Analisi delle dimensioni delle grandezze fisiche. Analisi dimensionale

Le grandezze fisiche, il cui valore numerico non dipende dalla scala di unità scelta, sono dette adimensionali. Esempi di quantità adimensionali sono l'angolo (il rapporto tra la lunghezza dell'arco e il raggio), l'indice di rifrazione della materia (il rapporto tra la velocità della luce nel vuoto e la velocità della luce nella materia).

Le grandezze fisiche che cambiano il loro valore numerico quando si cambia la scala delle unità sono dette dimensionali. Esempi di quantità dimensionali sono la lunghezza, la forza, ecc. L'espressione di un'unità di una quantità fisica in termini di unità di base è chiamata dimensione (o formula dimensionale). Ad esempio, la dimensione della forza nei sistemi CGS e SI è espressa dalla formula

Considerazioni di dimensione possono essere utilizzate per verificare la correttezza delle risposte ottenute risolvendo problemi fisici: le parti destra e sinistra delle espressioni ottenute, così come i singoli termini in ciascuna delle parti, devono avere la stessa dimensione.

Il metodo delle dimensioni può essere utilizzato anche per derivare formule ed equazioni, quando sappiamo da quali parametri fisici può dipendere il valore desiderato. L'essenza del metodo è più facile da capire con esempi specifici.

Applicazioni del metodo delle dimensioni. Consideriamo un problema per il quale la risposta ci è ben nota: con quale velocità cadrà a terra un corpo, cadendo liberamente senza una velocità iniziale dall'alto, se si può trascurare la resistenza dell'aria? Invece di un calcolo diretto basato sulle leggi del moto, discuteremo come segue.

Pensiamo da cosa può dipendere la velocità desiderata. È ovvio che deve dipendere dall'altezza iniziale e dall'accelerazione di caduta libera Si può presumere, seguendo Aristotele, che dipenda anche dalla massa. Poiché si possono sommare solo valori della stessa dimensione, si può proporre la seguente formula per la velocità desiderata:

dove C è una costante adimensionale (coefficiente numerico) e x, yez lo sono numeri sconosciuti, che dovrebbe essere determinato.

Le dimensioni delle parti destra e sinistra di questa uguaglianza devono essere le stesse, ed è questa condizione che può essere utilizzata per determinare gli esponenti x, y, z nella (2). La dimensione della velocità è la dimensione dell'altezza è la dimensione dell'accelerazione di caduta libera è, infine, la dimensione della massa è uguale a M. Poiché la costante C è adimensionale, la formula (2) corrisponde alla seguente uguaglianza di dimensioni :

Questa uguaglianza deve valere indipendentemente da quali siano i valori numerici. Pertanto, è necessario eguagliare gli esponenti a e M nelle parti sinistra e destra dell'uguaglianza (3):

Da questo sistema di equazioni si ottiene, quindi, la formula (2).

Il vero valore della velocità, come è noto, è uguale a

Pertanto, l'approccio utilizzato ha consentito di determinare correttamente la dipendenza da e non ha consentito di trovare il valore

costante adimensionale C. Sebbene non siamo stati in grado di ottenere una risposta esauriente, tuttavia, si sono ottenute informazioni molto significative. Ad esempio, possiamo affermare con assoluta certezza che se l'altezza iniziale è quadruplicata, la velocità al momento della caduta raddoppierà e che, contrariamente all'opinione di Aristotele, questa velocità non dipende dalla massa del corpo che cade.

Scelta delle opzioni. Quando si utilizza il metodo delle dimensioni, occorre innanzitutto identificare i parametri che determinano il fenomeno in esame. Questo è facile da fare se si conoscono le leggi fisiche che lo descrivono. In un certo numero di casi, i parametri che determinano il fenomeno possono essere specificati anche quando le leggi fisiche sono sconosciute. Di norma, per utilizzare il metodo di analisi dimensionale è necessario conoscere meno che per scrivere equazioni del moto.

Se il numero di parametri che determinano il fenomeno in studio è maggiore del numero di unità di base su cui è costruito il sistema di unità scelto, allora, ovviamente, non è possibile determinare tutti gli esponenti nella formula proposta per il valore desiderato. In questo caso è utile innanzitutto determinare tutte le combinazioni adimensionali indipendenti dei parametri scelti. Quindi la quantità fisica desiderata sarà determinata non da una formula come (2), ma dal prodotto di alcune (più semplici) combinazioni di parametri che hanno la dimensione desiderata (cioè la dimensione della quantità desiderata) da qualche funzione della parametri adimensionali trovati.

È facile vedere che nell'esempio sopra di un corpo che cade da un'altezza, è impossibile formare una combinazione adimensionale dalle quantità e dalla combinazione adimensionale. Pertanto, la formula (2) esaurisce tutti i casi possibili.

Parametro adimensionale. Consideriamo ora il seguente problema: determiniamo la portata del volo orizzontale di un proiettile sparato in direzione orizzontale con velocità iniziale da un cannone posto su una montagna di altezza

In assenza di resistenza dell'aria, il numero di parametri da cui può dipendere l'intervallo desiderato è pari a quattro: e m Poiché il numero di unità di base è uguale a tre, è impossibile una soluzione completa del problema con il metodo delle dimensioni . Troviamo prima tutti i parametri adimensionali indipendenti y che possono essere composti da e

Questa espressione corrisponde alla seguente uguaglianza di dimensioni:

Da qui otteniamo il sistema di equazioni

che dà e per il parametro adimensionale desiderato otteniamo

Si può vedere che l'unico parametro adimensionale indipendente nel problema in esame è .

dove è la funzione ancora sconosciuta del parametro adimensionale Il metodo delle dimensioni (nella versione presentata) non consente di determinare questa funzione. Ma se sappiamo da qualche parte, per esempio, per esperienza, che la portata desiderata è proporzionale alla velocità orizzontale del proiettile, allora viene immediatamente determinata la forma della funzione: la velocità deve entrare in essa alla prima potenza, cioè.

Ora da (5) per la portata del proiettile che otteniamo

che corrisponde alla risposta corretta

Sottolineiamo che con questo metodo di determinazione del tipo di funzione, ci basta conoscere la natura della dipendenza sperimentalmente stabilita dell'autonomia di volo non da tutti i parametri, ma solo da uno di essi.

Unità vettoriali di lunghezza. Ma è possibile determinare l'intervallo (7) solo da considerazioni dimensionali, se aumentiamo a quattro il numero di unità di base in base alle quali sono espressi i parametri, ecc. Finora, nella scrittura di formule dimensionali, non si faceva distinzione tra unità di lunghezza nelle direzioni orizzontale e verticale. Tuttavia, una tale distinzione può essere introdotta in base al fatto che la gravità agisce solo verticalmente.

Indichiamo la dimensione della lunghezza in direzione orizzontale attraverso e in direzione verticale - attraverso Quindi la dimensione del raggio di volo in direzione orizzontale sarà la dimensione dell'altezza sarà la dimensione della velocità orizzontale sarà e per l'accelerazione

caduta libera otteniamo Ora, osservando la formula (5), vediamo che l'unico modo per ottenere la giusta dimensione sul lato destro è considerarla proporzionale.Torniamo nuovamente alla formula (7).

Naturalmente, avendo quattro unità di base e M, si può costruire direttamente il valore della dimensione richiesta da quattro parametri e

L'uguaglianza delle dimensioni della sinistra e parti giuste ha la forma

Il sistema di equazioni per x, y, z e e fornisce i valori e arriviamo di nuovo alla formula (7).

Le diverse unità di lunghezza qui utilizzate in direzioni reciprocamente perpendicolari sono talvolta denominate unità vettoriali di lunghezza. La loro applicazione amplia notevolmente le possibilità del metodo di analisi dimensionale.

Quando si utilizza il metodo di analisi dimensionale, è utile sviluppare abilità a tal punto da non creare un sistema di equazioni per gli esponenti nella formula desiderata, ma selezionarli direttamente. Illustriamo questo nel prossimo problema.

Un compito

Portata massima. A quale angolo rispetto all'orizzontale dovrebbe essere lanciato un sasso per massimizzare il raggio di volo orizzontale?

Soluzione. Assumiamo di aver "dimenticato" tutte le formule cinematiche e cerchiamo di ottenere una risposta da considerazioni dimensionali. A prima vista, può sembrare che il metodo delle dimensioni non sia affatto applicabile qui, poiché nella risposta deve entrare una qualche funzione trigonometrica dell'angolo di lancio. Pertanto, al posto dell'angolo a stesso, cercheremo di cercare un'espressione per l'intervallo: è chiaro che non possiamo fare a meno delle unità vettoriali di lunghezza.

Va sottolineato che l'obiettivo finale nel caso in esame rimane lo stesso: trovare numeri di somiglianza per i quali dovrebbe essere eseguita la modellazione, ma si risolve con una quantità di informazioni significativamente inferiore sulla natura del processo.

Per chiarire quanto segue, esamineremo brevemente alcuni dei concetti fondamentali. Una presentazione dettagliata può essere trovata nel libro di AN Lebedev "Modeling in scientific and technical research". - M.: Radio e comunicazioni. 1989. -224 pag.

Qualsiasi oggetto materiale ha una serie di proprietà che consentono l'espressione quantitativa. Inoltre, ciascuna delle proprietà è caratterizzata dalla dimensione di una certa quantità fisica. Le unità di alcune grandezze fisiche possono essere scelte arbitrariamente, e con il loro aiuto rappresentare le unità di tutte le altre. Vengono chiamate unità fisiche scelte arbitrariamente principale. Nel sistema internazionale (applicato alla meccanica), questo è il chilogrammo, il metro e il secondo. Vengono chiamate le restanti quantità espresse in termini di queste tre derivati.

L'unità base può essere contraddistinta sia dal simbolo della quantità corrispondente sia da un simbolo speciale. Ad esempio, le unità di lunghezza sono l, unità di massa - M, unità di tempo - T. Oppure, l'unità di lunghezza è il metro (m), l'unità di massa è il chilogrammo (kg), l'unità di tempo è il secondo (s).

La dimensione è intesa come un'espressione simbolica (a volte chiamata formula) sotto forma di un monomio di potere, che collega il valore derivato con quelli principali. La forma generale di questa regolarità ha la forma

dove X, y, z- Indicatori dimensionali.

Ad esempio, la dimensione della velocità

Per una quantità adimensionale, tutti gli indicatori , e quindi .

Le prossime due affermazioni sono abbastanza chiare e non necessitano di prove particolari.

Il rapporto tra le dimensioni di due oggetti è un valore costante, indipendentemente dalle unità in cui sono espressi. Quindi, ad esempio, se il rapporto tra l'area occupata dalle finestre e l'area dei muri è 0,2, allora questo risultato rimarrà invariato se le aree stesse sono espresse in mm2, m2 o km2.

La seconda posizione può essere formulata come segue. Ogni corretto rapporto fisico deve essere dimensionalmente uniforme. Ciò significa che tutti i termini inclusi sia nella parte destra che in quella sinistra devono avere la stessa dimensione. Questa semplice regola è chiaramente implementata nella vita di tutti i giorni. Tutti si rendono conto che i metri possono essere aggiunti solo ai metri e non ai chilogrammi o ai secondi. Deve essere chiaro che la regola rimane valida anche quando si considerano le equazioni più complesse.

Il metodo di analisi dimensionale si basa sul cosiddetto -teorema (leggi: pi-teorema). -teorema stabilisce una connessione tra una funzione espressa in termini di parametri dimensionali e una funzione in forma adimensionale. Il teorema può essere formulato in modo più completo come segue:

Qualsiasi relazione funzionale tra quantità dimensionali può essere rappresentata come una relazione tra N complessi adimensionali (numeri) composti da queste quantità. Il numero di questi complessi , dove n- numero di unità di base. Come notato sopra, in idromeccanica (kg, m, s).

Prendiamo, ad esempio, il valore MAè una funzione di cinque quantità dimensionali (), cioè

(13.12)

Segue dal teorema -che questa dipendenza può essere trasformata in una dipendenza contenente due numeri ( )

(13.13)

dove e sono complessi adimensionali composti da quantità dimensionali.

Questo teorema è talvolta attribuito a Buckingham ed è chiamato teorema di Buckingham. In effetti, molti eminenti scienziati hanno contribuito al suo sviluppo, tra cui Fourier, Ryabushinsky e Rayleigh.

La dimostrazione del teorema esula dallo scopo del corso. Se necessario, può essere trovato nel libro di L.I. Sedov "Metodi di somiglianza e dimensioni nella meccanica" - M .: Nauka, 1972. - 440 p. Una giustificazione dettagliata del metodo è fornita anche nel libro di V.A. Venikov e G.V. Venikov "Theory of similarity and modeling" - M.: Higher school, 1984. -439 p. Una caratteristica di questo libro è che, oltre alle questioni relative alla somiglianza, include informazioni sulla metodologia per impostare un esperimento e elaborarne i risultati.

L'uso dell'analisi dimensionale per la risoluzione di specifici problemi pratici è associato alla necessità di compilare una dipendenza funzionale della forma (13.12), che nella fase successiva viene elaborata con tecniche speciali che portano infine all'ottenimento di numeri (numeri di somiglianza).

La fase creativa principale è la prima fase, poiché i risultati ottenuti dipendono da quanto sia corretta e completa la comprensione da parte del ricercatore della natura fisica del processo. In altre parole, come la dipendenza funzionale (13.12) tenga correttamente e pienamente conto di tutti i parametri che influenzano il processo in esame. Qualsiasi errore qui porta inevitabilmente a conclusioni errate. Il cosiddetto "errore di Rayleigh" è noto nella storia della scienza. La sua essenza è che nello studio del problema del trasferimento di calore nel flusso turbolento, Rayleigh non ha tenuto conto dell'influenza della viscosità del flusso, ad es. non lo includeva nella dipendenza (13.12). Di conseguenza, i rapporti finali da lui ottenuti non includevano il numero di somiglianza di Reynolds, che svolge un ruolo estremamente importante nel trasferimento di calore.

Per comprendere l'essenza del metodo, considera un esempio, illustrando sia l'approccio generale al problema che il metodo per ottenere numeri di similarità.

È necessario stabilire il tipo di dipendenza che consente di determinare la perdita di carico o la perdita di carico nel flusso turbolento in tubi tondi.

Ricordiamo che questo problema è già stato considerato nella Sezione 12.6. Pertanto, è di indubbio interesse stabilire come può essere risolto utilizzando l'analisi dimensionale e se questa soluzione fornisce nuove informazioni.

È evidente che la caduta di pressione lungo il tubo, dovuta all'energia spesa per vincere le forze di attrito viscoso, è inversamente proporzionale alla sua lunghezza, pertanto, per ridurre il numero di variabili, è opportuno considerare non , ma , cioè. perdita di carico per unità di lunghezza del tubo. Ricordiamo che il rapporto , dove è la perdita di carico, è chiamato pendenza idraulica.

Dal concetto di natura fisica del processo si può presumere che le perdite risultanti debbano dipendere da: la portata media del mezzo di lavoro (v); sulla dimensione della condotta, determinata dal suo diametro ( d); da Proprietà fisiche mezzo trasportato, caratterizzato dalla sua densità () e viscosità (); e, infine, è ragionevole presumere che le perdite debbano essere in qualche modo legate allo stato della superficie interna del tubo, cioè con ruvidità ( K) delle sue mura. Pertanto, la dipendenza (13.12) nel caso in esame ha la forma

(13.14)

Questa è la fine del primo e, va sottolineato, il passo più importante nell'analisi delle dimensioni.

In accordo con il teorema, il numero di parametri influenzanti inclusi nella dipendenza è . Di conseguenza, il numero di complessi adimensionali, cioè dopo opportuna elaborazione (13.14) dovrebbe assumere il modulo

(13.15)

Esistono diversi modi per trovare i numeri. Useremo il metodo proposto da Rayleigh.

Il suo principale vantaggio è che si tratta di una sorta di algoritmo che porta alla soluzione del problema.

Tra i parametri inclusi in (13.15) è necessario sceglierne tre qualsiasi, ma in modo che includano le unità di base, ovvero metro, chilogrammo e secondo. Lascia che siano v, d, . È facile verificare che soddisfino il requisito dichiarato.

I numeri sono formati sotto forma di monomi di potenza dai parametri selezionati moltiplicati per uno dei restanti in (13.14)

; (13.16)

; (13.17)

; (13.18)

Ora il problema si riduce a trovare tutti gli esponenti. Allo stesso tempo, devono essere selezionati in modo che i numeri siano adimensionali.

Per risolvere questo problema, determiniamo prima le dimensioni di tutti i parametri:

; ;

Viscosità , cioè. .

Parametro , e .

E infine, .

Pertanto, le dimensioni dei numeri saranno

Allo stesso modo, gli altri due

Già all'inizio del Paragrafo 13.3 si è notato che per ogni grandezza adimensionale gli esponenti dimensionali . Pertanto, ad esempio, per un numero possiamo scrivere

Uguagliando gli esponenti, otteniamo tre equazioni con tre incognite

dove troviamo; ; .

Sostituendo questi valori nella (13.6), otteniamo

(13.19)

Procedendo allo stesso modo, è facile dimostrarlo

e .

Quindi, la dipendenza (13.15) assume la forma

(13.20)

Poiché esiste un numero di somiglianza non determinante (numero di Eulero), la (13.20) può essere scritta come una dipendenza funzionale

(13.21)

Va tenuto presente che l'analisi delle dimensioni non fornisce e in linea di principio non può fornire alcun valore numerico nei rapporti ottenuti con il suo aiuto. Pertanto, dovrebbe concludersi con un'analisi dei risultati e, se necessario, la loro correzione sulla base di concetti fisici generali. Consideriamo l'espressione (13.21) da queste posizioni. Il suo lato destro include il quadrato della velocità, ma questa voce non esprime altro che il fatto che la velocità è al quadrato. Tuttavia, se dividiamo questo valore per due, cioè , quindi, come è noto dall'idromeccanica, acquisisce un importante significato fisico: lo specifico energia cinetica, a - pressione dinamica dovuta alla velocità media. Tenuto conto di ciò, è opportuno scrivere (13.21) nel modulo

(13.22)

Se ora, come in (12.26), indichiamo con la lettera , allora arriviamo alla formula di Darcy

(13.23)

(13.24)

dove è il coefficiente di attrito idraulico, che, come segue dalla (13.22), è una funzione del numero di Reynolds e della rugosità relativa ( k/g). La forma di questa dipendenza può essere trovata solo sperimentalmente.

LETTERATURA

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1. APPARECCHIO MATEMATICO UTILIZZATO NELLA MECCANICA DEI FLUIDI ............................. ................................................................... ................... ..... 3

1.1. Vettori e operazioni su di essi ............................................... ..................... quattro

1.2. Operazioni del primo ordine (caratteristiche differenziali del campo). .................................................. ................................................ .. ... 5

1.3. Operazioni di secondo ordine ................................................. .................. ......... 6

1.4. Relazioni integrali della teoria dei campi ................................................. .. 7

1.4.1. Flusso del campo vettoriale ............................................... ............... ... 7

1.4.2. Circolazione del vettore di campo ................................................ .. 7

1.4.3. Formula Stokes ................................................ .. ............. 7

1.4.4. Formula di Gauss-Ostrogradsky ............................. 7

2. PROPRIETÀ FISICHE FONDAMENTALI E PARAMETRI DEL LIQUIDO. FORZE E SOLLECITAZIONI ................................................ .............................................. otto

2.1. Densità................................................. ................................... otto

2.2. Viscosità................................................. ...................................... 9

2.3. Classificazione delle forze ............................................... .................... 12

2.3.1. Forze di massa ................................................ .................................. 12

2.3.2. Forze di superficie ................................................ .................. .... 12

2.3.3. Tensore di sollecitazione ................................................ .............................. 13

2.3.4. Equazione del moto nelle sollecitazioni .................................. 16

3. IDROSTATICA .................................................. .................................. diciotto

3.1. Equazione di equilibrio dei fluidi ................................................ 18

3.2. Equazione di base dell'idrostatica in forma differenziale. .................................................. ................................................ .. ... 19

3.3. Superfici equipotenziali e superfici di uguale pressione. .................................................. ................................................ .. ... venti

3.4. Equilibrio di un fluido omogeneo incomprimibile nel campo di gravità. La legge di Pasquale. Legge idrostatica della distribuzione della pressione... 20

3.5. Determinazione della forza della pressione del liquido sulla superficie dei corpi .... 22

3.5.1. Superficie piana................................................ .... 24

4. CINEMATICA .................................................. ...................................... 26

4.1. Moto stazionario e instabile di un fluido ...... 26

4.2. Equazione di continuità (continuità) ............................................. .. 27

4.3. Streamline e traiettorie ................................................ ................................ 29

4.4. Tubo del flusso (superficie del flusso) ................................................ ...... ... 29

4.5. Modello a getto d'acqua ............................................... ................................ 29

4.6. Equazione di continuità per un rivolo ................................................. .. 30

4.7. Accelerazione di una particella liquida ................................................ .................. 31

4.8. Analisi del movimento di una particella liquida ................................................ .... 32

4.8.1. Deformazioni angolari ................................................... .................. ... 32

4.8.2. Deformazioni lineari ................................................ .................. .36

5. MOTO A VORTICE DI UN LIQUIDO ................................................ ................... .38

5.1. Cinematica del moto vorticoso ................................................ 38

5.2. Intensità del vortice ................................................ ................................ 39

5.3. Velocità di circolazione ................................................ .................. ............... 41

5.4. Teorema di Stokes ................................................. .................................... 42

6. POTENZIALE MOVIMENTO DEL LIQUIDO ................................................ 44

6.1. Potenziale di velocità ................................................ ................ .................. 44

6.2. Equazione di Laplace ................................................ .. ................... 46

6.3. Circolazione di velocità in un campo potenziale .................................. 47

6.4. Funzione corrente di flusso piano ................................................ .................... .47

6.5. Significato idromeccanico della funzione corrente ............................. 49

6.6. Relazione tra il potenziale di velocità e la funzione di corrente ............................. 49

6.7. Metodi per il calcolo dei flussi potenziali ................................................ 50

6.8. Sovrapposizione di flussi potenziali ................................................ ...... 54

6.9. Flusso non circolante attraverso un cilindro circolare .................. 58

6.10. Applicazione della teoria delle funzioni di una variabile complessa allo studio dei flussi piani di un fluido ideale ..... 60

6.11. Mappature conformi ................................................ .................. ..... 62

7. IDRODINAMICA DI UN LIQUIDO IDEALE ............................. 65

7.1. Equazioni del moto per un fluido ideale.................................. 65

7.2. Trasformazione Gromeka-Lamb ................................................ 66

7.3. Equazione del moto nella forma di Gromeka-Lamb ............................. 67

7.4. Integrazione dell'equazione del moto per un flusso stazionario ................................................ ............................................................. ................................ ........... 68

7.5. Derivazione semplificata dell'equazione di Bernoulli................................ 69

7.6. Significato energetico dell'equazione di Bernoulli ............................. 70

7.7. L'equazione di Bernoulli sotto forma di teste ................................................ .... 71

8. IDRODINAMICA DI UN LIQUIDO VISCOSO ................................................ ... 72

8.1. Modello di fluido viscoso ............................................... .................................. 72

8.1.1. Ipotesi di linearità ................................................ .................. ... 72

8.1.2. Ipotesi di omogeneità ................................................ .................. 74

8.1.3. Ipotesi di isotropia ............................................... ............... .74

8.2 Equazione del moto di un fluido viscoso. (equazione di Navier-Stokes) ............................................... ................................................... .. ........... 74

9. FLUSSI MONDIMENSIONALI DI LIQUIDO INCOMPRESSIBILE (fondamenti di idraulica) ................................... ................................................................... ................................... 77

9.1. Portata e velocità media ............................................. ................. 77

9.2. Flussi debolmente deformati e loro proprietà.................. 78

9.3. Equazione di Bernoulli per il flusso di un fluido viscoso ............................. 79

9.4. Il significato fisico del coefficiente di Coriolis ............................. 82

10. CLASSIFICAZIONE DEI FLUSSI DI LIQUIDI. STABILITÀ DEL MOVIMENTO ................................................ .................................................. ........... 84

11. REGOLARITÀ DEL FLUSSO LAMINARE NEI TUBI TONDI ............................................. ...................................................................... ...................................... 86

12. PRINCIPALI REGOLARITÀ DEL MOTO TURBULENTE. .................................................. ................................................ .. ............... 90

12.1. Informazioni generali................................................ ................................... 90

12.2. Equazioni di Reynolds ................................................ ................... 92

12.3. Teorie semi-empiriche della turbolenza ................................................ ... 93

12.4. Flusso turbolento nei tubi ................................................ 95

12.5. Leggi di potenza della distribuzione della velocità .................. 100

12.6. Perdita di pressione (pressione) durante il flusso turbolento nei tubi. .................................................. ................................................ .. ... 100

13. FONDAMENTI DI TEORIA DELLA SIMILARITÀ E MODELLAZIONE .................. 102

13.1. Analisi di ispezione di equazioni differenziali..... 106

13.2. Il concetto di auto-somiglianza ................................................ ................... .110

13.3. Analisi dimensionale ................................................ .................................. 111

Letteratura ………………………………………………………………………..118

CON RAGIONI CREDIBILI "DA FINE ALL'INIZIO" NELLA VALUTAZIONE DEI FATTORI DI PROCESSO TECNOLOGICO

Informazioni generali sul metodo di analisi dimensionale

Quando si studia fenomeni meccanici vengono introdotti alcuni concetti, ad esempio energia, velocità, tensione, ecc., che caratterizzano il fenomeno in esame e possono essere dati e determinati utilizzando un numero. Tutte le domande sul movimento e sull'equilibrio sono formulate come problemi di determinazione di determinate funzioni e valori numerici per le quantità che caratterizzano il fenomeno, e quando si risolvono tali problemi in studi puramente teorici, le leggi della natura e le varie relazioni geometriche (spaziali) sono presentate in la forma di equazioni funzionali - di solito differenziali.

Molto spesso non abbiamo l'opportunità di formulare il problema in forma matematica, poiché il fenomeno meccanico studiato è così complesso che non esiste ancora uno schema accettabile per esso e non ci sono ancora equazioni del moto. Incontriamo una situazione del genere quando risolviamo problemi nel campo della meccanica aeronautica, dell'idromeccanica, nei problemi di studio della forza e delle deformazioni e così via. In questi casi, il ruolo principale è svolto dai metodi di ricerca sperimentale, che consentono di stabilire i dati sperimentali più semplici, che successivamente costituiscono la base di teorie coerenti con un rigoroso apparato matematico. Tuttavia, gli esperimenti stessi possono essere effettuati solo sulla base di un'analisi teorica preliminare. La contraddizione viene risolta durante il processo iterativo di ricerca, avanzando ipotesi e ipotesi e testandole sperimentalmente. Allo stesso tempo, si basano sulla presenza della somiglianza dei fenomeni naturali, come legge generale. La teoria della somiglianza e delle dimensioni è in una certa misura la "grammatica" dell'esperimento.

Dimensione delle quantità

Unità di misura di varie grandezze fisiche, combinate in base alla loro consistenza, formano un sistema di unità. Attualmente viene utilizzato il Sistema internazionale di unità (SI). Nel SI, indipendentemente l'una dall'altra, si scelgono le unità di misura delle cosiddette grandezze primarie: massa (chilogrammo, kg), lunghezza (metro, m), tempo (secondi, sec, s), intensità di corrente (ampere , a), temperatura (gradi Kelvin, K) e forza della luce (candela, sv). Si chiamano unità di base. Le unità di misura delle grandezze residue, secondarie, sono espresse in termini di quelle principali. La formula che indica la dipendenza dell'unità di misura di una grandezza secondaria dalle unità di misura principali è chiamata dimensione di tale grandezza.

La dimensione di una quantità secondaria si trova usando l'equazione di definizione, che serve come definizione di questa quantità in forma matematica. Ad esempio, l'equazione che definisce la velocità è

Indicheremo quindi la dimensione di una quantità utilizzando il simbolo di tale quantità tra parentesi quadre

, o
,

dove [L], [T] sono rispettivamente le dimensioni della lunghezza e del tempo.

L'equazione che definisce la forza può essere considerata la seconda legge di Newton

Allora la dimensione della forza avrà la forma seguente

[F]=[M][L][T] .

L'equazione di definizione e la formula per la dimensione del lavoro, rispettivamente, avranno la forma

A=F e [A]=[M][L] [T] .

Nel caso generale, avremo la relazione

[Q] =[M] [L] [T] (1).

Prestiamo attenzione alla registrazione del rapporto di dimensioni, ci sarà comunque utile.

Teoremi di somiglianza

La formazione della teoria della somiglianza nell'aspetto storico è caratterizzata dai suoi tre teoremi principali.

Primo teorema di somiglianza formula le condizioni e le proprietà necessarie di tali sistemi, sostenendo che tali fenomeni hanno gli stessi criteri di somiglianza nella forma di espressioni adimensionali, che sono una misura del rapporto tra l'intensità di due effetti fisici che sono essenziali per il processo in studio.

Secondo teorema di somiglianza(Teorema P) dimostra la possibilità di ridurre l'equazione a una forma di criterio senza determinare la sufficienza delle condizioni per l'esistenza della somiglianza.

Terzo teorema di somiglianza indica i limiti della distribuzione regolare di una singola esperienza, perché fenomeni simili saranno quelli che avranno condizioni simili di unicità e gli stessi criteri di definizione.

Pertanto, l'essenza metodologica della teoria delle dimensioni risiede nel fatto che qualsiasi sistema di equazioni che contenga una registrazione matematica delle leggi che governano il fenomeno può essere formulato come una relazione tra quantità adimensionali. I criteri di determinazione sono composti da grandezze mutuamente indipendenti che sono incluse nelle condizioni di unicità: relazioni geometriche, parametri fisici, condizioni al contorno (iniziali e al contorno). Il sistema di definizione dei parametri deve avere le proprietà di completezza. Alcuni dei parametri che definiscono possono essere costanti dimensionali fisiche, le chiameremo variabili fondamentali, in contrasto con altri - variabili controllate. Un esempio è l'accelerazione di gravità. Lei è una variabile fondamentale. In condizioni terrestri costante ed è una variabile in condizioni spaziali.

Per la corretta applicazione dell'analisi dimensionale, il ricercatore deve conoscere la natura e il numero delle variabili fondamentali e controllate nel suo esperimento.

In questo caso, c'è una conclusione pratica dalla teoria dell'analisi dimensionale e sta nel fatto che se lo sperimentatore conosce davvero tutte le variabili del processo in studio, e non c'è ancora alcuna registrazione matematica della legge sotto forma di un'equazione, poi ha il diritto di trasformarle applicando la prima parte I teoremi di Buckingham: "Se un'equazione non è ambigua rispetto alle dimensioni, può essere convertita in una relazione contenente un insieme di combinazioni adimensionali di quantità."

Omogenea rispetto alle dimensioni è un'equazione la cui forma non dipende dalla scelta delle unità di base.

PS. I modelli empirici sono generalmente approssimativi. Queste sono descrizioni sotto forma di equazioni disomogenee. Nella loro progettazione, hanno coefficienti dimensionali che "funzionano" solo in un determinato sistema di unità di misura. Successivamente, con l'accumulazione dei dati, si arriva ad una descrizione sotto forma di equazioni omogenee, cioè indipendenti dal sistema di unità di misura.

Combinazioni adimensionali, in questione, sono prodotti o rapporti di quantità, elaborati in modo tale che in ogni combinazione di dimensioni si riducano. In questo caso si formano i prodotti di più grandezze dimensionali di diversa natura fisica complessi, il rapporto di quantità bidimensionali della stessa natura fisica - semplici.

Invece di variare ciascuna delle variabili a turno,e modificarne alcuni può causaredifficoltà, il ricercatore può solo variarecombinazioni. Questa circostanza semplifica notevolmente l'esperimento e consente di presentare in forma grafica e analizzare i dati ottenuti molto più velocemente e con maggiore precisione.

Utilizzando il metodo dell'analisi dimensionale, organizzando ragionamenti plausibili "dalla fine all'inizio".

Avendo preso dimestichezza con il Informazione Generale, occorre prestare particolare attenzione ai seguenti punti.

L'uso più efficiente dell'analisi dimensionale è in presenza di una combinazione adimensionale. In questo caso è sufficiente determinare sperimentalmente solo il coefficiente di corrispondenza (è sufficiente impostare un esperimento per compilare e risolvere un'equazione). Il compito diventa più complicato con un aumento del numero di combinazioni adimensionali. Il rispetto del requisito di una descrizione completa del sistema fisico, di regola, è possibile (o forse lo pensano) con un aumento del numero di variabili prese in considerazione. Ma allo stesso tempo, aumenta la probabilità di complicazione della forma della funzione e, soprattutto, la quantità di lavoro sperimentale aumenta notevolmente. L'introduzione di unità di base aggiuntive in qualche modo allevia il problema, ma non sempre e non completamente. Il fatto che la teoria dell'analisi dimensionale si sviluppi nel tempo è molto incoraggiante e orienta alla ricerca di nuove possibilità.

Ebbene, cosa accadrebbe se, nel cercare e formare un insieme di fattori di cui tenere conto, cioè, di fatto, ricreando la struttura del sistema fisico in studio, usiamo l'organizzazione del ragionamento plausibile "dall'inizio all'inizio" secondo Pappo?

Al fine di comprendere la proposta di cui sopra e consolidare le basi del metodo di analisi dimensionale, si propone di analizzare un esempio per stabilire la relazione di fattori che determinano l'efficienza della rottura esplosiva durante l'estrazione sotterranea di giacimenti minerari.

Tenendo conto dei principi dell'approccio sistemico, possiamo giustamente giudicare che due oggetti sistemici interagenti formano un nuovo sistema dinamico. Nelle attività di produzione, questi oggetti sono oggetto di trasformazione e strumento soggetto di trasformazione.

Quando si rompe il minerale sulla base della distruzione esplosiva, possiamo considerare il massiccio del minerale e il sistema di cariche esplosive (pozzi) come tali.

Utilizzando i principi dell'analisi dimensionale con l'organizzazione del ragionamento plausibile "dall'inizio all'inizio", si ottiene il seguente ragionamento e un sistema di interrelazioni tra i parametri del complesso esplosivo e le caratteristiche dell'array.

d m = f 1 (W, I 0 ,t vice , S)	d m = k 1 W(St vice ¤ io 0 W) n (1)
io 0 = f 2 (IO c ,V boero ,K e )	io 0 = k 2 io c V boero K e (2)
io c = f 3 (t vice ,Q ,A)	io Insieme a = k 3 t aria 2/3 Q 2/3 UN 1/3 (3)
t aria = f 4 (r zab ,P Massimo l bene )	t aria = k 4 r zab 1/2 P Massimo –1/2 l bene (4)
P Massimo = f 5 (r zar D)	P Massimo = K 5 r zar D 2 (5)

Le designazioni e le formule per le dimensioni delle variabili utilizzate sono riportate nella tabella.

VARIABILI	Designazione	dimensioni
Diametro massimo di frantumazione	d m	[ l]
Linea di minor resistenza		[ l]
Resistenza alla compressione delle rocce
Periodo (intervallo) di decelerazione della sabbiatura	t vice	[ T]
Impulso di esplosione per 1 m 3 dell'array	io 0
Consumo specifico di perforazione, m/m 3	V boero	[ l -2 ]
Il tasso di utilizzo dei pozzi in carica	Per è
Impulso di esplosione per 1 m di pozzo	io c
Energia di esplosione per 1 m di carica
Durezza acustica del mezzo (A=gC)
Il tempo di impatto dell'esplosione nel pozzo	t aria	[ T]
densità di derivazione	r zab	[ l -3 M]
Ben lunghezza	l bene	[ l]
Massima pressione iniziale del pozzo		[ l -1 MT -2 ]
Densità di carica nel pozzo	r zar	[ l -3 M]
Velocità di detonazione esplosiva		[ L T -1 ]

Passando dalla formula (5) alla formula (1), rivelando le relazioni stabilite, e tenendo presente anche la relazione precedentemente stabilita tra il diametro della media e il diametro del pezzo massimo in termini di cedimento

d mer = K 6 d m 2/3 , (6)

otteniamo l'equazione generale per la relazione dei fattori che determinano la qualità della frantumazione:

d mer = kW 2/3 [ S t vice / r zab 1/3 D -2/3 l bene 2/3 M zar 2|3 u secoli 2/3 MA 1/3 V boero Per è w] n (7)

Trasformiamo l'ultima espressione per creare complessi adimensionali, tenendo presente:

Q= M zar u secoli ; q secoli =M zar V boero Per è ; M zab =0.25 p r zab d bene 2 ;

dove M zar è la massa della carica esplosiva in 1 m della lunghezza del pozzo, kg/m;

M zab – massa del diraspatura in 1 m di diraspatura, kg/m;

u secoli – potere calorifico degli esplosivi, kcal/kg.

Al numeratore e denominatore usiamo [M zar 1/3 u secoli 1/3 (0.25 pd bene 2 ) 1/3 ] . Arriveremo finalmente

Tutti i complessi e i semplici hanno un significato fisico. Secondo dati sperimentali e dati pratici, l'esponente di potenza n=1/3, e coefficiente Kè determinato in base alla scala di semplificazione dell'espressione (8).

Sebbene il successo dell'analisi dimensionale dipenda da una corretta comprensione del significato fisico di un particolare problema, dopo la scelta delle variabili e delle dimensioni di base, questo metodo può essere applicato in modo completamente automatico. Pertanto, questo metodo può essere facilmente enunciato in forma di prescrizione, tenendo presente, tuttavia, che tale "ricetta" richiede al ricercatore di selezionare correttamente i componenti costitutivi. L'unica cosa che possiamo fare qui è dare qualche consiglio generale.

Fase 1. Selezionare variabili indipendenti che influiscono sul sistema. Anche i coefficienti dimensionali e le costanti fisiche dovrebbero essere considerati se svolgono un ruolo importante. Questo è il più responsabilenessuna fase dell'intero lavoro.

Fase 2. Scegli un sistema di dimensioni di base attraverso il quale puoi esprimere le unità di tutte le variabili selezionate. Sono comunemente usati i seguenti sistemi: in meccanica e fluidodinamica Mlq(a volte FLq), in termodinamica MlqT o MlqTH; in ingegneria elettrica e fisica nucleare MlqPer o Mlmq., in questo caso la temperatura può essere considerata sia come una grandezza di base, sia espressa in termini di energia cinetica molecolare.

Fase 3. Annotare le dimensioni delle variabili indipendenti selezionate e creare combinazioni adimensionali. La soluzione sarà corretta se: 1) ogni combinazione è adimensionale; 2) il numero di combinazioni non è inferiore a quello previsto dal teorema p; 3) ogni variabile compare in combinazione almeno una volta.

Fase 4. Esaminare le combinazioni risultanti in termini di accettabilità, significato fisico e (se si deve utilizzare il metodo dei minimi quadrati) concentrazione di incertezza in una combinazione, se possibile. Se le combinazioni non soddisfano questi criteri, allora si può: 1) ottenere un'altra soluzione delle equazioni per gli esponenti in modo da trovare il miglior insieme di combinazioni; 2) scegli un altro sistema di dimensioni di base e fai tutto il lavoro dall'inizio; 3) verificare la correttezza della scelta delle variabili indipendenti.

Palcoscenico 5. Quando si ottiene un insieme soddisfacente di combinazioni adimensionali, il ricercatore può pianificare di modificare le combinazioni variando i valori delle variabili selezionate nella sua attrezzatura. La progettazione degli esperimenti dovrebbe essere presa in considerazione in particolare.

Quando si utilizza il metodo dell'analisi dimensionale con l'organizzazione di ragionamenti plausibili "dalla fine all'inizio", è necessario introdurre gravi correzioni, soprattutto nella prima fase.

Brevi conclusioni

Oggi è possibile formare le disposizioni concettuali del lavoro di ricerca secondo l'algoritmo normativo già stabilito. Seguire passo dopo passo consente di snellire la ricerca di un argomento e determinarne le fasi di attuazione con accesso a disposizioni e raccomandazioni scientifiche. La conoscenza del contenuto delle singole procedure contribuisce alla loro valutazione esperta e alla selezione di quelle più appropriate ed efficaci.

Progressi della ricerca scientifica può essere presentato sotto forma di uno schema logico, determinato nel processo di esecuzione della ricerca, evidenziando tre fasi che sono caratteristiche di qualsiasi attività:

Fase preparatoria: Può anche essere chiamato la fase di preparazione metodologica della ricerca e la formazione del supporto metodologico per la ricerca. Lo scopo del lavoro è il seguente. Definizione del problema, sviluppo di una descrizione concettuale dell'oggetto di ricerca e definizione (formulazione) del tema di ricerca. Stesura di un programma di ricerca con la formulazione di compiti e lo sviluppo di un piano per la loro soluzione. Scelta ragionevole dei metodi di ricerca. Sviluppo di una metodologia per il lavoro sperimentale.

Palco principale: - esecutivo (tecnologico), attuazione del programma e piano di ricerca.

fase finale: - elaborazione dei risultati della ricerca, formulazione delle principali disposizioni, raccomandazioni, competenze.

Le disposizioni scientifiche sono una nuova verità scientifica: questo è ciò che è necessario e può essere difeso. La formulazione delle disposizioni scientifiche può essere matematica o logica. Le disposizioni scientifiche aiutano la causa, la soluzione del problema. Le disposizioni scientifiche dovrebbero essere mirate, ad es. riflettere (contenere) l'argomento per il quale sono stati risolti. Al fine di realizzare un collegamento generale tra il contenuto della R&S e la strategia per la sua attuazione, si raccomanda di lavorare sulla struttura della relazione sulla R&S prima e (o) dopo lo sviluppo di queste disposizioni. Nel primo caso, il lavoro sulla struttura del report ha anche un potenziale euristico, contribuisce alla comprensione delle idee di R&S, nel secondo caso, agisce come una sorta di test strategico e feedback per la gestione della R&S.

Ricordiamoci che c'è una logica di ricerca, lavoro e lo presentazione geek. La prima è dialettica-dinamica, con cicli, ritorni, difficilmente formalizzabili, la seconda è la logica di uno stato statico, formale, cioè avente una forma rigorosamente definita.

Come conclusione è auspicabile non interrompere il lavoro sulla struttura del rapporto durante tutto il tempo della ricerca e quindi, episodicamente, "controllare gli orologi di DUE LOGICHE".

La sistematizzazione dei moderni problemi di estrazione mineraria a livello amministrativo contribuisce ad aumentare l'efficienza del lavoro sul concetto.

Nel supporto metodologico del lavoro di ricerca, spesso si incontrano situazioni in cui le disposizioni teoriche su un problema specifico non sono ancora state sviluppate del tutto. È opportuno ricorrere al “leasing” metodologico. Come esempio di tale approccio e del suo possibile utilizzo, è interessante il metodo dell'analisi dimensionale con l'organizzazione di ragionamenti plausibili "dall'inizio all'inizio".

Termini e concetti di base

Oggetto e soggetto di attività	Rilevanza	tecnologia mineraria
Concetto		Impianto tecnologico minerario
Scopo e definizione degli obiettivi		Strumenti di tecnologia mineraria
problema problema situazione	Struttura	Effetto fisico e tecnico
Fasi e fasi della ricerca		Posizione scientifica
Teoremi di somiglianza	Dimensione	Unità di base

L'esperienza è l'esploratrice della natura. Non inganna mai... Dobbiamo fare esperimenti, cambiare le circostanze, fino a quando non estraiamo da loro regole generali, perché l'esperienza fornisce le vere regole.

Leonardo Da Vinci

In fisica... non c'è posto per pensieri confusi...
Comprendere davvero la natura
Questo o quel fenomeno dovrebbe ricevere il principale
Leggi da considerazioni di dimensione. E. Fermi

La descrizione di questo o quel problema, la discussione di questioni teoriche e sperimentali inizia con una descrizione qualitativa e una valutazione dell'effetto che questo lavoro dà.

Nella descrizione di un problema è necessario, in primo luogo, valutare l'ordine di grandezza dell'effetto atteso, i casi limite semplici e la natura della relazione funzionale delle grandezze che descrivono questo fenomeno. Queste domande sono chiamate la descrizione qualitativa della situazione fisica.

Una delle più metodi efficaci tale analisi è il metodo delle dimensioni.

Ecco alcuni vantaggi e applicazioni del metodo dimensionale:

valutazione rapida della scala dei fenomeni oggetto di studio;
ottenere dipendenze qualitative e funzionali;
ripristino di formule dimenticate negli esami;
adempimento di alcuni compiti dell'esame;
verifica della correttezza della soluzione dei problemi.

L'analisi dimensionale è stata utilizzata in fisica sin dai tempi di Newton. Fu Newton a formulare, strettamente correlato al metodo delle dimensioni, il principio di somiglianza (analogia).

Gli studenti incontrano per la prima volta il metodo dimensionale quando studiano la radiazione termica nel corso di fisica dell'undicesimo anno:

La caratteristica spettrale della radiazione termica di un corpo è densità spettrale della luminosità dell'energia rv - energia della radiazione elettromagnetica emessa per unità di tempo per unità di superficie corporea in un intervallo di frequenza unitario.

L'unità di densità spettrale della luminosità dell'energia è il joule per metro quadro(1 J / m 2). L'energia della radiazione termica di un corpo nero dipende dalla temperatura e dalla lunghezza d'onda. L'unica combinazione di queste grandezze con la dimensione di J/m 2 è kT/ 2 ( = c/v). Il calcolo esatto effettuato da Rayleigh e Jeans nel 1900, nell'ambito della teoria classica delle onde, ha dato il seguente risultato:

dove k è la costante di Boltzmann.

Come l'esperienza ha dimostrato, questa espressione è coerente con i dati sperimentali solo nella regione di frequenze sufficientemente basse. Per le alte frequenze, specialmente nella regione ultravioletta dello spettro, la formula di Rayleigh-Jeans non è corretta: differisce nettamente dall'esperimento. I metodi della fisica classica si sono rivelati insufficienti per spiegare le caratteristiche della radiazione del corpo nero. Pertanto, la discrepanza tra i risultati della teoria ondulatoria classica e l'esperimento alla fine del XIX secolo chiamata "catastrofe ultravioletta".

Mostriamo l'applicazione del metodo dimensionale su un esempio semplice e ben compreso.

Immagine 1

Radiazione termica di un corpo nero: catastrofe ultravioletta - discrepanza tra la teoria classica della radiazione termica e l'esperienza.

Immagina che un corpo di massa m si muova in linea retta sotto l'azione di una forza costante F. Se la velocità iniziale del corpo è zero e la velocità alla fine della sezione percorsa del percorso di lunghezza s è uguale a v, allora possiamo scrivere il teorema dell'energia cinetica: Tra i valori F, m, v ed s c'è una connessione funzionale.

Assumiamo che il teorema dell'energia cinetica sia dimenticato, ma comprendiamo che la dipendenza funzionale tra v, F, m ed s esiste e ha una legge di potenza.

Qui x, y, z sono alcuni numeri. Definiamoli. Il segno ~ significa che il lato sinistro della formula è proporzionale al lato destro, cioè dove k è un coefficiente numerico, non ha unità di misura e non è determinato con il metodo dimensionale.

Le parti sinistra e destra della relazione (1) hanno le stesse dimensioni. Le dimensioni di v, F, m e s sono: [v] = m/c = ms -1 , [F] = H = kgms -2 , [m] = kg, [s] = m. (Simbolo [A ] indica la dimensione di A.) Scriviamo l'uguaglianza delle dimensioni nelle parti sinistra e destra della relazione (1):

m c -1 = kg x m x c -2x kg y m Z = kg x+y m x+z c -2x .

Non ci sono chilogrammi sul lato sinistro dell'equazione, quindi non dovrebbero essercene neanche a destra.

Significa che

A destra, i metri sono inclusi nelle potenze di x + z, e a sinistra, nelle potenze di 1, quindi

Allo stesso modo, da un confronto degli esponenti in secondi, segue

Dalle equazioni ottenute troviamo i numeri x, y, z:

x=1/2, y=-1/2, z=1/2.

La formula finale sembra

Al quadrato dei lati sinistro e destro di questa relazione, lo otteniamo

L'ultima formula è una notazione matematica del teorema dell'energia cinetica, sebbene senza un coefficiente numerico.

Il principio di similarità, formulato da Newton, è che il rapporto v 2 /s è direttamente proporzionale al rapporto F/m. Ad esempio, due corpi con masse diverse m 1 e m 2 ; agiremo su di essi con forze diverse F 1 e F 2 , ma in modo tale che i rapporti F 1 / m 1 e F 2 / m 2 siano gli stessi. Sotto l'influenza di queste forze, i corpi inizieranno a muoversi. Se le velocità iniziali sono pari a zero, le velocità acquisite dai corpi su un segmento del percorso di lunghezza s saranno uguali. Questa è la legge di somiglianza, a cui siamo arrivati con l'aiuto dell'idea dell'uguaglianza delle dimensioni delle parti destra e sinistra della formula, che descrive il rapporto potenza-legge del valore della velocità finale con i valori di forza, massa e lunghezza del percorso.

Il metodo delle dimensioni è stato introdotto durante la costruzione delle basi della meccanica classica, ma la sua effettiva applicazione per risolvere problemi fisici è iniziata alla fine del passato - all'inizio del nostro secolo. Un grande merito nel promuovere questo metodo e nel risolvere problemi interessanti e importanti con il suo aiuto appartiene all'eccezionale fisico Lord Rayleigh. Rayleigh scrisse nel 1915: Sono spesso sorpreso dalla poca attenzione riservata al grande principio di somiglianza, anche da grandissimi scienziati. Capita spesso che i risultati di un'accurata ricerca vengano presentati come "leggi" di nuova scoperta, che tuttavia potrebbero essere ottenute a priori nel giro di pochi minuti.

Al giorno d'oggi non si può più rimproverare ai fisici un atteggiamento negligente o una scarsa attenzione al principio di somiglianza e al metodo delle dimensioni. Consideriamo uno dei classici problemi di Rayleigh.

Il problema di Rayleigh sulle vibrazioni di una palla su una corda.

Sia tesa una corda tra i punti A e B. La forza di tensione della corda F. Al centro di questa corda al punto C c'è una palla pesante. La lunghezza del segmento AC (e, di conseguenza, CB) è uguale a 1. La massa M della palla è molto maggiore della massa della corda stessa. La corda viene tirata e rilasciata. È abbastanza chiaro che la palla oscillerà. Se l'ampiezza di queste x oscillazioni è molto inferiore alla lunghezza della corda, il processo sarà armonico.

Determiniamo la frequenza delle vibrazioni della palla sulla corda. Siano collegate le quantità , F, M e 1 da una legge di potenza:

Gli esponenti x, y, z sono i numeri che dobbiamo determinare.

Scriviamo le dimensioni delle grandezze di nostro interesse nel sistema SI:

C -1, [F] = kgm s -2, [M] = kg, = m.

Se la formula (2) esprime una reale regolarità fisica, allora le dimensioni delle parti destra e sinistra di questa formula devono corrispondere, cioè l'uguaglianza

c -1 = kg x m x c -2x kg y m z = kg x + y m x + z c -2x

Il lato sinistro di questa equazione non include affatto metri e chilogrammi e i secondi sono inclusi nelle potenze - 1. Ciò significa che per x, yez le equazioni sono soddisfatte:

x+y=0, x+z=0, -2x= -1

Risolvendo questo sistema troviamo:

x=1/2, y= -1/2, z= -1/2

Di conseguenza,

~F 1/2 M -1/2 1 -1/2

La formula esatta per la frequenza differisce da quella trovata solo per un fattore di ( 2 = 2F/(M1)).

Pertanto, è stata ottenuta non solo una stima qualitativa, ma anche quantitativa della dipendenza dai valori di F, M e 1. In ordine di grandezza, la combinazione di potenza trovata fornisce il valore corretto della frequenza. La valutazione è sempre di interesse in ordine di grandezza. Nei problemi semplici, i coefficienti che non sono determinati dal metodo delle dimensioni possono essere spesso considerati numeri dell'ordine dell'unità. Questa non è una regola rigida.

Quando studio le onde, considero la previsione qualitativa della velocità del suono mediante il metodo dell'analisi dimensionale. Cerchiamo la velocità del suono come velocità di propagazione di un'onda di compressione e rarefazione in un gas. Gli studenti non hanno dubbi sulla dipendenza della velocità del suono in un gas dalla densità del gas e dalla sua pressione p.

Cerchiamo la risposta nella forma:

dove С è un fattore adimensionale, il cui valore numerico non può essere trovato dall'analisi delle dimensioni. Passando in (1) all'uguaglianza delle dimensioni.

m / s \u003d (kg / m 3) x Pa y,

m / s \u003d (kg / m 3) x (kg m / (s 2 m 2)) y,

m 1 s -1 \u003d kg x m -3x kg y m y c -2y m -2y,

m 1 s -1 \u003d kg x + y m -3x + y-2y c -2y,

m 1 s -1 \u003d kg x + y m -3x-y c -2y.

L'uguaglianza delle dimensioni sui lati sinistro e destro dell'uguaglianza dà:

x + y = 0, -3x-y = 1, -2y= -1,

x= -y, -3+x = 1, -2x = 1,

x = -1/2, y = 1/2.

Quindi la velocità del suono in un gas

La formula (2) in C=1 è stata ottenuta per la prima volta da I. Newton. Ma le derivazioni quantitative di questa formula erano molto difficili.

Una determinazione sperimentale della velocità del suono nell'aria fu effettuata in un'opera collettiva di membri dell'Accademia delle scienze di Parigi nel 1738, che misurava il tempo impiegato dal suono di un colpo di cannone per percorrere una distanza di 30 km.

Ripetendo questo materiale nell'undicesimo anno, si attira l'attenzione degli studenti sul fatto che il risultato (2) può essere ottenuto per il modello del processo isotermico di propagazione del suono utilizzando l'equazione di Mendeleev-Clapeyron e il concetto di densità:

è la velocità di propagazione del suono.

Dopo aver introdotto gli studenti al metodo delle dimensioni, do loro questo metodo per derivare l'equazione MKT di base per un gas ideale.

Gli studenti comprendono che la pressione di un gas ideale dipende dalla massa delle singole molecole di un gas ideale, dal numero di molecole per unità di volume - n (la concentrazione di molecole di gas) e dalla velocità di movimento delle molecole -.

Conoscendo le dimensioni delle grandezze incluse in questa equazione, abbiamo:

Confrontando le dimensioni delle parti sinistra e destra di questa uguaglianza, abbiamo:

Pertanto, l'equazione di base del MKT ha la seguente forma:

- ciò implica

Si può vedere dal triangolo ombreggiato che

Risposta: B).

Abbiamo utilizzato il metodo della dimensione.

Il metodo delle dimensioni, oltre a svolgere la tradizionale verifica della correttezza della risoluzione dei problemi, svolgendo alcuni compiti dell'Esame di Stato Unificato, aiuta a trovare relazioni funzionali tra varie grandezze fisiche, ma solo per quelle situazioni in cui queste dipendenze sono potere- legge. Esistono molte di queste dipendenze in natura e il metodo delle dimensioni è un buon aiuto per risolvere tali problemi.

Nei casi in cui i processi oggetto di studio non sono descritti equazioni differenziali, uno dei modi per analizzarli è un esperimento, i cui risultati sono presentati al meglio in una forma generalizzata (sotto forma di complessi adimensionali). Il metodo per compilare tali complessi è metodo di analisi dimensionale.

La dimensione di qualsiasi grandezza fisica è determinata dal rapporto tra essa e quelle grandezze fisiche che sono assunte come principali (primarie). Ogni sistema di unità ha le proprie unità di base. Ad esempio, nel Sistema internazionale di unità SI, le unità di lunghezza, massa e tempo sono rispettivamente il metro (m), il chilogrammo (kg), il secondo (s). Le unità di misura di altre grandezze fisiche, le cosiddette grandezze derivate (secondarie), sono adottate sulla base di leggi che stabiliscono una relazione tra queste unità. Questa relazione può essere rappresentata nella forma della cosiddetta formula dimensionale.

La teoria dimensionale si basa su due presupposti.

1. Il rapporto di due valori numerici di qualsiasi grandezza non dipende dalla scelta delle scale per le principali unità di misura (ad esempio, il rapporto di due dimensioni lineari non dipende dalle unità in cui verranno misurate) .
2. Qualsiasi relazione tra quantità dimensionali può essere formulata come una relazione tra quantità adimensionali. Questa affermazione rappresenta il cosiddetto P-teorema nella teoria dimensionale.

Dalla prima posizione segue che le formule per la dimensione delle grandezze fisiche dovrebbero avere la forma di dipendenze di potenza

dove sono le dimensioni delle unità di base.

L'espressione matematica del teorema P può essere ottenuta sulla base delle seguenti considerazioni. Lascia un valore dimensionale un 1 è una funzione di più grandezze dimensionali indipendenti, cioè

Quindi ne consegue che

Assumiamo che sia il numero di unità dimensionali di base attraverso le quali tutto può essere espresso P variabili, è uguale a t. Il teorema P afferma che se tutto P variabili espresse in termini di unità di base, quindi possono essere raggruppate in P-termini adimensionali, cioè

In questo caso, ogni termine P conterrà una variabile.

Nei problemi di idromeccanica, il numero di variabili incluse nei P-termini deve essere quattro. Tre di essi saranno determinanti (di solito sono la lunghezza caratteristica, la velocità del flusso del fluido e la sua densità) - sono inclusi in ciascuno dei P-termini. Una di queste variabili (la quarta) è diversa quando si passa da un termine P all'altro. Indicatori di grado di definizione dei criteri (indichiamoli con x, y , z ) sono sconosciuti. Per comodità prendiamo l'esponente della quarta variabile uguale a -1.

Le relazioni per i termini P saranno simili

Le variabili incluse nei P-termini possono essere espresse in termini di dimensioni di base. Poiché questi termini sono adimensionali, gli esponenti di ciascuna delle dimensioni di base devono essere uguali a zero. Di conseguenza, per ciascuno dei P-termini, è possibile comporre tre equazioni indipendenti (una per ogni dimensione) che mettono in relazione gli esponenti delle variabili in esse incluse. La soluzione del sistema di equazioni risultante consente di trovare i valori numerici di esponenti sconosciuti X , a , z. Di conseguenza, ciascuno dei P-termini è determinato sotto forma di una formula composta da quantità specifiche (parametri ambientali) nel grado appropriato.

Come esempio specifico, troveremo una soluzione al problema di determinare la perdita di pressione per attrito in un flusso di fluido turbolento.

Da considerazioni generali si può concludere che la perdita di carico nella condotta dipende dai seguenti fattori principali: diametro d , lunghezza l , rugosità del muro K, densità ρ e viscosità µ del fluido, velocità media del flusso v , sforzo di taglio iniziale, cioè

(5.8)

L'equazione (5.8) contiene n=7 membri e il numero di unità dimensionali di base. Secondo il teorema P, otteniamo un'equazione composta da P-termini adimensionali:

(5.9)

Ciascuno di questi termini P contiene 4 variabili. Prendendo come variabili principali il diametro d , velocità v , densità e combinandoli con il resto delle variabili dell'Eq. (5.8), otteniamo

Componendo l'equazione dimensionale per il primo termine П, avremo

Sommando gli esponenti con le stesse basi, troviamo

In ordine per la dimensione P 1 era uguale a 1 ( P 1 è una quantità adimensionale), è necessario richiedere che tutti gli esponenti siano uguali a zero, cioè

(5.10)

Sistema equazioni algebriche(5.10) contiene tre incognite X 1, y 1,z 1. Dalla soluzione di questo sistema di equazioni, troviamo X 1 = 1; a 1=1; z 1= 1.