Fakta 1.
\(\bullet\) Ta et ikke-negativt tall \(a\) (dvs. \(a\geqslant 0\) ). Deretter (aritmetikk) kvadratrot fra tallet \(a\) kalles et slikt ikke-negativt tall \(b\), når vi kvadrerer det får vi tallet \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(samme som )\quad a=b^2\] Det følger av definisjonen at \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Disse restriksjonene er en viktig betingelse for at en kvadratrot eksisterer og bør huskes!
Husk at et hvilket som helst tall når det er kvadratisk gir et ikke-negativt resultat. Det vil si \(100^2=10000\geqslant 0\) og \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Hva er \(\sqrt(25)\)? Vi vet at \(5^2=25\) og \((-5)^2=25\) . Siden vi per definisjon må finne et ikke-negativt tall, er ikke \(-5\) egnet, derav \(\sqrt(25)=5\) (siden \(25=5^2\) ).
Å finne verdien \(\sqrt a\) kalles å ta kvadratroten av tallet \(a\) , og tallet \(a\) kalles rotuttrykket.
\(\bullet\) Basert på definisjonen, uttrykkene \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) osv. gir ikke mening.

Fakta 2.
For raske beregninger vil det være nyttig å lære tabellen med kvadrater av naturlige tall fra \(1\) til \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fakta 3.
Hva kan gjøres med kvadratrøtter?
\(\kule\) Summen eller differansen av kvadratrøtter er IKKE lik kvadratroten av summen eller differansen, dvs. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Derfor, hvis du for eksempel trenger å beregne \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , må du først finne verdiene \(\sqrt(25)\) og \(\sqrt (49)\ ) og deretter legge dem sammen. Følgelig \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Hvis verdiene\(\sqrt a\) eller \(\sqrt b\) ikke kan finnes når du legger til \(\sqrt a+\sqrt b\), blir ikke et slikt uttrykk videre konvertert og forblir som det er. For eksempel, i summen \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) kan vi finne \(\sqrt(49)\) - dette er \(7\) , men \(\sqrt 2\) kan ikke være konvertert på noen måte, det er derfor \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Videre kan dette uttrykket dessverre ikke forenkles på noen måte.\(\bullet\) Produktet/kvotienten av kvadratrøtter er lik kvadratroten av produktet/kvotienten, dvs. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (forutsatt at begge deler av likestillingene gir mening)
Eksempel: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Ved å bruke disse egenskapene er det praktisk å finne kvadratrøttene til store tall ved å faktorisere dem.
Tenk på et eksempel. Finn \(\sqrt(44100)\) . Siden \(44100:100=441\) , deretter \(44100=100\cdot 441\) . I henhold til delbarhetskriteriet er tallet \(441\) delelig med \(9\) (siden summen av sifrene er 9 og er delelig med 9), derfor \(441:9=49\) , det vil si \(441=9\ cdot 49\) .
Dermed fikk vi: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] La oss se på et annet eksempel: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) La oss vise hvordan du legger inn tall under kvadratrottegnet ved å bruke eksempelet på uttrykket \(5\sqrt2\) (forkortelse for uttrykket \(5\cdot \sqrt2\) ). Siden \(5=\sqrt(25)\) , da \ Merk også at f.eks.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Hvorfor det? La oss forklare med eksempel 1). Som du allerede har forstått, kan vi på en eller annen måte ikke konvertere tallet \(\sqrt2\) . Tenk deg at \(\sqrt2\) er et tall \(a\) . Følgelig er uttrykket \(\sqrt2+3\sqrt2\) ingenting annet enn \(a+3a\) (ett tall \(a\) pluss tre til av de samme tallene \(a\) ). Og vi vet at dette er lik fire slike tall \(a\) , det vil si \(4\sqrt2\) .

Fakta 4.
\(\bullet\) Det sies ofte «kan ikke trekke ut roten» når det ikke er mulig å kvitte seg med tegnet \(\sqrt () \ \) til roten (radikal) når man finner verdien av et tall. For eksempel kan du rote tallet \(16\) fordi \(16=4^2\) , så \(\sqrt(16)=4\) . Men å trekke ut roten fra tallet \(3\) , det vil si å finne \(\sqrt3\) , er det umulig, fordi det ikke er noe slikt tall som kvadrert vil gi \(3\) .
Slike tall (eller uttrykk med slike tall) er irrasjonelle. For eksempel tall \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) etc. er irrasjonelle.
Også irrasjonelle er tallene \(\pi\) (tallet "pi", omtrent lik \(3,14\) ), \(e\) (dette tallet kalles Euler-tallet, omtrent lik \(2) ,7\) ) osv.
\(\bullet\) Vær oppmerksom på at et hvilket som helst tall vil være enten rasjonelt eller irrasjonelt. Og sammen danner alle rasjonelle og alle irrasjonelle tall et sett kalt sett med reelle (reelle) tall. Dette settet er merket med bokstaven \(\mathbb(R)\) .
Dette betyr at alle tallene vi kjenner i dag kalles reelle tall.

Fakta 5.
\(\bullet\) Modulen til et reelt tall \(a\) er et ikke-negativt tall \(|a|\) lik avstanden fra punktet \(a\) til \(0\) på det reelle tall linje. For eksempel er \(|3|\) og \(|-3|\) lik 3, siden avstandene fra punktene \(3\) og \(-3\) til \(0\) er samme og lik \(3 \) .
\(\bullet\) Hvis \(a\) er et ikke-negativt tall, så \(|a|=a\) .
Eksempel: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Hvis \(a\) er et negativt tall, så \(|a|=-a\) .
Eksempel: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
De sier at for negative tall "spiser" modulen minus, og positive tall, så vel som tallet \(0\) , forlater modulen uendret.
MEN denne regelen gjelder kun for tall. Hvis du har en ukjent \(x\) (eller en annen ukjent) under modultegnet, for eksempel \(|x|\) , som vi ikke vet om den er positiv, lik null eller negativ, så bli kvitt modulen vi ikke kan. I dette tilfellet forblir dette uttrykket slik: \(|x|\) . \(\bullet\) Følgende formler holder: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \tekst(levert ) a\geqslant 0\] Følgende feil blir ofte gjort: de sier at \(\sqrt(a^2)\) og \((\sqrt a)^2\) er det samme. Dette gjelder bare når \(a\) er et positivt tall eller null. Men hvis \(a\) er et negativt tall, er dette ikke sant. Det er nok å se på et slikt eksempel. La oss ta tallet \(-1\) i stedet for \(a\). Så \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , men uttrykket \((\sqrt (-1))^2\) eksisterer ikke i det hele tatt (fordi det er umulig under rottegnet sett inn negative tall!).
Derfor gjør vi oppmerksom på at \(\sqrt(a^2)\) ikke er lik \((\sqrt a)^2\) ! Eksempel: 1) \(\sqrt(\venstre(-\sqrt2\høyre)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), fordi \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Siden \(\sqrt(a^2)=|a|\) , deretter \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (uttrykket \(2n\) angir et partall)
Det vil si at når man trekker ut roten fra et tall som er i en viss grad, halveres denne graden.
Eksempel:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (merk at hvis modulen ikke er satt, så viser det seg at roten av tallet er lik \(-25 \) ; men vi husker , som, per definisjon av roten, dette ikke kan være: når vi trekker ut roten, bør vi alltid få et positivt tall eller null)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (siden ethvert tall i partall er ikke-negativt)

Fakta 6.
Hvordan sammenligne to kvadratrøtter?
\(\bullet\) Sant for kvadratrøtter: hvis \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aEksempel:
1) sammenlign \(\sqrt(50)\) og \(6\sqrt2\) . Først transformerer vi det andre uttrykket til \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Dermed, siden \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Mellom hvilke heltall er \(\sqrt(50)\) ?
Siden \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , og \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Sammenlign \(\sqrt 2-1\) og \(0,5\) . Anta \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((legg til en på begge sider))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((kvadrat begge deler))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Vi ser at vi har fått en feil ulikhet. Derfor var vår antagelse feil og \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Merk at det å legge til et visst tall på begge sider av ulikheten ikke påvirker fortegnet. Å multiplisere/dele begge sider av en ulikhet med et positivt tall endrer heller ikke fortegn, men å multiplisere/dele med et negativt tall reverserer tegnet på ulikheten!
Begge sider av en ligning/ulikhet kan KUN kvadreres HVIS begge sider er ikke-negative. For eksempel, i ulikheten fra forrige eksempel, kan du kvadrat begge sider, i ulikheten \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Merk at \[\begin(justert) &\sqrt 2\ca. 1,4\\ &\sqrt 3\ca. 1,7 \end(aligned)\]Å vite den omtrentlige betydningen av disse tallene vil hjelpe deg når du sammenligner tall! \(\bullet\) For å trekke ut roten (hvis den er trukket ut) fra et stort tall som ikke er i rutetabellen, må du først bestemme mellom hvilke "hundrevis" den er, deretter mellom hvilke "tiere", og bestemmer deretter det siste sifferet i dette nummeret. La oss vise hvordan det fungerer med et eksempel.
Ta \(\sqrt(28224)\) . Vi vet at \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) og så videre. Merk at \(28224\) er mellom \(10\,000\) og \(40\,000\) . Derfor er \(\sqrt(28224)\) mellom \(100\) og \(200\) .
La oss nå bestemme mellom hvilke "tiere" tallet vårt er (det vil for eksempel være mellom \(120\) og \(130\) ). Vi vet også fra rutetabellen at \(11^2=121\) , \(12^2=144\) osv., deretter \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Så vi ser at \(28224\) er mellom \(160^2\) og \(170^2\) . Derfor er tallet \(\sqrt(28224)\) mellom \(160\) og \(170\) .
La oss prøve å bestemme det siste sifferet. La oss huske hvilke ensifrede tall ved kvadrating gir på slutten \ (4 \) ? Disse er \(2^2\) og \(8^2\) . Derfor vil \(\sqrt(28224)\) ende på enten 2 eller 8. La oss sjekke dette. Finn \(162^2\) og \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Derfor \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

For å løse eksamen i matematikk tilstrekkelig, er det først og fremst nødvendig å studere det teoretiske materialet, som introduserer en rekke teoremer, formler, algoritmer, etc. Ved første øyekast kan det virke som om dette er ganske enkelt. Men å finne en kilde der teorien for Unified State Examination i matematikk presenteres på en enkel og forståelig måte for elever med alle forberedelsesnivåer, er faktisk en ganske vanskelig oppgave. Skolebøker kan ikke alltid holdes for hånden. Og å finne de grunnleggende formlene for eksamen i matematikk kan være vanskelig selv på Internett.

Hvorfor er det så viktig å studere teori i matematikk, ikke bare for de som tar eksamen?

1. Fordi det utvider horisonten din. Studiet av teoretisk stoff i matematikk er nyttig for alle som ønsker å få svar på en lang rekke spørsmål knyttet til kunnskap om verden. Alt i naturen er ordnet og har en klar logikk. Det er nettopp dette som gjenspeiles i vitenskapen, der det er mulig å forstå verden.
2. Fordi det utvikler intellektet. Å studere referansemateriale til eksamen i matematikk, samt å løse ulike problemer, lærer en person å tenke og resonnere logisk, å formulere tanker riktig og tydelig. Han utvikler evnen til å analysere, generalisere, trekke konklusjoner.

Vi inviterer deg til personlig å vurdere alle fordelene ved vår tilnærming til systematisering og presentasjon av pedagogisk materiale.

Elevene spør alltid: «Hvorfor kan jeg ikke bruke kalkulator på en matteeksamen? Hvordan trekke ut kvadratroten av et tall uten kalkulator? La oss prøve å svare på dette spørsmålet.

Hvordan trekke ut kvadratroten av et tall uten hjelp av en kalkulator?

Handling kvadratrotutvinning det motsatte av kvadrating.

√81= 9 9 2 =81

Hvis vi tar kvadratroten av et positivt tall og kvadrerer resultatet, får vi samme tall.

Fra små tall som er eksakte kvadrater av naturlige tall, for eksempel 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, kan kvadratrøtter trekkes ut verbalt. Vanligvis lærer de på skolen en tabell med kvadrater med naturlige tall opp til tjue. Når du kjenner denne tabellen, er det enkelt å trekke ut kvadratrøttene fra tallene 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Fra tall større enn 400 kan du trekke ut ved å bruke utvalgsmetoden ved å bruke noen tips. La oss prøve et eksempel for å vurdere denne metoden.

Eksempel: Trekk ut roten til tallet 676.

Vi legger merke til at 20 2 \u003d 400, og 30 2 \u003d 900, som betyr 20< √676 < 900.

Nøyaktige kvadrater av naturlige tall ender på 0; en; fire; 5; 6; 9.
Tallet 6 er gitt av 4 2 og 6 2 .
Så hvis roten er hentet fra 676, er den enten 24 eller 26.

Det gjenstår å sjekke: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Svar: √676 = 26 .

Mer eksempel: √6889 .

Siden 80 2 \u003d 6400, og 90 2 \u003d 8100, deretter 80< √6889 < 90.
Tallet 9 er gitt av 3 2 og 7 2, deretter er √6889 enten 83 eller 87.

Sjekk: 83 2 = 6889.

Svar: √6889 = 83 .

Hvis du synes det er vanskelig å løse med seleksjonsmetoden, kan du faktorisere rotuttrykket.

For eksempel, finn √893025.

La oss faktorisere tallet 893025, husk at du gjorde det i sjette klasse.

Vi får: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Mer eksempel: √20736. La oss faktorisere tallet 20736:

Vi får √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Factoring krever selvfølgelig kunnskap om delebarhetskriterier og factoringferdigheter.

Og til slutt er det kvadratrotregel. La oss se på denne regelen med et eksempel.

Beregn √279841.

For å trekke ut roten til et flersifret heltall, deler vi det fra høyre til venstre i ansikter som inneholder 2 sifre hver (det kan være ett siffer i venstre ytterside). Skriv slik 27'98'41

For å få det første sifferet av roten (5), trekker vi ut kvadratroten av det største eksakte kvadratet i den første venstre siden (27).
Deretter trekkes kvadratet av det første sifferet av roten (25) fra den første flaten og neste side (98) tilskrives (revet) differansen.
Til venstre for det mottatte tallet 298 skriver de dobbeltsifferet til roten (10), deler med det tallet på alle tiere av det tidligere oppnådde tallet (29/2 ≈ 2), opplev kvotienten (102 ∙ 2 = 204 skal ikke være mer enn 298) og skriv (2) etter det første sifferet i roten.
Deretter trekkes den resulterende kvotienten 204 fra 298, og den neste fasetten (41) blir tilskrevet (revet) til differansen (94).
Til venstre for det resulterende tallet 9441 skriver de dobbeltproduktet av sifrene i roten (52 ∙ 2 = 104), del med dette produktet tallet på alle tiere av tallet 9441 (944/104 ≈ 9), erfaring kvotienten (1049 ∙ 9 = 9441) skal være 9441 og skriv den ned (9) etter det andre sifferet i roten.

Vi fikk svaret √279841 = 529.

Tilsvarende trekke ut røttene av desimaler. Bare det radikale tallet må deles inn i ansikter slik at kommaet står mellom ansiktene.

Eksempel. Finn verdien √0,00956484.

Bare husk at hvis desimalbrøken har et oddetall desimaler, trekkes ikke kvadratroten nøyaktig ut fra den.

Så nå har du sett tre måter å trekke ut roten på. Velg den som passer deg best og øv deg. For å lære hvordan du løser problemer, må du løse dem. Og hvis du har spørsmål, meld deg på leksjonene mine.

nettstedet, med hel eller delvis kopiering av materialet, kreves en lenke til kilden.

Ved løsning av ulike problemer fra matematikk- og fysikkkurset står elever og studenter ofte overfor behovet for å trekke ut røtter fra andre, tredje eller n. grad. Selvfølgelig, i århundret informasjonsteknologier Det vil ikke være vanskelig å løse et slikt problem ved hjelp av en kalkulator. Det er imidlertid situasjoner hvor det er umulig å bruke en elektronisk assistent.

Det er for eksempel forbudt å ta med elektronikk til mange eksamener. I tillegg kan det hende at kalkulatoren ikke er for hånden. I slike tilfeller er det nyttig å kjenne til i det minste noen metoder for manuell beregning av radikaler.

En av de enkleste måtene å beregne røtter på er å ved hjelp av et spesielt bord. Hva er det og hvordan bruker du det riktig?

Ved å bruke tabellen kan du finne kvadratet til et hvilket som helst tall fra 10 til 99. Samtidig inneholder radene i tabellen ti-verdier, og kolonnene inneholder enhetsverdier. Cellen i skjæringspunktet mellom en rad og en kolonne inneholder en firkant tosifret tall. For å regne ut kvadratet på 63 må du finne en rad med verdien 6 og en kolonne med verdien 3. I skjæringspunktet finner vi en celle med tallet 3969.

Siden å trekke ut roten er den omvendte operasjonen av kvadrering, for å utføre denne handlingen, må du gjøre det motsatte: først finn cellen med tallet hvis radikal du vil beregne, og bestem deretter svaret fra kolonne- og radverdiene. Som et eksempel, vurder beregningen av kvadratroten av 169.

Vi finner en celle med dette tallet i tabellen, horisontalt bestemmer vi tiere - 1, vertikalt finner vi enerne - 3. Svar: √169 = 13.

På samme måte kan du beregne røttene til kubikk og n-te grad ved å bruke de riktige tabellene.

Fordelen med metoden er dens enkelhet og fraværet av ytterligere beregninger. Ulempene er åpenbare: Metoden kan bare brukes for et begrenset tallområde (tallet som roten finnes for må være mellom 100 og 9801). I tillegg vil det ikke fungere hvis det gitte tallet ikke er i tabellen.

primtallsfaktorisering

Hvis tabellen med ruter ikke er for hånden eller med dens hjelp var det umulig å finne roten, kan du prøve dekomponere tallet under roten i primfaktorer. Primfaktorer er de som kan deles fullstendig (uten resten) bare med seg selv eller med en. Eksempler vil være 2, 3, 5, 7, 11, 13 osv.

Vurder beregningen av roten ved å bruke eksemplet √576. La oss dekomponere det i enkle faktorer. Vi får følgende resultat: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Ved å bruke hovedegenskapen til røttene √a² = a, blir vi kvitt røttene og kvadratene, hvoretter vi beregner svaret: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

Hva skal jeg gjøre hvis noen av faktorene ikke har sitt eget par? Tenk for eksempel på beregningen av √54. Etter factoring får vi resultatet i følgende form: Den ikke-avtakbare delen kan stå under roten. For de fleste oppgaver innen geometri og algebra vil et slikt svar bli regnet som det endelige. Men hvis det er behov for å beregne omtrentlige verdier, kan du bruke metodene som vil bli diskutert senere.

Herons metode

Hva skal du gjøre når du trenger å vite minst omtrentlig hva den ekstraherte roten er (hvis det er umulig å få en heltallsverdi)? Et raskt og ganske nøyaktig resultat oppnås ved å bruke Heron-metoden.. Dens essens ligger i bruken av en omtrentlig formel:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

der R er tallet hvis rot skal beregnes, a er det nærmeste tallet hvis rotverdi er kjent.

La oss se hvordan metoden fungerer i praksis og vurdere hvor nøyaktig den er. La oss regne ut hva √111 er lik. Det nærmeste tallet til 111, hvis rot er kjent, er 121. Dermed er R = 111, a = 121. Bytt ut verdiene i formelen:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

La oss nå sjekke nøyaktigheten til metoden:

10,55² = 111,3025.

Metodens feil var omtrent 0,3. Hvis nøyaktigheten til metoden må forbedres, kan du gjenta trinnene beskrevet tidligere:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

La oss sjekke nøyaktigheten av beregningen:

10,536² = 111,0073.

Etter gjentatt bruk av formelen ble feilen ganske ubetydelig.

Beregning av roten ved inndeling i en kolonne

Denne metoden for å finne kvadratrotverdien er litt mer komplisert enn de forrige. Det er imidlertid den mest nøyaktige blant andre beregningsmetoder uten kalkulator..

La oss si at du må finne kvadratroten med en nøyaktighet på 4 desimaler. La oss analysere beregningsalgoritmen ved å bruke eksemplet på et vilkårlig tall 1308.1912.

1. Del papirarket i 2 deler med en vertikal linje, og tegn deretter en annen linje fra det til høyre, litt under den øvre kanten. Vi skriver tallet på venstre side, deler det inn i grupper med 2 sifre, og beveger oss til høyre og venstre for desimaltegnet. Det aller første sifferet til venstre kan være uten et par. Hvis tegnet mangler på høyre side av tallet, skal det legges til 0. I vårt tilfelle får vi 13 08.19 12.
2. La oss velge det største tallet hvis kvadrat vil være mindre enn eller lik den første gruppen med sifre. I vårt tilfelle er dette 3. La oss skrive det øverst til høyre; 3 er det første sifferet i resultatet. Nederst til høyre angir vi 3 × 3 = 9; dette vil være nødvendig for senere beregninger. Trekk 9 fra 13 i en kolonne, vi får resten 4.
3. La oss legge til det neste tallparet til de resterende 4; vi får 408.
4. Multipliser tallet øverst til høyre med 2 og skriv det nederst til høyre, legg til _ x _ = til det. Vi får 6_ x _ =.
5. I stedet for bindestreker må du erstatte det samme tallet, mindre enn eller lik 408. Vi får 66 × 6 \u003d 396. La oss skrive 6 øverst til høyre, siden dette er det andre sifferet i resultatet. Trekk 396 fra 408, vi får 12.
6. La oss gjenta trinn 3-6. Siden sifrene som føres ned er i brøkdelen av tallet, er det nødvendig å sette et desimaltegn øverst til høyre etter 6. La oss skrive det doble resultatet med bindestreker: 72_ x _ =. Et passende tall vil være 1: 721 × 1 = 721. La oss skrive det ned som et svar. La oss trekke fra 1219 - 721 = 498.
7. La oss utføre sekvensen av handlinger gitt i forrige avsnitt tre ganger til for å få det nødvendige antallet desimaler. Hvis det ikke er nok tegn for videre beregninger, må to nuller legges til gjeldende tall til venstre.

Som et resultat får vi svaret: √1308.1912 ≈ 36.1689. Hvis du sjekker handlingen med en kalkulator, kan du forsikre deg om at alle tegnene ble bestemt riktig.

Bitvis beregning av kvadratrotverdien

Metoden er svært nøyaktig. I tillegg er det ganske forståelig, og det krever ikke å huske formler eller en kompleks handlingsalgoritme, siden essensen av metoden er å velge riktig resultat.

La oss trekke ut roten fra tallet 781. La oss vurdere i detalj rekkefølgen av handlinger.

1. Finn ut hvilket siffer i kvadratrotverdien som vil være høyest. For å gjøre dette, la oss kvadrat 0, 10, 100, 1000 osv. og finne ut mellom hvilke av dem rotnummeret er plassert. Vi får de 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. La oss ta verdien av tiere. For å gjøre dette, bytter vi på å heve til potensen 10, 20, ..., 90, til vi får et tall som er større enn 781. For vårt tilfelle får vi 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Verdien av resultatet n vil være innenfor 20< n <30.
3. På samme måte som i forrige trinn, velges verdien for enhetssifferet. Vi kvadrerer vekselvis 21,22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28,² Vi får det 72< n < 28.
4. Hvert påfølgende siffer (tideler, hundredeler osv.) beregnes på samme måte som vist ovenfor. Beregninger utføres til den nødvendige nøyaktigheten er oppnådd.

Trekke ut en rot fra et stort tall. Kjære venner!I denne artikkelen vil vi vise deg hvordan du tar roten til et stort tall uten kalkulator. Dette er nødvendig ikke bare for å løse visse typer BRUK-problemer (det er slike problemer for bevegelse), men det er også ønskelig å kjenne til denne analytiske teknikken for generell matematisk utvikling.

Det ser ut til at alt er enkelt: faktoriser og ekstraher. Det er ikke noe problem. For eksempel vil tallet 291600, når det utvides, gi produktet:

Vi beregner:

Det er ett MEN! Metoden er god hvis divisor 2, 3, 4 og så videre er lett å bestemme. Men hva om tallet som vi trekker ut roten fra er et produkt av primtall? For eksempel er 152881 produktet av tallene 17, 17, 23, 23. Prøv å finne disse divisorene med en gang.

Essensen av metoden vi vurderer- dette er ren analyse. Roten med den akkumulerte ferdigheten blir funnet raskt. Hvis ferdigheten ikke er utarbeidet, men tilnærmingen er ganske enkelt forstått, så er den litt tregere, men fortsatt bestemt.

La oss ta roten til 190969.

Først, la oss bestemme mellom hvilke tall (multipler av hundre) resultatet vårt ligger.

Det er klart at resultatet av roten til et gitt tall ligger i området fra 400 til 500, fordi

400 2 =160 000 og 500 2 =250 000

Egentlig:

i midten, nærmere 160 000 eller 250 000?

Tallet 190969 er et sted i midten, men fortsatt nærmere 160 000. Vi kan konkludere med at resultatet av roten vår vil være mindre enn 450. La oss sjekke:

Faktisk er det mindre enn 450, siden 190 969< 202 500.

La oss nå sjekke tallet 440:

Så resultatet vårt er mindre enn 440 siden 190 969 < 193 600.

Sjekker nummeret 430:

Vi har fastslått at resultatet av denne roten ligger i området fra 430 til 440.

Produktet av tall som slutter på 1 eller 9 gir et tall som slutter på 1. For eksempel er 21 ganger 21 lik 441.

Produktet av tall som slutter på 2 eller 8 gir et tall som slutter på 4. For eksempel er 18 ganger 18 lik 324.

Produktet av tall som slutter på 5 gir et tall som slutter på 5. For eksempel er 25 ganger 25 lik 625.

Produktet av tall som slutter på 4 eller 6 gir et tall som slutter på 6. For eksempel er 26 ganger 26 lik 676.

Produktet av tall som slutter på 3 eller 7 gir et tall som slutter på 9. For eksempel er 17 ganger 17 lik 289.

Siden tallet 190969 slutter med tallet 9, er dette produktet enten tallet 433 eller 437.

*Bare de, når de er torget, kan gi 9 på slutten.

Vi sjekker:

Så resultatet av roten vil være 437.

Det vil si at vi på en måte "følte" det riktige svaret.

Som du kan se, er det maksimale som kreves å utføre 5 handlinger i en kolonne. Kanskje du umiddelbart kommer til poenget, eller du vil bare gjøre tre handlinger. Alt avhenger av hvor nøyaktig du gjør det første anslaget av antallet.

Trekk ut din egen rot fra 148996

En slik diskriminant oppnås i problemet:

Motorskipet passerer langs elven til destinasjonen 336 km og går etter parkering tilbake til avgangspunktet. Finn farten til skipet i stille vann, hvis strømmens hastighet er 5 km/t, varer parkeringen i 10 timer, og skipet går tilbake til avgangspunktet 48 timer etter at det har forlatt det. Gi svaret i km/t.

Se løsning

Resultatet av roten er mellom tallene 300 og 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

Faktisk 90 000<148996<160000.

Essensen av videre resonnement er å bestemme hvordan nummeret 148996 er plassert (distansert) i forhold til disse tallene.

Regn ut forskjellene 148996 - 90000=58996 og 160000 - 148996=11004.

Det viser seg at 148996 er nær (mye nærmere) 160000. Derfor vil resultatet av roten definitivt være større enn 350 og til og med 360.

Vi kan konkludere med at resultatet vårt er større enn 370. Videre er det klart: siden 148996 slutter med tallet 6, betyr dette at du må kvadrere tallet som slutter på enten 4 eller 6. *Bare disse tallene, når de er kvadratet, gir etter slutt 6.

Med vennlig hilsen Alexander Krutitskikh.

P.S: Jeg ville være takknemlig hvis du forteller om nettstedet i sosiale nettverk.