Equazione differenziale delle oscillazioni armoniche oscillatori armonici. Legge del moto di un oscillatore armonico

Si considerino le oscillazioni di un peso m su una molla con coefficiente di rigidezza k, che giace su una tavola orizzontale piana, supponendo che non vi sia attrito del peso sulla superficie della tavola. Se il peso viene rimosso dalla posizione di equilibrio, oscillerà attorno a questa posizione. Descriveremo queste oscillazioni con una funzione dipendente dal tempo, assumendo che determini la deviazione del peso dalla sua posizione di equilibrio al tempo t.

Nella direzione orizzontale, una sola forza agisce sul peso: la forza elastica della molla, determinata dalla nota legge di Hooke

La deformazione della molla è funzione del tempo, motivo per cui è anche una variabile.

Dalla seconda legge di Newton abbiamo

perché l'accelerazione è la derivata seconda dello spostamento: .

L'equazione (9) può essere riscritta nella forma

dove. Questa equazione è chiamata equazione dell'oscillatore armonico.

Commento. Nella letteratura matematica, quando si scrive un'equazione differenziale, di solito non si indica l'argomento (t) vicino a tutte le funzioni che da esso dipendono. Questa dipendenza è presupposta per impostazione predefinita. Quando si usa il pacchetto matematico Maple in (10), è necessario indicare la dipendenza esplicita della funzione.

A differenza del precedente esempio di moto del corpo sotto l'azione di una forza costante, nel nostro caso la forza cambia nel tempo e l'equazione (10) non può più essere risolta usando la consueta procedura di integrazione. Proviamo a indovinare la soluzione di questa equazione, sapendo che descrive un processo oscillatorio. Come una delle possibili soluzioni dell'equazione (10), possiamo scegliere la seguente funzione:

Funzione differenziante (11), abbiamo

Sostituendo l'espressione (12) nell'equazione (10), ci assicuriamo che sia soddisfatta in modo identico per qualsiasi valore di t.

Tuttavia, la funzione (11) non è l'unica soluzione all'equazione dell'oscillatore armonico. Ad esempio, si può scegliere una funzione come un'altra soluzione, che è anche facile da controllare in modo simile. Inoltre, si può verificare che qualsiasi combinazione lineare di queste due soluzioni nominate casualmente

con coefficienti costanti A e B è anche una soluzione all'equazione dell'oscillatore armonico.

Si può dimostrare che la soluzione a due costanti (13) è la soluzione generale dell'equazione dell'oscillatore armonico (10). Ciò significa che la formula (13) esaurisce tutte le possibili soluzioni di questa equazione. In altre parole, l'equazione dell'oscillatore armonico non ha altre soluzioni particolari, se non quelle ottenute dalla formula (13) fissando costanti arbitrarie A e B.

Si noti che in fisica è molto spesso necessario cercare solo alcune soluzioni particolari di singole ODE o dei loro sistemi. Consideriamo questa domanda in modo più dettagliato.

È possibile eccitare oscillazioni nel sistema di pesi su una molla che stiamo considerando diversi modi. Poniamo le seguenti condizioni iniziali

Ciò significa che all'istante iniziale il peso è stato tolto dalla posizione di equilibrio di un valore a e rilasciato liberamente (cioè, inizia il suo movimento con velocità iniziale zero). Si possono immaginare molti altri modi di eccitazione, ad esempio, un peso nella posizione di equilibrio riceve una velocità iniziale da un "clic", ecc. [ caso generale, ].

Consideriamo le condizioni iniziali (14) come delle condizioni aggiuntive per separare dalla soluzione generale (13) qualche soluzione particolare corrispondente al nostro metodo di eccitazione delle oscillazioni del peso.

Assumendo t=0 nell'espressione (13), abbiamo, da cui segue che B=a. Quindi, abbiamo trovato una delle costanti precedentemente arbitrarie nella soluzione (13). Inoltre, differenziando nella formula (13), abbiamo

Assumendo t=0 in questa espressione e tenendo conto della seconda condizione iniziale della (14), otteniamo, da cui segue che A=0 e, quindi, la soluzione particolare iniziale ha la forma

Descrive la modalità oscillatoria del sistema meccanico considerato, che è determinata dalle condizioni dell'eccitazione iniziale (14).

Dal corso di fisica della scuola è noto che nella formula (16) a è l'ampiezza delle oscillazioni (fissa lo scostamento massimo del peso dalla sua posizione di equilibrio), è la frequenza ciclica, ed è la fase delle oscillazioni (il fase iniziale risulta essere uguale a zero).

L'equazione dell'oscillatore armonico (10) è un esempio di ODE lineare. Ciò significa che la funzione incognita e tutte le sue derivate sono incluse in ogni termine dell'equazione al primo grado. Le equazioni differenziali lineari hanno una proprietà distintiva estremamente importante: soddisfano il principio di sovrapposizione. Ciò significa che qualsiasi combinazione lineare di due soluzioni qualsiasi di un ODE lineare è anche la sua soluzione.

Nell'esempio dell'equazione dell'oscillatore armonico che stiamo considerando, una combinazione lineare arbitraria di due soluzioni particolari non è solo una nuova soluzione, ma una soluzione generale a questa equazione (esaurisce tutte le sue possibili soluzioni).

In generale, questo non è il caso. Ad esempio, se avessimo a che fare con un'equazione differenziale lineare del terzo ordine (cioè, se l'equazione includesse una derivata terza), anche una combinazione lineare di due qualsiasi delle sue soluzioni particolari sarebbe una soluzione per questa equazione, ma non lo sarebbe rappresentarlo decisione comune.

Nel corso di equazioni differenziali si dimostra un teorema che la soluzione generale di una ODE dell'N-esimo ordine (lineare o non lineare) dipende da N costanti arbitrarie. Nel caso di un'equazione non lineare, queste costanti arbitrarie possono entrare nella soluzione generale (in contrasto con (13)), in modo non lineare.

Il principio di sovrapposizione gioca un ruolo estremamente importante nella teoria delle ODE, poiché può essere utilizzato per costruire una soluzione generale di un'equazione differenziale sotto forma di sovrapposizione delle sue soluzioni particolari. Ad esempio, per il caso delle ODE lineari a coefficienti costanti e dei loro sistemi (l'equazione dell'oscillatore armonico appartiene proprio a questo tipo di equazioni), è stato sviluppato un metodo di soluzione generale nella teoria delle equazioni differenziali. La sua essenza è la seguente. Stiamo cercando una soluzione particolare nella forma Come risultato della sua sostituzione nell'equazione originale, tutti i fattori dipendenti dal tempo si annullano e si arriva a qualche equazione caratteristica, che per l'ODE di ordine N è equazione algebrica Ennesimo grado. Risolvendolo, troviamo, quindi, tutte le possibili soluzioni particolari, una combinazione lineare arbitraria delle quali dà la soluzione generale dell'ODE originale. Non ci soffermeremo ulteriormente su questo argomento, rimandando il lettore agli appositi libri di testo sulla teoria delle equazioni differenziali, dove si possono trovare ulteriori dettagli, in particolare il caso in cui l'equazione caratteristica contenga radici multiple.

Se si considera una ODE lineare a coefficienti variabili (i suoi coefficienti dipendono dal tempo), vale anche il principio di sovrapposizione, ma non è più possibile costruire una soluzione generale di questa equazione in forma esplicita con nessun metodo standard. Torneremo su questo problema più avanti, discutendo il fenomeno della risonanza parametrica e l'equazione di Mathieu relativa al suo studio.

Forse il sistema meccanico più semplice il cui moto è descritto da un'equazione differenziale lineare con coefficienti costanti è una massa su una molla. Dopo che un peso è stato appeso alla molla, si allungherà leggermente per bilanciare la forza di gravità. Seguiamo ora le deviazioni verticali della massa dalla posizione di equilibrio (Fig. 21.1). Indichiamo deviazioni verso l'alto dalla posizione di equilibrio e assumiamo di avere a che fare con una molla perfettamente elastica. In questo caso, le forze che si oppongono all'allungamento sono direttamente proporzionali all'allungamento. Ciò significa che la forza è uguale (il segno meno ci ricorda che la forza si oppone agli spostamenti). Pertanto, l'accelerazione moltiplicata per la massa dovrebbe essere uguale a

Per semplicità, supponiamo che sia successo (o abbiamo modificato il sistema di unità secondo necessità) che . Dobbiamo risolvere l'equazione

Figura. 21.1. Un peso sospeso su una molla. Un semplice esempio di oscillatore armonico.

Dopodiché, torniamo all'equazione (21.2), in cui e sono contenuti esplicitamente.

Abbiamo già incontrato l'equazione (21.3) quando abbiamo iniziato a studiare la meccanica. Abbiamo risolto numericamente per trovare il movimento. Per integrazione numerica, abbiamo trovato una curva che mostra che se la particella è inizialmente sbilanciata, ma a riposo, allora ritorna nella posizione di equilibrio. Non abbiamo seguito la particella dopo che ha raggiunto la posizione di equilibrio, ma è chiaro che non si fermerà lì, ma oscillerà (oscillerà). Con l'integrazione numerica abbiamo trovato il tempo per tornare al punto di equilibrio: . La durata di un ciclo completo è quattro volte maggiore: "sec". Abbiamo trovato tutto questo per integrazione numerica, perché non sapevamo come risolverlo meglio. Ma i matematici ci hanno dato una certa funzione, che, se differenziata due volte, va in se stessa, moltiplicata per . (Puoi, ovviamente, eseguire il calcolo diretto di tali funzioni, ma questo è molto più difficile che trovare semplicemente la risposta.)

Questa funzione è: . Distinguiamolo: , a . Al momento iniziale , , e la velocità iniziale è uguale a zero; queste sono esattamente le ipotesi che abbiamo fatto nell'integrazione numerica. Ora, sapendo questo, troviamo il valore esatto del tempo in cui . Risposta: o 1.57108. Abbiamo commesso un errore prima nell'ultimo segno, perché l'integrazione numerica era approssimativa, ma l'errore è molto piccolo!

Per andare avanti, torniamo al sistema delle unità, dove il tempo viene misurato in secondi reali. Quale sarà la soluzione in questo caso? Forse terremo conto delle costanti e moltiplicando per il fattore corrispondente? Proviamo. Lascia allora e . Con nostro dispiacere, non siamo riusciti a risolvere l'equazione (21.2), ma siamo tornati di nuovo alla (21.3). Ma abbiamo scoperto la proprietà più importante delle equazioni differenziali lineari: se moltiplichiamo la soluzione dell'equazione per una costante, otteniamo di nuovo la soluzione. È matematicamente chiaro il perché. Se esiste una soluzione all'equazione, dopo aver moltiplicato entrambe le parti dell'equazione per le derivate, anche queste verranno moltiplicate per e quindi soddisferanno l'equazione altrettanto bene di . Sentiamo cosa ha da dire il fisico a riguardo. Se il peso allunga la molla il doppio di prima, la forza raddoppierà, l'accelerazione raddoppierà, la velocità acquisita sarà il doppio della velocità precedente e nello stesso tempo il peso coprirà il doppio della distanza. Ma questa è il doppio della distanza, proprio la stessa distanza di cui il peso ha bisogno per raggiungere la posizione di equilibrio. Pertanto, ci vuole la stessa quantità di tempo per raggiungere l'equilibrio e non dipende dalla distorsione iniziale. In altre parole, se il movimento è descritto equazione lineare, quindi indipendentemente dalla "forza" si svilupperà nel tempo allo stesso modo.

L'errore ci ha fatto bene: abbiamo imparato che moltiplicando la soluzione per una costante, otteniamo la soluzione dell'equazione precedente. Dopo alcuni tentativi ed errori, potresti giungere alla conclusione che invece di manipolare, devi cambiare la scala temporale. In altre parole, l'equazione (21.2) deve avere una soluzione della forma

(Qui - non la velocità angolare di un corpo rotante, ma non avremo abbastanza alfabeti se ogni valore è indicato da una lettera speciale.) Abbiamo fornito l'indice 0 qui, perché abbiamo ancora molti più omega da soddisfare: ricorda cosa corrisponde al movimento naturale dell'oscillatore. Un tentativo di utilizzare (21.4) come soluzione ha più successo perché e . Abbiamo finalmente risolto l'equazione che volevamo risolvere. Questa equazione coincide con (21.2) se .

Ora dobbiamo capire il significato fisico. Sappiamo che il coseno "si ripete" dopo che l'angolo cambia in . Quindi sarà moto periodico; un ciclo completo di questo movimento corrisponde a un cambiamento nell'"angolo" di . La quantità è spesso indicata come la fase del movimento. Per passare a , è necessario passare a (periodo di pieno svolgimento); ovviamente, si trova dall'equazione . Ciò significa che devi calcolare per un ciclo e tutto verrà ripetuto se aumenti di ; in questo caso aumenteremo la fase di . In questo modo,

. (21.5)

Ciò significa che maggiore è il peso, più lenta oscillerà la molla avanti e indietro. L'inerzia in questo caso sarà maggiore e, se la forza non cambia, ci vorrà più tempo per accelerare e decelerare il carico. Se prendi una molla più rigida, il movimento dovrebbe essere più veloce; e infatti, il periodo diminuisce con l'aumentare della costante primaverile.

Si noti ora che il periodo di oscillazione della massa sulla molla non dipende da come iniziano le oscillazioni. Per la primavera, sembra indifferente quanto lo allunghiamo. L'equazione del moto (21.2) determina il periodo di oscillazione, ma non dice nulla sull'ampiezza dell'oscillazione. Certo, l'ampiezza dell'oscillazione può essere determinata, e ora ci occuperemo di essa, ma per questo è necessario impostare le condizioni iniziali.

Il punto è che non abbiamo ancora trovato la soluzione più generale dell'equazione (21.2). Esistono diversi tipi di soluzioni. La soluzione corrisponde al caso in cui al momento iniziale la molla è tesa e la sua velocità è uguale a zero. Puoi far muovere la molla in un altro modo, ad esempio, cogliere l'attimo in cui la molla bilanciata è a riposo e colpire bruscamente il peso; questo significherà che al momento è riportata una certa velocità alla molla. Tale movimento corrisponderà a un'altra soluzione (21.2): il coseno deve essere sostituito da un seno. Gettiamo ancora un sasso nel coseno: se - soluzione, quindi, entrando nella stanza dove oscilla la molla, al momento (chiamiamola ""), quando il peso passa attraverso la posizione di equilibrio, saremo costretti a sostituirlo soluzione con un altro. Pertanto, non può esserci una soluzione generale; la soluzione generale deve permettere, per così dire, lo spostamento dell'origine del tempo. Una tale proprietà ha, ad esempio, la soluzione , dove c'è una costante. Inoltre, si può decomporre chiamata frequenza angolare; è il numero di radianti di cui la fase cambia in 1 secondo. È determinato da un'equazione differenziale. Altre quantità non sono determinate dall'equazione, ma dipendono da condizioni iniziali. La costante serve come misura della deviazione massima del carico ed è chiamata ampiezza di oscillazione. La costante è talvolta chiamata la fase dell'oscillazione, ma qui potrebbero esserci dei malintesi, perché altri chiamano la fase e dicono che la fase dipende dal tempo. Possiamo dire che - questo è uno sfasamento rispetto ad alcuni, preso come zero. Non discutiamo sulle parole. Differenti corrispondono a movimenti con fasi differenti. Questo è vero, ma se chiamarla fase o meno è un'altra questione.

Scoperte nel campo quantistico e in altre aree. Allo stesso tempo, vengono inventati nuovi dispositivi e dispositivi, attraverso i quali è possibile condurre vari studi e spiegare i fenomeni del micromondo. Uno di questi meccanismi è l'oscillatore armonico, il cui principio era noto anche ai rappresentanti delle antiche civiltà.

Il dispositivo e le sue tipologie

Un oscillatore armonico è un sistema meccanico in movimento, descritto da un differenziale con coefficienti di valore costante. Più semplici esempi tali dispositivi: un carico su una molla, un pendolo, sistemi acustici, movimento di particelle molecolari, ecc.

Convenzionalmente, si possono distinguere i seguenti tipi di questo dispositivo:

Applicazione del dispositivo

Questo dispositivo è utilizzato in vari campi, principalmente per studiare la natura dei sistemi oscillatori. L'oscillatore armonico quantistico viene utilizzato per studiare il comportamento degli elementi fotonici. I risultati degli esperimenti possono essere utilizzati in vari campi. Quindi, i fisici dell'American Institute hanno scoperto che gli atomi di berillio, situati a distanze abbastanza grandi l'uno dall'altro, possono interagire a livello quantistico. Allo stesso tempo, il comportamento di queste particelle è simile ai corpi (sfere di metallo) nel macrocosmo, che si muovono in un ordine avanti-ritorno, simile a un oscillatore armonico. Ioni di berillio, nonostante siano fisicamente lunghe distanze, scambiato le più piccole unità di energia (quanta). Questa scoperta consente di far avanzare significativamente le tecnologie IT e fornisce anche una nuova soluzione nella produzione di apparecchiature informatiche ed elettroniche.

L'oscillatore armonico viene utilizzato nella valutazione di opere musicali. Questo metodo è chiamato esame spettroscopico. Allo stesso tempo, si è riscontrato che il sistema più stabile è una composizione di quattro musicisti (un quartetto). E le opere moderne sono per lo più anarmoniche.

OSCILLAZIONI ARMONICHE

Lezione 1

VASCULAZIONE

VASCULAZIONE. ONDE. OTTICA

L'oscillazione è uno dei processi più comuni in natura e tecnologia. Le fluttuazioni sono processi che si ripetono nel tempo. Grattacieli e cavi dell'alta tensione oscillano sotto l'influenza del vento, del pendolo di un orologio a carica e di un'auto sulle molle durante il movimento, del livello del fiume durante l'anno e della temperatura del corpo umano durante la malattia. Il suono è fluttuazioni della pressione dell'aria, le onde radio sono cambiamenti periodici nella forza dell'elettricità e campo magnetico, anche la luce è oscillazioni elettromagnetiche. Terremoti - vibrazioni del suolo, flussi e riflussi - cambiamenti nei livelli dei mari e degli oceani causati dall'attrazione della luna, ecc.

Le oscillazioni sono meccaniche, elettromagnetiche, chimiche, termodinamiche, ecc. Nonostante tale varietà, tutte le oscillazioni sono descritte dalle stesse equazioni differenziali.

I primi scienziati a studiare le vibrazioni furono Galileo Galilei e Christian Huygens. Galileo stabilì l'indipendenza del periodo di oscillazione dall'ampiezza. Huygens ha inventato l'orologio a pendolo.

Qualsiasi sistema che, quando leggermente sbilanciato, oscilla costantemente è chiamato oscillatore armonico. Nella fisica classica, tali sistemi sono un pendolo matematico entro piccoli angoli di deflessione, un carico entro piccole ampiezze di oscillazione, un circuito elettrico costituito da elementi di capacità lineare e induttanza.

Un oscillatore armonico può essere considerato lineare se lo spostamento dalla posizione di equilibrio è direttamente proporzionale alla forza perturbatrice. La frequenza di oscillazione di un oscillatore armonico non dipende dall'ampiezza. Per l'oscillatore, il principio di sovrapposizione è soddisfatto: se agiscono più forze di disturbo, è possibile ottenere l'effetto della loro azione totale come risultato della somma degli effetti di forze attive separatamente.

Le oscillazioni armoniche sono descritte dall'equazione (Fig. 1.1.1)

(1.1.1)

dove X- spostamento del valore oscillante dalla posizione di equilibrio, MA– ampiezza delle oscillazioni pari al valore dello spostamento massimo, - fase delle oscillazioni, che determina lo spostamento al momento, - fase iniziale, che determina l'entità dello spostamento al momento iniziale, - frequenza ciclica delle oscillazioni.

Il tempo di un'oscillazione completa è chiamato periodo, dove è il numero di oscillazioni completate durante il tempo.

La frequenza di oscillazione determina il numero di oscillazioni per unità di tempo, è correlata alla frequenza ciclica dal rapporto, quindi dal periodo.

La velocità di un punto materiale oscillante

accelerazione

Pertanto, anche la velocità e l'accelerazione dell'oscillatore armonico cambiano secondo la legge armonica con le ampiezze e rispettivamente. In questo caso, la velocità è in anticipo rispetto allo sfasamento di , e l'accelerazione - di (Fig. 1.1.2).

Da un confronto delle equazioni del moto di un oscillatore armonico (1.1.1) e (1.1.2) ne consegue che , o

esso equazione differenziale il secondo ordine è chiamato equazione dell'oscillatore armonico. La sua soluzione contiene due costanti un e , che sono determinati impostando le condizioni iniziali

Se un processo che si ripete periodicamente è descritto da equazioni che non coincidono con (1.1.1), è detto anarmonico. Un sistema che esegue oscillazioni anarmoniche è chiamato oscillatore anarmonico.

1.1.2 . Oscillazioni libere di sistemi con un grado di libertà. forma complessa rappresentazioni di vibrazioni armoniche

In natura sono molto comuni le piccole oscillazioni che un sistema compie vicino alla sua posizione di equilibrio. Se un sistema portato fuori equilibrio viene lasciato a se stesso, cioè le forze esterne non agiscono su di esso, allora un tale sistema eseguirà oscillazioni libere e non smorzate. Consideriamo un sistema con un grado di libertà.

Un equilibrio stabile corrisponde a una posizione del sistema in cui la sua energia potenziale ha un minimo ( qè la coordinata generalizzata del sistema). La deviazione del sistema dalla posizione di equilibrio porta all'emergere di una forza che tende a riportare indietro il sistema. Indichiamo il valore della coordinata generalizzata corrispondente alla posizione di equilibrio, quindi la deviazione dalla posizione di equilibrio

Conteremo l'energia potenziale dal valore minimo. Prendiamo la funzione risultante, la espandiamo in una serie di Maclaurin e lasciamo il primo termine dell'espansione, abbiamo: o

VASCULAZIONE. ONDE. OTTICA

VASCULAZIONE

Lezione 1

OSCILLAZIONI ARMONICHE

Oscillatore armonico ideale. L'equazione oscillatore ideale e la sua decisione. Ampiezza, frequenza e fase delle oscillazioni

L'oscillazione è uno dei processi più comuni in natura e tecnologia. Le fluttuazioni sono processi che si ripetono nel tempo. Grattacieli e cavi dell'alta tensione oscillano sotto l'influenza del vento, del pendolo di un orologio a carica e di un'auto sulle molle durante il movimento, del livello del fiume durante l'anno e della temperatura del corpo umano durante la malattia. Il suono è fluttuazione della pressione atmosferica, le onde radio sono variazioni periodiche dell'intensità dei campi elettrici e magnetici, la luce è anche vibrazioni elettromagnetiche. Terremoti - vibrazioni del suolo, flussi e riflussi - cambiamenti nei livelli dei mari e degli oceani causati dall'attrazione della luna, ecc.

Le oscillazioni sono meccaniche, elettromagnetiche, chimiche, termodinamiche, ecc. Nonostante tale varietà, tutte le oscillazioni sono descritte dalle stesse equazioni differenziali.

Un oscillatore armonico può essere considerato lineare se lo spostamento dalla posizione di equilibrio è direttamente proporzionale alla forza perturbatrice. La frequenza di oscillazione di un oscillatore armonico non dipende dall'ampiezza. Per l'oscillatore, il principio di sovrapposizione è soddisfatto: se agiscono più forze perturbatrici, l'effetto della loro azione totale può essere ottenuto sommando separatamente gli effetti delle forze agenti.

Le oscillazioni armoniche sono descritte dall'equazione (Fig. 1.1.1)

(1.1.1)

Il tempo di un'oscillazione completa è chiamato periodo, dove è il numero di oscillazioni completate durante il tempo.

La frequenza di oscillazione determina il numero di oscillazioni per unità di tempo, è correlata alla frequenza ciclica dal rapporto, quindi dal periodo.

La velocità di un punto materiale oscillante

accelerazione

Da un confronto delle equazioni del moto di un oscillatore armonico (1.1.1) e (1.1.2) ne consegue che , o

Questa equazione differenziale del secondo ordine è chiamata equazione dell'oscillatore armonico. La sua soluzione contiene due costanti un e , che sono determinati impostando le condizioni iniziali

1.1.2 . Oscillazioni libere di sistemi con un grado di libertà. Forma complessa di rappresentazione delle oscillazioni armoniche

Conteremo l'energia potenziale dal valore minimo. Prendiamo la funzione risultante, la espandiamo in una serie di Maclaurin e lasciamo il primo termine dell'espansione, abbiamo: o

dove . Quindi, tenendo conto della notazione introdotta:

, (1.1.4)

Tenendo conto dell'espressione (1.1.4) per la forza agente sul sistema, otteniamo:

Secondo la seconda legge di Newton, l'equazione del moto del sistema ha la forma:

L'espressione (1.1.5) coincide con l'equazione (1.1.3) delle oscillazioni armoniche libere, a condizione che

e ha due soluzioni indipendenti: e , quindi la soluzione generale è:

Dalla formula (1.1.6) segue che la frequenza è determinata solo dalle proprietà intrinseche del sistema meccanico e non dipende dall'ampiezza e dalle condizioni iniziali di moto.

La dipendenza della coordinata del sistema oscillante dal tempo può essere determinata come la parte reale dell'espressione complessa , dove A=Xe-iαè un'ampiezza complessa, il suo modulo coincide con l'ampiezza abituale e il suo argomento coincide con la fase iniziale.

1.1.3 . Esempi di moti oscillatori di varia natura fisica

Fluttuazioni del carico sulla molla

Si considerino le oscillazioni di un carico su una molla, a condizione che la molla non si deformi oltre i limiti di elasticità. Mostreremo che un tale carico eseguirà oscillazioni armoniche rispetto alla posizione di equilibrio (Fig. 1.1.3). Infatti, secondo la legge di Hooke, una molla compressa o tesa crea una forza armonica:

dove - coefficiente di rigidità della molla, è la coordinata della posizione di equilibrio, Xè la coordinata del carico (punto materiale) al momento , è lo spostamento dalla posizione di equilibrio.

Poniamo l'origine della coordinata nella posizione di equilibrio del sistema. In questo caso .

Se la molla è allungata X, quindi rilasciare alla volta t=0, allora assumerà la forma l'equazione del moto del carico secondo la seconda legge di Newton -kx=ma, o , e

(1.1.6)

Questa equazione coincide nella forma con l'equazione del moto (1.1.3) di un sistema che esegue oscillazioni armoniche, ne cercheremo la soluzione nella forma:

. (1.1.7)

Sostituiamo (1.17) in (1.1.6), abbiamo: cioè, l'espressione (1.1.7) è una soluzione dell'equazione (1.1.6) a condizione che

Se al momento iniziale la posizione del carico era arbitraria, l'equazione del moto assumerà la forma:

Consideriamo come cambia l'energia del carico, compiendo oscillazioni armoniche in assenza di forze esterne (Fig. 1.14). Se al momento t=0 invia offset al carico x=A, allora la sua energia totale diventerà uguale all'energia potenziale della molla deformata, energia cineticaè uguale a zero (punto 1).

Forza agente sul carico F= -kx, cercando di riportarlo nella posizione di equilibrio, in modo che il carico si muova con accelerazione e aumenti la sua velocità e, di conseguenza, la sua energia cinetica. Questa forza riduce lo spostamento del carico X, l'energia potenziale del carico diminuisce, trasformandosi in cinetica. Il sistema "carico - molla" è chiuso, quindi si conserva la sua energia totale, ovvero:

. (1.1.8)

Al momento, il carico è in equilibrio (punto 2), la sua energia potenziale è zero e la sua energia cinetica è massima. Troviamo la velocità massima del carico dalla legge di conservazione dell'energia (1.1.8):

A causa dello stock di energia cinetica, il carico lavora contro la forza elastica – e passa per la posizione di equilibrio. L'energia cinetica si trasforma gradualmente in potenziale. Quando il carico ha uno spostamento negativo massimo - MA, energia cinetica sett=0, il carico si ferma e inizia a muoversi nella posizione di equilibrio sotto l'azione di una forza elastica F= -kx. L'ulteriore movimento è simile.

Pendoli

Un pendolo è un corpo rigido che oscilla attorno a un punto o asse fisso sotto l'azione della gravità. Ci sono pendoli fisici e matematici.

Un pendolo matematico è un sistema idealizzato costituito da un filo inestensibile senza peso su cui è sospesa una massa concentrata in un punto materiale.

Un pendolo matematico, ad esempio, è una sfera su un filo lungo e sottile.

La deviazione del pendolo dalla posizione di equilibrio è caratterizzata dall'angolo φ , che forma un filo con una verticale (Fig. 1.15). Quando il pendolo devia dalla posizione di equilibrio, sorge un momento di forze esterne (gravità): , dove m- il peso, - lunghezza del pendolo

Questo momento tende a riportare il pendolo nella posizione di equilibrio (simile alla forza quasi elastica) ed è diretto opposto allo spostamento φ , quindi c'è un segno meno nella formula.

Equazione della dinamica moto rotatorio per un pendolo ha la forma: io=,

Considereremo quindi il caso di piccole fluttuazioni peccato φ ≈φ, denota ,

noi abbiamo: , o , e infine

Questa è l'equazione delle oscillazioni armoniche, la sua soluzione:

La frequenza di oscillazione di un pendolo matematico è determinata solo dalla sua lunghezza e dall'accelerazione di gravità e non dipende dalla massa del pendolo. Il periodo è:

Se il corpo oscillante non può essere rappresentato come un punto materiale, il pendolo è chiamato fisico (Fig. 1.1.6). Scriviamo l'equazione del suo moto nella forma:

In caso di piccole oscillazioni , o =0 , dove . Questa è l'equazione del moto di un corpo che compie oscillazioni armoniche. La frequenza di oscillazione di un pendolo fisico dipende dalla sua massa, lunghezza e momento d'inerzia rispetto all'asse passante per il punto di sospensione.

Indichiamo . Valore è chiamata la lunghezza ridotta del pendolo fisico. Questa è la lunghezza di un pendolo matematico il cui periodo di oscillazione coincide con il periodo di un dato pendolo fisico. Un punto su una retta che collega il punto di sospensione con il centro di massa, che giace a una distanza della lunghezza ridotta dall'asse di rotazione, è chiamato il centro di oscillazione di un pendolo fisico ( Oh). Se il pendolo è sospeso al centro dell'oscillazione, la lunghezza e il periodo di oscillazione ridotti saranno gli stessi del punto o. Pertanto, il punto di sospensione e il centro di rotazione hanno le proprietà di reciprocità: quando il punto di sospensione viene trasferito al centro di rotazione, il vecchio punto di sospensione diventa il nuovo centro di rotazione.

Un pendolo matematico che oscilla con lo stesso periodo di quello fisico considerato è detto isocrono al pendolo fisico dato.

1.1.4. Aggiunta di vibrazioni (battiti, figure di Lissajous). Descrizione vettoriale dell'addizione di oscillazione

L'aggiunta di oscillazioni ugualmente dirette può essere eseguita utilizzando il metodo dei diagrammi vettoriali. Qualsiasi oscillazione armonica può essere rappresentata come un vettore come segue. Scegliamo un asse X con origine al punto o(fig.1.1.7)

Da un punto o costruire un vettore che costituisce l'angolo con asse X. Lascia che questo vettore ruoti con velocità angolare. Proiezione di un vettore su un asse Xè uguale a:

cioè, esegue oscillazioni armoniche con un'ampiezza un.

Si considerino due oscillazioni armoniche della stessa direzione e dello stesso piccolo ciclico, date dai vettori e . Offset lungo l'asse X sono uguali:

il vettore risultante ha una proiezione e rappresenta l'oscillazione risultante (Fig. 1.1.8), secondo il teorema del coseno Pertanto, l'addizione delle oscillazioni armoniche viene eseguita sommando i vettori.

Eseguiamo l'addizione di oscillazioni tra loro perpendicolari. Lascia che il punto materiale faccia due oscillazioni tra loro perpendicolari con una frequenza:

Il punto materiale stesso si sposterà quindi lungo una traiettoria curvilinea.

Dall'equazione del moto segue: ,

. (1.1.9)

Dall'equazione (1.1.9) puoi ottenere l'equazione dell'ellisse (Fig.1.1.9):

Considera casi speciali di questa equazione:

1. Differenza di fase di oscillazione α= 0. Allo stesso tempo quelli. oppure Questa è l'equazione di una retta, e l'oscillazione risultante avviene lungo questa retta con ampiezza (Fig. 1.1.10).

la sua accelerazione è uguale alla derivata seconda dello spostamento rispetto al tempo allora la forza agente sul punto oscillante, secondo la seconda legge di Newton, è uguale a

Cioè, la forza è proporzionale allo spostamento X ed è diretto contro lo spostamento in posizione di equilibrio. Questa forza è chiamata forza di ripristino. Nel caso di un carico su una molla, la forza di ripristino è la forza elastica, nel caso di un pendolo matematico, è la componente di gravità.

La forza riparatrice per natura obbedisce alla legge di Hooke F= -kx, dove

è il coefficiente della forza di ripristino. Allora l'energia potenziale del punto oscillante è:

(la costante di integrazione è scelta uguale a zero, in modo che quando X).

Oscillatore anarmonico