Secondo il libro di testo di Sovetov e Yakovlev: "un modello (lat. modulo - misura) è un oggetto sostitutivo dell'oggetto originale, che fornisce lo studio di alcune proprietà dell'originale". (p. 6) "La sostituzione di un oggetto con un altro per ottenere informazioni sulle proprietà più importanti dell'oggetto originale utilizzando l'oggetto modello è chiamata modellazione." (p. 6) “Sotto la modellazione matematica comprenderemo il processo per stabilire la corrispondenza a un dato oggetto reale di qualche oggetto matematico, chiamato modello matematico, e lo studio di questo modello, che permette di ottenere le caratteristiche dell'oggetto reale in esame . Il tipo di modello matematico dipende sia dalla natura dell'oggetto reale che dai compiti di studio dell'oggetto e dall'affidabilità e precisione richieste per risolvere questo problema.

Infine, la definizione più sintetica di un modello matematico: "Un'equazione che esprime un'idea."

Classificazione del modello

Classificazione formale dei modelli

La classificazione formale dei modelli si basa sulla classificazione degli strumenti matematici utilizzati. Spesso costruito sotto forma di dicotomie. Ad esempio, uno dei popolari insiemi di dicotomie è:

e così via. Ogni modello costruito è lineare o non lineare, deterministico o stocastico, ... Naturalmente sono possibili anche tipi misti: concentrati in un aspetto (in termini di parametri), modelli distribuiti in un altro, ecc.

Classificazione in base al modo in cui l'oggetto è rappresentato

Insieme alla classificazione formale, i modelli differiscono nel modo in cui rappresentano l'oggetto:

• Modelli strutturali o funzionali

I modelli strutturali rappresentano un oggetto come un sistema con un proprio dispositivo e meccanismo di funzionamento. I modelli funzionali non utilizzano tali rappresentazioni e riflettono solo il comportamento (funzionamento) dell'oggetto percepito esternamente. Nella loro espressione estrema sono anche detti modelli "black box", ma sono possibili anche tipologie di modelli combinati, talvolta detti modelli "grey box".

Contenuto e modelli formali

Quasi tutti gli autori che descrivono il processo di modellazione matematica indicano che prima viene costruita una speciale costruzione ideale, modello di contenuto. Non esiste una terminologia consolidata qui, e altri autori chiamano questo oggetto ideale modello concettuale , modello speculativo o premodello. In questo caso viene chiamata la costruzione matematica finale modello formale o semplicemente un modello matematico ottenuto a seguito della formalizzazione di questo modello di contenuto (pre-modello). La costruzione di un modello significativo può essere effettuata utilizzando un insieme di idealizzazioni già pronte, come in meccanica, dove scaturisce l'ideale, corpi solidi, pendoli ideali, mezzi elastici, ecc. forniscono elementi strutturali pronti per una modellazione significativa. Tuttavia, nelle aree della conoscenza in cui non esistono teorie formalizzate completamente completate (l'avanguardia della fisica, della biologia, dell'economia, della sociologia, della psicologia e della maggior parte delle altre aree), la creazione di modelli significativi è drammaticamente più complicata.

Classificazione significativa dei modelli

Nessuna ipotesi scientifica può essere provata una volta per tutte. Richard Feynman lo ha detto molto chiaramente:

“Abbiamo sempre la capacità di smentire una teoria, ma nota che non possiamo mai dimostrare che è corretta. Supponiamo di avanzare un'ipotesi di successo, calcolare dove porta e scoprire che tutte le sue conseguenze sono confermate sperimentalmente. Questo significa che la tua teoria è corretta? No, significa semplicemente che non sei riuscito a confutarlo.

Se viene costruito un modello del primo tipo, significa che viene temporaneamente riconosciuto come vero e ci si può concentrare su altri problemi. Tuttavia, questo non può essere un punto di ricerca, ma solo una pausa temporanea: lo stato del modello del primo tipo può essere solo temporaneo.

Tipo 2: Modello fenomenologico (comportarsi come se…)

Il modello fenomenologico contiene un meccanismo per descrivere il fenomeno. Tuttavia, questo meccanismo non è abbastanza convincente, non può essere sufficientemente confermato dai dati disponibili o non concorda bene con le teorie disponibili e le conoscenze accumulate sull'oggetto. Pertanto, i modelli fenomenologici hanno lo status di soluzioni temporanee. Si ritiene che la risposta sia ancora sconosciuta ed è necessario continuare la ricerca dei "veri meccanismi". Peierls riferisce, ad esempio, al secondo tipo il modello calorico e il modello a quark delle particelle elementari.

Il ruolo del modello nella ricerca può cambiare nel tempo, può accadere che nuovi dati e teorie confermino modelli fenomenologici e siano promossi allo stato di ipotesi. Allo stesso modo, nuove conoscenze possono entrare gradualmente in conflitto con modelli-ipotesi del primo tipo, e possono essere trasferite al secondo. Pertanto, il modello dei quark si sta gradualmente spostando nella categoria delle ipotesi; l'atomismo in fisica è nato come una soluzione temporanea, ma con il corso della storia è passato al primo tipo. Ma i modelli eterici sono passati dal tipo 1 al tipo 2 e ora sono al di fuori della scienza.

L'idea di semplificazione è molto popolare quando si costruiscono modelli. Ma la semplificazione è un'altra. Peierls distingue tre tipi di semplificazioni nella modellazione.

Tipo 3: Approssimazione (qualcosa è considerato molto grande o molto piccolo)

Se è possibile costruire equazioni che descrivano il sistema in esame, ciò non significa che possano essere risolte anche con l'ausilio di un computer. Una tecnica comune in questo caso è l'uso di approssimazioni (modelli di tipo 3). Tra loro modelli di risposta lineare. Le equazioni sono sostituite da quelle lineari. L'esempio standard è la legge di Ohm.

Ed ecco il tipo 8, ampiamente utilizzato nei modelli matematici dei sistemi biologici.

Tipo 8: Dimostrazione di possibilità (la cosa principale è mostrare la coerenza interna della possibilità)

Questi sono anche esperimenti mentali con entità immaginarie, a dimostrarlo presunto fenomeno coerenti con i principi di base e internamente coerenti. Questa è la principale differenza rispetto ai modelli di tipo 7, che rivelano contraddizioni nascoste.

Uno dei più famosi di questi esperimenti è la geometria di Lobachevsky (Lobachevsky la chiamava "geometria immaginaria"). Un altro esempio è la produzione di massa di modelli formalmente cinetici di oscillazioni chimiche e biologiche, onde automatiche, ecc. Il paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen è stato concepito come un modello di tipo 7 per dimostrare l'incoerenza della meccanica quantistica. In un modo completamente non pianificato, alla fine si è trasformato in un modello di tipo 8, una dimostrazione della possibilità del teletrasporto quantistico delle informazioni.

Esempio

Ritenere sistema meccanico, costituito da una molla fissata ad un'estremità, e da un carico di massa m attaccato all'estremità libera della molla. Assumeremo che il carico possa muoversi solo nella direzione dell'asse della molla (ad esempio, il movimento avviene lungo l'asta). Costruiamo un modello matematico di questo sistema. Descriveremo lo stato del sistema in base alla distanza X dal centro del carico alla sua posizione di equilibrio. Descriviamo l'interazione tra una molla e un carico utilizzando La legge di Hooke (F = − KX ) dopo di che usiamo la seconda legge di Newton per esprimerla sotto forma di equazione differenziale:

dove indica la derivata seconda di X col tempo: .

L'equazione risultante descrive il modello matematico del sistema fisico considerato. Questo modello è chiamato "oscillatore armonico".

Secondo la classificazione formale, questo modello è lineare, deterministico, dinamico, concentrato, continuo. Nel processo di costruzione, abbiamo fatto molte ipotesi (sull'assenza di forze esterne, sull'assenza di attrito, sulla piccolezza delle deviazioni, ecc.), Che in realtà potrebbero non essere soddisfatte.

In relazione alla realtà, questo è spesso un modello di tipo 4. semplificazione("omettiamo alcuni dettagli per chiarezza"), poiché alcune caratteristiche universali essenziali (ad esempio la dissipazione) vengono omesse. In qualche approssimazione (diciamo, mentre la deviazione del carico dall'equilibrio è piccola, con poco attrito, per un tempo non troppo lungo e soggetto a determinate altre condizioni), un tale modello descrive abbastanza bene un sistema meccanico reale, poiché i fattori scartati avere un effetto trascurabile sul suo comportamento. Tuttavia, il modello può essere perfezionato tenendo conto di alcuni di questi fattori. Ciò porterà a un nuovo modello, con una portata più ampia (anche se ancora limitata).

Tuttavia, quando il modello viene perfezionato, la complessità del suo studio matematico può aumentare in modo significativo e rendere il modello praticamente inutile. Spesso di più modello semplice permette di esplorare meglio e più a fondo il sistema reale rispetto a uno più complesso (e, formalmente, “più corretto”).

Se applichiamo il modello oscillatore armonico a oggetti lontani dalla fisica, il suo stato sostanziale può essere diverso. Ad esempio, quando si applica questo modello alle popolazioni biologiche, molto probabilmente dovrebbe essere attribuito al tipo 6 analogia(“Prendiamo in considerazione solo alcune caratteristiche”).

Modelli duri e morbidi

L'oscillatore armonico è un esempio di un cosiddetto modello "duro". È ottenuto come risultato di una forte idealizzazione di un sistema fisico reale. Per risolvere il problema della sua applicabilità, è necessario comprendere quanto siano significativi i fattori che abbiamo trascurato. In altre parole, occorre indagare il modello "soft", che si ottiene con una piccola perturbazione di quello "duro". Può essere data, ad esempio, dalla seguente equazione:

Ecco - qualche funzione, che può tenere conto della forza di attrito o della dipendenza del coefficiente di rigidità della molla dal grado del suo allungamento - qualche piccolo parametro. Forma esplicita di una funzione f non siamo interessati al momento. Se dimostriamo che il comportamento di un modello soft non differisce fondamentalmente da quello di un modello hard (a prescindere dalla forma esplicita dei fattori perturbatori, se sono sufficientemente piccoli), il problema si riduce allo studio del modello hard. Diversamente, l'applicazione dei risultati ottenuti nello studio del modello rigido richiederà ulteriori ricerche. Ad esempio, la soluzione dell'equazione di un oscillatore armonico sono funzioni della forma , cioè oscillazioni con ampiezza costante. Ne consegue che un vero oscillatore oscillerà indefinitamente con un'ampiezza costante? No, perché considerando un sistema con un attrito arbitrariamente piccolo (sempre presente in un sistema reale), si ottengono oscillazioni smorzate. Il comportamento del sistema è cambiato qualitativamente.

Se un sistema mantiene il suo comportamento qualitativo sotto una piccola perturbazione, si dice strutturalmente stabile. L'oscillatore armonico è un esempio di un sistema strutturalmente instabile (non grezzo). Tuttavia, questo modello può essere utilizzato per studiare i processi su intervalli di tempo limitati.

Universalità dei modelli

I modelli matematici più importanti di solito hanno la proprietà importante universalità: fenomeni reali fondamentalmente diversi possono essere descritti dallo stesso modello matematico. Ad esempio, un oscillatore armonico descrive non solo il comportamento di un carico su una molla, ma anche altri processi oscillatori, spesso di natura completamente diversa: piccole oscillazioni di un pendolo, fluttuazioni del livello del liquido in u a forma di vaso o un cambiamento nella forza della corrente nel circuito oscillatorio. Quindi, studiando un modello matematico, studiamo subito un'intera classe di fenomeni da esso descritti. È questo isomorfismo delle leggi espresse dai modelli matematici in vari segmenti della conoscenza scientifica che ha portato Ludwig von Bertalanffy a creare la "Teoria generale dei sistemi".

Problemi diretti e inversi di modellistica matematica

Ci sono molti problemi associati alla modellazione matematica. In primo luogo, è necessario elaborare lo schema di base dell'oggetto modellato, per riprodurlo nel quadro delle idealizzazioni di questa scienza. Quindi, un vagone si trasforma in un sistema di piastre e corpi più complessi materiali diversi, ogni materiale viene specificato come sua idealizzazione meccanica standard (densità, moduli elastici, caratteristiche di resistenza standard), dopodiché vengono compilate le equazioni, lungo il percorso alcuni dettagli vengono scartati come insignificanti, vengono eseguiti i calcoli, confrontati con le misurazioni, il modello viene perfezionato, e così via. Tuttavia, per lo sviluppo di tecnologie di modellazione matematica, è utile disassemblare questo processo nei suoi principali elementi costitutivi.

Tradizionalmente, ci sono due classi principali di problemi associati ai modelli matematici: diretti e inversi.

Problema diretto: la struttura del modello e tutti i suoi parametri sono considerati noti, il compito principale è studiare il modello per estrarre conoscenze utili sull'oggetto. Quale carico statico può sopportare il ponte? Come reagirà a un carico dinamico (ad esempio, alla marcia di una compagnia di soldati, o al passaggio di un treno a velocità diverse), come l'aereo supererà la barriera del suono, se si sfalderà per svolazzare - questi sono esempi tipici di un compito diretto. Impostare il problema diretto corretto (porre la domanda corretta) richiede abilità speciali. Se non vengono poste le domande giuste, il ponte potrebbe crollare anche se fosse stato costruito. buon modello per il suo comportamento. Così, nel 1879 in Inghilterra, crollò un ponte di metallo sul fiume Tey, i cui progettisti costruirono un modello del ponte, lo calcolarono per un margine di sicurezza di 20 volte per il carico utile, ma dimenticarono i venti che soffiavano costantemente in quelle posti. E dopo un anno e mezzo è crollato.

Nel caso più semplice (un'equazione dell'oscillatore, per esempio), il problema diretto è molto semplice e si riduce a una soluzione esplicita di questa equazione.

Problema inverso: sono noti molti modelli possibili, è necessario scegliere un modello specifico in base a dati aggiuntivi sull'oggetto. Molto spesso, la struttura del modello è nota ed è necessario determinare alcuni parametri sconosciuti. Informazioni aggiuntive può consistere in dati empirici aggiuntivi, o nei requisiti per l'oggetto ( compito di progettazione). Ulteriori dati possono venire indipendentemente dal processo di risoluzione del problema inverso ( osservazione passiva) o essere il risultato di un esperimento appositamente pianificato nel corso della risoluzione ( sorveglianza attiva).

Uno dei primi esempi di una soluzione virtuosa di un problema inverso con l'uso più completo possibile dei dati disponibili è stato il metodo costruito da I. Newton per ricostruire le forze di attrito dalle oscillazioni smorzate osservate.

Ulteriori esempi

dove X S- dimensione della popolazione "di equilibrio", alla quale il tasso di natalità è esattamente compensato dal tasso di mortalità. La dimensione della popolazione in un tale modello tende al valore di equilibrio X S, e questo comportamento è strutturalmente stabile.

Questo sistema ha uno stato di equilibrio in cui il numero di conigli e volpi è costante. La deviazione da questo stato porta a fluttuazioni nel numero di conigli e volpi, simili alle fluttuazioni dell'oscillatore armonico. Come nel caso dell'oscillatore armonico, questo comportamento non è strutturalmente stabile: un piccolo cambiamento nel modello (tenendo ad esempio conto delle limitate risorse necessarie ai conigli) può portare ad un cambiamento qualitativo nel comportamento. Ad esempio, lo stato di equilibrio può diventare stabile e le fluttuazioni della popolazione svaniranno. È possibile anche la situazione opposta, quando qualsiasi piccola deviazione dalla posizione di equilibrio porterà a conseguenze catastrofiche, fino alla completa estinzione di una delle specie. Alla domanda su quale di questi scenari si realizzi, il modello Volterra-Lotka non dà risposta: qui sono necessarie ulteriori ricerche.

Appunti

1. "Una rappresentazione matematica della realtà" (Enciclopedia Britanica)
2. Novik I.B., Sulle questioni filosofiche della modellazione cibernetica. M., La conoscenza, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S.A., Modellazione dei sistemi: Proc. per le università - 3a ed., rivista. e aggiuntivo - M.: Più in alto. scuola, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A.A., Mikhailov A.P. Modellazione matematica. Idee. Metodi. Esempi. . - 2a ed., Rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A.D., Elementi di teoria dei modelli matematici. - 3a ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 con ISBN 978-5-484-00953-4
6. Wikizionario: modelli matematici
7. Note sulle scogliere
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
9. “Una teoria è considerata lineare o non lineare, a seconda di quale - lineare o non lineare - apparato matematico, quali - lineari o non lineari - modelli matematici utilizza. ...senza negare quest'ultimo. Un fisico moderno, se gli capitasse di ridefinire un'entità così importante come non linearità, molto probabilmente agirebbe in modo diverso e, preferendo la non linearità come il più importante e comune dei due opposti, definirebbe la linearità come "non-non- linearità". Danilov Yu. A., Lezioni sulla dinamica non lineare. Introduzione elementare. Synergetics: dal passato alla serie futura. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 pag. ISBN 5-484-00183-8
10. « Sistemi dinamici, modellato da un numero finito di ordinari equazioni differenziali, sono detti concentrati o sistemi di punti. Sono descritti utilizzando uno spazio delle fasi a dimensione finita e sono caratterizzati da un numero finito di gradi di libertà. Lo stesso sistema in varie condizioni possono essere considerati concentrati o distribuiti. I modelli matematici dei sistemi distribuiti sono equazioni alle derivate parziali, equazioni integrali o equazioni di ritardo ordinarie. Il numero di gradi di libertà di un sistema distribuito è infinito e sono necessari un numero infinito di dati per determinarne lo stato. Anishchenko VS, Sistemi dinamici, Soros Educational Journal, 1997, n. 11, p. 77-84.
11. “A seconda della natura dei processi studiati nel sistema S, tutti i tipi di modellazione possono essere suddivisi in deterministici e stocastici, statici e dinamici, discreti, continui e discreti-continuo. La modellazione deterministica mostra processi deterministici, cioè processi in cui si presume l'assenza di influenze casuali; la modellazione stocastica mostra processi ed eventi probabilistici. … La modellazione statica viene utilizzata per descrivere il comportamento di un oggetto in qualsiasi momento, mentre la modellazione dinamica riflette il comportamento di un oggetto nel tempo. La modellazione discreta serve a descrivere i processi che si presume siano discreti, rispettivamente la modellazione continua consente di riflettere i processi continui nei sistemi e la modellazione continua discreta viene utilizzata per i casi in cui si desidera evidenziare la presenza di processi sia discreti che continui. Sovetov B. Ya., Yakovlev S.A., Modellazione dei sistemi: Proc. per le università - 3a ed., rivista. e aggiuntivo - M.: Più in alto. scuola, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
12. Solitamente, il modello matematico riflette la struttura (disposizione) dell'oggetto modellato, le proprietà e le interconnessioni dei componenti di tale oggetto che sono essenziali ai fini dello studio; tale modello è chiamato strutturale. Se il modello riflette solo il funzionamento dell'oggetto, ad esempio come reagisce alle influenze esterne, viene chiamato funzionale o, in senso figurato, scatola nera. Sono possibili anche modelli combinati. Myshkis A.D., Elementi di teoria dei modelli matematici. - 3a ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 con ISBN 978-5-484-00953-4
13. “La fase iniziale, ovvia, ma più importante, della costruzione o della scelta di un modello matematico è di essere il più chiaro possibile sull'oggetto modellato e di perfezionarne il modello di contenuto sulla base di discussioni informali. Tempo e sforzi non dovrebbero essere risparmiati in questa fase; il successo dell'intero studio dipende in gran parte da questo. Più di una volta è successo che il considerevole lavoro speso per risolvere un problema matematico si è rivelato inefficace o addirittura sprecato a causa della scarsa attenzione a questo aspetto della questione. Myshkis A.D., Elementi di teoria dei modelli matematici. - 3a ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 con ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
14. « Descrizione del modello concettuale del sistema. In questa sottofase di costruzione di un modello di sistema: a) il modello concettuale M è descritto in termini e concetti astratti; b) viene fornita una descrizione del modello utilizzando schemi matematici tipici; c) siano definitivamente accettate ipotesi e ipotesi; d) è motivata la scelta di una procedura per approssimare i processi reali nella costruzione di un modello. Sovetov B. Ya., Yakovlev S.A., Modellazione dei sistemi: Proc. per le università - 3a ed., rivista. e aggiuntivo - M.: Più in alto. scuola, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2, pag. 93.

Un modello matematico di un oggetto tecnico è un insieme di oggetti matematici e di relazioni tra di essi che riflette adeguatamente le proprietà dell'oggetto in studio che interessano il ricercatore (ingegnere).

Il modello può essere rappresentato in vari modi.

Forme di rappresentazione del modello:

invariante - registrazione delle relazioni del modello utilizzando un linguaggio matematico tradizionale, indipendentemente dal metodo per risolvere le equazioni del modello;

analitico - registrazione del modello sotto forma del risultato di una soluzione analitica delle equazioni iniziali del modello;

algoritmico: registrazione delle relazioni del modello e del metodo di soluzione numerico selezionato sotto forma di algoritmo.

schematico (grafico) - rappresentazione del modello in un linguaggio grafico (ad esempio il linguaggio dei grafici, dei circuiti equivalenti, dei diagrammi, ecc.);

fisico

analogico

La più universale è la descrizione matematica dei processi: la modellazione matematica.

Il concetto di modellazione matematica include anche il processo di risoluzione di un problema su un computer.

Modello matematico generalizzato

Il modello matematico descrive la relazione tra i dati iniziali ei valori desiderati.

Gli elementi del modello matematico generalizzato sono (Fig. 1): un insieme di dati di input (variabili) X,Y;

X - insieme di variabili variabili; Y - variabili indipendenti (costanti);

operatore matematico L che definisce le operazioni su questi dati; che è inteso come un sistema completo di operazioni matematiche che descrivono relazioni numeriche o logiche tra insiemi di dati di input e output (variabili);

insieme di dati di uscita (variabili) G(X,Y); è un insieme di funzioni di criterio, inclusa (se necessario) la funzione obiettivo.

Il modello matematico è un analogo matematico dell'oggetto progettato. Il grado di adeguatezza del suo oggetto è determinato dalla formulazione e correttezza delle soluzioni al problema progettuale.

L'insieme dei parametri variabili (variabili) X forma lo spazio dei parametri variabili Rx (spazio di ricerca), che è metrico con dimensione n uguale al numero dei parametri variabili.

L'insieme delle variabili indipendenti Y forma lo spazio metrico dei dati di input Ry. Nel caso in cui ogni componente dello spazio Ry sia data da un intervallo di valori possibili, l'insieme di variabili indipendenti viene mappato in un sottospazio limitato dello spazio Ry.

L'insieme delle variabili indipendenti Y determina l'ambiente per il funzionamento dell'oggetto, ad es. condizioni esterne in cui l'oggetto progettato opererà

Può essere:

• - specifiche tecniche un oggetto che non è soggetto a modifiche durante il processo di progettazione;
• - perturbazioni fisiche dell'ambiente con cui l'oggetto di design interagisce;
• - parametri tattici che l'oggetto di design dovrebbe raggiungere.

I dati di output del modello generalizzato considerato formano uno spazio metrico di indicatori criteri RG.

Lo schema di utilizzo di un modello matematico in un sistema di progettazione assistita da computer è mostrato in Fig.2.

Requisiti per il modello matematico

I requisiti principali per i modelli matematici sono i requisiti di adeguatezza, universalità ed economia.

Adeguatezza. Il modello è considerato adeguato se riflette le proprietà date con un'accuratezza accettabile. La precisione è definita come il grado di concordanza tra i valori dei parametri di output del modello e dell'oggetto.

La precisione del modello è diversa in condizioni diverse funzionamento dell'oggetto. Queste condizioni sono caratterizzate da parametri esterni. Nello spazio dei parametri esterni, selezionare la regione di adeguatezza del modello, in cui l'errore è inferiore all'errore massimo consentito specificato. La determinazione del dominio di adeguatezza del modello è una procedura complessa che richiede ingenti costi computazionali, che crescono rapidamente con l'aumentare della dimensione dello spazio dei parametri esterni. Questo compito può superare significativamente il compito di ottimizzazione parametrica del modello stesso in volume, pertanto potrebbe non essere risolto per oggetti di nuova concezione.

Universalità - è determinata principalmente dal numero e dalla composizione dei parametri esterni e di output presi in considerazione nel modello.

L'economia del modello è caratterizzata dal costo delle risorse di calcolo per la sua implementazione: il costo del tempo e della memoria del computer.

I requisiti contraddittori affinché un modello abbia un'ampia gamma di adeguatezza, un alto grado di universalità e un'elevata efficienza determinano l'uso di più modelli per oggetti dello stesso tipo.

Metodi di recupero del modello

Fai entrare i modelli caso generale- procedura non formalizzata. Le principali decisioni in merito alla scelta del tipo di relazioni matematiche, alla natura delle variabili e dei parametri utilizzati, sono a carico del progettista. Allo stesso tempo, operazioni come il calcolo dei valori numerici dei parametri del modello, la determinazione delle aree di adeguatezza e altre sono algoritmiche e risolte su un computer. Pertanto, la modellazione degli elementi del sistema progettato viene solitamente eseguita da specialisti in specifici settori tecnici utilizzando studi sperimentali tradizionali.

I metodi per ottenere modelli funzionali degli elementi sono divisi in teorici e sperimentali.

I metodi teorici si basano sullo studio delle regolarità fisiche dei processi che si verificano nell'oggetto, determinando la descrizione matematica corrispondente a tali regolarità, sostanziando e accettando ipotesi semplificative, effettuando i calcoli necessari e portando il risultato alla forma accettata della rappresentazione del modello .

I metodi sperimentali si basano sull'uso manifestazioni esterne proprietà dell'oggetto, registrate durante il funzionamento dello stesso tipo di oggetti o durante esperimenti mirati.

Nonostante la natura euristica di molte operazioni, la modellazione ha una serie di disposizioni e tecniche comuni per ottenere modelli di vari oggetti. Sono di natura abbastanza generale.

tecnica di modellazione macro,

metodi matematici per la pianificazione di esperimenti,

algoritmi per operazioni formalizzate per il calcolo dei valori numerici dei parametri e la determinazione delle aree di adeguatezza.

Utilizzo di modelli matematici

La potenza di calcolo dei computer moderni, combinata con la fornitura di tutte le risorse di sistema all'utente, la possibilità di una modalità interattiva durante la risoluzione di un problema e l'analisi dei risultati, consentono di ridurre al minimo i tempi per la risoluzione di un problema.

Nella compilazione di un modello matematico, il ricercatore è tenuto a:

studiare le proprietà dell'oggetto in studio;

la capacità di separare le proprietà principali dell'oggetto da quelle secondarie;

valutare le ipotesi formulate.

Il modello descrive la relazione tra i dati di input ei valori desiderati. La sequenza di azioni che devono essere eseguite per passare dai dati iniziali ai valori desiderati è chiamata algoritmo.

L'algoritmo per risolvere il problema su un computer è associato alla scelta di un metodo numerico. A seconda della forma di rappresentazione del modello matematico (forma algebrica o differenziale), vengono utilizzati vari metodi numerici.

L'essenza della modellazione economica e matematica risiede nella descrizione dei sistemi e dei processi socioeconomici sotto forma di modelli economici e matematici.

Consideriamo domande di classificazione di metodi economici e matematici. Questi metodi, come notato sopra, sono un complesso di discipline economiche e matematiche che sono una lega di economia, matematica e cibernetica.

Pertanto, la classificazione dei metodi economici e matematici si riduce alla classificazione delle discipline scientifiche incluse nella loro composizione. Sebbene la classificazione generalmente accettata di queste discipline non sia stata ancora sviluppata, con un certo grado di approssimazione, nella composizione dei metodi economici e matematici si possono distinguere le seguenti sezioni:

• * cibernetica economica: analisi dei sistemi dell'economia, teoria dell'informazione economica e teoria dei sistemi di controllo;
• * statistica matematica: applicazioni economiche di questa disciplina - metodo di campionamento, analisi della varianza, analisi di correlazione, analisi di regressione, analisi statistica multivariata, analisi fattoriale, teoria degli indici, ecc.;
• * economia matematica ed econometria che studiano le stesse questioni dal lato quantitativo: la teoria della crescita economica, la teoria delle funzioni di produzione, i bilanci intersettoriali, i conti nazionali, l'analisi della domanda e dei consumi, l'analisi regionale e spaziale, la modellizzazione globale, ecc.;
• * metodi per prendere decisioni ottimali, compreso lo studio delle operazioni nell'economia. Questa è la sezione più voluminosa, che comprende le seguenti discipline e metodi: programmazione ottimale (matematica), inclusi metodi branch and bound, metodi di pianificazione e controllo della rete, metodi di pianificazione e controllo del programma-target, teoria e metodi di gestione dell'inventario, teoria delle code, teoria dei giochi, teoria e metodi delle decisioni, teoria dello scheduling. La programmazione ottimale (matematica) comprende, a sua volta, programmazione lineare, programmazione non lineare, programmazione dinamica, programmazione discreta (intera), programmazione lineare frazionaria, programmazione parametrica, programmazione separabile, programmazione stocastica, programmazione geometrica;
• * Metodi e discipline specifici sia di un'economia pianificata centralmente che di un'economia di mercato (competitiva). I primi includono la teoria del funzionamento ottimale dell'economia, la pianificazione ottimale, la teoria dei prezzi ottimali, i modelli della logistica, ecc. I secondi sono metodi che consentono di sviluppare modelli di libera concorrenza, modelli del ciclo capitalista, modelli di monopolio, modelli di pianificazione indicativa, modelli della teoria dell'impresa ecc.

Molti dei metodi sviluppati per un'economia pianificata centralmente possono essere utili anche nella modellizzazione economica e matematica in un'economia di mercato;

* metodi di studio sperimentale dei fenomeni economici. Questi includono, di regola, metodi matematici di analisi e pianificazione di esperimenti economici, metodi di simulazione delle macchine (modellazione di simulazione), giochi d'affari. Ciò include anche metodi di valutazione di esperti sviluppati per valutare fenomeni che non possono essere misurati direttamente.

Passiamo ora alla questione della classificazione dei modelli economici e matematici, in altre parole, dei modelli matematici di sistemi e processi socio-economici.

Attualmente non esiste nemmeno un sistema di classificazione unificato per tali modelli, tuttavia, di solito si distinguono più di dieci caratteristiche principali della loro classificazione, o intestazioni di classificazione. Diamo un'occhiata ad alcune di queste sezioni.

Secondo lo scopo generale, i modelli economici e matematici sono suddivisi in teorici e analitici, utilizzati nello studio proprietà comuni e leggi dei processi economici, e applicati, utilizzati nella risoluzione di specifici problemi economici di analisi, previsione e gestione. tipi diversi i modelli economici e matematici applicati sono solo considerati in questo tutorial.

In base al grado di aggregazione degli oggetti di modellazione, i modelli si dividono in macroeconomici e microeconomici. Sebbene non vi sia una chiara distinzione tra loro, i primi includono modelli che riflettono il funzionamento dell'economia nel suo insieme, mentre i modelli microeconomici sono associati, di regola, a parti dell'economia come le imprese e le imprese.

In base a una specifica finalità, ovvero in base alla finalità di creazione e di applicazione, si distinguono i modelli di bilancio, che esprimono l'esigenza che la disponibilità delle risorse corrisponda al loro utilizzo; modelli di trend, in cui lo sviluppo del sistema economico modellato si riflette attraverso l'andamento (tendenza di lungo periodo) dei suoi principali indicatori; modelli di ottimizzazione progettati per la selezione L'opzione migliore da un certo numero di opzioni di produzione, distribuzione o consumo; modelli di simulazione destinati all'uso nel processo di simulazione macchina dei sistemi o processi in studio, ecc.

A seconda del tipo di informazione utilizzata nel modello, i modelli economico-matematici si dividono in analitici, costruiti su informazioni a priori, e identificabili, costruiti su informazioni a posteriori.

Tenendo conto del fattore tempo, i modelli si dividono in statici, in cui tutte le dipendenze sono legate a un determinato momento, e dinamici, che descrivono i sistemi economici in via di sviluppo.

Tenendo conto del fattore di incertezza, i modelli sono divisi in deterministici, se l'output in essi risulta essere determinato in modo univoco da azioni di controllo, e stocastici (probabilistici), se quando un certo insieme di valori è specificato all'input del modello , si possono ottenere risultati diversi a seconda dell'azione di un fattore casuale.

I modelli economici e matematici possono essere classificati anche in base alle caratteristiche degli oggetti matematici inclusi nel modello, ovvero in base al tipo di apparato matematico utilizzato nel modello. Su questa base, modelli matriciali, modelli di programmazione lineare e non lineare, modelli di correlazione-regressione,

Concetti di base di modellazione matematica del modello di teoria delle code, modello di pianificazione e controllo della rete, modello di teoria dei giochi, ecc.

Infine, in base al tipo di approccio ai sistemi socio-economici studiati, si distinguono modelli descrittivi e modelli normativi. Con un approccio descrittivo (descrittivo), si ottengono modelli progettati per descrivere e spiegare i fenomeni effettivamente osservati o per prevedere questi fenomeni; Come esempio di modelli descrittivi, possiamo citare i modelli di equilibrio e trend precedentemente denominati. Con un approccio normativo, non sono interessati a come è organizzata e si sviluppa l'economia. sistema economico, ma come dovrebbe essere organizzato e come dovrebbe agire nel senso di determinati criteri. In particolare, tutti i modelli di ottimizzazione sono di tipo normativo; i modelli normativi del tenore di vita possono servire come un altro esempio.

Consideriamo come esempio il modello economico-matematico del bilancio input-output (EMM IOB). Tenuto conto delle suddette intestazioni di classificazione, si tratta di un modello applicato, macroeconomico, analitico, descrittivo, deterministico, di equilibrio, a matrice; mentre esistono come metodi statici oltre che dinamico

La programmazione lineare è un ramo particolare della programmazione ottima. A sua volta, la programmazione ottimale (matematica) è una branca della matematica applicata che studia i problemi di ottimizzazione condizionale. In economia, tali problemi sorgono nell'attuazione pratica del principio di ottimalità nella pianificazione e nella gestione.

Condizione necessaria per utilizzare l'approccio ottimale alla pianificazione e alla gestione (principio di ottimalità) è la flessibilità, l'alternanza della produzione e le situazioni economiche in cui devono essere prese le decisioni di pianificazione e gestione. Sono queste situazioni, di regola, che costituiscono la pratica quotidiana di un'entità economica (scelta di un programma di produzione, collegamento ai fornitori, fresatura, taglio dei materiali, preparazione di miscele, ecc.).

L'essenza del principio di ottimalità sta nel desiderio di scegliere una tale decisione di pianificazione e gestione il modo migliore terrebbe conto delle capacità interne e delle condizioni esterne dell'attività di produzione di un'entità economica.

Le parole "nel migliore dei modi" qui significano la scelta di un criterio di ottimalità, cioè qualche indicatore economico che consente di confrontare l'efficacia di determinate decisioni di pianificazione e gestione. Criteri di ottimalità tradizionali: "profitto massimo", "costi minimi", "redditività massima", ecc. Le parole "terrebbero conto delle capacità interne e delle condizioni esterne dell'attività produttiva" significano che sono imposte una serie di condizioni alla scelta di una decisione di pianificazione e gestione (comportamento), t .e. la scelta di X è effettuata da una certa regione di possibili (ammissibili) soluzioni D; quest'area è anche chiamata area di definizione del problema. un problema generale di programmazione ottima (matematica), altrimenti, un modello matematico di un problema di programmazione ottima, la cui costruzione (sviluppo) si basa sui principi di ottimalità e coerenza.

Un vettore X (un insieme di variabili di controllo Xj, j = 1, n) è chiamato una soluzione ammissibile, o un piano di problemi di programmazione ottimo, se soddisfa il sistema di vincoli. E quel piano X (soluzione ammissibile) che fornisce il massimo o il minimo della funzione obiettivo f(xi, *2, ..., xn) è chiamato piano ottimo (comportamento ottimale, o semplicemente soluzione) del problema di programmazione ottima.

Pertanto, la scelta del comportamento gestionale ottimale in una specifica situazione produttiva è associata alla conduzione di modelli economici e matematici dal punto di vista della coerenza e dell'ottimalità e alla risoluzione del problema della programmazione ottimale. I problemi di programmazione ottimale nella forma più generale sono classificati secondo i seguenti criteri.

• 1. Per la natura della relazione tra variabili -
• a) lineare
• b) non lineare.

Nel caso a) tutte le connessioni funzionali nel sistema dei vincoli e la funzione obiettivo sono funzioni lineari; la presenza di una non linearità in almeno uno degli elementi citati porta al caso b).

• 2. Per la natura del cambiamento nelle variabili --
• a) continuo
• b) discreto.

Nel caso a) i valori di ciascuna delle variabili di controllo possono riempire completamente una determinata area di numeri reali; nel caso b) tutte o almeno una variabile possono assumere solo valori interi.

• 3. Tenendo conto del fattore tempo -
• a) statico
• b) dinamico.

Nei compiti a), la modellizzazione e il processo decisionale sono effettuati partendo dal presupposto che gli elementi del modello siano indipendenti dal tempo durante il periodo di tempo per il quale viene presa una decisione di pianificazione e gestione. Nel caso b), tale ipotesi non può essere accolta con sufficiente motivazione e occorre tener conto del fattore tempo.

• 4. In base alla disponibilità di informazioni sulle variabili --
• a) compiti in condizioni di assoluta certezza (deterministica),
• b) compiti in condizioni di informazione incompleta,
• c) compiti in condizioni di incertezza.

Nei compiti b), i singoli elementi sono quantità probabilistiche, tuttavia le loro leggi di distribuzione sono note o possono essere stabiliti studi statistici aggiuntivi. Nel caso c), si può fare un'ipotesi sui possibili esiti di elementi casuali, ma non è possibile trarre una conclusione sulle probabilità degli esiti.

• 5. In base al numero di criteri di valutazione delle alternative -
• a) compiti semplici a criterio unico,
• b) compiti complessi e multicriteri.

Nei compiti a) è economicamente accettabile utilizzare un criterio di ottimalità oppure è possibile mediante procedure speciali (ad esempio, “ponderazione prioritaria”)

INTRODUZIONE

È impossibile immaginare la scienza moderna senza ampia applicazione modellazione matematica. L'essenza di questa metodologia è sostituire l'oggetto originale con la sua "immagine" - un modello matematico - e approfondire lo studio del modello utilizzando algoritmi di logica computazionale implementati su computer. Questo "terzo metodo" di cognizione, design, design combina molti vantaggi sia della teoria che dell'esperimento. Lavorare non con l'oggetto in sé (fenomeno, processo), ma con il suo modello consente di indagare in modo indolore, relativamente rapido e senza costi significativi le sue proprietà e il suo comportamento in qualsiasi situazione immaginabile (vantaggi della teoria). Allo stesso tempo, gli esperimenti computazionali (computer, simulazione, simulazione) con modelli a oggetti consentono, avvalendosi della potenza dei moderni metodi computazionali e degli strumenti tecnici dell'informatica, di studiare oggetti in modo sufficientemente dettagliato e approfondito, in sufficiente completezza, inaccessibili ad approcci puramente teorici (vantaggi sperimentali). Non sorprende che la metodologia della modellazione matematica si stia sviluppando rapidamente, coprendo tutte le nuove aree - dallo sviluppo sistemi tecnici e la loro gestione all'analisi dei più complessi processi economici e sociali.

Elementi di modellazione matematica sono stati utilizzati fin dall'inizio della comparsa delle scienze esatte, e non è un caso che alcuni metodi di calcolo portino i nomi di luminari della scienza come Newton ed Eulero, e la parola "algoritmo" deriva dal nome dello scienziato arabo medievale Al-Khwarizmi. La seconda “nascita” di questa metodologia avvenne tra la fine degli anni Quaranta e l'inizio degli anni Cinquanta ed era dovuta ad almeno due ragioni. Il primo di questi è l'emergere dei computer (computer), sebbene modesti per gli standard odierni, ma che hanno comunque salvato gli scienziati da un'enorme quantità di lavoro computazionale di routine. Il secondo è un ordine sociale senza precedenti: l'attuazione dei programmi nazionali dell'URSS e degli Stati Uniti per creare uno scudo missilistico nucleare, che non potrebbe essere implementato con i metodi tradizionali. La modellazione matematica ha affrontato questo compito: esplosioni nucleari e voli di razzi e satelliti sono stati precedentemente "eseguiti" nelle profondità dei computer utilizzando modelli matematici e solo allora messi in pratica. Questo successo ha determinato in gran parte gli ulteriori traguardi della metodologia, senza la quale nessun progetto tecnologico, ambientale o economico su larga scala è ora preso seriamente in considerazione nei paesi sviluppati (questo vale anche in relazione ad alcuni progetti socio-politici).

Ora la modellazione matematica sta entrando nella terza fase di fondamentale importanza del suo sviluppo, "integrandosi" nelle strutture della cosiddetta società dell'informazione. L'impressionante progresso nei mezzi di elaborazione, trasmissione e archiviazione delle informazioni corrisponde alle tendenze globali verso la complicazione e la penetrazione reciproca varie aree attività umana. Senza il possesso di "risorse" informative è impossibile anche solo pensare di risolvere i problemi sempre più grandi e diversificati che la comunità mondiale deve affrontare. Tuttavia, le informazioni in quanto tali spesso fanno poco per l'analisi e la previsione, per prendere decisioni e monitorarne l'attuazione. Abbiamo bisogno di metodi affidabili per trasformare le informazioni "materie prime" in un "prodotto" finito, cioè in una conoscenza accurata. La storia della metodologia della modellazione matematica convince: può e deve essere il nucleo intellettuale Tecnologie informatiche, l'intero processo di informatizzazione della società.

Sistemi tecnici, ecologici, economici e altri studiati scienza moderna, non sono più suscettibili di indagine (nella necessaria completezza e accuratezza) con i metodi teorici convenzionali. Un esperimento diretto su larga scala su di essi è lungo, costoso, spesso pericoloso o semplicemente impossibile, poiché molti di questi sistemi esistono in una "copia singola". Il prezzo degli errori e degli errori di calcolo nel gestirli è inaccettabilmente alto. Pertanto, la modellazione matematica (più in generale - informativa) è una componente inevitabile del progresso scientifico e tecnologico.

Considerando la questione in modo più ampio, ricordiamo che la modellazione è presente in quasi tutti i tipi di attività creative di persone di varie "specialità" - ricercatori e imprenditori, politici e leader militari. L'introduzione della conoscenza esatta in queste sfere aiuta a limitare la "modellazione" speculativa intuitiva, amplia il campo di applicazione dei metodi razionali. Naturalmente, la modellazione matematica è fruttuosa solo quando vengono soddisfatti i requisiti professionali noti: una chiara formulazione di concetti e ipotesi di base, analisi a posteriori dell'adeguatezza dei modelli utilizzati, accuratezza garantita degli algoritmi di calcolo, ecc. Se parliamo di modellizzazione sistemi con la partecipazione del "fattore umano", cioè oggetti difficilmente formalizzabili, quindi a queste esigenze è necessario aggiungere un'accurata distinzione tra termini matematici e di uso quotidiano (suonano uguali, ma di significato diverso), attenta applicazione di un apparato matematico già pronto allo studio di fenomeni e processi (è preferibile il percorso “dal problema al metodo” e non viceversa) e molti altri.

Risolvendo i problemi della società dell'informazione, sarebbe ingenuo affidarsi solo alla potenza dei computer e di altri strumenti informatici. Il miglioramento continuo della triade della modellazione matematica e la sua implementazione nei moderni sistemi di modellazione delle informazioni è un imperativo metodologico. Solo la sua implementazione rende possibile ottenere i prodotti materiali e intellettuali ad alta tecnologia, competitivi e diversi di cui abbiamo così disperatamente bisogno.

L'argomento che ho scelto è rilevante nella matematica moderna e nelle sue applicazioni. Nel moderno approccio scientifico allo studio degli oggetti naturali, tecnici e socio-economici, l'importanza della modellizzazione matematica dei processi che in essi si verificano è in aumento. Lo studio naturale del comportamento di oggetti e sistemi in tali modalità e condizioni è impossibile o difficile, il che costringe all'uso di metodi di modellazione matematica.

Lo scopo di questo corso è imparare ad utilizzare i metodi della modellazione matematica per studiare vari processi sociali naturali.

Compiti impostati per raggiungere l'obiettivo:

n Studiare questioni teoriche di modellistica matematica, classificazione dei modelli.

CONCETTI BASE DELLA MODELLAZIONE MATEMATICA

Modellazione- un metodo di ricerca scientifica di fenomeni, processi, oggetti, dispositivi o sistemi (generalmente - oggetti di ricerca), basato sulla costruzione e studio di modelli al fine di acquisire nuove conoscenze, migliorare le caratteristiche degli oggetti di ricerca o gestirli.

Modello- un oggetto o un'immagine materiale (mentale o condizionale: ipotesi, idea, astrazione, immagine, descrizione, diagramma, formula, disegno, piano, mappa, diagramma di flusso dell'algoritmo, note, ecc.), che semplicemente mostrano le proprietà più essenziali dell'oggetto ricerca.

Qualsiasi modello è sempre più semplice di un oggetto reale e mostra solo una parte delle sue caratteristiche più essenziali, degli elementi principali e delle connessioni. Per questo motivo, per un oggetto di studio, ci sono molti modelli diversi. Il tipo di modello dipende dallo scopo scelto per la modellazione.

Il termine "modello" si basa sulla parola latina modulus - misura, campione. Il modello è un sostituto del vero oggetto di studio. Il modello è sempre più semplice dell'oggetto in studio. Quando si studiano fenomeni complessi, processi, oggetti, non è possibile prendere in considerazione la totalità di tutti gli elementi e le relazioni che ne determinano le proprietà.

Ma tutti gli elementi e le connessioni nel modello creato non dovrebbero essere presi in considerazione. È solo necessario individuare le componenti più caratteristiche e dominanti, che determinano in modo schiacciante le proprietà principali dell'oggetto di studio. Di conseguenza, l'oggetto di studio è sostituito da una somiglianza semplificata, ma con proprietà caratteristiche principali simili a quelle dell'oggetto di studio. Un nuovo oggetto (o astrazione) che è apparso come risultato della sostituzione è solitamente chiamato modello dell'oggetto di studio.

Per compilare modelli matematici, puoi utilizzare qualsiasi mezzo matematico: calcolo differenziale e integrale, analisi di regressione, teoria della probabilità, statistica matematica, ecc. Un modello matematico è un insieme di formule, equazioni, disuguaglianze, condizioni logiche, ecc. Le relazioni matematiche utilizzate nella modellazione matematica determinano il processo di modifica dello stato dell'oggetto di studio in base ai suoi parametri, segnali di ingresso, condizioni iniziali E tempo. In sostanza, tutta la matematica è progettata per formare modelli matematici.

o Grande importanza la matematica per tutte le altre scienze (compresa la modellistica) dice il seguente fatto. Il grande fisico inglese I. Newton (1643-1727) a metà del XVII secolo conobbe le opere di René Descartes e Pierre Gassendi. Questi lavori affermavano che l'intera struttura del mondo può essere descritta da formule matematiche. Sotto l'influenza di questi lavori, I. Newton iniziò a studiare intensamente la matematica. Il suo contributo alla fisica e alla matematica è ampiamente noto.

La modellazione matematica è un metodo per studiare un oggetto di studio basato sulla creazione del suo modello matematico e sul suo utilizzo per ottenere nuove conoscenze, migliorare l'oggetto di studio o controllare l'oggetto.

Per la modellazione matematica, è caratteristico che i processi di funzionamento dell'oggetto siano scritti sotto forma di relazioni matematiche (algebriche, integrali), scritte sotto forma di condizioni logiche.

Le equazioni differenziali sono uno dei principali mezzi per compilare i modelli matematici più ampiamente utilizzati nella risoluzione di problemi matematici. Quando si studiano i processi fisici, risolvendo vari problemi applicati, di norma, non è possibile trovare direttamente le leggi che collegano le quantità che caratterizzano i fenomeni studiati. Di solito è più facile stabilire relazioni tra le stesse quantità e le loro derivate o differenziali. Relazioni di questo tipo sono dette equazioni differenziali. Le possibilità e le regole per la compilazione di equazioni differenziali sono determinate dalla conoscenza delle leggi del campo della scienza a cui è associata la natura del problema in esame. Quindi, per esempio, le leggi di Newton possono essere usate in meccanica, nella teoria delle velocità reazioni chimiche- la legge dell'azione di massa, ecc. Tuttavia, in pratica ci sono spesso casi in cui non si conoscono le leggi che potrebbero consentire di elaborare un'equazione differenziale. Quindi ricorrere a varie ipotesi semplificative riguardanti il ​​corso del processo con piccole modifiche nei parametri-variabili. In questo caso, il passaggio al limite porta a equazioni differenziali. La questione della corrispondenza del modello matematico e del fenomeno reale viene risolta sulla base dell'analisi dei risultati, degli esperimenti e del loro confronto con il comportamento della soluzione dell'equazione differenziale ottenuta

Modelli matematici

Modello matematico - opi approssimatividescrizione dell'oggetto di modellazione, espressa mediantesimbolismo matematico schyu.

I modelli matematici sono comparsi insieme alla matematica molti secoli fa. Un enorme impulso allo sviluppo della modellazione matematica è stato dato dalla comparsa dei computer. L'uso dei computer ha permesso di analizzare e mettere in pratica molti modelli matematici che in precedenza non erano stati oggetto di ricerca analitica. Matematica implementata al computermodello del cielo chiamato modello matematico informatico, un eseguire calcoli mirati utilizzando un modello informatico chiamato esperimento computazionale.

Fasi del computer matematico mocancellazione mostrato in figura. Il primopalcoscenico - definizione degli obiettivi di modellazione. Questi obiettivi possono essere diversi:

1. è necessario un modello per capire come funziona un particolare oggetto, qual è la sua struttura, le proprietà di base, le leggi di sviluppo e di interazione
   con il mondo esterno (comprensione);
2. è necessario un modello per imparare a controllare un oggetto (o processo) e determinarlo modi migliori gestione con determinati obiettivi e criteri (gestione);
3. il modello è necessario per prevedere le conseguenze dirette e indirette dell'implementazione delle modalità e delle forme di impatto specificate sull'oggetto (forecasting).

Spieghiamo con esempi. Sia oggetto di studio l'interazione di un flusso liquido o gassoso con un corpo che costituisce un ostacolo a questo flusso. L'esperienza mostra che la forza di resistenza al flusso dal lato del corpo aumenta con l'aumentare della velocità del flusso, ma ad una velocità sufficientemente alta, questa forza diminuisce bruscamente per aumentare di nuovo con un ulteriore aumento della velocità. Cosa ha causato la diminuzione della forza di resistenza? La modellazione matematica ci consente di ottenere una risposta chiara: al momento di una brusca diminuzione della resistenza, i vortici formati nel flusso di liquido o gas dietro il corpo aerodinamico iniziano a staccarsi da esso e vengono portati via dal flusso.

Un esempio da un'area completamente diversa: convivendo pacificamente con un numero stabile di popolazioni di due specie di individui con una base alimentare comune, iniziano "improvvisamente" a cambiare drasticamente il loro numero. E qui la modellizzazione matematica permette (con un certo grado di certezza) di stabilirne la causa (o almeno di confutare una certa ipotesi).

Lo sviluppo del concetto di gestione degli oggetti è un altro possibile obiettivo della modellazione. Quale modalità di volo dell'aeromobile dovrebbe essere scelta affinché il volo sia sicuro ed economicamente più vantaggioso? Come programmare centinaia di tipi di lavori per la costruzione di una grande struttura in modo che si concluda il prima possibile? Molti di questi problemi sorgono sistematicamente davanti a economisti, designer e scienziati.

Infine, prevedere le conseguenze di determinati impatti su un oggetto può essere sia una questione relativamente semplice nei sistemi fisici semplici, sia estremamente complessa - sull'orlo della fattibilità - nei sistemi biologici, economici, sociali. Se è relativamente facile rispondere alla domanda sul cambiamento della modalità di propagazione del calore in un'asta sottile con cambiamenti nella sua lega costituente, allora è incomparabilmente più difficile tracciare (prevedere) le conseguenze ambientali e climatiche della costruzione di un grande centrale idroelettrica o le conseguenze sociali delle modifiche alla normativa fiscale. Forse, anche in questo caso, i metodi di modellazione matematica forniranno un'assistenza più significativa in futuro.

Seconda fase: definizione dei parametri di input e output del modello; suddivisione dei parametri di input in base al grado di importanza dell'impatto delle loro modifiche sull'output. Questo processo è chiamato classifica, o divisione per grado (vedi sotto). "Formalizzazione e modellismo").

Terza fase: costruzione di un modello matematico. In questa fase si passa dalla formulazione astratta del modello a una formulazione che ha una rappresentazione matematica specifica. Un modello matematico è costituito da equazioni, sistemi di equazioni, sistemi di disequazioni, equazioni differenziali o sistemi di tali equazioni, ecc.

Quarto stadio: scelta del metodo per lo studio del modello matematico. Molto spesso qui vengono utilizzati metodi numerici, che si prestano bene alla programmazione. Di norma, diversi metodi sono adatti per risolvere lo stesso problema, che differiscono per precisione, stabilità, ecc. Il successo dell'intero processo di modellazione dipende spesso dalla corretta scelta del metodo.

Quinta tappa: lo sviluppo di un algoritmo, la compilazione e il debug di un programma per computer è un processo difficile da formalizzare. Tra i linguaggi di programmazione, molti professionisti della modellazione matematica preferiscono FORTRAN: sia per tradizione, sia per l'insuperabile efficienza dei compilatori (per il lavoro di calcolo) e per la presenza di enormi librerie, accuratamente debuggate e ottimizzate di programmi standard di metodi matematici scritti in esso. Sono in uso anche linguaggi come PASCAL, BASIC, C, a seconda della natura del compito e delle inclinazioni del programmatore.

Sesta fase: test del programma. Viene verificato il funzionamento del programma compito di prova con una risposta nota. Questo è solo l'inizio di una procedura di test difficile da descrivere in modo formalmente esaustivo. Solitamente, il test termina quando l'utente, in base alle sue caratteristiche professionali, ritiene che il programma sia corretto.

Settima tappa: vero e proprio esperimento computazionale, durante il quale diventa chiaro se il modello corrisponde a un oggetto reale (processo). Il modello è sufficientemente adeguato al processo reale se alcune caratteristiche del processo ottenuto al computer coincidono con le caratteristiche sperimentalmente ottenute con un determinato grado di accuratezza. Se il modello non corrisponde al processo reale, si torna a una delle fasi precedenti.

Classificazione dei modelli matematici

La classificazione dei modelli matematici può essere basata su vari principi. È possibile classificare i modelli per branche della scienza (modelli matematici in fisica, biologia, sociologia, ecc.). Può essere classificato in base all'apparato matematico applicato (modelli basati sull'uso di equazioni differenziali ordinarie, equazioni differenziali alle derivate parziali, metodi stocastici, trasformazioni algebriche discrete, ecc.). Infine, in base a compiti comuni modellando in diverse scienze, indipendentemente dall'apparato matematico, la seguente classificazione è più naturale:

• modelli descrittivi (descrittivi);
• modelli di ottimizzazione;
• modelli multicriteri;
• modelli di gioco.

Spieghiamolo con esempi.

Modelli descrittivi (descrittivi).. Ad esempio, modellando il movimento di una cometa che ha invaso sistema solare, è realizzato per prevedere la traiettoria del suo volo, la distanza alla quale passerà dalla Terra, ecc. In questo caso, gli obiettivi della modellazione sono descrittivi, poiché non c'è modo di influenzare il movimento della cometa, di cambiare qualcosa in essa.

Modelli di ottimizzazione sono usati per descrivere i processi che possono essere influenzati nel tentativo di raggiungere un determinato obiettivo. In questo caso, il modello include uno o più parametri che possono essere influenzati. Ad esempio, modificando il regime termico in un granaio, si può fissare l'obiettivo di scegliere tale regime al fine di ottenere la massima conservazione del grano, ad es. ottimizzare il processo di archiviazione.

Modelli multicriteri. Spesso è necessario ottimizzare il processo in più parametri contemporaneamente e gli obiettivi possono essere molto contraddittori. Ad esempio, conoscendo i prezzi del cibo e il fabbisogno alimentare di una persona, è necessario organizzare i pasti per grandi gruppi di persone (nell'esercito, campo estivo per bambini, ecc.) fisiologicamente correttamente e, allo stesso tempo, nel modo più economico possibile. È chiaro che questi obiettivi non coincidono affatto; durante la modellazione verranno utilizzati diversi criteri, tra i quali si deve cercare un equilibrio.

Modelli di gioco può essere correlato non solo a giochi per computer ma anche a cose molto serie. Ad esempio, prima di una battaglia, se ci sono informazioni incomplete sull'esercito avversario, un comandante deve sviluppare un piano: in quale ordine portare in battaglia determinate unità, ecc., Tenendo conto della possibile reazione del nemico. C'è una sezione speciale della matematica moderna - la teoria dei giochi - che studia i metodi del processo decisionale in condizioni di informazione incompleta.

Nel corso scolastico di informatica, gli studenti ricevono un'idea iniziale di modellazione matematica informatica nell'ambito di corso base. Al liceo, la modellazione matematica può essere approfondita in un corso di istruzione generale per classi di fisica e matematica, nonché all'interno di un corso specialistico opzionale.

Le principali forme di insegnamento della modellazione matematica informatica nelle scuole superiori sono lezioni frontali, laboratori e lezioni di credito. Di solito, il lavoro di creazione e preparazione per lo studio di ogni nuovo modello richiede 3-4 lezioni. Nel corso della presentazione del materiale, vengono stabiliti compiti che in futuro dovrebbero essere risolti dagli studenti da soli, in termini generali, vengono delineati i modi per risolverli. Vengono formulate domande, le cui risposte dovrebbero essere ottenute durante l'esecuzione di compiti. È indicata la letteratura aggiuntiva, che consente di ottenere informazioni ausiliarie per completare con successo le attività.

La forma di organizzazione delle classi nello studio di nuovo materiale è solitamente una lezione. Dopo il completamento della discussione del prossimo modello studenti avere a disposizione le informazioni teoriche necessarie e una serie di compiti per ulteriori lavori. In preparazione per l'attività, gli studenti scelgono il metodo di soluzione appropriato, utilizzando una soluzione privata nota, testano il programma sviluppato. In caso di possibili difficoltà nello svolgimento dei compiti, viene fornita la consultazione, viene avanzata una proposta per elaborare queste sezioni in modo più dettagliato nella letteratura.

Il più rilevante per la parte pratica dell'insegnamento della modellazione informatica è il metodo dei progetti. Il compito è formulato per lo studente sotto forma di progetto educativo e si completa in più lezioni, di cui la principale forma organizzativa mentre si fa un lavoro di laboratorio informatico. Imparare a modellare utilizzando il metodo del progetto di apprendimento può essere implementato a diversi livelli. Il primo è una definizione del problema del processo di attuazione del progetto, che è guidato dall'insegnante. Il secondo è la realizzazione del progetto da parte degli studenti sotto la guida di un insegnante. Il terzo è l'attuazione indipendente da parte degli studenti di un progetto di ricerca educativa.

I risultati del lavoro dovrebbero essere presentati in forma numerica, sotto forma di grafici, diagrammi. Se possibile, il processo viene presentato sullo schermo del computer in modo dinamico. Al completamento dei calcoli e alla ricezione dei risultati, questi vengono analizzati, confrontati con fatti noti dalla teoria, viene confermata l'affidabilità e viene eseguita un'interpretazione significativa, che si riflette successivamente in una relazione scritta.

Se i risultati soddisfano lo studente e l'insegnante, allora il lavoro conta completato, e la sua fase finale è la preparazione di una relazione. La relazione include brevi informazioni teoriche sull'argomento in studio, la formulazione matematica del problema, l'algoritmo di soluzione e la sua giustificazione, un programma per computer, i risultati del programma, l'analisi dei risultati e delle conclusioni, un elenco di riferimenti.

Quando tutte le relazioni sono state redatte, nella sessione di prova, gli studenti fanno brevi relazioni sul lavoro svolto, difendono il loro progetto. Questa è una forma efficace di relazione del team di progetto alla classe, inclusa la definizione del problema, la costruzione di un modello formale, la scelta dei metodi per lavorare con il modello, l'implementazione del modello su un computer, il lavoro con il modello finito, l'interpretazione dei risultati, previsione. Di conseguenza, gli studenti possono ricevere due voti: il primo - per l'elaborazione del progetto e il successo della sua difesa, il secondo - per il programma, l'ottimalità del suo algoritmo, interfaccia, ecc. Gli studenti ricevono anche voti nel corso di sondaggi sulla teoria.

Una domanda essenziale è che tipo di strumenti utilizzare nel corso di informatica scolastica per la modellazione matematica? L'implementazione informatica dei modelli può essere effettuata:

• utilizzando un foglio di calcolo (solitamente MS Excel);
• creando programmi nei linguaggi di programmazione tradizionali (Pascal, BASIC, ecc.), così come nelle loro versioni moderne (Delphi, Visual
  Base per l'applicazione, ecc.);
• utilizzando pacchetti software speciali per la risoluzione di problemi matematici (MathCAD, ecc.).

A livello di scuola elementare, il primo rimedio sembra essere quello preferito. Tuttavia, al liceo, quando la programmazione è, insieme alla modellazione, un argomento chiave dell'informatica, è auspicabile coinvolgerla come strumento di modellazione. Nel processo di programmazione, i dettagli delle procedure matematiche diventano disponibili per gli studenti; inoltre, sono semplicemente costretti a padroneggiarli, e questo contribuisce anche all'educazione matematica. Per quanto riguarda l'uso di pacchetti software speciali, questo è appropriato in un corso di informatica di profilo come supplemento ad altri strumenti.

Esercizio :

• Delineare i concetti chiave.

CONFERENZA 4

Definizione e scopo della modellazione matematica

Sotto modello(dal latino modulus - misura, campione, norma) comprenderemo un oggetto così rappresentato materialmente o mentalmente che, nel processo di cognizione (studio), si sostituisce all'oggetto originario, conservando alcune delle sue caratteristiche tipiche che sono importanti per questo studio . Il processo di costruzione e utilizzo di un modello è chiamato modellazione.

essenza modellazione matematica (MM) consiste nel sostituire l'oggetto studiato (processo) con un modello matematico adeguato e quindi studiare le proprietà di tale modello utilizzando metodi analitici o esperimenti computazionali.

A volte è più utile, invece di dare definizioni rigorose, descrivere un concetto particolare con un esempio specifico. Pertanto, illustriamo le definizioni di MM di cui sopra utilizzando l'esempio del problema del calcolo dell'impulso specifico. All'inizio degli anni '60, gli scienziati dovettero affrontare il compito di sviluppare carburante per missili con il massimo impulso specifico. Il principio del movimento del razzo è il seguente: carburante liquido e ossidante dai serbatoi del razzo vengono immessi nel motore, dove vengono bruciati e i prodotti della combustione vengono rilasciati nell'atmosfera. Dalla legge di conservazione della quantità di moto segue che in questo caso il razzo si muoverà con velocità.

L'impulso specifico di un carburante è l'impulso risultante diviso per la massa del carburante. Gli esperimenti sono stati molto costosi e hanno portato a danni sistematici alle apparecchiature. Si è scoperto che è più facile ed economico calcolare le funzioni termodinamiche dei gas ideali, calcolare con il loro aiuto la composizione dei gas emessi e la temperatura del plasma, quindi l'impulso specifico. Cioè, per eseguire il MM del processo di combustione del carburante.

Il concetto di modellazione matematica (MM) oggi è uno dei più diffusi nella letteratura scientifica. La stragrande maggioranza delle tesi e delle dissertazioni moderne è associata allo sviluppo e all'uso di modelli matematici appropriati. Il Computer MM oggi è parte integrante di molte aree dell'attività umana (scienza, tecnologia, economia, sociologia, ecc.). Questo è uno dei motivi dell'odierna carenza di specialisti nel campo della tecnologia dell'informazione.

La rapida crescita della modellazione matematica è dovuta al rapido miglioramento della tecnologia informatica. Se 20 anni fa solo un piccolo numero di programmatori era impegnato in calcoli numerici, ora la quantità di memoria e la velocità dei moderni computer, che consentono di risolvere problemi di modellazione matematica, sono a disposizione di tutti gli specialisti, compresi gli studenti universitari.

In ogni disciplina viene prima data una descrizione qualitativa dei fenomeni. E poi - quantitativa, formulata sotto forma di leggi che stabiliscono relazioni tra varie quantità (intensità di campo, intensità di scattering, carica di elettroni, ...) sotto forma di equazioni matematiche. Pertanto, possiamo dire che in ogni disciplina c'è tanta scienza quanti sono i matematici in essa, e questo fatto ci permette di risolvere con successo molti problemi usando metodi di modellazione matematica.

Questo corso è progettato per studenti laureati in matematica applicata che stanno completando la loro tesi sotto la supervisione di eminenti scienziati che lavorano in vari campi. Pertanto, questo corso è necessario non solo come materiale didattico ma anche come preparazione tesi. Per studiare questo corso avremo bisogno delle seguenti sezioni di matematica:

1. Equazioni della fisica matematica (meccanica kantiana, gas e idrodinamica)

2. Algebra lineare (la teoria dell'elasticità)

3. Campi scalari e vettoriali (teoria dei campi)

4. Teoria delle probabilità (meccanica quantistica, fisica statistica, cinetica fisica)

5. Caratteristiche speciali.

6. Analisi tensoriale (teoria dell'elasticità)

7. Analisi matematica

MM in scienze naturali, ingegneria ed economia

Consideriamo innanzitutto i vari rami delle scienze naturali, della tecnologia, dell'economia, in cui vengono utilizzati i modelli matematici.

Scienze naturali

La fisica, che stabilisce le leggi fondamentali delle scienze naturali, è stata a lungo divisa in teorica e sperimentale. La fisica teorica si occupa della derivazione di equazioni che descrivono i fenomeni fisici. Pertanto, anche la fisica teorica può essere considerata una delle aree della modellazione matematica. (Ricordiamo che il titolo del primo libro di fisica - "The Mathematical Principles of Natural Philosophy" di I. Newton può essere tradotto in linguaggio moderno come "Modelli matematici delle scienze naturali.") Sulla base delle leggi ottenute, vengono eseguiti calcoli ingegneristici, che vengono eseguiti in vari istituti, aziende, uffici di progettazione. Queste organizzazioni sviluppano tecnologie per la fabbricazione di prodotti moderni ad alta intensità scientifica, pertanto il concetto di tecnologie ad alta intensità scientifica include calcoli che utilizzano modelli matematici appropriati.

Una delle branche più estese della fisica - meccanica classica(a volte questa sezione è chiamata meccanica teorica o analitica). Questa sezione di fisica teorica studia il movimento e l'interazione dei corpi. I calcoli che utilizzano le formule della meccanica teorica sono necessari quando si studia la rotazione dei corpi (calcolo dei momenti di inerzia, girostati - dispositivi che mantengono fermi gli assi di rotazione), analizzando il movimento di un corpo nel vuoto, ecc. Una delle sezioni della meccanica teorica è chiamata teoria della stabilità e sta alla base di molti modelli matematici che descrivono il movimento di aerei, navi, razzi. Sezioni di meccanica pratica - i corsi "Teoria delle macchine e dei meccanismi", "Parti di macchine", sono studiati da studenti di quasi tutte le università tecniche (compreso MGIU).

Teoria dell'elasticità- parte di una sezione meccanica del continuo, che presuppone che il materiale del corpo elastico sia omogeneo e distribuito continuamente su tutto il volume del corpo, in modo che l'elemento più piccolo ritagliato dal corpo abbia lo stesso Proprietà fisiche, che è tutto il corpo. L'applicazione della teoria dell'elasticità - il corso "forza dei materiali", è studiata dagli studenti di tutte le università tecniche (compreso MGIU). Questa sezione è necessaria per tutti i calcoli della forza. Ecco il calcolo della resistenza degli scafi di navi, aerei, missili, il calcolo della resistenza delle strutture in acciaio e cemento armato degli edifici e molto altro.

Gas e idrodinamica, così come la teoria dell'elasticità - parte della sezione meccanica del continuo, considera le leggi del moto del liquido e del gas. Le equazioni del gas e dell'idrodinamica sono necessarie quando si analizza il movimento dei corpi in un mezzo liquido e gassoso (satelliti, sottomarini, razzi, proiettili, automobili), quando si calcola il deflusso di gas dagli ugelli dei motori di razzi e aerei. Applicazione pratica della fluidodinamica - Idraulica (freno, timone,...)

Le precedenti sezioni della meccanica consideravano il movimento dei corpi nel macrocosmo e le leggi fisiche del macrocosmo non sono applicabili nel microcosmo, in cui si muovono particelle di materia: protoni, neutroni, elettroni. Qui operano principi completamente diversi e per descrivere il micromondo è necessario meccanica quantistica. L'equazione di base che descrive il comportamento delle microparticelle è l'equazione di Schrödinger: . Ecco l'operatore hamiltoniano (hamiltoniano). Per un'equazione di movimento delle particelle unidimensionali https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-potential energy. La soluzione di questa equazione è un insieme di autovalori energetici e autofunzioni..gif" width="55" height="24 src=">– densità di probabilità. I calcoli quantomeccanici sono necessari per lo sviluppo di nuovi materiali (microcircuiti), la creazione di laser, lo sviluppo di metodi di analisi spettrale, ecc.

Un gran numero di compiti sono risolti cinetica descrivere il moto e l'interazione delle particelle. Qui e la diffusione, il trasferimento di calore, la teoria del plasma - il quarto stato della materia.

fisica statistica considera insiemi di particelle, ti consente di parlare dei parametri dell'insieme, in base alle proprietà delle singole particelle. Se l'insieme è costituito da molecole di gas, le proprietà dell'insieme derivate dai metodi della fisica statistica sono le equazioni dello stato gassoso ben note al liceo: https://pandia.ru/text/78/009/images/ image009_85.gif" width="16" height="17 src=">.gif" width="16" height="17">-peso molecolare del gas. K è la costante di Rydberg. metodi statistici vengono calcolate anche le proprietà di soluzioni, cristalli ed elettroni nei metalli. MM fisica statistica - background teorico termodinamica, che sta alla base del calcolo di motori, reti di riscaldamento e stazioni.

Teoria dei campi descrive con metodi MM una delle principali forme di materia: il campo. In questo caso, i campi elettromagnetici sono di primario interesse. Le equazioni del campo elettromagnetico (elettrodinamica) sono state derivate da Maxwell: , , , . Qui e https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - densità di carica, - densità di corrente. Le equazioni dell'elettrodinamica sono alla base dei calcoli del propagazione delle onde elettromagnetiche necessarie per descrivere la propagazione delle onde radio (radio, televisione, comunicazioni cellulari), spiegare il funzionamento delle stazioni radar.

La chimica può essere rappresentata in due aspetti, evidenziando la chimica descrittiva - la scoperta dei fattori chimici e la loro descrizione - e la chimica teorica - lo sviluppo di teorie che consentono di generalizzare i fattori stabiliti e di presentarli sotto forma di un sistema specifico (L. Pauling) . La chimica teorica è anche chiamata chimica fisica ed è, in sostanza, una branca della fisica che studia le sostanze e le loro interazioni. Pertanto, tutto ciò che è stato detto sulla fisica si applica pienamente alla chimica. Le sezioni di chimica fisica saranno la termochimica, che studia gli effetti termici delle reazioni, la cinetica chimica (velocità di reazione), la chimica quantistica (la struttura delle molecole). Allo stesso tempo, i problemi della chimica sono estremamente complessi. Quindi, ad esempio, per risolvere i problemi della chimica quantistica, la scienza della struttura di atomi e molecole, vengono utilizzati programmi paragonabili in volume ai programmi di difesa aerea del paese. Ad esempio, per descrivere una molecola UCl4, composta da 5 nuclei atomici e +17 * 4) elettroni, è necessario annotare l'equazione del moto - equazioni in derivate parziali.

Biologia

La matematica è entrata davvero in biologia solo nella seconda metà del 20° secolo. I primi tentativi di descrivere matematicamente i processi biologici sono legati a modelli di dinamica di popolazione. Una popolazione è una comunità di individui della stessa specie che occupano una determinata area dello spazio sulla Terra. Quest'area della biologia matematica, che studia il cambiamento della dimensione della popolazione in varie condizioni (presenza di specie concorrenti, predatori, malattie, ecc.), serviva inoltre da banco di prova matematico su cui erano "modelli matematici in vari campi della biologia" eseguita". Compresi modelli di evoluzione, microbiologia, immunologia e altre aree relative alle popolazioni cellulari.
Il primissimo modello conosciuto formulato in ambito biologico è la famosa serie di Fibonacci (ogni numero successivo è la somma dei due precedenti), citata nella sua opera di Leonardo da Pisa nel XIII secolo. Questa è una serie di numeri che descrivono il numero di coppie di conigli che nascono ogni mese, se i conigli iniziano a riprodursi dal secondo mese e producono una coppia di conigli ogni mese. La riga rappresenta una sequenza di numeri: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

1,

2 ,

3,

5,

8, 13, …

Un altro esempio è lo studio dei processi di trasporto transmembrana ionico su una membrana artificiale a doppio strato. Qui, al fine di studiare le leggi di formazione di un poro attraverso il quale uno ione passa attraverso la membrana nella cellula, è necessario creare un sistema modello che possa essere studiato sperimentalmente e per il quale sia possibile una descrizione fisica ben sviluppata Usato.

Un classico esempio di MM è anche la popolazione di Drosophila. Un modello ancora più conveniente sono i virus, che possono essere propagati in una provetta. I metodi di modellazione in biologia sono i metodi della teoria dei sistemi dinamici, ei mezzi sono le equazioni differenziali e differenziali, i metodi della teoria qualitativa delle equazioni differenziali, la modellazione di simulazione.
Obiettivi della modellazione in biologia:
3. Delucidazione dei meccanismi di interazione tra gli elementi del sistema
4. Identificazione e verifica dei parametri del modello utilizzando dati sperimentali.
5. Valutazione della stabilità del sistema (modello).

6. Previsione del comportamento del sistema sotto varie influenze esterne, vari modi gestione e così via.
7. Controllo ottimale del sistema secondo il criterio di ottimalità prescelto.

Tecnica

Un gran numero di specialisti è impegnato nel miglioramento della tecnologia, che nel loro lavoro fanno affidamento sui risultati ricerca scientifica. Pertanto, il MM in tecnologia è lo stesso del MM in scienze naturali, di cui si è discusso sopra.

Economia e processi sociali

È generalmente accettato che la modellazione matematica come metodo di analisi dei processi macroeconomici sia stata utilizzata per la prima volta dal medico del re Luigi XV, il dott. Francesco Quesnay, che nel 1758 pubblicò l'opera "Tavola economica". In questo lavoro è stato fatto il primo tentativo di descrivere quantitativamente l'economia nazionale. E nel 1838 nel libro O. Cournot I metodi quantitativi "Indagine sui principi matematici della teoria della ricchezza" sono stati utilizzati per la prima volta per analizzare la concorrenza nel mercato dei beni in varie situazioni di mercato.

È anche ampiamente nota la teoria della popolazione di Malthus, in cui proponeva l'idea che la crescita della popolazione è tutt'altro che sempre desiderabile, e questa crescita è più veloce delle crescenti possibilità di fornire cibo alla popolazione. Il modello matematico di tale processo è abbastanza semplice: Let - crescita della popolazione nel tempo https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> la popolazione era pari a .e sono i coefficienti che tengono conto dei tassi di natalità e mortalità (persone/anno).

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Metodi strumentali e matematici" href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="bookmark">metodi matematici di analisi (ad esempio, negli ultimi decenni sono apparse nelle discipline umanistiche teorie matematiche dello sviluppo culturale, modelli matematici di mobilitazione, sviluppo ciclico dei processi socioculturali, un modello di interazione tra il popolo e il governo, un modello di corsa agli armamenti, ecc.) sono stati costruiti e studiati.

In termini più generali, il processo di MM dei processi socio-economici può essere suddiviso condizionatamente in quattro fasi:

formulare un sistema di ipotesi e sviluppare un modello concettuale; sviluppo di un modello matematico; analisi dei risultati dei calcoli del modello, che include il loro confronto con la pratica; formulazione di nuove ipotesi e affinamento del modello in caso di discrepanza tra i risultati dei calcoli ei dati pratici.

Si noti che, di regola, il processo di modellazione matematica è ciclico, poiché anche quando si studiano processi relativamente semplici, raramente è possibile costruire un modello matematico adeguato sin dal primo passaggio e selezionarne i parametri esatti.

Attualmente, l'economia è considerata come un complesso sistema in via di sviluppo, per la descrizione quantitativa del quale vengono utilizzati modelli matematici dinamici di vari gradi di complessità. Una delle aree di ricerca della dinamica macroeconomica è associata alla costruzione e all'analisi di modelli di simulazione non lineare relativamente semplici che riflettono l'interazione di vari sottosistemi: il mercato del lavoro, il mercato dei beni, il sistema finanziario, l'ambiente naturale, ecc.

La teoria delle catastrofi si sta sviluppando con successo. Questa teoria considera la questione delle condizioni in cui un cambiamento nei parametri di un sistema non lineare fa sì che un punto nello spazio delle fasi, che caratterizza lo stato del sistema, si sposti dalla regione di attrazione alla posizione di equilibrio iniziale alla regione di attrazione verso un'altra posizione di equilibrio. Quest'ultimo è molto importante non solo per l'analisi dei sistemi tecnici, ma anche per comprendere la sostenibilità dei processi socio-economici. Al riguardo, i rilievi sul significato dello studio dei modelli non lineari per la gestione. Nel libro "The Theory of Catastrophes", pubblicato nel 1990, scrive in particolare: "... l'attuale ristrutturazione è in gran parte dovuta al fatto che almeno alcuni meccanismi di feedback (paura della distruzione personale) hanno iniziato a funzionare ."

(parametri del modello)

Quando si costruiscono modelli di oggetti e fenomeni reali, spesso si incontra una mancanza di informazioni. Per l'oggetto in esame, la distribuzione delle proprietà, i parametri dell'impatto e lo stato iniziale sono noti con vari gradi di incertezza. Quando si costruisce un modello, sono possibili le seguenti opzioni per descrivere i parametri incerti:

Classificazione dei modelli matematici

(modalità di attuazione)

I metodi di attuazione del MM possono essere classificati secondo la tabella seguente.

Metodi di implementazione MM Molto spesso, la soluzione analitica per il modello è presentata sotto forma di funzioni. Per ottenere i valori di queste funzioni per valori specifici dei parametri di input, viene utilizzata la loro espansione in serie (ad esempio Taylor) e viene determinato approssimativamente il valore della funzione per ciascun valore dell'argomento. Vengono chiamati i modelli che utilizzano questa tecnica approssimativo. In approccio numerico l'insieme delle relazioni matematiche del modello è sostituito da un analogo a dimensione finita. Ciò si ottiene molto spesso discretizzando le relazioni iniziali, cioè passando da funzioni di un argomento continuo a funzioni di un argomento discreto (metodi griglia). La soluzione trovata dopo i calcoli su un computer viene considerata come una soluzione approssimativa del problema originale. La maggior parte dei sistemi esistenti sono molto complessi ed è impossibile creare un modello reale, descritto analiticamente. Tali sistemi dovrebbero essere studiati utilizzando modellazione di simulazione. Uno dei principali metodi di modellazione della simulazione è associato all'uso di un generatore di numeri casuali. Poiché un numero enorme di problemi viene risolto con i metodi MM, i metodi per l'implementazione di MM vengono studiati in più di uno corso di formazione. Ecco le equazioni alle derivate parziali, i metodi numerici per risolvere queste equazioni, la matematica computazionale, la simulazione al computer, ecc. PAULING, Linus Carl (Pauling, Linus Carl) (), chimico e fisico americano, premiato nel 1954 premio Nobel in chimica per studi sulla natura legame chimico e determinare la struttura delle proteine. Nato il 28 febbraio 1901 a Portland, nell'Oregon. Ha sviluppato un metodo quantomeccanico per studiare la struttura delle molecole (insieme al fisico americano J. Slayer) - il metodo dei legami di valenza, nonché la teoria della risonanza, che consente di spiegare la struttura dei composti contenenti carbonio , principalmente composti della serie aromatica. Durante il periodo del culto della personalità dell'URSS, gli scienziati coinvolti nella chimica quantistica furono perseguitati e accusati di "polingismo". MALTHUS, THOMAS ROBERT (Malthus, Thomas Robert) (), economista inglese. Nato a Rookery vicino a Dorking nel Surrey il 15 o 17 febbraio 1766. Nel 1798 pubblicò in forma anonima Un esperimento sul diritto della popolazione. Nel 1819 Malthus fu eletto Fellow della Royal Society.