Fakt 1.
\(\bullet\) Vezměte nějaké nezáporné číslo \(a\) (tj. \(a\geqslant 0\) ). Potom (aritmetika) odmocnina z čísla \(a\) se nazývá takové nezáporné číslo \(b\), při jeho umocnění dostaneme číslo \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(stejné jako )\quad a=b^2\] Z definice vyplývá, že \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Tato omezení jsou důležitou podmínkou existence odmocniny a je třeba si je pamatovat!
Připomeňme si, že každé číslo při druhé mocnině dává nezáporný výsledek. To znamená, \(100^2=10000\geqslant 0\) a \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Co je \(\sqrt(25)\) ? Víme, že \(5^2=25\) a \((-5)^2=25\) . Protože podle definice musíme najít nezáporné číslo, \(-5\) není vhodné, proto \(\sqrt(25)=5\) (protože \(25=5^2\) ).
Nalezení hodnoty \(\sqrt a\) se nazývá převzetí druhé odmocniny čísla \(a\) a číslo \(a\) se nazývá kořenový výraz.
\(\bullet\) Na základě definice jsou výrazy \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) atd. nedávají smysl.

Fakt 2.
Pro rychlé výpočty bude užitečné naučit se tabulku druhých mocnin přirozených čísel od \(1\) do \(20\) : \[\begin(pole)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(pole)\]

Fakt 3.
Co lze dělat s odmocninami?
\(\kulka\) Součet nebo rozdíl odmocnin NENÍ ROVNOUT druhé odmocnině součtu nebo rozdílu, tzn. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Pokud tedy potřebujete vypočítat například \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , pak nejprve musíte najít hodnoty \(\sqrt(25)\) a \(\sqrt (49)\ ) a poté je sečtěte. Tudíž, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Pokud při přidávání \(\sqrt a+\sqrt b\) nelze najít hodnoty \(\sqrt a\) nebo \(\sqrt b\), pak se takový výraz dále nepřevádí a zůstane tak, jak je. Například v součtu \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) můžeme najít \(\sqrt(49)\) - to je \(7\) , ale \(\sqrt 2\) nemůže být přeměněn jakýmkoli způsobem, proto \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Dále tento výraz bohužel nelze nijak zjednodušit.\(\bullet\) Součin/podíl odmocnin je roven druhé odmocnině součinu/podílu, tzn. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (za předpokladu, že obě části rovnosti dávají smysl)
Příklad: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Pomocí těchto vlastností je vhodné najít druhé odmocniny velkých čísel jejich rozkladem.
Zvažte příklad. Najděte \(\sqrt(44100)\) . Od \(44100:100=441\) , pak \(44100=100\cdot 441\) . Podle kritéria dělitelnosti je číslo \(441\) dělitelné \(9\) (protože součet jeho číslic je 9 a je dělitelný 9), proto \(441:9=49\) , tedy \(441=9\ cdot 49\) .
Tak jsme dostali: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Podívejme se na další příklad: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Ukažme si, jak zadávat čísla pod odmocninu na příkladu výrazu \(5\sqrt2\) (zkratka pro výraz \(5\cdot \sqrt2\) ). Protože \(5=\sqrt(25)\) , tak \ Všimněte si také, že např.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

proč tomu tak je? Vysvětlíme na příkladu 1). Jak jste již pochopili, nemůžeme nějak převést číslo \(\sqrt2\) . Představte si, že \(\sqrt2\) je nějaké číslo \(a\) . V souladu s tím výraz \(\sqrt2+3\sqrt2\) není nic jiného než \(a+3a\) (jedno číslo \(a\) plus tři další stejná čísla \(a\) ). A víme, že se to rovná čtyřem takovým číslům \(a\) , tedy \(4\sqrt2\) .

Fakt 4.
\(\bullet\) Často se říká „nelze extrahovat kořen“, když při hledání hodnoty nějakého čísla není možné se zbavit znaménka \(\sqrt () \ \) kořene (radikálu). Například můžete odmocnit číslo \(16\), protože \(16=4^2\) , takže \(\sqrt(16)=4\) . Ale extrahovat odmocninu z čísla \(3\) , tedy najít \(\sqrt3\) , je nemožné, protože neexistuje žádné takové číslo, které by na druhou dalo \(3\) .
Taková čísla (nebo výrazy s takovými čísly) jsou iracionální. Například čísla \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) atd. jsou iracionální.
Iracionální jsou také čísla \(\pi\) (číslo „pi“, přibližně rovné \(3,14\) ), \(e\) (toto číslo se nazývá Eulerovo číslo, přibližně rovné \(2) ,7\) ) atd.
\(\bullet\) Upozorňujeme, že jakékoli číslo bude buď racionální, nebo iracionální. A dohromady všechna racionální a všechna iracionální čísla tvoří množinu tzv množina reálných (reálných) čísel. Tato množina je označena písmenem \(\mathbb(R)\) .
To znamená, že všechna čísla, která v současnosti známe, se nazývají reálná čísla.

Fakt 5.
\(\bullet\) Modul reálného čísla \(a\) je nezáporné číslo \(|a|\) rovné vzdálenosti od bodu \(a\) do \(0\) na reálném čára. Například \(|3|\) a \(|-3|\) se rovnají 3, protože vzdálenosti od bodů \(3\) a \(-3\) do \(0\) jsou stejné a rovné \(3 \) .
\(\bullet\) Jestliže \(a\) je nezáporné číslo, pak \(|a|=a\) .
Příklad: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Jestliže \(a\) je záporné číslo, pak \(|a|=-a\) .
Příklad: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Říkají, že pro záporná čísla modul „sežere“ mínus a kladná čísla, stejně jako číslo \(0\) , modul ponechá beze změny.
ALE toto pravidlo platí pouze pro čísla. Pokud máte pod znakem modulu neznámou \(x\) (nebo jinou neznámou), například \(|x|\) , o které nevíme, zda je kladná, rovna nule nebo záporná, pak zbavit se modulu nemůžeme. V tomto případě tento výraz zůstane takto: \(|x|\) . \(\bullet\) Platí následující vzorce: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(poskytováno) a\geqslant 0\]Často se dělá následující chyba: říkají, že \(\sqrt(a^2)\) a \((\sqrt a)^2\) jsou totéž. To platí pouze v případě, že \(a\) je kladné číslo nebo nula. Ale pokud je \(a\) záporné číslo, pak to není pravda. Stačí vzít v úvahu takový příklad. Vezměme číslo \(-1\) místo \(a\). Potom \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ale výraz \((\sqrt (-1))^2\) vůbec neexistuje (protože je není možné pod kořenové znaménko vkládat záporná čísla!).
Proto upozorňujeme na skutečnost, že \(\sqrt(a^2)\) se nerovná \((\sqrt a)^2\) ! Příklad: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), protože \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Protože \(\sqrt(a^2)=|a|\) , pak \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (výraz \(2n\) označuje sudé číslo)
To znamená, že při extrakci odmocniny z čísla, které je v určitém stupni, je tento stupeň poloviční.
Příklad:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (všimněte si, že pokud modul není nastaven, pak se ukáže, že kořen čísla je roven \(-25 \) ; ale pamatujeme si , což podle definice kořene nemůže být: při extrakci kořene bychom měli vždy dostat kladné číslo nebo nulu)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (protože jakékoli číslo na sudou mocninu není záporné)

Fakt 6.
Jak porovnat dvě odmocniny?
\(\bullet\) Platí pro odmocniny: pokud \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aPříklad:
1) porovnejte \(\sqrt(50)\) a \(6\sqrt2\) . Nejprve transformujeme druhý výraz na \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Takže od \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Mezi kterými celými čísly je \(\sqrt(50)\) ?
Protože \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) a \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Porovnejte \(\sqrt 2-1\) a \(0,5\) . Předpokládejme \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(zarovnáno) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((přidejte jednu na obě strany))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((oba části čtverec)\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(zarovnáno)\] Vidíme, že jsme dostali nesprávnou nerovnost. Náš předpoklad byl proto chybný a \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Všimněte si, že přidání určitého čísla na obě strany nerovnosti neovlivní její znaménko. Vynásobení/dělení obou částí nerovnosti kladným číslem také neovlivní její znaménko, ale vynásobení/dělení záporným číslem znaménko nerovnosti obrátí!
Obě strany rovnice/nerovnice lze odmocnit POUZE POKUD jsou obě strany nezáporné. Například v nerovnosti z předchozího příkladu můžete odmocnit obě strany, v nerovnosti \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Všimněte si toho \[\začátek(zarovnáno) &\sqrt 2\přibližně 1,4\\ &\sqrt 3\přibližně 1,7 \konec (zarovnáno)\] Znalost přibližného významu těchto čísel vám pomůže při porovnávání čísel! \(\bullet\) Abyste mohli extrahovat odmocninu (pokud je extrahována) z nějakého velkého čísla, které není v tabulce čtverců, musíte nejprve určit, mezi kterými „stovkami“ to je, pak mezi kterými „desítky“, a pak určit poslední číslici tohoto čísla. Ukažme si, jak to funguje na příkladu.
Vezměte \(\sqrt(28224)\) . Víme, že \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) a tak dále. Všimněte si, že \(28224\) je mezi \(10\,000\) a \(40\,000\) . Proto je \(\sqrt(28224)\) mezi \(100\) a \(200\) .
Nyní určíme, mezi kterými „desítkami“ je naše číslo (tedy například mezi \(120\) a \(130\) ). Z tabulky čtverců také víme, že \(11^2=121\) , \(12^2=144\) atd., pak \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ), \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Vidíme tedy, že \(28224\) je mezi \(160^2\) a \(170^2\) . Proto je číslo \(\sqrt(28224)\) mezi \(160\) a \(170\) .
Zkusme určit poslední číslici. Připomeňme si, jaká jednociferná čísla při umocnění dávají na konci \ (4 \) ? Jsou to \(2^2\) a \(8^2\) . Proto \(\sqrt(28224)\) skončí buď 2, nebo 8. Pojďme to zkontrolovat. Najděte \(162^2\) a \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Proto \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

K adekvátnímu vyřešení zkoušky z matematiky je nutné nejprve prostudovat teoretický materiál, který zavádí četné věty, vzorce, algoritmy atd. Na první pohled se může zdát, že je to docela jednoduché. Najít zdroj, ve kterém by byla teorie pro Jednotnou státní zkoušku z matematiky prezentována snadno a srozumitelně pro studenty jakékoli úrovně vzdělání, je však ve skutečnosti poměrně obtížný úkol. Školní učebnice nelze mít vždy po ruce. A najít základní vzorce ke zkoušce z matematiky může být obtížné i na internetu.

Proč je tak důležité studovat teorii v matematice nejen pro ty, kdo skládají zkoušku?

1. Protože vám to rozšíří obzory. Studium teoretického materiálu v matematice je užitečné pro každého, kdo chce získat odpovědi na širokou škálu otázek souvisejících s poznáním světa. Vše v přírodě je uspořádané a má jasnou logiku. Právě to se odráží ve vědě, jejímž prostřednictvím je možné porozumět světu.
2. Protože rozvíjí intelekt. Studiem referenčních materiálů pro zkoušku z matematiky a řešením různých problémů se člověk učí logicky myslet a uvažovat, správně a jasně formulovat myšlenky. Rozvíjí schopnost analyzovat, zobecňovat, vyvozovat závěry.

Zveme vás k osobnímu posouzení všech výhod našeho přístupu k systematizaci a prezentaci vzdělávacích materiálů.

Studenti se vždy ptají: „Proč nemůžu u zkoušky z matematiky použít kalkulačku? Jak extrahovat druhou odmocninu čísla bez kalkulačky? Pokusme se na tuto otázku odpovědět.

Jak extrahovat druhou odmocninu z čísla bez pomoci kalkulačky?

Akce extrakce druhé odmocniny opak kvadratury.

√81= 9 9 2 =81

Pokud vezmeme druhou odmocninu kladného čísla a výsledek odmocníme, dostaneme stejné číslo.

Z malých čísel, která jsou přesnými druhými mocninami přirozených čísel, například 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, lze odmocniny získat slovně. Obvykle se ve škole učí tabulku druhých mocnin přirozených čísel do dvaceti. Se znalostí této tabulky je snadné extrahovat odmocniny z čísel 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Z čísel větších než 400 můžete extrahovat pomocí metody výběru pomocí několika tipů. Zkusme na příkladu zvážit tuto metodu.

Příklad: Vytáhněte odmocninu čísla 676.

Všimli jsme si, že 20 2 \u003d 400 a 30 2 \u003d 900, což znamená 20< √676 < 900.

Přesné druhé mocniny přirozených čísel končí nulou; jeden; čtyři; 5; 6; 9.
Číslo 6 je dáno 4 2 a 6 2 .
Pokud je tedy odmocnina převzata z 676, pak je buď 24, nebo 26.

Zbývá zkontrolovat: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Odpovědět: √676 = 26 .

Více příklad: √6889 .

Od 80 2 \u003d 6400 a 90 2 \u003d 8100, poté 80< √6889 < 90.
Číslo 9 je dáno 3 2 a 7 2, pak √6889 je buď 83 nebo 87.

Kontrola: 83 2 = 6889.

Odpovědět: √6889 = 83 .

Pokud zjistíte, že je to obtížné vyřešit metodou výběru, můžete rozložit kořenový výraz.

Například, najít √893025.

Rozložme číslo 893025, pamatujte, dělal jste to v šesté třídě.

Dostaneme: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Více příklad: √20736. Rozložme číslo 20736 na faktor:

Dostaneme √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Faktoring samozřejmě vyžaduje znalost kritérií dělitelnosti a faktoringové dovednosti.

A konečně existuje pravidlo odmocniny. Podívejme se na toto pravidlo na příkladu.

Vypočítejte √279841.

Abychom extrahovali odmocninu vícemístného celého čísla, rozdělíme jej zprava doleva na plochy obsahující 2 číslice (v levé krajní ploše může být jedna číslice). Napište takto 27'98'41

Abychom získali první číslici odmocniny (5), vyjmeme druhou odmocninu největšího přesného čtverce obsaženého v první levé ploše (27).
Potom se druhá mocnina první číslice odmocniny (25) odečte od první plochy a další plocha (98) se připíše (zničí) rozdílu.
Nalevo od výsledného čísla 298 zapíšou dvojcifernou odmocninu (10), vydělí jím počet všech desítek dříve získaného čísla (29/2 ≈ 2), zažijí podíl (102 ∙ 2 = 204 by nemělo být větší než 298) a za první číslici kořene napište (2).
Potom je výsledný kvocient 204 odečten od 298 a další faseta (41) je připsána (demolována) rozdílu (94).
Vlevo od výsledného čísla 9441 zapíší dvojitý součin číslic odmocniny (52 ∙ 2 = 104), vydělí tímto součinem počet všech desítek čísla 9441 (944/104 ≈ 9), zkušenost podíl (1049 ∙ 9 = 9441) by měl být 9441 a zapsat jej (9) za druhou číslici odmocniny.

Dostali jsme odpověď √279841 = 529.

Podobně extrahujte kořeny desetinných míst. Pouze radikální číslo musí být rozděleno na tváře tak, aby čárka byla mezi tvářemi.

Příklad. Najděte hodnotu √0,00956484.

Jen si pamatujte, že pokud má desetinný zlomek lichý počet desetinných míst, odmocnina z něj není přesně extrahována.

Takže teď jste viděli tři způsoby, jak extrahovat kořen. Vyberte si ten, který vám nejlépe vyhovuje a cvičte. Abyste se naučili řešit problémy, musíte je vyřešit. A pokud máte nějaké dotazy, přihlaste se na mé lekce.

stránky, s úplným nebo částečným zkopírováním materiálu, je vyžadován odkaz na zdroj.

Při řešení různých úloh z předmětu matematiky a fyziky se žáci a studenti často potýkají s potřebou vytáhnout kořeny druhého, třetího nebo n-tého stupně. Samozřejmě ve století informační technologie Nebude těžké vyřešit takový problém pomocí kalkulačky. Existují však situace, kdy není možné použít elektronického asistenta.

Na mnohé zkoušky je například zakázáno nosit elektroniku. Navíc nemusí být po ruce kalkulačka. V takových případech je užitečné znát alespoň některé metody ručního výpočtu radikálů.

Jedním z nejjednodušších způsobů výpočtu kořenů je pomocí speciální tabulky. Co to je a jak to správně používat?

Pomocí tabulky můžete najít druhou mocninu libovolného čísla od 10 do 99. Řádky tabulky zároveň obsahují hodnoty v desítkách a sloupce obsahují hodnoty jednotek. Buňka na průsečíku řádku a sloupce obsahuje čtverec dvoumístné číslo. Abyste mohli vypočítat druhou mocninu 63, musíte najít řádek s hodnotou 6 a sloupec s hodnotou 3. Na průsečíku najdeme buňku s číslem 3969.

Protože extrahování odmocniny je inverzní operace kvadratury, k provedení této akce musíte udělat opak: nejprve najděte buňku s číslem, jehož radikál chcete vypočítat, a poté určete odpověď z hodnot sloupců a řádků. Jako příklad zvažte výpočet druhé odmocniny ze 169.

V tabulce najdeme buňku s tímto číslem, vodorovně určíme desítky - 1, svisle najdeme jedničky - 3. Odpověď: √169 = 13.

Podobně můžete vypočítat kořeny kubického a n-tého stupně pomocí příslušných tabulek.

Výhodou metody je její jednoduchost a absence dalších výpočtů. Nevýhody jsou zřejmé: metodu lze použít pouze pro omezený rozsah čísel (číslo, pro které je nalezen kořen, musí být mezi 100 a 9801). Navíc to nepůjde, pokud dané číslo není v tabulce.

Prvočíselný rozklad

Pokud není tabulka čtverců po ruce nebo s její pomocí nebylo možné najít kořen, můžete to zkusit rozložit číslo pod odmocninou na prvočinitele. Prvořadé faktory jsou ty, které lze zcela (beze zbytku) rozdělit pouze samy sebou nebo jedním. Příklady mohou být 2, 3, 5, 7, 11, 13 atd.

Zvažte výpočet odmocniny pomocí příkladu √576. Pojďme si to rozložit na jednoduché faktory. Dostaneme následující výsledek: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Pomocí hlavní vlastnosti kořenů √a² = a se zbavíme odmocnin a druhých mocnin, načež vypočítáme odpověď: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

Co dělat, když některý z faktorů nemá svůj vlastní pár? Zvažte například výpočet √54. Po faktoringu dostaneme výsledek v následujícím tvaru: Neodnímatelnou část lze ponechat pod kořenem. U většiny úloh z geometrie a algebry bude taková odpověď považována za konečnou. Ale pokud je potřeba vypočítat přibližné hodnoty, můžete použít metody, které budou diskutovány později.

Heronova metoda

Co dělat, když potřebujete alespoň přibližně vědět, co je extrahovaný kořen (pokud nelze získat celočíselnou hodnotu)? Aplikací Heronovy metody se dosáhne rychlého a poměrně přesného výsledku.. Jeho podstata spočívá v použití přibližného vzorce:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

kde R je číslo, jehož kořen se má vypočítat, a je nejbližší číslo, jehož kořenová hodnota je známa.

Pojďme se podívat, jak metoda funguje v praxi a zhodnotit, jak je přesná. Spočítejme, čemu se rovná √111. Nejbližší číslo k 111, jehož kořen je znám, je 121. Tedy R = 111, a = 121. Dosaďte hodnoty ve vzorci:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Nyní zkontrolujeme správnost metody:

10,55² = 111,3025.

Chyba metody byla přibližně 0,3. Pokud je třeba zlepšit přesnost metody, můžete zopakovat kroky popsané výše:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Zkontrolujeme správnost výpočtu:

10,536² = 111,0073.

Po opakované aplikaci vzorce se chyba stala zcela nevýznamnou.

Výpočet kořene rozdělením do sloupce

Tento způsob zjištění hodnoty druhé odmocniny je o něco složitější než předchozí. Je však nejpřesnější mezi ostatními výpočetními metodami bez kalkulačky..

Řekněme, že potřebujete najít druhou odmocninu s přesností na 4 desetinná místa. Analyzujme výpočetní algoritmus na příkladu libovolného čísla 1308.1912.

1. List papíru rozdělte svislou čárou na 2 části a poté z ní nakreslete další čáru vpravo, mírně pod horní okraj. Číslo zapíšeme na levou stranu, rozdělíme ho do skupin po 2 číslicích, posuneme se doprava a doleva od desetinné čárky. Úplně první číslice vlevo může být bez páru. Pokud na pravé straně čísla chybí znaménko, měla by se přidat 0. V našem případě dostaneme 13 08.19 12.
2. Vyberme největší číslo, jehož druhá mocnina bude menší nebo rovna první skupině číslic. V našem případě je to 3. Napíšeme to vpravo nahoře; 3 je první číslice výsledku. Vpravo dole označujeme 3 × 3 = 9; to bude potřeba pro další výpočty. Odečtením 9 od 13 ve sloupci dostaneme zbytek 4.
3. Přidejme další dvojici čísel ke zbytku 4; dostaneme 408.
4. Vynásobte číslo vpravo nahoře 2 a napište ho vpravo dole a přidejte k němu _ x _ =. Dostaneme 6_ x _ =.
5. Místo pomlček je třeba nahradit stejné číslo, menší nebo rovné 408. Dostaneme 66 × 6 \u003d 396. Napíšeme 6 vpravo nahoře, protože toto je druhá číslice výsledku. Odečteme 396 od 408, dostaneme 12.
6. Opakujeme kroky 3-6. Protože čísla nesená dolů jsou ve zlomkové části čísla, je nutné za 6 vpravo nahoře umístit desetinnou čárku. Zdvojený výsledek zapišme pomlčkami: 72_ x _ =. Vhodné číslo by bylo 1: 721 × 1 = 721. Zapišme si to jako odpověď. Odečteme 1219 - 721 = 498.
7. Proveďme sekvenci akcí uvedenou v předchozím odstavci ještě třikrát, abychom získali požadovaný počet desetinných míst. Pokud není dostatek znamének pro další výpočty, je třeba k aktuálnímu číslu vlevo přidat dvě nuly.

V důsledku toho dostaneme odpověď: √1308.1912 ≈ 36.1689. Pokud akci zkontrolujete pomocí kalkulačky, můžete se ujistit, že všechny znaky byly určeny správně.

Bitový výpočet hodnoty druhé odmocniny

Metoda je vysoce přesná. Kromě toho je to zcela srozumitelné a nevyžaduje zapamatování vzorců ani složitý algoritmus akcí, protože podstatou metody je vybrat správný výsledek.

Vyberme kořen z čísla 781. Zvažme podrobně posloupnost akcí.

1. Zjistěte, která číslice hodnoty druhé odmocniny bude nejvyšší. K tomu umocněme 0, 10, 100, 1000 atd. a zjistíme, mezi kterými z nich se nachází kořenové číslo. Dostáváme těch 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Vezměme si hodnotu desítek. K tomu se budeme střídavě zvyšovat na 10, 20, ..., 90, dokud nedostaneme číslo větší než 781. V našem případě dostaneme 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Hodnota výsledku n bude do 20< n <30.
3. Podobně jako v předchozím kroku se volí hodnota číslice jednotek. Střídavě odmocňujeme 21,22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784.< n < 28.
4. Každá následující číslice (desetiny, setiny atd.) se počítá stejným způsobem, jak je uvedeno výše. Výpočty se provádějí, dokud není dosaženo požadované přesnosti.

Extrahování kořene z velkého počtu. Drazí přátelé!V tomto článku vám ukážeme, jak odmocnit velké číslo bez kalkulačky. To je nezbytné nejen pro řešení určitých typů úloh USE (takové úlohy pro pohyb existují), ale je také žádoucí znát tuto analytickou techniku ​​pro obecný matematický rozvoj.

Zdálo by se, že vše je jednoduché: faktorizovat a extrahovat. Žádný problém. Například číslo 291600 po rozbalení poskytne produktu:

Vypočítáme:

Je tu jedno ALE! Metoda je dobrá, pokud lze snadno určit dělitele 2, 3, 4 a tak dále. Ale co když číslo, ze kterého extrahujeme odmocninu, je součinem prvočísel? Například 152881 je součin čísel 17, 17, 23, 23. Zkuste tyto dělitele hned najít.

Podstata metody, kterou zvažujeme- toto je čistá analýza. Kořen s nashromážděnou dovedností je rychle nalezen. Pokud dovednost není propracovaná, ale přístup je jednoduše pochopen, pak je trochu pomalejší, ale stále odhodlaný.

Vezměme kořeny roku 190969.

Nejprve určíme, mezi jakými čísly (násobky sta) náš výsledek leží.

Je zřejmé, že výsledek odmocniny daného čísla leží v rozsahu od 400 do 500, protože

400 2 = 160 000 a 500 2 = 250 000

Opravdu:

uprostřed, blíž k 160 000 nebo 250 000?

Číslo 190969 je někde uprostřed, ale stále blíže k 160 000. Můžeme usoudit, že výsledek našeho odmocniny bude menší než 450. Zkontrolujeme:

Ve skutečnosti je to méně než 450, od 190 969< 202 500.

Nyní se podívejme na číslo 440:

Takže náš výsledek je menší než 440, od 190 969 < 193 600.

Kontrola čísla 430:

Zjistili jsme, že výsledek tohoto kořene leží v rozsahu od 430 do 440.

Součin čísel končících na 1 nebo 9 dává číslo končící na 1. Například 21 krát 21 se rovná 441.

Součin čísel končících na 2 nebo 8 dává číslo končící na 4. Například 18 krát 18 se rovná 324.

Součin čísel končících na 5 dává číslo končící na 5. Například 25 krát 25 se rovná 625.

Součin čísel končících na 4 nebo 6 dává číslo končící na 6. Například 26 krát 26 se rovná 676.

Součin čísel končících na 3 nebo 7 dává číslo končící na 9. Například 17 krát 17 se rovná 289.

Protože číslo 190969 končí číslem 9, pak je tento produkt buď 433 nebo 437.

*Pouze oni, když jsou na druhou, mohou dát na konci 9.

Kontrolujeme:

Takže výsledek kořene bude 437.

To znamená, že jsme tak trochu „cítili“ správnou odpověď.

Jak vidíte, maximum, co je potřeba, je provést 5 akcí ve sloupci. Možná se okamžitě dostanete k věci, nebo uděláte jen tři akce. Vše závisí na tom, jak přesně provedete počáteční odhad počtu.

Extrahujte svůj vlastní kořen z 148996

V problému se získá takový diskriminant:

Motorová loď proplouvá podél řeky do cíle 336 km a po zaparkování se vrací do výchozího místa. Najděte rychlost lodi ve stojaté vodě, pokud je rychlost proudu 5 km / h, parkování trvá 10 hodin a loď se vrátí do místa odjezdu 48 hodin po opuštění. Uveďte svou odpověď v km/h.

Zobrazit řešení

Výsledek odmocniny je mezi čísly 300 a 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

Opravdu 90 000<148996<160000.

Podstatou další úvahy je určit, jak se číslo 148996 nachází (vzdáleno) vzhledem k těmto číslům.

Vypočítejte rozdíly 148996 - 90000=58996 a 160000 - 148996=11004.

Ukazuje se, že 148996 se blíží (mnohem blíže) 160000. Výsledek kořene tedy bude určitě větší než 350 a dokonce i 360.

Můžeme dojít k závěru, že náš výsledek je větší než 370. Dále je to jasné: protože 148996 končí číslem 6, znamená to, že musíte odmocnit číslo končící na 4 nebo 6. *Pouze tato čísla, když se odmocní, uvedou konec 6.

S pozdravem Alexander Krutitskikh.

P.S: Byl bych vděčný, kdybyste o webu řekli na sociálních sítích.