TIPOS DE ECUACIONES

Ecuaciones algebraicas. Ecuaciones de la forma fn= 0, donde fn– un polinomio en una o más variables, llamado ecuaciones algebraicas. Un polinomio es una expresión de la forma

fn = a 0 x i y j ... v k + a 1 X yo ym...vn+¼ + a s x p y q ... v r,

Dónde X, y, ..., v son variables y i, j, ..., r– exponentes (enteros no negativos). Un polinomio en una variable se escribe de la siguiente manera:

F(X) = a 0 xn + a 1 xn – 1 + ... + un – 1 X + un

o, en un caso especial, 3 X 4 – X 3 + 2X 2 + 4X– 1. Una ecuación algebraica con una incógnita es cualquier ecuación de la forma F(X) = 0. Si a 0 ¹ 0, entonces norte se llama grado de la ecuación. Por ejemplo, 2 X+ 3 = 0 – ecuación de primer grado; Las ecuaciones de primer grado se llaman lineales, ya que la gráfica de la función y = ax + b parece una línea recta. Las ecuaciones de segundo grado se llaman cuadráticas y las de tercer grado se llaman cúbicas. Las ecuaciones de grados superiores también tienen nombres similares.

Ecuaciones trascendentales. Las ecuaciones que contienen funciones trascendentales, como funciones logarítmicas, exponenciales o trigonométricas, se denominan trascendentales. Un ejemplo serían las siguientes ecuaciones:

donde log es el logaritmo en base 10.

Ecuaciones diferenciales. Se llama así a las ecuaciones que contienen una o más funciones y sus derivadas o diferenciales. Las ecuaciones diferenciales han demostrado ser un medio extremadamente valioso para formular con precisión las leyes de la naturaleza.

Ecuaciones integrales. Ecuaciones que contienen una función desconocida bajo el signo integral, por ejemplo, F (s) = ò k (calle) F(t) dt, Dónde F(s) Y k(s,t) se dan, y F(t) es necesario encontrar.

Ecuaciones diofánticas. Una ecuación diofántica es una ecuación algebraica con dos o más incógnitas con coeficientes enteros, cuya solución se busca en números enteros o racionales. Por ejemplo, ecuación 3 X – 5y= 1 tiene solución X = 7, y= 4; en general, sus soluciones son números enteros de la forma X = 7 + 5norte, y = 4 + 3norte.

RESOLVER ECUACIONES ALGEBRAICAS

Para todos los tipos de ecuaciones enumerados anteriormente, no existen métodos de solución generales. Y, sin embargo, en muchos casos, especialmente para ecuaciones algebraicas de cierto tipo, existe una teoría bastante completa para su solución.

Ecuaciones lineales. Estas ecuaciones simples se resuelven reduciéndolas a una ecuación equivalente a partir de la cual el valor de la incógnita resulta inmediatamente evidente. Por ejemplo, la ecuación X+ 2 = 7 se puede reducir a la ecuación equivalente X= 5 restando el número 2 de los lados derecho e izquierdo. Los pasos involucrados en la reducción de una ecuación simple, p. X+ 2 = 7, al equivalente, se basan en el uso de cuatro axiomas.

1. Si a valores iguales se les aumenta el mismo número, los resultados serán iguales.

2. Si restas el mismo número de cantidades iguales, los resultados serán iguales.

3. Si se multiplican valores iguales por el mismo número, los resultados serán iguales.

4. Si se dividen cantidades iguales por el mismo número, los resultados serán iguales.

Por ejemplo, para resolver la ecuación 2 X+ 5 = 15, usaremos el axioma 2 y restaremos el número 5 de los lados derecho e izquierdo, dando como resultado la ecuación equivalente 2 X= 10. Luego usamos el axioma 4 y dividimos ambos lados de la ecuación resultante entre 2, como resultado de lo cual la ecuación original se reduce a la forma X= 5, que es la solución deseada.

Ecuaciones cuadráticas. Soluciones a la ecuación cuadrática general. hacha 2 + bx + c= 0 se puede obtener usando la fórmula

Por tanto, existen dos soluciones, que en un caso particular pueden coincidir.

Otras ecuaciones algebraicas. Las fórmulas explícitas, similares a la fórmula para resolver una ecuación cuadrática, solo se pueden escribir para ecuaciones de tercer y cuarto grado. Pero estas fórmulas son complejas y no siempre ayudan a encontrar fácilmente las raíces. En cuanto a las ecuaciones de quinto grado o superior, para ellas, como demostró N. Abel en 1824, es imposible especificar una fórmula general que exprese las raíces de la ecuación a través de sus coeficientes utilizando radicales. En algunos casos especiales, las ecuaciones de grados superiores se pueden resolver fácilmente factorizando su lado izquierdo, es decir factorizarlo en factores.

Por ejemplo, la ecuación X 3 + 1 = 0 se puede escribir en forma factorizada ( X + 1)(X 2 – X+ 1) = 0. Encontramos soluciones igualando a cero cada uno de los factores:

entonces las raices son iguales X= –1, es decir solo 3 raíces.

Si la ecuación no se puede factorizar, se deben utilizar soluciones aproximadas. Los principales métodos para encontrar soluciones aproximadas fueron desarrollados por Horner, Newton y Greffe. Sin embargo, en todos los casos existe una gran confianza en que existe una solución: la ecuación algebraica norte-ésimo grado tiene exactamente norte raíces.

Sistemas de ecuaciones lineales. Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se pueden escribir como

La solución a tal sistema se encuentra utilizando determinantes.

Tiene sentido si Si D= 0, entonces son posibles dos casos. (1) Al menos uno de los determinantes y es distinto de cero. En este caso, no hay solución para las ecuaciones; las ecuaciones son inconsistentes. Un ejemplo numérico de tal situación es el sistema

(2) Ambos determinantes son iguales a cero. En este caso, la segunda ecuación es simplemente un múltiplo de la primera y hay infinitas soluciones.

teoría general está considerando metro ecuaciones lineales con norte variables:

Si metro = norte y matriz ( un ij) no es degenerado, entonces la solución es única y se puede encontrar usando la regla de Cramer:

Dónde un ji– complemento algebraico de un elemento un ij en matriz ( un ij). De manera más general, existen los siguientes teoremas. Dejar r– rango de matriz ( un ij), s– rango de la matriz bordeada ( un ij; b yo), que se obtiene de un ij añadiendo una columna de números b yo. Entonces: (1) si r=s, entonces hay n – r soluciones linealmente independientes; (2) si r< s , entonces las ecuaciones son inconsistentes y no hay soluciones.

, DVGGU,

, Liceo de Matemáticas

Ecuaciones algebraicas y métodos para resolverlas.

P.1 Polinomio y sus raíces

Considere un conjunto de (n+1) números reales, un polinomio (polinomio) de grado norte con los coeficientes anteriores se llama expresión de la forma:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image003_38.gif" width="257" height="25 src="> (2)

llamada ecuación algebraica de grado norte.

Las raíces de la ecuación (2) también se denominan raíces del polinomio.

Presentemos varios hechos relacionados con las raíces de polinomios.

Hecho 1. Todo polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real.

Comentario. Incluso sabiendo que la ecuación tiene raíz, encontrar esta raíz puede resultar muy difícil.

Ejemplo 1. La ecuación obviamente tiene raíces 0 y p.

Ejemplo 2. Establecer las raíces de la ecuación, que, por supuesto, existen, es una tarea bastante difícil.

Hecho 2. Si los coeficientes del polinomio son números enteros, entonces las raíces racionales de esta ecuación (si las hay) tienen la forma , donde los números k y m son números naturales, y k es el divisor del término libre, m es el divisor del coeficiente principal.

Ejemplo 3. https://pandia.ru/text/78/119/images/image010_16.gif" width="348" height="41 src="> (los números repetidos están abreviados).

La comprobación muestra que los números 2 y .

La tarea de separar raíces racionales se simplifica enormemente si el coeficiente principal del polinomio es igual a uno. En este caso, las posibles raíces racionales de la ecuación sólo pueden ser números enteros que divida el término libre del polinomio.

Ejemplo 4. Las siguientes raíces enteras son posibles para un polinomio: . Comprobar posibles raíces (esto se puede hacer bastante rápido usando Esquemas de Horner) nos aseguramos de que la única raíz entera de la ecuación sea 2.

Hecho 3. Si el número es la raíz de un polinomio, entonces este polinomio se puede representar como un producto https://pandia.ru/text/78/119/images/image018_6.gif" width="48" height="24"> puedes, por ejemplo, utilizar un método de división por la “esquina”, muy similar al utilizado para los números ordinarios.

Pongamos un ejemplo.

Ejemplo 5. Dividido por:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image021_6.gif" width="177" height="25">. Tenga en cuenta que el primer factor tiene un discriminante negativo, por lo que (y el polinomio original) es más grande que las raíces que no tiene.

Hecho 4.Cualquier polinomio con coeficientes reales se puede representar como:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image023_6.gif" width="16 height=24" height="24"> - multiplicidad de la raíz, - trinomios cuadrados que no tienen raíces reales (se llaman irreducibles).

Comentario. Al resolver ecuaciones y desigualdades, puedes reducirlas a trinomios irreducibles.

P.2. Agrupar como forma de encontrar las raíces de un polinomio

Lamentablemente (y esto ha quedado demostrado), no existe un algoritmo universal que permita (como el trinomio cuadrado) encontrar las raíces de cualquier polinomio. Existen fórmulas especiales para resolver ecuaciones de tercer y cuarto grado, pero requieren mucha mano de obra y no se estudian en el curso escolar. Por lo tanto, a menudo se utilizan otros métodos, como la separación de raíces (que se analiza en el primer párrafo), el método de agrupación y su caso especial: la selección de cuadrados completos.

La esencia del método de agrupación es la siguiente: los términos de un polinomio se dividen en grupos (de ahí el nombre) de modo que después de reunir los similares, cada grupo se factorizará y uno de los factores estará contenido en cada grupo. Este factor común se saca de paréntesis y el polinomio original se expande al producto de dos polinomios de menor grado.

Veamos un ejemplo.

Ejemplo 6. Factorizar un polinomio usando el método de agrupación

https://pandia.ru/text/78/119/images/image027_3.gif" width="272" height="24 src=">

(https://pandia.ru/text/78/119/images/image029_3.gif" width="64" height="21">, incluiremos el primer término en el primer grupo, el segundo término en el tercero ).

https://pandia.ru/text/78/119/images/image031_4.gif" width="51" height="24">, encontramos la descomposición:

.

Ambos trinomios cuadráticos tienen discriminantes negativos, por lo que su expansión adicional es imposible.

Ejemplo 7. Factoriza el polinomio:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image034_3.gif" width="35" height="21"> necesitas separar la parte que es múltiplo de 14: esto es, por ejemplo, 70-1, 84-15, 98-29 o 42+27. La primera opción lleva a un callejón sin salida. Consideremos la segunda opción. Obtenemos:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image036_2.gif" width="603" height="24">.

De este modo,

P.3. Ejemplos de resolución de ecuaciones algebraicas simples.

Los polinomios son las ecuaciones algebraicas más simples. En esta sección veremos algunos ejemplos de cómo resolver este tipo de ecuaciones.

Ejemplo 8. Encuentra las raíces de la ecuación.

https://pandia.ru/text/78/119/images/image041_2.gif" width="89" height="19 src=">.

Comencemos con el número más pequeño: tres.

https://pandia.ru/text/78/119/images/image043_2.gif" width="40 height=23" height="23"> es una de las raíces de la ecuación. Para encontrar las otras raíces, divide el lado izquierdo de la ecuación por:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image046_2.gif" width="107" height="21">. Usando, por ejemplo, las fórmulas de Vieta, obtenemos otras dos raíces: .

Respuesta: https://pandia.ru/text/78/119/images/image049_2.gif" width="124" height="21 src=">.

Solución. El problema se puede reducir a una ecuación bicuadrática, pero intentaremos usar la factorización..gif" width="616" height="24 src=">.

Raíces del primer factor: https://pandia.ru/text/78/119/images/image052_2.gif" width="63" height="41 src=">.

A continuación, considere un ejemplo de una ecuación que se reduce a racional. Una característica especial de tales ecuaciones es el requisito obligatorio de verificar las raíces encontradas del rango de valores aceptables. Por ejemplo, en el Examen Estatal Unificado hace varios años se propuso una tarea "simple".

Ejemplo 10. Resuelve la ecuación

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P. 4. Ecuaciones algebraicas fraccionarias

La expresión algebraica fraccionaria más simple es:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image055_2.gif" width="40" height="23 src=">.gif" width="111" height="41 src=">.

Solución: Llevemos las fracciones a un denominador común:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image059_2.gif" width="207" height="41">.

Ambas raíces del numerador no son raíces del denominador (verifique esto sustituyendo directamente ambas raíces en el denominador), por lo que son soluciones de la ecuación considerada.

Si una ecuación racional fraccionaria contiene muchas expresiones elementales, entonces, después de las transformaciones, se puede formar una expresión bastante engorrosa en el numerador, cuyas raíces serán muy difíciles. Pero en algunos casos puede ser posible reducir una ecuación compleja a una más simple, utilizando, por ejemplo, un cambio de variables. Veamos un ejemplo.

Ejemplo 12. Resuelve la ecuación

https://pandia.ru/text/78/119/images/image061_0.gif" width="81" height="41"> son mutuamente inversos (su producto es igual a uno). Introduzcamos el siguiente reemplazo: La ecuación original tomará vista:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image064_0.gif" height="16">, obtenemos una ecuación cuadrática:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image066_0.gif" width="93" height="23">. Realicemos el reemplazo inverso. Obtenemos y resolvemos un conjunto de dos ecuaciones: 2. Índice, dirección de residencia, correo electrónico (si está disponible), teléfono (particular o móvil)

3. Información de la escuela (por ejemplo: MBOU No. 1 Pueblo Bikin)

4. Apellido, título del profesor de matemáticas (por ejemplo: profesor de matematicas)

M 10.2.1. Resuelve la ecuación factorizando el polinomio:

M 10.2.2. Resolver ecuación racional fraccionaria

a) https://pandia.ru/text/78/119/images/image082_0.gif" width="209" height="21 src=">. ( Nota: Primero multiplica el primer factor por el cuarto y el segundo por el tercero. Etiqueta la primera piezay, el segundo producto entonces se representará como y+2. Resuelve la ecuación cuadrática resultante y haz la sustitución inversa..)

c) https://pandia.ru/text/78/119/images/image084_0.gif" width="165" height="41 src=">. ( Nota: intenta sumar un cierto número a los dos primeros términos para que la suma resulte ser la fracción inversa del que está en tercer lugar con un factor de -10. A continuación, vea los ejemplos 12 y 13..)

Ecuaciones algebraicas. Definición

Dejemos que las funciones f(x) y μ(x) se definan en un determinado conjunto A. Y sea necesario encontrar un conjunto X en el que estas funciones tomen valores iguales, en otras palabras, encontrar todos los valores de x para que se cumple la igualdad: f(x)= c(x).

Con esta formulación, esta igualdad se llama ecuación con x desconocida.

Una ecuación se llama algebraica si solo se realizan operaciones algebraicas con la incógnita: suma, resta, multiplicación, división, exponenciación y extracción de raíces con un exponente natural.

Las ecuaciones algebraicas contienen sólo funciones algebraicas (enteras, racionales, irracionales). Una ecuación algebraica en forma general se puede representar como un polinomio de enésimo grado con coeficientes reales:

Por ejemplo,

El conjunto A se denomina conjunto (región) de valores admisibles de la incógnita para una ecuación determinada.

El conjunto X se llama conjunto de soluciones y cada una de sus soluciones x=a es la raíz de esta ecuación. Resolver una ecuación significa encontrar el conjunto de todas sus soluciones o demostrar que no las hay.

Métodos para resolver ecuaciones algebraicas.

Muchos problemas científicos y de ingeniería requieren resolver una ecuación de la forma

donde f(x) es una función no lineal continua dada.

Analíticamente es posible encontrar soluciones sólo para las ecuaciones más simples. En la mayoría de los casos, es necesario resolver una ecuación del tipo (1) utilizando métodos numéricos.

La solución numérica de la ecuación (1) suele realizarse en dos etapas. En la primera etapa, es necesario encontrar los intervalos de cambio en la variable x donde solo se encuentra una raíz. Este problema suele solucionarse gráficamente. En la segunda etapa, se clarifican las raíces individuales. Para ello se utilizan varios métodos.

Los métodos para resolver ecuaciones no lineales se dividen en directos e iterativos. Los métodos directos le permiten escribir raíces en forma de fórmula. Sin embargo, las ecuaciones que se encuentran en la práctica no siempre pueden resolverse. métodos simples. Para resolverlos se utilizan métodos iterativos, es decir. métodos de aproximaciones sucesivas.

Métodos directos: la solución se encuentra en un número previamente conocido de operaciones aritméticas, la solución es estricta. Ejemplos: método gaussiano, método de la raíz cuadrada, regla de Cramer, etc.

Los métodos iterativos son métodos de aproximaciones sucesivas en los que es imposible predecir el número de operaciones aritméticas que serán necesarias para resolver una ecuación (sistema) con una precisión determinada. Ejemplos: método de iteraciones simples, método de Gauss-Seidel, método de dividir un segmento por la mitad, etc.

En este artículo se estudian y comparan el método de iteración simple y el método de reducción a la mitad del segmento.

Transcripción

1 Ecuaciones algebraicas donde Definición. Una ecuación de la forma 0, P() 0, algunos números reales se llama algebraica. 0 0 En este caso, la cantidad variable se llama incógnita y los números 0, los coeficientes de la ecuación (), el orden (o grado) de la ecuación. Definición. Un número se llama solución (o raíz) de la ecuación () si, al sustituir el número en la ecuación 0 P, se obtiene la igualdad correcta 0 P. Dependiendo de los coeficientes, la ecuación () puede tener un único valor real raíz, varias raíces o ninguna raíz real. Resolver una ecuación significa encontrar todas sus raíces (en los cursos escolares solo se consideran las soluciones reales) o demostrar que la ecuación no tiene soluciones. y consideraremos la ecuación () en. Para (ecuación cúbica) existen fórmulas para las raíces de la ecuación 0 P en radicales, conocidas como fórmulas de Cordano. Cuando la ecuación () no tiene solución en radicales, es decir la solución a la ecuación 0 P at no se puede expresar a través de sus coeficientes 0, utilizando un número finito de operaciones aritméticas (operaciones de suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces aritméticas). La prueba de esta afirmación la obtuvo por primera vez el matemático noruego Abel en el año 6. En algunos casos, la solución a ecuaciones algebraicas de grados superiores, incluidos el tercero y el cuarto, se puede encontrar de forma bastante sencilla. Esta posibilidad está completamente determinada por los coeficientes, 0, del polinomio P. Corolario del teorema de Bezout. Si es la raíz de un polinomio (P 0), entonces el polinomio P es divisible por un binomio sin resto, es decir existe un polinomio tal que P F F. P

2 "esquina". La ecuación () en este caso es equivalente a un conjunto de ecuaciones Dividiendo un polinomio Ecuación 0, F 0. P por otro Q m, m, se puede obtener Los grados P no pueden tener más que raíces reales, teniendo en cuenta la multiplicidad. En este caso, una ecuación de grado impar siempre tiene al menos una raíz real. Si los números reales..., son raíces de la ecuación 0, entonces se cumple la identidad P. Para ecuaciones de grados superiores (), es válido el teorema de Vieta, que formulamos en el caso de y. Si los números reales y son raíces de la ecuación cúbica 0, 0, entonces satisfacen las condiciones: b c d d, c, b. Si los números reales y son raíces de la ecuación de cuarto grado 0, 0, entonces satisfacen las condiciones: b c d e Si el número racional es 0 e, d, b. p, donde p q q c, una fracción irreducible, es la raíz de una ecuación con coeficientes enteros, entonces p debe ser un divisor del término libre

3, y q es un divisor del coeficiente 0 a la potencia más alta. En particular, las raíces enteras 0 p de la ecuación reducida 0 con coeficientes enteros son divisores del término libre. Esta afirmación se deriva de la última igualdad en (.7) si la suma de todos los coeficientes de la ecuación 0 tiene una raíz. P es igual a cero, entonces la ecuación. Por ejemplo, la suma de los coeficientes de una ecuación es igual a cero, por lo que tiene raíz. Si en una ecuación la suma de los coeficientes de las potencias impares es igual a la suma del término libre y los coeficientes de las potencias pares, entonces la ecuación tiene raíz. Por ejemplo, en la ecuación tenemos 6 7, por lo tanto la raíz de esta ecuación. Consideremos clases individuales de ecuaciones algebraicas de grados superiores y métodos de estudio para resolverlas. Ecuaciones bicuadráticas. Definición. Una ecuación de la forma donde 0. b c 0, () se llama bicuadrática. Para resolver esta ecuación, usamos un cambio de variables y, donde y 0. Esto produce una ecuación cuadrática y por c 0. Dado que la ecuación () es una ecuación de cuarto grado, no tiene más de cuatro raíces reales. Si yey son sus soluciones, entonces la ecuación bicuadrática original será equivalente a la colección: Método para seleccionar la(s) raíz(es). 0 y y. Si la ecuación algebraica dada () con coeficientes enteros tiene raíces enteras, entonces deben buscarse entre los divisores del término libre

4 ecuaciones (). Las raíces racionales p 0 de la ecuación () con coeficientes enteros q p deben buscarse entre números tales que p sea un divisor del término libre, q y q sea un divisor del coeficiente 0 en el grado más alto en la ecuación (). Estas propiedades subyacen al método de selección de raíces de una ecuación algebraica. Ejemplo. Resuelve la ecuación 0. Solución. Esta ecuación es reducida y tiene coeficientes enteros. Por lo tanto, las raíces completas de esta ecuación (si las hay) están contenidas entre los divisores del término libre:,. Es fácil verificar cuál es la raíz de la ecuación. Para encontrar las raíces restantes, dividimos el polinomio por un binomio con una “esquina”: 0. Para la ecuación 0, encontramos nuevamente la raíz por selección y luego dividimos el polinomio por un binomio: 0, la ecuación 0 no tiene raíces reales. . Así usamos

Una ecuación de quinto grado tiene dos raíces reales. Respuesta.,. Método de reemplazo de variables. Si, al reemplazar variables, la ecuación original se simplifica (por ejemplo, se reduce su grado), entonces audazmente introducimos una nueva variable. Ejemplo. Resuelve la ecuación. Solución. Si abres los corchetes y sumas términos similares, obtienes la ecuación 6 0, que es muy difícil de resolver. Aunque es una ecuación con coeficientes enteros, como veremos a continuación, no tiene raíces enteras. Por lo tanto, usaremos otro método: introducir una nueva variable y y resolver la ecuación cuadrática y y. Sus raíces son y e y. En consecuencia, la ecuación original será equivalente a la combinación de dos ecuaciones. Resolvamos las ecuaciones cuadráticas resultantes. 0, D 0,. o 0, D 7 0, sin soluciones. Por tanto, la ecuación original de grado th tiene dos raíces y. Respuesta.,. Ejemplo. Encuentra la raíz negativa más grande de la ecuación 0. Solución. Es muy difícil encontrar las raíces de esta ecuación, por lo que usaremos la siguiente técnica: multiplicar (o dividir) esta ecuación por un número determinado para que el término principal de la ecuación se convierta en el cubo de alguna expresión.

6 Tenga en cuenta eso e introduzca una nueva variable y. Como resultado obtenemos la ecuación y y y 6 0, equivalente a la original. Por selección encontraremos sus raíces y, y e y, que corresponderán a las raíces de la ecuación original, y. La raíz negativa más grande es. Respuesta. La raíz negativa más grande. Puedes introducir otra variable y considerar una ecuación cuadrática con respecto a una de las variables resultantes (“antiguas” o “nuevas”). Ejemplo. Encuentra la raíz más pequeña de la ecuación 6 0. Solución. Transformemos la ecuación original de la siguiente manera: introduzcamos una nueva variable y 6 y obtengamos la ecuación 6 y y 0. Resuelva la ecuación resultante como una ecuación cuadrática con respecto a y. y o y. D 6 y y 0, y, volvamos a la variable, obtenemos dos ecuaciones cuadráticas.

7 6, 9 0, D 0 0, 9 0, 9 0, 9 0 6, 0, D 9, Obtuvimos soluciones a la ecuación original. Elijamos el más pequeño de ellos. Desde 0 0, entonces 9., por lo tanto la solución más pequeña. 9 0 Respuesta. Solución más pequeña.. Ecuaciones recíprocas Definición. Recíprocas o simétricas son ecuaciones de la forma 0 0, para las cuales los coeficientes en posiciones simétricas son iguales, es decir, para k 0,. k k Por ejemplo, es recíproco, ya que 0, 9, 6. Para ecuaciones recíprocas, las siguientes afirmaciones son verdaderas. Una ecuación recíproca de grado impar siempre tiene una raíz y, después de dividirla por un binomio, se reduce a una ecuación recíproca de grado par. Una ecuación recíproca de grado par se puede reducir a una ecuación de medio grado introduciendo la variable y. Ilustremos estas afirmaciones con ejemplos. Ejemplo. Resuelve la ecuación Solución. Es fácil ver que esta ecuación es reflexiva de grado impar y, por tanto, tiene raíz. Dividamos el polinomio en un binomio:

8 Queda por resolver la ecuación recíproca de grado th. Dado que 0 no es la raíz de esta ecuación, podemos dividir ambos lados de esta ecuación por Hagamos un cambio de variables, es decir, y.. Vamos a por y. Entonces y, obtenemos la ecuación y 0y 6 0 (¡el grado de la ecuación se ha reducido a la mitad!) Resuelve la ecuación cuadrática y 0y 0. Según el teorema de Vieta, los números y e y 6 son sus raíces. Además tenemos

9 0, 6 0, D 0, 6 0, 9,. Por tanto, la ecuación original de grado th tiene raíces:, y. Respuesta., y. D Usar la monotonicidad de funciones y otras técnicas especiales Para resolver ecuaciones algebraicas no estándar, es necesario usar varias técnicas: transformar la ecuación a una forma equivalente, introducir nuevas variables, estudiar la función Resolver ecuaciones de la forma g f como parte de la ecuación 0 f, etc. A veces es conveniente aprovechar la propiedad de monotonicidad de las funciones. Esta técnica se basa en el siguiente teorema. Teorema. Sea la ecuación f g definida en el conjunto X R ; la función f aumenta (disminuye) monótonamente en X, y g disminuye (aumenta) monótonamente. Si tanto E f como E g están en el rango de valores de f g en el conjunto X y E f Eg, entonces existe un punto único 0 X tal que g f, es decir la ecuación 0 0 f g tiene una solución única. Este teorema es válido para cualquier ecuación de la forma g para las algebraicas. Ejemplo 6: Resuelva la ecuación 96 E f. y f Ej. 0 X g f, no solo Solución. La función de potencia y, N, está definida en toda la recta numérica y es una función estrictamente creciente en R. Por lo tanto, el lado izquierdo de esta

10 de la ecuación f es una función estrictamente creciente en R como la suma de dos funciones estrictamente crecientes. parte derecha 96 g es idénticamente constante. Por tanto, de acuerdo con el Teorema 6, la ecuación tiene una solución única. No es difícil ver qué es. Respuesta... Ejemplo 7. Resuelve la ecuación. Solución Y. Pero Y para cualquier R y por tanto la ecuación 0 Y, y por tanto la original (.), no tiene solución. Respuesta.

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Capítulo Potencia con exponente racional Función de potencia Potencia con exponente entero Recordemos la definición y propiedades básicas de una potencia con exponente entero Para cualquier número real a, establecemos a

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Clase. Una potencia con exponente real arbitrario, sus propiedades. Función de potencia, sus propiedades, gráficas. Recordar las propiedades de una potencia con exponente racional. a a a a a para tiempos naturales

DIRECTORIO Algunos signos de la divisibilidad de los números naturales Los números naturales son números que se utilizan para contar: Los números naturales forman un conjunto llamado conjunto de los números naturales Conjunto

Capítulo 9 Grados Grado con exponente entero. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. Si es par, entonces ()< (). Например, () 0 = 0 < 0 = = () 0. Если нечетно, то () >(). Por ejemplo, () = > = = (), entonces

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Capítulo de la conferencia Conjuntos y operaciones sobre ellos El concepto de conjunto El concepto de conjunto se refiere a los conceptos más primarios de las matemáticas que no se definen a través de otros más simples.Se entiende por conjunto un conjunto

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2.22. Saca el factor común (n es un número natural): 1) x n + 3 + x n ; 3) z 3n - zn ; 2) y norte + 2 - y norte - 2, norte > 2; 4) 5 n + 4 + 2 5 n + 2-3 5 n + 1. 2.23. Cada número fue asignado

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3.. Métodos para resolver desigualdades racionales 3..1. Desigualdades numéricas Primero, definamos qué queremos decir con el enunciado a > b. Definición 3..1. El número a es mayor que el número b si la diferencia entre ellos es positiva.

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Prueba de examen 1 1. Conversión de fracciones a decimales y viceversa. Acciones con fracciones. 2. Definición de una función. Métodos de especificación, dominio de definición, rango de valores de la función. 2 x 1 x 1

7 Ecuaciones y desigualdades trigonométricas Comentario Una idea errónea persistente entre los solicitantes es que al resolver ecuaciones trigonométricas no se necesita verificación. Este no siempre es el caso al resolver

57 Consideremos la integración de la fracción racional más simple del cuarto tipo (M N) d () p q p Hagamos un cambio de variable estableciendo d. donde a p q. Entonces Integral M N d p p p q q a, M p N Mp q d M (p q) p

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Capítulo I Fracciones algebraicas 18 Capítulo II Función cuadrática. Función. 14 Capítulo III Función y = x. Propiedades de la raíz cuadrada 12 Capítulo IV Ecuaciones cuadráticas 22 Capítulo V Números reales 11 Capítulo VI

El uso de ecuaciones está muy extendido en nuestra vida. Se utilizan en muchos cálculos, construcción de estructuras e incluso deportes. El hombre utilizó ecuaciones en la antigüedad y desde entonces su uso no ha hecho más que aumentar.

Las ecuaciones que contienen el símbolo \[\sqrtх\] se llaman ecuaciones con raíz cuadrada. La raíz cuadrada de un número no negativo \ es un número no negativo cuyo cuadrado es igual a \. \[(\sqrt a=x, x_2=a; x, a\pm0)\]. El número o expresión bajo el signo raíz siempre debe ser no negativo.

Existir diferentes caminos soluciones de tales ecuaciones:

Cuadrar un número multiplicándolo por sí mismo;

Simplifique las raíces, si es posible, eliminando las raíces completas;

Usar números imaginarios para obtener la raíz de números negativos;

Aplicación del algoritmo de división larga;

Y otros.

Para mayor claridad, resolvamos la siguiente ecuación con raíces cuadradas:

\[\sqrt (x-5) =3\]

Multiplicamos cada lado de la ecuación por sí mismo para eliminar los radicales:

Ahora tenemos el más simple. ecuación lineal, que se resuelve de la siguiente manera:

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