Ripristina una funzione dal suo differenziale totale. Equazioni differenziali in differenziali totali

Avere la forma standard $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, in cui il lato sinistro è il differenziale totale di qualche funzione $F \left( x,y\right)$ è chiamata equazione in differenziali totali.

L'equazione differenziale totale può sempre essere riscritta come $dF\left(x,y\right)=0$, dove $F\left(x,y\right)$ è una funzione tale che $dF\left(x, y \right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Integriamo entrambi i lati dell'equazione $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; l'integrale del membro zero di destra è uguale a una costante arbitraria $C$. In questo modo, decisione comune di questa equazione in forma implicita ha la forma $F\left(x,y\right)=C$.

Perché una data equazione differenziale sia un'equazione in differenziali totali, è necessario e sufficiente che la condizione $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ sia soddisfatta . Se questa condizione è soddisfatta, allora esiste una funzione $F\left(x,y\right)$ per la quale possiamo scrivere: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\frac( \partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, da cui otteniamo due relazioni: $\ frac(\ F parziale)(\x parziale) =P\sinistra(x,y\destra)$ e $\frac(\F parziale)(\y parziale) =Q\sinistra(x,y\destra)$.

Integriamo la prima relazione $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ su $x$ e otteniamo $F\left(x,y\right)=\int P\ sinistra(x,y\destra)\cdot dx +U\sinistra(y\destra)$ dove $U\sinistra(y\destra)$ -- funzione arbitraria da $y$.

Scegliamolo in modo che la seconda relazione $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ sia soddisfatta. Per fare ciò, differenziamo la relazione risultante per $F\left(x,y\right)$ rispetto a $y$ e uguagliamo il risultato a $Q\left(x,y\right)$. Otteniamo: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\destra)$.

La prossima soluzione è:

dall'ultima uguaglianza troviamo $U"\left(y\right)$;
integra $U"\left(y\right)$ e trova $U\left(y\right)$;
sostituisci $U\left(y\right)$ in $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ e infine otteniamo la funzione $F\left(x,y\right)$.

Troviamo la differenza:

Integriamo $U"\left(y\right)$ su $y$ e troviamo $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Trova il risultato: $F\sinistra(x,y\destra)=V\sinistra(x,y\destra)+U\sinistra(y\destra)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cpunto x\cpunto y-2\cpunto y$.

Scriviamo la soluzione generale come $F\left(x,y\right)=C$, ovvero:

Trova una soluzione particolare $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, dove $y_(0) =3$, $x_(0) = 2$:

Una soluzione particolare ha la forma: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

alcune funzioni. Se ripristiniamo la funzione dal suo differenziale totale, troviamo l'integrale generale equazione differenziale. Di seguito ne parleremo il metodo per recuperare una funzione dal suo differenziale totale.

Il lato sinistro dell'equazione differenziale è il differenziale totale di alcune funzioni U(x, y) = 0 se la condizione è soddisfatta.

Perché differenziale totale di una funzione U(x, y) = 0 questo è , il che significa che alle condizioni lo dicono .

Quindi, .

Dalla prima equazione del sistema si ottiene . Troviamo la funzione usando la seconda equazione del sistema:

Quindi, troveremo la funzione desiderata U(x, y) = 0.

Esempio.

Troviamo la soluzione generale del DE .

Soluzione.

Nel nostro esempio. La condizione è soddisfatta perché:

Quindi, il lato sinistro della DE iniziale è il differenziale totale di alcune funzioni U(x, y) = 0. Dobbiamo trovare questa funzione.

Perché è il differenziale totale della funzione U(x, y) = 0, significa:

Integrazione finita X 1a equazione del sistema e derivabile rispetto a y risultato:

Dalla 2a equazione del sistema otteniamo . Significa:

Dove DAè una costante arbitraria.

Quindi, e l'integrale generale dell'equazione data sarà .

C'è un secondo metodo per calcolare una funzione dal suo differenziale totale. Consiste nel prendere l'integrale curvilineo di un punto fisso (x0, y0) in un punto con coordinate variabili (x, y): . In questo caso, il valore dell'integrale è indipendente dal percorso di integrazione. È conveniente prendere come percorso di integrazione una linea spezzata i cui collegamenti sono paralleli agli assi delle coordinate.

Esempio.

Troviamo la soluzione generale del DE .

Soluzione.

Verifichiamo il soddisfacimento della condizione:

Pertanto, il lato sinistro del DE è il differenziale totale di alcune funzioni U(x, y) = 0. Troviamo questa funzione calcolando l'integrale curvilineo del punto (1; 1) prima (x, y). Prendiamo una polilinea come percorso di integrazione: percorreremo la prima sezione della polilinea lungo una linea retta y=1 dal punto (1, 1) prima (x, 1), come seconda sezione del percorso prendiamo un segmento di linea retta dal punto (x, 1) prima (x, y):

Quindi la soluzione generale del DE si presenta così: .

Esempio.

Definiamo la soluzione generale di DE .

Soluzione.

Perché , allora la condizione non è soddisfatta, quindi il lato sinistro di DE non sarà il differenziale totale della funzione ed è necessario utilizzare il secondo metodo di soluzione (questa equazione è un'equazione differenziale con variabili separabili).

Mostra come riconoscere un'equazione differenziale nei differenziali totali. Vengono forniti i metodi per la sua soluzione. Viene fornito un esempio di risoluzione di un'equazione in differenziali totali in due modi.

Contenuto

introduzione

Un'equazione differenziale del primo ordine in differenziali totali è un'equazione della forma:
(1) ,
dove il lato sinistro dell'equazione è il differenziale totale di una qualche funzione U (x, y) sulle variabili x, y :
.
in cui.

Se tale funzione U (x, y), allora l'equazione assume la forma:
dU (x, y) = 0.
Il suo integrale generale:
u (x, y) = C,
dove C è una costante.

Se l'equazione differenziale del primo ordine è scritta in termini di derivata:
,
quindi è facile portarlo nel modulo (1) . Per fare ciò, moltiplica l'equazione per dx. Quindi . Di conseguenza, otteniamo un'equazione espressa in termini di differenziali:
(1) .

Proprietà di un'equazione differenziale nei differenziali totali

In ordine per l'equazione (1) è un'equazione in differenziali totali, è necessario e sufficiente che sia soddisfatta la seguente relazione:
(2) .

Prova

Inoltre, assumiamo che tutte le funzioni utilizzate nella dimostrazione siano definite e abbiano derivate corrispondenti in un intervallo di xey. punto x 0, y0 appartiene anche a questa zona.

Dimostriamo la necessità della condizione (2).
Lascia il lato sinistro dell'equazione (1) è il differenziale di una qualche funzione U (x, y):
.
Quindi
;
.
Poiché la derivata seconda non dipende dall'ordine di differenziazione, allora
;
.
Da ciò ne consegue che . Condizione di necessità (2) provato.

Dimostriamo la sufficienza della condizione (2).
Lascia la condizione (2) :
(2) .
Dimostriamo che è possibile trovare una tale funzione U (x, y) che il suo differenziale è:
.
Ciò significa che esiste una tale funzione U (x, y), che soddisfa le equazioni:
(3) ;
(4) .
Troviamo una tale funzione. Integriamo l'equazione (3) per x da x 0 a x , assumendo che y sia una costante:
;
;
(5) .
Differenziare rispetto a y, assumendo che x sia una costante e applicare (2) :

.
L'equazione (4) sarà eseguito se
.
Integrazione su y da y 0 a y:
;
;
.
Sostituisci (5) :
(6) .
Quindi abbiamo trovato una funzione il cui differenziale è
.
La sufficienza è stata dimostrata.

Nella formula (6) , u (x0, y0)è una costante - il valore della funzione U (x, y) al punto x 0, y0. Può essere assegnato qualsiasi valore.

Come riconoscere un'equazione differenziale nei differenziali totali

Considera l'equazione differenziale:
(1) .
Per determinare se questa equazione è in differenziali completi, è necessario verificare la condizione (2) :
(2) .
Se vale, allora questa è un'equazione in differenziali totali. In caso contrario, questa non è un'equazione in differenziali totali.

Esempio

Controlla se l'equazione è in differenziali totali:
.

Qui
, .
Differenziare rispetto a y, supponendo che x sia costante:

.
Differenziare

.
Perché il:
,
allora l'equazione data è in differenziali totali.

Metodi per la risoluzione di equazioni differenziali in differenziali totali

Metodo di estrazione differenziale sequenziale

Più metodo semplice risolvere l'equazione in differenziali totali è il metodo di estrazione successiva del differenziale. Per fare ciò, utilizziamo formule di differenziazione scritte in forma differenziale:
du ± dv = d (u±v);
vdu + u dv = d (u);
;
.
In queste formule, u e v sono espressioni arbitrarie composte da qualsiasi combinazione di variabili.

Esempio 1

Risolvi l'equazione:
.

In precedenza abbiamo scoperto che questa equazione è in differenziali totali. Trasformiamolo:
(P1) .
Risolviamo l'equazione evidenziando successivamente il differenziale.
;
;
;
;

.
Sostituisci (P1):
;
.

Metodo di integrazione sequenziale

In questo metodo, cerchiamo la funzione U (x, y), soddisfacendo le equazioni:
(3) ;
(4) .

Integriamo l'equazione (3) in x, assumendo y costante:
.
Qui φ (y)è una funzione arbitraria di y da definire. È una costante di integrazione. Sostituiamo nell'equazione (4) :
.
Da qui:
.
Integrando troviamo φ (y) e quindi U (x, y).

Esempio 2

Risolvi l'equazione in differenziali totali:
.

In precedenza abbiamo scoperto che questa equazione è in differenziali totali. Introduciamo la notazione:
, .
Cerco funzione U (x, y), il cui differenziale è il lato sinistro dell'equazione:
.
Quindi:
(3) ;
(4) .
Integriamo l'equazione (3) in x, assumendo y costante:
(P2)
.
Differenziare rispetto a y :

.
Sostituisci (4) :
;
.
Integriamo:
.
Sostituisci (P2):

.
Integrale generale dell'equazione:
u (x, y) = cost.
Uniamo due costanti in una.

Metodo di integrazione lungo una curva

La funzione U definita dalla relazione:
dU=p (x, y) dx + q(x, y) dy,
può essere trovato integrando questa equazione lungo la curva che collega i punti (x0, y0) e (x, y):
(7) .
Perché il
(8) ,
allora l'integrale dipende solo dalle coordinate dell'iniziale (x0, y0) e finale (x, y) punti e non dipende dalla forma della curva. Da (7) e (8) noi troviamo:
(9) .
Qui x 0 e y 0 - permanente. Pertanto U (x0, y0)è anche costante.

Un esempio di tale definizione di U è stato ottenuto nella dimostrazione:
(6) .
Qui, l'integrazione viene eseguita prima lungo un segmento parallelo all'asse y dal punto (x 0 , y 0 ) al punto (x0, y). Quindi l'integrazione viene eseguita lungo un segmento parallelo all'asse x dal punto (x0, y) al punto (x, y) .

In più caso generale, devi rappresentare l'equazione della curva che collega i punti (x 0 , y 0 ) e (x, y) in forma parametrica:
X 1 = s(t1); y 1 = r(t1);
X 0 = s(t0); y 0 = r(t0);
x = s (t); y=r (t);
e integrare su t 1 da t 0 a t.

L'integrazione più semplice è sul segmento che collega i punti (x 0 , y 0 ) e (x, y). In questo caso:
X 1 \u003d x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; dio 1 = (y - y 0) dt 1.
Dopo la sostituzione, otteniamo l'integrale su t di 0 prima 1 .
Questo metodo, tuttavia, porta a calcoli piuttosto macchinosi.

Riferimenti:
VV Stepanov, Corso di equazioni differenziali, LKI, 2015.

Definizione 8.4. Equazione differenziale della forma

dove
è chiamata equazione differenziale totale.

Si noti che il lato sinistro di tale equazione è il differenziale totale di alcune funzioni
.

Nel caso generale, l'equazione (8.4) può essere rappresentata come

Invece dell'equazione (8.5), si può considerare l'equazione

la cui soluzione è l'integrale generale dell'equazione (8.4). Quindi, per risolvere l'equazione (8.4) è necessario trovare la funzione
. In accordo con la definizione dell'equazione (8.4), abbiamo

(8.6)

Funzione
cercheremo, come funzione che soddisfa una di queste condizioni (8.6):

dove è una funzione arbitraria indipendente da .

Funzione
è definito in modo che la seconda condizione di espressione (8.6) sia soddisfatta

(8.7)

Dall'espressione (8.7) viene determinata la funzione
. Sostituendolo nell'espressione per
e ottieni l'integrale generale dell'equazione originale.

Problema 8.3. Integrare l'equazione

Qui
.

Pertanto, questa equazione appartiene al tipo di equazioni differenziali in differenziali totali. Funzione
cercheremo nel modulo

D'altro canto,

In alcuni casi, la condizione
potrebbe non essere eseguito.

Quindi tali equazioni si riducono al tipo in esame moltiplicando per il cosiddetto fattore integratore, che, nel caso generale, è funzione solo di o .

Se qualche equazione ha un fattore integrativo che dipende solo da , allora è determinato dalla formula

dov'è il rapporto dovrebbe essere solo una funzione .

Allo stesso modo, un fattore integrativo che dipende solo da , è determinato dalla formula

dov'è il rapporto
dovrebbe essere solo una funzione .

L'assenza nei suddetti rapporti, nel primo caso, della variabile e nel secondo - una variabile , sono un segno dell'esistenza di un fattore integrativo per una data equazione.

Problema 8.4. Porta questa equazione a un'equazione in differenziali totali.

Considera la relazione:

Argomento 8.2. Equazioni differenziali lineari

Definizione 8.5. Equazione differenziale
si dice lineare se è lineare rispetto alla funzione desiderata , il suo derivato e non contiene il prodotto della funzione desiderata e la sua derivata.

La forma generale di un'equazione differenziale lineare è rappresentata dalla seguente relazione:

(8.8)

Se in relazione (8.8) il lato destro
, allora tale equazione è chiamata lineare omogenea. Nel caso in cui il lato destro
, allora tale equazione è chiamata lineare disomogenea.

Mostriamo che l'equazione (8.8) è integrabile in quadrature.

Nella prima fase, consideriamo un'equazione omogenea lineare.

Tale equazione è un'equazione con variabili separabili. Veramente,

;

L'ultima relazione determina la soluzione generale del lineare equazione omogenea.

Per trovare una soluzione generale a un'equazione lineare disomogenea, viene utilizzato il metodo di variazione della derivata di una costante. L'idea del metodo è che la soluzione generale di un'equazione lineare disomogenea nella stessa forma della soluzione dell'equazione omogenea corrispondente, tuttavia, una costante arbitraria sostituito da qualche funzione
essere determinati. Quindi abbiamo:

(8.9)

Sostituendo nella relazione (8.8) le espressioni corrispondenti a
e
, noi abbiamo

Sostituendo l'ultima espressione nella relazione (8.9), si ottiene l'integrale generale di un'equazione lineare disomogenea.

Pertanto, la soluzione generale di un'equazione lineare non omogenea è determinata da due quadrature: la soluzione generale di un'equazione lineare omogenea e una soluzione particolare di un'equazione lineare non omogenea.

Problema 8.5. Integrare l'equazione

Pertanto, l'equazione originale appartiene al tipo di equazioni differenziali lineari disomogenee.

Nella prima fase, troviamo la soluzione generale dell'equazione lineare omogenea.

;

Nella seconda fase, determiniamo la soluzione generale dell'equazione lineare disomogenea, che viene cercata nella forma

dove
è la funzione da definire.

Quindi abbiamo:

Sostituendo i rapporti per e nell'equazione lineare originale disomogenea otteniamo:

;

La soluzione generale di un'equazione lineare disomogenea sarà simile a:

Differenziale è chiamata equazione della forma

P(x,y)dx + Q(x,y)dio = 0 ,

dove il lato sinistro è il differenziale totale di alcune funzioni di due variabili.

Indichiamo la funzione incognita di due variabili (è ciò che dobbiamo trovare quando risolviamo equazioni in differenziali totali) attraverso F e ne riparleremo presto.

La prima cosa a cui prestare attenzione è che deve esserci zero sul lato destro dell'equazione e il segno che collega i due termini sul lato sinistro deve essere un più.

In secondo luogo, è necessario osservare una certa uguaglianza, che è una conferma che l'equazione differenziale data è un'equazione in differenziali completi. Questo controllo è una parte obbligatoria dell'algoritmo per risolvere le equazioni in differenziali totali (è nel secondo paragrafo di questa lezione), quindi il processo di ricerca di una funzione F richiede molto tempo ed è importante nella fase iniziale assicurarsi di non perdere tempo invano.

Quindi, la funzione sconosciuta da trovare è indicata con F. La somma dei differenziali parziali su tutte le variabili indipendenti dà il differenziale totale. Pertanto, se l'equazione è un'equazione in differenziali totali, il lato sinistro dell'equazione è la somma dei differenziali parziali. Poi per definizione

dF = P(x,y)dx + Q(x,y)dio .

Ricordiamo la formula per calcolare il differenziale totale di una funzione di due variabili:

Risolvendo le ultime due uguaglianze, possiamo scrivere

La prima uguaglianza è differenziabile rispetto alla variabile "y", la seconda - rispetto alla variabile "x":

che è la condizione che l'equazione differenziale data sia effettivamente un'equazione in differenziali totali.

Algoritmo per la risoluzione di equazioni differenziali in differenziali totali

Passo 1. Assicurati che l'equazione sia un'equazione in differenziali totali. In ordine per l'espressione era il differenziale totale di una qualche funzione F(x, y), è necessario e sufficiente che . In altre parole, dobbiamo prendere la derivata parziale rispetto a X e la derivata parziale rispetto a y un altro termine e, se queste derivate sono uguali, allora l'equazione è un'equazione in differenziali totali.

Passo 2 Scrivi il sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali che compongono la funzione F:

Passaggio 3 Integra la prima equazione del sistema - finita X (y F:

,
y.

Un'opzione alternativa (se è più facile trovare l'integrale in questo modo) consiste nell'integrare la seconda equazione del sistema - by y (X rimane costante e viene tolto dal segno di integrale). Pertanto, anche la funzione viene ripristinata F:

,
da dove viene una funzione sconosciuta X.

Passaggio 4 Il risultato del passaggio 3 (l'integrale generale trovato) è differenziato per y(in alternativa, di X) ed equivalgono alla seconda equazione del sistema:

ed in alternativa, alla prima equazione del sistema:

Dall'equazione risultante, determiniamo (in una versione alternativa)

Passaggio 5 Il risultato del passaggio 4 viene integrato e trovato (in alternativa trova ).

Passaggio 6 Sostituisci il risultato del passaggio 5 nel risultato del passaggio 3 - nella funzione ripristinata dall'integrazione parziale F. Una costante arbitraria C più spesso scritto dopo il segno di uguale - sul lato destro dell'equazione. Quindi, otteniamo la soluzione generale dell'equazione differenziale in differenziali totali. Essa, come già accennato, ha la forma F(x, y) = C.

Esempi di soluzioni di equazioni differenziali in differenziali totali

Esempio 1

Passo 1. equazione in differenziali totali X un termine sul lato sinistro dell'espressione

e la derivata parziale rispetto a y un altro termine
equazione in differenziali totali .

Passo 2 F:

Passaggio 3 Su X (y rimane costante e viene tolto dal segno di integrale). Pertanto, ripristiniamo la funzione F:

da dove viene una funzione sconosciuta y.

Passaggio 4 y

Passaggio 5

Passaggio 6 F. Una costante arbitraria C :
.

Qual è l'errore più probabile qui? Gli errori più comuni sono prendere l'integrale parziale su una delle variabili per l'integrale usuale del prodotto di funzioni e provare a integrare per parti o una variabile sostitutiva, e anche prendere la derivata parziale di due fattori come derivata della prodotto di funzioni e cercare la derivata utilizzando la formula appropriata.

Va tenuto presente: quando si calcola un integrale parziale rispetto a una delle variabili, l'altra è una costante e viene tolta dal segno di integrale, e quando si calcola una derivata parziale rispetto a una delle variabili, anche l'altra è una costante e la derivata dell'espressione si trova come derivata della variabile "reciente" moltiplicata per una costante.

Fra equazioni ai differenziali totali non raro - esempi con un esponente. Questo è il prossimo esempio. È anche degno di nota per il fatto che nella sua soluzione viene utilizzata un'opzione alternativa.

Esempio 2 Risolvi l'equazione differenziale

Passo 1. Assicurati che l'equazione lo sia equazione in differenziali totali . Per fare ciò, troviamo la derivata parziale rispetto a X un termine sul lato sinistro dell'espressione

e la derivata parziale rispetto a y un altro termine
. Queste derivate sono uguali, quindi l'equazione lo è equazione in differenziali totali .

Passo 2 Scriviamo il sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali che compongono la funzione F:

Passaggio 3 Integriamo la seconda equazione del sistema - finita y (X rimane costante e viene tolto dal segno di integrale). Pertanto, ripristiniamo la funzione F:

da dove viene una funzione sconosciuta X.

Passaggio 4 Il risultato del passaggio 3 (trovato integrale generale) è differenziabile rispetto a X

ed eguagliare la prima equazione del sistema:

Dall'equazione risultante determiniamo:
.

Passaggio 5 Integriamo il risultato del passaggio 4 e troviamo:
.

Passaggio 6 Sostituiamo il risultato del passaggio 5 nel risultato del passaggio 3 - nella funzione ripristinata dall'integrazione parziale F. Una costante arbitraria C scrivi dopo il segno di uguale. Otteniamo così il generale soluzione di un'equazione differenziale in differenziali totali :
.

Nell'esempio seguente torniamo dall'alternativa a quella principale.

Esempio 3 Risolvi l'equazione differenziale

Passo 1. Assicurati che l'equazione lo sia equazione in differenziali totali . Per fare ciò, troviamo la derivata parziale rispetto a y un termine sul lato sinistro dell'espressione

e la derivata parziale rispetto a X un altro termine
. Queste derivate sono uguali, quindi l'equazione lo è equazione in differenziali totali .

Passo 2 Scriviamo il sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali che compongono la funzione F:

Passaggio 3 Integriamo la prima equazione del sistema - Su X (y rimane costante e viene tolto dal segno di integrale). Pertanto, ripristiniamo la funzione F:

da dove viene una funzione sconosciuta y.

Passaggio 4 Il risultato del passaggio 3 (trovato integrale generale) è differenziabile rispetto a y

ed eguagliare la seconda equazione del sistema:

Dall'equazione risultante determiniamo:
.

Passaggio 5 Integriamo il risultato del passaggio 4 e troviamo:

Esempio 4 Risolvi l'equazione differenziale

Passo 1. Assicurati che l'equazione lo sia equazione in differenziali totali . Per fare ciò, troviamo la derivata parziale rispetto a y un termine sul lato sinistro dell'espressione

e la derivata parziale rispetto a X un altro termine
. Queste derivate sono uguali, il che significa che l'equazione è un'equazione in differenziali totali.

Passo 2 Scriviamo il sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali che compongono la funzione F:

Passaggio 3 Integriamo la prima equazione del sistema - Su X (y rimane costante e viene tolto dal segno di integrale). Pertanto, ripristiniamo la funzione F:

da dove viene una funzione sconosciuta y.

Passaggio 4 Il risultato del passaggio 3 (trovato integrale generale) è differenziabile rispetto a y

ed eguagliare la seconda equazione del sistema: