Sistemi di equazioni ricevuti ampia applicazione nel settore economico modellazione matematica vari processi. Ad esempio, quando si risolvono problemi di gestione e pianificazione della produzione, percorsi logistici ( compito di trasporto) o il posizionamento delle apparecchiature.

I sistemi di equazioni sono utilizzati non solo nel campo della matematica, ma anche in fisica, chimica e biologia, quando si risolvono problemi di trovare la dimensione della popolazione.

sistema equazioni lineari nominare due o più equazioni con più variabili per le quali è necessario trovare una soluzione comune. Una tale sequenza di numeri per cui tutte le equazioni diventano vere uguaglianze o dimostrano che la sequenza non esiste.

Equazione lineare

Le equazioni della forma ax+by=c sono dette lineari. Le designazioni x, y sono le incognite, il cui valore deve essere trovato, b, a sono i coefficienti delle variabili, c è il termine libero dell'equazione.
Risolvere l'equazione tracciando il suo grafico apparirà come una linea retta, i cui punti sono tutti la soluzione del polinomio.

Tipi di sistemi di equazioni lineari

I più semplici sono esempi di sistemi di equazioni lineari con due variabili X e Y.

F1(x, y) = 0 e F2(x, y) = 0, dove F1,2 sono funzioni e (x, y) sono variabili di funzione.

Risolvi un sistema di equazioni - significa trovare tali valori (x, y) per i quali il sistema diventa una vera uguaglianza, oppure stabilire che non esistono valori adatti di x e y.

Una coppia di valori (x, y), scritti come coordinate puntiformi, è chiamata soluzione di un sistema di equazioni lineari.

Se i sistemi hanno una soluzione comune o non esiste una soluzione, sono chiamati equivalenti.

I sistemi omogenei di equazioni lineari sono sistemi il cui lato destro è uguale a zero. Se la parte destra dopo il segno di "uguale" ha un valore o è espressa da una funzione, tale sistema non è omogeneo.

Il numero di variabili può essere molto più di due, quindi dovremmo parlare di un esempio di sistema di equazioni lineari con tre o più variabili.

Di fronte ai sistemi, gli scolari presumono che il numero delle equazioni debba necessariamente coincidere con il numero delle incognite, ma non è così. Il numero di equazioni nel sistema non dipende dalle variabili, può essercene un numero arbitrariamente grande.

Metodi semplici e complessi per la risoluzione di sistemi di equazioni

Non esiste un modo analitico generale per risolvere tali sistemi, tutti i metodi sono basati su soluzioni numeriche. Il corso scolastico di matematica descrive in dettaglio metodi come la permutazione, l'addizione algebrica, la sostituzione, nonché il metodo grafico e matriciale, la soluzione con il metodo di Gauss.

Il compito principale nell'insegnamento dei metodi di risoluzione è insegnare come analizzare correttamente il sistema e trovare l'algoritmo di soluzione ottimale per ciascun esempio. La cosa principale non è memorizzare un sistema di regole e azioni per ciascun metodo, ma comprendere i principi dell'applicazione di un metodo particolare.

La soluzione di esempi di sistemi di equazioni lineari del 7 ° anno del programma scolastico di istruzione generale è abbastanza semplice ed è spiegata in dettaglio. In qualsiasi libro di testo di matematica, questa sezione riceve sufficiente attenzione. La soluzione di esempi di sistemi di equazioni lineari con il metodo di Gauss e Cramer è studiata in modo più dettagliato nei primi corsi degli istituti di istruzione superiore.

Soluzione di sistemi con il metodo della sostituzione

Le azioni del metodo di sostituzione hanno lo scopo di esprimere il valore di una variabile attraverso la seconda. L'espressione viene sostituita nell'equazione rimanente, quindi viene ridotta a un'unica forma variabile. L'azione viene ripetuta a seconda del numero di incognite nel sistema

Diamo un esempio di un sistema di equazioni lineari della 7a classe con il metodo di sostituzione:

Come si può vedere dall'esempio, la variabile x è stata espressa tramite F(X) = 7 + Y. L'espressione risultante, sostituita nella 2a equazione del sistema al posto di X, ha aiutato ad ottenere una variabile Y nella 2a equazione . La soluzione di questo esempio non crea difficoltà e consente di ottenere il valore Y. Ultimo passo questo è un test dei valori ricevuti.

Non è sempre possibile risolvere un esempio di un sistema di equazioni lineari per sostituzione. Le equazioni possono essere complesse e l'espressione della variabile in termini di seconda incognita sarà troppo ingombrante per ulteriori calcoli. Quando ci sono più di 3 incognite nel sistema, anche la soluzione di sostituzione è impraticabile.

Soluzione di un esempio di sistema di equazioni lineari disomogenee:

Soluzione mediante addizione algebrica

Quando si cerca una soluzione ai sistemi con il metodo dell'addizione, vengono eseguite l'addizione termine per termine e la moltiplicazione delle equazioni per vari numeri. L'obiettivo finale delle operazioni matematiche è un'equazione con una variabile.

Per le applicazioni questo metodo ci vuole pratica e osservazione. Non è facile risolvere un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo dell'addizione con numero di variabili 3 o più. L'addizione algebrica è utile quando le equazioni contengono frazioni e numeri decimali.

Algoritmo di azione della soluzione:

1. Moltiplica entrambi i membri dell'equazione per un numero. Come risultato dell'operazione aritmetica, uno dei coefficienti della variabile deve diventare uguale a 1.
2. Aggiungi l'espressione risultante termine per termine e trova una delle incognite.
3. Sostituisci il valore risultante nella seconda equazione del sistema per trovare la variabile rimanente.

Metodo risolutivo introducendo una nuova variabile

Una nuova variabile può essere introdotta se il sistema deve trovare una soluzione per non più di due equazioni, anche il numero di incognite non deve essere superiore a due.

Il metodo viene utilizzato per semplificare una delle equazioni introducendo una nuova variabile. La nuova equazione viene risolta rispetto all'incognita inserita e il valore risultante viene utilizzato per determinare la variabile originale.

Dall'esempio si evince che introducendo una nuova variabile t è stato possibile ridurre la prima equazione del sistema ad un trinomio quadrato standard. Puoi risolvere un polinomio trovando il discriminante.

È necessario trovare il valore del discriminante utilizzando la nota formula: D = b2 - 4*a*c, dove D è il discriminante desiderato, b, a, c sono i moltiplicatori del polinomio. Nell'esempio dato, a=1, b=16, c=39, quindi D=100. Se il discriminante è maggiore di zero, allora ci sono due soluzioni: t = -b±√D / 2*a, se il discriminante è minore di zero, allora c'è una sola soluzione: x= -b / 2*a.

La soluzione per i sistemi risultanti si trova con il metodo dell'addizione.

Un metodo visivo per risolvere i sistemi

Adatto per sistemi con 3 equazioni. Il metodo consiste nel tracciare i grafici di ciascuna equazione inclusa nel sistema sull'asse delle coordinate. Le coordinate dei punti di intersezione delle curve e saranno soluzione comune sistemi.

Il metodo grafico ha una serie di sfumature. Considera diversi esempi di risoluzione di sistemi di equazioni lineari in modo visivo.

Come si può vedere dall'esempio, sono stati costruiti due punti per ogni linea, i valori della variabile x sono stati scelti arbitrariamente: 0 e 3. Sulla base dei valori di x, sono stati trovati i valori per y: 3 e 0. I punti con le coordinate (0, 3) e (3, 0) sono stati contrassegnati sul grafico e collegati da una linea.

I passaggi devono essere ripetuti per la seconda equazione. Il punto di intersezione delle rette è la soluzione del sistema.

Nell'esempio seguente è necessario trovare una soluzione grafica al sistema di equazioni lineari: 0.5x-y+2=0 e 0.5x-y-1=0.

Come si può vedere dall'esempio, il sistema non ha soluzione, perché i grafici sono paralleli e non si intersecano per tutta la loro lunghezza.

I sistemi degli esempi 2 e 3 sono simili, ma una volta costruiti diventa ovvio che le loro soluzioni sono diverse. Va ricordato che non sempre è possibile dire se il sistema ha una soluzione o meno, è sempre necessario costruire un grafico.

Matrix e le sue varietà

Le matrici vengono utilizzate per scrivere brevemente un sistema di equazioni lineari. Una matrice è un tipo speciale di tabella piena di numeri. n*m ha n - righe e m - colonne.

Una matrice è quadrata quando il numero di colonne e righe è uguale. Una matrice-vettore è una matrice a colonna singola con un numero infinito di righe. Una matrice con unità lungo una delle diagonali e altri zero elementi è chiamata identità.

Una matrice inversa è una tale matrice, quando moltiplicata per la quale quella originale si trasforma in una unità, tale matrice esiste solo per quella quadrata originale.

Regole per trasformare un sistema di equazioni in una matrice

Per quanto riguarda i sistemi di equazioni, i coefficienti ei membri liberi delle equazioni sono scritti come numeri della matrice, un'equazione è una riga della matrice.

Una riga di matrice è chiamata diversa da zero se almeno un elemento della riga non è uguale a zero. Pertanto, se in una qualsiasi delle equazioni il numero di variabili differisce, è necessario inserire zero al posto dell'incognita mancante.

Le colonne della matrice devono corrispondere rigorosamente alle variabili. Ciò significa che i coefficienti della variabile x possono essere scritti solo in una colonna, ad esempio la prima, il coefficiente dell'incognita y - solo nella seconda.

Quando si moltiplica una matrice, tutti gli elementi della matrice vengono successivamente moltiplicati per un numero.

Opzioni per trovare la matrice inversa

La formula per trovare la matrice inversa è abbastanza semplice: K -1 = 1 / |K|, dove K -1 è la matrice inversa e |K| - determinante di matrice. |K| non deve essere uguale a zero, allora il sistema ha una soluzione.

Il determinante è facilmente calcolabile per una matrice due per due, è solo necessario moltiplicare gli elementi diagonalmente l'uno per l'altro. Per l'opzione "tre per tre", esiste una formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + un 3 b 2 c 1 . Puoi usare la formula, oppure puoi ricordare che devi prendere un elemento da ogni riga e ogni colonna in modo che i numeri di colonna e riga degli elementi non si ripetano nel prodotto.

Soluzione di esempi di sistemi di equazioni lineari con il metodo matriciale

Il metodo matriciale per trovare una soluzione consente di ridurre voci ingombranti quando si risolvono sistemi con un numero elevato di variabili ed equazioni.

Nell'esempio, a nm sono i coefficienti delle equazioni, la matrice è un vettore x n sono le variabili e b n sono i termini liberi.

Soluzione di sistemi con il metodo di Gauss

Nella matematica superiore, il metodo Gauss è studiato insieme al metodo Cramer e il processo per trovare una soluzione ai sistemi è chiamato metodo di risoluzione Gauss-Cramer. Questi metodi vengono utilizzati per trovare le variabili di sistemi con un gran numero di equazioni lineari.

Il metodo gaussiano è molto simile alle soluzioni di sostituzione e addizione algebrica, ma è più sistematico. Nel corso della scuola, la soluzione gaussiana viene utilizzata per i sistemi di 3 e 4 equazioni. Lo scopo del metodo è portare il sistema alla forma di un trapezio rovesciato. Mediante trasformazioni e sostituzioni algebriche, il valore di una variabile si trova in una delle equazioni del sistema. La seconda equazione è un'espressione con 2 incognite e 3 e 4 - rispettivamente con 3 e 4 variabili.

Portato il sistema nella forma descritta, l'ulteriore soluzione si riduce alla sostituzione sequenziale di variabili note nelle equazioni del sistema.

A libri di testo scolastici per il grado 7, un esempio di soluzione con il metodo di Gauss è descritto come segue:

Come si può vedere dall'esempio, al punto (3) sono state ottenute due equazioni 3x 3 -2x 4 =11 e 3x 3 +2x 4 =7. La soluzione di una qualsiasi delle equazioni ti permetterà di scoprire una delle variabili x n.

Il teorema 5, menzionato nel testo, afferma che se una delle equazioni del sistema viene sostituita da una equivalente, anche il sistema risultante sarà equivalente a quello originale.

Il metodo Gauss è difficile da comprendere per gli studenti Scuola superiore, ma è uno dei modi più interessanti per sviluppare l'ingegno dei bambini iscritti al programma approfondimento nelle classi di matematica e fisica.

Per facilitare la registrazione dei calcoli, è consuetudine effettuare le seguenti operazioni:

I coefficienti di equazione e i termini liberi sono scritti sotto forma di una matrice, in cui ogni riga della matrice corrisponde a una delle equazioni del sistema. separa il lato sinistro dell'equazione dal lato destro. I numeri romani indicano i numeri delle equazioni nel sistema.

Per prima cosa annotano la matrice con cui lavorare, quindi tutte le azioni eseguite con una delle righe. La matrice risultante viene scritta dopo il segno "freccia" e continua a eseguire le operazioni algebriche necessarie fino al raggiungimento del risultato.

Di conseguenza, si dovrebbe ottenere una matrice in cui una delle diagonali è 1 e tutti gli altri coefficienti sono uguali a zero, ovvero la matrice viene ridotta a un'unica forma. Non dobbiamo dimenticare di fare calcoli con i numeri di entrambi i lati dell'equazione.

Questa notazione è meno ingombrante e permette di non distrarsi elencando numerose incognite.

L'applicazione gratuita di qualsiasi metodo di soluzione richiederà cura e una certa esperienza. Non tutti i metodi vengono applicati. Alcuni modi per trovare soluzioni sono più preferibili in una particolare area dell'attività umana, mentre altri esistono ai fini dell'apprendimento.

Sistemi di equazioni lineari. Lezione 6

Sistemi di equazioni lineari.

Concetti basilari.

sistema di visualizzazione

chiamato sistema - equazioni lineari con incognite.

I numeri , , vengono chiamati coefficienti di sistema.

I numeri sono chiamati membri liberi del sistema, – variabili di sistema. Matrice

chiamato la matrice principale del sistema, e la matrice

– sistema a matrice espansa. Matrici - colonne

E corrispondentemente matrici di membri liberi e incognite del sistema. Quindi, in forma matriciale, il sistema di equazioni può essere scritto come . Soluzione di sistemaè chiamato il valore delle variabili, sostituendo le quali, tutte le equazioni del sistema si trasformano in vere uguaglianze numeriche. Qualsiasi soluzione del sistema può essere rappresentata come una colonna-matrice. Allora l'uguaglianza di matrice è vera.

Viene chiamato il sistema di equazioni giunto se ha almeno una soluzione e incompatibile se non ha soluzione.

Risolvere un sistema di equazioni lineari significa scoprire se è compatibile e, se è compatibile, trovarne la soluzione generale.

Il sistema è chiamato omogeneo se tutti i suoi termini liberi sono uguali a zero. Un sistema omogeneo è sempre compatibile perché ha una soluzione

Il teorema di Kronecker-Kopelli.

La risposta alla domanda sull'esistenza di soluzioni di sistemi lineari e sulla loro unicità ci consente di ottenere il seguente risultato, che può essere formulato come le seguenti affermazioni su un sistema di equazioni lineari con incognite

(1)

Teorema 2. Il sistema di equazioni lineari (1) è consistente se e solo se il rango della matrice principale è uguale al rango di quella estesa (.

Teorema 3. Se il rango della matrice principale di un sistema congiunto di equazioni lineari è uguale al numero di incognite, allora il sistema ha un'unica soluzione.

Teorema 4. Se il rango della matrice principale di un sistema articolare è inferiore al numero di incognite, allora il sistema ha un numero infinito di soluzioni.

Regole per la risoluzione dei sistemi.

3. Trova l'espressione delle variabili principali in termini di quelle libere e ottieni la soluzione generale del sistema.

4. Dando valori arbitrari alle variabili libere, si ottengono tutti i valori delle variabili principali.

Metodi per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari.

Metodo della matrice inversa.

e, cioè, il sistema ha una soluzione unica. Scriviamo il sistema in forma matriciale

dove , , .

Moltiplica entrambi i membri dell'equazione della matrice a sinistra per la matrice

Poiché , otteniamo , da cui otteniamo l'uguaglianza per trovare incognite

Esempio 27. Usando il metodo della matrice inversa, risolvi il sistema di equazioni lineari

Soluzione. Indichiamo con la matrice principale del sistema

.

Sia , allora troviamo la soluzione con la formula .

Calcoliamo.

Da allora, il sistema ha una soluzione unica. Trova tutte le addizioni algebriche

, ,

, ,

, ,

, ,

In questo modo

.

Controlliamo

.

La matrice inversa si trova correttamente. Da qui, usando la formula, troviamo la matrice delle variabili.

.

Confrontando i valori delle matrici, otteniamo la risposta: .

Il metodo di Cramer.

Sia dato un sistema di equazioni lineari con incognite

e, cioè, il sistema ha una soluzione unica. Scriviamo la soluzione del sistema in forma matriciale o

Denota

. . . . . . . . . . . . . . ,

Pertanto, otteniamo formule per trovare i valori delle incognite, che vengono chiamate Le formule di Cramer.

Esempio 28. Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari usando il metodo di Cramer .

Soluzione. Trova il determinante della matrice principale del sistema

.

Da allora, il sistema ha una soluzione unica.

Trova i restanti determinanti per le formule di Cramer

,

,

.

Utilizzando le formule di Cramer, troviamo i valori delle variabili

Metodo Gauss.

Il metodo consiste nell'esclusione sequenziale di variabili.

Sia dato un sistema di equazioni lineari con incognite.

Il processo di soluzione gaussiana consiste in due fasi:

Nella prima fase, la matrice estesa del sistema viene ridotta alla forma graduale con l'aiuto di trasformazioni elementari

,

dove , che corrisponde al sistema

Dopo di che le variabili sono considerati liberi e in ogni equazione sono trasferiti lato destro.

Nella seconda fase, la variabile viene espressa dall'ultima equazione, il valore risultante viene sostituito nell'equazione. Da questa equazione

variabile è espressa. Questo processo continua fino alla prima equazione. Il risultato è un'espressione delle variabili principali in termini di variabili libere .

Esempio 29. Risolvi il seguente sistema usando il metodo gaussiano

Soluzione. Scriviamo la matrice estesa del sistema e la riduciamo alla forma del passo

.

Perché è maggiore del numero di incognite, allora il sistema è compatibile e ha un numero infinito di soluzioni. Scriviamo il sistema per la matrice dei passi

Il determinante della matrice estesa di questo sistema, composta dalle prime tre colonne, non è uguale a zero, quindi lo consideriamo elementare. Variabili

Sarà di base e la variabile sarà libera. Spostiamolo in tutte le equazioni sul lato sinistro

Dall'ultima equazione che esprimiamo

Sostituendo questo valore nella penultima seconda equazione, otteniamo

dove . Sostituendo i valori delle variabili e nella prima equazione, troviamo . Scriviamo la risposta nella forma seguente

Un sistema di equazioni lineari è un'unione di n equazioni lineari, ciascuna contenente k variabili. Si scrive così:

Molti, quando si trovano per la prima volta di fronte all'algebra superiore, credono erroneamente che il numero delle equazioni debba necessariamente coincidere con il numero delle variabili. Nell'algebra scolastica questo è solitamente il caso, ma per l'algebra superiore questo, in generale, non è vero.

La soluzione di un sistema di equazioni è una sequenza di numeri (k 1 , k 2 , ..., k n ), che è la soluzione di ciascuna equazione del sistema, cioè quando si sostituisce in questa equazione invece di variabili x 1 , x 2 , ..., x n fornisce l'uguaglianza numerica corretta.

Di conseguenza, risolvere un sistema di equazioni significa trovare l'insieme di tutte le sue soluzioni o dimostrare che questo insieme è vuoto. Poiché il numero di equazioni e il numero di incognite potrebbero non essere gli stessi, sono possibili tre casi:

1. Il sistema è incoerente, cioè l'insieme di tutte le soluzioni è vuoto. Un caso abbastanza raro che si rileva facilmente indipendentemente dal metodo per risolvere il sistema.
2. Il sistema è coerente e definito, cioè ha esattamente una soluzione. La versione classica, ben nota fin dai tempi della scuola.
3. Il sistema è coerente e indefinito, cioè ha infinite soluzioni. Questa è l'opzione più difficile. Non è sufficiente affermare che "il sistema ha un insieme infinito di soluzioni" - è necessario descrivere come è organizzato questo insieme.

La variabile x i si dice ammessa se è inclusa in una sola equazione del sistema, e con coefficiente 1. In altre parole, nelle restanti equazioni, il coefficiente della variabile x i deve essere zero.

Se selezioniamo una variabile consentita in ciascuna equazione, otteniamo un insieme di variabili consentite per l'intero sistema di equazioni. Anche il sistema stesso, scritto in questo modulo, sarà chiamato consentito. In generale, uno stesso sistema iniziale può essere ridotto a diversi sistemi consentiti, ma questo non ci riguarda ora. Ecco alcuni esempi di sistemi consentiti:

Entrambi i sistemi sono ammessi rispetto alle variabili x 1 , x 3 e x 4 . Tuttavia, con lo stesso successo si può sostenere che il secondo sistema è consentito rispetto a x 1 , x 3 e x 5 . È sufficiente riscrivere l'ultima equazione nella forma x 5 = x 4 .

Ora considera di più caso generale. Supponiamo di avere k variabili in totale, di cui r sono consentite. Allora sono possibili due casi:

1. Il numero di variabili consentite r è uguale al numero totale di variabili k : r = k . Otteniamo un sistema di k equazioni in cui r = k variabili consentite. Un tale sistema è collaborativo e definito, perché x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
2. Il numero di variabili consentite r è inferiore al numero totale di variabili k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Quindi, nei sistemi precedenti, le variabili x 2 , x 5 , x 6 (per il primo sistema) e x 2 , x 5 (per il secondo) sono libere. Il caso in cui ci sono variabili libere è meglio formulato come teorema:

Si prega di notare: questo è molto punto importante! A seconda di come si scrive il sistema finale, la stessa variabile può essere sia consentita che libera. I tutor di matematica più avanzati consigliano di scrivere le variabili in ordine lessicografico, ad es. indice ascendente. Tuttavia, non devi assolutamente seguire questo consiglio.

Teorema. Se in un sistema di n equazioni sono ammesse le variabili x 1 , x 2 , ..., x r e x r + 1 , x r + 2 , ..., x k sono libere, allora:

1. Se impostiamo i valori delle variabili libere (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), quindi troviamo i valori x 1 , x 2 , . .., x r , otteniamo una delle soluzioni.
2. Se i valori delle variabili libere in due soluzioni sono gli stessi, anche i valori delle variabili consentite sono gli stessi, ad es. le soluzioni sono uguali.

Qual è il significato di questo teorema? Per ottenere tutte le soluzioni del sistema di equazioni consentito, è sufficiente individuare le variabili libere. Quindi, assegnazione a variabili libere significati diversi, riceveremo soluzioni chiavi in ​​mano. Questo è tutto: in questo modo puoi ottenere tutte le soluzioni del sistema. Non ci sono altre soluzioni.

Conclusione: il sistema di equazioni consentito è sempre coerente. Se il numero di equazioni nel sistema consentito è uguale al numero di variabili, il sistema sarà definito, se minore sarà indefinito.

E tutto andrebbe bene, ma sorge la domanda: come ottenere quella risolta dal sistema di equazioni originale? Per questo c'è

Contenuto della lezione

Equazioni lineari con due variabili

Lo studente ha 200 rubli per pranzare a scuola. Una torta costa 25 rubli e una tazza di caffè costa 10 rubli. Quante torte e tazze di caffè puoi comprare per 200 rubli?

Indica il numero di torte passanti X e il numero di tazze di caffè y. Quindi il costo delle torte sarà indicato con l'espressione 25 X, e il costo delle tazze di caffè in 10 y .

25X- prezzo X torte
10si- prezzo y tazze di caffè

L'importo totale dovrebbe essere di 200 rubli. Quindi otteniamo un'equazione con due variabili X e y

25X+ 10y= 200

Quante radici ha questa equazione?

Tutto dipende dall'appetito dello studente. Se compra 6 torte e 5 tazze di caffè, le radici dell'equazione saranno i numeri 6 e 5.

Si dice che la coppia di valori 6 e 5 sia le radici dell'equazione 25 X+ 10y= 200. Scritto come (6; 5) , con il primo numero che è il valore della variabile X e il secondo - il valore della variabile y .

6 e 5 non sono le uniche radici che invertono l'equazione 25 X+ 10y= 200 all'identità. Se lo si desidera, per gli stessi 200 rubli, uno studente può acquistare 4 torte e 10 tazze di caffè:

In questo caso, le radici dell'equazione 25 X+ 10y= 200 è la coppia di valori (4; 10) .

Inoltre, uno studente potrebbe non comprare affatto il caffè, ma acquistare torte per tutti i 200 rubli. Quindi le radici dell'equazione 25 X+ 10y= 200 saranno i valori 8 e 0

O viceversa, non comprare torte, ma compra caffè per tutti i 200 rubli. Quindi le radici dell'equazione 25 X+ 10y= 200 saranno i valori 0 e 20

Proviamo a elencare tutte le possibili radici dell'equazione 25 X+ 10y= 200. Siamo d'accordo che i valori X e y appartengono all'insieme degli interi. E lascia che questi valori siano maggiori o uguali a zero:

X∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Quindi sarà conveniente per lo studente stesso. Le torte sono più convenienti da acquistare intere rispetto, ad esempio, a diverse torte intere e mezza torta. Il caffè è anche più comodo da assumere in tazze intere rispetto, ad esempio, a diverse tazze intere e mezza tazza.

Nota che per dispari Xè impossibile raggiungere l'uguaglianza sotto nessuno y. Poi i valori X ci saranno i seguenti numeri 0, 2, 4, 6, 8. E conoscere X può essere facilmente determinato y

Pertanto, abbiamo ottenuto le seguenti coppie di valori (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Queste coppie sono soluzioni o radici dell'equazione 25 X+ 10y= 200. Trasformano questa equazione in un'identità.

Digita equazione ax + di = c chiamato equazione lineare a due variabili. Una soluzione o radici di questa equazione è una coppia di valori ( X; y), che ne fa identità.

Si noti inoltre che se si scrive un'equazione lineare con due variabili come ax + di y = c , poi dicono che è scritto canonico forma (normale).

Alcune equazioni lineari in due variabili possono essere ridotte alla forma canonica.

Ad esempio, l'equazione 2(16X+ 3si- 4) = 2(12 + 8X − y) può essere ricordato ax + di = c. Apriamo le parentesi in entrambe le parti di questa equazione, otteniamo 32X + 6y − 8 = 24 + 16X − 2y . I termini contenenti incognite sono raggruppati sul lato sinistro dell'equazione e i termini privi di incognite sono raggruppati a destra. Allora arriviamo 32X - 16X+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Portiamo termini simili in entrambe le parti, otteniamo l'equazione 16 X+ 8y= 32. Questa equazione è ridotta alla forma ax + di = c ed è canonico.

Equazione 25 considerata in precedenza X+ 10y= 200 è anche un'equazione lineare a due variabili in forma canonica. In questa equazione, i parametri un , b e c sono uguali rispettivamente ai valori 25, 10 e 200.

In realtà l'equazione ax + di = c ha un numero infinito di soluzioni. Risolvere l'equazione 25X+ 10y= 200, abbiamo cercato le sue radici solo sull'insieme degli interi. Di conseguenza, abbiamo ottenuto diverse coppie di valori che hanno trasformato questa equazione in un'identità. Ma sull'insieme dei numeri razionali equazione 25 X+ 10y= 200 avrà un numero infinito di soluzioni.

Per ottenere nuove coppie di valori, devi prendere un valore arbitrario per X, quindi esprimere y. Prendiamo ad esempio una variabile X valore 7. Quindi otteniamo un'equazione con una variabile 25×7 + 10y= 200 in cui esprimere y

Permettere X= 15. Poi l'equazione 25X+ 10y= 200 diventa 25 × 15 + 10y= 200. Da qui lo troviamo y = −17,5

Permettere X= -3. Poi l'equazione 25X+ 10y= 200 diventa 25 × (−3) + 10y= 200. Da qui lo troviamo y = −27,5

Sistema di due equazioni lineari con due variabili

Per l'equazione ax + di = c puoi prendere un numero qualsiasi di volte valori arbitrari per X e trova valori per y. Presa separatamente, tale equazione avrà un numero infinito di soluzioni.

Ma succede anche che le variabili X e y collegati non da una, ma da due equazioni. In questo caso, formano i cosiddetti sistema di equazioni lineari a due variabili. Un tale sistema di equazioni può avere una coppia di valori (o in altre parole: "una soluzione").

Può anche accadere che il sistema non abbia alcuna soluzione. Un sistema di equazioni lineari può avere un numero infinito di soluzioni in casi rari ed eccezionali.

Due equazioni lineari formano un sistema quando i valori X e y sono inclusi in ciascuna di queste equazioni.

Torniamo alla prima equazione 25 X+ 10y= 200. Una delle coppie di valori per questa equazione era la coppia (6; 5). Questo è il caso in cui 200 rubli potrebbero comprare 6 torte e 5 tazze di caffè.

Componiamo il problema in modo che la coppia (6; 5) diventi l'unica soluzione per l'equazione 25 X+ 10y= 200. Per fare ciò, componiamo un'altra equazione che collegherebbe la stessa cosa X torte e y tazze di caffè.

Mettiamo il testo dell'attività come segue:

“Uno scolaro ha comprato diverse torte e diverse tazze di caffè per 200 rubli. Una torta costa 25 rubli e una tazza di caffè costa 10 rubli. Quante torte e tazze di caffè ha comprato lo studente se è noto che il numero di torte è uno in più rispetto al numero di tazze di caffè?

Abbiamo già la prima equazione. Questa è l'equazione 25 X+ 10y= 200. Ora scriviamo un'equazione per la condizione "il numero delle torte è un'unità in più rispetto al numero delle tazzine di caffè" .

Il numero di torte è X e il numero di tazze di caffè è y. Puoi scrivere questa frase usando l'equazione x - y= 1. Questa equazione significherebbe che la differenza tra torte e caffè è 1.

x=y+ 1. Questa equazione significa che il numero di torte è uno in più rispetto al numero di tazze di caffè. Pertanto, per ottenere l'uguaglianza, al numero delle tazzine di caffè si aggiunge uno. Questo può essere facilmente compreso se utilizziamo il modello di peso che abbiamo considerato nello studio dei problemi più semplici:

Ho due equazioni: 25 X+ 10y= 200 e x=y+ 1. Poiché i valori X e y, ovvero 6 e 5 sono inclusi in ciascuna di queste equazioni, quindi insieme formano un sistema. Scriviamo questo sistema. Se le equazioni formano un sistema, allora sono incorniciate dal segno del sistema. Il segno di sistema è una parentesi graffa:

Decidiamo questo sistema. Questo ci permetterà di vedere come arriviamo ai valori 6 e 5. Esistono molti metodi per risolvere tali sistemi. Considera il più popolare di loro.

Metodo di sostituzione

Il nome di questo metodo parla da sé. La sua essenza è sostituire un'equazione in un'altra, avendo precedentemente espresso una delle variabili.

Nel nostro sistema, nulla ha bisogno di essere espresso. Nella seconda equazione X = y+ 1 variabile X già espresso. Questa variabile è uguale all'espressione y+ 1. Quindi puoi sostituire questa espressione nella prima equazione invece della variabile X

Dopo aver sostituito l'espressione y+ 1 invece nella prima equazione X, otteniamo l'equazione 25(y+ 1) + 10y= 200 . Questa è un'equazione lineare con una variabile. Questa equazione è abbastanza facile da risolvere:

Abbiamo trovato il valore della variabile y. Ora sostituiamo questo valore in una delle equazioni e troviamo il valore X. Per questo, è conveniente usare la seconda equazione X = y+ 1. Mettiamoci il valore y

Quindi la coppia (6; 5) è una soluzione del sistema di equazioni, come intendevamo. Verifichiamo e ci assicuriamo che la coppia (6; 5) soddisfi il sistema:

Esempio 2

Sostituisci la prima equazione X= 2 + y nella seconda equazione 3 X - 2y= 9. Nella prima equazione, la variabile Xè uguale all'espressione 2 + y. Sostituiamo questa espressione nella seconda equazione invece di X

Ora troviamo il valore X. Per fare ciò, sostituisci il valore y nella prima equazione X= 2 + y

Quindi la soluzione del sistema è il valore della coppia (5; 3)

Esempio 3. Risolvi il seguente sistema di equazioni usando il metodo di sostituzione:

Qui, a differenza degli esempi precedenti, una delle variabili non è espressa esplicitamente.

Per sostituire un'equazione in un'altra, devi prima avere .

È desiderabile esprimere la variabile che ha un coefficiente di uno. L'unità del coefficiente ha una variabile X, che è contenuto nella prima equazione X+ 2y= 11. Esprimiamo questa variabile.

Dopo un'espressione variabile X, il nostro sistema sarà simile a questo:

Ora sostituiamo la prima equazione nella seconda e troviamo il valore y

Sostituto y X

Quindi la soluzione del sistema è una coppia di valori (3; 4)

Ovviamente puoi anche esprimere una variabile y. Le radici non cambieranno. Ma se esprimi si, il risultato non è un'equazione molto semplice, la cui soluzione richiederà più tempo. Sembrerà così:

Lo vediamo in questo esempio per esprimere X molto più conveniente che esprimere y .

Esempio 4. Risolvi il seguente sistema di equazioni usando il metodo di sostituzione:

Esprimi nella prima equazione X. Quindi il sistema assumerà la forma:

y

Sostituto y nella prima equazione e trova X. Puoi usare l'equazione originale 7 X+ 9y= 8 o utilizzare l'equazione in cui è espressa la variabile X. Useremo questa equazione, poiché è conveniente:

Quindi la soluzione del sistema è la coppia di valori (5; −3)

Metodo di aggiunta

Il metodo dell'addizione consiste nell'aggiungere termine per termine le equazioni incluse nel sistema. Questa aggiunta si traduce in una nuova equazione a una variabile. Ed è abbastanza facile risolvere questa equazione.

Risolviamo il seguente sistema di equazioni:

Aggiungi il lato sinistro della prima equazione al lato sinistro della seconda equazione. E il lato destro della prima equazione con il lato destro della seconda equazione. Otteniamo la seguente uguaglianza:

Ecco termini simili:

Di conseguenza, abbiamo ottenuto l'equazione più semplice 3 X= 27 la cui radice è 9. Conoscere il valore X puoi trovare il valore y. Sostituisci il valore X nella seconda equazione x - y= 3. Otteniamo 9 − y= 3. Da qui y= 6 .

Quindi la soluzione del sistema è una coppia di valori (9; 6)

Esempio 2

Aggiungi il lato sinistro della prima equazione al lato sinistro della seconda equazione. E il lato destro della prima equazione con il lato destro della seconda equazione. Nell'uguaglianza risultante, presentiamo termini simili:

Di conseguenza, abbiamo ottenuto l'equazione 5 più semplice X= 20, la cui radice è 4. Conoscere il valore X puoi trovare il valore y. Sostituisci il valore X nella prima equazione 2 x+y= 11. Prendiamo 8+ y= 11. Da qui y= 3 .

Quindi la soluzione del sistema è la coppia di valori (4;3)

Il processo di aggiunta non è descritto in dettaglio. Deve essere fatto nella mente. Quando si aggiungono, entrambe le equazioni devono essere ridotte alla forma canonica. Vale a dire ac+di=c .

Dagli esempi considerati, si può vedere che l'obiettivo principale dell'aggiunta di equazioni è eliminare una delle variabili. Ma non è sempre possibile risolvere immediatamente il sistema di equazioni con il metodo dell'addizione. Molto spesso, il sistema viene portato preliminarmente in una forma in cui è possibile aggiungere le equazioni incluse in questo sistema.

Ad esempio, il sistema può essere risolto direttamente con il metodo dell'addizione. Quando si sommano entrambe le equazioni, i termini y e −y svaniscono perché la loro somma è zero. Di conseguenza, si forma l'equazione più semplice 11 X= 22 , la cui radice è 2. Quindi sarà possibile determinare y uguale a 5.

E il sistema di equazioni il metodo dell'addizione non può essere risolto immediatamente, poiché ciò non porterà alla scomparsa di una delle variabili. L'aggiunta risulterà nell'equazione 8 X+ y= 28 , che ha un numero infinito di soluzioni.

Se entrambe le parti dell'equazione vengono moltiplicate o divise per lo stesso numero che non è uguale a zero, si otterrà un'equazione equivalente a quella data. Questa regola vale anche per un sistema di equazioni lineari con due variabili. Una delle equazioni (o entrambe le equazioni) può essere moltiplicata per un numero. Il risultato è un sistema equivalente, le cui radici coincideranno con il precedente.

Torniamo al primo sistema, che descriveva quante torte e tazze di caffè lo studente ha comprato. La soluzione di questo sistema era una coppia di valori (6; 5) .

Moltiplichiamo entrambe le equazioni incluse in questo sistema per alcuni numeri. Diciamo di moltiplicare la prima equazione per 2 e la seconda per 3

Il risultato è un sistema
La soluzione a questo sistema è ancora la coppia di valori (6; 5)

Ciò significa che le equazioni incluse nel sistema possono essere ridotte a una forma adatta per l'applicazione del metodo dell'addizione.

Torna al sistema , che non siamo riusciti a risolvere con il metodo dell'addizione.

Moltiplica la prima equazione per 6 e la seconda per −2

Quindi otteniamo il seguente sistema:

Aggiungiamo le equazioni incluse in questo sistema. Aggiunta di componenti 12 X e -12 X risulterà in 0, aggiunta 18 y e 4 y darà 22 y, e sommando 108 e −20 si ottiene 88. Quindi si ottiene l'equazione 22 y= 88, quindi y = 4 .

Se all'inizio è difficile aggiungere equazioni nella tua mente, puoi scrivere come il lato sinistro della prima equazione viene aggiunto al lato sinistro della seconda equazione e il lato destro della prima equazione al lato destro di la seconda equazione:

Sapendo che il valore della variabile yè 4, puoi trovare il valore X. Sostituto y in una delle equazioni, ad esempio nella prima equazione 2 X+ 3y= 18. Quindi otteniamo un'equazione con una variabile 2 X+ 12 = 18 . Trasferiamo 12 sul lato destro, cambiando il segno, otteniamo 2 X= 6, quindi X = 3 .

Esempio 4. Risolvi il seguente sistema di equazioni usando il metodo dell'addizione:

Moltiplica la seconda equazione per −1. Quindi il sistema assumerà la seguente forma:

Aggiungiamo entrambe le equazioni. Aggiunta di componenti X e -x risulterà in 0, aggiunta 5 y e 3 y darà 8 y e sommando 7 e 1 si ottiene 8. Il risultato è l'equazione 8 y= 8 , la cui radice è 1. Sapendo che il valore yè 1, puoi trovare il valore X .

Sostituto y nella prima equazione, otteniamo X+ 5 = 7 , quindi X= 2

Esempio 5. Risolvi il seguente sistema di equazioni usando il metodo dell'addizione:

È auspicabile che i termini contenenti le stesse variabili si trovino uno sotto l'altro. Pertanto, nella seconda equazione, i termini 5 y e -2 X cambiare posto. Di conseguenza, il sistema assumerà la forma:

Moltiplica la seconda equazione per 3. Quindi il sistema assumerà la forma:

Ora aggiungiamo entrambe le equazioni. Come risultato dell'addizione, otteniamo l'equazione 8 y= 16 , la cui radice è 2.

Sostituto y nella prima equazione, otteniamo 6 X− 14 = 40 . Trasferiamo il termine −14 sul lato destro, cambiando il segno, otteniamo 6 X= 54. Da qui X= 9.

Esempio 6. Risolvi il seguente sistema di equazioni usando il metodo dell'addizione:

Eliminiamo le frazioni. Moltiplica la prima equazione per 36 e la seconda per 12

Nel sistema risultante la prima equazione può essere moltiplicata per −5 e la seconda per 8

Aggiungiamo le equazioni nel sistema risultante. Quindi otteniamo l'equazione più semplice −13 y= -156. Da qui y= 12. Sostituto y nella prima equazione e trova X

Esempio 7. Risolvi il seguente sistema di equazioni usando il metodo dell'addizione:

Portiamo entrambe le equazioni in forma normale. Qui è conveniente applicare la regola della proporzione in entrambe le equazioni. Se nella prima equazione il lato destro è rappresentato come , e il lato destro della seconda equazione come , il sistema assumerà la forma:

Abbiamo una proporzione. Moltiplichiamo i suoi termini estremi e medi. Quindi il sistema assumerà la forma:

Moltiplichiamo la prima equazione per −3 e apriamo le parentesi nella seconda:

Ora aggiungiamo entrambe le equazioni. Come risultato della somma di queste equazioni, otteniamo un'uguaglianza, in entrambe le parti della quale ci sarà zero:

Si scopre che il sistema ha un numero infinito di soluzioni.

Ma non possiamo semplicemente prendere valori arbitrari dal cielo X e y. Possiamo specificare uno dei valori e l'altro sarà determinato in base al valore che abbiamo specificato. Ad esempio, lascia X= 2. Sostituisci questo valore nel sistema:

Come risultato della risoluzione di una delle equazioni, il valore per y, che soddisferà entrambe le equazioni:

La coppia di valori risultante (2; -2) soddisferà il sistema:

Troviamo un'altra coppia di valori. Permettere X= 4. Sostituisci questo valore nel sistema:

Può essere determinato ad occhio che yè uguale a zero. Quindi otteniamo una coppia di valori (4; 0), che soddisfa il nostro sistema:

Esempio 8. Risolvi il seguente sistema di equazioni usando il metodo dell'addizione:

Moltiplica la prima equazione per 6 e la seconda per 12

Riscriviamo ciò che è rimasto:

Moltiplica la prima equazione per −1. Quindi il sistema assumerà la forma:

Ora aggiungiamo entrambe le equazioni. Come risultato dell'addizione, si forma l'equazione 6 b= 48 , la cui radice è 8. Sostituisci b nella prima equazione e trova un

Sistema di equazioni lineari a tre variabili

Un'equazione lineare con tre variabili include tre variabili con coefficienti e un'intercetta. In forma canonica si può scrivere come segue:

ax + di + cz = d

Questa equazione ha un numero infinito di soluzioni. Dare due variabili vari significati, puoi trovare il terzo valore. La soluzione in questo caso è la tripla di valori ( X; si; z) che trasforma l'equazione in un'identità.

Se variabili x, y, z sono interconnessi da tre equazioni, quindi si forma un sistema di tre equazioni lineari con tre variabili. Per risolvere un tale sistema, puoi applicare gli stessi metodi che si applicano alle equazioni lineari con due variabili: il metodo di sostituzione e il metodo di addizione.

Esempio 1. Risolvi il seguente sistema di equazioni usando il metodo di sostituzione:

Esprimiamo nella terza equazione X. Quindi il sistema assumerà la forma:

Ora facciamo la sostituzione. Variabile Xè uguale all'espressione 3 − 2y − 2z . Sostituisci questa espressione nella prima e nella seconda equazione:

Apriamo le parentesi in entrambe le equazioni e diamo termini simili:

Siamo arrivati ​​a un sistema di equazioni lineari con due variabili. In questo caso, è conveniente applicare il metodo di addizione. Di conseguenza, la variabile y scomparirà e possiamo trovare il valore della variabile z

Ora troviamo il valore y. Per questo, è conveniente usare l'equazione − y+ z= 4. Sostituire il valore z

Ora troviamo il valore X. Per questo, è conveniente usare l'equazione X= 3 − 2y − 2z . Sostituisci i valori in esso y e z

Pertanto, la tripla di valori (3; −2; 2) è la soluzione del nostro sistema. Verificando, ci assicuriamo che questi valori soddisfino il sistema:

Esempio 2. Risolvi il sistema con il metodo dell'addizione

Sommiamo la prima equazione con la seconda moltiplicata per −2.

Se la seconda equazione viene moltiplicata per −2, assumerà la forma −6X+ 6si- 4z = −4 . Ora aggiungilo alla prima equazione:

Vediamo che a seguito di trasformazioni elementari è stato determinato il valore della variabile X. È uguale a uno.

Torniamo al sistema principale. Sommiamo la seconda equazione con la terza moltiplicata per −1. Se la terza equazione viene moltiplicata per −1, assumerà la forma −4X + 5y − 2z = −1 . Ora aggiungilo alla seconda equazione:

Ho l'equazione X - 2y= -1. Sostituisci il valore in esso X che abbiamo trovato prima. Quindi possiamo determinare il valore y

Ora conosciamo i valori X e y. Ciò consente di determinare il valore z. Usiamo una delle equazioni incluse nel sistema:

Quindi, la tripla di valori (1; 1; 1) è la soluzione al nostro sistema. Verificando, ci assicuriamo che questi valori soddisfino il sistema:

Compiti per la compilazione di sistemi di equazioni lineari

Il compito di compilare sistemi di equazioni viene risolto introducendo diverse variabili. Successivamente, le equazioni vengono compilate in base alle condizioni del problema. Dalle equazioni compilate, formano un sistema e lo risolvono. Dopo aver risolto il sistema, è necessario verificare se la sua soluzione soddisfa le condizioni del problema.

Compito 1. Un'auto del Volga ha lasciato la città per la fattoria collettiva. Tornò indietro lungo un'altra strada, che era 5 km più corta della prima. In totale, l'auto ha percorso 35 km in entrambe le direzioni. Quanti chilometri è lunga ciascuna strada?

Soluzione

Permettere X- lunghezza della prima strada, y- la lunghezza del secondo. Se l'auto ha percorso 35 km in entrambe le direzioni, la prima equazione può essere scritta come X+ y= 35. Questa equazione descrive la somma delle lunghezze di entrambe le strade.

Si dice che l'auto tornasse indietro lungo la strada, che era più corta della prima di 5 km. Quindi la seconda equazione può essere scritta come X− y= 5. Questa equazione mostra che la differenza tra le lunghezze delle strade è di 5 km.

Oppure la seconda equazione può essere scritta come X= y+ 5. Useremo questa equazione.

Poiché le variabili X e y in entrambe le equazioni denotiamo lo stesso numero, quindi possiamo formare un sistema da esse:

Risolviamo questo sistema utilizzando uno dei metodi precedentemente studiati. In questo caso è conveniente utilizzare il metodo della sostituzione, poiché nella seconda equazione la variabile X già espresso.

Sostituisci la seconda equazione nella prima e trova y

Sostituisci il valore trovato y nella seconda equazione X= y+ 5 e trova X

La lunghezza della prima strada è stata indicata dalla variabile X. Ora abbiamo trovato il suo significato. Variabile Xè 20. Quindi la lunghezza della prima strada è di 20 km.

E la lunghezza della seconda strada era indicata da y. Il valore di questa variabile è 15. Quindi la lunghezza della seconda strada è 15 km.

Facciamo un controllo. Innanzitutto, assicuriamoci che il sistema sia risolto correttamente:

Verifichiamo ora se la soluzione (20; 15) soddisfa le condizioni del problema.

Si diceva che in totale l'auto percorresse 35 km in entrambe le direzioni. Sommiamo le lunghezze di entrambe le strade e ci assicuriamo che la soluzione (20; 15) soddisfi questa condizione: 20 km + 15 km = 35 km

Condizione successiva: l'auto è tornata indietro lungo un'altra strada, più corta di 5 km rispetto alla prima . Vediamo che la soluzione (20; 15) soddisfa anche questa condizione, poiché 15 km è inferiore a 20 km per 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Quando si compila un sistema, è importante che le variabili indichino gli stessi numeri in tutte le equazioni incluse in questo sistema.

Quindi il nostro sistema contiene due equazioni. Queste equazioni a loro volta contengono le variabili X e y, che denotano gli stessi numeri in entrambe le equazioni, ovvero le lunghezze delle strade pari a 20 km e 15 km.

Compito 2. Sulla piattaforma sono state caricate traversine di quercia e pino, per un totale di 300 traversine. È noto che tutte le traversine di quercia pesavano 1 tonnellata in meno di tutte le traversine di pino. Determina quante traversine di quercia e pino c'erano separatamente, se ciascuna traversina di quercia pesava 46 kg e ciascuna traversina di pino 28 kg.

Soluzione

Permettere X quercia e y traversine di pino sono state caricate sulla piattaforma. Se ci fossero 300 dormienti in totale, la prima equazione può essere scritta come x+y = 300 .

Tutte le traversine di quercia pesavano 46 X kg e il pino pesava 28 y kg. Poiché le traversine di quercia pesavano 1 tonnellata in meno rispetto a quelle di pino, la seconda equazione può essere scritta come 28si- 46X= 1000 . Questa equazione mostra che la differenza di massa tra le traversine di quercia e pino è di 1000 kg.

Le tonnellate sono state convertite in chilogrammi perché la massa delle traversine di quercia e pino è misurata in chilogrammi.

Di conseguenza, otteniamo due equazioni che formano il sistema

Risolviamo questo sistema. Esprimi nella prima equazione X. Quindi il sistema assumerà la forma:

Sostituisci la prima equazione nella seconda e trova y

Sostituto y nell'equazione X= 300 − y e scopri cosa X

Ciò significa che sulla piattaforma sono state caricate 100 traversine di quercia e 200 di pino.

Verifichiamo se la soluzione (100; 200) soddisfa le condizioni del problema. Innanzitutto, assicuriamoci che il sistema sia risolto correttamente:

Si diceva che ci fossero 300 dormienti in totale. Sommiamo il numero di traversine di quercia e pino e ci assicuriamo che la soluzione (100; 200) soddisfi questa condizione: 100 + 200 = 300.

Condizione successiva: tutte le traversine di quercia pesavano 1 tonnellata in meno rispetto a tutti i pini . Vediamo che la soluzione (100; 200) soddisfa anche questa condizione, poiché 46 × 100 kg di traversine di quercia sono più leggere di 28 × 200 kg di traversine di pino: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Compito 3. Abbiamo preso tre pezzi di una lega di rame e nichel in rapporti di 2: 1, 3: 1 e 5: 1 in peso. Di questi, un pezzo del peso di 12 kg è stato fuso con un rapporto di contenuto di rame e nichel di 4: 1. Trova la massa di ogni pezzo originale se la massa del primo è il doppio della massa del secondo.

Sistema di m equazioni lineari con n incognite chiamato sistema della forma

dove aij e b io (io=1,…,m; b=1,…,n) sono alcuni numeri noti, e x 1 ,…,x n- sconosciuto. Nella notazione dei coefficienti aij primo indice io denota il numero dell'equazione e il secondo jè il numero dell'incognita a cui sta questo coefficiente.

I coefficienti per le incognite saranno scritti sotto forma di una matrice , che chiameremo matrice di sistema.

I numeri a destra delle equazioni b 1 ,…,b m chiamato membri liberi.

Aggregato n numeri c 1 ,…,c n chiamato decisione di questo sistema, se ogni equazione del sistema diventa un'uguaglianza dopo aver sostituito i numeri in essa c 1 ,…,c n invece delle corrispondenti incognite x 1 ,…,x n.

Il nostro compito sarà trovare soluzioni al sistema. In questo caso si possono verificare tre situazioni:

Viene chiamato un sistema di equazioni lineari che ha almeno una soluzione giunto. Altrimenti, cioè se il sistema non ha soluzioni, viene chiamato incompatibile.

Considera i modi per trovare soluzioni al sistema.

METODO MATRICE PER LA RISOLVENZA DI SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI

Le matrici consentono di scrivere brevemente un sistema di equazioni lineari. Sia dato un sistema di 3 equazioni con tre incognite:

Considera la matrice del sistema e colonne di matrice di membri sconosciuti e liberi

Troviamo il prodotto

quelli. come risultato del prodotto, otteniamo i membri di sinistra delle equazioni di questo sistema. Quindi, usando la definizione di uguaglianza di matrici, questo sistema può essere scritto come

o più breve UN∙X=B.

Qui matrici UN e B sono noti e la matrice X sconosciuto. Ha bisogno di essere trovata, perché. i suoi elementi sono la soluzione di questo sistema. Questa equazione è chiamata equazione matriciale.

Sia il determinante della matrice diverso da zero | UN| ≠ 0. Quindi l'equazione della matrice viene risolta come segue. Moltiplica entrambi i membri dell'equazione a sinistra per la matrice A-1, l'inverso della matrice UN: . Perché il LA -1 LA = E e e∙X=X, quindi otteniamo la soluzione dell'equazione matriciale nella forma X = LA -1 B .

Si noti che poiché la matrice inversa può essere trovata solo per matrici quadrate, il metodo della matrice può risolvere solo quei sistemi in cui il numero di equazioni è uguale al numero di incognite. Tuttavia, la notazione matriciale del sistema è possibile anche nel caso in cui il numero di equazioni non sia uguale al numero di incognite, quindi la matrice UN non è quadrato e quindi è impossibile trovare una soluzione al sistema nella forma X = LA -1 B.

Esempi. Risolvere sistemi di equazioni.

REGOLA DI CRAMER

Consideriamo un sistema di 3 equazioni lineari con tre incognite:

Determinante del terzo ordine corrispondente alla matrice del sistema, cioè composto da coefficienti a incognite,

chiamato determinante del sistema.

Componiamo altri tre determinanti come segue: sostituiamo successivamente 1, 2 e 3 colonne nel determinante D con una colonna di membri liberi

Allora possiamo dimostrare il seguente risultato.

Teorema (regola di Cramer). Se il determinante del sistema è Δ ≠ 0, allora il sistema in esame ha una e una sola soluzione, e

Prova. Quindi, considera un sistema di 3 equazioni con tre incognite. Moltiplica la prima equazione del sistema per il complemento algebrico A 11 elemento un 11, 2a equazione - attiva A21 e 3a - su A 31:

Aggiungiamo queste equazioni:

Considera ciascuna delle parentesi e il lato destro di questa equazione. Per il teorema sull'espansione del determinante in termini di elementi della 1a colonna

Allo stesso modo, si può dimostrare che e .

Alla fine, è facile vederlo

Quindi, otteniamo l'uguaglianza: .

Di conseguenza, .

Le uguaglianze e sono derivate similmente, da cui segue l'asserzione del teorema.

Pertanto, notiamo che se il determinante del sistema è Δ ≠ 0, allora il sistema ha un'unica soluzione e viceversa. Se il determinante del sistema è uguale a zero, allora il sistema ha un insieme infinito di soluzioni o non ha soluzioni, cioè incompatibile.

Esempi. Risolvi un sistema di equazioni

METODO DI GAUSS

I metodi precedentemente considerati possono essere utilizzati per risolvere solo quei sistemi in cui il numero di equazioni coincide con il numero di incognite e il determinante del sistema deve essere diverso da zero. Il metodo gaussiano è più universale ed è adatto a sistemi con un numero qualsiasi di equazioni. Consiste nella successiva eliminazione di incognite dalle equazioni del sistema.

Consideriamo ancora un sistema di tre equazioni con tre incognite:

.

Lasciamo invariata la prima equazione e dalla 2a e 3a escludiamo i termini contenenti x 1. Per fare ciò, dividiamo la seconda equazione per un 21 e moltiplicare per - un 11 e poi aggiungi con la prima equazione. Allo stesso modo, dividiamo la terza equazione in un 31 e moltiplicare per - un 11 e poi aggiungerlo al primo. Di conseguenza, il sistema originario assumerà la forma:

Ora, dall'ultima equazione, eliminiamo il termine contenente x2. Per fare ciò, dividi la terza equazione per , moltiplica per e aggiungila alla seconda. Avremo quindi un sistema di equazioni:

Quindi dall'ultima equazione è facile da trovare x 3, quindi dalla 2a equazione x2 e infine dal 1° - x 1.

Quando si utilizza il metodo gaussiano, le equazioni possono essere scambiate se necessario.

Spesso, invece di scrivere un nuovo sistema di equazioni, si limitano a scrivere la matrice estesa del sistema:

e poi portalo a una forma triangolare o diagonale usando trasformazioni elementari.

Per trasformazioni elementari le matrici includono le seguenti trasformazioni:

1. permutazione di righe o colonne;
2. moltiplicare una stringa per un numero diverso da zero;
3. aggiungendo ad una riga altre righe.

Esempi: Risolvi sistemi di equazioni usando il metodo di Gauss.

Pertanto, il sistema ha un numero infinito di soluzioni.