Automatizace a telemechanika, L-1, 2007

RAS B 02.70.-c, 47.ll.-j

© 2007 Yu.S. POPKOV, Dr. tech. Sci. (Institut pro systémovou analýzu RAS, Moskva)

KVALITATIVNÍ ANALÝZA DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ S OPERÁTOREM Vd-ENTROPY

Je navržena metoda pro studium existence, jedinečnosti a lokalizace singulárních bodů uvažované třídy DSEE. Jsou získány podmínky pro stabilitu „v malém“ a „ve velkém“. Jsou uvedeny příklady aplikace získaných podmínek.

1. Úvod

Mnoho problémů matematické modelování dynamické procesy lze řešit na základě konceptu dynamických systémů s entropickým operátorem (DSEO). DSEE je dynamický systém, ve kterém je nelinearita popsána parametrickým problémem maximalizace entropie. Feio-moyologicky je DSEO modelem makrosystému s „pomalou“ sebereprodukcí a „rychlou“ alokací zdrojů. Některé vlastnosti DSEO byly studovány v. Tato práce pokračuje v cyklu studií kvalitativních vlastností DSEO.

Uvažujeme dynamický systém s operátorem Vd-entropie:

^ = £(x, y(x)), x e En:

y(x) = a^max(Hv(y) | Ty = u(x), ye E^) > 0.

V těchto výrazech:

C(x, y), u(x) jsou spojitě diferencovatelné vektorové funkce;

Entropie

(1.2) Hv (y) = uz ln jako > 0, s = T~m;

T - (r x w)-matice s prvky ^ 0 má celkové pořadí rovné r;

Předpokládá se, že vektorová funkce u(x) je spojitě diferencovatelná, množina

(1,3) Q = (q: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,

kde a- a a + jsou vektory z E+, kde a- je vektor s malými složkami.

Použití známé reprezentace operátoru entropie v podmínkách Lagrangeových multiplikátorů. transformujeme systém (1.1) do následující podoby:

- = £(x, y(z)), x e Kn, y(z) e K?, r e Er+

Uz (r) \u003d az\\ ^, 3 \u003d 1, m-

O(x, z) = Ty(z) = q(x),

kde rk = exp(-Ak) > 0 jsou exponenciální Lagrangeovy multiplikátory.

Spolu s DSEE obecného formuláře (1.1) budeme uvažovat podle klasifikace uvedené v .

DSEE s oddělitelným průtokem:

(1-5) ^ = I (x) + Vy (z),

kde B (n x m)-matice;

DSEO s multiplikativním tokem:

(1.6) ^ = x® (a-x® Xu(r)), ab

kde W je (n x m)-matice s nezápornými prvky, a je vektor s kladnými složkami, ® je znak souřadnicového násobení.

Cílem tohoto článku je studovat existenci, jedinečnost a lokalizaci singulárních bodů DSEE a jejich stabilitu.

2. Singulární body

2.1. Existence

Zvažte systém (1.4). Singulární body tohoto dynamického systému jsou určeny následujícími rovnicemi:

(2.1) C^(x, y(z)) = 0, r = TP;

(2,2) uz(r) = a^ r^, 3 = T^:

(2.3) bk(r) = ^as r^ = dk(x), k = 1,r.

Nejprve zvažte pomocnou soustavu rovnic:

(2.4) C(q, z) = r, qeR,

kde množina R je definována rovností (1.3) a C(q, r) je vektorová funkce se složkami

(2,5) Sk(d, r) = - Ok(r), a-< дк < а+, к =1,г.

Rovnice (2.4) má pro každý pevný vektor q jedinečné řešení r*, což vyplývá z vlastností operátoru Vg-entropie (viz ).

Z definice složek vektorové funkce С(g, z) vyplývá zřejmý odhad:

(2,6) C(a+, r)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:

Označme řešení první rovnice r+ a druhé - r-. Pojďme definovat

(2.7) C (a+,z) = z, C(a

(2.8) zmaX = max z+, zmin = mm zk

a r-rozměrné vektory

(2.9) z(zmax, zmax), z(zmin, zmin).

Lemma 2.1. Pro všechna q G Q (1 . 3) řešení z*(q) rovnice (2.4) patří vektoru 1 k segmentu

zmin< z*(q) < zmax,

kde vektory zmin a zmax jsou definovány výrazy (2.7)-(2.9).

Důkaz věty je uveden v příloze. Qq

qk(x) (1.3) pro x G Rn, pak máme

Důsledek 2.1. Nechť jsou splněny podmínky lemmatu 2.1 a funkce qk(x) splňují podmínky (1.3) pro všechna ex x G Rn. Pak pro všechna x G Rm řešení z* z rovnice (2.3) patří do vektorového segmentu

zmin< z* < zmax

Vraťme se nyní k rovnicím (2.2). které určují složky vektorové funkce y(z). Prvky jeho jakobiánu mají formu

(2.10) jb aj zk JJ & > 0

pro všechna z G R+ kromě 0 a g. Proto je vektorová funkce y(z) přísně monotónně rostoucí. Podle lemmatu 2.1 je ohraničena zdola a shora, tzn. pro všechna z G Rr (tedy pro všechna x G Rn) její hodnoty patří do množiny

(2,11) Y = (y: y-< y < y+},

kde složky vektorů yk, y+ jsou určeny výrazy:

(2.12) yk = aj y+ = aj znlax, j = h™.

(2,13) ​​bj = Y, tsj, 3 = 1,

Zvažte první rovnici v (2.1) a přepište ji jako:

(2.14) L(x, y) = 0 pro všechna y e Y ⊂ E^.

Tato rovnice určuje závislost proměnné x na proměnné y patřící k Y

we (1.4) redukuje na existenci implicitní funkce x(y) definované rovnicí (2.14).

Lemma 2.2. Ať jsou splněny následující podmínky:

a) vektorová funkce L(x, y) je spojitá v množině proměnných;

b) lim L(x, y) = ±<ж для любого фиксированного у е Y;

c) det J (x, y) = 0 pro všechna ex x e En pro libovolné pevné y e Y.

Pak existuje jedinečná implicitní funkce x*(y) definovaná na Y. V tomto lemmatu je J(x, y) jakobián s prvky

(2.15) Ji,i (x,y) = --i, i,l = l,n.

Důkaz je uveden v příloze. Z výše uvedených lemmat to vyplývá

Věta 2.1. Nechť jsou splněny podmínky lemmat 2.1 a 2.2. Pak existuje jedinečný singulární bod DSEE (1.4) a podle toho (1.1).

2.2. Lokalizace

Studium lokalizace singulárního bodu je chápáno jako možnost stanovení intervalu, ve kterém se nachází. Tento úkol není příliš jednoduchý, ale pro některé třídy DSEE lze takový interval stanovit.

Vraťme se k první skupině rovnic v (2.1) a znázornime je ve tvaru

(2.16) L(x,y)=0, y- y y y+,

kde y- a y+ jsou definovány rovností (2.12), (2.13).

Věta 2.2. Nechť je vektorová funkce L(x,y) spojitě diferencovatelná a monotónně rostoucí v obou proměnných, tzn.

--> 0, --> 0; i,l = 1, n; j = 1,m. dxi dyj

Pak řešení soustavy (2.16) vzhledem k proměnné x patří do intervalu (2.17) xmin x x x xmax,

a) vektory xmin, xmax mají tvar

Min \u003d i x 1 xmax \u003d r x t;

\xmin: . .., xminlxmax, . . ., xmax):

xmin - ^Qin ^ ■ , xmax - ^QaX ^ ;

6) x- a x+ - složky řešení následujících rovnic

(2.19) L(x,y-)=0, L(x,y+)=0

s oo m samozřejmě.

Důkaz věty je uveden v příloze.

3. Udržitelnost DSEA „v malém“

3.1. DSEE se separovatelným tokem Přejděme k rovnicím DSEE se separovatelným tokem a uvedeme je ve tvaru:

- \u003d / (x) + Bu (r (x)), x e Kp ab

Y-(r (X)) \u003d azP (X) Y33, 3 \u003d 1, "~ 8 \u003d 1

0(x, r(x)) = Ty(r(x)) = q(x), r e Hr.

Zde hodnoty složek vektorové funkce q(x) patří do množiny Q (1.3), (n × w)-matice B má celkové pořadí rovné n (n< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.

Nechť uvažovaná soustava má singulární bod x. Pro studium stability tohoto singulárního bodu „v malém“ sestrojíme linearizovaný systém

kde A je (n x n)-matice, jejíž prvky jsou vypočteny v bodě x, a vektor t = x - x. Podle první rovnice v (3.1) má matice linearizovaného systému

A \u003d 7 (x) + BUg (g) Xx (x), x \u003d g (x),

| 3 \u003d 1, w, k \u003d 1,

I k \u003d 1, g, I \u003d 1, str

Z (3.1) se určí prvky matice Yr:dy.

"bkz P" 8=1

3, r8 x 8, 5 1, r.

Pro určení prvků matice Zx přejdeme k poslední skupině rovnic v (3.1). B ukazuje, že tyto rovnice definují implicitní vektorovou funkci r(x), která je spojitě diferencovatelná, pokud je vektorová funkce g(x) spojitě diferencovatelná. Jakobián Zx vektorové funkce z(x) je definován rovnicí

<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),

vg (X) \u003d T Ug (X),

ddk, -t-, - "- k \u003d 1, r, I \u003d 1, n dx \

Z této rovnice máme (3.9) Zx(x) = s-1(z)Qx(x).

Dosazení tohoto výsledku do rovnosti (3.3). dostaneme:

A \u003d 1 (x) + P (x), P (x) \u003d VUg (g) [Tg (g)] -1 Qx (x).

Rovnice linearizovaného systému tedy nabývá tvaru

(c.i) | = (j+p)e

Zde jsou prvky matic J, P vypočteny v singulárním bodě. Podmínky dostatečné stability "v malém" DSEE (3.1) jsou určeny následujícím

Věta 3.1. DSEE (3.1) má singulární bod x, který je stabilní „v malém“, pokud jsou splněny následující podmínky:

a) matice J, P (3.10) linearizovaného systému (3.11) mají reálná a různá vlastní čísla a matice J má maximální vlastní hodnotu

Pmax = max Pg > 0,

Wmax = maxUi< 0;

Umax + Ptah<

Z této věty a rovnosti (3.10) vyplývá, že pro singulární body, pro které Qx(x) = 0 a (nebo) pro X, = 0 a tkj ^ 1 pro všechna ex k,j, nejsou dostatečné podmínky věty spokojený.

3.2. DSEE s multiplikativním tokem Uvažujme rovnice (1.6). prezentovat je ve tvaru:

X® (a-x® Wy(z(x))), xeRn;

yj(z(x)) = aj ПZs(x)]isi" j = 1,m;

(ZL2) yj (z(x)) = a^<~"ts

Q(x, z(x)) = Ty(z(x)) = q(x), z e R++.

systémy. Budu mít:

(3.13)

V tomto výrazu je diag C] diagonální matice s kladnými prvky a1,..., an, Yr, Zx jsou matice definované rovností (3.4)-(3.7).

Matici A reprezentujeme ve tvaru

(3.14) A = diag + P (x),

(3.15) P(x) = -2xWYz(z)Zx(x).

Označme: maxi ai = nmax a wmax je maximální vlastní hodnota matice P(x) (3.15). Pak Věta 3.1 platí také pro DSEE (1.6). (3.12).

4. Udržitelnost DSEA „ve velkém“

Vraťme se k DESO rovnicím (1.4), ve kterých hodnoty složek vektorové funkce q(x) patří do množiny Q (1.3). V uvažované soustavě existuje singulární bod Z, ke kterému vektory z(x) = z ^ z-> 0 a

y(x) = y(z) = y > y- > 0.

Zaveďme vektory odchylky £, C, П od singulárního bodu: (4.1) £ = x - x, (= y - y, n = z - z.

ZHEZHERUN A.A., POKROVSKY A.V. - 2009

KINETIKA BIOLOGICKÝCH PROCESŮ

Jak lze popsat dynamiku biologických systémů? V každém okamžiku má biologický systém soubor určitých vlastností. Například pozorováním populace druhu lze zaznamenat jeho velikost, plochu obsazeného území, množství dostupné potravy, okolní teplotu atd. Průběh chemické reakce lze charakterizovat koncentracemi látek, tlaku, teploty a úrovně kyselosti prostředí. Soubor hodnot všech charakteristik, které si výzkumník zvolil k popisu systému, je stav systému v každém okamžiku. Při vytváření modelu se vybírají proměnné a parametry v zadané sadě. Proměnné jsou ty veličiny, jejichž změny zajímají především výzkumníka, parametry jsou podmínky „vnějšího prostředí“. Právě pro vybrané proměnné se sestavují rovnice, které odrážejí vzorce změn v systému v čase. Například při vytváření modelu pro růst mikrobiální kultury se obvykle používá její počet jako proměnná a rychlost reprodukce jako parametr. Je možné, že teplota, při které dochází k růstu, se ukáže jako významná, pak je tento ukazatel také zahrnut do modelu jako parametr. A pokud je například úroveň provzdušňování vždy dostatečná a nemá žádný vliv na růstové procesy, pak se do modelu vůbec nezapočítává. Zpravidla zůstávají parametry během experimentu nezměněny, je však třeba poznamenat, že tomu tak není vždy.

Dynamiku biologického systému (tedy změnu jeho stavu v čase) je možné popsat pomocí jak diskrétních, tak spojitých modelů. Diskrétní modely předpokládají, že čas je diskrétní veličina. Tomu odpovídá zaznamenávání hodnot proměnných v určitých pevných intervalech (například jednou za hodinu nebo jednou za rok). V spojitých modelech je biologická proměnná spojitá funkce času, označovaná např. X(t).

Často velmi důležité počáteční podmínky modely - stav zkoumané charakteristiky v počátečním časovém okamžiku, tzn. na t = 0.

Při studiu průběžné změny nějaké charakteristiky X(t) můžeme znát informace o rychlosti jeho změny. Tato informace je v obecný případ lze zapsat jako diferenciální rovnici:

Takový formální zápis znamená, že rychlost změny některé zkoumané charakteristiky je funkcí času a velikosti této charakteristiky.

Pokud pravá strana diferenciální rovnice tvaru výslovně nezávisí na čase, tzn. veletrh:

pak se tato rovnice nazývá autonomní(systém popsaný takovou rovnicí se nazývá autonomní). Stav autonomních systémů v každém časovém okamžiku charakterizuje jedna jediná hodnota – hodnota proměnné X momentálně t.

Položme si otázku: nechť je dána diferenciální rovnice pro X(t), je možné najít všechny funkce X(t) splňující tuto rovnici? Nebo: pokud je známa počáteční hodnota určité proměnné (například počáteční velikost populace, koncentrace látky, elektrická vodivost prostředí atd.) a existuje informace o povaze změny v je možné předpovědět, jaká bude její hodnota ve všech následujících bodech v čase? Odpověď na položenou otázku je následující: jsou-li pro rovnici dány počáteční podmínky a jsou splněny podmínky Cauchyho věty (funkce zadaná v určité oblasti a její parciální derivace jsou v této oblasti spojité), pak je unikátní řešení rovnice, které splňuje dané počáteční podmínky. (Připomeňme, že jakákoli spojitá funkce, která splňuje diferenciální rovnici, se nazývá řešením této rovnice.) To znamená, že můžeme jednoznačně předpovědět chování biologického systému, pokud jsou známy charakteristiky jeho počátečního stavu a modelová rovnice splňuje podmínky Cauchyho věta.

Stacionární stav. Udržitelnost

Budeme uvažovat autonomní diferenciální rovnici

Ve stacionárním stavu se hodnoty proměnných v systému s časem nemění, to znamená, že rychlost změny hodnot proměnných je 0: . Je-li levá strana rovnice (1.2) rovna nule, pak je pravá také nula: . Kořeny této algebraické rovnice jsou stacionární stavy diferenciální rovnice (1.2).

Příklad 1.1: Najděte stacionární stavy rovnice.

Rozhodnutí: Přesuňte člen, který derivaci neobsahuje, na pravou stranu rovnosti: . Podle definice ve stacionárním stavu platí následující rovnost: . Rovnost tedy musí platit . Řešíme rovnici:

,

Rovnice má tedy 3 stacionární stavy: , .

Biologické systémy neustále zažívají různé vnější vlivy a četné výkyvy. Zároveň mají (biologické systémy) homeostázu, tzn. odolný. V matematickém jazyce to znamená, že se proměnné s malými odchylkami vracejí ke svým stacionárním hodnotám. Odrazí se toto chování biologického systému v jeho matematickém modelu? Jsou stacionární stavy modelu stabilní?

Ustálený stav je udržitelný, jestliže pro dostatečně malou odchylku od rovnovážné polohy se systém nikdy nedostane daleko od singulárního bodu. Stabilní stav odpovídá stabilnímu režimu provozu systému.

Rovnovážný stav rovnice je Ljapunov stabilní, jestliže pro kohokoli lze vždy najít takové, že pokud, pak pro všechny.

Existuje analytická metoda pro studium stability stacionárního stavu - Ljapunovova metoda. Abychom to doložili, připomínáme Taylorův vzorec.

Volně řečeno, Taylorův vzorec ukazuje chování funkce v blízkosti určitého bodu. Nechť funkce má derivace v bodě všech řádů až n- včetně. Pak Taylorův vzorec platí pro:

Vynecháme-li zbytek členu, který sám sebe představuje nekonečně malé číslo vyššího řádu než , získáme přibližný Taylorův vzorec:

Pravá strana přibližného vzorce se nazývá Taylorův polynom funkce, označuje se jako .

Příklad 1.2: Rozšiřte funkci v Taylorově řadě v okolí bodu až do 4. řádu.

Rozhodnutí: Taylorovu řadu až do 4. řádu zapisujeme v obecném tvaru:

Najděte derivace dané funkce v bodě:

,

Dosaďte získané hodnoty do původního vzorce:

Analytická metoda pro studium stability stacionárního stavu ( Ljapunovova metoda) je následující. Dovolit být stacionární stav rovnice . Nastavíme malou odchylku proměnné X z jeho stacionární hodnoty: , kde . Nahraďte výraz za bod X do původní rovnice: . Levá strana rovnice bude mít tvar: , protože ve stacionárním stavu je rychlost změny hodnoty proměnné rovna nule: . Pravou stranu rozšíříme do Taylorovy řady v blízkosti stacionárního stavu, přičemž vezmeme v úvahu, že ponecháme pouze lineární člen na pravé straně rovnice:

Přijato linearizovaná rovnice nebo první aproximační rovnice. Hodnota je nějaká konstantní hodnota, označte ji A: . Obecné řešení linearizované rovnice má tvar: . Tento výraz popisuje zákon, podle kterého se námi daná odchylka od stacionárního stavu bude v čase měnit. Výchylka se bude časem snižovat, tzn. at , pokud je exponent v exponentu záporný, tzn. . Podle definice bude ustálený stav udržitelný. Jestliže , pak se s rostoucím časem bude odchylka pouze zvětšovat, je stacionární stav nestabilní. V případě, kdy rovnice první aproximace nemůže dát odpověď na otázku stability stacionárního stavu. V rozšíření Taylorovy řady je nutné uvažovat členy vyššího řádu.

Kromě analytické metody studia stability stacionárního stavu existuje i metoda grafická.

Příklad 1.3. Nech být . Najděte stacionární stavy rovnice a určete jejich typ stability pomocí grafu funkce .

Rozhodnutí: Pojďme najít speciální body:

,

,

Sestavíme graf funkce (obr. 1.1).

Rýže. 1.1. Funkční graf (příklad 1.3).

Z grafu určíme, zda je každý z nalezených stacionárních stavů stabilní. Nastavme malou odchylku reprezentativního bodu od singulárního bodu doleva: . V bodě se souřadnicí nabývá funkce kladnou hodnotu: nebo . Poslední nerovnost znamená, že časem by se měla souřadnice zvětšit, to znamená, že reprezentativní bod by se měl vrátit do bodu . Nyní nastavíme malou odchylku reprezentativního bodu od singulárního bodu doprava: . V této oblasti si funkce zachovává kladnou hodnotu, tedy v průběhu času souřadnice X se také zvyšuje, to znamená, že reprezentativní bod se bude vzdalovat od bodu. Malá odchylka tedy vyvede systém ze stacionárního stavu, proto je singulární bod podle definice nestabilní. Podobná úvaha vede k tomu, že jakákoliv odchylka od singulárního bodu s časem klesá, stacionární stav je stabilní. Odchylka reprezentujícího bodu v libovolném směru od stacionárního stavu vede k jeho odstranění z bodu , jedná se o nestabilní stacionární stav.

Řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic

Vraťme se ke studiu soustav rovnic, nejprve lineárních. Obecně lze systém lineárních diferenciálních rovnic reprezentovat jako:

Analýza soustavy rovnic začíná nalezením stacionárních stavů. Pro systémy tvaru (1.3) je singulární bod jedinečný, jeho souřadnice jsou (0,0). Výjimkou je degenerovaný případ, kdy rovnice mohou být reprezentovány jako:

(1.3*)

V tomto případě jsou všechny dvojice vyhovující vztahu stacionárními body systému (1,3*). Zejména bod (0,0) je také stacionární pro systém (1,3*). Na fázové rovině máme v tomto případě přímku se sklonovým koeficientem procházející počátkem, jejíž každý bod je singulárním bodem systému (1,3 *) (viz tabulka 1.1, položka 6).

Hlavní otázkou, kterou by měl výsledek studia soustavy rovnic zodpovědět, je, zda je stacionární stav soustavy stabilní a jaký charakter má toto řešení (monotónní či nemonotónní).

Společné rozhodnutí soustava dvou lineárních rovnic má tvar:

charakteristická čísla lze vyjádřit pomocí koeficientů lineárních rovnic takto:

Charakteristická čísla mohou být 1) reálná různých znamének, 2) reálná stejného znaménka, 3) komplexně konjugovaná a také v degenerovaných případech 4) čistě imaginární, 5) reálná koincidující, 6) reálná, z nichž jedno (resp. obojí) se rovná nule. Tyto případy určují typ chování řešení soustavy obyčejných diferenciálních rovnic. Odpovídající fázové portréty jsou uvedeny v tabulce 1.1.

Tabulka 1.1. Typy stacionárních stavů soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic a odpovídajících fázových portrétů. Šipky ukazují směr pohybu reprezentativního bodu

Konstrukce fázových a kinetických portrétů soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic

fázová rovina nazývaná rovina se souřadnicovými osami, na kterých jsou vyneseny hodnoty proměnných X a y, každý bod roviny odpovídá určitému stavu systému. Soubor bodů na fázové rovině, jejichž poloha odpovídá stavům systému v procesu změny proměnných v čase, podle daných rovnic zkoumaného systému, se nazývá fázové trajektorie. Sada fázových trajektorií pro různé počáteční hodnoty proměnných poskytuje portrét systému. Budova fázový portrét umožňuje vyvozovat závěry o povaze změn proměnných X a y aniž by znal analytická řešení původní soustavy rovnic.

Zvažte systém lineárních diferenciálních rovnic:

Konstrukce fázového portrétu začíná konstrukcí hlavní izokliny(izoklina je přímka, v níž sklon fázové křivky (trajektorie), určený rovnicí, zůstává konstantní). Pro soustavu dvou lineárních diferenciálních rovnic jsou to vždy přímky procházející počátkem. Rovnice izokliny horizontálních tečen: . Rovnice izokliny vertikálních tečen: . Pro další konstrukci fázového portrétu je užitečné sestrojit izoklinu tečen procházejících pod úhlem . Pro nalezení odpovídající izoklinální rovnice je nutné rovnici vyřešit . Můžete také najít izokliny tečen jiných úhlů pomocí přibližných hodnot tečen úhlů. Při konstrukci fázového portrétu může pomoci i odpověď na otázku, pod jakým úhlem by měly fázové trajektorie protínat souřadnicové osy. K tomu v rovnici izokliny dosadíme odpovídající rovnosti (pro určení úhlu průsečíku s osou OY) a (pro určení úhlu průsečíku s osou OX).

Příklad 1.4. Určete typ singulárního bodu soustavy lineárních rovnic:

Sestrojte fázový a kinetický portrét systému.

Rozhodnutí: Souřadnice singulárního bodu jsou (0,0). Koeficienty lineárních rovnic jsou: , , , . Definujme typ stacionárního stavu (viz část o charakteristických číslech):

Charakteristické kořeny jsou tedy imaginární: tedy singulární bod uvažovaného lineárního systému má typ střed (obr. 1.2a).

Rovnice izokliny vodorovných tečen: , Rovnice izokliny svislých tečen: . V úhlu 45° protínají trajektorie soustavy přímku .

Po sestrojení fázového portrétu je nutné určit směr pohybu po nalezených trajektoriích. To lze provést následujícím způsobem. Vezměte libovolný bod na libovolné trajektorii. Například na izoklině horizontálních tečen (1,1). Dosadíme souřadnice tohoto bodu do soustavy rovnic. Získáme výrazy pro rychlosti změny proměnných X,y v tomto bodě:

Získané hodnoty ukazují, že rychlost změny proměnné X- záporné, to znamená, že jeho hodnota by se měla snížit a proměnná y se nemění. Přijatý směr označíme šipkou. V uvažovaném příkladu je tedy pohyb podél fázových trajektorií směrován proti směru hodinových ručiček. Dosazením souřadnic různých bodů do systému můžete získat "mapu" směrů rychlostí, tzv. vektorové pole.

Obr 1.2. Fázový (a) a kinetický (b) portrét systému, příklad 1.4

Všimněte si, že na izoklině vodorovných tečen proměnná y dosáhne své maximální nebo minimální hodnoty na dané dráze. Naopak na izoklině vertikálních tečen je proměnná X.

Sestavit kinetický portrét systému znamená vykreslit závislost hodnot proměnných X,y od času. Fázový portrét lze použít k vytvoření kinetického a naopak. Jedna fázová trajektorie odpovídá jedné dvojici kinetických křivek. Zvolme libovolný bod na fázovém portrétu na libovolné fázové trajektorii. Toto je výchozí bod odpovídající času. V závislosti na směru pohybu v uvažovaném systému jsou hodnoty proměnných X,y buď snížit nebo zvýšit. Nechť souřadnice výchozího bodu jsou (1,1). Podle sestrojeného fázového portrétu, počínaje tímto bodem, se musíme posunout proti směru hodinových ručiček, souřadnice X a y zatímco se budou snižovat. Postupem času souřadnice X prochází 0, hodnota y a přitom zůstat pozitivní. Další souřadnice X a y nadále klesat, souřadnice y prochází 0 (hodnota X zatímco je negativní). Hodnota X dosáhne své minimální hodnoty na izoklině vertikálních tečen, poté se začne zvyšovat. Hodnota y dosáhne své minimální hodnoty na izoklině horizontálních tečen (hodnot X v tomto okamžiku je negativní). Další a hodnota X a hodnotu y zvýšení, návrat na výchozí hodnoty (obr. 1.2b).

Zkoumání stability stacionárních stavů nelineárních systémů druhého řádu

Nechť je biologický systém popsán systémem dvou autonomních diferenciálních rovnic druhého řádu obecného tvaru:

Stacionární hodnoty systémových proměnných jsou určeny z algebraických rovnic:

V sousedství každého stacionárního stavu lze uvažovat první aproximační systém(linearizovaný systém), jehož studium může umožnit odpovědět na otázku stability singulárního bodu a charakteru fázových trajektorií v jeho malém okolí.

mimo

My máme , , singulární bod je hrubý. Charakteristické kořeny soustavy první aproximace jsou rovny , obě jsou reálné i záporné, proto v blízkosti nulového singulárního bodu bude chování fázových trajektorií soustavy odpovídat typu stabilního uzlu.

Úvod 4

Apriorní analýza dynamických systémů 5

Průchod náhodného signálu lineárním systémem 5

Evoluce fázového vektoru soustavy 7

Evoluce kovarianční matice fázového vektoru systému 8

Statistická linearizace 8

První cesta 9

Druhá cesta 10

Výpočet koeficientů linearizace 10

Nejednoznačnost v nelineárních spojích 14

Nelineární odkaz pokrytý zpětnou vazbou 15

Simulace náhodných procesů 16

Tvarovací filtr 16

Modelování bílého šumu 17

Odhad statistických charakteristik dynamických systémů metodou Monte Carlo 18

Přesnost známky 18

Nestacionární dynamické systémy 20

Stacionární dynamické systémy 21

Posteriori analýza dynamických systémů 22

Kalmanův filtr 22

Pohybový vzorec 22

Model měření 23

Oprava 23

Předpověď 23

23. třída

Použití Kalmanovy filtrace v nelineárních problémech 25

Nejmenší čtverce 27

Stavební třídy 27

Předpověď 29

Použití metody nejmenších čtverců v nelineárních úlohách 29

Konstrukce Cauchyho matice 30

Modelování měření 30

Numerické metody 31

Speciální funkce 31

Simulace náhodných veličin 31

Rovnoměrně rozdělené náhodné veličiny 31

Gaussovy náhodné veličiny 32

Náhodné vektory 33

Integrál pravděpodobností 34

Čebyševovy polynomy 36

Integrace obyčejných diferenciálních rovnic 36

Metody Runge-Kutta 36

Přesnost výsledků numerické integrace 37

Nested Dorman-Prince 5(4) objednávka 37

Vícekrokové metody 39

Adamsovy metody 39

Integrace zpožděných rovnic 40

Porovnání výpočtových kvalit metod 40

Problém Arenstorf 40

Jacobiho eliptické funkce 41

Problém dvou těl 41

Van der Polova rovnice 42

Brusselator 42

Závěsný provázek Lagrangeova rovnice 42

Plejády 42

Udělat vysvětlující poznámku 43

Titulní strana 43

Sekce "Úvod" 44

Sekce "Teorie" 44

Sekce "Algoritmus" 44

Sekce "Program" 45

Sekce "Výsledky" 45

Část „Závěry“ 45

Sekce "Seznam použitých zdrojů" 45

Přihlášky 45

Literatura 47

Úvod

Tato příručka obsahuje pokyny pro plnění úkolů pro projekty kurzu a pro provádění praktických cvičení v kurzu "Základy statistické dynamiky".

Účelem návrhu předmětu a praktických cvičení je zvládnutí technologie a priori a posteriori analýzy nelineárních dynamických systémů pod vlivem náhodných poruch.

Apriorní analýza dynamických systémů

Statistická linearizace

Statistická linearizace umožňuje transformovat původní nelineární dynamický systém tak, aby pro jeho analýzu bylo možné použít metody, algoritmy a vztahy platné pro lineární systémy.

Tato část je věnována představení metody statistické linearizace, založené na nejjednodušším přibližném přístupu navrženém prof. TJ. Kazakova, což však umožňuje konstruovat odhady přesnosti systému obsahujícího i významné nelinearity s nespojitými charakteristikami.

Statistická linearizace spočívá v nahrazení původní bez setrvačnosti nelineární závislosti mezi vstupními a výstupními procesy takovou přibližnou závislostí, lineární vzhledem k centrovanému vstupnímu náhodnému procesu, která je statisticky ekvivalentní s ohledem na původní:

Spoj, který má takový přibližný vztah mezi vstupními a výstupními signály, se nazývá ekvivalentní uvažovanému nelineárnímu spoji.

Hodnota je vybrána na základě podmínky rovnosti matematických očekávání nelineárních a linearizovaných signálů a nazývá se statistická průměrná charakteristika ekvivalentního spoje:

,

kde je hustota distribuce vstupního signálu.

U nelineárních vazeb s lichými charakteristikami, tzn. na , je vhodné reprezentovat statistický ukazatel ve tvaru:

je matematické očekávání vstupního signálu;
je statistický zisk ekvivalentního odkazu z hlediska průměrné složky .

Že. ekvivalentní závislost má v tomto případě tvar:

Charakteristika se nazývá statistický zisk ekvivalentní vazby pro náhodnou složku (kolísání) a určuje se dvěma způsoby.

První způsob

V souladu s prvním způsobem statistické linearizace se koeficient volí na základě podmínky rovnosti disperzí původního a ekvivalentního signálu. Že. pro výpočet dostaneme následující vztah:

,

kde je rozptyl vstupní náhodné akce.

Znaménko ve výrazu pro je určeno povahou závislosti v blízkosti hodnoty argumentu. Pokud se zvýší, pak , a pokud se sníží, pak .

Druhý způsob

Hodnota podle druhé metody je vybrána z podmínky minimalizace střední kvadratické chyby linearizace:

Konečný poměr pro výpočet koeficientu druhou metodou je:

.

Závěrem poznamenáváme, že žádná ze dvou výše uvažovaných metod linearizace nezajišťuje rovnost korelačních funkcí výstupních signálů nelineárních a ekvivalentních spojů. Výpočty ukazují, že pro korelační funkci nelineárního signálu první metoda výběru dává horní odhad a druhá metoda dává dolní odhad, tzn. chyby při určování korelační funkce nelineárního výstupního signálu mají různá znaménka. Prof. TJ. Kazakov, autor zde popsané metody, doporučuje zvolit jako výsledný koeficient linearizace poloviční součet koeficientů získaných první a druhou metodou.

Tvarovací filtr

Parametry se obvykle určují ztotožněním koeficientů polynomů v čitateli a jmenovateli v rovnici

se stejnými stupni.

Po určení přenosové funkce tvarovacího filtru vypadá výsledné schéma pro modelování náhodného procesu tak, jak je znázorněno na obrázku.

Například spektrální hustota procesu, který má být modelován, má tvar:

,

pro modelování se používá matematické očekávání a bílý šum s intenzitou, proto má jednotkovou spektrální hustotu.

Je zřejmé, že čitatel a jmenovatel požadované přenosové funkce musí mít řády 1 a 2 (ve skutečnosti, je-li přenosová funkce na druhou mocninu modulo, přenosová funkce tvoří podíl polynomů 2. a 4. stupně)

Že. Přenosová funkce tvarovacího filtru v jeho nejobecnější podobě je následující:

,

a druhá mocnina jeho modulu:

Získané poměry srovnejme:

Vyjmeme závorky a na pravé straně rovnosti, čímž srovnáme koeficienty na nula stupňů:

,

z čehož jasně plynou následující rovnosti:

; ; ; .

Že. blokové schéma tvorby náhodného procesu s danými statistickými charakteristikami z bílého šumu s jednotkovou spektrální hustotou vypadá tak, jak je znázorněno na obrázku, s přihlédnutím k vypočteným hodnotám parametrů tvarovacího filtru.

Modelování bílého šumu

Pro simulaci náhodného procesu s danými statistickými charakteristikami se jako vstupní náhodný proces do tvarovacího filtru používá bílý šum. Přesné modelování bílého šumu však není možné kvůli nekonečnému rozptylu tohoto náhodného procesu.

Z tohoto důvodu se jako náhrada za bílý šum působící na dynamický systém používá proces náhodných kroků. Interval, na kterém si implementace náhodného procesu zachovává svou nezměněnou hodnotu (šířka kroku, korelační interval), je konstantní hodnota. Samotné implementační hodnoty (výšky kroků) jsou náhodné proměnné distribuované podle normálního zákona s nulovým matematickým očekáváním a omezeným rozptylem. Hodnoty procesních parametrů - korelační interval a disperze - jsou určeny charakteristikou dynamického systému, který je ovlivněn bílým šumem.

Myšlenka metody je založena na omezené šířce pásma jakéhokoli skutečného dynamického systému. Tito. zisk skutečného dynamického systému se snižuje se zvyšující se frekvencí vstupního signálu, a proto existuje frekvence (menší než nekonečná), pro kterou je zisk systému tak malý, že jej lze nastavit na nulu. A to zase znamená, že vstupní signál s konstantní, ale touto frekvencí omezenou, spektrální hustotou, pro takový systém bude ekvivalentní bílému šumu (s konstantní a nekonečnou spektrální hustotou).

Parametry ekvivalentního náhodného procesu - korelační interval a rozptyl se vypočítají takto:

kde je empiricky určená hranice šířky pásma dynamického systému.

Přesnost odhadu

Odhady očekávání

a disperze

náhodná veličina konstruovaná na základě zpracování omezeného vzorku jejích implementací, , jsou samy náhodnými veličinami.

Je zřejmé, že čím větší je velikost vzorku implementací, tím přesnější je nestranný odhad, tím blíže se blíží skutečné hodnotě odhadovaného parametru. Níže jsou uvedeny přibližné vzorce založené na předpokladu jejich normálního rozdělení. Symetrický relativní interval spolehlivosti pro odhad odpovídající pravděpodobnosti spolehlivosti je určen hodnotou, pro kterou platí vztah:

,

kde
je skutečná hodnota matematického očekávání náhodné proměnné,
je standardní odchylka náhodné veličiny,
je pravděpodobnostní integrál.

Na základě výše uvedeného vztahu lze množství určit takto:

,

kde je funkce inverzní vzhledem k integrálu pravděpodobnosti .

Protože přesně neznáme rozptylovou charakteristiku odhadu, použijeme její přibližnou hodnotu vypočítanou pomocí odhadu:

Že. konečný vztah spojující přesnost odhadu matematického očekávání a velikost vzorku, na kterém se odhad provádí, vypadá takto:

.

To znamená, že hodnota intervalu spolehlivosti (při konstantní hodnotě pravděpodobnosti spolehlivosti) umístěná symetricky kolem , vyjádřená ve zlomcích odhadu směrodatné odchylky , je nepřímo úměrná druhé odmocnině velikosti vzorku.

Interval spolehlivosti pro odhad rozptylu je definován podobným způsobem:

až do hodnoty , kterou lze při absenci přesnějších informací přibližně určit ze vztahu:

Že. hodnota intervalu spolehlivosti (při konstantní hodnotě pravděpodobnosti spolehlivosti ), umístěná symetricky vzhledem k , vyjádřená v jejích podílech, je nepřímo úměrná druhé odmocnině hodnoty , kde je velikost vzorku.

Přesnější vzorce pro konstrukci intervalů spolehlivosti odhadů lze získat pomocí přesných informací o zákonu rozdělení náhodné veličiny.

Například pro zákon Gaussova rozdělení náhodná veličina

dodržuje Studentův distribuční zákon se stupněm volnosti a náhodnou veličinu

distribuovány podle zákona také s určitou mírou volnosti.

Kalmanův filtr

Model pohybu

Jak je známo, Kalmanův filtr je určen k odhadu stavového vektoru lineárního dynamického systému, jehož evoluční model lze zapsat jako:

kde
je Cauchyho matice, která určuje změnu stavového vektoru systému v jeho vlastním pohybu (bez řízení a šumových akcí) od okamžiku času do okamžiku času;
je vektor nenáhodných vynucovacích akcí v systému (například ovládacích akcí) v okamžiku času;
je matice vlivu silových akcí v okamžiku času na stavový vektor systému v okamžiku času;
je vektor náhodných nezávislých centrovaných akcí na systém v okamžiku času;
je matice vlivu náhodných vlivů v okamžiku času na stavový vektor systému v okamžiku času .

Model měření

Odhad se provádí na základě statistického zpracování výsledků měření, lineárně vztažených ke stavovému vektoru a zkreslených aditivní nezkreslenou chybou:

kde je matice spojující současně stavové a měřicí vektory .

Oprava

Základem Kalmanova filtru jsou korekční poměry, které jsou výsledkem minimalizace stopy kovarianční matice hustoty zadního rozdělení lineárních (podél vektoru měření ) odhadů vektoru stavu systému:

Předpověď

Doplnění korekčních vztahů o předpovědní vztahy založené na lineárních vlastnostech modelu vývoje systému:

kde je kovarianční matice vektoru, získáme vzorce pro rekurentní Bayesovský algoritmus pro odhad vektoru stavu systému a jeho kovarianční matice na základě statistického zpracování výsledků měření.

Hodnocení

K implementaci výše uvedených vztahů je samozřejmě nutné umět sestavit matice z evolučního modelu, matici z měřícího modelu, dále kovarianční matice a pro každý th časový okamžik.

Kromě toho je pro inicializaci výpočetního procesu nutné nějak určit aposteriorní neboli apriorní odhady stavového vektoru a jeho kovarianční matice. Termín "a priori" nebo "a posteriori" v tomto případě znamená pouze kvalitu, ve které bude stavový vektor a jeho kovarianční matice použit ve výpočetním algoritmu, a nevypovídá nic o tom, jak byly získány.

Volba poměru, od kterého by měly být výpočty zahájeny, je tedy určena časovými body, ke kterým jsou přiřazeny počáteční podmínky filtrování a první hrubý vektor měření. Pokud se časové body shodují, pak by měly být nejprve použity korekční poměry pro upřesnění počátečních podmínek; pokud ne, pak by měly být počáteční podmínky nejprve předpověděny podle času vazby prvního hrubého vektoru měření.

Vysvětleme Kalmanův filtrační algoritmus pomocí obrázku.

Na obrázku je v souřadnicových osách (v kanále pohybu) zobrazeno několik možných trajektorií fázového vektoru:

je skutečná vývojová trajektorie fázového vektoru;
je vývoj fázového vektoru, předpovězený na základě použití modelu pohybu a apriorního odhadu fázového vektoru, vztažený na čas;
je vývoj fázového vektoru, předpovězený na základě použití modelu pohybu a aposteriorního (přesnějšího) odhadu fázového vektoru, vztaženo na čas

Souřadnicové osy , (v měřicím kanálu) v okamžicích času a ukazují výsledky měření a :

,

kde
je skutečná hodnota vektoru měření v čase;
je vektor chyb měření realizovaných v okamžiku .

Pro konstrukci korekce na apriorní fázový vektor systému se použije rozdíl mezi výsledkem měření a hodnotou, která by byla naměřena podle modelu měření problému, pokud by fázový vektor ve skutečnosti nabral hodnotu . V důsledku aplikace korekčních vztahů na apriorní odhady bude odhad fázového vektoru systému poněkud přesnější a nabude hodnoty

V daném okamžiku je výsledek prognózy použit jako apriorní odhad na trajektorii procházející fázovým vektorem je opět sestrojen rozdíl měření, podle kterého se vypočítá aposteriorně ještě přesnější hodnota atd. pokud existují měřicí vektory ke zpracování nebo je potřeba předvídat chování fázového vektoru.

Metoda nejmenších čtverců

Tato část představuje metodu nejmenších čtverců upravenou pro posteriori analýzu dynamických systémů.

Budování skóre

Pro případ lineárního modelu stejných měření:

máme následující algoritmus odhadu fázového vektoru:

.

Pro případ nestejných měření zavedeme matici obsahující váhové koeficienty na diagonále. S přihlédnutím k váhovým koeficientům bude mít předchozí poměr tvar:

.

Pokud jako váhovou matici použijeme matici inverzní ke kovarianční matici chyb měření, pak s přihlédnutím k tomu, že dostaneme:

.

Jak vyplývá z výše uvedených vztahů, základem metody je matice, která dává do vztahu odhadovaný fázový vektor vztažený k určitému časovému bodu a vektor měření. Vektor má zpravidla blokovou strukturu, ve které je každý z bloků přiřazen k nějakému časovému bodu , což se obecně neshoduje s .

Obrázek ukazuje určité možné vzájemné uspořádání bodů v čase, ke kterému se měření vztahují, a bodu v čase, na který se vztahuje vektor odhadovaných parametrů.

Pro každý vektor platí následující vztah:

, na .

Ve výsledném vztahu nejmenších čtverců tedy vektor a matice mají následující strukturu:

; .

kde
– určuje nenáhodný vynucovací účinek na systém;
– určuje náhodný dopad na systém.

lze použít predikční vztahy, se kterými jsme se setkali výše v popisu Kalmanova filtračního algoritmu:

kde je kovarianční matice vektoru .

Konstrukce Cauchyho matice

V problémech konstrukce odhadů metodami statistického zpracování měření se často setkáváme s problémem konstrukce Cauchyho matice. Tato matice spojuje fázové vektory systému, vztahující se k různým časovým okamžikům, v jejich vlastním pohybu.

V této části se omezíme na zvážení problémů souvisejících s konstrukcí Cauchyho matice pro evoluční model zapsaný jako systém obyčejných diferenciálních rovnic (lineárních nebo nelineárních).

kde se pro matice proporcionality konstruované v blízkosti referenční trajektorie používá následující označení:

; .

Modelování rozměrů

Problém nastává, když například při odhadu potenciálně dosažitelné přesnosti metody v nějakém problému nemáte žádné výsledky měření. V tomto případě je potřeba výsledky měření simulovat. Zvláštností modelování výsledků měření je to, že modely pohybu a měření použité pro tento účel se nemusí shodovat s modely, které budete používat při vytváření odhadů pomocí jedné nebo druhé metody filtrování.

Jako výchozí podmínky pro modelování vývoje fázového vektoru dynamického systému by měly být použity skutečné hodnoty souřadnic tohoto vektoru. Kromě tohoto místa by se nikde jinde neměly používat skutečné hodnoty souřadnic fázového vektoru systému.

Numerické metody

Speciální funkce

Náhodné vektory

Problém, jehož řešení je popsáno v této podkapitole, je modelovat vektor korelovaných Gaussových náhodných veličin.

Nechť je modelovaný náhodný vektor vytvořen na základě transformace vektoru standardních nekorelovaných náhodných veličin odpovídající dimenze takto: s přesností na 4 číslice, na základě rozšíření do sérií v mocninách argumentu pro jeho tři intervaly.

V , se součet asymptotické řady téměř rovná 1.

Úvod

Protože koncept nelineárního dynamického systému je dostatečně bohatý na to, aby pokryl extrémně širokou škálu procesů, ve kterých je budoucí chování systému určováno minulostí, jsou metody analýzy vyvinuté v této oblasti užitečné v mnoha různých kontextech.

Nelineární dynamika vstupuje do literatury minimálně třemi způsoby. Za prvé, existují případy, kdy jsou shromažďována a analyzována experimentální data o změně jedné nebo více veličin v čase pomocí technik založených na nelineární dynamické teorii, s minimálními předpoklady o základních rovnicích, které řídí proces, který produkuje data. To znamená, že jde o případ, kdy se v datech snaží najít korelace, které mohou vést k vývoji matematického modelu, spíše než nejprve model hádat a pak jej porovnávat s daty.

Za druhé, existují případy, kdy lze nelineární dynamickou teorii použít k tvrzení, že nějaký zjednodušený model by měl demonstrovat důležité vlastnosti daného systému, což znamená, že popisující model lze sestavit a studovat v širokém rozsahu parametrů. To často vede k modelům, které se chovají kvalitativně odlišně za různých parametrů a demonstrují, že jedna oblast vykazuje chování, které je velmi podobné chování pozorovanému v reálném systému. Chování modelu je v mnoha případech poměrně citlivé na změny parametrů, takže pokud lze parametry modelu měřit v reálném systému, model se při těchto hodnotách chová realisticky a člověk si může být jistý, že model zachytí základní vlastnosti systému.

Za třetí, existují případy, kdy jsou modelové rovnice sestaveny na základě detailních popisů známé fyziky. Numerické experimenty pak mohou poskytnout informace o proměnných, které nejsou dostupné pro fyzikální experimenty.

Na základě druhé cesty je tato práce rozšířením mé předchozí práce „Nelineární dynamický model vzájemně závislých odvětví“ a také další práce (Dmitriev, 2015)

Všechny potřebné definice a další teoretické informace potřebné v práci se podle potřeby objeví v první kapitole. Zde budou uvedeny dvě definice, které jsou nezbytné pro odhalení samotného výzkumného tématu.

Nejprve definujeme dynamiku systému. Systémová dynamika je podle jedné z definic přístup simulačního modelování, který díky svým metodám a nástrojům pomáhá hodnotit strukturu složitých systémů a jejich dynamiku (Shterman). Stojí za to dodat, že systémová dynamika je také modelovací technika, která se používá k opětovnému vytvoření správných (z hlediska přesnosti) počítačových modelů pro složité systémy pro jejich budoucí použití s ​​cílem vytvořit efektivnější společnost / organizaci, stejně jako zlepšit metody interakci s tímto systémem. Většina potřeby systémové dynamiky vzniká při konfrontaci s dlouhodobými, strategickými modely, a také stojí za zmínku, že je spíše abstraktní.

Když už mluvíme o nelineární diferenciální dynamice, budeme uvažovat nelineární systém, což je podle definice systém, ve kterém změna výsledku není úměrná změně vstupních parametrů a ve kterém funkce popisuje závislost změny v čase a poloze bodu v prostoru (Boeing, 2016).

Na základě výše uvedených definic je zřejmé, že tato práce bude uvažovat různé nelineární diferenciální systémy, které popisují interakci společností, a také simulační modely postavené na jejich základě. Na základě toho bude určen účel práce.

Účelem této práce je tedy provést kvalitativní analýzu dynamických systémů, které popisují interakci firem v první aproximaci a na jejich základě sestavit simulační model.

K dosažení tohoto cíle byly stanoveny následující úkoly:

Určení stability systému.

Konstrukce fázových portrétů.

Hledání integrálních trajektorií systémů.

Konstrukce simulačních modelů.

Každému z těchto úkolů bude věnován jeden z oddílů každé z kapitol práce.

Na základě praxe konstrukce základních matematických struktur, které efektivně modelují dynamiku v různých fyzikálních systémech a procesech, naznačuje, že odpovídající matematický model do určité míry odráží blízkost ke studovanému originálu, kdy jeho charakteristické rysy lze odvodit z vlastností a struktur od typu pohybu, který tvoří dynamiku systému. Ekonomická věda je dodnes ve stádiu svého rozvoje, ve kterém se v ní zvláště efektivně uplatňují nové a v mnoha případech nestandardní metody a metody fyzikálního a matematického modelování ekonomických procesů. Zde následuje závěr o nutnosti vytvářet, studovat a stavět modely, které dokážou nějak popsat ekonomickou situaci.

Pokud jde o důvod volby spíše kvalitativní než kvantitativní analýzy, stojí za zmínku, že v naprosté většině případů se výsledky a závěry z kvalitativní analýzy dynamických systémů ukazují jako významnější než výsledky jejich kvantitativní analýzy. V takové situaci je vhodné poukázat na vyjádření V.P. Milovanov, ve kterém uvádí, že se tradičně domnívají, že výsledky očekávané při aplikaci matematických metod na analýzu reálných objektů by měly být zredukovány na numerický výsledek. V tomto smyslu mají kvalitativní metody poněkud jiný úkol. Zaměřuje se na dosažení výsledku, který popisuje kvalitu systému, na hledání charakteristických rysů všech jevů jako celku, na prognózování. Samozřejmě je důležité pochopit, jak se změní poptávka, když se změní ceny určitého druhu zboží, ale nezapomínejte, že mnohem důležitější je pochopit, zda za takových podmínek bude tohoto zboží nedostatek nebo přebytek (Dmitriev , 2016).

Předmětem této studie je nelineární diferenciální a systémová dynamika.

V tomto případě je předmětem zkoumání popis procesu interakce mezi podniky prostřednictvím nelineární diferenciální a systémové dynamiky.

Když už mluvíme o praktické aplikaci studie, stojí za to ji okamžitě rozdělit na dvě části. A to teoretickou, tedy kvalitativní analýzu systémů, a praktickou, ve které bude uvažována konstrukce simulačních modelů.

Teoretická část této studie poskytuje základní pojmy a jevy. Uvažuje o jednoduchých diferenciálních systémech, jako v pracích mnoha jiných autorů (Teschl, 2012; Nolte, 2015), ale zároveň umožňuje popsat interakci mezi podniky. Na základě toho bude v budoucnu možné provádět hlubší studie nebo se začít seznamovat s tím, co představuje kvalitativní analýzu systémů.

Praktickou část práce lze využít k vytvoření systému podpory rozhodování. Systém pro podporu rozhodování - automatizovaný informační systém zaměřený na podporu podnikání nebo rozhodování v organizaci, umožňující volit mezi mnoha různými alternativami (Keen, 1980). I když modely nejsou v tuto chvíli příliš přesné, ale jejich změnou pro konkrétní společnost můžete dosáhnout přesnějších výsledků. Když v nich změníte různé parametry a podmínky, které mohou na trhu nastat, můžete získat prognózu do budoucna a předem učinit výhodnější rozhodnutí.

1. Interakce firem v podmínkách mutualismu

Příspěvek představí dvourozměrné systémy, které jsou ve srovnání se systémy vyššího řádu celkem jednoduché, ale zároveň nám umožňují demonstrovat vztahy mezi organizacemi, které potřebujeme.

Vyplatí se začít pracovat s výběrem typu interakce, který bude popsán v budoucnu, protože pro každý z typů jsou systémy, které je popisují, i když mírně odlišné. Obrázek 1.1 ukazuje klasifikaci Yujima Oduma pro populační interakci upravenou pro ekonomickou interakci (Odum, 1968), na základě které budeme dále uvažovat o interakci firem.

Obrázek 1.1. Typy interakce mezi podniky

Na základě obrázku 1.1 jsme vyčlenili 4 typy interakcí a pro každý z nich představili systém rovnic, které je popisují na základě Malthusova modelu (Malthus, 1798). Podle ní je rychlost růstu úměrná aktuální početnosti druhu, jinými slovy, lze ji popsat následující diferenciální rovnicí:

kde a je parametr, který závisí na přirozeném růstu populace. Je také vhodné dodat, že v níže uvažovaných systémech všechny parametry i proměnné nabývají nezáporných hodnot.

Výroba surovin je výroba produktů, která je podobná modelu dravec-kořist. Model dravec-kořist, také známý jako Lotka-Volterra model, je dvojice nelineárních diferenciálních rovnic prvního řádu popisující dynamiku biologického systému se dvěma druhy, z nichž jeden je predátor a druhý je kořist (Llibre , 2007). Změna v početnosti těchto druhů je popsána následujícím systémem rovnic:

(1.2)

kde - charakterizuje růst produkce prvního podniku bez vlivu druhého (v případě modelu dravec-kořist růst populace kořisti bez predátorů),

Charakterizuje růst produkce druhého podniku bez vlivu prvního (růst populace dravců bez kořisti),

Charakterizuje růst produkce prvního podniku s přihlédnutím k vlivu druhého podniku na něj (nárůst počtu kořisti při interakci s predátory),

Charakterizuje růst produkce druhého podniku s přihlédnutím k vlivu prvního podniku na něj (nárůst počtu predátorů při jejich interakci s oběťmi).

Za prvé, predátor, jak je vidět ze systému, stejně jako Odumova klasifikace, jejich interakce má příznivý účinek. Na druhé nepříznivé. Vezmeme-li v úvahu ekonomickou realitu, pak, jak je vidět na obrázku, je nejjednodušším analogem výrobce a jeho dodavatel zdrojů, které odpovídají predátorovi a kořisti. Při nedostatku surovin tedy produkce exponenciálně klesá.

Konkurence je rivalita mezi dvěma nebo více (v našem případě uvažujeme o dvourozměrných systémech, bereme tedy přesně dvoudruhovou konkurenci) druhy, ekonomickými skupinami o území, omezenými zdroji nebo jinými hodnotami (Elton, 1968). Změny v počtu druhů, nebo v našem případě počtu produktů, popisuje systém níže:

(1.3)

V tomto případě se druhy nebo společnosti, které vyrábějí jeden produkt, navzájem nepříznivě ovlivňují. To znamená, že při absenci konkurenta se růst produktu exponenciálně zvýší.

Nyní přejděme k symbiotické interakci, ve které se oba podniky navzájem pozitivně ovlivňují. Začněme vzájemným vztahem. Mutualismus je typem vztahu mezi různými druhy, ve kterém každý z nich těží z jednání toho druhého, a stojí za zmínku, že přítomnost partnera je nezbytnou podmínkou existence (Thompson, 2005). Tento typ vztahu je popsán systémem:

(1.4)

Vzhledem k tomu, že interakce mezi společnostmi je nezbytná pro jejich existenci, při absenci produktu jedné společnosti exponenciálně klesá produkce zboží jiné společnosti. To je možné, když společnosti prostě nemají jiné alternativy pro zadávání zakázek.

Zvažte jiný typ symbiotické interakce, protokooperaci. Protokooperace je podobná mutualismu, s jedinou výjimkou, že není potřeba, aby existoval partner, protože například existují jiné alternativy. Vzhledem k tomu, že jsou podobné, jejich systémy vypadají téměř identicky:

(1.5)

Absence produktu jedné společnosti tedy nebrání růstu produktu jiné společnosti.

Samozřejmě, kromě těch, které jsou uvedeny v odstavcích 3 a 4, lze zaznamenat další typy symbiotických vztahů: komenzalismus a amensalismus (Hanski, 1999). Nebudou se však dále zmiňovat, protože v komenzalismu je jeden z partnerů lhostejný k jeho interakci s druhým, ale stále zvažujeme případy, kdy existuje vliv. A amensalismus nepřipadá v úvahu, protože z ekonomického hlediska takové vztahy, kdy jejich interakce jednomu škodí a druhému je lhostejné, prostě nemohou existovat.

Na základě vzájemného vlivu firem, konkrétně faktu, že symbiotické vztahy vedou k udržitelné koexistenci firem, budeme v tomto příspěvku zvažovat pouze případy mutualismu a protokooperace, protože v obou případech je interakce výhodná pro všechny.

Tato kapitola je věnována interakci firem v podmínkách mutualismu. Bude zvažovat dva systémy, které jsou dalším vývojem systémů založených na Malthusově modelu, a to systémy s uloženými omezeními na zvýšení produkce.

Dynamiku páru spojeného vzájemnými vztahy, jak bylo uvedeno výše, lze popsat v první aproximaci systémem:

(1.6)

Je vidět, že s velkým počátečním množstvím výroby systém donekonečna roste a s malým množstvím výroba klesá. V tom spočívá nesprávnost bilineárního popisu efektu vyplývajícího ze mutualismu. Abychom se pokusili obrázek napravit, zavádíme faktor připomínající saturaci predátora, tedy faktor, který sníží rychlost růstu produkce, pokud je přebytečná. V tomto případě se dostáváme k následujícímu systému:

(1.7)

kde je růst produkce produktu první společnosti v její interakci s druhou, s přihlédnutím k saturaci,

Růst výroby produktu druhé společnosti v její interakci s první, s přihlédnutím k nasycení,

Koeficienty nasycení.

Tak jsme dostali dva systémy: Malthusiánův model růstu se saturací a bez nasycení.

1.1 Stabilita systémů v první aproximaci

Stabilita systémů v prvním přiblížení je zvažována v mnoha zahraničních (Hairer, 1993; Bhatia, 2002; Khalil, 2001; Strogatz, 2001 a další) a ruskojazyčných pracích (Akhromeyeva, 1992; Bellman, 1954; Demidovich, 1967; Krasovský, 1959 a další) a jeho definice je základním krokem pro analýzu procesů probíhajících v systému. Chcete-li to provést, proveďte následující nezbytné kroky:

Pojďme najít body rovnováhy.

Najdeme jakobiánskou matici systému.

Najděte vlastní čísla Jacobiánské matice.

Body rovnováhy klasifikujeme podle Ljapunovovy věty.

Po zvážení kroků stojí za to se podrobněji pozastavit nad jejich vysvětlením, proto uvedu definice a popíšu metody, které v každém z těchto kroků použijeme.

Prvním krokem je hledání rovnovážných bodů. Abychom je našli, přirovnáme každou funkci k nule. To znamená, že řešíme systém:

kde aab znamenají všechny parametry rovnice.

Dalším krokem je nalezení jakobiánské matice. V našem případě to bude matice 2x2 s prvními derivacemi v určitém bodě, jak je ukázáno níže:

Po dokončení prvních dvou kroků přistoupíme k nalezení kořenů následující charakteristické rovnice:

Kde bod odpovídá rovnovážným bodům nalezeným v prvním kroku.

Po nalezení a přejdeme ke čtvrtému kroku a použijeme následující Ljapunovovy teorémy (Parks, 1992):

Věta 1: Mají-li všechny kořeny charakteristické rovnice zápornou reálnou část, pak je bod rovnováhy odpovídající původním a linearizovaným systémům asymptoticky stabilní.

Věta 2: Pokud má alespoň jeden z kořenů charakteristické rovnice kladnou reálnou část, pak je bod rovnováhy odpovídající původním a linearizovaným systémům asymptoticky nestabilní.

Také při pohledu na a je možné přesněji určit typ stability na základě rozdělení znázorněného na obrázcích 1.2 (Lamar University).

Obrázek 1.2. Typy stability rovnovážných bodů

Po zvážení nezbytných teoretických informací přejdeme k analýze systémů.

Uvažujme systém bez nasycení:

Je velmi jednoduchý a není vhodný pro praktické použití, protože nemá žádná omezení. Ale jako první příklad systémové analýzy je vhodné zvážit.

Nejprve nalezněme body rovnováhy tak, že pravé strany rovnic vyrovnáme nule. Najdeme tedy dva body rovnováhy, říkejme jim A a B: .

Spojme krok s hledáním jakobiánské matice, kořenů charakteristické rovnice a určení typu stability. Protože jsou elementární, okamžitě dostaneme odpověď:

1. V bodě , , je stabilní uzel.

V bodě: . . sedlo.

Jak jsem již psal, tento systém je příliš triviální, takže nebylo potřeba žádné vysvětlení.

Nyní pojďme analyzovat systém od nasycení:

(1.9)

Objevení se omezení vzájemné saturace produktů ze strany podniků nás přibližuje skutečnému obrazu toho, co se děje, a také mírně komplikuje systém.

Stejně jako dříve srovnáme správné části soustavy s nulou a vyřešíme výslednou soustavu. Bod zůstal nezměněn, ale druhý bod v tomto případě obsahuje více parametrů než dříve: .

V tomto případě má Jacobiho matice následující podobu:

Odečtěte od ní matici identity vynásobenou , a přirovnejte determinant výsledné matice v bodech A a B k nule.

V bodě podobného raného obrázku:

stabilní uzel.

Ale na místě vše je poněkud složitější, a přestože je matematika stále poměrně jednoduchá, její složitost způsobuje nepříjemnosti při práci s dlouhými doslovnými výrazy. Protože se hodnoty ukázaly být poměrně dlouhé a nepohodlně zapsané, nejsou uvedeny, stačí říci, že v tomto případě, stejně jako u předchozího systému, je získaný typ stability sedlový.

2 Fázové portréty systémů

Naprostá většina nelineárních dynamických modelů jsou složité diferenciální rovnice, které buď nelze vyřešit, nebo jde o určitý druh složitosti. Příkladem je systém z předchozí části. Navzdory zdánlivé jednoduchosti nebylo nalezení typu stability ve druhém rovnovážném bodě snadným úkolem (i když ne z matematického hlediska) a s nárůstem parametrů, omezení a rovnic pro zvýšení počtu interagujících podniků složitost se bude jen zvyšovat. Samozřejmě, pokud jsou parametry číselné výrazy, pak se vše neuvěřitelně zjednoduší, ale pak analýza nějak ztratí smysl, protože nakonec budeme schopni najít body rovnováhy a zjistit jejich typy stability pouze pro konkrétní případ, ne obecný.

V takových případech stojí za to pamatovat na fázovou rovinu a fázové portréty. V aplikované matematice, zejména v kontextu analýzy nelineárních systémů, je fázová rovina vizuální reprezentací určitých charakteristik určitých typů diferenciálních rovnic (Nolte, 2015). Souřadnicová rovina s osami hodnot libovolné dvojice proměnných charakterizujících stav systému je dvourozměrným případem společného n-rozměrného fázového prostoru.

Díky fázové rovině je možné graficky určit existenci limitních cyklů v řešení diferenciální rovnice.

Řešení diferenciální rovnice jsou rodinou funkcí. Graficky to lze vykreslit ve fázové rovině jako dvourozměrné vektorové pole. V rovině se kreslí vektory, které představují derivace v charakteristických bodech s ohledem na nějaký parametr, v našem případě s ohledem na čas, tedy (). S dostatkem těchto šipek v jedné oblasti lze vizualizovat chování systému a snadno identifikovat limitní cykly (Boeing, 2016).

Vektorové pole je fázový portrét, konkrétní cesta podél linie toku (tj. cesta vždy tečná k vektorům) je fázová cesta. Toky ve vektorovém poli indikují změnu systému v čase, popsanou diferenciální rovnicí (Jordan, 2007).

Za zmínku stojí, že fázový portrét lze sestavit i bez řešení diferenciální rovnice a přitom dobrá vizualizace může poskytnout mnoho užitečných informací. Kromě toho v současné době existuje mnoho programů, které mohou pomoci s konstrukcí fázových diagramů.

Fázové roviny jsou tedy užitečné pro vizualizaci chování fyzických systémů. Zejména oscilační systémy, jako je již výše zmíněný model dravec-kořist. V těchto modelech se fázové trajektorie mohou "kroutit" směrem k nule, "vyjít ze spirály" do nekonečna nebo dosáhnout neutrální stabilní situace zvané středy. To je užitečné při určování, zda je dynamika stabilní nebo ne (Jordan, 2007).

Fázové portréty uvedené v této části budou vytvořeny pomocí nástrojů WolframAlpha nebo poskytnuty z jiných zdrojů. Malthusiánský růstový model bez nasycení.

Vytvořme fázový portrét prvního systému se třemi sadami parametrů pro porovnání jejich chování. Sada A ((1,1), (1,1)), která bude označována jako jediná sada, sada B ((10,0.1), (2,2)), když je vybrána, systém zaznamená ostrý pokles produkce a množina C ((1,10), (1,10)), u které naopak dochází k prudkému a neomezenému růstu. Je třeba poznamenat, že hodnoty podél os budou ve všech případech ve stejných intervalech od -10 do 10, pro usnadnění vzájemného porovnávání fázových diagramů. To samozřejmě neplatí pro kvalitativní portrét systému, jehož osy jsou bezrozměrné.

Obrázek 1.3 Fázový portrét s parametry A

mutualismus diferenciální limitní rovnice

Obrázek 1.3 výše ukazuje fázové portréty systému pro tři specifikované sady parametrů, stejně jako fázový portrét popisující kvalitativní chování systému. Nezapomeňte, že z praktického hlediska je nejdůležitější první čtvrtletí, protože objem produkce, který může být pouze nezáporný, je naše osy.

Na každém z obrázků je jasně viditelná stabilita v rovnovážném bodě (0,0). A na prvním obrázku je „seddlový bod“ patrný také v bodě (1,1), jinými slovy, pokud do systému dosadíme hodnoty sady parametrů, pak v rovnovážném bodě B. Když se změní hranice budovy modelu, sedlový bod se nachází také na jiných fázových portrétech.

Malthusiánův model růstu ze saturace.

Vytvořme fázové diagramy pro druhý systém, ve kterém je saturace, se třemi novými sadami hodnot parametrů. Sada A, ((0,1,15,100), (0,1,15,100)), sada B ((1,1,0,5), (1, 1,0,5)) a sada C ((20,1,100), (20,1,100 )).

Obrázek 1.4. Fázový portrét s parametry A

Jak vidíte, pro jakoukoli sadu parametrů je bod (0,0) rovnovážný a také stabilní. Na některých obrázcích je také vidět sedlový bod.

V tomto případě byly uvažovány různé škály, aby se jasněji prokázalo, že i když je do systému přidán faktor saturace, kvalitativní obraz se nemění, to znamená, že samotná saturace nestačí. Je třeba vzít v úvahu, že v praxi podniky potřebují stabilitu, to znamená, že pokud uvažujeme nelineární diferenciální rovnice, pak nás nejvíce zajímají body stabilní rovnováhy a v těchto systémech jsou takovými body pouze nulové body, což znamená že takové matematické modely zjevně nejsou vhodné pro podniky. To koneckonců znamená, že jen s nulovou produkcí jsou firmy ve stabilitě, která se zjevně liší od reálného obrazu světa.

V matematice je integrální křivka parametrická křivka, která je konkrétním řešením obyčejné diferenciální rovnice nebo soustavy rovnic (Lang, 1972). Pokud je diferenciální rovnice reprezentována jako vektorové pole, pak odpovídající integrální křivky jsou tečné k poli v každém bodě.

Integrální křivky jsou také známé pod jinými názvy v závislosti na povaze a interpretaci diferenciální rovnice nebo vektorového pole. Ve fyzice jsou integrální křivky pro elektrické pole nebo magnetické pole známé jako siločáry a integrální křivky pro pole rychlosti tekutiny jsou známé jako proudnice. V dynamických systémech se integrální křivky pro diferenciální rovnici nazývají trajektorie.

Obrázek 1.5. Integrální křivky

Řešení kterékoli ze soustav lze také považovat za rovnice integrálních křivek. Je zřejmé, že každá fázová trajektorie je projekcí nějaké integrální křivky v x,y,t prostoru do fázové roviny.

Existuje několik způsobů, jak vytvořit integrální křivky.

Jednou z nich je izoklinová metoda. Izoklina je křivka procházející body, ve kterých bude sklon uvažované funkce vždy stejný, bez ohledu na počáteční podmínky (Hanski, 1999).

Často se používá jako grafická metoda pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Například v rovnici tvaru y "= f (x, y) jsou izokliny přímky v rovině (x, y) získané přirovnáním f (x, y) ke konstantě. To dává řadu přímek ( pro různé konstanty), podél kterých mají řešení křivek stejný gradient.Výpočtem tohoto gradientu pro každou izoklinu lze vizualizovat pole sklonu, takže je relativně snadné kreslit přibližné křivky řešení.Na obrázku níže je příklad použití metody izokliny .

Obrázek 1.6. Izoklinová metoda

Tato metoda nevyžaduje počítačové výpočty a byla v minulosti velmi oblíbená. Nyní existují softwarová řešení, která vytvoří integrální křivky na počítačích extrémně přesně a rychle. I tak se však izoklinová metoda dobře ukázala jako nástroj pro studium chování řešení, protože umožňuje zobrazit oblasti typického chování integrálních křivek.

Malthusiánský růstový model bez nasycení.

Začněme tím, že i přes existenci různých konstrukčních metod není tak snadné zobrazit integrální křivky soustavy rovnic. Výše zmíněná izoklinová metoda není vhodná, protože funguje pro diferenciální rovnice prvního řádu. A softwarové nástroje, které mají schopnost vykreslovat takové křivky, nejsou ve veřejné doméně. Placený je například Wolfram Mathematica, který toho umí. Pokusíme se proto co nejvíce využít schopností Wolfram Alpha, práce s níž je popsána v různých článcích a pracích (Orca, 2009). I přesto, že obrázek nebude zjevně zcela spolehlivý, ale alespoň vám umožní zobrazit závislost v rovinách (x, t), (y, t). Nejprve vyřešme každou z rovnic pro t. To znamená, že odvodíme závislost každé z proměnných na čase. Pro tento systém získáme:

(1.10)

(1.11)

Rovnice jsou symetrické, proto uvažujeme pouze jednu z nich, a to x(t). Nechť je konstanta rovna 1. V tomto případě použijeme funkci vykreslování.

Obrázek 1.7. Trojrozměrný model pro rovnici (1.10)

Malthusiánův model růstu ze saturace.

Udělejme totéž pro další model. Nakonec získáme dvě rovnice, které demonstrují závislost proměnných na čase.

(1.12)

(1.13)

Postavíme trojrozměrný model a znovu vyrovnáme čáry.

Obrázek 1.8. Trojrozměrný model pro rovnici (1.12)

Protože hodnoty proměnných jsou nezáporné, pak ve zlomku s exponentem dostaneme záporné číslo. Integrální křivka tedy klesá s časem.

Dříve byla pro pochopení podstaty práce uvedena definice dynamiky systému, ale nyní se u toho zastavíme podrobněji.

Systémová dynamika je metodologie a metoda matematického modelování pro utváření, porozumění a diskuzi o složitých problémech, původně vyvinutá v 50. letech 20. století Jayem Forresterem a popsaná ve své práci (Forrester, 1961).

Systémová dynamika je jedním z aspektů systémové teorie jako metody pro pochopení dynamického chování komplexních systémů. Základem metody je poznání, že struktura každého systému se skládá z četných vztahů mezi jeho komponentami, které jsou často stejně důležité pro určování jeho chování jako jednotlivé komponenty samotné. Příkladem je teorie chaosu a sociální dynamika, popsané v dílech různých autorů (Grebogi, 1987; Sontag, 1998; Kuznetsov, 2001; Tabor, 2001). Tvrdí se také, že protože vlastnosti celku nelze často nalézt ve vlastnostech prvku, v některých případech nelze chování celku vysvětlit z hlediska chování částí.

Simulace může skutečně ukázat plný praktický význam dynamického systému. Ačkoli je to možné v tabulkových procesorech, existuje mnoho softwarových balíků, které byly optimalizovány speciálně pro tento účel.

Samotné modelování je proces vytváření a analýzy prototypu fyzického modelu za účelem predikce jeho výkonu v reálném světě. Simulační modelování se používá k tomu, aby pomohlo návrhářům a inženýrům pochopit, za jakých podmínek a v jakých případech může proces selhat a jakému zatížení může odolat (Khemdy, 2007). Modelování může také pomoci předpovídat chování proudění tekutin a další fyzikální jevy. Model analyzuje přibližné pracovní podmínky díky použitému simulačnímu softwaru (Strogalev, 2008).

Omezení možností simulačního modelování mají společnou příčinu. Konstrukce a numerický výpočet přesného modelu zaručuje úspěch pouze v těch oblastech, kde existuje exaktní kvantitativní teorie, tedy kdy jsou známy rovnice popisující určité jevy, a úkolem je pouze tyto rovnice vyřešit s požadovanou přesností. V těch oblastech, kde neexistuje kvantitativní teorie, má konstrukce přesného modelu omezenou hodnotu (Bazykin, 2003).

Možnosti modelování však nejsou neomezené. Za prvé je to způsobeno tím, že je obtížné posoudit rozsah použitelnosti simulačního modelu, zejména časové období, na které lze prognózu sestavit s požadovanou přesností (Právo, 2006). Simulační model je navíc ze své podstaty vázán na konkrétní objekt a při pokusu o jeho aplikaci na jiný, byť podobný objekt, vyžaduje radikální úpravu nebo alespoň výraznou úpravu.

Existuje obecný důvod pro existenci omezení simulace. Konstrukce a numerický výpočet „přesného“ modelu je úspěšný pouze tehdy, existuje-li kvantitativní teorie, tedy pouze pokud jsou známy všechny rovnice a problém je redukován pouze na řešení těchto rovnic s určitou přesností (Bazykin, 2003).

Ale i přes to je simulační modelování vynikajícím nástrojem pro vizualizaci dynamických procesů, který umožňuje s více či méně správným modelem rozhodovat se na základě jeho výsledků.

V této práci budou modely systémů sestaveny pomocí nástrojů systémové dynamiky, které nabízí program AnyLogic.

Malthusovský růstový model bez saturace/

Před sestavením modelu je nutné zvážit prvky systémové dynamiky, které budeme používat a vztáhnout je k našemu systému. Následující definice byly převzaty z informací nápovědy programu AnyLogic.

Pohon je hlavním prvkem diagramů dynamiky systému. Používají se k reprezentaci předmětů reálného světa, ve kterých se hromadí určité zdroje: peníze, látky, počet skupin lidí, některé materiální předměty atd. Akumulátory odrážejí statický stav simulovaného systému a jejich hodnoty se v čase mění v souladu s toky existujícími v systému. Z toho vyplývá, že dynamiku systému určují toky. Průtoky vstupující a vystupující z akumulátoru zvyšují nebo snižují hodnoty akumulátoru.

Průtok, stejně jako zmíněný pohon, je hlavním prvkem systémově-dynamických diagramů.

Zatímco zásobníky definují statickou část systému, toky určují rychlost změny zásobníků, tedy to, jak se zásoby v čase mění, a tím určují dynamiku systému.

Agent může obsahovat proměnné. Proměnné se obvykle používají k modelování měnících se charakteristik agenta nebo k ukládání výsledků modelu. Dynamické proměnné se obvykle skládají z funkcí akumulátoru.

Agent může mít parametry. Parametry se často používají k reprezentaci některých charakteristik modelovaného objektu. Jsou užitečné, když instance objektů mají stejné chování, jaké je popsáno ve třídě, ale liší se v některých hodnotách parametrů. Mezi proměnnými a parametry je jasný rozdíl. Proměnná představuje stav modelu a může se během simulace měnit. Parametr se obvykle používá ke statickému popisu objektů. Během jednoho „běhu“ modelu je parametr obvykle konstanta a mění se pouze tehdy, když je potřeba přenastavit chování modelu.

Odkaz je prvek systémové dynamiky, který se používá k určení vztahu mezi prvky vývojového diagramu a akumulátory. Nevytváří automaticky vazby, ale nutí uživatele je explicitně kreslit v grafickém editoru (za povšimnutí však stojí že AnyLogic také podporuje mechanismus pro rychlé nastavení chybějících odkazů). Například, pokud je v rovnici nebo počáteční hodnotě prvku B uveden jakýkoli prvek z A, musíte tyto prvky nejprve propojit s odkazem z A do B a teprve poté zadat výraz do vlastností B .

Existují některé další prvky systémové dynamiky, ale nebudou zapojeny do průběhu práce, takže je vynecháme.

Pro začátek se podívejme, z čeho se bude skládat model systému (1.4).

Nejprve okamžitě označíme dva disky, které budou obsahovat hodnoty množství produkce každého z podniků.

Za druhé, protože v každé rovnici máme dva členy, získáme dva toky ke každému z pohonů, jeden příchozí a druhý odchozí.

Za třetí přejdeme k proměnným a parametrům. Existují pouze dvě proměnné. X a Y, odpovědné za růst produkce. Máme také čtyři možnosti.

Za čtvrté, pokud jde o propojení, každý z toků musí být spojen s proměnnými a parametry zahrnutými v rovnici toku a obě proměnné musí být spojeny s akumulátory, aby se hodnota v čase měnila.

Podrobný popis stavby modelu, jako příklad práce v modelovacím prostředí AnyLogic, si necháme na příští systém, protože je poněkud složitější a používá více parametrů, a rovnou přistoupíme k úvahám o hotové verzi modelu. Systém.

Obrázek 1.9 níže ukazuje vytvořený model:

Obrázek 1.9. Dynamický model systému pro systém (1.4)

Všechny prvky dynamiky systému odpovídají výše popsaným, tzn. dva disky, čtyři toky (dva příchozí, dva odchozí), čtyři parametry, dvě dynamické proměnné a nezbytná propojení.

Obrázek ukazuje, že čím více produktů, tím silnější je jeho růst, což vede k prudkému nárůstu počtu zboží, což odpovídá našemu systému. Ale jak již bylo zmíněno dříve, absence omezení tohoto růstu neumožňuje aplikaci tohoto modelu v praxi.

Malthusiánův růstový model ze saturace/

Uvažujme o tomto systému, zastavme se podrobněji u konstrukce modelu.

Prvním krokem je přidání dvou jednotek, říkejme jim X_stock a Y_stock. Každému z nich přiřaďme počáteční hodnotu rovnou 1. Všimněte si, že při absenci toků není v klasicky dané skladovací rovnici nic.

Obrázek 1.10. Vytvoření modelu systému (1.9)

Dalším krokem je přidání vláken. Pojďme vytvořit příchozí a odchozí stream pro každý disk pomocí grafického editoru. Nesmíme zapomenout, že jedna z hran toku musí být v pohonu, jinak nebudou spojeny.

Vidíte, že rovnice pro pohon byla nastavena automaticky, uživatel si ji může napsat sám volbou režimu „libovolné“ rovnice, ale nejjednodušší je nechat tuto akci na programu.

Naším třetím krokem je přidání šesti parametrů a dvou dynamických proměnných. Dejme každému prvku jméno v souladu s jeho doslovným výrazem v systému a také nastavme počáteční hodnoty parametrů takto: e1=e2=1, a12=a21=3, n1=n2=0,2.

Všechny prvky rovnic jsou přítomny, zbývá pouze napsat rovnice pro toky, ale k tomu musíte nejprve přidat spojení mezi prvky. Například odchozí tok odpovědný za výraz musí být spojen s e1 a x. A každá dynamická proměnná musí být spojena s odpovídající zásobou (X_stock x, Y_stock y). Vytváření odkazů je podobné přidávání vláken.

Po vytvoření potřebných spojení můžete přistoupit k psaní rovnic pro toky, což je znázorněno na obrázku vpravo. Samozřejmě můžete jít v opačném pořadí, ale pokud existují spojení, při psaní rovnic se objevují rady pro nahrazení potřebných parametrů / proměnných, což usnadňuje úlohu ve složitých modelech.

Po dokončení všech kroků můžete spustit simulační model a podívat se na jeho výsledek.

Po zvážení systémů nelineárních diferenciálních rovnic pro interakci společností v podmínkách mutualismu můžeme vyvodit několik závěrů.

Existují dva stavy systému: prudký neomezený růst nebo tendence množství produkce k nule. Který z těchto dvou stavů systém zaujme, závisí na parametrech.

Žádný z navržených modelů, včetně modelu zohledňujícího saturaci, není vhodný pro praktické použití z důvodu chybějící nenulové stabilní polohy, jakož i důvodů popsaných v odstavci 1.

V případě snahy o další studium tohoto typu symbiotické interakce za účelem vytvoření modelu použitelného firmami v praxi je nutné systém dále komplikovat a zavádět nové parametry. Například Bazykin ve své knize uvádí příklad dynamiky dvou mutualistických populací se zavedením dalšího faktoru vnitrodruhové konkurence. Díky tomu má systém podobu:

(1.15)

A v tomto případě se objeví nenulová stabilní poloha systému, oddělená od nuly „sedlem“, čímž se přiblíží skutečnému obrazu toho, co se děje.

2. Interakce firem v podmínkách protokooperace

Všechny základní teoretické informace byly uvedeny v předchozí kapitole, takže při analýze modelů uvažovaných v této kapitole bude z velké části teorie vynechána, s výjimkou několika bodů, se kterými jsme se v předchozím nesetkali. kapitola a také může dojít ke snížení výpočtů. Model interakce mezi organizacemi uvažovaný v této kapitole za podmínek protokooperace, který se skládá ze systémů dvou rovnic založených na Malthusiánově modelu, vypadá jako systém (1.5). Systémy analyzované v předchozí kapitole ukázaly, že pro jejich maximální přiblížení se stávajícím modelům je nutné systémy komplikovat. Na základě těchto zjištění do modelu okamžitě přidáme omezení růstu. Na rozdíl od předchozího typu interakce, kdy je růst, který nezávisí na jiné společnosti, negativní, jsou v tomto případě všechny znaky pozitivní, což znamená, že máme neustálý růst. Abychom se vyhnuli výše popsaným nedostatkům, pokusíme se to omezit na logistickou rovnici, známou také jako Verhulstova rovnice (Gershenfeld, 1999), která má následující tvar:

, (2.1)

kde P je velikost populace, r je parametr ukazující rychlost růstu, K je parametr zodpovědný za maximální možnou velikost populace. To znamená, že v průběhu času bude velikost populace (v našem případě produkce) inklinovat k určitému parametru K.

Tato rovnice pomůže omezit nekontrolovatelný růst produkce, který jsme doposud viděli. Systém má tedy následující podobu:

(2.2)

Nezapomínejte, že objem zboží naskladněného na sklad je u každé firmy jiný, liší se tedy i parametry, které omezují růst. Nazvěme tento systém "" a v budoucnu budeme tento název používat, když o něm budeme uvažovat.

Druhým systémem, který budeme uvažovat, je další vývoj modelu s Verhulstovým omezením. Stejně jako v předchozí kapitole zavedeme omezení saturace, pak bude systém mít podobu:

(2.3)

Nyní má každý z termínů svůj limit, takže bez dalšího rozboru je vidět, že nedojde k neomezenému růstu, jako v modelech z předchozí kapitoly. A protože každý z termínů vykazuje pozitivní růst, pak množství produkce neklesne na nulu. Nazvěme tento model „model se dvěma omezeními proto-provozu“.

Tyto dva modely jsou diskutovány v různých zdrojích o biologických populacích. Nyní se pokusíme systémy poněkud rozšířit. Chcete-li to provést, zvažte následující obrázek.

Obrázek ukazuje příklad procesů dvou společností: ocelářského a uhelného průmyslu. V obou podnicích dochází ke zvýšení produkce, která je na druhém nezávislá, a také dochází ke zvýšení produkce, která je získána jejich vzájemným působením. S tím jsme počítali již u dřívějších modelů. Nyní stojí za to věnovat pozornost tomu, že společnosti produkty nejen vyrábějí, ale také je prodávají například na trh nebo společnosti, která s ním interaguje. Tito. Na základě logických závěrů vzniká potřeba negativního růstu firem jak z důvodu prodeje výrobků (na obrázku jsou za to zodpovědné parametry β1 a β2), tak z důvodu převodu části výrobků do jiného podniku. . Dříve jsme to brali v úvahu pouze s kladným znaménkem u jiné společnosti, ale nebrali v úvahu skutečnost, že u prvního podniku se při převodu produktů počet produktů snižuje. V tomto případě dostaneme systém:

(2.4)

A pokud lze o pojmu říci, že pokud bylo v předchozích modelech naznačeno, že charakterizují přirozený přírůstek a parametr může být záporný, pak v tom není prakticky žádný rozdíl, pak o pojmu to se nedá říct. Kromě toho je v budoucnu při zvažování takového systému s omezením, které je na něj uvaleno, správnější používat podmínky pozitivního a negativního růstu, protože v tomto případě na ně mohou být uvalena různá omezení, což je nemožné pro přirozené růst. Říkejme tomu „rozšířený model protokooperace“.

Konečně čtvrtým uvažovaným modelem je rozšířený model protokooperace s výše zmíněným omezením logistického růstu. A systém pro tento model je následující:

, (2.5)

kde je zvýšení výroby prvního podniku, nezávislého na druhém, s přihlédnutím k logistickým omezením, - zvýšení výroby prvního podniku v závislosti na druhém s přihlédnutím k logistickému omezení, - zvýšení výroby druhého podniku, nezávislého na prvním podniku, s přihlédnutím k logistickému omezení, - zvýšení výroby druhé společnosti v závislosti na první s přihlédnutím k logistickému omezení, - spotřeba zboží první společnosti, nesouvisející s jinou, - spotřeba zboží druhé společnosti, nesouvisející s jinou , - spotřeba zboží prvního odvětví druhým odvětvím, - spotřeba zboží druhého odvětví prvním odvětvím.

V budoucnu bude tento model označován jako „rozšířený protooperační model s logistickým omezením“.

1 Stabilita systémů v první aproximaci

Protooperační model s Verhulstovým omezením

Metody pro analýzu stability systému byly naznačeny v podobné části předchozí kapitoly. Nejprve najdeme body rovnováhy. Jedna z nich je jako vždy nula. Druhý je bod se souřadnicemi.

Pro nulový bod λ1 = , λ2 = , protože oba parametry jsou nezáporné, dostaneme nestabilní uzel.

Vzhledem k tomu, že není příliš vhodné pracovat s druhým bodem, kvůli nedostatku možnosti zkrátit výraz, necháme definici typu stability na fázových diagramech, protože jasně ukazují, zda je rovnovážný bod stabilní. nebo ne.

Analýza tohoto systému je složitější než předchozí, protože se přidává faktor saturace, tím se objevují nové parametry a při hledání rovnovážných bodů bude nutné řešit ne lineární, ale bilineární rovnici z důvodu proměnná ve jmenovateli. Proto stejně jako v předchozím případě ponecháváme definici typu stability na fázových diagramech.

Navzdory vzhledu nových parametrů vypadá jakobián v nulovém bodě, stejně jako kořeny charakteristické rovnice, podobně jako předchozí model. Tedy v nulovém bodě nestabilní uzel.

Přejděme k pokročilým modelům. První z nich neobsahuje žádná omezení a má podobu systému (2.4)

Udělejme změnu proměnných, , a . Nový systém:

(2.6)

V tomto případě dostaneme dva body rovnováhy, bod A(0,0), B(). Bod B leží v prvním čtvrtletí, protože proměnné mají nezápornou hodnotu.

Pro bod A dostaneme:

. - nestabilní uzel

. - sedlo,

. - sedlo,

. - stabilní uzel

V bodě B jsou kořeny charakteristické rovnice komplexní čísla: λ1 = , λ2 = . Nemůžeme určit typ stability opírající se o Ljapunovovy věty, proto provedeme numerické simulace, které neukážou všechny možné stavy, ale umožní nám zjistit alespoň některé z nich.

Obrázek 2.2. Numerická simulace hledání typu stability

S ohledem na tento model bude nutné čelit výpočetním potížím, protože má velké množství různých parametrů a také dvě omezení.

Aniž bychom zacházeli do podrobností výpočtů, dojdeme k následujícím rovnovážným bodům. Bod A(0,0) a bod B s následujícími souřadnicemi:

(), kde a =

Pro bod A je určení typu stability triviální úkol. Kořeny charakteristické rovnice jsou λ1 = , λ2 = . Dostáváme tedy čtyři možnosti:

1. λ1 > 0, λ2 > 0 - nestabilní uzel.

2.λ1< 0, λ2 >0 - sedlo.

3. λ1 ​​> 0, λ2< 0 - седло.

4.λ1< 0, λ2 < 0 - устойчивый узел.

Když už mluvíme o bodu B, stojí za to souhlasit, že nahrazení zkratek do výrazu pro něj zkomplikuje práci s jakobiánem a hledání kořenů charakteristické rovnice. Například po pokusu o jejich nalezení pomocí výpočetních nástrojů WolframAlpha zabral výstup kořenů asi pět řádků, což neumožňuje práci s nimi v doslovném vyjádření. Samozřejmě, pokud již existují parametry, zdá se, že je možné rychle najít rovnovážný bod, ale toto je speciální případ, protože najdeme rovnovážný stav, pokud existuje, pouze pro tyto parametry, což není vhodné pro rozhodnutí. podpůrný systém, pro který se plánuje vytvoření modelu.

Vzhledem ke složitosti práce s kořeny charakteristické rovnice konstruujeme vzájemné uspořádání nulových izoklinií analogicky se systémem analyzovaným v Bazykinově práci (Bazykin, 2003). To nám umožní zvažovat možné stavy systému a v budoucnu při konstrukci fázových portrétů najít rovnovážné body a typy jejich stability.

Po několika výpočtech mají nulové izoklinické rovnice následující podobu:

(2.7)

Izoklinály tedy mají podobu parabol.

Obrázek 2.3. Možné nulové izoklinické umístění

Celkem jsou možné čtyři případy jejich vzájemného uspořádání podle počtu společné body mezi parabolami. Každý z nich má své vlastní sady parametrů, a tedy i fázové portréty systému.

2 Fázové portréty systémů

Za předpokladu, že sestrojíme fázový portrét systému a zbývající parametry jsou rovny 1. V tomto případě stačí jedna sada proměnných, protože kvalita se nezmění.

Jak je vidět z obrázků níže, nulový bod je nestabilní uzel a druhý bod, pokud dosadíme číselné hodnoty parametrů, dostaneme (-1,5, -1,5) - sedlo.

Obrázek 2.4. Fázový portrét pro systém (2.2)

Jelikož by tedy neměly nastat žádné změny, pak pro tento systém existují pouze nestabilní stavy, což je nejspíše způsobeno možností neomezeného růstu.

Protooperační model se dvěma omezeními.

V tomto systému existuje další omezující faktor, takže fázové diagramy se musí lišit od předchozího případu, jak je vidět na obrázku. Nulový bod je také nestabilní uzel, ale v tomto systému se objevuje stabilní poloha, a to stabilní uzel. S těmito parametry, jeho souřadnicemi (5.5,5.5), je znázorněn na obrázku.

Obrázek 2.5. Fázový portrét pro systém (2.3)

Omezení každého termínu tedy umožnilo získat stabilní pozici systému.

Rozšířený protooperační model.

Pojďme sestavit fázové portréty pro rozšířený model, ale okamžitě v jeho upravené podobě:

Uvažujme čtyři sady parametrů, například abychom zvážili všechny případy s nulovým rovnovážným bodem, a také demonstrovali fázové diagramy numerické simulace použité pro nenulový rovnovážný bod: množina A(1,0,5,0,5) odpovídá stavu , sada B(1,0,5,-0,5) odpovídá nastavit C(-1,0,5, 0,5) a nastavit D(-1,0,5,-0,5) , tedy stabilní uzel v nulovém bodě. První dvě sady budou demonstrovat fázové portréty pro parametry, které jsme uvažovali v numerické simulaci.

Obrázek 2.6. Fázový portrét pro systém (2.4) s parametry А-D.

Na obrázcích je třeba dávat pozor na body (-1,2) resp. (1,-2), objevuje se v nich „sedlo“. Pro detailnější znázornění je na obrázku uvedeno jiné měřítko obrázku se sedlovým hrotem (1,-2). Na obrázku je v bodech (1,2) a (-1,-2) vidět stabilní střed. Pokud jde o nulový bod, počínaje od obrázku k obrázku na fázových diagramech můžeme jasně rozlišit nestabilní uzel, sedlo, sedlo a stabilní uzel.

Rozšířený model protokooperace s logistickým omezením.

Stejně jako v předchozím modelu předvedeme fázové portréty pro čtyři případy nulového bodu a také se pokusíme v těchto diagramech zaznamenat nenulová řešení. Chcete-li to provést, vezměte následující sady parametrů s parametry specifikovanými v následujícím pořadí (): A (2,1,2,1), B (2,1,1,2), C (1,2,2 ,1) a D (1,2,1,2). Zbývající parametry pro všechny sady budou následující: , .

Na obrázcích uvedených níže lze pozorovat čtyři rovnovážné stavy nulového bodu popsané v předchozí části pro tento dynamický systém. A také na obrázcích stabilní poloha bodu s jednou nenulovou souřadnicí.

Obrázek 2.7. Fázový portrét pro systém (2.5) s parametry A-B

3 Integrální trajektorie systémů

Protooperační model s Verhulstovým omezením

Stejně jako v předchozí kapitole řešíme každou z diferenciálních rovnic samostatně a explicitně vyjadřujeme závislost proměnných na parametru času.

(2.8)

(2.9)

Ze získaných rovnic je vidět, že hodnota každé z proměnných roste, což demonstruje níže uvedený trojrozměrný model.

Obrázek 2.8. Trojrozměrný model pro rovnici (2.8)

Tento typ grafu se zpočátku podobá nenasycenému 3D malthusiánskému modelu popsanému v kapitole 1 v tom, že má podobný rychlý růst, ale později můžete vidět pokles tempa růstu, když je dosaženo limitu výstupu. Tedy finále vzhled integrální křivky je podobný grafu logistické rovnice, který byl použit k omezení jednoho z členů.

Protooperační model se dvěma omezeními.

Každou z rovnic řešíme pomocí nástrojů Wolfram Alpha. Závislost funkce x(t) je tedy redukována do následujícího tvaru:

(2.10)

U druhé funkce je situace podobná, takže její řešení vynecháme. Číselné hodnoty se objevily v důsledku nahrazení parametrů určitými vhodnými hodnotami, což neovlivňuje kvalitativní chování integrálních křivek. Níže uvedené grafy ukazují použití limitů růstu, protože exponenciální růst se v průběhu času stává logaritmickým.

Obrázek 2.9. Trojrozměrný model pro rovnici (2.10)

Rozšířený protooperační model

Téměř podobné modelům s mutualismem. Jediný rozdíl je v rychlejším růstu oproti těmto modelům, což je vidět z níže uvedených rovnic (pokud se podíváte na stupeň exponentu) a grafů. Integrální křivka musí mít tvar exponentu.

(2.11)

(2.12)

Rozšířený model protokooperace s logistickým omezením

Závislost x(t) vypadá takto:

Bez grafu je obtížné vyhodnotit chování funkce, takže pomocí nám již známých nástrojů ji sestavíme.

Obrázek 2.10 3D model pro rovnici

Hodnota funkce klesá pro nemalé hodnoty jiné proměnné, což je způsobeno absencí omezení na záporný bilineární člen a je to zřejmý výsledek

4 Systémová dynamika interagujících společností

Protooperační model s Verhulstovým omezením.

Sestrojme systém (2.2). Pomocí již známých nástrojů sestavujeme simulační model. Tentokrát, na rozdíl od mutualistických modelů, bude mít model logistické omezení.

Obrázek 2.11. Dynamický model systému pro systém (2.2)

Pojďme spustit model. V tomto modelu stojí za zmínku skutečnost, že růst ze vztahu není ničím omezen a růst výstupu bez vlivu druhého má specifické omezení. Pokud se podíváte na vyjádření samotné logistické funkce, můžete vidět, že v případě, kdy proměnná (počet zboží) překročí maximální možný skladový objem, se člen stává záporným. V případě, kdy existuje pouze logistická funkce, je to nemožné, ale s dodatečným vždy pozitivním růstovým faktorem je to možné. A nyní je důležité pochopit, že logistická funkce si poradí se situací nepříliš rychlého růstu počtu produktů, například lineárně. Pojďme se podívat na obrázky níže.

Obrázek 2.12. Příklad fungování dynamického modelu systému pro systém (2.2)

Levý obrázek ukazuje 5. krok programu odpovídající navrženému modelu. Ale v tuto chvíli stojí za to věnovat pozornost správné postavě.

Za prvé, pro jeden z příchozích toků pro Y_stock byl odstraněn odkaz na x, vyjádřený pomocí . To se provádí za účelem ukázat rozdíl ve výkonu modelu s lineárním vždy kladným tokem a bilineárním růstem, který je prezentován pro X_stock. Při lineárních neomezených tocích se po překročení parametru K systém v určitém okamžiku dostane do rovnováhy (v tomto modelu je rovnovážný stav 200 tisíc jednotek zboží). Ale mnohem dříve vede bilineární růst k prudkému nárůstu množství zboží, které přechází do nekonečna. Ponecháme-li pravý i levý neustále kladné toky bilineární, pak již při cca 20-30 krocích se hodnota akumulátoru dostane na rozdíl dvou nekonečností.

Na základě výše uvedeného lze s jistotou říci, že v případě dalšího používání takových modelů je nutné omezit jakýkoli pozitivní růst.

Protooperační model se dvěma omezeními.

Po zjištění nedostatků předchozího modelu a zavedení omezení druhého členu faktorem saturace postavíme a spustíme nový model.

Obrázek 2.13. Model dynamiky systému a příklad jeho fungování pro systém (2.3)

Tento model nakonec přináší dlouho očekávané výsledky. Ukázalo se, že omezuje růst hodnot akumulátoru. Jak je patrné z obrázku vpravo, u obou podniků je rovnováha dosažena s mírným přebytkem skladovacího objemu.

Rozšířený protooperační model.

Při zvažování systémové dynamiky tohoto modelu budou demonstrovány možnosti softwarového prostředí AnyLogic pro barevnou vizualizaci modelů. Všechny předchozí modely byly postaveny pouze za použití prvků systémové dynamiky. Samotné modely proto působily nenápadně, neumožňovaly sledovat dynamiku změn množství produkce v čase a měnit parametry za běhu programu. Při práci s tímto a dalšími modely se pokusíme využít širší spektrum možností programu ke změně tří výše uvedených nevýhod.

Za prvé, kromě sekce „dynamika systému“ obsahuje program také sekce „obrázky“, „3D-objekty“, které umožňují diverzifikaci modelu, což je užitečné pro jeho další prezentaci, protože model vytváří vypadat „příjemněji“.

Za druhé, pro sledování dynamiky změn hodnot modelu existuje sekce „statistika“, která vám umožňuje přidávat grafy a různé nástroje pro sběr dat jejich propojením s modelem.

Za třetí, pro změnu parametrů a dalších objektů během provádění modelu existuje sekce "ovládání". Objekty v této části umožňují měnit parametry za chodu modelu (například „posuvník“), vybírat různé stavy objektu (například „přepnout“) a provádět další akce, které během práce mění původně zadaná data. .

Model je vhodný pro výuku seznámení s dynamikou změn ve výrobě podniků, ale nedostatek omezení růstu neumožňuje jeho použití v praxi.

Rozšířený model protokooperace s logistickým omezením.

Pomocí již připraveného předchozího modelu doplníme parametry z logistické rovnice pro omezení růstu.

Vynecháme konstrukci modelu, protože předchozích pět modelů prezentovaných v práci již vše předvedlo potřebné nástroje a principy práce s nimi. Za zmínku stojí pouze to, že jeho chování je podobné modelu protokooperace s Verhulstovým omezením. Tito. nedostatek nasycení brání jeho praktickému použití.

Po analýze modelů z hlediska protokooperace definujeme několik hlavních bodů:

Modely uvažované v této kapitole jsou v praxi vhodnější než mutualistické, protože mají nenulové stabilní rovnovážné pozice i se dvěma členy. Dovolte mi připomenout, že v modelech mutualismu jsme toho byli schopni dosáhnout pouze přidáním třetího termínu.

Vhodné modely musí mít omezení pro každý z termínů, protože jinak prudký nárůst bilineárních faktorů „zničí“ celý simulační model.

Na základě bodu 2 by se při přidání protooperace s Verhulstovým omezením faktoru saturace do rozšířeného modelu a přidání nižšího kritického množství produkce měl model co nejvíce přiblížit skutečnému stavu. Ale nezapomeňte, že takové manipulace se systémem zkomplikují jeho analýzu.

Závěr

Výsledkem studie byla analýza šesti systémů, které popisují dynamiku výroby podniků, které se vzájemně ovlivňují. Výsledkem bylo stanovení rovnovážných bodů a typů jejich stability jedním z následujících způsobů: analyticky, nebo díky zkonstruovaným fázovým portrétům v případech, kdy analytické řešení není z nějakého důvodu možné. Pro každý ze systémů byly sestrojeny fázové diagramy a také trojrozměrné modely, na které lze při promítání získat integrální křivky v rovinách (x, t), (y, t). Poté byly pomocí modelovacího prostředí AnyLogic vytvořeny všechny modely a byly zváženy možnosti jejich chování podle určitých parametrů.

Po analýze systémů a sestavení jejich simulačních modelů je zřejmé, že tyto modely lze považovat pouze za cvičné nebo pro popis makroskopických systémů, nikoli však za systém podpory rozhodování pro jednotlivé společnosti, a to pro jejich nízkou přesnost a v některých místech ne zcela spolehlivá reprezentace probíhajících procesů. Ale také nezapomeňte, že bez ohledu na to, jak pravdivý je dynamický systém popisující model, každá společnost / organizace / odvětví má své vlastní procesy a omezení, takže není možné vytvořit a popsat obecný model. V každém konkrétním případě bude upraven: aby se stal složitějším nebo naopak zjednodušeným pro další práci.

Když uděláme závěr ze závěrů pro každou kapitolu, stojí za to se zaměřit na odhalenou skutečnost, že zavedení omezení na každý z členů rovnice sice komplikuje systém, ale také umožňuje detekovat stabilní polohy systému, a také ji přiblížit tomu, co se děje ve skutečnosti. A stojí za zmínku, že protokooperační modely jsou pro studium vhodnější, protože mají nenulové stabilní pozice, na rozdíl od dvou zvažovaných mutualistických modelů.

Účel této studie byl tedy splněn a úkoly byly splněny. V budoucnu, jako pokračování této práce, bude zvažován rozšířený model interakce typu protooperace se třemi omezeními, která jsou na něj zavedena: logistický, saturační faktor, nižší kritické číslo, což by mělo umožnit vytvoření přesnějšího model pro systém podpory rozhodování, stejně jako model se třemi společnostmi. Za rozšíření práce lze kromě symbiózy, které byly v práci zmíněny, považovat i další dva typy interakce.

Literatura

1. Bhatia Nam Parshad; Szegh Giorgio P. (2002). Teorie stability dynamických systémů. Springer.

2. Blanchard P.; Devaney, R. L.; Hall, G. R. (2006). Diferenciální rovnice. Londýn: Thompson. pp. 96-111.

Boeing, G. (2016). Vizuální analýza nelineárních dynamických systémů: chaos, fraktály, sebepodobnost a meze predikce. systémy. 4(4):37.

4. Campbell, David K. (2004). Nelineární fyzika: Svěží dech. Příroda. 432 (7016): 455-456.

Elton C.S. (1968) dotisk. ekologie zvířat. Velká Británie: William Clowes and Sons Ltd.

7. Forrester Jay W. (1961). Průmyslová dynamika. MIT Press.

8. Gandolfo, Giancarlo (1996). Ekonomická dynamika (třetí vydání). Berlín: Springer. pp. 407-428.

9. Gershenfeld Neil A. (1999). Povaha matematického modelování. Cambridge, UK: Cambridge University Press.

10 Goodman M. (1989). Studijní poznámky v systémové dynamice. Pegasus.

Grebogi C, Ott E a Yorke J. (1987). Chaos, podivné atraktory a hranice fraktálových pánví v nelineární dynamice. Science 238 (4827), str. 632-638.

12 Kadeřník Ernst; Nørsett Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Řešení obyčejných diferenciálních rovnic I: Nonstiff problems, Berlin, New York

Hanski I. (1999) Metapopulation Ecology. Oxford University Press, Oxford, str. 43-46.

Hughes-Hallett Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). Calculus: Single and Multivariable (6 ed.). John Wiley.

15. Llibre J., Valls C. (2007). Globální analytické první integrály pro reálný planární systém Lotka-Volterra, J. Math. Phys.

16. Jordan D.W.; Smith P. (2007). Nelineární obyčejné diferenciální rovnice: Úvod pro vědce a inženýry (4. vydání). Oxford University Press.

Khalil Hassan K. (2001). nelineární systémy. Prentice Hall.

Lamar univerzita, online matematické poznámky - fázové letadlo, P. Dawkins.

Lamar univerzita, online matematické poznámky - systémy diferenciálních rovnic, P. Dawkins.

Lang Serge (1972). Diferenciální rozdělovače. Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.

Law Averill M. (2006). Simulační modelování a analýza pomocí softwaru Expertfit. McGraw-Hill Science.

Lazard D. (2009). Třicet let řešení polynomických soustav a teď? Journal of Symbolic Computation. 44(3):222-231.

24 Lewis Mark D. (2000). Příslib dynamických systémových přístupů pro integrovaný účet lidského rozvoje. vývoj dítěte. 71(1): 36-43.

25. Malthus T.R. (1798). Essay on the Principle of Population, v dotisku Oxford World's Classics, str. 61, konec kapitoly VII

26. Morecroft John (2007). Strategické modelování a obchodní dynamika: Systémový přístup se zpětnou vazbou. John Wiley & Sons.

27. Nolte D.D. (2015), Úvod do moderní dynamiky: Chaos, sítě, prostor a čas, Oxford University Press.

1

Cílem studia je vyvinout superpočítačově orientovanou logickou metodu (metoda booleovských omezení) a servisní technologii pro tvorbu a aplikaci počítačový systém za kvalitativní studii dynamiky chování trajektorií autonomních binárních dynamických systémů na konečném časovém intervalu. Aktuálnost tématu potvrzuje neustále se zvyšující rozsah aplikací binárních modelů ve vědeckém a aplikovaném výzkumu a také potřeba kvalitativní analýzy takových modelů s velkým stavovým vektorovým rozměrem. Je prezentován matematický model autonomního binárního systému na konečném časovém intervalu a booleovská rovnice ekvivalentní tomuto systému. Specifikace dynamické vlastnosti se navrhuje zapsat v jazyce predikátové logiky pomocí omezených existenciálních a univerzálních kvantifikátorů. Jsou získány booleovské rovnice pro hledání rovnovážných stavů a ​​cyklů binárního systému a podmínky pro jejich izolaci. Jsou specifikovány hlavní vlastnosti typu dosažitelnosti (dosažitelnost, bezpečnost, současná dosažitelnost, dosažitelnost při fázových omezeních, přitažlivost, konektivita, celková dosažitelnost). Pro každou vlastnost je sestaven její model ve formě booleovského omezení (booleovská rovnice nebo kvantifikovaný booleovský vzorec), které vyhovuje logické specifikaci vlastnosti a rovnicím dynamiky systému. Ověřování proveditelnosti různých vlastností chování trajektorií autonomních binárních dynamických systémů v konečném časovém intervalu se tak redukuje na problém proveditelnosti booleovských omezení pomocí moderních SAT a TQBF řešitelů. Je uveden demonstrační příklad použití této technologie pro testování proveditelnosti některých dříve uvedených vlastností. Na závěr jsou uvedeny hlavní výhody metody booleovských omezení, vlastnosti její softwarové implementace v rámci přístupu orientovaného na služby a naznačeny směry. další vývoj metoda pro ostatní třídy binárních dynamických systémů.

binární dynamický systém

dynamická vlastnost

kvalitativní analýza

booleovská omezení

booleovský problém splnitelnosti

1. Biere A., Ganesh V., Grohe M., Nordstrom J., Williams R. Theory and Practice of SAT Solving. Dagstuhl zprávy. 2015.sv. 5. ne. 4. R. 98–122.

2. Marin P., Pulina L., Giunchiglia E., Narizzano M., Tacchella A. Dvanáct let hodnocení QBF: QSAT je náročný na PSPACE a ukazuje to. fundam. informovat. 2016.sv. 149. R. 133-58.

3. Bohman D., Posthof H. Binární dynamické systémy. M.: Energoatomizdat, 1986. 400 s.

4. Maslov S.Yu. Teorie deduktivních systémů a její aplikace. Moskva: Rádio a komunikace, 1986. 133 s.

5. Jhala R., Majumdar R. Kontrola softwarového modelu. ACM Computing Surveys. 2009.sv. 41 č. 4 R. 21:1–21:54.

6. Vasiliev S.N. Redukční metoda a kvalitativní analýza dynamických systémů. I–II // Izvestija RAN. Teorie a řídicí systémy. 2006. č. 1. S. 21–29. č. 2, s. 5–17.

7. Formát DIMACS [Elektronický zdroj]. Režim přístupu: http://www.cs.utexas.edu/users/moore/acl2/manuals/current/manual/index-seo.php/SATLINK____DIMACS (přístup 24.07.2018).

8. Standard QDIMACS [Elektronický zdroj]. Režim přístupu: http://qbflib.org/qdimacs.html (vstup 24.07.2018).

9. Delgado-Eckert E., Reger J., Schmidt K. Systémy diskrétního času s dynamikou založenou na událostech: Poslední vývoj v metodách analýzy a syntézy. Mario Alberto Jordan (ed.). Systémy diskrétního času. intech. 2011. R. 447–476.

10. Vasiliev S.N. Dosažitelnost a konektivita v automatizační síti s obecné pravidlo přepínání stavu // Diferenciální rovnice. 2002. V. 38. č. 11. S. 1533–1539.

11. Bychkov I.V., Oparin G.A., Bogdanova V.G., Gorsky S.A., Pashinin A.A. Multi-agentní technologie pro automatizaci paralelního řešení booleovských rovnic v distribuovaném výpočetním prostředí // Computational technologies. 2016. V. 21. č. 3. S. 5–17.

12. Lonsing F., Biere A. DepQBF. Řešení QBF s vědomím závislostí. Časopis o spokojenosti. Booleovské modelování a výpočty. 2010. sv. 9. R. 71–76.

13. Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pashinin A.A., Gorsky S.A. Distribuovaní řešitelé aplikovaných problémů na základě Microservices a Agent Networks. Proč. Ze 41. Stáž. Úmluva o informačních a komunikačních technologiích, elektronice a mikroelektronice (MIPRO-2018). R. 1643–1648.

14. Bogdanova V.G., Gorsky S.A. Škálovatelný paralelní řešič booleovských problémů s uspokojením. Proč. Ze 41. Stáž. Úmluva o informačních a komunikačních technologiích. Elektronika a mikroelektronika (MIPRO-2018). R. 244–249.

15. Bychkov I.V., Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pashinin A.A. The Applied Problems Solving Technology Based on Distributed Computational Subject Domain Model: a Decentralized Approach // Mezinárodní konference Parallel Computing Technologies XII, PaVT’2018, Rostov na Donu, 2.–6. dubna 2018. Krátké články a popisy plakátů. Čeljabinsk: Vydavatelské centrum SUSU, 2018. S. 34–48.

Rozsah aplikací binárních dynamických modelů je extrémně široký a každým rokem se počet objektů a úloh, kde je jejich použití vyžadováno, jen zvyšuje. Klasickým příkladem je binární synchronní automat, který je modelem mnoha diskrétních zařízení v řídicích systémech, výpočetní technice, telemechanice. Moderní aplikace binárních dynamických modelů zahrnují problémy bioinformatiky, ekonomie, sociologie a řady dalších oblastí, které se zdají být daleko od použití dvouhodnotových proměnných. V tomto ohledu je význam vývoje nových a zlepšování stávající metody kvalitativní analýza chování trajektorií binárních dynamických systémů (DDS).

Jak známo, cílem kvalitativní analýzy dynamického systému (nejen binárního) je získat kladnou nebo zápornou odpověď na otázku: Platí v daném systému požadovaná dynamická vlastnost? Přeformulujme tuto otázku takto: Splňuje chování trajektorií dynamického systému určitou množinu omezení, která vlastnost charakterizují? Dále použijeme tuto interpretaci cíle kvalitativní analýzy dynamických vlastností systému.

Pro DDS, jehož operace je uvažována v konečném časovém intervalu, jsou taková omezení booleovská a jsou zapsána v jazyce booleovských rovnic nebo booleovských vzorců s kvantifikátory. První typ omezení vede k nutnosti řešit problém SAT (booleovský problém splnitelnosti); druhý typ omezení je spojen s řešením problému TQBF (kontrola pravdivosti kvantifikovaných booleovských vzorců). První problém je typický zástupce třídy složitosti NP a druhý problém je třída složitosti PSPACE. Jak je známo, PSPACE-úplnost diskrétního problému poskytuje silnější důkaz o jeho neovlivnitelnosti než NP-úplnost. Z tohoto důvodu je redukce problému kvalitativní analýzy DDS na problém SAT výhodnější než redukce na problém TQBF. V obecném případě lze studium ne každé vlastnosti DDS znázornit v jazyce booleovských rovnic.

Teoretická možnost použití booleovských omezení (zejména booleovských rovnic) v kvalitativní analýze DDS byla poprvé prokázána v roce . Je však třeba poznamenat, že uplatnění tohoto přístupu v praxi bylo v té době omezováno nedostatkem účinných algoritmů a programů pro řešení booleovských rovnic (zejména s velkým počtem neznámých proměnných), které by výrazně zmenšovaly prostor pro vyhledávání. V posledním desetiletí se v důsledku intenzivního výzkumu v této oblasti objevilo dostatečné množství různých efektivních řešičů booleovských rovnic (SAT solverů), které využívají moderní výdobytky (nová heuristika, rychlé datové struktury, paralelní výpočty atd.) při řešení booleovský problém splnitelnosti. Podobné procesy (ovšem s určitým zpožděním) jsou také pozorovány v oblasti vytváření stále efektivnějších algoritmů a programů pro řešení problému TQBF. K dnešnímu dni tak existují všechny nezbytné předpoklady pro systematický rozvoj metody booleovských omezení v kvalitativní analýze DDS, její softwarové implementaci a aplikaci při řešení vědeckých i aplikovaných problémů.

Kromě metody booleovských omezení jsou pro DDS použitelné i další metody kvalitativní analýzy, mezi které patří deduktivní analýza, kontrola modelu a metoda redukce. Každá z těchto metod (včetně metody booleovských omezení) má svá omezení, výhody a nevýhody. Společnou nevýhodou je, že všechny metody mají enumerativní charakter a problém redukce enumerace je pro tyto metody zásadní.

Význam deduktivní analýzy, která zahrnuje aplikaci axiomů a inferenčních pravidel k prokázání správného fungování systému, uznává široká škála odborníků, jde však o pracnou, a proto zřídka používanou metodu. V metodě kontroly modelu používá požadovaný jazyk specifikace vlastností jazyk temporální logiky, což je pro specialisty na dynamiku automatů neobvyklé. Redukční metoda je spojena s konstrukcí zjednodušeného (v jistém smyslu) modelu původního systému, studiem jeho vlastností a podmínek pro přenos těchto vlastností do původního komplexního systému. Podmínky převoditelnosti nemovitostí jsou pouze v tomto případě dostačující. Jednoduchost myšlenky redukční metody v kvalitativní analýze DDS čelí problému výběru zjednodušeného systému, který splňuje všechny podmínky metody.

Praktické použití metody booleovských omezení zahrnuje algoritmizaci a automatizaci následujících procesů:

1) vývoj logického jazyka pro specifikaci dynamických vlastností se zaměřením na specialistu na systémovou dynamiku;

2) vytvoření modelu dynamické vlastnosti ve formě booleovských omezení toho či onoho typu, která vyhovuje logické specifikaci vlastnosti a rovnicím dynamiky binárního systému;

3) prezentace výsledného modelu v mezinárodním formátu DIMACS nebo QDIMACS;

4) výběr (vývoj) efektivního paralelního (distribuovaného) řešitele problému splnitelnosti booleovských omezení (řešič SAT nebo TQBF);

5) vývoj nástrojů pro tvorbu softwarových služeb;

6) rozvoj služeb pro kvalitativní výzkum různých dynamických vlastností DDS.

cíl této studie je řešením pouze prvních dvou problémů ve vztahu k algoritmizaci kvalitativních studií autonomního (bez řídicích vstupů) synchronního DDS. Takové systémy se v anglicky psaných publikacích nazývají synchronní booleovské sítě (Boolean network). Další aspekty použití metody booleovských omezení (včetně DDS s řídicími vstupy) jsou předmětem následujících publikací.

Matematický model autonomního DDS

Nechť X = Bn (B = (0, 1) je množina binárních vektorů dimenze n (stavový prostor DDS). Nechť t∈T = (1,…,k) označuje diskrétní čas (číslo cyklu).

Pro každý stav x0∈X, nazývaný počáteční stav, definujeme trajektorii x(t, x0) jako konečnou posloupnost stavů x0, x1,…, xk z množiny X. Dále budeme uvažovat DDS, ve které každá dvojice sousedních stavů xt, x(t - 1) (t∈T) trajektorie souvisí vztahem

xt = F(xt - 1). (jeden)

Zde F:X>X je vektorová funkce logické algebry, nazývaná přechodová funkce. Pro libovolné x0∈X tedy systém booleovských rovnic (1) představuje model dynamiky chování DDS trajektorií ve stavovém prostoru X na konečném časovém intervalu T = (1, 2,…,k). Zde a níže se předpokládá, že hodnota k v definici množiny T je předem určená konstanta. Toto omezení je zcela přirozené. Jde o to, že při kvalitativní analýze chování trajektorií DDS je prakticky zajímavá otázka, co lze říci o proveditelnosti nějaké dynamické vlastnosti pro pevné, nepříliš velké k. Volba hodnoty k v každém konkrétním případě je založena na apriorní informaci o době trvání procesů v simulovaném diskrétním systému.

Je známo, že soustava booleovských rovnic (1) s počátečním stavem x0∈X pro T = (1, 2,…,k) je ekvivalentní jedné booleovské rovnici tvaru

Pro k = 1 (uvažují se pouze jednokrokové přechody) má rovnice (2) tvar

(3)

Řešení této rovnice definují orientovaný graf sestávající z 2n vrcholů označených jedním z 2n stavů množiny X. Vrcholy x0 a x1 grafu jsou spojeny obloukem směřujícím ze stavu x0 do stavu x1. Takový graf se v teorii binárních automatů nazývá přechodový diagram. Reprezentace chování DDS ve formě přechodového diagramu je velmi jasná jak při konstrukci trajektorií, tak při studiu jejich vlastností, ale je prakticky realizovatelná pouze pro malé rozměry n stavového vektoru x∈X.

Jazykové prostředky pro specifikaci dynamických vlastností

Nejvhodnější je zadat specifikaci dynamické vlastnosti v jazyce formální logiky. Podle článku označíme X0∈X, X1∈X, X*∈X množiny počátečního, přípustného a cílového stavu.

Hlavní syntaktické prvky logického vzorce dynamické vlastnosti jsou: 1) předmětové proměnné (složky vektorů x0, x1,…, xk, čas t); 2) omezené kvantifikátory existence a univerzality; 3) logické spojky v, &; finální formule. Výsledný vzorec představuje tvrzení, že některé stavy množiny trajektorií x(t, x0) (x0∈X0) patří do vyhodnocovacích množin X* a X1.

Je třeba poznamenat, že použití omezených existenciálních a univerzálních kvantifikátorů poskytuje způsob zápisu dynamické vlastnosti, který je odborníkovi na dynamiku známý. V procesu konstrukce booleovského modelu jsou vlastnosti pro systém (1) nahrazeny omezenými kvantifikátory běžnými podle následujících definic:

kde A(y) je predikát, který omezuje hodnotu proměnné y.

Vzhledem ke konečnosti rozsahu proměnné t jsou omezené kvantifikátory existence a univerzality vzhledem k této proměnné nahrazeny ekvivalentními formulemi, které kvantifikátory neobsahují

V následujícím budeme předpokládat, že prvky množin X0, X1, X* jsou určeny nulami následujících booleovských rovnic

nebo charakteristické funkce těchto množin , .

Vezmeme-li v úvahu omezení na počáteční stavy G0(x) = 0, spolu s rovnicemi (2, 3), použijeme ke zkrácení zápisu následující booleovské rovnice:

(4)

Předběžná kvalitativní analýza autonomního DDS

Ve fázi předběžné analýzy lze v případě potřeby odhalit větvení stavu (množinu jeho bezprostředních předchůdců), přítomnost rovnovážných stavů a ​​uzavřených trajektorií (cyklů).

Stav x1 v (3) bude nazýván následníkem stavu x0 a x0 předchůdcem stavu x1. V autonomním DDS má každý stav pouze jednoho následníka a počet předchůdců daného stavu se může lišit od nuly do 2n - 1. Všichni bezprostřední předchůdci x0 stavu s∈X jsou nuly booleovské rovnice

Jestliže rovnice (6) nemá řešení, pak neexistují žádní předchůdci stavu s.

Rovnovážné stavy (pokud existují) jsou řešením booleovské rovnice

Trajektorie x0, x1,…, xk se nazývá cyklus délky k, pokud jsou stavy x0, x1,…, xk-1 párově různé a xk = x0. Cyklická posloupnost délky k (pokud existuje) je řešením booleovské rovnice

kde = 0 ( ) - párové rozdílové podmínky pro množinu stavů C cyklu délky k. Pokud žádný ze stavů cyklu nemá předchůdce, kteří nepatří do množiny C, pak se takový cyklus nazývá izolovaný. Nechť jsou prvky s množiny C určeny řešením booleovské rovnice Gc(s) = 0. Pak je snadné ukázat, že podmínka izolace cyklu je ekvivalentní absenci nul v následující booleovské rovnici:

Řešení rovnice (7) (pokud existují) určují stavy cyklu, které mají předchůdce, kteří nepatří do množiny C.

Protože rovnovážný stav je cyklus délky k = 1, je jeho izolační podmínka podobná izolační podmínce s k ≥ 2 s tím rozdílem, že Gc(s) má podobu úplné disjunkce, která tento rovnovážný stav určuje.

V následujícím textu budou neizolované rovnovážné stavy a cykly nazývány atraktory.

Specifikace dynamických vlastností typu dosažitelnosti

Hlavní vlastností DDS, kterou v praxi nejčastěji vyvstává potřeba ověřit, je v teorii grafů tradičně studovaná vlastnost dosažitelnosti (v našem případě je takovým grafem přechodový diagram) a její různé variace. Dosažitelnost je definována jako klasický problém analýzy chování trajektorií DDS.

Definice této vlastnosti souvisí s přiřazením dříve zavedených množin X0, X*, X1 (odpovídajících těmto množinám booleovských rovnic). Předpokládá se, že množiny X0, X*, X1 splňují podmínku

Protože množina T je konečná, budeme vlastnost dosažitelnosti a její variace dále chápat jako vlastnost praktické dosažitelnosti (dosažitelnosti v konečném počtu cyklů). Zvažují se následující vlastnosti typu dosažitelnosti:

1. Hlavní vlastnost dosažitelnosti množiny X* z množiny X0 je formulována následovně: jakákoli trajektorie spuštěná z množiny počátečních stavů X0 dosáhne cílové množiny X*. Pomocí omezených existenciálních a univerzálních kvantifikátorů je vzorec pro tuto vlastnost:

2. Vlastnost zabezpečení zajišťuje, že pro jakoukoli trajektorii spuštěnou z X0 je množina X* nedosažitelná:

3. Vlastnost simultánní dosažitelnosti. V některých případech může být stanoven „přísnější požadavek“, který spočívá v tom, že každá trajektorie dosáhne stanoveného cíle přesně v k cyklech (k∈T):

4. Vlastnost dosažitelnosti při fázových omezeních:

Tato vlastnost zaručuje, že všechny trajektorie emitované z množiny X0, dokud nezasáhnou cílovou množinu X*, jsou v množině X1.

5. Vlastnost přitažlivosti. Nechť X* je atraktor. Potom se logický vzorec vlastnosti přitažlivosti shoduje se vzorcem vlastnosti hlavní dosažitelnosti:

těch. pro každou trajektorii uvolněnou z množiny X0 existuje čas t∈T, od kterého trajektorie nepřekročí množinu X*. Množina X0 v tomto případě patří do části plochy přitažlivosti množiny X*(X0∈Xa, kde Xа je celá plocha přitažlivosti (pool) atraktoru).

Všimněte si, že všechny proměnné ve výše uvedených vzorcích vlastností jsou ve skutečnosti propojené, protože trajektorie x0, x1,…, xk je zcela určena počátečním stavem. Vzhledem k tomu, že kvantifikátory vzhledem k proměnné t jsou nahrazeny operacemi vícemístové disjunkce nebo konjunkce odpovídajících predikátů, zůstává v každém ze vzorců jediný omezený univerzální kvantifikátor (), který nám umožňuje zapsat podmínky pro proveditelnost těchto vlastnosti v jazyce booleovských rovnic (ve formě úlohy SAT).

Uvádíme dvě vlastnosti, jejichž ověření vede k nutnosti řešení problému TQBF.

6. Vlastnost připojení cílové sady:

těch. existuje počáteční stav x0∈X0 takový, že každý cílový stav x*⊆X* je dosažitelný v určitém čase t∈T, což znamená, že existuje trajektorie odpovídající tomuto stavu, takže všechny cílové stavy x*∈X* patří na tuto trajektorii.

7. Vlastnost celkové dosažitelnosti množiny X* z X0:

těch. každý cílový stav je dosažitelný od X0.

Kontrola proveditelnosti dynamických vlastností

U vlastností (1-5) se kontrola jejich proveditelnosti redukuje na nalezení nul Booleovy rovnice, jejíž technologie tvorby je standardizovaného charakteru a je detailně zvažována pouze pro hlavní vlastnost dosažitelnosti. Vlastnosti (6, 7) vedou k problému ověření pravdivosti kvantifikovaného booleovského vzorce.

1. Hlavní vlastnost dosažitelnosti. Jeho logický vzorec je

S přihlédnutím k (4) zapíšeme vzorec (8) jako

kde je charakteristická funkce množiny stavů dráhy uvolněné z počátečního stavu x0∈X0. Zbavme se existenciálního kvantifikátoru v (9). Pak budeme mít

kde je charakteristická funkce množiny X*. Omezené univerzální kvantifikátory nahrazujeme běžnými kvantifikátory. V důsledku toho dostáváme

Vzorec (10) je pravdivý právě tehdy, když je výraz subkvantifikátoru shodně pravdivý, tzn.

Identická pravda implikace znamená, že booleovská funkce je logickým důsledkem funkce , tzn. jakákoli dráha s počátečním stavem x0∈X0 dosáhne cílové množiny X*.

Uspokojení identity (11) je ekvivalentní absenci nul v booleovské rovnici

Při odvození (12) jsme se zbavili implikace a nahradili ϕ*(x0, x1,..., xk) . Pokud má rovnice (12) alespoň jedno řešení, pak vlastnost dosažitelnosti neplatí. Takové řešení představuje (v určitém smyslu) protipříklad pro kontrolovanou vlastnost a může výzkumníkovi pomoci identifikovat příčinu chyby.

Dále, pro stručnost, pro každou vlastnost (2-4) vypíšeme pouze rovnici typu (12), což čtenáři navrhuje, aby nezávisle reprodukoval potřebné argumenty blízké těm, které jsou uvedeny pro hlavní vlastnost dosažitelnosti.

2. Bezpečnostní vlastnost

3. Vlastnost simultánní dosažitelnosti

4. Vlastnost dosažitelnosti při fázových omezeních

5. Vlastnost přitažlivosti. Proveditelnost této vlastnosti se kontroluje ve dvou fázích. V první fázi se zjišťuje, zda je množina X* atraktor. Pokud je odpověď ano, pak se hlavní vlastnost dosažitelnosti kontroluje ve druhé fázi. Pokud je X* dosažitelné z X0, jsou splněny všechny podmínky vlastnosti přitažlivosti.

6. Vlastnost připojení

7. Vlastnost úplné dosažitelnosti“.

Pro vlastnosti (6, 7) má skalární tvar rovnosti dvou booleovských vektorů xt = x* tvar

Ukažme si výše uvedenou technologii pro kvalitativní analýzu autonomního DDS pomocí metody booleovských omezení při kontrole proveditelnosti některých z výše uvedených vlastností pro model 3.2 z práce:

Označme x0∈X = B3 počáteční stav modelu (13). Nechť T = (1, 2). Vypišme funkce jednokrokových a dvoukrokových přechodů modelu (13) potřebné pro specifikaci vlastností:

(14)

kde je znak "." označuje operaci konjunkce.

Pro kontrolu splnitelnosti každé vlastnosti jsou určeny počáteční (X0) a cílové (X*) sady, které jsou určeny nulami rovnic G0(x) = 0, G*(x) = 0 nebo charakteristikou funkce těchto sad (viz část 2). Jako SAT řešič se používá REBUS instrumental complex (IC) řešič a TQBF řešič je DepQBF . Kódování proměnných v booleovských modelech vlastností uvažovaných níže pro tyto řešiče je uvedeno v tabulce. 1, Booleovské modely těchto vlastností ve formátech DIMACS a QDIMACS jsou umístěny v tabulce. 2.

stůl 1

Variabilní kódování

Proměnné číslo v booleovském modelu

Nemovitost 1

Nemovitost 2

Nemovitost 3

Nemovitost 4

Nemovitost 5

tabulka 2

Booleovské modely vlastností

Nemovitost 1	Nemovitost 2	Nemovitost 3	Vlastnost 4 (A)	Vlastnost 4 (B)	Nemovitost 5
					e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 -5 -6 7 -8 -9 -10 11 12 0 4 5 6 -7 8 9 10 -11 -12 0

1. Hlavní vlastnost dosažitelnosti (k = 2). Nechť X0 = (x∈X: x1 = 0), X*=(x∈X: x1 = 1). Počáteční a cílové množiny jsou definovány rovnicemi G0(x) = x1 = 0 a . Booleovská rovnice (12) má v tomto případě tvar

kde funkce ϕ(x0, x1, x2) je definována v (14). Řešič IR REBUS dává odpověď "nesat" (rovnice nemá nuly), tím je splněna vlastnost dosažitelnosti X* z X0, což je jasně vidět z následujícího přechodového diagramu zobrazeného na obrázku.

2. Cykly délky k = 2. Cyklická posloupnost délky 2 (pokud existuje) je řešením booleovské rovnice

Funkce vypadá

Výraz R(x0, x1) nebyl do rovnice při nalezení cyklu zahrnut, protože v modelu (13) nejsou žádné cykly délky k = 1 (rovnovážné stavy). Pomocí řešiče IR REBUS byly získány dvě odpovědi (ve výstupním formátu DIMACS): 1 2 3 4 5 -6 0 a 1 2 -3 4 5 6 0, odpovídající cyklickým sekvencím (obrázek): ((1 1 1) , (1 1 0)) a ( (1 1 0), (1 1 1)). Množiny stavů obou cyklů se shodují, což znamená, že model (13) má jeden cyklus o délce k = 2.

Schéma přechodu systému (13)

3. Vlastnost cyklické izolace. Jsou-li prvky s množiny stavů C cyklu o délce k = 2 určeny řešením booleovské rovnice Gc(s) = 0, pak je podmínka izolace cyklu ekvivalentní absenci nul v následujícím booleovském rovnice:

Protože C = ((1 1 1), (1 1 0)), máme

Pro tuto rovnici nalezne řešič IR REBUS dvě řešení: -1 2 3 4 5 -6 0 a -1 2 -3 4 5 -6 0 (v binárním zobrazení se podle kódování proměnných v tabulce 1 jedná o dvojice stavů (0 1 1), (1 1 0) a ((0 1 0), (1 1 0)) Stav cyklu (1 1 0) má tedy dva předchůdce, (0 1 1) a (0 1 0), které nepatří do cyklu stavové sady To znamená, že není splněna izolační vlastnost cyklu, tj. tento cyklus je atraktor.

4. Vlastnost přitažlivosti. Nechť X* = C je atraktor. Logický vzorec vlastnosti přitažlivosti je stejný jako vzorec vlastnosti hlavní dosažitelnosti

a odpovídající booleovská rovnice pro náš případ má tvar

Vypišme funkce G0(x0), ϕ(x0, x1, x2) a . Funkce ϕ(x0, x1, x2) je uvedena v (14). Pro X* = C je výraz . Zvažte dvě možnosti nastavení množiny počátečních stavů X0 pro případy splnění (A) a nesplnění (B) vlastnosti přitažlivosti pro k = 2 cykly.

A. Nechte Pak

V tomto případě je pro booleovskou rovnici (15) odpověď „nepřijímaná“. Vlastnost přitažlivosti pro danou množinu X0 je splněna.

B. Nechat . Pak

V tomto případě IR REBUS pro rovnici (15) najde řešení: 1 -2 3 4 -5 -6 -7 8 9 0, které odpovídá trajektorii ((1 0 1),(1 0 0),(0 11)). Tato trajektorie s počátečním stavem x0 = (1 0 1) nedosáhne množiny X* = C ve dvou cyklech, což znamená, že vlastnost přitažlivosti nemůže být pro danou X0 splněna.

5. Vlastnost připojení. Logický vzorec vlastnosti konektivity má tvar následujícího příkazu:

Pro k = 2 ϕ*(x0, x1, x2) = G0(x0)∨ϕ(x0, x1, x2), kde funkce ϕ(x0, x1, x2) je dána v (14). Jako počáteční stav zvolíme stav (1 0 1). Pak . Nechť je cíl nastaven X* = ((0 1 1), (1 0 0)). V tomto případě má funkce G*(x*) tvar

Zapišme G*(x*) ve formátu CNF:

Pomocí De-Morganova zákona najdeme negaci funkce ϕ*(x0, x1, x2). Dosazením všech získaných funkcí do (16) a zohledněním kódování booleovských proměnných (tabulka 1) získáme booleovský model ve formátu QDIMACS (tabulka 2). Řešitel DepQBF dává odpověď „sat“, což znamená pravdivost tvrzení (16). Vlastnost spojitosti pro dané X0, X*, T = (1, 2) je splněna.

Závěr

Mezi hlavní výhody metody booleovských omezení v kvalitativní studii DDS patří:

1. Logický jazyk používaný specialistou na dynamiku automatů ke specifikaci dynamické vlastnosti pomocí kvantifikátorů omezené existence a univerzálnosti.

2. Na základě vzorce vlastností a dynamických rovnic se automaticky provede konstrukce odpovídající booleovské rovnice nebo kvantifikovaného booleovského vzorce.

3. Proces převodu výsledných booleovských výrazů do konjunktivní normální formy je poměrně snadné automatizovat dalším generováním souboru ve formátech DIMAX a QDIMAX, které jsou vstupem pro řešiče SAT a řešiče QBF.

4. Problém redukce výčtu je do jisté míry vyřešen vývojáři těchto řešičů a je chráněn před specialisty na kvalitativní analýzu DDS.

5. Je zajištěna možnost řešení problému kvalitativní analýzy DDS pro velké rozměry stavového vektoru n na dostatečně dlouhém časovém intervalu T. Z hlediska počtu stavů je metoda booleovských omezení kvantitativně úměrná kontrole modelu. metoda. Vzhledem k tomu, že v posledních letech došlo k výraznému nárůstu výkonu specializovaných algoritmů pro řešení problémů SAT a TQBF, lze celkový počet proměnných v booleovském modelu vlastností pro moderní řešitele měřit v tisících.

Software pro kvalitativní analýzu DDS založený na metodě booleovských omezení je implementován v rámci servisně orientovaného přístupu s využitím specializovaných řešitelů booleovských rovnic. Článek uvádí příklad implementace metody booleovských omezení založené na přístupu orientovaném na služby pro hledání cyklů a rovnovážných stavů v genových regulačních sítích.

Je třeba poznamenat, že metoda booleovských omezení je poměrně obecná metoda pro kvalitativní analýzu DDS v konečném časovém intervalu. Je použitelná nejen pro autonomní systémy, ale i pro systémy s řídicími vstupy, pro systémy s hloubkou paměti větší než jedna, pro obecné DDS, kdy přechodová funkce je neřešitelná vzhledem ke stavu xt a má tvar F(xt , xt-1) = 0. Pro DDS se vstupy má zvláštní význam vlastnost řiditelnosti a její různé variace. Kromě problémů DDS analýzy je metoda Boolean constraint použitelná pro problémy syntézy zpětné vazby (statické nebo dynamické, stavové nebo vstupní), které zajišťují splnění požadované dynamické vlastnosti v syntetizovaném systému.

Studie byla podpořena Ruskou nadací pro základní výzkum, projekt č. 18-07-00596/18.

Bibliografický odkaz

Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pashinin A.A. BOOLEANSKÉ OMEZENÍ V KVALITATIVNÍ ANALÝZE BINÁRNÍCH DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ // International Journal of Applied and Fundamental Research. - 2018. - č. 9. - S. 19-29;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=12381 (datum přístupu: 03/18/2020). Upozorňujeme na časopisy vydávané nakladatelstvím "Přírodovědná akademie"