In precedenza, abbiamo discusso i metodi generali di integrazione. In questa e nelle sezioni successive parleremo dell'integrazione di classi specifiche di funzioni con l'aiuto delle tecniche considerate.

Integrazione delle più semplici funzioni razionali

Considera un integrale della forma \textstyle(\int R(x)\,dx), dove y=R(x) è una funzione razionale. Qualsiasi espressione razionale R(x) può essere rappresentata come \frac(P(x))(Q(x)), dove P(x) e Q(x) sono polinomi. Se questa frazione non è corretta, cioè se il grado del numeratore è maggiore o uguale al grado del denominatore, allora può essere rappresentata come la somma di un polinomio (la parte intera) e di una frazione propria. Pertanto, basta considerare l'integrazione delle frazioni proprie.

Mostriamo che l'integrazione di tali frazioni si riduce all'integrazione frazioni semplici, ovvero espressioni della forma:

\mathsf(1))~\frac(A)(x-a);\quad \mathsf(2))~\frac(A)((x-a)^n);\quad \mathsf(3))~ \frac( Ax+B)(x^2+px+q);\quad \mathsf(4))~\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n).

dove A,\,B,\,a,\,p,\,q sono numeri reali e il trinomio quadrato x^2+px+q non ha radici reali. Le espressioni della forma 1) e 2) sono dette frazioni del 1° tipo e le espressioni della forma 3) e 4) sono dette frazioni del 2° tipo.

Gli integrali delle frazioni del 1° tipo sono calcolati direttamente

\begin(allineato)\mathsf(1))&~\int\frac(A)(x-a)\,dx= A\ln|x-a|+C;\\ \mathsf(2))&~ \int\frac (LA)((x-a)^n)\,dx= LA\int(x-a)^(-n)\,dx= LA\,\frac((x-a)^(-n+1))(-n+ 1 )+C~(n=2,3,4,\lpunti). \end(allineato)

Consideriamo il calcolo degli integrali da frazioni del 2° tipo: \mathsf(3))~ \int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx\,.

Innanzitutto, notiamolo

\int\frac(dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(a)\nomeoperatore(arctg)\frac(t)(a)+C,\qquad \int\frac(t\ ,dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(2)\ln(t^2+a^2)+C.

Per ridurre il calcolo dell'integrale 3) a questi due integrali, trasformiamo il trinomio quadrato x^2+px+q estraendo da esso un quadrato pieno:

x^2+px+q= (\sinistra(x+\frac(p)(2)\destra)\^2+ \left(q-\frac{p^2}{4}\right)\!. !}

Poiché per ipotesi questo trinomio non ha radici reali, quindi q-\frac(p^2)(4)>0 e possiamo mettere q-\frac(p^2)(4)=a^2. Sostituzione x+\frac(p)(2)=t,~ dx=dt trasforma l'integrale 3) in una combinazione lineare dei due integrali precedenti:

\begin(allineato)\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx&= \int\frac(A\!\left(t-\frac(p)(2)\right )+B)(t^2+a^2)\,dt= A\int\frac(t\,dt)(t^2+a^2)+ \left(B-\frac(Ap)(2 )\right)\!\int\frac(dt)(t^2+a^2)=\\ &=\frac(A)(2)\ln(t^2+a^2)+ \frac( 1)(a)\!\left(B-\frac(Ap)(2)\right)\!\ \nomeoperatore(arctg)\frac(t)(a)+C. \end(allineato)

Nella risposta finale, devi solo sostituire (t) con x+\frac(p)(2) e (a) con \sqrt(q-\frac(p^2)(4)). Poiché t^2+a^2=x^2+px+q , allora

\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx= \frac(A)(2)\ln(x^2+px+q)+ \frac(B-\dfrac( Ap)(2))(\sqrt(q-\dfrac(p^2)(4))) \nomeoperatore(arctg)\frac(x+\dfrac(p)(2))(\sqrt(q-\dfrac (p^2)(4)))+C.

Considera il caso \mathsf(4))~ \int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx.

Come nel caso precedente, impostiamo x+\frac(p)(2)=t . Noi abbiamo:

\int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx= A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n) + \left(B-\frac(Ap)(2)\right)\! \int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)\,.

Il primo termine si calcola così:

A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n)= \frac(A)(2)\int(t^2+a^2)^(-n)\ ,d(t^2+a^2)= \frac(A)(2)\frac((t^2+a^2)^(-n+1))(-n+1)= \frac( A)(2(1-n)(t^2+a^2)^(n-1))\,.

Il secondo integrale viene calcolato utilizzando la formula ricorrente.

Esempio 1 Calcolare \int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx.

Soluzione. Abbiamo: x^2+2x+3=(x+1)^2+2. Sia x+1=t . Quindi dx=dt e 3x+2=3(t-1)+2=3t-1 e quindi

\begin(allineato)\int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx&= \int\frac(3t-1)(t^2+2)\,dt= \frac( 3)(2)\int\frac(2t\,dt)(t^2+2)- \int\frac(dt)(t^2+(\sqrt(2))^2)=\\ &= \frac(3)(2)\ln(t^2+2)- \frac(1)(\sqrt(2))\nomeoperatore(arctg)\frac(t)(\sqrt(2))+C= \\ &=\frac(3)(2)\ln(x^2+2x+3)- \frac(1)(\sqrt(2))\nomeoperatore(arctg)\frac(x+1)(\ sqrt(2))+C. \end(allineato)

Esempio 2 Calcolare \int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx.

Soluzione. Abbiamo: x^2+6x+10=(x+3)^2+1. Introduciamo una nuova variabile impostando x+3=t . Quindi dt=dx e x+2=t-1 . Sostituendo la variabile sotto il segno di integrale si ottiene:

\begin(allineato)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&= \int\frac(t-1)((t^2+1)^2 )\,dt= \frac(1)(2)\int\frac(2t\,dt)((t^2+1)^2)-\int\frac(dt)((t^2+1) ^2)=\\ &=-\frac(1)(2(t^2+1))- \int\frac(dt)((t^2+1)^2)\,. \end(allineato))

Mettiamo I_2=\int\frac(dt)((t^2+1)^2). Abbiamo:

I_2=\frac(1)(2)I_1+\frac(1)(2)\frac(t)(t^2+1), ma I_1=\int\frac(dt)(t^2+1)= \nomeoperatore(arctg)t In questo modo, I_2= \frac(1)(2)\nomeoperatore(arctg)t+ \frac(t)(2(t^2+1)).

Infine otteniamo:

\begin(allineato)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&=-\frac(1)(2(t^2+1))-\frac (1)(2)\nomeoperatore(arctg)t-\frac(t)(2(t^2+1))=\\ &=-\frac(1)(2(x^2+6x+10) )- \frac(1)(2)\nomeoperatore(arctg)(x+3)- \frac(x+3)(2(x^2+6x+10))+C=\\ &=\frac( -x-4)(2(x^2+6x+10))-\frac(1)(2)\nomeoperatore(arctg)(x+3)+C \end(allineato)

Integrazione di frazioni proprie

Considera una frazione adeguata R(x)=\frac(P(x))(Q(x)), dove Q(x) è un polinomio di grado n . Senza perdita di generalità, possiamo assumere che il coefficiente direttivo in Q(x) sia uguale a 1. Nel corso dell'algebra, è dimostrato che un tale polinomio con coefficienti reali può essere scomposto in fattori di primo e secondo grado con coefficienti reali :

Q(x)= (x-x_1)^(\alpha)\ldots (x-x_k)^(\beta) (x^2+p\,x+q)^(\gamma)\ldots (x^2 +r\,x+s)^(\delta).

dove x_1,\ldots,x_k sono radici reali del polinomio Q(x) e i trinomi quadrati non hanno radici reali. Si può dimostrare che allora R(x) è rappresentato come somma di semplici frazioni della forma 1) -4):

\begin(allineato)R(x)=&\frac(P(x))(Q(x))= \frac(A_1)((x-x_1)^(\alpha))+ \frac(A_2)( (x-x_1)^(\alpha-1))+\ldots+ \frac(A_(\alpha))(x-x_1)\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(B_1)((x- x_k)^(\beta))+ \frac(B_2)((x-x_k)^(\beta-1))+\ldots+ \frac(B_(\beta))(x-x_k)+ \frac(M_1x+ N_1)((x^2+p\,x+q)^(\gamma))\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(M_(\gamma)+ N_(\gamma))(x^ 2+ p\,x+s)+ \frac(E_1x+F_1)((x^2+rx+s)^(\delta))+\ldots+ \frac(E_(\delta)x+F_(\delta ))(x^2+rx+s)\, \end(allineato)

dove gli esponenti dei denominatori decrescono in sequenza da \alpha a 1, ..., da \beta a 1, da \gamma a 1, ..., da \delta a 1, e A_1,\lpunti,F_(\delta)- coefficienti indefiniti. Per trovare questi coefficienti, è necessario eliminare i denominatori e, ottenuta l'uguaglianza di due polinomi, utilizzare il metodo dei coefficienti indefiniti.

Un altro modo per determinare i coefficienti A_1,\ldots, A_(\alpha), \ldots, F_(\delta) si basa sulla sostituzione dei valori della variabile x . Sostituendo un numero qualsiasi invece di x nell'uguaglianza ottenuta dall'uguaglianza (1) dopo la liberazione dai denominatori, si arriva a equazione lineare rispetto ai coefficienti desiderati. Sostituendo il numero richiesto di tali valori particolari della variabile, otteniamo un sistema di equazioni per trovare i coefficienti. È più conveniente scegliere le radici del denominatore (sia reale che complesso) come valori privati ​​della variabile. In questo caso, quasi tutti i termini sul lato destro dell'uguaglianza (che significa l'uguaglianza di due polinomi) svaniscono, il che rende facile trovare i coefficienti rimanenti. Quando si sostituiscono valori complessi, va tenuto presente che due numeri complessi sono uguali se e solo se le loro parti reale e immaginaria sono rispettivamente uguali. Pertanto, da ciascuna uguaglianza contenente numeri complessi, si ottengono due equazioni.

Dopo aver trovato i coefficienti indefiniti, resta da calcolare gli integrali delle frazioni semplici ottenute. Poiché integrando le frazioni più semplici, come abbiamo visto, si ottengono solo funzioni razionali, arcotangenti e logaritmi, allora l'integrale di ogni funzione razionale è espresso in termini di funzione razionale, arcotangenti e logaritmi.

Esempio 3 Calcola l'integrale di una frazione razionale propria \int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx.

Soluzione. Scomponiamo il denominatore dell'integrando in fattori:

x^2+2x-3=(x-1)(x+3).

Scriviamo l'integrando e lo rappresentiamo come somma di frazioni semplici:

\frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(A)(x-1)+\frac(B)(B+3)\,.

Liberandoci dai denominatori in questa uguaglianza, otteniamo:

6x+1=A\cpunto (x+3)+B\cpunto (x-1)\,.

Per trovare i coefficienti utilizziamo il metodo di sostituzione dei valori parziali. Per trovare il coefficiente A mettiamo x=1 . Quindi dall'uguaglianza (2) otteniamo 7=4A , da cui A=7/4 . Per trovare il coefficiente B poniamo x=-3 . Quindi dall'uguaglianza (2) otteniamo -17=-4B , da cui B=17/4 .

Così, \frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(7)(4)\cdot\frac(1)(x-1)+ \frac(17)(4)\cdot\frac (1)(x+3). Significa,

\int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx= \frac(7)(4)\int\frac(dx)(x-1)+ \frac(17)(4 )\int\frac(dx)(x+3)= \frac(7)(4)\ln|x-1|+ \frac(17)(4)\ln|x+3|+C.

Esempio 4 Calcolare \int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx.

Soluzione. Scriviamo l'integrando e lo rappresentiamo come somma di frazioni semplici. Il denominatore contiene il fattore x^2+2, che non ha radici reali, corrisponde ad una frazione del 2° tipo: \frac(Ax+B)(x^2+2) il fattore (x-1)^2 corrisponde alla somma di due frazioni del 1° tipo: \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1); infine, il fattore x+2 corrisponde ad una frazione del 1° tipo \frac(E)(x+2) . Pertanto, rappresenteremo l'integrando come somma di quattro frazioni:

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(Ax+B)(x^2+2 )+ \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1)+ \frac(E)(x+2)\,.

Eliminiamo i denominatori in questa uguaglianza. Noi abbiamo:

\begin(allineato) x^4+2x^2+8x+5&= (Ax+B)(x-1)^2(x+2)+ C(x^2+2)(x+2)\, +\\ &\fantasma(=)+ D(x^2+2)(x-1)(x+2)+ E(x^2+2)(x-1)^2.\end(allineato)

Il denominatore dell'integrando ha due radici reali: x=1 e x=-2 . Sostituendo x=1 nell'uguaglianza (4), otteniamo 16=9C , da cui troviamo C=16/9 . Sostituendo x=-2, otteniamo 13=54E e determiniamo E=13/54 di conseguenza. Sostituendo il valore x=i\,\sqrt(2) (la radice del polinomio x^2+2 ) si passa all'uguaglianza

4-4+8\,i\,\sqrt(2)+5= (A\,i\,\sqrt(2)+B)\cdot (i\,\sqrt(2)-1)^2\ cdot(i\,\sqrt(2)+2).

Si trasforma in:

(10A+2B)+(2A-5B)\sqrt(2)\,i= 5+8\sqrt(2)\,i, da cui 10A+2B=5 , e (2A-5B)\sqrt(2)=8\sqrt(2).

Risolvere un sistema di due equazioni con due variabili \begin(casi)10A+2B=5,\\ 2A-5B=8,\end(casi) noi troviamo: A=\frac(41)(54),~ B=-\frac(35)(27).

Resta da determinare il valore del coefficiente D . Per fare ciò, nell'uguaglianza (4) apriamo le parentesi, diamo termini simili e quindi confrontiamo i coefficienti in x^4. Noi abbiamo:

A+D+E=1 , ovvero D=0 .

Sostituiamo i valori trovati dei coefficienti nell'uguaglianza (3):

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(\drac(41)(54)\, x- \dfrac(35)(27))(x^2+2)+ \frac(16)(9)\frac(1)((x-1)^2)+ \frac(13)(54) \frac(1)(x+2)\,

per poi passare all'integrazione:

\begin(allineato)\int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx&= \frac( 41)(54)\int\frac(x\,dx)(x^2+2)- \frac(35)(27)\int\frac(dx)(x^2+2)+ \frac(16 )(9) \int\frac(dx)((x-1)^2)+ \frac(13)(54)\int\frac(dx)(x+2)=\\ &=\frac(41 )(108)\ln(x^2+2)- \frac(35)(27\sqrt(2))\nomeoperatore(arctg)\frac(x)(\sqrt(2))- \frac(16) (9(x-1))+ \frac(13)(54) \ln|x+2|+C.\end(allineato)

Integrazione di frazioni improprie

Sia necessario integrare la funzione y=\frac(f(x))(g(x)), dove f(x) e g(x) sono polinomi e il grado del polinomio f(x) è maggiore o uguale al grado del polinomio g(x) . In questo caso, prima di tutto, è necessario selezionare la parte intera della frazione impropria \frac(f(x))(g(x)), cioè rappresentarlo nella forma

\frac(f(x))(g(x))=s(x)+ \frac(r(x))(g(x))\,

dove s(x) è un polinomio di grado uguale alla differenza dei gradi dei polinomi f(x) e g(x) , e \frac(r(x))(g(x))è una frazione propria.

Poi abbiamo \int\frac(f(x))(g(x))\,dx= \int s(x)\,dx+ \int\frac(r(x))(g(x))\,dx\, ..

Esempio 5 Calcola l'integrale di una frazione impropria \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx.

Soluzione. Abbiamo:

\begin(allineato)g(x)&=(x-1)(x+2)(x-3)= x^3-2x^2-5x+6,\\ f(x)&=x^4 -4x^3+x^2+16x-11. \end(allineato)

Per estrarre la parte intera, dividiamo f(x) per g(x) : \frac(f(x))(g(x))= x-2+\frac(2x^2+1)(x^3-2x^2-5x+6)\,.

Significa, \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx= \int(x-2)dx+ \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx

Abbiamo: \int(x-2)dx=\frac(x^2)(2)-2x+C.

Per calcolare l'integrale \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx applicato, come sopra, il metodo dei coefficienti indeterminati. Dopo i calcoli, che lasciamo al lettore, otteniamo.

ARGOMENTO: Integrazione frazioni razionali.

Attenzione! Quando si studia uno dei principali metodi di integrazione - l'integrazione di frazioni razionali - è necessario considerare i polinomi nel dominio complesso per dimostrazioni rigorose. Pertanto, è necessario studiare in anticipo alcune proprietà dei numeri complessi e le operazioni su di essi.

Integrazione delle frazioni razionali più semplici.

Se una P(z) e Q(z) sono polinomi nel dominio complesso, allora è una frazione razionale. È chiamato corretta se il grado P(z) meno grado Q(z) , e sbagliato se il grado R non meno laurea Q.

Qualsiasi frazione impropria può essere rappresentata come: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

un R(z) – polinomio il cui grado è minore del grado Q(z).

Pertanto, l'integrazione delle frazioni razionali si riduce all'integrazione dei polinomi, cioè delle funzioni di potenza, e delle frazioni proprie, poiché è una frazione propria.

Definizione 5. Le frazioni più semplici (o elementari) sono frazioni dei seguenti tipi:

1) , 2) , 3) , 4) .

Scopriamo come si integrano.

3) (esplorato in precedenza).

Teorema 5. Qualsiasi frazione propria può essere rappresentata come somma di frazioni semplici (senza dimostrazione).

Corollario 1. Se è una frazione razionale propria, e se tra le radici del polinomio ci sono solo radici reali semplici, allora nell'espansione della frazione nella somma delle frazioni semplici ci saranno solo frazioni semplici del 1° tipo:

Esempio 1

Corollario 2. Se è una frazione razionale propria, e se tra le radici del polinomio ci sono solo radici reali multiple, allora nell'espansione della frazione nella somma delle frazioni semplici ci saranno solo frazioni semplici di 1° e 2° tipo :

Esempio 2

Corollario 3. Se è una frazione razionale propria, e se tra le radici del polinomio ci sono solo radici coniugate complesse semplici, allora nell'espansione della frazione nella somma delle frazioni semplici ci saranno solo frazioni semplici di 3° tipo:

Esempio 3

Corollario 4. Se è una frazione razionale propria, e se tra le radici del polinomio ci sono solo radici multiple complesse coniugate, allora nell'espansione della frazione nella somma delle frazioni semplici ci saranno solo frazioni semplici della 3a e 4a tipi:

Per determinare i coefficienti incogniti nelle espansioni di cui sopra, procedere come segue. sinistra e lato destro espansione contenente coefficienti sconosciuti, moltiplicata per Risulta l'uguaglianza di due polinomi. Da esso si ottengono le equazioni per i coefficienti desiderati, utilizzando che:

1. l'uguaglianza è valida per qualsiasi valore di X (metodo dei valori parziali). In questo caso, si ottiene un numero qualsiasi di equazioni, qualsiasi m delle quali ci consente di trovare coefficienti incogniti.

2. i coefficienti coincidono alle stesse potenze di X (metodo dei coefficienti indefiniti). In questo caso si ottiene un sistema di m - equazioni con m - incognite, da cui si trovano coefficienti sconosciuti.

3. metodo combinato.

Esempio 5. Espandi una frazione al più semplice.

Soluzione:

Trova i coefficienti A e B.

1 modo - metodo del valore privato:

Metodo 2 - il metodo dei coefficienti incerti:

Risposta:

Integrazione di frazioni razionali.

Teorema 6. L'integrale indefinito di qualsiasi frazione razionale su qualsiasi intervallo in cui il suo denominatore non è uguale a zero esiste ed è espresso in termini di funzioni elementari, ovvero frazioni razionali, logaritmi e arcotangenti.

Prova.

Rappresentiamo una frazione razionale nella forma: . Inoltre, l'ultimo termine è una frazione propria, e per il Teorema 5 può essere rappresentato come una combinazione lineare di frazioni semplici. Pertanto, l'integrazione di una frazione razionale si riduce all'integrazione di un polinomio S(X) e le frazioni più semplici, le cui antiderivate, come si è mostrato, hanno la forma indicata nel teorema.

Commento. La difficoltà principale in questo caso è la scomposizione del denominatore in fattori, cioè la ricerca di tutte le sue radici.

Esempio 1. Trova l'integrale

Il materiale presentato in questo argomento si basa sulle informazioni presentate nell'argomento "Frazioni razionali. Decomposizione di frazioni razionali in frazioni elementari (semplici)". Ti consiglio vivamente di sfogliare almeno questo argomento prima di procedere alla lettura di questo materiale. Inoltre, avremo bisogno di una tabella di integrali indefiniti.

Lascia che ti ricordi un paio di termini. Sono stati discussi nell'argomento in questione, quindi qui mi limiterò a una breve formulazione.

Il rapporto di due polinomi $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ è chiamato funzione razionale o frazione razionale. Si chiama la frazione razionale corretta se $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется sbagliato.

Le frazioni razionali elementari (più semplici) sono frazioni razionali di quattro tipi:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Nota (utile per una migliore comprensione del testo): mostra\nascondi

Perché è necessaria la condizione $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Ad esempio, per l'espressione $x^2+5x+10$ otteniamo: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Poiché $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

A proposito, per questo controllo non è necessario che il coefficiente davanti a $x^2$ sia uguale a 1. Ad esempio, per $5x^2+7x-3=0$ otteniamo: $D=7^2- 4\cpunto 5 \cpunto (-3)=109$. Poiché $D > 0$, l'espressione $5x^2+7x-3$ è fattorizzabile.

Si possono trovare esempi di frazioni razionali (regolari e improprie), nonché esempi di espansione di una frazione razionale in elementari. Qui ci interessano solo le questioni della loro integrazione. Cominciamo con l'integrazione delle frazioni elementari. Quindi, ciascuno dei quattro tipi delle frazioni elementari di cui sopra è facile da integrare utilizzando le formule seguenti. Lascia che ti ricordi che quando si integrano frazioni di tipo (2) e (4) si assume $n=2,3,4,\ldots$. Le formule (3) e (4) richiedono la condizione $p^2-4q< 0$.

\begin(equazione) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equazione) \begin(equazione) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equazione) \begin(equazione) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(equazione)

Per $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ viene effettuata la sostituzione $t=x+\frac(p)(2)$, dopodiché l'integrale risultante è diviso in due. Il primo verrà calcolato inserendolo sotto il segno del differenziale, e il secondo apparirà come $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Questo integrale è preso usando la relazione di ricorrenza

\begin(equazione) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)Io_n, \; n\in N \end(equazione)

Il calcolo di tale integrale è analizzato nell'esempio n. 7 (vedi terza parte).

Schema per il calcolo di integrali da funzioni razionali (frazioni razionali):

1. Se l'integrando è elementare, applica le formule (1)-(4).
2. Se l'integrando non è elementare, rappresentalo come somma di frazioni elementari e poi integra usando le formule (1)-(4).

L'algoritmo di cui sopra per l'integrazione di frazioni razionali ha un innegabile vantaggio: è universale. Quelli. Usando questo algoritmo, si può integrare qualunque frazione razionale. Ecco perché quasi tutte le sostituzioni di variabili nell'integrale indefinito (sostituzioni di Eulero, Chebyshev, sostituzione trigonometrica universale) sono fatte in modo tale che dopo questa sostituzione otteniamo una frazione razionale sotto l'intervallo. E applica l'algoritmo ad esso. Analizzeremo l'applicazione diretta di questo algoritmo usando degli esempi, dopo aver fatto una piccola nota.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

In linea di principio, questo integrale è facile da ottenere senza l'applicazione meccanica della formula. Se prendiamo la costante $7$ dal segno di integrale e prendiamo in considerazione che $dx=d(x+9)$, otteniamo:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Per informazioni dettagliate consiglio di guardare l'argomento. Spiega in dettaglio come vengono risolti tali integrali. A proposito, la formula è dimostrata dalle stesse trasformazioni che sono state applicate in questo paragrafo quando si risolve "manualmente".

2) Anche in questo caso, ci sono due modi: applicare una formula già pronta o farne a meno. Se applichi la formula, dovresti considerare che il coefficiente davanti a $x$ (il numero 4) dovrà essere rimosso. Per fare ciò, eliminiamo semplicemente i quattro tra parentesi:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\sinistra(x+\frac(19)(4)\destra)^8). $$

Ora è il momento di applicare la formula:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Puoi fare a meno di usare la formula. E anche senza mettere i costanti $ 4 $ fuori dalle parentesi. Se prendiamo in considerazione che $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, otteniamo:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Spiegazioni dettagliate sulla ricerca di tali integrali sono fornite nell'argomento "Integrazione per sostituzione (introduzione sotto il segno differenziale)" .

3) Dobbiamo integrare la frazione $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Questa frazione ha la struttura $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, dove $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Tuttavia, per assicurarti che questa sia effettivamente una frazione elementare del terzo tipo, devi controllare la condizione $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Risolviamo lo stesso esempio, ma senza usare la formula già pronta. Proviamo ad isolare al numeratore la derivata del denominatore. Cosa significa questo? Sappiamo che $(x^2+10x+34)"=2x+10$. È l'espressione $2x+10$ che dobbiamo isolare nel numeratore. Finora, il numeratore contiene solo $4x+7$ , ma non per molto. Applicare la seguente trasformazione al numeratore:

$$ 4x+7=2\cpunto 2x+7=2\cpunto (2x+10-10)+7=2\cpunto(2x+10)-2\cpunto 10+7=2\cpunto(2x+10) -13. $$

Ora nel numeratore è apparsa l'espressione richiesta $2x+10$. E il nostro integrale può essere riscritto come segue:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Rompiamo in due l'integrando. Bene, e, di conseguenza, anche l'integrale stesso è "diviso":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \destra)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Parliamo prima dell'integrale primo, cioè circa $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Poiché $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, allora il differenziale denominatore si trova nel numeratore dell'integrando. In breve, invece dell'espressione $( 2x+10)dx$ scriviamo $d(x^2+10x+34)$.

Diciamo ora qualche parola sul secondo integrale. Individuiamo il quadrato intero al denominatore: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Inoltre, prendiamo in considerazione $dx=d(x+5)$. Ora la somma degli integrali da noi ottenuti in precedenza può essere riscritta in una forma leggermente diversa:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Se apportiamo la modifica $u=x^2+10x+34$ nel primo integrale, assumerà la forma $\int\frac(du)(u)$ e assumerà semplice applicazione seconda formula da . Per quanto riguarda il secondo integrale, per esso è ammissibile la sostituzione $u=x+5$, dopodiché assume la forma $\int\frac(du)(u^2+9)$. Questa è l'acqua più pura, l'undicesima formula dalla tavola degli integrali indefiniti. Quindi, tornando alla somma degli integrali, avremo:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Abbiamo ottenuto la stessa risposta di quando si applica la formula , il che, in effetti, non è sorprendente. In generale, la formula è dimostrata con gli stessi metodi che abbiamo usato per trovare questo integrale. Credo che un lettore attento possa avere una domanda qui, quindi la formulerò:

Domanda 1

Se applichiamo la seconda formula dalla tabella degli integrali indefiniti all'integrale $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, otteniamo quanto segue:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Perché il modulo mancava nella soluzione?

Risposta alla domanda n. 1

La domanda è del tutto legittima. Il modulo era assente solo perché l'espressione $x^2+10x+34$ per ogni $x\in R$ è maggiore di zero. Questo è abbastanza facile da mostrare in diversi modi. Ad esempio, poiché $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ e $(x+5)^2 ≥ 0$, allora $(x+5)^2+9 > 0$ . È possibile giudicare in modo diverso, senza coinvolgere la selezione di un quadrato intero. Da $ 10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ per ogni $x\in R$ (se questa catena logica è sorprendente, ti consiglio di guardare il metodo grafico per risolvere le disuguaglianze quadrate). In ogni caso, poiché $x^2+10x+34 > 0$, allora $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, cioè puoi usare parentesi normali invece di un modulo.

Tutti i punti dell'esempio n. 1 sono risolti, resta solo da scrivere la risposta.

Risposta:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Esempio #2

Trova l'integrale $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

A prima vista, l'integrando $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ è molto simile a una frazione elementare del terzo tipo, cioè a $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Sembra che l'unica differenza sia il coefficiente $3$ davanti a $x^2$, ma non ci vorrà molto per rimuovere il coefficiente (tra parentesi). Tuttavia, questa somiglianza è evidente. Per la frazione $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ la condizione $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Il nostro coefficiente davanti a $x^2$ non è uguale a uno, quindi controlla la condizione $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, quindi l'espressione $3x^2-5x-2$ può essere fattorizzata. Ciò significa che la frazione $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ non è una frazione elementare del terzo tipo e si applica all'integrale $\int\frac(7x+12)( La formula 3x^2- 5x-2)dx$ non è consentita.

Ebbene, se la frazione razionale data non è elementare, allora deve essere rappresentata come somma di frazioni elementari e quindi integrata. In breve, approfitta di trail. Come scomporre una frazione razionale in elementari è scritto in dettaglio. Iniziamo calcolando il denominatore:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(allineato) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \end(allineato)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cpunto\sinistra(x+\frac(1)(3)\destra)(x-2). $$

Rappresentiamo la frazione subinterna nella forma seguente:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\sinistra(x+\frac(1)(3)\destra)(x-2)). $$

Ora espandiamo la frazione $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ in quelle elementari:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\sinistra(x+\frac(1)(3)\destra))(\sinistra(x+ \frac(1)(3)\destra)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\sinistra(x+\frac(1)( 3)\destra). $$

Per trovare i coefficienti $A$ e $B$ ci sono due modi standard: il metodo dei coefficienti indeterminati e il metodo della sostituzione dei valori parziali. Applichiamo il metodo di sostituzione del valore parziale sostituendo $x=2$ e poi $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\sinistra(x+\frac(1)(3)\destra).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\sinistra(2+\frac(1)(3)\destra); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\destra); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cpunto 3)(9\cpunto 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Poiché sono stati trovati i coefficienti, non resta che annotare l'espansione finita:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

In linea di principio, puoi lasciare questa voce, ma mi piace una versione più accurata:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Tornando all'integrale originale, sostituiamo in esso l'espansione risultante. Quindi dividiamo l'integrale in due e applichiamo la formula a ciascuno. Preferisco eliminare immediatamente le costanti al di fuori del segno di integrale:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Risposta: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Esempio #3

Trova l'integrale $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Dobbiamo integrare la frazione $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Il numeratore è un polinomio di secondo grado e il denominatore è un polinomio di terzo grado. Poiché il grado del polinomio al numeratore è minore del grado del polinomio al denominatore, cioè $ 2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Dobbiamo solo dividere in tre l'integrale dato e applicare la formula a ciascuno. Preferisco eliminare immediatamente le costanti al di fuori del segno di integrale:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Risposta: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Una continuazione dell'analisi di esempi di questo argomento si trova nella seconda parte.

Una delle classi più importanti di funzioni i cui integrali sono espressi in termini di funzioni elementari è la classe delle funzioni razionali.

Definizione 1. Una funzione della forma dove
- polinomi di gradonemchiamato razionale. Un'intera funzione razionale, cioè polinomio, integra direttamente. L'integrale di una funzione frazionaria-razionale può essere trovato espandendosi in termini, che vengono convertiti in modo standard negli integrali della tabella principale.

Definizione 2. Frazione
si dice corretto se il grado del numeratorenminore del denominatorem. Una frazione il cui numeratore è maggiore o uguale al denominatore è chiamata frazione impropria.

Qualsiasi frazione impropria può essere rappresentata come la somma di un polinomio e di una frazione propria. Questo viene fatto dividendo un polinomio per un polinomio "colonna", simile alla divisione dei numeri.

Esempio.

Immagina una frazione
come somma di un polinomio e di una frazione propria:

x - 1

3

3

3

Primo termine
nel quoziente si ottiene dividendo il termine principale
, divisibile per il termine principale X divisore. Quindi moltiplichiamo
al divisore x-1 e sottrarre il risultato dal dividendo; i restanti termini del quoziente incompleto si trovano allo stesso modo.

Dopo aver diviso i polinomi, otteniamo:

Questa azione è chiamata selezione dell'intera parte.

Definizione 3. Le frazioni più semplici sono frazioni razionali proprie dei seguenti tipi:

IO.

II.
(K=2, 3, …).

III.
dove è il trinomio quadrato

IV.
dove K=2, 3, …; trinomio quadrato
non ha vere radici.

a) espandere il denominatore
nei più semplici fattori reali (secondo il teorema fondamentale dell'algebra, questa scomposizione può contenere binomi lineari della forma
e trinomi quadrati
, senza radici);

b) scrivere uno schema per espandere una data frazione in una somma di frazioni semplici. Inoltre, ogni fattore della forma
corrisponde K termini di tipo I e II:

ad ogni fattore della forma
corrisponde a e termini di tipo III e IV:

Esempio.

Scrivi uno schema di scomposizione frazionaria
nella somma dei più semplici.

c) eseguire l'addizione delle frazioni semplici ottenute. Annotare l'uguaglianza dei numeratori delle frazioni ricevute e iniziali;

d) trovare i coefficienti dell'espansione corrispondente:
(i metodi di soluzione saranno discussi di seguito);

e) Sostituire i valori trovati dei coefficienti nello schema di decomposizione.

L'integrazione di qualsiasi frazione razionale propria dopo la scomposizione in termini semplici si riduce a trovare integrali di uno dei tipi:

(K e e =2, 3, …).

Calcolo integrale si riduce alla formula III:

integrante - alla formula II:

integrante si può trovare per la regola specificata nella teoria dell'integrazione di funzioni contenenti un trinomio quadrato; - dalle trasformazioni mostrate sotto nell'esempio 4.

Esempio 1

a) fattorizzare il denominatore:

b) scrivere uno schema per espandere l'integrando in termini:

c) eseguire l'addizione di frazioni semplici:

Scriviamo l'uguaglianza dei numeratori delle frazioni:

d) esistono due metodi per trovare coefficienti sconosciuti A, B, C.

Due polinomi sono uguali se e solo se i loro coefficienti sono uguali alle stesse potenze X, quindi puoi creare il corrispondente sistema di equazioni. Questa è una delle soluzioni.

Coefficienti a

membri liberi (coefficiente a ):4A=8.

Risolvendo il sistema, otteniamo A=2, B=1, C= - 10.

Un altro metodo: i valori privati ​​saranno discussi nel prossimo esempio;

e) sostituire i valori trovati nello schema di espansione:

Sostituendo la somma risultante sotto il segno di integrale e integrando ogni termine separatamente, troviamo:

Esempio 2

Un'identità è un'uguaglianza che è valida per qualsiasi valore delle incognite in essa incluse. Basato su questo metodo del valore privato. Può essere attaccato X qualsiasi valore. È più conveniente per i calcoli prendere quei valori che svaniscono qualsiasi termine sul lato destro dell'uguaglianza.

Permettere x = 0. Quindi 1 = A 0(0+2)+B 0 (0-1)+C (0-1)(0+2).

Allo stesso modo, quando x = - 2 noi abbiamo 1= - 2B*(-3), a x = 1 noi abbiamo 1 = 3A.

Di conseguenza,

Esempio 3

d) Per prima cosa utilizziamo il metodo dei valori parziali.

Permettere x = 0, poi 1 = A 1, A = 1.

In x = - 1 noi abbiamo - 1+4+2+1 = - B(1+1+1) o 6 = - 3V, B = - 2.

Per trovare i coefficienti C e D, devi comporre altre due equazioni. Per fare ciò, puoi prendere qualsiasi altro valore X, Per esempio x = 1 e x = 2. Puoi usare il primo metodo, es. uguagliare i coefficienti a potenze identiche X, per esempio quando e . Ottenere

1 = LA + B + C e 4 = C +D- A.

Conoscere A = 1, B = -2, trova C = 2, D = 0 .

Pertanto, quando si calcolano i coefficienti, è possibile combinare entrambi i metodi.

Ultimo integrale troviamo separatamente secondo la regola specificata nel metodo di comando di una nuova variabile. Selezioniamo il quadrato pieno al denominatore:

diciamo
poi
Noi abbiamo:

=

Sostituendo nell'uguaglianza precedente, troviamo

Esempio 4

Trova

b)

e)

Integrando abbiamo:

Trasformiamo il primo integrale nella formula III:

Trasformiamo il secondo integrale nella formula II:

Nel terzo integrale sostituiamo la variabile:

(Durante l'esecuzione delle trasformazioni, abbiamo utilizzato la formula della trigonometria

Trova gli integrali:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Domande per l'autoesame.

Quali delle frazioni razionali date sono corrette:

2. Lo schema di espansione di una frazione nella somma di frazioni semplici è scritto correttamente?

2., 5.
,

3.
, 6.
.

Negli integrali 1-3 come tu accettare . Quindi dopo n-fold applicando la formula (19), si arriva a uno degli integrali di tabella

,
,
.

Negli integrali 4-6, quando si differenzia, il fattore trascendentale è semplificato
,
o
, che dovrebbe essere preso come tu.

Calcola i seguenti integrali.

Esempio 7

Esempio 8

Ridurre gli integrali a se stesso

Se l'integrando
sembra:

,
,
e così via,

quindi dopo doppia integrazione per parti otteniamo un'espressione contenente l'integrale originale :

,

dove
è una costante.

Risolvere l'equazione risultante rispetto a , otteniamo una formula per calcolare l'integrale originale:

.

Questo caso di applicazione del metodo di integrazione per parti è chiamato " portando a sé l'integrale».

Esempio 9 Calcola integrale
.

Sul lato destro c'è l'integrale originale . Spostandolo sul lato sinistro, otteniamo:

.

Esempio 10 Calcola integrale
.

4.5. Integrazione delle frazioni razionali proprie più semplici

Definizione.Le frazioni proprie più semplici io , II e III tipi si chiamano le seguenti frazioni:

io. ;

II.
; (
è un numero intero positivo);

III.
; (le radici del denominatore sono complesse, cioè:
.

Considera gli integrali di frazioni semplici.

io.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Trasformiamo il numeratore della frazione in modo da individuare il termine nel numeratore
uguale alla derivata del denominatore.

Considera il primo dei due integrali ottenuti e modificalo:

Nel secondo integrale completiamo il denominatore con un quadrato intero:

Infine, l'integrale di una frazione di terzo tipo è uguale a:

=
+
. (22)

Pertanto, l'integrale delle frazioni più semplici di tipo I è espresso in termini di logaritmi, tipo II - in termini di funzioni razionali, tipo III - in termini di logaritmi e arcotangenti.

4.6 Integrazione di funzioni frazionarie-razionali

Una delle classi di funzioni che hanno un integrale espresso in termini di funzioni elementari è la classe delle funzioni razionali algebriche, cioè le funzioni risultanti da un numero finito di operazioni algebriche su un argomento.

Ogni funzione razionale
può essere rappresentato come rapporto di due polinomi
e
:

. (23)

Assumiamo che i polinomi non abbiano radici comuni.

Viene chiamata una frazione della forma (23). corretta, se il grado del numeratore è minore del grado del denominatore, cioè m< n. Altrimenti - sbagliato.

Se la frazione non è corretta, allora, dividendo il numeratore per il denominatore (secondo la regola della divisione dei polinomi), rappresentiamo la frazione come somma di un polinomio e di una frazione propria:

, (24)

dove
- polinomio, è una frazione propria e il grado del polinomio
- nessun grado superiore ( n-1).

Esempio.

Poiché l'integrazione di un polinomio è ridotta alla somma degli integrali tabulari di una funzione di potenza, la principale difficoltà nell'integrazione delle frazioni razionali è l'integrazione delle frazioni razionali proprie.

L'algebra dimostra che ogni frazione propria si scompone nella somma di quanto sopra protozoi frazioni, la cui forma è determinata dalle radici del denominatore
.

Consideriamo tre casi speciali. Qui e sotto, assumeremo che il coefficiente al massimo grado del denominatore
uguale a uno =1, cioèpolinomio ridotto .

Caso 1 Le radici del denominatore, cioè le radici
equazioni
=0 sono reali e differenti. Quindi rappresentiamo il denominatore come prodotto di fattori lineari:

e la frazione propria si decompone nelle frazioni più semplici del tipo I:

, (26)

dove
- alcuni numeri costanti, che si trovano con il metodo dei coefficienti indeterminati.

Per questo hai bisogno di:

1. Ridurre il lato destro dell'espansione (26) a un denominatore comune.

2. Uguagliare i coefficienti alle stesse potenze dei polinomi identici nel numeratore delle parti sinistra e destra. Otteniamo un sistema di equazioni lineari per la determinazione
.

3. Risolvi il sistema risultante e trova i coefficienti incerti
.

Allora l'integrale della funzione frazionario-razionale (26) sarà uguale alla somma degli integrali delle frazioni più semplici del tipo I, calcolata dalla formula (20).

Esempio. Calcola integrale
.

Soluzione. Fattorizziamo il denominatore usando il teorema di Vieta:

Quindi, l'integrando si espande nella somma di frazioni semplici:

.

X:

Scriviamo un sistema di tre equazioni per la ricerca
X sui lati sinistro e destro:

.

Indichiamo un metodo più semplice per trovare coefficienti indeterminati, chiamato metodo del valore parziale.

Assumendo in uguaglianza (27)
noi abbiamo
, dove
. Supponendo
noi abbiamo
. Infine, supponendo
noi abbiamo
.

.

Caso 2 radice del denominatore
sono reali, ma tra loro ci sono radici multiple (uguali). Quindi rappresentiamo il denominatore come prodotto di fattori lineari inclusi nel prodotto nella misura in cui la molteplicità della radice corrispondente è:

dove
.

Frazione corretta verrà ampliata la somma delle frazioni di I-esimo e II-esimo tipo. Lasciamo, per esempio, - radice del denominatore della molteplicità K, e tutto il resto ( n- K) di radici sono diversi.

Quindi la scomposizione sarà simile a:

Allo stesso modo, se ci sono altre radici multiple. Per le radici non multiple, l'espansione (28) include le frazioni più semplici del primo tipo.

Esempio. Calcola integrale
.

Soluzione. Rappresentiamo una frazione come somma di frazioni semplici del primo e del secondo tipo a coefficienti indefiniti:

.

Portiamo il lato destro a un denominatore comune e uguagliamo i polinomi nei numeratori dei lati sinistro e destro:

Sul lato destro ne diamo di simili con gli stessi gradi X:

Scriviamo il sistema di quattro equazioni per la ricerca
e . Per fare questo, uguagliamo i coefficienti alle stesse potenze X sul lato sinistro e destro

.

Caso 3 Tra le radici del denominatore
hanno radici complesse una tantum. Cioè, l'espansione del denominatore include fattori di secondo grado
, che non possono essere scomposti in fattori lineari reali, e non si ripetono.

Quindi, nell'espansione della frazione, ciascuno di tali fattori corrisponderà alla frazione più semplice di tipo III. I fattori lineari corrispondono alle frazioni più semplici dei tipi I-esimo e II-esimo.

Esempio. Calcola integrale
.

Soluzione.
.

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