2., 5.
,

3.
, 6.
.

En integrales 1-3 como tu aceptar . A continuación, después norte-Aplicando la fórmula (19), llegamos a una de las integrales de tabla.

,
,
.

En las integrales 4-6, al derivar, se simplifica el factor trascendental.
,
o
, que debe tomarse como tu.

Calcula las siguientes integrales.

Ejemplo 7

Ejemplo 8

Reducir integrales a sí mismo

Si el integrando
parece:

,
,
etcétera,

luego después de la doble integración por partes obtenemos una expresión que contiene la integral original :

,

Dónde
es alguna constante.

Resolviendo la ecuación resultante con respecto a , obtenemos una fórmula para calcular la integral original:

.

Este caso de aplicación del método de integración por partes se denomina " trayendo la integral a si misma».

Ejemplo 9 Calcular integrales
.

En el lado derecho está la integral original. . Moviéndolo hacia el lado izquierdo obtenemos:

.

Ejemplo 10 Calcular integrales
.

4.5. Integración de las fracciones racionales propias más simples.

Definición.Las fracciones propias más simples. I , II Y III tipos las siguientes fracciones se llaman:

I. ;

II.
; (
es un número entero positivo);

III.
; (las raíces del denominador son complejas, es decir:
.

Considere integrales de fracciones simples.

I.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Transformamos el numerador de la fracción de tal manera que resalte el término en el numerador.
igual a la derivada del denominador.

Considere la primera de las dos integrales obtenidas y cámbiela:

En la segunda integral complementamos el denominador a un cuadrado completo:

Finalmente, la integral de una fracción del tercer tipo es igual a:

=
+
. (22)

Así, la integral de las fracciones más simples de tipo I se expresa en términos de logaritmos, tipo II - en términos de funciones racionales, tipo III - en términos de logaritmos y arcotangentes.

4.6 Integración de funciones fraccionarias-racionales

Una de las clases de funciones que tienen una integral expresada en términos de funciones elementales es la clase de funciones algebraicas. funciones racionales, es decir, funciones resultantes de un número finito de operaciones algebraicas sobre el argumento.

Cada función racional
se puede representar como una razón de dos polinomios
Y
:

. (23)

Supondremos que los polinomios no tienen raíces comunes.

Una fracción de la forma (23) se llama correcto, si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, es decir, metro< norte. De lo contrario - equivocado.

Si la fracción es incorrecta, entonces, dividiendo el numerador por el denominador (de acuerdo con la regla de dividir polinomios), representamos la fracción como la suma de un polinomio y una fracción propia:

, (24)

Dónde
- polinomio, es una fracción propia y el grado del polinomio
- ningún título superior ( norte-1).

Ejemplo.

Dado que la integración de un polinomio se reduce a la suma de integrales tabulares de una función de potencia, la principal dificultad al integrar fracciones racionales es integrar fracciones racionales propias.

El álgebra demuestra que toda fracción propia se descompone en la suma de los anteriores protozoos fracciones, cuya forma está determinada por las raíces del denominador
.

Consideremos tres casos especiales. Aquí y a continuación, asumiremos que el coeficiente en el grado más alto del denominador
igual a uno =1, es decirpolinomio reducido .

Caso 1 Las raíces del denominador, es decir, las raíces.
ecuaciones
=0 son reales y diferentes. Luego representamos el denominador como producto de factores lineales:

y la fracción propia se descompone en las fracciones más simples del tipo I:

, (26)

Dónde
- alguno números constantes, que se encuentran mediante el método de coeficientes indeterminados.

Para esto necesitas:

1. Liderar lado derecho expansiones (26) a un denominador común.

2. Igualar los coeficientes a las mismas potencias de polinomios idénticos en el numerador de las partes izquierda y derecha. Obtenemos un sistema de ecuaciones lineales para determinar.
.

3. Resuelve el sistema resultante y encuentra los coeficientes inciertos.
.

Entonces la integral de la función fraccionaria-racional (26) será igual a la suma de las integrales de las fracciones más simples del tipo I, calculadas mediante la fórmula (20).

Ejemplo. Calcular integrales
.

Solución. Factoricemos el denominador usando el teorema de Vieta:

Luego, el integrando se expande a la suma de fracciones simples:

.

X:

Escribamos un sistema de tres ecuaciones para encontrar
X en los lados izquierdo y derecho:

.

Indiquemos un método más simple para encontrar coeficientes indeterminados, llamado método de valor parcial.

Asumiendo en igualdad (27)
obtenemos
, dónde
. Asumiendo
obtenemos
. Finalmente, suponiendo
obtenemos
.

.

Caso 2 raíz del denominador
son reales, pero entre ellos hay múltiples raíces (iguales). Luego representamos el denominador como producto de factores lineales incluidos en el producto en la medida en que la multiplicidad de la raíz correspondiente sea:

Dónde
.

fracción propia Se ampliará la suma de fracciones de los tipos I-ésimo y II-ésimo. Dejemos, por ejemplo, - raíz del denominador de multiplicidad k, y todo lo demás ( norte- k) de raíces son diferentes.

Entonces la descomposición quedará así:

Lo mismo ocurre si existen otras raíces múltiples. Para raíces no múltiples, el desarrollo (28) incluye las fracciones más simples del primer tipo.

Ejemplo. Calcular integrales
.

Solución. Representemos una fracción como la suma de fracciones simples de primer y segundo tipo con coeficientes indefinidos:

.

Llevamos el lado derecho a un denominador común y equiparamos los polinomios en los numeradores de los lados izquierdo y derecho:

En el lado derecho damos similares con los mismos grados. X:

Escribamos el sistema de cuatro ecuaciones para encontrar
Y . Para hacer esto, igualamos los coeficientes a las mismas potencias. X en el lado izquierdo y derecho

.

Caso 3 Entre las raíces del denominador.
tienen raíces complejas y únicas. Es decir, la expansión del denominador incluye factores de segundo grado.
, que no se pueden descomponer en factores lineales reales y no se repiten.

Luego, en la expansión de la fracción, cada uno de estos factores corresponderá a la fracción tipo III más simple. Los factores lineales corresponden a las fracciones más simples de los tipos I y II.

Ejemplo. Calcular integrales
.

Solución.
.

.

.

Integración de una función fraccionaria-racional.
Método de coeficientes indeterminados

Seguimos trabajando en la integración de fracciones. Ya hemos considerado las integrales de algunos tipos de fracciones en la lección y, en cierto sentido, esta lección puede considerarse una continuación. Para comprender con éxito el material, se requieren habilidades básicas de integración, por lo que si acaba de comenzar a estudiar integrales, es decir, es una tetera, entonces debe comenzar con el artículo. Integral indefinida. Ejemplos de soluciones.

Curiosamente, ahora no nos ocuparemos tanto de encontrar integrales como de ... resolver sistemas ecuaciones lineales. En esta conexión fuertemente Recomiendo visitar la lección. Es decir, debe conocer bien los métodos de sustitución (el método "escolar" y el método de suma (resta) término por término de ecuaciones del sistema).

¿Qué es una función racional fraccionaria? En palabras simples, una función fraccionaria-racional es una fracción en cuyo numerador y denominador son polinomios o productos de polinomios. Al mismo tiempo, las fracciones son más sofisticadas que las que se analizan en el artículo. Integración de algunas fracciones..

Integración de la función fraccional-racional correcta

Inmediatamente un ejemplo y un algoritmo típico para resolver la integral de una función racional fraccionaria.

Ejemplo 1

Paso 1. Lo primero que SIEMPRE hacemos al resolver una integral de una función racional-fraccional es hacer la siguiente pregunta: ¿La fracción es correcta? Este paso se realiza de forma oral, y ahora te explicaré cómo:

Primero mira el numerador y descúbrelo. título superior polinomio:

La potencia más alta del numerador es dos.

Ahora mira el denominador y descúbrelo. título superior denominador. La forma obvia es abrir los corchetes y traer términos semejantes, pero puedes hacerlo más fácilmente, en cada paréntesis encuentra el grado más alto

y multiplica mentalmente: - así, el grado más alto del denominador es igual a tres. Es bastante obvio que si realmente abrimos los corchetes, entonces no obtendremos un grado mayor que tres.

Conclusión: Mayor potencia del numerador ESTRICTAMENTE menor que la potencia más alta del denominador, entonces la fracción es correcta.

Si en este ejemplo el numerador contuviera un polinomio 3, 4, 5, etc. grado, entonces la fracción sería equivocado.

Ahora consideraremos sólo funciones fraccionarias-racionales propias.. El caso en el que el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador lo analizaremos al final de la lección.

Paso 2 Factoricemos el denominador. Miremos nuestro denominador:

En general, aquí ya es producto de factores, pero, sin embargo, nos preguntamos: ¿es posible ampliar algo más? El objeto de la tortura, por supuesto, será el trinomio cuadrado. Resolvemos la ecuación cuadrática:

El discriminante es mayor que cero, lo que significa que el trinomio efectivamente está factorizado:

Regla general: TODO lo que en el denominador SE PUEDE factorizar - factorizar

Empecemos a tomar una decisión:

Paso 3 Usando el método de coeficientes indefinidos, expandimos el integrando a una suma de fracciones simples (elementales). Ahora quedará más claro.

Veamos nuestra función integrando:

Y, ya sabes, de alguna manera se nos escapa el pensamiento intuitivo de que sería bueno convertir nuestra fracción grande en varias pequeñas. Por ejemplo, así:

Surge la pregunta: ¿es siquiera posible hacer esto? Demos un suspiro de alivio, dice el teorema correspondiente del análisis matemático: ES POSIBLE. Tal descomposición existe y es única..

Sólo hay un problema, los coeficientes que Adiós no lo sabemos, de ahí el nombre: método de coeficientes indefinidos.

Lo has adivinado, los gestos posteriores así que ¡no te rías! tendrá como objetivo simplemente APRENDERLOS, para descubrir a qué equivalen.

¡Cuidado, te lo explico en detalle una vez!

Entonces, comencemos a bailar desde:

En el lado izquierdo llevamos la expresión a un denominador común:

Ahora nos deshacemos con seguridad de los denominadores (porque son iguales):

En el lado izquierdo abrimos los corchetes, mientras aún no tocamos los coeficientes desconocidos:

Al mismo tiempo, repetimos la regla escolar de multiplicación de polinomios. Cuando era profesora, aprendí a decir esta regla con seriedad: Para multiplicar un polinomio por un polinomio, debes multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio..

Desde el punto de vista de una explicación clara, es mejor poner los coeficientes entre paréntesis (aunque yo personalmente nunca hago esto para ahorrar tiempo):

Componemos un sistema de ecuaciones lineales.
Primero, buscamos títulos superiores:

Y escribimos los coeficientes correspondientes en la primera ecuación del sistema:

Bueno, recuerda el siguiente matiz.. ¿Qué pasaría si el lado derecho no existiera en absoluto? Dime, ¿se luciría sin ningún cuadrado? En este caso, en la ecuación del sistema, habría que poner cero a la derecha: . ¿Por qué cero? Y porque en el lado derecho siempre puedes atribuir este mismo cuadrado con cero: si no hay variables o (y) un término libre en el lado derecho, entonces ponemos ceros en los lados derechos de las ecuaciones correspondientes del sistema.

Escribimos los coeficientes correspondientes en la segunda ecuación del sistema:

Y, por último, agua mineral, seleccionamos miembros gratuitos.

Eh... estaba bromeando. Bromas aparte: las matemáticas son una ciencia seria. En nuestro grupo del instituto, nadie se rió cuando la profesora asistente dijo que dispersaría a los miembros a lo largo de una recta numérica y elegiría al mayor de ellos. Pongámonos serios. Aunque... quien viva para ver el final de esta lección seguirá sonriendo en silencio.

Sistema listo:

Resolvemos el sistema:

(1) De la primera ecuación, la expresamos y la sustituimos en la segunda y tercera ecuaciones del sistema. De hecho, era posible expresar (u otra letra) a partir de otra ecuación, pero en este caso es ventajoso expresarla a partir de la 1ª ecuación, ya que hay las probabilidades más pequeñas.

(2) Presentamos términos similares en la segunda y tercera ecuaciones.

(3) Sumamos la 2ª y 3ª ecuaciones término a término, obteniendo la igualdad , de lo que se deduce que

(4) Sustituimos en la segunda (o tercera) ecuación, de la cual encontramos que

(5) Sustituimos y en la primera ecuación, obteniendo .

Si tienes alguna dificultad con los métodos para resolver el sistema, resuélvela en clase. ¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales?

Después de resolver el sistema, siempre es útil hacer una verificación: sustituir los valores encontrados. en cada ecuación del sistema, como resultado, todo debería "convergir".

Casi llegó. Se encuentran los coeficientes, mientras que:

Un trabajo limpio debería verse así:

Como puedes ver, la principal dificultad de la tarea era componer (¡correctamente!) y resolver (¡correctamente!) un sistema de ecuaciones lineales. Y en la etapa final, no todo es tan difícil: utilizamos las propiedades de la linealidad de la integral indefinida e integramos. Llamo su atención sobre el hecho de que bajo cada una de las tres integrales tenemos una función compleja "libre", hablé sobre las características de su integración en la lección. Método de cambio de variable en integral indefinida..

Verificar: Diferenciar la respuesta:

Se obtuvo el integrando original, lo que significa que la integral se encontró correctamente.
Durante la verificación fue necesario llevar la expresión a un denominador común, y esto no es accidental. El método de los coeficientes indefinidos y llevar la expresión a un denominador común son acciones mutuamente inversas.

Ejemplo 2

Encuentra la integral indefinida.

Volvamos a la fracción del primer ejemplo: . Es fácil ver que en el denominador todos los factores son DIFERENTES. Surge la pregunta de qué hacer si, por ejemplo, se da la siguiente fracción: ? Aquí tenemos grados en el denominador o, en términos matemáticos, múltiples factores. Además, existe un trinomio cuadrado indescomponible (es fácil comprobar que el discriminante de la ecuación es negativo, por lo que no hay forma de factorizar el trinomio). ¿Qué hacer? La expansión a una suma de fracciones elementales se verá así ¿Con coeficientes desconocidos en la parte superior o de alguna otra manera?

Ejemplo 3

Enviar una función

Paso 1. Comprobando si tenemos una fracción correcta
Mayor potencia del numerador: 2
Máximo denominador: 8
, entonces la fracción es correcta.

Paso 2¿Se puede factorizar algo en el denominador? Evidentemente no, ya está todo dispuesto. El trinomio cuadrado no se expande hasta formar un producto por las razones anteriores. Bien. Menos trabajo.

Paso 3 Representemos una función fraccionaria-racional como una suma de fracciones elementales.
En este caso, la descomposición tiene la siguiente forma:

Miremos nuestro denominador:
Al descomponer una función fraccionaria-racional en una suma de fracciones elementales se pueden distinguir tres puntos fundamentales:

1) Si el denominador contiene un factor "solitario" de primer grado (en nuestro caso), entonces colocamos un coeficiente indefinido en la parte superior (en nuestro caso). Los ejemplos nº 1 y 2 consistían únicamente en esos factores "solitarios".

2) Si el denominador contiene múltiple multiplicador, entonces necesitas descomponerlo de la siguiente manera:
- es decir, ordenar secuencialmente todos los grados de "x" desde el primero hasta el enésimo grado. En nuestro ejemplo, hay dos factores múltiples: y, eche otro vistazo a la descomposición que he dado y asegúrese de que se descompongan exactamente de acuerdo con esta regla.

3) Si el denominador contiene un polinomio indescomponible de segundo grado (en nuestro caso ), entonces, al expandir el numerador, es necesario escribir una función lineal con coeficientes indefinidos (en nuestro caso, con coeficientes indefinidos y ).

De hecho, también hay un cuarto caso, pero guardaré silencio al respecto, ya que en la práctica es extremadamente raro.

Ejemplo 4

Enviar una función como suma de fracciones elementales con coeficientes desconocidos.

Este es un ejemplo que puede hacer usted mismo. Solución completa y respuesta al final de la lección.
¡Sigue estrictamente el algoritmo!

Si ha descubierto los principios mediante los cuales necesita descomponer una función fraccionaria-racional en una suma, entonces podrá descifrar casi cualquier integral del tipo considerado.

Ejemplo 5

Encuentra la integral indefinida.

Paso 1. Obviamente la fracción es correcta:

Paso 2¿Se puede factorizar algo en el denominador? Poder. Aquí está la suma de cubos. . Factorizar el denominador usando la fórmula de multiplicación abreviada

Paso 3 Usando el método de coeficientes indefinidos, expandimos el integrando a una suma de fracciones elementales:

Fíjate que el polinomio es indescomponible (comprueba que el discriminante sea negativo), por lo que arriba ponemos una función lineal con coeficientes desconocidos, y no solo una letra.

Llevamos la fracción a un denominador común:

Creemos y resolvamos el sistema:

(1) De la primera ecuación, expresamos y sustituimos en la segunda ecuación del sistema (esta es la forma más racional).

(2) Presentamos términos similares en la segunda ecuación.

(3) Sumamos la segunda y tercera ecuaciones del sistema término por término.

Todos los cálculos posteriores, en principio, son orales, ya que el sistema es sencillo.

(1) Anotamos la suma de fracciones de acuerdo con los coeficientes encontrados.

(2) Usamos las propiedades de linealidad de la integral indefinida. ¿Qué pasó en la segunda integral? Puede encontrar este método en el último párrafo de la lección. Integración de algunas fracciones..

(3) Una vez más utilizamos las propiedades de la linealidad. En la tercera integral, comenzamos a seleccionar un cuadrado completo (el penúltimo párrafo de la lección Integración de algunas fracciones.).

(4) Tomamos la segunda integral, en la tercera seleccionamos el cuadrado completo.

(5) Tomamos la tercera integral. Listo.

El trabajo de control sobre la integración de funciones, incluidas fracciones racionales, se imparte a los alumnos de 1º y 2º curso. Los ejemplos de integrales serán de interés principalmente para matemáticos, economistas y estadísticos. Estos ejemplos fueron dados en controlar el trabajo en LNU Yo, franco. Las condiciones de los siguientes ejemplos son "Encontrar la integral" o "Calcular la integral", por lo tanto, para ahorrar espacio y tiempo, no fueron escritas.

Ejemplo 15. Llegamos a la integración de funciones racionales fraccionarias. Ocupan un lugar especial entre las integrales porque requieren mucho tiempo para calcularlas y ayudan a los profesores a comprobar sus conocimientos no sólo en integración. Para simplificar la función bajo la integral, sumamos y restamos una expresión en el numerador que nos permite dividir la función bajo la integral en dos simples

Como resultado, encontramos una integral con bastante rapidez, en la segunda necesitamos expandir la fracción a la suma de fracciones elementales.

Cuando lo reducimos a un denominador común, obtenemos tales números.

A continuación, abra los corchetes y agrupe

Igualamos el valor en los mismos grados de "x" a derecha e izquierda. Como resultado llegamos a un sistema de tres ecuaciones lineales (SLAE) con tres incógnitas.

Cómo resolver sistemas de ecuaciones se describe en otros artículos del sitio. En la versión final, recibirá las siguientes soluciones SLAE
A=4; B=-9/2; C=-7/2.
Sustituimos las constantes en la expansión de fracciones por las más simples y realizamos la integración.


Este ejemplo está resuelto.

Ejemplo 16. Nuevamente, necesitas encontrar la integral de la función racional fraccionaria. Para empezar, descomponemos la ecuación cúbica contenida en el denominador de la fracción en factores simples.

A continuación, realizamos la descomposición de la fracción en la más simple.

Reducimos el lado derecho a un denominador común y abrimos los corchetes en el numerador.


Igualamos los coeficientes a las mismas potencias de la variable. De nuevo llegamos a SLAE con tres incógnitas

Sustituto valores A,B,C en la expansión y calcular la integral

Los dos primeros términos dan el logaritmo, el último también es fácil de encontrar.

Ejemplo 17. En el denominador de una función racional fraccionaria tenemos la diferencia de cubos. Según las fórmulas de multiplicación abreviada, la descomponemos en dos factores primos.

A continuación, pintamos la función fraccionaria resultante para la suma de fracciones simples y las reducimos a un denominador común.

En el numerador obtenemos la siguiente expresión.

A partir de él formamos un sistema de ecuaciones lineales para calcular 3 incógnitas.

A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
Sustituimos A, B, C en la fórmula y realizamos la integración. Como resultado llegamos a la siguiente respuesta


Aquí, el numerador de la segunda integral se convirtió en un logaritmo, mientras que el resto de la integral da el arco tangente.
Hay muchos ejemplos similares sobre la integración de fracciones racionales en Internet. Se pueden encontrar ejemplos similares en los materiales siguientes.

Aquí proporcionamos soluciones detalladas a tres ejemplos de integración de las siguientes fracciones racionales:
, , .

Ejemplo 1

Calcular integrales:
.

Solución

Aquí, bajo el signo integral hay una función racional, ya que el integrando es una fracción de polinomios. El grado del polinomio denominador ( 3 ) es menor que el grado del polinomio numerador ( 4 ). Por lo tanto, primero debes seleccionar la parte completa de la fracción.

1. Tomemos la parte entera de la fracción. dividir x 4 en x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

De aquí
.

2. Factoricemos el denominador. Para hacer esto, necesitas resolver la ecuación cúbica:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Sustituir x = 1 :
.

1 . Dividir por x - 1 :

De aquí
.
Resolvemos una ecuación cuadrática.
.
Raíces de ecuación: , .
Entonces
.

3. Descompongamos la fracción en fracciones simples.

.

Entonces encontramos:
.
Integrémonos.

Respuesta

Ejemplo 2

Calcular integrales:
.

Solución

Aquí en el numerador de la fracción hay un polinomio de grado cero ( 1 = x0). El denominador es un polinomio de tercer grado. Porque el 0 < 3 , entonces la fracción es correcta. Dividámoslo en fracciones simples.

1. Factoricemos el denominador. Para hacer esto, debes resolver la ecuación de tercer grado:
.
Supongamos que tiene al menos una raíz entera. entonces es el divisor del numero 3 (un miembro sin x ). Es decir, la raíz completa puede ser uno de los números:
1, 3, -1, -3 .
Sustituir x = 1 :
.

Entonces hemos encontrado una raíz x = 1 . dividir x 3 + 2 x - 3 en x- 1 :

Entonces,
.

Resolvemos la ecuación cuadrática:
X 2 + x + 3 = 0.
Encuentra el discriminante: D = 1 2 - 4 3 = -11. porque D< 0 , entonces la ecuación no tiene raíces reales. Así, hemos obtenido la descomposición del denominador en factores:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
Sustituir x = 1 . Entonces x- 1 = 0 ,
.

Sustituir en (2.1) x= 0 :
1 = 3 A-C;
.

equiparar en (2.1) coeficientes en x 2 :
;
0=A+B;
.

.

3. Integrémonos.
(2.2) .
Para calcular la segunda integral, seleccionamos la derivada del denominador en el numerador y reducimos el denominador a la suma de cuadrados.

;
;
.

calcular yo 2 .


.
Dado que la ecuación x 2 + x + 3 = 0 no tiene raíces reales, entonces x 2 + x + 3 > 0. Por lo tanto, se puede omitir el signo del módulo.

Entregamos a (2.2) :
.

Respuesta

Ejemplo 3

Calcular integrales:
.

Solución

Aquí, bajo el signo de la integral hay una fracción de polinomios. Por tanto, el integrando es una función racional. El grado del polinomio en el numerador es 3 . El grado del polinomio del denominador de una fracción es 4 . Porque el 3 < 4 , entonces la fracción es correcta. Por tanto, se puede descomponer en fracciones simples. Pero para ello es necesario descomponer el denominador en factores.

1. Factoricemos el denominador. Para hacer esto, debes resolver la ecuación de cuarto grado:
.
Supongamos que tiene al menos una raíz entera. entonces es el divisor del numero 2 (un miembro sin x ). Es decir, la raíz completa puede ser uno de los números:
1, 2, -1, -2 .
Sustituir x = -1 :
.

Entonces hemos encontrado una raíz x = -1 . Dividir por x - (-1) = x + 1:


Entonces,
.

Ahora necesitamos resolver la ecuación de tercer grado:
.
Si asumimos que esta ecuación tiene raíz entera, entonces es divisor del número 2 (un miembro sin x ). Es decir, la raíz completa puede ser uno de los números:
1, 2, -1, -2 .
Sustituir x = -1 :
.

Entonces, hemos encontrado otra raíz x = -1 . Sería posible, como en el caso anterior, dividir el polinomio entre , pero agruparemos los términos:
.

Dado que la ecuación x 2 + 2 = 0 no tiene raíces reales, entonces obtenemos la factorización del denominador:
.

2. Descompongamos la fracción en fracciones simples. Buscamos una descomposición en la forma:
.
Nos deshacemos del denominador de la fracción, multiplicamos por (x+1) 2 (x2+2):
(3.1) .
Sustituir x = -1 . Entonces x + 1 = 0 ,
.

Diferenciar (3.1) :

;

.
Sustituir x = -1 y toma en cuenta que x + 1 = 0 :
;
; .

Sustituir en (3.1) x= 0 :
0 = 2A + 2B + D;
.

equiparar en (3.1) coeficientes en x 3 :
;
1=B+C;
.

Entonces, encontramos la descomposición en fracciones simples:
.

3. Integrémonos.


.

Una función racional es una fracción de la forma , cuyo numerador y denominador son polinomios o productos de polinomios.

Ejemplo 1 Paso 2

.

Multiplicamos coeficientes indefinidos por polinomios que no están en esta fracción individual, pero que sí están en otras fracciones obtenidas:

Abrimos los corchetes e igualamos el numerador del integrando original recibido a la expresión obtenida:

En ambas partes de la igualdad, buscamos términos con las mismas potencias de x y formamos un sistema de ecuaciones a partir de ellos:

.

Cancelamos todas las x y obtenemos un sistema de ecuaciones equivalente:

.

Así, la expansión final del integrando en la suma de fracciones simples:

.

Ejemplo 2 Paso 2 En el paso 1, obtuvimos la siguiente expansión de la fracción original a la suma de fracciones simples con coeficientes indefinidos en los numeradores:

.

Ahora comenzamos a buscar coeficientes inciertos. Para ello, equiparamos el numerador de la fracción original en la expresión de la función con el numerador de la expresión obtenida tras reducir la suma de fracciones a un denominador común:

Ahora necesitas crear y resolver un sistema de ecuaciones. Para ello, igualamos los coeficientes de la variable en el grado apropiado en el numerador de la expresión original de la función y coeficientes similares en la expresión obtenida en el paso anterior:

Resolvemos el sistema resultante:

Entonces, desde aquí

.

Ejemplo 3 Paso 2 En el paso 1, obtuvimos la siguiente expansión de la fracción original a la suma de fracciones simples con coeficientes indefinidos en los numeradores:

Empezamos a buscar coeficientes inciertos. Para ello, equiparamos el numerador de la fracción original en la expresión de la función con el numerador de la expresión obtenida tras reducir la suma de fracciones a un denominador común:

Como en los ejemplos anteriores, componemos un sistema de ecuaciones:

Reducimos x y obtenemos un sistema de ecuaciones equivalente:

Resolviendo el sistema, obtenemos los siguientes valores de coeficientes inciertos:

Obtenemos la expansión final del integrando en la suma de fracciones simples:

.

Ejemplo 4 Paso 2 En el paso 1, obtuvimos la siguiente expansión de la fracción original a la suma de fracciones simples con coeficientes indefinidos en los numeradores:

.

Cómo igualar el numerador de la fracción original con la expresión en el numerador obtenida después de descomponer la fracción en la suma de fracciones simples y reducir esta suma a un denominador común, ya lo sabemos por los ejemplos anteriores. Por tanto, sólo para control, presentamos el sistema de ecuaciones resultante:

Resolviendo el sistema, obtenemos los siguientes valores de coeficientes inciertos:

Obtenemos la expansión final del integrando en la suma de fracciones simples:

Ejemplo 5 Paso 2 En el paso 1, obtuvimos la siguiente expansión de la fracción original a la suma de fracciones simples con coeficientes indefinidos en los numeradores:

.

Llevamos de forma independiente esta suma a un denominador común, equiparamos el numerador de esta expresión con el numerador de la fracción original. El resultado debería ser el siguiente sistema de ecuaciones:

Resolviendo el sistema, obtenemos los siguientes valores de coeficientes inciertos:

.

Obtenemos la expansión final del integrando en la suma de fracciones simples:

.

Ejemplo 6 Paso 2 En el paso 1, obtuvimos la siguiente expansión de la fracción original a la suma de fracciones simples con coeficientes indefinidos en los numeradores:

Realizamos las mismas acciones con esta cantidad que en los ejemplos anteriores. El resultado debería ser el siguiente sistema de ecuaciones:

Resolviendo el sistema, obtenemos los siguientes valores de coeficientes inciertos:

.

Obtenemos la expansión final del integrando en la suma de fracciones simples:

.

Ejemplo 7 Paso 2 En el paso 1, obtuvimos la siguiente expansión de la fracción original a la suma de fracciones simples con coeficientes indefinidos en los numeradores:

.

Luego de realizar acciones conocidas con la suma resultante se debe obtener el siguiente sistema de ecuaciones:

Resolviendo el sistema, obtenemos los siguientes valores de coeficientes inciertos:

Obtenemos la expansión final del integrando en la suma de fracciones simples:

.

Ejemplo 8 Paso 2 En el paso 1, obtuvimos la siguiente expansión de la fracción original a la suma de fracciones simples con coeficientes indefinidos en los numeradores:

.

Hagamos algunos cambios en las acciones ya llevadas a la automaticidad para obtener un sistema de ecuaciones. Existe un truco artificial que en algunos casos ayuda a evitar cálculos innecesarios. Llevando la suma de fracciones a un denominador común, obtenemos y equiparando el numerador de esta expresión con el numerador de la fracción original, obtenemos.