vettore(O lineare) spazio- una struttura matematica, che è un insieme di elementi, chiamati vettori, per i quali sono definite le operazioni di addizione reciproca e di moltiplicazione per un numero - uno scalare. Queste operazioni sono soggette a otto assiomi. Gli scalari possono essere elementi di un campo numerico reale, complesso o di qualsiasi altro campo numerico. Un caso speciale di tale spazio è il solito spazio euclideo tridimensionale, i cui vettori vengono utilizzati, ad esempio, per rappresentare le forze fisiche. Va notato che un vettore, in quanto elemento di uno spazio vettoriale, non deve essere specificato come segmento orientato. La generalizzazione del concetto di "vettore" ad un elemento di uno spazio vettoriale di qualsiasi natura non solo non provoca confusione di termini, ma permette anche di comprendere o addirittura anticipare una serie di risultati validi per spazi di natura arbitraria .

Gli spazi vettoriali sono oggetto di studio in algebra lineare. Una delle caratteristiche principali di uno spazio vettoriale è la sua dimensione. La dimensione è il numero massimo di elementi linearmente indipendenti dello spazio, cioè ricorrendo ad una approssimazione interpretazione geometrica, il numero di direzioni inesprimibili l'una rispetto all'altra mediante le sole operazioni di addizione e moltiplicazione per uno scalare. Lo spazio vettoriale può essere dotato di strutture aggiuntive, come la norma o il prodotto scalare. Tali spazi appaiono naturalmente nel calcolo, prevalentemente sotto forma di dimensione infinita (Inglese), dove i vettori sono le funzioni . Molti problemi di analisi richiedono di scoprire se una sequenza di vettori converge a dato vettore. La considerazione di tali questioni è possibile in spazi vettoriali con struttura aggiuntiva, nella maggior parte dei casi una topologia adeguata, che consente di definire i concetti di prossimità e continuità. Tali spazi vettoriali topologici, in particolare gli spazi di Banach e Hilbert, consentono uno studio più approfondito.

I primi lavori che anticiparono l'introduzione del concetto di spazio vettoriale risalgono al XVII secolo. Fu allora che la geometria analitica, la dottrina delle matrici, i sistemi di equazioni lineari, i vettori euclidei ricevettero il loro sviluppo.

Definizione [ | ]

Lineare, O spazio vettoriale V (F) (\displaystyle V\sinistra(F\destra)) sopra il campo F (\displaystyle F)è una quadrupla ordinata (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), Dove

• V (\displaystyle V)- un insieme non vuoto di elementi di natura arbitraria, che vengono chiamati vettori;
• F (\displaystyle F)- un campo i cui elementi sono chiamati scalari;
• Operazione definita aggiunte vettori V × V → V (\displaystyle V\volte V\to V), abbinando ciascuna coppia di elementi x , y (\displaystyle \mathbf (x),\mathbf (y) ) imposta V (\displaystyle V) V (\displaystyle V) chiamandoli somma e indicato x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
• Operazione definita moltiplicazione di vettori per scalari F × V → V (\displaystyle F\volte V\to V), che corrisponde a ciascun elemento λ (\displaystyle \lambda ) campi F (\displaystyle F) e ogni elemento x (\displaystyle \mathbf (x) ) imposta V (\displaystyle V) l'unico elemento dell'insieme V (\displaystyle V), indicato λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) ) O λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

Gli spazi vettoriali definiti sullo stesso insieme di elementi ma su campi diversi saranno spazi vettoriali diversi (ad esempio, l'insieme delle coppie di numeri reali R 2 (\displaystyle \mathbb (R)^(2)) può essere uno spazio vettoriale bidimensionale sul campo dei numeri reali o unidimensionale - sul campo dei numeri complessi).

Le proprietà più semplici[ | ]

1. Lo spazio vettoriale è un gruppo abeliano per addizione.
2. elemento neutro 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) ) per chiunque .
4. Per chiunque x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V) elemento opposto − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V)è l'unico che segue dalle proprietà del gruppo.
5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) ) per chiunque x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x))) per qualsiasi e x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) ) per chiunque α ∈ F (\displaystyle \alpha \in F).

Definizioni e proprietà correlate[ | ]

sottospazio[ | ]

Definizione algebrica: Sottospazio lineare O sottospazio vettorialeè un sottoinsieme non vuoto K (\displaystyle K) spazio lineare V (\displaystyle V) tale che K (\displaystyle K)è esso stesso uno spazio lineare rispetto a quelli definiti in V (\displaystyle V) le operazioni di addizione e moltiplicazione per uno scalare. L'insieme di tutti i sottospazi è solitamente indicato come L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Perché un sottoinsieme sia un sottospazio è necessario e sufficiente questo

Le ultime due affermazioni equivalgono alle seguenti:

Per qualsiasi vettore x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x),\mathbf (y) \in K) vettore α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) ) apparteneva anche K (\displaystyle K) per ogni α , β ∈ F (\displaystyle \alpha,\beta \in F).

In particolare, uno spazio vettoriale costituito da un solo vettore nullo è un sottospazio di qualsiasi spazio; ogni spazio è un sottospazio di se stesso. I sottospazi che non coincidono con questi due vengono detti Proprio O non banale.

Proprietà del sottospazio[ | ]

Combinazioni lineari[ | ]

Somma finale della vista

La combinazione lineare si chiama:

Base. Dimensione[ | ]

Vettori x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n)) chiamato linearmente dipendente, se esiste una loro combinazione lineare non banale uguale a zero:

Altrimenti, questi vettori vengono chiamati linearmente indipendenti.

Questa definizione consente la seguente generalizzazione: un insieme infinito di vettori da V (\displaystyle V) chiamato linearmente dipendente, se alcuni finale il suo sottoinsieme e linearmente indipendenti, se presente finale sottoinsieme è linearmente indipendente.

Proprietà di base:

Guscio lineare[ | ]

Guscio lineare sottoinsiemi X (\displaystyle X) spazio lineare V (\displaystyle V)- intersezione di tutti i sottospazi V (\displaystyle V) contenente X (\displaystyle X).

Il guscio lineare è un sottospazio V (\displaystyle V).

Viene anche chiamata shell lineare sottospazio generato X (\displaystyle X). Si dice anche che la campata lineare V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))- spazio, allungato un mucchio di X (\displaystyle X).

Guscio lineare V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X)) consiste di tutte le possibili combinazioni lineari di vari sottosistemi finiti di elementi da X (\displaystyle X). In particolare, se X (\displaystyle X)è un insieme finito, allora V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))è costituito da tutte le combinazioni lineari di elementi X (\displaystyle X). Pertanto, il vettore nullo appartiene sempre allo span lineare.

Se X (\displaystyle X)è un insieme linearmente indipendente, allora è una base V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X)), 1980. - 454 pag.

Un sottoinsieme non vuoto L di uno spazio lineare V si chiama sottospazio lineare spazio V se

1) \mathbf(u)+\mathbf(v)\in L~~\forall \mathbf(u,v)\in L(il sottospazio è chiuso rispetto all'operazione di addizione);

2) \lambda \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(v)\in L e un qualsiasi numero \lambda (il sottospazio è chiuso rispetto all'operazione di moltiplicazione di un vettore per un numero).

Per indicare un sottospazio lineare, utilizzeremo la notazione L\triangolosinistra V , e ometteremo la parola "lineare" per brevità.

Osservazioni 8.7

1. Le condizioni 1, 2 nella definizione possono essere sostituite da una condizione: \lambda \mathbf(u)+\mu \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(u,v)\in L e qualsiasi numero \lambda e \mu . Naturalmente qui e nella definizione parliamo di numeri arbitrari del campo numerico su cui è definito lo spazio V.

2. In ogni spazio lineare V ci sono due sottospazi lineari:

a) lo spazio V stesso, cioè V\triangolosinistra V ;

b) sottospazio zero \(\mathbf(o)\) , costituito da un vettore zero dello spazio V , cioè . Questi sottospazi si dicono impropri, tutti gli altri si dicono propri.

3. Qualsiasi sottospazio L di uno spazio lineare V è il suo sottoinsieme: L\triangolosinistra V~\Freccia destra~L\sottoinsieme V, ma non ogni sottoinsieme di M\sottoinsieme V è un sottospazio lineare, poiché può risultare non chiuso rispetto alle operazioni lineari.

4. Il sottospazio L dello spazio lineare V è esso stesso uno spazio lineare con le stesse operazioni di addizione di vettori e moltiplicazione di un vettore per un numero come nello spazio V , poiché per loro valgono gli assiomi 1-8. Pertanto, possiamo parlare della dimensione del sottospazio, della sua base e così via.

5. La dimensione di qualsiasi sottospazio L dello spazio lineare V non supera la dimensione dello spazio V\due punti\,\dim(L)\leqslant \dim(V). Se la dimensione del sottospazio L\triangleleft V è uguale alla dimensione dello spazio a dimensione finita V (\dim(L)=\dim(V)) , allora il sottospazio coincide con lo spazio stesso: L=V .

Ciò segue dal Teorema 8.2 (sul completamento di un sistema di vettori in una base). Infatti, prendendo la base del sottospazio L , lo completeremo con la base dello spazio V . Se possibile, allora \dim(L)<\dim{V} . Если нельзя дополнить, т.е. базис подпространства L является базисом пространства V , то \dim{L}=\dim{V} . Учитывая, что пространство есть линейная оболочка базиса (см. следствие 1 теоремы 8.1), получаем L=V .

6. Per ogni sottoinsieme M di uno spazio lineare V, l'intervallo lineare è un sottospazio di V e M\subset\operatorname(Lin)(M)\triangleleft V.

Infatti, se M=\varniente (l'insieme vuoto), allora per definizione \nomeoperatore(Lin)(M)=\(\mathbf(o)\), cioè. è il sottospazio nullo e \varnothing\subset\(\mathbf(o)\)\triangleleft V. Lascia che M\ne\varniente . Dobbiamo dimostrare che il set \nomeoperatore(Lin)(M)è chiuso rispetto alle operazioni di somma dei suoi elementi e di moltiplicazione dei suoi elementi per un numero. Ricordiamo che gli elementi della campata lineare \nomeoperatore(Lin)(M) servono come combinazioni lineari di vettori da M . Poiché una combinazione lineare di combinazioni lineari di vettori è la loro combinazione lineare, quindi, tenendo conto del punto 1, concludiamo che \nomeoperatore(Lin)(M)è un sottospazio di V , cioè \operatorname(Lin)(M)\triangleleft V. Inclusione M\sottoinsieme\nomeoperatore(Lin)(M)- ovvio, poiché qualsiasi vettore \mathbf(v)\in M può essere rappresentato come una combinazione lineare 1\cdot\mathbf(v) , cioè come elemento di un insieme \nomeoperatore(Lin)(M).

7. Guscio lineare \nomeoperatore(Lin)(L) il sottospazio L\triangolosinistra V coincide con il sottospazio L , cioè .

Infatti, poiché il sottospazio lineare L contiene tutte le possibili combinazioni lineari dei suoi vettori, allora \nomeoperatore(Lin)(L)\sottoinsieme L. Inclusione opposta (L\sottoinsieme\nomeoperatore(Lin)(L)) segue dal punto 6. Quindi, \nomeoperatore(Lin)(L)=L.

Esempi di sottospazi lineari

Indichiamo alcuni sottospazi di spazi lineari, esempi dei quali sono stati considerati in precedenza. È impossibile enumerare tutti i sottospazi di uno spazio lineare, tranne che in casi banali.

1. Lo spazio \(\mathbf(o)\) , costituito da un vettore zero dello spazio V , è un sottospazio, cioè \(\mathbf(o)\)\triangolosinistra V.

2. Siano, come prima, insiemi di vettori (segmenti orientati) V_1,\,V_2,\,V_3 rispettivamente su una linea retta, su un piano, nello spazio. Se la linea appartiene all'aereo, allora V_1\triangolosinistra V_2\triangolosinistra V_3. Al contrario, l'insieme dei vettori unitari non è un sottospazio lineare, poiché moltiplicando un vettore per un numero diverso da uno, otteniamo un vettore che non appartiene all'insieme.

3. Nello spazio aritmetico n-dimensionale \mathbb(R)^n, considera l'insieme L di colonne "semi-zero" della forma x=\begin(pmatrix) x_1&\cdots& x_m&0&\cdots&0\end(pmatrix)^T con ultimi (n-m) elementi uguali a zero. La somma delle colonne "semi-zero" è una colonna dello stesso tipo, cioè l'operazione di addizione si chiude in L . Moltiplicando una colonna "semi-zero" per un numero si ottiene una colonna "semi-zero", cioè l'operazione di moltiplicazione per un numero è chiusa in L . Ecco perché L\triangolosinistra\mathbb(R)^n e \dim(L)=m . Al contrario, il sottoinsieme delle colonne diverse da zero \mathbb(R)^n non è un sottospazio lineare, poiché moltiplicato per zero si ottiene una colonna zero, che non appartiene all'insieme in esame. Esempi di altri sottospazi \mathbb(R)^n sono forniti nella sottosezione successiva.

4. Lo spazio \(Ax=o\) delle soluzioni di un sistema omogeneo di equazioni con n incognite è un sottospazio dello spazio aritmetico n-dimensionale \mathbb(R)^n . La dimensione di questo sottospazio è determinata dalla matrice del sistema: \dim\(Ax=o\)=n-\nomeoperatore(rg)A.

L'insieme \(Ax=b\) delle soluzioni di un sistema disomogeneo (per b\ne o ) non è un sottospazio di \mathbb(R)^n , poiché la somma di due soluzioni è disomogenea; sistema non sarà la soluzione dello stesso sistema.

5. Nello spazio M_(n\times n) delle matrici quadrate di ordine l, consideriamo due sottoinsiemi: l'insieme delle matrici simmetriche e l'insieme M_(n\volte n)^(\testo(kos)) matrici antisimmetriche. La somma di matrici simmetriche è una matrice simmetrica, cioè l'operazione di addizione è chiusa M_(n\volte n)^(\testo(sim)). Anche la moltiplicazione di una matrice simmetrica per un numero non rompe la simmetria, cioè l'operazione di moltiplicare una matrice per un numero è chiusa M_(n\volte n)^(\testo(sim)). Pertanto, l'insieme delle matrici simmetriche è un sottospazio dello spazio delle matrici quadrate, cioè M_(n\volte n)^(\text(sim))\triangolosinistra M_(n\volte n). È facile trovare la dimensione di questo sottospazio. La base standard è formata da: l matrici con un unico elemento diverso da zero (uguale a uno) sulla diagonale principale: a_(ii)=1~ i=1,\ldots,n, nonché matrici con due elementi diversi da zero (uguali a uno) simmetrici rispetto alla diagonale principale: a_(ij)=a_(ji)=1, i=1,\ldots,n, j=i,i+1 ,\ldots, n. Il totale in base sarà (n+(n-1)+\ldots+2+1= \frac(n(n+1))(2)) matrici. Quindi, \dim(M_(n\times n)^(\text(sim)))= \frac(n(n+1))(2). Allo stesso modo, lo capiamo M_(n\volte n)^(\text(kos))\triangolosinistra M_(n\volte n) E \dim(M_(n\times n)^(\text(kos)))= \frac(n(n+1))(2).

L'insieme delle matrici quadrate degeneri dell'n-esimo ordine non è un sottospazio di M_(n\times n) , poiché la somma di due matrici degeneri può risultare una matrice non degenere, ad esempio, nello spazio M_(2 \volte2):

\begin(pmatrix)1&0\\0&0\end(pmatrix)+ \begin(pmatrix)0&0\\0&1\end(pmatrix)= \begin(pmatrix)1&0\\0&1\end(pmatrix)\!.

6. Nello spazio dei polinomi P(\mathbb(R)) a coefficienti reali si può specificare una catena naturale di sottospazi

P_0(\mathbb(R))\triangleleft P_1(\mathbb(R))\triangleleft P_2(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P_n(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P( \mathbb(R)).

L'insieme dei polinomi pari (p(-x)=p(x)) è un sottospazio lineare di P(\mathbb(R)) , poiché la somma dei polinomi pari e il prodotto di un polinomio pari per un numero sarà pari polinomi. Anche l'insieme dei polinomi dispari (p(-x)=-p(x)) è uno spazio lineare. L'insieme dei polinomi con radici reali non è un sottospazio lineare, poiché la somma di tali due polinomi può dare come risultato un polinomio che non ha radici reali, ad esempio, (x^2-x)+(x+1)=x^2+1.

7. Nello spazio C(\mathbb(R)) si può specificare una catena naturale di sottospazi:

C(\mathbb(R))\triangleright C^1(\mathbb(R))\triangleright C^2(\mathbb(R)) \triangleright \ldots\triangleright C^m(\mathbb(R))\triangleright \ldots

I polinomi in P(\mathbb(R)) possono essere visti come funzioni definite su \mathbb(R) . Poiché il polinomio è una funzione continua insieme alle sue derivate di qualsiasi ordine, possiamo scrivere: P(\mathbb(R))\triangolosinistra C(\mathbb(R)) E P_n(\mathbb(R))\triangolosinistra C^m(\mathbb(R)) \forall m,n\in\mathbb(N). Lo spazio dei binomi trigonometrici T_(\omega) (\mathbb(R))è un sottospazio ×

Definizione 6.1. sottospazio Ln spazio bidimensionale Rè detto l'insieme dei vettori che formano uno spazio lineare rispetto alle azioni in esso definite R.

In altre parole, lè chiamato sottospazio dello spazio R se da x, y∈l segue quello x+y∈l e se X∈l, Quello λ X∈l, Dove λ - qualsiasi numero reale.

L'esempio più semplice di sottospazio è il sottospazio nullo, cioè sottoinsieme dello spazio R, costituito da un unico elemento zero. L'intero spazio può anche essere un sottospazio. R. Questi sottospazi sono chiamati banale O non di proprietà.

sottospazio N Lo spazio bidimensionale è a dimensione finita e la sua dimensione non supera n: dim L≤ dim R.

Somma e intersezione di sottospazi

Permettere l E M- due sottospazi dello spazio R.

Quantità l+Mè detto insieme dei vettori x+y, Dove X∈l E sì∈M. Ovviamente, qualsiasi combinazione lineare di vettori da L+M appartiene L+M, quindi L+Mè un sottospazio dello spazio R(può coincidere con lo spazio R).

attraversamento l∩M sottospazi l E Mè l'insieme dei vettori che appartengono contemporaneamente a sottospazi l E M(può consistere solo di un vettore nullo).

Teorema 6.1. Somma delle dimensioni di sottospazi arbitrari l E M spazio lineare a dimensione finita Rè uguale alla dimensione della somma di questi sottospazi e alla dimensione dell'intersezione di questi sottospazi:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Prova. Denota F=L+M E G=L∩M. Permettere G g sottospazio bidimensionale. Scegliamo una base in esso. Perché G⊂l E G⊂M, da qui la base G può essere aggiunto alla base l e alla base M. Sia la base del sottospazio l e lasciamo la base del sottospazio M. Mostriamo che i vettori

appartiene al subspazio G=L∩M. D'altra parte, il vettore v può essere rappresentato da una combinazione lineare dei vettori base del sottospazio G:

Dalle equazioni (6.4) e (6.5) abbiamo:

A causa dell'indipendenza lineare della base del sottospazio l abbiamo:

sono linearmente indipendenti. Ma qualsiasi vettore z da F(per definizione della somma dei sottospazi) può essere rappresentato dalla somma x+y, Dove X∈L, sì∈M. Nel suo turno Xè rappresentato da una combinazione lineare di vettori a sì- una combinazione lineare di vettori. Quindi i vettori (6.10) generano un sottospazio F. Abbiamo trovato che i vettori (6.10) formano una base F=L+M.

Studio delle basi dei sottospazi l E M e base subspaziale F=L+M(6.10), abbiamo: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Quindi:

dimL+dimM−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Somma diretta di sottospazi

Definizione 6.2. Spazio Fè una somma diretta di sottospazi l E M, se ciascun vettore X spazio F può essere rappresentato solo come somma x=y+z, Dove sì∈ Terra z∈M.

Si indica la somma diretta l⊕M. Dicono che se F=L⊕M, Quello F si decompone in una somma diretta dei suoi sottospazi l E M.

Teorema 6.2. In modo da N spazio bidimensionale R era una somma diretta di sottospazi l E M, è sufficiente che l'intersezione l E M contiene solo l'elemento zero e che la dimensione di R è uguale alla somma delle dimensioni dei sottospazi l E M.

Prova. Scegliamo qualche base nel sottospazio L e qualche base nel sottospazio M. Dimostriamolo

Poiché il lato sinistro della (6.13) è un vettore del sottospazio l, e il lato destro è il vettore subspaziale M E l∩M=0 , Quello

In qualsiasi spazio lineare è possibile selezionare tale sottoinsieme vettori, che sotto le operazioni da è esso stesso uno spazio lineare. Ciò può essere fatto in vari modi e la struttura di tali sottoinsiemi contiene importanti informazioni sullo spazio lineare stesso.

Definizione 2.1. Sottoinsieme dello spazio lineare chiamato sottospazio lineare, se sono soddisfatte le seguenti due condizioni:

La Definizione 2.1 in realtà dice che un sottospazio lineare è qualsiasi sottoinsieme dato lo spazio lineare, chiuso rispetto ad operazioni lineari, quelli. l'applicazione di operazioni lineari ai vettori appartenenti a questo sottoinsieme non elimina il risultato dal sottoinsieme. Mostriamo che il sottospazio lineare H come oggetto indipendente è uno spazio lineare rispetto alle operazioni date nello spazio lineare ambientale. Infatti, queste operazioni sono definite per qualsiasi elemento dell'insieme, e quindi per elementi del sottoinsieme H. La definizione 2.1 in realtà lo richiede per gli elementi from H apparteneva anche il risultato delle operazioni H. Pertanto, le operazioni specificate in possono essere considerate come operazioni su un insieme più ristretto H. Per queste operazioni sul set H gli assiomi dello spazio lineare a)-b) ed e)-h) sono soddisfatti perché validi in . Inoltre, sono soddisfatti anche i restanti due assiomi, poiché, secondo la Definizione 2.1, se allora:

1) e 0- vettore nullo V H;

2) .

In qualsiasi spazio lineare ci sono sempre due sottospazi lineari: lo spazio lineare stesso E sottospazio nullo {0}, singolo elemento 0. Questi sottospazi lineari sono chiamati non possedere, mentre vengono chiamati tutti gli altri sottospazi lineari Proprio. Diamo esempi di sottospazi lineari propri.

Esempio 2.1. Nello spazio lineare dei vettori liberi dello spazio tridimensionale, un sottospazio lineare è formato da:

a) tutti i vettori paralleli al piano dato;

b) tutti i vettori paralleli alla retta data.

Ciò deriva dalle seguenti considerazioni. Dalla definizione della somma dei vettori liberi consegue che due vettori e la loro somma sono complanari (Fig. 2.1, a). Pertanto, se e sono paralleli ad un dato piano, allora la loro somma sarà parallela allo stesso piano. Pertanto, è stabilito che per il caso a) è soddisfatta la condizione 1) della Definizione 2.1. Se si moltiplica il vettore per un numero si ottiene un vettore collineare a quello originale (Fig. 2.1.6). Ciò dimostra l'adempimento della condizione 2) della Definizione 2.1. Il caso b) si giustifica in modo analogo.

Lo spazio lineare fornisce una rappresentazione visiva di cosa sia un sottospazio lineare. In effetti, fissiamo un punto nello spazio. Quindi diversi piani e diverse rette passanti per questo punto corrisponderanno a diversi sottospazi lineari da (Fig. 2.2).

Non è così ovvio che non ci siano altri sottospazi propri in . Se in un sottospazio lineare H non ci sono vettori diversi da zero, quindi H - sottospazio lineare zero, il che è improprio. Se dentro H è un vettore diverso da zero e due vettori qualsiasi da H sono collineari, allora tutti i vettori di questo sottospazio lineare sono paralleli a una retta passante per un punto fisso. Quindi, H coincide con uno dei sottospazi lineari descritti nel caso b). Se dentro H ci sono due vettori non collineari e tre vettori qualsiasi sono complanari, allora tutti i vettori di tale sottospazio lineare sono paralleli a un piano passante per un punto fisso. Questo è il caso a). Inseriamo un sottospazio lineare H ci sono tre vettori non complanari. Poi si formano base V. Qualsiasi vettore libero può essere rappresentato come combinazione lineare questi vettori. Quindi tutti i vettori liberi cadono nel sottospazio lineare H, e quindi è uguale a . In questo caso otteniamo un sottospazio lineare improprio. Quindi tutti i sottospazi propri possono essere rappresentati come piani o rette passanti per un punto fisso.

Esempio 2.2. Qualsiasi soluzione di un sistema omogeneo di equazioni algebriche lineari (SLAE) da P le variabili possono essere viste come un vettore in spazi aritmetici lineari . L'insieme di tutti questi vettori è un sottospazio lineare in . Infatti, le soluzioni di uno SLAE omogeneo possono essere sommate componente per componente e moltiplicate per numeri reali, ovvero secondo le regole per l'aggiunta di vettori da . Il risultato dell'operazione sarà ancora una volta la soluzione di uno SLAE omogeneo. Pertanto, entrambe le condizioni per la definizione di un sottospazio lineare sono soddisfatte.

L'equazione ha una serie di soluzioni, in cui è un sottospazio lineare. Ma la stessa equazione può essere considerata come un'equazione di un piano in un sistema di coordinate rettangolari. Il piano passa per l'origine e i vettori del raggio di tutti i punti del piano formano un sottospazio bidimensionale nello spazio lineare

L'insieme delle soluzioni di uno SLAE omogeneo

forma anche un sottospazio lineare in . Allo stesso tempo, questo sistema può essere considerato come equazioni generali della retta nello spazio, dato in un sistema di coordinate rettangolari. Questa linea passa attraverso l'origine e l'insieme dei vettori del raggio di tutti i suoi punti forma un sottospazio unidimensionale in.

Esempio 2.3. Nello spazio lineare delle matrici quadrate d'ordine P un sottospazio lineare è formato da:

a) tutte le matrici simmetriche;

b) tutte le matrici antisimmetriche;

c) tutte le matrici triangolari superiori (inferiori).

Quando aggiungiamo tali matrici o moltiplichiamo per un numero, otteniamo una matrice dello stesso tipo. Al contrario, un sottoinsieme di matrici degeneri non è un sottospazio lineare, poiché la somma di due matrici degeneri può essere una matrice non degenere:

Esempio 2.4. Nello spazio lineare delle funzioni continue sul segmento si possono distinguere i seguenti sottospazi lineari:

a) l'insieme delle funzioni continue su un segmento e continuamente differenziabili nell'intervallo (0,1) (questa affermazione si basa sulle proprietà delle funzioni differenziabili: la somma delle funzioni differenziabili è una funzione differenziabile, il prodotto di una funzione differenziabile una funzione mediante un numero è una funzione differenziabile);

b) l'insieme di tutti i polinomi;

c) impostare tutti i polinomi di grado massimo N.

Un sottoinsieme non vuoto L di uno spazio lineare V si chiama sottospazio lineare spazio V se

1) \mathbf(u)+\mathbf(v)\in L~~\forall \mathbf(u,v)\in L(il sottospazio è chiuso rispetto all'operazione di addizione);

2) \lambda \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(v)\in L e un qualsiasi numero \lambda (il sottospazio è chiuso rispetto all'operazione di moltiplicazione di un vettore per un numero).

Per indicare un sottospazio lineare, utilizzeremo la notazione L\triangolosinistra V , e ometteremo la parola "lineare" per brevità.

Osservazioni 8.7

1. Le condizioni 1, 2 nella definizione possono essere sostituite da una condizione: \lambda \mathbf(u)+\mu \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(u,v)\in L e qualsiasi numero \lambda e \mu . Naturalmente qui e nella definizione parliamo di numeri arbitrari del campo numerico su cui è definito lo spazio V.

2. In ogni spazio lineare V ci sono due sottospazi lineari:

a) lo spazio V stesso, cioè V\triangolosinistra V ;

b) sottospazio zero \(\mathbf(o)\) , costituito da un vettore zero dello spazio V , cioè . Questi sottospazi si dicono impropri, tutti gli altri si dicono propri.

3. Qualsiasi sottospazio L di uno spazio lineare V è il suo sottoinsieme: L\triangolosinistra V~\Freccia destra~L\sottoinsieme V, ma non ogni sottoinsieme di M\sottoinsieme V è un sottospazio lineare, poiché può risultare non chiuso rispetto alle operazioni lineari.

4. Il sottospazio L dello spazio lineare V è esso stesso uno spazio lineare con le stesse operazioni di addizione di vettori e moltiplicazione di un vettore per un numero come nello spazio V , poiché per loro valgono gli assiomi 1-8. Pertanto, possiamo parlare della dimensione del sottospazio, della sua base e così via.

5. La dimensione di qualsiasi sottospazio L dello spazio lineare V non supera la dimensione dello spazio V\due punti\,\dim(L)\leqslant \dim(V). Se la dimensione del sottospazio L\triangolosinistra V è uguale alla dimensione dello spazio a dimensione finita V (\dim(L)=\dim(V)), allora il sottospazio coincide con lo spazio stesso: L=V .

Ciò segue dal Teorema 8.2 (sul completamento di un sistema di vettori in una base). Infatti, prendendo la base del sottospazio L , lo completeremo con la base dello spazio V . Se possibile, allora \dim(L)<\dim{V} . Если нельзя дополнить, т.е. базис подпространства L является базисом пространства V , то \dim{L}=\dim{V} . Учитывая, что пространство есть линейная оболочка базиса (см. следствие 1 теоремы 8.1), получаем L=V .

6. Per ogni sottoinsieme M di uno spazio lineare V, l'intervallo lineare è un sottospazio di V e M\subset\operatorname(Lin)(M)\triangleleft V.

Infatti, se M=\varniente (l'insieme vuoto), allora per definizione \nomeoperatore(Lin)(M)=\(\mathbf(o)\), cioè. è il sottospazio nullo e \varnothing\subset\(\mathbf(o)\)\triangleleft V. Lascia che M\ne\varniente . Dobbiamo dimostrare che il set \nomeoperatore(Lin)(M)è chiuso rispetto alle operazioni di somma dei suoi elementi e di moltiplicazione dei suoi elementi per un numero. Ricordiamo che gli elementi della campata lineare \nomeoperatore(Lin)(M) servono come combinazioni lineari di vettori da M . Poiché una combinazione lineare di combinazioni lineari di vettori è la loro combinazione lineare, quindi, tenendo conto del punto 1, concludiamo che \nomeoperatore(Lin)(M)è un sottospazio di V , cioè \operatorname(Lin)(M)\triangleleft V. Inclusione M\sottoinsieme\nomeoperatore(Lin)(M)- ovvio, poiché qualsiasi vettore \mathbf(v)\in M può essere rappresentato come una combinazione lineare 1\cdot\mathbf(v) , cioè come elemento di un insieme \nomeoperatore(Lin)(M).

7. Guscio lineare \nomeoperatore(Lin)(L) il sottospazio L\triangolosinistra V coincide con il sottospazio L , cioè .

Infatti, poiché il sottospazio lineare L contiene tutte le possibili combinazioni lineari dei suoi vettori, allora \nomeoperatore(Lin)(L)\sottoinsieme L. Inclusione opposta (L\sottoinsieme\nomeoperatore(Lin)(L)) segue dal punto 6. Quindi, \nomeoperatore(Lin)(L)=L.

Esempi di sottospazi lineari

Indichiamo alcuni sottospazi di spazi lineari, esempi dei quali sono stati considerati in precedenza. È impossibile enumerare tutti i sottospazi di uno spazio lineare, tranne che in casi banali.

1. Lo spazio \(\mathbf(o)\) , costituito da un vettore zero dello spazio V , è un sottospazio, cioè \(\mathbf(o)\)\triangolosinistra V.

2. Siano, come prima, insiemi di vettori (segmenti orientati) V_1,\,V_2,\,V_3 rispettivamente su una linea retta, su un piano, nello spazio. Se la linea appartiene all'aereo, allora V_1\triangolosinistra V_2\triangolosinistra V_3. Al contrario, l'insieme dei vettori unitari non è un sottospazio lineare, poiché moltiplicando un vettore per un numero diverso da uno, otteniamo un vettore che non appartiene all'insieme.

3. Nello spazio aritmetico n-dimensionale \mathbb(R)^n, considera l'insieme L di colonne "semi-zero" della forma x=\begin(pmatrix) x_1&\cdots& x_m&0&\cdots&0\end(pmatrix)^T con ultimi (n-m) elementi uguali a zero. La somma delle colonne "semi-zero" è una colonna dello stesso tipo, cioè l'operazione di addizione si chiude in L . Moltiplicando una colonna "semi-zero" per un numero si ottiene una colonna "semi-zero", cioè l'operazione di moltiplicazione per un numero è chiusa in L . Ecco perché L\triangolosinistra\mathbb(R)^n e \dim(L)=m . Al contrario, il sottoinsieme delle colonne diverse da zero \mathbb(R)^n non è un sottospazio lineare, poiché moltiplicato per zero si ottiene una colonna zero, che non appartiene all'insieme in esame. Esempi di altri sottospazi \mathbb(R)^n sono forniti nella sottosezione successiva.

4. Lo spazio \(Ax=o\) delle soluzioni di un sistema omogeneo di equazioni con n incognite è un sottospazio dello spazio aritmetico n-dimensionale \mathbb(R)^n . La dimensione di questo sottospazio è determinata dalla matrice del sistema: \dim\(Ax=o\)=n-\nomeoperatore(rg)A.

L'insieme \(Ax=b\) delle soluzioni di un sistema disomogeneo (per b\ne o ) non è un sottospazio di \mathbb(R)^n , poiché la somma di due soluzioni è disomogenea; sistema non sarà la soluzione dello stesso sistema.

5. Nello spazio M_(n\times n) delle matrici quadrate di ordine l, consideriamo due sottoinsiemi: l'insieme delle matrici simmetriche e l'insieme M_(n\volte n)^(\testo(kos)) matrici antisimmetriche. La somma di matrici simmetriche è una matrice simmetrica, cioè l'operazione di addizione è chiusa M_(n\volte n)^(\testo(sim)). Anche la moltiplicazione di una matrice simmetrica per un numero non rompe la simmetria, cioè l'operazione di moltiplicare una matrice per un numero è chiusa M_(n\volte n)^(\testo(sim)). Pertanto, l'insieme delle matrici simmetriche è un sottospazio dello spazio delle matrici quadrate, cioè M_(n\volte n)^(\text(sim))\triangolosinistra M_(n\volte n). È facile trovare la dimensione di questo sottospazio. La base standard è formata da: l matrici con un unico elemento diverso da zero (uguale a uno) sulla diagonale principale: a_(ii)=1~ i=1,\ldots,n, nonché matrici con due elementi diversi da zero (uguali a uno) simmetrici rispetto alla diagonale principale: a_(ij)=a_(ji)=1, i=1,\ldots,n, j=i,i+1 ,\ldots, n. Il totale in base sarà (n+(n-1)+\ldots+2+1= \frac(n(n+1))(2)) matrici. Quindi, \dim(M_(n\times n)^(\text(sim)))= \frac(n(n+1))(2). Allo stesso modo, lo capiamo M_(n\volte n)^(\text(kos))\triangolosinistra M_(n\volte n) E \dim(M_(n\times n)^(\text(kos)))= \frac(n(n+1))(2).

L'insieme delle matrici quadrate degeneri dell'n-esimo ordine non è un sottospazio di M_(n\times n) , poiché la somma di due matrici degeneri può risultare una matrice non degenere, ad esempio, nello spazio M_(2 \volte2):

\begin(pmatrix)1&0\\0&0\end(pmatrix)+ \begin(pmatrix)0&0\\0&1\end(pmatrix)= \begin(pmatrix)1&0\\0&1\end(pmatrix)\!.

6. Nello spazio dei polinomi P(\mathbb(R)) a coefficienti reali si può specificare una catena naturale di sottospazi

P_0(\mathbb(R))\triangleleft P_1(\mathbb(R))\triangleleft P_2(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P_n(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P( \mathbb(R)).

L'insieme dei polinomi pari (p(-x)=p(x)) è un sottospazio lineare di P(\mathbb(R)) , poiché la somma dei polinomi pari e il prodotto di un polinomio pari per un numero sarà pari polinomi. Anche l'insieme dei polinomi dispari (p(-x)=-p(x)) è uno spazio lineare. L'insieme dei polinomi con radici reali non è un sottospazio lineare, poiché la somma di tali due polinomi può dare come risultato un polinomio che non ha radici reali, ad esempio, (x^2-x)+(x+1)=x^2+1.

7. Nello spazio C(\mathbb(R)) si può specificare una catena naturale di sottospazi:

C(\mathbb(R))\triangleright C^1(\mathbb(R))\triangleright C^2(\mathbb(R)) \triangleright \ldots\triangleright C^m(\mathbb(R))\triangleright \ldots

I polinomi in P(\mathbb(R)) possono essere visti come funzioni definite su \mathbb(R) . Poiché il polinomio è una funzione continua insieme alle sue derivate di qualsiasi ordine, possiamo scrivere: P(\mathbb(R))\triangolosinistra C(\mathbb(R)) E P_n(\mathbb(R))\triangolosinistra C^m(\mathbb(R)) \forall m,n\in\mathbb(N). Lo spazio dei binomi trigonometrici T_(\omega) (\mathbb(R))è un sottospazio di C^m(\mathbb(R)) , poiché le derivate di qualsiasi ordine della funzione f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t continuo, cioè T_(\omega)(\mathbb(R))\triangleleft C^m(\mathbb(R)) \forall m\in \mathbb(N). L'insieme delle funzioni periodiche continue non è un sottospazio di C(\mathbb(R)) , poiché la somma di due funzioni periodiche può risultare una funzione non periodica, ad esempio, \sin(t)+\sin(\pi t).