Факт 1.
\(\bullet\) Вземете някакво неотрицателно число \(a\) (т.е. \(a\geqslant 0\) ). Тогава (аритметика) корен квадратенот числото \(a\) се нарича такова неотрицателно число \(b\), при повдигането му на квадрат получаваме числото \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(същото като )\quad a=b^2\]От дефиницията следва, че \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Тези ограничения са важно условие за съществуването на квадратен корен и трябва да се запомнят!
Спомнете си, че всяко число, когато е на квадрат, дава неотрицателен резултат. Тоест \(100^2=10000\geqslant 0\) и \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Какво е \(\sqrt(25)\)? Знаем, че \(5^2=25\) и \((-5)^2=25\) . Тъй като по дефиниция трябва да намерим неотрицателно число, \(-5\) не е подходящо, следователно \(\sqrt(25)=5\) (тъй като \(25=5^2\) ).
Намирането на стойността \(\sqrt a\) се нарича извличане на квадратен корен от числото \(a\) , а числото \(a\) се нарича коренен израз.
\(\bullet\) Въз основа на дефиницията, изразите \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) и т.н. нямат смисъл.

Факт 2.
За бързи изчисления ще бъде полезно да научите таблицата на квадратите на естествените числа от \(1\) до \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \край (масив)\]

Факт 3.
Какво може да се направи с квадратни корени?
\(\bullet\) Сборът или разликата от корени квадратни НЕ Е РАВЕН на корен квадратен от сбора или разликата, т.е. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]По този начин, ако трябва да изчислите, например, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , тогава първоначално трябва да намерите стойностите \(\sqrt(25)\) и \(\sqrt (49)\ ) и след това ги съберете. Следователно, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ако стойностите \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) не могат да бъдат намерени при добавяне на \(\sqrt a+\sqrt b\), тогава такъв израз не се преобразува допълнително и остава такъв, какъвто е. Например в сумата \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) можем да намерим \(\sqrt(49)\) - това е \(7\) , но \(\sqrt 2\) не може да бъде преобразуван по всякакъв начин, ето защо \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Освен това, този израз, за ​​съжаление, не може да бъде опростен по никакъв начин.\(\bullet\) Произведението/частното от корен квадратен е равно на корен квадратен от произведението/частното, т.е. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (при условие, че и двете части на равенствата имат смисъл)
Пример: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Използвайки тези свойства, е удобно да намирате квадратни корени на големи числа, като ги разлагате на множители.
Помислете за пример. Намерете \(\sqrt(44100)\) . Тъй като \(44100:100=441\) , тогава \(44100=100\cdot 441\) . Според критерия за делимост числото \(441\) се дели на \(9\) (тъй като сборът от неговите цифри е 9 и се дели на 9), следователно \(441:9=49\) , т.е. \(441=9\ cdot 49\) .
Така получихме: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Нека да разгледаме друг пример: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Ще покажем как да въвеждаме числа под знака за квадратен корен, използвайки примера на израза \(5\sqrt2\) (съкратено от израза \(5\cdot \sqrt2\) ). Тъй като \(5=\sqrt(25)\) , тогава \ Имайте предвид също, че напр.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Защо така? Нека обясним с пример 1). Както вече разбрахте, не можем по някакъв начин да конвертираме числото \(\sqrt2\) . Представете си, че \(\sqrt2\) е някакво число \(a\) . Съответно, изразът \(\sqrt2+3\sqrt2\) не е нищо друго освен \(a+3a\) (едно число \(a\) плюс още три от същите числа \(a\) ). И ние знаем, че това е равно на четири такива числа \(a\) , тоест \(4\sqrt2\) .

Факт 4.
\(\bullet\) Често се казва „не може да извлече корена“, когато не е възможно да се отървете от знака \(\sqrt () \ \) на корена (радикал), когато намирате стойността на дадено число. Например, можете да изкорените числото \(16\), защото \(16=4^2\) , така че \(\sqrt(16)=4\) . Но да се извлече корен от числото \(3\) , тоест да се намери \(\sqrt3\) , е невъзможно, защото няма такова число, което на квадрат да даде \(3\) .
Такива числа (или изрази с такива числа) са ирационални. Например числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)и т.н. са ирационални.
Също така ирационални са числата \(\pi\) (числото "pi", приблизително равно на \(3,14\) ), \(e\) (това число се нарича число на Ойлер, приблизително равно на \(2 ,7\) ) и т.н.
\(\bullet\) Моля, имайте предвид, че всяко число ще бъде рационално или ирационално. И заедно всички рационални и всички ирационални числа образуват множество, наречено набор от реални (реални) числа.Този набор се обозначава с буквата \(\mathbb(R)\) .
Това означава, че всички числа, които познаваме в момента, се наричат ​​реални числа.

Факт 5.
\(\bullet\) Модулът на реално число \(a\) е неотрицателно число \(|a|\), равно на разстоянието от точката \(a\) до \(0\) върху реалното число линия. Например \(|3|\) и \(|-3|\) са равни на 3, тъй като разстоянията от точките \(3\) и \(-3\) до \(0\) са същото и равно на \(3 \) .
\(\bullet\) Ако \(a\) е неотрицателно число, тогава \(|a|=a\) .
Пример: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ако \(a\) е отрицателно число, тогава \(|a|=-a\) .
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Казват, че за отрицателни числа модулът „изяжда“ минуса, а положителните числа, както и числото \(0\), модулът оставя непроменени.
НОтова правило важи само за числа. Ако имате неизвестно \(x\) (или някакво друго неизвестно) под знака на модула, например \(|x|\), за което не знаем дали е положително, равно на нула или отрицателно, тогава да се отървем от модула не можем. В този случай този израз остава такъв: \(|x|\) . \(\bullet\) Важат следните формули: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \текст( предоставен) a\geqslant 0\]Често се допуска следната грешка: казват, че \(\sqrt(a^2)\) и \((\sqrt a)^2\) са едно и също. Това е вярно само когато \(a\) е положително число или нула. Но ако \(a\) е отрицателно число, това не е вярно. Достатъчно е да разгледаме такъв пример. Нека вземем числото \(-1\) вместо \(a\). Тогава \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , но изразът \((\sqrt (-1))^2\) изобщо не съществува (защото е невъзможно под знака за корен да поставите отрицателни числа!).
Затова насочваме вниманието ви към факта, че \(\sqrt(a^2)\) не е равно на \((\sqrt a)^2\) !Пример: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), защото \(-\sqrt2<0\) ;

\(\фантом(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Тъй като \(\sqrt(a^2)=|a|\) , тогава \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (изразът \(2n\) означава четно число)
Тоест при извличане на корен от число, което е в някаква степен, тази степен се намалява наполовина.
Пример:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (обърнете внимание, че ако модулът не е зададен, тогава се оказва, че коренът на числото е равен на \(-25 \) ; но помним, което по дефиниция на корена това не може да бъде: когато извличаме корена, винаги трябва да получаваме положително число или нула)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (тъй като всяко число на четна степен е неотрицателно)

Факт 6.
Как да сравним два квадратни корена?
\(\bullet\) Вярно за квадратни корени: ако \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aПример:
1) сравнете \(\sqrt(50)\) и \(6\sqrt2\) . Първо трансформираме втория израз в \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Така, тъй като \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Между кои цели числа е \(\sqrt(50)\)?
Тъй като \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) и \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Сравнете \(\sqrt 2-1\) и \(0,5\) . Да предположим \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((добавете по едно към двете страни))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((квадрат и двете части))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(подравнено)\]Виждаме, че сме получили неправилно неравенство. Следователно нашето предположение беше грешно и \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Обърнете внимание, че добавянето на определено число към двете страни на неравенството не влияе на неговия знак. Умножението/делението на двете страни на неравенство с положително число също не променя знака му, но умножението/делението с отрицателно число обръща знака на неравенството!
И двете страни на уравнение/неравенство могат да бъдат повдигнати на квадрат САМО АКО и двете страни са неотрицателни. Например в неравенството от предишния пример можете да повдигнете на квадрат двете страни, в неравенството \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Обърнете внимание на това \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\]Познаването на приблизителното значение на тези числа ще ви помогне, когато сравнявате числа! \(\bullet\) За да извлечете корена (ако е извлечен) от някакво голямо число, което не е в таблицата с квадрати, първо трябва да определите между кои „стотици“ е, след това между кои „десетки“, и след това определете последната цифра на това число. Нека покажем как работи с пример.
Вземете \(\sqrt(28224)\) . Знаем, че \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) и т.н. Обърнете внимание, че \(28224\) е между \(10\,000\) и \(40\,000\) . Следователно \(\sqrt(28224)\) е между \(100\) и \(200\) .
Сега нека определим между кои „десетки“ е нашето число (това е, например, между \(120\) и \(130\) ). От таблицата с квадрати също знаем, че \(11^2=121\) , \(12^2=144\) и т.н., след това \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Така че виждаме, че \(28224\) е между \(160^2\) и \(170^2\) . Следователно числото \(\sqrt(28224)\) е между \(160\) и \(170\) .
Нека се опитаме да определим последната цифра. Нека си припомним какви едноцифрени числа при повдигане на квадрат дават в края \ (4 \) ? Това са \(2^2\) и \(8^2\) . Следователно \(\sqrt(28224)\) ще завършва или на 2, или на 8. Нека проверим това. Намерете \(162^2\) и \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Следователно \(\sqrt(28224)=168\) . Ето!

За да се реши адекватно изпитът по математика, на първо място е необходимо да се изучи теоретичният материал, който въвежда множество теореми, формули, алгоритми и т.н. На пръв поглед може да изглежда, че това е доста просто. Но намирането на източник, в който теорията за Единния държавен изпит по математика е представена по лесен и разбираем начин за ученици с всякакво ниво на подготовка, всъщност е доста трудна задача. Училищните учебници не винаги могат да бъдат под ръка. А намирането на основните формули за изпита по математика може да бъде трудно дори в интернет.

Защо е толкова важно да се учи теория по математика, не само за тези, които се явяват на изпит?

1. Защото разширява хоризонтите ви. Изучаването на теоретичен материал по математика е полезно за всеки, който иска да получи отговори на широк кръг от въпроси, свързани с познанието за света. Всичко в природата е подредено и има ясна логика. Именно това е отразено в науката, чрез която е възможно да се разбере света.
2. Защото развива интелекта. Изучавайки справочни материали за изпита по математика, както и решавайки различни задачи, човек се научава да мисли и разсъждава логично, да формулира мисли правилно и ясно. Той развива способността да анализира, обобщава, прави изводи.

Каним ви лично да оцените всички предимства на нашия подход към систематизирането и представянето на учебни материали.

Учениците винаги питат: „Защо не мога да използвам калкулатор на изпит по математика? Как да извадя корен квадратен от число без калкулатор? Нека се опитаме да отговорим на този въпрос.

Как да извадя корен квадратен от число без помощта на калкулатор?

Действие извличане на корен квадратенобратното на квадратурата.

√81= 9 9 2 =81

Ако вземем квадратен корен от положително число и повдигнем на квадрат резултата, получаваме същото число.

От малки числа, които са точни квадрати на естествени числа, например 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, квадратни корени могат да бъдат извлечени устно. Обикновено в училище учат таблица с квадрати на естествени числа до двадесет. Познавайки тази таблица, е лесно да извлечете квадратните корени от числата 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. От числа, по-големи от 400, можете да извлечете чрез метода за избор, като използвате някои съвети. Нека опитаме пример, за да разгледаме този метод.

Пример: Извадете корена на числото 676.

Забелязваме, че 20 2 \u003d 400 и 30 2 \u003d 900, което означава 20< √676 < 900.

Точните квадрати на естествените числа завършват на 0; един; четири; 5; 6; 9.
Числото 6 е дадено от 4 2 и 6 2 .
Така че, ако коренът е взет от 676, тогава той е или 24, или 26.

Остава да проверим: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Отговор: √676 = 26 .

| Повече ▼ пример: √6889 .

Тъй като 80 2 \u003d 6400 и 90 2 \u003d 8100, тогава 80< √6889 < 90.
Числото 9 е дадено от 3 2 и 7 2, тогава √6889 е или 83, или 87.

Проверка: 83 2 = 6889.

Отговор: √6889 = 83 .

Ако ви е трудно да решите чрез метода за избор, тогава можете да факторизирате коренния израз.

Например, намерете √893025.

Нека разложим на множители числото 893025, не забравяйте, че го направихте в шести клас.

Получаваме: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

| Повече ▼ пример: √20736. Нека разложим на множители числото 20736:

Получаваме √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Разбира се, факторизирането изисква познаване на критериите за делимост и умения за факторизиране.

И накрая, има правило за квадратен корен. Нека разгледаме това правило с пример.

Изчислете √279841.

За да извлечем корена на многоцифрено цяло число, ние го разделяме отдясно наляво на лица, съдържащи 2 цифри всяка (може да има една цифра в най-лявата страна). Напишете така 27'98'41

За да получим първата цифра от корена (5), извличаме квадратния корен от най-големия точен квадрат, който се съдържа в първото ляво лице (27).
След това квадратът на първата цифра на корена (25) се изважда от първото лице и следващото лице (98) се приписва (разрушава) на разликата.
Вляво от полученото число 298 те записват двойната цифра на корена (10), разделят на него броя на всички десетки от предварително полученото число (29/2 ≈ 2), изпитват частното (102 ∙ 2 = 204 трябва да бъде не повече от 298) и напишете (2) след първата цифра на корена.
След това полученото частно 204 се изважда от 298 и следващият аспект (41) се приписва (разрушава) на разликата (94).
Отляво на полученото число 9441 записват двойното произведение на цифрите на корена (52 ∙ 2 = 104), разделете на този продукт броя на всички десетки на числото 9441 (944/104 ≈ 9), опит частното (1049 ∙ 9 = 9441) трябва да бъде 9441 и го запишете (9) след втората цифра на корена.

Получихме отговора √279841 = 529.

По същия начин екстракт корени от десетични дроби. Само коренното число трябва да бъде разделено на лица, така че запетаята да е между лицата.

Пример. Намерете стойността √0,00956484.

Само не забравяйте, че ако десетичната дроб има нечетен брой десетични знаци, квадратният корен не се извлича точно от нея.

И така, сега видяхте три начина за извличане на корена. Изберете този, който ви подхожда най-добре и практикувайте. За да научите как да решавате проблеми, трябва да ги разрешите. И ако имате въпроси, запишете се за моите уроци.

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.

Когато решават различни задачи от курса по математика и физика, учениците и студентите често се сблъскват с необходимостта да извлекат корени от втора, трета или n-та степен. Разбира се, през века информационни технологииНяма да е трудно да се реши такъв проблем с помощта на калкулатор. Има обаче ситуации, когато е невъзможно да се използва електронен асистент.

Например, на много изпити е забранено да носите електроника. Освен това калкулаторът може да не е под ръка. В такива случаи е полезно да знаете поне някои методи за ръчно изчисляване на радикали.

Един от най-простите начини за изчисляване на корени е да с помощта на специална таблица. Какво е това и как да го използвате правилно?

С помощта на таблицата можете да намерите квадрата на всяко число от 10 до 99. В същото време редовете на таблицата съдържат стойности на десетки, а колоните съдържат стойности на единици. Клетката в пресечната точка на ред и колона съдържа квадрат двуцифрено число. За да изчислите квадрата на 63, трябва да намерите ред със стойност 6 и колона със стойност 3. В пресечната точка намираме клетка с номер 3969.

Тъй като извличането на корена е операция, обратна на повдигането на квадрат, за да извършите това действие, трябва да направите обратното: първо да намерите клетката с числото, чийто радикал искате да изчислите, след това да определите отговора от стойностите на колоната и реда. Като пример, разгледайте изчислението на корен квадратен от 169.

Намираме клетка с това число в таблицата, хоризонтално определяме десетиците - 1, вертикално намираме единиците - 3. Отговор: √169 = 13.

По същия начин можете да изчислите корените на кубичната и n-та степен, като използвате подходящите таблици.

Предимството на метода е неговата простота и липсата на допълнителни изчисления. Недостатъците са очевидни: методът може да се използва само за ограничен диапазон от числа (числото, за което се намира коренът, трябва да бъде между 100 и 9801). Освен това няма да работи, ако даденото число не е в таблицата.

Разлагане на прости множители

Ако таблицата с квадрати не е под ръка или с нейна помощ е невъзможно да се намери коренът, можете да опитате разложи числото под корена на прости множители. Простите множители са тези, които могат да бъдат разделени напълно (без остатък) само на себе си или на единица. Примери за това са 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т.н.

Помислете за изчислението на корена, като използвате примера √576. Нека го разложим на прости множители. Получаваме следния резултат: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Използвайки основното свойство на корените √a² = a, ние се отърваваме от корените и квадратите, след което изчисляваме отговора: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

Какво да направите, ако някой от факторите няма собствена двойка? Например, разгледайте изчислението на √54. След факторизиране получаваме резултата в следната форма: Неотстранимата част може да се остави под корена. За повечето задачи по геометрия и алгебра такъв отговор ще се счита за окончателен. Но ако има нужда от изчисляване на приблизителни стойности, можете да използвате методите, които ще бъдат обсъдени по-късно.

Методът на Херон

Какво да направите, когато трябва да знаете поне приблизително какъв е извлеченият корен (ако е невъзможно да получите цяло число)? Бърз и доста точен резултат се получава чрез прилагане на метода Heron.. Същността му се състои в използването на приблизителна формула:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

където R е числото, чийто корен трябва да се изчисли, a е най-близкото число, чиято коренна стойност е известна.

Нека да видим как методът работи на практика и да преценим колко е точен. Нека изчислим на какво е равно √111. Най-близкото число до 111, чийто корен е известен, е 121. Така R = 111, a = 121. Заменете стойностите във формулата:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Сега нека проверим точността на метода:

10,55² = 111,3025.

Грешката на метода е приблизително 0,3. Ако трябва да се подобри точността на метода, можете да повторите стъпките, описани по-рано:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Нека проверим точността на изчислението:

10,536² = 111,0073.

След многократно прилагане на формулата грешката стана съвсем незначителна.

Изчисляване на корен чрез деление в колона

Този метод за намиране на стойността на квадратния корен е малко по-сложен от предишните. Той обаче е най-точният сред другите методи за изчисление без калкулатор..

Да кажем, че трябва да намерите квадратния корен с точност до 4 знака след десетичната запетая. Нека анализираме алгоритъма за изчисление, използвайки примера на произволно число 1308.1912.

1. Разделете листа хартия на 2 части с вертикална линия и след това начертайте друга линия от нея вдясно, малко под горния ръб. Записваме числото от лявата страна, като го разделяме на групи от 2 цифри, като се движим вдясно и вляво от десетичната запетая. Първата цифра отляво може да бъде без двойка. Ако знакът липсва от дясната страна на числото, тогава трябва да се добави 0. В нашия случай получаваме 13 08.19 12.
2. Нека изберем най-голямото число, чийто квадрат ще бъде по-малък или равен на първата група цифри. В нашия случай това е 3. Нека го напишем горе вдясно; 3 е първата цифра от резултата. Долу вдясно посочваме 3 × 3 = 9; това ще е необходимо за последващи изчисления. Извадете 9 от 13 в колона, получаваме остатъка 4.
3. Нека добавим следващата двойка числа към остатъка 4; получаваме 408.
4. Умножете числото горе вдясно по 2 и го напишете долу вдясно, като към него добавите _ x _ =. Получаваме 6_ x _ =.
5. Вместо тирета, трябва да замените същото число, по-малко или равно на 408. Получаваме 66 × 6 \u003d 396. Нека напишем 6 горе вдясно, тъй като това е втората цифра от резултата. Извадете 396 от 408, получаваме 12.
6. Нека повторим стъпки 3-6. Тъй като пренесените числа са в дробната част на числото, е необходимо да поставите десетична запетая горе вдясно след 6. Нека напишем удвоения резултат с тирета: 72_ x _ =. Подходящо число би било 1: 721 × 1 = 721. Нека го запишем като отговор. Нека извадим 1219 - 721 = 498.
7. Нека изпълним последователността от действия, дадени в предходния параграф, още три пъти, за да получим необходимия брой десетични знаци. Ако няма достатъчно знаци за по-нататъшни изчисления, към текущото число отляво трябва да се добавят две нули.

В резултат на това получаваме отговора: √1308.1912 ≈ 36.1689. Ако проверите действието с калкулатор, можете да се уверите, че всички знаци са определени правилно.

Побитово изчисляване на стойността на корен квадратен

Методът е с висока точност. Освен това е доста разбираемо и не изисква запомняне на формули или сложен алгоритъм от действия, тъй като същността на метода е да изберете правилния резултат.

Нека извлечем корена от числото 781. Нека разгледаме подробно последователността от действия.

1. Разберете коя цифра от квадратния корен ще бъде най-високата. За целта нека повдигнем на квадрат 0, 10, 100, 1000 и т.н. и да разберем между кое от тях се намира числото на корена. Получаваме това 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Нека вземем стойността на десетките. За да направим това, ще се редуваме да повишаваме на степен 10, 20, ..., 90, докато получим число, по-голямо от 781. За нашия случай получаваме 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Стойността на резултата n ще бъде в рамките на 20< n <30.
3. Подобно на предишната стъпка се избира стойността на единицата. Алтернативно поставяме на квадрат 21,22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. Получаваме, че 27< n < 28.
4. Всяка следваща цифра (десети, стотни и т.н.) се изчислява по същия начин, както е показано по-горе. Изчисленията се извършват до постигане на необходимата точност.

Извличане на корен от голямо число. Скъпи приятели!В тази статия ще ви покажем как да извадите корен от голямо число без калкулатор. Това е необходимо не само за решаване на определени видове USE задачи (има такива за движение), но и за общото математическо развитие, желателно е да се знае тази аналитична техника.

Изглежда, че всичко е просто: факторизирайте и извлечете. Няма проблем. Например, числото 291600, когато се разшири, ще даде продукта:

Изчисляваме:

Има едно НО! Методът е добър, ако лесно се определят делители 2, 3, 4 и т.н. Но какво ще стане, ако числото, от което извличаме корена, е произведение на прости числа? Например 152881 е произведението на числата 17, 17, 23, 23. Опитайте се веднага да намерите тези делители.

Същността на метода, който разглеждаме- това си е чист анализ. Коренът с натрупаното умение се намира бързо. Ако умението не е отработено, а подходът е просто разбран, тогава е малко по-бавно, но все пак решително.

Нека вземем корена на 190969.

Първо, нека определим между какви числа (кратни на сто) се намира нашият резултат.

Очевидно резултатът от корена на дадено число е в диапазона от 400 до 500,защото

400 2 =160 000 и 500 2 = 250 000

Наистина ли:

в средата, по-близо до 160 000 или 250 000?

Числото 190969 е някъде по средата, но все пак е по-близо до 160000. Можем да заключим, че резултатът от нашия корен ще бъде по-малък от 450. Нека проверим:

Всъщност е по-малко от 450, тъй като 190 969< 202 500.

Сега нека проверим числото 440:

Така че нашият резултат е по-малък от 440, тъй като 190 969 < 193 600.

Проверка на номер 430:

Установихме, че резултатът от този корен е в диапазона от 430 до 440.

Произведението на числата, завършващи на 1 или 9, дава число, завършващо на 1. Например 21 по 21 е равно на 441.

Произведението на числата, завършващи на 2 или 8, дава число, завършващо на 4. Например 18 по 18 е равно на 324.

Произведението на числата, завършващи на 5, дава число, завършващо на 5. Например 25 по 25 е равно на 625.

Произведението на числата, завършващи на 4 или 6, дава число, завършващо на 6. Например 26 по 26 е равно на 676.

Произведението на числата, завършващи на 3 или 7, дава число, завършващо на 9. Например 17 по 17 е равно на 289.

Тъй като числото 190969 завършва с числото 9, то този продукт е или 433, или 437.

*Само те, когато са на квадрат, могат да дадат 9 накрая.

Ние проверяваме:

Така че резултатът от корена ще бъде 437.

Тоест някак си "напипахме" верния отговор.

Както можете да видите, максимумът, който е необходим, е да извършите 5 действия в колона. Може би веднага ще стигнете до точката или ще направите само три действия. Всичко зависи от това колко точно сте направили първоначалната оценка на броя.

Извлечете собствен корен от 148996

Такъв дискриминант се получава в задачата:

Моторният кораб минава по реката до дестинацията 336 км и след паркиране се връща в точката на отплаване. Намерете скоростта на кораба в неподвижна вода, ако скоростта на течението е 5 km / h, паркирането продължава 10 часа и корабът се връща в точката на тръгване 48 часа след като я напусне. Дайте своя отговор в км/ч.

Вижте решение

Резултатът от корена е между числата 300 и 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

Всъщност 90 000<148996<160000.

Същността на по-нататъшното разсъждение е да се определи как числото 148996 е разположено (отдалечено) спрямо тези числа.

Изчислете разликите 148996 - 90000=58996 и 160000 - 148996=11004.

Оказва се, че 148996 е близо (много по-близо) до 160000. Следователно резултатът от корена определено ще бъде по-голям от 350 и дори 360.

Можем да заключим, че нашият резултат е по-голям от 370. Освен това е ясно: тъй като 148996 завършва с числото 6, това означава, че трябва да повдигнете на квадрат числото, завършващо на 4 или 6. *Само тези числа, когато са на квадрат, дават край 6.

С уважение, Александър Крутицких.

P.S: Ще бъда благодарен, ако разкажете за сайта в социалните мрежи.