Metodi Kramer E gaussiano una delle soluzioni più popolari SLAU. Inoltre, in alcuni casi è consigliabile utilizzare metodi specifici. La sessione è vicina e ora è il momento di ripeterli o padroneggiarli da zero. Oggi ci occupiamo della soluzione con il metodo di Cramer. Dopotutto, risolvere un sistema di equazioni lineari con il metodo di Cramer è un'abilità molto utile.

Sistemi di equazioni algebriche lineari

Il sistema di equazioni algebriche lineari è un sistema di equazioni della forma:

Valore impostato X , in cui le equazioni del sistema si trasformano in identità, è detta soluzione del sistema, UN E B sono coefficienti reali. Un sistema semplice costituito da due equazioni in due incognite può essere risolto mentalmente o esprimendo una variabile in funzione dell'altra. Ma ci possono essere molto più di due variabili (x) in SLAE, e qui sono indispensabili semplici manipolazioni scolastiche. Cosa fare? Ad esempio, risolvi SLAE con il metodo di Cramer!

Quindi lascia stare il sistema N equazioni con N sconosciuto.

Tale sistema può essere riscritto in forma matriciale

Qui UN è la matrice principale del sistema, X E B , rispettivamente, matrici di colonne di variabili sconosciute e membri liberi.

Soluzione SLAE con il metodo di Cramer

Se il determinante della matrice principale non è uguale a zero (la matrice non è singolare), il sistema può essere risolto utilizzando il metodo Cramer.

Secondo il metodo Cramer, la soluzione si trova con le formule:

Qui delta è il determinante della matrice principale, e delta x n-esima - il determinante ottenuto dal determinante della matrice principale sostituendo la n-esima colonna con una colonna di membri liberi.

Questo è il punto centrale del metodo di Cramer. Sostituendo i valori trovati dalle formule precedenti X nel sistema desiderato, siamo convinti della correttezza (o viceversa) della nostra decisione. Per facilitare la comprensione del punto, ecco un esempio. soluzione dettagliata SLAE con il metodo di Cramer:

Anche se non ci riesci la prima volta, non scoraggiarti! Con un po' di pratica, inizierai a far scoppiare SLOW come matti. Inoltre, ora non è assolutamente necessario studiare attentamente un quaderno, risolvere calcoli ingombranti e scrivere sull'asta. È facile risolvere SLAE con il metodo Cramer online, semplicemente sostituendo i coefficienti nella forma finita. provare calcolatrice in linea le soluzioni con il metodo di Cramer possono essere, ad esempio, su questo sito.

E se il sistema si è rivelato ostinato e non si arrende, puoi sempre chiedere aiuto ai nostri autori, ad esempio per acquistare una sinossi. Se ci sono almeno 100 incognite nel sistema, lo risolveremo sicuramente correttamente e appena in tempo!

Sia dato un sistema di tre equazioni lineari:

Per risolvere un sistema di equazioni lineari con il metodo di Cramer, il determinante principale del sistema  viene compilato dai coefficienti delle incognite. Per il sistema (1), il determinante principale ha la forma
.

Successivamente, i determinanti vengono compilati rispetto alle variabili
,,. Per fare ciò, nel determinante principale, invece di una colonna di coefficienti per la variabile corrispondente, viene scritta una colonna di membri liberi, ovvero

,
,
.

Quindi la soluzione del sistema viene trovata dalle formule di Cramer

,
,

Va notato che il sistema ha una soluzione unica
se il determinante principale
. Se
E
= 0,= 0,= 0, allora il sistema ha un numero infinito di soluzioni, che non possono essere trovate dalle formule di Cramer. Se
E
0, o 0, o 0, allora il sistema di equazioni è incoerente, cioè non ha soluzioni.

Esempio

Soluzione:

1) Comporre e calcolare il determinante principale del sistema, costituito da coefficienti per le incognite.

.

Pertanto, il sistema ha una soluzione unica.

2) Comporre e calcolare i determinanti ausiliari, sostituendo la corrispondente colonna in  con una colonna di termini liberi.

Usando le formule di Cramer, troviamo le incognite:

,
,
.

Verificheremo per assicurarci che la soluzione sia corretta

Quelli.
.

, cioè.

, cioè.

Risposta: .

Esempio

Risolvi il sistema di equazioni con il metodo di Cramer:

Soluzione:

1) Componi e calcola la determinante principale del sistema dai coefficienti delle incognite:

.

Pertanto, il sistema non ha una soluzione univoca.

2) Componi e calcola i determinanti ausiliari, sostituendo la colonna corrispondente in  con una colonna di termini liberi:

,
, quindi il sistema è incoerente.

Risposta: il sistema è incoerente.

Metodo di Gauss

Il metodo di Gauss consiste in due fasi. Il primo stadio consiste nella successiva eliminazione delle variabili dalle equazioni del sistema mediante azioni che non violano l'equivalenza del sistema. Ad esempio, consideriamo le prime due equazioni del sistema (1).

(1)

È necessario sommando queste due equazioni per ottenere un'equazione in cui non c'è variabile . Moltiplica la prima equazione per , e il secondo su (
) e sommare le equazioni risultanti

Sostituiamo il coefficiente prima si, z.z e un membro gratuito su ,E di conseguenza, otteniamo una nuova coppia di equazioni

Si noti che non vi è alcuna variabile nella seconda equazione X.

Dopo aver eseguito azioni simili sulla prima e terza equazione del sistema (1), e quindi sulla seconda e terza equazione ottenute come risultato dell'addizione, trasformiamo il sistema (1) nella forma

(2)

Questo risultato è possibile se il sistema ha una soluzione unica. In questo caso, la soluzione viene trovata utilizzando il metodo di Gauss inverso (seconda fase). Dall'ultima equazione del sistema (2) troviamo la variabile sconosciuta z.z, quindi dalla seconda equazione troviamo si, UN X rispettivamente dal primo, sostituendovi incognite già riscontrate.

A volte, come risultato dell'aggiunta di due equazioni, l'equazione totale può assumere una delle seguenti forme:

UN)
, Dove
. Ciò significa che il sistema da risolvere è incoerente.

B), cioè
. Tale equazione è esclusa dal sistema, di conseguenza, il numero di equazioni nel sistema diventa inferiore al numero di variabili e il sistema ha un numero infinito di soluzioni, la cui scoperta sarà mostrata da un esempio.

Esempio

Soluzione:

Considera il seguente metodo per implementare la prima fase della soluzione con il metodo Gauss. Scriviamo tre righe di coefficienti per i termini incogniti e liberi corrispondenti alle tre equazioni del sistema. Separiamo i termini liberi dai coefficienti con una linea verticale e tracciamo una linea orizzontale sotto la terza linea.

Cerchiamo la prima linea, che corrisponde alla prima equazione del sistema: i coefficienti in questa equazione rimarranno invariati. Invece della seconda linea (equazione), devi ottenere una linea (equazione), dove il coefficiente a uguale a zero. Per fare ciò, moltiplichiamo tutti i numeri nella prima riga per (-2) e li aggiungiamo ai numeri corrispondenti nella seconda riga. Scriviamo gli importi risultanti sotto la linea orizzontale (quarta riga). Per ottenere invece della terza riga (equazione) anche una riga (equazione) in cui il coefficiente a è uguale a zero, moltiplichiamo tutti i numeri della prima riga per (-5) e li sommiamo ai numeri corrispondenti della terza riga. Scriviamo gli importi risultanti nella quinta riga e tracciamo una nuova linea orizzontale sotto di essa. La quarta riga (o la quinta - facoltativamente) sarà cerchiata. Viene selezionata la riga con i coefficienti più piccoli. In questa riga i coefficienti rimarranno invariati. Invece della quinta riga, devi ottenere una riga in cui due coefficienti sono già uguali a zero. Moltiplica la quarta riga per 3 e aggiungila alla quinta. Scriviamo l'importo sotto la linea orizzontale (sesta riga) e lo cerchiamo.

Tutte le azioni descritte sono mostrate nella Tabella 1 utilizzando segni e frecce aritmetiche. Scriviamo nuovamente le righe cerchiate nella tabella sotto forma di equazioni (3) e, utilizzando il movimento inverso del metodo di Gauss, troviamo i valori delle variabili X, si E z.z.

Tabella 1

Ripristiniamo il sistema di equazioni ottenuto come risultato delle nostre trasformazioni:

(3)

Metodo Gauss inverso

Dalla terza equazione
Trovare
.

Nella seconda equazione del sistema
sostituire il valore trovato
, noi abbiamo
O
.

Dalla prima equazione
, sostituendo i valori già trovati delle variabili, otteniamo
, questo è
.

Per assicurarsi che la soluzione sia corretta, è necessario effettuare un controllo in tutte e tre le equazioni del sistema.

Visita medica:

, noi abbiamo

Ottenere

Ottenere

Ciò significa che il sistema è corretto.

Risposta:
,
,
.

Esempio

Risolvi il sistema con il metodo di Gauss:

Soluzione:

L'ordine delle azioni in questo esempio è simile all'ordine nell'esempio precedente e le azioni specifiche sono indicate nella Tabella 2.

Come risultato delle trasformazioni si ottiene un'equazione della forma , quindi il sistema dato è inconsistente.

Risposta: il sistema è incoerente.

Esempio

Risolvi il sistema con il metodo di Gauss:

Soluzione:

Tabella 3

Come risultato delle trasformazioni, otteniamo un'equazione della forma , che è esclusa dalla considerazione. Quindi, abbiamo un sistema di equazioni in cui il numero di incognite è 3 e il numero di equazioni è 2.

Il sistema ha un numero infinito di soluzioni. Per trovare queste soluzioni, introduciamo una variabile libera. (Il numero di variabili libere è sempre uguale alla differenza tra il numero di incognite e il numero di equazioni rimanenti dopo la trasformazione del sistema. Nel nostro caso, 3 - 2 = 1).

Permettere
è una variabile libera.

Quindi dalla seconda equazione troviamo
, Dove
e poi trova X dalla prima equazione
O
.

Così,
;
;
.

Facciamo un controllo nelle equazioni che non sono state coinvolte nella ricerca E , cioè nella seconda e terza equazione del sistema originario.

Visita medica:

o , otteniamo
.

o , otteniamo
.

Il sistema è corretto. Dare una costante arbitraria vari significati, otterremo valori diversi X, si E z.z.

Risposta:
;
;
.

2. Risolvere sistemi di equazioni con il metodo matriciale (utilizzando la matrice inversa).
3. Metodo di Gauss per la risoluzione di sistemi di equazioni.

Il metodo di Cramer.

Il metodo di Cramer viene utilizzato per risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari ( SLAU).

Formule sull'esempio di un sistema di due equazioni con due variabili.
Dato: Risolvi il sistema con il metodo di Cramer

Per quanto riguarda le variabili X E A.
Soluzione:
Trova il determinante della matrice, composta dai coefficienti del sistema Calcolo dei determinanti. :

Applichiamo le formule di Cramer e troviamo i valori delle variabili:
E .
Esempio 1:
Risolvi il sistema di equazioni:

per quanto riguarda le variabili X E A.
Soluzione:


Sostituiamo la prima colonna in questo determinante con una colonna di coefficienti dal lato destro del sistema e troviamo il suo valore:

Facciamo un'azione simile, sostituendo la seconda colonna nel primo determinante:

Applicabile Le formule di Cramer e trova i valori delle variabili:
E .
Risposta:
Commento: Questo metodo può essere utilizzato per risolvere sistemi di dimensioni superiori.

Commento: Se risulta che , ed è impossibile dividere per zero, allora dicono che il sistema non ha una soluzione univoca. In questo caso, il sistema ha infinite soluzioni o nessuna soluzione.

Esempio 2(un numero infinito di soluzioni):

Risolvi il sistema di equazioni:

per quanto riguarda le variabili X E A.
Soluzione:
Trova il determinante della matrice, composta dai coefficienti del sistema:

Risolvere sistemi con il metodo della sostituzione.

La prima delle equazioni del sistema è un'uguaglianza vera per qualsiasi valore delle variabili (perché 4 è sempre uguale a 4). Quindi rimane solo un'equazione. Questa è un'equazione di relazione tra variabili.
Abbiamo ottenuto che la soluzione del sistema è qualsiasi coppia di valori di variabili correlate per uguaglianza.
La soluzione generale si scrive così:
Soluzioni particolari possono essere determinate scegliendo un valore arbitrario di y e calcolando x da questa equazione di relazione.

eccetera.
Esistono infinite soluzioni di questo tipo.
Risposta: decisione comune
Soluzioni private:

Esempio 3(nessuna soluzione, il sistema è incoerente):

Risolvi il sistema di equazioni:

Soluzione:
Trova il determinante della matrice, composta dai coefficienti del sistema:

Non puoi usare le formule di Cramer. Risolviamo questo sistema con il metodo di sostituzione

La seconda equazione del sistema è un'uguaglianza che non è valida per nessun valore delle variabili (ovviamente, poiché -15 non è uguale a 2). Se una delle equazioni del sistema non è vera per nessun valore delle variabili, allora l'intero sistema non ha soluzioni.
Risposta: nessuna soluzione

Nella prima parte, ne abbiamo esaminati alcuni materiale teorico, il metodo di sostituzione e il metodo di addizione termine per termine di equazioni di sistema. A tutti coloro che sono giunti sul sito attraverso questa pagina, consiglio di leggere la prima parte. Forse alcuni visitatori troveranno il materiale troppo semplice, ma nel corso della risoluzione di sistemi di equazioni lineari, ho fatto una serie di osservazioni e conclusioni molto importanti riguardanti la soluzione di problemi matematici in generale.

E ora analizzeremo la regola di Cramer, così come la soluzione di un sistema di equazioni lineari usando la matrice inversa (metodo della matrice). Tutti i materiali sono presentati in modo semplice, dettagliato e chiaro, quasi tutti i lettori potranno imparare a risolvere i sistemi utilizzando i metodi di cui sopra.

Consideriamo prima in dettaglio la regola di Cramer per un sistema di due equazioni lineari in due incognite. Per quello? “Dopotutto, il sistema più semplice può essere risolto con il metodo scolastico, con l'aggiunta termine per termine!

Il fatto è che anche se a volte, ma esiste un compito del genere: risolvere un sistema di due equazioni lineari con due incognite usando le formule di Cramer. In secondo luogo, un esempio più semplice ti aiuterà a capire come utilizzare la regola di Cramer per un caso più complesso: un sistema di tre equazioni con tre incognite.

Inoltre, esistono sistemi di equazioni lineari a due variabili, che è consigliabile risolvere esattamente secondo la regola di Cramer!

Considera il sistema di equazioni

Al primo passo, calcoliamo il determinante , si chiama principale determinante del sistema.

Metodo di Gauss.

Se , allora il sistema ha una soluzione unica, e per trovare le radici, dobbiamo calcolare altre due determinanti:
E

In pratica, i qualificatori di cui sopra possono anche essere indicati con la lettera latina.

Le radici dell'equazione si trovano con le formule:
,

Esempio 7

Risolvere un sistema di equazioni lineari

Soluzione: Vediamo che i coefficienti dell'equazione sono piuttosto grandi, sul lato destro ci sono frazioni decimali con una virgola. La virgola è un ospite piuttosto raro compiti pratici in matematica, ho preso questo sistema da un problema econometrico.

Come risolvere un tale sistema? Puoi provare a esprimere una variabile in termini di un'altra, ma in questo caso otterrai sicuramente terribili frazioni fantasiose, con cui è estremamente scomodo lavorare, e il design della soluzione sembrerà semplicemente orribile. Puoi moltiplicare la seconda equazione per 6 e sottrarre termine per termine, ma qui appariranno le stesse frazioni.

Cosa fare? In questi casi, le formule di Cramer vengono in soccorso.

;

;

Risposta: ,

Entrambe le radici hanno code infinite e si trovano approssimativamente, il che è abbastanza accettabile (e persino banale) per i problemi di econometria.

Non sono necessari commenti qui, poiché l'attività viene risolta secondo formule già pronte, tuttavia c'è un avvertimento. Quando si utilizza questo metodo, obbligatorio Il frammento dell'assegnazione è il seguente frammento: "quindi il sistema ha una soluzione unica". Altrimenti, il revisore potrebbe punirti per aver mancato di rispetto al teorema di Cramer.

Non sarà superfluo verificare cosa è conveniente eseguire su una calcolatrice: sostituiamo i valori approssimativi nella parte sinistra di ciascuna equazione del sistema. Di conseguenza, con un piccolo errore, dovrebbero essere ottenuti i numeri che si trovano sul lato destro.

Esempio 8

Esprimi la tua risposta in frazioni improprie ordinarie. Fai un controllo.

Questo è un esempio per una soluzione indipendente (esempio di progettazione fine e risposta alla fine della lezione).

Passiamo alla considerazione della regola di Cramer per un sistema di tre equazioni con tre incognite:

Troviamo la determinante principale del sistema:

Se , allora il sistema ha infinite soluzioni o è inconsistente (non ha soluzioni). In questo caso, la regola di Cramer non aiuterà, devi usare il metodo di Gauss.

Se , allora il sistema ha una soluzione unica, e per trovare le radici, dobbiamo calcolare altre tre determinanti:
, ,

E infine, la risposta è calcolata dalle formule:

Come puoi vedere, il caso "tre per tre" fondamentalmente non è diverso dal caso "due per due", la colonna di termini liberi "cammina" in sequenza da sinistra a destra lungo le colonne del determinante principale.

Esempio 9

Risolvi il sistema usando le formule di Cramer.

Soluzione: Risolviamo il sistema usando le formule di Cramer.

, quindi il sistema ha una soluzione unica.

Risposta: .

In realtà, non c'è niente di speciale da commentare anche qui, visto che la decisione viene presa secondo formule già pronte. Ma ci sono un paio di note.

Succede che a seguito di calcoli si ottengano frazioni irriducibili "cattive", ad esempio: .
Raccomando il seguente algoritmo di "trattamento". Se non c'è un computer a portata di mano, facciamo questo:

1) Potrebbe esserci un errore nei calcoli. Non appena incontri un colpo "cattivo", devi immediatamente verificare se è la condizione riscritta correttamente. Se la condizione viene riscritta senza errori, è necessario ricalcolare i determinanti utilizzando l'espansione in un'altra riga (colonna).

2) Se non sono stati rilevati errori a seguito del controllo, molto probabilmente è stato commesso un errore di battitura nelle condizioni dell'incarico. In questo caso, risolvi il compito con calma e ATTENTAMENTE fino alla fine, e poi assicurati di controllare e redigerlo su una copia pulita dopo la decisione. Ovviamente, controllare una risposta frazionaria è un compito sgradevole, ma sarà un argomento disarmante per l'insegnante, a cui, beh, piace davvero mettere un meno per qualsiasi cosa brutta come. Come gestire le frazioni è dettagliato nella risposta per l'Esempio 8.

Se hai un computer a portata di mano, utilizza un programma automatico per controllarlo, che può essere scaricato gratuitamente all'inizio della lezione. A proposito, è molto vantaggioso utilizzare subito il programma (anche prima di iniziare la soluzione), vedrai subito il passaggio intermedio in cui hai commesso un errore! La stessa calcolatrice calcola automaticamente la soluzione del sistema utilizzando il metodo matriciale.

Seconda osservazione. Di volta in volta ci sono sistemi nelle equazioni di cui mancano alcune variabili, ad esempio:

Qui nella prima equazione non c'è variabile, nella seconda non c'è variabile. In tali casi, è molto importante annotare correttamente e ATTENTAMENTE il determinante principale:
– gli zeri vengono messi al posto delle variabili mancanti.
A proposito, è razionale aprire determinanti con zeri in base alla riga (colonna) in cui si trova lo zero, poiché i calcoli sono notevolmente inferiori.

Esempio 10

Risolvi il sistema usando le formule di Cramer.

Questo è un esempio di auto-decisione (esempio finale e risposta alla fine della lezione).

Per il caso di un sistema di 4 equazioni con 4 incognite, le formule di Cramer sono scritte secondo principi simili. Puoi vedere un esempio dal vivo nella lezione Proprietà determinanti. Riducendo l'ordine del determinante - cinque determinanti del 4° ordine sono abbastanza risolvibili. Anche se il compito ricorda già molto la scarpa di un professore sul petto di uno studente fortunato.

Soluzione del sistema utilizzando la matrice inversa

Il metodo della matrice inversa è essenzialmente un caso speciale equazione matriciale(Vedi esempio n. 3 della lezione specificata).

Per studiare questa sezione, devi essere in grado di espandere i determinanti, trovare la matrice inversa ed eseguire la moltiplicazione di matrici. I collegamenti pertinenti verranno forniti man mano che la spiegazione procede.

Esempio 11

Risolvere il sistema con il metodo matriciale

Soluzione: Scriviamo il sistema in forma matriciale:
, Dove

Si prega di guardare il sistema di equazioni e le matrici. In base a quale principio scriviamo elementi in matrici, penso che tutti capiscano. L'unico commento: se alcune variabili mancassero nelle equazioni, allora gli zeri dovrebbero essere messi nei posti corrispondenti nella matrice.

Troviamo la matrice inversa dalla formula:
, dove è la matrice trasposta dei complementi algebrici dei corrispondenti elementi della matrice .

Per prima cosa, affrontiamo il determinante:

Qui il determinante è espanso dalla prima riga.

Attenzione! Se , allora la matrice inversa non esiste ed è impossibile risolvere il sistema con il metodo matriciale. In questo caso il sistema si risolve per eliminazione delle incognite (metodo di Gauss).

Ora devi calcolare 9 minori e scriverli nella matrice dei minori

Riferimento:È utile conoscere il significato dei doppi pedici in algebra lineare. La prima cifra è il numero di riga in cui si trova l'elemento. La seconda cifra è il numero della colonna in cui si trova l'elemento:

Cioè, un doppio pedice indica che l'elemento è nella prima riga, terza colonna, mentre, ad esempio, l'elemento è nella 3a riga, 2a colonna

Lascia che il sistema di equazioni lineari contenga tante equazioni quante sono le variabili indipendenti, cioè ha la forma

Tali sistemi di equazioni lineari sono chiamati quadratici. Il determinante composto dai coefficienti delle variabili indipendenti del sistema (1.5) è detto determinante principale del sistema. Lo indicheremo con la lettera greca D. Così,

Se nel determinante principale un arbitrario ( J th), sostituirla con la colonna dei membri liberi del sistema (1.5), quindi possiamo ottenere di più N determinanti ausiliari:

(J = 1, 2, …, N). (1.7)

Regola di Cramer risolvere sistemi quadratici di equazioni lineari è il seguente. Se il determinante principale D del sistema (1.5) è diverso da zero, allora il sistema ha un'unica soluzione, che può essere trovata dalle formule:

Esempio 1.5. Risolvi il sistema di equazioni usando il metodo di Cramer

Calcoliamo la determinante principale del sistema:

A partire da D¹0, il sistema ha un'unica soluzione che può essere trovata utilizzando le formule (1.8):

Così,

Azioni di matrice

1. Moltiplicazione di una matrice per un numero. L'operazione di moltiplicazione di una matrice per un numero è definita come segue.

2. Per moltiplicare una matrice per un numero, devi moltiplicare tutti i suoi elementi per questo numero. Questo è

Esempio 1.6. .

Addizione di matrici.

Questa operazione viene introdotta solo per matrici dello stesso ordine.

Per sommare due matrici è necessario sommare gli elementi corrispondenti dell'altra matrice agli elementi di una matrice:

(1.10)
L'operazione di addizione di matrici ha le proprietà di associatività e commutatività.

Esempio 1.7. .

Moltiplicazione di matrici.

Se il numero di colonne della matrice UN corrisponde al numero di righe della matrice IN, allora per tali matrici si introduce l'operazione di moltiplicazione:

Pertanto, quando si moltiplica la matrice UN dimensioni M´ N a matrice IN dimensioni N´ K otteniamo una matrice CON dimensioni M´ K. In questo caso, gli elementi della matrice CON sono calcolati secondo le seguenti formule:

Problema 1.8. Trova, se possibile, il prodotto di matrici AB E BA:

Soluzione. 1) Per trovare un lavoro AB, hai bisogno di righe di matrice UN moltiplicare per le colonne della matrice B:

2) Opere d'arte BA non esiste, perché il numero di colonne della matrice B non corrisponde al numero di righe della matrice UN.

Matrice inversa. Risolvere sistemi di equazioni lineari in modo matriciale

Matrice UN- 1 si dice l'inversa di una matrice quadrata UN se vale l'uguaglianza:

dove attraverso IO denota la matrice identità dello stesso ordine della matrice UN:

Affinché una matrice quadrata abbia un'inversa, è necessario e sufficiente che il suo determinante sia diverso da zero. La matrice inversa si trova con la formula:

Dove A ij- addizioni algebriche agli elementi aij matrici UN(si noti che le addizioni algebriche alle righe della matrice UN sono disposti nella matrice inversa sotto forma di colonne corrispondenti).

Esempio 1.9. Trova la matrice inversa UN- 1 alla matrice

Troviamo la matrice inversa dalla formula (1.13), che per il caso N= 3 sembra:

Troviamo det UN = | UN| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Poiché il determinante della matrice originale è diverso da zero, esiste la matrice inversa.

1) Trova addizioni algebriche A ij:

Per comodità di trovare la matrice inversa, abbiamo inserito le addizioni algebriche alle righe della matrice originale nelle colonne corrispondenti.

Dalle addizioni algebriche ottenute, componiamo una nuova matrice e la dividiamo per il determinante det UN. Quindi, otterremo la matrice inversa:

I sistemi quadratici di equazioni lineari con un determinante principale diverso da zero possono essere risolti utilizzando una matrice inversa. Per questo, il sistema (1.5) è scritto in forma matriciale:

Moltiplicando entrambi i lati dell'uguaglianza (1.14) a sinistra per UN- 1, otteniamo la soluzione del sistema:

Pertanto, per trovare una soluzione a un sistema quadrato, è necessario trovare la matrice inversa alla matrice principale del sistema e moltiplicarla a destra per la matrice colonna dei termini liberi.

Problema 1.10. Risolvere un sistema di equazioni lineari

utilizzando una matrice inversa.

Soluzione. Scriviamo il sistema in forma matriciale: ,

dove è la matrice principale del sistema, è la colonna delle incognite ed è la colonna dei termini liberi. Poiché il determinante principale del sistema è , allora la matrice principale del sistema UN ha una matrice inversa UN-1. Per trovare la matrice inversa UN-1 , calcola i complementi algebrici di tutti gli elementi della matrice UN:

Dai numeri ottenuti componiamo una matrice (inoltre, aggiunte algebriche alle righe della matrice UN scrivere nelle colonne appropriate) e dividerlo per il determinante D. Abbiamo quindi trovato la matrice inversa:

Troviamo la soluzione del sistema con la formula (1.15):

Così,

Risoluzione di sistemi di equazioni lineari mediante eccezioni di Jordan ordinarie

Sia dato un sistema arbitrario (non necessariamente quadrato) di equazioni lineari:

È necessario trovare una soluzione al sistema, ad es. un tale insieme di variabili che soddisfi tutte le uguaglianze del sistema (1.16). IN caso generale il sistema (1.16) può avere non solo una soluzione, ma anche un numero infinito di soluzioni. Potrebbe anche non avere alcuna soluzione.

Quando si risolvono tali problemi, viene utilizzato il metodo di eliminazione delle incognite, ben noto dal corso scolastico, che è anche chiamato il metodo delle ordinarie eliminazioni di Jordan. essenza questo metodo sta nel fatto che in una delle equazioni del sistema (1.16) una delle variabili è espressa in termini di altre variabili. Quindi questa variabile viene sostituita in altre equazioni del sistema. Il risultato è un sistema che contiene un'equazione e una variabile in meno rispetto al sistema originale. Viene ricordata l'equazione da cui è stata espressa la variabile.

Questo processo viene ripetuto fino a quando rimane un'ultima equazione nel sistema. Nel processo di eliminazione delle incognite, alcune equazioni possono trasformarsi in vere identità, per esempio. Tali equazioni sono escluse dal sistema, poiché sono valide per qualsiasi valore delle variabili e, quindi, non influenzano la soluzione del sistema. Se, nel processo di eliminazione delle incognite, almeno un'equazione diventa un'uguaglianza che non può essere soddisfatta per nessun valore delle variabili (ad esempio, ), allora concludiamo che il sistema non ha soluzione.

Se nel corso della risoluzione non sono sorte equazioni incoerenti, allora una delle restanti variabili in essa contenute viene trovata dall'ultima equazione. Se nell'ultima equazione rimane solo una variabile, viene espressa come numero. Se nell'ultima equazione rimangono altre variabili, allora sono considerate parametri e la variabile espressa attraverso di esse sarà una funzione di questi parametri. Quindi viene eseguita la cosiddetta "mossa inversa". La variabile trovata viene sostituita nell'ultima equazione memorizzata e viene trovata la seconda variabile. Poi si sostituiscono le due variabili trovate nella penultima equazione memorizzata e si trova la terza variabile, e così via, fino alla prima equazione memorizzata.

Di conseguenza, otteniamo la soluzione del sistema. Questa soluzione sarà l'unica se le variabili trovate sono numeri. Se la prima variabile trovata, e poi tutte le altre, dipendono dai parametri, allora il sistema avrà un numero infinito di soluzioni (ogni set di parametri corrisponde a una nuova soluzione). Le formule che consentono di trovare una soluzione al sistema in funzione di un particolare insieme di parametri sono chiamate soluzione generale del sistema.

Esempio 1.11.

X

Dopo aver memorizzato la prima equazione e riportato termini simili nella seconda e terza equazione, arriviamo al sistema:

Esprimere si dalla seconda equazione e sostituirla nella prima equazione:

Ricorda la seconda equazione e dalla prima troviamo z.z:

Facendo la mossa inversa, troviamo successivamente si E z.z. Per fare ciò, sostituiamo prima nell'ultima equazione memorizzata , da cui troviamo si:

Quindi sostituiamo e nella prima equazione memorizzata , da cui troviamo X:

Problema 1.12. Risolvi un sistema di equazioni lineari eliminando le incognite:

Soluzione. Esprimiamo la variabile dalla prima equazione X e sostituirlo nella seconda e terza equazione:

In questo sistema, la prima e la seconda equazione si contraddicono a vicenda. Anzi, esprimendo si dalla prima equazione e sostituendola nella seconda equazione, otteniamo che 14 = 17. Questa uguaglianza non è soddisfatta, per qualsiasi valore delle variabili X, si, E z.z. Di conseguenza, il sistema (1.17) è inconsistente, cioè, non ha soluzione.

Si invitano i lettori a verificare autonomamente che la determinante principale del sistema originario (1.17) sia uguale a zero.

Si consideri un sistema che differisce dal sistema (1.17) per un solo termine libero.

Problema 1.13. Risolvi un sistema di equazioni lineari eliminando le incognite:

Soluzione. Come prima, esprimiamo la variabile dalla prima equazione X e sostituirlo nella seconda e terza equazione:

Ricorda la prima equazione e dai termini simili nella seconda e nella terza equazione. Arriviamo al sistema:

esprimere si dalla prima equazione e sostituendola nella seconda equazione, si ottiene l'identità 14 = 14, che non influisce sulla soluzione del sistema, e, quindi, può essere esclusa dal sistema.

Nell'ultima uguaglianza memorizzata, la variabile z.z sarà considerato un parametro. Noi crediamo . Poi

Sostituire si E z.z nella prima uguaglianza memorizzata e trova X:

Pertanto, il sistema (1.18) ha un insieme infinito di soluzioni e qualsiasi soluzione può essere trovata dalle formule (1.19) scegliendo un valore arbitrario del parametro T:

(1.19)
Pertanto, le soluzioni del sistema, ad esempio, sono i seguenti insiemi di variabili (1; 2; 0), (2; 26; 14), ecc. Le formule (1.19) esprimono la soluzione generale (qualsiasi) del sistema (1.18 ).

Nel caso in cui il sistema originario (1.16) abbia un numero sufficientemente elevato di equazioni e incognite, il metodo indicato delle eliminazioni ordinarie di Jordan sembra macchinoso. Tuttavia, non lo è. È sufficiente derivare un algoritmo per ricalcolare i coefficienti del sistema ad un passo in una forma generale e formalizzare la soluzione del problema sotto forma di apposite tabelle di Jordan.

Sia dato un sistema di forme lineari (equazioni):

, (1.20)
Dove x j- variabili indipendenti (desiderate), aij- coefficienti costanti
(io = 1, 2,…, M; J = 1, 2,…, N). Parti giuste del sistema si io (io = 1, 2,…, M) possono essere sia variabili (dipendenti) che costanti. È necessario trovare soluzioni a questo sistema eliminando le incognite.

Consideriamo la seguente operazione, di seguito denominata "una fase delle eccezioni ordinarie della Giordania". Da un arbitrario ( R th) uguaglianza, esprimiamo una variabile arbitraria ( x S) e sostituire in tutte le altre uguaglianze. Naturalmente, questo è possibile solo se un rs¹ 0. Coefficiente un rsè chiamato l'elemento risolutivo (a volte guida o principale).

Otterremo il seguente sistema:

Da S esima uguaglianza del sistema (1.21), troveremo successivamente la variabile x S(dopo che sono state trovate altre variabili). S La decima riga viene ricordata e successivamente esclusa dal sistema. Il sistema rimanente conterrà un'equazione e una variabile indipendente in meno rispetto al sistema originale.

Calcoliamo i coefficienti del sistema risultante (1.21) in termini dei coefficienti del sistema originale (1.20). Iniziamo con R esima equazione, che, dopo aver espresso la variabile x S attraverso il resto delle variabili avrà questo aspetto:

Così, i nuovi coefficienti R esima equazione sono calcolate dalle seguenti formule:

(1.23)
Calcoliamo ora i nuovi coefficienti b ij(io¹ R) di un'equazione arbitraria. Per fare questo, sostituiamo la variabile espressa in (1.22) x S v io esima equazione del sistema (1.20):

Dopo aver portato termini simili, otteniamo:

(1.24)
Dall'uguaglianza (1.24) si ottengono formule con le quali vengono calcolati i restanti coefficienti del sistema (1.21) (ad eccezione di R esima equazione):

(1.25)
La trasformazione di sistemi di equazioni lineari mediante il metodo delle ordinarie eliminazioni giordane è presentata sotto forma di tabelle (matrici). Queste tabelle sono chiamate "tabelle Jordan".

Pertanto, il problema (1.20) è associato alla seguente tavola di Jordan:

Tabella 1.1

	X 1	X 2	…	x j	…	x S	…	x n
si 1 =	UN 11	UN 12		UN 1J		UN 1S		UN 1N
…………………………………………………………………..
si io=	un io 1	un io 2		aij		uno è		un dentro
…………………………………………………………………..
anno=	un r 1	un r 2		un rj		un rs		un rn
………………………………………………………………….
e n=	Sono 1	Sono 2		un mj		un ms		amm

La tabella di Jordan 1.1 contiene la colonna di testa sinistra, in cui sono scritte le parti di destra del sistema (1.20), e la riga di testa superiore, in cui sono scritte le variabili indipendenti.

I restanti elementi della tabella formano la matrice principale dei coefficienti del sistema (1.20). Se moltiplichiamo la matrice UN alla matrice costituita dagli elementi della riga di intestazione superiore, otteniamo la matrice costituita dagli elementi della colonna di intestazione sinistra. Cioè, in sostanza, la tavola di Jordan è una forma matriciale di scrittura di un sistema di equazioni lineari: . In questo caso, la seguente tavola di Jordan corrisponde al sistema (1.21):

Tabella 1.2

	X 1	X 2	…	x j	…	anno	…	x n
si 1 =	B 11	B 12		B 1 J		B 1 S		B 1 N
…………………………………………………………………..
io =	b io 1	b io 2		b ij		b è		bidone
…………………………………………………………………..
xs =	fratello 1	fratello 2		b rj		fratelli		brn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		bmj		b ms		bmn

Elemento permissivo un rs evidenzieremo in grassetto. Ricordiamo che per implementare un passo delle eccezioni Jordan, l'elemento risolutivo deve essere diverso da zero. Una riga della tabella contenente un elemento permissivo è chiamata riga permissiva. La colonna contenente l'elemento enable è chiamata colonna enable. Quando ci si sposta da una determinata tabella alla tabella successiva, una variabile ( x S) dalla riga di intestazione superiore della tabella viene spostato nella colonna di intestazione sinistra e, viceversa, uno dei membri liberi del sistema ( anno) viene spostato dalla colonna di intestazione sinistra della tabella alla riga di intestazione superiore.

Descriviamo l'algoritmo per il ricalcolo dei coefficienti nel passaggio dalla tabella di Jordan (1.1) alla tabella (1.2), che segue dalle formule (1.23) e (1.25).

1. L'elemento abilitante è sostituito dal numero inverso:

2. Gli elementi rimanenti della linea permissiva sono divisi dall'elemento permissivo e cambiano segno al contrario:

3. I restanti elementi della colonna di abilitazione sono divisi nell'elemento di abilitazione:

4. Gli elementi che non sono inclusi nella riga e nella colonna di risoluzione vengono ricalcolati secondo le formule:

L'ultima formula è facile da ricordare se noti che gli elementi che compongono la frazione si trovano all'intersezione io-Oh e R-esima riga e J esimo e S-esima colonna (riga di risoluzione, colonna di risoluzione e riga e colonna all'intersezione delle quali si trova l'elemento da ricalcolare). Più precisamente, quando si memorizza la formula, è possibile utilizzare il seguente diagramma:

-21 -26 -13 -37

Eseguendo il primo passaggio delle eccezioni giordane, qualsiasi elemento della tabella 1.3 situato nelle colonne X 1 ,…, X 5 (tutti gli elementi specificati non sono uguali a zero). Non dovresti solo selezionare l'elemento abilitante nell'ultima colonna, perché necessità di trovare variabili indipendenti X 1 ,…, X 5 . Scegliamo, ad esempio, il coefficiente 1 con una variabile X 3 nella terza riga della tabella 1.3 (l'elemento abilitante è evidenziato in grassetto). Passando alla tabella 1.4, la variabile X Il 3 dalla riga di intestazione superiore viene scambiato con la costante 0 della colonna di intestazione sinistra (terza riga). Allo stesso tempo, la variabile X 3 è espresso in termini delle restanti variabili.

corda X 3 (Tabella 1.4) può, come precedentemente ricordato, essere escluso dalla Tabella 1.4. La tabella 1.4 esclude anche la terza colonna con uno zero nella riga superiore dell'intestazione. Il punto è che indipendentemente dai coefficienti di questa colonna b io 3 tutti i termini corrispondenti ad esso di ciascuna equazione 0 b io 3 sistemi saranno zero. Pertanto, questi coefficienti non possono essere calcolati. Eliminando una variabile X 3 e ricordando una delle equazioni, arriviamo ad un sistema corrispondente alla Tabella 1.4 (con la linea barrata X 3). Scegliere nella tabella 1.4 come elemento risolutivo B 14 = -5, vai alla tabella 1.5. Nella tabella 1.5 ricordiamo la prima riga e la escludiamo dalla tabella insieme alla quarta colonna (con lo zero in alto).

Tabella 1.5 Tabella 1.6

Dall'ultima tabella 1.7 troviamo: X 1 = - 3 + 2X 5 .

Sostituendo in sequenza le variabili già trovate nelle righe memorizzate, troviamo le restanti variabili:

Pertanto, il sistema ha un numero infinito di soluzioni. variabile X 5 , puoi assegnare valori arbitrari. Questa variabile funge da parametro X 5 = t. Abbiamo dimostrato la compatibilità del sistema e trovato la sua soluzione generale:

X 1 = - 3 + 2T

X 2 = - 1 - 3T

X 3 = - 2 + 4T . (1.27)
X 4 = 4 + 5T

X 5 = T

Dare parametro T valori diversi, otteniamo un numero infinito di soluzioni al sistema originale. Quindi, ad esempio, la soluzione del sistema è il seguente insieme di variabili (- 3; - 1; - 2; 4; 0).