Řešení diferenciálních rovnic. Díky našim služba online můžete řešit diferenciální rovnice jakéhokoli druhu a složitosti: nehomogenní, homogenní, nelineární, lineární, prvního, druhého řádu, s nebo bez separovatelných proměnných atd. Získáte řešení diferenciálních rovnic v analytické podobě s Detailní popis. Mnohé zajímá: proč je nutné řešit diferenciální rovnice online? Tento typ rovnic je velmi běžný v matematice a fyzice, kde nebude možné vyřešit mnoho problémů bez výpočtu diferenciální rovnice. Také diferenciální rovnice jsou běžné v ekonomii, medicíně, biologii, chemii a dalších vědách. Řešení takové rovnice online výrazně usnadňuje vaše úkoly, umožňuje lépe porozumět materiálu a otestovat se. Výhody řešení diferenciálních rovnic online. Moderní stránka matematických služeb umožňuje online řešení diferenciálních rovnic jakékoli složitosti. Jak víte, existuje velké množství typů diferenciálních rovnic a každá z nich má svá vlastní řešení. Na naší službě najdete online řešení diferenciálních rovnic libovolného řádu a typu. Chcete-li získat řešení, doporučujeme vyplnit počáteční údaje a kliknout na tlačítko "Řešení". Chyby ve fungování služby jsou vyloučeny, takže si můžete být 100% jisti, že jste obdrželi správnou odpověď. Řešte diferenciální rovnice s naší službou. Řešení diferenciálních rovnic online. Standardně je v takové rovnici funkce y funkcí proměnné x. Můžete si ale nastavit i vlastní variabilní označení. Pokud například zadáte y(t) v diferenciální rovnici, pak naše služba automaticky určí, že y je funkcí proměnné t. Pořadí celé diferenciální rovnice bude záviset na maximálním řádu derivace funkce přítomné v rovnici. Řešit takovou rovnici znamená najít požadovanou funkci. Naše služba vám pomůže řešit diferenciální rovnice online. Řešení rovnice z vaší strany nevyžaduje mnoho úsilí. Stačí zadat levou a pravou část rovnice do požadovaných polí a kliknout na tlačítko "Řešení". Při zadávání derivace funkce je nutné ji označit apostrofem. Během několika sekund budete mít detailní řešení diferenciální rovnice. Naše služba je zcela zdarma. Diferenciální rovnice se sdílenými proměnnými. Pokud je v diferenciální rovnici na levé straně výraz závislý na y a na pravé straně výraz závislý na x, pak se taková diferenciální rovnice nazývá se separovatelnými proměnnými. Na levé straně může být derivace y, řešení diferenciálních rovnic tohoto druhu bude ve tvaru funkce y, vyjádřené integrálem pravé strany rovnice. Pokud je na levé straně diferenciál funkce y, pak jsou integrovány obě části rovnice. Když proměnné v diferenciální rovnici nejsou odděleny, bude nutné je rozdělit, aby se získala oddělená diferenciální rovnice. Lineární diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice se nazývá lineární, pokud funkce a všechny její derivace jsou v prvním stupni. Obecný tvar rovnice: y'+a1(x)y=f(x). f(x) a a1(x) jsou spojité funkce x. Řešení diferenciálních rovnic tohoto typu je redukováno na integraci dvou diferenciálních rovnic se separovanými proměnnými. Řád diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice může být prvního, druhého, n-tého řádu. Řád diferenciální rovnice určuje řád nejvyšší derivace v ní obsažené. V naší službě můžete řešit online diferenciální rovnice první, druhé, třetí atd. objednat. Řešením rovnice bude libovolná funkce y=f(x), jejíž dosazením do rovnice získáte identitu. Proces hledání řešení diferenciální rovnice se nazývá integrace. Cauchy problém. Pokud je kromě samotné diferenciální rovnice uvedena i počáteční podmínka y(x0)=y0, pak se tomu říká Cauchyho problém. K řešení rovnice se přidají ukazatele y0 a x0 a určí se hodnota libovolné konstanty C a následně konkrétní řešení rovnice pro tuto hodnotu C. Toto je řešení Cauchyho úlohy. Cauchyho problém se také nazývá problém s okrajovými podmínkami, což je velmi běžné ve fyzice a mechanice. Máte také možnost nastavit Cauchyho úlohu, tedy ze všech možných řešení rovnice vybrat konkrétní, které splňuje dané počáteční podmínky.

Řešení různých geometrických, fyzikálních a inženýrských problémů často vede k rovnicím, které spojují nezávislé proměnné charakterizující konkrétní problém s nějakou funkcí těchto proměnných a derivacemi této funkce různých řádů.

Jako příklad můžeme uvažovat nejjednodušší případ rovnoměrně zrychleného pohybu hmotného bodu.

Je známo, že posunutí hmotného bodu během rovnoměrně zrychleného pohybu je funkcí času a je vyjádřeno vzorcem:

Na druhé straně zrychlení A je časová derivace t z rychlosti PROTI, což je také derivace s ohledem na čas t od stěhování S. Tito.

Pak dostaneme:
- rovnice vztahuje funkci f(t) k nezávisle proměnné t a derivaci druhého řádu funkce f(t).

Definice. diferenciální rovnice nazýváme rovnici týkající se nezávislých proměnných, jejich funkcí a derivací (neboli diferenciálů) této funkce.

Definice. Pokud má diferenciální rovnice jednu nezávislou proměnnou, pak se nazývá obyčejná diferenciální rovnice , pokud existují dvě nebo více nezávislých proměnných, pak se taková diferenciální rovnice nazývá parciální diferenciální rovnice.

Definice. Nejvyšší řád derivací v rovnici se nazývá řádu diferenciální rovnice .

Příklad.

- obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu. Obecně se píše
.

- obyčejná diferenciální rovnice 2. řádu. Obecně se píše

- diferenciální rovnice v parciálních derivacích 1. řádu.

Definice. Obecné řešení diferenciální rovnice je taková diferencovatelná funkce y = (x, C), která po dosazení do původní rovnice místo neznámé funkce změní rovnici na identitu

Vlastnosti obecného řešení.

1) Protože Protože konstanta C je libovolná hodnota, pak má obecně diferenciální rovnice nekonečný počet řešení.

2) Za jakýchkoli počátečních podmínek x \u003d x 0, y (x 0) \u003d y 0 existuje taková hodnota C \u003d C 0, pro kterou je řešením diferenciální rovnice funkce y \u003d  (x, C 0).

Definice. Zavolá se řešení ve tvaru y \u003d  (x, C 0). soukromé rozhodnutí diferenciální rovnice.

Definice. Cauchy problém (Augustin Louis Cauchy (1789-1857) - francouzský matematik) se nazývá nalezení jakéhokoli konkrétního řešení diferenciální rovnice tvaru y \u003d  (x, C 0), která splňuje počáteční podmínky y (x 0) \u003d y 0 .

Cauchyho věta. (věta o existenci a jednoznačnosti řešení diferenciální rovnice 1. řádu)

Pokud je funkceF(X, y) je v nějaké doméně spojitýDv letadleXOYa má v této oblasti spojitou parciální derivaci
, pak bez ohledu na bod (x 0 , y 0 ) v oblastiD, existuje jediné řešení
rovnic
, definovaný v nějakém intervalu obsahujícím bod x 0 , přijetí v x = x 0 význam (X 0 ) = y 0 , tj. existuje jedinečné řešení diferenciální rovnice.

Definice. integrální diferenciální rovnice je jakákoli rovnice, která neobsahuje derivace, pro které je tato diferenciální rovnice důsledkem.

Příklad. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice
.

Společné rozhodnutí diferenciální rovnice se hledá integrací levé a pravé části rovnice, která je předběžně transformována takto:

Nyní pojďme integrovat:

je obecné řešení původní diferenciální rovnice.

Předpokládejme, že jsou dány některé počáteční podmínky: x 0 = 1; y 0 = 2, pak máme

Dosazením získané hodnoty konstanty do obecného řešení získáme partikulární řešení pro dané počáteční podmínky (řešení Cauchyho úlohy).

Definice. integrální křivka nazýváme graf y = (x) řešení diferenciální rovnice v rovině XOY.

Definice. zvláštní rozhodnutí diferenciální rovnice je takové řešení, jehož ve všech bodech se nazývá Cauchyova podmínka jednoznačnosti (srov. Cauchyho věta.) není spokojen, tzn. v okolí nějakého bodu (x, y) jsou alespoň dvě integrální křivky.

Singulární řešení nezávisí na konstantě C.

Speciální řešení nelze získat z obecného řešení pro žádné hodnoty konstanty C. Pokud sestrojíme rodinu integrálních křivek pro diferenciální rovnici, pak speciální řešení bude reprezentováno přímkou, která se dotýká alespoň jedné integrální křivky v bodě každý jeho bod.

Všimněte si, že ne každá diferenciální rovnice má singulární řešení.

Příklad. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice:
Najděte speciální řešení, pokud existuje.

Tato diferenciální rovnice má také speciální řešení v= 0. Toto řešení nelze získat z obecného, ​​nicméně při dosazení do původní rovnice získáme identitu. názor, že řešení y = 0 lze získat z obecného řešení pro Z 1 = 0 špatně, protože C 1 = E C  0.

Vzdělávací instituce „Běloruský stát

zemědělská akademie"

Katedra vyšší matematiky

DIFERENČNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU

Shrnutí přednášky pro studenty účetnictví

korespondenční forma vzdělávání (NISPO)

Gorki, 2013

Diferenciální rovnice prvního řádu

Pojem diferenciální rovnice. Obecná a konkrétní řešení

Při studiu různých jevů často není možné najít zákon, který přímo spojuje nezávislou proměnnou a požadovanou funkci, ale je možné vytvořit souvislost mezi požadovanou funkcí a jejími derivacemi.

Zavolá se relace spojující nezávisle proměnnou, požadovanou funkci a její derivace diferenciální rovnice :

Tady X je nezávislá proměnná, y je požadovaná funkce,
jsou derivace požadované funkce. V tomto případě vztah (1) vyžaduje přítomnost alespoň jedné derivace.

Řád diferenciální rovnice je řád nejvyšší derivace v rovnici.

Uvažujme diferenciální rovnici

. (2)

Protože tato rovnice obsahuje derivaci pouze prvního řádu, pak se nazývá je diferenciální rovnice prvního řádu.

Pokud lze rovnici (2) vyřešit s ohledem na derivaci a zapsat jako

, (3)

pak se taková rovnice nazývá diferenciální rovnice prvního řádu v normálním tvaru.

V mnoha případech je účelné uvažovat rovnici tvaru

který se nazývá diferenciální rovnice prvního řádu zapsaná v diferenciálním tvaru.

Protože
, pak rovnici (3) lze zapsat jako
nebo
, kde se dá počítat
a
. To znamená, že rovnice (3) byla převedena na rovnici (4).

Rovnici (4) zapíšeme do tvaru
. Pak
,
,
, kde se dá počítat
, tj. získá se rovnice tvaru (3). Rovnice (3) a (4) jsou tedy ekvivalentní.

Řešením diferenciální rovnice (2) nebo (3) je volána jakákoli funkce
, která při dosazení do rovnice (2) nebo (3) z ní udělá identitu:

nebo
.

Proces hledání všech řešení diferenciální rovnice se nazývá její integrace a graf řešení
se nazývá diferenciální rovnice integrální křivka tato rovnice.

Pokud je řešení diferenciální rovnice získáno v implicitním tvaru
, pak se to nazývá integrální daná diferenciální rovnice.

Obecné řešení diferenciální rovnice prvního řádu je rodina funkcí tvaru
v závislosti na libovolné konstantě Z, z nichž každá je řešením dané diferenciální rovnice pro libovolnou přípustnou hodnotu libovolné konstanty Z. Diferenciální rovnice má tedy nekonečný počet řešení.

Soukromé rozhodnutí diferenciální rovnice se nazývá řešení získané z obecného vzorce řešení pro konkrétní hodnotu libovolné konstanty Z, počítaje v to
.

Cauchyho problém a jeho geometrická interpretace

Rovnice (2) má nekonečný počet řešení. Aby bylo možné z této množiny vybrat jedno řešení, které se nazývá konkrétní řešení, musí být specifikovány některé další podmínky.

Nazývá se problém nalezení konkrétního řešení rovnice (2) za daných podmínek Cauchy problém . Tento problém je jedním z nejdůležitějších v teorii diferenciálních rovnic.

Cauchyho problém je formulován takto: mezi všemi řešeními rovnice (2) najděte takové řešení
, ve kterém je funkce
nabývá dané číselné hodnoty pokud nezávislá proměnná X nabývá danou číselnou hodnotu , tj.

,
, (5)

kde D je doménou funkce
.

Význam volala počáteční hodnota funkce , a – počáteční hodnota nezávisle proměnné . Volá se podmínka (5). výchozí stav nebo Cauchy stav .

Z geometrického hlediska lze Cauchyho problém pro diferenciální rovnici (2) formulovat následovně: z množiny integrálních křivek rovnice (2) vyberte tu, která prochází daným bodem
.

Diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými

Jedním z nejjednodušších typů diferenciálních rovnic je diferenciální rovnice prvního řádu, která neobsahuje požadovanou funkci:

. (6)

Vzhledem k tomu
, rovnici zapíšeme ve tvaru
nebo
. Integrací obou stran poslední rovnice dostaneme:
nebo

. (7)

(7) je tedy obecným řešením rovnice (6).

Příklad 1 . Najděte obecné řešení diferenciální rovnice
.

Řešení . Rovnici zapíšeme ve tvaru
nebo
. Integrujeme obě části výsledné rovnice:
,
. Pojďme si konečně zapsat
.

Příklad 2 . Najděte řešení rovnice
za podmínky
.

Řešení . Pojďme najít obecné řešení rovnice:
,
,
,
. Podle stavu
,
. Nahraďte v obecném řešení:
nebo
. Nalezenou hodnotu libovolné konstanty dosadíme do vzorce pro obecné řešení:
. Toto je konkrétní řešení diferenciální rovnice, které splňuje danou podmínku.

Rovnice

(8)

volala diferenciální rovnice prvního řádu, která neobsahuje nezávislou proměnnou . Zapíšeme to do formuláře
nebo
. Integrujeme obě části poslední rovnice:
nebo
- obecné řešení rovnice (8).

Příklad . Najděte obecné řešení rovnice
.

Řešení . Tuto rovnici zapíšeme ve tvaru:
nebo
. Pak
,
,
,
. Takto,
je obecné řešení této rovnice.

Zadejte rovnici

(9)

integrované pomocí separace proměnných. K tomu zapíšeme rovnici ve tvaru
a pak pomocí operací násobení a dělení to dovedeme do takové podoby, že jedna část obsahuje pouze funkci X a diferenciál dx, a ve druhé části - funkce v a diferenciál dy. K tomu je třeba obě strany rovnice vynásobit dx a dělit podle
. V důsledku toho dostaneme rovnici

, (10)

ve kterých jsou proměnné X a v oddělené. Integrujeme obě části rovnice (10):
. Výsledný vztah je obecným integrálem rovnice (9).

Příklad 3 . Integrujte rovnici
.

Řešení . Transformujte rovnici a oddělte proměnné:
,
. Pojďme integrovat:
,
nebo je obecným integrálem této rovnice.
.

Nechť je rovnice uvedena ve tvaru

Taková rovnice se nazývá diferenciální rovnice prvního řádu se separovatelnými proměnnými v symetrické podobě.

Pro oddělení proměnných je třeba obě strany rovnice vydělit
:

. (12)

Výsledná rovnice se nazývá separovaná diferenciální rovnice . Integrujeme rovnici (12):

.(13)

Vztah (13) je obecný integrál diferenciální rovnice (11).

Příklad 4 . Integrujte diferenciální rovnici.

Řešení . Rovnici zapíšeme ve tvaru

a rozdělit obě části na
,
. Výsledná rovnice:
je oddělená proměnná rovnice. Pojďme to integrovat:

,
,

,
. Poslední rovnost je obecný integrál dané diferenciální rovnice.

Příklad 5 . Najděte konkrétní řešení diferenciální rovnice
, splňující podmínku
.

Řešení . Vzhledem k tomu
, rovnici zapíšeme ve tvaru
nebo
. Rozdělme proměnné:
. Pojďme integrovat tuto rovnici:
,
,
. Výsledný vztah je obecným integrálem této rovnice. Podle stavu
. Dosaďte do obecného integrálu a najděte Z:
,Z=1. Pak ten výraz
je partikulární řešení dané diferenciální rovnice, zapsané jako partikulární integrál.

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu

Rovnice

(14)

volala lineární diferenciální rovnice prvního řádu . neznámá funkce
a jeho derivace vstupují do této rovnice lineárně a funkce
a
kontinuální.

Pokud
, pak rovnice

(15)

volala lineárně homogenní . Pokud
, pak se zavolá rovnice (14). lineární nehomogenní .

K nalezení řešení rovnice (14) se obvykle používá substituční metoda (Bernoulli) , jehož podstata je následující.

Řešení rovnice (14) budeme hledat ve tvaru součinu dvou funkcí

, (16)

kde
a
- některé spojité funkce. Náhradní
a derivát
do rovnice (14):

Funkce proti bude zvolena tak, aby podm
. Pak
. Pro nalezení řešení rovnice (14) je tedy nutné vyřešit soustavu diferenciálních rovnic

První rovnice systému je lineární homogenní rovnice a lze ji řešit metodou separace proměnných:
,
,
,
,
. Jako funkce
lze vzít jedno z partikulárních řešení homogenní rovnice, tzn. v Z=1:
. Dosaďte do druhé rovnice soustavy:
nebo
.Pak
. Obecné řešení lineární diferenciální rovnice prvního řádu má tedy tvar
.

Příklad 6 . řešit rovnici
.

Řešení . Řešení rovnice budeme hledat ve tvaru
. Pak
. Dosaďte do rovnice:

nebo
. Funkce proti vybrat tak, aby rovnost
. Pak
. První z těchto rovnic řešíme metodou separace proměnných:
,
,
,
,. Funkce proti Dosaďte do druhé rovnice:
,
,
,
. Obecné řešení této rovnice je
.

Otázky pro sebeovládání znalostí

Co je diferenciální rovnice?

Jaké je pořadí diferenciální rovnice?

Která diferenciální rovnice se nazývá diferenciální rovnice prvního řádu?

Jak se diferenciální rovnice prvního řádu zapisuje v diferenciální formě?

Jaké je řešení diferenciální rovnice?

Co je integrální křivka?

Jaké je obecné řešení diferenciální rovnice prvního řádu?

Co je konkrétní řešení diferenciální rovnice?

Jak je formulován Cauchyho problém pro diferenciální rovnici prvního řádu?

Jaká je geometrická interpretace Cauchyho problému?

Jak se zapisuje diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými v symetrickém tvaru?

Která rovnice se nazývá lineární diferenciální rovnice prvního řádu?

Jakou metodou lze řešit lineární diferenciální rovnici prvního řádu a co je podstatou této metody?

Úkoly pro samostatnou práci

Řešte diferenciální rovnice s oddělitelnými proměnnými:

A)
; b)
;

v)
; G)
.

2. Řešte lineární diferenciální rovnice prvního řádu:

A)
; b)
; v)
;

G)
; E)
.

Diferenciální rovnice je rovnice, která zahrnuje funkci a jednu nebo více jejích derivací. Ve většině praktických problémů jsou funkce fyzikální veličiny, derivace odpovídají rychlostem změny těchto veličin a rovnice určuje vztah mezi nimi.

Tento článek pojednává o metodách řešení některých typů obyčejných diferenciálních rovnic, jejichž řešení lze zapsat ve tvaru elementární funkce, tedy polynomiální, exponenciální, logaritmické a goniometrické funkce, jakož i jejich inverzní funkce. Mnoho z těchto rovnic se vyskytuje v reálném životě, i když většinu ostatních diferenciálních rovnic nelze těmito metodami vyřešit a pro ně je odpověď zapsána jako speciální funkce nebo mocninné řady nebo nalezena numerickými metodami.

Abyste porozuměli tomuto článku, musíte znát diferenciální a integrální počet a také mít určité znalosti o parciálních derivacích. Doporučuje se také znát základy lineární algebry aplikované na diferenciální rovnice, zejména diferenciální rovnice druhého řádu, i když k jejich řešení stačí znalost diferenciálního a integrálního počtu.

Předběžná informace

• Diferenciální rovnice mají rozsáhlou klasifikaci. Tento článek mluví o obyčejné diferenciální rovnice, tedy o rovnicích, které zahrnují funkci jedné proměnné a její derivace. Obyčejné diferenciální rovnice jsou mnohem jednodušší na pochopení a řešení než parciální diferenciální rovnice, které zahrnují funkce několika proměnných. Tento článek se nezabývá parciálními diferenciálními rovnicemi, protože metody řešení těchto rovnic jsou obvykle určeny jejich konkrétním tvarem.
  • Níže jsou uvedeny některé příklady obyčejných diferenciálních rovnic.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Níže jsou uvedeny některé příklady parciálních diferenciálních rovnic.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\částečný ^(2)f)(\částečný x^(2)))+(\frac (\částečný ^(2) )f)(\částečné y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\částečné u)(\částečné t))-\alpha (\frac (\částečné ^(2)u)(\částečné x ^(2)))=0)
• Objednat diferenciální rovnice je určena řádem nejvyšší derivace obsažené v této rovnici. První z výše uvedených obyčejných diferenciálních rovnic je prvního řádu, zatímco druhá je druhého řádu. Stupeň diferenciální rovnice se nazývá nejvyšší mocnina, na kterou je umocněn jeden z členů této rovnice.
  • Například níže uvedená rovnice je třetí řád a druhá mocnina.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ vpravo)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Diferenciální rovnice je lineární diferenciální rovnice jestliže funkce a všechny její derivace jsou v první mocnině. Jinak platí rovnice nelineární diferenciální rovnice. Lineární diferenciální rovnice jsou pozoruhodné tím, že z jejich řešení lze vytvářet lineární kombinace, které budou také řešeními této rovnice.
  • Níže jsou uvedeny některé příklady lineárních diferenciálních rovnic.
  • Níže jsou uvedeny některé příklady nelineárních diferenciálních rovnic. První rovnice je nelineární kvůli sinusovému členu.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Společné rozhodnutí obyčejná diferenciální rovnice není jedinečná, zahrnuje libovolné integrační konstanty. Ve většině případů se počet libovolných konstant rovná řádu rovnice. V praxi jsou hodnoty těchto konstant určeny danými počáteční podmínky, tedy hodnotami funkce a jejích derivací at x = 0. (\displaystyle x=0.) Počet počátečních podmínek, které jsou potřeba k nalezení soukromé rozhodnutí diferenciální rovnice se ve většině případů rovná také řádu této rovnice.
  • Tento článek se například bude zabývat řešením rovnice níže. Toto je lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Jeho obecné řešení obsahuje dvě libovolné konstanty. Pro nalezení těchto konstant je nutné znát počáteční podmínky at x (0) (\displaystyle x(0)) a x′ (0) . (\displaystyle x"(0).) Obvykle jsou počáteční podmínky uvedeny v bodě x = 0 , (\displaystyle x=0,), i když to není povinné. Tento článek se také zaměří na to, jak najít konkrétní řešení pro dané počáteční podmínky.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Kroky

Část 1

Při používání této služby mohou být některé informace přeneseny na YouTube.

1. Lineární rovnice prvního řádu. Tato část pojednává o metodách řešení lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu v obecných i speciálních případech, kdy se některé členy rovnají nule. Pojďme to předstírat y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x)) a q (x) (\displaystyle q(x)) jsou funkce X . (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) Podle jednoho z hlavních teorémů matematické analýzy je integrál derivace funkce také funkcí. K nalezení jejího řešení tedy stačí rovnici jednoduše integrovat. V tomto případě je třeba vzít v úvahu, že při výpočtu neurčitého integrálu se objeví libovolná konstanta.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Používáme metodu separace proměnných. V tomto případě se přenášejí různé proměnné různé strany rovnic. Můžete například převést všechny členy z y (\displaystyle y) do jednoho a všichni členové s x (\displaystyle x) na druhou stranu rovnice. Členy lze také přesouvat d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x) a d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), které jsou obsaženy v derivačních výrazech, je však třeba mít na paměti, že se jedná pouze o konvenci, která se hodí při derivování komplexní funkce. Diskuse o těchto termínech, které jsou tzv diferenciály, je mimo rozsah tohoto článku.

   • Nejprve musíte přesunout proměnné na opačné strany rovnítka.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Integrujeme obě strany rovnice. Po integraci se na obou stranách objeví libovolné konstanty, na které lze přenést pravá strana rovnic.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Příklad 1.1. Na poslední krok použili jsme pravidlo e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) a nahrazeny e C (\displaystyle e^(C)) na C (\displaystyle C), protože je to také libovolná konstanta integrace.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\konec (zarovnáno)))

   P (x) ≠ 0, q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Abychom našli obecné řešení, představili jsme integrační faktor jako funkce x (\displaystyle x) redukovat levou stranu na společnou derivaci a tím řešit rovnici.

   • Vynásobte obě strany μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Pro zmenšení levé strany na společnou derivaci je třeba provést následující transformace:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • To znamená poslední rovnost d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Toto je integrační faktor, který je dostatečný k vyřešení jakékoli lineární rovnice prvního řádu. Nyní můžeme odvodit vzorec pro řešení této rovnice vzhledem k µ , (\displaystyle \mu,) ačkoli pro trénink je užitečné provádět všechny mezivýpočty.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Příklad 1.2. V tomto příkladu uvažujeme, jak najít konkrétní řešení diferenciální rovnice s daným počáteční podmínky.
     • t d y d t + 2 y = t 2, y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(zarovnáno)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4, C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Řešení lineárních rovnic prvního řádu (zaznamenáno Intuit - National Open University).

2. Nelineární rovnice prvního řádu. V této části jsou zvažovány metody řešení některých nelineárních diferenciálních rovnic prvního řádu. Ačkoli neexistuje žádná obecná metoda pro řešení takových rovnic, některé z nich lze vyřešit pomocí níže uvedených metod.

   D y d x = f (x, y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Pokud je funkce f (x, y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) lze rozdělit na funkce jedné proměnné, takové rovnici se říká separovatelná diferenciální rovnice. V tomto případě můžete použít výše uvedenou metodu:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )X)
   • Příklad 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ begin(zarovnáno)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\konec (zarovnáno)))

   D y d x = g (x, y) h (x, y). (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Pojďme to předstírat g (x, y) (\displaystyle g(x, y)) a h (x, y) (\displaystyle h(x, y)) jsou funkce x (\displaystyle x) a y (\displaystyle y.) Pak homogenní diferenciální rovnice je rovnice, ve které g (\displaystyle g) a h (\displaystyle h) jsou homogenní funkce stejný stupeň. To znamená, že funkce musí splňovat podmínku g (α x , α y) = α k g (x, y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) kde k (\displaystyle k) se nazývá stupeň homogenity. Jakákoli homogenní diferenciální rovnice může být dána vhodnou změna proměnných (v = y / x (\displaystyle v=y/x) nebo v = x / y (\displaystyle v=x/y)) převést na rovnici s oddělitelnými proměnnými.

   • Příklad 1.4. Výše uvedený popis homogenity se může zdát nejasný. Podívejme se na tento koncept na příkladu.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Pro začátek je třeba poznamenat, že tato rovnice je nelineární vzhledem k y (\displaystyle y.) Také vidíme, že v tomto případě není možné oddělit proměnné. Tato diferenciální rovnice je však homogenní, protože čitatel i jmenovatel jsou homogenní s mocninou 3. Proto můžeme provést změnu proměnných v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) V důsledku toho máme rovnici pro v (\displaystyle v) se sdílenými proměnnými.
     • v (x) = − 3 log ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) yn. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) to Bernoulliho diferenciální rovnice- speciální druh nelineární rovnice prvního stupně, jejíž řešení lze zapsat pomocí elementárních funkcí.

   • Vynásobte obě strany rovnice číslem (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Použijeme pravidlo derivace komplexní funkce na levé straně a transformujeme rovnici na lineární rovnici vzhledem k y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) které lze řešit výše uvedenými metodami.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0.) to rovnice v celkové diferenciály . Je potřeba najít tzv potenciální funkce φ (x, y), (\displaystyle \varphi (x,y),), která podmínku splňuje d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Pro splnění této podmínky je nutné mít totální derivace. Celková derivace zohledňuje závislost na dalších proměnných. Pro výpočet celkové derivace φ (\displaystyle \varphi ) na x , (\displaystyle x,) to předpokládáme y (\displaystyle y) může také záviset na X . (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\částečný \varphi )(\částečné x))+(\frac (\částečné \varphi )(\částečné y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Srovnání podmínek nám dává M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\částečné \varphi )(\částečné x))) a N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Toto je typický výsledek pro rovnice s několika proměnnými, kde jsou smíšené derivace hladkých funkcí navzájem rovné. Někdy se tento případ nazývá Clairautova věta. V tomto případě je diferenciální rovnice rovnicí totálních diferenciálů, pokud je splněna následující podmínka:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\částečné M)(\částečné y))=(\frac (\částečné N)(\částečné x))))
   • Metoda řešení rovnic v totálních diferenciálech je podobná hledání potenciálních funkcí za přítomnosti několika derivací, které si krátce probereme. Nejprve se integrujeme M (\displaystyle M) na X . (\displaystyle x.) Protože M (\displaystyle M) je funkce a x (\displaystyle x), a y , (\displaystyle y,) při integraci dostaneme neúplnou funkci φ , (\displaystyle \varphi,) označený jako φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Výsledek zahrnuje i závislé na y (\displaystyle y) integrační konstanta.
     • φ (x , y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Poté získat c (y) (\displaystyle c(y)) můžete vzít parciální derivaci výsledné funkce s ohledem na y , (\displaystyle y,) srovnat výsledek N (x, y) (\displaystyle N(x, y)) a integrovat. Člověk se také může nejprve integrovat N (\displaystyle N), a pak vezměte parciální derivaci s ohledem na x (\displaystyle x), který vám umožní najít libovolná funkce d(x). (\displaystyle d(x).) Oba způsoby jsou vhodné a pro integraci se obvykle volí ta jednodušší funkce.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\částečné \varphi )(\částečné y))=(\frac (\ částečné (\tilde (\varphi )))(\částečné y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Příklad 1.5. Můžete použít parciální derivace a ověřit, že níže uvedená rovnice je totální diferenciální rovnice.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\částečné \varphi )(\částečné y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end (zarovnáno)))
     • d c d y = 0, c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Pokud diferenciální rovnice není totální diferenciální rovnice, v některých případech můžete najít integrační faktor, který vám umožní převést ji na totální diferenciální rovnici. Takové rovnice se však v praxi používají jen zřídka, a přestože jsou integrujícím faktorem existuje, zjistěte, že se to děje není snadné, takže tyto rovnice nejsou v tomto článku brány v úvahu.

Část 2

1. Homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty. Tyto rovnice jsou v praxi široce používány, takže jejich řešení má prvořadý význam. V tomto případě nehovoříme o homogenních funkcích, ale o tom, že na pravé straně rovnice je 0. V další části si ukážeme, jak odpovídající heterogenní diferenciální rovnice. Níže a (\displaystyle a) a b (\displaystyle b) jsou konstanty.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Charakteristická rovnice. Tato diferenciální rovnice je pozoruhodná tím, že ji lze velmi snadno vyřešit, pokud si dáte pozor na to, jaké vlastnosti by její řešení měla mít. Z rovnice je vidět, že y (\displaystyle y) a jeho deriváty jsou vzájemně úměrné. Z předchozích příkladů, které byly uvažovány v části o rovnicích prvního řádu, víme, že tuto vlastnost má pouze exponenciální funkce. Proto je možné předložit ansatz(vzdělaný odhad) o tom, jaké bude řešení dané rovnice.

   • Řešení bude mít formu exponenciální funkce e r x , (\displaystyle e^(rx),) kde r (\displaystyle r) je konstanta, jejíž hodnotu je třeba najít. Dosaďte tuto funkci do rovnice a získejte následující výraz
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Tato rovnice ukazuje, že součin exponenciální funkce a polynomu musí být nula. Je známo, že exponent nemůže být roven nule pro žádné hodnoty stupně. Z toho vyplývá, že polynom je roven nule. Tím jsme problém řešení diferenciální rovnice zredukovali na mnohem jednodušší problém řešení algebraické rovnice, který se nazývá charakteristická rovnice pro danou diferenciální rovnici.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Máme dva kořeny. Protože je tato diferenciální rovnice lineární, je jejím obecným řešením lineární kombinace parciálních řešení. Protože se jedná o rovnici druhého řádu, víme, že ano opravdu obecné řešení a žádné jiné neexistují. Důslednější zdůvodnění spočívá v teorémech o existenci a jedinečnosti řešení, které lze nalézt v učebnicích.
   • Užitečným způsobem, jak zkontrolovat, zda jsou dvě řešení lineárně nezávislá, je výpočet Wronskian. Wronskian W (\displaystyle W)- je to determinant matice, v jejíchž sloupcích jsou funkce a jejich po sobě jdoucí derivace. Věta o lineární algebře říká, že funkce ve Wronskiově jsou lineárně závislé, pokud je Wronskian roven nule. V této části můžeme otestovat, zda jsou dvě řešení lineárně nezávislá tím, že se ujistíme, že Wronskian je nenulový. Wronskian je důležitý při řešení nehomogenních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty metodou variace parametrů.
     • w = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • Z hlediska lineární algebry tvoří množinu všech řešení dané diferenciální rovnice vektorový prostor, jehož rozměr je roven řádu diferenciální rovnice. V tomto prostoru si lze vybrat základ lineárně nezávislý rozhodnutí od sebe navzájem. To je možné díky tomu, že funkce y (x) (\displaystyle y(x)) platný lineární operátor. Derivát je lineární operátor, protože transformuje prostor diferencovatelných funkcí na prostor všech funkcí. Rovnice se nazývají homogenní v případech, kdy pro nějaký lineární operátor L (\displaystyle L) je potřeba najít řešení rovnice L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Pojďme nyní k několika konkrétním příkladům. Případu více kořenů charakteristické rovnice se budeme věnovat o něco později, v části o redukci řádu.

   Pokud kořeny r ± (\displaystyle r_(\pm )) jsou různá reálná čísla, má diferenciální rovnice následující řešení

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Dva složité kořeny. Ze základní věty algebry vyplývá, že řešení polynomických rovnic s reálnými koeficienty mají kořeny, které jsou reálné nebo tvoří konjugované páry. Pokud tedy komplexní číslo r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta ) je tedy kořenem charakteristické rovnice r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) je také kořenem této rovnice. Řešení tedy může být zapsáno ve tvaru c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) jde však o komplexní číslo a při řešení praktických problémů je nežádoucí.

   • Místo toho můžete použít Eulerův vzorec e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), který umožňuje napsat řešení ve formě goniometrických funkcí:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Nyní můžete místo konstantní c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) zapsat c 1 (\displaystyle c_(1)) a výraz i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) nahrazen c 2. (\displaystyle c_(2).) Poté dostaneme následující řešení:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
   • Existuje další způsob, jak zapsat řešení z hlediska amplitudy a fáze, který je vhodnější pro fyzikální problémy.
   • Příklad 2.1. Nalezneme řešení níže uvedené diferenciální rovnice s danými počátečními podmínkami. K tomu je nutné vzít získané řešení, stejně jako jeho derivát a dosadíme je do počátečních podmínek, což nám umožní určit libovolné konstanty.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\začátek(zarovnáno)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2, c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   Řešení diferenciálních rovnic n-tého řádu s konstantními koeficienty (zaznamenáno Intuit - National Open University).

2. Snížení pořadí. Redukce řádu je metoda pro řešení diferenciálních rovnic, když je známo jedno lineárně nezávislé řešení. Tato metoda spočívá ve snížení řádu rovnice o jedna, což umožňuje rovnici řešit pomocí metod popsaných v předchozí části. Nechť je známé řešení. Hlavní myšlenkou snížení objednávky je najít řešení ve formuláři níže, kde je potřeba definovat funkci v (x) (\displaystyle v(x)), dosazením do diferenciální rovnice a zjištěním v(x). (\displaystyle v(x).) Uvažujme, jak lze použít redukci řádu k řešení diferenciální rovnice s konstantními koeficienty a více kořeny.

   
   

   Více kořenů homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty. Připomeňme, že rovnice druhého řádu musí mít dvě lineárně nezávislá řešení. Pokud má charakteristická rovnice více kořenů, množina řešení ne tvoří prostor, protože tato řešení jsou lineárně závislá. V tomto případě je nutné použít redukci objednávky k nalezení druhého lineárně nezávislého řešení.

   • Nechť má charakteristická rovnice více kořenů r (\displaystyle r). Předpokládáme, že druhé řešení lze zapsat jako y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)) a dosaďte jej do diferenciální rovnice. V tomto případě většina členů, s výjimkou členu s druhou derivací funkce v , (\displaystyle v,) se sníží.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Příklad 2.2. Vzhledem k následující rovnici, která má více kořenů r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Při záměně se většina termínů ruší.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\konec (zarovnáno)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(aligned) )v""e^(-4x)&-(\zrušit (8v"e^(-4x)))+(\zrušit (16ve^(-4x)))\\&+(\zrušit (8v"e ^(-4x)))-(\zrušit (32ve^(-4x)))+(\zrušit (16ve^(-4x)))=0\end(zarovnáno)))
   • Stejně jako náš ansatz pro diferenciální rovnici s konstantními koeficienty může být v tomto případě pouze druhá derivace rovna nule. Dvakrát integrujeme a získáme požadovaný výraz pro v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Pak lze obecné řešení diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, pokud má charakteristická rovnice více kořenů, zapsat v následujícím tvaru. Pro usnadnění si můžete zapamatovat, že k získání lineární nezávislosti stačí jednoduše vynásobit druhý člen x (\displaystyle x). Tato množina řešení je lineárně nezávislá, a proto jsme našli všechna řešení této rovnice.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Snížení objednávky je použitelné, pokud je známé řešení y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), který lze nalézt nebo uvést v prohlášení o problému.

   • Hledáme řešení ve formuláři y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x)) a vložte to do této rovnice:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Protože y 1 (\displaystyle y_(1)) je řešením diferenciální rovnice, všechny členy s v (\displaystyle v) se zmenšují. Ve výsledku zůstává lineární rovnice prvního řádu. Abychom to viděli jasněji, změňme proměnné w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\) frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\vpravo)(\mathrm (d) )x\vpravo))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Pokud lze integrály vypočítat, dostaneme obecné řešení jako kombinaci elementárních funkcí. Jinak může být řešení ponecháno v integrální formě.

3. Cauchy-Eulerova rovnice. Cauchy-Eulerova rovnice je příkladem diferenciální rovnice druhého řádu s proměnné koeficienty, který má přesná řešení. Tato rovnice se v praxi používá např. k řešení Laplaceovy rovnice ve sférických souřadnicích.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Charakteristická rovnice. Jak vidíte, v této diferenciální rovnici každý člen obsahuje účiník, jehož stupeň se rovná řádu příslušné derivace.

   • Lze tedy zkusit hledat řešení ve formuláři y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) kde definovat n (\displaystyle n), stejně jako jsme hledali řešení v podobě exponenciální funkce pro lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty. Po diferenciaci a dosazení dostaneme
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Abychom mohli použít charakteristickou rovnici, musíme to předpokládat x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Tečka x = 0 (\displaystyle x=0) volala pravidelný singulární bod diferenciální rovnice. Takové body jsou důležité při řešení diferenciálních rovnic pomocí mocninných řad. Tato rovnice má dva kořeny, které mohou být různé a reálné, vícenásobné nebo komplexně konjugované.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)))

   Dva různé skutečné kořeny. Pokud kořeny n ± (\displaystyle n_(\pm )) jsou reálné a různé, pak má řešení diferenciální rovnice následující tvar:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-))))

   Dva složité kořeny. Má-li charakteristická rovnice kořeny n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), řešením je komplexní funkce.

   • Abychom převedli řešení na reálnou funkci, provedeme změnu proměnných x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) to je t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,) a použijte Eulerův vzorec. Podobné akce byly provedeny dříve při definování libovolných konstant.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Potom lze obecné řešení zapsat jako
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Více kořenů. Pro získání druhého lineárně nezávislého řešení je nutné objednávku opět snížit.

   • Vyžaduje to docela dost výpočtu, ale princip je stejný: dosazujeme y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) do rovnice, jejíž první řešení je y 1 (\displaystyle y_(1)). Po redukcích získáme následující rovnici:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Toto je lineární rovnice prvního řádu vzhledem k v′ (x) . (\displaystyle v"(x).) Jeho řešení je v (x) = c 1 + c 2 ln⁡x. (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)Řešení tedy může být zapsáno v následujícím tvaru. Je docela snadné si to zapamatovat - k získání druhého lineárně nezávislého řešení potřebujete pouze další termín ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Nehomogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty. Nehomogenní rovnice mají tvar L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) kde f (x) (\displaystyle f(x))- tzv volný člen. Obecným řešením této rovnice je podle teorie diferenciálních rovnic superpozice soukromé rozhodnutí y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) a dodatečné řešení y c (x). (\displaystyle y_(c)(x).) Konkrétní řešení však v tomto případě neznamená řešení dané počátečními podmínkami, ale spíše řešení, které je způsobeno přítomností nehomogenity (volný člen). Dodatečným rozhodnutím je rozhodnutí příslušného homogenní rovnice, kde f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Obecné řešení je superpozicí těchto dvou řešení, protože L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), a od té doby L [ y c ] = 0, (\displaystyle L=0,) taková superpozice je skutečně obecným řešením.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Metoda neurčitých koeficientů. Metoda neurčitých koeficientů se používá v případech, kdy volný člen je kombinací exponenciální, trigonometrické, hyperbolické nebo mocninné funkce. Pouze u těchto funkcí je zaručeno, že budou mít konečný počet lineárně nezávislých derivací. V této části najdeme konkrétní řešení rovnice.

   • Porovnejte podmínky v f (x) (\displaystyle f(x)) s podmínkami v ignorování konstantních faktorů. Jsou možné tři případy.
     • Neexistují žádní identičtí členové. V tomto případě konkrétní řešení y p (\displaystyle y_(p)) bude lineární kombinací pojmů z y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) obsahuje člen x n (\displaystyle x^(n)) a člen z y c , (\displaystyle y_(c),) kde n (\displaystyle n) je nula nebo kladné celé číslo a tento člen odpovídá jedinému kořenu charakteristické rovnice. V tomto případě y p (\displaystyle y_(p)) bude sestávat z kombinace funkce x n + 1 h (x), (\displaystyle x^(n+1)h(x),) jeho lineárně nezávislé deriváty, stejně jako další členy f (x) (\displaystyle f(x)) a jejich lineárně nezávislé derivace.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) obsahuje člen h (x), (\displaystyle h(x),) což je dílo x n (\displaystyle x^(n)) a člen z y c , (\displaystyle y_(c),) kde n (\displaystyle n) se rovná 0 nebo kladnému celému číslu a tento člen odpovídá násobek kořen charakteristické rovnice. V tomto případě y p (\displaystyle y_(p)) je lineární kombinace funkce x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(kde s (\displaystyle s)- násobnost odmocniny) a její lineárně nezávislé derivace, stejně jako další členy funkce f (x) (\displaystyle f(x)) a jeho lineárně nezávislé deriváty.
   • Pojďme si zapsat y p (\displaystyle y_(p)) jako lineární kombinace výše uvedených pojmů. Díky těmto koeficientům v lineární kombinaci tato metoda tzv. metoda neurčitých koeficientů. Při vzhledu těch obsažených v y c (\displaystyle y_(c)) jejich členy mohou být vyřazeny kvůli přítomnosti libovolných konstant v y c (\displaystyle y_(c).) Poté vystřídáme y p (\displaystyle y_(p)) do rovnice a srovnejte podobné členy.
   • Určujeme koeficienty. Na tuto fázi ukazuje se systém algebraické rovnice, které lze většinou bez problémů vyřešit. Řešení tohoto systému umožňuje získat y p (\displaystyle y_(p)) a tím vyřešit rovnici.
   • Příklad 2.3. Uvažujme nehomogenní diferenciální rovnici, jejíž volný člen obsahuje konečný počet lineárně nezávislých derivací. Konkrétní řešení takové rovnice lze nalézt metodou neurčitých koeficientů.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ ⁡ \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end (zarovnáno)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ konec (případy)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Lagrangeova metoda. Lagrangeova metoda neboli metoda variace libovolných konstant je obecnější metodou pro řešení nehomogenních diferenciálních rovnic, zejména v případech, kdy volný člen neobsahuje konečný počet lineárně nezávislých derivací. Například s volnými členy tan ⁡ x (\displaystyle \tan x) nebo x − n (\displaystyle x^(-n)) pro nalezení konkrétního řešení je nutné použít Lagrangeovu metodu. Lagrangeovu metodu lze dokonce použít k řešení diferenciálních rovnic s proměnnými koeficienty, i když v tomto případě se s výjimkou Cauchy-Eulerovy rovnice používá méně často, protože dodatečné řešení se obvykle nevyjadřuje elementárními funkcemi.

   • Předpokládejme, že řešení má následující tvar. Jeho derivace je uvedena na druhém řádku.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Jelikož navrhované řešení obsahuje dva neznámé množství, je nutné uložit další stav. Tuto dodatečnou podmínku volíme v následujícím tvaru:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Nyní můžeme získat druhou rovnici. Po nahrazení a přerozdělení členů můžete seskupit členy s v 1 (\displaystyle v_(1)) a členové z v 2 (\displaystyle v_(2)). Tyto podmínky se ruší, protože y 1 (\displaystyle y_(1)) a y 2 (\displaystyle y_(2)) jsou řešením odpovídající homogenní rovnice. Výsledkem je následující soustava rovnic
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(zarovnáno)))
   • Tento systém lze převést na maticovou rovnici tvaru A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) jehož řešením je x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Pro matrix 2 × 2 (\displaystyle 2\krát 2) inverzní matice se zjistí dělením determinantem, permutací diagonálních prvků a změnou znaménka mimodiagonálních prvků. Ve skutečnosti je determinantem této matice Wronskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Výrazy pro v 1 (\displaystyle v_(1)) a v 2 (\displaystyle v_(2)) jsou uvedeny níže. Stejně jako v metodě redukce řádu se i v tomto případě při integraci objeví libovolná konstanta, která zahrnuje dodatečné řešení v obecném řešení diferenciální rovnice.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Přednáška National Open University Intuit s názvem "Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty".

Praktické použití

Diferenciální rovnice vytvářejí vztah mezi funkcí a jednou nebo více jejími derivacemi. Protože jsou takové vztahy tak běžné, našly diferenciální rovnice široké uplatnění v široké škále oblastí, a protože žijeme ve čtyřech dimenzích, jsou tyto rovnice často diferenciálními rovnicemi v soukromé deriváty. Tato část pojednává o některých nejdůležitějších rovnicích tohoto typu.

• Exponenciální růst a úpadek. radioaktivní rozpad. Složené úročení. Rychlost chemické reakce. Koncentrace léků v krvi. Neomezený růst populace. Newton-Richmannův zákon. V reálný svět existuje mnoho systémů, ve kterých je rychlost růstu nebo úpadku v kterémkoli časovém bodě úměrná množství v daném časovém bodě nebo může být dobře aproximována modelem. Je to proto, že řešení této diferenciální rovnice, exponenciální funkce, je jednou z nejdůležitějších funkcí v matematice a dalších vědách. Obecněji řečeno, při kontrolovaném růstu populace může systém zahrnovat další podmínky, které omezují růst. V rovnici níže konstanta k (\displaystyle k) může být větší nebo menší než nula.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Harmonické vibrace. V klasické i kvantové mechanice je harmonický oscilátor jedním z nejdůležitějších fyzikálních systémů díky své jednoduchosti a široké použití k přiblížení složitějších systémů, jako je jednoduché kyvadlo. V klasické mechanice harmonické vibrace jsou popsány rovnicí, která dává do vztahu polohu hmotného bodu a jeho zrychlení prostřednictvím Hookeova zákona. V tomto případě lze vzít v úvahu také tlumení a hnací síly. Ve výrazu níže x ˙ (\displaystyle (\tečka (x)))- časová derivace z x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta ) je parametr, který popisuje tlumicí sílu, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- úhlová frekvence systému, F (t) (\displaystyle F(t)) je časově závislá hnací síla. Harmonický oscilátor je také přítomen v elektromagnetických oscilačních obvodech, kde může být implementován s větší přesností než v mechanických systémech.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\tečka (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Besselova rovnice. Besselova diferenciální rovnice se používá v mnoha oblastech fyziky, včetně řešení vlnové rovnice, Laplaceovy rovnice a Schrödingerovy rovnice, zejména v přítomnosti válcové nebo sférické symetrie. Tato diferenciální rovnice druhého řádu s proměnnými koeficienty není Cauchy-Eulerova rovnice, takže její řešení nelze zapsat jako elementární funkce. Řešením Besselovy rovnice jsou Besselovy funkce, které jsou dobře prostudovány díky tomu, že se používají v mnoha oblastech. Ve výrazu níže α (\displaystyle \alpha ) je konstanta, která odpovídá objednat Besselovy funkce.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Maxwellovy rovnice. Spolu s Lorentzovou silou tvoří Maxwellovy rovnice základ klasické elektrodynamiky. Toto jsou čtyři parciální diferenciální rovnice pro elektřinu E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) a magnetické B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) pole. Ve výrazech níže ρ = ρ (r, t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- hustota náboje, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t)) je aktuální hustota a ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) a μ 0 (\displaystyle \mu _(0)) jsou elektrické a magnetické konstanty.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin \cdo)\na (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\částečné (\mathbf (B) ))(\částečné t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\částečné (\mathbf (E) ))(\částečné t))\end(zarovnáno)))
• Schrödingerova rovnice. V kvantové mechanice je Schrödingerova rovnice základní pohybovou rovnicí, která popisuje pohyb částic v souladu se změnou vlnové funkce. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) s časem. Pohybová rovnice je popsána chováním Hamiltonián H ^ (\displaystyle (\hat(H))) - operátor, který popisuje energii systému. Jedním ze známých příkladů Schrödingerovy rovnice ve fyzice je rovnice pro jednu nerelativistickou částici, která je vystavena potenciálu V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Mnoho systémů je popsáno časově závislou Schrödingerovou rovnicí s rovnicí na levé straně E Ψ , (\displaystyle E\Psi,) kde E (\displaystyle E) je energie částice. Ve výrazech níže ℏ (\displaystyle \hbar ) je redukovaná Planckova konstanta.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\částečné \Psi )(\částečné t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\částečné \Psi )(\částečné t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• vlnová rovnice. Fyziku a techniku ​​si bez vln nelze představit, jsou přítomny ve všech typech systémů. Obecně jsou vlny popsány níže uvedenou rovnicí, ve které u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) je požadovaná funkce a c (\displaystyle c)- experimentálně stanovená konstanta. d'Alembert byl první, kdo objevil, že pro jednorozměrný případ je řešením vlnové rovnice žádný funkce s argumentem x − c t (\displaystyle x-ct), který popisuje libovolnou vlnu šířící se doprava. Obecným řešením pro jednorozměrný případ je lineární kombinace této funkce s druhou funkcí s argumentem x + c t (\displaystyle x+ct), který popisuje vlnu šířící se doleva. Toto řešení je uvedeno na druhém řádku.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\částečné ^(2)u)(\částečné t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Navier-Stokesovy rovnice. Navier-Stokesovy rovnice popisují pohyb tekutin. Vzhledem k tomu, že tekutiny jsou přítomny prakticky ve všech oblastech vědy a techniky, jsou tyto rovnice extrémně důležité pro předpověď počasí, konstrukci letadel, mořské proudy a mnoho dalších aplikací. Navier-Stokesovy rovnice jsou nelineární parciální diferenciální rovnice a ve většině případů je velmi obtížné je vyřešit, protože nelinearita vede k turbulenci, a aby bylo možné získat stabilní řešení numerickými metodami, rozdělení na velmi malé buňky, což vyžaduje značný výpočetní výkon. Pro praktické účely v hydrodynamice se k modelování turbulentního proudění používají metody, jako je časové průměrování. Ještě základnější otázky, jako je existence a jednoznačnost řešení pro nelineární parciální diferenciální rovnice, jsou složité problémy a prokázání existence a jednoznačnosti řešení Navier-Stokesových rovnic ve třech rozměrech patří mezi matematické problémy tisíciletí. . Níže jsou rovnice toku nestlačitelné tekutiny a rovnice kontinuity.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\částečný (\mathbf (u)) ) )(\částečné t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Mnoho diferenciálních rovnic jednoduše nelze vyřešit výše uvedenými metodami, zejména těmi, které jsou uvedeny v poslední části. To platí, když rovnice obsahuje proměnné koeficienty a není Cauchy-Eulerovou rovnicí, nebo když je rovnice nelineární, s výjimkou několika velmi vzácných případů. Výše uvedené metody však umožňují řešit mnoho důležitých diferenciálních rovnic, se kterými se často setkáváme v různých oblastech vědy.
• Na rozdíl od derivace, která umožňuje najít derivaci libovolné funkce, nelze integrál mnoha výrazů vyjádřit v elementárních funkcích. Proto neztrácejte čas pokusy o výpočet integrálu tam, kde to není možné. Podívejte se na tabulku integrálů. Nelze-li řešení diferenciální rovnice vyjádřit elementárními funkcemi, může být někdy reprezentováno v integrálním tvaru a v tomto případě nezáleží na tom, zda lze tento integrál vypočítat analyticky.

Varování

• Vzhled diferenciální rovnice může být zavádějící. Níže jsou například uvedeny dvě diferenciální rovnice prvního řádu. První rovnici lze snadno vyřešit pomocí metod popsaných v tomto článku. Na první pohled drobná změna y (\displaystyle y) na y 2 (\displaystyle y^(2)) ve druhé rovnici ji činí nelineární a stává se velmi obtížně řešitelnou.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))