientes acciones:

;

Ahora tenemos que resolver la ecuación. gramo(y)= 0 . si tiene solucion real y= a, después y= a será también una solución de la ecuación (3.1).

La ecuación (3.2) se reduce a una ecuación variable separada dividiendo por el producto
:

, lo que nos permite obtener la integral general de la ecuación (3.2):
. (3.3)

Las curvas integrales (3.3) se complementarán con las soluciones
si tales soluciones existen.

Resuelve la ecuación: .

Separación de variables:

.

Integrando, obtenemos

Más allá de las ecuaciones
y
encontrar X=1, y=-1. Estas decisiones son decisiones privadas.

§ 4. Ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden.

Definición 1. Una ecuación de primer orden se llama homogénea si por su lado derecho para cualquier
el radio
, llamada condición de homogeneidad de una función de dos variables dimensión cero.

Ejemplo 1 Mostrar esa función
- medida del cero homogéneo.

Solución.

,

QED

Teorema. Cualquier función
es homogénea y, a la inversa, cualquier función homogénea
la dimensión cero se reduce a la forma
.

Prueba.

La primera afirmación del teorema es obvia, ya que
. Probemos la segunda afirmación. Pongamos
, entonces para una función homogénea
, que debía probarse.

Definición 2. Ecuación (4.1)

donde METRO y norte son funciones homogéneas del mismo grado, es decir tener la propiedad para todos , se llama homogénea.

Obviamente, esta ecuación siempre se puede reducir a la forma
(4.2), aunque esto no se puede hacer para resolverlo.

Una ecuación homogénea se reduce a una ecuación con variables separables reemplazando la función deseada y según la fórmula y= zx, dónde z(X) es la nueva función deseada. Después de realizar esta sustitución en la ecuación (4.2), obtenemos:
o
o
.

Integrando, obtenemos la integral general de la ecuación con respecto a la función z(X)
, que después de reemplazo repetido
da la integral general de la ecuación original. Además, si - raíces de la ecuación
, entonces las funciones
- soluciones de una ecuación homogénea dada. Si
, entonces la ecuación (4.2) toma la forma

y se convierte en una ecuación con variables separables. Sus soluciones son semidirectas:
.

Comentario. A veces es aconsejable en lugar de la sustitución anterior utilizar la sustitución X= zy.

§ 5. Ecuaciones diferenciales que se reducen a homogéneas.

Considere una ecuación de la forma
. (5.1)

si un
, entonces esta ecuación es por sustitución , donde y son nuevas variables, y - alguno números constantes determinada por el sistema

Reducido a una ecuación homogénea

si un
, entonces la ecuación (5.1) toma la forma

.

Asumiendo z= hacha+ por, llegamos a una ecuación que no contiene una variable independiente.

Considere ejemplos.

Ejemplo 1

Integrar ecuación

y resalte la curva integral que pasa por los puntos: a) (2;2); b) (1;-1).

Solución.

Pongamos y= zx. Después dy= xdz+ zdx y

Vamos a acortarlo por y reunir a los miembros en dx y dz:

Separemos las variables:

.

Integrando, obtenemos;

o
,
.

reemplazando aquí z sobre el , obtenemos la integral general de la ecuación dada en la forma (5.2)
o

.

Esta familia de círculos
, cuyos centros se encuentran en una línea recta y = X y que en el origen son tangentes a la recta y + X = 0. esta rectay = - X a su vez, una solución particular de la ecuación.

Ahora el modo de tareas de Cauchy:

A) suponiendo en la integral general X=2, y=2, encontrar C=2, por lo que la solución deseada es
.

B) ninguna de las circunferencias (5.2) pasa por el punto (1;-1). pero media linea y = - X,
pasa por el punto y da la solución deseada.

Ejemplo 2 Resuelve la ecuación: .

Solución.

La ecuación es un caso especial de la ecuación (5.1).

Determinante
en este ejemplo
, entonces necesitamos resolver el siguiente sistema

Resolviendo, obtenemos que
. Realizando la sustitución en la ecuación dada
, obtenemos una ecuación homogénea . Integrarlo con una sustitución
, encontramos
.

Volviendo a las variables antiguas X y y fórmulas
, tenemos .

§ 6. Ecuación homogénea generalizada.

La ecuacion METRO(X, y) dx+ norte(X, y) dy=0 se llama homogénea generalizada si es posible elegir tal número k que el lado izquierdo de esta ecuación se convierte en una función homogénea de algún grado metro relativamente X, y, dx y dy siempre que X se considera el valor de la primera medida, y – kª medida , dx y dy – cero y (k-1) las medidas. Por ejemplo, esta sería la ecuación
. (6.1)

Válido bajo la suposición hecha sobre las mediciones.

X, y, dx y dy miembros del lado izquierdo
y dy tendrá respectivamente dimensiones -2, 2 k y k-una. Igualándolos, obtenemos la condición de que el número buscado debe satisfacer k: -2 = 2k=k-una. Esta condición se cumple cuando k= -1 (con tal k todos los términos del lado izquierdo de la ecuación bajo consideración tendrán dimensión -2). En consecuencia, la ecuación (6.1) es homogénea generalizada.

La ecuación homogénea generalizada se reduce a una ecuación con variables separables usando la sustitución
, dónde z es una nueva función desconocida. Integramos la ecuación (6.1) por el método indicado. Porque k= -1, entonces
, después de lo cual obtenemos la ecuación .

Integrandolo, encontramos
, dónde
. Esta es la solución general de la ecuación (6.1).

§ 7. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Una ecuación lineal de primer orden es una ecuación que es lineal con respecto a la función deseada y su derivada. Parece que:

, (7.1)

dónde PAGS(X) y q(X) se les dan funciones continuas de X. Si la función
, entonces la ecuación (7.1) tiene la forma:
(7.2)

y se llama ecuación homogénea lineal, de lo contrario
se llama ecuación lineal no homogénea.

La ecuación diferencial homogénea lineal (7.2) es una ecuación con variables separables:

(7.3)

La expresión (7.3) es la solución general de la ecuación (7.2). Para encontrar una solución general de la ecuación (7.1) en la que la función PAGS(X) denota la misma función que en la ecuación (7.2), aplicamos el método denominado método de variación de una constante arbitraria y consiste en lo siguiente: intentaremos elegir la función C=C(X) de modo que la solución general de la ecuación lineal homogénea (7.2) sería la solución de la ecuación lineal no homogénea (7.1). Entonces para la derivada de la función (7.3) obtenemos:

.

Sustituyendo la derivada encontrada en la ecuación (7.1), tendremos:

o
.

Dónde
, donde es una constante arbitraria. Como resultado, la solución general de la ecuación lineal no homogénea (7.1) será (7.4)

El primer término de esta fórmula representa la solución general (7.3) de la ecuación diferencial lineal homogénea (7.2), y el segundo término de la fórmula (7.4) es una solución particular de la ecuación lineal no homogénea (7.1) obtenida a partir de la ecuación general (7.4 ) con
. Señalemos esta importante conclusión en forma de teorema.

Teorema. Si se conoce una solución particular de una ecuación diferencial no homogénea lineal
, entonces todas las demás soluciones tienen la forma
, dónde
es la solución general de la ecuación diferencial homogénea lineal correspondiente.

Sin embargo, cabe señalar que otro método, a veces denominado método de Bernoulli, se utiliza con mayor frecuencia para resolver la ecuación diferencial no homogénea lineal de primer orden (7.1). Buscaremos una solución a la ecuación (7.1) en la forma
. Después
. Sustituimos la derivada encontrada en la ecuación original:
.

Combinemos, por ejemplo, el segundo y tercer término de la última expresión y saquemos la función tu(X) para corchetes:
(7.5)

Requerimos que el paréntesis desaparezca:
.

Resolvemos esta ecuación estableciendo una constante arbitraria C igual a cero:
. Con función encontrada v(X) volviendo a la ecuación (7.5):
.

Resolviéndolo, obtenemos:
.

Por tanto, la solución general de la ecuación (7.1) tiene la forma:

§ 8. Ecuación de Bernoulli.

Definición.

Ecuación diferencial de la forma
, dónde
, se llama la ecuación de Bernoulli.

Asumiendo que
, dividimos ambos lados de la ecuación de Bernoulli por . Como resultado, obtenemos:
(8.1)

Introducimos una nueva función.
. Después
. Multiplicamos la ecuación (8.1) por
y pasarlo a la función z(X) :
, es decir. para la función z(X) obtuvo una ecuación lineal no homogénea de primer orden. Esta ecuación se resuelve por los métodos discutidos en el párrafo anterior. Sustituyamos en su solución general en lugar de z(X) expresión
, obtenemos la integral general de la ecuación de Bernoulli, que se resuelve fácilmente con respecto a y. A
se agrega la solucion y(X)=0 . La ecuación de Bernoulli también se puede resolver sin hacer la transición a una ecuación lineal sustituyendo
, y aplicando el método de Bernoulli, discutido en detalle en § 7. Considere la aplicación de este método para resolver la ecuación de Bernoulli usando un ejemplo específico.

Ejemplo. Encuentre la solución general de la ecuación:
(8.2)

Solución.

Por lo tanto, la solución general de esta ecuación tiene la forma:
, y(X)=0.

§ 9. Ecuaciones diferenciales en diferenciales totales.

Definición. Si en la ecuación METRO(X, y) dx+ norte(X, y) dy=0 (9.1) el lado izquierdo es la diferencial total de alguna función tu(X, y) , entonces se llama ecuación en diferenciales totales. Esta ecuación se puede reescribir como du(X, y)=0 , por lo tanto, su integral general es tu(X, y)= C.

Por ejemplo, la ecuación xdy+ ydx=0 es una ecuación en diferenciales totales, ya que se puede reescribir en la forma d(xy)=0. La integral general será xy= C es una función diferenciable arbitraria. Derivamos (9.3) con respecto a u
§ 10. Factor integrante.

Si la ecuación METRO(X, y) dx + norte(X, y) dy = 0 no es una ecuación en diferenciales totales y hay una función µ = µ(X, y) , tal que después de multiplicar ambos lados de la ecuación por él, obtenemos la ecuación

µ(Mdx + Ndy) = 0 en diferenciales totales, es decir µ(Mdx + Ndy)du, entonces la función µ(X, y) se llama factor integrante de la ecuación. En el caso de que la ecuación ya sea una ecuación en diferenciales totales, suponemos m = 1.

Si se encuentra un factor integrante µ , entonces la integración de esta ecuación se reduce a multiplicar ambas partes por µ y encontrar la integral general de la ecuación resultante en diferenciales totales.

si un µ es una función continuamente diferenciable de X y y, después
.

De ello se deduce que el factor integrante µ satisface la siguiente PDE de primer orden:

(10.1).

Si se sabe de antemano que µ= µ(ω) , dónde ω es una función dada de X y y, entonces la ecuación (10.1) se reduce a una ecuación ordinaria (y, además, lineal) con una función desconocida µ de la variable independiente ω :

(10.2),

dónde
, es decir, la fracción es una función sólo de ω .

Resolviendo la ecuación (10.2), encontramos el factor integrante

, Con = 1.

En particular, la ecuación METRO(X, y) dx + norte(X, y) dy = 0 tiene un factor integrante que depende sólo de X(ω = X) o solo de y(ω = y) si se cumplen las siguientes condiciones, respectivamente:

,

,
.

Ecuaciones diferenciales de primer orden con variables separables.

Definición. Una ecuación diferencial con variables separables es una ecuación de la forma (3.1) o una ecuación de la forma (3.2)

Para separar las variables en la ecuación (3.1), es decir, reducir esta ecuación a la llamada ecuación con variables separadas, realizar las siguientes acciones: ;

Ahora tenemos que resolver la ecuación. g(y)=0. si tiene solucion real y=a, después y=a será también una solución de la ecuación (3.1).

La ecuación (3.2) se reduce a una ecuación con variables separadas dividiendo por el producto:

, lo que nos permite obtener la integral general de la ecuación (3.2): . (3.3)

Las curvas integrales (3.3) se complementarán con las soluciones si tales soluciones existen.

Ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden.

Definición 1. Una ecuación de primer orden se llama homogénea si la relación , llamada condición de homogeneidad para una función de dos variables de dimensión cero.

Ejemplo 1 Demostrar que la función es homogénea de dimensión cero.

Solución. ,

QED

Teorema. Toda función es homogénea y, a la inversa, toda función homogénea de dimensión cero se reduce a la forma .

Prueba. La primera afirmación del teorema es obvia, ya que . Probemos la segunda afirmación. Sea , entonces para una función homogénea , que debía probarse.

Definición 2. Ecuación (4.1) en la que METRO y norte son funciones homogéneas del mismo grado, es decir tiene la propiedad para todo , se llama homogéneo. Es obvio que esta ecuación siempre se puede reducir a la forma (4.2), aunque esto no se puede hacer para resolverla. Una ecuación homogénea se reduce a una ecuación con variables separables reemplazando la función deseada y según la fórmula y=zx, dónde z(x) es la nueva función deseada. Habiendo realizado esta sustitución en la ecuación (4.2), obtenemos: o o .

Integrando, obtenemos la integral general de la ecuación con respecto a la función z(x) , que después de reemplazos repetidos da la integral general de la ecuación original. Además, si son las raíces de la ecuación, entonces las funciones son soluciones de una ecuación dada homogénea. Si , entonces la ecuación (4.2) toma la forma

Y se convierte en una ecuación con variables separables. Sus soluciones son medias líneas: .

Comentario. A veces es aconsejable en lugar de la sustitución anterior utilizar la sustitución x=zy.

Ecuación homogénea generalizada.

La ecuacion M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 se llama homogénea generalizada si es posible elegir tal número k que el lado izquierdo de esta ecuación se convierte en una función homogénea de algún grado metro relativamente x, y, dx y dy siempre que X se considera el valor de la primera medida, y – k-ª medida , dx y dy- cero y (k-1) las medidas. Por ejemplo, esta sería la ecuación . (6.1) De hecho, bajo la suposición hecha sobre las mediciones x, y, dx y dy miembros del lado izquierdo y dy tendrá respectivamente dimensiones -2, 2 k y k-una. Igualándolos, obtenemos la condición de que el número buscado debe satisfacer k: -2 = 2k=k-una. Esta condición se cumple cuando k= -1 (con tal k todos los términos del lado izquierdo de la ecuación bajo consideración tendrán dimensión -2). En consecuencia, la ecuación (6.1) es homogénea generalizada.