Restaurar una función a partir de su diferencial total. Ecuaciones diferenciales en diferenciales totales

Teniendo la forma estándar $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, en la que el lado izquierdo es la diferencial total de alguna función $F \left(x,y\right)$ se llama una ecuación en diferenciales totales.

La ecuación diferencial total siempre se puede reescribir como $dF\left(x,y\right)=0$, donde $F\left(x,y\right)$ es una función tal que $dF\left(x, y \right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Integramos ambos lados de la ecuación $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; la integral del lado derecho cero es igual a una constante arbitraria $C$. De este modo, decisión común de esta ecuación en forma implícita tiene la forma $F\left(x,y\right)=C$.

Para que una ecuación diferencial dada sea una ecuación en diferenciales totales, es necesario y suficiente que se cumpla la condición $\frac(\parcial P)(\parcial y) =\frac(\parcial Q)(\parcial x) $ . Si esta condición se cumple, entonces existe una función $F\left(x,y\right)$ para la cual podemos escribir: $dF=\frac(\parcial F)(\parcial x) \cdot dx+\frac( \parcial F)(\parcial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, de donde obtenemos dos relaciones: $\ frac(\ F parcial)(\ x parcial) =P\left(x,y\right)$ y $\frac(\F parcial)(\y parcial) =Q\left(x,y\right)$.

Integramos la primera relación $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ sobre $x$ y obtenemos $F\left(x,y\right)=\int P\ izquierda(x,y\derecha)\cdot dx +U\izquierda(y\derecha)$ donde $U\izquierda(y\derecha)$ -- función arbitraria de $y$.

Elegímoslo de modo que se cumpla la segunda relación $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$. Para hacer esto, diferenciamos la relación resultante para $F\left(x,y\right)$ con respecto a $y$ e igualamos el resultado a $Q\left(x,y\right)$. Obtenemos: $\frac(\partial)(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left (x,y\derecha)$.

La siguiente solución es:

de la última igualdad encontramos $U"\left(y\right)$;
integra $U"\left(y\right)$ y encuentra $U\left(y\right)$;
sustituye $U\left(y\right)$ en $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ y finalmente obtenemos la función $F\left(x,y\right)$.

Encontramos la diferencia:

Integramos $U"\left(y\right)$ sobre $y$ y encontramos $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Encuentra el resultado: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cpunto x\cpunto y-2\cpunto y$.

Escribimos la solución general como $F\left(x,y\right)=C$, a saber:

Encuentre una solución particular $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, donde $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

Una solución particular tiene la forma: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

algunas funciones Si restauramos la función a partir de su diferencial total, entonces encontramos la integral general ecuación diferencial. A continuación hablaremos de el método de recuperar una función de su diferencial total.

El lado izquierdo de la ecuación diferencial es el diferencial total de alguna función U(x, y) = 0 si se cumple la condición.

Porque diferencial total de una función U(x, y) = 0 esto es , lo que significa que bajo las condiciones dicen que .

Después, .

De la primera ecuación del sistema se obtiene . Encontramos la función usando la segunda ecuación del sistema:

Por lo tanto, encontraremos la función deseada. U(x, y) = 0.

Ejemplo.

Encontremos la solución general de la ED .

Solución.

En nuestro ejemplo. La condición se cumple porque:

Entonces, el lado izquierdo de la ED inicial es el diferencial total de alguna función U(x, y) = 0. Necesitamos encontrar esta función.

Porque es la diferencial total de la función U(x, y) = 0, medio:

integrando sobre X 1ª ecuación del sistema y derivable con respecto a y resultado:

De la 2ª ecuación del sistema obtenemos . Medio:

Dónde DE es una constante arbitraria.

Así, y la integral general de la ecuación dada será .

hay un segundo método para calcular una función a partir de su diferencial total. Consiste en sacar la integral curvilínea de un punto fijo (x0, y0) a un punto con coordenadas variables (x, y): . En este caso, el valor de la integral es independiente del camino de integración. Es conveniente tomar como camino de integración una línea quebrada cuyos enlaces sean paralelos a los ejes de coordenadas.

Ejemplo.

Encontremos la solución general de la ED .

Solución.

Comprobamos el cumplimiento de la condición:

Por lo tanto, el lado izquierdo de la ED es el diferencial total de alguna función U(x, y) = 0. Encontramos esta función calculando la integral curvilínea del punto (1; 1) antes de (x, y). Tomamos una polilínea como camino de integración: recorreremos el primer tramo de la polilínea a lo largo de una línea recta y=1 desde el punto (1, 1) antes de (x, 1), como segundo tramo del camino tomamos un segmento de línea recta desde el punto (x, 1) antes de (x, y):

Así que la solución general de la DE se ve así: .

Ejemplo.

Definamos la solución general de DE.

Solución.

Porque , entonces la condición no se cumple, entonces el lado izquierdo de la ED no será el diferencial total de la función y necesita usar el segundo método de solución (esta ecuación es una ecuación diferencial con variables separables).

Muestra cómo reconocer una ecuación diferencial en diferenciales totales. Se dan métodos para su solución. Se da un ejemplo de cómo resolver una ecuación en diferenciales totales de dos maneras.

Contenido

Introducción

Una ecuación diferencial de primer orden en diferenciales totales es una ecuación de la forma:
(1) ,
donde el lado izquierdo de la ecuación es el diferencial total de alguna función U (x, y) en las variables x, y :
.
en donde .

Si tal función U (x, y), entonces la ecuación toma la forma:
dU (x, y) = 0.
Su integral general:
tu (x, y) = C,
donde C es una constante.

Si la ecuación diferencial de primer orden se escribe en términos de la derivada:
,
entonces es fácil llevarlo a la forma (1) . Para hacer esto, multiplique la ecuación por dx. Después . Como resultado, obtenemos una ecuación expresada en términos de diferenciales:
(1) .

Propiedad de una ecuación diferencial en diferenciales totales

Para que la ecuacion (1) es una ecuación en diferenciales totales, es necesario y suficiente que se cumpla la siguiente relación:
(2) .

Prueba

Además, suponemos que todas las funciones utilizadas en la prueba están definidas y tienen derivadas correspondientes en algún rango de x e y. punto x 0 , y0 también pertenece a esta zona.

Probemos la necesidad de la condición (2).
Sea el lado izquierdo de la ecuación (1) es la diferencial de alguna función U (x, y):
.
Después
;
.
Como la segunda derivada no depende del orden de derivación, entonces
;
.
De ahí se sigue que. Condición de necesidad (2) probado.

Probemos la suficiencia de la condición (2).
Deja que la condición (2) :
(2) .
Demostremos que es posible encontrar tal función U (x, y) que su diferencial es:
.
Esto significa que existe tal función U (x, y), que satisface las ecuaciones:
(3) ;
(4) .
Encontremos tal función. Integramos la ecuación (3) por x de x 0 a x , suponiendo que y es una constante:
;
;
(5) .
Diferenciar con respecto a y, suponiendo que x es una constante y aplicar (2) :

.
La ecuacion (4) será ejecutado si
.
Integrando sobre y desde y 0 juguete :
;
;
.
Sustituir en (5) :
(6) .
Así que hemos encontrado una función cuya diferencial es
.
Se ha probado la suficiencia.

en la fórmula (6) , tu (x0, y0) es una constante - el valor de la función U (x, y) en el punto x 0 , y0. Se le puede asignar cualquier valor.

Cómo reconocer una ecuación diferencial en diferenciales totales

Considere la ecuación diferencial:
(1) .
Para determinar si esta ecuación está en diferenciales completos, debe verificar la condición (2) :
(2) .
Si se cumple, entonces esta es una ecuación en diferenciales totales. Si no, entonces esta no es una ecuación en diferenciales totales.

Ejemplo

Comprueba si la ecuación está en diferenciales totales:
.

Aquí
, .
Deriva con respecto a y, suponiendo que x es constante:

.
diferenciando

.
Porque el:
,
entonces la ecuación dada está en diferenciales totales.

Métodos para resolver ecuaciones diferenciales en diferenciales totales

Método de extracción diferencial secuencial

La mayoría metodo sencillo resolver la ecuación en diferenciales totales es el método de extracción sucesiva del diferencial. Para hacer esto, usamos fórmulas de diferenciación escritas en forma diferencial:
du ± dv = d (u±v);
v du + u dv = re (uv);
;
.
En estas fórmulas, u y v son expresiones arbitrarias formadas por cualquier combinación de variables.

Ejemplo 1

Resuelve la ecuación:
.

Anteriormente encontramos que esta ecuación está en diferenciales totales. Vamos a transformarlo:
(P1) .
Resolvemos la ecuación resaltando sucesivamente el diferencial.
;
;
;
;

.
Sustituir en (P1):
;
.

Método de integración secuencial

En este método, buscamos la función U (x, y), satisfaciendo las ecuaciones:
(3) ;
(4) .

Integramos la ecuación (3) en x, suponiendo que y es constante:
.
Aquí φ (y) es una función arbitraria de y por definir. Es una constante de integración. Sustituimos en la ecuación (4) :
.
De aquí:
.
Integrando, encontramos φ (y) y por lo tanto U (x, y).

Ejemplo 2

Resolver la ecuación en diferenciales totales:
.

Anteriormente encontramos que esta ecuación está en diferenciales totales. Introduzcamos la notación:
, .
Buscando la función U (x, y), cuyo diferencial es el lado izquierdo de la ecuación:
.
Después:
(3) ;
(4) .
Integramos la ecuación (3) en x, suponiendo que y es constante:
(P2)
.
Diferenciar con respecto a y :

.
Sustituir en (4) :
;
.
Integramos:
.
Sustituir en (P2):

.
Integral general de la ecuación:
tu (x, y) = constante.
Combinamos dos constantes en una.

Método de integración a lo largo de una curva.

La función U definida por la relación:
dU=p (x, y) dx + q(x, y) dy,
se puede encontrar integrando esta ecuación a lo largo de la curva que conecta los puntos (x0, y0) y (x, y):
(7) .
Porque el
(8) ,
entonces la integral depende solo de las coordenadas de la inicial (x0, y0) y final (x, y) puntos y no depende de la forma de la curva. De (7) y (8) encontramos:
(9) .
Aquí x 0 y yo 0 - permanente. Por lo tanto U (x0, y0) también es constante.

Un ejemplo de tal definición de U se obtuvo en la prueba:
(6) .
Aquí, la integración se realiza primero a lo largo de un segmento paralelo al eje y desde el punto (x 0 , y 0 ) al punto (x0, y). Entonces la integración se realiza a lo largo de un segmento paralelo al eje x desde el punto (x0, y) al punto (x, y) .

En mas caso general, necesitas representar la ecuación de la curva que conecta los puntos (x 0 , y 0 ) y (x, y) en forma paramétrica:
X 1 = s(t1); y 1 = r(t1);
X 0 = s(t0); y 0 = r(t0);
x = s (t); y = r (t);
e integrar sobre t 1 de t 0 a t.

La integración más simple es sobre el segmento que conecta los puntos. (x 0 , y 0 ) y (x, y). En este caso:
X 1 \u003d x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Después de la sustitución, obtenemos la integral sobre t de 0 antes de 1 .
Este método, sin embargo, conduce a cálculos bastante engorrosos.

Referencias:
V. V. Stepanov, Curso de Ecuaciones Diferenciales, LKI, 2015.

Definición 8.4. Ecuación diferencial de la forma

dónde
se llama ecuación diferencial total.

Tenga en cuenta que el lado izquierdo de tal ecuación es el diferencial total de alguna función
.

En el caso general, la ecuación (8.4) se puede representar como

En lugar de la ecuación (8.5), se puede considerar la ecuación

cuya solución es la integral general de la ecuación (8.4). Así, para resolver la ecuación (8.4) es necesario encontrar la función
. De acuerdo con la definición de la ecuación (8.4), tenemos

(8.6)

Función
buscaremos, como función que satisfaga una de estas condiciones (8.6):

dónde es una función arbitraria independiente de .

Función
se define de modo que se satisfaga la segunda condición de la expresión (8.6)

(8.7)

A partir de la expresión (8.7) se determina la función
. Sustituyéndolo en la expresión de
y obtenga la integral general de la ecuación original.

Problema 8.3. Integrar ecuación

Aquí
.

Por tanto, esta ecuación pertenece al tipo de ecuaciones diferenciales en diferenciales totales. Función
buscaremos en el formulario

Por otra parte,

En algunos casos, la condición
no podrá realizarse.

Entonces tales ecuaciones se reducen al tipo bajo consideración al multiplicar por el llamado factor de integración, el cual, en el caso general, es una función de solo o .

Si alguna ecuación tiene un factor integrante que depende sólo de , entonces está determinada por la fórmula

donde esta la razon solo debe ser una función .

De manera similar, un factor de integración que dependa solo de , está determinada por la fórmula

donde esta la razon
solo debe ser una función .

La ausencia en los ratios anteriores, en el primer caso, de la variable , y en el segundo - una variable , son un signo de la existencia de un factor integrante para una ecuación dada.

Problema 8.4. Lleve esta ecuación a una ecuación en diferenciales totales.

Considere la relación:

Tema 8.2. Ecuaciones diferenciales lineales

Definición 8.5. Ecuación diferencial
se llama lineal si es lineal con respecto a la función deseada , su derivada y no contiene el producto de la función buscada y su derivada.

La forma general de una ecuación diferencial lineal se representa mediante la siguiente relación:

(8.8)

Si en la relación (8.8) el lado derecho
, entonces tal ecuación se llama lineal homogénea. En el caso de que el lado derecho
, entonces tal ecuación se llama lineal no homogénea.

Demostremos que la ecuación (8.8) es integrable en cuadraturas.

En la primera etapa, consideramos una ecuación lineal homogénea.

Tal ecuación es una ecuación con variables separables. En realidad,

;

La última relación determina la solución general de la lineal ecuación homogénea.

Para encontrar una solución general a una ecuación lineal no homogénea se utiliza el método de variación de la derivada de una constante. La idea del método es que la solución general de una ecuación no homogénea lineal en la misma forma que la solución de la ecuación homogénea correspondiente, sin embargo, una constante arbitraria reemplazado por alguna función
estar determinado. Entonces tenemos:

(8.9)

Sustituyendo en la relación (8.8) las expresiones correspondientes a
y
, obtenemos

Sustituyendo la última expresión en la relación (8.9), se obtiene la integral general de una ecuación lineal no homogénea.

Así, la solución general de una ecuación lineal no homogénea está determinada por dos cuadraturas: la solución general de una ecuación lineal homogénea y una solución particular de una ecuación lineal no homogénea.

Problema 8.5. Integrar ecuación

Así, la ecuación original pertenece al tipo de ecuaciones diferenciales no homogéneas lineales.

En la primera etapa, encontramos la solución general de la ecuación lineal homogénea.

;

En la segunda etapa, determinamos la solución general de la ecuación lineal no homogénea, la cual se busca en la forma

dónde
es la función a definir.

Entonces tenemos:

Sustituyendo las razones por y en la ecuación no homogénea lineal original obtenemos:

;

La solución general de una ecuación lineal no homogénea se verá así:

Diferencial se llama una ecuación de la forma

PAGS(x,y)dx + q(x,y)dy = 0 ,

donde el lado izquierdo es el diferencial total de alguna función de dos variables.

Denotemos la función desconocida de dos variables (es lo que necesitamos encontrar al resolver ecuaciones en diferenciales totales) a través de F y nos pondremos en contacto con él pronto.

Lo primero a lo que hay que prestar atención es que debe haber cero en el lado derecho de la ecuación, y el signo que conecta los dos términos en el lado izquierdo debe ser un signo más.

En segundo lugar, se debe observar cierta igualdad, lo que es una confirmación de que la ecuación diferencial dada es una ecuación en diferenciales completas. Esta verificación es una parte obligatoria del algoritmo para resolver ecuaciones en diferenciales totales (está en el segundo párrafo de esta lección), por lo que el proceso de encontrar una función F requiere mucho tiempo y es importante en la etapa inicial asegurarse de que no perdamos el tiempo en vano.

Entonces, la función desconocida que se va a encontrar se denota por F. La suma de diferenciales parciales sobre todas las variables independientes da el diferencial total. Por lo tanto, si la ecuación es una ecuación en diferenciales totales, el lado izquierdo de la ecuación es la suma de las diferenciales parciales. Entonces por definición

DF = PAGS(x,y)dx + q(x,y)dy .

Recordamos la fórmula para calcular la diferencial total de una función de dos variables:

Resolviendo las dos últimas igualdades, podemos escribir

La primera igualdad es diferenciable con respecto a la variable "y", la segunda, con respecto a la variable "x":

que es la condición de que la ecuación diferencial dada sea de hecho una ecuación en diferenciales totales.

Algoritmo para resolver ecuaciones diferenciales en diferenciales totales

Paso 1. Asegúrate de que la ecuación sea una ecuación en diferenciales totales. Para que la expresión fue la diferencial total de alguna función F(x, y), es necesario y suficiente que . En otras palabras, necesitamos sacar la derivada parcial con respecto a X y la derivada parcial con respecto a y otro término y, si estas derivadas son iguales, entonces la ecuación es una ecuación en diferenciales totales.

Paso 2 Escriba el sistema de ecuaciones diferenciales parciales que componen la función F:

Paso 3 Integre la primera ecuación del sistema - sobre X (y F:

,
y.

Una opción alternativa (si es más fácil encontrar la integral de esta manera) es integrar la segunda ecuación del sistema - por y (X permanece constante y se saca del signo integral). Por lo tanto, la función también se restablece. F:

,
de donde es una funcion desconocida X.

Paso 4 El resultado del paso 3 (la integral general encontrada) se diferencia por y(alternativamente, por X) e igualar a la segunda ecuación del sistema:

y alternativamente, a la primera ecuación del sistema:

A partir de la ecuación resultante, determinamos (en una versión alternativa)

Paso 5 El resultado del paso 4 se integra y se encuentra (alternativamente, find ).

Paso 6 Sustituir el resultado del paso 5 en el resultado del paso 3 - en la función restaurada por integración parcial F. Una constante arbitraria C más a menudo escrito después del signo igual - en el lado derecho de la ecuación. Así, obtenemos la solución general de la ecuación diferencial en diferenciales totales. Como ya se mencionó, tiene la forma F(x, y) = C.

Ejemplos de soluciones a ecuaciones diferenciales en diferenciales totales

Ejemplo 1

Paso 1. ecuación en diferenciales totales X un término en el lado izquierdo de la expresión

y la derivada parcial con respecto a y otro término
ecuación en diferenciales totales .

Paso 2 F:

Paso 3 en X (y permanece constante y se saca del signo integral). Por lo tanto, restauramos la función. F:

de donde es una funcion desconocida y.

Paso 4 y

Paso 5

Paso 6 F. Una constante arbitraria C :
.

¿Cuál es el error más probable aquí? Los errores más comunes son tomar la integral parcial sobre una de las variables por la integral habitual del producto de funciones e intentar integrar por partes o una variable de reemplazo, y también tomar la derivada parcial de dos factores como la derivada de la producto de funciones y busca la derivada usando la fórmula apropiada.

Hay que recordar esto: al calcular una integral parcial con respecto a una de las variables, la otra es una constante y se saca del signo integral, y al calcular una derivada parcial con respecto a una de las variables, la otra también es una constante y la derivada de la expresión se encuentra como una derivada de la variable "actuante" multiplicada por una constante.

Entre ecuaciones en diferenciales totales no es raro - ejemplos con un exponente. Este es el siguiente ejemplo. También destaca el hecho de que en su solución se utiliza una opción alternativa.

Ejemplo 2 Resolver ecuación diferencial

Paso 1. Asegúrate de que la ecuación sea ecuación en diferenciales totales . Para ello, hallamos la derivada parcial con respecto a X un término en el lado izquierdo de la expresión

y la derivada parcial con respecto a y otro término
. Estas derivadas son iguales, por lo que la ecuación es ecuación en diferenciales totales .

Paso 2 Escribimos el sistema de ecuaciones diferenciales parciales que componen la función F:

Paso 3 Integramos la segunda ecuación del sistema - sobre y (X permanece constante y se saca del signo integral). Por lo tanto, restauramos la función. F:

de donde es una funcion desconocida X.

Paso 4 El resultado del paso 3 (integral general encontrada) es diferenciable con respecto a X

e igualar a la primera ecuación del sistema:

De la ecuación resultante determinamos:
.

Paso 5 Integramos el resultado del paso 4 y encontramos:
.

Paso 6 Sustituimos el resultado del paso 5 en el resultado del paso 3 - en la función restaurada por integración parcial F. Una constante arbitraria C escribir después del signo igual. Así obtenemos la general solución de una ecuación diferencial en diferenciales totales :
.

En el siguiente ejemplo, volvemos de la alternativa a la principal.

Ejemplo 3 Resolver ecuación diferencial

Paso 1. Asegúrate de que la ecuación sea ecuación en diferenciales totales . Para ello, hallamos la derivada parcial con respecto a y un término en el lado izquierdo de la expresión

y la derivada parcial con respecto a X otro término
. Estas derivadas son iguales, por lo que la ecuación es ecuación en diferenciales totales .

Paso 2 Escribimos el sistema de ecuaciones diferenciales parciales que componen la función F:

Paso 3 Integramos la primera ecuación del sistema - en X (y permanece constante y se saca del signo integral). Por lo tanto, restauramos la función. F:

de donde es una funcion desconocida y.

Paso 4 El resultado del paso 3 (integral general encontrada) es diferenciable con respecto a y

e igualar a la segunda ecuación del sistema:

De la ecuación resultante determinamos:
.

Paso 5 Integramos el resultado del paso 4 y encontramos:

Ejemplo 4 Resolver ecuación diferencial

Paso 1. Asegúrate de que la ecuación sea ecuación en diferenciales totales . Para ello, hallamos la derivada parcial con respecto a y un término en el lado izquierdo de la expresión

y la derivada parcial con respecto a X otro término
. Estas derivadas son iguales, lo que significa que la ecuación es una ecuación en diferenciales totales.

Paso 2 Escribimos el sistema de ecuaciones diferenciales parciales que componen la función F:

Paso 3 Integramos la primera ecuación del sistema - en X (y permanece constante y se saca del signo integral). Por lo tanto, restauramos la función. F: