Viene considerato un metodo per risolvere equazioni differenziali con variabili separabili. Viene fornito un esempio soluzione dettagliata equazione differenziale con variabili separabili.

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Definizione

Let s (X), q (X)- funzioni della variabile x ;
p (y), r (y)- funzioni della variabile y .

Un'equazione differenziale con variabili separabili è un'equazione della forma

Metodo per risolvere un'equazione differenziale con variabili separabili

Considera l'equazione:
(io) .
Esprimiamo la derivata y in termini di differenziali.
;
.
Moltiplica per dx .
(ii)
Dividi l'equazione per s (x)r(y). Questo può essere fatto se s (x) r(y) ≠ 0. Per s (x) r(y) ≠ 0 noi abbiamo
.
Integrando si ottiene l'integrale generale in quadrature
(iii) .

Poiché abbiamo diviso per s (x)r(y), quindi otteniamo l'integrale dell'equazione per s (x) ≠ 0 e r (y) ≠ 0. Successivamente, è necessario risolvere l'equazione
r (y) = 0.
Se questa equazione ha radici, allora sono anche soluzioni dell'equazione (i). Sia l'equazione r (y) = 0. ha n radici a i , r (a io ) = 0, io = 1, 2, ... , n. Allora le costanti y = a i sono soluzioni dell'equazione (i). Alcune di queste soluzioni possono essere già contenute nell'integrale generale (iii).

Si noti che se l'equazione originale è data nella forma (ii), anche l'equazione dovrebbe essere risolta
S (x) = 0.
Le sue radici b j , s (bj) = 0, j = 1, 2, ... , m. dare soluzioni x = b j .

Un esempio di risoluzione di un'equazione differenziale con variabili separabili

risolvere l'equazione

Esprimiamo la derivata in termini di differenziali:


Moltiplica per dx e dividi per . Per y ≠ 0 abbiamo:

Integriamo.

Calcoliamo gli integrali usando la formula.



Sostituendo, otteniamo l'integrale generale dell'equazione
.

Consideriamo ora il caso, y = 0 .
È ovvio che y = 0 è una soluzione dell'equazione originale. Non è incluso nell'integrale generale.
Quindi aggiungiamolo al risultato finale.

; y= 0 .

Riferimenti:
NM Gunther, RO Kuzmin, Raccolta di problemi in matematica superiore, Lan, 2003.

Viene considerato un metodo per risolvere le equazioni differenziali riducendole a equazioni con variabili separabili. Viene fornito un esempio di una soluzione dettagliata di un'equazione differenziale che si riduce a un'equazione con variabili separabili.

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Formulazione del problema

Considera l'equazione differenziale
(io) ,
dove f è una funzione, a, b, c sono costanti, b ≠ 0 .
Questa equazione è ridotta a un'equazione con variabili separabili.

Metodo risolutivo

Facciamo una sostituzione:
u = ax + di + c
Qui y è una funzione di x . Pertanto, u è anche una funzione di x .
Differenziare rispetto a x
u′ = (ax + per + c)′ = a + per′
Sostituto (io)
u′ = a + per′ = a + b f(ax + per + c) = a + b f (u)
O:
(ii)
Separare le variabili. Moltiplica per dx e dividi per a + b f (u). Se a + b f (u) ≠ 0, poi

Integrando si ottiene l'integrale generale dell'equazione originale (io) in quadrati:
(iii) .

Infine, considera il caso
(iv) a + b f (u) = 0.
Supponiamo che questa equazione abbia n radici u = r i , a + b f (r io ) = 0, io = 1, 2, ...n. Poiché la funzione u = r i è costante, la sua derivata rispetto a x è uguale a zero. Pertanto, u = r i è una soluzione dell'equazione (ii).
Tuttavia, l'equazione (ii) non corrisponde all'equazione originale (io) e, forse, non tutte le soluzioni u = r i , espresse in termini di variabili x e y , soddisfano l'equazione originale (io).

Pertanto, la soluzione dell'equazione originale è l'integrale generale (iii) e alcune radici dell'equazione (iv).

Un esempio di risoluzione di un'equazione differenziale che si riduce a un'equazione con variabili separabili

risolvere l'equazione
(1)

Facciamo una sostituzione:
u = x - y
Differenziare rispetto a x ed eseguire trasformazioni:
;

Moltiplica per dx e dividi per u 2 .

Se u ≠ 0, quindi otteniamo:

Integriamo:

Applichiamo la formula dalla tabella degli integrali:

Calcoliamo l'integrale

Quindi
;
, o

Decisione comune:
.

Consideriamo ora il caso u = 0 o u = x - y = 0 , o
y=x.
Poiché y′ = (x)′ = 1, allora y = x è una soluzione dell'equazione originale (1) .

;
.

Riferimenti:
NM Gunther, RO Kuzmin, Raccolta di problemi in matematica superiore, Lan, 2003.

Equazioni differenziali primo ordine. Esempi di soluzioni.
Equazioni differenziali con variabili separabili

Equazioni differenziali (DE). Queste due parole di solito terrorizzano il profano medio. Le equazioni differenziali sembrano essere qualcosa di oltraggioso e difficile da padroneggiare per molti studenti. Uuuuuu… equazioni differenziali, come potrei sopravvivere a tutto questo?!

Una tale opinione e un tale atteggiamento sono fondamentalmente sbagliati, perché in effetti LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI SONO SEMPLICI E ANCHE DIVERTENTI. Cosa devi sapere ed essere in grado di imparare a risolvere equazioni differenziali? Per studiare con successo le differenze, devi essere bravo a integrare e differenziare. Meglio si studiano gli argomenti Derivata di una funzione di una variabile e Integrale indefinito, più facile sarà capire le equazioni differenziali. Dirò di più, se hai capacità di integrazione più o meno decenti, allora l'argomento è praticamente padroneggiato! Più integrali vari tipi sai come decidere - meglio è. Come mai? Devi integrare molto. E differenziare. Anche altamente raccomandato impara a trovare.

Nel 95% dei casi in lavoro di controllo esistono 3 tipi di equazioni differenziali del primo ordine: equazioni separabili, che tratteremo in questa lezione; equazioni omogenee e equazioni lineari disomogenee. Per i principianti per studiare i diffusori, ti consiglio di leggere le lezioni in questa sequenza e, dopo aver studiato i primi due articoli, non farà male consolidare le tue abilità in un seminario aggiuntivo - equazioni che si riducono a omogenee.

Esistono tipi ancora più rari di equazioni differenziali: equazioni in differenziali totali, equazioni di Bernoulli e alcune altre. Il più importante degli ultimi due tipi sono le equazioni in differenziali totali, perché oltre a questo DE, sto valutando un nuovo materiale - integrazione parziale.

Se ti restano solo un giorno o due, poi per una preparazione ultra veloce c'è corso lampo in formato pdf.

Quindi, i punti di riferimento sono stabiliti - andiamo:

Ricordiamo innanzitutto le solite equazioni algebriche. Contengono variabili e numeri. L'esempio più semplice: . Cosa significa risolvere un'equazione ordinaria? Questo significa trovare insieme di numeri che soddisfano questa equazione. È facile vedere che l'equazione dei bambini ha un'unica radice: . Per divertimento, facciamo un controllo, sostituiamo la radice trovata nella nostra equazione:

- si ottiene l'uguaglianza corretta, il che significa che la soluzione è trovata correttamente.

I diffusi sono disposti più o meno allo stesso modo!

Equazione differenziale primo ordine in caso generale contiene:
1) variabile indipendente;
2) variabile dipendente (funzione);
3) la derivata prima della funzione: .

In alcune equazioni del 1° ordine, potrebbe non esserci "x" o (e) "y", ma questo non è essenziale - importante in modo che in DU era derivata prima, e non aveva derivati ​​di ordini superiori - , ecc.

Cosa significa ? Risolvere un'equazione differenziale significa trovare insieme di tutte le funzioni che soddisfano questa equazione. Tale insieme di funzioni ha spesso la forma ( è una costante arbitraria), che viene chiamata soluzione generale dell'equazione differenziale.

Esempio 1

Risolvi l'equazione differenziale

Munizioni complete. Da dove cominciare soluzione?

Prima di tutto, devi riscrivere la derivata in una forma leggermente diversa. Ricordiamo l'ingombrante notazione, che molti di voi probabilmente pensavano fosse ridicola e non necessaria. È quello che regna nei diffusori!

Nel secondo passaggio, vediamo se è possibile dividere le variabili? Cosa significa separare le variabili? In parole povere, sul lato sinistro dobbiamo andarcene solo "giochi", un dal lato giusto organizzare solo x. La separazione delle variabili viene effettuata con l'aiuto di manipolazioni "scolastiche": parentesi, trasferimento di termini da parte a parte con un cambio di segno, trasferimento di fattori da parte a parte secondo la regola della proporzione, ecc.

Differenziali e sono moltiplicatori pieni e partecipanti attivi nelle ostilità. In questo esempio, le variabili sono facilmente separate da fattori di capovolgimento secondo la regola della proporzione:

Le variabili sono separate. Sul lato sinistro - solo "Gioco", sul lato destro - solo "X".

Prossima fase - integrazione di equazioni differenziali. È semplice, appendiamo gli integrali su entrambe le parti:

Ovviamente vanno presi gli integrali. In questo caso, sono tabulari:

Come ricordiamo, ad ogni antiderivata viene assegnata una costante. Ci sono due integrali qui, ma è sufficiente scrivere la costante una volta (perché una costante + una costante è ancora uguale a un'altra costante). Nella maggior parte dei casi viene inserito lato destro.

A rigor di termini, dopo aver preso gli integrali, l'equazione differenziale si considera risolta. L'unica cosa è che la nostra "y" non è espressa tramite "x", cioè viene presentata la soluzione nell'implicito modulo. Si chiama la soluzione implicita di un'equazione differenziale integrale generale dell'equazione differenziale. Cioè, è l'integrale generale.

Una risposta in questa forma è abbastanza accettabile, ma esiste un'opzione migliore? Proviamo a ottenere decisione comune.

Per favore, ricorda la prima tecnica, è molto comune e spesso utilizzato in compiti pratici: se dopo l'integrazione compare un logaritmo a destra, allora in molti casi (ma non sempre!) è consigliabile scrivere la costante anche sotto il logaritmo. E scrivi SEMPRE se si ottengono solo logaritmi (come nell'esempio in esame).

Questo è, INVECE DI i record sono solitamente scritti .

Perché è necessario? E per rendere più facile esprimere "y". Usiamo la proprietà dei logaritmi . In questo caso:

Ora i logaritmi e i moduli possono essere rimossi:

La funzione è presentata in modo esplicito. Questa è la soluzione generale.

Risposta: decisione comune: .

Le risposte a molte equazioni differenziali sono abbastanza facili da controllare. Nel nostro caso, questo viene fatto semplicemente, prendiamo la soluzione trovata e la differenziamo:

Quindi sostituiamo la derivata nell'equazione originale:

- si ottiene l'uguaglianza corretta, il che significa che la soluzione generale soddisfa l'equazione che doveva essere verificata.

Dare una costante vari significati, puoi ottenerne infiniti decisioni private equazione differenziale. È chiaro che una qualsiasi delle funzioni , , ecc. soddisfa l'equazione differenziale.

A volte viene chiamata la soluzione generale famiglia di funzioni. In questo esempio, la soluzione generale è una famiglia di funzioni lineari, o meglio, una famiglia di proporzionalità dirette.

Dopo una discussione dettagliata del primo esempio, è opportuno rispondere ad alcune domande ingenue sulle equazioni differenziali:

1)In questo esempio, siamo riusciti a separare le variabili. È sempre possibile farlo? No non sempre. E ancora più spesso le variabili non possono essere separate. Ad esempio, nel equazioni omogenee del primo ordine deve essere sostituito prima. In altri tipi di equazioni, ad esempio, in un'equazione lineare non omogenea del primo ordine, è necessario utilizzare vari trucchi e metodi per trovare una soluzione generale. Le equazioni variabili separabili che consideriamo nella prima lezione sono il tipo più semplice di equazioni differenziali.

2) È sempre possibile integrare un'equazione differenziale? No non sempre. È molto facile trovare un'equazione "fantasiosa" che non può essere integrata, inoltre ci sono integrali che non possono essere presi. Ma tali DE possono essere risolti approssimativamente usando metodi speciali. D'Alembert e Cauchy garantiscono... ...ugh, lurkmore.to ho letto molto proprio ora, ho quasi aggiunto "dall'altro mondo".

3) In questo esempio, abbiamo ottenuto una soluzione sotto forma di integrale generale . È sempre possibile trovare una soluzione generale dall'integrale generale, cioè esprimere "y" in una forma esplicita? No non sempre. Per esempio: . Bene, come posso esprimere "y" qui?! In tali casi, la risposta deve essere scritta come integrale generale. Inoltre, a volte si può trovare una soluzione generale, ma è scritta in modo così ingombrante e goffamente che è meglio lasciare la risposta sotto forma di integrale generale

4) ...forse abbastanza per ora. Nel primo esempio ci siamo incontrati altro punto importante , ma per non coprire i "manichini" con una valanga di nuove informazioni, lo lascerò alla prossima lezione.

Non abbiamo fretta. Un altro semplice telecomando e un'altra soluzione tipica:

Esempio 2

Trova una soluzione particolare dell'equazione differenziale che soddisfa condizione iniziale

Soluzione: a seconda della condizione che si richiede di trovare soluzione privata DE che soddisfa una determinata condizione iniziale. Questo tipo di interrogatorio è anche chiamato Problema di Cauchy.

Innanzitutto, troviamo una soluzione generale. Non c'è una variabile "x" nell'equazione, ma questo non dovrebbe essere imbarazzante, la cosa principale è che ha la derivata prima.

Riscriviamo la derivata in forma desiderata:

Ovviamente le variabili si possono dividere, ragazzi a sinistra, ragazze a destra:

Integriamo l'equazione:

Si ottiene l'integrale generale. Qui ho disegnato una costante con una stella d'accento, fatto sta che molto presto si trasformerà in un'altra costante.

Ora stiamo cercando di convertire l'integrale generale in una soluzione generale (esprimere "y" esplicitamente). Ricordiamo la vecchia, buona, scuola: . In questo caso:

La costante nell'indicatore sembra in qualche modo non kosher, quindi di solito viene abbassata dal cielo alla terra. Nel dettaglio, succede così. Usando la proprietà dei gradi, riscriviamo la funzione come segue:

Se è una costante, allora è anche una costante, rinominala con la lettera :
- allo stesso tempo, rimuoviamo il modulo, dopodiché la costante "ce" può assumere valori sia positivi che negativi

Ricorda che la "demolizione" di una costante è seconda tecnica, che viene spesso utilizzato nel corso della risoluzione di equazioni differenziali. Su una copia pulita, puoi immediatamente andare da a , ma preparati sempre a spiegare questa transizione.

Quindi la soluzione generale è: Una bella famiglia di funzioni esponenziali.

Nella fase finale, è necessario trovare una soluzione particolare che soddisfi la condizione iniziale data. È anche semplice.

Qual è il compito? Necessità di raccogliere tale il valore della costante per soddisfare la condizione.

Puoi organizzarlo in diversi modi, ma il più comprensibile, forse, sarà così. Nella soluzione generale, al posto di “x”, sostituiamo zero, e al posto di “y”, due:



Questo è,

Versione standard:

Ora sostituiamo il valore trovato della costante nella soluzione generale:
– questa è la soluzione particolare di cui abbiamo bisogno.

Risposta: soluzione privata:

Facciamo un controllo. La verifica di una particolare soluzione comprende due fasi:

Innanzitutto occorre verificare se la particolare soluzione trovata soddisfa realmente la condizione iniziale ? Invece di "x" sostituiamo zero e vediamo cosa succede:
- si, infatti, si è ottenuto un due, il che significa che la condizione iniziale è soddisfatta.

La seconda fase è già familiare. Prendiamo la soluzione particolare risultante e troviamo la derivata:

Sostituisci nell'equazione originale:

- si ottiene la corretta uguaglianza.

Conclusione: la soluzione particolare è stata trovata correttamente.

Passiamo ad esempi più significativi.

Esempio 3

Risolvi l'equazione differenziale

Soluzione: Riscriviamo la derivata nella forma di cui abbiamo bisogno:

Valutare se le variabili possono essere separate? Può. Trasferiamo il secondo termine a destra con un cambio di segno:

E capovolgiamo i fattori secondo la regola della proporzione:

Le variabili sono separate, integriamo entrambe le parti:

Devo avvertirti, il giorno del giudizio sta arrivando. Se non hai imparato bene integrali indefiniti, risolto alcuni esempi, quindi non c'è nessun posto dove andare - devi padroneggiarli ora.

L'integrale del lato sinistro è facile da trovare, con l'integrale della cotangente ci occupiamo della tecnica standard che abbiamo considerato nella lezione Integrazione di funzioni trigonometriche Nell'anno passato:

Di conseguenza, abbiamo ottenuto solo logaritmi e, secondo la mia prima raccomandazione tecnica, definiamo anche la costante sotto il logaritmo.

Cerchiamo ora di semplificare l'integrale generale. Dal momento che abbiamo solo logaritmi, è del tutto possibile (e necessario) eliminarli. Usando proprietà note"impacchettare" al massimo i logaritmi. Scriverò in modo molto dettagliato:

La confezione è completa per essere barbaramente sbrindellata:
, e immediatamente-immediatamente dare integrale generale alla mente, appena possibile:

In generale, non è necessario farlo, ma è sempre utile accontentare il professore ;-)

In linea di principio, questo capolavoro può essere scritto come risposta, ma qui è comunque opportuno quadrare entrambe le parti e ridefinire la costante:

Risposta: integrale generale:

! Nota: l'integrale generale può spesso essere scritto in più di un modo. Pertanto, se il tuo risultato non coincide con una risposta precedentemente nota, ciò non significa che hai risolto l'equazione in modo errato.

È possibile esprimere "y"? Può. Esprimiamo la soluzione generale:

Naturalmente, il risultato ottenuto è adatto per una risposta, ma si noti che l'integrale generale sembra più compatto e la soluzione si è rivelata più breve.

Terzo consiglio tecnico:se è necessario eseguire un numero significativo di azioni per ottenere una soluzione generale, nella maggior parte dei casi è meglio astenersi da queste azioni e lasciare la risposta sotto forma di integrale generale. Lo stesso vale per le azioni "cattive" quando è richiesto di esprimere una funzione inversa, elevare a potenza, mettere radici, ecc. Il fatto è che la soluzione generale sembrerà pretenziosa e ingombrante, con grandi radici, segni e altri rifiuti matematici.

Come controllare? La verifica può essere effettuata in due modi. Metodo uno: prendi la soluzione generale , troviamo la derivata e sostituirli nell'equazione originale. Provate voi stessi!

Il secondo modo è differenziare l'integrale generale. È abbastanza facile, l'importante è riuscire a trovare derivata di una funzione definita implicitamente:

dividi ogni termine per:

e su:

L'equazione differenziale originale è stata ottenuta esattamente, il che significa che l'integrale generale è stato trovato correttamente.

Esempio 4

Trova una soluzione particolare dell'equazione differenziale che soddisfi la condizione iniziale. Esegui un controllo.

Questo è un esempio fai da te.

Ti ricordo che l'algoritmo si compone di due fasi:
1) trovare una soluzione generale;
2) trovare la soluzione particolare richiesta.

Il controllo si effettua anche in due fasi (vedi esempio nell'Esempio n. 2), sono necessari:
1) assicurarsi che la particolare soluzione trovata soddisfi la condizione iniziale;
2) verificare che una soluzione particolare soddisfi generalmente l'equazione differenziale.

Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Esempio 5

Trova una soluzione particolare di un'equazione differenziale , soddisfacendo la condizione iniziale. Esegui un controllo.

Soluzione: Per prima cosa, troviamo una soluzione generale Questa equazione contiene già differenziali pronti e , il che significa che la soluzione è semplificata. Separazione delle variabili:

Integriamo l'equazione:

L'integrale a sinistra è tabulare, l'integrale a destra è preso il metodo per sommare la funzione sotto il segno del differenziale:

L'integrale generale è stato ottenuto, è possibile esprimere con successo la soluzione generale? Può. Appendiamo i logaritmi su entrambi i lati. Poiché sono positivi, i segni modulo sono ridondanti:

(Spero che tutti capiscano la trasformazione, queste cose dovrebbero già essere conosciute)

Quindi la soluzione generale è:

Troviamo una soluzione particolare che corrisponda alla condizione iniziale data.
Nella soluzione generale, al posto di “x”, sostituiamo zero, e al posto di “y”, il logaritmo di due:

Design più familiare:

Sostituiamo il valore trovato della costante nella soluzione generale.

Risposta: soluzione privata:

Verifica: in primo luogo, controlla se la condizione iniziale è soddisfatta:
- è tutto a posto.

Ora controlliamo se la particolare soluzione trovata soddisfa affatto l'equazione differenziale. Troviamo la derivata:

Diamo un'occhiata all'equazione originale: – è presentato in differenziali. Ci sono due modi per controllare. È possibile esprimere il differenziale dalla derivata trovata:

Sostituiamo la soluzione particolare trovata e il differenziale risultante nell'equazione originale :

Usiamo l'identità logaritmica di base:

Si ottiene l'uguaglianza corretta, il che significa che la soluzione particolare viene trovata correttamente.

Il secondo modo di controllare è speculare e più familiare: dall'equazione esprimiamo la derivata, per questo dividiamo tutti i pezzi per:

E nel DE trasformato sostituiamo la soluzione particolare ottenuta e la derivata trovata. Come risultato delle semplificazioni, dovrebbe essere ottenuta anche la corretta uguaglianza.

Esempio 6

Trova l'integrale generale dell'equazione, presenta la risposta come .

Questo è un esempio di auto-soluzione, soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Quali difficoltà attendono nel risolvere equazioni differenziali con variabili separabili?

1) Non è sempre ovvio (soprattutto per una teiera) che le variabili possono essere separate. Si consideri un esempio condizionale: . Qui devi togliere i fattori da parentesi: e separare le radici:. Come procedere ulteriormente è chiaro.

2) Difficoltà nell'integrazione stessa. Gli integrali spesso non sono i più semplici e se ci sono difetti nelle capacità di trovare integrale indefinito, allora sarà difficile con molti diffusori. Inoltre, i compilatori di raccolte e manuali sono popolari con la logica "poiché l'equazione differenziale è semplice, almeno gli integrali saranno più complicati".

3) Trasformazioni con una costante. Come tutti hanno notato, una costante nelle equazioni differenziali può essere gestita abbastanza liberamente e alcune trasformazioni non sono sempre chiare a un principiante. Vediamo un altro ipotetico esempio: . In esso, è consigliabile moltiplicare tutti i termini per 2: . La costante risultante è anche una sorta di costante, che può essere indicata da: . Sì, e poiché abbiamo gli stessi logaritmi, è consigliabile riscrivere la costante come un'altra costante: .

Il problema è che spesso non si preoccupano degli indici e usano la stessa lettera. Di conseguenza, il verbale di decisione assume la seguente forma:

Che diamine?! Ecco gli errori! A rigor di termini, sì. Tuttavia, da un punto di vista sostanziale, non ci sono errori, perché per effetto della trasformazione di una costante variabile si ottiene una costante variabile equivalente.

O un altro esempio, supponiamo che nel corso della risoluzione dell'equazione si ottenga un integrale generale. Questa risposta sembra brutta, quindi è consigliabile cambiare il segno di ogni termine: . Formalmente, c'è di nuovo un errore: a destra, dovrebbe essere scritto . Ma è informalmente implicito che "meno ce" è ancora una costante che altrettanto bene assume lo stesso insieme di valori, e quindi mettere "meno" non ha senso.

Cercherò di evitare un approccio negligente e inserirò comunque indici diversi per le costanti durante la conversione. Che è quello che ti consiglio di fare.

Esempio 7

Risolvi l'equazione differenziale. Esegui un controllo.

Soluzione: Questa equazione ammette la separazione delle variabili. Separazione delle variabili:

Integriamo:

La costante qui non deve essere definita sotto il logaritmo, poiché non ne deriverà nulla di buono.

Risposta: integrale generale:

E, ovviamente, qui NON E' NECESSARIO esprimere la “y” in modo esplicito, perché risulterà essere spazzatura (ricordate il terzo consiglio tecnico).

Visita medica: Differenzia la risposta (funzione implicita):

Eliminiamo le frazioni, per questo moltiplichiamo entrambi i termini per:

L'equazione differenziale originale è stata ottenuta, il che significa che l'integrale generale è stato trovato correttamente.

Esempio 8

Trova una soluzione particolare di DE.
,

Definizione 7. Un'equazione della forma è chiamata equazione con variabili separabili.

Questa equazione può essere ridotta alla forma dividendo tutti i termini dell'equazione per il prodotto.

Ad esempio, risolvi l'equazione

Soluzione. La derivata è uguale a

Separando le variabili, otteniamo:

.

Ora integriamo:

Risolvi l'equazione differenziale

Soluzione. Questa è un'equazione del primo ordine con variabili separabili. Per separare le variabili di questa equazione nella forma e dividerlo termine per termine nel prodotto. Di conseguenza, otteniamo o

integrando entrambe le parti dell'ultima equazione, otteniamo la soluzione generale

arcoseno y = arcoseno x + C

Cerchiamo ora una soluzione particolare che soddisfi le condizioni iniziali. Sostituendo le condizioni iniziali nella soluzione generale, otteniamo

; da cui C=0

Pertanto, una soluzione particolare ha la forma arc sin y = arc sin x, ma i seni di archi uguali sono uguali tra loro

sin (arcoseno y) = peccato (arcoseno x).

Onde, per definizione dell'arcoseno, segue che y = x.

Equazioni differenziali omogenee

Definizione 8. Viene chiamata un'equazione differenziale della forma che può essere ridotta alla forma omogeneo.

Per integrare tali equazioni, si effettua un cambio di variabili, assumendo . Questa sostituzione si traduce in un'equazione differenziale per x e t in cui le variabili sono separate, dopo di che l'equazione può essere integrata. Per ottenere la risposta finale, è necessario sostituire la variabile t con .

Per esempio, risolvere l'equazione

Soluzione. Riscriviamo l'equazione in questo modo:

noi abbiamo:

Dopo la riduzione di x 2 abbiamo:

Sostituiamo t con:

Domande di revisione

1 Che cos'è un'equazione differenziale?

2 Denominare i tipi di equazioni differenziali.

3 Indica gli algoritmi per risolvere tutte queste equazioni.

Esempio 3

Soluzione: Riscriviamo la derivata nella forma di cui abbiamo bisogno:

Valutare se le variabili possono essere separate? Può. Trasferiamo il secondo termine a destra con un cambio di segno:

E capovolgiamo i fattori secondo la regola della proporzione:

Le variabili sono separate, integriamo entrambe le parti:

Devo avvertirti, il giorno del giudizio sta arrivando. Se non hai imparato bene integrali indefiniti, risolto alcuni esempi, quindi non c'è nessun posto dove andare - devi padroneggiarli ora.

L'integrale del lato sinistro è facile da trovare, con l'integrale della cotangente ci occupiamo della tecnica standard che abbiamo considerato nella lezione Integrazione di funzioni trigonometriche Nell'anno passato:

Sul lato destro abbiamo un logaritmo, secondo la mia prima raccomandazione tecnica, in questo caso anche la costante dovrebbe essere scritta sotto il logaritmo.

Cerchiamo ora di semplificare l'integrale generale. Dal momento che abbiamo solo logaritmi, è del tutto possibile (e necessario) eliminarli. "Imballiamo" i logaritmi il più possibile. Il confezionamento viene effettuato utilizzando tre proprietà:

Per favore, riscrivi queste tre formule a te stesso cartella di lavoro, sono usati molto spesso quando si risolvono i diffusi.

Scriverò la soluzione in modo molto dettagliato:

La confezione è completa, rimuovere i logaritmi:

È possibile esprimere "y"? Può. Entrambe le parti devono essere squadrate. Ma non devi.

Terzo consiglio tecnico: Se, per ottenere una soluzione generale, è necessario elevarsi a potenza o mettere radici, allora Nella maggior parte dei casi dovresti astenerti da queste azioni e lasciare la risposta sotto forma di integrale generale. Il fatto è che la soluzione generale sembrerà pretenziosa e terribile, con grandi radici, segni.

Pertanto, scriviamo la risposta come integrale generale. È considerata buona forma presentare l'integrale generale nella forma, cioè sul lato destro, se possibile, lasciare solo una costante. Non è necessario farlo, ma è sempre utile accontentare il professore ;-)

Risposta: integrale generale:

Nota: l'integrale generale di qualsiasi equazione può essere scritto in più di un modo. Pertanto, se il tuo risultato non coincide con una risposta precedentemente nota, ciò non significa che hai risolto l'equazione in modo errato.

Anche l'integrale generale si controlla abbastanza facilmente, l'importante è riuscire a trovarlo derivate di una funzione definita implicitamente. Distinguiamo la risposta:

Moltiplichiamo entrambi i termini per:

E dividiamo per:

L'equazione differenziale originale è stata ottenuta esattamente, il che significa che l'integrale generale è stato trovato correttamente.

Esempio 4

Trova una soluzione particolare dell'equazione differenziale che soddisfi la condizione iniziale. Esegui un controllo.

Questo è un esempio fai da te. Ti ricordo che il problema di Cauchy si compone di due fasi:
1) Trovare una soluzione generale.
2) Trovare una soluzione particolare.

Anche il controllo viene effettuato in due fasi (vedi anche il campione dell'Esempio 2), sono necessari:
1) Assicurarsi che la particolare soluzione trovata soddisfi realmente la condizione iniziale.
2) Verificare che una soluzione particolare soddisfi generalmente l'equazione differenziale.

Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Esempio 5

Trova una soluzione particolare di un'equazione differenziale , soddisfacendo la condizione iniziale. Esegui un controllo.

Soluzione: Per prima cosa, troviamo una soluzione generale Questa equazione contiene già differenziali pronti e , il che significa che la soluzione è semplificata. Separazione delle variabili:

Integriamo l'equazione:

L'integrale a sinistra è tabulare, l'integrale a destra è preso il metodo per sommare la funzione sotto il segno del differenziale:

L'integrale generale è stato ottenuto, è possibile esprimere con successo la soluzione generale? Può. Appendiamo i logaritmi:

(Spero che tutti capiscano la trasformazione, queste cose dovrebbero già essere conosciute)

Quindi la soluzione generale è:

Troviamo una soluzione particolare che corrisponda alla condizione iniziale data. Nella soluzione generale, al posto di “x”, sostituiamo zero, e al posto di “y”, il logaritmo di due:

Design più familiare:

Sostituiamo il valore trovato della costante nella soluzione generale.

Risposta: soluzione privata:

Verifica: in primo luogo, controlla se la condizione iniziale è soddisfatta:
- è tutto a posto.

Ora controlliamo se la particolare soluzione trovata soddisfa affatto l'equazione differenziale. Troviamo la derivata:

Diamo un'occhiata all'equazione originale: – è presentato in differenziali. Ci sono due modi per controllare. È possibile esprimere il differenziale dalla derivata trovata:

Sostituiamo la soluzione particolare trovata e il differenziale risultante nell'equazione originale :

Usiamo l'identità logaritmica di base:

Si ottiene l'uguaglianza corretta, il che significa che la soluzione particolare viene trovata correttamente.

Il secondo modo di controllare è speculare e più familiare: dall'equazione esprimiamo la derivata, per questo dividiamo tutti i pezzi per:

E nel DE trasformato sostituiamo la soluzione particolare ottenuta e la derivata trovata. Come risultato delle semplificazioni, dovrebbe essere ottenuta anche la corretta uguaglianza.

Esempio 6

Risolvi l'equazione differenziale. Esprimi la risposta come integrale generale.

Questo è un esempio di auto-soluzione, soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Quali difficoltà attendono nel risolvere equazioni differenziali con variabili separabili?

1) Non è sempre ovvio (soprattutto per una teiera) che le variabili possono essere separate. Si consideri un esempio condizionale: . Qui devi togliere i fattori da parentesi: e separare le radici:. Come procedere ulteriormente è chiaro.

2) Difficoltà nell'integrazione stessa. Gli integrali spesso non sono i più semplici e se ci sono difetti nelle capacità di trovare integrale indefinito, allora sarà difficile con molti diffusori. Inoltre, la logica "poiché l'equazione differenziale è semplice, lascia che gli integrali siano più complicati" è popolare tra i compilatori di raccolte e manuali.

3) Trasformazioni con una costante. Come tutti hanno notato, con una costante nelle equazioni differenziali, puoi fare quasi tutto. E non sempre tali trasformazioni sono chiare per un principiante. Considera un altro esempio condizionale: . In esso, è consigliabile moltiplicare tutti i termini per 2: . La costante risultante è anche una sorta di costante, che può essere indicata da: . Sì, e poiché c'è un logaritmo sul lato destro, è consigliabile riscrivere la costante come un'altra costante: .

Il problema è che spesso non si preoccupano degli indici e usano la stessa lettera. E di conseguenza, il record della decisione assume la seguente forma:

Che diavolo? Ecco gli errori. Formalmente sì. E in modo informale: non c'è errore, resta inteso che quando si converte una costante, si ottiene comunque un'altra costante.

O un esempio del genere, supponiamo che nel corso della risoluzione dell'equazione si ottenga un integrale generale. Questa risposta sembra brutta, quindi è consigliabile cambiare i segni di tutti i moltiplicatori: . Formalmente, secondo il verbale, c'è di nuovo un errore, avrebbe dovuto essere scritto. Ma è informalmente implicito che - è ancora un'altra costante (tanto più che può assumere qualsiasi valore), quindi cambiare il segno della costante non ha alcun senso e puoi usare la stessa lettera .

Cercherò di evitare un approccio negligente e inserirò comunque indici diversi per le costanti durante la conversione.

Esempio 7

Risolvi l'equazione differenziale. Esegui un controllo.

Soluzione: Questa equazione ammette la separazione delle variabili. Separazione delle variabili:

Integriamo:

La costante qui non deve essere definita sotto il logaritmo, poiché non ne deriverà nulla di buono.

Risposta: integrale generale:

Verifica: differenzia la risposta (funzione implicita):

Eliminiamo le frazioni, per questo moltiplichiamo entrambi i termini per:

L'equazione differenziale originale è stata ottenuta, il che significa che l'integrale generale è stato trovato correttamente.

Esempio 8

Trova una soluzione particolare di DE.
,

Questo è un esempio fai da te. L'unico commento, qui ottieni un integrale generale e, più correttamente, devi escogitare per trovare non una soluzione particolare, ma integrale privato. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Come già notato, nelle diffure con variabili separabili, spesso non compaiono gli integrali più semplici. E qui ci sono un paio di questi esempi per una decisione indipendente. Consiglio a tutti di risolvere gli esempi n. 9-10, indipendentemente dal livello di formazione, questo consentirà di aggiornare le capacità di trovare integrali o colmare lacune di conoscenza.

Esempio 9

Risolvi l'equazione differenziale

Esempio 10

Risolvi l'equazione differenziale

Ricorda che l'integrale generale può essere scritto in più di un modo e l'aspetto delle tue risposte potrebbe differire da aspetto esteriore le mie risposte. Breve soluzione e risposte alla fine della lezione.

Promozione riuscita!

Soluzioni e risposte:

Esempio 4:Soluzione: Troviamo una soluzione generale. Separazione delle variabili:


Integriamo:



Si è ottenuto l'integrale generale, si cerca di semplificarlo. Imballiamo i logaritmi e li liberiamo:

Esprimiamo la funzione in modo esplicito usando .
Decisione comune:

Trova una soluzione particolare che soddisfi la condizione iniziale .
Metodo uno, invece di "x" sostituiamo 1, invece di "y" - "e":
.
Metodo due:

Sostituiamo il valore trovato della costante in una soluzione generale.
Risposta: soluzione privata:

Verifica: verifica se la condizione iniziale è effettivamente vera:
, sì, condizione iniziale eseguita.
Verifichiamo se la particolare soluzione soddisfa affatto equazione differenziale. Per prima cosa troviamo la derivata:

Sostituiamo la soluzione particolare ottenuta e trovato derivato nell'equazione originale :

Si ottiene l'uguaglianza corretta, il che significa che la soluzione è trovata correttamente.

Esempio 6:Soluzione: Questa equazione ammette la separazione delle variabili. Separiamo le variabili e integriamo:




Risposta: integrale generale:

Nota: qui puoi ottenere una soluzione generale:

Ma, secondo il mio terzo consiglio tecnico, non è desiderabile farlo, poiché una risposta del genere sembra piuttosto negativa.

Esempio 8:Soluzione: Questo telecomando permette la separazione delle variabili. Separazione delle variabili:



Integriamo:


Integrale generale:
Trova una soluzione particolare (integrale parziale) corrispondente alla condizione iniziale data . Sostituiamo nella soluzione generale e :

Risposta: Integrale privato:
In linea di principio, la risposta può essere pettinata e ottenere qualcosa di più compatto. .

Equazioni differenziali.

Concetti di base sulle equazioni differenziali ordinarie.

Definizione 1. Equazione differenziale ordinaria n-esimo ordine per la funzione y discussione X è chiamata relazione della forma

dove F è una data funzione dei suoi argomenti. Nel nome di questa classe di equazioni matematiche, il termine "differenziale" sottolinea che includono le derivate (funzioni formate come risultato della differenziazione); il termine - "ordinario" dice che la funzione desiderata dipende da un solo argomento reale.

Un'equazione differenziale ordinaria potrebbe non contenere esplicitamente un argomento X, la funzione desiderata e qualsiasi sua derivata, ma la derivata più alta deve essere inclusa nell'equazione n- ordine. Per esempio

a) è un'equazione del primo ordine;

b) è un'equazione del terzo ordine.

Quando si scrivono equazioni differenziali ordinarie, viene spesso utilizzata la notazione delle derivate attraverso differenziali:

in) è un'equazione del secondo ordine;

d) è un'equazione del primo ordine,

formandosi dopo la divisione per dx forma equivalente dell'equazione: .

Una funzione è chiamata soluzione di un'equazione differenziale ordinaria se, quando sostituita in essa, diventa un'identità.

Ad esempio, l'equazione del 3° ordine

Ha una soluzione .

Trovare con un metodo o con l'altro, ad esempio, la selezione, una funzione che soddisfi un'equazione non significa risolverla. Risolvere un'equazione differenziale ordinaria significa trovare tutto funzioni che formano un'identità quando sostituite nell'equazione. Per l'equazione (1.1), la famiglia di tali funzioni è formata con l'aiuto di costanti arbitrarie ed è chiamata soluzione generale dell'equazione differenziale ordinaria n esimo ordine, e il numero di costanti coincide con l'ordine dell'equazione: y(x): In questo caso, la soluzione è chiamata integrale generale dell'equazione (1.1).

Ad esempio, la seguente espressione è una soluzione generale di un'equazione differenziale: , e il secondo termine può essere scritto come , poiché una costante arbitraria divisa per 2 può essere sostituita da una nuova costante arbitraria .

Impostando alcuni valori ammissibili per tutte le costanti arbitrarie nella soluzione generale o nell'integrale generale, otteniamo una determinata funzione che non contiene più costanti arbitrarie. Questa funzione è chiamata soluzione particolare o integrale particolare dell'equazione (1.1). Per trovare i valori di costanti arbitrarie, e quindi la soluzione particolare, vengono utilizzate varie condizioni aggiuntive all'equazione (1.1). Ad esempio, possono essere fornite le cosiddette condizioni iniziali per la (1.2).

Nella parte destra delle condizioni iniziali (1.2), sono riportati i valori numerici della funzione e delle derivate e il numero totale di condizioni iniziali è uguale al numero di costanti arbitrarie da determinare.

Il problema di trovare una soluzione particolare all'equazione (1.1) dalle condizioni iniziali è chiamato problema di Cauchy.

§ 2. Equazioni differenziali ordinarie del 1° ordine - concetti di base.

Equazione differenziale ordinaria del 1° ordine ( n=1) ha la forma: oppure, se risolvibile rispetto alla derivata: . Decisione comune y=y(x, C) oppure l'integrale generale delle equazioni del 1° ordine contiene una costante arbitraria. L'unica condizione iniziale per l'equazione del 1° ordine permette di determinare il valore della costante dalla soluzione generale o dall'integrale generale. Quindi, si troverà una soluzione particolare o, che è anche il problema di Cauchy, verrà risolto. La questione dell'esistenza e dell'unicità di una soluzione al problema di Cauchy è una delle questioni centrali teoria generale equazioni differenziali ordinarie. Per un'equazione del primo ordine, in particolare, vale il teorema, che qui viene accettato senza dimostrazione.

Teorema 2.1. Se in un'equazione una funzione e la sua derivata parziale sono continue in una regione D aereo XOY , e viene dato un punto in questa regione, allora esiste e, inoltre, un'unica soluzione che soddisfa sia l'equazione che la condizione iniziale.

La soluzione geometricamente generale dell'equazione del 1° ordine è una famiglia di curve nel piano XOY, che non hanno punti comuni e differiscono l'uno dall'altro di un parametro: il valore della costante C. Queste curve sono chiamate curve integrali per l'equazione data. Le curve integrali dell'equazione hanno un'ovvia proprietà geometrica: in ogni punto, la tangente della pendenza della tangente alla curva è uguale al valore del lato destro dell'equazione in quel punto: . In altre parole, l'equazione è data nel piano XOY campo delle direzioni delle tangenti alle curve integrali. Commento: Va notato che per l'equazione vengono fornite l'equazione e la cosiddetta equazione in forma simmetrica .

Equazioni differenziali del primo ordine con variabili separabili.

Definizione. Un'equazione differenziale con variabili separabili è un'equazione della forma (3.1)

o un'equazione della forma (3.2)

Per separare le variabili nell'equazione (3.1), cioè ridurre questa equazione alla cosiddetta equazione con variabili separate, eseguire le seguenti azioni:

;

Ora dobbiamo risolvere l'equazione g(y)=0. Se ha una soluzione reale si=a, poi y=a sarà anche una soluzione dell'equazione (3.1).

L'equazione (3.2) è ridotta a un'equazione con variabili separate dividendo per il prodotto:

, che ci permette di ottenere l'integrale generale dell'equazione (3.2): . (3.3)

Le curve integrali (3.3) saranno integrate con soluzioni se tali soluzioni esistono.

Risolvi l'equazione: .

Separazione delle variabili:

.

Integrando, otteniamo