Hecho 1.
\(\bullet\) Tome algún número no negativo \(a\) (es decir, \(a\geqslant 0\) ). Entonces (aritmética) raíz cuadrada del número \(a\) tal número no negativo se llama \(b\), al elevarlo al cuadrado obtenemos el número \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(igual que )\quad a=b^2\] De la definición se sigue que \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). ¡Estas restricciones son una condición importante para la existencia de una raíz cuadrada y deben recordarse!
Recuerda que cualquier número elevado al cuadrado da un resultado no negativo. Es decir, \(100^2=10000\geqslant 0\) y \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) ¿Qué es \(\sqrt(25)\) ? Sabemos que \(5^2=25\) y \((-5)^2=25\) . Como por definición tenemos que encontrar un número no negativo, \(-5\) no es adecuado, por lo tanto \(\sqrt(25)=5\) (ya que \(25=5^2\) ).
Encontrar el valor \(\sqrt a\) se llama sacar la raíz cuadrada del número \(a\) , y el número \(a\) se llama la expresión raíz.
\(\bullet\) Según la definición, las expresiones \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , etc. no tiene sentido

Hecho 2.
Para cálculos rápidos, será útil aprender la tabla de cuadrados de los números naturales de \(1\) a \(20\) : \[\begin(matriz)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hlínea \end(matriz)\]

Hecho 3.
¿Qué se puede hacer con raíces cuadradas?
\(\bala\) La suma o diferencia de raíces cuadradas NO ES IGUAL a la raíz cuadrada de la suma o diferencia, es decir \[\raíz cuadrada a\pm\raíz cuadrada b\ne \raíz cuadrada(a\pm b)\] Por lo tanto, si necesita calcular, por ejemplo, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , entonces inicialmente debe encontrar los valores \(\sqrt(25)\) y \(\sqrt (49)\ ) y luego súmalos. Como consecuencia, \[\raíz cuadrada(25)+\raíz cuadrada(49)=5+7=12\] Si los valores \(\sqrt a\) o \(\sqrt b\) no se pueden encontrar al agregar \(\sqrt a+\sqrt b\), entonces dicha expresión no se convierte más y permanece como está. Por ejemplo, en la suma \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) podemos encontrar \(\sqrt(49)\) - esto es \(7\) , pero \(\sqrt 2\) no puede ser convertido de alguna manera, es por eso que \(\raíz cuadrada 2+\raíz cuadrada(49)=\raíz cuadrada 2+7\). Además, esta expresión, lamentablemente, no se puede simplificar de ninguna manera.\(\bullet\) El producto/cociente de raíces cuadradas es igual a la raíz cuadrada del producto/cociente, es decir \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (siempre que ambas partes de las igualdades tengan sentido)
Ejemplo: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Usando estas propiedades, es conveniente encontrar las raíces cuadradas de números grandes factorizándolos.
Considere un ejemplo. Encuentra \(\sqrt(44100)\) . Dado que \(44100:100=441\) , entonces \(44100=100\cdot 441\) . Según el criterio de divisibilidad, el número \(441\) es divisible por \(9\) (ya que la suma de sus dígitos es 9 y es divisible por 9), por tanto, \(441:9=49\), es decir, \(441=9\ cdot 49\) .
Así, obtuvimos: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Veamos otro ejemplo: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Vamos a mostrar cómo ingresar números bajo el signo de la raíz cuadrada usando el ejemplo de la expresión \(5\sqrt2\) (abreviatura de la expresión \(5\cdot \sqrt2\) ). Como \(5=\sqrt(25)\) , entonces \ Nótese también que, por ejemplo,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\raíz cuadrada a+\raíz cuadrada a=2\raíz cuadrada a\) .

¿Porqué es eso? Expliquemos con el ejemplo 1). Como ya entendiste, de alguna manera no podemos convertir el número \(\sqrt2\) . Imagina que \(\sqrt2\) es algún número \(a\) . En consecuencia, la expresión \(\sqrt2+3\sqrt2\) no es más que \(a+3a\) (un número \(a\) más tres números iguales \(a\) ). Y sabemos que esto es igual a cuatro de esos números \(a\) , es decir, \(4\sqrt2\) .

hecho 4.
\(\bullet\) A menudo se dice "no se puede extraer la raíz" cuando no es posible deshacerse del signo \(\sqrt () \ \) de la raíz (radical) al encontrar el valor de algún número. Por ejemplo, puede rootear el número \(16\) porque \(16=4^2\) , entonces \(\sqrt(16)=4\) . Pero extraer la raíz del número \(3\) , es decir, encontrar \(\sqrt3\) , es imposible, porque no existe tal número que al cuadrado dé \(3\) .
Tales números (o expresiones con tales números) son irracionales. Por ejemplo, números \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) etc. son irracionales.
También son irracionales los números \(\pi\) (el número “pi”, aproximadamente igual a \(3,14\) ), \(e\) (este número se llama número de Euler, aproximadamente igual a \(2 ,7\) ) etc
\(\bullet\) Tenga en cuenta que cualquier número será racional o irracional. Y juntos todos los números racionales y todos los irracionales forman un conjunto llamado conjunto de números reales (reales). Este conjunto se denota con la letra \(\mathbb(R)\) .
Esto significa que todos los números que conocemos actualmente se llaman números reales.

Hecho 5.
\(\bullet\) Módulo de un número real \(a\) es un número no negativo \(|a|\) igual a la distancia del punto \(a\) a \(0\) en el real línea. Por ejemplo, \(|3|\) y \(|-3|\) son iguales a 3, ya que las distancias de los puntos \(3\) y \(-3\) a \(0\) son las igual e igual a \(3 \) .
\(\bullet\) Si \(a\) es un número no negativo, entonces \(|a|=a\) .
Ejemplo: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Si \(a\) es un número negativo, entonces \(|a|=-a\) .
Ejemplo: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Dicen que para los números negativos, el módulo se "come" el menos, y los números positivos, así como el número \(0\), el módulo se queda sin cambios.
PERO esta regla solo se aplica a los números. Si tiene una \(x\) desconocida (o alguna otra incógnita) bajo el signo del módulo, por ejemplo, \(|x|\) , de la que no sabemos si es positiva, igual a cero o negativa, entonces deshacerse del módulo que no podemos. En este caso, esta expresión queda así: \(|x|\) . \(\bullet\) Las siguientes fórmulas son válidas: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(proporcionado) a\geqslant 0\] A menudo se comete el siguiente error: dicen que \(\sqrt(a^2)\) y \((\sqrt a)^2\) son lo mismo. Esto es cierto solo cuando \(a\) es un número positivo o cero. Pero si \(a\) es un número negativo, entonces esto no es cierto. Basta considerar tal ejemplo. Tomemos el número \(-1\) en lugar de \(a\). Entonces \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , pero la expresión \((\sqrt (-1))^2\) no existe en absoluto (porque es ¡imposible poner números negativos bajo el signo raíz!).
Por lo tanto, llamamos su atención sobre el hecho de que \(\sqrt(a^2)\) no es igual a \((\sqrt a)^2\) ! Ejemplo 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), porque \(-\sqrt2<0\) ;

\(\fantasma(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Dado que \(\sqrt(a^2)=|a|\) , entonces \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (la expresión \(2n\) denota un número par)
Es decir, al sacar la raíz de un número que está en algún grado, este grado se reduce a la mitad.
Ejemplo:
1) \(\raíz cuadrada(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (tenga en cuenta que si el módulo no está configurado, resulta que la raíz del número es igual a \(-25 \); pero recordemos que, por definición de la raíz, esto no puede ser: al extraer la raíz, siempre debemos obtener un número positivo o cero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (ya que cualquier número elevado a una potencia par no es negativo)

hecho 6.
¿Cómo comparar dos raíces cuadradas?
\(\bullet\) Verdadero para raíces cuadradas: si \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aEjemplo:
1) compare \(\sqrt(50)\) y \(6\sqrt2\) . Primero, transformamos la segunda expresión en \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Así, dado que \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) ¿Entre qué enteros está \(\sqrt(50)\) ?
Dado que \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , y \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Compara \(\sqrt 2-1\) y \(0,5\) . Supongamos \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(alineado) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((añadir uno a ambos lados))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((cuadrar ambas partes))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(alineado)\] Vemos que hemos obtenido una desigualdad incorrecta. Por lo tanto, nuestra suposición era incorrecta y \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Tenga en cuenta que agregar un cierto número a ambos lados de la desigualdad no afecta su signo. Multiplicar/dividir ambas partes de la desigualdad por un número positivo tampoco afecta su signo, ¡pero multiplicar/dividir por un número negativo invierte el signo de la desigualdad!
Ambos lados de una ecuación/desigualdad pueden elevarse al cuadrado SOLO SI ambos lados no son negativos. Por ejemplo, en la desigualdad del ejemplo anterior, puedes elevar al cuadrado ambos lados, en la desigualdad \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Tenga en cuenta que \[\begin(alineado) &\sqrt 2\aprox. 1,4\\ &\sqrt 3\aprox. 1,7 \end(alineado)\]¡Conocer el significado aproximado de estos números te ayudará cuando compares números! \(\bullet\) Para sacar la raíz (si se extrae) de algún número grande que no está en la tabla de cuadrados, primero hay que determinar entre qué “centenas” se encuentra, luego entre cuáles “decenas”, y luego determinar el último dígito de este número. Vamos a mostrar cómo funciona con un ejemplo.
Toma \(\sqrt(28224)\) . Sabemos que \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) y así sucesivamente. Tenga en cuenta que \(28224\) está entre \(10\,000\) y \(40\,000\) . Por lo tanto, \(\sqrt(28224)\) está entre \(100\) y \(200\) .
Ahora determinemos entre qué “decenas” está nuestro número (es decir, por ejemplo, entre \(120\) y \(130\) ). También sabemos por la tabla de cuadrados que \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., entonces \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900\ ) . Entonces vemos que \(28224\) está entre \(160^2\) y \(170^2\) . Por lo tanto, el número \(\sqrt(28224)\) está entre \(160\) y \(170\) .
Tratemos de determinar el último dígito. ¿Recordemos qué números de un solo dígito al elevar al cuadrado dan al final \ (4 \) ? Estos son \(2^2\) y \(8^2\) . Por lo tanto, \(\sqrt(28224)\) terminará en 2 u 8. Verifiquemos esto. Encuentra \(162^2\) y \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Por lo tanto \(\sqrt(28224)=168\) . ¡Voila!

Para resolver adecuadamente el examen de matemáticas, en primer lugar, es necesario estudiar el material teórico, que introduce numerosos teoremas, fórmulas, algoritmos, etc. A primera vista, puede parecer que esto es bastante simple. Sin embargo, encontrar una fuente en la que la teoría para el Examen de Estado Unificado en matemáticas se presente de manera fácil y comprensible para estudiantes con cualquier nivel de capacitación es, de hecho, una tarea bastante difícil. Los libros de texto escolares no siempre se pueden tener a mano. Y encontrar las fórmulas básicas para el examen de matemáticas puede ser difícil incluso en Internet.

¿Por qué es tan importante estudiar teoría en matemáticas, no solo para quienes toman el examen?

1. Porque amplía tus horizontes. El estudio de material teórico en matemáticas es útil para cualquiera que quiera obtener respuestas a una amplia gama de preguntas relacionadas con el conocimiento del mundo. Todo en la naturaleza está ordenado y tiene una lógica clara. Esto es precisamente lo que se refleja en la ciencia, a través de la cual es posible comprender el mundo.
2. Porque desarrolla el intelecto.. Al estudiar materiales de referencia para el examen de matemáticas, además de resolver varios problemas, una persona aprende a pensar y razonar lógicamente, a formular pensamientos de manera correcta y clara. Desarrolla la capacidad de analizar, generalizar, sacar conclusiones.

Lo invitamos a evaluar personalmente todas las ventajas de nuestro enfoque para la sistematización y presentación de materiales educativos.

Los estudiantes siempre preguntan: “¿Por qué no puedo usar una calculadora en un examen de matemáticas? ¿Cómo sacar la raíz cuadrada de un número sin calculadora? Intentemos responder a esta pregunta.

¿Cómo sacar la raíz cuadrada de un número sin la ayuda de una calculadora?

Acción extracción de raíz cuadrada lo contrario de elevar al cuadrado.

√81= 9 9 2 =81

Si sacamos la raíz cuadrada de un número positivo y elevamos al cuadrado el resultado, obtenemos el mismo número.

A partir de números pequeños que son cuadrados exactos de números naturales, por ejemplo 1, 4, 9, 16, 25,..., 100, se pueden extraer verbalmente raíces cuadradas. Por lo general en la escuela enseñan una tabla de cuadrados de números naturales hasta veinte. Conociendo esta tabla, es fácil extraer las raíces cuadradas de los números 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. De números mayores a 400, puedes extraer usando el método de selección usando algunos consejos. Probemos un ejemplo para considerar este método.

Ejemplo: Extrae la raíz del número 676.

Notamos que 20 2 \u003d 400 y 30 2 \u003d 900, lo que significa 20< √676 < 900.

Los cuadrados exactos de los números naturales terminan en 0; una; cuatro; 5; 6; 9.
El número 6 está dado por 4 2 y 6 2 .
Entonces, si la raíz se toma de 676, entonces es 24 o 26.

Queda por comprobar: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Responder: √676 = 26 .

Más ejemplo: √6889 .

Dado que 80 2 \u003d 6400 y 90 2 \u003d 8100, entonces 80< √6889 < 90.
El número 9 está dado por 3 2 y 7 2, entonces √6889 es 83 o 87.

Comprobar: 83 2 = 6889.

Responder: √6889 = 83 .

Si le resulta difícil resolverlo con el método de selección, puede factorizar la expresión raíz.

Por ejemplo, encontrar √893025.

Factoricemos el número 893025, recuerda, lo hiciste en sexto grado.

Obtenemos: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Más ejemplo: √20736. Factoricemos el número 20736:

Obtenemos √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Por supuesto, la factorización requiere conocimiento de los criterios de divisibilidad y habilidades de factorización.

Y finalmente, hay regla de la raíz cuadrada. Veamos esta regla con un ejemplo.

Calcular √279841.

Para extraer la raíz de un entero de varios dígitos, lo dividimos de derecha a izquierda en caras que contienen 2 dígitos cada una (puede haber un dígito en la cara del extremo izquierdo). Escribe así 27'98'41

Para obtener el primer dígito de la raíz (5), extraemos la raíz cuadrada del cuadrado exacto más grande contenido en la primera cara izquierda (27).
Luego se resta a la primera cara el cuadrado del primer dígito de la raíz (25) y se atribuye (desmolda) la siguiente cara (98) a la diferencia.
A la izquierda del número recibido 298, escriben el doble dígito de la raíz (10), dividen por él el número de todas las decenas del número obtenido previamente (29/2 ≈ 2), experimentan el cociente (102 ∙ 2 = 204 no debe ser más de 298) y escribe (2) después del primer dígito de la raíz.
Luego, el cociente resultante 204 se resta de 298, y la siguiente faceta (41) se atribuye (demolida) a la diferencia (94).
A la izquierda del número resultante 9441, escriben el doble producto de los dígitos de la raíz (52 ∙ 2 = 104), dividen por este producto el número de todas las decenas del número 9441 (944/104 ≈ 9), experiencia el cociente (1049 ∙ 9 = 9441) debe ser 9441 y anótelo (9) después del segundo dígito de la raíz.

Obtuvimos la respuesta √279841 = 529.

Del mismo modo extraer raices de decimales. Solo el número radical debe dividirse en caras para que la coma quede entre las caras.

Ejemplo. Encuentra el valor √0.00956484.

Solo recuerda que si la fracción decimal tiene un número impar de lugares decimales, la raíz cuadrada no se extrae exactamente de ella.

Entonces, ahora has visto tres formas de extraer la raíz. Elige el que más te convenga y practica. Para aprender a resolver problemas, es necesario resolverlos. Y si tienes alguna duda, suscríbete a mis lecciones.

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Al resolver varios problemas del curso de matemáticas y física, los alumnos y estudiantes a menudo se enfrentan a la necesidad de extraer raíces de segundo, tercer o enésimo grado. Por supuesto, en el siglo tecnologías de la información No será difícil resolver tal problema usando una calculadora. Sin embargo, hay situaciones en las que es imposible utilizar un asistente electrónico.

Por ejemplo, está prohibido llevar aparatos electrónicos a muchos exámenes. Además, es posible que la calculadora no esté a mano. En tales casos, es útil conocer al menos algunos métodos para calcular manualmente los radicales.

Una de las formas más sencillas de calcular raíces es usando una mesa especial. ¿Qué es y cómo usarlo correctamente?

Usando la tabla, puede encontrar el cuadrado de cualquier número del 10 al 99. Al mismo tiempo, las filas de la tabla contienen valores de decenas y las columnas contienen valores de unidad. La celda en la intersección de una fila y una columna contiene un cuadrado número de dos dígitos. Para calcular el cuadrado de 63, necesitas encontrar una fila con un valor de 6 y una columna con un valor de 3. En la intersección, encontramos una celda con el número 3969.

Dado que extraer la raíz es la operación inversa de elevar al cuadrado, para realizar esta acción, debe hacer lo contrario: primero busque la celda con el número cuyo radical desea calcular, luego determine la respuesta a partir de los valores de la columna y la fila. Como ejemplo, considere el cálculo de la raíz cuadrada de 169.

Encontramos una celda con este número en la tabla, horizontalmente determinamos las decenas - 1, verticalmente encontramos las unidades - 3. Respuesta: √169 = 13.

Del mismo modo, puede calcular las raíces del grado cúbico y n-ésimo, utilizando las tablas apropiadas.

La ventaja del método es su simplicidad y la ausencia de cálculos adicionales. Las desventajas son obvias: el método solo se puede usar para un rango limitado de números (el número para el cual se encuentra la raíz debe estar entre 100 y 9801). Además, no funcionará si el número dado no está en la tabla.

Factorización prima

Si la tabla de cuadrados no está a la mano o con su ayuda fue imposible encontrar la raíz, puede intentar descomponer el número bajo la raíz en factores primos. Los factores primos son aquellos que se pueden dividir completamente (sin resto) solo por sí mismo o por uno. Los ejemplos serían 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc.

Considere el cálculo de la raíz usando el ejemplo √576. Vamos a descomponerlo en factores simples. Obtenemos el siguiente resultado: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Usando la propiedad principal de las raíces √a² = a, nos deshacemos de las raíces y los cuadrados, después de lo cual calculamos la respuesta: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

¿Qué hacer si alguno de los factores no tiene su propio par? Por ejemplo, considere el cálculo de √54. Después de factorizar, obtenemos el resultado de la siguiente forma: La parte no removible se puede dejar debajo de la raíz. Para la mayoría de los problemas de geometría y álgebra, dicha respuesta se contará como la final. Pero si es necesario calcular valores aproximados, puede usar los métodos que se discutirán más adelante.

método de la garza

¿Qué hacer cuando necesita saber al menos aproximadamente cuál es la raíz extraída (si es imposible obtener un valor entero)? Se obtiene un resultado rápido y bastante preciso aplicando el método de Heron.. Su esencia radica en el uso de una fórmula aproximada:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

donde R es el número cuya raíz se va a calcular, a es el número más cercano cuyo valor de raíz se conoce.

Veamos cómo funciona el método en la práctica y evaluemos qué tan preciso es. Calculemos a qué es igual √111. El número más cercano a 111, cuya raíz se conoce, es 121. Por lo tanto, R = 111, a = 121. Sustituye los valores en la fórmula:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Ahora vamos a comprobar la precisión del método.:

10,55² = 111,3025.

El error del método fue de aproximadamente 0,3. Si es necesario mejorar la precisión del método, puede repetir los pasos descritos anteriormente:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Comprobemos la precisión del cálculo:

10,536² = 111,0073.

Después de la aplicación repetida de la fórmula, el error se volvió bastante insignificante.

Cálculo de la raíz por división en una columna

Este método para encontrar el valor de la raíz cuadrada es un poco más complicado que los anteriores. Sin embargo, es el más preciso entre otros métodos de cálculo sin calculadora..

Digamos que necesitas encontrar la raíz cuadrada con una precisión de 4 decimales. Analicemos el algoritmo de cálculo usando el ejemplo de un número arbitrario 1308.1912.

1. Divida la hoja de papel en 2 partes con una línea vertical y luego dibuje otra línea hacia la derecha, ligeramente debajo del borde superior. Escribimos el número del lado izquierdo, dividiéndolo en grupos de 2 dígitos, desplazándonos a la derecha e izquierda del punto decimal. El primer dígito de la izquierda puede estar sin par. Si falta el signo en el lado derecho del número, entonces se debe agregar 0. En nuestro caso, obtenemos 13 08.19 12.
2. Seleccionemos el número más grande cuyo cuadrado sea menor o igual que el primer grupo de dígitos. En nuestro caso, esto es 3. Escribámoslo arriba a la derecha; 3 es el primer dígito del resultado. En la parte inferior derecha, indicamos 3 × 3 = 9; esto será necesario para los cálculos posteriores. Restamos 9 de 13 en una columna, obtenemos el resto 4.
3. Sumemos el siguiente par de números al resto 4; obtenemos 408.
4. Multiplica el número de arriba a la derecha por 2 y escríbelo abajo a la derecha, sumando _ x _ =. Obtenemos 6_ x _ =.
5. En lugar de guiones, debe sustituir el mismo número, menor o igual a 408. Obtenemos 66 × 6 \u003d 396. Escribamos 6 en la parte superior derecha, ya que este es el segundo dígito del resultado. Restamos 396 de 408, obtenemos 12.
6. Repitamos los pasos 3-6. Como los números llevados hacia abajo están en la parte fraccionaria del número, es necesario poner un punto decimal en la parte superior derecha después del 6. Escribamos el resultado duplicado con guiones: 72_ x _ =. Un número adecuado sería 1: 721 × 1 = 721. Escribámoslo como respuesta. Restamos 1219 - 721 = 498.
7. Realicemos la secuencia de acciones dada en el párrafo anterior tres veces más para obtener el número requerido de lugares decimales. Si no hay suficientes signos para más cálculos, se deben agregar dos ceros al número actual a la izquierda.

Como resultado, obtenemos la respuesta: √1308,1912 ≈ 36,1689. Si verifica la acción con una calculadora, puede asegurarse de que todos los caracteres se determinaron correctamente.

Cálculo bit a bit del valor de la raíz cuadrada

El método es muy preciso.. Además, es bastante comprensible y no requiere memorizar fórmulas o un complejo algoritmo de acciones, ya que la esencia del método es seleccionar el resultado correcto.

Extraigamos la raíz del número 781. Consideremos en detalle la secuencia de acciones.

1. Averigüe qué dígito del valor de la raíz cuadrada será el más alto. Para ello, elevemos al cuadrado 0, 10, 100, 1000, etc. y averigüemos entre cuál de ellos se encuentra el número raíz. Obtenemos ese 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Tomemos el valor de las decenas. Para ello, nos turnaremos elevando a la potencia de 10, 20,..., 90, hasta obtener un número mayor a 781. En nuestro caso, obtenemos 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. El valor del resultado n estará dentro de 20< n <30.
3. De manera similar al paso anterior, se selecciona el valor del dígito de las unidades. Elevamos alternativamente al cuadrado 21,22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. Obtenemos que 27< n < 28.
4. Cada dígito posterior (décimas, centésimas, etc.) se calcula de la misma manera que se muestra arriba. Los cálculos se llevan a cabo hasta que se logra la precisión requerida.

Extrayendo una raíz de un gran número. ¡Queridos amigos!En este artículo, le mostraremos cómo sacar la raíz de un número grande sin una calculadora. Esto es necesario no solo para resolver ciertos tipos de problemas de USE (los hay para el movimiento), sino que también es deseable conocer esta técnica analítica para el desarrollo matemático general.

Parecería que todo es simple: factorizar y extraer. No hay ningún problema. Por ejemplo, el número 291600, cuando se expande, dará el producto:

Calculamos:

¡Hay un PERO! El método es bueno si los divisores 2, 3, 4 y así sucesivamente se determinan fácilmente. Pero, ¿y si el número del que extraemos la raíz es un producto de números primos? Por ejemplo, 152881 es el producto de los números 17, 17, 23, 23. Intenta encontrar estos divisores de inmediato.

La esencia del método que estamos considerando.- esto es puro análisis. La raíz con la habilidad acumulada se encuentra rápidamente. Si la habilidad no se desarrolla, pero el enfoque simplemente se entiende, entonces es un poco más lento, pero aún así está determinado.

Tomemos la raíz de 190969.

Primero, determinemos entre qué números (múltiplos de cien) se encuentra nuestro resultado.

Obviamente, el resultado de la raíz de un número dado se encuentra en el rango de 400 a 500, porque

400 2 = 160000 y 500 2 = 250000

En realidad:

en el medio, más cerca de 160.000 o 250.000?

El número 190969 está en algún lugar en el medio, pero aún más cerca de 160000. Podemos concluir que el resultado de nuestra raíz será menor que 450. Comprobemos:

De hecho, es menos de 450, ya que 190.969< 202 500.

Ahora vamos a comprobar el número 440:

Entonces nuestro resultado es menor que 440, ya que 190 969 < 193 600.

Comprobando el número 430:

Hemos establecido que el resultado de esta raíz se encuentra en el rango de 430 a 440.

El producto de números que terminan en 1 o 9 da un número que termina en 1. Por ejemplo, 21 por 21 es igual a 441.

El producto de números que terminan en 2 u 8 da un número que termina en 4. Por ejemplo, 18 por 18 es igual a 324.

El producto de números que terminan en 5 da un número que termina en 5. Por ejemplo, 25 por 25 es igual a 625.

El producto de números que terminan en 4 o 6 da un número que termina en 6. Por ejemplo, 26 por 26 es igual a 676.

El producto de números que terminan en 3 o 7 da un número que termina en 9. Por ejemplo, 17 por 17 es igual a 289.

Dado que el número 190969 termina con el número 9, este producto es el número 433 o 437.

*Solo ellos, al elevarlos al cuadrado, pueden dar 9 al final.

Verificamos:

Entonces el resultado de la raíz será 437.

Es decir, "sentimos" la respuesta correcta.

Como ves, lo máximo que se requiere es realizar 5 acciones en una columna. Quizás llegue inmediatamente al punto, o solo haga tres acciones. Todo depende de la precisión con la que haga la estimación inicial del número.

Extraiga su propia raíz de 148996

Tal discriminante se obtiene en el problema:

El barco pasa por el río hasta el destino 336 km y después de estacionar regresa al punto de partida. Encuentre la velocidad del barco en aguas tranquilas, si la velocidad de la corriente es de 5 km/h, la estadía dura 10 horas y el barco regresa al punto de partida 48 horas después de haberlo dejado. Da tu respuesta en km/h.

Ver solución

El resultado de la raíz está entre los números 300 y 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

De hecho, 90000<148996<160000.

La esencia del razonamiento adicional es determinar cómo se ubica (distancia) el número 148996 en relación con estos números.

Calcula las diferencias 148996 - 90000=58996 y 160000 - 148996=11004.

Resulta que 148996 está cerca (mucho más cerca) de 160000. Por lo tanto, el resultado de la raíz definitivamente será mayor que 350 e incluso 360.

Podemos concluir que nuestro resultado es mayor que 370. Además, está claro: dado que 148996 termina en el número 6, esto significa que debes elevar al cuadrado el número que termina en 4 o en 6. *Solo estos números, cuando se elevan al cuadrado, dan fin 6.

Atentamente, Alexander Krutitskikh.

P.D: Le agradecería que hablara del sitio en las redes sociales.