Účel matematického modelování. Definice a účel matematického modelování

Podle učebnice Sovetova a Jakovleva: „model (lat. modul - míra) je objektová náhražka původního objektu, která umožňuje studium některých vlastností originálu.“ (str. 6) “Nahrazení jednoho objektu jiným za účelem získání informací o nejdůležitějších vlastnostech původního objektu pomocí objektu modelu se nazývá modelování.” (str. 6) „Pod matematickým modelováním budeme rozumět procesu stanovení korespondence s daným reálným objektem nějakého matematického objektu, nazývaného matematický model, a studium tohoto modelu, které umožňuje získat charakteristiky uvažovaného reálného objektu. . Typ matematického modelu závisí jak na povaze skutečného objektu, tak na úkolech studia objektu a na požadované spolehlivosti a přesnosti řešení tohoto problému.“

Nakonec nejvýstižnější definice matematického modelu: „Rovnice vyjadřující myšlenku."

Klasifikace modelu

Formální klasifikace modelů

Formální klasifikace modelů je založena na klasifikaci použitých matematických nástrojů. Často stavěné ve formě dichotomií. Například jedna z oblíbených sad dichotomií je:

a tak dále. Každý konstruovaný model je lineární nebo nelineární, deterministický nebo stochastický, ... Přirozeně jsou možné i smíšené typy: koncentrované v jednom ohledu (z hlediska parametrů), distribuované modely v jiném atd.

Klasifikace podle způsobu zobrazení objektu

Spolu s formální klasifikací se modely liší ve způsobu, jakým představují objekt:

Strukturální nebo funkční modely

Strukturální modely představují objekt jako systém s vlastním zařízením a fungujícím mechanismem. Funkční modely takové reprezentace nevyužívají a odrážejí pouze zvenčí vnímané chování (fungování) objektu. Ve svém extrémním výrazu se jim také říká „black box" modely. Možné jsou i kombinované typy modelů, kterým se někdy říká „grey box" modely.

Obsahové a formální modely

Téměř všichni autoři popisující proces matematického modelování uvádějí, že nejprve je postavena speciální ideální konstrukce, obsahový model. Neexistuje zde ustálená terminologie a jiní autoři to nazývají ideálním objektem konceptuální model , spekulativní model nebo předmodelovat. V tomto případě se nazývá konečná matematická konstrukce formální model nebo jen matematický model získaný jako výsledek formalizace tohoto obsahového modelu (pre-model). Konstrukce smysluplného modelu může být provedena pomocí sady hotových idealizací, jako v mechanice, kde ideální pružiny, pevná tělesa, ideální kyvadla, elastická média atd. poskytují hotové konstrukční prvky pro smysluplné modelování. V oblastech poznání, kde neexistují plně dokončené formalizované teorie (špičková fyzika, biologie, ekonomie, sociologie, psychologie a většina dalších oblastí), je však tvorba smysluplných modelů dramaticky složitější.

Smysluplná klasifikace modelů

Žádná hypotéza ve vědě nemůže být prokázána jednou provždy. Richard Feynman to vyjádřil velmi jasně:

"Vždy máme schopnost vyvrátit teorii, ale povšimněte si, že nikdy nemůžeme dokázat, že je správná." Předpokládejme, že předložíte úspěšnou hypotézu, spočítáte, kam vede, a zjistíte, že všechny její důsledky jsou experimentálně potvrzeny. Znamená to, že vaše teorie je správná? Ne, to jednoduše znamená, že se vám to nepodařilo vyvrátit.

Pokud je postaven model prvního typu, znamená to, že je dočasně uznán jako pravdivý a lze se soustředit na jiné problémy. To však nemůže být bod ve výzkumu, ale pouze dočasná pauza: stav modelu prvního typu může být pouze dočasný.

Typ 2: Fenomenologický model (chovat se jakoby…)

Fenomenologický model obsahuje mechanismus pro popis jevu. Tento mechanismus však není dostatečně přesvědčivý, nelze jej dostatečně potvrdit dostupnými daty nebo se dobře neshoduje s dostupnými teoriemi a nashromážděnými poznatky o objektu. Proto mají fenomenologické modely status dočasných řešení. Má se za to, že odpověď je stále neznámá a je třeba pokračovat v hledání „pravých mechanismů“. K druhému typu odkazuje Peierls například kalorický model a kvarkový model elementárních částic.

Role modelu ve výzkumu se může v čase měnit, může se stát, že nová data a teorie potvrdí fenomenologické modely a ty jsou povýšeny do stavu hypotézy. Stejně tak se nové poznatky mohou postupně dostat do konfliktu s modely-hypotézami prvního typu a mohou se přenést do druhého. Kvarkový model se tak postupně přesouvá do kategorie hypotéz; atomismus ve fyzice vznikl jako dočasné řešení, ale postupem dějin přešel do prvního typu. Ale éterové modely přešly z typu 1 na typ 2 a nyní jsou mimo vědu.

Myšlenka zjednodušení je při stavbě modelů velmi populární. Zjednodušení je ale jiné. Peierls rozlišuje tři typy zjednodušení v modelování.

Typ 3: Přiblížení (něco je považováno za velmi velké nebo velmi malé)

Pokud je možné sestrojit rovnice popisující zkoumaný systém, neznamená to, že je lze řešit i pomocí počítače. Běžnou technikou je v tomto případě použití aproximací (modely typu 3). Mezi nimi modely lineární odezvy. Rovnice jsou nahrazeny lineárními. Standardním příkladem je Ohmův zákon.

A zde je typ 8, který je široce používán v matematických modelech biologických systémů.

Typ 8: Možnost demonstrace (hlavní věcí je ukázat vnitřní konzistenci možnosti)

To jsou také myšlenkové experimenty s imaginárními entitami, které to dokazují domnělý jev v souladu se základními principy a vnitřně konzistentní. To je hlavní rozdíl od modelů typu 7, které odhalují skryté rozpory.

Jedním z nejznámějších z těchto experimentů je Lobačevského geometrie (Lobačevskij ji nazval „imaginární geometrie“). Dalším příkladem je hromadná výroba formálně kinetických modelů chemických a biologických oscilací, autovln atd. Einstein-Podolsky-Rosenův paradox byl koncipován jako model 7. typu, aby se demonstrovala nekonzistentnost kvantové mechaniky. Zcela neplánovaně se nakonec proměnil v model typu 8 – ukázka možnosti kvantové teleportace informací.

Příklad

Zvážit mechanický systém sestávající z pružiny upevněné na jednom konci a zátěže hmoty m připevněné k volnému konci pružiny. Budeme předpokládat, že se břemeno může pohybovat pouze ve směru osy pružiny (například k pohybu dochází podél tyče). Sestavme matematický model tohoto systému. Stav systému popíšeme vzdáleností X od středu zatížení do jeho rovnovážné polohy. Popišme interakci pružiny a zatížení pomocí Hookův zákon (F = − kX ), načež použijeme druhý Newtonův zákon k vyjádření ve formě diferenciální rovnice:

kde znamená druhou derivaci Xčasem: .

Výsledná rovnice popisuje matematický model uvažovaného fyzikálního systému. Tento vzor se nazývá "harmonický oscilátor".

Podle formální klasifikace je tento model lineární, deterministický, dynamický, koncentrovaný, spojitý. Při jeho konstrukci jsme vycházeli z mnoha předpokladů (o nepřítomnosti vnějších sil, nepřítomnosti tření, malosti výchylek atd.), které ve skutečnosti nemusí být splněny.

Ve vztahu k realitě se nejčastěji jedná o model 4. typu. zjednodušení(„pro srozumitelnost vynecháváme některé detaily“), protože některé základní univerzální rysy (například rozptyl) jsou vynechány. V určité aproximaci (řekněme, pokud je odchylka zatížení od rovnováhy malá, s malým třením, po nepříliš dlouhou dobu a za určitých dalších podmínek), takový model docela dobře popisuje skutečný mechanický systém, protože vyřazené faktory mají na jeho chování zanedbatelný vliv . Model však lze upřesnit zohledněním některých z těchto faktorů. To povede k novému modelu s širším (i když opět omezeným) záběrem.

Když je však model zpřesněn, složitost jeho matematického studia se může výrazně zvýšit a model se může stát prakticky nepoužitelným. Často více jednoduchý model umožňuje lépe a hlouběji prozkoumat skutečný systém než složitější (a formálně „správnější“).

Pokud použijeme model harmonický oscilátor k objektům daleko od fyziky může být její věcný status odlišný. Například při aplikaci tohoto modelu na biologické populace by měl být s největší pravděpodobností připsán typu 6 analogie(„Vezměme v úvahu pouze některé funkce“).

Tvrdé a měkké modely

Harmonický oscilátor je příkladem tzv. "tvrdého" modelu. Získává se jako výsledek silné idealizace skutečného fyzikálního systému. Pro vyřešení otázky její použitelnosti je nutné pochopit, jak významné jsou faktory, které jsme zanedbali. Jinými slovy, je nutné prozkoumat "měkký" model, který se získá malou poruchou "tvrdého". Může být dán například následující rovnicí:

Zde - nějaká funkce, která může brát v úvahu třecí sílu nebo závislost koeficientu tuhosti pružiny na míře jejího natažení - nějaký malý parametr. Explicitní tvar funkce F momentálně nemáme zájem. Pokud prokážeme, že chování měkkého modelu se zásadně neliší od chování tvrdého (bez ohledu na explicitní formu rušivých faktorů, pokud jsou dostatečně malé), bude problém redukován na studium tvrdého modelu. V opačném případě bude aplikace výsledků získaných při studiu rigidního modelu vyžadovat další výzkum. Například řešením rovnice harmonického oscilátoru jsou funkce tvaru , tedy kmity s konstantní amplitudou. Vyplývá z toho, že skutečný oscilátor bude kmitat donekonečna s konstantní amplitudou? Ne, protože uvážíme-li systém s libovolně malým třením (v reálném systému vždy přítomným), dostáváme tlumené kmity. Chování systému se kvalitativně změnilo.

Pokud si systém zachová své kvalitativní chování i při malém narušení, říká se, že je strukturálně stabilní. Harmonický oscilátor je příkladem strukturně nestabilního (nehrubého) systému. Tento model však lze použít ke studiu procesů v omezených časových intervalech.

Univerzálnost modelů

Nejdůležitější matematické modely obvykle mají důležitou vlastnost univerzálnost: zásadně odlišné reálné jevy lze popsat stejným matematickým modelem. Například harmonický oscilátor popisuje nejen chování zátěže na pružině, ale i další oscilační procesy, často zcela jiného charakteru: malé kmity kyvadla, kolísání hladiny kapaliny v U-tvarovaná nádoba nebo změna síly proudu v oscilačním obvodu. Když tedy studujeme jeden matematický model, studujeme najednou celou třídu jevů, které popisuje. Právě tento izomorfismus zákonů vyjádřených matematickými modely v různých segmentech vědeckého poznání vedl Ludwiga von Bertalanffyho k vytvoření „Obecné teorie systémů“.

Přímé a inverzní úlohy matematického modelování

S matematickým modelováním je spojeno mnoho problémů. Nejprve je třeba vymyslet základní schéma modelovaného objektu, reprodukovat jej v rámci idealizací této vědy. Vagón se tak promění v soustavu desek a složitějších těl různé materiály, každý materiál je specifikován jako jeho standardní mechanická idealizace (hustota, moduly pružnosti, standardní pevnostní charakteristiky), načež jsou sestaveny rovnice, po cestě jsou některé detaily vyřazeny jako nepodstatné, jsou provedeny výpočty, porovnány s měřeními, model je zpřesněn, a tak dále. Pro vývoj technologií matematického modelování je však užitečné tento proces rozebrat na jeho hlavní základní prvky.

Tradičně existují dvě hlavní třídy problémů spojených s matematickými modely: přímé a inverzní.

Přímý problém: struktura modelu a všechny jeho parametry jsou považovány za známé, hlavním úkolem je studovat model, abyste získali užitečné znalosti o objektu. Jaké statické zatížení most vydrží? Jak bude reagovat na dynamickou zátěž (například na pochod roty vojáků nebo na průjezd vlaku různou rychlostí), jak letadlo překoná zvukovou bariéru, zda se rozpadne od flutteru - to jsou typické příklady přímého úkolu. Nastavení správného přímého problému (položení správné otázky) vyžaduje speciální dovednosti. Pokud nejsou položeny správné otázky, může se most zřítit, i když byl postaven. dobrý model za jeho chování. V roce 1879 se tedy v Anglii zřítil kovový most přes řeku Tey, jehož konstruktéři postavili model mostu, vypočítali jej pro 20násobnou bezpečnostní rezervu pro užitečné zatížení, ale zapomněli na to, že v nich neustále fouká vítr. místa. A po roce a půl se to zhroutilo.

V nejjednodušším případě (například rovnice jednoho oscilátoru) je přímý problém velmi jednoduchý a redukuje se na explicitní řešení této rovnice.

Inverzní problém: je známo mnoho možných modelů, je nutné vybrat konkrétní model na základě doplňujících údajů o objektu. Nejčastěji je struktura modelu známá a je potřeba určit některé neznámé parametry. dodatečné informace může spočívat v dalších empirických datech nebo v požadavcích na objekt ( designový úkol). Další data mohou přijít bez ohledu na proces řešení inverzního problému ( pasivní pozorování) nebo být výsledkem experimentu speciálně plánovaného v průběhu řešení ( aktivní dohled).

Jedním z prvních příkladů virtuózního řešení inverzního problému s maximálním využitím dostupných dat byla metoda zkonstruovaná I. Newtonem pro rekonstrukci třecích sil z pozorovaných tlumených kmitů.

Další příklady

kde X s- "rovnovážná" velikost populace, při které je porodnost přesně kompenzována úmrtností. Velikost populace v takovém modelu směřuje k rovnovážné hodnotě X s a toto chování je strukturálně stabilní.

Tento systém má rovnovážný stav, kdy je počet králíků a lišek konstantní. Odchylka od tohoto stavu vede ke kolísání počtu králíků a lišek, podobně jako kolísání harmonického oscilátoru. Stejně jako v případě harmonického oscilátoru není toto chování strukturálně stabilní: malá změna v modelu (například s přihlédnutím k omezeným zdrojům potřebným pro králíky) může vést ke kvalitativní změně chování. Například rovnovážný stav se může ustálit a fluktuace populace odezní. Možná je i opačná situace, kdy jakákoli malá odchylka od rovnovážné polohy povede ke katastrofálním následkům, až k úplnému vyhynutí některého z druhů. Na otázku, který z těchto scénářů je realizován, model Volterra-Lotka nedává odpověď: je zde nutný další výzkum.

Poznámky

„Matematické znázornění reality“ (Encyclopaedia Britanica)
Novik I.B., K filozofickým otázkám kybernetického modelování. M., Vědomosti, 1964.
Sovetov B. Ya., Jakovlev S. A., Systémové modelování: Proc. pro vysoké školy - 3. vyd., přeprac. a doplňkové - M.: Vyšší. škola, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A. A., Michajlov A. P. Matematické modelování. Nápady. Metody. Příklady. . - 2. vyd., Rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A.D., Základy teorie matematických modelů. - 3. vydání, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
Wikislovník: matematické modely
Poznámky k útesům
Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
„Teorie je považována za lineární nebo nelineární v závislosti na tom, jaký - lineární nebo nelineární - matematický aparát, jaké - lineární nebo nelineární - matematické modely používá. ... aniž bych to druhé popřel. Moderní fyzik, pokud by náhodou předefinoval tak důležitou entitu jako nelinearitu, by s největší pravděpodobností jednal jinak, a preferoval by nelinearitu jako důležitější a společný ze dvou protikladů, definoval by linearitu jako „ne- linearita“. Danilov Yu. A., Přednášky o nelineární dynamice. Elementární úvod. Synergetika: řada od minulosti k budoucnosti. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 s. ISBN 5-484-00183-8
« Dynamické systémy, modelovaný konečným počtem obyčejných diferenciální rovnice, se nazývají koncentrované resp bodové systémy. Jsou popsány pomocí konečnorozměrného fázového prostoru a jsou charakterizovány konečným počtem stupňů volnosti. Stejný systém v různé podmínky lze považovat za koncentrované nebo distribuované. Matematické modely distribuovaných systémů jsou parciální diferenciální rovnice, integrální rovnice nebo obyčejné rovnice zpoždění. Počet stupňů volnosti distribuovaného systému je nekonečný a k určení jeho stavu je zapotřebí nekonečné množství dat. Aniščenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, č. 11, s. 77-84.
„V závislosti na charakteru studovaných procesů v systému S lze všechny typy modelování rozdělit na deterministické a stochastické, statické a dynamické, diskrétní, spojité a diskrétně-spojité. Deterministické modelování zobrazuje deterministické procesy, tedy procesy, u kterých se předpokládá nepřítomnost jakýchkoli náhodných vlivů; stochastické modelování zobrazuje pravděpodobnostní procesy a události. … Statické modelování se používá k popisu chování objektu v libovolném okamžiku, zatímco dynamické modelování odráží chování objektu v průběhu času. Diskrétní modelování slouží k popisu procesů, o kterých se předpokládá, že jsou diskrétní, respektive spojité modelování umožňuje reflektovat spojité procesy v systémech a diskrétně spojité modelování se používá pro případy, kdy chcete zvýraznit přítomnost jak diskrétních, tak spojitých procesů. Sovetov B. Ya., Jakovlev S. A., Systémové modelování: Proc. pro vysoké školy - 3. vyd., přeprac. a doplňkové - M.: Vyšší. škola, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
Obvykle matematický model odráží strukturu (zařízení) modelovaného objektu, vlastnosti a vzájemné vazby komponent tohoto objektu, které jsou pro účely studie podstatné; takový model se nazývá strukturální. Pokud model odráží pouze to, jak objekt funguje – například jak reaguje na vnější vlivy – pak se nazývá funkční nebo přeneseně černá skříňka. Možné jsou i kombinované modely. Myshkis A.D., Základy teorie matematických modelů. - 3. vydání, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
„Samozřejmé, ale nejdůležitější počáteční fází konstrukce nebo výběru matematického modelu je získat co nejjasnější představu o modelovaném objektu a vylepšit jeho obsahový model na základě neformálních diskuzí. V této fázi by se nemělo šetřit časem a úsilím, na tom do značné míry závisí úspěšnost celé studie. Nejednou se stalo, že nemalá práce vynaložená na řešení matematického problému se ukázala jako neefektivní nebo dokonce zmařená pro nedostatečnou pozornost této stránce věci. Myshkis A.D., Základy teorie matematických modelů. - 3. vydání, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, str. 35.
« Popis koncepčního modelu systému. V této dílčí fázi budování modelu systému: a) je konceptuální model M popsán v abstraktních termínech a konceptech; b) popis modelu je uveden pomocí typických matematických schémat; c) hypotézy a předpoklady jsou nakonec přijaty; d) je zdůvodněna volba postupu aproximace reálných procesů při sestavování modelu. Sovetov B. Ya., Jakovlev S. A., Systémové modelování: Proc. pro vysoké školy - 3. vyd., přeprac. a doplňkové - M.: Vyšší. škola, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2, str. 93.

Matematický model technického objektu je soubor matematických objektů a vztahů mezi nimi, který adekvátně odráží vlastnosti zkoumaného objektu, které jsou zajímavé pro výzkumníka (inženýra).

Model může být reprezentován různými způsoby.

Formy reprezentace modelu:

invariantní - záznam modelových vztahů pomocí tradičního matematického jazyka, bez ohledu na způsob řešení modelových rovnic;

analytický - záznam modelu ve formě výsledku analytického řešení počátečních rovnic modelu;

algoritmický - záznam vztahů modelu a zvolené numerické metody řešení ve formě algoritmu.

schematické (grafické) - znázornění modelu v nějakém grafickém jazyce (například jazyk grafů, ekvivalentních obvodů, schémat apod.);

fyzický

analogový

Nejuniverzálnější je matematický popis procesů – matematické modelování.

Pojem matematické modelování zahrnuje i proces řešení problému na počítači.

Zobecněný matematický model

Matematický model popisuje vztah mezi výchozími daty a požadovanými hodnotami.

Prvky zobecněného matematického modelu jsou (obr. 1): množina vstupních dat (proměnných) X,Y;

X - množina proměnných; Y - nezávisle proměnné (konstanta);

matematický operátor L, který definuje operace s těmito daty; který je chápán jako úplný systém matematických operací, které popisují číselné nebo logické vztahy mezi soubory vstupních a výstupních dat (proměnných);

množina výstupních dat (proměnných) G(X,Y); je soubor kriteriálních funkcí, včetně (je-li to nutné) účelové funkce.

Matematický model je matematickou obdobou navrženého objektu. Míra přiměřenosti jeho předmětu je dána formulací a správností řešení konstrukčního problému.

Množina proměnných parametrů (proměnných) X tvoří prostor proměnných parametrů Rx (vyhledávací prostor), který je metrický s dimenzí n rovnou počtu proměnných parametrů.

Množina nezávislých proměnných Y tvoří metrický prostor vstupních dat Ry. V případě, kdy je každá složka prostoru Ry dána rozsahem možných hodnot, je množina nezávislých proměnných mapována do nějakého omezeného podprostoru prostoru Ry.

Množina nezávisle proměnných Y určuje prostředí pro provoz objektu, tzn. vnější podmínky, ve kterých bude navržený objekt fungovat

To může být:

- Technické specifikace objekt, který nepodléhá změnám během procesu návrhu;
- fyzické poruchy prostředí, se kterým designový objekt interaguje;
- taktické parametry, kterých má projektovaný objekt dosahovat.

Výstupní data uvažovaného zobecněného modelu tvoří metrický prostor kriteriálních ukazatelů RG.

Schéma použití matematického modelu v systému počítačově podporovaného návrhu je na obr.2.

Požadavky na matematický model

Hlavními požadavky na matematické modely jsou požadavky přiměřenosti, univerzálnosti a hospodárnosti.

Přiměřenost. Model je považován za adekvátní, pokud odráží dané vlastnosti s přijatelnou přesností. Přesnost je definována jako míra shody mezi hodnotami výstupních parametrů modelu a objektu.

Přesnost modelu je různá různé podmínky fungování objektu. Tyto podmínky jsou charakterizovány vnějšími parametry. V prostoru externích parametrů vyberte oblast adekvátnosti modelu, kde je chyba menší než zadaná maximální dovolená chyba. Stanovení domény adekvátnosti modelu je složitý postup, který vyžaduje velké výpočetní náklady, které rychle rostou s rostoucí dimenzí prostoru externích parametrů. Tato úloha může objemově výrazně přesáhnout úlohu parametrické optimalizace samotného modelu, proto nemusí být řešena pro nově navržené objekty.

Univerzálnost - je určena především počtem a skladbou vnějších a výstupních parametrů zohledněných v modelu.

Ekonomika modelu je charakterizována náklady na výpočetní prostředky pro jeho realizaci – náklady na počítačový čas a paměť.

Protichůdné požadavky na to, aby model měl široký rozsah přiměřenosti, vysoký stupeň univerzálnosti a vysokou účinnost určují použití řady modelů pro objekty stejného typu.

Metody vyhledávání modelů

Dostaňte modely obecný případ- neformalizovaný postup. Hlavní rozhodnutí týkající se volby typu matematických vztahů, povahy použitých proměnných a parametrů činí projektant. Zároveň jsou na počítači algoritmizovány a řešeny takové operace, jako je výpočet číselných hodnot parametrů modelu, stanovení oblastí přiměřenosti a další. Modelování prvků navrženého systému proto obvykle provádějí specialisté v konkrétních technických oborech pomocí tradičních experimentálních studií.

Metody získávání funkčních modelů prvků se dělí na teoretické a experimentální.

Teoretické metody jsou založeny na studiu fyzikálních zákonitostí procesů probíhajících v objektu, stanovení matematického popisu odpovídajícím těmto zákonitostem, doložení a přijetí zjednodušujících předpokladů, provedení potřebných výpočtů a uvedení výsledku do akceptované podoby modelové reprezentace.

Experimentální metody jsou založeny na použití vnější projevy vlastnosti objektu, zaznamenané při provozu stejného typu objektů nebo při cílených experimentech.

Navzdory heuristické povaze mnoha operací má modelování řadu ustanovení a technik společných pro získávání modelů různých objektů. Jsou poměrně obecné povahy.

technika makromodelování,

matematické metody pro plánování experimentů,

algoritmy pro formalizované operace pro výpočet číselných hodnot parametrů a určování oblastí přiměřenosti.

Použití matematických modelů

Výpočetní výkon moderních počítačů v kombinaci s poskytováním všech systémových prostředků uživateli, možností interaktivního režimu při řešení problému a analýze výsledků umožňují minimalizovat čas na řešení problému.

Při sestavování matematického modelu je výzkumník povinen:

studovat vlastnosti studovaného objektu;

schopnost oddělit hlavní vlastnosti předmětu od vedlejších;

vyhodnotit vytvořené předpoklady.

Model popisuje vztah mezi vstupními daty a požadovanými hodnotami. Posloupnost akcí, které je třeba provést, aby bylo možné přejít od počátečních dat k požadovaným hodnotám, se nazývá algoritmus.

Algoritmus řešení úlohy na počítači je spojen s volbou numerické metody. V závislosti na formě znázornění matematického modelu (algebraická nebo diferenciální forma) se používají různé numerické metody.

Podstata ekonomického a matematického modelování spočívá v popisu socioekonomických systémů a procesů formou ekonomických a matematických modelů.

Podívejme se na otázky klasifikace ekonomických a matematických metod. Tyto metody, jak bylo uvedeno výše, jsou komplexem ekonomických a matematických disciplín, které jsou slitinou ekonomie, matematiky a kybernetiky.

Klasifikace ekonomických a matematických metod je proto redukována na klasifikaci vědních oborů zahrnutých v jejich skladbě. Přestože obecně přijímaná klasifikace těchto oborů nebyla dosud vypracována, s jistou mírou přiblížení lze ve skladbě ekonomických a matematických metod rozlišit následující oddíly:

* ekonomická kybernetika: systémová analýza ekonomie, teorie ekonomických informací a teorie řídicích systémů;
* matematická statistika: ekonomické aplikace této disciplíny - výběrová metoda, analýza rozptylu, korelační analýza, regresní analýza, vícerozměrná statistická analýza, faktorová analýza, teorie indexů atd.;
* Matematická ekonomie a ekonometrie, která studuje stejné problémy z kvantitativního hlediska: teorie ekonomického růstu, teorie produkčních funkcí, mezisektorové rovnováhy, národní účty, analýza poptávky a spotřeby, regionální a prostorová analýza, globální modelování atd. .;
* metody pro optimální rozhodování, včetně studia operací v ekonomice. Jedná se o nejobsáhlejší sekci, která zahrnuje následující disciplíny a metody: optimální (matematické) programování včetně větvených a vázaných metod, metody síťového plánování a řízení, programově cílené metody plánování a řízení, teorie a metody řízení zásob, teorie front , teorie her, teorie a metody rozhodování, teorie plánování. Optimální (matematické) programování zahrnuje lineární programování, nelineární programování, dynamické programování, diskrétní (celočíselné) programování, zlomkové lineární programování, parametrické programování, separovatelné programování, stochastické programování, geometrické programování;
* Metody a disciplíny, které jsou specifické jak pro centrálně plánovanou ekonomiku, tak pro tržní (konkurenční) ekonomiku. Mezi první patří teorie optimálního fungování ekonomiky, optimální plánování, teorie optimální tvorby cen, modely logistiky atd. Mezi druhé patří metody, které umožňují rozvíjet modely volné konkurence, modely kapitalistického cyklu, modely monopolu, modely indikativního plánování, modely teorie firmy atd.

Mnohé z metod vyvinutých pro centrálně plánovanou ekonomiku mohou být také užitečné v ekonomickém a matematickém modelování v tržní ekonomice;

* metody experimentálního studia ekonomických jevů. Patří sem zpravidla matematické metody analýzy a plánování ekonomických experimentů, metody strojové simulace (simulační modelování), obchodní hry. Patří sem i metody expertního posouzení vyvinuté pro hodnocení jevů, které nelze přímo měřit.

Vraťme se nyní k otázkám klasifikace ekonomických a matematických modelů, jinými slovy matematických modelů socioekonomických systémů a procesů.

Jednotný klasifikační systém pro takové modely v současné době také neexistuje, obvykle se však rozlišuje více než deset hlavních znaků jejich klasifikace, respektive klasifikačních hesel. Pojďme se na některé z těchto sekcí podívat.

Podle obecného účelu se ekonomické a matematické modely dělí na teoretické a analytické, používané ve studii společné vlastnosti a zákonitosti ekonomických procesů a aplikované, používané při řešení konkrétních ekonomických problémů analýzy, prognózování a řízení. odlišné typy aplikované ekonomické a matematické modely jsou právě zvažovány v tomto tutoriálu.

Podle míry agregace objektů modelování se modely dělí na makroekonomické a mikroekonomické. I když mezi nimi není jasné rozlišení, první z nich zahrnuje modely, které odrážejí fungování ekonomiky jako celku, zatímco mikroekonomické modely jsou zpravidla spojeny s takovými částmi ekonomiky, jako jsou podniky a firmy.

Podle konkrétního účelu, tj. podle účelu tvorby a aplikace, se rozlišují bilanční modely vyjadřující požadavek, aby dostupnost zdrojů odpovídala jejich využití; trendové modely, ve kterých se vývoj modelovaného ekonomického systému odráží prostřednictvím trendu (dlouhodobého trendu) jeho hlavních ukazatelů; optimalizační modely určené pro výběr nejlepší možnost z určitého počtu možností výroby, distribuce nebo spotřeby; simulační modely určené pro použití v procesu strojové simulace studovaných systémů nebo procesů atd.

Podle typu informací použitých v modelu se ekonomicko-matematické modely dělí na analytické, postavené na apriorních informacích, a identifikovatelné, postavené na aposteriorních informacích.

Zohledněním časového faktoru se modely dělí na statické, ve kterých jsou všechny závislosti vztaženy k jednomu časovému bodu, a dynamické, které popisují ekonomické systémy ve vývoji.

S přihlédnutím k faktoru nejistoty se modely dělí na deterministické, pokud jsou výstupy v nich jednoznačně určeny kontrolními akcemi, a stochastické (pravděpodobnostní), pokud je na vstupu modelu specifikována určitá množina hodnot. , jeho výstup může produkovat různé výsledky v závislosti na působení náhodného faktoru.

Ekonomické a matematické modely lze také klasifikovat podle charakteristik matematických objektů zahrnutých v modelu, jinými slovy podle typu matematického aparátu použitého v modelu. Na tomto základě maticové modely, lineární a nelineární programovací modely, korelační-regresní modely,

Základní pojmy matematického modelování modelu teorie front, modelu plánování a řízení sítě, modelu teorie her atd.

Konečně podle typu přístupu ke studovaným socioekonomickým systémům se rozlišují deskriptivní a normativní modely. Popisným (deskriptivním) přístupem se získávají modely, které jsou určeny k popisu a vysvětlení skutečně pozorovaných jevů nebo k předpovídání těchto jevů; Jako příklad deskriptivních modelů můžeme uvést již dříve jmenované balanční a trendové modely. S normativním přístupem je nezajímá, jak je ekonomika organizována a jak se vyvíjí. ekonomický systém, ale jak by měl být uspořádán a jak by měl působit ve smyslu určitých kritérií. Zejména všechny optimalizační modely jsou normativního typu; jako další příklad mohou sloužit normativní modely životní úrovně.

Vezměme si jako příklad ekonomicko-matematický model bilance vstupů a výstupů (EMM IOB). S přihlédnutím k výše uvedeným klasifikačním položkám se jedná o aplikovaný, makroekonomický, analytický, deskriptivní, deterministický, bilanční, maticový model; zatímco existují jako statické metody stejně jako dynamické

Lineární programování je zvláštní odvětví optimálního programování. Optimální (matematické) programování je zase odvětvím aplikované matematiky, které studuje problémy podmíněné optimalizace. V ekonomii takové problémy vznikají při praktickém zavádění principu optimality do plánování a řízení.

Nezbytnou podmínkou pro použití optimálního přístupu k plánování a řízení (princip optimality) je flexibilita, alternativa výrobních a ekonomických situací, ve kterých je třeba rozhodovat o plánování a řízení. Právě tyto situace zpravidla tvoří každodenní praxi ekonomického subjektu (výběr výrobního programu, vázání na dodavatele, směrování, řezání materiálů, příprava směsí atd.).

Podstata principu optimality spočívá v touze zvolit takové plánovací a manažerské rozhodnutí nejlepší způsob by zohledňovala vnitřní možnosti a vnější podmínky výrobní činnosti ekonomického subjektu.

Slova "nejlepším způsobem" zde znamenají volbu nějakého kritéria optimality, tzn. nějaký ekonomický ukazatel, který umožňuje porovnat efektivitu určitých plánovacích a manažerských rozhodnutí. Tradiční kritéria optimality: „maximální zisk“, „minimální náklady“, „maximální ziskovost“ atd. Slova „bude brát v úvahu vnitřní možnosti a vnější podmínky výrobní činnosti“ znamenají, že na výběr výrobních činností je kladena řada podmínek. rozhodnutí o plánování a řízení (chování), t .e. výběr X se provádí z určité oblasti možných (přípustných) řešení D; tato oblast se také nazývá oblast definice problému. obecný problém optimálního (matematického) programování, jinak matematický model optimálního programovacího problému, jehož konstrukce (vývoj) je založena na principech optimality a konzistence.

Vektor X (množina řídicích proměnných Xj, j = 1, n) se nazývá proveditelné řešení nebo optimální plán programovacích problémů, pokud vyhovuje systému omezení. A tento plán X (přípustné řešení), který poskytuje maximum nebo minimum účelové funkce f(xi, *2, ..., xn), se nazývá optimální plán (optimální chování nebo jednoduše řešení) optimálního programovacího problému.

Volba optimálního manažerského chování v konkrétní výrobní situaci je tedy spojena s prováděním ekonomického a matematického modelování z hlediska konzistence a optimality a řešením problému optimálního programování. Optimální programovací problémy v nejobecnější podobě jsou klasifikovány podle následujících kritérií.

1. Podle povahy vztahu mezi proměnnými -
a) lineární
b) nelineární.

V případě a) jsou všechny funkční vazby v systému omezení a cílová funkce lineárními funkcemi; přítomnost nelinearity v alespoň jednom z uvedených prvků vede k případu b).

2. Podle povahy změny proměnných --
a) kontinuální
b) diskrétní.

V případě a) hodnoty každé z řídicích proměnných mohou zcela vyplnit určitou oblast reálných čísel; v případě b) všechny nebo alespoň jedna proměnná mohou nabývat pouze celočíselné hodnoty.

3. Zohledněním faktoru času –
a) statické
b) dynamický.

V úlohách a) se modelování a rozhodování provádějí za předpokladu, že prvky modelu jsou nezávislé na čase během časového období, pro které se činí rozhodnutí o plánování a řízení. V případě b) nelze takový předpoklad akceptovat s dostatečným odůvodněním a je třeba vzít v úvahu časový faktor.

4. Podle dostupnosti informací o proměnných --
a) úkoly za podmínek naprosté jistoty (deterministické),
b) úkoly v podmínkách neúplných informací,
c) úkoly v podmínkách nejistoty.

V úlohách b) jsou jednotlivé prvky pravděpodobnostními veličinami, jsou však známy zákony jejich rozdělení nebo lze stanovit další statistické studie. V případě c) lze učinit předpoklad o možných výsledcích náhodných prvků, ale není možné učinit závěr o pravděpodobností výsledků.

5. Podle počtu kritérií pro hodnocení alternativ -
a) jednoduché úkoly s jedním kritériem,
b) složité, vícekriteriální úkoly.

V úkolech a) je ekonomicky přijatelné použít jedno kritérium optimality nebo je to možné speciálními postupy (například „vážení priorit“).

ÚVOD

Bez toho si moderní vědu nelze představit široké uplatnění matematické modelování. Podstatou této metodiky je nahrazení původního objektu jeho "obrazem" - matematickým modelem - a další studium modelu pomocí algoritmů výpočetní logiky implementovaných na počítačích. Tato „třetí metoda“ poznávání, navrhování, navrhování spojuje mnoho výhod jak teorie, tak experimentu. Práce nikoli s objektem samotným (jevem, procesem), ale s jeho modelem umožňuje bezbolestně, relativně rychle a bez výrazných nákladů studovat jeho vlastnosti a chování v jakýchkoliv myslitelných situacích (výhody teorie). Výpočtové (počítačové, simulační, simulační) experimenty s objektovými modely přitom umožňují, opírající se o sílu moderních výpočetních metod a technických prostředků informatiky, studovat objekty dostatečně podrobně a do hloubky, v dostatečné úplnosti, nepřístupně k čistě teoretickým přístupům (experimentální výhody). Není divu, že metodika matematického modelování se rychle rozvíjí, pokrývá všechny nové oblasti – od vývoje technické systémy a jejich řízení až po analýzu nejsložitějších ekonomických a sociálních procesů.

Prvky matematického modelování se používají od samého počátku vzniku exaktních věd a není náhodou, že některé výpočetní metody nesou jména takových osobností vědy, jako jsou Newton a Euler, a slovo „algoritmus“ pochází z jméno středověkého arabského vědce Al-Khwarizmiho. Ke druhému „zrození“ této metodiky došlo na přelomu 40. a 50. let 20. století a bylo způsobeno minimálně dvěma důvody. Prvním z nich je vznik počítačů (počítačů), na dnešní poměry sice skromných, ale přesto ušetřil vědce od obrovského množství rutinní výpočetní práce. Druhým je bezprecedentní společenská objednávka – realizace národních programů SSSR a USA na vytvoření jaderného protiraketového štítu, které nebylo možné realizovat tradičními metodami. Matematické modelování si s tímto úkolem poradilo: jaderné výbuchy a lety raket a satelitů byly dříve „prováděny“ v hlubinách počítačů pomocí matematických modelů a teprve poté uváděny do praxe. Tento úspěch do značné míry předurčil další úspěchy metodiky, bez jejíž aplikace se dnes ve vyspělých zemích vážně neuvažuje o žádném velkém technologickém, ekologickém či ekonomickém projektu (to platí i ve vztahu k některým společensko-politickým projektům).

Nyní matematické modelování vstupuje do třetí zásadně důležité etapy svého vývoje, „začleňuje se“ do struktur tzv. informační společnosti. Působivý pokrok v prostředcích zpracování, přenosu a uchovávání informací odpovídá celosvětovým trendům směřujícím ke komplikacím a vzájemnému pronikání. různé oblasti lidské aktivity. Bez vlastnictví informačních „zdrojů“ není možné ani uvažovat o řešení stále větších a rozmanitějších problémů, kterým čelí světové společenství. Informace jako takové však často slouží jen málo pro analýzu a prognózování, pro rozhodování a sledování jejich realizace. Potřebujeme spolehlivé způsoby zpracování informačních „surovin“ do hotového „produktu“, tedy do přesných znalostí. Historie metodologie matematického modelování přesvědčuje: může a měla by být intelektuálním jádrem informační technologie, celý proces informatizace společnosti.

Studované technické, ekologické, ekonomické a další systémy moderní věda, již nelze zkoumat (v požadované úplnosti a přesnosti) konvenčními teoretickými metodami. Přímý úplný experiment na nich je dlouhý, drahý, často buď nebezpečný, nebo prostě nemožný, protože mnoho z těchto systémů existuje v „jediné kopii“. Cena chyb a chybných výpočtů při jejich manipulaci je nepřijatelně vysoká. Proto je matematické (v širším smyslu informační) modelování nevyhnutelnou součástí vědeckotechnického pokroku.

V širším měřítku připomínáme, že modelování je přítomno téměř ve všech typech tvůrčí činnosti lidí různých "specializací" - výzkumníků a podnikatelů, politiků a vojenských vůdců. Zavedení exaktních znalostí do těchto sfér pomáhá omezit intuitivní spekulativní „modelování“, rozšiřuje pole aplikace racionálních metod. Matematické modelování je samozřejmě plodné pouze tehdy, jsou-li splněny všeobecně známé profesní požadavky: jasná formulace základních pojmů a předpokladů, aposteriorní analýza adekvátnosti použitých modelů, zaručená přesnost výpočetních algoritmů atd. modelování systémů za účasti "lidského faktoru", tedy objektů, které je obtížné formalizovat, pak je k těmto požadavkům nutné přidat přesné rozlišení matematických a každodenních pojmů (znějících stejně, ale majících jiný význam), pečlivá aplikace hotového matematického aparátu ke studiu jevů a procesů (výhodnější je cesta „od problému k metodě“ a ne naopak) a řada dalších.

Při řešení problémů informační společnosti by bylo naivní spoléhat se pouze na výkon počítačů a dalších nástrojů informatiky. Neustálé zlepšování triády matematického modelování a její implementace v moderních systémech informačního modelování je metodologickým imperativem. Pouze jeho implementace umožňuje získat high-tech, konkurenceschopné a rozmanité materiální a intelektuální produkty, které tak zoufale potřebujeme.

Téma, které jsem si zvolil, je aktuální v moderní matematice a jejích aplikacích. V moderním vědeckém přístupu ke studiu přírodních, technických a socioekonomických objektů roste význam matematického modelování procesů v nich probíhajících. Přirozené studium chování objektů a systémů v takových režimech a podmínkách je nemožné nebo obtížné, což si vynucuje použití metod matematického modelování.

Cílem této práce je naučit se používat metody matematického modelování ke studiu různých přírodních sociálních procesů.

Úkoly stanovené k dosažení cíle:

n Studium teoretických otázek matematického modelování, klasifikace modelů.

ZÁKLADNÍ POJMY MATEMATICKÉHO MODELOVÁNÍ

Modelování- metoda vědeckého výzkumu jevů, procesů, objektů, zařízení nebo systémů (obecně - výzkumných objektů), založená na konstrukci a studiu modelů za účelem získání nových poznatků, zlepšení vlastností výzkumných objektů nebo jejich řízení.

Modelka- hmotný předmět nebo obraz (mentální nebo podmíněný: hypotéza, myšlenka, abstrakce, obraz, popis, diagram, vzorec, kresba, plán, mapa, vývojový diagram algoritmu, poznámky atd.), které jednoduše zobrazují nejpodstatnější vlastnosti předmětu výzkum.

Jakýkoli model je vždy jednodušší než skutečný objekt a zobrazuje pouze část jeho nejpodstatnějších vlastností, hlavních prvků a spojení. Z tohoto důvodu pro jeden předmět studia existuje mnoho různých modelů. Typ modelu závisí na zvoleném účelu modelování.

Pojem „model“ vychází z latinského slova modul – míra, vzorek. Model je náhradou za skutečný předmět studia. Model je vždy jednodušší než zkoumaný objekt. Při studiu složitých jevů, procesů, objektů není možné brát v úvahu souhrn všech prvků a vztahů, které určují jejich vlastnosti.

Ale neměly by být brány v úvahu všechny prvky a vazby ve vytvořeném modelu. Je třeba pouze vyčlenit nejcharakterističtější, dominantní složky, které v drtivé většině určují hlavní vlastnosti předmětu studia. V důsledku toho je předmět studia nahrazen určitou zjednodušenou podobností, ale s charakteristickými, hlavními vlastnostmi podobnými těm, které má předmět studia. Nový objekt (nebo abstrakce), který se objevil v důsledku substituce, se obvykle nazývá model předmětu studia.

Pro sestavení matematických modelů lze použít libovolné matematické prostředky - diferenciální a integrální počet, regresní analýzu, teorii pravděpodobnosti, matematickou statistiku atd. Matematický model je soubor vzorců, rovnic, nerovnic, logických podmínek atd. Matematické vztahy používané v matematickém modelování určují proces změny stavu předmětu studia v závislosti na jeho parametrech, vstupních signálech, počáteční podmínky a čas. V podstatě je veškerá matematika navržena tak, aby tvořila matematické modely.

Ó velká důležitost matematika pro všechny ostatní vědy (včetně modelování) říká následující skutečnost. Velký anglický fyzik I. Newton (1643-1727) se v polovině 17. století seznámil s díly René Descartese a Pierra Gassendiho. Tyto práce uváděly, že celou strukturu světa lze popsat matematickými vzorci. Pod vlivem těchto prací se I. Newton začal intenzivně věnovat matematice. Jeho přínos fyzice a matematice je všeobecně známý.

Matematické modelování je metoda studia předmětu studia založená na vytvoření jeho matematického modelu a jeho využití k získávání nových poznatků, zlepšování předmětu studia nebo řízení objektu.

Pro matematické modelování je charakteristické, že procesy fungování objektu jsou zapsány formou matematických vztahů (algebraických, integrálních), zapsaných formou logických podmínek.

Diferenciální rovnice jsou jedním z hlavních prostředků sestavování matematických modelů, které se nejvíce používají při řešení matematických problémů. Při studiu fyzikálních procesů, řešení různých aplikovaných problémů zpravidla nelze přímo nalézt zákonitosti, které spojují veličiny charakterizující zkoumané jevy. Obvykle je jednodušší stanovit vztahy mezi stejnými veličinami a jejich derivacemi nebo diferenciály. Relace tohoto druhu se nazývají diferenciální rovnice. Možnosti a pravidla pro sestavování diferenciálních rovnic jsou dány znalostí zákonitostí vědního oboru, se kterým je povaha zkoumaného problému spojena. Takže například Newtonovy zákony lze použít v mechanice, v teorii rychlostí chemické reakce- zákon hromadné akce atd. V praxi však často nastávají případy, kdy nejsou známy zákony, které by umožnily sestavit diferenciální rovnici. Pak se uchýlí k různým zjednodušujícím předpokladům ohledně průběhu procesu s malými změnami v parametrech-proměnných. V tomto případě přechod na limitu vede k diferenciálním rovnicím. Otázka korespondence matematického modelu a reálného jevu je řešena na základě analýzy výsledků, experimentů a jejich porovnání s chováním řešení získané diferenciální rovnice.

Matematické modely

Matematický model - přibližné opipopis objektu modelování, vyjádřený pomocíschyu matematická symbolika.

Matematické modely se objevily spolu s matematikou před mnoha staletími. Obrovský impuls k rozvoji matematického modelování dal vzhled počítačů. Použití počítačů umožnilo analyzovat a uvést do praxe mnoho matematických modelů, které dříve nebyly přístupné analytickému výzkumu. Počítačově implementovaná matematikamodel oblohy volala počítačový matematický model, A provádění cílených výpočtů pomocí počítačového modelu volala výpočetní experiment.

Etapy počítačové matematiky movymazání znázorněno na obrázku. Prvníetapa - definice cílů modelování. Tyto cíle mohou být různé:

model je potřeba k tomu, abychom pochopili, jak konkrétní objekt funguje, jaká je jeho struktura, základní vlastnosti, zákonitosti vývoje a interakce
s vnějším světem (porozumění);
model je potřeba k tomu, abychom se naučili ovládat objekt (nebo proces) a určovat nejlepší způsobyřízení s danými cíli a kritérii (management);
model je potřebný k predikci přímých a nepřímých důsledků implementace specifikovaných metod a forem dopadu na objekt (prognóza).

Pojďme si to vysvětlit na příkladech. Nechť je předmětem studia interakce proudu kapaliny nebo plynu s tělesem, které je překážkou tohoto proudění. Zkušenosti ukazují, že síla odporu proti proudění ze strany tělesa roste s rostoucí rychlostí proudění, ale při nějaké dostatečně vysoké rychlosti tato síla prudce klesá, aby s dalším zvyšováním rychlosti opět rostla. Co způsobilo snížení odporové síly? Matematické modelování nám umožňuje získat jasnou odpověď: v okamžiku prudkého poklesu odporu se od něj začnou odtrhávat víry vzniklé v proudění kapaliny nebo plynu za proudnicovým tělesem a jsou proudem unášeny.

Příklad z úplně jiné oblasti: v mírumilovném soužití se stabilními populacemi dvou druhů jedinců se společnou potravní základnou se „najednou“ začnou dramaticky měnit jejich počty. A zde matematické modelování umožňuje (s jistou mírou jistoty) stanovit příčinu (nebo alespoň vyvrátit určitou hypotézu).

Rozvoj konceptu správy objektů je dalším možným cílem modelování. Jaký režim letu letadla zvolit, aby byl let bezpečný a ekonomicky nejvýhodnější? Jak naplánovat stovky druhů prací na stavbě velkého zařízení tak, aby skončila co nejdříve? Mnoho takových problémů systematicky vyvstává před ekonomy, designéry a vědci.

Konečně, predikce důsledků určitých dopadů na objekt může být jak relativně jednoduchou záležitostí v jednoduchých fyzikálních systémech, tak extrémně složitou - na hranici proveditelnosti - v biologických, ekonomických, sociálních systémech. Pokud je poměrně snadné odpovědět na otázku o změně způsobu šíření tepla v tenké tyči se změnami její slitiny, pak je nesrovnatelně obtížnější vysledovat (předvídat) environmentální a klimatické důsledky konstrukce tyče. velká vodní elektrárna nebo sociální důsledky změn daňové legislativy. Možná i zde v budoucnu výrazněji pomohou metody matematického modelování.

Druhá fáze: definice vstupních a výstupních parametrů modelu; rozdělení vstupních parametrů podle míry důležitosti dopadu jejich změn na výstup. Tento proces se nazývá hodnocení nebo rozdělení podle pořadí (viz níže). "Formalisavýroba a modelování").

Třetí fáze: konstrukce matematického modelu. V této fázi dochází k přechodu od abstraktní formulace modelu k formulaci, která má specifickou matematickou reprezentaci. Matematickým modelem jsou rovnice, soustavy rovnic, soustavy nerovnic, diferenciální rovnice nebo soustavy takových rovnic atd.

Čtvrtá etapa: volba metody pro studium matematického modelu. Nejčastěji se zde používají numerické metody, které se dobře hodí k programování. Pro řešení stejného problému je zpravidla vhodné několik metod, které se liší přesností, stabilitou atd. Úspěch celého procesu modelování často závisí na správné volbě metody.

Pátá etapa: vývoj algoritmu, kompilace a ladění počítačového programu je proces, který je obtížné formalizovat. Z programovacích jazyků preferuje mnoho profesionálů pro matematické modelování FORTRAN: jak kvůli tradici, tak kvůli nepřekonatelné efektivitě kompilátorů (pro výpočetní práci) a přítomnosti obrovských, pečlivě odladěných a optimalizovaných knihoven standardních programů matematických metod napsaných v to. Používají se také jazyky jako PASCAL, BASIC, C v závislosti na povaze úlohy a sklonech programátora.

Šestá etapa: testování programu. Je zkontrolována činnost programu testovací úkol se známou odpovědí. Toto je jen začátek testovací procedury, kterou je obtížné popsat formálně vyčerpávajícím způsobem. Obvykle testování končí, když uživatel podle svých profesionálních vlastností považuje program za správný.

Sedmá etapa: skutečný výpočetní experiment, při kterém se ukáže, zda model odpovídá reálnému objektu (procesu). Model je dostatečně adekvátní reálnému procesu, pokud se některé charakteristiky procesu získané na počítači shodují s experimentálně získanými charakteristikami s danou mírou přesnosti. Pokud model neodpovídá reálnému procesu, vrátíme se do jedné z předchozích fází.

Klasifikace matematických modelů

Klasifikace matematických modelů může být založena na různé principy. Modely je možné klasifikovat podle vědních oborů (matematické modely ve fyzice, biologii, sociologii atd.). Lze jej klasifikovat podle aplikovaného matematického aparátu (modely založené na použití obyčejných diferenciálních rovnic, parciálních diferenciálních rovnic, stochastických metod, diskrétních algebraických transformací atd.). Konečně na základě společné úkoly modelování v různých vědách, bez ohledu na matematický aparát, je nejpřirozenější následující klasifikace:

deskriptivní (popisné) modely;
optimalizační modely;
multikriteriální modely;
herní modely.

Pojďme si to vysvětlit na příkladech.

Popisné (deskriptivní) modely. Například modelování pohybu komety, která vtrhla Sluneční Soustava, se vyrábí za účelem předpovědi trajektorie jeho letu, vzdálenosti, ve které proletí od Země atd. V tomto případě jsou cíle modelování popisné, protože neexistuje způsob, jak ovlivnit pohyb komety, něco v ní změnit.

Optimalizační modely se používají k popisu procesů, které lze ovlivnit ve snaze dosáhnout daného cíle. V tomto případě model obsahuje jeden nebo více parametrů, které lze ovlivnit. Například změnou tepelného režimu na sýpce lze stanovit cíl zvolit takový režim, aby bylo dosaženo maximálního zachování zrna, tzn. optimalizovat proces skladování.

Vícekriteriální modely. Často je potřeba optimalizovat proces v několika parametrech současně a cíle mohou být velmi protichůdné. Například při znalosti cen potravin a potravinové potřeby člověka je nutné fyziologicky správně a přitom co nejlevněji organizovat stravování pro velké skupiny lidí (v armádě, na dětském letním táboře apod.). Je jasné, že tyto cíle se vůbec neshodují; při modelování bude použito několik kritérií, mezi kterými je třeba hledat rovnováhu.

Herní modely může souviset nejen s počítačové hry ale i k velmi vážným věcem. Například před bitvou, za přítomnosti neúplných informací o nepřátelské armádě, musí velitel vypracovat plán: v jakém pořadí přivést určité jednotky do bitvy atd., S ohledem na možnou reakci nepřítele. Existuje speciální sekce moderní matematiky - teorie her - která studuje metody rozhodování za podmínek neúplných informací.

Ve školním kurzu informatiky získají studenti počáteční představu o počítačovém matematickém modelování v rámci základní kurz. Na střední škole lze matematické modelování podrobně studovat v kurzu všeobecně vzdělávacích předmětů pro výuku fyziky a matematiky a také v rámci specializovaného volitelného kurzu.

Hlavními formami výuky počítačového matematického modelování na střední škole jsou přednášky, laboratorní a zápočtové hodiny. Obvykle trvá práce na tvorbě a přípravě na studium každého nového modelu 3-4 lekce. V průběhu prezentace materiálu jsou stanoveny úkoly, které by v budoucnu měli studenti řešit samostatně, v obecné rovině jsou nastíněny způsoby jejich řešení. Jsou formulovány otázky, na které je třeba získat odpovědi při plnění úkolů. Je uvedena další literatura, která umožňuje získat pomocné informace pro úspěšnější dokončení úkolů.

Formou organizace výuky při studiu nového materiálu bývá přednáška. Po dokončení diskuse o dalším modelu studentů mít k dispozici potřebné teoretické informace a soubor úkolů pro další práci. V rámci přípravy na zadání si studenti zvolí vhodnou metodu řešení, pomocí nějakého známého soukromého řešení testují vyvinutý program. V případě docela možných obtíží při plnění úkolů je poskytnuta konzultace, je podán návrh na rozpracování těchto částí podrobněji v literatuře.

Pro praktickou část výuky počítačového modelování je nejdůležitější metoda projektů. Úkol je formulován pro studenta ve formě vzdělávacího projektu a je řešen v několika lekcích s hlavním organizační forma při práci v počítačové laboratoři. Výuku modelování pomocí metody výukového projektu lze realizovat na různých úrovních. První je problémové vyjádření procesu realizace projektu, který vede učitel. Druhým je realizace projektu studenty pod vedením pedagoga. Třetím je samostatná realizace projektu pedagogického výzkumu studenty.

Výsledky práce by měly být prezentovány v číselné podobě, ve formě grafů, diagramů. Pokud je to možné, je proces prezentován na obrazovce počítače v dynamice. Po dokončení výpočtů a obdržení výsledků jsou tyto analyzovány, porovnány se známými fakty z teorie, potvrzena spolehlivost a provedena smysluplná interpretace, která je následně promítnuta do písemné zprávy.

Pokud výsledky uspokojí žáka i učitele, pak práce se počítá dokončena a její poslední fází je příprava zprávy. Zpráva obsahuje stručné teoretické informace ke zkoumanému tématu, matematickou formulaci problému, algoritmus řešení a jeho zdůvodnění, počítačový program, výsledky programu, analýzu výsledků a závěry, seznam literatury.

Po vypracování všech protokolů studenti na zkušebním sezení stručně referují o provedené práci a obhajují svůj projekt. Jedná se o efektivní formu hlášení projektového týmu třídě, včetně zadání problému, sestavení formálního modelu, výběru metod práce s modelem, implementace modelu na počítači, práce s hotovým modelem, interpretace výsledků, prognózování. V důsledku toho mohou studenti získat dvě známky: první - za vypracování projektu a úspěšnost jeho obhajoby, druhý - za program, optimalitu jeho algoritmu, rozhraní atd. Studenti také získávají známky v průběhu průzkumů z teorie.

Zásadní otázkou je, jaké nástroje použít ve školním kurzu informatiky pro matematické modelování? Počítačovou implementaci modelů lze provést:

pomocí tabulkového procesoru (obvykle MS Excel);
vytvářením programů v tradičních programovacích jazycích (Pascal, BASIC atd.), jakož i v jejich moderních verzích (Delphi, Visual
Základní pro aplikaci atd.);
pomocí speciálních softwarových balíků pro řešení matematických úloh (MathCAD atd.).

Na úrovni základní školy se jeví jako preferovaný první lék. Na střední škole, kdy je programování spolu s modelováním klíčovým tématem informatiky, je však žádoucí zapojit jej jako modelovací nástroj. V procesu programování jsou studentům k dispozici detaily matematických postupů; navíc jsou prostě nuceni je ovládat, a to také přispívá k matematickému vzdělání. Pokud jde o použití speciálních softwarových balíků, je to vhodné v profilovém kurzu informatiky jako doplněk k dalším nástrojům.

Cvičení :

Nastínit klíčové pojmy.

PŘEDNÁŠKA 4

Definice a účel matematického modelování

Pod Modelka(z latinského modulus - míra, vzorek, norma) budeme rozumět takový hmotně nebo mentálně reprezentovaný předmět, který v procesu poznávání (studie) nahrazuje původní předmět, přičemž si zachovává některé jeho typické znaky, které jsou pro toto studium důležité. . Proces vytváření a používání modelu se nazývá modelování.

podstata matematické modelování (MM) spočívá v nahrazení studovaného objektu (procesu) adekvátním matematickým modelem a následném studiu vlastností tohoto modelu buď analytickými metodami, nebo výpočtovými experimenty.

Někdy je užitečnější místo striktních definic popsat konkrétní koncept na konkrétním příkladu. Výše uvedené definice MM proto ilustrujeme na příkladu problému výpočtu specifického impulsu. Počátkem 60. let stáli vědci před úkolem vyvinout raketové palivo s nejvyšším specifickým impulsem. Princip pohybu rakety je následující: kapalné palivo a okysličovadlo z raketových nádrží se přivádí do motoru, kde se spálí a zplodiny hoření se uvolní do atmosféry. Ze zákona zachování hybnosti vyplývá, že v tomto případě se raketa bude pohybovat rychlostí.

Specifický impuls paliva je výsledný impuls dělený hmotností paliva. Experimenty byly velmi nákladné a vedly k systematickému poškozování zařízení. Ukázalo se, že je snazší a levnější vypočítat termodynamické funkce ideálních plynů, s jejich pomocí vypočítat složení emitovaných plynů a teplotu plazmatu a následně specifický impuls. To znamená provést MM procesu spalování paliva.

Pojem matematického modelování (MM) je dnes jedním z nejrozšířenějších ve vědecké literatuře. Naprostá většina moderních diplomových a disertačních prací je spojena s vývojem a používáním vhodných matematických modelů. Počítačové MM je dnes nedílnou součástí mnoha oblastí lidské činnosti (věda, technika, ekonomie, sociologie atd.). I to je jeden z důvodů dnešního nedostatku specialistů v oblasti informačních technologií.

Rychlý růst matematického modelování je způsoben rychlým zdokonalováním výpočetní techniky. Jestliže se ještě před 20 lety zabýval numerickými výpočty jen malý počet programátorů, nyní je množství paměti a rychlost moderních počítačů, které umožňují řešit problémy matematického modelování, dostupné všem odborníkům, včetně studentů vysokých škol.

V každé disciplíně je nejprve uveden kvalitativní popis jevů. A pak - kvantitativní, formulované ve formě zákonů, které zakládají vztahy mezi různými veličinami (síla pole, intenzita rozptylu, náboj elektronů, ...) ve formě matematických rovnic. Dá se tedy říci, že v každé disciplíně je tolik vědy, kolik je v ní matematiků, a tato skutečnost nám umožňuje úspěšně řešit mnoho problémů pomocí metod matematického modelování.

Tento kurz je určen pro studenty oboru aplikovaná matematika, kteří dokončují diplomovou práci pod vedením předních vědců působících v různých oborech. Proto je tento kurz nezbytný nejen jako vzdělávací materiál ale také jako příprava teze. Na studium tento kurz budeme potřebovat následující části matematiky:

1. Rovnice matematické fyziky (Kantova mechanika, plyn a hydrodynamika)

2. Lineární algebra (teorie pružnosti)

3. Skalární a vektorová pole (teorie pole)

4. Teorie pravděpodobnosti (kvantová mechanika, statistická fyzika, fyzikální kinetika)

5. Speciální vlastnosti.

6. Tenzorová analýza (teorie pružnosti)

7. Matematická analýza

MM v přírodních vědách, inženýrství a ekonomii

Podívejme se nejprve na různá odvětví přírodních věd, techniky, ekonomie, ve kterých se používají matematické modely.

přírodní věda

Fyzika, která stanovuje základní zákony přírodních věd, se odedávna dělí na teoretickou a experimentální. Teoretická fyzika se zabývá odvozováním rovnic popisujících fyzikální jevy. Teoretickou fyziku lze tedy také považovat za jednu z oblastí matematického modelování. (Připomeňme, že název první knihy o fyzice – „Matematické principy přírodní filozofie“ od I. Newtona lze přeložit do moderní jazyk jako "Matematické modely přírodních věd.") Na základě získaných zákonů se provádějí inženýrské výpočty, které se provádějí v různých ústavech, firmách, projekčních kancelářích. Tyto organizace vyvíjejí technologie pro výrobu moderních produktů, které jsou náročné na vědu, takže koncept vědecky náročných technologií zahrnuje výpočty pomocí vhodných matematických modelů.

Jeden z nejrozsáhlejších oborů fyziky - klasická mechanika(někdy se tato část nazývá teoretická nebo analytická mechanika). Tato část teoretické fyziky studuje pohyb a interakci těles. Výpočty pomocí vzorců teoretické mechaniky jsou nutné při studiu rotace těles (výpočet momentů setrvačnosti, gyrostaty - zařízení, která udržují osy rotace nehybné), rozbor pohybu tělesa ve vakuu atd. Jedna z sekcí teoretické mechaniky se nazývá teorie stability a je základem mnoha matematických modelů popisujících pohyb letadel, lodí, raket. Úseky praktické mechaniky - předměty "Teorie strojů a mechanismů", "Strojní části", studují studenti téměř všech technických vysokých škol (včetně MGIU).

Teorie pružnosti- část oddílu mechanika kontinua, který předpokládá, že materiál pružného tělesa je homogenní a plynule rozmístěný po celém objemu tělesa, takže nejmenší prvek vyříznutý z tělesa má stejnou fyzikální vlastnosti, což je celé tělo. Aplikace teorie pružnosti - kurz "pevnost materiálů", studují studenti všech technických univerzit (včetně MGIU). Tento oddíl je vyžadován pro všechny pevnostní výpočty. Zde je výpočet pevnosti trupů lodí, letadel, raket, výpočet pevnosti ocelových a železobetonových konstrukcí budov a mnoho dalšího.

Plyn a hydrodynamika, stejně jako teorie pružnosti - část oddílu mechanika kontinua, uvažuje o zákonech pohybu kapaliny a plynu. Rovnice plynu a hydrodynamiky jsou nezbytné při rozboru pohybu těles v kapalném a plynném prostředí (satelity, ponorky, rakety, granáty, auta), při výpočtu výtoku plynu z trysek raketových a leteckých motorů. Praktická aplikace dynamiky tekutin – hydraulika (brzda, směrovka,…)

Předchozí oddíly mechaniky uvažovaly o pohybu těles v makrokosmu a fyzikální zákony makrokosmu nejsou použitelné v mikrokosmu, ve kterém se pohybují částice hmoty - protony, neutrony, elektrony. Zde fungují úplně jiné principy a k popisu mikrosvěta je potřeba kvantová mechanika. Základní rovnicí popisující chování mikročástic je Schrödingerova rovnice: . Zde je hamiltonovský operátor (hamiltonovský). Pro rovnici pohybu jednorozměrné částice https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-potenciální energie. Řešení této rovnice je množina vlastních hodnot energie a vlastních funkcí..gif" width="55" height="24 src=">– hustota pravděpodobnosti. Kvantově mechanické výpočty jsou potřebné pro vývoj nových materiálů (mikroobvody), tvorbu laserů, vývoj metod spektrální analýzy atd.

Řeší se velké množství úkolů kinetika popisující pohyb a interakci částic. Zde a difúze, přenos tepla, teorie plazmatu - čtvrté skupenství hmoty.

statistická fyzika uvažuje soubory částic, umožňuje říci o parametrech souboru na základě vlastností jednotlivých částic. Pokud se soubor skládá z molekul plynu, pak vlastnosti souboru odvozené metodami statistické fyziky jsou rovnice stavu plynu dobře známé ze střední školy: https://pandia.ru/text/78/009/images/ image009_85.gif" width="16" height="17 src=">.gif" width="16" height="17">-molekulární hmotnost plynu. K je Rydbergova konstanta. statistické metody vypočítávají se také vlastnosti roztoků, krystalů a elektronů v kovech. MM statistická fyzika - teoretické zázemí termodynamika, která je základem výpočtu motorů, tepelných sítí a stanic.

Teorie pole popisuje metodami MM jednu z hlavních forem hmoty – pole. V tomto případě jsou primárně zajímavá elektromagnetická pole. Rovnice elektromagnetického pole (elektrodynamika) byly odvozeny Maxwellem: , , , . Zde a https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - hustota náboje, - hustota proudu. Elektrodynamické rovnice jsou základem výpočtů šíření elektromagnetických vln potřebné k popisu šíření rádiových vln (rozhlas, televize, celulární komunikace), vysvětlit činnost radarových stanic.

Chemii lze reprezentovat ve dvou aspektech, přičemž vyzdvihujeme deskriptivní chemii – objev chemických faktorů a jejich popis – a teoretickou chemii – vývoj teorií, které umožňují zobecnit stanovené faktory a prezentovat je ve formě specifického systému (L. Pauling) . Teoretická chemie se také nazývá fyzikální chemie a je v podstatě odvětvím fyziky, které studuje látky a jejich interakce. Proto vše, co bylo řečeno o fyzice, plně platí pro chemii. Oddíly fyzikální chemie budou termochemie, která studuje tepelné účinky reakcí, chemická kinetika (reakční rychlosti), kvantová chemie (struktura molekul). Problémy chemie jsou přitom nesmírně složité. Takže například k řešení problémů kvantové chemie - vědy o struktuře atomů a molekul se používají programy, které jsou objemově srovnatelné s programy protivzdušné obrany země. Například, abyste mohli popsat molekulu UCl4, skládající se z 5 atomových jader a +17 * 4) elektronů, musíte zapsat pohybovou rovnici - rovnice v parciálních derivacích.

Biologie

Matematika se do biologie skutečně dostala až ve druhé polovině 20. století. První pokusy o matematický popis biologických procesů souvisí s modely populační dynamiky. Populace je společenství jedinců stejného druhu, které zabírá určitou oblast prostoru na Zemi. Tato oblast matematické biologie, která studuje změnu velikosti populace za různých podmínek (přítomnost konkurenčních druhů, predátorů, nemocí atd.), nadále sloužila jako matematické testovací pole, na kterém byly „prováděny“ matematické modely v různé oblasti biologie. Včetně modelů evoluce, mikrobiologie, imunologie a dalších oblastí souvisejících s buněčnými populacemi.
Vůbec prvním známým modelem formulovaným v biologickém prostředí je slavná Fibonacciho řada (každé následující číslo je součtem dvou předchozích), kterou ve 13. století cituje Leonardo z Pisy. Jedná se o řadu čísel popisujících počet párů králíků, které se každý měsíc narodí, pokud králíci začnou množit od druhého měsíce a každý měsíc vyprodukují pár králíků. Řádek představuje posloupnost čísel: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

2 ,

8, 13, …

Dalším příkladem je studium iontových transmembránových transportních procesů na umělé dvouvrstvé membráně. Zde, abychom mohli studovat zákonitosti tvorby póru, kterým iont prochází membránou do buňky, je nutné vytvořit modelový systém, který lze experimentálně studovat a pro který lze dobře vyvinutý fyzikální popis. použitý.

Klasickým příkladem MM je také populace Drosophila. Ještě pohodlnějším modelem jsou viry, které lze množit ve zkumavce. Metodami modelování v biologii jsou metody teorie dynamických systémů a prostředky jsou diferenciální a diferenční rovnice, metody kvalitativní teorie diferenciálních rovnic, simulační modelování.
Cíle modelování v biologii:
3. Objasnění mechanismů interakce mezi prvky systému
4. Identifikace a ověření parametrů modelu pomocí experimentálních dat.
5. Posouzení stability systému (modelu).

6. Predikce chování systému pod různými vnějšími vlivy, různé cestyřízení a tak dále.
7. Optimální řízení systému podle zvoleného kritéria optimality.

Technika

Zdokonalováním technologií se zabývá velký počet specialistů, kteří se při své práci spoléhají na výsledky vědecký výzkum. Proto jsou MM v technologii stejné jako MM v přírodních vědách, které byly diskutovány výše.

Ekonomika a sociální procesy

Obecně se uznává, že matematické modelování jako metodu analýzy makroekonomických procesů poprvé použil lékař krále Ludvíka XV. François Quesnay, který v roce 1758 vydal dílo „Hospodářská tabulka“. V této práci byl učiněn první pokus kvantitativně popsat národní hospodářství. A v roce 1838 v knize O. Cournot Kvantitativní metody „Zkoumání matematických principů teorie bohatství“ byly poprvé použity k analýze konkurence na komoditním trhu v různých tržních situacích.

Všeobecně známá je také Malthusova populační teorie, ve které navrhl myšlenku, že populační růst není zdaleka vždy žádoucí a tento růst je rychlejší než rostoucí možnosti zásobování obyvatelstva potravinami. Matematický model takového procesu je poměrně jednoduchý: Nechť - růst populace v čase https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> číslo byl roven ... a jsou koeficienty zohledňující porodnost a úmrtnost (osob/rok).

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Instrumentální a matematické metody" href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="bookmark">matematické metody analýzy (např. v posledních desetiletích se v humanitních vědách objevují matematické teorie kulturního rozvoje, matematické modely mobilizace, cyklický vývoj sociokulturních procesů, model interakce mezi lidmi a vládou, zbraň závodní model atd.) byly zkonstruovány a studovány.

Nejobecněji lze proces MM socioekonomických procesů podmíněně rozdělit do čtyř fází:

formulování systému hypotéz a vývoj konceptuálního modelu; vývoj matematického modelu; rozbor výsledků modelových výpočtů, včetně jejich porovnání s praxí; formulace nových hypotéz a zpřesnění modelu v případě nesouladu mezi výsledky výpočtů a praktickými daty.

Všimněte si, že proces matematického modelování je zpravidla cyklický, protože i při studiu relativně jednoduchých procesů je zřídka možné sestavit adekvátní matematický model od prvního kroku a vybrat jeho přesné parametry.

Ekonomika je v současnosti považována za komplexní rozvíjející se systém, pro jehož kvantitativní popis se používají dynamické matematické modely různého stupně složitosti. Jedna z oblastí výzkumu makroekonomické dynamiky je spojena s konstrukcí a analýzou relativně jednoduchých nelineárních simulačních modelů, které odrážejí interakci různých subsystémů – trh práce, trh zboží, finanční systém, přírodní prostředí atd.

Teorie katastrof se úspěšně rozvíjí. Tato teorie se zabývá otázkou podmínek, za kterých změna parametrů nelineárního systému způsobí, že se bod ve fázovém prostoru, který charakterizuje stav systému, přesune z oblasti přitažlivosti do počáteční rovnovážné polohy do oblasti přitažlivosti. do jiné rovnovážné polohy. To je velmi důležité nejen pro analýzu technických systémů, ale také pro pochopení udržitelnosti socioekonomických procesů. V tomto ohledu nálezy o významu studia nelineárních modelů pro management. V knize „Teorie katastrof“, vydané v roce 1990, zejména píše: „...současná restrukturalizace je z velké části způsobena tím, že alespoň některé mechanismy zpětné vazby (strach z osobního zničení) začaly fungovat ."

(parametry modelu)

Při stavbě modelů reálných předmětů a jevů se člověk často setkává s nedostatkem informací. U zkoumaného objektu je s různou mírou nejistoty známo rozložení vlastností, parametry dopadu a výchozí stav. Při sestavování modelu jsou možné následující možnosti popisu nejistých parametrů:

Klasifikace matematických modelů

(metody implementace)

Metody implementace MM lze klasifikovat podle níže uvedené tabulky.

Metody implementace MM

Velmi často je analytické řešení modelu prezentováno ve formě funkcí. K získání hodnot těchto funkcí pro konkrétní hodnoty vstupních parametrů se použije jejich rozšíření do řad (například Taylor) a přibližně se určí hodnota funkce pro každou hodnotu argumentu. Modely, které tuto techniku využívají, se nazývají přibližný.

V numerický přístup množina matematických vztahů modelu je nahrazena konečnorozměrnou analogií. Toho se nejčastěji dosahuje diskretizací počátečních vztahů, tedy přechodem od funkcí spojitého argumentu k funkcím diskrétního argumentu (metody mřížky).

Řešení nalezené po výpočtech na počítači je bráno jako přibližné řešení původního problému.

Většina existujících systémů je velmi složitá a není možné pro ně vytvořit reálný model, popsaný analyticky. Takové systémy by měly být studovány pomocí simulační modelování. Jedna z hlavních metod simulačního modelování je spojena s použitím generátoru náhodných čísel.

Vzhledem k tomu, že pomocí metod MM je řešeno velké množství problémů, jsou metody pro implementaci MM studovány ve více než jedné výcvikový kurz. Zde jsou parciální diferenciální rovnice, numerické metody řešení těchto rovnic, výpočetní matematika, počítačová simulace atd.

PAULING, Linus Carl (Pauling, Linus Carl) (), americký chemik a fyzik, oceněn v roce 1954 Nobelova cena v chemii pro studium přírody chemická vazba a stanovení struktury proteinů. Narozen 28. února 1901 v Portlandu, Oregon. Vyvinul kvantově mechanickou metodu pro studium struktury molekul (spolu s americkým fyzikem J. Slayerem) - metodu valenčních vazeb, a také teorii rezonance, která umožňuje vysvětlit strukturu sloučenin obsahujících uhlík. , především sloučeniny aromatické řady. V období kultu osobnosti SSSR byli vědci zabývající se kvantovou chemií pronásledováni a obviňováni z „polingismu“.

MALTHUS, THOMAS ROBERT (Malthus, Thomas Robert) (), anglický ekonom. Narozen v Rookery poblíž Dorkingu v Surrey 15. nebo 17. února 1766. V roce 1798 publikoval anonymně Pokus o populačním zákonu. V roce 1819 byl Malthus zvolen členem Královské společnosti.