Harmonický oscilátor pružinové kyvadlo. Ideální harmonický oscilátor

Fúměrné výtlaku X :

Pokud F- jediná síla působící na soustavu, pak se soustava nazývá jednoduchý nebo konzervativní harmonický oscilátor. Volné kmity takového systému představují periodický pohyb kolem rovnovážné polohy (harmonické kmity). Frekvence a amplituda jsou konstantní a frekvence nezávisí na amplitudě.

Mechanickými příklady harmonického oscilátoru jsou matematické kyvadlo (s malými úhly vychýlení), závaží na pružině, torzní kyvadlo a akustické systémy. Mezi nemechanické analogy harmonického oscilátoru lze vyčlenit elektrický harmonický oscilátor (viz obvod LC).

Nechat X- posunutí hmotného bodu vzhledem k jeho rovnovážné poloze a F- působení na bod obnovující sílu jakékoli povahy formy

kde k= konst. Potom pomocí druhého Newtonova zákona lze zapsat zrychlení jako

Amplituda je snížena. To znamená, že může mít libovolnou hodnotu (včetně nulové - to znamená, že hmotný bod je v klidu v rovnovážné poloze). Sinus lze také snížit, protože rovnost musí platit kdykoli t. Podmínka pro kmitočet tedy zůstává:

Jednoduchý harmonický pohyb je základem některých způsobů analýzy složitějších typů pohybu. Jedna z těchto metod je založena na Fourierově transformaci, jejíž podstatou je rozložit složitější typ pohybu na řadu jednoduchých harmonických pohybů.

Každý systém, ve kterém dochází k jednoduchému harmonickému pohybu, má dvě klíčové vlastnosti:

Typickým příkladem systému, ve kterém dochází k jednoduchému harmonickému pohybu, je idealizovaný systém hmota-pružina, ve kterém je hmota připojena k pružině a je umístěna na vodorovné ploše. Pokud pružina není stlačena a nenatažena, pak na zatížení nepůsobí žádné proměnné síly a je ve stavu mechanické rovnováhy. Pokud je však zatížení odstraněno z rovnovážné polohy, pružina se deformuje a z její strany bude působit síla, která má tendenci vrátit zatížení do rovnovážné polohy. V případě systému zátěžových pružin je takovou silou pružná síla pružiny, která se řídí Hookovým zákonem:

kde k má velmi specifický význam - jedná se o koeficient tuhosti pružiny.

Jakmile je posunuté zatížení vystaveno působení vratné síly, zrychluje jej a má tendenci vrátit jej do výchozího bodu, tedy do rovnovážné polohy. Jak se zatížení blíží do rovnovážné polohy, vratná síla klesá a má tendenci k nule. Nicméně na pozici X = 0 zátěž má určitý pohyb (hybnost), získaný působením vratné síly. Zátěž proto přeskočí rovnovážnou polohu a začne pružinu opět deformovat (ale v opačném směru). Vratná síla bude mít tendenci jej zpomalit, dokud nebude rychlost nulová; a síla se bude opět snažit vrátit zátěž do její rovnovážné polohy.

Pokud nedojde k žádné ztrátě energie, bude zátěž oscilovat, jak je popsáno výše; tento pohyb je periodický.

Jednoduchý harmonický pohyb zobrazený současně v reálném prostoru a ve fázovém prostoru. Real Space - skutečný prostor; Phase Space - fázový prostor; velocity - rychlost; poloha - poloha (pozice).

V případě břemene vertikálně zavěšeného na pružině spolu s elastickou silou působí gravitace, to znamená, že celková síla bude

Měření frekvence (nebo periody) kmitů zátěže na pružině se používá v přístrojích pro zjišťování tělesné hmotnosti - tzv. hmotnostní metry, používané na vesmírné stanice když váha nemůže fungovat kvůli stavu beztíže.

Jednoduchý harmonický pohyb lze v některých případech považovat za jednorozměrnou projekci univerzálního kruhového pohybu.

Pokud se objekt pohybuje konstantní úhlovou rychlostí ω po kružnici o poloměru r, jehož střed je počátkem roviny x − y, pak je takový pohyb podél každé ze souřadnicových os jednoduchý harmonický s amplitudou r a kruhová frekvence ω .

V aproximaci malých úhlů se pohyb jednoduchého kyvadla blíží jednoduché harmonické. Perioda kmitání takového kyvadla připevněného k tyči o délce ℓ , je dáno vzorcem

kde G- gravitační zrychlení. To ukazuje, že doba kmitání nezávisí na amplitudě a hmotnosti kyvadla, ale závisí na G, proto se při stejné délce kyvadla bude na Měsíci houpat pomaleji, jelikož je tam slabší gravitace a hodnota zrychlení volného pádu je nižší.

Zadaná aproximace je správná pouze při malých úhlech vychýlení, protože výraz pro úhlové zrychlení je úměrný sinusu souřadnice:

kde já- moment setrvačnosti ; v tomto případě já = mℓ 2. Malé úhly jsou realizovány za podmínek, kdy je amplituda oscilace mnohem menší než délka tyče.

což činí úhlové zrychlení přímo úměrné úhlu θ, a to splňuje definici jednoduchého harmonického pohybu.

Při uvažování tlumeného oscilátoru se za základ bere model konzervativního oscilátoru, ke kterému se připočítává viskózní třecí síla. Síla viskózního tření je namířena proti rychlosti zatížení vůči médiu a je přímo úměrná této rychlosti. Potom se celková síla působící na zatížení zapíše takto:

Pomocí druhého Newtonova zákona dostaneme diferenciální rovnice popis tlumeného oscilátoru:

Proto se v ukazatelích (například v ampérmetrech) obvykle snaží zavést přesně kritický útlum, aby se šipka co nejrychleji uklidnila a odečetla její hodnoty.

Oscilátor s kritickým tlumením má faktor kvality 0,5. V souladu s tím faktor kvality udává povahu chování oscilátoru. Je-li činitel jakosti větší než 0,5, pak je volný pohyb oscilátoru oscilací; teoreticky v průběhu času překročí rovnovážnou polohu neomezeně mnohokrát. Činitel kvality menší nebo rovný 0,5 odpovídá neoscilačnímu pohybu oscilátoru; ve volném pohybu překročí rovnovážnou polohu nejvýše jednou.

V případě oscilačního pohybu je útlum charakterizován také takovými parametry, jako jsou:

Tato doba je považována za dobu potřebnou pro utlumení (zastavení) kmitů (ačkoli formálně volné kmitání trvá neomezeně dlouho).

Oscilace oscilátoru se nazývají vynucené, když na něj působí nějaký další vnější vliv. Tento vliv může být vyvolán různými prostředky a podle různých zákonů. Například silové buzení je působení na zátěž silou, která závisí pouze na čase podle určitého zákona. Kinematické buzení je působení na oscilátor pohybem bodu upevnění pružiny podle daného zákona. Možný je i vliv tření, kdy se např. médium, se kterým břemeno zažívá tření, pohybuje podle daného zákona.

Uvažujme kmitání závaží m na pružině s koeficientem tuhosti k, která leží na rovném vodorovném stole za předpokladu, že nedochází k tření závaží o povrch stolu. Pokud je závaží odstraněno z rovnovážné polohy, bude oscilovat kolem této polohy. Tyto kmity popíšeme časově závislou funkcí za předpokladu, že v čase t určuje odchylku závaží od jeho rovnovážné polohy.

Ve vodorovném směru působí na závaží pouze jedna síla - pružná síla pružiny, určená známým Hookovým zákonem

Deformace pružiny je funkcí času, proto je také proměnná.

Z druhého Newtonova zákona máme

protože zrychlení je druhou derivací výchylky: .

Rovnici (9) lze přepsat do tvaru

kde. Tato rovnice se nazývá rovnice harmonického oscilátoru.

Komentář. V matematické literatuře se při psaní diferenciální rovnice obvykle neuvádí argument (t) u všech funkcí, které na ní závisí. Tato závislost se předpokládá ve výchozím nastavení. Při použití matematického balíčku Maple v (10) je nutné uvést explicitní závislost funkce.

Na rozdíl od předchozího příkladu pohybu tělesa působením konstantní síly se v našem případě síla v čase mění a rovnici (10) již nelze řešit běžným integračním postupem. Pokusme se uhodnout řešení této rovnice s vědomím, že popisuje nějaký oscilační proces. Jako jedno z možných řešení rovnice (10) můžeme zvolit následující funkci:

Máme derivační funkci (11).

Dosazením výrazu (12) do rovnice (10) zajistíme, že je splněn shodně pro jakoukoli hodnotu t.

Funkce (11) však není jediným řešením rovnice harmonického oscilátoru. Jako další řešení lze například zvolit funkci, kterou lze také snadno zkontrolovat podobným způsobem. Navíc lze zkontrolovat, že jakákoli lineární kombinace těchto dvou náhodně pojmenovaných řešení

s konstantními koeficienty A a B je také řešením rovnice harmonického oscilátoru.

Lze dokázat, že dvoukonstantní řešení (13) je obecným řešením rovnice harmonického oscilátoru (10). To znamená, že vzorec (13) vyčerpává všechna možná řešení této rovnice. Jinými slovy, rovnice harmonického oscilátoru nemá žádná další konkrétní řešení, kromě těch získaných ze vzorce (13) fixováním libovolných konstant A a B.

Všimněte si, že ve fyzice je nejčastěji nutné hledat jen nějaká konkrétní řešení jednotlivých ODR nebo jejich systémů. Zvažme tuto otázku podrobněji.

Na námi uvažované pružině je možné vybudit kmity v systému závaží různé způsoby. Stanovme si následující počáteční podmínky

To znamená, že v počátečním okamžiku bylo závaží vyjmuto z rovnovážné polohy o hodnotu a a volně uvolněno (tj. začíná svůj pohyb s nulovou počáteční rychlostí). Lze si představit mnoho jiných způsobů buzení, například závaží v rovnovážné poloze je dána počáteční rychlost „kliknutím“ atd. [ obecný případ, ].

Počáteční podmínky (14) považujeme za nějaké další podmínky pro oddělení nějakého konkrétního řešení z obecného řešení (13) odpovídající naší metodě buzení kmitů závaží.

Za předpokladu, že t=0 ve výrazu (13), máme, z čehož plyne, že B=a. Našli jsme tedy jednu z dříve libovolných konstant v řešení (13). Dále, když rozlišujeme ve vzorci (13), máme

Za předpokladu t=0 v tomto výrazu a s přihlédnutím k druhé počáteční podmínce z (14) dostáváme, z toho plyne, že A=0 a tedy počáteční partikulární řešení má tvar

Popisuje oscilační režim uvažovaného mechanického systému, který je určen podmínkami počátečního buzení (14).

Ze školního kurzu fyziky je známo, že ve vzorci (16) je a amplituda kmitů (určuje maximální odchylku závaží od jeho rovnovážné polohy), je to cyklická frekvence a fáze kmitů (tzv. počáteční fáze je rovna nule).

Rovnice harmonického oscilátoru (10) je příkladem lineární ODR. To znamená, že neznámá funkce a všechny její derivace jsou zahrnuty v každém členu rovnice do prvního stupně. Lineární diferenciální rovnice mají extrémně důležitou rozlišovací vlastnost: splňují princip superpozice. To znamená, že jakákoli lineární kombinace libovolných dvou řešení lineární ODR je také jejím řešením.

V příkladu rovnice harmonického oscilátoru, který uvažujeme, není libovolná lineární kombinace dvou partikulárních řešení jen nějaké nové řešení, ale obecné řešení této rovnice (vyčerpává všechna její možná řešení).

Obecně tomu tak není. Pokud bychom se například zabývali lineární diferenciální rovnicí třetího řádu (tj. kdyby rovnice zahrnovala třetí derivaci), pak by řešením této rovnice byla také lineární kombinace libovolných dvou jejích konkrétních řešení, ale nebyla by zastupovat ho společné rozhodnutí.

V průběhu diferenciálních rovnic je dokázána věta, že obecné řešení ODR N-tého řádu (lineární nebo nelineární) závisí na N libovolných konstantách. V případě nelineární rovnice mohou tyto libovolné konstanty vstupovat do obecného řešení (na rozdíl od (13)) nelineárním způsobem.

Princip superpozice hraje v teorii ODR mimořádně důležitou roli, protože jej lze použít ke konstrukci obecného řešení diferenciální rovnice ve formě superpozice jejích partikulárních řešení. Například pro případ lineárních ODR s konstantními koeficienty a jejich soustav (rovnice harmonického oscilátoru patří právě do tohoto typu rovnic) byla vyvinuta obecná metoda řešení v teorii diferenciálních rovnic. Jeho podstata je následující. Hledáme konkrétní řešení ve formuláři Jejím dosazením do původní rovnice se všechny časově závislé faktory ruší a dostáváme se k nějaké charakteristické rovnici, která pro N-tý řád ODR je algebraická rovnice N-tý stupeň. Při jejím řešení najdeme všechna možná partikulární řešení, jejichž libovolná lineární kombinace dává obecné řešení původní ODR. Touto problematikou se dále zabývat nebudeme a odkážeme čtenáře na příslušné učebnice teorie diferenciálních rovnic, kde lze nalézt další podrobnosti, zejména případ, kdy charakteristická rovnice obsahuje více kořenů.

Uvažujeme-li lineární ODR s proměnnými koeficienty (její koeficienty závisejí na čase), pak platí i princip superpozice, ale již není možné sestrojit obecné řešení této rovnice v explicitní podobě žádnou standardní metodou. K této problematice se vrátíme později a probereme fenomén parametrické rezonance a Mathieuovu rovnici související s jejím studiem.

VASKULACE. VLNY. OPTIKA

VASKULACE

Přednáška 1

HARMONICKÉ KMITY

Ideální harmonický oscilátor. Ideální oscilátorová rovnice a její řešení. Amplituda, frekvence a fáze kmitů

Oscilace je jedním z nejběžnějších procesů v přírodě a technologii. Fluktuace jsou procesy, které se v čase opakují. Výškové budovy a dráty vysokého napětí kmitají vlivem větru, kyvadla navinutých hodin a auta na pružinách při pohybu, hladiny řeky během roku a teploty lidského těla při nemoci. Zvuk je kolísání tlaku vzduchu, rádiové vlny jsou periodické změny síly elektrického a magnetické pole, světlo je také elektromagnetické oscilace. Zemětřesení – zemské vibrace, přílivy a odlivy – změny hladin moří a oceánů způsobené přitažlivostí Měsíce atd.

Kmity jsou mechanické, elektromagnetické, chemické, termodynamické atd. Přes takovou rozmanitost jsou všechny oscilace popsány stejnými diferenciálními rovnicemi.

První vědci, kteří studovali vibrace, byli Galileo Galilei a Christian Huygens. Galileo stanovil nezávislost periody oscilací na amplitudě. Huygens vynalezl kyvadlové hodiny.

Jakýkoli systém, který při mírném vychýlení z rovnováhy kmitá stabilně, se nazývá harmonický oscilátor. V klasické fyzice jsou takovými systémy matematické kyvadlo v malých úhlech vychýlení, zátěž v rámci malých amplitud oscilací, elektrický obvod sestávající z lineárních kapacitních a indukčních prvků.

Harmonický oscilátor lze považovat za lineární, pokud je výchylka z rovnovážné polohy přímo úměrná rušivé síle. Frekvence kmitání harmonického oscilátoru nezávisí na amplitudě. U oscilátoru je splněn princip superpozice - působí-li více rušivých sil, lze účinek jejich celkového působení získat jako výsledek sečtení účinků z aktivní síly odděleně.

Harmonické kmity jsou popsány rovnicí (obr. 1.1.1)

(1.1.1)

kde X- posunutí oscilační hodnoty z rovnovážné polohy, ALE– amplituda kmitů rovna hodnotě maximálního výchylky, - fáze kmitů, která určuje výchylku v čase, - počáteční fáze, která určuje velikost výchylky v počátečním časovém okamžiku, - cyklická frekvence kmitů.

Doba jednoho úplného kmitu se nazývá perioda, kde je počet kmitů dokončených za čas.

Frekvence kmitů určuje počet kmitů za jednotku času, s cyklickou frekvencí souvisí poměrem, pak periodou.

Rychlost kmitajícího bodu materiálu

akcelerace

Podle toho se tedy mění i rychlost a zrychlení harmonického oscilátoru harmonický zákon s amplitudami resp. V tomto případě je rychlost před fázovým posunem o , a zrychlení o - o (obr. 1.1.2).

Z porovnání pohybových rovnic harmonického oscilátoru (1.1.1) a (1.1.2) vyplývá, že , popř.

Tato diferenciální rovnice druhého řádu se nazývá rovnice harmonického oscilátoru. Jeho řešení obsahuje dvě konstanty A a , které jsou určeny úkolem počáteční podmínky

Pokud je periodicky se opakující proces popsán rovnicemi, které se neshodují s (1.1.1), nazývá se anharmonický. Systém, který provádí anharmonické oscilace, se nazývá anharmonický oscilátor.

1.1.2 . Volné kmity soustav s jedním stupněm volnosti. komplexní forma reprezentace harmonických vibrací

V přírodě jsou velmi běžné malé oscilace, které systém dělá v blízkosti své rovnovážné polohy. Pokud je systém vyvedený z rovnováhy ponechán sám sobě, to znamená, že na něj nepůsobí vnější síly, bude takový systém provádět volné netlumené kmity. Uvažujme systém s jedním stupněm volnosti.

Stabilní rovnováha odpovídá poloze soustavy, ve které má její potenciální energie minimum ( q je zobecněná souřadnice systému). Vychýlení systému z rovnovážné polohy vede ke vzniku síly, která má tendenci vrátit systém zpět. Označujeme hodnotu zobecněné souřadnice odpovídající rovnovážné poloze, dále odchylku od rovnovážné polohy

Potenciální energii budeme počítat od minimální hodnoty . Vezmeme výslednou funkci, rozšíříme ji v Maclaurinově řadě a necháme první člen expanze, máme: o

kde . Poté, s ohledem na zavedenou notaci:

, (1.1.4)

Vezmeme-li v úvahu výraz (1.1.4) pro sílu působící na systém, dostaneme:

Podle druhého Newtonova zákona má pohybová rovnice soustavy tvar:

Výraz (1.1.5) se shoduje s rovnicí (1.1.3) volných harmonických kmitů za předpokladu, že

a má dvě nezávislá řešení: a , takže obecné řešení je:

Ze vzorce (1.1.6) vyplývá, že frekvence je určena pouze vnitřními vlastnostmi mechanického systému a nezávisí na amplitudě a na počátečních podmínkách pohybu.

Závislost souřadnice kmitající soustavy na čase lze určit jako reálnou část komplexního výrazu , kde A = Xe-iα je komplexní amplituda, její modul se shoduje s obvyklou amplitudou a její argument se shoduje s počáteční fází.

1.1.3 . Příklady oscilačních pohybů různé fyzikální povahy

Kolísání zatížení pružiny

Zvažte vibrace zatížení pružiny za předpokladu, že se pružina nedeformuje nad meze pružnosti. Ukážeme, že taková zátěž bude vzhledem k rovnovážné poloze provádět harmonické kmity (obr. 1.1.3). Podle Hookova zákona totiž stlačená nebo natažená pružina vytváří harmonickou sílu:

kde - koeficient tuhosti pružiny, je souřadnice rovnovážné polohy, X je souřadnice zatížení (hmotného bodu) v okamžiku času , je posunutí z rovnovážné polohy.

Umístíme počátek souřadnice do rovnovážné polohy soustavy. V tomto případě .

Pokud je pružina natažená o X, poté uvolněte včas t=0, pak bude mít pohybová rovnice zatížení podle druhého Newtonova zákona tvar -kx=ma nebo , a

(1.1.6)

Tato rovnice se tvarově shoduje s pohybovou rovnicí (1.1.3) soustavy provádějící harmonické kmitání, její řešení budeme hledat ve tvaru:

. (1.1.7)

Dosadíme (1.17) do (1.1.6), máme: tj. výraz (1.1.7) je řešením rovnice (1.1.6) za předpokladu, že

Pokud byla v počátečním okamžiku poloha zatížení libovolná, pak bude mít pohybová rovnice tvar:

Uvažujme, jak se mění energie zátěže vytvářející harmonické kmity za nepřítomnosti vnějších sil (obr. 1.14). Pokud v té době t=0 odeslat offset na náklad x=A, pak se jeho celková energie bude rovnat potenciální energii deformované pružiny, Kinetická energie rovná se nule (bod 1).

Síla působící na zátěž F= -kx, snažící se jej vrátit do rovnovážné polohy, takže se břemeno pohybuje se zrychlením a zvyšuje svou rychlost a v důsledku toho i svou kinetickou energii. Tato síla snižuje posun břemene X, potenciální energie zátěže klesá a mění se v kinetickou. Systém "zátěž - pružina" je uzavřený, takže se šetří jeho celková energie, to znamená:

. (1.1.8)

V časovém okamžiku je zátěž v rovnováze (bod 2), její potenciální energie je nulová a její kinetická energie je maximální. Maximální rychlost zátěže zjistíme ze zákona zachování energie (1.1.8):

Zátěž díky zásobě kinetické energie působí proti pružné síle – a prochází rovnovážnou polohou. Kinetická energie se postupně přeměňuje na potenciální energii. Když má náklad maximální záporný výtlak - ALE, Kinetická energie týden=0, zatížení se zastaví a začne se pohybovat do rovnovážné polohy působením pružné síly F= -kx. Další pohyb je podobný.

Kyvadla

Kyvadlo je tuhé těleso, které působením gravitace kmitá kolem pevného bodu nebo osy. Existují fyzikální a matematická kyvadla.

Matematické kyvadlo je idealizovaný systém sestávající z beztížného neroztažitelného vlákna, na kterém je zavěšena hmota soustředěná v jednom hmotném bodě.

Matematické kyvadlo je například kulička na dlouhé tenké niti.

Odchylka kyvadla z rovnovážné polohy je charakterizována úhlem φ , který tvoří závit se svislicí (obr. 1.15). Při vychýlení kyvadla z rovnovážné polohy vzniká moment vnějších sil (gravitace): , kde m- hmotnost, - délka kyvadla

Tento moment má tendenci vrátit kyvadlo do rovnovážné polohy (podobně jako kvazi-elastická síla) a směřuje proti posunutí. φ , takže ve vzorci je znaménko mínus.

Rovnice dynamiky rotační pohyb protože kyvadlo má tvar: Iε=,

Budeme proto uvažovat případ malých výkyvů sin φ ≈φ, označovat ,

my máme: nebo , a nakonec

Toto je rovnice harmonických kmitů, její řešení:

Frekvence kmitání matematického kyvadla je určena pouze jeho délkou a gravitačním zrychlením a nezávisí na hmotnosti kyvadla. Období je:

Pokud nelze kmitající těleso znázornit jako hmotný bod, pak se kyvadlo nazývá fyzikální (obr. 1.1.6). Jeho pohybovou rovnici zapíšeme ve tvaru:

V případě malých výkyvů , nebo =0, kde . Jde o pohybovou rovnici tělesa, které vykonává harmonické kmity. Frekvence kmitání fyzikálního kyvadla závisí na jeho hmotnosti, délce a momentu setrvačnosti kolem osy procházející závěsným bodem.

Označme . Hodnota se nazývá zmenšená délka fyzického kyvadla. Jedná se o délku matematického kyvadla, jehož perioda kmitání se shoduje s periodou daného fyzikálního kyvadla. Bod na přímce spojující závěsný bod s těžištěm, ležící ve vzdálenosti redukované délky od osy rotace, se nazývá střed kývání fyzického kyvadla ( Ó'). Pokud je kyvadlo zavěšeno ve středu houpačky, pak bude redukovaná délka a doba oscilace stejná jako v bodě Ó. Závěsný bod a kyvný střed mají tedy vlastnosti reciprocity: když se závěsný bod přenese do kyvného středu, ze starého závěsného bodu se stane nové kyvné centrum.

Matematické kyvadlo, které se kýve se stejnou periodou jako uvažované fyzikální, se nazývá izochronní s daným fyzikálním kyvadlem.

1.1.4. Přidání vibrací (údery, Lissajousovy figury). Vektorový popis sčítání kmitů

Sčítání stejně směrovaných kmitů lze provádět metodou vektorových diagramů. Jakékoli harmonické kmitání může být znázorněno jako vektor následovně. Zvolme osu X s původem v bodě Ó(obr.1.1.7)

Z jednoho bodu Ó sestrojte vektor, který tvoří úhel s nápravou X. Nechte tento vektor rotovat úhlovou rychlostí. Promítání vektoru na osu X je rovný:

to znamená, že provádí harmonické kmity s amplitudou A.

Uvažujme dvě harmonické oscilace stejného směru a stejné cyklické malé , dané vektory a . Odsazení podél osy X jsou si rovni:

výsledný vektor má průmět a představuje výsledné kmitání (obr. 1.1.8), podle kosinové věty Sčítání harmonických kmitů se tedy provádí sčítáním vektorů.

Proveďme sečtení vzájemně kolmých kmitů. Nechť hmotný bod provede dvě vzájemně kolmé kmity s frekvencí:

Samotný hmotný bod se pak bude pohybovat po nějaké křivočaré trajektorii.

Z pohybové rovnice vyplývá: ,

. (1.1.9)

Z rovnice (1.1.9) můžete získat rovnici elipsy (obr.1.1.9):

Zvažte speciální případy této rovnice:

1. Fázový rozdíl kmitání α= 0. Ve stejnou dobu těch. nebo Toto je rovnice přímky a výsledné kmitání probíhá podél této přímky s amplitudou (obr. 1.1.10).

jeho zrychlení se rovná druhé derivaci posunu v závislosti na čase pak se síla působící na kmitající bod podle druhého Newtonova zákona rovná

To znamená, že síla je úměrná posunutí X a směřuje proti posunutí do rovnovážné polohy. Tato síla se nazývá vratná síla. V případě zatížení pružiny je vratnou silou pružná síla, v případě matematického kyvadla složka gravitace.

Obnovující síla od přírody se řídí Hookovým zákonem F= -kx, kde

je koeficient vratné síly. Pak potenciální energie oscilačního bodu je:

(integrační konstanta je zvolena rovna nule, takže když X).

Anharmonický oscilátor

HARMONICKÉ KMITY

Přednáška 1

VASKULACE

VASKULACE. VLNY. OPTIKA

Oscilace je jedním z nejběžnějších procesů v přírodě a technologii. Fluktuace jsou procesy, které se v čase opakují. Výškové budovy a dráty vysokého napětí kmitají vlivem větru, kyvadla navinutých hodin a auta na pružinách při pohybu, hladiny řeky během roku a teploty lidského těla při nemoci. Zvuk je kolísání tlaku vzduchu, rádiové vlny jsou periodické změny síly elektrického a magnetického pole, světlo jsou také elektromagnetické vibrace. Zemětřesení – zemské vibrace, přílivy a odlivy – změny hladin moří a oceánů způsobené přitažlivostí Měsíce atd.

Kmity jsou mechanické, elektromagnetické, chemické, termodynamické atd. Přes takovou rozmanitost jsou všechny oscilace popsány stejnými diferenciálními rovnicemi.

První vědci, kteří studovali vibrace, byli Galileo Galilei a Christian Huygens. Galileo stanovil nezávislost periody oscilací na amplitudě. Huygens vynalezl kyvadlové hodiny.

Harmonický oscilátor lze považovat za lineární, pokud je výchylka z rovnovážné polohy přímo úměrná rušivé síle. Frekvence kmitání harmonického oscilátoru nezávisí na amplitudě. U oscilátoru je splněn princip superpozice - působí-li více rušivých sil, pak lze účinek jejich celkového působení získat jako výsledek sečtení účinků působících sil samostatně.

Harmonické kmity jsou popsány rovnicí (obr. 1.1.1)

(1.1.1)

Doba jednoho úplného kmitu se nazývá perioda, kde je počet kmitů dokončených za čas.

Frekvence kmitů určuje počet kmitů za jednotku času, s cyklickou frekvencí souvisí poměrem, pak periodou.

Rychlost kmitajícího bodu materiálu

akcelerace

Tak se také rychlost a zrychlení harmonického oscilátoru mění podle harmonického zákona s amplitudami resp. V tomto případě je rychlost před fázovým posunem o , a zrychlení o - o (obr. 1.1.2).

Z porovnání pohybových rovnic harmonického oscilátoru (1.1.1) a (1.1.2) vyplývá, že , popř.

Tato diferenciální rovnice druhého řádu se nazývá rovnice harmonického oscilátoru. Jeho řešení obsahuje dvě konstanty A a , které jsou určeny nastavením počátečních podmínek

1.1.2 . Volné kmity soustav s jedním stupněm volnosti. Komplexní forma znázornění harmonických kmitů

Potenciální energii budeme počítat od minimální hodnoty . Vezmeme výslednou funkci, rozšíříme ji v Maclaurinově řadě a necháme první člen expanze, máme: o

Harmonický oscilátor(v klasické mechanice) - systém, který při přemístění z rovnovážné polohy zažívá působení vratné síly Fúměrné výtlaku X(podle Hookova zákona):

F = − k x (\displaystyle F=-kx)

kde k- koeficient tuhost systému.

Mechanickými příklady harmonického oscilátoru jsou matematické kyvadlo (s malými úhly vychýlení), torzní kyvadlo a akustické systémy. Z dalších analogů harmonického oscilátoru stojí za vyzdvihnutí elektrický harmonický oscilátor (viz LC obvod).

Encyklopedický YouTube

1 / 5

Elementární částice | kvantová teorie pole | studie číslo 6 | kvantový oscilátor

Nucené kmity lineárního oscilátoru | Obecná fyzika. Mechanika | Jevgenij Butikov

Elementární částice | kvantová teorie pole | studie číslo 5 | klasický oscilátor

Oscilátory: co to je a jak je používat? Vzdělávání pro obchodníky od I-TT.RU

Sytrus 01 z 16 Práce s tvarem oscilátoru

titulky

Volné vibrace

Konzervativní harmonický oscilátor

Jako model konzervativního harmonického oscilátoru vezmeme hmotnostní zatížení m, upevněný na pružině s tuhostí k .

Nechat X- posunutí zátěže vzhledem k rovnovážné poloze. Poté na něj podle Hookova zákona bude působit obnovující síla:

F = − k x . (\displaystyle F=-kx.)

Dosazujeme do diferenciální rovnice.

x ¨ (t) = − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) , (\displaystyle (\ddot (x))(t)=-A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi) ,) − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) + ω 0 2 A sin ⁡ (ω t + φ) = 0. (\displaystyle -A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)+\ omega _(0)^(2)A\sin(\omega t+\varphi)=0.)

Amplituda je snížena. To znamená, že může mít libovolnou hodnotu (včetně nuly - to znamená, že zátěž je v klidu v rovnovážné poloze). Sinus lze také snížit, protože rovnost musí platit kdykoli t. Podmínka pro kmitočet tedy zůstává:

− ω 2 + ω 0 2 = 0 , (\displaystyle -\omega ^(2)+\omega _(0)^(2)=0,) ω = ± ω 0 . (\displaystyle \omega =\pm \omega _(0).) U = 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2 sin 2 ⁡ (ω 0 t + φ) , (\displaystyle U=(\frac (1)(2))kx^(2)=(\frac (1) (2))kA^(2)\sin ^(2)(\omega _(0)t+\varphi),)

pak je celková energie konstantní

E = 12 kA2. (\displaystyle E=(\frac (1)(2))kA^(2).)

Jednoduchý harmonický pohyb je jednoduchý pohyb harmonický oscilátor, periodický pohyb, který není ani nucený, ani tlumený. Na těleso v jednoduchém harmonickém pohybu působí jediná proměnná síla, která je v absolutní hodnotě přímo úměrná výchylce X z rovnovážné polohy a směřuje opačným směrem.

Tento pohyb je periodický: tělo kmitá kolem rovnovážné polohy podle sinusového zákona. Každá následující oscilace je stejná jako ta předchozí a perioda, frekvence a amplituda oscilací zůstávají konstantní. Pokud předpokládáme, že rovnovážná poloha je v bodě se souřadnicí rovnou nule, pak posunutí X těleso z rovnovážné polohy v libovolném okamžiku je dáno vzorcem:

x (t) = A cos ⁡ (2 π f t + φ) , (\displaystyle x(t)=A\cos \left(2\pi \!ft+\varphi \right),)

kde A- amplituda oscilace, F- frekvence, φ - počáteční fáze.

Frekvence pohybu je dána charakteristickými vlastnostmi systému (například hmotnost pohybujícího se tělesa), zatímco amplituda a počáteční fáze jsou určeny počátečními podmínkami - pohybem a rychlostí tělesa v okamžiku kmitů. začít. Na těchto vlastnostech a podmínkách závisí také kinetická a potenciální energie systému.

Na jednoduchý harmonický pohyb lze pohlížet jako na matematický model různé druhy pohyb, jako je kmitání pružiny. Další případy, které lze zhruba považovat za jednoduchý harmonický pohyb, jsou pohyb kyvadla a vibrace molekul.

Typickým příkladem systému, ve kterém dochází k jednoduchému harmonickému pohybu, je idealizovaný systém hmota-pružina, ve kterém je hmota připojena k pružině. Pokud pružina není stlačena a není natažena, pak na zátěž nepůsobí žádné proměnné síly a zátěž je ve stavu mechanické rovnováhy. Pokud však dojde k odstranění zátěže z rovnovážné polohy, dojde k deformaci pružiny a na zátěž z její strany bude působit síla, která bude mít tendenci vrátit zátěž do rovnovážné polohy. V případě systému zátěžových pružin je takovou silou pružná síla pružiny, která se řídí Hookovým zákonem:

F = − k x , (\displaystyle F=-kx,) F- obnovující síla X- pohyb břemene (deformace pružiny), k- součinitel tuhosti pružiny.

Každý systém, ve kterém dochází k jednoduchému harmonickému pohybu, má dvě klíčové vlastnosti:

Když je systém vyveden z rovnováhy, musí existovat vratná síla, která má tendenci vrátit systém zpět do rovnováhy.
Vratná síla musí být přesně nebo přibližně úměrná posunutí.

Systém závaží a pružin splňuje obě tyto podmínky.

Jakmile je posunuté zatížení vystaveno působení vratné síly, zrychluje se a má tendenci se vracet do výchozího bodu, tedy do rovnovážné polohy. Jak se zatížení blíží do rovnovážné polohy, vratná síla klesá a má tendenci k nule. Nicméně na pozici X = 0 zátěž má určitý pohyb (hybnost), získaný působením vratné síly. Zátěž proto přeskočí rovnovážnou polohu a začne pružinu opět deformovat (ale v opačném směru). Vratná síla bude mít tendenci jej zpomalit, dokud nebude rychlost nulová; a síla se bude opět snažit vrátit zátěž do její rovnovážné polohy.

Dokud v systému nedochází k žádné ztrátě energie, bude zátěž oscilovat, jak je popsáno výše; takový pohyb se nazývá periodický.

Další analýza ukáže, že v případě systému hmota-pružina je pohyb jednoduchý harmonický.

Dynamika jednoduchého harmonického pohybu

Pro oscilaci v jednorozměrném prostoru s přihlédnutím k druhému Newtonovu zákonu ( F= m d² X/d t² ) a Hookův zákon ( F = −kx, jak je popsáno výše), máme lineární diferenciální rovnici druhého řádu:

m d 2 x d t 2 = − k x , (\displaystyle m(\frac (\mathrm (d) ^(2)x)(\mathrm (d) t^(2)))=-kx,) m- tělesná hmotnost, X- jeho posunutí vzhledem k rovnovážné poloze, k- konstantní (faktor tuhosti pružiny).

Řešení této diferenciální rovnice je sinusové; jedno řešení je toto:

x (t) = A cos ⁡ (ω t + φ) , (\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),)

kde A, ω a φ - konstanty, a rovnovážná poloha se bere jako výchozí. Každá z těchto konstant je důležitá fyzické vlastnosti pohyby: A je amplituda, ω = 2π F je kruhová frekvence a φ je počáteční fáze.

U (t) = 1 2 k x (t) 2 = 1 2 k A 2 cos 2 ⁡ (ω t + φ) . (\displaystyle U(t)=(\frac (1)(2))kx(t)^(2)=(\frac (1)(2))kA^(2)\cos ^(2)(\ omega t+\varphi).)

Univerzální kruhový pohyb

Jednoduchý harmonický pohyb lze v některých případech považovat za jednorozměrnou projekci univerzálního kruhového pohybu.

Pokud se objekt pohybuje konstantní úhlovou rychlostí ω po kružnici o poloměru r, jehož střed je počátkem souřadnic roviny x − y, pak je takový pohyb podél každé ze souřadnicových os jednoduchý harmonický s amplitudou r a kruhová frekvence ω .

Hmotnost jako jednoduché kyvadlo

V aproximaci malých úhlů se pohyb jednoduchého kyvadla blíží jednoduché harmonické. Perioda kmitání takového kyvadla připevněného k tyči o délce ℓ se zrychlením volného pádu G je dáno vzorcem

T = 2πℓg. (\displaystyle T=2\pi (\sqrt (\frac (\ell )(g))).)

To ukazuje, že doba kmitání nezávisí na amplitudě a hmotnosti kyvadla, ale závisí na zrychlení volného pádu G, proto se při stejné délce kyvadla bude na Měsíci houpat pomaleji, jelikož je tam slabší gravitace a hodnota zrychlení volného pádu je nižší.

Tato aproximace je správná pouze pro malé úhly vychýlení, protože výraz pro úhlové zrychlení je úměrný sinusu souřadnice:

ℓ m g sin ⁡ θ = I α , (\displaystyle \ell mg\sin \theta =I\alpha ,)

kde já- moment setrvačnosti ; v tomto případě já = mℓ 2 .

ℓ m g θ = I α (\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha ),

což činí úhlové zrychlení přímo úměrné úhlu θ, a to splňuje definici jednoduchého harmonického pohybu.

Tlumený harmonický oscilátor

Vezmeme-li stejný model jako základ, přidáme k němu sílu viskózního tření. Síla viskózního tření je namířena proti rychlosti zatížení vůči médiu a je přímo úměrná této rychlosti. Potom se celková síla působící na zatížení zapíše takto:

F = − k x − α v (\displaystyle F=-kx-\alpha v)

Provedením podobných akcí získáme diferenciální rovnici popisující tlumený oscilátor:

x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0 (\displaystyle (\ddot (x))+2\gamma (\tečka (x))+\omega _(0)^(2)x=0)

Zde je zápis: 2 γ = α m (\displaystyle 2\gamma =(\frac (\alpha )(m))). Součinitel γ (\displaystyle \gamma ) se nazývá konstanta tlumení. Má také rozměr frekvence.

Řešení spadá do tří případů.

x (t) = A e − γ t s i n (ω f t + φ) (\displaystyle x(t)=Ae^(-\gamma t)sin(\omega _(f)t+\varphi)),

kde ω f = ω 0 2 − γ 2 (\displaystyle \omega _(f)=(\sqrt (\omega _(0)^(2)-\gamma ^(2))))- frekvence volných kmitů.

x (t) = (A + B t) e − γ t (\displaystyle \ x(t)=(A+Bt)e^(-\gamma t)) x (t) = A e − β 1 t + B e − β 2 t (\displaystyle x(t)=Ae^(-\beta _(1)t)+Be^(-\beta _(2)t )),

kde β 1 , 2 = γ ± γ 2 − ω 0 2 (\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2)) ))).

Kritické tlumení je pozoruhodné tím, že právě při kritickém tlumení se oscilátor nejrychleji blíží do rovnovážné polohy. Pokud je tření menší než kritické, dostane se do rovnovážné polohy rychleji, setrvačností jej však „proklouzne“ a bude oscilovat. Pokud je tření větší než kritické, bude oscilátor exponenciálně inklinovat k rovnovážné poloze, ale čím pomaleji, tím větší je tření.

Proto se v ukazatelích (například v ampérmetrech) obvykle snaží zavést přesně kritický útlum, aby se šipka co nejrychleji uklidnila a odečetla její hodnoty.

Tlumení oscilátoru je také často charakterizováno bezrozměrným parametrem zvaným jakostní faktor. Faktor kvality je obvykle označen písmenem Q (\displaystyle Q). Podle definice je faktorem kvality:

Q = ω 0 2 γ (\displaystyle Q=(\frac (\omega _(0))(2\gamma )))

Čím větší je činitel jakosti, tím pomaleji doznívají oscilace oscilátoru.

Činitel jakosti se někdy nazývá zesílení oscilátoru, jelikož u některých způsobů buzení, kdy se frekvence buzení shoduje s rezonanční frekvencí kmitů, je jejich amplituda nastavena na přibližně Q (\displaystyle Q) krát větší než při buzení se stejnou intenzitou při nízké frekvenci.

Také činitel jakosti je přibližně roven počtu oscilačních cyklů, během kterých se amplituda oscilací v r. e (\displaystyle e) krát násobeno π (\displaystyle \pi ).

V případě oscilačního pohybu je útlum charakterizován také takovými parametry, jako jsou:

Život kolísání (aka doba rozpadu, to je čas na odpočinek) τ je doba, během které se bude amplituda oscilace snižovat E jednou.

τ = 1 / γ . (\displaystyle \tau =1/\gamma .) Tato doba je považována za dobu potřebnou pro utlumení (zastavení) kmitů (ačkoli formálně volné kmity trvají neomezeně dlouho).