2., 5.
,

3.
, 6.
.

I integraler 1-3 as u aksepterer . Så etter n-fold anvendelse av formel (19), kommer vi til en av tabellintegralene

,
,
.

I integraler 4-6, når man differensierer, er den transcendentale faktoren forenklet
,
eller
, som bør tas som u.

Regn ut følgende integraler.

Eksempel 7

Eksempel 8

Reduserer integraler til seg selv

Hvis integranden
ser ut som:

,
,
og så videre,

så etter dobbel integrasjon med deler får vi et uttrykk som inneholder det opprinnelige integralet :

,

hvor
er noe konstant.

Løse den resulterende ligningen mht , får vi en formel for å beregne det opprinnelige integralet:

.

Dette tilfellet med å bruke metoden for integrering av deler kalles " bringer integralen til seg selv».

Eksempel 9 Beregn integral
.

På høyre side er den originale integralen . Flytter den til venstre side, får vi:

.

Eksempel 10 Beregn integral
.

4.5. Integrasjon av de enkleste egentlige rasjonelle brøkene

Definisjon.De enkleste egenbrøkene Jeg , II og III typer følgende brøker kalles:

Jeg. ;

II.
; (
er et positivt heltall);

III.
; (røttene til nevneren er komplekse, det vil si:
.

Tenk på integraler av enkle brøker.

Jeg.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Vi transformerer telleren til brøken på en slik måte at vi skiller ut leddet i telleren
lik den deriverte av nevneren.

Vurder den første av de to oppnådde integralene og gjør en endring i den:

I det andre integralet kompletterer vi nevneren til et helt kvadrat:

Til slutt er integralet til en brøkdel av den tredje typen lik:

=
+
. (22)

Dermed er integralet av de enkleste brøkene av type I uttrykt i form av logaritmer, type II - i form av rasjonelle funksjoner, type III - i form av logaritmer og arctangents.

4.6 Integrasjon av brøk-rasjonelle funksjoner

En av klassene av funksjoner som har et integral uttrykt i form av elementære funksjoner er klassen av algebraiske rasjonelle funksjoner, det vil si funksjoner som er et resultat av et begrenset antall algebraiske operasjoner på et argument.

Hver rasjonell funksjon
kan representeres som et forhold mellom to polynomer
og
:

. (23)

Vi vil anta at polynomene ikke har felles røtter.

En brøkdel av formen (23) kalles riktig, hvis graden av telleren er mindre enn graden av nevneren, dvs. m< n. Ellers - feil.

Hvis brøken er feil, så, ved å dele telleren med nevneren (i henhold til regelen om å dele polynomer), representerer vi brøken som summen av et polynom og en egen brøk:

, (24)

hvor
- polynom, er en egenbrøk, og graden av polynomet
- ingen høyere grad ( n-1).

Eksempel.

Siden integreringen av et polynom er redusert til summen av tabellintegraler av en potensfunksjon, er hovedvanskeligheten med å integrere rasjonelle brøker å integrere riktige rasjonelle brøker.

Algebra beviser at hver egen brøkdel dekomponerer til summen av det ovennevnte protozoer brøker, hvis form bestemmes av røttene til nevneren
.

La oss vurdere tre spesielle tilfeller. Her og nedenfor vil vi anta at koeffisienten i høyeste grad av nevneren
lik en =1, altsåredusert polynom .

Sak 1 Røttene til nevneren, det vil si røttene
ligninger
=0 er reelle og distinkte. Deretter representerer vi nevneren som et produkt av lineære faktorer:

og den riktige brøken dekomponerer til de enkleste brøkene av I-typen:

, (26)

hvor
- noen konstante tall, som er funnet ved metoden med ubestemte koeffisienter.

Til dette trenger du:

1. Bly høyre side utvidelser (26) til en fellesnevner.

2. Lik koeffisientene med samme potenser av identiske polynomer i telleren til venstre og høyre del. Vi får et system med lineære ligninger for å bestemme
.

3. Løs det resulterende systemet og finn de usikre koeffisientene
.

Da vil integralet til den brøkrasjonelle funksjonen (26) være lik summen av integralene til de enkleste brøkene av I-typen, beregnet ved formel (20).

Eksempel. Beregn integral
.

Løsning. La oss faktorisere nevneren ved å bruke Vietas teorem:

Deretter utvides integranden til summen av enkle brøker:

.

X:

La oss skrive et system med tre ligninger for å finne
X på venstre og høyre side:

.

La oss indikere en enklere metode for å finne ubestemte koeffisienter, kalt delverdi metode.

Forutsatt likestilling (27)
vi får
, hvor
. Forutsatt
vi får
. Til slutt, forutsatt
vi får
.

.

Tilfelle 2 nevner rot
er ekte, men blant dem er det flere (like) røtter. Deretter representerer vi nevneren som et produkt av lineære faktorer inkludert i produktet i den grad multiplisiteten til den tilsvarende roten er:

hvor
.

Riktig brøk summen av brøker av I-th og II-th typen vil bli utvidet. La f.eks. - roten av multiplisitetsnevneren k, og alt det andre ( n- k) av røttene er forskjellige.

Da vil nedbrytningen se slik ut:

Tilsvarende, hvis det er andre flere røtter. For ikke-flere røtter inkluderer utvidelsen (28) de enkleste brøkene av den første typen.

Eksempel. Beregn integral
.

Løsning. La oss representere en brøk som en sum av enkle brøker av den første og andre typen med ubestemte koeffisienter:

.

Vi bringer høyresiden til en fellesnevner og setter likhetstegn mellom polynomene i tellerne på venstre og høyre side:

På høyre side gir vi lignende med samme grader X:

La oss skrive ned systemet med fire ligninger for å finne
og . For å gjøre dette, setter vi likhetstegn mellom koeffisientene ved samme potenser X på venstre og høyre side

.

Tilfelle 3 Blant røttene til nevneren
har komplekse engangsrøtter. Det vil si at utvidelsen av nevneren inkluderer faktorer av andre grad
, som ikke kan dekomponeres til reelle lineære faktorer, og de gjentar seg ikke.

Så, i ekspansjonen av brøken, vil hver slik faktor tilsvare den enkleste type III brøken. Lineære faktorer tilsvarer de enkleste brøkene av I-th og II-th typen.

Eksempel. Beregn integral
.

Løsning.
.

.

.

Integrering rasjonell brøkfunksjon.
Metode for ubestemte koeffisienter

Vi jobber videre med å integrere brøker. Vi har allerede vurdert integraler av noen typer brøker i leksjonen, og denne leksjonen kan på en måte betraktes som en fortsettelse. For å lykkes med å forstå materialet, kreves grunnleggende integreringsferdigheter, så hvis du nettopp har begynt å studere integraler, det vil si at du er en tekanne, må du begynne med artikkelen Ubestemt integral. Løsningseksempler.

Merkelig nok, nå vil vi ikke være så mye engasjert i å finne integraler som i ... løse systemer lineære ligninger. I denne sammenhengen sterkt Jeg anbefaler å besøke leksjonen. Du må nemlig være godt kjent med substitusjonsmetodene («skole»-metoden og metoden for term-for-term addisjon (subtraksjon) av systemligninger).

Hva er en rasjonell brøkfunksjon? Med enkle ord, en brøk-rasjonell funksjon er en brøk i telleren og nevneren som er polynomer eller produkter av polynomer. Samtidig er brøker mer sofistikerte enn de som er omtalt i artikkelen. Integrasjon av noen fraksjoner.

Integrasjon av riktig brøk-rasjonell funksjon

Umiddelbart et eksempel og en typisk algoritme for å løse integralet til en brøk-rasjonell funksjon.

Eksempel 1

Trinn 1. Det første vi ALLTID gjør når vi løser et integral av en rasjonell-brøkfunksjon er å stille følgende spørsmål: er brøken riktig? Dette trinnet gjøres muntlig, og nå skal jeg forklare hvordan:

Se først på telleren og finn ut senior grad polynom:

Den høyeste potensen til telleren er to.

Se nå på nevneren og finn ut senior grad nevner. Den åpenbare måten er å åpne parentesene og ta med lignende termer, men du kan gjøre det enklere, i Hver parentes finne høyeste grad

og multipliser mentalt: - dermed er den høyeste graden av nevneren lik tre. Det er helt åpenbart at hvis vi virkelig åpner parentesene, så får vi ikke en grad større enn tre.

Konklusjon: Høyeste effekt av telleren STRENGT mindre enn den høyeste potensen av nevneren, så er brøken riktig.

Hvis telleren i dette eksemplet inneholdt et polynom 3, 4, 5 osv. grad, så ville brøken være feil.

Nå skal vi bare vurdere riktige brøk-rasjonelle funksjoner. Tilfellet når graden av telleren er større enn eller lik graden av nevneren, vil vi analysere på slutten av leksjonen.

Steg 2 La oss faktorisere nevneren. La oss se på nevneren vår:

Generelt sett er her allerede et produkt av faktorer, men likevel spør vi oss selv: er det mulig å utvide noe annet? Gjenstanden for tortur vil selvfølgelig være det firkantede trinomium. Vi løser den andregradsligningen:

Diskriminanten er større enn null, noe som betyr at trinomialet faktisk er faktorisert:

Generell regel: ALT som i nevneren KAN faktoriseres - faktoriser

La oss begynne å ta en avgjørelse:

Trinn 3 Ved å bruke metoden med ubestemte koeffisienter utvider vi integranden til en sum av enkle (elementære) brøker. Nå blir det klarere.

La oss se på integrandfunksjonen vår:

Og du vet, en intuitiv tanke slipper på en eller annen måte gjennom at det ville være fint å gjøre vår store brøkdel om til flere små. For eksempel slik:

Spørsmålet oppstår, er det i det hele tatt mulig å gjøre dette? La oss puste lettet ut, sier den tilsvarende teoremet for matematisk analyse – DET ER MULIG. En slik dekomponering eksisterer og er unik.

Det er bare en fangst, koeffisientene vi Ha det vi vet ikke, derav navnet - metoden for ubestemte koeffisienter.

Du gjettet det, de påfølgende bevegelsene så, ikke kakel! vil være rettet mot å bare LÆRE dem - for å finne ut hva de er likeverdige med.

Vær forsiktig, jeg forklarer i detalj en gang!

Så, la oss begynne å danse fra:

På venstre side bringer vi uttrykket til en fellesnevner:

Nå kvitter vi oss trygt med nevnerne (fordi de er like):

På venstre side åpner vi parentesene, mens vi ikke berører de ukjente koeffisientene ennå:

Samtidig gjentar vi skoleregelen for multiplikasjon av polynomer. Da jeg var lærer, lærte jeg å si denne regelen med rett ansikt: For å multiplisere et polynom med et polynom, må du multiplisere hvert ledd i ett polynom med hvert ledd i det andre polynomet.

Fra synspunktet til en klar forklaring er det bedre å sette koeffisientene i parentes (selv om jeg personlig aldri gjør dette for å spare tid):

Vi lager et system med lineære ligninger.
Først ser vi etter seniorgrader:

Og vi skriver de tilsvarende koeffisientene i den første ligningen av systemet:

Husk følgende nyanse. Hva ville skje hvis høyresiden ikke eksisterte i det hele tatt? Si, ville det bare vise seg uten noen firkant? I dette tilfellet, i systemets ligning, ville det være nødvendig å sette null til høyre: . Hvorfor null? Og fordi du på høyre side alltid kan tilskrive dette kvadratet med null: Hvis det ikke er noen variabler eller (og) et fritt ledd på høyre side, så setter vi nuller på høyre side av de tilsvarende likningene til systemet.

Vi skriver de tilsvarende koeffisientene i den andre ligningen av systemet:

Og til slutt mineralvann, vi velger gratis medlemmer.

Eh, ... jeg tullet. Spøk til side - matematikk er en seriøs vitenskap. I vår instituttgruppe var det ingen som lo da adjunkten sa at hun ville spre medlemmene langs en talllinje og velge den største av dem. La oss bli seriøse. Selv om ... den som lever for å se slutten av denne leksjonen, vil fortsatt smile stille.

System klart:

Vi løser systemet:

(1) Fra den første likningen uttrykker og erstatter vi den med 2. og 3. likning i systemet. Faktisk var det mulig å uttrykke (eller en annen bokstav) fra en annen likning, men i dette tilfellet er det fordelaktig å uttrykke det fra 1. ligning, siden det den minste oddsen.

(2) Vi presenterer lignende termer i 2. og 3. ligning.

(3) Vi legger til 2. og 3. ligning termin for ledd, mens vi oppnår likheten , hvorfra det følger at

(4) Vi bytter inn i den andre (eller tredje) ligningen, hvorfra vi finner det

(5) Vi erstatter og inn i den første ligningen, får .

Hvis du har noen problemer med metodene for å løse systemet, kan du utarbeide dem i klassen. Hvordan løse et system med lineære ligninger?

Etter å ha løst systemet, er det alltid nyttig å foreta en sjekk - erstatte de funnet verdiene i hver systemets ligning, som et resultat bør alt "konvergere".

Nesten kommet. Koeffisientene er funnet, mens:

En ren jobb skal se omtrent slik ut:

Som du kan se, var hovedvanskeligheten med oppgaven å komponere (riktig!) og løse (riktig!) et system med lineære ligninger. Og i sluttfasen er ikke alt så vanskelig: vi bruker egenskapene til lineariteten til det ubestemte integralet og integrerer. Jeg gjør oppmerksom på det faktum at under hver av de tre integralene har vi en "gratis" kompleks funksjon, jeg snakket om funksjonene ved integrasjonen i leksjonen Variabel endringsmetode i ubestemt integral.

Sjekk: Differensiere svaret:

Den opprinnelige integranden ble oppnådd, noe som betyr at integralet ble funnet riktig.
Under verifikasjonen var det nødvendig å bringe uttrykket til en fellesnevner, og dette er ikke tilfeldig. Metoden med ubestemte koeffisienter og å bringe uttrykket til en fellesnevner er gjensidig inverse handlinger.

Eksempel 2

Finn det ubestemte integralet.

La oss gå tilbake til brøken fra det første eksemplet: . Det er lett å se at i nevneren er alle faktorer FORSKJELLIGE. Spørsmålet oppstår, hva du skal gjøre hvis for eksempel en slik brøk er gitt: ? Her har vi grader i nevneren, eller, i matematiske termer, flere faktorer. I tillegg er det en uoppløselig kvadratisk trinomial (det er lett å verifisere at diskriminanten til ligningen er negativ, så trinomialet kan ikke faktoriseres på noen måte). Hva å gjøre? Utvidelsen til en sum av elementære brøker vil se ut med ukjente koeffisienter på toppen eller på annen måte?

Eksempel 3

Send inn en funksjon

Trinn 1. Sjekker om vi har riktig brøk
Høyeste potens av telleren: 2
Høyeste nevner: 8
, så brøken er riktig.

Steg 2 Kan noe tas med i nevneren? Åpenbart ikke, alt er allerede lagt ut. Det kvadratiske trinomium utvides ikke til et produkt av de ovennevnte grunnene. God. Mindre arbeid.

Trinn 3 La oss representere en brøk-rasjonell funksjon som en sum av elementære brøker.
I dette tilfellet har dekomponeringen følgende form:

La oss se på nevneren vår:
Når du dekomponerer en brøk-rasjonell funksjon til en sum av elementære brøker, kan tre grunnleggende punkter skilles:

1) Hvis nevneren inneholder en "ensom" faktor i første grad (i vårt tilfelle ), så setter vi en ubestemt koeffisient øverst (i vårt tilfelle ). Eksempler nr. 1,2 besto kun av slike "ensomme" faktorer.

2) Hvis nevneren inneholder flere multiplikator, så må du dekomponere som følger:
- det vil si sekvensielt sortere gjennom alle gradene av "x" fra første til n'te grad. I vårt eksempel er det to flere faktorer: og , ta en ny titt på dekomponeringen jeg har gitt, og sørg for at de er dekomponert nøyaktig i henhold til denne regelen.

3) Hvis nevneren inneholder et uoppløselig polynom av andre grad (i vårt tilfelle ), så når du utvider i telleren, må du skrive en lineær funksjon med ubestemte koeffisienter (i vårt tilfelle med ubestemte koeffisienter og ).

Faktisk er det også et 4. tilfelle, men jeg skal tie om det, siden det i praksis er ekstremt sjeldent.

Eksempel 4

Send inn en funksjon som en sum av elementære brøker med ukjente koeffisienter.

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Full løsning og svar på slutten av timen.
Følg algoritmen strengt!

Hvis du har funnet ut prinsippene som du trenger for å dekomponere en brøk-rasjonell funksjon til en sum, kan du knekke nesten hvilken som helst integral av typen som vurderes.

Eksempel 5

Finn det ubestemte integralet.

Trinn 1. Brøken er åpenbart riktig:

Steg 2 Kan noe tas med i nevneren? Kan. Her er summen av kuber . Faktorisering av nevneren ved å bruke den forkortede multiplikasjonsformelen

Trinn 3 Ved å bruke metoden med ubestemte koeffisienter utvider vi integranden til en sum av elementære brøker:

Merk at polynomet er uoppløselig (sjekk at diskriminanten er negativ), så øverst setter vi en lineær funksjon med ukjente koeffisienter, og ikke bare en enkelt bokstav.

Vi bringer brøken til en fellesnevner:

La oss lage og løse systemet:

(1) Fra den første ligningen uttrykker og erstatter vi systemets andre ligning (dette er den mest rasjonelle måten).

(2) Vi presenterer lignende termer i den andre ligningen.

(3) Vi legger til andre og tredje likning av systemet ledd for ledd.

Alle videre beregninger er i prinsippet muntlige, siden systemet er enkelt.

(1) Vi skriver ned summen av brøker i samsvar med de funnet koeffisientene .

(2) Vi bruker linearitetsegenskapene til det ubestemte integralet. Hva skjedde i den andre integralen? Du finner denne metoden i siste avsnitt av leksjonen. Integrasjon av noen fraksjoner.

(3) Igjen bruker vi egenskapene til linearitet. I den tredje integralen begynner vi å velge en hel firkant (det nest siste avsnittet i leksjonen Integrasjon av noen fraksjoner).

(4) Vi tar det andre integralet, i det tredje velger vi hele kvadratet.

(5) Vi tar den tredje integralen. Klar.

Kontrollarbeid om integrering av funksjoner, inkludert rasjonelle brøker, gis til studenter på 1. og 2. emne. Eksempler på integraler vil hovedsakelig være av interesse for matematikere, økonomer og statistikere. Disse eksemplene ble gitt på kontrollarbeid ved LNU I. Frank. Betingelsene for de følgende eksemplene er "Finn integralet" eller "Regn ut integralet", derfor ble de ikke skrevet ut for å spare plass og tid.

Eksempel 15. Vi kom til integrasjonen av rasjonelle brøkfunksjoner. De inntar en spesiell plass blant integraler, fordi de krever mye tid til å beregne og hjelpe lærere med å teste kunnskapen din, ikke bare i integrasjon. For å forenkle funksjonen under integralet legger vi til og trekker fra et uttrykk i telleren som lar oss dele funksjonen under integralet i to enkle

Som et resultat finner vi en integral ganske raskt, i den andre må vi utvide brøken til summen av elementære brøker

Når vi reduserer til en fellesnevner, får vi slike tall

Deretter åpner du parentesene og gruppen

Vi setter likhetstegn mellom verdien ved samme grader av "x" på høyre og venstre side. Som et resultat kommer vi til et system med tre lineære ligninger (SLAE) med tre ukjente.

Hvordan løse ligningssystemer er beskrevet i andre artikler på nettstedet. I den endelige versjonen vil du motta følgende SLAE-løsninger
A=4; B=-9/2; C=-7/2.
Vi erstatter konstantene i ekspansjonen av brøker til de enkleste og utfører integrasjonen


Dette eksemplet er løst.

Eksempel 16. Igjen må du finne integralet til den rasjonelle brøkfunksjonen. Til å begynne med dekomponerer vi den kubiske ligningen som er inneholdt i nevneren til brøken i enkle faktorer

Deretter utfører vi dekomponeringen av brøken til den enkleste

Vi reduserer høyre side til en fellesnevner og åpner parentesene i telleren.


Vi setter likhetstegn mellom koeffisientene ved de samme potensene til variabelen. Igjen kommer vi til SLAE med tre ukjente

Erstatning verdier A,B,C inn i utvidelsen og regn ut integralet

De to første leddene gir logaritmen, den siste er også lett å finne.

Eksempel 17. I nevneren til en rasjonell brøkfunksjon har vi forskjellen på terninger. I henhold til formlene for forkortet multiplikasjon, dekomponerer vi den i to primfaktorer

Deretter maler vi den resulterende brøkfunksjonen for summen av enkle brøker og reduserer dem til en fellesnevner

I telleren får vi følgende uttrykk.

Fra den danner vi et system med lineære ligninger for å beregne 3 ukjente

A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
Vi erstatter A, B, C i formelen og utfører integrasjonen. Som et resultat kommer vi til følgende svar


Her ble telleren til det andre integralet omgjort til en logaritme, mens resten under integralet gir buetangens.
Det er mange lignende eksempler på integrering av rasjonelle brøker på Internett. Lignende eksempler finnes i materialene nedenfor.

Her gir vi detaljerte løsninger på tre eksempler på integrering av følgende rasjonelle brøker:
, , .

Eksempel 1

Beregn integral:
.

Løsning

Her, under integrertegnet, er det en rasjonell funksjon, siden integranden er en brøkdel av polynomer. Graden av nevnerpolynomet ( 3 ) er mindre enn graden av tellerpolynomet ( 4 ). Derfor må du først velge hele delen av brøken.

1. La oss ta heltallsdelen av brøken. Del x 4 på x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Herfra
.

2. La oss faktorisere nevneren. For å gjøre dette må du løse kubikkligningen:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Erstatter x = 1 :
.

1 . dividere med x - 1 :

Herfra
.
Vi løser en andregradsligning.
.
Ligningsrøtter: , .
Deretter
.

3. La oss dekomponere brøken til enkle.

.

Så vi fant:
.
La oss integrere.

Svar

Eksempel 2

Beregn integral:
.

Løsning

Her i telleren av brøken er et polynom av grad null ( 1 = x0). Nevneren er et tredjegrads polynom. Fordi det 0 < 3 , da er brøken riktig. La oss dele det opp i enkle brøker.

1. La oss faktorisere nevneren. For å gjøre dette må du løse ligningen av tredje grad:
.
Anta at den har minst én heltallsrot. Da er det divisor av tallet 3 (et medlem uten x ). Det vil si at hele roten kan være ett av tallene:
1, 3, -1, -3 .
Erstatter x = 1 :
.

Så vi har funnet én rot x = 1 . Del x 3 + 2 x - 3 på x- 1 :

Så,
.

Vi løser den andregradsligningen:
x 2 + x + 3 = 0.
Finn diskriminanten: D = 1 2 - 4 3 = -11. Fordi D< 0 , så har ligningen ingen reelle røtter. Dermed har vi oppnådd dekomponeringen av nevneren i faktorer:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
Erstatter x = 1 . Så x- 1 = 0 ,
.

Vikar inn (2.1) x= 0 :
1 = 3 A - C;
.

Lik inn (2.1) koeffisienter ved x 2 :
;
0=A+B;
.

.

3. La oss integrere.
(2.2) .
For å beregne det andre integralet velger vi den deriverte av nevneren i telleren og reduserer nevneren til summen av kvadrater.

;
;
.

Regn ut I 2 .


.
Siden ligningen x 2 + x + 3 = 0 har ingen reelle røtter, da x 2 + x + 3 > 0. Derfor kan modultegnet utelates.

Vi leverer til (2.2) :
.

Svar

Eksempel 3

Beregn integral:
.

Løsning

Her, under tegnet til integralet er en brøkdel av polynomer. Derfor er integranden en rasjonell funksjon. Graden av polynomet i telleren er 3 . Graden av polynomet til nevneren til en brøk er 4 . Fordi det 3 < 4 , da er brøken riktig. Derfor kan det dekomponeres i enkle fraksjoner. Men for dette må du dekomponere nevneren i faktorer.

1. La oss faktorisere nevneren. For å gjøre dette må du løse ligningen av fjerde grad:
.
Anta at den har minst én heltallsrot. Da er det divisor av tallet 2 (et medlem uten x ). Det vil si at hele roten kan være ett av tallene:
1, 2, -1, -2 .
Erstatter x = -1 :
.

Så vi har funnet én rot x = -1 . dividere med x - (-1) = x + 1:


Så,
.

Nå må vi løse likningen av tredje grad:
.
Hvis vi antar at denne ligningen har en heltallsrot, så er den en divisor av tallet 2 (et medlem uten x ). Det vil si at hele roten kan være ett av tallene:
1, 2, -1, -2 .
Erstatter x = -1 :
.

Så vi har funnet en annen rot x = -1 . Det ville være mulig, som i forrige tilfelle, å dele polynomet med , men vi vil gruppere begrepene:
.

Siden ligningen x 2 + 2 = 0 har ingen reelle røtter, så har vi fått faktoriseringen av nevneren til faktorer:
.

2. La oss dekomponere brøken til enkle. Vi ser etter en dekomponering i formen:
.
Vi kvitter oss med nevneren til brøken, ganger med (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Erstatter x = -1 . Deretter x + 1 = 0 ,
.

Differensiere (3.1) :

;

.
Erstatter x = -1 og ta hensyn til at x + 1 = 0 :
;
; .

Vikar inn (3.1) x= 0 :
0 = 2A + 2B + D;
.

Lik inn (3.1) koeffisienter ved x 3 :
;
1=B+C;
.

Så vi har funnet nedbrytningen til enkle brøker:
.

3. La oss integrere.


.

En rasjonell funksjon er en brøkdel av formen , hvis teller og nevner er polynomer eller produkter av polynomer.

Eksempel 1 Steg 2

.

Vi multipliserer ubestemte koeffisienter med polynomer som ikke er i denne individuelle brøken, men som er i andre oppnådde brøker:

Vi åpner parentesene og setter likhetstegn mellom telleren til den opprinnelige integranden mottatt med det oppnådde uttrykket:

I begge deler av likheten ser vi etter ledd med samme potenser av x og lager et ligningssystem fra dem:

.

Vi kansellerer alle x-er og får et ekvivalent system av ligninger:

.

Dermed er den endelige utvidelsen av integranden til summen av enkle brøker:

.

Eksempel 2 Steg 2 På trinn 1 fikk vi følgende utvidelse av den opprinnelige brøken til summen av enkle brøker med ubestemte koeffisienter i tellerne:

.

Nå begynner vi å lete etter usikre koeffisienter. For å gjøre dette, setter vi likhetstegn mellom telleren til den opprinnelige brøken i funksjonsuttrykket til telleren til uttrykket oppnådd etter å ha redusert summen av brøkene til en fellesnevner:

Nå må du lage og løse et likningssystem. For å gjøre dette, setter vi likhetstegn mellom koeffisientene til variabelen i passende grad i telleren til det opprinnelige uttrykket for funksjonen og lignende koeffisienter i uttrykket oppnådd i forrige trinn:

Vi løser det resulterende systemet:

Så herfra

.

Eksempel 3 Steg 2 På trinn 1 fikk vi følgende utvidelse av den opprinnelige brøken til summen av enkle brøker med ubestemte koeffisienter i tellerne:

Vi begynner å lete etter usikre koeffisienter. For å gjøre dette, setter vi likhetstegn mellom telleren til den opprinnelige brøken i funksjonsuttrykket til telleren til uttrykket oppnådd etter å ha redusert summen av brøkene til en fellesnevner:

Som i de foregående eksemplene, komponerer vi et system av ligninger:

Vi reduserer x-er og får et ekvivalent system av ligninger:

Ved å løse systemet får vi følgende verdier av usikre koeffisienter:

Vi får den endelige utvidelsen av integranden til summen av enkle brøker:

.

Eksempel 4 Steg 2 På trinn 1 fikk vi følgende utvidelse av den opprinnelige brøken til summen av enkle brøker med ubestemte koeffisienter i tellerne:

.

Hvordan likestille telleren til den opprinnelige brøken til uttrykket i telleren oppnådd etter å ha dekomponert brøken til summen av enkle brøker og redusert denne summen til en fellesnevner, vet vi allerede fra de foregående eksemplene. Derfor, bare for kontroll, presenterer vi det resulterende likningssystemet:

Ved å løse systemet får vi følgende verdier av usikre koeffisienter:

Vi får den endelige utvidelsen av integranden til summen av enkle brøker:

Eksempel 5 Steg 2 På trinn 1 fikk vi følgende utvidelse av den opprinnelige brøken til summen av enkle brøker med ubestemte koeffisienter i tellerne:

.

Vi bringer uavhengig denne summen til en fellesnevner, likestiller telleren til dette uttrykket med telleren til den opprinnelige brøken. Resultatet skal være følgende ligningssystem:

Ved å løse systemet får vi følgende verdier av usikre koeffisienter:

.

Vi får den endelige utvidelsen av integranden til summen av enkle brøker:

.

Eksempel 6 Steg 2 På trinn 1 fikk vi følgende utvidelse av den opprinnelige brøken til summen av enkle brøker med ubestemte koeffisienter i tellerne:

Vi utfører de samme handlingene med dette beløpet som i de foregående eksemplene. Resultatet skal være følgende ligningssystem:

Ved å løse systemet får vi følgende verdier av usikre koeffisienter:

.

Vi får den endelige utvidelsen av integranden til summen av enkle brøker:

.

Eksempel 7 Steg 2 På trinn 1 fikk vi følgende utvidelse av den opprinnelige brøken til summen av enkle brøker med ubestemte koeffisienter i tellerne:

.

Etter kjente handlinger med den resulterende summen, bør følgende ligningssystem oppnås:

Ved å løse systemet får vi følgende verdier av usikre koeffisienter:

Vi får den endelige utvidelsen av integranden til summen av enkle brøker:

.

Eksempel 8 Steg 2 På trinn 1 fikk vi følgende utvidelse av den opprinnelige brøken til summen av enkle brøker med ubestemte koeffisienter i tellerne:

.

La oss gjøre noen endringer i handlingene som allerede er satt i gang for å få et system av ligninger. Det finnes et kunstig triks, som i noen tilfeller bidrar til å unngå unødvendige beregninger. Ved å bringe summen av brøker til en fellesnevner, får vi og likestiller telleren til dette uttrykket med telleren til den opprinnelige brøken vi får.