Soluzione di equazioni differenziali. Grazie al nostro Servizio Online puoi risolvere equazioni differenziali di qualsiasi tipo e complessità: disomogenee, omogenee, non lineari, lineari, di primo, secondo ordine, con o senza variabili separabili, ecc. Ottieni la soluzione di equazioni differenziali in forma analitica con descrizione dettagliata. Molti sono interessati a: perché è necessario risolvere le equazioni differenziali online? Questo tipo di equazioni è molto comune in matematica e fisica, dove sarà impossibile risolvere molti problemi senza calcolare l'equazione differenziale. Inoltre, le equazioni differenziali sono comuni in economia, medicina, biologia, chimica e altre scienze. Risolvere un'equazione del genere online facilita notevolmente i tuoi compiti, rende possibile comprendere meglio il materiale e metterti alla prova. Vantaggi della risoluzione di equazioni differenziali online. Un moderno sito di servizi matematici ti consente di risolvere online equazioni differenziali di qualsiasi complessità. Come sai, esistono molti tipi di equazioni differenziali e ognuna di esse ha le sue soluzioni. Sul nostro servizio puoi trovare online la soluzione di equazioni differenziali di qualsiasi ordine e tipo. Per ottenere una soluzione, ti suggeriamo di inserire i dati iniziali e di cliccare sul pulsante "Soluzione". Gli errori nel funzionamento del servizio sono esclusi, quindi puoi essere sicuro al 100% di aver ricevuto la risposta corretta. Risolvi equazioni differenziali con il nostro servizio. Risolvi equazioni differenziali online. Per impostazione predefinita, in una tale equazione, la funzione y è una funzione della variabile x. Ma puoi anche impostare la tua designazione variabile. Ad esempio, se specifichi y(t) in un'equazione differenziale, il nostro servizio determinerà automaticamente che y è una funzione della variabile t. L'ordine dell'intera equazione differenziale dipenderà dall'ordine massimo della derivata della funzione presente nell'equazione. Risolvere una tale equazione significa trovare la funzione richiesta. Il nostro servizio ti aiuterà a risolvere le equazioni differenziali online. Non ci vuole molto sforzo da parte tua per risolvere l'equazione. Devi solo inserire le parti sinistra e destra dell'equazione nei campi richiesti e fare clic sul pulsante "Soluzione". Quando si inserisce la derivata di una funzione, è necessario denotarla con un apostrofo. In pochi secondi avrai soluzione dettagliata equazione differenziale. Il nostro servizio è assolutamente gratuito. Equazioni differenziali con variabili condivise. Se in un'equazione differenziale sul lato sinistro c'è un'espressione che dipende da y, e sul lato destro c'è un'espressione che dipende da x, allora tale equazione differenziale viene chiamata con variabili separabili. Sul lato sinistro può esserci una derivata di y, la soluzione di equazioni differenziali di questo tipo sarà nella forma di una funzione di y, espressa tramite l'integrale del lato destro dell'equazione. Se c'è un differenziale di una funzione di y sul lato sinistro, allora entrambe le parti dell'equazione sono integrate. Quando le variabili in un'equazione differenziale non sono separate, dovranno essere divise per ottenere un'equazione differenziale separata. Equazione differenziale lineare. Un'equazione differenziale si dice lineare se la funzione e tutte le sue derivate sono di primo grado. Forma generale dell'equazione: y'+a1(x)y=f(x). f(x) e a1(x) sono funzioni continue di x. La soluzione di equazioni differenziali di questo tipo si riduce all'integrazione di due equazioni differenziali con variabili separate. L'ordine dell'equazione differenziale. L'equazione differenziale può essere del primo, secondo, n-esimo ordine. L'ordine di un'equazione differenziale determina l'ordine della derivata più alta in essa contenuta. Nel nostro servizio puoi risolvere online equazioni differenziali di prima, seconda, terza, ecc. ordine. La soluzione dell'equazione sarà qualsiasi funzione y=f(x), sostituendo quale nell'equazione, otterrai un'identità. Il processo per trovare una soluzione a un'equazione differenziale è chiamato integrazione. Problema di Cauchy. Se, oltre all'equazione differenziale stessa, viene specificata la condizione iniziale y(x0)=y0, allora questo è chiamato problema di Cauchy. Gli indicatori y0 e x0 vengono aggiunti alla soluzione dell'equazione e viene determinato il valore di una costante arbitraria C, quindi una particolare soluzione dell'equazione per questo valore di C. Questa è la soluzione del problema di Cauchy. Il problema di Cauchy è anche chiamato problema con condizioni al contorno, che è molto comune in fisica e meccanica. Hai anche l'opportunità di impostare il problema di Cauchy, ovvero, tra tutte le possibili soluzioni dell'equazione, sceglierne una particolare che soddisfi le condizioni iniziali date.

La soluzione di vari problemi geometrici, fisici e ingegneristici porta spesso a equazioni che mettono in relazione variabili indipendenti che caratterizzano un particolare problema con alcune funzioni di queste variabili e derivate di questa funzione di vari ordini.

Ad esempio, possiamo considerare il caso più semplice di moto uniformemente accelerato di un punto materiale.

È noto che lo spostamento di un punto materiale durante un moto uniformemente accelerato è funzione del tempo ed è espresso dalla formula:

A sua volta, l'accelerazione unè la derivata del tempo t dalla velocità v, che è anche una derivata rispetto al tempo t dallo spostamento S. Quelli.

Quindi otteniamo:
- l'equazione mette in relazione la funzione f(t) con la variabile indipendente t e la derivata del secondo ordine della funzione f(t).

Definizione. equazione differenziale chiamata equazione relativa a variabili indipendenti, loro funzioni e derivate (o differenziali) di questa funzione.

Definizione. Se un'equazione differenziale ha una variabile indipendente, viene chiamata equazione differenziale ordinaria , se ci sono due o più variabili indipendenti, viene chiamata tale equazione differenziale equazione alle derivate parziali.

Definizione. Viene chiamato l'ordine più alto delle derivate in un'equazione l'ordine dell'equazione differenziale .

Esempio.

- equazione differenziale ordinaria del 1° ordine. In generale, è scritto
.

- equazione differenziale ordinaria del 2° ordine. In generale, è scritto

- equazione differenziale in derivate parziali del primo ordine.

Definizione. Soluzione generale l'equazione differenziale è una tale funzione differenziabile y = (x, C), che, quando sostituita nell'equazione originale invece di una funzione sconosciuta, trasforma l'equazione in un'identità

Proprietà della soluzione generale.

1) Perché Poiché la costante C è un valore arbitrario, in generale l'equazione differenziale ha un numero infinito di soluzioni.

2) In qualsiasi condizione iniziale x \u003d x 0, y (x 0) \u003d y 0, esiste un tale valore C \u003d C 0 per il quale la soluzione dell'equazione differenziale è la funzione y \u003d  (x, C0).

Definizione. Viene chiamata una soluzione della forma y \u003d  (x, C 0). decisione privata equazione differenziale.

Definizione. Problema di Cauchy (Augustin Louis Cauchy (1789-1857) - matematico francese) è chiamato trovare una soluzione particolare a un'equazione differenziale della forma y \u003d  (x, C 0) che soddisfi le condizioni iniziali y (x 0) \u003d y 0 .

Il teorema di Cauchy. (teorema sull'esistenza e unicità della soluzione dell'equazione differenziale del 1° ordine)

Se la funzionef(X, y) è continuo in alcuni dominiDin aereoXOYe ha una derivata parziale continua in questa regione
, quindi qualunque sia il punto (x 0 , y 0 ) nell'area diD, C'è solo una soluzione
equazioni
, definito in un intervallo contenente il punto x 0 , accettando per x = x 0 significato (X 0 ) = y 0 , cioè. esiste una soluzione unica per l'equazione differenziale.

Definizione. integrante equazione differenziale è qualsiasi equazione che non contenga derivate, per la quale questa equazione differenziale è una conseguenza.

Esempio. Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale
.

Decisione comune l'equazione differenziale viene ricercata integrando le parti sinistra e destra dell'equazione, che viene preliminarmente trasformata come segue:

Ora integriamo:

è la soluzione generale dell'equazione differenziale originale.

Supponiamo che siano date alcune condizioni iniziali: x 0 = 1; y 0 = 2, allora abbiamo

Sostituendo il valore ottenuto della costante nella soluzione generale, otteniamo una soluzione particolare per determinate condizioni iniziali (la soluzione del problema di Cauchy).

Definizione. curva integrale viene chiamato il grafico y = (x) della soluzione di un'equazione differenziale sul piano XOY.

Definizione. decisione speciale di un'equazione differenziale è tale soluzione, in tutti i punti di cui è chiamata la condizione di unicità di Cauchy (cfr. Il teorema di Cauchy.) non è soddisfatto, cioè in un intorno di un punto (x, y) ci sono almeno due curve integrali.

Le soluzioni singolari non dipendono dalla costante C.

Non è possibile ottenere soluzioni speciali dalla soluzione generale per nessun valore della costante C. Se costruiamo una famiglia di curve integrali per un'equazione differenziale, allora la soluzione speciale sarà rappresentata da una retta che tocca almeno una curva integrale a ciascuno dei suoi punti.

Si noti che non tutte le equazioni differenziali hanno soluzioni singolari.

Esempio. Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale:
Trova una soluzione speciale se esiste.

Questa equazione differenziale ha anche una soluzione speciale a= 0. Questa soluzione non può essere ottenuta da quella generale, tuttavia, sostituendo nell'equazione originale, otteniamo un'identità. opinione che la soluzione y = 0 si può ottenere dalla soluzione generale per DA 1 = 0 sbagliato, perché C 1 = e C  0.

Istituzione educativa "Stato bielorusso

Accademia agraria"

Dipartimento di Matematica Superiore

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE

Riassunto della lezione per studenti di contabilità

modulo di istruzione per corrispondenza (NISPO)

Gorki, 2013

Equazioni differenziali del primo ordine

Il concetto di equazione differenziale. Soluzioni generali e particolari

Quando si studiano vari fenomeni, spesso non è possibile trovare una legge che colleghi direttamente la variabile indipendente e la funzione desiderata, ma è possibile stabilire una connessione tra la funzione desiderata e le sue derivate.

Viene chiamata la relazione che collega la variabile indipendente, la funzione desiderata e le sue derivate equazione differenziale :

Qui Xè una variabile indipendente, yè la funzione desiderata,
sono le derivate della funzione desiderata. In questo caso, la relazione (1) richiede la presenza di almeno una derivata.

L'ordine dell'equazione differenziale è l'ordine della derivata più alta nell'equazione.

Considera l'equazione differenziale

. (2)

Poiché questa equazione include una derivata solo del primo ordine, viene chiamata è un'equazione differenziale del primo ordine.

Se l'equazione (2) può essere risolta rispetto alla derivata e scritta come

, (3)

allora tale equazione è chiamata equazione differenziale del primo ordine in forma normale.

In molti casi è opportuno considerare un'equazione della forma

che è chiamato un'equazione differenziale del primo ordine scritta in forma differenziale.

Perché
, quindi l'equazione (3) può essere scritta come
o
, dove si può contare
e
. Ciò significa che l'equazione (3) è stata convertita nell'equazione (4).

Scriviamo l'equazione (4) nella forma
. Quindi
,
,
, dove si può contare
, cioè. si ottiene un'equazione della forma (3). Pertanto, le equazioni (3) e (4) sono equivalenti.

Risolvendo l'equazione differenziale (2) o (3) viene chiamata qualsiasi funzione
, che, sostituendolo nell'equazione (2) o (3), lo trasforma in un'identità:

o
.

Il processo per trovare tutte le soluzioni di un'equazione differenziale è chiamato suo integrazione , e il grafico della soluzione
si chiama equazione differenziale curva integrale questa equazione.

Se la soluzione dell'equazione differenziale si ottiene in forma implicita
, quindi si chiama integrante data equazione differenziale.

Soluzione generale l'equazione differenziale del primo ordine è una famiglia di funzioni della forma
, a seconda di una costante arbitraria DA, ognuno dei quali è una soluzione dell'equazione differenziale data per qualsiasi valore ammissibile di una costante arbitraria DA. Pertanto, l'equazione differenziale ha un numero infinito di soluzioni.

Decisione privata l'equazione differenziale è chiamata la soluzione ottenuta dalla formula della soluzione generale per un valore specifico di una costante arbitraria DA, Compreso
.

Il problema di Cauchy e la sua interpretazione geometrica

L'equazione (2) ha un numero infinito di soluzioni. Per individuare una soluzione da questo insieme, che è chiamata soluzione particolare, devono essere specificate alcune condizioni aggiuntive.

Viene chiamato il problema di trovare una soluzione particolare all'equazione (2) in date condizioni Problema di Cauchy . Questo problema è uno dei più importanti nella teoria delle equazioni differenziali.

Il problema di Cauchy è formulato come segue: tra tutte le soluzioni dell'equazione (2) trova una tale soluzione
, in cui la funzione
assume un dato valore numerico se la variabile indipendente X assume un dato valore numerico , cioè.

,
, (5)

dove Dè il dominio della funzione
.

Significato chiamato il valore iniziale della funzione , un – valore iniziale della variabile indipendente . Viene chiamata la condizione (5). condizione iniziale o Condizione di Cauch .

Da un punto di vista geometrico, il problema di Cauchy per l'equazione differenziale (2) può essere formulato come segue: dall'insieme delle curve integrali dell'equazione (2) selezionare quella che passa per un dato punto
.

Equazioni differenziali con variabili separabili

Uno dei tipi più semplici di equazioni differenziali è un'equazione differenziale del primo ordine che non contiene la funzione desiderata:

. (6)

Dato che
, scriviamo l'equazione nella forma
o
. Integrando entrambi i membri dell'ultima equazione, otteniamo:
o

. (7)

Pertanto, (7) è una soluzione generale dell'equazione (6).

Esempio 1 . Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale
.

Soluzione . Scriviamo l'equazione nella forma
o
. Integriamo entrambe le parti dell'equazione risultante:
,
. Scriviamo finalmente
.

Esempio 2 . Trova una soluzione all'equazione
a condizione
.

Soluzione . Troviamo la soluzione generale dell'equazione:
,
,
,
. Per condizione
,
. Sostituisci nella soluzione generale:
o
. Sostituiamo il valore trovato di una costante arbitraria nella formula per la soluzione generale:
. Questa è la particolare soluzione dell'equazione differenziale che soddisfa la condizione data.

L'equazione

(8)

chiamato un'equazione differenziale del primo ordine che non contiene una variabile indipendente . Lo scriviamo nel modulo
o
. Integriamo entrambe le parti dell'ultima equazione:
o
- soluzione generale dell'equazione (8).

Esempio . Trova una soluzione generale all'equazione
.

Soluzione . Scriviamo questa equazione nella forma:
o
. Quindi
,
,
,
. In questo modo,
è la soluzione generale di questa equazione.

Digita equazione

(9)

integrato utilizzando la separazione delle variabili. Per fare ciò, scriviamo l'equazione nella forma
, e poi, usando le operazioni di moltiplicazione e divisione, lo portiamo a una forma tale che una parte comprenda solo la funzione di X e differenziale dx, e nella seconda parte - una funzione di a e differenziale dio. Per fare ciò, è necessario moltiplicare entrambi i lati dell'equazione dx e dividere per
. Di conseguenza, otteniamo l'equazione

, (10)

in cui le variabili X e a separato. Integriamo entrambe le parti dell'equazione (10):
. La relazione risultante è l'integrale generale dell'equazione (9).

Esempio 3 . Integra l'equazione
.

Soluzione . Trasforma l'equazione e separa le variabili:
,
. Integriamo:
,
o è l'integrale generale di questa equazione.
.

Sia data l'equazione nella forma

Tale equazione è chiamata equazione differenziale del primo ordine con variabili separabili in forma simmetrica.

Per separare le variabili, è necessario dividere entrambi i lati dell'equazione per
:

. (12)

L'equazione risultante viene chiamata equazione differenziale separata . Integriamo l'equazione (12):

.(13)

La relazione (13) è un integrale generale dell'equazione differenziale (11).

Esempio 4 . Integra l'equazione differenziale.

Soluzione . Scriviamo l'equazione nella forma

e dividere entrambe le parti in
,
. L'equazione risultante:
è un'equazione variabile separata. Integriamolo:

,
,

,
. L'ultima uguaglianza è l'integrale generale dell'equazione differenziale data.

Esempio 5 . Trova una soluzione particolare di un'equazione differenziale
, soddisfacendo la condizione
.

Soluzione . Dato che
, scriviamo l'equazione nella forma
o
. Separiamo le variabili:
. Integriamo questa equazione:
,
,
. La relazione risultante è l'integrale generale di questa equazione. Per condizione
. Sostituisci nell'integrale generale e trova DA:
,DA=1. Poi l'espressione
è una soluzione particolare dell'equazione differenziale data, scritta come un integrale particolare.

Equazioni differenziali lineari del primo ordine

L'equazione

(14)

chiamato equazione differenziale lineare del primo ordine . funzione sconosciuta
e la sua derivata entrano in questa equazione linearmente e le funzioni
e
continuo.

Se una
, quindi l'equazione

(15)

chiamato lineare omogeneo . Se una
, quindi viene chiamata l'equazione (14). lineare disomogeneo .

Per trovare una soluzione all'equazione (14), di solito si usa metodo di sostituzione (Bernoulli) , la cui essenza è la seguente.

La soluzione dell'equazione (14) sarà ricercata sotto forma di prodotto di due funzioni

, (16)

dove
e
- alcune funzioni continue. Sostituto
e derivato
nell'equazione (14):

Funzione v sarà scelto in modo tale che la condizione
. Quindi
. Quindi, per trovare una soluzione all'equazione (14), è necessario risolvere il sistema di equazioni differenziali

La prima equazione del sistema è un'equazione lineare omogenea e può essere risolta con il metodo della separazione delle variabili:
,
,
,
,
. Come una funzione
si può prendere una delle soluzioni particolari dell'equazione omogenea, cioè a DA=1:
. Sostituisci nella seconda equazione del sistema:
o
.Quindi
. Pertanto, la soluzione generale di un'equazione differenziale lineare del primo ordine ha la forma
.

Esempio 6 . risolvere l'equazione
.

Soluzione . Cercheremo la soluzione dell'equazione nella forma
. Quindi
. Sostituisci nell'equazione:

o
. Funzione v scegliere in modo tale che l'uguaglianza
. Quindi
. Risolviamo la prima di queste equazioni con il metodo della separazione delle variabili:
,
,
,
,. Funzione v Sostituisci nella seconda equazione:
,
,
,
. La soluzione generale a questa equazione è
.

Domande per l'autocontrollo della conoscenza

Che cos'è un'equazione differenziale?

Qual è l'ordine di un'equazione differenziale?

Quale equazione differenziale è chiamata equazione differenziale del primo ordine?

Come si scrive un'equazione differenziale del primo ordine in forma differenziale?

Qual è la soluzione di un'equazione differenziale?

Che cos'è una curva integrale?

Qual è la soluzione generale di un'equazione differenziale del primo ordine?

Qual è una soluzione particolare di un'equazione differenziale?

Come viene formulato il problema di Cauchy per un'equazione differenziale del primo ordine?

Qual è l'interpretazione geometrica del problema di Cauchy?

Come si scrive un'equazione differenziale con variabili separabili in forma simmetrica?

Quale equazione è chiamata equazione differenziale lineare del primo ordine?

Quale metodo può essere utilizzato per risolvere un'equazione differenziale lineare del primo ordine e qual è l'essenza di questo metodo?

Compiti per lavoro autonomo

Risolvi equazioni differenziali con variabili separabili:

un)
; b)
;

in)
; G)
.

2. Risolvi equazioni differenziali lineari del primo ordine:

un)
; b)
; in)
;

G)
; e)
.

Un'equazione differenziale è un'equazione che include una funzione e una o più delle sue derivate. Nella maggior parte dei problemi pratici, le funzioni lo sono quantità fisiche, le derivate corrispondono ai tassi di variazione di queste quantità e l'equazione determina la relazione tra loro.

Questo articolo discute i metodi per risolvere alcuni tipi di equazioni differenziali ordinarie, le cui soluzioni possono essere scritte nella forma funzioni elementari, ovvero le funzioni polinomiali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche, nonché le loro funzioni inverse. Molte di queste equazioni si verificano nella vita reale, sebbene la maggior parte delle altre equazioni differenziali non possa essere risolta con questi metodi, e per loro la risposta è scritta come funzioni speciali o serie di potenze o trovata con metodi numerici.

Per comprendere questo articolo, è necessario conoscere il calcolo differenziale e integrale, nonché avere una certa comprensione delle derivate parziali. Si raccomanda inoltre di conoscere le basi dell'algebra lineare applicata alle equazioni differenziali, in particolare alle equazioni differenziali del secondo ordine, sebbene la conoscenza del calcolo differenziale e integrale sia sufficiente per risolverle.

Informazioni preliminari

• Le equazioni differenziali hanno una classificazione ampia. Questo articolo ne parla equazioni differenziali ordinarie, ovvero sulle equazioni che includono una funzione di una variabile e le sue derivate. Le equazioni differenziali ordinarie sono molto più facili da capire e risolvere rispetto a equazioni alle derivate parziali, che includono funzioni di più variabili. Questo articolo non considera le equazioni alle derivate parziali, poiché i metodi per risolvere queste equazioni sono solitamente determinati dalla loro forma specifica.
  • Di seguito sono riportati alcuni esempi di equazioni differenziali ordinarie.
    • d y d x = k y (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) y) ((\ mathrm (d) ) x)) = ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) )^ (2) x) ((\ mathrm (d) ) t^ (2))) + kx = 0)
  • Di seguito sono riportati alcuni esempi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
    • ∂ 2 f ∂ X 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\ displaystyle (\ frac (\ parziale ^ (2) f) (\ parziale x ^ (2)))+(\ frac (\ parziale ^ (2) )f)(\y parziale^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t - α ∂ 2 u ∂ X 2 = 0 (\ displaystyle (\ frac (\ u parziale) (\ t parziale)) -\ alpha (\ frac (\ parziale ^ (2) u) (\ x parziale ^(2)))=0)
• Ordine l'equazione differenziale è determinata dall'ordine della derivata più alta inclusa in questa equazione. La prima delle equazioni differenziali ordinarie di cui sopra è del primo ordine, mentre la seconda è del secondo ordine. Livello di un'equazione differenziale è chiamata la potenza massima a cui è elevato uno dei termini di questa equazione.
  • Ad esempio, l'equazione seguente è il terzo ordine e la seconda potenza.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\ displaystyle \ left ((\ frac ((\ mathrm (d) ) ^ (3) y) ((\ mathrm (d) ) x ^ (3))) \ destra)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• L'equazione differenziale è equazione differenziale lineare se la funzione e tutte le sue derivate sono nella prima potenza. Altrimenti, l'equazione è equazione differenziale non lineare. Le equazioni differenziali lineari sono notevoli in quanto è possibile creare combinazioni lineari dalle loro soluzioni, che saranno anche soluzioni di questa equazione.
  • Di seguito sono riportati alcuni esempi di equazioni differenziali lineari.
  • Di seguito sono riportati alcuni esempi di equazioni differenziali non lineari. La prima equazione non è lineare a causa del termine seno.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) ^ (2) \ theta ) ((\ mathrm (d) ) t ^ (2))) + ( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) )^ (2) x) ((\ mathrm (d) ) t^ (2))))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Decisione comune l'equazione differenziale ordinaria non è unica, include costanti arbitrarie di integrazione. Nella maggior parte dei casi, il numero di costanti arbitrarie è uguale all'ordine dell'equazione. In pratica, i valori di queste costanti sono determinati da dato condizioni iniziali, ovvero dai valori della funzione e delle sue derivate a x = 0. (\displaystyle x=0.) Il numero di condizioni iniziali necessarie per trovare decisione privata equazione differenziale, nella maggior parte dei casi è anche uguale all'ordine di questa equazione.
  • Ad esempio, questo articolo cercherà di risolvere l'equazione seguente. Questa è un'equazione differenziale lineare del secondo ordine. La sua soluzione generale contiene due costanti arbitrarie. Per trovare queste costanti, è necessario conoscere le condizioni iniziali a x (0) (\ displaystyle x (0)) e x′ (0) . (\displaystyle x"(0).) Di solito le condizioni iniziali sono date al punto x = 0 , (\ displaystyle x=0,), anche se non è necessario. Questo articolo considererà anche come trovare soluzioni particolari per determinate condizioni iniziali.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) )^ (2) x) ((\ mathrm (d) ) t^ (2))) + k ^ (2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ K X + c 2 sin ⁡ K X (\ displaystyle x (t) = c_(1) \ cos kx + c_(2) \ sin kx)

Passi

Parte 1

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1. Equazioni lineari del primo ordine. Questa sezione discute i metodi per risolvere equazioni differenziali lineari del primo ordine in casi generali e speciali, quando alcuni termini sono uguali a zero. Facciamo finta che y = y (x) , (\ displaystyle y = y (x),) p (x) (\ displaystyle p (x)) e q (x) (\ displaystyle q (x)) sono funzioni X . (\ displaystyle x.)

   D y d X + p (x) y = q (x) (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) y) ((\ mathrm (d) ) x)) + p (x) y = q (x ))
   

   P (x) = 0. (\ displaystyle p (x) = 0.) Secondo uno dei principali teoremi dell'analisi matematica, anche l'integrale della derivata di una funzione è una funzione. Pertanto, è sufficiente integrare semplicemente l'equazione per trovarne la soluzione. In questo caso, va tenuto presente che quando si calcola l'integrale indefinito, appare una costante arbitraria.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\ displaystyle y (x) = \ int q (x) (\ mathrm (d)) x)

   Q (x) = 0. (\ displaystyle q (x) = 0.) Usiamo il metodo separazione delle variabili. In questo caso vengono trasferite diverse variabili lati diversi equazioni. Ad esempio, puoi trasferire tutti i membri da y (\ displaystyle y) in uno e tutti i membri con x (\ displaystyle x) all'altro lato dell'equazione. I membri possono anche essere spostati d x (\ displaystyle (\ mathrm (d)) x) e d y (\ displaystyle (\ mathrm (d) ) y), che sono inclusi nelle espressioni derivate, tuttavia, va ricordato che questa è solo una convenzione, che è conveniente quando si differenzia una funzione complessa. Una discussione di questi termini, che sono chiamati differenziali, non rientra nell'ambito di applicazione del presente articolo.

   • Innanzitutto, devi spostare le variabili sui lati opposti del segno di uguale.
     • 1 y d y = - p (x) d X (\ displaystyle (\ frac (1) (y)) (\ mathrm (d) ) y = -p (x) (\ mathrm (d) ) x)
   • Integriamo entrambi i lati dell'equazione. Dopo l'integrazione, su entrambi i lati appaiono costanti arbitrarie, che possono essere trasferite lato destro equazioni.
     • ln ⁡ y = ∫ - p (x) d X (\ displaystyle \ ln y = \ int -p (x) (\ mathrm (d)) x)
     • y (x) = e - ∫ p (x) d X (\ displaystyle y (x) = e ^ (-\ int p (x) (\ mathrm (d) ) x))
   • Esempio 1.1. Sul ultimo passo abbiamo usato la regola e un + b = e un e b (\ displaystyle e ^ (a + b) = e ^ (a) e ^ (b)) e sostituito e C (\ displaystyle e ^ (C)) sul C (\ displaystyle C), perché è anche una costante arbitraria di integrazione.
     • d y d X - 2 y sin ⁡ X = 0 (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) y) ((\ mathrm (d) ) x)) -2y \ sin x = 0)
     • 1 2 y d y = peccato ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(allineato)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\ displaystyle p (x) \ neq 0, \ q (x) \ neq 0.) Per trovare la soluzione generale, abbiamo introdotto fattore integrativo come una funzione di x (\ displaystyle x) per ridurre il membro sinistro a una derivata comune e quindi risolvere l'equazione.

   • Moltiplica entrambi i membri per μ (x) (\ displaystyle \ mu (x))
     • μ d y d X + μ p y = μ q (\ displaystyle \ mu (\ frac ((\ mathrm (d)) ) y) ((\ mathrm (d) ) x)) + \ mu py = \ mu q)
   • Per ridurre il lato sinistro a una derivata comune, è necessario effettuare le seguenti trasformazioni:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\ displaystyle (\ frac (\ mathrm (d) ) ((\ mathrm (d) ) x)) (\ mu y) = (\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • L'ultima uguaglianza significa questo d μ d x = μ p (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) \ mu ) ((\ mathrm (d) ) x)) = \ mu p). Questo è un fattore integrativo sufficiente per risolvere qualsiasi equazione lineare del primo ordine. Ora possiamo ricavare una formula per risolvere questa equazione rispetto a µ , (\ displaystyle \ mu ,) anche se per l'allenamento è utile fare tutti i calcoli intermedi.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\ displaystyle \ mu (x) = e ^ (\ int p (x) (\ mathrm (d) ) x))
   • Esempio 1.2. In questo esempio, consideriamo come trovare una soluzione particolare per un'equazione differenziale con dato condizioni iniziali.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\ displaystyle t(\ frac ((\ mathrm (d) ) y) ((\ mathrm (d) ) t)) + 2y = t^ (2) ,\quadro y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) y) ((\ mathrm (d) ) t)) + (\ frac (2) (t)) y = t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\ displaystyle \ mu (x) = e ^ (\ int p (t) (\ mathrm (d) ) t) = e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\ displaystyle (\ begin (allineato) (\ frac (\ mathrm (d) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(allineato)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\ displaystyle y (t) = (\ frac (1) (4)) t^(2)+(\ frac (8)(t^(2)) ))
   
   Risoluzione di equazioni lineari del primo ordine (registrate da Intuit - National Open University).

2. Equazioni del primo ordine non lineari. In questa sezione vengono considerati metodi per risolvere alcune equazioni differenziali non lineari del primo ordine. Sebbene non esista un metodo generale per risolvere tali equazioni, alcune di esse possono essere risolte utilizzando i metodi seguenti.

   D y d x = f (x , y) (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) y) ((\ mathrm (d) ) x)) = f (x, y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) y) ((\ mathrm (d) ) x)) = h (x) g (y).) Se la funzione f (x , y) = h (x) g (y) (\ displaystyle f (x, y) = h (x) g (y)) può essere diviso in funzioni di una variabile, viene chiamata tale equazione equazione differenziale separabile. In questo caso, puoi utilizzare il metodo sopra:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\ displaystyle \ int (\ frac ((\ mathrm (d)) y) (h (y))) = \ int g (x) (\ mathrm (d) )X)
   • Esempio 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) y) ((\ mathrm (d) ) x)) = (\ frac (x ^ (3)) ( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\ displaystyle (\ begin(allineato)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(allineato)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) y) ((\ mathrm (d) ) x)) = (\ frac (g (x, y)) (h (x, y))).) Facciamo finta che g (x , y) (\ displaystyle g (x, y)) e h (x , y) (\ displaystyle h (x, y)) sono funzioni x (\ displaystyle x) e si. (\ displaystyle y.) Quindi equazione differenziale omogeneaè un'equazione in cui g (\ displaystyle g) e h (\ displaystyle h) sono funzioni omogenee lo stesso grado. Cioè, le funzioni devono soddisfare la condizione g (α X , α y) = α K g (x , y) , (\ displaystyle g (\ alfa x, \ alfa y) = \ alfa ^ (k) g (x, y),) dove k (\ displaystyle k) prende il nome di grado di omogeneità. Qualsiasi equazione differenziale omogenea può essere data da un opportuno cambio di variabili (v = y / x (\ displaystyle v = y/x) o v = x / y (\ displaystyle v = x/y)) per convertire in un'equazione con variabili separabili.

   • Esempio 1.4. La precedente descrizione dell'omogeneità può sembrare oscura. Diamo un'occhiata a questo concetto con un esempio.
     • d y d X = y 3 - X 3 y 2 x (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) y) ((\ mathrm (d) ) x)) = (\ frac (y ^ (3) -x ^ (3))(y^(2)x)))
     • Per cominciare, va notato che questa equazione non è lineare rispetto a si. (\ displaystyle y.) Vediamo anche che in questo caso è impossibile separare le variabili. Tuttavia, questa equazione differenziale è omogenea, poiché sia ​​il numeratore che il denominatore sono omogenei con una potenza di 3. Pertanto, possiamo fare un cambio di variabili v=y/x. (\ displaystyle v=y/x.)
     • d y d X = y X - X 2 y 2 = v - 1 v 2 (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) y) ((\ mathrm (d) ) x)) = (\ frac (y) (x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\ displaystyle y = vx, \ quad (\ frac ((\ mathrm (d)) y) ((\ mathrm (d) ) x)) = (\ frac ((\ mathrm) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = - 1 v 2 . (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) v) ((\ mathrm (d) ) x)) x=-(\ frac (1) (v ^ (2))).) Di conseguenza, abbiamo un'equazione per v (\ displaystyle v) con variabili condivise.
     • v (x) = - 3 log ⁡ X + C 3 (\ displaystyle v (x) = (\ sqrt[(3)] (-3 \ ln x+C)})
     • y (x) = x - 3 ln ⁡ X + C 3 (\ displaystyle y (x) = x (\ sqrt[(3)] (-3 \ ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) y) ((\ mathrm (d) ) x)) = p (x) y + q (x) y ^ (n).) esso Equazione differenziale di Bernoulli- un tipo speciale di equazione non lineare di primo grado, la cui soluzione può essere scritta utilizzando funzioni elementari.

   • Moltiplica entrambi i membri dell'equazione per (1 - n) y - n (\ displaystyle (1-n) y ^ (-n)):
     • (1 - n) y - n d y d X = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\ displaystyle (1-n) y ^ (-n) (\ frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Usiamo la regola di differenziazione di una funzione complessa sul lato sinistro e trasformiamo l'equazione in un'equazione lineare rispetto a y 1 - n , (\ displaystyle y ^ (1-n),) che può essere risolto con i metodi di cui sopra.
     • d y 1 - n d X = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) y ^ (1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\ displaystyle M (x, y) + N (x, y) (\ frac ((\ mathrm (d) ) y) ((\ mathrm (d) )x))=0.) esso equazione dentro differenziali totali . È necessario trovare il cosiddetto funzione potenziale φ (x , y) , (\ displaystyle \ varphi (x, y),), che soddisfa la condizione d φ d x = 0. (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) \ varphi ) ((\ mathrm (d) ) x)) = 0.)

   • Per soddisfare questa condizione, è necessario avere derivata totale. La derivata totale tiene conto della dipendenza da altre variabili. Per calcolare la derivata totale φ (\ displaystyle \ varphi ) Su x , (\ displaystyle x,) lo assumiamo y (\ displaystyle y) può anche dipendere da X . (\ displaystyle x.)
     • d φ d X = ∂ φ ∂ X + ∂ φ ∂ y d y d X (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) \ varphi ) ((\ mathrm (d) ) x)) = (\ frac (\ parziale \ varphi )(\x parziale))+(\frac (\parziale \varphi )(\y parziale))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Confrontando i termini ci dà M (x , y) = ∂ φ ∂ X (\ displaystyle M (x, y) = (\ frac (\ parziale \ varphi) (\ parziale x)}) e N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\ displaystyle N (x, y) = (\ frac (\ parziale \ varphi ) (\ parziale y)).) Questo è un risultato tipico per equazioni con più variabili, in cui le derivate miste di funzioni lisce sono uguali tra loro. A volte questo caso viene chiamato Il teorema di Claireut. In questo caso, l'equazione differenziale è un'equazione in differenziali totali se è soddisfatta la seguente condizione:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ X (\ displaystyle (\ frac (\ parziale M) (\ parziale y)) = (\ frac (\ parziale N) (\ parziale x)})
   • Il metodo per risolvere le equazioni nei differenziali totali è simile alla ricerca di funzioni potenziali in presenza di più derivate, di cui parleremo brevemente. Per prima cosa integriamo M (\ displaystyle M) Su X . (\ displaystyle x.) Perché il M (\ displaystyle M)è una funzione e x (\ displaystyle x), e y , (\ displaystyle y,) durante l'integrazione, otteniamo una funzione incompleta φ , (\ displaystyle \ varphi ,) etichettato come φ ~ (\ displaystyle (\ tilde (\ varphi )}). Il risultato include anche il dipendente da y (\ displaystyle y) costante di integrazione.
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d X = φ ~ (x , y) + c (y) (\ displaystyle \ varphi (x, y) = \ int M (x, y) (\ mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Dopo di che, per ottenere c (y) (\ displaystyle c (y)) puoi prendere la derivata parziale della funzione risultante rispetto a y , (\ displaystyle y,) uguagliare il risultato N (x , y) (\ displaystyle N (x, y)) e integrare. Si può anche integrare prima N (\ displaystyle N), e quindi prendi la derivata parziale rispetto a x (\ displaystyle x), che ti permetterà di trovare funzione arbitraria d(x). (\ displaystyle d(x).) Entrambi i metodi sono adatti e di solito viene scelta la funzione più semplice per l'integrazione.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\ displaystyle N (x, y) = (\ frac (\ parziale \ varphi) (\ parziale y)) = (\ frac (\ parziale (\tilde (\varphi )))(\parziale y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Esempio 1.5. Puoi prendere le derivate parziali e verificare che l'equazione seguente sia un'equazione differenziale totale.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\ displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\ displaystyle (\begin(allineato)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\parziale \varphi )(\y parziale))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(allineato)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) c) ((\ mathrm (d) ) y)) = 0, \ quad c (y) = C)
     • x 3 + x y 2 = C (\ displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Se l'equazione differenziale non è un'equazione differenziale totale, in alcuni casi puoi trovare un fattore di integrazione che ti permetterà di convertirla in un'equazione differenziale totale. Tuttavia, tali equazioni sono utilizzate raramente nella pratica e sebbene siano il fattore integrativo esiste, scopri che succede non facile, quindi queste equazioni non vengono considerate in questo articolo.

Parte 2

1. Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Queste equazioni sono ampiamente utilizzate nella pratica, quindi la loro soluzione è di fondamentale importanza. In questo caso non si tratta di funzioni omogenee, ma del fatto che a destra dell'equazione c'è 0. Nella prossima sezione mostreremo come il corrispondente eterogeneo equazioni differenziali. Sotto un (\ displaystyle a) e b (\ displaystyle b) sono costanti.

   D 2 y d x 2 + un d y d X + b y = 0 (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) )^ (2) y) ((\ mathrm (d) ) x ^ (2))) + a (\ frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+di=0)
   

   Equazione caratteristica. Questa equazione differenziale è notevole in quanto può essere risolta molto facilmente se si presta attenzione a quali proprietà dovrebbero avere le sue soluzioni. Si può vedere dall'equazione che y (\ displaystyle y) e le sue derivate sono proporzionali tra loro. Dagli esempi precedenti, che sono stati considerati nella sezione sulle equazioni del primo ordine, sappiamo che solo la funzione esponenziale possiede questa proprietà. Pertanto, è possibile avanzare ansatz(un'ipotesi plausibile) su quale sarà la soluzione dell'equazione data.

   • La soluzione assumerà la forma di una funzione esponenziale e r X , (\ displaystyle e ^ (rx),) dove r (\ displaystyle r)è una costante il cui valore deve essere trovato. Sostituisci questa funzione nell'equazione e ottieni la seguente espressione
     • e r X (r 2 + un r + b) = 0 (\ displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Questa equazione indica che il prodotto di una funzione esponenziale e di un polinomio deve essere zero. È noto che l'esponente non può essere uguale a zero per nessun valore del grado. Quindi concludiamo che il polinomio è uguale a zero. Pertanto, abbiamo ridotto il problema di risolvere un'equazione differenziale a un problema molto più semplice di risolvere un'equazione algebrica, che è chiamata equazione caratteristica per una data equazione differenziale.
     • r 2 + un r + b = 0 (\ displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = - un ± un 2 - 4 b 2 (\ displaystyle r_(\ pm )=(\ frac (-a \ pm (\ sqrt (a^(2)-4b))) (2)))
   • Abbiamo due radici. Poiché questa equazione differenziale è lineare, la sua soluzione generale è una combinazione lineare di soluzioni parziali. Poiché questa è un'equazione del secondo ordine, sappiamo che lo è veramente soluzione generale, e non ce ne sono altre. Una giustificazione più rigorosa di ciò risiede nei teoremi sull'esistenza e l'unicità della soluzione, che si possono trovare nei libri di testo.
   • Un modo utile per verificare se due soluzioni sono linearmente indipendenti è calcolare Wronskiano. Wronskiano W (\ displaystyle W)- questo è il determinante della matrice, nelle cui colonne sono presenti le funzioni e le loro derivate successive. Il teorema dell'algebra lineare afferma che le funzioni nel wronskiano sono linearmente dipendenti se il wronskiano è uguale a zero. In questa sezione, possiamo verificare se due soluzioni sono linearmente indipendenti assicurandoci che il wronskiano sia diverso da zero. Il Wronskiano è importante nella risoluzione di equazioni differenziali non omogenee con coefficienti costanti mediante il metodo della variazione dei parametri.
     • w = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\ displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • In termini di algebra lineare, si forma l'insieme di tutte le soluzioni di una data equazione differenziale spazio vettoriale, la cui dimensione è uguale all'ordine dell'equazione differenziale. In questo spazio, si può scegliere una base da linearmente indipendente decisioni gli uni dagli altri. Ciò è possibile perché la funzione y (x) (\ displaystyle y (x)) valido operatore lineare. Derivato è operatore lineare, poiché trasforma lo spazio delle funzioni differenziabili nello spazio di tutte le funzioni. Le equazioni sono dette omogenee nei casi in cui per qualche operatore lineare L (\ displaystyle L)è necessario trovare una soluzione all'equazione L [ y ] = 0. (\ displaystyle L [y] = 0.)

   Passiamo ora ad alcuni esempi specifici. Il caso delle radici multiple dell'equazione caratteristica sarà considerato poco più avanti, nella sezione sulla riduzione dell'ordine.

   Se le radici r ± (\ displaystyle r_ (\ pm )) sono numeri reali diversi, l'equazione differenziale ha la seguente soluzione

   • y (x) = c 1 e r + X + c 2 e r - X (\ displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Due radici complesse. Segue dal teorema fondamentale dell'algebra che le soluzioni di equazioni polinomiali con coefficienti reali hanno radici reali o formano coppie coniugate. Pertanto, se il numero complesso r = α + io β (\ displaystyle r = \ alfa + i \ beta)è la radice dell'equazione caratteristica, quindi r ∗ = α - io β (\ displaystyle r ^ (*) = \ alfa -i \ beta )è anche la radice di questa equazione. Pertanto, la soluzione può essere scritta nella forma c 1 e (α + io β) X + c 2 e (α - io β) X , (\ displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alfa -i\beta)x),) tuttavia, questo è un numero complesso ed è indesiderabile per risolvere problemi pratici.

   • Invece, puoi usare formula di Eulero e io x = cos ⁡ x + io peccato ⁡ x (\ displaystyle e ^ (ix) = \ cos x + i \ sin x), che consente di scrivere la soluzione sotto forma di funzioni trigonometriche:
     • e α X (c 1 cos ⁡ β X + io c 1 peccato ⁡ β X + c 2 cos ⁡ β X - io c 2 peccato ⁡ β X) (\ displaystyle e ^ (\ alpha x) (c_ (1) \ cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Ora puoi invece che costante c 1 + c 2 (\ displaystyle c_(1)+c_(2)) annotare c 1 (\ displaystyle c_ (1)), e l'espressione io (c 1 - c 2) (\ displaystyle i(c_(1)-c_(2))) sostituito da c 2 . (\ displaystyle c_(2).) Dopo di che otteniamo la seguente soluzione:
     • y (x) = e α X (c 1 cos ⁡ β X + c 2 sin ⁡ β x) (\ displaystyle y (x) = e ^ (\ alpha x) (c_ (1) \ cos \ beta x + c_ (2)\peccato\beta x))
   • C'è un altro modo per scrivere la soluzione in termini di ampiezza e fase, che è più adatto ai problemi fisici.
   • Esempio 2.1. Troviamo la soluzione dell'equazione differenziale data di seguito con date condizioni iniziali. Per questo, è necessario prendere la soluzione ottenuta, così come il suo derivato, e sostituirli nelle condizioni iniziali, che ci consentiranno di determinare costanti arbitrarie.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = - 1 (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) ^ (2) x) (( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = - 3 ± 9 - 40 2 = - 3 2 ± 31 2 io (\ displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )io)
     • x (t) = e - 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\ displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = - 3 2 e - 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 peccato ⁡ 31 2 t) + e - 3 t / 2 (− 31 2 c 1 peccato ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\ displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
     • x ′ (0) = - 1 = - 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e - 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   Risoluzione di equazioni differenziali dell'ennesimo ordine a coefficienti costanti (registrate da Intuit - National Open University).

2. Ordine di declassamento. La riduzione dell'ordine è un metodo per risolvere le equazioni differenziali quando è nota una soluzione linearmente indipendente. Questo metodo consiste nell'abbassare di uno l'ordine dell'equazione, che consente di risolvere l'equazione utilizzando i metodi descritti nella sezione precedente. Che la soluzione sia nota. L'idea principale di abbassare l'ordine è trovare una soluzione nel modulo sottostante, dove è necessario definire la funzione v (x) (\ displaystyle v (x)), sostituendolo nell'equazione differenziale e trovando v(x). (\ displaystyle v (x).) Consideriamo come utilizzare la riduzione dell'ordine per risolvere un'equazione differenziale con coefficienti costanti e radici multiple.

   
   

   Radici multiple equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti. Ricordiamo che un'equazione del secondo ordine deve avere due soluzioni linearmente indipendenti. Se l'equazione caratteristica ha radici multiple, l'insieme delle soluzioni non forma uno spazio poiché queste soluzioni sono linearmente dipendenti. In questo caso, occorre utilizzare la riduzione dell'ordine per trovare una seconda soluzione linearmente indipendente.

   • Lascia che l'equazione caratteristica abbia radici multiple r (\ displaystyle r). Assumiamo che la seconda soluzione possa essere scritta come y (x) = e r x v (x) (\ displaystyle y (x) = e ^ (rx) v (x)), e sostituirlo nell'equazione differenziale. In questo caso, la maggior parte dei termini, ad eccezione del termine con la derivata seconda della funzione v , (\ displaystyle v,) sarà ridotto.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\ displaystyle v"" (x) e^ (rx) = 0)
   • Esempio 2.2. Data la seguente equazione, che ha radici multiple r = - 4. (\ displaystyle r = -4.) Quando si sostituisce, la maggior parte dei termini viene annullata.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) )^(2) y)((\ mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e - 4 x y ′ = v ′ (x) e - 4 x - 4 v (x) e - 4 x y ″ = v ″ (x) e - 4 x - 8 v ′ (x) e - 4 x + 16 v (x) e - 4 x (\ displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(allineato)))
     • v ″ e - 4 x - 8 v ′ e - 4 x + 16 v e - 4 x + 8 v ′ e - 4 x - 32 v e - 4 x + 16 v e - 4 x = 0 (\ displaystyle (\begin (allineato )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x))))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(aligned)))
   • Come il nostro ansatz per un'equazione differenziale a coefficienti costanti, in questo caso solo la derivata seconda può essere uguale a zero. Integriamo due volte e otteniamo l'espressione desiderata per v (\ displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\ displaystyle v (x) = c_(1) + c_(2) x)
   • Quindi la soluzione generale di un'equazione differenziale a coefficienti costanti, se l'equazione caratteristica ha radici multiple, può essere scritta nella forma seguente. Per comodità si può ricordare che per ottenere l'indipendenza lineare è sufficiente moltiplicare semplicemente il secondo termine per x (\ displaystyle x). Questo insieme di soluzioni è linearmente indipendente e quindi abbiamo trovato tutte le soluzioni di questa equazione.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r X (\ displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) )^ (2) y) ((\ mathrm (d) ) x ^ ( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) La riduzione dell'ordine è applicabile se la soluzione è nota y 1 (x) (\ displaystyle y_(1) (x)), che può essere trovato o fornito nella dichiarazione del problema.

   • Stiamo cercando una soluzione nella forma y (x) = v (x) y 1 (x) (\ displaystyle y (x) = v (x) y_(1) (x)) e inseriscilo in questa equazione:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\ displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Perché il y 1 (\ displaystyle y_(1))è una soluzione dell'equazione differenziale, tutti i termini con v (\ displaystyle v) si stanno restringendo. Di conseguenza, rimane equazione lineare del primo ordine. Per vederlo più chiaramente, cambiamo le variabili w (x) = v ′ (x) (\ displaystyle w (x) = v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\ displaystyle y_(1) w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\destra)(\mathrm (d) )x\destra))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\ displaystyle v (x) = \ int w (x) (\ mathrm (d)) x)
   • Se si possono calcolare gli integrali, otteniamo la soluzione generale come combinazione di funzioni elementari. In caso contrario, la soluzione può essere lasciata in forma integrale.

3. Equazione di Cauchy-Eulero. L'equazione di Cauchy-Eulero è un esempio di equazione differenziale del secondo ordine con variabili coefficienti, che ha soluzioni esatte. Questa equazione viene utilizzata in pratica, ad esempio, per risolvere l'equazione di Laplace in coordinate sferiche.

   X 2 d 2 y d x 2 + un x d y d X + b y = 0 (\ displaystyle x^ (2) (\ frac ((\ mathrm (d) )^ (2) y) ((\ mathrm (d) ) x ^ (2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Equazione caratteristica. Come puoi vedere, in questa equazione differenziale, ogni termine contiene un fattore di potenza, il cui grado è uguale all'ordine della derivata corrispondente.

   • Pertanto, si può provare a cercare una soluzione nella forma y (x) = x n , (\ displaystyle y (x) = x ^ (n),) dove definire n (\ displaystyle n), proprio come stavamo cercando una soluzione sotto forma di una funzione esponenziale per un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti. Dopo differenziazione e sostituzione, otteniamo
     • x n (n 2 + (un - 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Per usare l'equazione caratteristica, dobbiamo supporre che x ≠ 0 (\ displaystyle x \ neq 0). Punto x = 0 (\ displaystyle x=0) chiamato punto singolare regolare equazione differenziale. Tali punti sono importanti quando si risolvono equazioni differenziali usando serie di potenze. Questa equazione ha due radici, che possono essere diverse e reali, multiple o coniugate complesse.
     • n ± = 1 - un ± (un - 1) 2 - 4 b 2 (\ displaystyle n_(\ pm )=(\ frac (1-a \ pm (\ sqrt ((a-1) ^ (2) -4b )))(2)))

   Due vere radici diverse. Se le radici n ± (\ displaystyle n_ (\ pm )) sono reali e differenti, allora la soluzione dell'equazione differenziale ha la seguente forma:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n - (\ displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Due radici complesse. Se l'equazione caratteristica ha radici n ± = α ± β io (\ displaystyle n_ (\ pm ) = \ alfa \ pm \ beta io), la soluzione è una funzione complessa.

   • Per trasformare la soluzione in una funzione reale, facciamo un cambio di variabili x = e t , (\ displaystyle x = e ^ (t),) questo è t = ln ⁡ x , (\ displaystyle t = \ ln x,) e usa la formula di Eulero. Azioni simili sono state eseguite in precedenza durante la definizione di costanti arbitrarie.
     • y (t) = e α t (c 1 e β io t + c 2 e - β io t) (\ displaystyle y (t) = e^(\ alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Quindi la soluzione generale può essere scritta come
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 peccato ⁡ (β ln ⁡ x)) (\ displaystyle y (x) = x ^ (\ alpha) (c_(1) \ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Radici multiple. Per ottenere una seconda soluzione linearmente indipendente, è necessario ridurre nuovamente l'ordine.

   • Ci vuole un bel po' di calcolo, ma il principio è lo stesso: sostituiamo y = v (x) y 1 (\ displaystyle y = v (x) y_(1)) in un'equazione la cui prima soluzione è y 1 (\ displaystyle y_(1)). Dopo le riduzioni si ottiene la seguente equazione:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\ displaystyle v""+(\ frac (1) (x)) v"=0)
   • Questa è un'equazione lineare del primo ordine rispetto a v′ (x) . (\ displaystyle v"(x).) La sua soluzione è v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\ displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Pertanto, la soluzione può essere scritta nella forma seguente. È abbastanza facile da ricordare: per ottenere la seconda soluzione linearmente indipendente, hai solo bisogno di un termine aggiuntivo con ln ⁡ x (\ displaystyle \ ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\ displaystyle y (x) = x ^ (n) (c_(1) + c_(2) \ ln x))

4. Equazioni differenziali lineari disomogenee a coefficienti costanti. Le equazioni non omogenee hanno la forma L [ y (x) ] = f (x) , (\ displaystyle L = f (x),) dove f (x) (\ displaystyle f (x))- cosiddetto membro libero. Secondo la teoria delle equazioni differenziali, la soluzione generale di questa equazione è una sovrapposizione decisione privata y p (x) (\ displaystyle y_ (p) (x)) e soluzione aggiuntiva yc (x) . (\ displaystyle y_(c)(x).) Tuttavia, in questo caso, una soluzione particolare non significa una soluzione data dalle condizioni iniziali, ma piuttosto una soluzione che è dovuta alla presenza di disomogeneità (membro libero). Un'ulteriore decisione è la decisione del corrispondente equazione omogenea, in cui f (x) = 0. (\ displaystyle f (x) = 0.) La soluzione generale è una sovrapposizione di queste due soluzioni, poiché L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\ displaystyle L = L + L = f (x)), e da allora L [ y c ] = 0 , (\ displaystyle L = 0,) tale sovrapposizione è infatti una soluzione generale.

   D 2 y d x 2 + un d y d X + b y = f (x) (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) ^ (2) y) ((\ mathrm (d) ) x ^ (2))) + a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Metodo dei coefficienti indefiniti. Il metodo dei coefficienti indefiniti viene utilizzato nei casi in cui il termine libero è una combinazione di funzioni esponenziali, trigonometriche, iperboliche o di potenza. Solo queste funzioni sono garantite per avere un numero finito di derivate linearmente indipendenti. In questa sezione troveremo una soluzione particolare all'equazione.

   • Confronta i termini in f (x) (\ displaystyle f (x)) con termini nell'ignorare i fattori costanti. Sono possibili tre casi.
     • Non ci sono membri identici. In questo caso, una soluzione particolare y p (\ displaystyle y_ (p)) sarà una combinazione lineare di termini da y p (\ displaystyle y_ (p))
     • f (x) (\ displaystyle f (x)) contiene membro x n (\ displaystyle x ^ (n)) e un membro da y c , (\ displaystyle y_ (c),) dove n (\ displaystyle n) è zero o un numero intero positivo e questo termine corrisponde a una singola radice dell'equazione caratteristica. In questo caso y p (\ displaystyle y_ (p)) consisterà in una combinazione della funzione x n + 1 h (x) , (\ displaystyle x^(n+1)h(x),) le sue derivate linearmente indipendenti, così come altri termini f (x) (\ displaystyle f (x)) e le loro derivate linearmente indipendenti.
     • f (x) (\ displaystyle f (x)) contiene membro h (x) , (\ displaystyle h (x),) che è un lavoro x n (\ displaystyle x ^ (n)) e un membro da y c , (\ displaystyle y_ (c),) dove n (\ displaystyle n) è uguale a 0 o un numero intero positivo, e questo termine corrisponde a multiplo radice dell'equazione caratteristica. In questo caso y p (\ displaystyle y_ (p))è una combinazione lineare della funzione x n + s h (x) (\ displaystyle x ^ (n + s) h (x))(dove s (\ displaystyle s)- molteplicità della radice) e le sue derivate linearmente indipendenti, nonché altri membri della funzione f (x) (\ displaystyle f (x)) e le sue derivate linearmente indipendenti.
   • Scriviamo y p (\ displaystyle y_ (p)) come combinazione lineare dei termini di cui sopra. Grazie a questi coefficienti in una combinazione lineare questo metodo detto metodo dei coefficienti indeterminati. Alla comparsa di quelli contenuti in y c (\ displaystyle y_ (c)) i loro membri possono essere scartati a causa della presenza di costanti arbitrarie in e c. (\ displaystyle y_(c).) Dopo di che sostituiamo y p (\ displaystyle y_ (p)) in un'equazione ed equiparare termini simili.
   • Determiniamo i coefficienti. Sul questa fase si scopre il sistema equazioni algebriche, che di solito può essere risolto senza problemi. La soluzione di questo sistema permette di ottenere y p (\ displaystyle y_ (p)) e quindi risolvere l'equazione.
   • Esempio 2.3. Si consideri un'equazione differenziale disomogenea il cui termine libero contiene un numero finito di derivate linearmente indipendenti. Una soluzione particolare di tale equazione può essere trovata con il metodo dei coefficienti indefiniti.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t - cos ⁡ 5 t (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) )^ (2) y) ((\ mathrm (d) ) t^ (2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\ displaystyle y_ (c) (t) = c_ (1) \ cos (\ sqrt (6)) t + c_ (2) \ sin (\sqrt(6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\ displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 UN e 3 t - 25 B cos ⁡ 5 t - 25 C peccato ⁡ 5 t + 6 UN e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C peccato ⁡ 5 t = 2 e 3 t - cos ⁡ 5 t ( \ displaystyle (\begin(allineato)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(allineato)))
     • ( 9 LA + 6 LA = 2 , LA = 2 15 - 25 B + 6 B = - 1 , B = 1 19 - 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\ displaystyle (\begin (casi) 9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ fine(casi)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\ displaystyle y (t) = c_(1) \ cos (\ sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Metodo Lagrange. Il metodo di Lagrange, o metodo di variazione di costanti arbitrarie, è un metodo più generale per risolvere equazioni differenziali disomogenee, specialmente nei casi in cui il termine libero non contiene un numero finito di derivate linearmente indipendenti. Ad esempio, con membri gratuiti tan ⁡ x (\ displaystyle \ tan x) o x - n (\ displaystyle x ^ (-n)) per trovare una soluzione particolare è necessario utilizzare il metodo di Lagrange. Il metodo di Lagrange può essere utilizzato anche per risolvere equazioni differenziali a coefficienti variabili, anche se in questo caso, ad eccezione dell'equazione di Cauchy-Eulero, è usato meno spesso, poiché la soluzione aggiuntiva non è solitamente espressa in termini di funzioni elementari.

   • Supponiamo che la soluzione abbia la seguente forma. La sua derivata è data nella seconda riga.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\ displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Poiché la soluzione proposta contiene Due incognite, è necessario imporre aggiuntivo condizione. Scegliamo questa condizione aggiuntiva nella forma seguente:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\ displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\ displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\ displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Ora possiamo ottenere la seconda equazione. Dopo aver sostituito e ridistribuito i membri, puoi raggruppare i membri con v 1 (\ displaystyle v_(1)) e membri da v 2 (\ displaystyle v_ (2)). Questi termini sono annullati perché y 1 (\ displaystyle y_(1)) e y 2 (\ displaystyle y_(2)) sono soluzioni della corrispondente equazione omogenea. Di conseguenza, otteniamo il seguente sistema di equazioni
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\ displaystyle (\begin(aligned) v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(aligned)))
   • Questo sistema può essere trasformato in un'equazione matriciale della forma A x = b , (\ displaystyle A (\ mathbf (x) ) = (\ mathbf (b) ),) la cui soluzione è x = UN − 1 b . (\ displaystyle (\ mathbf (x) ) = A^ (-1) (\ mathbf (b)).) Per matrice 2 × 2 (\ displaystyle 2 \ volte 2) matrice inversa si trova dividendo per il determinante, permutando gli elementi diagonali e cambiando il segno degli elementi fuori diagonale. In effetti, il determinante di questa matrice è un wronskiano.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ - y 2 - y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\ displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Espressioni per v 1 (\ displaystyle v_(1)) e v 2 (\ displaystyle v_ (2)) sono elencati di seguito. Come nel metodo di riduzione dell'ordine, in questo caso durante l'integrazione appare una costante arbitraria, che include una soluzione aggiuntiva nella soluzione generale dell'equazione differenziale.
     • v 1 (x) = - ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d X (\ displaystyle v_(1) (x)=-\ int (\ frac (1) (W)) f (x) y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d X (\ displaystyle v_(2) (x) = \ int (\ frac (1) (W)) f (x) y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Conferenza del National Open University Intuit dal titolo "Equazioni differenziali lineari dell'n-esimo ordine a coefficienti costanti".

Uso pratico

Le equazioni differenziali stabiliscono una relazione tra una funzione e una o più delle sue derivate. Poiché tali relazioni sono così comuni, le equazioni differenziali hanno trovato ampia applicazione in un'ampia varietà di aree e poiché viviamo in quattro dimensioni, queste equazioni sono spesso equazioni differenziali in privato derivati. Questa sezione discute alcune delle equazioni più importanti di questo tipo.

• Crescita e decadimento esponenziale. decadimento radioattivo. Interesse composto. Velocità reazioni chimiche. La concentrazione di farmaci nel sangue. Crescita demografica illimitata. Legge di Newton-Richmann. A mondo reale ci sono molti sistemi in cui il tasso di crescita o decadimento in qualsiasi momento è proporzionale alla quantità in quel momento, o può essere ben approssimato da un modello. Questo perché la soluzione di questa equazione differenziale, la funzione esponenziale, è una delle funzioni più importanti in matematica e in altre scienze. Più in generale, in condizioni di crescita demografica controllata, il sistema può includere termini aggiuntivi che limitano la crescita. Nell'equazione seguente, la costante k (\ displaystyle k) può essere maggiore o minore di zero.
  • d y d x = k x (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) y) ((\ mathrm (d) ) x)) = kx)
• Vibrazioni armoniche. Sia nella meccanica classica che in quella quantistica, l'oscillatore armonico è uno dei sistemi fisici più importanti per la sua semplicità e uso diffuso per approssimare sistemi più complessi come un pendolo semplice. Nella meccanica classica vibrazioni armoniche sono descritti da un'equazione che mette in relazione la posizione di un punto materiale con la sua accelerazione attraverso la legge di Hooke. In questo caso possono essere presi in considerazione anche lo smorzamento e le forze motrici. Nell'espressione qui sotto x ˙ (\ displaystyle (\ punto (x)))- derivata temporale di x , (\ displaystyle x,) β (\ displaystyle \ beta )è un parametro che descrive la forza di smorzamento, ω 0 (\ displaystyle \ omega _ (0))- frequenza angolare del sistema, F (t) (\ displaystyle F (t))è una forza motrice dipendente dal tempo. Oscillatore armonicoè presente anche nei circuiti oscillatori elettromagnetici, dove può essere implementato con maggiore precisione rispetto ai sistemi meccanici.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Equazione di Bessel. L'equazione differenziale di Bessel è utilizzata in molte aree della fisica, inclusa la soluzione dell'equazione d'onda, l'equazione di Laplace e l'equazione di Schrödinger, soprattutto in presenza di simmetria cilindrica o sferica. Questa equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti variabili non è un'equazione di Cauchy-Eulero, quindi le sue soluzioni non possono essere scritte come funzioni elementari. Le soluzioni dell'equazione di Bessel sono le funzioni di Bessel, che sono ben studiate per il fatto che sono utilizzate in molte aree. Nell'espressione qui sotto α (\ displaystyle \ alfa )è una costante che corrisponde ordine Funzioni di Bessel.
  • x 2 d 2 y d X 2 + X d y d X + (x 2 - α 2) y = 0 (\ displaystyle x ^ (2) (\ frac ((\ mathrm (d) ) ^ (2) y) ((\ mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Le equazioni di Maxwell. Insieme alla forza di Lorentz, le equazioni di Maxwell costituiscono la base dell'elettrodinamica classica. Queste sono quattro equazioni differenziali alle derivate parziali per l'elettrico E (r , t) (\ displaystyle (\ mathbf (E) ) ((\ mathbf (r) ), t)) e magnetico B (r , t) (\ displaystyle (\ mathbf (B) ) ((\ mathbf (r) ), t)) campi. Nelle espressioni sottostanti ρ = ρ (r , t) (\ displaystyle \ rho = \ rho ((\ mathbf (r) ), t))- densità di carica, J = J (r , t) (\ displaystyle (\ mathbf (J) ) = (\ mathbf (J) ) ((\ mathbf (r) ), t))è la densità di corrente, e ϵ 0 (\ displaystyle \ epsilon _ (0)) e μ 0 (\ displaystyle \ mu _ (0)) sono rispettivamente le costanti elettriche e magnetiche.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = - ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\ displaystyle (\begin(allineato)\nabla \cdot (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\parziale (\mathbf (B) ))(\parziale t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
• Equazione di Schrödinger. In meccanica quantistica, l'equazione di Schrödinger è l'equazione di base del moto che descrive il movimento delle particelle in base al cambiamento della funzione d'onda Ψ = Ψ (r , t) (\ displaystyle \ Psi = \ Psi ((\ mathbf (r) ), t)) col tempo. L'equazione del moto è descritta dal comportamento Hamiltoniano H ^ (\ displaystyle (\ cappello (H))) - operatore, che descrive l'energia del sistema. Uno degli esempi ben noti dell'equazione di Schrödinger in fisica è l'equazione per una particella non relativistica, che è soggetta al potenziale V (r , t) (\ displaystyle V ((\ mathbf (r) ), t)). Molti sistemi sono descritti dall'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo, con l'equazione sul lato sinistro E Ψ , (\ displaystyle E \ Psi ,) dove E (\ displaystyle E)è l'energia della particella. Nelle espressioni sottostanti ℏ (\ displaystyle \ hbar )è la costante di Planck ridotta.
  • io ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\ displaystyle i \ hbar (\ frac (\ parziale \ Psi ) (\ parziale t)) = (\ cappello (H)) \ Psi )
  • io ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\ displaystyle i \ hbar (\ frac (\ parziale \ Psi ) (\ parziale t)) = \ sinistra (- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• equazione d'onda.È impossibile immaginare fisica e tecnologia senza onde, sono presenti in tutti i tipi di sistemi. In generale, le onde sono descritte dall'equazione seguente, in cui u = u (r , t) (\ displaystyle u = u ((\ mathbf (r) ), t))è la funzione desiderata, e c (\ displaystyle c)- costante determinata sperimentalmente. d'Alembert è stato il primo a scoprire che per il caso unidimensionale la soluzione dell'equazione d'onda è qualunque funzione con argomento x - c t (\ displaystyle x-ct), che descrive un'onda arbitraria che si propaga a destra. La soluzione generale per il caso unidimensionale è una combinazione lineare di questa funzione con una seconda funzione con un argomento x + c t (\ displaystyle x + ct), che descrive un'onda che si propaga a sinistra. Questa soluzione è presentata nella seconda riga.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\ displaystyle (\ frac (\ parziale ^ (2) u) (\ parziale t ^ (2))) = c ^ (2) \ nabla ^ (2) u )
  • u (x , t) = f (x - c t) + g (x + c t) (\ displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Equazioni di Navier-Stokes. Le equazioni di Navier-Stokes descrivono il movimento dei fluidi. Poiché i fluidi sono presenti praticamente in ogni campo della scienza e della tecnologia, queste equazioni sono estremamente importanti per le previsioni meteorologiche, la progettazione di aeromobili, le correnti oceaniche e molte altre applicazioni. Le equazioni di Navier-Stokes sono equazioni differenziali alle derivate parziali non lineari e nella maggior parte dei casi è molto difficile risolverle, poiché la non linearità porta a turbolenza, e per ottenere una soluzione stabile con metodi numerici, partizionando in piccolissime celle è necessario, che richiede una notevole potenza di calcolo. Per scopi pratici in idrodinamica, metodi come la media temporale vengono utilizzati per modellare i flussi turbolenti. Anche domande più basilari, come l'esistenza e l'unicità di soluzioni per equazioni differenziali alle derivate parziali non lineari, sono problemi complessi e dimostrare l'esistenza e l'unicità di soluzioni per le equazioni di Navier-Stokes in tre dimensioni è tra i problemi matematici del millennio . Di seguito sono riportate l'equazione del flusso del fluido incomprimibile e l'equazione di continuità.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u - ν ∇ 2 u = - ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\ displaystyle (\ frac (\ parziale (\ mathbf (u) ) )(\t parziale))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\parziale \rho )(\parziale t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Molte equazioni differenziali semplicemente non possono essere risolte con i metodi di cui sopra, specialmente quelli menzionati nell'ultima sezione. Ciò si applica quando l'equazione contiene coefficienti variabili e non è un'equazione di Cauchy-Eulero, o quando l'equazione non è lineare, tranne in alcuni casi molto rari. Tuttavia, i metodi di cui sopra consentono di risolvere molte importanti equazioni differenziali che si incontrano spesso in vari campi della scienza.
• A differenza della differenziazione, che consente di trovare la derivata di qualsiasi funzione, l'integrale di molte espressioni non può essere espresso in funzioni elementari. Pertanto, non perdere tempo a cercare di calcolare l'integrale dove è impossibile. Guarda la tabella degli integrali. Se la soluzione di un'equazione differenziale non può essere espressa in termini di funzioni elementari, a volte può essere rappresentata in forma integrale, e in questo caso non importa se questo integrale può essere calcolato analiticamente.

Avvertenze

• Aspetto esteriore l'equazione differenziale può essere fuorviante. Ad esempio, di seguito sono riportate due equazioni differenziali del primo ordine. La prima equazione è facilmente risolvibile utilizzando i metodi descritti in questo articolo. A prima vista, un piccolo cambiamento y (\ displaystyle y) sul y 2 (\ displaystyle y ^ (2)) nella seconda equazione lo rende non lineare e diventa molto difficile da risolvere.
  • d y d x = x 2 + y (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) y) ((\ mathrm (d) ) x)) = x ^ (2) + y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) y) ((\ mathrm (d) ) x)) = x ^ (2) + y ^ (2))