TIPI DI EQUAZIONI

Equazioni algebriche. Equazioni della forma f n= 0, dove f n- un polinomio in una o più variabili, sono dette equazioni algebriche. Un polinomio è un'espressione della forma

f n = UN 0 x io y j... v k + a 1 X l ym...vn+¼ + a s x p y q ... v r,

Dove X, sì, ..., v sono variabili e io, J, ..., R sono esponenti (interi non negativi). Un polinomio in una variabile si scrive così:

F(X) = UN 0 x n + UN 1 x n – 1 + ... + UN – 1 X + UN

o, in un caso particolare, 3 X 4 – X 3 + 2X 2 + 4X– 1. Un'equazione algebrica con un'incognita è qualsiasi equazione della forma F(X) = 0. Se UN 0¹0, quindi Nè chiamato grado dell'equazione. Ad esempio, 2 X+ 3 = 0 – equazione di primo grado; le equazioni di primo grado sono dette lineari, poiché il grafico della funzione y=asse+b sembra una linea retta. Le equazioni di secondo grado sono dette quadratiche, mentre le equazioni di terzo grado sono dette cubiche. Le equazioni di grado superiore hanno nomi simili.

Equazioni trascendentali. Le equazioni contenenti funzioni trascendenti, come le funzioni logaritmiche, esponenziali o trigonometriche, sono chiamate trascendentali. Le seguenti equazioni sono un esempio:

dove lg è il logaritmo in base 10.

Equazioni differenziali. Le cosiddette equazioni contenenti una o più funzioni e le loro derivate o differenziali. Le equazioni differenziali si sono rivelate uno strumento eccezionalmente prezioso per formulare accuratamente le leggi della natura.

Equazioni integrali. Equazioni contenenti una funzione sconosciuta sotto il segno integrale, ad esempio, F (S) = ò K (s, t) F(T) dt, Dove F(S) E K(S,T) sono dati, e F(T) è da trovare.

Equazioni diofantee. Un'equazione diofantea è un'equazione algebrica in due o più incognite a coefficienti interi, la cui soluzione si cerca in numeri interi o razionali. Ad esempio l'equazione 3 X – 5sì= 1 ha una soluzione X = 7, sì= 4; in generale, le sue soluzioni sono numeri interi della forma X = 7 + 5N, sì = 4 + 3N.

SOLUZIONE DI EQUAZIONI ALGEBRICHE

Per tutti i tipi di equazioni sopra elencati non esistono metodi di soluzione generali. Eppure in molti casi, soprattutto per equazioni algebriche di un certo tipo, esiste una teoria abbastanza completa della loro soluzione.

Equazioni lineari. Queste semplici equazioni si risolvono riducendole a un'equazione equivalente che mostra direttamente il valore dell'incognita. Ad esempio, l'equazione X+ 2 = 7 può essere ridotto all'equazione equivalente X= 5 sottraendo il numero 2 dai lati destro e sinistro. I passaggi coinvolti nella riduzione di una semplice equazione, come ad esempio X+ 2 = 7, all'equivalente, si basano sull'uso di quattro assiomi.

1. Se valori uguali vengono aumentati dello stesso numero, i risultati saranno uguali.

2. Se lo stesso numero viene sottratto da valori uguali, i risultati saranno uguali.

3. Se valori uguali vengono moltiplicati per lo stesso numero, i risultati saranno uguali.

4. Se valori uguali vengono divisi per lo stesso numero, i risultati saranno uguali.

Ad esempio, per risolvere l'equazione 2 X+ 5 = 15, usiamo l'assioma 2 e sottraiamo il numero 5 dai lati destro e sinistro, ottenendo l'equazione equivalente 2 X= 10. Quindi usiamo l'assioma 4 e dividiamo entrambi i lati dell'equazione risultante per 2, in conseguenza della quale l'equazione originale si riduce alla forma X= 5, che è la soluzione desiderata.

Equazioni quadratiche. Soluzioni dell'equazione quadratica generale ascia 2 + bx + c= 0 può essere ottenuto utilizzando la formula

Esistono quindi due soluzioni, che in un caso particolare possono coincidere.

Altre equazioni algebriche. Le formule esplicite, simili alla formula per risolvere un'equazione quadratica, possono essere scritte solo per equazioni di terzo e quarto grado. Ma anche queste formule sono complesse e non sempre aiutano a ritrovare facilmente le radici. Per quanto riguarda le equazioni di quinto grado o superiori, per loro, come dimostrò N. Abel nel 1824, è impossibile indicare una formula generale che esprima le radici dell'equazione attraverso i suoi coefficienti utilizzando i radicali. In alcuni casi speciali, le equazioni di grado più elevato possono essere facilmente risolte fattorizzando il loro lato sinistro, cioè fattorizzandolo.

Ad esempio, l'equazione X 3 + 1 = 0 può essere scritto in forma fattorizzata ( X + 1)(X 2 – X+ 1) = 0. Troviamo soluzioni ponendo ciascuno dei fattori uguale a zero:

Quindi le radici sono X= –1, , cioè solo 3 radici.

Se l'equazione non è fattorizzabile, è necessario utilizzare soluzioni approssimate. I principali metodi per trovare soluzioni approssimate furono sviluppati da Horner, Newton e Greffe. Tuttavia, in tutti i casi c’è la forte convinzione che la soluzione esista: l’equazione algebrica N il quinto grado ha esattamente N radici.

Sistemi di equazioni lineari. Due equazioni lineari in due incognite possono essere scritte come:

La soluzione di un tale sistema si trova utilizzando i determinanti

Ha senso se Se D= 0, allora sono possibili due casi. (1) Almeno uno dei determinanti ed è diverso da zero. In questo caso non esiste soluzione alle equazioni; le equazioni sono incoerenti. Un esempio numerico di tale situazione è il sistema

(2) Entrambi i determinanti sono uguali a zero. In questo caso la seconda equazione è semplicemente un multiplo della prima e le soluzioni sono infinite.

Teoria generale considera M equazioni lineari con N variabili:

Se m = n e matrice ( aij) non è degenere, allora la soluzione è unica e può essere trovata mediante la regola di Cramer:

Dove Un ji– complemento algebrico di un elemento aij nella matrice ( aij). Più in generale valgono i seguenti teoremi. Permettere Rè il rango della matrice ( aij), Sè il rango della matrice delimitata ( aij; b i), da cui si ottiene aij aggiungendo una colonna di numeri b i. Quindi: (1) se r = s, allora esiste n–r soluzioni linearmente indipendenti; (2) se R< s , allora le equazioni sono incoerenti e non ci sono soluzioni.

, FGGU,

, Liceo Matematico

Equazioni algebriche e metodi per la loro soluzione

A.1 Polinomio e sue radici

Consideriamo un insieme di (n+1) numeri reali, un polinomio (polinomio) di grado N con i coefficienti sopra indicati si chiama un'espressione della forma:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image003_38.gif" larghezza="257" altezza="25 src="> (2)

è detta equazione algebrica di grado N.

Le radici dell'equazione (2) sono anche chiamate radici del polinomio.

Ecco alcuni fatti sulle radici dei polinomi.

Fatto 1. Ogni polinomio di grado dispari ha almeno una radice reale.

Commento. Anche sapendo che l’equazione ha una radice, trovarla può essere molto difficile.

Esempio 1 L'equazione ha ovviamente radici 0 e p.

Esempio 2 Stabilire le radici dell’equazione, che certamente esistono, è un compito piuttosto difficile.

Fatto 2. Se i coefficienti del polinomio sono interi, allora le radici razionali di questa equazione (se presenti) hanno la forma, dove i numeri k e m sono naturali, e k è il divisore del termine libero, m è il divisore del principale coefficiente.

Esempio 3 https://pandia.ru/text/78/119/images/image010_16.gif" width="348" Height="41 src="> (i numeri ripetitivi sono stati abbreviati).

Il controllo mostra che i numeri 2, e sono adatti.

Il compito di separare le radici razionali è notevolmente semplificato se il coefficiente principale del polinomio è uguale a uno. In questo caso le possibili radici razionali dell'equazione possono essere solo numeri interi che dividono il termine libero del polinomio.

Esempio 4 Il polinomio ha le seguenti radici intere: . Controllare le possibili radici (questo può essere fatto abbastanza rapidamente con Gli schemi di Horner) ci assicuriamo che l'unica radice intera dell'equazione sia 2.

Fatto 3. Se il numero è la radice di un polinomio, allora questo polinomio può essere rappresentato come un prodotto un metodo di divisione per un "angolo", molto simile a quello applicato ai numeri ordinari.

Facciamo un esempio.

Esempio 5 Dividiamo per:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image021_6.gif" width="177" Height="25">. Nota che il primo fattore ha un discriminante negativo, quindi (e il polinomio originale) è più grande delle radici che non ha.

Fatto 4.Qualsiasi polinomio a coefficienti reali può essere rappresentato come:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image023_6.gif" width="16 Height=24" Height="24"> - molteplicità della radice, - trinomi quadrati che non hanno radici reali (sono detti irriducibili).

Commento. Quando si risolvono equazioni e disequazioni, si possono ridurre a trinomi irriducibili.

P.2. Raggruppamento come modo per trovare le radici di un polinomio

Sfortunatamente (e questo è stato dimostrato), non esiste un algoritmo universale che permetta (come un trinomio quadrato) di trovare le radici di qualsiasi polinomio. Esistono formule speciali per risolvere le equazioni di terzo e quarto grado, ma sono laboriose e non vengono studiate nel corso scolastico. Pertanto, vengono spesso utilizzati altri metodi, come la separazione delle radici (discussa nel primo paragrafo), il metodo di raggruppamento e il suo caso speciale: la selezione di quadrati pieni.

L'essenza del metodo di raggruppamento è la seguente: i membri del polinomio sono divisi in gruppi (da cui il nome) in modo che dopo la riduzione di quelli simili, ciascun gruppo verrà scomposto in fattori e uno dei fattori sarà contenuto in ciascuno gruppo. Questo fattore comune viene tolto tra parentesi e il polinomio originale viene scomposto nel prodotto di due polinomi di grado inferiore.

Considera un esempio.

Esempio 6 Fattorizzare il polinomio mediante il metodo di raggruppamento

https://pandia.ru/text/78/119/images/image027_3.gif" larghezza="272" altezza="24 src=">

(https://pandia.ru/text/78/119/images/image029_3.gif" width="64" Height="21">, includeremo il primo termine nel primo gruppo, il secondo termine nel terzo ).

https://pandia.ru/text/78/119/images/image031_4.gif" width="51" Height="24">, troviamo la scomposizione:

.

Entrambi i trinomi quadrati hanno discriminanti negativi, quindi la loro ulteriore scomposizione è impossibile.

Esempio 7 Fattorizza il polinomio:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image034_3.gif" width="35" Height="21"> devi vestire una parte che è multiplo di 14: ad esempio, 70-1 , 84-15, 98-29 o 42 + 27. La prima opzione porta a un vicolo cieco. Consideriamo la seconda opzione. Otteniamo:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image036_2.gif" larghezza="603" altezza="24">.

Così,

P.3. Esempi di risoluzione delle equazioni algebriche più semplici

I polinomi sono le equazioni algebriche più semplici. In questa sottosezione, consideriamo alcuni esempi di risoluzione di tali equazioni.

Esempio 8 Trova le radici dell'equazione

https://pandia.ru/text/78/119/images/image041_2.gif" larghezza="89" altezza="19 src=">.

Cominciamo con il numero più piccolo: tre.

https://pandia.ru/text/78/119/images/image043_2.gif" width="40 Height=23" Height="23"> è una delle radici dell'equazione. Per trovare le altre radici, noi dividi il lato sinistro dell'equazione per:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image046_2.gif" width="107" Height="21">. Utilizzando, ad esempio, le formule di Vieta, otteniamo altre due radici: .

Risposta: https://pandia.ru/text/78/119/images/image049_2.gif" larghezza="124" altezza="21 src=">.

Soluzione. Il problema può essere ridotto ad un'equazione biquadratica, ma proveremo ad utilizzare la fattorizzazione..gif" larghezza="616" altezza="24 src=">.

Le radici del primo fattore: https://pandia.ru/text/78/119/images/image052_2.gif" width="63" Height="41 src=">.

Consideriamo quindi un esempio di un'equazione che si riduce a un'equazione razionale. Una caratteristica di tali equazioni è il requisito obbligatorio di verificare le radici trovate della regione dei valori ammissibili. Ad esempio, all'Esame di Stato Unificato di qualche anno fa, fu proposto un compito “semplice”.

Esempio 10 risolvere l'equazione

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P. 4. Equazioni algebriche frazionarie

L'espressione algebrica frazionaria più semplice ha la forma:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image055_2.gif" larghezza="40" altezza="23 src=">.gif" larghezza="111" altezza="41 src=">.

Soluzione: Portiamo le frazioni a un denominatore comune:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image059_2.gif" larghezza="207" altezza="41">.

Entrambe le radici del numeratore non sono radici del denominatore (verificalo sostituendo direttamente entrambe le radici nel denominatore), quindi sono soluzioni dell'equazione considerata.

Se un'equazione frazionaria-razionale contiene molte espressioni elementari, allora, dopo le trasformazioni, nel numeratore può formarsi un'espressione piuttosto ingombrante, la cui radice sarà molto difficile da trovare. Ma in alcuni casi è possibile ridurre un'equazione complessa a una più semplice, utilizzando, ad esempio, un cambiamento di variabili. Considera un esempio.

Esempio 12. risolvere l'equazione

https://pandia.ru/text/78/119/images/image061_0.gif" width="81" Height="41"> sono reciprocamente inversi (il loro prodotto è uguale a uno). Introduciamo la seguente sostituzione: L'equazione originale prenderà visione:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image064_0.gif" Height="16">, otteniamo un'equazione quadratica:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image066_0.gif" width="93" Height="23">. Eseguiamo la sostituzione inversa. Ottieni e risolvi l'insieme di due equazioni: 2. Indice , indirizzo di residenza , email (se presente), telefono (di casa o cellulare)

3. Dati scolastici (ad esempio: MBOU n. 1 Villaggio Bikin)

4. Cognome, I.O. insegnante di matematica (ad esempio: insegnante di matematica)

M10.2.1. Risolvi l'equazione fattorizzando il polinomio:

M10.2.2. Risolvere l'equazione razionale frazionaria

a) https://pandia.ru/text/78/119/images/image082_0.gif" larghezza="209" altezza="21 src=">. ( Nota: moltiplica prima il primo fattore per il quarto e il secondo per il terzo. Etichetta il primo pezzosì, il secondo prodotto verrà quindi rappresentato come sì+2. Risolvi l'equazione quadratica risultante ed effettua la sostituzione inversa.)

c) https://pandia.ru/text/78/119/images/image084_0.gif" larghezza="165" altezza="41 src=">. ( Nota: prova ad aggiungere un numero ai primi due termini in modo che la somma risulti essere il reciproco di quello al terzo posto con un fattore pari a -10. Vedere gli esempi 12 e 13 di seguito..)

Equazioni algebriche. Definizione

Siano definite le funzioni f(x) e u(x) su un qualche insieme A. E sia necessario trovare l'insieme X su cui queste funzioni assumono valori uguali, in altre parole, trovare tutti i valori di x per i quali vale l'uguaglianza: f(x)= c(x).

In questa formulazione, questa uguaglianza è chiamata equazione con x incognita.

Un'equazione è detta algebrica se sull'incognita vengono eseguite solo operazioni algebriche: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevazione a una potenza ed estrazione di una radice con un esponente naturale.

Le equazioni algebriche contengono solo funzioni algebriche (intero, razionale, irrazionale). Un'equazione algebrica in forma generale può essere rappresentata da un polinomio di grado ennesimo a coefficienti reali:

Per esempio,

L'insieme A è chiamato insieme (regione) dei valori ammissibili dell'incognita per l'equazione data.

L'insieme X è chiamato insieme delle soluzioni e qualsiasi soluzione x=a è chiamata radice di questa equazione. Risolvere un'equazione significa trovare l'insieme di tutte le sue soluzioni o dimostrare che non ne esiste alcuna.

Metodi per risolvere equazioni algebriche

In molti problemi scientifici e ingegneristici è necessario risolvere un'equazione della forma

dove f(x) è una data funzione continua non lineare.

Analiticamente è possibile trovare una soluzione solo per le equazioni più semplici. Nella maggior parte dei casi è necessario risolvere un'equazione della forma (1) con metodi numerici.

La soluzione numerica dell'equazione (1) viene solitamente eseguita in due fasi. Nella prima fase, è necessario trovare tali intervalli di modifica della variabile x, in cui si trova solo una radice. Questo problema viene solitamente risolto graficamente. Nella seconda fase, le singole radici vengono affinate. A questo scopo vengono utilizzati vari metodi.

I metodi per risolvere le equazioni non lineari sono divisi in diretti e iterativi. I metodi diretti ti consentono di scrivere le radici sotto forma di formula. Tuttavia, le equazioni incontrate nella pratica non sono sempre possibili da risolvere. metodi semplici. Per risolverli vengono utilizzati metodi iterativi, ad es. metodi di approssimazioni successive.

Metodi diretti: la soluzione si trova in un numero precedentemente noto di operazioni aritmetiche, la soluzione è rigorosa. Esempi: metodo di Gauss, metodo della radice quadrata, regola di Cramer, ecc.

I metodi iterativi sono metodi di approssimazioni successive in cui è impossibile prevedere il numero di operazioni aritmetiche necessarie per risolvere un'equazione (sistema) con una determinata precisione. Esempi: il metodo delle iterazioni semplici, il metodo Gauss-Seidel, il metodo per dividere un segmento a metà, ecc.

In questo articolo studiamo e confrontiamo il metodo delle iterazioni semplici e il metodo della mezza divisione di un segmento.

trascrizione

1 Equazioni algebriche dove Definizione. L'algebrica è un'equazione della forma 0, P () 0, alcuni numeri reali. 0 0 In questo caso, la variabile è chiamata incognita e i numeri 0 sono i coefficienti dell'equazione (), l'ordine (o grado) dell'equazione. Definizione. Un numero è detto soluzione (o radice) dell'equazione () se, sostituendolo invece nell'equazione 0 P, si ottiene l'uguaglianza corretta 0 P. A seconda dei coefficienti, l'equazione () può avere un solo radice reale, più radici o nessuna radice reale. Risolvere un'equazione significa trovarne tutte le radici (nel corso scolastico vengono prese in considerazione solo le soluzioni reali) oppure dimostrare che l'equazione non ha soluzioni. e Considereremo l'equazione () a. Per (equazione cubica) esistono formule per le radici dell'equazione 0 P in radicali, note come formule di Cordano. Quando l'equazione () è irrisolvibile nei radicali, ad es. la soluzione dell'equazione 0 P at non può essere espressa in termini dei suoi coefficienti 0, utilizzando un numero finito di operazioni aritmetiche (operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed estrazione della radice aritmetica). La dimostrazione di questa affermazione fu ottenuta per la prima volta dal matematico norvegese Abel nell'anno 6. In alcuni casi, la soluzione delle equazioni algebriche di grado superiore, inclusi il terzo e il quarto, può essere trovata in modo abbastanza semplice. Tale possibilità è completamente determinata dai coefficienti, 0, del polinomio P. Corollario del teorema di Bezout. Se è la radice del polinomio (P 0), allora il polinomio P è divisibile per il binomio senza resto, cioè esiste un polinomio tale che P F F. P

2 "angolo". L'equazione () in questo caso equivale a un insieme di equazioni Dividendo un polinomio Equazione 0, F 0. P per un altro Q m, m, puoi produrre P grado non può avere più di radici reali, tenendo conto della molteplicità. Inoltre un’equazione di grado dispari ha sempre almeno una radice reale. Se i numeri reali..., sono le radici dell'equazione 0, allora vale l'identità P. Per le equazioni di grado superiore (), vale il teorema di Vieta, che formuliamo nel caso di e. Se i numeri reali e sono le radici dell'equazione cubica 0, 0, allora soddisfano le condizioni: b c d d, c, b. Se i numeri reali, e sono radici dell'equazione di quarto grado 0, 0, allora soddisfano le condizioni: b c d e Se il numero razionale è 0 e, d, b. p, dove p q q c, frazione irriducibile, è la radice di un'equazione a coefficienti interi, allora p deve essere un divisore del termine costante

3 e q è un divisore del coefficiente 0 al massimo grado. In particolare, le radici intere 0 p dell'equazione ridotta 0 a coefficienti interi sono divisori del termine libero. Questa affermazione segue dall'ultima uguaglianza in (.7) Se la somma di tutti i coefficienti dell'equazione 0 ha una radice. P è zero, quindi l'equazione Ad esempio, la somma dei coefficienti dell'equazione è zero, quindi ha una radice. Se nell'equazione la somma dei coefficienti a potenze dispari è uguale alla somma del termine libero e dei coefficienti a potenze pari, allora l'equazione ha una radice. Ad esempio, nell'equazione abbiamo 6 7, quindi la radice di questa equazione. Consideriamo classi separate di equazioni algebriche di grado superiore e studiamo metodi per la loro soluzione. Equazioni biquadratiche. Definizione. Un'equazione biquadratica è un'equazione nella forma in cui 0. b c 0, () Per risolvere questa equazione, viene utilizzato un cambiamento di variabili y, dove y 0. In questo caso, si ottiene un'equazione quadratica y per c 0. Poiché equazione () è un'equazione di quarto grado, non ha più di quattro radici reali. Se yey sono le sue soluzioni, allora l'equazione biquadratica originale sarà equivalente all'insieme: Il metodo di selezione della radice (radici). 0 sì sì. Se l'equazione algebrica data () con coefficienti interi ha radici intere, allora devono essere cercate tra i divisori del termine libero

4 equazioni (). Le radici razionali p 0 dell'equazione () con coefficienti interi q p dovrebbero essere cercate tra numeri tali che p sia un divisore del termine libero, q e q sia il divisore del coefficiente 0 al grado più alto nell'equazione (). Queste proprietà sono alla base del metodo di selezione delle radici di un'equazione algebrica. Esempio. Risolvi l'equazione 0. Soluzione. Questa equazione è ridotta e ha coefficienti interi. Pertanto, le radici intere di questa equazione (se presenti) sono contenute tra i divisori del termine libero:,. È facile vedere che questa è la radice dell’equazione. Per trovare le radici rimanenti, dividiamo il polinomio in un “angolo” binomio: 0. Per l'equazione 0, troviamo nuovamente la radice per selezione, quindi dividiamo il polinomio in un binomio: 0, L'equazione 0 non ha radici reali. Quindi, il

L'equazione di 5° grado ha due radici reali. Risposta.,. Metodo del cambio di variabili. Se, quando si modificano le variabili, l'equazione originale viene semplificata (ad esempio, il suo grado viene ridotto), introduciamo coraggiosamente una nuova variabile. Esempio. Risolvi l'equazione. Soluzione. Se apri le parentesi e inserisci termini simili, ottieni l'equazione 6 0, che è molto difficile da risolvere. Sebbene sia un'equazione a coefficienti interi, ma come vedremo di seguito, non ha radici intere. Utilizzeremo quindi un altro metodo: introduciamo una nuova variabile y e risolviamo l'equazione quadratica y y. Le sue radici sono yey. Di conseguenza, l'equazione originale sarà equivalente alla combinazione di due equazioni. Risolviamo le equazioni quadratiche ottenute.,. 0,D0,. oppure 0, D 7 0, non ci sono soluzioni. Pertanto, l'equazione originale del -esimo grado ha due radici e. Risposta.,. Esempio. Trova la radice negativa più grande dell'equazione 0. Soluzione. È molto difficile trovare le radici di questa equazione, quindi utilizzeremo il seguente trucco: moltiplicare (o dividere) questa equazione per un certo numero in modo che il termine più alto dell'equazione diventi il ​​cubo di qualche espressione

6 Notatelo e introducete una nuova variabile y. Di conseguenza, otteniamo l'equazione y y y 6 0, che è equivalente a quella originale. Per selezione, troviamo le sue radici y, yey, che corrisponderanno alle radici dell'equazione originale, e. La radice negativa più grande è . Risposta. La più grande radice negativa. Puoi introdurre un'altra variabile e considerare un'equazione quadratica rispetto a una delle variabili ottenute (“vecchia” o “nuova”). Esempio. Trova la radice più piccola dell'equazione 6 0. Soluzione. Trasformiamo l'equazione originale come segue: Introduciamo una nuova variabile y 6 e otteniamo l'equazione 6 y y 0. Risolviamo l'equazione risultante come quadratica rispetto a y. y o y. D 6 y y 0, y, Torniamo alla variabile, otteniamo due equazioni quadratiche.

7 6, 9 0, D 0 0, 9 0, 9 0, 9 0 6, 0, D 9 Scegliamo il più piccolo di loro. Da 0 0, allora 9., quindi la soluzione più piccola. 9 0 Rispondi. Soluzione più piccola.. Definizione delle equazioni di ritorno. Le equazioni della forma 0 0 sono chiamate ricorrenti o simmetriche, per le quali i coefficienti in posizioni simmetriche sono uguali, cioè per k 0,. k k Ad esempio, è ricorrente, poiché 0, 9, 6. Le seguenti affermazioni sono vere per le equazioni reciproche. Un'equazione reciproca di grado dispari ha sempre una radice e, dopo la divisione per un binomio, si riduce ad un'equazione reciproca di grado pari. Un'equazione reciproca di grado pari può essere ridotta a un'equazione di metà grado introducendo la variabile y. Illustriamo queste affermazioni con degli esempi. Esempio. Risolvi l'equazione Soluzione. È facile vedere che questa equazione è reciproca di grado dispari e, quindi, ha una radice. Dividiamo il polinomio in un binomio:

8 Resta da risolvere l'equazione reciproca del settimo grado Poiché 0 non è la radice di questa equazione, possiamo dividere entrambe le parti di questa equazione per Facciamo un cambio di variabili cioè y.. Prendi y. Quindi y, Otteniamo l'equazione y 0y 6 0 (il grado dell'equazione è dimezzato!) Risolviamo l'equazione quadratica y 0y 0. Secondo il teorema di Vieta, i numeri yey 6 sono le sue radici. Abbiamo altro

9 0,6 0, D 0,6 0,9,. Pertanto, l'equazione originale del -esimo grado ha radici:, e. Risposta., e. D Utilizzo della monotonicità delle funzioni e altre tecniche speciali Per risolvere equazioni algebriche non standard, è necessario utilizzare varie tecniche per trasformare l'equazione in una forma equivalente, introdurre nuove variabili, studiare la funzione Risolvere equazioni della forma g f come parte dell'equazione 0 f, ecc. f è talvolta conveniente basarsi sull'uso della proprietà di monotonicità delle funzioni. Questa tecnica si basa sul seguente teorema. Teorema. Sia definita l'equazione f g sull'insieme X R ; la funzione f è monotonicamente crescente (diminuente) su X e g è monotonicamente decrescente (crescente). Se entrambi E f, E g sono intervalli di f g sull'insieme X ed E f Eg, allora esiste un unico punto 0 X tale che g f, cioè l'equazione 0 0 f g ha un'unica soluzione. Questo teorema è valido per qualsiasi equazione della forma g per quelle algebriche. Esempio 6. Risolvi l'equazione 96 E f. y f Eg 0 X g f, e non solo Soluzione. La funzione potenza y, N, è definita sull'intera retta reale ed è una funzione strettamente crescente su R. Pertanto, il membro sinistro della data

10 dell'equazione f è una funzione strettamente crescente su R come somma di due funzioni strettamente crescenti. Parte destra 96 g sono identicamente costanti. Pertanto, in accordo con il Teorema 6, l’equazione ha un’unica soluzione. È facile vedere di cosa si tratta. Risposta.. Esempio 7. Risolvi l'equazione. Soluzione Y. Ma Y per qualsiasi R, e quindi l'equazione 0 Y, e quindi l'originale (.), non ha soluzione. Risposta.

MINISTERO DELLA SCIENZA E DELL'ISTRUZIONE DELLA FEDERAZIONE RUSSA ACCADEMIA STATALE DI RADIOINGEGNERIA DI RYAZAN GS LUKYANOVA AINOVIKOV EQUAZIONI E DISUGUAGLIANZE RAZIONALI E IRRAZIONALI Ministero di Ryazan

AGENZIA EDUCATIVA DELL'AMMINISTRAZIONE DELLA REGIONE DI KRASNOYARSK UNIVERSITÀ STATALE DI KRASNOYARSK SCUOLA DI CORRISPONDENZA DI SCIENZE NATURALI presso l'Università statale di Krasnoyarsk CAPITOLI AGGIUNTIVI DI MATEMATICA Grado 10 Modulo 4 METODI DI SOLUZIONE

Argomento 14 "Equazioni algebriche e sistemi di equazioni non lineari" Un polinomio di grado n è un polinomio della forma P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, dove a 0, a 1 , a n-1, a n numeri dati, a 0,

MINISTERO DELL'ISTRUZIONE E DELLA SCIENZA DELLA FEDERAZIONE RUSSA UNIVERSITÀ STATALE DI NOVOSIBIRSK CENTRO EDUCATIVO E SCIENTIFICO SPECIALIZZATO Matematica Grado 8 Polinomi Polinomi di Novosibirsk Razionale

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L'uso delle equazioni è molto diffuso nella nostra vita. Sono utilizzati in molti calcoli, costruzione di strutture e persino sport. Le equazioni sono state utilizzate dall'uomo fin dai tempi antichi e da allora il loro utilizzo non ha fatto che aumentare.

Le equazioni contenenti il ​​simbolo \[\sqrtx\] sono chiamate equazioni con radice quadrata. La radice quadrata di un numero non negativo \ è un numero non negativo il cui quadrato è uguale a \. \[(\sqrt a=x, x_2=a; x, a\pm0)\]. Il numero o l'espressione sotto il segno della radice deve essere sempre non negativo.

Esistere diversi modi soluzioni di tali equazioni:

Quadrare un numero moltiplicando il numero per se stesso;

Semplificando le radici, se possibile, rimuovendo da esso le radici intere;

L'uso di numeri immaginari per ottenere la radice dei numeri negativi;

Applicazione dell'algoritmo di divisione in una colonna;

E altri.

Per chiarezza, risolviamo la seguente equazione con una radice quadrata:

\[\quadrato(x-5)=3\]

Moltiplichiamo ciascun membro dell'equazione per se stesso per eliminare i radicali:

Ora abbiamo il più semplice equazione lineare, che si risolve come segue:

Dove posso risolvere un'equazione algebrica online?

Puoi risolvere l'equazione algebrica sul nostro sito Web https: // sito. Il risolutore online gratuito ti consentirà di risolvere un'equazione online di qualsiasi complessità in pochi secondi. Tutto quello che devi fare è semplicemente inserire i tuoi dati nel risolutore. Puoi anche guardare le istruzioni video e imparare come risolvere l'equazione sul nostro sito web. E se hai domande, puoi farle nel nostro gruppo Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Unisciti al nostro gruppo, siamo sempre felici di aiutarti.