Viene mostrato come riconoscere un'equazione differenziale omogenea generalizzata. Viene considerato un metodo per risolvere un'equazione differenziale omogenea generalizzata del primo ordine. Viene fornito un esempio soluzione dettagliata una tale equazione.

Contenuto

Definizione

Un'equazione differenziale omogenea del primo ordine generalizzata è un'equazione della forma:
, dove ≠ 0 , α ≠ 1 , f - funzione.

Come determinare se un'equazione differenziale è un'omogenea generalizzata

Per determinare se un'equazione differenziale è omogenea generalizzata, dobbiamo introdurre una costante t e fare la sostituzione:
y → t α y , x → t x .
Se riusciamo a scegliere un tale valore α al quale la costante t diminuirà, allora questo è - equazione differenziale omogenea generalizzata. La variazione della derivata y′ sotto tale sostituzione ha la forma:
.

Esempio

Determina se l'equazione data è generalizzata omogenea:
.

Apportiamo la modifica y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 anno:
;
.
Dividere per tα+ 5 :
;
.
L'equazione non conterrà t se
4α - 6 = 0, α = 3/2 .
Poiché per α = 3/2 , t è ridotto, quindi questa è un'equazione omogenea generalizzata.

Metodo di soluzione

Consideriamo l'equazione differenziale omogenea generalizzata del primo ordine:
(1) .
Dimostriamo che si può ridurre ad un'equazione omogenea per sostituzione:
t = xα .
Veramente,
.
Da qui
; .
(1) :
;
.

Questa è un'equazione omogenea. Si risolve per sostituzione:
y = zt,
dove z è una funzione di t.
Quando si risolvono i problemi, è più facile applicare immediatamente la sostituzione:
y = z x α ,
dove z è una funzione di x .

Un esempio di risoluzione di un'equazione differenziale omogenea generalizzata del primo ordine

Risolvi l'equazione differenziale
(P.1) .

Verifichiamo se l'equazione data è omogenea generalizzata. Per questo in (P.1) fare una sostituzione:
y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 anno.
.
Dividi per t α :
.
t diminuirà se mettiamo α = - 1 . Quindi questa è un'equazione omogenea generalizzata.

Facciamo una sostituzione:
y = z x α = z x - 1 ,
dove z è una funzione di x .
.
Sostituiamo nell'equazione originale (P.1):
(P.1) ;
;
.
Moltiplica per x e apri le parentesi:
;
;
.
Dividi le variabili: moltiplica per dx e dividi per x z 2 . Per z ≠ 0 noi abbiamo:
.
Integriamo usando la tabella degli integrali:
;
;
;
.
Potenziare:
.
Sostituiamo la costante e C → C e togliamo il segno del modulo, poiché la scelta del segno desiderato è determinata dalla scelta del segno della costante C:
.

Torniamo alla variabile y . Sostituisci z = xy :
.
Dividi per x :
(P.2) .

Quando dividiamo per z 2 , abbiamo assunto che z ≠ 0 . Consideriamo ora la soluzione z = xy = 0 , oppure y = 0 .
Poiché per y = 0 , il lato sinistro dell'espressione (P.2) non è definito, quindi all'integrale generale ottenuto si aggiunge la soluzione y = 0 .

;
.

Riferimenti:
NM Gunther, RO Kuzmin, Raccolta di problemi in matematica superiore, Lan, 2003.

Cliccando sul pulsante "Scarica archivio", scaricherai gratuitamente il file che ti serve.
Prima di scaricare questo file, ricorda quei buoni saggi, controllo, tesine, tesi, articoli e altri documenti non reclamati sul tuo computer. Questo è il tuo lavoro, dovrebbe partecipare allo sviluppo della società e portare beneficio alle persone. Trova questi lavori e inviali alla base di conoscenza.
Noi e tutti gli studenti, i dottorandi, i giovani scienziati che utilizzano la base di conoscenze nei loro studi e nel loro lavoro vi saremo molto grati.

Per scaricare un archivio con un documento, inserisci un numero di cinque cifre nel campo sottostante e clicca sul pulsante "Scarica archivio".

Documenti simili

Problemi di Cauchy per equazioni differenziali. Grafico della soluzione dell'equazione differenziale del primo ordine. Equazioni con variabili separabili e riducibili a omogenee. Equazioni lineari omogenee e disomogenee del primo ordine. Equazione di Bernoulli.

lezione, aggiunta il 18/08/2012


Concetti di base della teoria delle equazioni differenziali ordinarie. Segno dell'equazione in differenziali totali, costruzione dell'integrale generale. I casi più semplici per trovare il fattore integrativo. Il caso di un moltiplicatore dipendente solo da X e solo da Y.

tesina, aggiunta il 24/12/2014


Peculiarità delle equazioni differenziali come relazioni tra funzioni e loro derivate. Dimostrazione del teorema di esistenza e unicità della soluzione. Esempi e algoritmo per la risoluzione di equazioni in differenziali totali. Fattore di integrazione negli esempi.

tesina, aggiunta il 02/11/2014


Equazioni differenziali Riccati. Soluzione generale di un'equazione lineare. Trovare tutte le soluzioni possibili dell'equazione differenziale di Bernoulli. Soluzione di equazioni con variabili separabili. Soluzioni generali e speciali dell'equazione differenziale di Clairaut.

tesina, aggiunta il 26/01/2015


Un'equazione con variabili separabili. Equazioni differenziali omogenee e lineari. Proprietà geometriche delle curve integrali. Differenziale totale di una funzione di due variabili. Determinazione dell'integrale con metodi di Bernoulli e variazioni di una costante arbitraria.

abstract, aggiunto il 24/08/2015


Concetti e soluzioni delle equazioni differenziali più semplici e delle equazioni differenziali di ordine arbitrario, comprese quelle a coefficienti analitici costanti. Sistemi di equazioni lineari. Comportamento asintotico di soluzioni di alcuni sistemi lineari.

tesi, aggiunta il 06/10/2010


Integrale generale dell'equazione, applicazione del metodo di Lagrange per la risoluzione di un'equazione lineare disomogenea con funzione incognita. Soluzione di un'equazione differenziale in forma parametrica. Condizione di Eulero, equazione del primo ordine nei differenziali totali.

lavoro di controllo, aggiunto il 02/11/2011

def 1 tipo di controllo

chiamato equazione differenziale omogenea del primo ordine(ODE).

Th1 Siano soddisfatte le seguenti condizioni per la funzione:

1) continuo a

Allora ODE (1) ha un integrale comune, che per è dato dalla formula:

dove c'è una qualche antiderivata della funzione Insieme aè una costante arbitraria.

Nota 1 Se, per alcuni, la condizione è soddisfatta, nel processo di risoluzione dell'ODE (1), le soluzioni del modulo potrebbero andare perse; tali casi dovrebbero essere trattati con maggiore attenzione e ciascuno di essi dovrebbe essere controllato separatamente.

Quindi dal teorema Th1 dovrebbe algoritmo generale per la risoluzione di ODE (1):

1) Effettua una sostituzione:

2) Si otterrà così un DE con variabili separabili, che andrebbe integrato;

3) Ritorno alle vecchie variabili g;

4) Verificare i valori per il loro coinvolgimento nella soluzione telecomando originale, in cui la condizione

5) Scrivi la risposta.

Esempio 1 Risolvi DE (4).

Soluzione: DE (4) è un'equazione differenziale omogenea, poiché ha la forma (1). Facciamo la sostituzione (3), questo porterà l'equazione (4) alla forma:

L'equazione (5) è l'integrale generale di DE (4).

Si noti che quando si separano le variabili e si dividono per, le soluzioni potrebbero andare perse, ma non è una soluzione per DE (4), che è facilmente verificabile per sostituzione diretta nell'uguaglianza (4), poiché questo valore non è incluso nel dominio di definizione dell'originale DE.

Risposta:

Nota 2 A volte si possono scrivere ODE in termini di differenziali di variabili X e y. Si raccomanda di passare da questa notazione DE all'espressione tramite la derivata e solo successivamente eseguire la sostituzione (3).

Equazioni differenziali che si riducono a omogenee.

def 2 La funzione viene chiamata funzione omogenea di grado k nell'area di, per cui l'uguaglianza sarà soddisfatta:

Ecco i tipi più comuni di DE che possono essere ridotti alla forma (1) dopo varie trasformazioni.

1) dov'è la funzione è omogeneo, zero gradi, vale a dire, vale la seguente uguaglianza: DE (6) può essere facilmente ridotto alla forma (1) se mettiamo , che viene ulteriormente integrato utilizzando la sostituzione (3).

2) (7), dove le funzioni sono omogenee dello stesso grado K . Anche il DE del modulo (7) viene integrato utilizzando la modifica (3).

Esempio 2 Risolvi DE (8).

Soluzione: Dimostriamo che DE (8) è omogeneo. Dividiamo per ciò che è possibile, poiché non è una soluzione dell'equazione differenziale (8).

Facciamo la sostituzione (3), questo porterà l'equazione (9) alla forma:

L'equazione (10) è l'integrale generale di DE (8).

Si noti che quando si separano le variabili e si dividono per , le soluzioni corrispondenti ai valori di e potrebbero andare perse. Controlliamo queste espressioni. Sostituiamoli in DE (8):

Risposta:

È interessante notare che quando si risolve questo esempio, appare una funzione chiamata "segno" del numero X(leggere " segno x”), definito dall'espressione:

Osservazione 3 Non è necessario portare DE (6) o (7) alla forma (1), se è evidente che il DE è omogeneo allora è possibile sostituirlo immediatamente

3) Il DE del modulo (11) è integrato come ODE se , mentre la sostituzione viene inizialmente eseguita:

(12), dove è la soluzione del sistema: (13), quindi utilizzare la sostituzione (3) per la funzione Dopo aver ottenuto l'integrale generale, tornare alle variabili X e a.

Se , allora, assumendo nell'equazione (11), otteniamo un DE con variabili separabili.

Esempio 3 Risolvi il problema di Cauchy (14).

Soluzione: Mostriamo che DE (14) è ridotto ad un DE omogeneo e integrato secondo lo schema di cui sopra:

Risolveremo un sistema disomogeneo di lineare equazioni algebriche(15) Metodo di Cramer:

Facciamo un cambio di variabili e integriamo l'equazione risultante:

(16) – Integrale generale di DE (14). Quando si dividono le variabili, le soluzioni potrebbero andare perse quando si divide per un'espressione, che può essere ottenuta esplicitamente dopo aver risolto un'equazione quadratica. Tuttavia, sono presi in considerazione nell'integrale generale (16) in

Troviamo una soluzione al problema di Cauchy: sostituiamo i valori di e nell'integrale generale (16) e troviamo Insieme a.

Pertanto, l'integrale parziale sarà dato dalla formula:

Risposta:

4) È possibile portare alcuni DE a quelli omogenei per una nuova, ancora sconosciuta funzione, se applichiamo una sostituzione della forma:

Allo stesso tempo, il numero mè selezionato dalla condizione che l'equazione risultante, se possibile, diventi omogenea in una certa misura. Tuttavia, se ciò non può essere fatto, allora il DE considerato non può essere ridotto ad un omogeneo in questo modo.

Esempio 4 Risolvi DU. (diciotto)

Soluzione: Mostriamo che DE (18) è ridotto a un DE omogeneo mediante sostituzione (17) e quindi integrato mediante sostituzione (3):

Cerchiamo Insieme a:

Pertanto, una soluzione particolare di DE (24) ha la forma

.
Equazioni differenziali.

§ 1. Concetti di base delle equazioni differenziali ordinarie.

Definizione 1. Equazione differenziale ordinaria n-esimo ordine per la funzione y discussione Xè chiamata relazione della forma

dove Fè una data funzione dei suoi argomenti. Nel nome di questa classe di equazioni matematiche, il termine "differenziale" sottolinea che includono le derivate
(funzioni formate come risultato della differenziazione); il termine - "ordinario" dice che la funzione desiderata dipende da un solo argomento reale.

Un'equazione differenziale ordinaria potrebbe non contenere esplicitamente un argomento X, funzione desiderata
e uno qualsiasi dei suoi derivati, ma il derivato più alto
deve essere incluso nell'equazione n- ordine. Per esempio

un)
è l'equazione del primo ordine;

b)
è un'equazione del terzo ordine.

Quando si scrivono equazioni differenziali ordinarie, viene spesso utilizzata la notazione delle derivate attraverso differenziali:

in)
è un'equazione del secondo ordine;

G)
è l'equazione del primo ordine,

formandosi dopo la divisione per dx forma equivalente dell'equazione:
.

Funzione
è chiamata soluzione di un'equazione differenziale ordinaria se, quando sostituita in essa, diventa identità.

Ad esempio, l'equazione del 3° ordine

Ha una soluzione
.

Trovare con un metodo o con l'altro, ad esempio, la selezione, una funzione che soddisfi un'equazione non significa risolverla. Risolvere un'equazione differenziale ordinaria significa trovare tutto funzioni che formano un'identità quando sostituite nell'equazione. Per l'equazione (1.1), la famiglia di tali funzioni è formata con l'aiuto di costanti arbitrarie ed è chiamata soluzione generale dell'equazione differenziale ordinaria n esimo ordine, e il numero di costanti coincide con l'ordine dell'equazione: y(X) : In questo caso, la soluzione è chiamata integrale generale dell'equazione (1.1).

Ad esempio, la soluzione generale dell'equazione differenziale
è la seguente espressione: , e il secondo termine può anche essere scritto come
, poiché una costante arbitraria diviso per 2 può essere sostituito da una nuova costante arbitraria .

Impostando alcuni valori ammissibili per tutte le costanti arbitrarie nella soluzione generale o nell'integrale generale, otteniamo una determinata funzione che non contiene più costanti arbitrarie. Questa funzione è chiamata soluzione particolare o integrale particolare dell'equazione (1.1). Per trovare i valori di costanti arbitrarie, e quindi la soluzione particolare, vengono utilizzate varie condizioni aggiuntive all'equazione (1.1). Ad esempio, possono essere fornite le cosiddette condizioni iniziali per la (1.2).

Nella parte destra delle condizioni iniziali (1.2), sono riportati i valori numerici della funzione e delle derivate e il numero totale di condizioni iniziali è uguale al numero di costanti arbitrarie da determinare.

Il problema di trovare una soluzione particolare all'equazione (1.1) dalle condizioni iniziali è chiamato problema di Cauchy.

§ 2. Equazioni differenziali ordinarie del 1° ordine - concetti di base.

Equazione differenziale ordinaria del 1° ordine ( n=1) ha la forma:
oppure, se risolvibile rispetto alla derivata:
. Decisione comune y= y(X,DA) o integrale generale
Le equazioni del 1° ordine contengono una costante arbitraria. L'unica condizione iniziale per l'equazione del 1° ordine
permette di determinare il valore della costante dalla soluzione generale o dall'integrale generale. Quindi, si troverà una soluzione particolare o, che è anche il problema di Cauchy, verrà risolto. La questione dell'esistenza e dell'unicità di una soluzione al problema di Cauchy è una delle questioni centrali teoria generale equazioni differenziali ordinarie. Per un'equazione del primo ordine, in particolare, vale il teorema, che qui viene accettato senza dimostrazione.

Teorema 2.1. Se nell'equazione la funzione
e la sua derivata parziale
continuo in alcune zone D aereo XOY, e viene fornito un punto in quest'area
, allora esiste e, inoltre, una soluzione unica che soddisfa sia l'equazione che condizione iniziale
.

Geometricamente decisione comune Le equazioni del 1° ordine sono una famiglia di curve nel piano XOY, che non hanno punti comuni e differiscono l'uno dall'altro di un parametro: il valore della costante C. Queste curve sono chiamate curve integrali per l'equazione data. Le curve integrali dell'equazione hanno un'ovvia proprietà geometrica: in ogni punto, la tangente della pendenza della tangente alla curva è uguale al valore del lato destro dell'equazione in quel punto:
. In altre parole, l'equazione è data nel piano XOY campo delle direzioni delle tangenti alle curve integrali. Commento: Va notato che per l'equazione
vengono fornite l'equazione e la cosiddetta equazione in forma simmetrica
.

§ 3. Equazioni differenziali del primo ordine con variabili separabili.

Definizione. Un'equazione differenziale con variabili separabili è un'equazione della forma
(3.1)

o un'equazione della forma (3.2)

Per separare le variabili nell'equazione (3.1), cioè ridurre questa equazione alla cosiddetta equazione con variabili separate, eseguire le seguenti azioni:

;

Ora dobbiamo risolvere l'equazione g(y)= 0 . Se ha una soluzione reale y= un, poi y= un sarà anche una soluzione dell'equazione (3.1).

L'equazione (3.2) viene ridotta a un'equazione variabile separata dividendo per il prodotto
:

, che ci permette di ottenere l'integrale generale dell'equazione (3.2):
. (3.3)

Le curve integrali (3.3) saranno integrate dalle soluzioni
se tali soluzioni esistono.

Risolvi l'equazione: .

Separazione delle variabili:

.

Integrando, otteniamo

Più lontano dalle equazioni
e
trova X=1, y=-1. Queste decisioni sono decisioni private.

§ 4. Equazioni differenziali omogenee del primo ordine.

Definizione 1. Un'equazione del 1° ordine si dice omogenea se per il suo lato destro per qualsiasi
il rapporto
, detta condizione di omogeneità di una funzione di due variabili dimensione zero.

Esempio 1 Mostra quella funzione
- misura omogenea dello zero.

Soluzione.

,

QED

Teorema. Qualsiasi funzione
è omogenea e, al contrario, qualsiasi funzione omogenea
la dimensione zero viene ridotta alla forma
.

Prova.

La prima affermazione del teorema è ovvia, poiché
. Proviamo la seconda affermazione. Mettiamo
, quindi per una funzione omogenea
, che doveva essere dimostrato.

Definizione 2. Equazione (4.1)

in cui M e N sono funzioni omogenee dello stesso grado, cioè avere la proprietà per tutti , è detto omogeneo.

Ovviamente, questa equazione può sempre essere ridotta alla forma
(4.2) , sebbene ciò non possa essere fatto per risolverlo.

Un'equazione omogenea viene ridotta a un'equazione con variabili separabili sostituendo la funzione desiderata y secondo la formula y= zx, dove z(X) è la nuova funzione desiderata. Dopo aver eseguito questa sostituzione nell'equazione (4.2), otteniamo:
o
o
.

Integrando si ottiene l'integrale generale dell'equazione rispetto alla funzione z(X)
, che dopo ripetute sostituzioni
fornisce l'integrale generale dell'equazione originale. Inoltre, se - radici dell'equazione
, quindi le funzioni
- soluzioni di una data equazione omogenea. Se
, quindi l'equazione (4.2) assume la forma

e diventa un'equazione con variabili separabili. Le sue soluzioni sono semidirette:
.

Commento. A volte è consigliabile utilizzare la sostituzione al posto della sostituzione di cui sopra X= zy.

§ 5. Equazioni differenziali che si riducono a omogenee.

Considera un'equazione della forma
. (5.1)

Se una
, allora questa equazione è per sostituzione , dove e sono nuove variabili, e - alcuni numeri costanti determinato dal sistema

Ridotto a un'equazione omogenea

Se una
, quindi l'equazione (5.1) assume la forma

.

Supponendo z= ascia+ di, arriviamo a un'equazione che non contiene una variabile indipendente.

Considera degli esempi.

Esempio 1

Integrare l'equazione

ed evidenziare la curva integrale passante per i punti: a) (2;2); b) (1;-1).

Soluzione.

Mettiamo y= zx. Quindi dio= xdz+ zdx e

Riduciamolo e riunire membri a dx e dz:

Separiamo le variabili:

.

Integrando, otteniamo ;

o
,
.

Sostituzione qui z sul , otteniamo l'integrale generale dell'equazione data nella forma (5.2)
o

.

Questa famiglia di cerchi
, i cui centri giacciono su una retta y = X e che all'origine sono tangenti alla retta y + X = 0. Questo drittoy = - X a sua volta, una particolare soluzione dell'equazione.

Ora la modalità attività Cauchy:

A) assumendo nell'integrale generale X=2, y=2, trova C=2, quindi è la soluzione desiderata
.

B) nessuno dei cerchi (5.2) passa per il punto (1;-1). Ma mezza linea y = - X,
passa per il punto e dà la soluzione desiderata.

Esempio 2 Risolvi l'equazione: .

Soluzione.

L'equazione è un caso speciale dell'equazione (5.1).

Determinante
in questo esempio
, quindi dobbiamo risolvere il seguente sistema

Risolvendo, lo capiamo
. Eseguire la sostituzione nell'equazione data
otteniamo un'equazione omogenea. Integrandolo con una sostituzione
, noi troviamo
.

Tornando alle vecchie variabili X e y formule
, noi abbiamo .

§ 6. Equazione omogenea generalizzata.

L'equazione M(X, y) dx+ N(X, y) dio=0 si dice omogeneo generalizzato se è possibile scegliere un tale numero K che il lato sinistro di questa equazione diventa una funzione omogenea di un certo grado m relativamente X, y, dx e dio purché Xè considerato il valore della prima misurazione, y – K esima misura , dx e dio – zero e (K-1) le misure. Ad esempio, questa sarebbe l'equazione
. (6.1)

Valido nell'ipotesi fatta sulle misurazioni

X, y, dx e dio membri del lato sinistro
e dio avrà rispettivamente dimensioni -2, 2 K e K-uno. Equandoli, otteniamo la condizione che il numero desiderato deve soddisfare K: -2 = 2K=K-uno. Questa condizione è soddisfatta quando K= -1 (con tale K tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione in esame avranno dimensione -2). Di conseguenza, l'equazione (6.1) è generalizzata omogenea.

L'equazione omogenea generalizzata viene ridotta a un'equazione con variabili separabili mediante la sostituzione
, dove zè una nuova funzione sconosciuta. Integriamo l'equazione (6.1) con il metodo indicato. Perché K= -1, quindi
, dopo di che otteniamo l'equazione .

Integrandolo, troviamo
, dove
. Questa è la soluzione generale dell'equazione (6.1).

§ 7. Equazioni differenziali lineari del primo ordine.

Un'equazione lineare del 1° ordine è un'equazione lineare rispetto alla funzione desiderata e alla sua derivata. Sembra:

, (7.1)

dove P(X) e Q(X) sono date funzioni continue di X. Se la funzione
, allora l'equazione (7.1) ha la forma:
(7.2)

ed è chiamata equazione omogenea lineare, altrimenti
è chiamata equazione lineare disomogenea.

L'equazione differenziale lineare omogenea (7.2) è un'equazione con variabili separabili:

(7.3)

L'espressione (7.3) è la soluzione generale dell'equazione (7.2). Trovare una soluzione generale dell'equazione (7.1) in cui la funzione P(X) denota la stessa funzione dell'equazione (7.2), applichiamo il metodo chiamato metodo di variazione di una costante arbitraria e consiste nel seguente: proveremo a scegliere la funzione C=C(X) cosicché la soluzione generale dell'equazione lineare omogenea (7.2) sarebbe la soluzione dell'equazione lineare disomogenea (7.1). Allora per la derivata della funzione (7.3) otteniamo:

.

Sostituendo la derivata trovata nell'equazione (7.1), avremo:

o
.

Dove
, dove è una costante arbitraria. Di conseguenza, la soluzione generale dell'equazione lineare disomogenea (7.1) sarà (7.4)

Il primo termine in questa formula rappresenta la soluzione generale (7.3) dell'equazione differenziale lineare omogenea (7.2), e il secondo termine nella formula (7.4) è una soluzione particolare dell'equazione lineare disomogenea (7.1) ottenuta dalla generale (7.4 ) insieme a
. Individuiamo questa importante conclusione sotto forma di teorema.

Teorema. Se è nota una soluzione particolare di un'equazione differenziale lineare disomogenea
, quindi tutte le altre soluzioni hanno la forma
, dove
è la soluzione generale della corrispondente equazione differenziale lineare omogenea.

Tuttavia, va notato che un altro metodo, talvolta chiamato metodo di Bernoulli, è più spesso utilizzato per risolvere l'equazione differenziale lineare disomogenea del 1° ordine (7.1). Cercheremo una soluzione all'equazione (7.1) nella forma
. Quindi
. Sostituiamo la derivata trovata nell'equazione originale:
.

Uniamo, ad esempio, il secondo e il terzo termine dell'ultima espressione ed estraiamo la funzione tu(X) per parentesi:
(7.5)

Richiediamo che la parentesi svanisca:
.

Risolviamo questa equazione impostando una costante arbitraria C uguale a zero:
. Con funzione trovata v(X) torna all'equazione (7.5):
.

Risolvendolo, otteniamo:
.

Pertanto, la soluzione generale dell'equazione (7.1) ha la forma:

§ 8. Equazione di Bernoulli.

Definizione.

Equazione differenziale della forma
, dove
, è chiamata equazione di Bernoulli.

Supponendo che
, dividiamo entrambi i membri dell'equazione di Bernoulli per . Di conseguenza, otteniamo:
(8.1)

Introduciamo una nuova funzione
. Quindi
. Moltiplichiamo l'equazione (8.1) per
e passarlo alla funzione z(X) :
, cioè. per funzione z(X) ottenuto un'equazione lineare disomogenea del 1° ordine. Questa equazione è risolta con i metodi discussi nel paragrafo precedente. Sostituiamo nella sua soluzione generale invece di z(X) espressione
, otteniamo l'integrale generale dell'equazione di Bernoulli, che è facilmente risolvibile rispetto a y. In
viene aggiunta la soluzione y(X)=0 . L'equazione di Bernoulli può anche essere risolta senza passare a un'equazione lineare per sostituzione
, e applicando il metodo di Bernoulli, discusso in dettaglio in § 7. Considera l'applicazione di questo metodo per risolvere l'equazione di Bernoulli usando un esempio specifico.

Esempio. Trova la soluzione generale dell'equazione:
(8.2)

Soluzione.

Pertanto, la soluzione generale di questa equazione ha la forma:
, y(X)=0.

§ 9. Equazioni differenziali in differenziali totali.

Definizione. Se nell'equazione M(X, y) dx+ N(X, y) dio=0 (9.1) il lato sinistro è il differenziale totale di una qualche funzione u(X, y) , allora è chiamata equazione in differenziali totali. Questa equazione può essere riscritta come du(X, y)=0 , quindi, il suo integrale generale è tu(X, y)= c.

Ad esempio, l'equazione xdy+ ydx=0 è un'equazione in differenziali totali, poiché può essere riscritta nella forma d(xy)=0. L'integrale generale sarà xy= cè una funzione derivabile arbitraria. Differenziamo (9.3) rispetto a u
§ 10. Fattore integrativo.

Se l'equazione M(X, y) dx + N(X, y) dio = 0 non è un'equazione in differenziali totali ed esiste una funzione µ = µ(X, y) , in modo tale che dopo aver moltiplicato entrambi i membri dell'equazione per esso, otteniamo l'equazione

µ(Mdx + Ndy) = 0 nei differenziali totali, cioè µ(Mdx + Ndy)du, quindi la funzione µ(X, y) è chiamato fattore di integrazione dell'equazione. Nel caso in cui l'equazione sia già un'equazione in differenziali totali, assumiamo µ = 1.

Se si trova un fattore integrativo µ , quindi l'integrazione di questa equazione si riduce a moltiplicare entrambe le sue parti per µ e trovare l'integrale generale dell'equazione risultante in differenziali totali.

Se una µ è una funzione continuamente differenziabile di X e y, poi
.

Ne consegue che il fattore integrativo µ soddisfa le seguenti PDE di 1° ordine:

(10.1).

Se è noto in anticipo µ= µ(ω) , dove ω è una data funzione da X e y, quindi l'equazione (10.1) si riduce a un'equazione ordinaria (e, inoltre, lineare) con funzione incognita µ dalla variabile indipendente ω :

(10.2),

dove
, cioè la frazione è una funzione solo di ω .

Risolvendo l'equazione (10.2), troviamo il fattore di integrazione

, Insieme a = 1.

In particolare, l'equazione M(X, y) dx + N(X, y) dio = 0 ha un fattore integrativo che dipende solo da X(ω = X) o solo da y(ω = y) se sono soddisfatte rispettivamente le seguenti condizioni:

,

,
.

Equazioni differenziali del primo ordine con variabili separabili.

Definizione. Un'equazione differenziale con variabili separabili è un'equazione della forma (3.1) o un'equazione della forma (3.2)

Per separare le variabili nell'equazione (3.1), cioè ridurre questa equazione alla cosiddetta equazione con variabili separate, eseguire le seguenti azioni: ;

Ora dobbiamo risolvere l'equazione g(y)=0. Se ha una soluzione reale si=a, poi y=a sarà anche una soluzione dell'equazione (3.1).

L'equazione (3.2) è ridotta a un'equazione con variabili separate dividendo per il prodotto:

, che ci permette di ottenere l'integrale generale dell'equazione (3.2): . (3.3)

Le curve integrali (3.3) saranno integrate dalle soluzioni se tali soluzioni esistono.

Equazioni differenziali omogenee del 1° ordine.

Definizione 1. Un'equazione del 1° ordine si dice omogenea se la relazione , detta condizione di omogeneità per una funzione di due variabili di dimensione zero.

Esempio 1 Dimostra che la funzione è omogenea di dimensione zero.

Soluzione. ,

QED

Teorema. Qualsiasi funzione è omogenea e, al contrario, qualsiasi funzione omogenea di dimensione zero si riduce alla forma .

Prova. La prima affermazione del teorema è ovvia, poiché . Proviamo la seconda affermazione. Sia , quindi per una funzione omogenea , che doveva essere dimostrato.

Definizione 2. Equazione (4.1) in cui M e N sono funzioni omogenee dello stesso grado, cioè hanno la proprietà per tutti , si dice omogeneo. Ovviamente, questa equazione può sempre essere ridotta alla forma (4.2) , anche se ciò non può essere fatto per risolverla. Un'equazione omogenea viene ridotta a un'equazione con variabili separabili sostituendo la funzione desiderata y secondo la formula y=zx, dove z(x)è la nuova funzione desiderata. Dopo aver eseguito questa sostituzione nell'equazione (4.2), otteniamo: o o .

Integrando si ottiene l'integrale generale dell'equazione rispetto alla funzione z(x) , che dopo ripetute sostituzioni fornisce l'integrale generale dell'equazione originale. Inoltre, se sono le radici dell'equazione , allora le funzioni sono soluzioni di una data equazione omogenea. Se , allora l'equazione (4.2) assume la forma

E diventa un'equazione con variabili separabili. Le sue soluzioni sono semirette: .

Commento. A volte è consigliabile utilizzare la sostituzione al posto della sostituzione di cui sopra x=zy.

Equazione omogenea generalizzata.

L'equazione M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 si dice omogeneo generalizzato se è possibile scegliere un tale numero K che il lato sinistro di questa equazione diventa una funzione omogenea di un certo grado m relativamente x, y, dx e dio purché Xè considerato il valore della prima misurazione, y – K- esima misura , dx e morire- zero e (k-1) le misure. Ad esempio, questa sarebbe l'equazione . (6.1) Infatti, nell'ipotesi di misurazioni x, y, dx e dio membri del lato sinistro e dio avrà rispettivamente dimensioni -2, 2 K e K-uno. Equandoli, otteniamo la condizione che il numero desiderato deve soddisfare K: -2 = 2K=K-uno. Questa condizione è soddisfatta quando K= -1 (con tale K tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione in esame avranno dimensione -2). Di conseguenza, l'equazione (6.1) è generalizzata omogenea.