Formule di moltiplicazione abbreviate.

Studiare le formule per la moltiplicazione abbreviata: il quadrato della somma e il quadrato della differenza di due espressioni; differenza dei quadrati di due espressioni; il cubo della somma e il cubo della differenza di due espressioni; somme e differenze di cubi di due espressioni.

Applicazione di formule di moltiplicazione abbreviate nella risoluzione di esempi.

Per semplificare le espressioni, fattorizzare i polinomi e ridurre i polinomi a una forma standard, vengono utilizzate formule di moltiplicazione abbreviate. Formule di moltiplicazione abbreviate che devi conoscere a memoria.

Sia a, b R. Allora:

1. Il quadrato della somma di due espressioni è il quadrato della prima espressione più il doppio del prodotto della prima espressione e la seconda più il quadrato della seconda espressione.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Il quadrato della differenza di due espressioni è il quadrato della prima espressione meno il doppio del prodotto della prima espressione e della seconda più il quadrato della seconda espressione.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Differenza di quadrati due espressioni è uguale al prodotto della differenza di queste espressioni e della loro somma.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

4. cubo di somma di due espressioni è uguale al cubo della prima espressione più tre volte il quadrato della prima espressione moltiplicato per la seconda più tre volte il prodotto della prima espressione per il quadrato della seconda più il cubo della seconda espressione.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. cubo differenza di due espressioni è uguale al cubo della prima espressione meno tre volte il prodotto del quadrato della prima espressione e della seconda più tre volte il prodotto della prima espressione e il quadrato della seconda meno il cubo della seconda espressione.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Somma di cubetti due espressioni è uguale al prodotto della somma della prima e della seconda espressione per il quadrato incompleto della differenza di queste espressioni.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Differenza di cubi di due espressioni è uguale al prodotto della differenza della prima e della seconda espressione per il quadrato incompleto della somma di queste espressioni.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Applicazione di formule di moltiplicazione abbreviate nella risoluzione di esempi.

Esempio 1

Calcolare

a) Usando la formula per il quadrato della somma di due espressioni, abbiamo

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Usando la formula per la differenza al quadrato di due espressioni, otteniamo

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604

Esempio 2

Calcolare

Usando la formula per la differenza dei quadrati di due espressioni, otteniamo

Esempio 3

Semplifica l'espressione

(x - y) 2 + (x + y) 2

Usiamo le formule per il quadrato della somma e il quadrato della differenza di due espressioni

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

Formule di moltiplicazione abbreviate in una tabella:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Le formule di moltiplicazione abbreviate (FSU) vengono utilizzate per esporre e moltiplicare numeri ed espressioni. Spesso queste formule consentono di eseguire calcoli in modo più compatto e rapido.

In questo articolo, elencheremo le formule principali per la moltiplicazione abbreviata, le raggrupperemo in una tabella, considereremo esempi di utilizzo di queste formule e ci soffermeremo anche sui principi per dimostrare le formule di moltiplicazione abbreviata.

Per la prima volta l'argomento della FSU viene considerato all'interno del corso "Algebra" per la 7a elementare. Di seguito sono elencate 7 formule di base.

Formule di moltiplicazione abbreviate

1. formula del quadrato della somma: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. formula del quadrato della differenza: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. formula del cubo somma: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. formula del cubo differenza: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. formula della differenza di quadrati: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. formula per la somma dei cubi: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. formula della differenza del cubo: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

Le lettere a, b, c in queste espressioni possono essere qualsiasi numero, variabile o espressione. Per facilità d'uso, è meglio imparare a memoria le sette formule di base. Li riassumiamo in una tabella e li diamo di seguito, circondandoli con un riquadro.

Le prime quattro formule consentono di calcolare, rispettivamente, il quadrato o il cubo della somma o differenza di due espressioni.

La quinta formula calcola la differenza dei quadrati delle espressioni moltiplicando la loro somma e differenza.

La sesta e la settima formula sono, rispettivamente, la moltiplicazione della somma e della differenza di espressioni per il quadrato incompleto della differenza e il quadrato incompleto della somma.

La formula di moltiplicazione abbreviata è talvolta chiamata anche identità di moltiplicazione abbreviata. Ciò non sorprende, poiché ogni uguaglianza è un'identità.

Quando si risolvono esempi pratici, vengono spesso utilizzate formule di moltiplicazione abbreviate con parti sinistra e destra riorganizzate. Ciò è particolarmente conveniente quando si scompone un polinomio.

Formule di moltiplicazione abbreviate aggiuntive

Non ci limiteremo al corso di algebra di 7a elementare e aggiungeremo qualche formula in più alla nostra tabella FSU.

Innanzitutto, consideriamo la formula binomiale di Newton.

un + b n = C n 0 un n + C n 1 un n - 1 b + C n 2 un n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 un b n - 1 + C n n b n

Qui C n k sono i coefficienti binomiali che sono nella riga numero n nel triangolo di pascal. I coefficienti binomiali sono calcolati dalla formula:

C nk = n! K! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Come puoi vedere, la FSU per il quadrato e il cubo della differenza e la somma è un caso speciale della formula binomiale di Newton rispettivamente per n=2 e n=3.

Ma cosa succede se ci sono più di due termini nella somma da elevare a potenza? Sarà utile la formula per il quadrato della somma di tre, quattro o più termini.

un 1 + un 2 + . . + un n 2 = un 1 2 + un 2 2 + . . + un n 2 + 2 un 1 un 2 + 2 un 1 un 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Un'altra formula che può tornare utile è la formula per la differenza delle potenze ennesima di due termini.

un n - b n = un - b un n - 1 + un n - 2 b + un n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Questa formula è solitamente divisa in due formule, rispettivamente per i gradi pari e dispari.

Per esponenti pari 2m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Per esponenti dispari 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Le formule per la differenza di quadrati e la differenza di cubi, avete indovinato, sono casi speciali di questa formula rispettivamente per n = 2 e n = 3. Per la differenza di cubi, b è anche sostituito da - b .

Come leggere le formule di moltiplicazione abbreviate?

Daremo le formulazioni corrispondenti per ciascuna formula, ma prima tratteremo il principio della lettura delle formule. Il modo più semplice per farlo è con un esempio. Prendiamo la prima formula per il quadrato della somma di due numeri.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Dicono: il quadrato della somma di due espressioni aeb è uguale alla somma del quadrato della prima espressione, il doppio del prodotto delle espressioni e del quadrato della seconda espressione.

Tutte le altre formule si leggono allo stesso modo. Per la differenza al quadrato a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 scriviamo:

il quadrato della differenza di due espressioni aeb è uguale alla somma dei quadrati di queste espressioni meno il doppio del prodotto della prima e della seconda espressione.

Leggiamo la formula a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Il cubo della somma di due espressioni aeb è uguale alla somma dei cubi di queste espressioni, tre volte il prodotto del quadrato della prima espressione e della seconda, e tre volte il prodotto del quadrato della seconda espressione e la prima espressione.

Procediamo a leggere la formula per la differenza di cubi a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Il cubo della differenza di due espressioni aeb è uguale al cubo della prima espressione meno tre volte il quadrato della prima espressione e della seconda, più tre volte il quadrato della seconda espressione e della prima espressione, meno il cubo della seconda espressione.

La quinta formula a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (differenza di quadrati) si legge così: la differenza dei quadrati di due espressioni è uguale al prodotto della differenza e alla somma delle due espressioni.

Espressioni come a 2 + a b + b 2 e a 2 - a b + b 2 per comodità sono chiamate rispettivamente quadrato incompleto della somma e quadrato incompleto della differenza.

Tenendo presente ciò, le formule per la somma e la differenza dei cubi si leggono come segue:

La somma dei cubi di due espressioni è uguale al prodotto della somma di queste espressioni per il quadrato incompleto della loro differenza.

La differenza dei cubi di due espressioni è uguale al prodotto della differenza di queste espressioni per il quadrato incompleto della loro somma.

Prova FSU

Dimostrare FSU è abbastanza semplice. Sulla base delle proprietà della moltiplicazione, eseguiremo la moltiplicazione delle parti delle formule tra parentesi.

Si consideri ad esempio la formula per il quadrato della differenza.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Per elevare un'espressione alla seconda potenza, l'espressione deve essere moltiplicata per se stessa.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

Espandiamo le parentesi:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

La formula è stata provata. Gli altri UST sono dimostrati in modo simile.

Esempi di applicazione dell'UST

Lo scopo dell'utilizzo di formule di moltiplicazione ridotte è di moltiplicare ed esporre rapidamente e in modo conciso le espressioni. Tuttavia, questo non è l'intero campo di applicazione dell'UST. Sono ampiamente utilizzati per ridurre le espressioni, ridurre le frazioni, fattorizzare i polinomi. Diamo esempi.

Esempio 1. UST

Semplifichiamo l'espressione 9 y - (1 + 3 y) 2 .

Applica la formula della somma dei quadrati e ottieni:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Esempio 2. UST

Ridurre la frazione 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .

Notiamo che l'espressione al numeratore è la differenza di cubi e al denominatore - la differenza di quadrati.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Riduciamo e otteniamo:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

Le FSU aiutano anche a calcolare i valori delle espressioni. La cosa principale è poter notare dove applicare la formula. Mostriamolo con un esempio.

Facciamo quadrato con il numero 79. Invece di calcoli ingombranti, scriviamo:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Sembrerebbe che un calcolo complesso sia stato eseguito rapidamente con il solo uso di formule di moltiplicazione abbreviate e una tabella di moltiplicazione.

Altro punto importante- selezione del quadrato del binomio. L'espressione 4 x 2 + 4 x - 3 può essere convertita in 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Tali trasformazioni sono ampiamente utilizzate nell'integrazione.

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Differenza di quadrati

Deriviamo la formula per la differenza dei quadrati $a^2-b^2$.

Per fare ciò, ricorda la seguente regola:

Se all'espressione viene aggiunto un monomio e viene sottratto lo stesso monomio, otteniamo l'identità corretta.

Aggiungiamo alla nostra espressione e sottraiamo da essa il monomio $ab$:

In totale, otteniamo:

Cioè, la differenza dei quadrati di due monomi è uguale al prodotto della loro differenza e della loro somma.

Esempio 1

Esprimi come prodotto di $(4x)^2-y^2$

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\sinistra(2x-y\destra)(2x+y)\]

Somma di cubetti

Ricaviamo la formula per la somma dei cubi $a^3+b^3$.

Prendiamo i fattori comuni fuori parentesi:

Prendiamo $\left(a+b\right)$ tra parentesi:

In totale, otteniamo:

Cioè, la somma dei cubi di due monomi è uguale al prodotto della loro somma per il quadrato incompleto della loro differenza.

Esempio 2

Esprimi come prodotto $(8x)^3+y^3$

Questa espressione può essere riscritta nella forma seguente:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

Usando la formula della differenza dei quadrati, otteniamo:

\[((2x))^3+y^3=\sinistra(2x+y\destra)(4x^2-2xy+y^2)\]

Differenza di cubi

Deriviamo la formula per la differenza di cubi $a^3-b^3$.

Per fare ciò, utilizzeremo la stessa regola di cui sopra.

Aggiungiamo alla nostra espressione e sottraiamo da essa i monomi $a^2b\ e\ (ab)^2$:

Prendiamo i fattori comuni fuori parentesi:

Prendiamo $\left(a-b\right)$ tra parentesi:

In totale, otteniamo:

Cioè, la differenza dei cubi di due monomi è uguale al prodotto della loro differenza per il quadrato incompleto della loro somma.

Esempio 3

Esprimi come prodotto di $(8x)^3-y^3$

Questa espressione può essere riscritta nella forma seguente:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

Usando la formula della differenza dei quadrati, otteniamo:

\[((2x))^3-y^3=\sinistra(2x-y\destra)(4x^2+2xy+y^2)\]

Un esempio di attività per l'utilizzo delle formule per la differenza di quadrati e la somma e la differenza di cubi

Esempio 4

Moltiplicare.

a) $((a+5))^2-9$

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Soluzione:

a) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

Applicando la formula della differenza di quadrati, otteniamo:

\[((a+5))^2-3^2=\sinistra(a+5-3\destra)\sinistra(a+5+3\destra)=\sinistra(a+2\destra)(a +8)\]

Scriviamo questa espressione nella forma:

Applichiamo la formula dei cubi di cubi:

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Scriviamo questa espressione nella forma:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\sinistra(\frac(1)(3)\destra))^3-x^3\]

Applichiamo la formula dei cubi di cubi:

\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\destra)\]