Se considera un método para resolver ecuaciones diferenciales con variables separables. se da un ejemplo solución detallada ecuación diferencial con variables separables.

Contenido

Definición

Vamos (X), q (X)- funciones de la variable x ;
pags (y) r (y)- funciones de la variable y .

Una ecuación diferencial con variables separables es una ecuación de la forma

Método para resolver una ecuación diferencial con variables separables

Considere la ecuación:
(i) .
Expresamos la derivada y en términos de diferenciales.
;
.
Multiplique por dx.
(ii)
Divide la ecuación por s (x)r(y). Esto se puede hacer si s (x) r(y) ≠ 0. para s (x) r(y) ≠ 0 tenemos
.
Integrando, obtenemos la integral general en cuadraturas
(iii).

Como dividimos por s (x)r(y), entonces obtenemos la integral de la ecuación para s (x) ≠ 0 yr (y) ≠ 0. A continuación, debe resolver la ecuación.
r (y) = 0.
Si esta ecuación tiene raíces, entonces también son soluciones de la ecuación (i). Sea la ecuación r (y) = 0. tiene n raíces a i , r (ayo) = 0, yo = 1, 2, ... , norte. Entonces las constantes y = a i son soluciones de la ecuación (i). Algunas de estas soluciones pueden estar ya contenidas en la integral general (iii).

Tenga en cuenta que si la ecuación original se da en la forma (ii), entonces la ecuación también debe resolverse
s (x) = 0.
Sus raíces b j , s (b j ) = 0, j = 1, 2, ... , metro. dar soluciones x = b j .

Un ejemplo de resolución de una ecuación diferencial con variables separables

resuelve la ecuación

Expresamos la derivada en términos de diferenciales:


Multiplique por dx y divida por . Para y ≠ 0 tenemos:

integremos.

Calculamos las integrales usando la fórmula.



Sustituyendo, obtenemos la integral general de la ecuación
.

Ahora considere el caso, y = 0 .
Es obvio que y = 0 es una solución a la ecuación original. No está incluido en la integral general.
Así que vamos a agregarlo al resultado final.

; y= 0 .

Referencias:
NUEVO MÉJICO. Gunther, RO Kuzmin, Colección de problemas de matemáticas superiores, Lan, 2003.

Se considera un método para resolver ecuaciones diferenciales que se reducen a ecuaciones con variables separables. Se da un ejemplo de una solución detallada de una ecuación diferencial que se reduce a una ecuación con variables separables.

Contenido

Formulación del problema

Considere la ecuación diferencial
(i) ,
donde f es una función, a, b, c son constantes, b ≠ 0 .
Esta ecuación se reduce a una ecuación con variables separables.

método de solución

Hacemos una sustitución:
tu = hacha + por + c
Aquí y es una función de x. Por lo tanto, u es también una función de x.
Diferenciar con respecto a x
tu' = (hacha + por + c)′ = a + por′
Sustituto (i)
u′ = a + by′ = a + b f(ax + by + c) = a + b f (tú)
O:
(ii)
Variables separadas. Multiplicar por dx y dividir por a + b f (tú). Si a + b f (u) ≠ 0, después

Al integrar, obtenemos la integral general de la ecuación original (i) en cuadrados:
(iii) .

Finalmente, considere el caso
(iv) a + b f (u) = 0.
Supongamos que esta ecuación tiene n raíces u = r i , a + b f (r i ) = 0, yo = 1, 2, ...n. Como la función u = r i es constante, su derivada con respecto a x es igual a cero. Por lo tanto, u = r i es una solución a la ecuación (ii).
Sin embargo, la ecuación (ii) no coincide con la ecuación original (i) y, quizás, no todas las soluciones u = r i , expresadas en términos de las variables x e y , satisfacen la ecuación original (i).

Por lo tanto, la solución a la ecuación original es la integral general (iii) y algunas raíces de la ecuación (iv).

Un ejemplo de resolución de una ecuación diferencial que se reduce a una ecuación con variables separables

resuelve la ecuación
(1)

Hacemos una sustitución:
tu = x - y
Deriva con respecto a x y realiza transformaciones:
;

Multiplicar por dx y dividir por u 2 .

Si tu ≠ 0, entonces obtenemos:

Integramos:

Aplicamos la fórmula de la tabla de integrales:

Calculamos la integral

Después
;
, o

decisión común:
.

Ahora considere el caso u = 0 , o u = x - y = 0 , o
y=x.
Como y′ = (x)′ = 1, entonces y = x es una solución a la ecuación original (1) .

;
.

Referencias:
NUEVO MÉJICO. Gunther, RO Kuzmin, Colección de problemas de matemáticas superiores, Lan, 2003.

Ecuaciones diferenciales primer orden. Ejemplos de solución.
Ecuaciones diferenciales con variables separables

Ecuaciones Diferenciales (ED). Estas dos palabras suelen aterrorizar al profano medio. Las ecuaciones diferenciales parecen ser algo escandaloso y difícil de dominar para muchos estudiantes. Uuuuuu… ecuaciones diferenciales, ¡¿cómo sobreviviría a todo esto?!

Tal opinión y tal actitud son fundamentalmente erróneas, porque de hecho LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SON SENCILLAS E INCLUSO DIVERTIDAS. ¿Qué necesitas saber y ser capaz de aprender para resolver ecuaciones diferenciales? Para estudiar con éxito las diferencias, debe ser bueno integrando y diferenciando. Cuanto mejor se estudien los temas Derivada de una función de una variable y Integral indefinida, más fácil será entender las ecuaciones diferenciales. Diré más, si tienes habilidades de integración más o menos decentes, ¡entonces el tema está prácticamente dominado! Cuantas más integrales varios tipos sabes cómo decidir, mejor. ¿Por qué? Hay que integrarse mucho. Y diferenciar. También altamente recomendado aprender a encontrar

En el 95% de los casos en trabajo de control Hay 3 tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden: ecuaciones separables, que cubriremos en esta lección; ecuaciones homogéneas y ecuaciones no homogéneas lineales. Para que los principiantes estudien los difusores, le aconsejo que lea las lecciones en esta secuencia, y después de estudiar los dos primeros artículos, no estará de más consolidar sus habilidades en un taller adicional: ecuaciones que se reducen a homogeneas.

Hay tipos aún más raros de ecuaciones diferenciales: ecuaciones en diferenciales totales, ecuaciones de Bernoulli y algunas otras. El más importante de los dos últimos tipos son las ecuaciones en diferenciales totales, porque además de este DE, estoy considerando un nuevo material: integración parcial.

Si solo te quedan uno o dos días, después para una preparación ultrarrápida hay curso relámpago en formato pdf.

Entonces, los puntos de referencia están establecidos, vamos:

Primero recordemos las ecuaciones algebraicas usuales. Contienen variables y números. El ejemplo más simple: . ¿Qué significa resolver una ecuación ordinaria? Esto significa encontrar conjunto de números que satisfacen esta ecuación. Es fácil ver que la ecuación de los niños tiene una sola raíz: . Por diversión, hagamos una verificación, sustituyamos la raíz encontrada en nuestra ecuación:

- se obtiene la igualdad correcta, lo que significa que la solución se encuentra correctamente.

¡Los difusores se organizan de la misma manera!

Ecuación diferencial primer orden en caso general contiene:
1) variable independiente;
2) variable dependiente (función);
3) la primera derivada de la función: .

En algunas ecuaciones de primer orden, puede que no haya "x" o (y) "y", pero esto no es esencial - importante para que en DU estaba primera derivada y no tenía derivados de órdenes superiores - , etc.

Que significa ? Resolver una ecuación diferencial significa encontrar conjunto de todas las funciones que satisfacen esta ecuación. Tal conjunto de funciones a menudo tiene la forma ( es una constante arbitraria), que se llama solución general de la ecuación diferencial.

Ejemplo 1

Resolver ecuación diferencial

Munición completa. Dónde empezar solución?

En primer lugar, debe reescribir la derivada en una forma ligeramente diferente. Recordamos la engorrosa notación, que muchos de ustedes probablemente pensaron que era ridícula e innecesaria. ¡Es lo que manda en los difusores!

En el segundo paso, veamos si es posible. dividir variables?¿Qué significa separar variables? Mas o menos, En el lado izquierdo tenemos que irnos solo "juegos", a en el lado derecho organizar solo x. La separación de variables se lleva a cabo con la ayuda de manipulaciones de "escuela": paréntesis, transferencia de términos de parte a parte con un cambio de signo, transferencia de factores de parte a parte según la regla de la proporción, etc.

Los diferenciales y son plenos multiplicadores y participantes activos en las hostilidades. En este ejemplo, las variables se separan fácilmente cambiando factores según la regla de la proporción:

Las variables están separadas. En el lado izquierdo, solo "Juego", en el lado derecho, solo "X".

Siguiente etapa - integración de ecuaciones diferenciales. Es simple, colgamos integrales en ambas partes:

Por supuesto, se deben tomar integrales. En este caso, son tabulares:

Como recordamos, a cualquier antiderivada se le asigna una constante. Aquí hay dos integrales, pero es suficiente escribir la constante una vez (porque una constante + una constante sigue siendo igual a otra constante). En la mayoría de los casos, se coloca en lado derecho.

Estrictamente hablando, después de tomar las integrales, se considera que la ecuación diferencial está resuelta. Lo único es que nuestra “y” no se expresa mediante “x”, es decir, la solución se presenta en lo implícito forma. La solución implícita de una ecuación diferencial se llama integral general de la ecuación diferencial. Es decir, es la integral general.

Una respuesta de esta forma es bastante aceptable, pero ¿hay una mejor opción? Tratemos de conseguir decisión común.

Por favor, recuerda la primera tecnica, es muy común y de uso frecuente en tareas practicas: si aparece un logaritmo en el lado derecho después de la integración, entonces en muchos casos (¡pero no siempre!) es recomendable escribir la constante también debajo del logaritmo. Y escribir SIEMPRE si solo se obtienen logaritmos (como en el ejemplo considerado).

Eso es, EN VEZ DE Los registros generalmente se escriben .

¿Por qué es necesario? Y para que sea más fácil expresar "y". Usamos la propiedad de los logaritmos . En este caso:

Ahora se pueden eliminar logaritmos y módulos:

La función se presenta explícitamente. Esta es la solución general.

Responder: decisión común: .

Las respuestas a muchas ecuaciones diferenciales son bastante fáciles de verificar. En nuestro caso, esto se hace de manera bastante simple, tomamos la solución encontrada y la diferenciamos:

Luego sustituimos la derivada en la ecuación original:

- se obtiene la igualdad correcta, lo que significa que la solución general satisface la ecuación , que se requería comprobar.

dando una constante varios significados, puedes obtener infinitas decisiones privadas ecuación diferencial. Está claro que cualquiera de las funciones , , etc. satisface la ecuación diferencial.

A veces la solución general se llama familia de funciones. En este ejemplo, la solución general es una familia de funciones lineales, o mejor dicho, una familia de proporcionalidades directas.

Después de una discusión detallada del primer ejemplo, es apropiado responder algunas preguntas ingenuas sobre ecuaciones diferenciales:

1)En este ejemplo, logramos separar las variables. ¿Siempre es posible hacer esto? No, no siempre. Y aún más a menudo las variables no se pueden separar. por ejemplo, en ecuaciones homogeneas de primer orden debe ser reemplazado primero. En otros tipos de ecuaciones, por ejemplo, en una ecuación lineal no homogénea de primer orden, es necesario utilizar varios trucos y métodos para encontrar una solución general. Las ecuaciones de variables separables que consideramos en la primera lección son el tipo más simple de ecuaciones diferenciales.

2) ¿Es siempre posible integrar una ecuación diferencial? No, no siempre. Es muy fácil llegar a una ecuación "elegante" que no se puede integrar, además, hay integrales que no se pueden tomar. Pero tales DE se pueden resolver aproximadamente usando métodos especiales. D'Alembert y Cauchy garantizan... ...ugh, lurkmore. Acabo de leer mucho, casi añado "del otro mundo".

3) En este ejemplo hemos obtenido una solución en forma de integral general . ¿Es siempre posible encontrar una solución general a partir de la integral general, es decir, expresar "y" de forma explícita? No, no siempre. Por ejemplo: . Bueno, ¿cómo puedo expresar "y" aquí? En tales casos, la respuesta debe escribirse como una integral general. Además, en ocasiones se puede encontrar una solución general, pero está escrita de forma tan engorrosa y torpe que es mejor dejar la respuesta en forma de integral general

4) ...quizás suficiente por ahora. En el primer ejemplo, nos encontramos otro punto importante , pero para no cubrir a los "tontos" con una avalancha de nueva información, lo dejaré hasta la próxima lección.

No nos apresuremos. Otro control remoto simple y otra solución típica:

Ejemplo 2

Encuentre una solución particular de la ecuación diferencial que satisfaga condición inicial

Solución: según la condición se requiere encontrar decisión privada DE que satisface una condición inicial dada. Este tipo de interrogatorio también se llama Problema de Cauchy.

Primero, encontramos una solución general. No hay una variable "x" en la ecuación, pero esto no debería ser vergonzoso, lo principal es que tiene la primera derivada.

Reescribimos la derivada en forma deseada:

Obviamente, las variables se pueden dividir, chicos a la izquierda, chicas a la derecha:

Integramos la ecuación:

Se obtiene la integral general. Aquí dibujé una constante con una estrella de acento, el hecho es que muy pronto se convertirá en otra constante.

Ahora estamos tratando de convertir la integral general en una solución general (expresar "y" explícitamente). Recordamos la vieja, buena, escuela: . En este caso:

La constante en el indicador parece de alguna manera no kosher, por lo que generalmente se baja del cielo a la tierra. En detalle, sucede así. Usando la propiedad de los grados, reescribimos la función de la siguiente manera:

Si es una constante, entonces también es una constante, redesignarla con la letra :
- al mismo tiempo, eliminamos el módulo, después de lo cual la constante "ce" puede tomar valores tanto positivos como negativos

Recuerde que la "demolición" de una constante es segunda tecnica, que se utiliza a menudo en el curso de la resolución de ecuaciones diferenciales. En una copia limpia, puede pasar inmediatamente de pero siempre esté preparado para explicar esta transición.

Entonces la solución general es: Qué buena familia de funciones exponenciales.

En la etapa final, debe encontrar una solución particular que satisfaga la condición inicial dada. Es simple también.

¿Cuál es la tarea? necesito recoger tal el valor de la constante para satisfacer la condición.

Puede organizarlo de diferentes maneras, pero la más comprensible, quizás, será así. En la solución general, en lugar de “x”, sustituimos cero, y en lugar de “y”, dos:



Eso es,

Versión de diseño estándar:

Ahora sustituimos el valor encontrado de la constante en la solución general:
– esta es la solución particular que necesitamos.

Responder: solución privada:

Hagamos una comprobación. La verificación de una solución particular incluye dos etapas:

Primero, es necesario verificar si la solución particular encontrada realmente satisface la condición inicial. En lugar de "x" sustituimos cero y vemos qué sucede:
- sí, efectivamente, se obtuvo un dos, lo que significa que se cumple la condición inicial.

La segunda etapa ya es familiar. Tomamos la solución particular resultante y encontramos la derivada:

Sustituir en la ecuación original:

- se obtiene la igualdad correcta.

Conclusión: la solución particular se encuentra correctamente.

Pasemos a ejemplos más significativos.

Ejemplo 3

Resolver ecuación diferencial

Solución: Reescribimos la derivada en la forma que necesitamos:

¿Evaluar si las variables se pueden separar? Pueden. Pasamos el segundo término al lado derecho con un cambio de signo:

Y volteamos los factores según la regla de la proporción:

Se separan las variables, integremos ambas partes:

Debo advertirte, el día del juicio se acerca. Si no has aprendido bien Integrales indefinidas resolvió algunos ejemplos, entonces no hay adónde ir, debe dominarlos ahora.

La integral del lado izquierdo es fácil de encontrar, con la integral de la cotangente tratamos con la técnica estándar que consideramos en la lección. Integración de funciones trigonométricas En el año pasado:

Como resultado, solo obtuvimos logaritmos y, de acuerdo con mi primera recomendación técnica, también definimos la constante debajo del logaritmo.

Ahora tratamos de simplificar la integral general. Dado que solo tenemos logaritmos, es bastante posible (y necesario) deshacerse de ellos. Mediante el uso propiedades conocidas"empaquetar" al máximo los logaritmos. Escribiré con gran detalle:

El embalaje está completo para ser bárbaramente andrajoso:
, e inmediatamente-inmediatamente dar integrales generales a la mente, tan pronto como sea posible:

En términos generales, no es necesario hacer esto, pero siempre es beneficioso complacer al profesor ;-)

En principio, esta obra maestra se puede escribir como una respuesta, pero aquí todavía es apropiado cuadrar ambas partes y redefinir la constante:

Responder: integral general:

! Nota: la integral general a menudo se puede escribir en más de una forma. Por lo tanto, si su resultado no coincidió con una respuesta previamente conocida, esto no significa que resolvió la ecuación incorrectamente.

¿Es posible expresar "y"? Pueden. Expresemos la solución general:

Por supuesto, el resultado obtenido es adecuado para una respuesta, pero tenga en cuenta que la integral general parece más compacta y la solución resultó ser más corta.

Tercer consejo técnico:si se debe realizar un número significativo de acciones para obtener una solución general, en la mayoría de los casos es mejor abstenerse de estas acciones y dejar la respuesta en forma de integral general. Lo mismo ocurre con las acciones “malas” cuando se requiere expresar una función inversa, elevar a una potencia, sacar una raíz, etc. El hecho es que la solución general parecerá pretenciosa y engorrosa, con grandes raíces, signos y otra basura matemática.

¿Como revisar? La verificación se puede hacer de dos maneras. Método uno: tome la solución general , encontramos la derivada y sustituirlos en la ecuación original. ¡Inténtalo tú mismo!

La segunda forma es derivar la integral general. Es bastante fácil, lo principal es poder encontrar derivada de una función definida implícitamente:

dividir cada término por:

y en :

La ecuación diferencial original se obtuvo exactamente, lo que significa que la integral general se encontró correctamente.

Ejemplo 4

Encuentre una solución particular de la ecuación diferencial que satisfaga la condición inicial. Ejecute una verificación.

Este es un ejemplo de bricolaje.

Les recuerdo que el algoritmo consta de dos etapas:
1) encontrar una solución general;
2) encontrar la solución particular requerida.

La verificación también se lleva a cabo en dos pasos (ver la muestra en el Ejemplo No. 2), necesita:
1) asegurarse de que la solución particular encontrada satisfaga la condición inicial;
2) verificar que una solución particular generalmente satisface la ecuación diferencial.

Solución completa y respuesta al final de la lección.

Ejemplo 5

Encontrar una solución particular de una ecuación diferencial , satisfaciendo la condición inicial . Ejecute una verificación.

Solución: Primero, encontremos una solución general. Esta ecuación ya contiene diferenciales y , lo que significa que la solución está simplificada. Separación de variables:

Integramos la ecuación:

La integral de la izquierda es tabular, la integral de la derecha se toma el método de sumar la función bajo el signo del diferencial:

Se ha obtenido la integral general, ¿es posible expresar con éxito la solución general? Pueden. Colgamos logaritmos en ambos lados. Como son positivos, los signos del módulo son redundantes:

(Espero que todos entiendan la transformación, esas cosas ya deberían saberse)

Entonces la solución general es:

Encontremos una solución particular correspondiente a la condición inicial dada.
En la solución general, en lugar de “x”, sustituimos el cero, y en lugar de “y”, el logaritmo de dos:

Diseño más familiar:

Sustituimos el valor encontrado de la constante en la solución general.

Responder: solución privada:

Comprobar: Primero, comprobar si se cumple la condición inicial:
- todo es bueno.

Ahora vamos a comprobar si la solución particular encontrada satisface la ecuación diferencial. Hallamos la derivada:

Veamos la ecuación original: – se presenta en diferenciales. Hay dos formas de comprobar. Es posible expresar la diferencial a partir de la derivada encontrada:

Sustituimos la solución particular encontrada y la diferencial resultante en la ecuación original :

Usamos la identidad logarítmica básica:

Se obtiene la igualdad correcta, lo que significa que la solución particular se encuentra correctamente.

La segunda forma de verificar es reflejada y más familiar: de la ecuación expresamos la derivada, para ello dividimos todas las piezas por:

Y en la ED transformada sustituimos la solución particular obtenida y la derivada encontrada. Como resultado de las simplificaciones, también debe obtenerse la igualdad correcta.

Ejemplo 6

Encuentre la integral general de la ecuación , presente la respuesta como .

Este es un ejemplo de resolución automática, solución completa y respuesta al final de la lección.

¿Qué dificultades aguardan en la resolución de ecuaciones diferenciales con variables separables?

1) No siempre es obvio (especialmente para una tetera) que las variables se puedan separar. Considere un ejemplo condicional: . Aquí debe sacar los factores entre paréntesis: y separar las raíces:. Cómo proceder más está claro.

2) Dificultades en la propia integración. Las integrales a menudo no son las más simples, y si hay fallas en las habilidades para encontrar integral indefinida, entonces será difícil con muchos difusores. Además, los compiladores de colecciones y manuales son populares con la lógica “ya que la ecuación diferencial es simple, al menos las integrales serán más complicadas”.

3) Transformaciones con constante. Como todos han notado, una constante en ecuaciones diferenciales se puede manejar con bastante libertad, y algunas transformaciones no siempre son claras para un principiante. Veamos otro ejemplo hipotético: . En él, es recomendable multiplicar todos los términos por 2: . La constante resultante también es algún tipo de constante, que se puede denotar por: . Sí, y como tenemos los mismos logaritmos, es recomendable reescribir la constante como otra constante: .

El problema es que a menudo no se molestan con los índices y usan la misma letra. Como resultado, el registro de decisión toma la siguiente forma:

¡¿Que demonios?! ¡Aquí están los errores! Estrictamente hablando, sí. Sin embargo, desde un punto de vista sustantivo, no hay errores, ya que como resultado de la transformación de una constante variable se obtiene una constante variable equivalente.

Otro ejemplo, supongamos que en el curso de la resolución de la ecuación se obtiene una integral general. Esta respuesta se ve fea, por lo que es recomendable cambiar el signo de cada término: . Formalmente, nuevamente hay un error: a la derecha, debe escribirse . Pero se da a entender informalmente que "menos ce" sigue siendo una constante que también toma el mismo conjunto de valores y, por lo tanto, poner "menos" no tiene sentido.

Trataré de evitar un enfoque descuidado y aun así estableceré diferentes índices para las constantes al convertirlas. Que es lo que te aconsejo que hagas.

Ejemplo 7

Resuelva la ecuación diferencial. Ejecute una verificación.

Solución: Esta ecuación admite separación de variables. Separación de variables:

Integramos:

La constante aquí no tiene que definirse bajo el logaritmo, ya que no saldrá nada bueno de ello.

Responder: integral general:

Y, por supuesto, aquí NO ES NECESARIO expresar “y” explícitamente, porque resultará basura (recuerda el tercer consejo técnico).

Examen: Diferenciar la respuesta (función implícita):

Nos deshacemos de las fracciones, para ello multiplicamos ambos términos por:

Se ha obtenido la ecuación diferencial original, lo que significa que la integral general se ha encontrado correctamente.

Ejemplo 8

Encuentre una solución particular de DE.
,

Definición 7. Una ecuación de la forma se llama ecuación con variables separables.

Esta ecuación se puede reducir a la forma dividiendo todos los términos de la ecuación por el producto.

Por ejemplo, resuelve la ecuación

Solución. La derivada es igual a

Separando las variables, obtenemos:

.

Ahora integremos:

Resolver ecuación diferencial

Solución. Esta es una ecuación de primer orden con variables separables. Para separar las variables de esta ecuación en la forma y dividirlo término por término en el producto. Como resultado, obtenemos o

integrando ambas partes de la última ecuación, obtenemos la solución general

arco sen y = arco sen x + C

Busquemos ahora una solución particular que satisfaga las condiciones iniciales. Sustituyendo las condiciones iniciales en la solución general, obtenemos

; de donde C=0

Por tanto, una solución particular tiene la forma arc sen y = arc sen x, pero los senos de arcos iguales son iguales entre sí

sen (arcsen y) = sen (arcsen x).

De donde, por definición del arcoseno, se sigue que y = x.

Ecuaciones diferenciales homogéneas

Definición 8. Una ecuación diferencial de la forma que se puede reducir a la forma se llama homogéneo.

Para integrar tales ecuaciones, se hace un cambio de variables, asumiendo . Esta sustitución da como resultado una ecuación diferencial para x y t en la que se separan las variables, después de lo cual se puede integrar la ecuación. Para obtener la respuesta final, debe reemplazar la variable t con .

Por ejemplo, resuelve la ecuación

Solución. Reescribamos la ecuación así:

obtenemos:

Después de la reducción por x 2 tenemos:

Reemplacemos t con:

Preguntas de revisión

1 ¿Qué es una ecuación diferencial?

2 Nombre los tipos de ecuaciones diferenciales.

3 Indica los algoritmos para resolver todas estas ecuaciones.

Ejemplo 3

Solución: Reescribimos la derivada en la forma que necesitamos:

¿Evaluar si las variables se pueden separar? Pueden. Pasamos el segundo término al lado derecho con un cambio de signo:

Y volteamos los factores según la regla de la proporción:

Se separan las variables, integremos ambas partes:

Debo advertirte, el día del juicio se acerca. Si no has aprendido bien Integrales indefinidas resolvió algunos ejemplos, entonces no hay adónde ir, debe dominarlos ahora.

La integral del lado izquierdo es fácil de encontrar, con la integral de la cotangente tratamos con la técnica estándar que consideramos en la lección. Integración de funciones trigonométricas En el año pasado:

En el lado derecho, tenemos un logaritmo, de acuerdo con mi primera recomendación técnica, en este caso, la constante también debe escribirse debajo del logaritmo.

Ahora tratamos de simplificar la integral general. Dado que solo tenemos logaritmos, es bastante posible (y necesario) deshacerse de ellos. “Empacamos” los logaritmos tanto como sea posible. El envasado se lleva a cabo utilizando tres propiedades:

Por favor, reescribe estas tres fórmulas para ti mismo en libro de trabajo, se usan muy a menudo cuando se resuelven difusas.

Escribiré la solución con gran detalle:

El empaquetado está completo, elimina los logaritmos:

¿Es posible expresar "y"? Pueden. Ambas partes deben ser cuadradas. Pero no tienes que hacerlo.

Tercer consejo técnico: Si para obtener una solución general se necesita elevar a una potencia o echar raíces, entonces En la mayoría de los casos debe abstenerse de estas acciones y dejar la respuesta en forma de integral general. El hecho es que la solución general se verá pretenciosa y terrible, con grandes raíces, signos.

Por lo tanto, escribimos la respuesta como una integral general. Se considera de buena forma presentar la integral general en la forma, es decir, del lado derecho, si es posible, dejar solo una constante. No es necesario hacer esto, pero siempre es beneficioso complacer al profesor ;-)

Responder: integral general:

Nota: la integral general de cualquier ecuación se puede escribir de más de una manera. Por lo tanto, si su resultado no coincidió con una respuesta previamente conocida, esto no significa que haya resuelto la ecuación incorrectamente.

La integral general también se comprueba con bastante facilidad, lo principal es poder encontrar derivadas de una función definida implícitamente. Diferenciamos la respuesta:

Multiplicamos ambos términos por:

Y dividimos por:

La ecuación diferencial original se obtuvo exactamente, lo que significa que la integral general se encontró correctamente.

Ejemplo 4

Encuentre una solución particular de la ecuación diferencial que satisfaga la condición inicial. Ejecute una verificación.

Este es un ejemplo de bricolaje. Les recuerdo que el problema de Cauchy consta de dos etapas:
1) Encontrar una solución general.
2) Encontrar una solución particular.

La verificación también se lleva a cabo en dos etapas (ver también la muestra del Ejemplo 2), necesita:
1) Asegurarse de que la solución particular encontrada realmente satisfaga la condición inicial.
2) Comprobar que una solución particular satisface generalmente la ecuación diferencial.

Solución completa y respuesta al final de la lección.

Ejemplo 5

Encontrar una solución particular de una ecuación diferencial , satisfaciendo la condición inicial . Ejecute una verificación.

Solución: Primero, encontremos una solución general. Esta ecuación ya contiene diferenciales y , lo que significa que la solución está simplificada. Separación de variables:

Integramos la ecuación:

La integral de la izquierda es tabular, la integral de la derecha se toma el método de sumar la función bajo el signo del diferencial:

Se ha obtenido la integral general, ¿es posible expresar con éxito la solución general? Pueden. Colgamos logaritmos:

(Espero que todos entiendan la transformación, esas cosas ya deberían saberse)

Entonces la solución general es:

Encontremos una solución particular correspondiente a la condición inicial dada. En la solución general, en lugar de “x”, sustituimos el cero, y en lugar de “y”, el logaritmo de dos:

Diseño más familiar:

Sustituimos el valor encontrado de la constante en la solución general.

Responder: solución privada:

Comprobar: Primero, comprobar si se cumple la condición inicial:
- todo es bueno.

Ahora vamos a comprobar si la solución particular encontrada satisface la ecuación diferencial. Hallamos la derivada:

Veamos la ecuación original: – se presenta en diferenciales. Hay dos formas de comprobar. Es posible expresar la diferencial a partir de la derivada encontrada:

Sustituimos la solución particular encontrada y la diferencial resultante en la ecuación original :

Usamos la identidad logarítmica básica:

Se obtiene la igualdad correcta, lo que significa que la solución particular se encuentra correctamente.

La segunda forma de verificar es reflejada y más familiar: de la ecuación expresamos la derivada, para ello dividimos todas las piezas por:

Y en la ED transformada sustituimos la solución particular obtenida y la derivada encontrada. Como resultado de las simplificaciones, también debe obtenerse la igualdad correcta.

Ejemplo 6

Resuelva la ecuación diferencial. Exprese la respuesta como una integral general.

Este es un ejemplo de resolución automática, solución completa y respuesta al final de la lección.

¿Qué dificultades aguardan en la resolución de ecuaciones diferenciales con variables separables?

1) No siempre es obvio (especialmente para una tetera) que las variables se puedan separar. Considere un ejemplo condicional: . Aquí debe sacar los factores entre paréntesis: y separar las raíces:. Cómo proceder más está claro.

2) Dificultades en la propia integración. Las integrales a menudo no son las más simples, y si hay fallas en las habilidades para encontrar integral indefinida, entonces será difícil con muchos difusores. Además, la lógica "ya que la ecuación diferencial es simple, entonces deje que las integrales sean más complicadas" es popular entre los compiladores de colecciones y manuales.

3) Transformaciones con constante. Como todos han notado, con una constante en las ecuaciones diferenciales, puedes hacer casi cualquier cosa. Y no siempre tales transformaciones son claras para un principiante. Considere otro ejemplo condicional: . En él, es recomendable multiplicar todos los términos por 2: . La constante resultante también es algún tipo de constante, que se puede denotar por: . Sí, y como hay un logaritmo en el lado derecho, es recomendable reescribir la constante como otra constante: .

El problema es que a menudo no se molestan con los índices y usan la misma letra. Y como resultado, el expediente de decisión toma la siguiente forma:

¿Que demonios? Aquí están los errores. Formalmente, sí. E informalmente, no hay error, se entiende que al convertir una constante, aún se obtiene alguna otra constante.

O tal ejemplo, suponga que en el curso de resolver la ecuación, se obtiene una integral general. Esta respuesta se ve fea, por lo que es recomendable cambiar los signos de todos los multiplicadores: . Formalmente, según consta en el acta, nuevamente hay un error, debería haberse escrito. Pero informalmente se da a entender que sigue siendo otra constante (más aún puede tomar cualquier valor), por lo que cambiar el signo de la constante no tiene ningún sentido y puede usar la misma letra.

Trataré de evitar un enfoque descuidado y aun así estableceré diferentes índices para las constantes al convertirlas.

Ejemplo 7

Resuelva la ecuación diferencial. Ejecute una verificación.

Solución: Esta ecuación admite separación de variables. Separación de variables:

Integramos:

La constante aquí no tiene que definirse bajo el logaritmo, ya que no saldrá nada bueno de ello.

Responder: integral general:

Comprobar: diferenciar la respuesta (función implícita):

Nos deshacemos de las fracciones, para ello multiplicamos ambos términos por:

Se ha obtenido la ecuación diferencial original, lo que significa que la integral general se ha encontrado correctamente.

Ejemplo 8

Encuentre una solución particular de DE.
,

Este es un ejemplo de bricolaje. El único comentario, aquí obtienes una integral general y, más correctamente, necesitas idear para encontrar no una solución particular, sino integral privada. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Como ya se señaló, en las diffuras con variables separables, a menudo no aparecen las integrales más simples. Y aquí hay un par de ejemplos de una solución independiente. Recomiendo a todos que resuelvan los ejemplos No. 9-10, independientemente del nivel de capacitación, esto le permitirá actualizar las habilidades para encontrar integrales o llenar los vacíos de conocimiento.

Ejemplo 9

Resolver ecuación diferencial

Ejemplo 10

Resolver ecuación diferencial

Recuerde que la integral general se puede escribir de más de una forma, y ​​la apariencia de sus respuestas puede diferir de apariencia mis respuestas. Breve solución y respuestas al final de la lección.

¡Promoción exitosa!

Soluciones y respuestas:

Ejemplo 4:Solución: Busquemos una solución general. Separación de variables:


Integramos:



Se ha obtenido la integral general, estamos tratando de simplificarla. Empacamos los logaritmos y nos deshacemos de ellos:

Expresamos la función explícitamente usando .
Decisión común:

Encuentre una solución particular que satisfaga la condición inicial .
Método uno, en lugar de "x" sustituimos 1, en lugar de "y" - "e":
.
Método dos:

Sustituimos el valor encontrado de la constante en una solución general.
Responder: solución privada:

Comprobar: Comprobar si la condición inicial es realmente verdadera:
, sí, condición inicial realizado.
Verificamos si la solución particular satisface en absoluto ecuación diferencial. Primero encontramos la derivada:

Sustituimos la solución particular obtenida y la derivada encontrada en la ecuación original :

Se obtiene la igualdad correcta, lo que significa que la solución se encuentra correctamente.

Ejemplo 6:Solución: Esta ecuación admite separación de variables. Separamos las variables e integramos:




Responder: integral general:

Nota: aquí puede obtener una solución general:

Pero, de acuerdo con mi tercer consejo técnico, no es deseable hacer esto, ya que esa respuesta se ve bastante mal.

Ejemplo 8:Solución: Este mando a distancia permite la separación de variables. Separación de variables:



Integramos:


Integral general:
Encuentre una solución particular (integral parcial) correspondiente a la condición inicial dada . Sustituimos en la solución general y :

Responder: Integral privada:
En principio, la respuesta se puede peinar y conseguir algo más compacto. .

Ecuaciones diferenciales.

Conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias.

Definición 1. Ecuación diferencial ordinaria norte-ésimo orden para la función y argumento X se llama una relación de la forma

dónde F es una función dada de sus argumentos. En el nombre de esta clase de ecuaciones matemáticas, el término "diferencial" enfatiza que incluyen derivadas (funciones formadas como resultado de la diferenciación); el término - "ordinario" dice que la función deseada depende de un solo argumento real.

Una ecuación diferencial ordinaria puede no contener explícitamente un argumento X, la función deseada y cualquiera de sus derivadas, pero la derivada más alta debe incluirse en la ecuación norte- ordenar. Por ejemplo

a) es una ecuación de primer orden;

b) es una ecuación de tercer orden.

Al escribir ecuaciones diferenciales ordinarias, a menudo se usa la notación de derivadas a través de diferenciales:

en) es una ecuación de segundo orden;

d) es una ecuación de primer orden,

formado después de la división por dx forma equivalente de la ecuación: .

Una función se llama solución de una ecuación diferencial ordinaria si, al sustituirla, se convierte en una identidad.

Por ejemplo, la ecuación de tercer orden

tiene una solución .

Encontrar por un método u otro, por ejemplo, selección, una función que satisface una ecuación no significa resolverla. Resolver una ecuación diferencial ordinaria significa encontrar todos funciones que forman una identidad cuando se sustituyen en la ecuación. Para la ecuación (1.1), la familia de tales funciones se forma con la ayuda de constantes arbitrarias y se denomina solución general de la ecuación diferencial ordinaria norte th orden, y el número de constantes coincide con el orden de la ecuación: y(x): En este caso, la solución se llama integral general de la ecuación (1.1).

Por ejemplo, la siguiente expresión es una solución general de una ecuación diferencial: , y el segundo término se puede escribir como , ya que una constante arbitraria dividida por 2 se puede reemplazar por una nueva constante arbitraria .

Al establecer algunos valores admisibles para todas las constantes arbitrarias en la solución general o en la integral general, obtenemos una determinada función que ya no contiene constantes arbitrarias. Esta función se llama solución particular o integral particular de la ecuación (1.1). Para encontrar los valores de las constantes arbitrarias, y por ende la solución particular, se utilizan varias condiciones adicionales a la ecuación (1.1). Por ejemplo, las llamadas condiciones iniciales para (1.2) se pueden dar

En las partes derechas de las condiciones iniciales (1.2), se dan los valores numéricos de la función y las derivadas, y el número total de condiciones iniciales es igual al número de constantes arbitrarias que se determinan.

El problema de encontrar una solución particular a la ecuación (1.1) a partir de las condiciones iniciales se denomina problema de Cauchy.

§ 2. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden - conceptos básicos.

Ecuación diferencial ordinaria de primer orden ( norte=1) tiene la forma: o, si se puede resolver con respecto a la derivada: . decisión común y=y(x, C) o la integral general de las ecuaciones de primer orden contiene una constante arbitraria. La única condición inicial para la ecuación de primer orden te permite determinar el valor de la constante a partir de la solución general o de la integral general. Así, se encontrará una solución particular o, lo que es lo mismo, se resolverá el problema de Cauchy. La cuestión de la existencia y unicidad de una solución al problema de Cauchy es una de las cuestiones centrales en teoría general ecuaciones diferenciales ordinarias. Para una ecuación de primer orden, en particular, es válido el teorema, que se acepta aquí sin demostración.

Teorema 2.1. Si en una ecuación una función y su derivada parcial son continuas en alguna región D plano XOY , y se da un punto en esta región, entonces existe y, además, una solución única que satisface tanto la ecuación como la condición inicial.

La solución geométricamente general de la ecuación de primer orden es una familia de curvas en el plano XOY, que no tiene puntos comunes y se diferencian entre sí por un parámetro: el valor de la constante C. Estas curvas se llaman curvas integrales para la ecuación dada. Las curvas integrales de la ecuación tienen una propiedad geométrica obvia: en cada punto, la tangente de la pendiente de la tangente a la curva es igual al valor del lado derecho de la ecuación en ese punto: . En otras palabras, la ecuación está dada en el plano XOY campo de direcciones de tangentes a curvas integrales. Comentario: Cabe señalar que para la ecuación se dan la ecuación y la llamada ecuación en forma simétrica .

Ecuaciones diferenciales de primer orden con variables separables.

Definición. Una ecuación diferencial con variables separables es una ecuación de la forma (3.1)

o una ecuación de la forma (3.2)

Para separar las variables en la ecuación (3.1), es decir, reducir esta ecuación a la llamada ecuación con variables separadas, realizar las siguientes acciones:

;

Ahora tenemos que resolver la ecuación. g(y)=0. si tiene solucion real y=a, después y=a será también una solución de la ecuación (3.1).

La ecuación (3.2) se reduce a una ecuación con variables separadas dividiendo por el producto:

, lo que nos permite obtener la integral general de la ecuación (3.2): . (3.3)

Las curvas integrales (3.3) se complementarán con soluciones si tales soluciones existen.

Resuelve la ecuación: .

Separación de variables:

.

Integrando, obtenemos