Tali barre e sistemi di barre sono detti staticamente indeterminati, in cui i fattori reattivi e le forze interne non possono essere determinati solo dalle equazioni di equilibrio. Questi sistemi sono classificati in base al grado di indeterminazione statica. Il grado di indeterminazione statica è la differenza tra il numero di reazioni incognite e il numero di equazioni di equilibrio. Il grado di indeterminazione statica del sistema determina il numero di equazioni aggiuntive (equazioni di spostamento) che devono essere compilate quando si rivela l'indeterminatezza statica.

Nei sistemi di barre staticamente determinati, le forze derivano solo dall'azione di un carico esterno. Nei sistemi di barre staticamente indeterminati, le forze derivano non solo da carichi esterni, ma anche a causa di imprecisioni nella fabbricazione dei singoli elementi del sistema, variazioni della temperatura degli elementi del sistema, ecc. Quando le dimensioni longitudinali effettive delle aste si discostano dal nominale (calcolato) durante l'assemblaggio di sistemi staticamente indeterminati, si verificano ulteriori, cosiddette forze di montaggio e sollecitazioni. Quando la temperatura di un sistema di barre staticamente indeterminato cambia, nei suoi elementi si verificano ulteriori, cosiddetti stress termici e sollecitazioni.

Il calcolo delle barre e dei sistemi di barre staticamente indeterminate viene eseguito secondo il metodo seguente.

1. Viene eseguita un'analisi dello schema di fissaggio e viene determinato il grado di indeterminazione statica del sistema di aste.

2. Viene considerato il lato statico del problema, cioè si elaborano le equazioni di equilibrio.

3. Viene analizzato il lato geometrico del problema. Il sistema è considerato in uno stato deformato, viene stabilita la relazione tra deformazioni o spostamenti dei singoli elementi del sistema. Le equazioni risultanti sono le equazioni di compatibilità degli spostamenti (deformazioni). Il numero di equazioni di compatibilità dello spostamento (deformazione) è uguale al grado di indeterminazione statica del sistema.

4. Viene considerato il lato fisico del problema. Sulla base della legge di R. Hooke, gli spostamenti o le deformazioni degli elementi del sistema sono espressi attraverso le forze interne che agiscono in essi e, tenendo conto di ciò, le equazioni di compatibilità degli spostamenti sono scritte in forma espansa.

5. Risolvendo insieme le equazioni di equilibrio e compatibilità degli spostamenti in forma espansa, si determinano le reazioni sconosciute, ad es. si rivela l'indeterminatezza statica del sistema di aste.

6. Ulteriori calcoli per resistenza e rigidità sono simili al calcolo di sistemi staticamente determinati.

La tecnica per risolvere barre e sistemi di barre staticamente indeterminati è mostrata su esempi di risoluzione di vari problemi.

Esempio 1 Asta a gradini, bloccata su entrambi i lati, caricata con forze F(Fig. 10, a). È necessario rilevare l'indeterminatezza statica dell'asta e determinare l'area della sezione trasversale.

Dati iniziali: lunghezza della sezione della canna l , l'area della sezione trasversale dell'asta MA modulo di elasticità del materiale dell'asta e, tensione ammissibile .

Sistema di aste specifico.

1. Come risultato dell'azione delle forze esterne sull'asta, si verificano due reazioni di supporto R 1 e R 2. Le equazioni di equilibrio per un sistema di aste piatte possono essere composte una sola, quindi l'asta è una volta staticamente indeterminata (Fig. 10.6).

2. Viene considerato il lato statico del problema. Viene selezionato uno schema di progettazione (Fig. 10.6) e viene redatta un'equazione di equilibrio:

3. Vengono analizzate le condizioni della deformazione dell'asta e il lato geometrico del problema, viene compilata l'equazione di compatibilità degli spostamenti.

4. Viene considerato il lato fisico del problema. Supponendo condizionatamente che le reazioni R 1 e R 2 siano note, nelle sezioni si determinano le forze normali

Sulla base della legge di R. Hooke, in ciascuna sezione vengono scritte le espressioni per gli spostamenti, quindi viene compilata un'equazione per la compatibilità degli spostamenti in forma estesa:

Fig.10. Barra specificata, schema di progetto della barra, diagrammi di forza normale, sollecitazione normale e spostamenti

5. La soluzione congiunta dell'equazione di equilibrio e dell'equazione di compatibilità degli spostamenti in forma espansa ci consente di determinare reazioni sconosciute Si scopre l'indeterminatezza statica dell'asta.

6. Vengono costruiti i diagrammi N z , σ z , δ (Fig. 10). La condizione di forza è scritta

e viene determinata l'area della sezione trasversale dell'asta

Esempio 2 Una barra assolutamente rigida è fissata in modo girevole alle aste e poggia su un supporto fisso in modo girevole (Fig. 11, a). Alla barra viene applicata la forza F. È necessaria per rivelare l'indeterminatezza statica del sistema di aste e determinare il valore della forza ammissibile [F].

Dati iniziali: le lunghezze delle aste e le lunghezze delle sezioni di trave sono espresse in frazioni un, l'area della sezione trasversale delle aste A 1 \u003d 2A e A 2 \u003d A, il modulo di elasticità del materiale delle aste E, la sollecitazione ammissibile.

Fig.11,a 11b

1. Un dato sistema di aste è una volta staticamente indeterminato, poiché ci sono quattro reazioni sconosciute - H, R, R 1, R 2 e ci sono tre equazioni di equilibrio per un sistema di forze piatto.

2. Viene considerato il lato statico del problema (Fig. 11.6). Vengono compilate le equazioni di equilibrio

3. Viene analizzato il lato geometrico del problema (Fig. 11, c) e viene compilata un'equazione per la compatibilità degli spostamenti. Dalla somiglianza dei triangoli abbiamo:

4. Viene considerato il lato fisico del problema. Sulla base della legge di R. Hooke si determinano le espressioni delle deformazioni , e quindi l'equazione di compatibilità dello spostamento viene scritta in forma espansa:

5. La soluzione congiunta delle equazioni di equilibrio e l'equazione estesa della compatibilità degli spostamenti ci consente di determinare l'entità delle forze nelle aste attraverso un carico esterno N 1=0,442P, N 2= 0,552R. Viene rivelata l'indeterminatezza statica del sistema.

Dalla condizione di forza I della canna

carico consentito è

Dalle condizioni di forza della II canna

carico consentito è

Infine, accettiamo un valore inferiore per il sistema di aste. In questo caso, le sollecitazioni di esercizio nella seconda stelo saranno uguali a quelle ammissibili e la prima stelo sarà sottocarico.

Domande e compiti per l'autoesame,

1. Quali canne e sistemi di canne sono detti staticamente indeterminati?

2. Come viene determinato il grado di indeterminazione statica?

3. Quali sono le equazioni di compatibilità degli spostamenti?

4. Quali forze e sollecitazioni sono chiamate montaggio?

5. Quali sforzi e sollecitazioni sono chiamati temperatura?

6. Elencare le fasi principali dei calcoli per la forza e la rigidità di sistemi staticamente indeterminati in tensione (compressione).

OPZIONI DI CALCOLO E LAVORO DI PROGETTAZIONE

CALCOLO DI ASTE STATICAMENTE INDETERMINATE E SISTEMI DI ASTE PER RESISTENZA E RIGIDITA' IN TENSIONE (COMPRESSIONE)

Una trave K assolutamente rigida, caricata con forze F;, è tenuta in equilibrio da barre d'acciaio di lunghezza sch e fissato per mezzo di dispositivi di supporto. È necessario eseguire un calcolo di progetto (trovare le aree della sezione trasversale delle aste).

L'ultima cifra corrisponde al numero di schema (Fig. 12 ... 14).

I dati delle varianti sono mostrati nella tabella 3.

Nei calcoli, prendi: P \u003d 10 kN.

Tabella 3. Dati per l'attività RPR

Affinché i sistemi di aste (travi, telai, ecc.) Fungano da strutture e resistano a carichi esterni, è necessario imporre determinati legami su di essi, che li dividono in legami esterni e interni. Una connessione è generalmente intesa come corpi (ostacoli) che limitano il movimento di altri corpi, punti o sezioni di una struttura. In pratica, tali corpi sono chiamati dispositivi di supporto, fondazioni, ecc. Nei calcoli ingegneristici viene introdotto il concetto di connessioni ideali. Se, ad esempio, viene imposta una condizione all'estremità sinistra della trave (Fig. 1.1, a), che vieta il movimento verticale, allora si dice che a questo punto esiste una connessione esterna. Convenzionalmente, è raffigurato come un'asta con due cerniere. Se sono vietati gli spostamenti verticali e orizzontali, vengono imposti due collegamenti esterni al sistema (Fig. 1.1, b). L'inclusione in un sistema piatto fornisce tre connessioni esterne (Fig. 1.1, c), che impediscono spostamenti verticali, orizzontali e rotazione della sezione di inclusione. ld fig. 1.1 Per fissare il corpo (asta) sul piano e garantirne l'invariabilità geometrica, è necessario e sufficiente imporre tre legami su di esso (Fig. 1.2), e tutti e tre i legami non devono essere paralleli tra loro e non devono intersecarsi a un punto. Nel seguito verranno intese come connessioni necessarie le connessioni che assicurano l'immutabilità geometrica del sistema e la sua definibilità statica. Un sistema geometricamente invariabile è un sistema che può cambiare forma solo a causa della deformazione dei suoi elementi (Fig. 1.2), mentre un sistema geometricamente variabile può consentire il movimento anche in assenza di deformazione (Fig. 1.3). Un tale sistema è un meccanismo (Fig. 1.3, a). 5 fig. 1.2 Accanto a quelli citati, esistono anche i sistemi istantanei, intesi come sistemi che consentono spostamenti infinitesimali senza deformazione dei suoi elementi (Fig. 1.4). Riso. 1.3 Quindi, ad esempio, sotto l'azione di una forza P applicata nella cerniera D (Fig. 1.4, a), le aste DV e DS senza deformazione ruoteranno rispetto alle cerniere B e C di un angolo d infinitamente piccolo. Quindi, dalla condizione di equilibrio tagliata ad un piccolo valore della forza P, le forze nelle aste di DW e DS tenderanno all'infinito, provocando la deformazione assiale delle aste e cambiando la posizione del sistema. 6 fig. 1.4 Per il telaio di fig. 1.4, b, quando si considera l'equazione della statica, il momento della forza P non è equilibrato (la reazione R1, non può causare un momento relativo al punto in esame, poiché la linea della sua azione passa per questo punto). Una caratteristica simile si manifesta anche per il sistema mostrato in Fig. 1.4, c. Il momento della forza P relativo al punto k non è equilibrato. Pertanto, questi sistemi consentono anche spostamenti infinitesimali (rispetto al punto momento) senza deformazione dei loro elementi. Negli edifici e nelle strutture, tali sistemi sono inaccettabili. Se un sistema geometricamente invariabile ha vincoli addizionali oltre a quelli necessari, allora le equazioni indipendenti della statica non sono sufficienti per determinare le forze sconosciute (reazioni dei vincoli) e tale sistema è detto staticamente indeterminato. La differenza tra il numero di forze sconosciute da determinare e il numero di equazioni indipendenti della statica caratterizza il grado di indeterminazione statica, che è solitamente indicato dal simbolo n. Pertanto, la trave e il telaio mostrati in Fig. 1,5 sono due volte (due volte) staticamente indeterminate. In questi schemi, il numero di reazioni sconosciute è cinque e il numero di equazioni statiche indipendenti che possono essere scritte per ciascuna di esse è tre. Qualsiasi circuito chiuso è un sistema tre volte staticamente indeterminato (Fig. 1.6). Riso. 1.6 L'impostazione di una singola cerniera riduce di uno il grado di indeterminatezza statica del sistema (Fig. 1.7, a), poiché non c'è momento flettente nella cerniera. Per cerniera singola si intende una cerniera che collega le estremità di due aste. Riso. 1.7 Una cerniera inclusa in un nodo in cui si incontrano le estremità di più aste riduce il grado di indeterminazione statica del sistema per il numero di cerniere singole, determinato dalla formula O=C–1. Qui, C è inteso come il numero di aste convergenti in un nodo. Ad esempio, in una cornice (Fig. 1.7, b) il numero di cerniere singole è O=C–1=3-1=2, quindi il grado di incertezza statica si riduce di due unità e diventa n4.

Calcolo di frame staticamente determinati

Concetti di base Un telaio è un sistema di aste in cui tutte o alcune delle connessioni nodali sono rigide (Fig. 1.8 a). Un nodo rigido è caratterizzato dal fatto che l'angolo tra gli assi delle aste che lo formano non cambia sotto l'azione di un carico (Fig. 1.8 a). L'angolo tra le tangenti alle linee elastiche della traversa e il montante inclinato al nodo B rimane invariato α, e l'angolo tra le tangenti alle linee elastiche della stessa traversa e il montante destro al nodo D mantiene lo stesso valore β. I telai possono essere piatti, quando tutti gli assi delle aste giacciono sullo stesso piano (Fig. 1.8 a, b, c) e spaziali (Fig. 1.8 d). L'asta orizzontale del telaio è chiamata traversa e le aste che la supportano sono chiamate cremagliera. La posizione di sinistra è inclinata e la posizione di destra è verticale. I frame possono essere semplici, costituiti da tre aste (Figura 1.8), complessi, a più campate (Figura 1.8 b) ea più livelli (Figura 1.8 c). Sono anche divisi in staticamente determinati (Figura 1.8 b), quando il numero di reazioni sconosciute, sforzi è minore o uguale al numero di equazioni statiche indipendenti che possono essere compilate per un dato frame, e staticamente indeterminato se questa condizione non è incontrato (Figura 1.8 a, c, d) Questo sarà discusso in seguito. A differenza delle travi, nelle sezioni trasversali dei telai, insieme ai momenti flettenti, alla forza trasversale, c'è anche una forza longitudinale. Riso. 1.8 La determinazione delle forze (M, Q, N) viene eseguita allo stesso modo delle travi utilizzando il metodo della sezione (ROSE). In questo caso, la regola del segno per il momento flettente M e la forza trasversale Q è la stessa delle travi, e per la forza longitudinale N, come in 9 tiranti in trazione - compressione. La determinazione delle sollecitazioni normali n e di taglio viene effettuata secondo le stesse dipendenze delle travi, se l'asta è piegata. Nel caso di resistenza complessa, quando, insieme al momento flettente, si forma anche nello stelo una forza longitudinale, allora il calcolo viene eseguito come in flessione con trazione - compressione, descritto nella sezione "Resistenza complessa". Esempio 1.1 Per un dato frame (Fig. 1.9), traccia i diagrammi delle forze interne e trova l'entità e la direzione dello spostamento totale della sezione K, se P = 5 kN; q = 10 kN/m; EIz = const; sezioni di montanti e traverse sono gli stessi I = 8000 cm4: 1. Trovare le reazioni di appoggio: a) reazioni verticali V1, V2: b) reazioni orizzontali H1 e H2: 2. Costruiamo diagrammi delle forze interne M, Q, N. a. Costruzione di un diagramma dei momenti flettenti M.

Calcolo di sistemi di barre staticamente indeterminati con il metodo delle forze

Selezioniamo il punto di osservazione, supponendo che sia all'interno del contorno. In questo caso, i campi si trovano sopra le sezioni 1-3, 3-4, 4-K, 4-2, sono considerati esterni e all'interno del contorno - interni. Quando determiniamo i momenti flettenti, seguiamo le stesse regole delle travi. Calcoliamo i momenti nelle sezioni caratteristiche di ciascuna delle sezioni del telaio. Trama 1-3. Il momento alla fine dal lato del supporto è 1, M13 = 0. Il momento al nodo è 3, Il segno è meno perché nella sezione 1-3 la parte inferiore di cut-off è piegata verso l'alto con una convessità verso il osservatore. Trama 3-4 (traversa). Momento all'inizio della sezione (nella sezione del nodo 3) M34, lo stesso della cremagliera 1 - Momento Nella cerniera, il momento è zero. Sezione 2-4 (palo inclinato) Sezione 4-K All'inizio della sezione, il momento MK4 = 0. Alla fine della sezione, la curva dei momenti flettenti è mostrata in (Fig. 1.10, a) 1.10 Verifichiamo la correttezza della costruzione del diagramma M. Se il diagramma M è costruito correttamente, qualsiasi nodo fuori supporto o qualsiasi parte del telaio sotto l'azione di forze esterne e interne deve essere in equilibrio. Ritagliamo dal telaio sezioni infinitamente vicine al nodo, ad esempio il nodo (4) e consideriamo il suo equilibrio. Prendiamo i valori dei momenti nelle sezioni corrispondenti dal diagramma M (Fig. 1.10, b). Le equazioni del momento del nodo (4) hanno la forma

Caratteristiche del calcolo con il metodo delle forze delle travi continue a più campate

La condizione è soddisfatta, ciò significa che nelle sezioni adiacenti al nodo (4) i momenti sono determinati correttamente. Allo stesso modo, viene eseguito un controllo nel nodo (3), ecc. Nota Se nel nodo vengono applicate forze esterne concentrate (momento o forze), è necessario tenerne conto durante il controllo. Il carico distribuito non viene mostrato perché dx è un valore piccolo. b. Costruzione di un diagramma delle forze trasversali Q. Rispettiamo la stessa regola dei segni delle travi: se la risultante delle forze esterne a sinistra della sezione è diretta verso l'alto, ea destra verso il basso, la forza trasversale Q > 0, se viceversa - m Sezione 1–3. Quando si considera la parte tagliata sinistra 10 kN (meno perché la parte tagliata sinistra è sotto l'influenza della forza H1 12 diretta verso il basso, se si guarda la parte tagliata dal punto dell'osservatore). La forza trasversale è costante per tutta la lunghezza di questa sezione (Fig. 1.11, a) 1.11 Sezione 3-4 La forza di taglio in una qualsiasi sezione, presa ad una distanza x dal nodo (3), quando si considerano le forze agenti dalla sezione a sinistra, è pari a 103 01QV xqx. A x = 0, otteniamo la forza trasversale nella sezione a sinistra del nodo (3), ovvero Q34 30kN; a x = 3 m, otteniamo la forza trasversale Q, cioè nella sezione a sinistra del nodo (4). La forza trasversale nella sezione 3-4 cambia secondo una legge lineare (Fig. 1.11, a). Trama 4-K. In una sezione a distanza x dall'estremità destra della sezione (Fig. 1.11, a), la forza trasversale è uguale a (legge lineare). A x = 0, otteniamo, e a x = 3 m, otteniamo la Sezione 2–4. Si ottiene la forza trasversale nella sezione di questa sezione proiettando le forze esterne H2, V2 applicate nel punto 2 (Fig. 1.11, a) sull'asse Y, perpendicolare all'asse longitudinale dell'asta. Per tutta la lunghezza della sezione 3–4, la forza trasversale è costante. Il diagramma delle forze trasversali è mostrato in (Fig. 1.11, a).

L'uso delle proprietà di simmetria nella rivelazione dell'indeterminatezza statica dei sistemi di aste

in. Costruzione di un diagramma delle forze longitudinali N. Calcoliamo la forza longitudinale nella sezione di ogni sezione. Trama 1–3. Consideriamo la parte inferiore (Fig. 1.12) Viene preso il meno perché la forza longitudinale che bilancia la reazione V1 è diretta verso la sezione, cioè verso la reazione V1, il che significa che la sezione di cut-off è in compressione. Se la forza longitudinale è stata diretta lontano dalla sezione, il segno di N è positivo. Trama 3-4 (sulla traversa). Forza longitudinale N30 kN, negativa, come compressione. Nella sezione x (Fig. 1.12, b) nella sezione 4-K: perpendicolare all'asse longitudinale della sezione. Trama 2–4. Riso. 1.12 Su un palo inclinato nella sezione x, troviamo la forza longitudinale proiettando le forze esterne V2 e H2 sull'asse X, coincidenti con l'asse dell'asta (Fig. 1.12): 34 5 4 (compressione), pertanto assegniamo un segno meno N24 kN. 14 Il diagramma delle forze longitudinali è mostrato in (Fig. 1.11, b). 3. Determiniamo gli spostamenti della sezione K. Per questo utilizziamo l'integrale di Mohr, le formule di A.K. Vereshchagin, Simpson, (vedi sezione "Cessione diretta"). Determiniamo lo spostamento verticale della sezione K. Per fare ciò, liberiamo il telaio da tutti i carichi esterni (q, P) e applichiamo una singola forza adimensionale in questa sezione (Fig. 1.13, a) Direzione accettiamo noi stessi le forze, per esempio, verso il basso.

Calcolo con il metodo delle forze di sistemi staticamente indeterminati operanti in trazione o compressione

Riso. 1.13 In fig. 1.13, viene presentato un grafico dei momenti flettenti M1 di questa forza. Moltiplichiamo i diagrammi M e M1 secondo il metodo di Vereshchagin, troviamo lo spostamento verticale della sezione K. Nella sezione 4-K è stata utilizzata la formula Simpson e nella sezione 2-4 la formula di Vereshchagin. Determiniamo lo spostamento orizzontale della sezione K. Per fare ciò, liberiamo il telaio dai carichi esterni, lo carichiamo con un'unica forza adimensionale applicata orizzontalmente (Fig. 1.13, b). Il grafico di questa forza è mostrato in Fig. 1.13b. Calcoliamo lo spostamento orizzontale usando le formule di Vereshchagin e Simpson. Il segno meno indica che lo spostamento orizzontale effettivo è diretto nella direzione opposta all'applicazione di una forza unitaria, cioè a sinistra. 15 Troviamo lo spostamento totale della sezione K come somma geometrica degli spostamenti trovati. La direzione del movimento completo è determinata dall'angolo (Figura 1.14, b). Determiniamo l'angolo di rotazione della sezione K. Applichiamo un singolo momento adimensionale nella sezione K (Fig. 1.14, a) e costruiamo da esso un diagramma dei momenti flettenti.

Calcolo di sistemi di barre staticamente indeterminati con il metodo delle forze in forma matriciale

Riso. 1.14 Moltiplichiamo i diagrammi M e M3, usando la formula di Vereshchagin, troviamo l'angolo di rotazione della sezione K: 16 1.3. Calcolo di sistemi di aste staticamente indeterminati con il metodo delle forze Il metodo più utilizzato per rivelare l'indeterminatezza statica dei sistemi di aste è il metodo delle forze. Sta nel fatto che un dato sistema staticamente indeterminato è liberato da ulteriori (extra) connessioni, sia esterne che interne, e la loro azione è sostituita da forze e momenti. Il loro valore è ulteriormente determinato in modo che gli spostamenti corrispondano alle restrizioni imposte al sistema dai collegamenti scartati. Pertanto, con il metodo di soluzione indicato, le forze oi momenti che agiscono nei punti dei legami scartati o tagliati sono sconosciuti. Da qui il nome "metodo delle forze". Consideriamo l'essenza del metodo della forza usando l'esempio del calcolo di un frame staticamente indeterminato mostrato in Fig. 1.15. Assumiamo che siano noti il ​​carico esterno, le dimensioni e la rigidità delle aste. Procedura di calcolo 2.1. Impostiamo il grado di indeterminazione statica, per il quale utilizziamo l'espressione, dove X è il numero di incognite (ci sono 5 link esterni); Y è il numero di equazioni statiche indipendenti che possono essere compilate per il sistema in esame. Per un dato frame, il numero di reazioni sconosciute è cinque e il numero di equazioni indipendenti è tre, poiché il sistema di forze è piatto e posizionato arbitrariamente, quindi il sistema è due volte staticamente indeterminato. 2.2. Trasformiamoci per questo sistema in un sistema staticamente determinato, geometricamente invariabile ed equivalente a un dato sistema, cioè formiamo il sistema principale. Per fare ciò, rimuoviamo le connessioni non necessarie scartandole o tagliandole. Sulla fig. 1.15 mostra il sistema principale ottenuto scartando i collegamenti di supporto non necessari, e in fig. 1.16 i sistemi principali sono formati scartando e tagliando le maglie. Ad esempio, (Fig. 1.16, a) nel supporto A viene scartata una connessione orizzontale e nel supporto C viene tagliata una connessione che impedisce la rotazione della sezione. Pertanto, per ogni sistema di aste staticamente indeterminato, si può 1.15 17 selezionare diverse opzioni per i sistemi principali (Fig. 1.15, 1.16). È necessario prestare particolare attenzione al fatto che nella formazione del sistema principale del metodo delle forze, l'introduzione di nuove connessioni è inaccettabile. È auspicabile che il sistema principale sia razionale, cioè uno per il quale sia più facile costruire diagrammi di fattori di forza interni e la quantità di calcoli sia la più piccola. Un tale sistema è mostrato in Fig. 1.15 (opzione I). Non è necessario determinare le reazioni del supporto qui se si creano diagrammi dall'estremità libera (libera) del frame. Riso. 1.16 2.3. Formiamo un sistema equivalente caricando il sistema principale con forze esterne e le forze dei legami scartati (tagliati) (Fig. 1.17). I fattori di forza sconosciuti saranno indicati con il simbolo Xi, dove i è il numero dell'ignoto. Se i vincoli rifiutati vietano gli spostamenti lineari, le incognite sono le forze, se gli spostamenti angolari sono vietati i momenti. Se il sistema principale è stato ottenuto tagliando le connessioni extra, le forze e i momenti uguali e opposti tra loro vengono applicati sia alla parte destra che a quella sinistra del sistema sezionato nei punti di taglio. Nell'esempio in esame, X1 e X2 rappresentano le componenti verticale e orizzontale della reazione del supporto a perno A. 2.4. Componiamo le equazioni canoniche del metodo delle forze, che esprimono in forma matematica le condizioni per l'equivalenza dei sistemi principali e dati. Altrimenti esprimono condizioni che denotano che gli spostamenti relativi nella direzione di collegamenti superflui remoti dall'azione congiunta di un carico esterno e forze sconosciute devono essere uguali a zero. Per il sistema equivalente dell'esempio considerato, basato sul principio di indipendenza dell'azione delle forze e fig. 1.18 le equazioni canoniche saranno scritte nella forma

Le capriate con riserve includono travi reticolari, che sono una combinazione di una trave continua a due o tre campate e trazione elastica; sono tipici per strutture in acciaio e legno, con una corda superiore di un profilo laminato continuo (pacchi di legname segato o pannelli incollati). Potrebbero esserci anche capriate in cemento armato di piccole campate.

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dove 11 è lo spostamento relativo nel sistema principale nella direzione dell'extra incognita X1, causato dalla stessa forza; 12 - movimento relativo nella direzione dell'extra incognita X1, causato dalla forza X2; 1P - spostamento relativo nella direzione di azione dell'ignoto X1, causato da un determinato carico. Riso. 1.18 Significato fisico di queste equazioni. La prima equazione nega la possibilità di movimento verticale della sezione di supporto A nella direzione dell'eccesso incognito X1 dall'azione combinata di un dato carico P e valori pieni X1 e X2 sconosciuti. La seconda equazione ha un significato simile. In questa forma (1.1), l'uso delle equazioni nei calcoli ingegneristici è difficile, quindi le trasformeremo in una nuova forma. Considerando che per sistemi lineari si può giustamente scrivere l'espressione: dove 11 è lo spostamento relativo nel sistema principale nella direzione della forza X1 dall'azione della forza X1 1 (Fig. 1.19); 21 è lo spostamento relativo nel sistema principale nella direzione della forza X2 dalla forza X1 1. Qui X1 e X2 sono i valori effettivi delle reazioni dei legami caduti. Allora le equazioni canoniche del metodo delle forze (1.1) possono essere scritte nella forma Per analogia, per n volte sistemi staticamente indeterminati, le equazioni canoniche hanno la forma I coefficienti principali sono sempre positivi. I fattori collaterali possono essere positivi, negativi o zero. 1P  - sono detti coefficienti liberi o di carico. 2.5. Determiniamo i coefficienti delle equazioni canoniche. Questi coefficienti rappresentano gli spostamenti dei punti del sistema nella direzione delle maglie cadute, pertanto si possono trovare utilizzando l'integrale di Mohr: La procedura per la determinazione dei coefficienti: Fig. 1.19 20 a) tracciamo diagrammi del momento flettente per il sistema principale da un dato carico esterno P e dalle forze unitarie dei legami caduti X11 (Fig. 1.20); Riso. 1.20 b) calcoliamo i coefficienti delle equazioni canoniche. Poiché il sistema in esame è costituito solo da aste rettilinee e la rigidità delle aste all'interno delle loro lunghezze è costante, il calcolo dell'integrale di Mohr viene effettuato secondo il metodo di A.K. Vereshchagin moltiplicando i diagrammi corrispondenti usando le formule ei trapezi di Simpson: 2.6. Scriviamo il sistema delle equazioni canoniche. Dopo aver sostituito i coefficienti trovati nell'equazione (1.3), otteniamo: Risolviamo il sistema di equazioni e troviamo le forze incognite, kN: Nota. Se il segno di forza risulta essere negativo, significa che la forza effettiva (reazione) è diretta nella direzione opposta rispetto alla forza Xi adottata nel sistema equivalente. Si scopre così l'indefinibilità statica del sistema. 2.7. Costruiamo i diagrammi finali (reali) dei fattori di forza interni per un dato sistema. La stampa può essere eseguita in due modi. Il primo modo Carichiamo il sistema principale con un dato carico e le forze trovate X1 e X2 (Fig. 1.17), dopodiché costruiamo i diagrammi M, Q e N allo stesso modo di un sistema convenzionale staticamente determinato. Gli schemi così costruiti sono mostrati in Fig. 1.21, dove le ordinate del diagramma del momento flettente sono tracciate dal lato delle fibre tese. Questo metodo è più conveniente per i sistemi semplici. Il secondo modo Calcoliamo i valori dei momenti flettenti in qualsiasi sezione (solitamente caratteristica) in base al principio di indipendenza dell'azione delle forze secondo la formula 22 dove k è il numero della sezione per cui il valore della flessione il momento è determinato; n è il grado di indeterminazione statica del sistema. Riso. 1.21 In questo caso, se la forza trovata Xi ha segno negativo , allora il corrispondente diagramma Mi deve essere specchiato rispetto agli assi delle aste. Quando si determinano i valori effettivi dei momenti flettenti, le ordinate dei momenti nelle sezioni calcolate sono tratte dai diagrammi M1, M2 e MP, tenendo conto dei loro segni. I segni dei momenti nella sezione in esame sono determinati in base a quale lato della linea di base si trovano le ordinate dei momenti e dalla posizione del punto dell'osservatore. Nel nostro caso, assumiamo che il punto dell'osservatore si trovi all'interno del contorno, quindi i valori positivi dei momenti sono considerati i momenti che causano tensione nella sezione calcolata delle fibre interne e i valori negativi delle fibre esterne del contorno. Ad esempio, per la sezione D del telaio, otteniamo Similar per le altre sezioni. Il diagramma finale dei momenti flettenti per un dato sistema è mostrato in fig. 1.21 a. 23 2.8. Eseguiamo un controllo deformativo della correttezza della costruzione di un diagramma reale dei momenti flettenti. Il significato del test di deformazione è confermare l'assenza di spostamenti nel sistema principale nella direzione dei legami scartati (tagliati) ai valori trovati delle forze sconosciute. Quindi, se le forze incognite sono trovate correttamente, allora per l'esempio in esame le uguaglianze devono essere soddisfatte: Se costruiamo un diagramma di singoli momenti 2, allora la verifica è chiamata verifica per spostamento di gruppo (Fig. 1.22): L'assenza di spostamento conferma la correttezza della soluzione del problema. Se i calcoli eseguiti non confermano l'assenza di spostamenti dei punti del sistema principale nella direzione dei collegamenti scartati, per identificare l'errore di calcolo è necessario verificare la correttezza della determinazione dei coefficienti delle equazioni canoniche secondo la formula Se non c'è uguaglianza in questa equazione, viene eseguita una verifica riga per riga dei coefficienti delle equazioni canoniche. Prima linea: . Se non ci sono errori di calcolo in questa riga, la condizione deve essere soddisfatta: Allo stesso modo, puoi controllare la 2a e le altre righe. Durante l'esecuzione di questi controlli, è necessario verificare la correttezza del calcolo dei coefficienti di carico: 2.9. Costruiamo un diagramma delle forze trasversali Q secondo il diagramma dei momenti flettenti M ritagliando sequenzialmente le aste da un dato sistema e considerandole come travi incernierate staticamente determinate. Applichiamo momenti alle estremità delle aste, i cui valori e direzioni sono selezionati dal diagramma M nelle sezioni corrispondenti. In presenza di forze esterne, le applichiamo nelle aree appropriate. Determiniamo le reazioni di supporto dalla condizione di equilibrio statico e tracciamo Q come al solito per travi staticamente determinate. Per un dato telaio (Fig. 1.15), quando si costruisce un diagramma delle forze trasversali per una cremagliera, ritagliamo la sezione AB e nella sezione B applichiamo un momento B 3, 56 M P tratto dal diagramma dei momenti reali M (Fig. 1.21, b). Determiniamo le reazioni di supporto dalla considerazione dell'equilibrio 3 P e costruiamo un diagramma delle forze trasversali Q (Fig. 1.23). Riso. 1.22 25 In modo simile, ritagliamo l'asta orizzontale (traversa) BC, consideriamo il suo equilibrio e tracciamo Q per questa sezione del telaio (Fig. 1.24). Trasferiamo i diagrammi Q per le singole aste in un dato sistema. Il diagramma finale delle forze trasversali per un dato telaio è mostrato nella Figura 7.14, b. La costruzione di un diagramma delle forze trasversali secondo il diagramma dei momenti flettenti è possibile anche sulla base di una dipendenza differenziale: dove α è l'angolo di inclinazione della retta che delinea il diagramma dei momenti flettenti rispetto alla linea di base (asse della trave ). La forza trasversale è considerata positiva se il momento flettente aumenta nella direzione dell'asse. Per l'esempio considerato: 2.10. Costruiamo un diagramma delle forze longitudinali N.
Riso. 7.16 Fig. 1.24 26 Per fare ciò, utilizziamo il metodo dei nodi di taglio (ritagliamo solo i nodi di supporto con sezioni infinitamente vicine al nodo) e consideriamo il loro equilibrio sotto l'azione di un carico esterno (se presente ai nodi) e le forze nei collegamenti scartati (tagliati). Ritagliamo il nodo B. Gli applichiamo forze trasversali prese nelle sezioni corrispondenti dal diagramma Q (Fig. 1.23, b). Il nodo deve essere in equilibrio (Fig. 1.25) sotto l'azione di forze trasversali e longitudinali (sconosciute). Determiniamo le forze longitudinali sconosciute dalla condizione di equilibrio statico. Il diagramma delle forze longitudinali è mostrato in fig. 1.23, c. 2.11. Effettuiamo un controllo finale della correttezza della soluzione del problema. Il sistema (telaio), un'unità fuori supporto o una parte del sistema deve essere in equilibrio sotto l'azione di un carico esterno e le forze dei collegamenti scartati (tagliati). Per un esempio dato, consideriamo il bilanciamento del frame usando le equazioni della statica (Fig. 1.26):

La condizione di equilibrio è soddisfatta. Appunti. 1. Se il frame ha diversi nodi fuori supporto, tutti i nodi sono coperti dal controllo.

Elenco bibliografico

Riso. 1.25 Fig. 1.26 27 2. Quando si verifica l'equilibrio di un nodo fuori supporto, è necessario, oltre alle forze interne (M, Q, N), prese nelle sezioni corrispondenti, applicare anche forze esterne (forza e momento concentrati), se presenti, vengono applicati nel nodo. Nel nostro caso, non c'è carico nel nodo.

Linee guida per l'implementazione dell'insediamento e del lavoro grafico per gli studenti delle specialità 2903, 2906,2907, 2908, 2910

Kazan, 2006

Compilato da: RA Kayumov

UDC 539.3

Calcolo di un sistema di aste staticamente indeterminato contenente un elemento assolutamente rigido; Linee guida per l'implementazione dell'insediamento e del lavoro grafico per gli studenti delle specialità 2903, 2906, 2907, 2908, 2910 / KazGASU; comp. RA. Kayumov. Kazan, 2005, 24 pag.

Queste linee guida delineano brevemente la metodologia per calcolare le strutture reticolari più semplici con un elemento rigido e forniscono un esempio di calcolo.

Fig.6.

Candidato Revisore di Fisica e Matematica scienze, prof. Sedie meccanica teorica KSUAE Shigabutdinov FG

ã Università statale di architettura e ingegneria civile di Kazan

ATTIVITÀ #3

CALCOLO DI UN SISTEMA A STELO INCERNIERATO STATICAMENTE INDETERMINATO

Per un dato sistema cerniera-barra (vedi schema), costituito da una trave assolutamente rigida e tiranti elastici con determinati rapporti di sezione trasversale, è necessario:

1. Imposta il grado di indeterminazione statica.

2. Trova le forze nelle aste.

3. Annotare le condizioni di resistenza per le aste dagli effetti di forza e selezionare le sezioni trasversali delle aste, tenendo conto dei rapporti di area indicati. Materiale St-3, carico di snervamento assunto pari a 240 MPa = 24 kN/cm 2 , fattore di sicurezza k = 1,5.

4. Trova le sollecitazioni nelle aste dall'imprecisione della fabbricazione delle aste d 1 = d 2 = d 3 = (vedi tabella 3). Se ha un segno più, l'asta viene allungata; se meno - più breve.

5. Trova le sollecitazioni nelle aste dalla variazione di temperatura nelle aste di Dt° (vedi Tabella 3). Coefficiente di dilatazione lineare per acciaio 1/grado

6. Verificare la forza del sistema su varie opzioni urti di forza e di non forza: 1) la struttura è assemblata, non ancora caricata, ma si è verificata una differenza di temperatura; 2) il caso in cui non vi è alcuna differenza di temperatura e la struttura viene assemblata e caricata. 3) il caso in cui la struttura sia assemblata, caricata e vi sia una differenza di temperatura.

7. Determinare la capacità di carico finale del sistema e il vero fattore di sicurezza assumendo un rapporto costante tra e .

Il compito è svolto integralmente dagli studenti delle specialità PGS e AD. Studenti di altre specialità eseguono il calcolo del sistema solo per il carico esterno in base alle sollecitazioni ammissibili e al carico ammissibile, esclusa l'asta 3.

I dati iniziali per l'esecuzione della liquidazione e del lavoro grafico sono selezionati secondo il codice rilasciato dal docente.

Schemi per l'attività numero 3

tabella 3

	MA	B	A	G	B	in	A
, kN	, kN/m	, m	, m	, m	, m	, m		, mm
									0.3	3/2
								-30	-0.4	1/2
									0.5		3/2
								-25	-0.6	3/4	3/2
									0.7	5/4	1/2
								-35	-0.4	1/2	4/5
									0.5	2/3	1/2
									-0.7	1/2	4/5
								-20	-0.3	3/2	2/3
									0.6	2/3	5/4

FORMULAZIONE DEL PROBLEMA

Viene considerato un sistema a cerniera (Fig. 1), costituito da una trave rigida e aste deformabili realizzate con un determinato rapporto di aree della sezione trasversale, indicato nell'attività. Carichi di progettazione noti F , q ; dimensioni costruttive h 1 , h 2 , l 1 , l 2 , l 3; fluttuazioni della temperatura di progetto: D t 1 - nella prima asta, D t 2 - nel secondo, D t 3 - nel terzo; imprecisioni nella fabbricazione di aste, vale a dire d 1 - differenza dalla lunghezza del disegno nella prima barra, d 2 - nel secondo, d 3 - nel terzo. conosciuto caratteristiche meccaniche materiale: modulo elastico e \u003d 2 × 10 4 kN / cm 2, carico di snervamento s t\u003d 24 kN / cm 2, coefficiente di dilatazione termica un=125×10 -7 1/grado. fattore sicurezza K per questo disegno si assume pari a 1,5.

È necessario risolvere 3 compiti:

1. Selezionare le sezioni delle aste per la fabbricazione di questo sistema dalle condizioni della resistenza di queste aste in termini di sollecitazioni ammissibili ai carichi di progetto.

2. Trarre una conclusione sull'ammissibilità delle fluttuazioni della temperatura di progetto e delle imprecisioni nella fabbricazione delle aste.

3. Trova la capacità di carico massima della struttura, carichi ammessi e vero margine di sicurezza.

Pertanto, il lavoro consiste nel calcolo del progetto, nel calcolo della verifica, nel calcolo dei carichi limite per il sistema.

La RGR deve contenere 3 disegni (disegnati in scala): lo schema iniziale del sistema di aste, il diagramma di potenza e il diagramma cinematico della deformazione della struttura.

2. Metodo delle sezioni.

3. La legge di Hooke.

4. Allungamento da variazione di temperatura.

5. Resistenza alla trazione, sollecitazione ammissibile, condizione di resistenza.

6. Flusso di plastica, limite di snervamento.

7. Indefinibilità statica.

8. Condizione di compatibilità delle deformazioni.

9. Calcolo delle sollecitazioni ammissibili.

10. Calcolo secondo la teoria dell'equilibrio limite.

PIANO DI CALCOLO DEL PROGETTO GENERALE

Innanzitutto, la struttura viene liberata dai legami, sostituendoli con reazioni. Il metodo delle sezioni introduce in considerazione le forze longitudinali interne (forze normali) che si generano nelle aste. In questo caso, devono essere indirizzati dalla sezione, ad es. considerare condizionatamente le aste da allungare. Non è possibile determinare le reazioni e le forze longitudinali dalle equazioni di equilibrio, perché in un problema piano di statica, è possibile comporre 3 equazioni di equilibrio indipendenti, mentre il numero di fattori di forza sconosciuti (reazioni e forze longitudinali) è superiore a tre. Pertanto, è necessario comporre ulteriori equazioni derivanti dall'assunzione della deformabilità delle aste (equazioni della compatibilità delle deformazioni che mettono in relazione tra loro gli allungamenti delle aste). Derivano da considerazioni geometriche. In questo caso viene utilizzata l'ipotesi di piccolezza delle deformazioni. Inoltre, è necessario tenere conto della seguente regola dei segni. La differenza totale tra la lunghezza di progetto dell'asta l e la lunghezza reale finale l con denotato da D l . Pertanto, se l'asta si allunga, allora , se abbreviato, allora .

Come si può vedere dalla Fig. 2, la variazione della lunghezza dell'asta D l composto da estensione D l (N) , causato dalla forza di tensione assiale N , allungamento D l(t) causati da variazioni di temperatura e imprecisioni di fabbricazione d.

Se la temperatura scende, allora D t < 0, то длина стержня уменьшается, т.е. ; если стержень сделан короче проектного, то d< 0. С учетом закона Гука это соотношение примет вид:

Poiché gli allungamenti sono espressi in termini di forze longitudinali secondo le formule (1), quindi dalle equazioni di compatibilità seguono le relazioni che collegano gli sforzi desiderati. Qui e sotto, per semplificare la notazione, vengono utilizzate le seguenti designazioni: forza longitudinale e sollecitazione nell'asta con il numero io .

Nella RGR considerata non è richiesta la ricerca di reazioni. Pertanto, dalle 3 equazioni di equilibrio, è sufficiente lasciarne una: la condizione di uguaglianza a zero dei momenti di tutte le forze esterne e interne relative all'asse passante per il centro della cerniera D (Fig. 1). La soluzione del sistema risultante (equazioni di equilibrio e compatibilità delle deformazioni) permette di trovare le forze nelle canne.

Inoltre, i calcoli di progettazione (attività 1) e di verifica (attività 2) vengono eseguiti utilizzando il metodo delle sollecitazioni ammissibili. Lo stress da snervamento è considerato uno stress pericoloso s t. Secondo il metodo di sollecitazione ammissibile, il progetto considerato fuori servizio se la tensione ha raggiunto un valore pericoloso in almeno uno stelo, es. si rivelò distrutto almeno una dalle canne:

Per garantire la sicurezza della struttura è necessario un margine di sicurezza, ad es. deve essere effettuato condizione di forza tipo

, (3)

dove K - fattore sicurezza, [ S] - tensione consentita.

La distruzione di un elemento strutturale non significa sempre la perdita delle sue proprietà operative (cioè il collasso). Altri elementi possono assumere il carico, o parte di esso, che l'elemento distrutto avrebbe dovuto trasportare. Questa considerazione viene utilizzata nel Problema 3, che viene risolto metodo dell'equilibrio limite, chiamato anche metodo di carico consentito.

Nella formulazione del problema si assume che le forze R e Q aumentare proporzionalmente ( R / Q = const), le aree della sezione trasversale delle aste sono note dalla soluzione del problema 1, il materiale delle aste è elastico-ideale-plastico. Quando il carico aumenta, un'asta prima "scorre", la sollecitazione al suo interno non aumenterà con un'ulteriore deformazione e rimarrà uguale in modulo al carico di snervamento s t(vedi fig. 3). Il successivo aumento dei carichi porterà al fatto che, prima, nella seconda, e poi nella terza asta, inizierà il flusso di plastica, ad es. lo stress ha raggiunto il limite di snervamento. Ovviamente, indipendentemente dalle sollecitazioni di installazione o di temperatura all'inizio del processo, arriva finalmente il momento in cui le sollecitazioni raggiungono il limite di snervamento in tutte le aste (perché non possono assumere valori elevati, secondo il diagramma di deformazione in Fig. 3) . Valori di forza raggiunti F = F eccetera e Q = Q eccetera sono chiamati limitanti, perché il loro aumento è impossibile e il sistema inizierà a deformarsi indefinitamente. Dal momento che gli sforzi N io nello stato limite sono noti (perché espressi in termini di sollecitazioni), quindi dall'equazione di equilibrio si determina F eccetera. Dalla condizione di sicurezza del carico si ricavano i carichi ammissibili

Come si evince dal ragionamento nella soluzione del problema 3, la presenza di sbalzi di temperatura o imprecisioni nella fabbricazione delle aste non riduce la capacità di carico della struttura se le aste sono realizzate in materiale elastico idealmente plastico.

APPUNTI

1. L'insegnante può specificare il compito di selezionare le barre richiedendo l'uso di un assortimento di acciaio laminato, ad esempio, per selezionare una sezione composita dagli angoli secondo le tabelle dell'assortimento (vedi esempio di calcolo).

2. Nel calcolo è sufficiente lasciare 3 cifre significative.

3. Nella scelta delle dimensioni delle aste è ammesso un sovraccarico del 5%.

Esempio di calcolo

Si fornisca un sistema a cerniera (Fig. 4). È risaputo che

E \u003d 2 × 10 4 kN / cm 2, S t \u003d 24 kN / cm 2, a \u003d 125 × 10 -7 1 / gradi. (5)

Un compito. Determinare la sollecitazione nelle barre d'acciaio che supportano una trave assolutamente rigida. Materiale - acciaio St3, α=60°, [σ]=160MPa.

1. Disegniamo lo schema scalare. Numeriamo le canne.

In un supporto incernierato-fisso MA si verificano reazioni RA e SUL . Nelle canne 1 e 2 sorgono sforzi N 1 e N 2 . Applicabile. Ritaglia con un taglio chiuso mezzo parte del sistema. Mostreremo schematicamente una trave rigida - con una linea, gli sforzi N 1 e N 2 inviare dalla sezione.

Compilazione equazioni di equilibrio

Numero di incognite supera numero di equazioni di statica per 1 . Quindi, il sistema , e per la sua soluzione è richiesto un'equazione aggiuntiva. Comporre aggiuntivo equazione da considerare schema di deformazione del sistema. Supporto incernierato MA rimane al suo posto e le aste si deformano sotto l'azione della forza.

Schema delle deformazioni

Secondo lo schema di deformazione, comporremo condizione di compatibilità della deformazione dalla considerazione della somiglianza dei triangoli ACC 1 e ABB 1 . Dalla somiglianza dei triangoli ABB 1 e ACC 1 scrivi il rapporto:

, dove BB 1=∆ ℓ 1 (estensione della prima asta)

Ora esprimiamo SS 1 per deformazione secondo asta. Ingrandiamo un frammento dello schema.

Si può vedere dalla figura che SS 2 = SS uno · cos(90º- α )= SS uno · sinα.

Ma SS 2 = ∆ ℓ 2 , poi Δ ℓ 2 = SS uno · sinα , dove:

Giriamoci condizione di compatibilità della deformazione(4) a equazione di compatibilità della deformazione usando . Nel farlo, dobbiamo tenerne conto carattere delle deformazioni(l'accorciamento è scritto con un segno "-", l'allungamento con un segno "+").

Allora sarà:

Accorciamo entrambe le parti di e , sostituisci valori numerici ed esprimi N 1 attraverso N 2

Sostituisci la relazione (6) nell'equazione (3) da dove troviamo:

N 1 = 7,12 kN (allungato),

N 2 = -20,35 kN (compresso).

Definiamo voltaggio nelle canne.

Calcolo di una trave con uno spazio vuoto. Per una trave a gradini in acciaio staticamente indeterminata, costruire diagrammi di forze longitudinali, sollecitazioni normali e spostamenti. Controllare la forza del raggio. Prima del caricamento, c'era uno spazio Δ=0,1 mm tra l'estremità superiore e il supporto. Materiale - acciaio St 3, modulo di elasticità longitudinale E=2·10 5 MPa, sollecitazione ammissibile [σ]=160 MPa.

1. Dopo il caricamento il divario si chiuderà e reazioni presentarsi e in fondo, e dentro superiore sostegno. Mostriamoli arbitrariamente, queste sono reazioni RA e RB . Componiamo equazione della statica.

∑a=0 RA- F 1 + F 2 - RB=0

Nell'equazione 2 incognite e l'equazione uno, quindi il compito 1 una volta staticamente indeterminato, e la sua soluzione richiede 1 equazione aggiuntiva.

esso equazione di compatibilità della deformazione. In questo caso la compatibilità delle deformazioni delle sezioni della trave è quella la variazione della lunghezza della trave (allungamento) non può superare lo spazio vuoto, cioè. Δ ℓ =Δ , questo è condizione di compatibilità della deformazione.

1. Ora divideremo la trave in sezioni e disegneremo sezioni su di esse: la loro 4 nel conteggio caratteristica trame. Ogni sezione è considerata separatamente, in movimento in una direzione- dal basso supporto verso l'alto. In ogni sezione esprimiamo la forza N attraverso reazione sconosciuta. Regia N dalla sezione.

Scriviamo separatamente i valori forze longitudinali nelle sezioni:

N 1 = -RA

N 2 = 120 -RA

N 3 = 120 -RA

N 4 = 30-RA

3. Torna alla compilazione condizioni di compatibilità della deformazione. abbiamo 4 zona, che significa

Δ ℓ 1 + ∆ ℓ 2+∆ ℓ 3+∆ ℓ 4 = Δ (dimensione dello spazio vuoto).

Usando la formula per definizione di deformazione assoluta comporre equazione di compatibilità della deformazione, è esattamente questo aggiuntivo equazione necessaria per risolvere il problema.

Proviamo semplificare l'equazione. Ricorda che la dimensione del divario Δ=0,1 mm = 0,1 10 -3 m

e- modulo elastico, e\u003d 2 10 5 MPa \u003d 2 10 8 kPa.

Sostituiamo invece N i loro valori, scritti attraverso la reazione di supporto RA .

4. Calcola N e costruire diagramma delle forze longitudinali.

N 1 =-RA =-47,5 kN

N 2 =120 -RA = 72,5 kN

N 3 =120 -RA = 72,5 kN

N 4 =30-RA =-17,5 kN.

5. Definisci sollecitazioni normali σ secondo la formula e costruire i loro diagrammi

Stiamo costruendo diagramma sollecitazioni normali.

Controllo forza.

σ max= 90,63 MPa< [σ]=160МПа.

Forza garantita.

1. Calcolare Dislocamento, utilizzando la formula per le deformazioni.

Andiamo dal muro MA al divario.

Ho il valore ω 4 uguale al gap, si tratta di una verifica della correttezza della definizione degli spostamenti.

Stiamo costruendo diagramma di spostamento.

Una forza longitudinale P e il proprio peso (γ = 78 kN / m 3) agiscono sull'asta d'acciaio. Trova lo spostamento della sezione 1 –1.

Dato: E \u003d 2 10 5 MPa, A \u003d 11 cm 2, a \u003d 3,0 m, b \u003d 3,0 m, c \u003d 1,3 m, P \u003d 2 kN.

Spostamento della sezione 1–1 sarà composto da spostamento dall'azione della forza R, dall'azione del proprio peso sezione sopra e dall'azione del proprio peso sezione sottostante. in movimento dall'azione della forza R sarà uguale all'allungamento della sezione dell'asta lunghezza b+a situato sopra la sezione 1–1. Il carico P provoca allungamento solo zona a, dal momento che ha solo forza longitudinale da questo carico. Secondo La legge di Hooke l'allungamento dall'azione della forza P sarà uguale a: Definire allungamento dal peso proprio dell'asta al di sotto della sezione 1–1.

Indichiamolo come . Si chiamerà proprio peso della trama con e il peso della canna nella sezione a + b

Definiamo allungamento dovuto al peso proprio dell'asta al di sopra della sezione 1–1.

Indichiamolo come sarà chiamato peso proprio della sezione a+b

Quindi spostamento completo della sezione 1-1:

Quelli, la sezione 1-1 diminuirà di 0,022 mm.

Una trave assolutamente rigida poggia su un supporto fisso a perno ed è fissata a due aste con l'ausilio di cerniere. È necessario: 1) trovare le forze e le sollecitazioni nelle aste, esprimendole in termini di forza Q; 2) Trovare il carico ammissibile Q aggiunto uguagliando la maggiore delle sollecitazioni nelle due aste alla sollecitazione ammissibile ; 3) trovare la capacità di carico ultima del sistema se il carico di snervamento 4) confrontare entrambi i valori ottenuti nel calcolo delle sollecitazioni ammissibili e dei carichi ultimi. Dimensioni: a=2,1 m, b=3,0 m, c=1,8 m, sezione A=20 cm 2

Questo sistema una volta staticamente indeterminato. Per la divulgazione dell'indeterminazione statica è necessario risolvere congiuntamente l'equazione di equilibrio e l'equazione di compatibilità delle deformazioni dell'asta.

(1) -equazione di equilibrio

Componiamo schema di deformazione- vedi fig. Quindi dallo schema: (2)

Di La legge di Hooke noi abbiamo:

Lunghezze delle canne:Quindi otteniamo:

Sostituisci la relazione risultante nell'equazione (1):

Definiamo voltaggio nelle canne:

Nello stato limite: Sostituiamo le relazioni ottenute nell'equazione (1):

Se confrontato, vediamo un aumento del carico:

Una colonna composta da un'asta d'acciaio e un tubo di rame è compressa da una forza P. La lunghezza della colonna è ℓ. Esprimere le forze e le sollecitazioni che si verificano in una barra d'acciaio e in un tubo di rame.
Disegniamo una sezione 1 - 1 e consideriamo l'equilibrio della parte tagliata

Componiamo equazione statica: N C + N M - P= 0 , N C + N M = P (1)

Il problema è staticamente indeterminato. Equazione di compatibilità della deformazione scrivi dalla condizione che gli allungamenti dell'asta d'acciaio e del tubo di rame sono gli stessi:(2) oCancelliamo entrambe le parti per la lunghezza dell'asta ed esprimiamo forza in un tubo di rame attraverso la forza in un tondino di acciaio:

(3) Sostituisci il valore trovato nell'equazione (1), otteniamo:

Sempre lavorando insieme l'elemento costituito da un materiale ad alto modulo elastico viene sollecitato maggiormente. In E C \u003d 2 10 5 MPa, E M \u003d 1 10 5 MPa:

Per la colonna, determinare le sollecitazioni in tutte le sezioni. Dopo aver applicato la forza P, lo spazio si chiude, P = 200 kN, E = 2. 10 5 MPa, A \u003d 25 cm 2 Dopo aver applicato la forza P, ci sarà sforzi di pizzicamento. Chiamiamoli C e B.

Componiamo equazione statica: ∑y = 0; C + B - P \u003d 0; (uno)

Aggiuntivo equazione di compatibilità della deformazione: ∆ℓ 1 +∆ℓ 2 =0,3 mm (2);

Trovare deformazione assoluta, devi sapere forza longitudinale Posizione su. Sul primo sezione, la forza longitudinale è uguale a DA, sul secondo differenze (S-R). Sostituiamo questi valori nelle espressioni per le deformazioni assolute: (3)

Sostituiamo l'espressione (3 ) in espressione ( 2) e trova: C = 150 kN, e da (1) B = 50 kN .

Quindi voltaggio nelle aree:

Una trave rigida è sospesa su tre tondini d'acciaio; l'asta 2 è resa più corta di quella di progetto. Determinare le sollecitazioni nelle aste dopo l'assemblaggio del sistema. Dato:

Dopo il completamento dell'assemblaggio in questo sistema, la trave rigida girerà e prendi nuova posizione.

punti CD e Per passare alle posizioni С 1 , D 1 e K 1

Secondo il modello di deformazione SS 1 =Δℓ 1, DD 1 =Δ−D 1 D 2 = Δ−Δℓ 2, KK 1 \u003d ℓ 3, mentre le canne 1 e 3 sperimentando compressione, e la canna 2 – allungamento.

Secondo lo schema di deformazione equazione di equilibrio assumerà la forma:

Ulteriori equazioni possono essere ottenute in base a analisi dello schema di deformazione; da triangoli simili VSS 1 e BDD 1, triangoli VSS 1 e BKK 1 segue:

Secondo Deformazioni assolute della legge di Hooke:

Quindi le equazioni aggiuntive saranno scritte come segue: Risolvendo insieme questo sistema di equazioni addizionali ottenute e l'equazione di equilibrio, otteniamo:

N 1 \u003d 14,3 kN (l'asta è compressa), N 2 \u003d 71,5 kN (l'asta è tesa), N 3 \u003d 42,9 kN (l'asta è compressa).

Così, il desiderato sollecitazioni nelle aste hanno significati:
Problema risolto.

L'asta di rame a gradini viene riscaldata dalla temperatura t H =20ºС a t К =50ºС. Controllare la forza dell'asta. Dato:

Componiamo equazione di bilanciamento dell'asta ipotizzando la sostituzione di collegamenti esterni con forze reattive: Come puoi vedere, il sistema è staticamente indeterminato e per risolverlo è necessaria un'equazione aggiuntiva.

L'equazione di compatibilità delle deformazioni deriva dalla condizione che gli spostamenti dei collegamenti esterni siano uguali a 0 - W B =0 o W K =0. In questo modo:

Dove:

Di conseguenza RB \u003d 20723N.

Forze e sollecitazioni normali nelle aree:

Secondo i risultati dei calcoli σ max =│69,1│MPa, in cui σmax< σ adm , (69,1<80). Di conseguenza, la condizione di resistenza dell'asta è soddisfatta.

Calcolo di una barra con uno spazio vuoto. Per una barra a gradini in acciaio con uno spazio tra l'estremità inferiore e il supporto, è necessario: costruire diagrammi di forze e sollecitazioni normali, spostamenti; controlla la forza. Dato:

Componiamo equazione di equilibrio asta:

In lui Due sconosciuto, sistema una volta staticamente indeterminato,necessario l'equazione aggiuntiva è l'equazione della deformazione.

È possibile scrivere un'equazione aggiuntiva dalla condizione di chiudere il divario nel processo di deformazione dell'asta:

Per le zone in esame deformazioni assolute:

Definiamo forze normali (longitudinali)., vai dal muro al varco:

Sostituisci tutti i valori trovati in equazione aggiuntiva:

Dopo aver sostituito i dati iniziali e le abbreviazioni:

Da equazioni di equilibrio noi abbiamo:

In questo modo, R B \u003d 40,74 kN, R K \u003d 9,26 kN.

Calcolo forze normali:
Stiamo costruendo trama N

Calcolo sollecitazioni normali:
Stiamo costruendo diagramma di sollecitazione normale

Calcolo movimenti sezioni caratteristiche.

Viene adottata la regola dei segni per gli spostamenti: giù - positivo, su - negativo.
Stiamo costruendo diagramma di movimento.

Viene fornito un sistema di aste staticamente indeterminato (la parte BCD è rigida). È necessario selezionare le aree della sezione trasversale delle barre 1 e 2.

Denota sforzi rispettivamente nelle aste 1 e 2 N1 e N 2.

Mostriamo lo schema del sistema con gli sforzi N 1 e N 2

Componi per questo sistema Equazione di equilibrio, escludendo dalla considerazione le forze reattive nel supporto C Questa equazione contiene due incognite: N 1 e N 2. Pertanto, il sistema una volta staticamente indeterminato, e per la sua soluzione è richiesto equazione aggiuntiva. esso equazione di deformazione. Mostriamo il sistema dentro stato deformabile sotto carico :

Da analisi del sistema in uno stato deformabile segue che:

Dal , e dato che possiamo scrivere: L'ultima voce è il necessario aggiuntivo equazione di deformazione.

Scriviamo i valori delle deformazioni assolute delle aste:

Quindi, tenendo conto dei dati iniziali equazione aggiuntiva assumerà la forma:

Presta attenzione a equazione di equilibrio, otteniamo il sistema:

Dalla soluzione di questo sistema di equazioni segue:

N 1 \u003d 48kN (asta tesa), N 2 \u003d -36,31kN (asta compressa).

Secondo condizione di resistenza dell'asta 1:

quindi, tenendo conto della condizione A 1 \u003d 1,5 A 2 dato l'incarico, otteniamo

Secondo condizione di resistenza dell'asta 2:Quindi

Accettiamo infine:

Le barre e i sistemi a snodo in cui è possibile determinare le forze interne di un determinato carico mediante equazioni di equilibrio (equazioni statiche) sono detti staticamente determinati.

Al contrario, barre e sistemi sono detti staticamente indeterminati, le forze interne in cui non possono essere determinate usando le sole equazioni di equilibrio. Pertanto, durante il loro calcolo, è necessario comporre equazioni aggiuntive (equazioni di spostamento che tengono conto della natura della deformazione del sistema. Il numero di equazioni aggiuntive necessarie per calcolare il sistema caratterizza il grado della sua indeterminazione statica. Puoi comporre tutte le equazioni aggiuntive necessarie per risolvere il problema.

Le forze negli elementi di sistemi staticamente determinati derivano solo dall'azione di un carico esterno (compreso il peso proprio della struttura). Negli elementi di sistemi staticamente indeterminati, le forze possono sorgere anche in assenza di un carico esterno, come risultato, ad esempio, di variazioni di temperatura, spostamento degli elementi di fissaggio del supporto e imprecisioni nella fabbricazione dei singoli elementi strutturali.

Il passaggio più importante nel calcolo di sistemi staticamente indeterminati è la compilazione di equazioni di spostamento aggiuntive (alle equazioni di equilibrio). Considereremo i metodi della loro compilazione usando esempi di risoluzione di vari problemi di calcolo di sistemi staticamente indeterminati.

Si consideri un'asta pizzicata (incastrata) ad entrambe le estremità e caricata con una forza P (Fig. 26.2, a). Sotto l'azione della forza P, si verificano reazioni nelle guarnizioni ed è necessario determinare l'entità di queste forze. In questo caso (quando tutte le forze agiscono lungo una retta), la statica consente di creare una sola equazione di equilibrio:

Pertanto, per determinare le due incognite, è necessario comporre un'ulteriore equazione. Pertanto, l'asta in esame è una volta staticamente indeterminata (cioè il grado della sua indeterminazione statica è uguale a uno). Per elaborare un'equazione aggiuntiva, scartiamo l'incastonatura inferiore e sostituiamo il suo effetto sull'asta con una reazione (Fig. 26.2, b). Supponiamo che agisca una sola forza P e che non vi sia alcuna forza. Sotto l'azione della forza R, viene deformata solo la parte superiore dell'asta di lunghezza a, per cui la sezione, in cui viene applicata la forza P, si abbassa del valore La parte inferiore dell'asta di lunghezza b non si deforma, ma si abbassa, come un corpo rigido, della stessa quantità, per cui la sezione si sposta dove viene applicata la forza P. In particolare, anche l'estremità inferiore dell'asta si abbassa della stessa quantità.

Assumiamo ora che agisca solo la forza e che la forza P sia assente.

Sotto l'azione della forza, l'intera asta si deforma, per cui l'estremità inferiore dell'asta si sposta verso l'alto del valore .

Infatti l'estremità inferiore dell'asta, essendo incassata, non riceve movimento. Pertanto, lo spostamento verso il basso, causato dalla forza P, deve essere uguale allo spostamento verso l'alto, causato dalla forza da cui si può trovare Conoscere il valore dall'equazione (46.2).

Dopo aver determinato le reazioni provocate dall'azione della forza P, si procede al tracciamento delle forze longitudinali e al calcolo della resistenza, come nel caso di un problema staticamente determinabile.

Va notato che le direzioni di reazioni sconosciute, spostamenti, ecc. possono essere prese in modo abbastanza arbitrario. Nell'esempio considerato, per le reazioni si assume la direzione verso l'alto. Come risultato del calcolo, i valori di entrambe le reazioni sono stati trattati positivi; ciò significa che le loro effettive direzioni coincidono con quelle precedentemente accettate. Se, ad esempio, prendiamo la direzione verso il basso per la reazione, come risultato della risoluzione dell'equazione aggiuntiva, otteniamo il segno "meno" che indica che la direzione effettiva della reazione del sigillo inferiore è l'opposto della sua direzione accettata , cioè che sia diretto verso l'alto. Pertanto, il risultato finale del calcolo non dipende da quale direzione della reazione viene presa preliminarmente.

Consideriamo un sistema a cardine piatto, staticamente indeterminato, costituito da tre aste, le cui estremità inferiori sono collegate da un cardine D comune (Fig. 27.2). L'area della sezione trasversale dell'asta centrale è uguale a una delle aste esterne

Una forza verticale P viene applicata alla cerniera D. È necessario determinare le forze nelle aste dall'azione di questa forza.

Poiché i giunti di tutte le estremità delle aste sono incernierati, le reazioni delle cerniere A, B e C sono dirette lungo gli assi delle aste e, quindi, si intersecano nel punto D.

Il numero di reazioni è tre. Ma poiché il sistema e il carico sono simmetrici rispetto all'asse verticale, le reazioni RA e sono uguali tra loro, e quindi, per risolvere il problema, è sufficiente determinare due reazioni RA e

Per un sistema piano di forze che si intersecano in un punto, è noto che si possono comporre due equazioni di equilibrio: e Tuttavia, queste due equazioni non sono sufficienti per determinare le reazioni e RB, poiché la condizione di simmetria è già stata utilizzata, e questo è equivale a usare l'equazione di equilibrio. Rimane solo un'equazione di equilibrio e il numero di forze sconosciute è due. Quindi, per risolvere il problema, è necessario comporre un'ulteriore equazione e, quindi, il problema è una volta staticamente indeterminato.

L'equazione di equilibrio ha la forma

Per comporre un'equazione aggiuntiva, considera gli spostamenti del sistema.

Nelle barre AD, BD e CD si generano rispettivamente delle forze longitudinali La barra BD sotto l'azione della forza longitudinale si allungherà del valore La barra AD si allungherà del valore Considerando che otteniamo

La cerniera D si abbasserà di un valore e assumerà la posizione D (Fig. 27.2).

Per esprimere l'allungamento della barra AD in termini di spostamento, è necessario proiettare questo spostamento nella direzione dell'asse della barra:

Qui, per il fatto che lo spostamento è piccolo rispetto alle lunghezze delle aste, si assume l'angolo ADB (Fig. 27.2) uguale ad a, cioè l'angolo ADB (tra gli assi delle aste AD e BD in un struttura indeformata).

Sostituiamo nell'equazione (48.2) le espressioni e DB ottenuti sopra:

Risolvendo questa equazione insieme all'equazione di equilibrio (47.2), otteniamo

Dalle espressioni (49.2) si può vedere che con un aumento delle aree della sezione trasversale delle aste AD e CD (cioè con un aumento di ), le forze in esse aumentano e la forza nell'asta BD diminuisce.

Questo risultato riflette le caratteristiche dei sistemi staticamente indeterminati, in cui un aumento della rigidità di alcuni elementi porta ad un aumento delle forze in essi e solitamente ad una diminuzione delle forze negli elementi rimanenti. Nei sistemi staticamente determinati, la distribuzione delle forze in una struttura non dipende dalla rigidità dei suoi elementi.

Si consideri un sistema costituito da tre aste: un tubo di alluminio di un tubo di acciaio 2 inserito in uno di alluminio, e un'asta piena di ghisa 3 situata all'interno del tubo di acciaio (Fig. 28.2, a).

Sia i tubi che un'asta di ghisa sono posti tra piastre assolutamente rigide e sono compressi dalla forza P. È necessario determinare le sollecitazioni nelle sezioni trasversali di ciascuna delle aste causate dalla forza P.

Disegniamo una sezione orizzontale e redigiamo un'equazione di equilibrio per la parte superiore del sistema (Fig. 28.2, b):

dove sono le sollecitazioni normali nelle sezioni trasversali delle barre di alluminio, acciaio e ghisa, rispettivamente (qui si presume che le sollecitazioni normali di compressione siano positive); sono le aree della sezione trasversale di queste aste.

I prodotti rappresentano le forze longitudinali nelle sezioni trasversali delle aste.

Non è possibile compilare altre equazioni di equilibrio per il sistema di forze parallele considerato, quindi, per determinare le tre sollecitazioni incognite, oltre all'equazione di equilibrio (50.2), è necessario comporre due equazioni aggiuntive. Di conseguenza, il sistema in esame è due (due volte) staticamente indeterminato.

Per compilare equazioni aggiuntive, utilizziamo il fatto che tutte e tre le aste sono fissate tra due piastre rigide e quindi le deformazioni longitudinali di tutte le aste sono le stesse. Indichiamo la relativa deformazione longitudinale delle aste.

Basato sulla legge di Hooke

dove sono i moduli elastici dei materiali dell'asta.

Da questa uguaglianza otteniamo due ulteriori equazioni:

Sostituendo i valori delle equazioni (52.2) nell'equazione (50.2), troviamo

dove è l'area della sezione trasversale dell'intera asta composita ridotta ad alluminio:

Sulla fig. 28.2, b mostra il diagramma delle tensioni normali nel sistema in esame con il rapporto tra i moduli elastici pari a 1:3:2.

Le aree indicate vengono utilizzate nella progettazione di barre di elasticità eterogenea, ad esempio colonne in cemento armato costituite da tondini d'acciaio (armatura) posizionati nel calcestruzzo. Il legame tra l'armatura e il calcestruzzo impedisce che l'armatura si muova rispetto al calcestruzzo circostante. Pertanto, le deformazioni longitudinali del calcestruzzo e dell'armatura sono le stesse e il rapporto tra le sollecitazioni normali nell'armatura e le sollecitazioni nel calcestruzzo è uguale al rapporto tra i moduli elastici di questi materiali.

Consideriamo ora il sistema mostrato in Fig. 29.2, a, costituito da una barra assolutamente rigida, sorretta su un supporto incernierato e fissata a due tiranti AAX e CCX (in acciaio duttile) con l'ausilio di cerniere.

Determiniamo dalle condizioni della resistenza delle barre d'acciaio il carico ammissibile, il carico massimo e il carico massimo ammissibile.

Le reazioni e le aste incernierate alle estremità sono dirette lungo gli assi di queste aste. La reazione del supporto B ha una componente orizzontale ed una componente verticale in quanto tale supporto impedisce i movimenti orizzontali e verticali del punto B della trave.

Pertanto, ci sono quattro reazioni sconosciute in totale (Fig. 29.2, b) e possono essere elaborate solo tre equazioni di equilibrio per un sistema di forze piatto. Pertanto, questo sistema è una volta staticamente indeterminato e per la sua soluzione è necessario comporre un'equazione aggiuntiva.

In base alla condizione del problema, è necessario determinare le reazioni delle barre d'acciaio AAX e SCX (uguali alle forze longitudinali nelle sezioni trasversali di queste barre) e non è necessario determinare le reazioni. Pertanto, è sufficiente utilizzare una delle tre possibili equazioni di equilibrio, che non includerebbe le reazioni e .

Questa è l'equazione sotto forma della somma dei momenti di tutte le forze relative alla cerniera B:

Per comporre un'equazione aggiuntiva, considera la deformazione del sistema. Sulla fig. 29.2, b, la linea tratteggiata mostra l'asse della trave dopo la deformazione del sistema. Questo asse rimane rettilineo, in quanto la barra è assolutamente rigida e, quindi, non si deforma, ma può ruotare solo attorno al punto B. Dopo la deformazione, le cerniere A e C vanno rispettivamente nelle posizioni A e C, ovvero si muovono verticalmente di valori. Dalla somiglianza dei triangoli AAB e CCB troviamo

Esprimiamo l'allungamento dell'asta, e l'allungamento dell'asta attraverso gli spostamenti. Per fare ciò, progettiamo gli spostamenti nelle direzioni delle aste:

oppure, tenendo conto dell'uguaglianza (56.2)

Ma secondo la legge di Hooke [secondo la formula (13.2)]

e, quindi, sulla base dell'uguaglianza (57.2)

Dopo aver risolto l'equazione (58.2) insieme all'equazione di equilibrio (55.2), troviamo i valori delle forze longitudinali espresse attraverso il carico Q. Dividendo le forze rispettivamente per le aree della sezione, determiniamo le sollecitazioni normali nell'acciaio canne. Quindi uguagliando la maggiore di queste sollecitazioni con la sollecitazione ammissibile, troviamo il valore di Q, uguale al carico ammissibile

Quando il carico Q aumenta oltre il valore della sollecitazione in entrambe le aste, prima aumentano in proporzione diretta al carico. Se, ad esempio, e quindi il valore è ricavato dalla condizione allora, quando il carico sale ad un certo valore, le sollecitazioni nel primo stelo raggiungono il limite di snervamento, in questo caso le sollecitazioni nel secondo stelo rimangono minori

Nel processo di ulteriore aumento del carico, le sollecitazioni nel primo stelo rimangono costanti, pari al limite di snervamento, e nel secondo aumentano fino a divenire anch'esse uguali.Questo stato del sistema è chiamato stato limite, corrispondente a l'esaurimento della sua capacità di carico; inoltre, anche un leggero aumento del carico è associato a deformazioni molto grandi del sistema. Il valore di Q, che determina lo stato limite, è designato e chiamato carico limite.

Per determinare il valore, componiamo un'equazione di equilibrio nella forma della somma dei momenti (relativi alla cerniera B) di tutte le forze agenti su una barra rigida allo stato limite, quando

Dividendo per il coefficiente di sicurezza standard della capacità portante, otteniamo il valore del carico massimo ammissibile:

Se il valore nella formula (59.2) è preso uguale al valore [vedi. formula (42.2)], allora il valore del carico massimo ammissibile sarà maggiore del valore del carico ammissibile ottenuto calcolando le sollecitazioni ammissibili.

Più in dettaglio, le questioni relative alla determinazione dei carichi massimi e massimi consentiti sono considerate nel cap. 17.

Stabiliamo ora un metodo per determinare le sollecitazioni di montaggio in una struttura staticamente indeterminata causata da imprecisioni nella fabbricazione dei suoi elementi. Si consideri, ad esempio, una struttura composta da tre tondini d'acciaio con sezioni trasversali, le cui estremità sono fissate in modo imperniato a due piastre rigide (Fig. 30.2, a). Tutte le canne avrebbero dovuto avere la stessa lunghezza l, ma la prima canna è stata resa più lunga e la seconda 68 più corta del disegno, molto piccola rispetto a I). A questo proposito, dopo il montaggio, nelle aste si sono verificate le cosiddette sollecitazioni iniziali (o di montaggio). Definiamo questi stress.

Assumiamo che dopo l'installazione della struttura, la piastra di fondo abbia preso la posizione mostrata in Fig. 30.2, ma con una linea tratteggiata, cioè che in fase di installazione tutte le aste si siano allungate e, quindi, siano tutte tese.

Disegniamo una sezione attraverso le aste (Fig. 30.2, o) ed elaboriamo le condizioni di equilibrio per la parte inferiore (tagliata) della struttura (Fig. 30.2, b):

a) la somma delle proiezioni delle forze sulla verticale

b) la somma dei momenti delle forze relativi alla cerniera inferiore sinistra A

L'equazione (61.2) mostra che le forze nella seconda e terza asta hanno segni diversi, cioè una di esse è allungata e l'altra è compressa.

Pertanto, l'assunto fatto che tutte le aste siano tese non è corretto; tuttavia, semplifica ulteriormente il ragionamento e non introduce errori nei risultati del calcolo.

Le due equazioni di equilibrio (60.2) e (61.2) includono tre forze sconosciute. Di conseguenza, la costruzione in esame è una volta staticamente indeterminata.

Per compilare un'equazione aggiuntiva, considerare l'allungamento delle aste durante l'installazione. Indichiamo le estensioni rispettivamente della prima, della seconda e della terza asta (Fig. 30.2, a). Partendo dal presupposto di assoluta rigidità delle piastre, concludiamo che tutti e tre i cardini inferiori si trovano sulla stessa retta. Questo ci permette di comporre per triangoli simili ACE e BCD (Fig. 30.2, a) la seguente relazione:

Ma dalla Fig. 30.2, e ne consegue

Basato sulla legge di Hooke