Anteriormente, discutimos los métodos generales de integración. En esta y las siguientes secciones, hablaremos sobre la integración de clases específicas de funciones con la ayuda de las técnicas consideradas.

Integración de las funciones racionales más simples

Considere una integral de la forma \textstyle(\int R(x)\,dx), donde y=R(x) es una función racional. Cualquier expresión racional R(x) se puede representar como \frac(P(x))(Q(x)), donde P(x) y Q(x) son polinomios. Si esta fracción es incorrecta, es decir, si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador, entonces se puede representar como la suma de un polinomio (la parte entera) y una fracción propia. Por lo tanto, basta con considerar la integración de fracciones propias.

Demostremos que la integración de tales fracciones se reduce a la integración fracciones simples, es decir, expresiones de la forma:

\mathsf(1))~\frac(A)(x-a);\quad \mathsf(2))~\frac(A)((x-a)^n);\quad \mathsf(3))~ \frac( Ax+B)(x^2+px+q);\quad \mathsf(4))~\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n).

dónde A,\,B,\,a,\,p,\,q son números reales y el trinomio cuadrado x^2+px+q no tiene raíces reales. Las expresiones de la forma 1) y 2) se denominan fracciones de primera especie, y las expresiones de la forma 3) y 4) se denominan fracciones de segunda especie.

Las integrales de fracciones del 1er tipo se calculan directamente

\begin(alineado)\mathsf(1))&~\int\frac(A)(x-a)\,dx= A\ln|x-a|+C;\\ \mathsf(2))&~ \int\frac (A)((x-a)^n)\,dx= A\int(x-a)^(-n)\,dx= A\,\frac((x-a)^(-n+1))(-n+ 1 )+C~(n=2,3,4,\ldots). \end(alineado)

Considere el cálculo de integrales a partir de fracciones del segundo tipo: \mathsf(3))~ \int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx\,.

Primero, notemos que

\int\frac(dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(a)\nombre del operador(arctg)\frac(t)(a)+C,\qquad \int\frac(t\ ,dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(2)\ln(t^2+a^2)+C.

Para reducir el cálculo de la integral 3) a estas dos integrales, transformamos el trinomio cuadrado x^2+px+q extrayéndole un cuadrado completo:

x^2+px+q= (\izquierda(x+\frac(p)(2)\derecha)\^2+ \left(q-\frac{p^2}{4}\right)\!. !}

Como por suposición este trinomio no tiene raíces reales, entonces q-\frac(p^2)(4)>0 y podemos poner q-\frac(p^2)(4)=a^2. Sustitución x+\frac(p)(2)=t,~ dx=dt transforma la integral 3) en una combinación lineal de las dos integrales anteriores:

\begin(alineado)\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx&= \int\frac(A\!\left(t-\frac(p)(2)\right )+B)(t^2+a^2)\,dt= A\int\frac(t\,dt)(t^2+a^2)+ \left(B-\frac(Ap)(2 )\right)\!\int\frac(dt)(t^2+a^2)=\\ &=\frac(A)(2)\ln(t^2+a^2)+ \frac( 1)(a)\!\left(B-\frac(Ap)(2)\right)\!\ \operatorname(arctg)\frac(t)(a)+C. \end(alineado)

En la respuesta final, solo necesita reemplazar (t) con x+\frac(p)(2) y (a) con \sqrt(q-\frac(p^2)(4)). Como t^2+a^2=x^2+px+q , entonces

\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx= \frac(A)(2)\ln(x^2+px+q)+ \frac(B-\dfrac( Ap)(2))(\sqrt(q-\dfrac(p^2)(4))) \operatorname(arctg)\frac(x+\dfrac(p)(2))(\sqrt(q-\dfrac (pág^2)(4)))+C.

Considere el caso \mathsf(4))~ \int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx.

Como en el caso anterior, establecemos x+\frac(p)(2)=t . Obtenemos:

\int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx= A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n) + \izquierda(B-\frac(Ap)(2)\derecha)\! \int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)\,.

El primer término se calcula así:

A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n)= \frac(A)(2)\int(t^2+a^2)^(-n)\ ,d(t^2+a^2)= \frac(A)(2)\frac((t^2+a^2)^(-n+1))(-n+1)= \frac( A)(2(1-n)(t^2+a^2)^(n-1))\,.

La segunda integral se calcula usando la fórmula recurrente.

Ejemplo 1 Calcular \int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx.

Solución. Tenemos: x^2+2x+3=(x+1)^2+2. Sea x+1=t. Entonces dx=dt y 3x+2=3(t-1)+2=3t-1 y por lo tanto

\begin(alineado)\int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx&= \int\frac(3t-1)(t^2+2)\,dt= \frac( 3)(2)\int\frac(2t\,dt)(t^2+2)- \int\frac(dt)(t^2+(\sqrt(2))^2)=\\ &= \frac(3)(2)\ln(t^2+2)- \frac(1)(\sqrt(2))\nombre del operador(arctg)\frac(t)(\sqrt(2))+C= \\ &=\frac(3)(2)\ln(x^2+2x+3)- \frac(1)(\sqrt(2))\nombre del operador(arctg)\frac(x+1)(\ sqrt(2))+C. \end(alineado)

Ejemplo 2 Calcular \int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx.

Solución. Tenemos: x^2+6x+10=(x+3)^2+1. Introduzcamos una nueva variable configurando x+3=t . Entonces dt=dx y x+2=t-1. Reemplazando la variable bajo el signo integral, obtenemos:

\begin(alineado)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&= \int\frac(t-1)((t^2+1)^2 )\,dt= \frac(1)(2)\int\frac(2t\,dt)((t^2+1)^2)-\int\frac(dt)((t^2+1) ^2)=\\ &=-\frac(1)(2(t^2+1))- \int\frac(dt)((t^2+1)^2)\,. \end(alineado))

Pongamos I_2=\int\frac(dt)((t^2+1)^2). Tenemos:

I_2=\frac(1)(2)I_1+\frac(1)(2)\frac(t)(t^2+1), pero I_1=\int\frac(dt)(t^2+1)= \nombre del operador(arctg)t De este modo, I_2= \frac(1)(2)\nombre del operador(arctg)t+ \frac(t)(2(t^2+1)).

Finalmente obtenemos:

\begin(alineado)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&=-\frac(1)(2(t^2+1))-\frac (1)(2)\nombre del operador(arctg)t-\frac(t)(2(t^2+1))=\\ &=-\frac(1)(2(x^2+6x+10) )- \frac(1)(2)\nombre del operador(arctg)(x+3)- \frac(x+3)(2(x^2+6x+10))+C=\\ &=\frac( -x-4)(2(x^2+6x+10))-\frac(1)(2)\nombre del operador(arctg)(x+3)+C \end(alineado)

Integración de fracciones propias

Considere una fracción propia R(x)=\frac(P(x))(Q(x)), donde Q(x) es un polinomio de grado n . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el coeficiente principal en Q(x) es igual a 1. En el curso de álgebra, se demuestra que dicho polinomio con coeficientes reales se puede factorizar en factores de primer y segundo grado con coeficientes reales :

Q(x)= (x-x_1)^(\alpha)\ldots (x-x_k)^(\beta) (x^2+p\,x+q)^(\gamma)\ldots (x^2 +r\,x+s)^(\delta).

donde x_1,\ldots,x_k son raíces reales del polinomio Q(x) y los trinomios cuadrados no tienen raíces reales. Se puede probar que entonces R(x) se representa como una suma de fracciones simples de la forma 1) -4):

\begin(alineado)R(x)=&\frac(P(x))(Q(x))= \frac(A_1)((x-x_1)^(\alpha))+ \frac(A_2)( (x-x_1)^(\alpha-1))+\ldots+ \frac(A_(\alpha))(x-x_1)\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(B_1)((x- x_k)^(\beta))+ \frac(B_2)((x-x_k)^(\beta-1))+\ldots+ \frac(B_(\beta))(x-x_k)+ \frac(M_1x+ N_1)((x^2+p\,x+q)^(\gamma))\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(M_(\gamma)+ N_(\gamma))(x^ 2+ p\,x+s)+ \frac(E_1x+F_1)((x^2+rx+s)^(\delta))+\ldots+ \frac(E_(\delta)x+F_(\delta ))(x^2+rx+s)\, \end(alineado)

donde los exponentes de los denominadores disminuyen secuencialmente de \alpha a 1, ..., de \beta a 1, de \gamma a 1, ..., de \delta a 1, y A_1,\ldots,F_(\delta)- coeficientes indefinidos. Para encontrar estos coeficientes, es necesario deshacerse de los denominadores y, habiendo obtenido la igualdad de dos polinomios, use el método de coeficientes indefinidos.

Otra forma de determinar los coeficientes A_1,\ldots, A_(\alpha), \ldots, F_(\delta) se basa en sustituir los valores de la variable x. Sustituyendo cualquier número en lugar de x en la igualdad obtenida de la igualdad (1) después de la liberación de los denominadores, llegamos a ecuación lineal con respecto a los coeficientes deseados. Al sustituir el número requerido de tales valores particulares de la variable, obtenemos un sistema de ecuaciones para encontrar los coeficientes. Lo más conveniente es elegir las raíces del denominador (tanto reales como complejas) como valores privados de la variable. En este caso, casi todos los términos del lado derecho de la igualdad (es decir, la igualdad de dos polinomios) desaparecen, lo que facilita encontrar los coeficientes restantes. Al sustituir valores complejos, se debe tener en cuenta que dos números complejos son iguales si y solo si sus partes real e imaginaria son iguales, respectivamente. Por lo tanto, de cada igualdad que contiene números complejos, se obtienen dos ecuaciones.

Después de encontrar los coeficientes indefinidos, queda por calcular las integrales de las fracciones simples obtenidas. Como al integrar las fracciones más simples, como hemos visto, solo se obtienen funciones racionales, arcotangentes y logaritmos, entonces la integral de cualquier función racional se expresa en términos de función racional, arcotangentes y logaritmos.

Ejemplo 3 Calcular la integral de una fracción racional propia \int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx.

Solución. Descomponemos el denominador del integrando en factores:

x^2+2x-3=(x-1)(x+3).

Escribimos el integrando y lo representamos como una suma de fracciones simples:

\frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(A)(x-1)+\frac(B)(B+3)\,.

Habiéndonos liberado de los denominadores en esta igualdad, obtenemos:

6x+1=A\cdot (x+3)+B\cdot (x-1)\,.

Para encontrar los coeficientes, usamos el método de sustitución de valores parciales. Para encontrar el coeficiente A ponemos x=1 . Entonces de la igualdad (2) obtenemos 7=4A, de donde A=7/4. Para encontrar el coeficiente B establecemos x=-3. Luego de la igualdad (2) obtenemos -17=-4B, de donde B=17/4.

Asi que, \frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(7)(4)\cdot\frac(1)(x-1)+ \frac(17)(4)\cdot\frac (1)(x+3). Medio,

\int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx= \frac(7)(4)\int\frac(dx)(x-1)+ \frac(17)(4 )\int\frac(dx)(x+3)= \frac(7)(4)\ln|x-1|+ \frac(17)(4)\ln|x+3|+C.

Ejemplo 4 Calcular \int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx.

Solución. Escribimos el integrando y lo representamos como una suma de fracciones simples. El denominador contiene el factor x^2+2, que no tiene raíces reales, corresponde a una fracción de 2º tipo: \frac(Ax+B)(x^2+2) el factor (x-1)^2 corresponde a la suma de dos fracciones del 1er tipo: \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1); finalmente, el factor x+2 corresponde a una fracción del 1er tipo \frac(E)(x+2) . Así, representaremos el integrando como una suma de cuatro fracciones:

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(Ax+B)(x^2+2 )+ \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1)+ \frac(E)(x+2)\,.

Deshagámonos de los denominadores en esta igualdad. Obtenemos:

\begin(alineado) x^4+2x^2+8x+5&= (Ax+B)(x-1)^2(x+2)+ C(x^2+2)(x+2)\, +\\ &\fantasma(=)+ D(x^2+2)(x-1)(x+2)+ E(x^2+2)(x-1)^2.\end(alineado)

El denominador del integrando tiene dos raíces reales: x=1 y x=-2. Al sustituir x=1 en la igualdad (4), obtenemos 16=9C , de donde encontramos C=16/9 . Al sustituir x=-2, obtenemos 13=54E y determinamos E=13/54 en consecuencia. Sustituyendo el valor x=i\,\sqrt(2) (la raíz del polinomio x^2+2 ) nos permite pasar a la igualdad

4-4+8\,i\,\sqrt(2)+5= (A\,i\,\sqrt(2)+B)\cdot (i\,\sqrt(2)-1)^2\ cdot(i\,\sqrt(2)+2).

Se transforma en:

(10A+2B)+(2A-5B)\raíz cuadrada(2)\,i= 5+8\raíz cuadrada(2)\,i, de donde 10A+2B=5 , y (2A-5B)\raíz cuadrada(2)=8\raíz cuadrada(2).

Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables \begin(casos)10A+2B=5,\\ 2A-5B=8,\end(casos) encontramos: A=\frac(41)(54),~ B=-\frac(35)(27).

Queda por determinar el valor del coeficiente D. Para hacer esto, en la igualdad (4) abrimos los paréntesis, damos términos similares y luego comparamos los coeficientes en x^4. Obtenemos:

A+D+E=1, es decir, D=0.

Sustituyamos los valores encontrados de los coeficientes en la igualdad (3):

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(\drac(41)(54)\, x- \dfrac(35)(27))(x^2+2)+ \frac(16)(9)\frac(1)((x-1)^2)+ \frac(13)(54) \frac(1)(x+2)\,

y luego pasar a la integración:

\begin(alineado)\int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx&= \frac( 41)(54)\int\frac(x\,dx)(x^2+2)- \frac(35)(27)\int\frac(dx)(x^2+2)+ \frac(16 )(9) \int\frac(dx)((x-1)^2)+ \frac(13)(54)\int\frac(dx)(x+2)=\\ &=\frac(41 )(108)\ln(x^2+2)- \frac(35)(27\sqrt(2))\operatorname(arctg)\frac(x)(\sqrt(2))- \frac(16) (9(x-1))+ \frac(13)(54) \ln|x+2|+C.\end(alineado)

Integración de fracciones impropias

Sea necesario integrar la función y=\frac(f(x))(g(x)), donde f(x) y g(x) son polinomios, y el grado del polinomio f(x) es mayor o igual que el grado del polinomio g(x) . En este caso, en primer lugar, es necesario seleccionar la parte entera de la fracción impropia \frac(f(x))(g(x)), es decir, representarlo en la forma

\frac(f(x))(g(x))=s(x)+ \frac(r(x))(g(x))\,

donde s(x) es un polinomio de grado igual a la diferencia de los grados de los polinomios f(x) y g(x), y \frac(r(x))(g(x)) es una fracción propia.

Entonces tenemos \int\frac(f(x))(g(x))\,dx= \int s(x)\,dx+ \int\frac(r(x))(g(x))\,dx\, ..

Ejemplo 5 Calcular la integral de una fracción impropia \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx.

Solución. Tenemos:

\begin(alineado)g(x)&=(x-1)(x+2)(x-3)= x^3-2x^2-5x+6,\\ f(x)&=x^4 -4x^3+x^2+16x-11. \end(alineado)

Para extraer la parte entera, dividimos f(x) por g(x) : \frac(f(x))(g(x))= x-2+\frac(2x^2+1)(x^3-2x^2-5x+6)\,.

Medio, \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx= \int(x-2)dx+ \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx

Tenemos: \int(x-2)dx=\frac(x^2)(2)-2x+C.

Para calcular la integral \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx aplicó, como antes, el método de los coeficientes indeterminados. Después de los cálculos, que dejamos al lector, llegamos.

TEMA: Integración fracciones racionales.

¡Atención! Al estudiar uno de los principales métodos de integración, la integración de fracciones racionales, se requiere considerar polinomios en el dominio complejo para pruebas rigurosas. Por lo tanto, es necesario estudiar de antemano algunas propiedades de los números complejos y operaciones sobre ellos.

Integración de las fracciones racionales más simples.

si un PAGS(z) y q(z) son polinomios en el dominio complejo, entonces es una fracción racional. Se llama correcto si el grado PAGS(z) menos grado q(z) , y equivocado si el grado R no menos grado q.

Cualquier fracción impropia se puede representar como: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

a R(z) – polinomio cuyo grado es menor que el grado q(z).

Así, la integración de fracciones racionales se reduce a la integración de polinomios, es decir, funciones potencia y fracciones propias, ya que se trata de una fracción propia.

Definición 5. Las fracciones más simples (o elementales) son fracciones de los siguientes tipos:

1) , 2) , 3) , 4) .

Veamos cómo se integran.

3) (explorado anteriormente).

Teorema 5. Cualquier fracción propia se puede representar como una suma de fracciones simples (sin demostración).

Corolario 1. Si es una fracción racional propia, y si entre las raíces del polinomio solo hay raíces reales simples, entonces en la expansión de la fracción en la suma de fracciones simples solo habrá fracciones simples del 1er tipo:

Ejemplo 1

Corolario 2. Si es una fracción racional propia, y si entre las raíces del polinomio solo hay múltiples raíces reales, entonces en la expansión de la fracción en la suma de fracciones simples solo habrá fracciones simples del 1er y 2do tipo :

Ejemplo 2

Corolario 3. Si es una fracción racional propia, y si entre las raíces del polinomio solo hay raíces complejas conjugadas simples, entonces en la expansión de la fracción en la suma de fracciones simples solo habrá fracciones simples del 3er tipo:

Ejemplo 3

Corolario 4. Si es una fracción racional propia, y si entre las raíces del polinomio solo hay múltiples raíces complejas conjugadas, entonces en la expansión de la fracción en la suma de fracciones simples solo habrá fracciones simples de la 3ra y 4ta tipos:

Para determinar los coeficientes desconocidos en las expansiones anteriores, proceda de la siguiente manera. izquierda y lado derecho expansión que contiene coeficientes desconocidos, multiplicada por Resulta la igualdad de dos polinomios. Las ecuaciones para los coeficientes deseados se obtienen a partir de él, usando eso:

1. la igualdad es válida para cualquier valor de X (método de valores parciales). En este caso, se obtienen cualquier número de ecuaciones, cualquier m de las cuales nos permite encontrar coeficientes desconocidos.

2. los coeficientes coinciden en las mismas potencias de X (método de los coeficientes indefinidos). En este caso, se obtiene un sistema de m - ecuaciones con m - incógnitas, a partir del cual se obtienen coeficientes desconocidos.

3. método combinado.

Ejemplo 5. Expande una fracción a lo más sencillo.

Solución:

Encuentre los coeficientes A y B.

1 vía - método de valor privado:

Método 2 - el método de coeficientes inciertos:

Responder:

Integración de fracciones racionales.

Teorema 6. La integral indefinida de cualquier fracción racional en cualquier intervalo en el que su denominador no es igual a cero existe y se expresa en términos de funciones elementales, a saber, fracciones racionales, logaritmos y arcotangentes.

Prueba.

Representamos una fracción racional en la forma: . Además, el último término es una fracción propia, y por el Teorema 5 puede representarse como una combinación lineal de fracciones simples. Así, integrar una fracción racional se reduce a integrar un polinomio S(X) y las fracciones más simples, cuyas antiderivadas, como se mostró, tienen la forma indicada en el teorema.

Comentario. La principal dificultad en este caso es la descomposición del denominador en factores, es decir, la búsqueda de todas sus raíces.

Ejemplo 1. Encuentra la integral

El material presentado en este tema se basa en la información presentada en el tema "Fracciones racionales. Descomposición de fracciones racionales en fracciones elementales (simples)". Le recomiendo encarecidamente que al menos hojee este tema antes de proceder a leer este material. Además, necesitaremos una tabla de integrales indefinidas.

Permítanme recordarles un par de términos. Fueron discutidos en el tema correspondiente, por lo que aquí me limitaré a una breve formulación.

La razón de dos polinomios $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ se llama función racional o fracción racional. La fracción racional se llama correcto si $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется equivocado.

Las fracciones racionales elementales (más simples) son fracciones racionales de cuatro tipos:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Nota (deseable para una mejor comprensión del texto): mostrar\ocultar

¿Por qué es necesaria la condición $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Por ejemplo, para la expresión $x^2+5x+10$ obtenemos: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Desde $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Por cierto, para esta comprobación no es necesario que el coeficiente delante de $x^2$ sea igual a 1. Por ejemplo, para $5x^2+7x-3=0$ obtenemos: $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Como $D > 0$, la expresión $5x^2+7x-3$ es factorizable.

Se pueden encontrar ejemplos de fracciones racionales (regulares e impropias), así como ejemplos de la expansión de una fracción racional en fracciones elementales. Aquí sólo nos interesan las cuestiones de su integración. Comencemos con la integración de fracciones elementales. Entonces, cada uno de los cuatro tipos de las fracciones elementales anteriores es fácil de integrar usando las fórmulas a continuación. Permíteme recordarte que al integrar fracciones de tipo (2) y (4) se asume $n=2,3,4,\ldots$. Las fórmulas (3) y (4) requieren la condición $p^2-4q< 0$.

\begin(ecuación) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(ecuación) \begin(ecuación) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(ecuación) \begin(ecuación) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(ecuación)

Para $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ se hace el reemplazo $t=x+\frac(p)(2)$, después de lo cual la integral resultante es dividir en dos. El primero se calculará insertándolo debajo del signo diferencial, y el segundo se verá como $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Esta integral se toma usando la relación de recurrencia

\begin(ecuación) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\in N \end(ecuación)

El cálculo de tal integral se analiza en el ejemplo No. 7 (ver la tercera parte).

Esquema para calcular integrales a partir de funciones racionales (fracciones racionales):

1. Si el integrando es elemental, aplique las fórmulas (1)-(4).
2. Si el integrando no es elemental, entonces represéntelo como una suma de fracciones elementales y luego integre usando las fórmulas (1)-(4).

El algoritmo anterior para integrar fracciones racionales tiene una ventaja innegable: es universal. Aquellos. Usando este algoritmo, uno puede integrar ningún fracción racional. Es por eso que casi todos los reemplazos de variables en la integral indefinida (Euler, sustituciones de Chebyshev, sustitución trigonométrica universal) se realizan de tal manera que después de este reemplazo obtenemos una fracción racional en el intervalo. Y aplicarle el algoritmo. Analizaremos la aplicación directa de este algoritmo mediante ejemplos, después de hacer una pequeña nota.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

En principio, esta integral es fácil de obtener sin aplicación mecánica de la fórmula. Si quitamos la constante $7$ del signo integral y tenemos en cuenta que $dx=d(x+9)$, entonces obtenemos:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Para obtener información detallada, recomiendo mirar el tema. Explica en detalle cómo se resuelven tales integrales. Por cierto, la fórmula se demuestra mediante las mismas transformaciones que se aplicaron en este párrafo al resolver "manualmente".

2) Nuevamente, hay dos formas: aplicar una fórmula preparada o prescindir de ella. Si aplica la fórmula, entonces debe tener en cuenta que el coeficiente frente a $x$ (el número 4) deberá eliminarse. Para ello, simplemente sacamos los cuatro entre paréntesis:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\izquierda(x+\frac(19)(4)\derecha)^8). $$

Ahora es el momento de aplicar la fórmula:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Puedes prescindir de usar la fórmula. E incluso sin poner los $4$ constantes fuera de paréntesis. Si tenemos en cuenta que $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, entonces obtenemos:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

En el tema "Integración por sustitución (introducción bajo el signo diferencial)" se dan explicaciones detalladas sobre cómo encontrar tales integrales.

3) Necesitamos integrar la fracción $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Esta fracción tiene la estructura $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, donde $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Sin embargo, para asegurarse de que se trata de una fracción elemental del tercer tipo, debe verificar la condición $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Resolvamos el mismo ejemplo, pero sin usar la fórmula preparada. Intentemos aislar la derivada del denominador en el numerador. ¿Qué significa esto? Sabemos que $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Es la expresión $2x+10$ la que tenemos que aislar en el numerador. Hasta ahora, el numerador contiene solo $4x+7$ , pero esto no es por mucho tiempo. Aplique la siguiente transformación al numerador:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Ahora la expresión requerida $2x+10$ ha aparecido en el numerador. Y nuestra integral se puede reescribir de la siguiente manera:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Vamos a dividir el integrando en dos. Bueno, y, en consecuencia, la integral en sí también está "dividida":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \derecha)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Primero hablemos de la primera integral, es decir sobre $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Como $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, entonces el diferencial del denominador se encuentra en el numerador del integrando. En resumen, en lugar de de la expresión $( 2x+10)dx$ escribimos $d(x^2+10x+34)$.

Ahora digamos algunas palabras sobre la segunda integral. Señalemos el cuadrado completo en el denominador: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Además, tenemos en cuenta $dx=d(x+5)$. Ahora, la suma de integrales obtenida por nosotros anteriormente se puede reescribir en una forma ligeramente diferente:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Si hacemos el cambio $u=x^2+10x+34$ en la primera integral, entonces tomará la forma $\int\frac(du)(u)$ y tomará aplicación sencilla segunda fórmula de . En cuanto a la segunda integral, el reemplazo $u=x+5$ es factible para ella, después de lo cual toma la forma $\int\frac(du)(u^2+9)$. Esta es el agua más pura, la undécima fórmula de la tabla de integrales indefinidas. Entonces, volviendo a la suma de integrales, tendremos:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Obtuvimos la misma respuesta que al aplicar la fórmula , lo que, de hecho, no es de extrañar. En general, la fórmula se demuestra por los mismos métodos que usamos para encontrar esta integral. Creo que un lector atento puede tener aquí una pregunta, por lo que la formularé:

Pregunta 1

Si aplicamos la segunda fórmula de la tabla de integrales indefinidas a la integral $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, entonces obtenemos lo siguiente:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

¿Por qué faltaba el módulo en la solución?

Respuesta a la pregunta #1

La pregunta es completamente legítima. El módulo estaba ausente solo porque la expresión $x^2+10x+34$ para cualquier $x\in R$ es mayor que cero. Esto es bastante fácil de mostrar de varias maneras. Por ejemplo, dado que $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ y $(x+5)^2 ≥ 0$, entonces $(x+5)^2+9 > 0$ . Es posible juzgar de una manera diferente, sin involucrar la selección de un cuadrado completo. Desde $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ para cualquier $x\in R$ (si esta cadena lógica te sorprende, te aconsejo que mires el método gráfico para resolver desigualdades al cuadrado). En cualquier caso, dado que $x^2+10x+34 > 0$, entonces $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, es decir puede usar corchetes normales en lugar de un módulo.

Todos los puntos del ejemplo No. 1 están resueltos, solo queda escribir la respuesta.

Responder:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Ejemplo #2

Encuentra la integral $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

A primera vista, el integrando $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ es muy similar a una fracción elemental del tercer tipo, es decir a $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Parece que la única diferencia es el coeficiente $3$ delante de $x^2$, pero no tardará mucho en eliminar el coeficiente (fuera de paréntesis). Sin embargo, esta similitud es evidente. Para la fracción $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ la condición $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Nuestro coeficiente frente a $x^2$ no es igual a uno, así que comprueba la condición $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, por lo que la expresión $3x^2-5x-2$ se puede factorizar. Y esto quiere decir que la fracción $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ no es una fracción elemental del tercer tipo, y se aplica a la integral $\int\frac(7x+12)( La fórmula 3x^2- 5x-2)dx$ no está permitida.

Bueno, si la fracción racional dada no es elemental, entonces debe representarse como una suma de fracciones elementales y luego integrarse. En resumen, senderos para aprovechar. Cómo descomponer una fracción racional en fracciones elementales está escrito en detalle. Comencemos por factorizar el denominador:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(alineado) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \end(alineado)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

Representamos la fracción subinterna de la siguiente forma:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Ahora vamos a expandir la fracción $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ en elementales:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\derecha). $$

Para encontrar los coeficientes $A$ y $B$ existen dos formas estándar: el método de coeficientes indeterminados y el método de sustitución de valores parciales. Apliquemos el método de sustitución de valor parcial sustituyendo $x=2$ y luego $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\derecha); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Dado que se han encontrado los coeficientes, solo queda escribir la expansión terminada:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

En principio, podéis dejar esta entrada, pero me gusta una versión más precisa:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Volviendo a la integral original, sustituimos la expansión resultante en ella. Luego dividimos la integral en dos y aplicamos la fórmula a cada uno. Prefiero sacar inmediatamente las constantes fuera del signo integral:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Responder: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Ejemplo #3

Encuentra la integral $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Necesitamos integrar la fracción $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. El numerador es un polinomio de segundo grado y el denominador es un polinomio de tercer grado. Dado que el grado del polinomio en el numerador es menor que el grado del polinomio en el denominador, es decir $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Solo tenemos que dividir la integral dada en tres y aplicar la fórmula a cada uno. Prefiero sacar inmediatamente las constantes fuera del signo integral:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Responder: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Una continuación del análisis de ejemplos de este tema se ubica en la segunda parte.

Una de las clases de funciones más importantes cuyas integrales se expresan en términos de funciones elementales es la clase de funciones racionales.

Definición 1. Una función de la forma donde
- polinomios de gradonorteymetrollamado racional. Toda una función racional, es decir polinomio, integra directamente. La integral de una función fraccionaria-racional se puede encontrar expandiéndola en términos, que se convierten de manera estándar en las integrales de la tabla principal.

Definición 2. Fracción
se llama correcto si el grado del numeradornortemenos que el denominadormetro. Una fracción cuyo numerador es mayor o igual que el denominador se llama fracción impropia.

Cualquier fracción impropia se puede representar como la suma de un polinomio y una fracción propia. Esto se hace dividiendo un polinomio por un polinomio de "columna", similar a dividir números.

Ejemplo.

Imagina una fracción
como la suma de un polinomio y una fracción propia:

x - 1

3

3

3

Primer periodo
en el cociente se obtiene como resultado de dividir el término principal
, divisible por el término principal X divisor. luego multiplicamos
al divisor x-1 y restar el resultado del dividendo; los términos restantes del cociente incompleto se encuentran de manera similar.

Después de dividir los polinomios, obtenemos:

Esta acción se llama la selección de la parte entera.

Definición 3. Las fracciones más simples son fracciones racionales propias de los siguientes tipos:

YO.

II.
(K=2, 3, …).

tercero
donde esta el trinomio cuadrado

IV.
donde K=2, 3, …; trinomio cuadrado
no tiene raíces reales.

a) expandir el denominador
en los factores reales más simples (según el teorema fundamental del álgebra, esta descomposición puede contener binomios lineales de la forma
y trinomios cuadrados
, sin raíces);

b) escribir un esquema para expandir una fracción dada en una suma de fracciones simples. Además, cada factor de la forma
corresponde k términos de los tipos I y II:

a cada factor de la forma
corresponde a términos e de los tipos III y IV:

Ejemplo.

Escriba un esquema de descomposición de fracciones
en la suma de lo más simple.

c) realizar la suma de las fracciones simples obtenidas. Anote la igualdad de los numeradores de las fracciones recibidas e iniciales;

d) encontrar los coeficientes de la expansión correspondiente:
(los métodos de solución se discutirán más adelante);

e) Sustituir los valores encontrados de los coeficientes en el esquema de descomposición.

La integración de cualquier fracción racional propia después de la descomposición en términos simples se reduce a encontrar integrales de uno de los tipos:

(k y mi =2, 3, …).

Cálculo de integrales se reduce a la fórmula III:

integral - a la fórmula II:

integral se puede encontrar mediante la regla especificada en la teoría de integración de funciones que contienen un trinomio cuadrado; - por las transformaciones que se muestran a continuación en el ejemplo 4.

Ejemplo 1

a) factorizar el denominador:

b) escribe un esquema para expandir el integrando en términos:

c) realizar la suma de fracciones simples:

Escribimos la igualdad de los numeradores de fracciones:

d) hay dos métodos para encontrar coeficientes desconocidos A, B, C.

Dos polinomios son iguales si y solo si sus coeficientes son iguales a las mismas potencias X, para que puedas hacer el sistema de ecuaciones correspondiente. Esta es una de las soluciones.

Coeficientes en

miembros libres (coeficiente en ):4A=8.

Resolviendo el sistema, obtenemos A=2, B=1, C= - 10.

Otro método: los valores privados se discutirán en el siguiente ejemplo;

e) sustituir los valores encontrados en el esquema de expansión:

Sustituyendo la suma resultante bajo el signo integral, e integrando cada término por separado, encontramos:

Ejemplo 2

Una identidad es una igualdad que es válida para cualquier valor de las incógnitas incluidas en ella. Basado en esto método de valor privado. Se puede adjuntar X cualquier valor. Es más conveniente que los cálculos tomen aquellos valores que desaparezcan cualquier término del lado derecho de la igualdad.

Dejar x = 0. Después 1 = un 0(0+2)+N 0 (0-1)+C (0-1)(0+2).

Del mismo modo, cuando x = - 2 tenemos 1= - 2B*(-3), a X = 1 tenemos 1 = 3A.

Como consecuencia,

Ejemplo 3

d) Primero usamos el método de valores parciales.

Dejar x = 0, después 1 = un 1, A = 1.

A x = - 1 tenemos - 1+4+2+1 = - B(1+1+1) o 6 = - 3V, B = - 2.

Para encontrar los coeficientes C y D, necesitas componer dos ecuaciones más. Para hacer esto, puede tomar cualquier otro valor X, por ejemplo X = 1 y x = 2. Puede utilizar el primer método, es decir. igualar los coeficientes a cualquier potencia idéntica X, por ejemplo cuando y . Obtener

1 = A + B + C y 4 = C +D- A.

Conocimiento un = 1, B = -2, encontrar C = 2, D = 0 .

Así, a la hora de calcular los coeficientes, se pueden combinar ambos métodos.

última integral encontramos por separado de acuerdo con la regla especificada en el método de comando de una nueva variable. Seleccionamos el cuadrado completo en el denominador:

digamos
después
Obtenemos:

=

Sustituyendo en la igualdad anterior, encontramos

Ejemplo 4

Encontrar

b)

mi)

Integrando tenemos:

Transformamos la primera integral a la fórmula III:

Transformamos la segunda integral a la fórmula II:

En la tercera integral, reemplazamos la variable:

(Al realizar transformaciones, usamos la fórmula trigonométrica

Encuentra integrales:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Preguntas para el autoexamen.

Cuáles de las fracciones racionales dadas son correctas:

2. ¿Está correctamente escrito el esquema de desarrollo de una fracción en la suma de fracciones simples?

2., 5.
,

3.
, 6.
.

En integrales 1-3 como tu aceptar . A continuación, después norte-veces la aplicación de la fórmula (19), llegamos a una de las integrales de tabla

,
,
.

En las integrales 4-6, al derivar, se simplifica el factor trascendental
,
o
, que debe tomarse como tu.

Calcula las siguientes integrales.

Ejemplo 7

Ejemplo 8

Reduciendo integrales a sí mismo

Si el integrando
parece:

,
,
y así,

entonces después de la doble integración por partes obtenemos una expresión que contiene la integral original :

,

dónde
es una constante.

Resolviendo la ecuación resultante con respecto a , obtenemos una fórmula para calcular la integral original:

.

Este caso de aplicar el método de integración por partes se llama " trayendo la integral a si misma».

Ejemplo 9 Calcular integral
.

En el lado derecho está la integral original. . Moviéndolo hacia el lado izquierdo, obtenemos:

.

Ejemplo 10 Calcular integral
.

4.5. Integración de las fracciones racionales propias más simples

Definición.Las fracciones propias más simples yo , Yo y tercero tipos Las siguientes fracciones se llaman:

yo. ;

Yo.
; (
es un entero positivo);

tercero.
; (las raíces del denominador son complejas, es decir:
.

Considera integrales de fracciones simples.

yo.
; (20)

Yo. ; (21)

tercero.
;

Transformamos el numerador de la fracción de tal manera que singularizamos el término en el numerador
igual a la derivada del denominador.

Considere la primera de las dos integrales obtenidas y haga un cambio en ella:

En la segunda integral, complementamos el denominador a un cuadrado completo:

Finalmente, la integral de una fracción del tercer tipo es igual a:

=
+
. (22)

Así, la integral de las fracciones más simples del tipo I se expresa en términos de logaritmos, tipo II, en términos de funciones racionales, tipo III, en términos de logaritmos y arcotangentes.

4.6 Integración de funciones fraccionarias-racionales

Una de las clases de funciones que tienen una integral expresada en términos de funciones elementales es la clase de funciones algebraicas racionales, es decir, funciones que resultan de un número finito de operaciones algebraicas sobre un argumento.

Toda función racional
se puede representar como una razón de dos polinomios
y
:

. (23)

Supondremos que los polinomios no tienen raíces comunes.

Una fracción de la forma (23) se llama correcto, si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, es decir, metro< norte. De lo contrario - equivocado.

Si la fracción es incorrecta, entonces, dividiendo el numerador por el denominador (según la regla de división de polinomios), representamos la fracción como la suma de un polinomio y una fracción propia:

, (24)

dónde
- polinomio, es una fracción propia, y el grado del polinomio
- sin título superior ( norte-1).

Ejemplo.

Dado que la integración de un polinomio se reduce a la suma de integrales tabulares de una función potencia, la principal dificultad para integrar fracciones racionales es integrar fracciones racionales propias.

El álgebra demuestra que toda fracción propia se descompone en la suma de los anteriores protozoos fracciones, cuya forma está determinada por las raíces del denominador
.

Consideremos tres casos especiales. Aquí y más adelante, supondremos que el coeficiente en el grado más alto del denominador
igual a uno =1, eso espolinomio reducido .

Caso 1 Las raíces del denominador, es decir, las raíces
ecuaciones
=0 son reales y diferentes. Luego representamos el denominador como un producto de factores lineales:

y la fracción propia se descompone en las fracciones más simples del tipo I:

, (26)

dónde
- alguno números constantes, que se encuentran por el método de los coeficientes indeterminados.

Para esto necesitas:

1. Reduzca el lado derecho de la expansión (26) a un denominador común.

2. Igualar los coeficientes a las mismas potencias de los polinomios idénticos en el numerador de las partes izquierda y derecha. Obtenemos un sistema de ecuaciones lineales para determinar
.

3. Resuelva el sistema resultante y encuentre los coeficientes inciertos
.

Entonces la integral de la función fraccionario-racional (26) será igual a la suma de las integrales de las fracciones más simples del tipo I, calculadas por la fórmula (20).

Ejemplo. Calcular integral
.

Solución. Factoricemos el denominador usando el teorema de Vieta:

Luego, el integrando se expande en la suma de fracciones simples:

.

X:

Escribamos un sistema de tres ecuaciones para encontrar
X en los lados izquierdo y derecho:

.

Indiquemos un método más simple para encontrar coeficientes indeterminados, llamado método de valor parcial.

Asumiendo en igualdad (27)
obtenemos
, dónde
. Asumiendo
obtenemos
. Finalmente, suponiendo
obtenemos
.

.

Caso 2 raíz del denominador
son reales, pero entre ellos hay raíces múltiples (iguales). Entonces representamos el denominador como un producto de factores lineales incluidos en el producto en la medida en que la multiplicidad de la raíz correspondiente sea:

dónde
.

fracción propia se ampliará la suma de fracciones de los tipos I-th y II-th. Deje, por ejemplo, - raíz del denominador de la multiplicidad k, y todo lo demás ( norte- k) de raíces son diferentes.

Entonces la descomposición se verá así:

Del mismo modo, si hay otras raíces múltiples. Para raíces no múltiples, la expansión (28) incluye las fracciones más simples del primer tipo.

Ejemplo. Calcular integral
.

Solución. Representemos una fracción como una suma de fracciones simples de primer y segundo tipo con coeficientes indefinidos:

.

Traemos el lado derecho a un denominador común e igualamos los polinomios en los numeradores de los lados izquierdo y derecho:

En el lado derecho, damos similares con los mismos grados X:

Escribamos el sistema de cuatro ecuaciones para encontrar
y . Para ello, igualamos los coeficientes a las mismas potencias X en el lado izquierdo y derecho

.

Caso 3 Entre las raíces del denominador
tienen raíces complejas de una sola vez. Es decir, la expansión del denominador incluye factores de segundo grado
, que no se pueden descomponer en factores lineales reales y no se repiten.

Luego, en la expansión de la fracción, cada factor corresponderá a la fracción de tipo III más simple. Los factores lineales corresponden a las fracciones más simples de los tipos I-th y II-th.

Ejemplo. Calcular integral
.

Solución.
.

.

.