Z více než 500 tisíc hliněných tabulek, které archeologové našli při vykopávkách ve starověké Mezopotámii, asi 400 obsahuje matematické informace. Většina z nich byla rozluštěna a umožňuje získat poměrně jasnou představu o úžasných algebraických a geometrických úspěších babylonských vědců.

O době a místě zrodu matematiky se názory různí. Četní badatelé tohoto problému připisují jeho vznik různým národům a datují jej do různých epoch. Staří Řekové ještě neměli jednotný názor na tuto věc, mezi nimiž byla zvláště rozšířena verze, že Egypťané vynalezli geometrii, a féničtí obchodníci, kteří takové znalosti potřebovali pro obchodní výpočty a aritmetiku. Hérodotos v „Dějině“ a Strabón v „Geografii“ dali přednost Féničanům. Platón a Diogenes Laertius považovali Egypt za kolébku aritmetiky i geometrie. To je také názor Aristotela, který věřil, že matematika se zrodila díky přítomnosti volného času mezi místními kněžími.

Tato poznámka navazuje na pasáž, že v každé civilizaci se nejprve rodí praktická řemesla, pak umění pro potěšení a teprve potom vědy zaměřené na poznání. Eudemus, žák Aristotela, stejně jako většina jeho předchůdců, také považoval Egypt za místo zrodu geometrie a důvodem jeho vzhledu byly praktické potřeby zeměměřictví. Geometrie prochází podle Eudema při svém zdokonalování třemi etapami: vznik praktických dovedností v zeměměřičství, vznik prakticky orientované aplikované disciplíny a její přeměna v teoretická věda. Podle všeho Eudemus připisoval první dvě fáze Egyptu a třetí řecké matematice. Pravda, přesto připustil, že teorie počítání ploch vzešla z řešení kvadratických rovnic, které byly babylonského původu.

Malé hliněné destičky nalezené v Íránu byly údajně použity k záznamu měření obilí z roku 8000 před naším letopočtem. Norský institut pro paleografii a historii,
Oslo.

Historik Joseph Flavius ​​​​("Starověké Judea", kniha 1, kap. 8) má svůj vlastní názor. I když nazývá Egypťany prvními, je si jistý, že je učil aritmetiku a astronomii praotec Židů Abraham, který uprchl do Egypta během hladomoru, který postihl zemi Kanaán. Inu, egyptský vliv v Řecku byl dostatečně silný, aby vnutil Řekům podobný názor, který s jejich lehká ruka je stále v oběhu v historické literatuře. Dobře zachovalé hliněné tabulky pokryté klínovým písmem nalezené v Mezopotámii a pocházející z roku 2000 před naším letopočtem. a před rokem 300 n. l. svědčí jak o poněkud odlišném stavu věcí, tak o tom, jaká byla matematika ve starověkém Babylonu. Byla to poměrně složitá slitina aritmetiky, algebry, geometrie a dokonce i základů trigonometrie.

Matematika se vyučovala na písařských školách a každý absolvent měl na tu dobu poměrně vážné znalosti. Zřejmě přesně o tom mluví Aššurbanipal, král Asýrie v 7. století. př. n. l. v jednom ze svých nápisů říká, že se naučil nacházet „složité vzájemné vztahy a množit se“. Život nutil Babyloňany uchýlit se k výpočtům na každém kroku. Aritmetika a jednoduchá algebra byly potřeba v domácnosti, při směně peněz a vypořádání zboží, počítání jednoduchého a složeného úroku, daní a podílu na úrodě odevzdané státu, chrámu nebo majiteli půdy. Matematické a poměrně složité výpočty vyžadovaly rozsáhlé architektonické projekty, inženýrské práce při stavbě zavlažovacího systému, balistiku, astronomii a astrologii.

Důležitým úkolem matematiky bylo určit načasování zemědělských prací, náboženských svátků a dalších kalendářních potřeb. Jak velké úspěchy byly ve starověkých městských státech mezi Tigridem a Eufratem v tom, co Řekové později nazvali mathema („vědění“), tak překvapivě přesně, posuďme rozluštění mezopotámských hliněných klínových písem. Mimochodem, u Řeků termín mathema nejprve označoval seznam čtyř věd: aritmetika, geometrie, astronomie a harmonická, vlastní matematiku začal označovat až mnohem později. V Mezopotámii již archeologové našli a nacházejí klínopisné tabulky se záznamy matematického charakteru, částečně v akkadštině, částečně v sumerštině, a také matematické referenční tabulky. Posledně jmenované značně usnadnily výpočty, které bylo nutné provádět na denní bázi, takže řada dešifrovaných textů poměrně často obsahuje úrokové výpočty.

Dochovaly se názvy aritmetických operací dřívějšího, sumerského období mezopotámské historie. Operace sčítání se tedy nazývala „akumulace“ nebo „sčítání“, při odečítání se používalo sloveso „vytáhnout“ a výraz pro násobení znamenal „jíst“. Zajímavé je, že v Babylonu používali rozsáhlejší násobilku - od 1 do 180 000 než tu, kterou jsme se museli učit ve škole, tzn. počítáno pro čísla od 1 do 100. Ve starověké Mezopotámii byla vytvořena jednotná pravidla pro početní operace nejen s celými čísly, ale i se zlomky, v umění operovat, se kterým Babyloňané výrazně převyšovali Egypťany. Například v Egyptě zůstávaly operace se zlomky ještě dlouhou dobu primitivní, protože znali pouze alikvotní zlomky (tj. zlomky s čitatelem rovným 1). Od dob Sumerů v Mezopotámii bylo hlavní počítací jednotkou ve všech ekonomických záležitostech číslo 60, i když byl znám také systém desítkových čísel, který se používal mezi Akkaďany.

Nejslavnější z matematických tabulek starobabylonského období, uložená v knihovně Kolumbijské univerzity (USA). Obsahuje seznam pravoúhlých trojúhelníků s racionálními stranami, tedy trojic pythagorejských čísel x2 + y2 = z2, a naznačuje, že Pythagorovu větu znali Babyloňané nejméně tisíc let před narozením jejího autora. 1900–1600 PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM.

V úlohách vedoucích ke kubické rovnici existovala třetí neznámá veličina – „hloubka“ a součin tří neznámých se nazýval „objem“. Později, s rozvojem algebraického myšlení, se neznámé začalo chápat abstraktněji. Někdy, jako ilustrace algebraických vztahů v Babylonu, byly použity geometrické kresby. Později v Starověké Řecko staly se hlavním prvkem algebry, zatímco pro Babyloňany, kteří uvažovali především algebraicky, byly kresby pouze prostředkem vizualizace a pojmy „čára“ a „plocha“ znamenaly nejčastěji bezrozměrná čísla. Proto existovala řešení problémů, kdy se „plocha“ přidávala na „stranu“ nebo ubírala od „objemu“ atp. Zvláštní význam ve starověku mělo přesné měření polí, zahrad, budov – každoroční záplavy řek přinesly velké množství bahna, které pole zasypalo a zničilo hranice mezi nimi, a po poklesu vody zeměměřiči, zeměměřiči, zeměměřiči, zeměměřiči, zeměměřiči, zeměměřičům na příkaz jejich vlastníků, často musely přeměřovat příděly. V archivech klínového písma se zachovalo mnoho takových zeměměřických map, sestavených před více než 4 tisíci lety.

Zpočátku nebyly měrné jednotky příliš přesné, protože délka se měřila prsty, dlaněmi, lokty, které odlišní lidé odlišný. Lepší situace byla u velkých množství, k jejichž měření používali rákosku a lano určitých velikostí. Ale i zde se výsledky měření často od sebe lišily, podle toho, kdo a kde měřil. Proto byly v různých městech Babylonie přijaty různé míry délky. Například ve městě Lagash byl „loket“ 400 mm a v Nippuru a samotném Babylonu - 518 mm. Mnoho přežívajících materiálů klínového písma bylo studijními průvodci pro babylonské školáky, které poskytovaly řešení různých jednoduchých problémů, s nimiž se v praktickém životě často setkávali. Není však jasné, zda je student vyřešil v duchu, nebo provedl předběžné výpočty s větvičkou na zemi – na tabulkách jsou napsány pouze podmínky matematických úloh a jejich řešení.

Geometrické úlohy s kresbami lichoběžníků a trojúhelníků a řešení Pythagorovy věty. Rozměry talíře: 21,0x8,2. 19. století PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. Britské muzeum

Hlavní část kurzu matematiky ve škole zabíralo řešení aritmetických, algebraických a geometrických úloh, při jejichž formulaci bylo zvykem pracovat s konkrétními objekty, plochami a objemy. Na jedné z klínopisných tabulek se zachoval následující problém: „Za kolik dní lze vyrobit kus látky určité délky, když víme, že se denně vyrobí tolik loktů (délková míra) této látky? Druhý ukazuje úkoly související se stavebními pracemi. Například: „Kolik zeminy bude potřeba pro násep, jehož rozměry jsou známé, a kolik zeminy musí každý pracovník přesunout, je-li znám jejich celkový počet? nebo "Kolik hlíny by si měl každý dělník připravit, aby postavil zeď určité velikosti?"

Student také musel umět počítat koeficienty, počítat součty, řešit úlohy na měření úhlů, počítání ploch a objemů přímočarých útvarů – to byla běžná sada pro elementární geometrii. Zajímavá jména zachovaná ze sumerských dob geometrické tvary. Trojúhelník se nazýval „klín“, lichoběžník se nazýval „čelo býka“, kruh se nazýval „obruč“, nádoba byla označena pojmem „voda“, objem byl „země, písek“, oblast se nazývala „pole“. Jeden z klínopisných textů obsahuje 16 problémů s řešením, které se týkají přehrad, valů, studní, vodních hodin a zemních prací. Jeden problém je opatřen výkresem týkajícím se kruhového hřídele, jiný uvažuje komolý kužel, který určuje jeho objem vynásobením výšky polovičním součtem ploch horní a spodní základny.

Babylonští matematici také řešili planimetrické úlohy pomocí vlastností pravoúhlých trojúhelníků, následně formulovaných Pythagorem ve formě věty o rovnosti v pravoúhlém trojúhelníku druhé mocniny přepony k součtu čtverců nohou. Jinými slovy, slavnou Pythagorovu větu znali Babyloňané nejméně tisíc let před Pythagorem. Kromě planimetrických úloh řešili i stereometrické úlohy související s určováním objemu různých druhů prostorů, těles a široce praktikované kreslení plánů polí, ploch, jednotlivých budov, většinou však ne v měřítku. Nejvýznamnějším úspěchem matematiky bylo zjištění, že poměr úhlopříčky a strany čtverce nelze vyjádřit jako celé číslo ani prostý zlomek. Tak byl do matematiky zaveden pojem iracionality.

Předpokládá se, že objev jednoho z nejdůležitějších iracionálních čísel - čísla π, vyjadřujícího poměr obvodu kruhu k jeho průměru a rovného nekonečnému zlomku ≈ 3,14 ..., patří Pythagorovi. Podle jiné verze byla pro číslo π hodnota 3,14 poprvé navržena Archimédem o 300 let později, ve 3. století před naším letopočtem. PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. Podle jiného to jako první vypočítal Omar Khayyam, obecně se jedná o 11. - 12. století. INZERÁT S jistotou je známo pouze to, že řecké písmeno π poprvé označil anglický matematik William Jones v roce 1706 a teprve poté, co si toto označení v roce 1737 vypůjčil švýcarský matematik Leonhard Euler, se stalo všeobecně akceptovaným. Číslo π je nejstarší matematickou hádankou, tento objev je třeba hledat i ve starověké Mezopotámii.

Babylonští matematici si byli dobře vědomi nejdůležitějších iracionálních čísel a řešení problému výpočtu plochy kruhu lze nalézt také v dekódování klínových hliněných tabulek matematického obsahu. Podle těchto údajů bylo π vzato rovné 3, což však pro praktické zeměměřické účely zcela postačovalo. Badatelé se domnívají, že sexagesimální systém byl zvolen ve starověkém Babylonu z metrologických důvodů: číslo 60 má mnoho dělitelů. Hexadecimální zápis celých čísel se nerozšířil mimo Mezopotámii, ale v Evropě až do 17. století. hojně se používaly jak šestinásobné zlomky, tak obvyklé dělení kruhu na 360 stupňů. Hodina a minuty, rozdělené do 60 částí, také pocházejí z Babylonu.

Geniální nápad Babyloňanů používat minimální počet digitálních znaků k zápisu čísel je pozoruhodný. Například Římany ani nenapadlo, že stejné číslo může označovat různé veličiny! K tomu používali písmena své abecedy. Výsledkem bylo, že čtyřmístné číslo, například 2737, obsahovalo až jedenáct písmen: MMDCCXXXVII. A přestože v naší době existují extrémní matematici, kteří dokážou rozdělit LXXVIII na CLXVI do sloupce nebo vynásobit CLIX na LXXIV, lze jen litovat těch obyvatel věčného města, kteří museli provádět složité kalendářní a astronomické výpočty s pomocí takových matematické bilancování nebo kalkulované rozsáhlé architektonické projekty a různé inženýrské objekty.

Řecký číselný systém byl také založen na použití písmen abecedy. Zpočátku byl v Řecku přijat attický systém, který používal svislou čáru k označení jednotky a pro čísla 5, 10, 100, 1000, 10 000 (v podstatě se jednalo o desítkovou soustavu) - počáteční písmena jejich řeckých jmen. Později, kolem 3. st. př. n. l. se rozšířil iónský číselný systém, ve kterém se k označení čísel používalo 24 písmen řecké abecedy a tři archaická písmena. A aby Řekové odlišili čísla od slov, umístili přes odpovídající písmeno vodorovnou čáru. V tomto smyslu stála babylonská matematická věda nad pozdější řeckou nebo římskou vědou, protože je to ona, kdo vlastní jeden z nejvýraznějších úspěchů ve vývoji systémů zápisu čísel - princip polohovosti, podle kterého stejný číselný znak (symbol ) má různé významy podle toho, kde se nachází. Mimochodem, egyptský číselný systém byl nižší než babylonský a moderní egyptský číselný systém.

Egypťané používali nepoziční desítkovou soustavu, ve které byla čísla od 1 do 9 označena odpovídajícím počtem svislých čar a pro postupné mocniny 10 byly zavedeny jednotlivé hieroglyfické symboly. Pro malá čísla se babylónský číselný systém obecně podobal egyptskému. Jedna svislá klínovitá čára (v raných sumerských tabulkách - malý půlkruh) znamenala jednotku; opakoval požadovaný počet krát, tento znak sloužil k zápisu čísel menších než deset; k označení čísla 10 zavedli Babyloňané, stejně jako Egypťané, nový symbol - široký klínovitý znak s hrotem směřujícím doleva, připomínající úhlovou závorku ve tvaru (v raných sumerských textech - malý kruh). Tento znak, opakován přiměřeně mnohokrát, sloužil k reprezentaci čísel 20, 30, 40 a 50. Většina moderních historiků se domnívá, že starověký vědecké znalosti byly čistě empirické.

S ohledem na fyziku, chemii, přírodní filozofii, které byly založeny na pozorováních, se zdá, že je to pravda. Pojem smyslové zkušenosti jako zdroje poznání však stojí před neřešitelnou otázkou, pokud jde o tak abstraktní vědu, jakou je matematika operující se symboly. Zvláště významné byly úspěchy babylonské matematické astronomie. Zda však náhlý skok pozvedl mezopotámské matematiky z úrovně utilitární praxe k rozsáhlým znalostem, které jim umožňují aplikovat matematické metody k předpovídání poloh Slunce, Měsíce a planet, zatmění a dalších nebeských jevů, nebo zda vývoj probíhal postupně , bohužel nevíme. Historie matematických znalostí obecně vypadá zvláštně.

Víme, jak se naši předkové učili počítat na prstech rukou a nohou, dělali si primitivní číselné záznamy v podobě zářezů na tyči, uzlů na laně nebo oblázků vyskládaných do řady. A pak – bez jakékoli přechodné vazby – najednou informace o matematických úspěších Babyloňanů, Egypťanů, Číňanů, Hindů a dalších starověkých vědců, tak solidních, že jejich matematické metody obstály ve zkoušce času až do poloviny nedávno skončeného II tisíciletí, tzn. více než tři tisíce let...

Co se skrývá mezi těmito odkazy? Proč starověcí mudrci kromě praktického významu uctívali matematiku jako posvátné vědění a číslům a geometrickým obrazcům dávali jména bohů? Je za tím právě uctivý postoj k Poznání jako takovému? Možná přijde doba, kdy archeologové najdou odpovědi na tyto otázky. Mezitím nezapomeňme, co před 700 lety řekl oxfordský Thomas Bradwardine: "Ten, kdo má nestoudnost popírat matematiku, měl od samého začátku vědět, že nikdy nevstoupí do brány moudrosti."

Aritmetikou, naukou o číslech, začíná naše seznámení s matematikou. Jedna z prvních ruských učebnic aritmetiky, kterou napsal L. F. Magnitskij v roce 1703, začínala slovy: „Aritmetika neboli čitatel je umění, které je poctivé, nezáviděníhodné a každému pohodlně srozumitelné, nejužitečnější a nejchválenější, od nejstarších a nejnovější, kteří žili v různých dobách nejlepších aritmetiků, vynalezli a vysvětlili. S aritmetikou vstupujeme, jak řekl M. V. Lomonosov, do „brán učení“ a začínáme naši dlouhou a obtížnou, ale fascinující cestu za poznáním světa.

Slovo „aritmetika“ pochází z řeckého aritmos, což znamená „číslo“. Tato věda studuje operace s čísly, různá pravidla pro manipulaci s nimi, naučí vás řešit problémy, které se scvrkají na sčítání, odčítání, násobení a dělení čísel. Aritmetika je často představována jako nějaký první krok v matematice, na základě kterého je možné studovat její složitější úseky – algebru, matematickou analýzu atd. Při uvažování se označují sudá celá čísla – základní předmět aritmetiky obecné vlastnosti a vzory, k vyšší aritmetice nebo teorii čísel. Takový pohled na aritmetiku má samozřejmě své opodstatnění – skutečně zůstává „abecedou počítání“, ale abeceda je „nejužitečnější“ a „pohodlná“.

Aritmetika a geometrie jsou starými společníky člověka. Tyto vědy se objevily, když bylo nutné počítat předměty, měřit přistát, rozdělit kořist, sledovat čas.

Aritmetika pochází ze zemí starověkého východu: Babylon, Čína, Indie, Egypt. Například egyptský papyrus Rinda (pojmenovaný podle svého majitele G. Rinda) pochází z 20. století. PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. Kromě jiných informací obsahuje rozšíření zlomku na součet zlomků s čitatelem rovným jedné, například:

Poklady matematických znalostí nashromážděné v zemích starověkého východu rozvinuli a pokračovali vědci starověkého Řecka. Mnoho jmen vědců zabývajících se aritmetikou v starověk, historie se nám zachovala - Anaxagoras a Zeno, Euklides (viz Eukleides a jeho "Počátky"), Archimedes, Eratosthenes a Diophantus. Jméno Pythagoras (VI. století př. n. l.) zde září jako jasná hvězda. Pythagorejci (učedníci a následovníci Pythagora) uctívali čísla a věřili, že obsahují veškerou harmonii světa. Jednotlivým číslům a dvojicím čísel byly přiřazeny speciální vlastnosti. Čísla 7 a 36 byla ve velké úctě, zároveň se dbalo na tzv. perfektní čísla, přátelská čísla atp.

Ve středověku je rozvoj aritmetiky spojen také s Východem: Indií, zeměmi arabského světa a Střední Asií. Od Indů k nám přišla čísla, která používáme, nula a poziční číselný systém; od al-Kashi (XV století), který pracoval na samarkandské observatoři Ulugbek, - desetinné zlomky.

Díky rozvoji obchodu a vlivu orientální kultury od XIII. rostoucí zájem o aritmetiku v Evropě. Měli bychom si pamatovat jméno italského vědce Leonarda z Pisy (Fibonacci), jehož dílo „Kniha počítadla“ představilo Evropanům hlavní úspěchy matematiky Východu a bylo začátkem mnoha studií aritmetiky a algebry.

Spolu s vynálezem tisku (polovina 15. století) se objevily první tištěné matematické knihy. První tištěná kniha o aritmetice vyšla v Itálii v roce 1478. Kompletní aritmetika od německého matematika M. Stiefela (začátek 16. století) již obsahuje záporná čísla a dokonce i myšlenku logaritmu.

Kolem 16. stol vývoj čistě aritmetických otázek přešel do hlavního proudu algebry - jako významný milník lze zaznamenat vzhled prací francouzského vědce F. Viety, v nichž jsou čísla označena písmeny. Od té doby jsou základní aritmetická pravidla plně pochopena z hlediska algebry.

Základním předmětem aritmetiky je číslo. Přirozená čísla, tzn. čísla 1, 2, 3, 4, ... atd., vznikla počítáním konkrétních položek. Uplynulo mnoho tisíciletí, než se člověk dozvěděl, že dva bažanti, dvě ruce, dva lidé atd. lze nazvat stejným slovem „dva“. Důležitým úkolem aritmetiky je naučit se překonávat konkrétní význam názvů počítaných předmětů, abstrahovat od jejich tvaru, velikosti, barvy atd. Fibonacci už má úkol: „Sedm stařenek jede do Říma. Každý má 7 mezků, každý mezek nese 7 pytlů, každý pytel má 7 bochníků, každý bochník má 7 nožů, každý nůž má 7 pochev. Kolik? Abyste problém vyřešili, budete muset dát dohromady staré ženy, muly, tašky a chleba.

Vývoj pojmu čísla - výskyt nulových a záporných čísel, obyčejné a desetinné zlomky, způsoby zápisu čísel (čísla, symboly, číselné soustavy) - to vše má bohatou a zajímavou historii.

„Věda o číslech znamená dvě vědy: praktickou a teoretickou. Praktické studium čísel, pokud mluvíme o počitatelných číslech. Tato věda se používá v tržních a občanských záležitostech. Teoretická věda o číslech studuje čísla v absolutním smyslu, abstrahovaná myslí od těl a všeho, co se v nich dá spočítat. al-Farabi

V aritmetice se čísla sčítají, odčítají, násobí a dělí. Umění rychle a přesně provádět tyto operace na libovolných číslech bylo dlouho považováno za nejdůležitější úkol aritmetiky. Nyní v duchu nebo na papíře děláme jen ty nejjednodušší výpočty a stále častěji svěřujeme složitější výpočetní práci mikrokalkulátorům, které postupně nahrazují taková zařízení, jako je počítadlo, sčítací stroj (viz Computing), logaritmické pravítko. Obsluha všech počítačů – jednoduchých i složitých – je však založena na nejjednodušší operaci – sčítání přirozených čísel. Ukazuje se, že nejsložitější výpočty lze zredukovat na sčítání, pouze tato operace musí být provedena mnohomilionkrát. Ale tady vstupujeme do další oblasti matematiky, která má původ v aritmetice - výpočetní matematice.

Aritmetické operace s čísly mají různé vlastnosti. Tyto vlastnosti lze popsat slovy, například: „Součet se nemění změnou míst pojmů“, lze zapsat písmeny:, lze vyjádřit speciálními výrazy.

Například tato vlastnost sčítání se nazývá komutativní nebo komutativní zákon. Aritmetické zákony používáme často ze zvyku, aniž bychom si to uvědomovali. Studenti ve škole se často ptají: „Proč se učit všechny tyto zákony o posunutí a kombinaci, protože je tak jasné, jak sčítat a násobit čísla? V 19. stol matematika udělala důležitý krok – začala systematicky sčítat a násobit nejen čísla, ale i vektory, funkce, posunutí, tabulky čísel, matice a mnoho dalšího, a dokonce jen písmena, symboly, aniž by se skutečně zajímala o jejich konkrétní význam. A zde se ukázalo, že nejdůležitější je, jaké zákony tyto operace dodržují. Studium operací zadaných na libovolných objektech (ne nutně na číslech) je již doménou algebry, i když je tento úkol založen na aritmetice a jejích zákonech.

Aritmetika obsahuje mnoho pravidel pro řešení problémů. Ve starých knihách můžete najít problémy pro „trojité pravidlo“, pro „proporční dělení“, pro „metodu vah“, pro „falešné pravidlo“ atd. Většina těchto pravidel je dnes již zastaralá, i když úkoly, které byly s jejich pomocí vyřešeny, nelze v žádném případě považovat za zastaralé. Slavný problém o bazénu, který je naplněn několika trubkami, je starý nejméně dva tisíce let a pro školáky to stále není jednoduché. Ale pokud dříve, k vyřešení tohoto problému, bylo nutné znát zvláštní pravidlo, pak se dnes i mladší studenti učí takový problém řešit zadáním písmenného označení požadované hodnoty. Aritmetické úlohy tedy vedly k nutnosti řešit rovnice, a to je opět úkolem algebry.

Mezi důležité pojmy zavedené aritmetikou je třeba poznamenat proporce a procenta. Většina konceptů a metod aritmetiky je založena na porovnávání různých vztahů mezi čísly. V dějinách matematiky probíhal proces slučování aritmetiky a geometrie po mnoho staletí.

Lze jasně vysledovat „geometrizaci“ aritmetiky: složitá pravidla a vzorce vyjádřené vzorci se stanou jasnějšími, pokud je dokážeme znázornit geometricky. Důležitou roli v samotné matematice a jejích aplikacích hraje zpětný proces - převod vizuální, geometrické informace do řeči čísel (viz Grafické výpočty). Tento překlad je založen na myšlence francouzského filozofa a matematika R. Descartese o definici bodů v rovině pomocí souřadnic. Tato myšlenka se samozřejmě používala již před ním například v námořních záležitostech, kdy bylo nutné určit polohu lodi, stejně jako v astronomii a geodézii. Ale právě od Descarta a jeho studentů pochází důsledné používání jazyka souřadnic v matematice. A v naší době při řízení složitých procesů (například let kosmické lodi) preferují mít všechny informace ve formě čísel, které zpracovává počítač. V případě potřeby stroj pomáhá osobě převést nashromážděné číselné informace do jazyka výkresu.

Vidíte, že když mluvíme o aritmetice, vždy jdeme za její hranice - do algebry, geometrie a dalších odvětví matematiky.

Jak vymezit hranice samotné aritmetiky?

V jakém smyslu se toto slovo používá?

Slovo "aritmetika" lze chápat jako:

akademický předmět zabývající se především racionálními čísly (celými čísly a zlomky), operacemi s nimi a problémy řešenými pomocí těchto operací;

část historické budovy matematiky, která nashromáždila různé informace o výpočtech;

"teoretická aritmetika" - část moderní matematiky, která se zabývá konstrukcí různých číselných systémů (přirozená, celočíselná, racionální, reálná, komplexní čísla a jejich zobecnění);

"formální aritmetika" - část matematické logiky (viz. Matematická logika), která se zabývá rozborem axiomatické teorie aritmetiky;

„vyšší aritmetika“, neboli teorie čísel, samostatně se rozvíjející část matematiky.

18

do oblíbených do oblíbených z oblíbených 7

Předmluva redakce: Z více než 500 tisíc hliněných tabulek, které archeologové našli při vykopávkách ve starověké Mezopotámii, asi 400 obsahuje matematické informace. Většina z nich byla rozluštěna a umožňuje získat poměrně jasnou představu o úžasných algebraických a geometrických úspěších babylonských vědců.

O době a místě zrodu matematiky se názory různí. Četní badatelé tohoto problému připisují jeho vznik různým národům a datují jej do různých epoch. Staří Řekové ještě neměli na tuto věc jediný názor, mezi nimiž byla zvláště rozšířena verze, že Egypťané přišli s geometrií, a féničtí obchodníci, kteří takové znalosti potřebovali pro obchodní výpočty a aritmetiku.

Hérodotos v „Dějině“ a Strabón v „Geografii“ dali přednost Féničanům. Platón a Diogenes Laertius považovali Egypt za kolébku aritmetiky i geometrie. To je také názor Aristotela, který věřil, že matematika se zrodila díky přítomnosti volného času mezi místními kněžími. Tato poznámka navazuje na pasáž, že v každé civilizaci se nejprve rodí praktická řemesla, pak umění pro potěšení a teprve potom vědy zaměřené na poznání.

Eudemus, žák Aristotela, stejně jako většina jeho předchůdců, také považoval Egypt za místo zrodu geometrie a důvodem jeho vzhledu byly praktické potřeby zeměměřictví. Geometrie podle Evdema prochází při svém zdokonalování třemi etapami: vznikem praktických dovedností v zeměměřičství, vznikem prakticky orientované aplikované disciplíny a její přeměnou v teoretickou vědu. Zdá se, že první dvě fáze Eudemus připisovány Egyptu a třetí - řecké matematice. Pravda, přesto připustil, že teorie počítání ploch vzešla z řešení kvadratických rovnic, které byly babylonského původu.

Historik Joseph Flavius ​​​​("Starověké Judea", kniha 1, kap. 8) má svůj vlastní názor. I když nazývá Egypťany prvními, je si jistý, že je učil aritmetiku a astronomii praotec Židů Abraham, který uprchl do Egypta během hladomoru, který postihl zemi Kanaán. Inu, egyptský vliv v Řecku byl dostatečně silný, aby Řekům vnutil podobný názor, který s jejich lehkou rukou stále koluje v historické literatuře. Dobře zachovalé hliněné tabulky pokryté klínovým písmem nalezené v Mezopotámii a pocházející z roku 2000 před naším letopočtem. a před rokem 300 n. l. svědčí jak o poněkud odlišném stavu věcí, tak o tom, jaká byla matematika ve starověkém Babylonu. Byla to poměrně složitá slitina aritmetiky, algebry, geometrie a dokonce i základů trigonometrie.

Matematika se vyučovala na písařských školách a každý absolvent měl na tu dobu poměrně vážné znalosti. Zřejmě přesně o tom mluví Aššurbanipal, král Asýrie v 7. století. př. n. l. v jednom ze svých nápisů říká, že se naučil nacházet

„komplexní reciproční a násobení“.

Život nutil Babyloňany uchýlit se k výpočtům na každém kroku. Aritmetika a jednoduchá algebra byly potřeba v domácnosti, při směně peněz a vypořádání zboží, počítání jednoduchého a složeného úroku, daní a podílu na úrodě odevzdané státu, chrámu nebo majiteli půdy. Matematické a poměrně složité výpočty vyžadovaly rozsáhlé architektonické projekty, inženýrské práce při stavbě zavlažovacího systému, balistiku, astronomii a astrologii. Důležitým úkolem matematiky bylo určit načasování zemědělských prací, náboženských svátků a dalších kalendářních potřeb. Jak vysoko byly ve starověkých městských státech mezi Tigridem a Eufratem úspěchy v tom, co Řekové později tak překvapivě přesně nazvali μαθημα (“znalost”), můžeme soudit o rozluštění mezopotámského hliněného klínového písma. Mimochodem, u Řeků termín μαθημα zprvu označoval seznam čtyř věd: aritmetiku, geometrii, astronomii a harmonickou, vlastní matematiku začal označovat až mnohem později.

V Mezopotámii již archeologové našli a nacházejí klínopisné tabulky se záznamy matematického charakteru, částečně v akkadštině, částečně v sumerštině, a také matematické referenční tabulky. Posledně jmenované značně usnadnily výpočty, které bylo nutné provádět na denní bázi, takže řada dešifrovaných textů poměrně často obsahuje úrokové výpočty. Dochovaly se názvy aritmetických operací dřívějšího, sumerského období mezopotámské historie. Operace sčítání se tedy nazývala „akumulace“ nebo „sčítání“, při odečítání se používalo sloveso „vytáhnout“ a výraz pro násobení znamenal „jíst“.

Zajímavé je, že v Babylonu používali rozsáhlejší násobilku - od 1 do 180 000 než tu, kterou jsme se museli učit ve škole, tzn. počítáno na čísla od 1 do 100.

Ve starověké Mezopotámii vznikala jednotná pravidla pro početní operace nejen s celými čísly, ale i se zlomky, v umění operovat, se kterým Babyloňané výrazně převyšovali Egypťany. Například v Egyptě zůstávaly operace se zlomky ještě dlouhou dobu primitivní, protože znali pouze alikvotní zlomky (tj. zlomky s čitatelem rovným 1). Od dob Sumerů v Mezopotámii bylo hlavní počítací jednotkou ve všech ekonomických záležitostech číslo 60, i když byl znám také systém desítkových čísel, který se používal mezi Akkaďany. Babylonští matematici hojně používali šestinásobný polohový (!) systém počítání. Na jeho základě byly sestaveny různé výpočtové tabulky. Kromě násobilek a tabulek převrácených hodnot, kterými se dělení provádělo, existovaly tabulky odmocnin a kubických čísel.

Klínopisné texty věnované řešení algebraických a geometrických problémů naznačují, že babylonští matematici byli schopni vyřešit některé speciální problémy, včetně až deseti rovnic s deseti neznámými, stejně jako určité varianty kubických rovnic a rovnic čtvrtého stupně. Kvadratické rovnice sloužily zprvu především ryze praktickým účelům – měření ploch a objemů, což se promítlo i do terminologie. Například při řešení rovnic se dvěma neznámými se jedna nazývala "délka" a druhá - "šířka". Produkt neznámých se nazýval „oblast“. Stejně jako teď! V úlohách vedoucích ke kubické rovnici existovala třetí neznámá veličina – „hloubka“ a součin tří neznámých se nazýval „objem“. Později, s rozvojem algebraického myšlení, se neznámé začalo chápat abstraktněji.

Někdy, jako ilustrace algebraických vztahů v Babylonu, byly použity geometrické kresby. Později se ve starověkém Řecku staly hlavním prvkem algebry, zatímco pro Babyloňany, kteří uvažovali především algebraicky, byly kresby pouze prostředkem vizualizace a pojmy „čára“ a „plocha“ znamenaly nejčastěji bezrozměrná čísla. Proto existovala řešení problémů, kde byla „plocha“ přidána ke „straně“ nebo odečtena od „objemu“ atd.

Zvláštní význam ve starověku mělo přesné měření polí, zahrad, budov – každoroční záplavy řek přinesly velké množství bahna, které pole zasypalo a zničilo hranice mezi nimi, a po poklesu vody zeměměřiči, zeměměřiči, zeměměřiči, zeměměřiči, zeměměřiči, zeměměřičům na příkaz jejich vlastníků, často musely přeměřovat příděly. V archivech klínového písma se zachovalo mnoho takových zeměměřických map, sestavených před více než 4 tisíci lety.

Zpočátku nebyly jednotky měření příliš přesné, protože délka se měřila prsty, dlaněmi, lokty, které jsou u různých lidí různé. Lepší situace byla u velkých množství, k jejichž měření používali rákosku a lano určitých velikostí. Ale i zde se výsledky měření často od sebe lišily, podle toho, kdo a kde měřil. Proto byly v různých městech Babylonie přijaty různé míry délky. Například ve městě Lagash byl „loket“ 400 mm a v Nippuru a samotném Babylonu - 518 mm.

Mnohé dochované klínopisné materiály byly učebnicemi pro babylonské školáky, které poskytovaly řešení různých jednoduchých problémů, s nimiž se v praktickém životě často setkávali. Není však jasné, zda je student vyřešil v duchu, nebo provedl předběžné výpočty s větvičkou na zemi – na tabulkách jsou napsány pouze podmínky matematických úloh a jejich řešení.

Hlavní část kurzu matematiky ve škole zabíralo řešení aritmetických, algebraických a geometrických úloh, při jejichž formulaci bylo zvykem pracovat s konkrétními objekty, plochami a objemy. Na jedné z klínopisných tabulek se zachoval následující problém: „Za kolik dní lze vyrobit kus látky určité délky, když víme, že se denně vyrobí tolik loktů (délková míra) této látky? Druhý ukazuje úkoly související se stavebními pracemi. Například: „Kolik zeminy bude potřeba pro násep, jehož rozměry jsou známé, a kolik zeminy musí každý pracovník přesunout, je-li znám jejich celkový počet? nebo "Kolik hlíny by si měl každý dělník připravit, aby postavil zeď určité velikosti?"

Student také musel umět počítat koeficienty, počítat součty, řešit úlohy na měření úhlů, počítání ploch a objemů přímočarých útvarů – to byla běžná sada pro elementární geometrii.

Zajímavá jsou jména geometrických obrazců dochovaná ze sumerských dob. Trojúhelník se nazýval "klín", lichoběžník - "čelo býka", kruh - "obruč", kapacita byla označena pojmem "voda", objem - "země, písek", plocha byla tzv. "pole".

Jeden z klínopisných textů obsahuje 16 problémů s řešením, které se týkají přehrad, valů, studní, vodních hodin a zemních prací. Jeden problém je opatřen výkresem týkajícím se kruhového hřídele, jiný uvažuje komolý kužel, který určuje jeho objem vynásobením výšky polovičním součtem ploch horní a spodní základny. Babylonští matematici také řešili planimetrické úlohy pomocí vlastností pravoúhlých trojúhelníků, následně formulovaných Pythagorem ve formě věty o rovnosti v pravoúhlém trojúhelníku druhé mocniny přepony k součtu čtverců nohou. Jinými slovy, slavnou Pythagorovu větu znali Babyloňané nejméně tisíc let před Pythagorem.

Kromě planimetrických úloh řešili i stereometrické úlohy související s určováním objemu různých druhů prostorů, těles a široce praktikované kreslení plánů polí, ploch, jednotlivých budov, většinou však ne v měřítku.

Nejvýznamnějším úspěchem matematiky bylo zjištění, že poměr úhlopříčky a strany čtverce nelze vyjádřit jako celé číslo ani prostý zlomek. Tak byl do matematiky zaveden pojem iracionality.

Má se za to, že objev jednoho z nejdůležitějších iracionálních čísel – čísla π, vyjadřujícího poměr obvodu kruhu k jeho průměru a rovného nekonečnému zlomku = 3,14 ..., patří Pythagorovi. Podle jiné verze byla pro číslo π hodnota 3,14 poprvé navržena Archimédem o 300 let později, ve 3. století před naším letopočtem. PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. Podle jiného to byl Omar Khayyam první, kdo to vypočítal, což je obecně 11-12 století. n. l. S jistotou je známo pouze to, že řecké písmeno π poprvé označovalo tento poměr v roce 1706 anglickým matematikem Williamem Jonesem a teprve poté, co si švýcarský matematik Leonard Euler v roce 1737 toto označení vypůjčil, stalo se všeobecně přijatým.

Číslo π je nejstarší matematickou hádankou, tento objev je třeba hledat i ve starověké Mezopotámii. Babylonští matematici si byli dobře vědomi nejdůležitějších iracionálních čísel a řešení problému výpočtu plochy kruhu lze nalézt také v dekódování klínových hliněných tabulek matematického obsahu. Podle těchto údajů bylo π vzato rovné 3, což však pro praktické zeměměřické účely zcela postačovalo. Badatelé se domnívají, že sexagesimální systém byl zvolen ve starověkém Babylonu z metrologických důvodů: číslo 60 má mnoho dělitelů. Hexadecimální zápis celých čísel se nerozšířil mimo Mezopotámii, ale v Evropě až do 17. století. hojně se používaly jak šestinásobné zlomky, tak obvyklé dělení kruhu na 360 stupňů. Hodina a minuty, rozdělené do 60 částí, také pocházejí z Babylonu. Geniální nápad Babyloňanů používat minimální počet digitálních znaků k zápisu čísel je pozoruhodný. Například Římany ani nenapadlo, že stejné číslo může označovat různé veličiny! K tomu používali písmena své abecedy. Výsledkem bylo, že čtyřmístné číslo, například 2737, obsahovalo až jedenáct písmen: MMDCCXXXVII. A přestože v naší době existují extrémní matematici, kteří dokážou rozdělit LXXVIII na CLXVI do sloupce nebo vynásobit CLIX na LXXIV, lze jen litovat těch obyvatel věčného města, kteří museli provádět složité kalendářní a astronomické výpočty s pomocí takových matematické bilancování nebo kalkulované rozsáhlé architektonické projekty a různé inženýrské objekty.

Řecký číselný systém byl také založen na použití písmen abecedy. Nejprve byl v Řecku přijat attický systém, který používal svislou čáru k označení jednotky a pro čísla 5, 10, 100, 1000, 10000 (v podstatě se jednalo o desítkovou soustavu) - počáteční písmena jejich řeckých jmen . Později, kolem 3. st. př. n. l. se rozšířil iónský číselný systém, ve kterém se k označení čísel používalo 24 písmen řecké abecedy a tři archaická písmena. A aby Řekové odlišili čísla od slov, umístili přes odpovídající písmeno vodorovnou čáru.

V tomto smyslu stála babylonská matematická věda nad pozdější řeckou nebo římskou vědou, protože je to ona, kdo vlastní jeden z nejvýraznějších úspěchů ve vývoji systémů zápisu čísel - princip polohovosti, podle kterého stejný číselný znak (symbol) má různý význam podle toho, zda se jedná o místo, kde se nachází.

Mimochodem, egyptský číselný systém byl nižší než babylonský a moderní egyptský číselný systém. Egypťané používali nepoziční desítkovou soustavu, ve které byla čísla od 1 do 9 označena odpovídajícím počtem svislých čar a pro postupné mocniny 10 byly zavedeny jednotlivé hieroglyfické symboly. Pro malá čísla se babylónský číselný systém obecně podobal egyptskému. Jedna svislá klínovitá čára (v raných sumerských tabulkách - malý půlkruh) znamenala jednotku; opakoval požadovaný počet krát, tento znak sloužil k zápisu čísel menších než deset; k označení čísla 10 zavedli Babyloňané, stejně jako Egypťané, nový symbol - široký klínovitý znak s hrotem směřujícím doleva, připomínající úhlovou závorku ve tvaru (v raných sumerských textech - malý kruh). Tento znak, opakován přiměřeně mnohokrát, sloužil k reprezentaci čísel 20, 30, 40 a 50.

Většina moderních historiků věří, že starověké vědecké poznatky byly čistě empirické povahy. S ohledem na fyziku, chemii, přírodní filozofii, které byly založeny na pozorováních, se zdá, že je to pravda. Pojem smyslové zkušenosti jako zdroje poznání však stojí před neřešitelnou otázkou, pokud jde o tak abstraktní vědu, jakou je matematika operující se symboly.

Zvláště významné byly úspěchy babylonské matematické astronomie. Zda však náhlý skok pozvedl mezopotámské matematiky z úrovně utilitární praxe k rozsáhlým znalostem, které jim umožňují aplikovat matematické metody k předpovídání poloh Slunce, Měsíce a planet, zatmění a dalších nebeských jevů, nebo zda vývoj probíhal postupně , bohužel nevíme.

Historie matematických znalostí obecně vypadá zvláštně. Víme, jak se naši předkové učili počítat na prstech rukou a nohou, dělali si primitivní číselné záznamy v podobě zářezů na tyči, uzlů na laně nebo oblázků vyskládaných do řady. A pak – bez jakékoli přechodné vazby – najednou informace o matematických úspěších Babyloňanů, Egypťanů, Číňanů, Hindů a dalších starověkých vědců, tak solidních, že jejich matematické metody obstály ve zkoušce času až do poloviny nedávno skončeného II tisíciletí, tzn. více než tři tisíce let...

Co se skrývá mezi těmito odkazy? Proč starověcí mudrci kromě praktického významu uctívali matematiku jako posvátné vědění a číslům a geometrickým obrazcům dávali jména bohů? Je za tím právě uctivý postoj k Poznání jako takovému?

Možná přijde doba, kdy archeologové najdou odpovědi na tyto otázky. Mezitím nezapomínejme na to, co řekl oxfordský Thomas Bradwardine před 700 lety:

"Ten, kdo má nestoudnost popírat matematiku, měl od samého začátku vědět, že nikdy nevstoupí do brány moudrosti."

Odeslat svou dobrou práci do znalostní báze je jednoduché. Použijte níže uvedený formulář

Studenti, postgraduální studenti, mladí vědci, kteří využívají znalostní základnu ve svém studiu a práci, vám budou velmi vděční.

Vloženo na http://www.allbest.ru/

Úvod

1. Počátky matematiky v primitivní společnosti

2. Vznik matematiky na starověkém Východě

2.1 Egypt

2.2 Babylon

Závěr

Bibliografie

Úvod

Matematika (řec. - vědění, věda) - nauka o kvantitativních vztazích a prostorových formách reálného světa.

Jasné pochopení samostatného postavení matematiky jako speciální vědy, která má svůj předmět a metodu, se stalo možným až po nashromáždění dostatečně velkého množství faktografického materiálu a poprvé vzniklo u Dr. Řecko v 6.-5. PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. Rozvoj matematiky do této doby je přirozeně připisován období zrodu matematiků a 6.-5. století. PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. datují začátek období elementární matematiky, které trvalo až do 16. století. V těchto prvních dvou obdobích se matematický výzkum zabýval především velmi omezenou zásobou základních pojmů, které vznikaly i ve velmi raných fázích historického vývoje v souvislosti s nejjednoduššími nároky hospodářského života, redukovanými na počítání předmětů, měření množství výrobků, ploch pozemku, stanovení velikosti jednotlivých částí architektonických staveb, měření času, komerční výpočty, navigace atd. První problémy mechaniky a fyziky, s výjimkou individuálních Archimedových studií (3. století př. n. l.), které vyžadovaly již počátky infinitezimálního počtu, se mohly spokojit stále se stejnou zásobou základních matematických pojmů. Jediná věda, která dávno před rozsáhlým rozvojem matematického studia přírodních jevů v 17.-18. systematicky předkládala své speciální a velmi vysoké nároky matematice, existovala astronomie, která zcela určila např. raný vývoj trigonometrie.

V 17. stol nové požadavky přírodních věd a techniky nutí matematiky zaměřit svou pozornost na vytváření metod, které umožňují matematicky studovat pohyb, procesy měnících se veličin a transformaci geometrických obrazců (při navrhování atd.). S využitím proměnných v analytické geometrii R. Descarta a vytvořením diferenciálního a integrálního počtu začíná období matematiky proměnných.

Další rozšiřování škály kvantitativních vztahů a prostorových forem studovaných matematikou vedlo na počátku 19. století. potřeba přistupovat k procesu rozšiřování předmětu matematického výzkumu vědomě, přičemž si klademe za úkol systematické studium s dostatečným společný bod pohled na možné typy kvantitativních vztahů a prostorových forem. Vytvoření N.I. Lobačevského jeho „imaginární geometrie“, která se později dočkala docela reálných aplikací, byla prvním významným krokem tímto směrem. Rozvoj tohoto druhu výzkumu vnesl do struktury matematiky tak důležité rysy, jako matematika v 19. a 20. století. přirozeně připisováno zvláštnímu období moderní matematiky.

1. Počátky matematiky v primitivní společnosti

Naše prvotní představy o počtu a formě spadají do velmi vzdálené doby starověké doby kamenné – paleolitu. Po statisíce let tohoto období žili lidé v jeskyních, v podmínkách nepříliš odlišných od života zvířat, a jejich energie byla vynakládána především na získávání potravy tím nejjednodušším způsobem – shromažďováním, kdekoli to bylo možné. Lidé vyráběli nástroje pro lov a rybaření, vyvinuli jazyk pro vzájemnou komunikaci a v pozdním paleolitu si svou existenci zdobili tvorbou uměleckých děl, figurek a kreseb. Možná, že kresby v jeskyních Francie a Španělska (asi před 15 tisíci lety) měly rituální význam, ale nepochybně se v nich nachází úžasný smysl pro formu.

Dokud nenastal přechod od prostého shromažďování potravy k její aktivní produkci, od lovu a rybolovu k zemědělství, lidé udělali malý pokrok v pochopení číselných hodnot a prostorových vztahů. Teprve s nástupem této zásadní změny, revoluce, kdy pasivní vztah člověka k přírodě vystřídal aktivní, vstupujeme do nové doby kamenné, do neolitu.

Tato velká událost v dějinách lidstva se odehrála asi před deseti tisíci lety, kdy ledový příkrov v Evropě a Asii začal tát a ustupovat lesům a pouštím. Nomádské putování za potravou postupně ustávalo. Rybáři a lovci byli stále více vytlačováni primitivními zemědělci. Takoví farmáři, kteří zůstali na jednom místě, zatímco půda zůstala úrodná, stavěli obydlí určená pro více dlouhé termíny. Vesnice začaly vznikat, aby je chránily před nepřízní počasí a před dravými nepřáteli. Mnoho takových neolitických sídlišť bylo vykopáno. Jejich pozůstatky ukazují, jak se postupně vyvíjela jednoduchá řemesla jako hrnčířství, tkalcovství a truhlářství. Byly zde sýpky, aby si obyvatelstvo produkcí přebytků mohlo skladovat potraviny na zimu a pro případ neúrody. V pozdním neolitu se pekl chléb, vařilo pivo a tavila a zpracovávala měď a bronz. Došlo k objevům, vynalezl hrnčířský kruh a vozatajské kolo, vylepšovaly se lodě a obydlí. Všechny tyto pozoruhodné inovace vznikaly pouze v rámci jedné či druhé zóny a ne vždy se rozšířily mimo ni. Například američtí indiáni se o existenci vozového kola dozvěděli až po příchodu bělochů. Přesto se tempo technologického pokroku ve srovnání se starověkou dobou kamennou ohromně zrychlilo.

Vesnice mezi sebou vedly významný obchod, který se rozvinul natolik, že je možné vysledovat existenci obchodních vztahů mezi oblastmi vzdálenými stovky kilometrů od sebe. Tento obchodní činnost silně podnítily objev techniky tavení mědi a bronzu a výrobu nejprve měděných a poté bronzových nástrojů a zbraní. To zase přispělo k dalšímu formování jazyků. Slova těchto jazyků vyjadřovala velmi konkrétní věci a velmi málo abstraktních pojmů, ale jazyky již měly určitou slovní zásobu pro jednoduché číselné výrazy a pro některé prostorové obrazy. Mnoho kmenů v Austrálii, Americe a Africe bylo na této úrovni, když se poprvé setkali s bílými lidmi, a některé kmeny v takových podmínkách žijí dodnes, takže je možné studovat jejich zvyky a způsoby vyjadřování myšlenek.

Číselné termíny vyjadřující některé z „nejabstraktnějších pojmů, které může lidská mysl vytvořit“, jak řekl Adam Smith D.Ya.Stroyk. Krátká esej dějiny matematiky - M, 1984 .- S.23. , se pomalu začal používat. Poprvé se objevují spíše jako kvalitativní než kvantitativní termíny, vyjadřující rozdíl mezi pouze jedním (nebo spíše „některým“ – „některým“ spíše než „jedním člověkem“) a dvěma a mnoha. Starověký kvalitativní původ numerických pojmů je stále odhalen v těch speciálních binárních termínech, které existují v některých jazycích, jako je například řečtina a keltština. S rozšířením pojmu čísla vznikla nejprve velká čísla sčítáním: 3 sečtením 2 a 1, 4 sečtením 2 a 2, 5 sečtením 2 a 3.

Zde jsou příklady počítání některých australských kmenů:

Murray River Tribe: 1 = enea, 2 = petcheval, 3 = petcheval-enea, 4 = petcheval-petcheval.

Kamilaroi: 1 = malý, 2 = bulan, 3 = guliba, 4 = bulan-bulan, 5 = bulan-guliba, 6 = guliba-guliba.

Ke krystalizaci pojmu číslo přispěl rozvoj řemesel a obchodu. Čísla byla seskupena a kombinována do větších jednotek, obvykle pomocí prstů jedné ruky nebo obou rukou, což je běžná technika v obchodování. To vedlo k počítání nejprve do základu pět, poté do základu deset, což bylo doplněno sčítáním a někdy i odečítáním, takže dvanáctka byla vnímána jako 10 + 2 a devět jako 10 - I2). Někdy se za základ bralo 20 – počet prstů na rukou a nohou. Z 307 primitivních amerických národů, které Eales studoval, bylo 146 dekadických, 106 bylo pět a pět desítek a zbytek byl dvacet a pět dvacet. Ve své nejcharakterističtější podobě existoval systém základní dvacítky mezi Mayi v Mexiku a mezi Kelty v Evropě. Číselné záznamy byly pořizovány svazky, zářezy na klacících, uzly na provazech, oblázky nebo lasturami naskládanými po pěti, technikami velmi podobnými těm, které používal v dávných dobách majitel hostince, který používal visačky. Chcete-li přejít od takových triků ke speciálním postavám za 5, 10, 20 atd. musel být učiněn jediný krok a přesně takové symboly nacházíme v použití na počátku zaznamenané historie, na takzvaném úsvitu civilizace.

Nejstarší příklad použití štítků pochází z paleolitu. Jedná se o poloměr mladého vlka, objeveného v roce 1937 ve Věstonicích (Morava), o délce asi 17 centimetrů s 55 hlubokými zářezy. Prvních dvacet pět zářezů je umístěno ve skupinách po pěti, následuje dvoudélkový zářez končící tuto řadu a poté začíná nová řada zářezů s novým dvoudélkovým zářezem). Je tedy zřejmé, že staré tvrzení, které najdeme u Jacoba Grimma a které se často opakovalo, že počítání vzniklo jako počítání na prstech, je mylné. Počítání prstů, tedy počítání s patami a desítkami, vzniklo až v určité fázi komunitní rozvoj. Ale od té doby bylo možné vyjádřit čísla v číselné soustavě, což umožnilo tvořit velká čísla. Vznikl tak primitivní druh aritmetiky. Čtrnáct bylo vyjádřeno jako 10 + 4, někdy jako 15--1. Násobení vzniklo, když 20 nebylo vyjádřeno jako 10 + 10, ale jako 2 x 10. Podobné binární operace se prováděly tisíce let, což představovalo křížení mezi sčítáním a násobením, zejména v Egyptě a v předárijské kultuře Mohenjo- Daro na Indu. Rozdělení začalo tím, že 10 se začalo vyjadřovat jako „polovina těla“, i když vědomé používání zlomků zůstalo extrémně vzácné. Například u severoamerických kmenů je známo jen několik případů použití zlomků a téměř vždy jde jen o zlomek, i když někdy

Je zvláštní, že byli uneseni velmi velkým počtem, což bylo možná vyvoláno univerzální touhou zveličovat počet stád nebo zabitých nepřátel; stopy této zaujatosti jsou viditelné v Bibli a dalších náboženských knihách.

Bylo také potřeba měřit délku a kapacitu objektů. Jednotky měření byly hrubé a často vycházely z velikosti lidského těla. Připomínají nám to takové jednotky jako prst, noha (tedy noha), loket. Když začali stavět domy, jaké měli farmáři z Indie nebo obyvatelé hromady budov střední Evropy, začala se vypracovávat pravidla, jak stavět v přímkách a v pravém úhlu. anglické slovo„rovný“ (rovný) souvisí se slovesem „natáhnout“ (natáhnout), které označuje použití lana. Anglické slovo "line" (čára) je příbuzné se slovem "linen" (tkanina), které naznačuje spojení mezi tkalcovským řemeslem a zrodem geometrie. To byla jedna z cest, po které pokračoval vývoj matematických zájmů.

Neolitický člověk měl také bystrý smysl pro geometrické formy. Vypalování a barvení hliněných nádob, výroba rákosových rohoží, košů a látek a později kovoobrábění rozvinulo představu rovinných a prostorových vztahů.

Své musely sehrát i taneční figury. Neolitické ozdoby lahodily oku, prozrazovaly rovnost, symetrii a podobnost postav. V těchto obrazcích se mohou objevit i číselné poměry, jako v některých pravěkých ozdobách znázorňujících trojúhelníková čísla; v jiných ozdobách najdeme „posvátná“ čísla. Takové ozdoby zůstaly v použití v historických dobách. Skvělé příklady vidíme na dipylonových vázách z minojského a raného řeckého období, později v byzantských a arabských mozaikách, na perských a čínských kobercích. Zpočátku mohly mít rané ozdoby náboženský nebo magický význam, ale postupně se stal převládajícím jejich estetický účel.

V náboženství doby kamenné můžeme zachytit první pokusy vyrovnat se s přírodními silami. Náboženské obřady byly důkladně prostoupeny magií, magický prvek byl součástí tehdy existujících číselných a geometrických zobrazení, projevoval se i v sochařství, hudbě, kresbě.

Existovala magická čísla jako 3, 4, 7 a magické postavy, jako pěticípá hvězda a svastika; někteří autoři se dokonce domnívají, že tato stránka matematiky byla rozhodujícím faktorem vývoje1), ale ačkoliv se sociální kořeny matematiky v moderní době mohly stát méně nápadnými, v raném období lidských dějin jsou zcela zřejmé. Moderní „numerologie“ je pozůstatkem magických rituálů, které se datují do neolitu a možná i do paleolitu.

I mezi nejzaostalejšími kmeny najdeme určitou míru času a následně i nějaké informace o pohybu slunce, měsíce a hvězd. Informace tohoto druhu poprvé nabyly více vědeckého charakteru, když se začalo rozvíjet zemědělství a obchod. Použití lunární kalendář odkazuje na velmi starou éru v historii lidstva, protože změna v průběhu růstu rostlin byla spojena s fázemi měsíce. Primitivní národy věnovaly pozornost jak slunovratu, tak i vzestupu Plejád za soumraku. Nejstarší civilizované národy připisovaly astronomické informace nejvzdálenějšímu prehistorickému období své existence. Jiné primitivní národy využívaly souhvězdí jako orientační body při plavbě. Tato astronomie poskytla některé informace o vlastnostech koule, kružnic a úhlů.

Tato stručná informace z éry matematiky primitivní společnost ukazují, že věda ve svém vývoji nemusí nutně projít všemi fázemi, které nyní tvoří její učení. Teprve nedávno vědci věnovali náležitou pozornost některým z nejstarších geometrických tvarů, které lidstvo zná, jako jsou uzly nebo ozdoby. Na druhé straně některé elementárnější obory naší matematiky, jako je grafy nebo elementární statika, jsou poměrně nedávného původu. A. Speiser s jistou žíravostí poznamenal: „O pozdním původu elementární matematiky svědčí přinejmenším to, že zjevně tíhne k nudě – což je vlastnost, která je jí zjevně vlastní – zatímco kreativní matematik se bude vždy raději zabývat zajímavé a krásné problémy“ Kolmogorov A.N. Matematika // Velká ruská encyklopedie / Ed. B.A. Vvedensky.- M, 1998.- S.447. .

2. Původ matematiky na starověkém východě

2.1 Egypt

Počítání předmětů v nejranějších fázích vývoje kultury vedlo k vytvoření nejjednodušších pojmů aritmetiky přirozených čísel. Teprve na základě rozvinutého systému ústního počítání vznikají psané číselné soustavy a postupně se vyvíjejí metody pro provádění čtyř početních operací s přirozenými čísly (z nichž jen dělení představovalo po dlouhou dobu velké potíže). Potřeby měření (množství zrna, délka cesty atd.) vedou ke vzniku názvů a symbolů pro nejjednodušší zlomková čísla a k vývoji metod pro provádění početních operací se zlomky. Tímto způsobem se hromadil materiál, který se postupně zformoval do nejstarší matematické vědy - aritmetiky. Měření ploch a objemů, potřeby stavební technologie a o něco později - astronomie, způsobují rozvoj základů geometrie. Tyto procesy probíhaly mezi mnoha národy do značné míry nezávisle a paralelně. Zvláštní význam pro další vývoj věda měla nahromadění aritmetických a geometrických znalostí v Dr. Egypt a Babylon. V Babylonu se na základě rozvinuté techniky aritmetických výpočtů objevily i základy algebry a v souvislosti s požadavky astronomie základy trigonometrie.

Nejstarší dochované matematické texty Dr. Egypt, související s počátkem 2. tisíciletí př. Kr. e. sestávají především z příkladů řešení jednotlivých problémů a v lepším případě z receptů na jejich řešení, které lze někdy pochopit pouze rozborem číselných příkladů uvedených v textech; po těchto rozhodnutích často následuje kontrola odpovědi. Měli bychom mluvit o receptech na řešení určitých typů problémů, protože matematická teorie ve smyslu soustavy vzájemně propojených a obecně řečeno tak či onak osvědčených obecných teorémů zřejmě vůbec neexistovala. Svědčí o tom například to, že byla použita přesná řešení bez rozdílu od přibližných. Přesto samotná zásoba zjištěných matematických faktů byla v souladu s vysokou stavební technologií, složitostí pozemkových vztahů, potřebou přesného kalendáře atd. dosti velká. Podle papyru 1. patro. 2. tisíciletí před naším letopočtem Tehdejší stav egyptské matematiky lze charakterizovat následujícími pojmy. Po překonání obtíží operací s celými čísly založenými na nepoziční desítkové soustavě, jasně z příkladu.

Egypťané vytvořili zvláštní a poměrně složitý aparát pro práci se zlomky, který vyžadoval speciální pomocné tabulky. Hlavní roli v tom hrály operace zdvojování a dělení celých čísel a také zobrazování zlomků jako součtů zlomků jedné a navíc zlomků 2/3. Zdvojení a bifurkace jako zvláštní druh akce se prostřednictvím řady mezičlánků dostaly do Evropy středověku. Problémy byly systematicky řešeny najít neznámá čísla, která by se nyní zapsala jako rovnice o jedné neznámé. Geometrie byla zredukována na pravidla pro výpočet ploch a objemů. Správně byly vypočteny plochy trojúhelníku a lichoběžníku, objemy rovnoběžnostěnu a jehlanu se čtvercovou základnou. Nejvyšším známým úspěchem Egypťanů v tomto směru byl objev metody pro výpočet objemu komolého jehlanu se čtvercovou základnou, odpovídající vzorci

Pravidla pro výpočet plochy kruhu a objemů válce a kužele odpovídají někdy zhruba přibližné hodnotě čísla p = 3, někdy mnohem přesnější.

Přítomnost pravidla pro výpočet objemu komolého jehlanu, návod, jak vypočítat například plochu rovnoramenného lichoběžníku jeho převedením na obdélník stejné velikosti, a řada dalších okolností naznačuje, že formování matematického deduktivního myšlení bylo plánováno již v egyptské matematice. Samotné starověké papyry měly vzdělávací účel a plně neodrážely množství znalostí a metod egyptských matematiků. matematický zlomek

2.2 Babylon

Matematických textů, které umožňují posuzovat matematiku v Babylonu, je nesrovnatelně více než egyptských. Babylonské klínopisné matematické texty pokrývají období od počátku 2. tisíciletí před naším letopočtem. E. (období dynastie Hammurabi a Kassitů) před vznikem a rozvojem řecké matematiky. I první z těchto textů však patří k rozkvětu babylonské matematiky, další texty i přes přítomnost některých nových bodů svědčí celkově spíše o její stagnaci. Babyloňané z dynastie Hammurabi obdrželi ze sumerského období rozvinutý smíšený desítkový-hexadecimální systém číslování, který již obsahoval poziční princip se znaky pro 1 a 60, stejně jako pro 10 (stejné znaky označují stejný počet jednotek různých šestinemocných číslice). Například:

Sexagesimální frakce byly také označeny podobně. To umožnilo provádět akce s celými čísly a se šestinásobnými zlomky podle jednotných pravidel. Později se také objeví speciální znak označující nepřítomnost mezilehlých číslic v daném čísle. Dělení pomocí tabulek reciprokátů bylo zredukováno na násobení (tato technika se někdy vyskytuje v egyptských textech). V pozdějších textech je výpočet reciprokých jiných než 2 a , 3 b , 5 g , tzn. nevyjadřuje se konečným šestičetným zlomkem, někdy je dovedeno k osmému šestkovému znaku; je možné, že v tomto případě byla objevena periodicita takových zlomků; například v případě 1/7 . Kromě tabulek recipročních jsou to tabulky výrobků, čtverců, kostek atd. Velké množství hospodářských záznamů dokazuje široké využití všech těchto prostředků ve složité hospodářské palácové a chrámové činnosti. Výpočet úroků z dluhů byl také široce rozvinut. Existuje také řada textů z dynastie Hammurabi věnovaných řešení problémů, které jsou z moderního pohledu redukovány na rovnice prvního, druhého a dokonce třetího stupně. Problémy na kvadratických rovnicích vznikly pravděpodobně obrácením čistě praktických geometrických problémů, které v mnoha případech svědčí o výrazném rozvoji abstraktního matematického myšlení. Takový je například problém určení strany obdélníku podle jeho plochy a obvodu. Tento problém však nebyl redukován na tříčlennou kvadratickou rovnici, ale byl zřejmě vyřešen pomocí transformace, kterou bychom napsali (x+y)2=(x-y)2+4xy, což vede téměř okamžitě k soustavě dvou lineárních rovnice se dvěma neznámými. Další problém spojený s tzv. Pythagorovou větou, známou v Babylonu od starověku, určovat nohy podle přepony a plochy, představovala tříčlenná rovnice s jediným kladným kořenem. Úlohy jsou vybírány tak, aby kořeny byly vždy kladná celá čísla a z velké části stejné. To ukazuje, že dochované hliněné tabulky jsou vzdělávacími cvičeními; výuka byla zřejmě ústní. Ale Babyloňané znali i metody přibližného výpočtu odmocnina, například délka úhlopříčky čtverce s danou stranou. Algebraická složka babylonské matematiky byla tedy významná a dosáhla vysoké úrovně. Spolu s tím Babyloňané věděli, jak sčítat aritmetické posloupnosti, alespoň ty nejjednodušší konečné geometrické posloupnosti, a dokonce znali pravidlo pro sčítání postupných čtvercových čísel počínaje 1. Existuje předpoklad, že takové abstraktnější vědecké zájmy, neomezené na recept přímo nezbytný v praxi, ale vedoucí ke společnému algebraické metodyřešení problémů, vznikly ve „školách písařů“, kde se studenti připravovali na účetní a ekonomické činnosti. Texty tohoto druhu později mizí. Pak se ale technika počítání s vícecifernými čísly rozvíjí dále v souvislosti s vývojem v 1. tisíciletí před naším letopočtem. E. přesnější metody v astronomii. Na základě astronomie vznikají první rozsáhlé tabulky empiricky nalezených závislostí, ve kterých lze vidět prototyp myšlenky funkce. Babylonská matematická tradice klínového písma pokračuje v Asýrii, perském státě, a dokonce i do helénistické éry až do 1. století před naším letopočtem. PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. Z úspěchů babylonské matematiky v oblasti geometrie, které přesahovaly znalosti Egypťanů, je třeba poznamenat rozvinuté měření úhlů a některé základy trigonometrie, zjevně spojené s rozvojem astronomie; později se některé pravidelné mnohoúhelníky objevují v klínových textech vepsaných do kruhu.

Srovnáme-li matematické vědy Egypta a Babylonu z hlediska způsobu myšlení, pak nebude těžké prokázat jejich společné rysy, jako je autoritářství, nekritičnost, následování tradice a extrémně pomalý vývoj poznání. Tyto stejné rysy se nacházejí ve filozofii, mytologii, náboženství Východu. Jak o tom napsal E. Kolman, „na tomto místě, kde byla vůle despoty považována za zákon, nebylo místo pro přemýšlení, hledání příčin a ospravedlnění jevů, natož pro svobodnou diskusi“ Kolmogorov A.N. Matematika // Velká ruská encyklopedie / Ed. B.A. Vvedensky.- M, 1998.- S.447. .

Závěr

Jak již bylo zmíněno, matematika je věda o prostorových formách (geometrický aspekt) a kvantitativních poměrech (numerický aspekt) zkoumaných objektů. Zároveň abstrahuje od kvalitativní jistoty objektů, takže matematické výsledky jsou univerzální, použitelné na jakékoli objekty a jakékoli vědecké problémy. Číslo "20" může znamenat počet bazických aminokyselin (biochemie); stáří vesmíru, miliardy let (kosmologie); trvání geologické epochy, miliony let (geologie); lidský věk, roky (antropologie); počet zaměstnanců společnosti (vedení); počet neuronů v lidském mozku; miliardy (fyziologie); procento rentability výroby (ekonomika) atp. Právě pro univerzálnost její aplikace a také v souvislosti se studiem nejdůležitějších kvantitativních aspektů jakýchkoli procesů je role matematiky v pokroku všech věd mimořádně vysoká. To je již dlouho zřejmé předním vědcům.

Proto úroveň rozvoje jakékoli známé vědy může být stanovena především mírou využití matematiky v ní. Nemluvíme přitom jen o používání čísel (pak by se historie dala považovat za nejrozvinutější vědu), ale o úrovni matematizace konkrétních vědeckých úspěchů.

Domácí metodologové (Akchurin A.I.) rozlišují tři úrovně matematizace znalostí:

1. První (nejnižší) úroveň je využití matematiky při zpracování výsledků kvantitativních experimentů.

2. Druhou (střední) úrovní je vývoj teoretických a matematických modelů.

3. Třetí (nejvyšší) úrovní je vytvoření matematické teorie studovaných objektů.

Různé vědy, přírodní i humanitní, a dokonce i sekce jednotlivých věd mají různou úroveň matematizace:

1. Nejnižší úroveň je typická pro vědy, jako je právní věda, lingvistika (mimo matematické lingvistiky), historiografie, pedagogika, psychologie, sociologie a některé další.

2. Průměrná úroveň je typická pro takové vědy, jako je biofyzika, genetika, ekologie, vojenské vědy, ekonomie, management, geologie, chemie atd.

3. Nejvyšší úroveň je typická pro takové vědy, jako je astronomie, geodézie, fyzika (zejména mechanika, akustika, hydrodynamika, elektrodynamika, optika) ad.

Vědy, které v současnosti mají nejvyšší úroveň Matematizace se nazývá exaktní. Matematika samotná je samozřejmě také exaktní věda.

Takto, matematické modelování -- účinná metoda poznání, ale není použitelné ve všech vědách a jejich úsecích, ale pouze v těch, kde využití matematiky dostatečně pokročilo.

Bibliografie

1. Besov K. Dějiny vědy a techniky od nejstarších dob do konce dvacátého století.- M: UNITI, 1997.- S.14-16.

2. Kolmogorov A.N. Matematika // Velká ruská encyklopedie / Ed. B.A. Vvedensky.- M: TSB, 1998 .- S.446-449.

3. Koncepce moderních přírodních věd /Ed. S.I. Samygina.- Rostov na Donu: Phoenix, 1997 .- S.8-12.

4. Lipovko P.O. Koncepce moderní přírodní vědy - Rostov n/D: Phoenix, 2004 .- S.41-45.

5. Polikarpov V.S. Historie vědy a techniky - Rostov na Donu: Phoenix, 1999 .- S.56-59.

6. Stroyk D.Ya. Stručná esej o dějinách matematiky.- M: Hlavní redakční rada fyziky a matematiky, 1984.- S.21-53.

Hostováno na Allbest.ru

Podobné dokumenty

Studium historického vývoje matematiky v Ruské impérium v období 18.-19. století jako věda o kvantitativních vztazích a prostorových formách reálného světa. Analýza úrovně matematického vzdělání a jeho vývoje ruskými vědci.

abstrakt, přidáno 26.01.2012


Pozadí vzniku matematiky ve starověkém Egyptě. Úkoly pro výpočet "aha". Věda starých Egypťanů. Problém z Rhindského papyru. Geometrie ve starověkém Egyptě. Výroky velkých vědců o důležitosti matematiky. Význam egyptské matematiky v naší době.

abstrakt, přidáno 24.05.2012


Vznik a hlavní etapy ve vývoji matematiky jako vědy o strukturách, řádu a vztazích založených na operacích počítání, měření a popisu podob reálných objektů. Rozvoj znalostí aritmetiky a geometrie na starověkém východě, Babylonu a starověkém Řecku.

prezentace, přidáno 17.12.2010


Studium vzniku matematiky a využití matematických metod ve staré Číně. Zvláštnosti čínských úloh v numerickém řešení rovnic a geometrických úloh vedoucích k rovnicím třetího stupně. Vynikající matematici starověké Číny.

abstrakt, přidáno 09.11.2010


Obecná charakteristika matematické kultury starověkých civilizací. Hlavní chronologická období vzniku a vývoje matematiky. Rysy matematiky v Egyptě, Babylonu, Indii a Číně ve starověku. Matematická kultura indiánů Mezoameriky.

prezentace, přidáno 20.09.2015


Historie vzniku matematiky jako vědy. Období elementární matematiky. Období vzniku matematiky proměnných. Tvorba analytické geometrie, diferenciálního a integrálního počtu. Vývoj matematiky v Rusku v XVIII-XIX století.

abstrakt, přidáno 09.10.2008


Rysy vzniku a použití zlomků v Egyptě. Rysy použití šestinemocných zlomků v Babylonu, řečtí a arabští matematici a astronomové. Charakteristické rysy zlomky v Starověký Řím a Rus. Zlomková čísla v moderním světě.

prezentace, přidáno 29.04.2014


Práce je věnována významu matematiky, její cti mezi různými vědeckými galeriemi. Іnformatsija, jaka dopomozhe zatsіkaviti uchnіv ve vyvchenni matematice. Etapi vývoj matematiky. Filosofie počtu Pythagorejců. Matematické vzorce ve fyzice, chemii, psychologii.

semestrální práce, přidáno 9.12.2009


Období zrodu matematiky (do 7.-5. století př. Kr.). Matematický čas konstanty(VII-V století před naším letopočtem - XVII století našeho letopočtu). Matematika proměnných (XVII-XIX století). Moderní období rozvoje matematiky. Vlastnosti počítačové matematiky.

prezentace, přidáno 20.09.2015


Řecká matematika. Středověk a renesance. Počátky moderní matematiky. Moderní matematika. Matematika není založena na logice, ale na zdravé intuici. Problémy základů matematiky jsou filozofické.

Matematika začíná aritmetikou. S aritmetikou vstupujeme, jak řekl M. V. Lomonosov, do „brán učení“.

Slovo „aritmetika“ pochází z řeckého aritmos, což znamená „číslo“. Tato věda studuje operace s čísly, různá pravidla pro manipulaci s nimi, naučí vás řešit problémy, které se scvrkají na sčítání, odčítání, násobení a dělení čísel. Aritmetika je často představována jako nějaký první krok v matematice, na základě kterého je možné studovat její složitější úseky – algebru, matematickou analýzu atd.Aritmetika pochází ze zemí starověkého východu: Babylon, Čína, Indie, Egypt. Například egyptský papyrus Rinda (pojmenovaný podle svého majitele G. Rinda) pochází z 20. století. před naším letopočtem E.

Poklady matematických znalostí nashromážděné v zemích starověkého východu rozvinuli a pokračovali vědci starověkého Řecka. Historie nám zachovala mnoho jmen vědců zabývajících se aritmetikou ve starověkém světě - Anaxagoras a Zeno, Euclid, Archimedes, Eratosthenes a Diophantus. Jméno Pythagoras (VI. století př. n. l.) zde září jako jasná hvězda. Pythagorejci uctívali čísla a věřili, že obsahují veškerou harmonii světa. Jednotlivým číslům a dvojicím čísel byly přiřazeny speciální vlastnosti. Čísla 7 a 36 byla ve velké úctě, zároveň se dbalo na tzv. perfektní čísla, přátelská čísla atp.

Ve středověku je rozvoj aritmetiky spojen také s Východem: Indií, zeměmi arabského světa a Střední Asií. Od Indů k nám přišla čísla, která používáme, nula a poziční číselný systém; z al-Kashi (XV století), Ulugbek - desetinné zlomky.

Díky rozvoji obchodu a vlivu orientální kultury od XIII. rostoucí zájem o aritmetiku v Evropě. Měli bychom si pamatovat jméno italského vědce Leonarda z Pisy (Fibonacci), jehož dílo „Kniha počítadla“ představilo Evropanům hlavní úspěchy matematiky Východu a bylo začátkem mnoha studií aritmetiky a algebry.

Spolu s vynálezem tisku (polovina 15. století) se objevily první tištěné matematické knihy. První tištěná kniha o aritmetice vyšla v Itálii v roce 1478. Kompletní aritmetika od německého matematika M. Stiefela (začátek 16. století) již obsahuje záporná čísla a dokonce i myšlenku logaritmu.

Kolem 16. stol vývoj čistě aritmetických otázek přešel do hlavního proudu algebry, jako významný milník lze zaznamenat vzhled prací francouzského vědce F. Viety, v nichž jsou čísla označena písmeny. Od té doby jsou základní aritmetická pravidla plně pochopena z hlediska algebry.

Základním předmětem aritmetiky je číslo. Přirozená čísla, tzn. čísla 1, 2, 3, 4, ... atd., vznikla počítáním konkrétních položek. Uplynulo mnoho tisíciletí, než se člověk dozvěděl, že dva bažanti, dvě ruce, dva lidé atd. lze nazvat stejným slovem „dva“. Důležitým úkolem aritmetiky je naučit se překonávat konkrétní význam jmen počítaných předmětů, odvádět pozornost od jejich tvaru, velikosti, barvy atd. V aritmetice se čísla sčítají, odčítají, násobí a dělí. Umění rychle a přesně provádět tyto operace na libovolných číslech bylo dlouho považováno za nejdůležitější úkol aritmetiky.Aritmetické operace s čísly mají různé vlastnosti. Tyto vlastnosti lze popsat slovy, například: „Součet se nemění od změny míst výrazů“, lze zapsat písmeny: a + b \u003d b + a, lze vyjádřit speciálními výrazy.

Mezi důležité pojmy zavedené aritmetikou je třeba poznamenat proporce a procenta. Většina konceptů a metod aritmetiky je založena na porovnávání různých vztahů mezi čísly. V dějinách matematiky probíhal proces slučování aritmetiky a geometrie po mnoho staletí.

Slovo "aritmetika" lze chápat jako:

akademický předmět zabývající se především racionálními čísly (celými čísly a zlomky), operacemi s nimi a problémy řešenými pomocí těchto operací;


část historické budovy matematiky, která nashromáždila různé informace o výpočtech;


"teoretická aritmetika" - část moderní matematiky, která se zabývá konstrukcí různých číselných systémů (přirozená, celočíselná, racionální, reálná, komplexní čísla a jejich zobecnění);


"formální aritmetika" - část matematické logiky, která se zabývá analýzou axiomatické teorie aritmetiky;


„vyšší aritmetika“, neboli teorie čísel, samostatně se rozvíjející část matematiky a

/Encyklopedický slovník mladého matematika, 1989/