Je zvažována metoda řešení diferenciálních rovnic se separovatelnými proměnnými. Je uveden příklad detailní řešení diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými.

Obsah

Definice

Pojďme (X), q (X)- funkce proměnné x ;
p (y), r (y)- funkce proměnné y .

Diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými je rovnice tvaru

Metoda řešení diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými

Zvažte rovnici:
(i) .
Derivaci y vyjádříme pomocí diferenciálů.
;
.
Vynásobte dx.
(ii)
Vydělte rovnici s (x)r(y). To lze provést, pokud s (x) r(y) ≠ 0. Pro s (x) r(y) ≠ 0 my máme
.
Integrací získáme obecný integrál v kvadraturách
(iii).

Protože jsme rozdělili s (x)r(y), pak dostaneme integrál rovnice pro s (x) ≠ 0 a r (y) ≠ 0. Dále musíte vyřešit rovnici
r (y) = 0.
Pokud má tato rovnice kořeny, pak jsou také řešením rovnice (i). Nechť rovnici r (y) = 0. má n kořenů a i , r (ai) = 0, i = 1, 2, ..., n. Pak konstanty y = a i jsou řešením rovnice (i). Některá z těchto řešení již mohou být obsažena v obecném integrálu (iii).

Všimněte si, že pokud je původní rovnice uvedena ve tvaru (ii), pak by měla být rovnice také vyřešena
s (x) = 0.
Jeho kořeny b j , s (bj) = 0, j = 1, 2, ..., m. dej řešení x = b j .

Příklad řešení diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými

řešit rovnici

Derivaci vyjádříme pomocí diferenciálů:

Vynásobte dx a vydělte . Pro y ≠ 0 máme:

Pojďme se integrovat.

Integrály vypočítáme pomocí vzorce.

Dosazením získáme obecný integrál rovnice
.

Nyní zvažte případ, y = 0 .
Je zřejmé, že y = 0 je řešením původní rovnice. Není součástí obecného integrálu.
Pojďme to tedy přidat ke konečnému výsledku.

; y= 0 .

Reference:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Sbírka úloh z vyšší matematiky, Lan, 2003.

Je zvažována metoda řešení diferenciálních rovnic redukujících na rovnice se separovatelnými proměnnými. Je uveden příklad podrobného řešení diferenciální rovnice, která se redukuje na rovnici se separovatelnými proměnnými.

Obsah

Formulace problému

Zvažte diferenciální rovnici
(i) ,
kde f je funkce, a, b, c jsou konstanty, b ≠ 0 .
Tato rovnice je redukována na rovnici s oddělitelnými proměnnými.

Metoda řešení

Provádíme substituci:
u = ax + by + c
Zde y je funkcí x . Proto je u také funkcí x .
Diferencujte podle x
u′ = (ax + by + c)′ = a + by′
Náhradní (i)
u′ = a + by′ = a + b f(ax + by + c) = a + b f (u)
Nebo:
(ii)
Samostatné proměnné. Vynásobte dx a vydělte a + b f (u). Pokud a + b f (u) ≠ 0, pak

Integrací získáme obecný integrál původní rovnice (i) ve čtvercích:
(iii) .

Nakonec zvažte případ
(iv) a + b f (u) = 0.
Předpokládejme, že tato rovnice má n kořenů u = r i, a + b f (ri) = 0, i = 1, 2, ...n. Protože funkce u = r i je konstantní, je její derivace vzhledem k x rovna nule. Proto u = r i je řešením rovnice (ii).
Nicméně, rovnice (ii) neodpovídá původní rovnici (i) a možná ne všechna řešení u = r i vyjádřená pomocí proměnných x a y splňují původní rovnici (i).

Řešením původní rovnice je tedy obecný integrál (iii) a některé kořeny rovnice (iv).

Příklad řešení diferenciální rovnice, která se redukuje na rovnici se separovatelnými proměnnými

řešit rovnici
(1)

Provádíme substituci:
u = x - y
Diferencujte s ohledem na x a provádějte transformace:
;

Vynásobte dx a vydělte u 2 .

Pokud u ≠ 0, pak dostaneme:

Integrujeme:

Aplikujeme vzorec z tabulky integrálů:

Počítáme integrál

Pak
;
nebo

Společné rozhodnutí:
.

Nyní zvažte případ u = 0 nebo u = x - y = 0 nebo
y=x.
Protože y′ = (x)' = 1, pak y = x je řešením původní rovnice (1) .

;
.

Reference:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Sbírka úloh z vyšší matematiky, Lan, 2003.

Diferenciální rovnice první objednávka. Příklady řešení.
Diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými

Diferenciální rovnice (DE). Tato dvě slova obyčejného laika obvykle děsí. Diferenciální rovnice se zdají být pro mnoho studentů něčím pobuřujícím a těžko zvládnutelným. Uuuuuu… diferenciální rovnice, jak bych to všechno přežil?!

Takový názor a takový postoj je zásadně špatný, protože ve skutečnosti DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE JSOU JEDNODUCHÉ A DOKONCE ZÁBAVNÉ. Co potřebujete umět a umět se naučit řešit diferenciální rovnice? Chcete-li úspěšně studovat diffury, musíte být dobří v integraci a rozlišování. Čím lépe se témata studují Derivace funkce jedné proměnné a Neurčitý integrál, tím snazší bude porozumět diferenciálním rovnicím. Řeknu více, pokud máte více či méně slušné integrační schopnosti, pak je téma prakticky zvládnuto! Čím více integrálů různé typy víte, jak se rozhodnout - tím lépe. Proč? Musíte se hodně integrovat. A rozlišovat. Taky vřele doporučuji naučit se najít.

V 95 % případů v kontrolní práce existují 3 typy diferenciálních rovnic prvního řádu: oddělitelné rovnice, kterým se budeme v této lekci věnovat; homogenní rovnice a lineární nehomogenní rovnice. Pro začátečníky ke studiu difuzérů vám doporučuji přečíst si lekce v tomto pořadí a po prostudování prvních dvou článků nebude na škodu upevnit své dovednosti v dalším workshopu - rovnice, které se redukují na homogenní.

Existují ještě vzácnější typy diferenciálních rovnic: rovnice v totálních diferenciálech, Bernoulliho rovnice a některé další. Nejdůležitější z posledních dvou typů jsou rovnice v celkové diferenciály, protože kromě tohoto DE uvažuji o novém materiálu - částečná integrace.

Pokud vám zbývá jen den nebo dva, pak pro ultra rychlou přípravu tady je bleskový kurz ve formátu pdf.

Takže orientační body jsou nastaveny - pojďme:

Nejprve si připomeňme obvyklé algebraické rovnice. Obsahují proměnné a čísla. Nejjednodušší příklad: . Co to znamená vyřešit obyčejnou rovnici? To znamená najít sada čísel které splňují tuto rovnici. Je snadné vidět, že dětská rovnice má jediný kořen: . Pro zábavu si to zkontrolujeme a dosadíme nalezený kořen do naší rovnice:

- je získána správná rovnost, což znamená, že řešení je nalezeno správně.

Difuze jsou uspořádány v podstatě stejným způsobem!

Diferenciální rovnice první objednávka v obecný případ obsahuje:
1) nezávislá proměnná;
2) závislá proměnná (funkce);
3) první derivace funkce: .

V některých rovnicích 1. řádu nemusí být "x" nebo (a) "y", ale to není podstatné - Důležité takže v DU byl první derivace a neměl deriváty vyšších řádů - atd.

Co znamená ?Řešit diferenciální rovnici znamená najít sada všech funkcí které splňují tuto rovnici. Taková množina funkcí má často tvar ( je libovolná konstanta), který se nazývá obecné řešení diferenciální rovnice.

Příklad 1

Řešte diferenciální rovnici

Plná munice. Kde začít řešení?

Nejdříve je potřeba přepsat derivaci do trochu jiné podoby. Připomínáme těžkopádný zápis, který mnozí z vás pravděpodobně považovali za směšný a zbytečný. V difuzérech to vládne!

Ve druhém kroku se podívejme, zda je to možné rozdělené proměnné? Co to znamená oddělovat proměnné? Zhruba řečeno, na levé straně musíme odejít jen "hry", a po pravé straně organizovat pouze x. Separace proměnných se provádí pomocí „školních“ manipulací: závorky, přenos termínů z části do části se změnou znaménka, přenos faktorů z části do části podle pravidla proporce atd.

Diferenciály a jsou plnými multiplikátory a aktivními účastníky nepřátelských akcí. V tomto příkladu jsou proměnné snadno odděleny překlápěcími faktory podle pravidla proporce:

Proměnné jsou odděleny. Na levé straně - pouze "Hra", na pravé straně - pouze "X".

Další fáze - integrace diferenciálních rovnic. Je to jednoduché, integrály zavěsíme na obě části:

Samozřejmě je třeba brát integrály. V tomto případě jsou tabulkové:

Jak si pamatujeme, konstanta je přiřazena libovolnému primitivnímu prvku. Jsou zde dva integrály, ale konstantu stačí napsat jednou (protože konstanta + konstanta se stále rovná jiné konstantě). Ve většině případů je umístěn v pravá strana.

Přísně vzato, po sečtení integrálů se diferenciální rovnice považuje za vyřešenou. Jediná věc je, že naše „y“ není vyjádřeno pomocí „x“, to znamená, že je prezentováno řešení v implicitním formulář. Implicitní řešení diferenciální rovnice se nazývá obecný integrál diferenciální rovnice. To jest obecný integrál.

Odpověď v této podobě je docela přijatelná, ale existuje lepší možnost? Zkusme se dostat společné rozhodnutí.

Prosím, pamatujte na první techniku, je velmi běžné a často používané v praktické úkoly: pokud se po integraci objeví logaritmus na pravé straně, pak je v mnoha případech (ale v žádném případě ne vždy!) vhodné zapsat konstantu také pod logaritmus. A zapište VŽDY, pokud jsou získány pouze logaritmy (jako v uvažovaném příkladu).

to znamená, NAMÍSTO se obvykle píší záznamy .

Proč je to potřeba? A aby bylo snazší vyjádřit „y“. Využíváme vlastnosti logaritmů . V tomto případě:

Nyní lze odstranit logaritmy a moduly:

Funkce je uvedena explicitně. Toto je obecné řešení.

Odpovědět: společné rozhodnutí: .

Odpovědi na mnoho diferenciálních rovnic lze poměrně snadno zkontrolovat. V našem případě se to dělá docela jednoduše, vezmeme nalezené řešení a rozlišíme ho:

Poté derivaci dosadíme do původní rovnice:

- je získána správná rovnost, což znamená, že obecné řešení vyhovuje rovnici, kterou bylo nutné zkontrolovat.

Dávat konstantu různé významy, můžete získat nekonečně mnoho soukromá rozhodnutí diferenciální rovnice. Je jasné, že některá z funkcí , atd. splňuje diferenciální rovnici.

Někdy se nazývá obecné řešení rodina funkcí. V tomto příkladu obecné řešení je rodina lineárních funkcí, nebo spíše rodina přímých úměrností.

Po podrobné diskusi o prvním příkladu je vhodné odpovědět na několik naivních otázek o diferenciálních rovnicích:

1)V tomto příkladu se nám podařilo oddělit proměnné. Je to vždy možné? Ne vždy. A ještě častěji nelze proměnné oddělit. Například v homogenní rovnice prvního řádu musí být nejprve vyměněn. V jiných typech rovnic, například v lineární nehomogenní rovnici prvního řádu, je třeba použít různé triky a metody k nalezení obecného řešení. Rovnice separovatelných proměnných, o kterých uvažujeme v první lekci, jsou nejjednodušším typem diferenciálních rovnic.

2) Je vždy možné integrovat diferenciální rovnici? Ne vždy. Je velmi snadné vymyslet "vymyšlenou" rovnici, kterou nelze integrovat, navíc existují integrály, které nelze vzít. Ale takové DE lze řešit přibližně pomocí speciálních metod. D'Alembert a Cauchy zaručují... ...ugh, číhají víc.

3) V tomto příkladu jsme dostali řešení ve formě obecného integrálu . Je vždy možné najít obecné řešení z obecného integrálu, tedy vyjádřit „y“ v explicitní formě? Ne vždy. Například: . No, jak tady mohu vyjádřit "y"?! V takových případech by měla být odpověď zapsána jako obecný integrál. Občas se navíc najde obecné řešení, které je ale napsáno tak těžkopádně a neobratně, že je lepší nechat odpověď ve formě obecného integrálu

4) ...prozatím snad stačí. V prvním příkladu jsme se setkali další důležitý bod , ale abych nezasypal "figuríny" lavinou nových informací, nechám to až na příští lekci.

Nespěchejme. Další jednoduché dálkové ovládání a další typické řešení:

Příklad 2

Najděte konkrétní řešení diferenciální rovnice, které vyhovuje výchozí stav

Řešení: podle stavu, který je třeba najít soukromé řešení DE, které splňuje danou počáteční podmínku. Tento druh dotazování se také nazývá Cauchy problém.

Nejprve najdeme obecné řešení. V rovnici není žádná proměnná „x“, ale to by nemělo být trapné, hlavní věc je, že má první derivaci.

Přepíšeme derivaci do požadovanou formu:

Je zřejmé, že proměnné lze rozdělit, chlapci nalevo, dívky napravo:

Integrujeme rovnici:

Získá se obecný integrál. Zde jsem nakreslil konstantu s přízvukovou hvězdou, faktem je, že se velmi brzy změní v jinou konstantu.

Nyní se pokoušíme převést obecný integrál na obecné řešení (explicitně vyjádřit "y"). Vzpomínáme na starou, dobrou školu: . V tomto případě:

Konstanta v ukazateli vypadá nějak nekošer, takže je obvykle spuštěna z nebe na zem. V detailu se to děje takto. Pomocí vlastnosti stupňů přepíšeme funkci takto:

Jestliže je konstanta, pak je také nějaká konstanta, přejmenujte ji na písmeno :
- současně odebereme modul, načež konstanta "ce" může nabývat kladných i záporných hodnot

Pamatujte, že "demolace" konstanty je druhá technika, který se často používá při řešení diferenciálních rovnic. Na čisté kopii můžete okamžitě přejít od na , ale vždy buďte připraveni tento přechod vysvětlit.

Takže obecné řešení je: Taková pěkná rodina exponenciálních funkcí.

V konečné fázi musíte najít konkrétní řešení, které splňuje danou výchozí podmínku. Je to také jednoduché.

jaký je úkol? Nutno vyzvednout takový hodnota konstanty pro splnění podmínky .

Můžete to zařídit různými způsoby, ale nejsrozumitelnější bude asi tento. V obecném řešení místo „x“ dosadíme nulu a místo „y“ dvě:

to znamená,

Standardní provedení:

Nyní dosadíme nalezenou hodnotu konstanty do obecného řešení:
– toto je konkrétní řešení, které potřebujeme.

Odpovědět: soukromé řešení:

Udělejme kontrolu. Ověření konkrétního řešení zahrnuje dvě fáze:

Nejprve je nutné zkontrolovat, zda nalezené konkrétní řešení skutečně splňuje výchozí podmínku ? Místo "x" dosadíme nulu a uvidíme, co se stane:
- ano, skutečně byla získána dvojka, což znamená, že počáteční podmínka je splněna.

Druhá etapa je již známá. Vezmeme výsledné konkrétní řešení a najdeme derivaci:

Dosaďte do původní rovnice:

- je dosažena správná rovnost.

Závěr: konkrétní řešení bylo nalezeno správně.

Pojďme k smysluplnějším příkladům.

Příklad 3

Řešte diferenciální rovnici

Řešení: Přepíšeme derivaci do tvaru, který potřebujeme:

Posouzení, zda lze proměnné oddělit? Umět. Druhý termín převedeme na pravou stranu se změnou znaménka:

A překlopíme faktory podle pravidla proporce:

Proměnné jsou oddělené, integrujme obě části:

Musím vás varovat, soudný den se blíží. Pokud jste se neučili dobře neurčité integrály, vyřešil pár příkladů, pak už není kam jít - musíte je teď zvládnout.

Integrál levé strany lze snadno najít, s integrálem kotangens se zabýváme standardní technikou, kterou jsme uvažovali v lekci Integrace goniometrických funkcí V minulém roce:

Výsledkem je, že jsme dostali pouze logaritmy a podle mého prvního technického doporučení definujeme konstantu i pod logaritmem.

Nyní se pokusíme obecný integrál zjednodušit. Protože máme pouze logaritmy, je docela možné (a nutné) se jich zbavit. Používáním známé vlastnosti maximálně "zabalit" logaritmy. Napíšu velmi podrobně:

Obal je kompletní, aby byl barbarsky potrhaný:
, a okamžitě-okamžitě dát obecný integrál do mysli co nejdříve:

Obecně řečeno, není to nutné, ale vždy je užitečné potěšit profesora ;-)

V zásadě lze toto mistrovské dílo napsat jako odpověď, ale zde je stále vhodné umocnit obě části a předefinovat konstantu:

Odpovědět: obecný integrál:

! Poznámka: obecný integrál lze často zapsat více než jedním způsobem. Pokud se tedy váš výsledek neshodoval s dříve známou odpovědí, neznamená to, že jste rovnici vyřešili špatně.

Je možné vyjádřit "y"? Umět. Vyjádřeme obecné řešení:

Získaný výsledek je samozřejmě vhodný pro odpověď, ale všimněte si, že obecný integrál vypadá kompaktněji a řešení se ukázalo jako kratší.

Třetí technický tip:pokud je pro získání obecného řešení nutné provést značný počet akcí, pak je ve většině případů lepší se těchto akcí zdržet a ponechat odpověď ve formě obecného integrálu. Totéž platí pro „špatné“ akce, kdy je požadováno vyjádření inverzní funkce, zvýšení na mocninu, zakořenění atd. Faktem je, že obecné řešení bude vypadat okázale a těžkopádně - s velkými kořeny, znaky a dalšími matematickými odpadky.

Jak zkontrolovat? Ověření lze provést dvěma způsoby. Metoda jedna: vezměte obecné řešení , najdeme derivaci a dosadit je do původní rovnice. Zkus to sám!

Druhým způsobem je derivování obecného integrálu. Je to docela snadné, hlavní je umět najít derivace funkce definované implicitně:

rozdělte každý termín takto:

a na:

Původní diferenciální rovnice byla získána přesně, což znamená, že obecný integrál byl nalezen správně.

Příklad 4

Najděte konkrétní řešení diferenciální rovnice, které splňuje počáteční podmínku. Proveďte kontrolu.

Toto je příklad typu „udělej si sám“.

Připomínám, že algoritmus se skládá ze dvou fází:
1) nalezení obecného řešení;
2) nalezení požadovaného konkrétního řešení.

Kontrola se také provádí ve dvou krocích (viz ukázka v příkladu č. 2), potřebujete:
1) ujistěte se, že konkrétní nalezené řešení splňuje počáteční podmínku;
2) zkontrolujte, zda konkrétní řešení obecně vyhovuje diferenciální rovnici.

Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Příklad 5

Najděte konkrétní řešení diferenciální rovnice , splňující počáteční podmínku . Proveďte kontrolu.

Řešení: Nejprve najdeme obecné řešení Tato rovnice již obsahuje hotové diferenciály a , což znamená, že řešení je zjednodušené. Oddělování proměnných:

Integrujeme rovnici:

Integrál vlevo je tabulkový, integrál vpravo je vzat metoda sčítání funkce pod znaménkem diferenciálu:

Obecný integrál byl získán, je možné úspěšně vyjádřit obecné řešení? Umět. Logaritmy zavěsíme na obě strany. Protože jsou kladné, jsou znaménka modulo nadbytečná:

(Doufám, že každý chápe proměnu, takové věci by už měly být známé)

Takže obecné řešení je:

Pojďme najít konkrétní řešení odpovídající dané počáteční podmínce .
V obecném řešení místo „x“ dosadíme nulu a místo „y“ logaritmus dvou:

Známější design:

Nalezenou hodnotu konstanty dosadíme do obecného řešení.

Odpovědět: soukromé řešení:

Kontrola: Nejprve zkontrolujte, zda je splněna počáteční podmínka:
- všechno je dobré.

Nyní zkontrolujme, zda nalezené partikulární řešení vůbec vyhovuje diferenciální rovnici. Najdeme derivaci:

Podívejme se na původní rovnici: – uvádí se v diferenciálech. Existují dva způsoby kontroly. Je možné vyjádřit diferenciál z nalezené derivace:

Nalezené partikulární řešení a výsledný diferenciál dosadíme do původní rovnice :

Používáme základní logaritmickou identitu:

Je získána správná rovnost, což znamená, že konkrétní řešení je nalezeno správně.

Druhý způsob kontroly je zrcadlový a známější: z rovnice vyjádřete derivaci, proto vydělíme všechny části takto:

A v transformovaném DE dosadíme získané partikulární řešení a nalezenou derivaci. V důsledku zjednodušení by také mělo být dosaženo správné rovnosti.

Příklad 6

Najděte obecný integrál rovnice a uveďte odpověď jako .

Toto je příklad pro samostatné řešení, úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Jaké potíže čekají při řešení diferenciálních rovnic se separovatelnými proměnnými?

1) Není vždy zřejmé (zejména konvici), že proměnné lze oddělit. Zvažte podmíněný příklad: . Zde musíte vyjmout faktory ze závorek: a oddělit kořeny:. Jak postupovat dále je jasné.

2) Obtíže při samotné integraci. Integrály často vznikají ne nejjednodušší, a pokud existují nedostatky v dovednostech hledání neurčitý integrál, pak to bude s mnoha difuzory těžké. Kromě toho jsou kompilátoři sbírek a příruček populární s logikou „protože diferenciální rovnice je jednoduchá, pak alespoň integrály budou složitější“.

3) Transformace s konstantou. Jak si každý všiml, s konstantou v diferenciálních rovnicích lze zacházet zcela volně a některé transformace nejsou začátečníkovi vždy jasné. Podívejme se na další hypotetický příklad: . V něm je vhodné vynásobit všechny členy 2: . Výsledná konstanta je také nějaký druh konstanty, kterou lze označit: . Ano, a protože máme stejné logaritmy, je vhodné konstantu přepsat jako jinou konstantu: .

Potíž je v tom, že se často neobtěžují s indexy a používají stejné písmeno. V důsledku toho má záznam o rozhodnutí následující podobu:

Co to sakra?! Tady jsou chyby! Přesně řečeno, ano. Z věcného hlediska však k chybám nedochází, protože v důsledku transformace proměnné konstanty se získá ekvivalentní proměnná konstanta.

Nebo jiný příklad, předpokládejme, že v průběhu řešení rovnice získáme obecný integrál. Tato odpověď vypadá ošklivě, proto je vhodné změnit znaménko každého termínu: . Formálně je tam opět chyba - vpravo by mělo být napsáno . Neformálně se však naznačuje, že „mínus ce“ je stále konstanta, která stejně dobře nabývá stejné sady hodnot, a proto uvádění „mínus“ nedává smysl.

Pokusím se vyhnout nedbalému přístupu a při převodu konstant stále dávat různé indexy. Což je to, co vám radím udělat.

Příklad 7

Vyřešte diferenciální rovnici. Proveďte kontrolu.

Řešení: Tato rovnice připouští separaci proměnných. Oddělování proměnných:

Integrujeme:

Konstanta zde nemusí být definována pod logaritmem, protože z toho nevzejde nic dobrého.

Odpovědět: obecný integrál:

A zde samozřejmě NENÍ NUTNÉ vyjadřovat výslovně „y“, protože se ukáže, že je to odpad (vzpomeňte si na třetí technický tip).

Zkouška: Diferencujte odpověď (implicitní funkce):

Zbavíme se zlomků, proto oba členy vynásobíme:

Byla získána původní diferenciální rovnice, což znamená, že obecný integrál byl nalezen správně.

Příklad 8

Najděte konkrétní řešení DE.
,

Definice 7. Rovnice ve tvaru se nazývá rovnice s oddělitelné proměnné.

Tuto rovnici lze zredukovat do tvaru vydělením všech členů rovnice součinem.

Vyřešte například rovnici

Řešení. Derivace se rovná

Oddělením proměnných dostaneme:

Nyní pojďme integrovat:

Vyřešte diferenciální rovnici

Řešení. Toto je rovnice prvního řádu s oddělitelnými proměnnými. K oddělení proměnných této rovnice ve tvaru a rozdělte jej termín po termínu na produkt . V důsledku toho dostáváme nebo

integrací obou částí poslední rovnice získáme obecné řešení

arcsin y = arcsin x + C

Pojďme nyní najít konkrétní řešení, které splňuje počáteční podmínky. Dosazením počátečních podmínek do obecného řešení získáme

; odkud C=0

Proto má konkrétní řešení tvar arc sin y = arc sin x, ale sinusy stejných oblouků jsou si navzájem rovné

sin (arcsin y) = hřích (arcsin x).

Z toho podle definice arkussinus vyplývá, že y = x.

Homogenní diferenciální rovnice

Definice 8. Diferenciální rovnice tvaru, kterou lze redukovat na tvar, se nazývá homogenní.

Pro integraci takových rovnic se za předpokladu provede změna proměnných . Výsledkem této substituce je diferenciální rovnice pro x a t, ve které jsou proměnné odděleny, načež lze rovnici integrovat. Chcete-li získat konečnou odpověď, musíte nahradit proměnnou t za .

Například,řešit rovnici

Řešení. Přepišme rovnici takto:

dostaneme:

Po zmenšení x 2 máme:

Nahradíme t za:

Kontrolní otázky

1 Co je diferenciální rovnice?

2 Vyjmenujte typy diferenciálních rovnic.

3 Řekněte algoritmy pro řešení všech těchto rovnic.

Příklad 3

Řešení: Přepíšeme derivaci do tvaru, který potřebujeme:

Posouzení, zda lze proměnné oddělit? Umět. Druhý termín převedeme na pravou stranu se změnou znaménka:

A překlopíme faktory podle pravidla proporce:

Proměnné jsou oddělené, integrujme obě části:

Musím vás varovat, soudný den se blíží. Pokud jste se neučili dobře neurčité integrály, vyřešil pár příkladů, pak už není kam jít - musíte je teď zvládnout.

Integrál levé strany lze snadno najít, s integrálem kotangens se zabýváme standardní technikou, kterou jsme uvažovali v lekci Integrace goniometrických funkcí V minulém roce:

Na pravé straně jsme dostali logaritmus, podle mého prvního technického doporučení, v tomto případě by měla být konstanta také zapsána pod logaritmus.

Nyní se pokusíme obecný integrál zjednodušit. Protože máme pouze logaritmy, je docela možné (a nutné) se jich zbavit. Logaritmy co nejvíce „balíme“. Balení se provádí pomocí tří vlastností:

Přepište si prosím tyto tři vzorce pro sebe pracovní sešit, používají se velmi často při řešení difuzí.

Řešení napíšu velmi podrobně:

Balení je kompletní, odstraňte logaritmy:

Je možné vyjádřit "y"? Umět. Obě části musí být hranaté. Ale nemusíte.

Třetí technický tip: Pokud k získání obecného řešení potřebujete pozvednout moc nebo zakořenit, pak Většinou měli byste se těchto akcí zdržet a nechat odpověď ve formě obecného integrálu. Faktem je, že obecné řešení bude vypadat domýšlivě a strašlivě - s velkými kořeny, znaky.

Odpověď tedy zapíšeme jako obecný integrál. Za dobrou formu se považuje prezentovat obecný integrál ve tvaru, to znamená na pravé straně, pokud je to možné, ponechat pouze konstantu. Není to nutné, ale potěšit pana profesora je vždy výhodné ;-)

Odpovědět: obecný integrál:

Poznámka: obecný integrál libovolné rovnice lze zapsat více než jedním způsobem. Pokud se tedy váš výsledek neshodoval s dříve známou odpovědí, neznamená to, že jste rovnici vyřešili špatně.

Obecný integrál se také kontroluje celkem snadno, hlavní je umět najít derivace funkce definované implicitně. Rozlišujme odpověď:

Oba pojmy vynásobíme:

A dělíme podle:

Původní diferenciální rovnice byla získána přesně, což znamená, že obecný integrál byl nalezen správně.

Příklad 4

Najděte konkrétní řešení diferenciální rovnice, které splňuje počáteční podmínku. Proveďte kontrolu.

Toto je příklad typu „udělej si sám“. Připomínám, že Cauchyho problém se skládá ze dvou fází:
1) Hledání obecného řešení.
2) Hledání konkrétního řešení.

Kontrola se také provádí ve dvou fázích (viz také ukázka příkladu 2), potřebujete:
1) Ujistěte se, že konkrétní nalezené řešení skutečně splňuje počáteční podmínku.
2) Zkontrolujte, zda konkrétní řešení obecně vyhovuje diferenciální rovnici.

Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Příklad 5

Najděte konkrétní řešení diferenciální rovnice , splňující počáteční podmínku . Proveďte kontrolu.

Řešení: Nejprve najdeme obecné řešení Tato rovnice již obsahuje hotové diferenciály a , což znamená, že řešení je zjednodušené. Oddělování proměnných:

Integrujeme rovnici:

Integrál vlevo je tabulkový, integrál vpravo je vzat metoda sčítání funkce pod znaménkem diferenciálu:

Obecný integrál byl získán, je možné úspěšně vyjádřit obecné řešení? Umět. Zavěšujeme logaritmy:

(Doufám, že každý chápe proměnu, takové věci by už měly být známé)

Takže obecné řešení je:

Pojďme najít konkrétní řešení odpovídající dané počáteční podmínce . V obecném řešení místo „x“ dosadíme nulu a místo „y“ logaritmus dvou:

Známější design:

Nalezenou hodnotu konstanty dosadíme do obecného řešení.

Odpovědět: soukromé řešení:

Kontrola: Nejprve zkontrolujte, zda je splněna počáteční podmínka:
- všechno je dobré.

Nyní zkontrolujme, zda nalezené partikulární řešení vůbec vyhovuje diferenciální rovnici. Najdeme derivaci:

Druhý způsob kontroly je zrcadlový a známější: z rovnice vyjádřete derivaci, proto vydělíme všechny části takto:

A v transformovaném DE dosadíme získané partikulární řešení a nalezenou derivaci. V důsledku zjednodušení by také mělo být dosaženo správné rovnosti.

Příklad 6

Vyřešte diferenciální rovnici. Vyjádřete odpověď jako obecný integrál.

Toto je příklad pro samostatné řešení, úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Jaké potíže čekají při řešení diferenciálních rovnic se separovatelnými proměnnými?

2) Obtíže při samotné integraci. Integrály často vznikají ne nejjednodušší, a pokud existují nedostatky v dovednostech hledání neurčitý integrál, pak to bude s mnoha difuzory těžké. Kromě toho je mezi kompilátory sbírek a příruček oblíbená logika „když je diferenciální rovnice jednoduchá, ať jsou integrály složitější“.

3) Transformace s konstantou. Jak si všichni všimli, s konstantou v diferenciálních rovnicích můžete dělat téměř cokoliv. A ne vždy jsou takové proměny pro začátečníka jasné. Zvažte další podmíněný příklad: . V něm je vhodné vynásobit všechny členy 2: . Výsledná konstanta je také nějaký druh konstanty, kterou lze označit: . Ano, a protože na pravé straně je logaritmus, je vhodné konstantu přepsat jako jinou konstantu: .

Problém je v tom, že se často neobtěžují indexy a používají stejné písmeno . V důsledku toho má záznam o rozhodnutí následující podobu:

Co to k sakru? Zde jsou chyby. Formálně ano. A neformálně - neexistuje žádná chyba, rozumí se, že při převodu konstanty se stále získá nějaká jiná konstanta.

Nebo takový příklad, předpokládejme, že v průběhu řešení rovnice získáme obecný integrál. Tato odpověď vypadá ošklivě, proto je vhodné změnit znaménka všech multiplikátorů: . Formálně je tam podle záznamu opět chyba, mělo to být napsáno. Ale neformálně se předpokládá, že - je to stále nějaká jiná konstanta (o to více může nabývat jakékoli hodnoty), takže změna znaménka konstanty nedává žádný smysl a můžete použít stejné písmeno .

Pokusím se vyhnout nedbalému přístupu a při převodu konstant stále dávat různé indexy.

Příklad 7

Vyřešte diferenciální rovnici. Proveďte kontrolu.

Řešení: Tato rovnice připouští separaci proměnných. Oddělování proměnných:

Integrujeme:

Konstanta zde nemusí být definována pod logaritmem, protože z toho nevzejde nic dobrého.

Odpovědět: obecný integrál:

Kontrola: Diferencujte odpověď (implicitní funkce):

Zbavíme se zlomků, proto oba členy vynásobíme:

Byla získána původní diferenciální rovnice, což znamená, že obecný integrál byl nalezen správně.

Příklad 8

Najděte konkrétní řešení DE.
,

Toto je příklad typu „udělej si sám“. Jediný komentář, zde získáte obecný integrál, a přesněji řečeno, musíte se snažit najít ne konkrétní řešení, ale soukromý integrál. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Jak již bylo uvedeno, v difuzích se separovatelnými proměnnými se často neobjevují nejjednodušší integrály. A zde je pár takových příkladů pro nezávislé řešení. Doporučuji každému řešit příklady č. 9-10 bez ohledu na úroveň proškolení, umožní vám to aktualizovat dovednosti hledání integrálů nebo doplnit mezery ve znalostech.

Příklad 9

Řešte diferenciální rovnici

Příklad 10

Řešte diferenciální rovnici

Pamatujte, že obecný integrál lze zapsat více než jedním způsobem a vzhled vašich odpovědí se může lišit vzhled moje odpovědi. Stručné řešení a odpovědi na konci lekce.

Úspěšná propagace!

Řešení a odpovědi:

Příklad 4:Řešení: Pojďme najít obecné řešení. Oddělování proměnných:

Integrujeme:

Obecný integrál byl získán, snažíme se jej zjednodušit. Logaritmy zabalíme a zbavíme se jich:

Funkci vyjadřujeme explicitně pomocí .
Společné rozhodnutí:

Najděte konkrétní řešení, které splňuje výchozí podmínku .
Metoda jedna, místo "x" dosadíme 1, místo "y" - "e":
.
Metoda dva:

Nalezenou hodnotu konstanty dosadíme do obecného řešení.
Odpovědět: soukromé řešení:

Kontrola: Zkontrolujte, zda je počáteční podmínka skutečně pravdivá:
ano, výchozí stav provedeno.
Zkontrolujeme, zda konkrétní řešení vůbec vyhovuje diferenciální rovnice. Nejprve najdeme derivaci:

Získané konkrétní řešení nahradíme a nalezený derivát do původní rovnice :

Získá se správná rovnost, což znamená, že řešení je nalezeno správně.

Příklad 6:Řešení: Tato rovnice připouští separaci proměnných. Oddělíme proměnné a integrujeme:

Odpovědět: obecný integrál:

Poznámka: Zde můžete získat obecné řešení:

Ale podle mého třetího technického tipu to není žádoucí, protože taková odpověď vypadá dost špatně.

Příklad 8:Řešení: Toto dálkové ovládání umožňuje oddělení proměnných. Oddělování proměnných:

Integrujeme:

Obecný integrál:
Najděte konkrétní řešení (parciální integrál) odpovídající zadané počáteční podmínce . Dosadíme do obecného řešení a :

Odpovědět: Soukromý integrál:
V zásadě lze odpověď učesat a získat něco kompaktnějšího. .

Diferenciální rovnice.

Základní pojmy o obyčejných diferenciálních rovnicích.

Definice 1. Obyčejná diferenciální rovnice n-tý řád funkce y argument X se nazývá relace formy

kde F je daná funkce jeho argumentů. Ve jménu této třídy matematických rovnic termín „diferenciální“ zdůrazňuje, že zahrnují derivace (funkce vzniklé jako výsledek diferenciace); termín - "obyčejný" říká, že požadovaná funkce závisí pouze na jednom skutečném argumentu.

Obyčejná diferenciální rovnice nemusí explicitně obsahovat argument X, požadovanou funkci a jakoukoli její derivaci, ale do rovnice musí být zahrnuta nejvyšší derivace n- objednat. Například

a) je rovnice prvního řádu;

b) je rovnice třetího řádu.

Při psaní obyčejných diferenciálních rovnic se často používá zápis derivací přes diferenciály:

v) je rovnice druhého řádu;

d) je rovnice prvního řádu,

tvořící po rozdělení podle dx ekvivalentní tvar rovnice: .

Funkce se nazývá řešením obyčejné diferenciální rovnice, pokud se po dosazení do ní stane identitou.

Například rovnice 3. řádu

Má řešení .

Najít tou či onou metodou, například výběrem, jednu funkci, která splňuje rovnici, neznamená její vyřešení. Řešit obyčejnou diferenciální rovnici znamená najít Všechno funkce, které tvoří identitu, když jsou dosazeny do rovnice. Pro rovnici (1.1) je rodina takových funkcí tvořena pomocí libovolných konstant a nazývá se obecné řešení obyčejné diferenciální rovnice nřádu a počet konstant se shoduje s řádem rovnice: y(x): V tomto případě se řešení nazývá obecný integrál rovnice (1.1).

Například následující výraz je obecným řešením diferenciální rovnice: a druhý člen lze zapsat jako , protože libovolnou konstantu dělenou 2 lze nahradit novou libovolnou konstantou .

Nastavením některých přípustných hodnot pro všechny libovolné konstanty v obecném řešení nebo v obecném integrálu získáme určitou funkci, která již libovolné konstanty neobsahuje. Tato funkce se nazývá partikulární řešení nebo partikulární integrál rovnice (1.1). K nalezení hodnot libovolných konstant, a tedy konkrétního řešení, se používají různé dodatečné podmínky k rovnici (1.1). Například lze zadat tzv. počáteční podmínky pro (1.2).

V pravých částech počátečních podmínek (1.2) jsou uvedeny číselné hodnoty funkce a derivace a celkový počet počátečních podmínek se rovná počtu určených libovolných konstant.

Problém nalezení konkrétního řešení rovnice (1.1) z počátečních podmínek se nazývá Cauchyho problém.

§ 2. Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu - základní pojmy.

Obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu ( n=1) má tvar: nebo, pokud to lze vyřešit s ohledem na derivaci: . Společné rozhodnutí y=y(x, C) nebo obecný integrál rovnic 1. řádu obsahuje jednu libovolnou konstantu. Jediná počáteční podmínka pro rovnici 1. řádu umožňuje určit hodnotu konstanty z obecného řešení nebo z obecného integrálu. Tak bude nalezeno konkrétní řešení nebo, což je také Cauchyho problém, bude vyřešen. Otázka existence a jedinečnosti řešení Cauchyho problému je jednou z ústředních otázek v obecná teorie obyčejné diferenciální rovnice. Zejména pro rovnici prvního řádu platí věta, která je zde přijata bez důkazu.

Věta 2.1. Jsou-li v rovnici funkce a její parciální derivace spojité v nějaké oblasti D letadlo XOY a v této oblasti je dán bod, pak existuje a navíc jedinečné řešení, které splňuje rovnici i počáteční podmínku.

Geometricky obecné řešení rovnice 1. řádu je rodina křivek v rovině XOY, kteří nemají společné body a liší se od sebe jedním parametrem – hodnotou konstanty C. Tyto křivky se pro danou rovnici nazývají integrální křivky. Integrální křivky rovnice mají zjevnou geometrickou vlastnost: v každém bodě je tečna sklonu tečny ke křivce rovna hodnotě pravé strany rovnice v tomto bodě: . Jinými slovy, rovnice je dána v rovině XOY pole směrů tečen k integrálním křivkám. Komentář: Nutno podotknout, že pro rovnici je uvedena rovnice a tzv. rovnice v symetrickém tvaru .