Oscillatore armonico pendolo a molla. Oscillatore armonico ideale

F, proporzionale allo spostamento X :

Se F- l'unica forza che agisce sul sistema, quindi viene chiamato il sistema semplice O oscillatore armonico conservativo. Le oscillazioni libere di un tale sistema rappresentano un movimento periodico attorno alla posizione di equilibrio ( vibrazioni armoniche). La frequenza e l'ampiezza sono costanti e la frequenza non dipende dall'ampiezza.

Esempi meccanici di un oscillatore armonico sono il pendolo matematico (con piccoli angoli di deflessione), un peso su una molla, un pendolo di torsione e sistemi acustici. Tra gli analoghi non meccanici di un oscillatore armonico, si può individuare un oscillatore armonico elettrico (vedi circuito LC).

Permettere X- spostamento di un punto materiale rispetto alla sua posizione di equilibrio, e F- agendo su un punto ripristinando la forza di qualsiasi natura della forma

Dove K= cost. Quindi, usando la seconda legge di Newton, si può scrivere l'accelerazione come

L'ampiezza è ridotta. Ciò significa che può avere qualsiasi valore (compreso lo zero - ciò significa che il punto materiale è fermo nella posizione di equilibrio). Il seno può anche essere ridotto, poiché l'uguaglianza deve valere in qualsiasi momento T. Pertanto, la condizione per la frequenza di oscillazione rimane:

Il moto armonico semplice è alla base di alcuni modi di analizzare tipi di moto più complessi. Uno di questi metodi si basa sulla trasformata di Fourier, la cui essenza è scomporre un tipo più complesso di movimento in una serie di semplici moti armonici.

Qualsiasi sistema in cui si verifica un moto armonico semplice ha due proprietà fondamentali:

Un tipico esempio di un sistema in cui si verifica un moto armonico semplice è il sistema idealizzato massa-molla, in cui una massa è attaccata a una molla ed è posta su una superficie orizzontale. Se la molla non è compressa e non è tesa, allora nessuna forza variabile agisce sul carico ed è in uno stato di equilibrio meccanico. Tuttavia, se il carico viene rimosso dalla posizione di equilibrio, la molla si deforma e una forza agirà dal suo lato, tendendo a riportare il carico nella posizione di equilibrio. Nel caso di un sistema carico-molla, tale forza è la forza elastica della molla, che obbedisce alla legge di Hooke:

Dove K ha un significato molto specifico: questo è il coefficiente di rigidità della molla.

Una volta che il carico spostato è sottoposto all'azione di una forza di ripristino, che lo accelera e tende a riportarlo al punto di partenza, cioè nella posizione di equilibrio. Man mano che il carico si avvicina alla posizione di equilibrio, la forza di ripristino diminuisce e tende a zero. Tuttavia, in posizione X = 0 il carico ha una certa quantità di movimento (momento), acquisito grazie all'azione della forza di ripristino. Pertanto, il carico salta la posizione di equilibrio, ricominciando a deformare la molla (ma in direzione opposta). La forza di ripristino tenderà a rallentarlo finché la velocità non sarà nulla; e la forza cercherà nuovamente di riportare il carico nella sua posizione di equilibrio.

Se non c'è perdita di energia, il carico oscillerà come descritto sopra; questo movimento è periodico.

Moto armonico semplice mostrato simultaneamente nello spazio reale e nello spazio delle fasi. Spazio reale - spazio reale; Spazio delle fasi - spazio delle fasi; velocità - velocità; posizione - posizione (posizione).

Nel caso di un carico sospeso verticalmente su una molla, insieme alla forza elastica agisce la gravità, cioè la forza totale sarà

Le misurazioni della frequenza (o periodo) delle oscillazioni di un carico su una molla sono utilizzate nei dispositivi per determinare la massa corporea - i cosiddetti misuratori di massa, utilizzati su stazioni spaziali quando la bilancia non può funzionare a causa dell'assenza di gravità.

Il moto armonico semplice può in alcuni casi essere considerato come una proiezione unidimensionale del moto circolare universale.

Se un oggetto si muove con una velocità angolare costante ω lungo un cerchio di raggio R, il cui centro è l'origine del piano x-y, allora tale moto lungo ciascuno degli assi coordinati è armonico semplice con l'ampiezza R e frequenza circolare ω .

Nell'approssimazione di piccoli angoli, il moto di un pendolo semplice è vicino all'armonica semplice. Il periodo di oscillazione di un tale pendolo attaccato a un'asta di lunghezza ℓ , è data dalla formula

Dove G- accelerazione di gravità. Ciò dimostra che il periodo di oscillazione non dipende dall'ampiezza e dalla massa del pendolo, ma dipende da G, quindi, a parità di lunghezza del pendolo, sulla Luna oscillerà più lentamente, poiché lì la gravità è più debole e il valore dell'accelerazione di caduta libera è inferiore.

L'approssimazione specificata è corretta solo a piccoli angoli di deflessione, poiché l'espressione per l'accelerazione angolare è proporzionale al seno della coordinata:

Dove IO- momento d'inerzia ; in questo caso IO = mℓ 2. Piccoli angoli sono realizzati in condizioni in cui l'ampiezza di oscillazione è molto inferiore alla lunghezza dell'asta.

che rende l'accelerazione angolare direttamente proporzionale all'angolo θ, e questo soddisfa la definizione di moto armonico semplice.

Quando si considera un oscillatore smorzato, si prende come base il modello di un oscillatore conservativo, a cui si aggiunge la forza di attrito viscoso. La forza di attrito viscoso è diretta contro la velocità del carico rispetto al mezzo ed è direttamente proporzionale a questa velocità. Quindi la forza totale che agisce sul carico si scrive come segue:

Usando la seconda legge di Newton, otteniamo equazione differenziale descrivendo l'oscillatore smorzato:

Pertanto, negli indicatori del puntatore (ad esempio negli amperometri), di solito cercano di introdurre un'attenuazione critica precisa in modo che la freccia si calmi il più rapidamente possibile per leggere le sue letture.

Un oscillatore con smorzamento critico ha un fattore di qualità di 0,5. Di conseguenza, il fattore qualità indica la natura del comportamento dell'oscillatore. Se il fattore di qualità è maggiore di 0,5, allora il movimento libero dell'oscillatore è un'oscillazione; teoricamente, nel tempo, attraverserà la posizione di equilibrio un numero illimitato di volte. Un fattore di qualità inferiore o uguale a 0,5 corrisponde al movimento non oscillatorio dell'oscillatore; in moto libero attraverserà al massimo una volta la posizione di equilibrio.

Nel caso del moto oscillatorio, l'attenuazione è anche caratterizzata da parametri quali:

Questo tempo è considerato come il tempo necessario per lo smorzamento (cessazione) delle oscillazioni (sebbene, formalmente, le oscillazioni libere continuino indefinitamente).

Le oscillazioni di un oscillatore sono chiamate forzate quando su di esso viene esercitata qualche ulteriore influenza esterna. Questa influenza può essere prodotta con vari mezzi e secondo varie leggi. Ad esempio, l'eccitazione della forza è l'effetto sul carico di una forza che dipende solo dal tempo secondo una certa legge. L'eccitazione cinematica è l'azione sull'oscillatore del movimento del punto di fissaggio della molla secondo una data legge. L'effetto dell'attrito è possibile anche quando, ad esempio, il mezzo con cui il carico subisce l'attrito si muove secondo una data legge.

Si considerino le oscillazioni di un peso m su una molla con coefficiente di rigidezza k, che giace su un piano orizzontale, supponendo che non vi sia attrito del peso sulla superficie del tavolo. Se il peso viene rimosso dalla posizione di equilibrio, oscillerà intorno a questa posizione. Descriveremo queste oscillazioni con una funzione dipendente dal tempo, supponendo che determini la deviazione del peso dalla sua posizione di equilibrio al tempo t.

Nella direzione orizzontale, solo una forza agisce sul peso: la forza elastica della molla, determinata dalla nota legge di Hooke

La deformazione della molla è una funzione del tempo, per questo è anche una variabile.

Dalla seconda legge di Newton abbiamo

perché l'accelerazione è la derivata seconda dello spostamento: .

L'equazione (9) può essere riscritta nella forma

Dove. Questa equazione è chiamata equazione dell'oscillatore armonico.

Commento. Nella letteratura matematica, quando si scrive un'equazione differenziale, di solito non si indica l'argomento (t) accanto a tutte le funzioni che da esso dipendono. Questa dipendenza è presunta per impostazione predefinita. Quando si utilizza il pacchetto matematico Maple in (10), è necessario indicare la dipendenza esplicita della funzione.

A differenza dell'esempio precedente di moto del corpo sotto l'azione di una forza costante, nel nostro caso la forza cambia nel tempo e l'equazione (10) non può più essere risolta con la consueta procedura di integrazione. Proviamo a indovinare la soluzione di questa equazione, sapendo che descrive un processo oscillatorio. Come una delle possibili soluzioni all'equazione (10), possiamo scegliere la seguente funzione:

Funzione differenziante (11), abbiamo

Sostituendo l'espressione (12) nell'equazione (10), ci assicuriamo che sia soddisfatta in modo identico per qualsiasi valore di t.

Tuttavia, la funzione (11) non è l'unica soluzione all'equazione dell'oscillatore armonico. Ad esempio, si può scegliere una funzione come un'altra soluzione, anch'essa facile da controllare in modo simile. Inoltre, si può verificare che qualsiasi combinazione lineare di queste due soluzioni denominate casualmente

con coefficienti costanti A e B è anche una soluzione all'equazione dell'oscillatore armonico.

Si può dimostrare che la soluzione a due costanti (13) è la soluzione generale dell'equazione dell'oscillatore armonico (10). Ciò significa che la formula (13) esaurisce tutte le possibili soluzioni a questa equazione. In altre parole, l'equazione dell'oscillatore armonico non ha altre soluzioni particolari, ad eccezione di quelle ottenute dalla formula (13) fissando le costanti arbitrarie A e B.

Si noti che in fisica è molto spesso necessario cercare solo alcune soluzioni particolari di singole ODE o dei loro sistemi. Consideriamo questa domanda in modo più dettagliato.

È possibile eccitare oscillazioni nel sistema di peso su una molla che stiamo considerando diversi modi. Poniamo le seguenti condizioni iniziali

Ciò significa che nell'istante iniziale il peso è stato allontanato dalla posizione di equilibrio di un valore a e rilasciato liberamente (cioè inizia il suo movimento con velocità iniziale nulla). Si possono immaginare molti altri modi di eccitazione, ad esempio, un peso nella posizione di equilibrio riceve una certa velocità iniziale da un "clic", ecc. [ caso generale, ].

Consideriamo le condizioni iniziali (14) come delle condizioni aggiuntive per separare dalla soluzione generale (13) qualche soluzione particolare corrispondente al nostro metodo di eccitazione delle oscillazioni del peso.

Assumendo t=0 nell'espressione (13), si ha, da cui segue che B=a. Pertanto, abbiamo trovato una delle costanti precedentemente arbitrarie nella soluzione (13). Inoltre, differenziando nella formula (13), abbiamo

Assumendo t=0 in questa espressione e tenendo conto della seconda condizione iniziale della (14), otteniamo, quindi segue che A=0 e, quindi, la soluzione particolare iniziale ha la forma

Descrive la modalità oscillatoria del sistema meccanico considerato, che è determinata dalle condizioni dell'eccitazione iniziale (14).

È noto dal corso di fisica scolastica che nella formula (16) a è l'ampiezza delle oscillazioni (stabilisce la massima deviazione del peso dalla sua posizione di equilibrio), è la frequenza ciclica, ed è la fase delle oscillazioni (la la fase iniziale risulta essere uguale a zero).

L'equazione dell'oscillatore armonico (10) è un esempio di ODE lineare. Ciò significa che la funzione sconosciuta e tutte le sue derivate sono incluse in ogni termine dell'equazione al primo grado. Le equazioni differenziali lineari hanno una proprietà distintiva estremamente importante: soddisfano il principio di sovrapposizione. Ciò significa che qualsiasi combinazione lineare di due soluzioni qualsiasi di un'ODE lineare è anche la sua soluzione.

Nell'esempio dell'equazione dell'oscillatore armonico che stiamo considerando, una combinazione lineare arbitraria di due soluzioni particolari non è solo una nuova soluzione, ma una soluzione generale a questa equazione (esaurisce tutte le sue possibili soluzioni).

In generale, non è così. Per esempio, se avessimo a che fare con un'equazione differenziale lineare di terzo ordine (cioè se l'equazione includesse una terza derivata), allora anche una combinazione lineare di due qualsiasi delle sue soluzioni particolari sarebbe una soluzione di questa equazione, ma non rappresentarlo decisione comune.

Nel corso di equazioni differenziali si dimostra un teorema secondo il quale la soluzione generale di una ODE dell'ennesimo ordine (lineare o non lineare) dipende da N costanti arbitrarie. Nel caso di un'equazione non lineare, queste costanti arbitrarie possono entrare nella soluzione generale (contrariamente a (13)), in modo non lineare.

Il principio di sovrapposizione gioca un ruolo estremamente importante nella teoria delle ODE, poiché può essere utilizzato per costruire una soluzione generale di un'equazione differenziale sotto forma di sovrapposizione delle sue soluzioni particolari. Ad esempio, per il caso di ODE lineari a coefficienti costanti e dei loro sistemi (l'equazione dell'oscillatore armonico appartiene proprio a questo tipo di equazioni), un metodo di soluzione generale è stato sviluppato nella teoria delle equazioni differenziali. La sua essenza è la seguente. Cerchiamo una soluzione particolare nella forma Come risultato della sua sostituzione nell'equazione originale, tutti i fattori dipendenti dal tempo si annullano e arriviamo a un'equazione caratteristica, che per l'ODE di ordine N è equazione algebrica All'ennesima potenza. Risolvendolo, troviamo, quindi, tutte le possibili soluzioni particolari, una combinazione lineare arbitraria delle quali fornisce la soluzione generale dell'ODE originale. Non ci soffermeremo ulteriormente su questo problema, rimandando il lettore ai libri di testo appropriati sulla teoria delle equazioni differenziali, dove è possibile trovare ulteriori dettagli, in particolare, il caso in cui l'equazione caratteristica contiene radici multiple.

Se si considera un'ODE lineare a coefficienti variabili (i suoi coefficienti dipendono dal tempo), allora vale anche il principio di sovrapposizione, ma non è più possibile costruire una soluzione generale a questa equazione in forma esplicita con alcun metodo standard. Torneremo su questo argomento in seguito, discutendo il fenomeno della risonanza parametrica e l'equazione di Mathieu relativa al suo studio.

VASCOLAZIONE. ONDE. OTTICA

VASCOLAZIONE

Lezione 1

OSCILLAZIONI ARMONICHE

Oscillatore armonico ideale. Equazione dell'oscillatore ideale e sua soluzione. Ampiezza, frequenza e fase delle oscillazioni

L'oscillazione è uno dei processi più comuni in natura e tecnologia. Le fluttuazioni sono processi che si ripetono nel tempo. Grattacieli e cavi ad alta tensione oscillano sotto l'influenza del vento, il pendolo di un orologio a carica e un'auto su molle durante il movimento, il livello del fiume durante l'anno e la temperatura del corpo umano durante la malattia. Il suono è fluttuazioni della pressione atmosferica, le onde radio sono cambiamenti periodici nella forza dell'elettricità e campo magnetico, anche la luce è oscillazioni elettromagnetiche. Terremoti - vibrazioni del suolo, flussi e riflussi - cambiamenti nei livelli dei mari e degli oceani causati dall'attrazione della luna, ecc.

Le oscillazioni sono meccaniche, elettromagnetiche, chimiche, termodinamiche, ecc. Nonostante una tale varietà, tutte le oscillazioni sono descritte dalle stesse equazioni differenziali.

I primi scienziati a studiare le vibrazioni furono Galileo Galilei e Christian Huygens. Galileo stabilì l'indipendenza del periodo delle oscillazioni dall'ampiezza. Huygens ha inventato l'orologio a pendolo.

Qualsiasi sistema che, quando leggermente sbilanciato, oscilla costantemente è chiamato oscillatore armonico. Nella fisica classica, tali sistemi sono un pendolo matematico entro piccoli angoli di deflessione, un carico entro piccole ampiezze di oscillazione, un circuito elettrico costituito da elementi lineari di capacità e induttanza.

Un oscillatore armonico può essere considerato lineare se lo spostamento dalla posizione di equilibrio è direttamente proporzionale alla forza perturbante. La frequenza di oscillazione di un oscillatore armonico non dipende dall'ampiezza. Per l'oscillatore, il principio di sovrapposizione è soddisfatto: se agiscono più forze di disturbo, è possibile ottenere l'effetto della loro azione totale come risultato dell'aggiunta degli effetti da forze attive separatamente.

Le oscillazioni armoniche sono descritte dall'equazione (Fig. 1.1.1)

(1.1.1)

Dove X- spostamento del valore oscillante dalla posizione di equilibrio, UN– ampiezza delle oscillazioni pari al valore dello spostamento massimo, - fase delle oscillazioni, che determina lo spostamento al tempo , - fase iniziale, che determina l'entità dello spostamento al momento iniziale, - frequenza ciclica delle oscillazioni.

Il tempo di un'oscillazione completa è chiamato periodo, dove è il numero di oscillazioni completate durante il tempo.

La frequenza di oscillazione determina il numero di oscillazioni per unità di tempo, è correlata alla frequenza ciclica dal rapporto, quindi dal periodo.

La velocità di un punto materiale oscillante

accelerazione

Pertanto, anche la velocità e l'accelerazione dell'oscillatore armonico cambiano secondo la legge armonica con ampiezze e rispettivamente. In questo caso, la velocità supera lo sfasamento di e l'accelerazione di (Fig. 1.1.2).

Da un confronto delle equazioni del moto di un oscillatore armonico (1.1.1) e (1.1.2) segue che , o

Questa equazione differenziale del secondo ordine è chiamata equazione dell'oscillatore armonico. La sua soluzione contiene due costanti UN e , che sono determinati dall'attività condizioni iniziali

Se un processo che si ripete periodicamente è descritto da equazioni che non coincidono con (1.1.1), si dice anarmonico. Un sistema che esegue oscillazioni anarmoniche è chiamato oscillatore anarmonico.

1.1.2 . Oscillazioni libere di sistemi ad un grado di libertà. forma complessa rappresentazioni di vibrazioni armoniche

In natura sono molto comuni le piccole oscillazioni che un sistema compie in prossimità della sua posizione di equilibrio. Se un sistema portato fuori equilibrio viene lasciato a se stesso, cioè su di esso non agiscono forze esterne, allora un tale sistema eseguirà oscillazioni libere non smorzate. Consideriamo un sistema con un grado di libertà.

Un equilibrio stabile corrisponde a una posizione del sistema in cui la sua energia potenziale ha un minimo ( Qè la coordinata generalizzata del sistema). La deviazione del sistema dalla posizione di equilibrio porta all'emergere di una forza che tende a riportare indietro il sistema. Indichiamo il valore della coordinata generalizzata corrispondente alla posizione di equilibrio, quindi la deviazione dalla posizione di equilibrio

Conteremo l'energia potenziale dal valore minimo. Prendiamo la funzione risultante, espandiamola in una serie di Maclaurin e lasciamo il primo termine dell'espansione, abbiamo: o

Dove . Quindi, tenendo conto della notazione introdotta:

, (1.1.4)

Tenendo conto dell'espressione (1.1.4) per la forza agente sul sistema, si ottiene:

Secondo la seconda legge di Newton, l'equazione del moto del sistema ha la forma:

L'espressione (1.1.5) coincide con l'equazione (1.1.3) delle oscillazioni armoniche libere, a condizione che

e ha due soluzioni indipendenti: e , quindi la soluzione generale è:

Dalla formula (1.1.6) segue che la frequenza è determinata solo dalle proprietà intrinseche del sistema meccanico e non dipende dall'ampiezza e dalle condizioni iniziali del moto.

La dipendenza della coordinata del sistema oscillante dal tempo può essere determinata come la parte reale dell'espressione complessa , Dove A=Xe-iαè un'ampiezza complessa, il suo modulo coincide con l'ampiezza usuale e il suo argomento coincide con la fase iniziale.

1.1.3 . Esempi di moti oscillatori di varia natura fisica

Fluttuazioni del carico sulla molla

Si considerino le oscillazioni di un carico su una molla, purché la molla non si deformi oltre i limiti di elasticità. Mostreremo che un tale carico eseguirà oscillazioni armoniche rispetto alla posizione di equilibrio (Fig. 1.1.3). Infatti, secondo la legge di Hooke, una molla compressa o allungata crea una forza armonica:

Dove - coefficiente di rigidità della molla, è la coordinata della posizione di equilibrio, Xè la coordinata del carico (punto materiale) al momento , è lo spostamento dalla posizione di equilibrio.

Poniamo l'origine della coordinata nella posizione di equilibrio del sistema. In questo caso .

Se la molla è allungata X, quindi rilasciare alla volta T=0, allora assumerà la forma l'equazione del moto del carico secondo la seconda legge di Newton -kx=ma, O , E

(1.1.6)

Questa equazione coincide nella forma con l'equazione del moto (1.1.3) di un sistema che esegue oscillazioni armoniche, cercheremo la sua soluzione nella forma:

. (1.1.7)

Sostituendo la (1.17) nella (1.1.6), si ha: ovvero, l'espressione (1.1.7) è una soluzione dell'equazione (1.1.6) a condizione che

Se al momento iniziale la posizione del carico era arbitraria, l'equazione del moto assumerà la forma:

Consideriamo come cambia l'energia del carico, compiendo oscillazioni armoniche in assenza di forze esterne (Fig. 1.14). Se al momento T=0 invia l'offset al carico x=A, allora la sua energia totale diventerà uguale all'energia potenziale della molla deformata, energia cinetica uguale a zero (punto 1).

Forza agente sul carico F= -kx, cercando di riportarlo nella posizione di equilibrio, quindi il carico si sposta con accelerazione e aumenta la sua velocità e, di conseguenza, la sua energia cinetica. Questa forza riduce lo spostamento del carico X, l'energia potenziale del carico diminuisce, trasformandosi in cinetica. Il sistema "carico - molla" è chiuso, quindi si conserva la sua energia totale, cioè:

. (1.1.8)

Al momento, il carico è in equilibrio (punto 2), la sua energia potenziale è zero e la sua energia cinetica è massima. Troviamo la velocità massima del carico dalla legge di conservazione dell'energia (1.1.8):

A causa dello stock di energia cinetica, il carico lavora contro la forza elastica – e passa per la posizione di equilibrio. L'energia cinetica si trasforma gradualmente in potenziale. Quando il carico ha uno spostamento massimo negativo - UN, energia cinetica sett=0, il carico si ferma e inizia a muoversi verso la posizione di equilibrio sotto l'azione di una forza elastica F= -kx. L'ulteriore movimento è simile.

Pendoli

Un pendolo è un corpo rigido che oscilla attorno a un punto o asse fisso sotto l'azione della gravità. Ci sono pendoli fisici e matematici.

Un pendolo matematico è un sistema idealizzato costituito da un filo inestensibile privo di peso su cui è sospesa una massa concentrata in un punto materiale.

Un pendolo matematico, ad esempio, è una palla su un filo lungo e sottile.

La deviazione del pendolo dalla posizione di equilibrio è caratterizzata dall'angolo φ , che forma un filo con una verticale (Fig. 1.15). Quando il pendolo devia dalla posizione di equilibrio, si verifica un momento di forze esterne (gravità): , Dove M- peso, - lunghezza del pendolo

Questo momento tende a riportare il pendolo nella posizione di equilibrio (simile alla forza quasi elastica) ed è diretto in senso opposto allo spostamento φ , quindi c'è un segno meno nella formula.

Equazione della dinamica moto rotatorio per un pendolo ha la forma: ioε=,

Considereremo quindi il caso di piccole fluttuazioni peccato φ ≈φ, denota ,

abbiamo: , O , e infine

Questa è l'equazione delle oscillazioni armoniche, la sua soluzione:

La frequenza di oscillazione di un pendolo matematico è determinata solo dalla sua lunghezza e dall'accelerazione di gravità e non dipende dalla massa del pendolo. Il periodo è:

Se il corpo oscillante non può essere rappresentato come un punto materiale, allora il pendolo è chiamato fisico (Fig. 1.1.6). Scriviamo l'equazione del suo moto nella forma:

In caso di piccole fluttuazioni , O =0 , dove . Questa è l'equazione del moto di un corpo che compie oscillazioni armoniche. La frequenza di oscillazione di un pendolo fisico dipende dalla sua massa, lunghezza e momento di inerzia rispetto all'asse passante per il punto di sospensione.

Indichiamo . Valore è chiamata la lunghezza ridotta del pendolo fisico. Questa è la lunghezza di un pendolo matematico il cui periodo di oscillazione coincide con il periodo di un dato pendolo fisico. Un punto su una linea retta che collega il punto di sospensione con il centro di massa, che si trova a una distanza della lunghezza ridotta dall'asse di rotazione, è chiamato centro di oscillazione di un pendolo fisico ( DI'). Se il pendolo è sospeso al centro dell'oscillazione, la lunghezza ridotta e il periodo di oscillazione saranno gli stessi del punto DI. Pertanto, il punto di sospensione e il centro di oscillazione hanno le proprietà della reciprocità: quando il punto di sospensione viene trasferito al centro di oscillazione, il vecchio punto di sospensione diventa il nuovo centro di oscillazione.

Un pendolo matematico che oscilla con lo stesso periodo di quello fisico considerato è detto isocrono al dato pendolo fisico.

1.1.4. Aggiunta di vibrazioni (battiti, figure di Lissajous). Descrizione vettoriale dell'addizione di oscillazione

L'aggiunta di oscillazioni ugualmente dirette può essere eseguita utilizzando il metodo dei diagrammi vettoriali. Qualsiasi oscillazione armonica può essere rappresentata come vettore come segue. Scegliamo un asse X con origine nel punto DI(fig.1.1.7)

Da un punto DI costruire un vettore che forma l'angolo con assale X. Lascia che questo vettore ruoti con velocità angolare . Proiezione di un vettore su un asse Xè uguale a:

cioè esegue oscillazioni armoniche con un'ampiezza UN.

Consideriamo due oscillazioni armoniche della stessa direzione e dello stesso piccolo ciclico , date dai vettori e . Offset lungo l'asse X sono uguali:

il vettore risultante ha una proiezione e rappresenta l'oscillazione risultante (Fig. 1.1.8), secondo il teorema del coseno. Pertanto, l'addizione delle oscillazioni armoniche viene effettuata sommando i vettori.

Eseguiamo la somma delle oscillazioni mutuamente perpendicolari. Lascia che il punto materiale faccia due oscillazioni reciprocamente perpendicolari con una frequenza:

Il punto materiale stesso si muoverà quindi lungo una traiettoria curvilinea.

Dall'equazione del moto segue: ,

. (1.1.9)

Dall'equazione (1.1.9) è possibile ottenere l'equazione dell'ellisse (Fig.1.1.9):

Considera casi speciali di questa equazione:

1. Differenza di fase di oscillazione α= 0. Allo stesso tempo quelli. o Questa è l'equazione di una linea retta, e l'oscillazione risultante avviene lungo questa linea retta con ampiezza (Fig. 1.1.10).

la sua accelerazione è uguale alla derivata seconda dello spostamento rispetto al tempo allora la forza che agisce sul punto oscillante, secondo la seconda legge di Newton, è uguale a

Cioè, la forza è proporzionale allo spostamento X ed è diretto contro lo spostamento verso la posizione di equilibrio. Questa forza è chiamata forza di ripristino. Nel caso di un carico su una molla, la forza di richiamo è la forza elastica, nel caso di un pendolo matematico è la componente della gravità.

La forza rigeneratrice per natura obbedisce alla legge di Hooke F= -kx, Dove

è il coefficiente della forza di ripristino. Quindi l'energia potenziale del punto oscillante è:

(la costante di integrazione è scelta uguale a zero, in modo che quando X).

Oscillatore anarmonico

OSCILLAZIONI ARMONICHE

Lezione 1

VASCOLAZIONE

VASCOLAZIONE. ONDE. OTTICA

L'oscillazione è uno dei processi più comuni in natura e tecnologia. Le fluttuazioni sono processi che si ripetono nel tempo. Grattacieli e cavi ad alta tensione oscillano sotto l'influenza del vento, il pendolo di un orologio a carica e un'auto su molle durante il movimento, il livello del fiume durante l'anno e la temperatura del corpo umano durante la malattia. Il suono è fluttuazioni della pressione atmosferica, le onde radio sono cambiamenti periodici nell'intensità dei campi elettrici e magnetici, la luce è anche vibrazioni elettromagnetiche. Terremoti - vibrazioni del suolo, flussi e riflussi - cambiamenti nei livelli dei mari e degli oceani causati dall'attrazione della luna, ecc.

Le oscillazioni sono meccaniche, elettromagnetiche, chimiche, termodinamiche, ecc. Nonostante una tale varietà, tutte le oscillazioni sono descritte dalle stesse equazioni differenziali.

Un oscillatore armonico può essere considerato lineare se lo spostamento dalla posizione di equilibrio è direttamente proporzionale alla forza perturbante. La frequenza di oscillazione di un oscillatore armonico non dipende dall'ampiezza. Per l'oscillatore, il principio di sovrapposizione è soddisfatto: se agiscono più forze perturbatrici, l'effetto della loro azione totale può essere ottenuto sommando separatamente gli effetti delle forze agenti.

Le oscillazioni armoniche sono descritte dall'equazione (Fig. 1.1.1)

(1.1.1)

Il tempo di un'oscillazione completa è chiamato periodo, dove è il numero di oscillazioni completate durante il tempo.

La frequenza di oscillazione determina il numero di oscillazioni per unità di tempo, è correlata alla frequenza ciclica dal rapporto, quindi dal periodo.

La velocità di un punto materiale oscillante

accelerazione

Da un confronto delle equazioni del moto di un oscillatore armonico (1.1.1) e (1.1.2) segue che , o

Questa equazione differenziale del secondo ordine è chiamata equazione dell'oscillatore armonico. La sua soluzione contiene due costanti UN e , che sono determinati impostando le condizioni iniziali

1.1.2 . Oscillazioni libere di sistemi ad un grado di libertà. Forma complessa di rappresentazione delle oscillazioni armoniche

Conteremo l'energia potenziale dal valore minimo. Prendiamo la funzione risultante, espandiamola in una serie di Maclaurin e lasciamo il primo termine dell'espansione, abbiamo: o

Oscillatore armonico(in meccanica classica) - un sistema che, quando spostato da una posizione di equilibrio, subisce l'azione di una forza di ripristino F, proporzionale allo spostamento X(secondo la legge di Hooke):

F = - K X (\ displaystyle F = -kx)

Dove K- coefficiente rigidità del sistema.

Se F- l'unica forza che agisce sul sistema, quindi viene chiamato il sistema semplice O oscillatore armonico conservativo. Le oscillazioni libere di un tale sistema rappresentano un movimento periodico attorno alla posizione di equilibrio (oscillazioni armoniche). La frequenza e l'ampiezza sono costanti e la frequenza non dipende dall'ampiezza.

Esempi meccanici di un oscillatore armonico sono un pendolo matematico (con piccoli angoli di deflessione), un pendolo di torsione e sistemi acustici. Tra gli altri analoghi dell'oscillatore armonico, vale la pena evidenziare l'oscillatore armonico elettrico (vedi circuito LC).

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Sottotitoli

Vibrazioni libere

Oscillatore armonico conservativo

Come modello di un oscillatore armonico conservativo, prendiamo il carico di massa M, fissato su una molla con rigidità K .

Permettere X- spostamento del carico rispetto alla posizione di equilibrio. Quindi, secondo la legge di Hooke, la forza ripristinatrice agirà su di esso:

F = - K X . (\displaystyle F=-kx.)

Sostituiamo nell'equazione differenziale.

X ¨ (t) = - UN ω 2 peccato ⁡ (ω t + φ) , (\displaystyle (\ddot (x))(t)=-A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi) ,) - UN ω 2 peccato ⁡ (ω t + φ) + ω 0 2 UN peccato ⁡ (ω t + φ) = 0. (\ displaystyle -A \ omega ^ (2) \ sin (\ omega t + \ varphi) + \ omega _(0)^(2)A\sin(\omega t+\varphi)=0.)

L'ampiezza è ridotta. Ciò significa che può avere qualsiasi valore (compreso lo zero - ciò significa che il carico è fermo nella posizione di equilibrio). Il seno può anche essere ridotto, poiché l'uguaglianza deve valere in qualsiasi momento T. Pertanto, la condizione per la frequenza di oscillazione rimane:

− ω 2 + ω 0 2 = 0 , (\displaystyle -\omega ^(2)+\omega _(0)^(2)=0,) ω = ± ω 0 . (\displaystyle \omega =\pm \omega _(0).) U = 1 2 K x 2 = 1 2 K UN 2 peccato 2 ⁡ (ω 0 t + φ) , (\ displaystyle U = (\ frac (1) (2)) kx ^ (2) = (\ frac (1) (2))kA^(2)\sin ^(2)(\omega _(0)t+\varphi),)

allora l'energia totale è costante

E = 1 2 K LA 2 . (\ displaystyle E = (\ frac (1) (2)) kA ^ (2).)

Movimento armonico sempliceè un semplice movimento oscillatore armonico, un moto periodico che non è né forzato né smorzato. Un corpo in moto armonico semplice è soggetto ad una sola forza variabile direttamente proporzionale in valore assoluto allo spostamento X dalla posizione di equilibrio ed è diretto nella direzione opposta.

Questo movimento è periodico: il corpo oscilla intorno alla posizione di equilibrio secondo una legge sinusoidale. Ogni oscillazione successiva è uguale alla precedente e il periodo, la frequenza e l'ampiezza delle oscillazioni rimangono costanti. Se assumiamo che la posizione di equilibrio sia in un punto con coordinate uguali a zero, allora lo spostamento X corpo dalla posizione di equilibrio in qualsiasi momento è data dalla formula:

X (t) = UN cos ⁡ (2 π f t + φ) , (\displaystyle x(t)=A\cos \left(2\pi \!ft+\varphi \right),)

Dove UN- ampiezza di oscillazione, F- frequenza, φ - fase iniziale.

La frequenza del movimento è determinata dalle proprietà caratteristiche del sistema (ad esempio, la massa del corpo in movimento), mentre l'ampiezza e la fase iniziale sono determinate dalle condizioni iniziali: il movimento e la velocità del corpo al momento delle oscillazioni inizio. Anche le energie cinetiche e potenziali del sistema dipendono da queste proprietà e condizioni.

Il moto armonico semplice può essere visto come un modello matematico vari tipi movimento, come l'oscillazione di una molla. Altri casi che grosso modo possono essere considerati moto armonico semplice sono il moto di un pendolo e le vibrazioni di molecole.

Un tipico esempio di un sistema in cui si verifica un moto armonico semplice è un sistema idealizzato massa-molla in cui una massa è attaccata a una molla. Se la molla non è compressa e non è tesa, nessuna forza variabile agisce sul carico e il carico è in uno stato di equilibrio meccanico. Tuttavia, se il carico viene rimosso dalla posizione di equilibrio, la molla si deforma e dal suo lato agirà una forza sul carico che tenderà a riportare il carico nella posizione di equilibrio. Nel caso di un sistema carico-molla, tale forza è la forza elastica della molla, che obbedisce alla legge di Hooke:

F = - K X , (\ displaystyle F = -kx,) F- forza restitutiva X- movimento del carico (deformazione della molla), K- coefficiente di rigidità della molla.

Qualsiasi sistema in cui si verifica un moto armonico semplice ha due proprietà fondamentali:

Quando un sistema è fuori equilibrio, deve esserci una forza di ripristino che tende a riportare il sistema in equilibrio.
La forza di ripristino deve essere esattamente o approssimativamente proporzionale allo spostamento.

Il sistema peso-molla soddisfa entrambe queste condizioni.

Una volta che il carico spostato è sottoposto all'azione di una forza di ripristino, accelerandolo, e tendendo a ritornare al punto di partenza, cioè alla posizione di equilibrio. Man mano che il carico si avvicina alla posizione di equilibrio, la forza di ripristino diminuisce e tende a zero. Tuttavia, in posizione X = 0 il carico ha una certa quantità di movimento (momento), acquisito grazie all'azione della forza di ripristino. Pertanto, il carico salta la posizione di equilibrio, ricominciando a deformare la molla (ma in direzione opposta). La forza di ripristino tenderà a rallentarlo finché la velocità non sarà nulla; e la forza cercherà nuovamente di riportare il carico nella sua posizione di equilibrio.

Finché non ci sono perdite di energia nel sistema, il carico oscillerà come descritto sopra; un tale movimento è detto periodico.

Ulteriori analisi mostreranno che nel caso di un sistema massa-molla, il moto è armonico semplice.

Dinamica del moto armonico semplice

Per un'oscillazione nello spazio unidimensionale, tenendo conto della seconda legge di Newton( F= M d² X/D T² ) e la legge di Hooke ( F = −kx, come descritto sopra), abbiamo un'equazione differenziale lineare del secondo ordine:

m d 2 x d t 2 = - K X , (\ displaystyle m (\ frac (\ mathrm (d) ^ (2) x) (\ mathrm (d) t ^ (2))) = -kx,) M- massa corporea, X- il suo spostamento rispetto alla posizione di equilibrio, K- costante (fattore di rigidità della molla).

La soluzione a questa equazione differenziale è sinusoidale; una soluzione è questa:

X (t) = UN cos ⁡ (ω t + φ) , (\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),)

Dove UN, ω e φ - costanti, e la posizione di equilibrio è presa come quella iniziale. Ognuna di queste costanti è importante proprietà fisica movimenti: UNè l'ampiezza, ω = 2π Fè la frequenza circolare e φ è la fase iniziale.

U (t) = 1 2 k x (t) 2 = 1 2 k UN 2 cos 2 ⁡ (ω t + φ) . (\displaystyle U(t)=(\frac (1)(2))kx(t)^(2)=(\frac (1)(2))kA^(2)\cos ^(2)(\ omega t+\varphi).)

Moto circolare universale

Il moto armonico semplice può in alcuni casi essere considerato come una proiezione unidimensionale del moto circolare universale.

Se un oggetto si muove con una velocità angolare costante ω lungo un cerchio di raggio R, il cui centro è l'origine delle coordinate del piano x-y, allora tale moto lungo ciascuno degli assi coordinati è armonico semplice con l'ampiezza R e frequenza circolare ω .

Peso come un semplice pendolo

T = 2πℓg. (\ displaystyle T = 2 \ pi (\ sqrt (\ frac (\ ell) (g))).)

Ciò dimostra che il periodo di oscillazione non dipende dall'ampiezza e dalla massa del pendolo, ma dipende dall'accelerazione di caduta libera G, quindi, a parità di lunghezza del pendolo, sulla Luna oscillerà più lentamente, poiché lì la gravità è più debole e il valore dell'accelerazione di caduta libera è inferiore.

L'approssimazione indicata è corretta solo a piccoli angoli di deflessione, poiché l'espressione per l' accelerazione angolare è proporzionale al seno della coordinata:

ℓ m g peccato ⁡ θ = io α , (\ displaystyle \ ell mg \ sin \ theta = io \ alpha,)

Dove IO- momento d'inerzia ; in questo caso IO = mℓ 2 .

ℓ m g θ = io α (\ displaystyle \ ell mg \ theta = io \ alpha ),

che rende l'accelerazione angolare direttamente proporzionale all'angolo θ, e questo soddisfa la definizione di moto armonico semplice.

Oscillatore armonico smorzato

Prendendo come base lo stesso modello, vi aggiungiamo la forza dell'attrito viscoso. La forza di attrito viscoso è diretta contro la velocità del carico rispetto al mezzo ed è direttamente proporzionale a questa velocità. Quindi la forza totale che agisce sul carico si scrive come segue:

F = - K X - α v (\ displaystyle F = -kx- \ alpha v)

Eseguendo azioni simili, otteniamo un'equazione differenziale che descrive un oscillatore smorzato:

x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0 (\displaystyle (\ddot (x))+2\gamma (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x=0)

Ecco la notazione: 2 γ = α m (\displaystyle 2\gamma =(\frac (\alpha )(m))). Coefficiente γ (\ Displaystyle \ gamma) si chiama costante di smorzamento. Ha anche la dimensione della frequenza.

La soluzione rientra in tre casi.

X (t) = UN e - γ t S io n (ω f t + φ) (\displaystyle x(t)=Ae^(-\gamma t)sin(\omega _(f)t+\varphi)),

Dove ω f = ω 0 2 - γ 2 (\displaystyle \omega _(f)=(\sqrt (\omega _(0)^(2)-\gamma ^(2))))- frequenza delle oscillazioni libere.

X (t) = (A + B t) e - γ t (\displaystyle \ x(t)=(A+Bt)e^(-\gamma t)) X (t) = UN e - β 1 t + B e - β 2 t (\ displaystyle x (t) = Ae ^ (- \ beta _ (1) t) + Be ^ (- \ beta _ (2) t )),

Dove β 1 , 2 = γ ± γ 2 - ω 0 2 (\ displaystyle \ beta _ (1,2) = \ gamma \ pm (\ sqrt (\ gamma ^ (2) - \ omega _ (0) ^ (2) ))).

Lo smorzamento critico è notevole per il fatto che è durante lo smorzamento critico che l'oscillatore tende più rapidamente alla posizione di equilibrio. Se l'attrito è inferiore a quello critico, raggiungerà la posizione di equilibrio più velocemente, tuttavia, "scivolerà" attraverso di essa per inerzia e oscillerà. Se l'attrito è maggiore di quello critico, l'oscillatore tenderà esponenzialmente alla posizione di equilibrio, ma più è lento, maggiore è l'attrito.

Lo smorzamento di un oscillatore è anche spesso caratterizzato da un parametro adimensionale chiamato fattore di qualità. Il fattore di qualità è solitamente indicato dalla lettera Q (\displaystyle Q). Per definizione, il fattore qualità è:

Q = ω 0 2 γ (\displaystyle Q=(\frac (\omega _(0))(2\gamma )))

Maggiore è il fattore qualità, più lente sono le oscillazioni del decadimento dell'oscillatore.

Il fattore di qualità è talvolta chiamato guadagno dell'oscillatore, poiché con alcuni metodi di eccitazione, quando la frequenza di eccitazione coincide con la frequenza di risonanza delle oscillazioni, la loro ampiezza è impostata approssimativamente su Q (\displaystyle Q) volte maggiore rispetto a quando eccitato con la stessa intensità a bassa frequenza.

Inoltre, il fattore di qualità è approssimativamente uguale al numero di cicli oscillatori, durante i quali l'ampiezza di oscillazione diminuisce in e (\displaystyle e) volte moltiplicato per π (\displaystyle \pi).

Nel caso del moto oscillatorio, l'attenuazione è anche caratterizzata da parametri quali:

Tutta la vita fluttuazioni (ovvero tempo di decadimento, è momento di relax) τ è il tempo durante il quale l'ampiezza dell'oscillazione diminuirà e una volta.

τ = 1 / γ . (\ displaystyle \ tau = 1 / \ gamma .) Questo tempo è considerato come il tempo necessario per lo smorzamento (cessazione) delle oscillazioni (sebbene le oscillazioni formalmente libere continuino indefinitamente).