Sovetovin ja Jakovlevin oppikirjan mukaan "malli (latinaksi modulus - mitta) on alkuperäisen kohteen objektikorvike, joka tarjoaa tutkimuksen alkuperäisen joistakin ominaisuuksista." (s. 6) "Osen korvaamista toisella, jotta saadaan tietoa alkuperäisen kohteen tärkeimmistä ominaisuuksista malliobjektin avulla, kutsutaan mallintamiseksi." (s. 6) "Matemaattisessa mallinnuksessa ymmärrämme prosessin, jossa muodostetaan vastaavuus tietylle matemaattiselle objektille, jota kutsutaan matemaattiseksi malliksi, ja tämän mallin tutkimista, joka mahdollistaa tarkasteltavan todellisen kohteen ominaisuuksien saamisen . Matemaattisen mallin tyyppi riippuu sekä todellisen kohteen luonteesta että kohteen tutkimisen tehtävistä sekä tämän ongelman ratkaisemisen vaadittavasta luotettavuudesta ja tarkkuudesta.

Lopuksi matemaattisen mallin ytimekkäin määritelmä: "Yhtälö, joka ilmaisee ajatuksen."

Mallin luokitus

Mallien muodollinen luokittelu

Mallien muodollinen luokittelu perustuu käytettyjen matemaattisten työkalujen luokitukseen. Usein rakennettu dikotomioiden muodossa. Esimerkiksi yksi suosituimmista dikotomioista on:

ja niin edelleen. Jokainen rakennettu malli on lineaarinen tai epälineaarinen, deterministinen tai stokastinen, ... Luonnollisesti myös sekatyypit ovat mahdollisia: keskittyneet yhdessä suhteessa (parametrien suhteen), hajautetut mallit toisessa jne.

Luokittelu objektin esittämistavan mukaan

Muodollisen luokituksen ohella mallit eroavat tavasta, jolla ne edustavat objektia:

• Rakenteelliset tai toiminnalliset mallit

Rakennemallit edustavat kohdetta järjestelmänä, jolla on oma laite ja toimintamekanismi. Funktionaaliset mallit eivät käytä tällaisia ​​esityksiä ja heijastavat vain kohteen ulkoisesti havaittua käyttäytymistä (toimintaa). Äärimmäisessä ilmaisussaan niitä kutsutaan myös "musta laatikko" -malleiksi. Myös yhdistetyt mallit ovat mahdollisia, joita joskus kutsutaan "harmaiksi laatikoiksi".

Sisältö ja muodolliset mallit

Melkein kaikki matemaattisen mallinnuksen prosessia kuvaavat kirjoittajat osoittavat, että ensin rakennetaan erityinen ideaalirakenne, sisältömalli. Täällä ei ole vakiintunutta terminologiaa, ja muut kirjoittajat kutsuvat tätä ihanteellista objektia Havainnemalli , spekulatiivinen malli tai esimalli. Tässä tapauksessa lopullinen matemaattinen konstruktio kutsutaan muodollinen malli tai vain tämän sisältömallin formalisoinnin tuloksena saatu matemaattinen malli (esimalli). Mielenkiintoisen mallin rakentaminen voidaan suorittaa käyttämällä valmiita idealisaatioita, kuten mekaniikassa, jossa ihanteelliset jouset, kiinteät ruumiit, ihanteelliset heilurit, elastiset materiaalit jne. tarjoavat valmiita rakenneosia mielekkääseen mallintamiseen. Kuitenkin niillä tiedon aloilla, joilla ei ole täysin valmiita formalisoituja teorioita (fysiikan, biologian, taloustieteen, sosiologian, psykologian ja useimpien muiden alojen kärjessä), mielekkäiden mallien luominen on dramaattisesti monimutkaisempaa.

Mielekäs mallien luokittelu

Mitään tieteen hypoteesia ei voida todistaa lopullisesti. Richard Feynman ilmaisi asian hyvin selvästi:

"Meillä on aina kyky kumota teoria, mutta huomaa, että emme voi koskaan todistaa sen olevan oikea. Oletetaan, että esität onnistuneen hypoteesin, lasket mihin se johtaa ja havaitsit, että kaikki sen seuraukset vahvistetaan kokeellisesti. Tarkoittaako tämä, että teoriasi on oikea? Ei, se tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, ettet pystynyt kumoamaan sitä.

Jos ensimmäisen tyypin malli rakennetaan, tämä tarkoittaa, että se tunnistetaan tilapäisesti todeksi ja voidaan keskittyä muihin ongelmiin. Tämä ei kuitenkaan voi olla tutkimuksen pointti, vaan vain väliaikainen tauko: ensimmäisen tyypin mallin tila voi olla vain väliaikainen.

Tyyppi 2: Fenomenologinen malli (käyttäytyä kuin…)

Fenomenologinen malli sisältää mekanismin ilmiön kuvaamiseksi. Tämä mekanismi ei kuitenkaan ole riittävän vakuuttava, sitä ei voida riittävästi vahvistaa saatavilla olevilla tiedoilla tai se ei ole hyvin yhtäpitävä olemassa olevien teorioiden ja kohteesta kertyneen tiedon kanssa. Siksi fenomenologisilla malleilla on tilapäisten ratkaisujen asema. Uskotaan, että vastausta ei vielä tiedetä, ja on tarpeen jatkaa "oikeiden mekanismien" etsimistä. Peierls viittaa esimerkiksi alkuainehiukkasten kalorimalliin ja kvarkkimalliin toiseen tyyppiin.

Mallin rooli tutkimuksessa voi muuttua ajan myötä, voi tapahtua, että uudet tiedot ja teoriat vahvistavat fenomenologisia malleja ja ne nousevat hypoteesin asemaan. Samoin uusi tieto voi vähitellen joutua ristiriitaan ensimmäisen tyypin mallien-hypoteesien kanssa ja siirtyä toiseen. Siten kvarkkimalli on vähitellen siirtymässä hypoteesien kategoriaan; Fysiikan atomismi syntyi väliaikaisena ratkaisuna, mutta historian kuluessa se siirtyi ensimmäiseen tyyppiin. Mutta eetterimallit ovat siirtyneet tyypistä 1 tyyppiin 2, ja nyt ne ovat tieteen ulkopuolella.

Yksinkertaistamisen idea on erittäin suosittu mallien rakentamisessa. Mutta yksinkertaistaminen on eri asia. Peierls erottaa mallinnuksen kolme tyyppiä yksinkertaistamista.

Tyyppi 3: Lähentäminen (jotain pidetään erittäin suurena tai erittäin pienenä)

Jos tutkittavaa järjestelmää kuvaavia yhtälöitä on mahdollista rakentaa, se ei tarkoita, että ne voitaisiin ratkaista edes tietokoneen avulla. Yleinen tekniikka tässä tapauksessa on approksimaatioiden käyttö (tyypin 3 mallit). Heidän keskuudessaan lineaariset vastemallit. Yhtälöt korvataan lineaarisilla. Vakioesimerkki on Ohmin laki.

Ja tässä on tyyppi 8, jota käytetään laajalti biologisten järjestelmien matemaattisissa malleissa.

Tyyppi 8: Mahdollisuuden esittely (tärkeintä on näyttää mahdollisuuden sisäinen johdonmukaisuus)

Nämä ovat myös ajatuskokeita kuvitteellisilla kokonaisuuksilla, jotka osoittavat sen oletettu ilmiö perusperiaatteiden mukainen ja sisäisesti johdonmukainen. Tämä on tärkein ero tyypin 7 malleista, jotka paljastavat piilotetut ristiriidat.

Yksi tunnetuimmista näistä kokeista on Lobatševskin geometria (Lobatševski kutsui sitä "kuvitteelliseksi geometriaksi"). Toinen esimerkki on kemiallisten ja biologisten värähtelyjen, autoaaltojen jne. muodollisesti kineettisten mallien massatuotanto. Einstein-Podolsky-Rosenin paradoksi suunniteltiin tyypin 7 malliksi osoittamaan kvanttimekaniikan epäjohdonmukaisuutta. Täysin suunnittelemattomalla tavalla siitä tuli lopulta tyypin 8 malli - osoitus tiedon kvanttiteleportaation mahdollisuudesta.

Esimerkki

Harkitse mekaaninen järjestelmä, joka koostuu toiseen päähän kiinnitetystä jousesta ja massakuormasta m kiinnitetty jousen vapaaseen päähän. Oletetaan, että kuorma voi liikkua vain jousen akselin suuntaan (esimerkiksi liike tapahtuu tankoa pitkin). Tehdään tästä järjestelmästä matemaattinen malli. Kuvaamme järjestelmän tilaa etäisyyden perusteella x kuorman keskeltä sen tasapainoasentoon. Kuvataan jousen ja kuorman vuorovaikutusta käyttämällä Hooken laki (F = − kx ), jonka jälkeen käytämme Newtonin toista lakia ilmaisemaan se differentiaaliyhtälön muodossa:

jossa tarkoittaa toista johdannaista x ajan kanssa: .

Tuloksena oleva yhtälö kuvaa tarkasteltavan fyysisen järjestelmän matemaattista mallia. Tätä mallia kutsutaan "harmoniseksi oskillaattoriksi".

Muodollisen luokituksen mukaan tämä malli on lineaarinen, deterministinen, dynaaminen, keskittynyt, jatkuva. Sen rakentamisprosessissa teimme monia oletuksia (ulkoisten voimien puuttumisesta, kitkan puuttumisesta, poikkeamien pienuudesta jne.), jotka eivät todellisuudessa välttämättä toteudu.

Todellisuudessa tämä on useimmiten tyypin 4 malli. yksinkertaistaminen("jätämme pois joitain yksityiskohtia selvyyden vuoksi"), koska joitakin olennaisia ​​universaaleja piirteitä (esimerkiksi hajoaminen) jätetään pois. Jossain likiarvossa (esim. niin kauan kuin kuorman poikkeama tasapainosta on pieni, vähäkitkaisena, ei liian pitkään ja tietyissä muissa olosuhteissa) tällainen malli kuvaa varsin hyvin todellista mekaanista järjestelmää, koska hylätyillä tekijöillä on vähäinen vaikutus sen käyttäytymiseen. Mallia voidaan kuitenkin jalostaa ottamalla huomioon joitain näistä tekijöistä. Tämä johtaa uuteen malliin, jolla on laajempi (joskin jälleen rajoitettu) soveltamisala.

Kuitenkin, kun mallia jalostetaan, sen matemaattisen tutkimuksen monimutkaisuus voi kasvaa merkittävästi ja tehdä mallista käytännössä hyödyttömän. Usein enemmän yksinkertainen malli avulla voit tutkia todellista järjestelmää paremmin ja syvemmälle kuin monimutkaisempaa (ja muodollisesti "oikeampaa").

Jos käytämme mallia harmoninen oskillaattori fysiikasta kaukana oleviin esineisiin, sen aineellinen asema voi olla erilainen. Esimerkiksi sovellettaessa tätä mallia biologisiin populaatioihin, se tulisi mitä todennäköisimmin liittää tyyppiin 6 analogia("Otetaan huomioon vain jotkin ominaisuudet").

Kovia ja pehmeitä malleja

Harmoninen oskillaattori on esimerkki niin sanotusta "kovasta" mallista. Se saadaan todellisen fyysisen järjestelmän vahvan idealisoinnin tuloksena. Sen sovellettavuuden ratkaisemiseksi on välttämätöntä ymmärtää, kuinka merkittäviä ovat tekijät, jotka olemme laiminlyöneet. Toisin sanoen on tarpeen tutkia "pehmeää" mallia, joka saadaan "kovan" pienellä häiriöllä. Se voidaan antaa esimerkiksi seuraavalla yhtälöllä:

Tässä - jokin toiminto, joka voi ottaa huomioon kitkavoiman tai jousen jäykkyyskertoimen riippuvuuden sen venytysasteesta - jokin pieni parametri. Funktion eksplisiittinen muoto f emme ole tällä hetkellä kiinnostuneita. Jos todistetaan, että pehmeän mallin käyttäytyminen ei pohjimmiltaan poikkea kovan mallin käyttäytymisestä (riippumatta häiritsevien tekijöiden eksplisiittisestä muodosta, jos ne ovat tarpeeksi pieniä), ongelma rajoittuu kovan mallin tutkimiseen. Muuten jäykän mallin tutkimuksessa saatujen tulosten soveltaminen vaatii lisätutkimusta. Esimerkiksi harmonisen oskillaattorin yhtälön ratkaisut ovat muodon funktioita, eli värähtelyjä, joiden amplitudi on vakio. Seuraako tästä, että todellinen oskillaattori värähtelee loputtomasti vakioamplitudilla? Ei, koska kun otetaan huomioon järjestelmä, jossa on mielivaltaisen pieni kitka (joka on aina läsnä todellisessa järjestelmässä), saamme vaimennetut värähtelyt. Järjestelmän käyttäytyminen on muuttunut laadullisesti.

Jos järjestelmä säilyttää laadullisen käyttäytymisensä pienessä häiriössä, sen sanotaan olevan rakenteellisesti vakaa. Harmoninen oskillaattori on esimerkki rakenteellisesti epävakaasta (ei-karkeasta) järjestelmästä. Tätä mallia voidaan kuitenkin käyttää prosessien tutkimiseen rajoitetuilla aikaväleillä.

Mallien yleismaailmallisuus

Tärkeimmillä matemaattisilla malleilla on yleensä tärkeä ominaisuus universaalisuus: olennaisesti erilaisia ​​todellisia ilmiöitä voidaan kuvata samalla matemaattisella mallilla. Esimerkiksi harmoninen oskillaattori ei kuvaa vain jousen kuormituksen käyttäytymistä, vaan myös muita värähtelyprosesseja, usein täysin erilaisia: heilurin pieniä värähtelyjä, nesteen pinnan vaihteluita. U-muotoinen suoni tai muutos virran voimakkuudessa värähtelypiirissä. Siten tutkimalla yhtä matemaattista mallia tutkimme kerralla kokonaista luokkaa sen kuvaamia ilmiöitä. Juuri tämä matemaattisten mallien ilmaisemien lakien isomorfismi tieteellisen tiedon eri segmenteissä johti Ludwig von Bertalanffyn luomaan "yleisen järjestelmäteorian".

Matemaattisen mallinnuksen suorat ja käänteiset ongelmat

Matemaattiseen mallintamiseen liittyy monia ongelmia. Ensinnäkin on tarpeen keksiä mallinnettavan kohteen peruskaavio, toistaa se tämän tieteen idealisaatioiden puitteissa. Joten junavaunu muuttuu levyjen ja monimutkaisempien runkojen järjestelmäksi erilaisia ​​materiaaleja, jokainen materiaali määritellään sen vakiomekaaniseksi idealisoinniksi (tiheys, kimmomoduulit, vakiolujuusominaisuudet), minkä jälkeen laaditaan yhtälöt, matkan varrella hylätään joitakin yksityiskohtia merkityksettöminä, tehdään laskelmia, verrataan mittauksiin, jalostetaan mallia, ja niin edelleen. Matemaattisten mallinnustekniikoiden kehittämisen kannalta on kuitenkin hyödyllistä purkaa tämä prosessi sen tärkeimpiin osatekijöihin.

Perinteisesti matemaattisiin malleihin liittyy kaksi pääasiallista ongelmaluokkaa: suora ja käänteinen.

Suora ongelma: mallin rakenne ja kaikki sen parametrit katsotaan tunnetuiksi, päätehtävänä on tutkia mallia hyödyllisen tiedon saamiseksi kohteesta. Mitä staattista kuormitusta silta kestää? Miten se reagoi dynaamiseen kuormaan (esimerkiksi sotilaskomppanian marssiin tai junan kulkuun eri nopeuksilla), kuinka lentokone ylittää äänivallin, hajoaako se lepatusta - nämä ovat tyypillisiä esimerkkejä suorasta tehtävästä. Oikean suoran ongelman asettaminen (oikean kysymyksen esittäminen) vaatii erityistaitoa. Jos oikeita kysymyksiä ei kysytä, silta voi romahtaa, vaikka se olisi rakennettu. hyvä malli hänen käytöksensä vuoksi. Joten vuonna 1879 Englannissa romahti metallisilta Tey-joen yli, jonka suunnittelijat rakensivat sillan mallin, laskivat sen hyötykuorman 20-kertaiseksi turvamarginaaliksi, mutta unohtivat niissä jatkuvasti puhaltavat tuulet. paikoissa. Ja puolentoista vuoden kuluttua se romahti.

Yksinkertaisimmassa tapauksessa (esimerkiksi yksi oskillaattoriyhtälö) suora ongelma on hyvin yksinkertainen ja pelkistyy tämän yhtälön eksplisiittiseksi ratkaisuksi.

Käänteinen ongelma: monia mahdollisia malleja tunnetaan, on tarpeen valita tietty malli objektia koskevien lisätietojen perusteella. Useimmiten mallin rakenne tunnetaan ja joitain tuntemattomia parametreja on määritettävä. lisäinformaatio voi koostua empiirisista lisätiedoista tai objektia koskevista vaatimuksista ( suunnittelutehtävä). Lisätietoa voi tulla riippumatta käänteisen ongelman ratkaisuprosessista ( passiivinen havainto) tai olla ratkaisun aikana erityisesti suunnitellun kokeen tulos ( aktiivinen valvonta).

Yksi ensimmäisistä esimerkeistä käänteisen ongelman virtuoosista ratkaisusta mahdollisimman täydellä käytettävissä olevalla datalla oli I. Newtonin rakentama menetelmä kitkavoimien rekonstruoimiseksi havaituista vaimennetuista värähtelyistä.

Muita esimerkkejä

missä x s- "tasapainoinen" väestön koko, jossa kuolleisuus kompensoi täsmälleen syntyvyyden. Populaatiokoko tällaisessa mallissa pyrkii tasapainoarvoon x s, ja tämä käyttäytyminen on rakenteellisesti vakaata.

Tässä järjestelmässä on tasapainotila, jossa kanien ja kettujen määrä on vakio. Tästä tilasta poikkeaminen johtaa kanien ja kettujen lukumäärän vaihteluihin, jotka ovat samanlaisia ​​kuin harmonisen oskillaattorin vaihtelut. Kuten harmonisen oskillaattorin tapauksessa, tämä käyttäytyminen ei ole rakenteellisesti stabiilia: pieni muutos mallissa (esimerkiksi ottaen huomioon kanien tarvitsemat rajalliset resurssit) voi johtaa laadulliseen käyttäytymisen muutokseen. Esimerkiksi tasapainotila voi muuttua vakaaksi ja väestönvaihtelut hiipuvat. Myös päinvastainen tilanne on mahdollinen, kun pienikin poikkeama tasapainoasennosta johtaa katastrofaalisiin seurauksiin, aina yhden lajin täydelliseen sukupuuttoon asti. Kysymykseen, mikä näistä skenaarioista toteutuu, Volterra-Lotka-malli ei anna vastausta: tässä tarvitaan lisätutkimusta.

Huomautuksia

1. "Todellisuuden matemaattinen esitys" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I.B., Kyberneettisen mallinnuksen filosofisista kysymyksistä. M., Knowledge, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Jakovlev S. A., Järjestelmämallinnus: Proc. yliopistoille - 3. painos, tarkistettu. ja ylimääräisiä - M.: Korkeampi. koulu, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Matemaattinen mallinnus. Ideoita. menetelmät. Esimerkkejä. . - 2. painos, Rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A.D., Matemaattisten mallien teorian elementit. - 3. painos, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192, ISBN 978-5-484-00953-4
6. Wikisanakirja: matemaattiset mallit
7. Cliffs Notes
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity-sarja, Berliini-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 s. ISBN 3-540-35885-4
9. "Teoriaa pidetään lineaarisena tai epälineaarisena riippuen siitä, mitä - lineaarista tai epälineaarista - matemaattista laitteistoa, mitä - lineaarisia tai epälineaarisia - matemaattisia malleja se käyttää. ... jälkimmäistä kieltämättä. Moderni fyysikko, jos hän satuisi määrittelemään uudelleen niin tärkeän kokonaisuuden kuin epälineaarisuus, toimisi todennäköisesti eri tavalla, ja pitäessään parempana epälineaarisuutta tärkeimpänä ja yhteisenä kahdesta vastakohdasta, määrittelisi lineaarisuuden "epälineaariseksi" lineaarisuus”. Danilov Yu.A., Luennot epälineaarisesta dynamiikasta. Alkuperäinen esittely. Synergia: menneisyydestä tulevaisuuteen. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 s. ISBN 5-484-00183-8
10. « Dynaamiset järjestelmät, mallinnettu rajallisella määrällä tavallisia differentiaaliyhtälöt, kutsutaan tiivistetyiksi tai pistejärjestelmät. Niitä kuvataan äärellisulotteisen vaiheavaruuden avulla ja niille on ominaista äärellinen määrä vapausasteita. Sama järjestelmä sisällä erilaisia ​​ehtoja voidaan pitää joko keskittyneenä tai hajautettuna. Hajautettujen järjestelmien matemaattiset mallit ovat osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, integraaliyhtälöitä tai tavallisia viiveyhtälöitä. Hajautetun järjestelmän vapausasteiden määrä on ääretön, ja sen tilan määrittämiseen tarvitaan ääretön määrä dataa. Anishchenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, nro 11, s. 77-84.
11. ”Riippuen järjestelmän S tutkittujen prosessien luonteesta, kaikki mallintamisen tyypit voidaan jakaa deterministiseen ja stokastiseen, staattiseen ja dynaamiseen, diskreettiin, jatkuvaan ja diskreetti-jatkuvaan. Deterministinen mallinnus näyttää deterministisiä prosesseja, toisin sanoen prosesseja, joissa oletetaan satunnaisten vaikutusten puuttumista; stokastinen mallinnus näyttää todennäköisyysprosesseja ja tapahtumia. … Staattista mallinnusta käytetään kuvaamaan kohteen käyttäytymistä milloin tahansa, kun taas dynaaminen mallinnus heijastaa objektin käyttäytymistä ajan kuluessa. Diskreetti mallinnus kuvaa prosesseja, jotka oletetaan diskreeteiksi, vastaavasti jatkuvalla mallinnuksella voit heijastaa jatkuvia prosesseja järjestelmissä ja diskreetti-jatkuvaa mallinnusta käytetään tapauksissa, joissa halutaan korostaa sekä diskreettien että jatkuvien prosessien olemassaoloa. Sovetov B. Ya., Jakovlev S. A., Järjestelmämallinnus: Proc. yliopistoille - 3. painos, tarkistettu. ja ylimääräisiä - M.: Korkeampi. koulu, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
12. Yleensä matemaattinen malli heijastaa mallinnettavan kohteen rakennetta (laitetta), tämän objektin komponenttien ominaisuuksia ja yhteyksiä, jotka ovat olennaisia ​​tutkimuksen kannalta; tällaista mallia kutsutaan rakenteelliseksi. Jos malli heijastaa vain sitä, miten kohde toimii - esimerkiksi kuinka se reagoi ulkoisiin vaikutuksiin -, sitä kutsutaan toiminnalliseksi tai kuvaannollisesti mustaksi laatikoksi. Myös yhdistetyt mallit ovat mahdollisia. Myshkis A.D., Matemaattisten mallien teorian elementit. - 3. painos, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192, ISBN 978-5-484-00953-4
13. ”Ilmeistä, mutta tärkein alkuvaihe matemaattisen mallin rakentamisessa tai valinnassa on saada mahdollisimman selkeä käsitys mallinnettavasta kohteesta ja jalostaa sen sisältömallia epävirallisten keskustelujen pohjalta. Tässä vaiheessa ei kannata säästää aikaa ja vaivaa, siitä riippuu pitkälti koko tutkimuksen onnistuminen. Useammin kuin kerran tapahtui, että matemaattisen ongelman ratkaisemiseen käytetty huomattava työ osoittautui tehottomaksi tai jopa hukkaan, koska asian tähän puoleen ei kiinnitetty riittävästi huomiota. Myshkis A.D., Matemaattisten mallien teorian elementit. - 3. painos, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192, ISBN 978-5-484-00953-4, s. 35.
14. « Järjestelmän käsitteellisen mallin kuvaus. Tässä järjestelmämallin rakentamisen alivaiheessa: a) käsitteellinen malli M kuvataan abstraktein termein ja käsittein; b) mallin kuvaus annetaan käyttäen tyypillisiä matemaattisia kaavioita; c) hypoteesit ja oletukset hyväksytään lopulta; d) todellisten prosessien approksimointimenettelyn valinta mallia rakennettaessa on perusteltu. Sovetov B. Ya., Jakovlev S. A., Järjestelmämallinnus: Proc. yliopistoille - 3. painos, tarkistettu. ja ylimääräisiä - M.: Korkeampi. koulu, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2, s. 93.

Teknisen objektin matemaattinen malli on joukko matemaattisia objekteja ja niiden välisiä suhteita, jotka kuvastavat riittävästi tutkittavan kohteen tutkijaa (insinööriä) kiinnostavia ominaisuuksia.

Mallia voidaan esittää monella eri tavalla.

Malliesitysmuodot:

invariantti - mallirelaatioiden tallentaminen perinteisellä matemaattisella kielellä riippumatta malliyhtälöiden ratkaisutavasta;

analyyttinen - mallin tallentaminen mallin alkuyhtälöiden analyyttisen ratkaisun tuloksena;

algoritminen - mallin ja valitun numeerisen ratkaisumenetelmän suhteiden tallentaminen algoritmin muodossa.

kaavamainen (graafinen) - mallin esitys jollakin graafisella kielellä (esimerkiksi kaavioiden, vastaavien piirien, kaavioiden kieli jne.);

fyysistä

analoginen

Yleisin on prosessien matemaattinen kuvaus - matemaattinen mallintaminen.

Matemaattisen mallinnuksen käsite sisältää myös ongelman ratkaisuprosessin tietokoneella.

Yleistetty matemaattinen malli

Matemaattinen malli kuvaa lähtötietojen ja haluttujen arvojen välistä suhdetta.

Yleistetyn matemaattisen mallin elementit ovat (kuva 1): joukko syötetietoja (muuttujia) X,Y;

X - muuttujamuuttujien joukko; Y - riippumattomat muuttujat (vakio);

matemaattinen operaattori L, joka määrittelee operaatiot näille tiedoille; joka ymmärretään täydellisenä järjestelmänä matemaattisia operaatioita, jotka kuvaavat numeerisia tai loogisia suhteita syöte- ja lähtötietojoukkojen (muuttujien) välillä;

lähtötietojen joukko (muuttujia) G(X,Y); on joukko kriteerifunktioita, mukaan lukien (tarvittaessa) tavoitefunktio.

Matemaattinen malli on suunnitellun kohteen matemaattinen analogi. Sen kohteen riittävyys määräytyy suunnitteluongelman ratkaisujen muotoilun ja oikeellisuuden perusteella.

Muuttujaparametrien (muuttujien) joukko X muodostaa muuttujaparametrien Rx (hakuavaruuden) avaruuden, joka on metrinen, jonka ulottuvuus n on yhtä suuri kuin muuttujaparametrien lukumäärä.

Riippumattomien muuttujien joukko Y muodostaa syöttödatan Ry metriavaruuden. Siinä tapauksessa, että kukin avaruuden Ry komponentti on annettu mahdollisten arvojen alueella, riippumattomien muuttujien joukko kartoitetaan johonkin avaruuden Ry rajoitettuun aliavaruuteen.

Riippumattomien muuttujien joukko Y määrittelee ympäristön objektin toiminnalle, ts. ulkoiset olosuhteet, joissa suunniteltu kohde toimii

Se voi olla:

• - tekniset tiedot esine, joka ei muutu suunnitteluprosessin aikana;
• - ympäristön fyysiset häiriöt, jonka kanssa suunnitteluobjekti on vuorovaikutuksessa;
• - taktiset parametrit, jotka suunnittelukohteen tulee saavuttaa.

Tarkastelun yleistetyn mallin lähtötiedot muodostavat kriteeri-indikaattoreiden metriavaruuden RG.

Kaavio matemaattisen mallin käyttämisestä tietokoneavusteisessa suunnittelujärjestelmässä on esitetty kuvassa 2.

Matemaattisen mallin vaatimukset

Matemaattisten mallien päävaatimukset ovat riittävyyden, universaalisuuden ja taloudellisuuden vaatimukset.

Riittävyys. Mallin katsotaan olevan riittävä, jos se kuvastaa annettuja ominaisuuksia hyväksyttävällä tarkkuudella. Tarkkuus määritellään mallin ja kohteen lähtöparametrien arvojen yhteensopivuuden asteena.

Mallin tarkkuus on erilainen erilaiset olosuhteet kohteen toimintaa. Näille olosuhteille on ominaista ulkoiset parametrit. Valitse ulkoisten parametrien avaruudesta mallin riittävyyden alue, jossa virhe on pienempi kuin määritetty suurin sallittu virhe. Mallin riittävyysalueen määrittäminen on monimutkainen toimenpide, joka vaatii suuria laskentakustannuksia, jotka kasvavat nopeasti ulkoisten parametrien tilan laajuuden kasvaessa. Tämä tehtävä voi merkittävästi ylittää itse mallin parametrisen optimoinnin tehtävän volyymiltaan, joten äskettäin suunniteltujen kohteiden osalta sitä ei ehkä voida ratkaista.

Yleisyys - määräytyy pääasiassa mallissa huomioon otettujen ulkoisten ja lähtöparametrien lukumäärän ja koostumuksen perusteella.

Mallin taloudellisuudelle on ominaista sen toteuttamisen laskentaresurssien kustannukset - tietokoneen ajan ja muistin kustannukset.

Mallin ristiriitaiset vaatimukset laajasta riittävyydestä, korkeasta universaalisuudesta ja korkeasta tehokkuudesta määräävät useiden mallien käytön samantyyppisille esineille.

Mallin hakumenetelmät

Ota mallit sisään yleinen tapaus- virallistamaton menettely. Tärkeimmät päätökset matemaattisten suhteiden tyypin valinnasta, käytettyjen muuttujien ja parametrien luonteesta tekee suunnittelija. Samaan aikaan sellaiset toiminnot kuin malliparametrien numeeristen arvojen laskeminen, riittävyysalueiden määrittäminen ja muut algoritmisoidaan ja ratkaistaan ​​tietokoneella. Siksi suunnitellun järjestelmän elementtien mallintamisen tekevät yleensä tiettyjen teknisten alojen asiantuntijat perinteisiä kokeellisia tutkimuksia käyttäen.

Menetelmät elementtien toiminnallisten mallien saamiseksi jaetaan teoreettisiin ja kokeellisiin.

Teoreettiset menetelmät perustuvat objektissa tapahtuvien prosessien fysikaalisten säännönmukaisuuksien tutkimiseen, näitä säännönmukaisuuksia vastaavan matemaattisen kuvauksen määrittämiseen, yksinkertaistavien oletusten perustelemiseen ja hyväksymiseen, tarvittavien laskelmien suorittamiseen ja tuloksen saamiseen malliesityksen hyväksyttyyn muotoon.

Kokeelliset menetelmät perustuvat käyttöön ulkoisia ilmentymiä kohteen ominaisuudet, jotka on tallennettu samantyyppisten esineiden käytön aikana tai kohdistettujen kokeiden aikana.

Huolimatta monien toimintojen heuristisesta luonteesta, mallintamisessa on useita yhteisiä säännöksiä ja tekniikoita eri objektien mallien saamiseksi. Ne ovat luonteeltaan melko yleisiä.

makromallinnustekniikka,

matemaattiset menetelmät kokeiden suunnitteluun,

algoritmit formalisoiduille operaatioille parametrien numeeristen arvojen laskemiseksi ja riittävyysalueiden määrittämiseksi.

Matemaattisten mallien käyttö

Nykyaikaisten tietokoneiden laskentateho yhdistettynä kaikkien järjestelmäresurssien tarjoamiseen käyttäjälle, vuorovaikutteisen tilan mahdollisuus ongelman ratkaisemisessa ja tulosten analysoinnissa mahdollistavat ongelman ratkaisemiseen kuluvan ajan minimoimisen.

Matemaattista mallia laatiessaan tutkijan tulee:

tutkia tutkittavan kohteen ominaisuuksia;

kyky erottaa kohteen pääominaisuudet toissijaisista;

arvioi tehtyjä oletuksia.

Malli kuvaa syöttötietojen ja haluttujen arvojen välistä suhdetta. Toimintojen sarjaa, joka on suoritettava siirtyäkseen lähtötiedoista haluttuihin arvoihin, kutsutaan algoritmiksi.

Algoritmi ongelman ratkaisemiseksi tietokoneella liittyy numeerisen menetelmän valintaan. Matemaattisen mallin esitysmuodosta (algebrallinen tai differentiaalimuoto) riippuen käytetään erilaisia ​​numeerisia menetelmiä.

Taloudellisen ja matemaattisen mallintamisen ydin on sosioekonomisten järjestelmien ja prosessien kuvaaminen taloudellisten ja matemaattisten mallien muodossa.

Tarkastellaan taloudellisten ja matemaattisten menetelmien luokittelukysymyksiä. Nämä menetelmät, kuten edellä todettiin, ovat monimutkaisia ​​taloudellisia ja matemaattisia tieteenaloja, jotka ovat taloustieteen, matematiikan ja kybernetiikan seos.

Siksi taloudellisten ja matemaattisten menetelmien luokittelu pelkistetään niiden koostumukseen sisältyvien tieteenalojen luokitteluun. Vaikka näiden tieteenalojen yleisesti hyväksyttyä luokitusta ei ole vielä kehitetty, taloudellisten ja matemaattisten menetelmien koostumuksessa voidaan erottaa seuraavat osiot tietyllä likimääräisellä tasolla:

• * Talouskybernetiikka: taloustieteen järjestelmäanalyysi, taloudellisen tiedon teoria ja ohjausjärjestelmien teoria;
• * matemaattiset tilastot: tämän tieteenalan taloudelliset sovellukset - otantamenetelmä, varianssianalyysi, korrelaatioanalyysi, regressioanalyysi, monimuuttujatilastoanalyysi, tekijäanalyysi, indeksiteoria jne.;
• * Matemaattinen taloustiede ja ekonometria, joka tutkii samoja asioita kvantitatiivisesta näkökulmasta: talouskasvun teoria, tuotantofunktioiden teoria, sektorien väliset tasapainot, kansantalouden tilinpito, kysynnän ja kulutuksen analyysi, alueellinen ja spatiaalinen analyysi, globaali mallinnus jne. .;
• * menetelmät optimaalisten päätösten tekemiseen, mukaan lukien talouden toiminnan tutkiminen. Tämä on laajin osio, joka sisältää seuraavat tieteenalat ja menetelmät: optimaalinen (matemaattinen) ohjelmointi, mukaan lukien haara- ja sidotut menetelmät, verkon suunnittelu- ja ohjausmenetelmät, ohjelmakohtaiset suunnittelu- ja ohjausmenetelmät, varastonhallinnan teoria ja menetelmät, jonoteoria, peliteoria, päätösteoria ja menetelmät, aikatauluteoria. Optimaalinen (matemaattinen) ohjelmointi sisältää puolestaan ​​lineaarisen ohjelmoinnin, epälineaarisen ohjelmoinnin, dynaamisen ohjelmoinnin, diskreetin (kokonaisluku)ohjelmoinnin, lineaarisen murto-ohjelmoinnin, parametrisen ohjelmoinnin, erotettavan ohjelmoinnin, stokastisen ohjelmoinnin, geometrisen ohjelmoinnin;
• * Menetelmät ja tieteenalat, jotka ovat ominaisia ​​sekä keskitetylle suunnitelmataloudelle että markkinataloudelle (kilpailutaloudelle). Ensiksi mainittuihin kuuluvat talouden optimaalisen toiminnan teoria, optimaalinen suunnittelu, optimaalisen hinnoittelun teoria, logistiikkamallit jne. Jälkimmäisiin kuuluvat menetelmät, jotka mahdollistavat vapaan kilpailun mallien kehittämisen, kapitalistisen syklin mallit, monopolimallit, mallit. suuntaa-antava suunnittelu, yrityksen teoriamallit jne.

Monet keskitetysti suunnitelmatalouteen kehitetyistä menetelmistä voivat olla hyödyllisiä myös markkinatalouden taloudellisessa ja matemaattisessa mallintamisessa;

* taloudellisten ilmiöiden kokeellisen tutkimuksen menetelmät. Näitä ovat pääsääntöisesti matemaattiset analyysimenetelmät ja taloudellisten kokeiden suunnittelu, konesimulaatiomenetelmät (simulaatiomallinnus), bisnespelejä. Tämä sisältää myös asiantuntija-arviointimenetelmät, jotka on kehitetty arvioimaan ilmiöitä, joita ei voida suoraan mitata.

Siirrytään nyt taloudellisten ja matemaattisten mallien luokittelukysymyksiin, toisin sanoen sosioekonomisten järjestelmien ja prosessien matemaattisiin malleihin.

Tällaisille malleille ei tällä hetkellä myöskään ole olemassa yhtenäistä luokitusjärjestelmää, mutta niiden luokituksen pääpiirteitä tai luokitusotsikoita erotetaan yleensä yli kymmenen. Katsotaanpa joitain näistä osioista.

Yleisen tarkoituksen mukaan taloudelliset ja matemaattiset mallit jaetaan teoreettisiin ja analyyttisiin, joita käytetään tutkimuksessa. yhteisiä ominaisuuksia ja taloudellisten prosessien lait, ja niitä käytetään ratkaisemaan tiettyjä taloudellisia ongelmia analysointia, ennustamista ja hallintaa. eri tyyppejä Sovellettuja taloudellisia ja matemaattisia malleja tarkastellaan vain tässä opetusohjelmassa.

Mallinnusobjektien aggregaatioasteen mukaan mallit jaetaan makrotaloudellisiin ja mikrotaloudellisiin. Vaikka niiden välillä ei ole selkeää eroa, ensimmäisissä niistä on malleja, jotka kuvastavat koko talouden toimintaa, kun taas mikrotaloudelliset mallit liittyvät pääsääntöisesti sellaisiin talouden osiin kuin yritykset ja yritykset.

Tietyn tarkoituksen mukaan eli luomis- ja soveltamistarkoituksen mukaan erotetaan tasapainomalleja, jotka ilmaisevat vaatimuksen, että resurssien saatavuus vastaa niiden käyttöä; trendimallit, joissa mallinnetun talousjärjestelmän kehitys heijastuu sen pääindikaattoreiden trendin (pitkän aikavälin trendin) kautta; valintaa varten suunnitellut optimointimallit paras vaihtoehto tietyistä tuotanto-, jakelu- tai kulutusvaihtoehdoista; simulaatiomallit, jotka on tarkoitettu käytettäväksi tutkittavien järjestelmien tai prosessien konesimulaatioprosessissa jne.

Mallissa käytetyn tiedon tyypin mukaan talousmatemaattiset mallit jaetaan analyyttisiin, a priori informaatioon rakentuviin ja tunnistettaviin, jälkikäteen rakentuviin.

Aikatekijä huomioiden mallit jaetaan staattisiin, joissa kaikki riippuvuudet liittyvät yhteen ajankohtaan, ja dynaamisiin, jotka kuvaavat kehittyviä talousjärjestelmiä.

Epävarmuustekijän huomioon ottaen mallit jaetaan deterministisiin, jos niissä olevat lähtötulokset määräytyvät yksiselitteisesti ohjaustoimenpiteiden avulla, ja stokastisiin (todennäköisyyksiin), jos mallin sisääntulossa on määritetty tietty arvojoukko. , sen tulos voi tuottaa erilaisia ​​tuloksia satunnaistekijän vaikutuksesta riippuen.

Taloudelliset ja matemaattiset mallit voidaan luokitella myös malliin sisältyvien matemaattisten objektien ominaisuuksien mukaan, toisin sanoen mallissa käytetyn matemaattisen laitteiston tyypin mukaan. Tämän perusteella matriisimallit, lineaariset ja epälineaariset ohjelmointimallit, korrelaatio-regressiomallit,

Jonoteoriamallin, verkon suunnittelu- ja ohjausmallin, peliteoriamallin jne. matemaattisen mallintamisen peruskäsitteet.

Lopuksi tutkittujen sosioekonomisten järjestelmien lähestymistavan tyypin mukaan erotetaan deskriptiiviset ja normatiiviset mallit. Kuvailevalla (deskriptiivisellä) lähestymistavalla saadaan malleja, jotka on suunniteltu kuvaamaan ja selittämään todellisuudessa havaittuja ilmiöitä tai ennustamaan näitä ilmiöitä; Esimerkkinä kuvailevista malleista voidaan mainita aiemmin nimetyt tasapaino- ja trendimallit. Normatiivisella lähestymistavalla he eivät ole kiinnostuneita siitä, miten talous on organisoitu ja kehittynyt. talousjärjestelmä, mutta miten se pitäisi järjestää ja miten sen tulisi toimia tiettyjen kriteerien mukaisesti. Erityisesti kaikki optimointimallit ovat normatiivisia; Normatiiviset elintasomallit voivat toimia toisena esimerkkinä.

Tarkastellaanpa esimerkkinä panos-tuotostaseen (EMM IOB) taloudellis-matemaattista mallia. Yllä olevat luokitusotsikot huomioon ottaen tämä on sovellettu, makrotaloudellinen, analyyttinen, kuvaava, deterministinen, tasapaino-, matriisimalli; kun ne ovat olemassa staattiset menetelmät sekä dynaaminen

Lineaarinen ohjelmointi on optimaalisen ohjelmoinnin erityinen osa. Optimaalinen (matemaattinen) ohjelmointi puolestaan ​​on soveltavan matematiikan haara, joka tutkii ehdollisen optimoinnin ongelmia. Taloustieteessä tällaisia ​​ongelmia syntyy optimaalisuusperiaatteen käytännön toteutuksessa suunnittelussa ja johtamisessa.

Optimaalisen suunnittelun ja johtamisen (optimaalisuuden periaate) välttämätön edellytys on joustavuus, tuotannon vaihtoehtoisuus ja taloudelliset tilanteet, joissa suunnittelu- ja johtamispäätöksiä on tehtävä. Juuri nämä tilanteet muodostavat pääsääntöisesti taloudellisen yksikön päivittäisen käytännön (tuotantoohjelman valinta, tavarantoimittajiin kiinnittäminen, reititys, materiaalien leikkaaminen, seosten valmistus jne.).

Optimaalisuusperiaatteen ydin on halu valita tällainen suunnittelu- ja johtamispäätös paras tapa ottaisi huomioon taloudellisen yksikön tuotantotoiminnan sisäiset mahdollisuudet ja ulkoiset olosuhteet.

Sanat "parhaalla tavalla" tarkoittavat tässä jonkin optimaalisuuskriteerin valintaa, ts. jokin taloudellinen indikaattori, jonka avulla voit verrata tiettyjen suunnittelu- ja johtamispäätösten tehokkuutta. Perinteiset optimaalisuuskriteerit: "enimmäisvoitto", "minimikustannukset", "maksimi kannattavuus" jne. Sanat "ottaisivat huomioon tuotantotoiminnan sisäiset mahdollisuudet ja ulkoiset olosuhteet" tarkoittavat, että valinnalle asetetaan useita ehtoja. suunnittelu- ja johtamispäätös (käyttäytyminen), t.e. X:n valinta suoritetaan tietystä mahdollisten (hyväksyttyjen) ratkaisujen D alueelta; tätä aluetta kutsutaan myös ongelmanmäärittelyalueeksi. optimaalisen (matemaattisen) ohjelmoinnin yleinen ongelma, muuten optimaalisen ohjelmointiongelman matemaattinen malli, jonka rakentaminen (kehittäminen) perustuu optimaalisuuden ja johdonmukaisuuden periaatteisiin.

Vektoria X (joukko ohjausmuuttujia Xj, j = 1, n) kutsutaan toteuttamiskelpoiseksi ratkaisuksi tai optimaaliseksi ohjelmointitehtäväsuunnitelmaksi, jos se täyttää rajoitusjärjestelmän. Ja sitä suunnitelmaa X (hyväksyttävä ratkaisu), joka tuottaa tavoitefunktion f(xi, *2, ..., xn) maksimin tai minimin, kutsutaan optimaalisen ohjelmointiongelman optimaaliseksi suunnitelmaksi (optimaaliseksi käyttäytymiseksi tai yksinkertaisesti ratkaisuksi).

Siten optimaalisen johtamiskäyttäytymisen valinta tietyssä tuotantotilanteessa liittyy taloudellisen ja matemaattisen mallintamisen suorittamiseen johdonmukaisuuden ja optimaalisuuden näkökulmasta sekä optimaalisen ohjelmoinnin ongelman ratkaisemiseen. Optimaaliset ohjelmointiongelmat yleisimmässä muodossa luokitellaan seuraavien kriteerien mukaan.

• 1. Muuttujien välisen suhteen luonteen perusteella --
• a) lineaarinen
• b) epälineaarinen.

Tapauksessa a) kaikki rajoitusjärjestelmän ja tavoitefunktion toiminnalliset yhteydet ovat lineaarisia funktioita; epälineaarisuuden esiintyminen ainakin yhdessä mainituista elementeistä johtaa tapaukseen b).

• 2. Muuttujien muutoksen luonteen mukaan --
• a) jatkuva
• b) diskreetti.

Tapauksessa a) kunkin ohjausmuuttujan arvot voivat täyttää kokonaan tietyn alueen reaalilukuja; tapauksessa b) kaikki tai ainakin yksi muuttuja voi saada vain kokonaislukuja.

• 3. Ottaen huomioon aikatekijän -
• a) staattinen
• b) dynaaminen.

Tehtävissä a) mallinnus ja päätöksenteko suoritetaan olettaen, että mallin elementit ovat ajasta riippumattomia sen ajanjakson aikana, jolle suunnittelu- ja johtamispäätös tehdään. Tapauksessa b) tällaista oletusta ei voida hyväksyä riittävällä syyllä ja aikatekijä on otettava huomioon.

• 4. Muuttujia koskevien tietojen saatavuuden mukaan --
• a) tehtävät täydellisen varmuuden olosuhteissa (deterministiset),
• b) tehtävät epätäydellisten tietojen olosuhteissa,
• c) tehtävät epävarmoissa olosuhteissa.

Tehtävissä b) yksittäiset alkiot ovat todennäköisyyssuureita, mutta niiden jakautumislait ovat tiedossa tai voidaan tehdä lisätilastollisia tutkimuksia. Tapauksessa c) voidaan tehdä oletus satunnaiselementtien mahdollisista tuloksista, mutta tulosten todennäköisyyksistä ei voida tehdä johtopäätöstä.

• 5. Vaihtoehtojen arviointikriteerien lukumäärän mukaan -
• a) yksinkertaiset, yhden kriteerin tehtävät,
• b) monimutkaiset, monikriteeriset tehtävät.

Tehtävissä a) on taloudellisesti hyväksyttävää käyttää yhtä optimaalisuuskriteeriä tai se on mahdollista erikoismenetelmin (esim. "prioriteettipainotus")

JOHDANTO

Ilman modernia tiedettä on mahdotonta kuvitella laaja sovellus matemaattinen mallinnus. Tämän metodologian ydin on korvata alkuperäinen objekti sen "kuvalla" - matemaattisella mallilla - ja mallin jatkotutkimus tietokoneisiin toteutettujen laskennallisten logiikkaalgoritmien avulla. Tämä kognition, suunnittelun ja suunnittelun "kolmas menetelmä" yhdistää monia sekä teorian että kokeilun etuja. Työskentely ei itse esineen (ilmiön, prosessin), vaan sen mallin kanssa mahdollistaa sen ominaisuuksien ja käyttäytymisen tutkimisen kivuttomasti, suhteellisen nopeasti ja ilman merkittäviä kustannuksia kaikissa ajateltavissa olevissa tilanteissa (teorian edut). Samalla laskennalliset (tietokone, simulointi, simulointi) kokeet kohdemalleilla mahdollistavat nykyaikaisten laskentamenetelmien ja informatiikan teknisten työkalujen voimaan luottaen objektien tutkimisen riittävän yksityiskohtaisesti ja syvällisesti, riittävän täydellisinä, saavuttamattomina. puhtaasti teoreettisiin lähestymistapoihin (kokeelliset edut). Ei ole yllättävää, että matemaattisen mallintamisen metodologia kehittyy nopeasti ja kattaa kaikki uudet alueet - kehityksestä alkaen. tekniset järjestelmät ja niiden hallinta monimutkaisimpien taloudellisten ja sosiaalisten prosessien analysointiin.

Matemaattisen mallintamisen elementtejä on käytetty aivan eksaktien tieteiden syntymisen alusta lähtien, eikä ole sattumaa, että joissakin laskentamenetelmissä on tieteen huippujen kuten Newton ja Euler nimiä, ja sana "algoritmi" tulee keskiaikaisen arabitutkijan Al-Khwarizmin nimi. Tämän metodologian toinen "syntyminen" tapahtui 1940-luvun lopulla ja 1950-luvun alussa ja johtui ainakin kahdesta syystä. Ensimmäinen näistä on tietokoneiden (tietokoneiden) ilmestyminen, vaikka ne ovatkin vaatimattomia nykypäivän standardien mukaan, mutta silti pelasti tutkijat valtavalta rutiininomaisesta laskennallisesta työstä. Toinen on ennennäkemätön yhteiskuntajärjestys - Neuvostoliiton ja USA:n kansallisten ohjelmien toteuttaminen ydinohjuskilven luomiseksi, jota ei voitu toteuttaa perinteisillä menetelmillä. Matemaattinen mallintaminen selvisi tästä tehtävästä: ydinräjähdyksiä ja rakettien ja satelliittien lentoja "suoritettiin" aiemmin tietokoneiden syvyyksissä matemaattisten mallien avulla ja vasta sitten otettiin käyttöön. Tämä menestys määritti pitkälti menetelmän jatkosaavutukset, joiden soveltamista ei nyt harkita vakavasti kehittyneissä maissa mitään laajamittaista teknologista, ympäristöllistä tai taloudellista hanketta (tämä pätee myös joihinkin yhteiskuntapoliittisiin hankkeisiin).

Nyt matemaattinen mallintaminen on siirtymässä kolmanteen perustavanlaatuiseen kehitysvaiheeseensa "integroituen" niin kutsutun tietoyhteiskunnan rakenteisiin. Vaikuttava edistys tietojen käsittelyssä, välittämisessä ja tallentamisessa vastaa globaaleja suuntauksia kohti monimutkaisuutta ja keskinäistä leviämistä eri alueita ihmisen toiminta. Ilman tieto-"resurssien" hallussapitoa on mahdotonta edes ajatella maailman yhteisön kohtaamien yhä suurempien ja monimuotoisempien ongelmien ratkaisemista. Tieto sinänsä ei kuitenkaan usein hyödytä analysointia ja ennustamista, päätösten tekemistä ja niiden toteutumisen seurantaa. Tarvitsemme luotettavia tapoja prosessoida informaation "raaka-aineet" valmiiksi "tuotteeksi" eli tarkaksi tiedoksi. Matemaattisen mallintamisen metodologian historia vakuuttaa: se voi ja sen pitäisi olla älyllinen ydin tietotekniikat, koko yhteiskunnan informatisointiprosessi.

Tutkittu teknisiä, ekologisia, taloudellisia ja muita järjestelmiä moderni tiede, eivät enää ole tutkittavissa (vaatitulla täydellisyydellä ja tarkkuudella) tavanomaisilla teoreettisilla menetelmillä. Suora täysimittainen kokeilu niillä on pitkä, kallis, usein joko vaarallinen tai yksinkertaisesti mahdoton, koska monet näistä järjestelmistä ovat olemassa "yksittäiskopiona". Virheiden ja virhearviointien hinta niiden käsittelyssä on sietämättömän korkea. Siksi matemaattinen (laajemmin - informaatio) mallintaminen on väistämätön osa tieteellistä ja teknologista kehitystä.

Kun tarkastellaan asiaa laajemmin, muistutamme, että mallinnus on läsnä melkein kaikissa eri "erikoisuuksien" ihmisten - tutkijoiden ja yrittäjien, poliitikkojen ja sotilasjohtajien - luovassa toiminnassa. Tarkan tiedon tuominen näille aloille auttaa rajoittamaan intuitiivista spekulatiivista "mallinnusta", laajentaa rationaalisten menetelmien sovellusaluetta. Matemaattinen mallinnus on tietysti hedelmällistä vain silloin, kun tunnetut ammatilliset vaatimukset täyttyvät: peruskäsitteiden ja oletusten selkeä muotoilu, käytettyjen mallien riittävyyden jälkianalyysi, laskentaalgoritmien taattu tarkkuus jne. Jos puhumme mallinnusjärjestelmät, joissa on mukana "inhimillinen tekijä", eli vaikeasti formalisoitavia kohteita, niin näihin vaatimuksiin on tarpeen lisätä tarkka ero matemaattisten ja arkipäiväisten termien välillä (kuulostavat samalta, mutta joilla on eri merkitys), valmiin matemaattisen laitteen huolellinen soveltaminen ilmiöiden ja prosessien tutkimukseen (polku "ongelmasta menetelmään" on parempi, eikä päinvastoin) ja monet muut.

Tietoyhteiskunnan ongelmia ratkaistaessa olisi naiivia luottaa vain tietokoneiden ja muiden informatiikan työkalujen voimaan. Matemaattisen mallinnuksen kolmikon jatkuva parantaminen ja sen käyttöönotto nykyaikaisissa tietomallinnusjärjestelmissä on metodologisesti välttämätöntä. Vain sen toteuttaminen mahdollistaa kipeästi tarvitsemamme korkean teknologian, kilpailukykyiset ja monipuoliset materiaali- ja henkiset tuotteet.

Valitsemani aihe on ajankohtainen nykymatematiikassa ja sen sovelluksissa. Nykyaikaisessa tieteellisessä lähestymistavassa luonnon, teknisten ja sosioekonomisten objektien tutkimukseen niissä tapahtuvien prosessien matemaattisen mallintamisen merkitys kasvaa. Esineiden ja järjestelmien käyttäytymisen luonnollinen tutkiminen tällaisissa moodeissa ja olosuhteissa on mahdotonta tai vaikeaa, mikä pakottaa matemaattisten mallintamismenetelmien käyttöön.

Tämän kurssityön tarkoituksena on oppia käyttämään matemaattisen mallinnuksen menetelmiä erilaisten luonnollisten sosiaalisten prosessien tutkimiseen.

Tavoitteen saavuttamiseksi asetetut tehtävät:

n Opiskella matemaattisen mallintamisen teoreettisia kysymyksiä, mallien luokittelua.

MATEMAATTISEN MALLINNAN PERUSKÄSITTEET

Mallintaminen- ilmiöiden, prosessien, esineiden, laitteiden tai järjestelmien (yleensä tutkimusobjektien) tieteellisen tutkimuksen menetelmä, joka perustuu mallien rakentamiseen ja tutkimiseen uuden tiedon saamiseksi, tutkimusobjektien ominaisuuksien parantamiseksi tai niiden hallitsemiseksi.

Malli- aineellinen esine tai kuva (henkinen tai ehdollinen: hypoteesi, idea, abstraktio, kuva, kuvaus, kaavio, kaava, piirustus, suunnitelma, kartta, algoritmin vuokaavio, muistiinpanot jne.), joka yksinkertaisesti näyttää kohteen tärkeimmät ominaisuudet tutkimusta.

Mikä tahansa malli on aina yksinkertaisempi kuin todellinen esine ja näyttää vain osan sen tärkeimmistä ominaisuuksista, pääelementeistä ja yhteyksistä. Tästä syystä yhtä tutkimuskohdetta varten on olemassa monia erilaisia ​​malleja. Mallin tyyppi riippuu valitusta mallinnuksen tarkoituksesta.

Termi "malli" perustuu latinan sanaan modulus - mitta, näyte. Malli on todellisen tutkimuskohteen korvike. Malli on aina yksinkertaisempi kuin tutkittava kohde. Monimutkaisia ​​ilmiöitä, prosesseja, objekteja tutkittaessa ei ole mahdollista ottaa huomioon kaikkien niiden ominaisuudet määrittävien elementtien ja suhteiden kokonaisuutta.

Mutta kaikkia luodun mallin elementtejä ja yhteyksiä ei pidä ottaa huomioon. On vain tarpeen erottaa tyypillisimmät, hallitsevammat komponentit, jotka määräävät ylivoimaisesti tutkimuksen kohteen pääominaisuudet. Seurauksena on, että tutkimuskohde korvataan jollain yksinkertaistetulla samankaltaisuudella, mutta tyypillisillä pääominaisuuksilla, jotka ovat samankaltaisia ​​kuin tutkimuksen kohteen. Uutta objektia (tai abstraktiota), joka ilmestyi substituution seurauksena, kutsutaan yleensä tutkimusobjektin malliksi.

Matemaattisten mallien laatimiseen voit käyttää mitä tahansa matemaattisia keinoja - differentiaali- ja integraalilaskentaa, regressioanalyysiä, todennäköisyysteoriaa, matemaattista tilastoa jne. Matemaattinen malli on joukko kaavoja, yhtälöitä, epäyhtälöitä, loogisia ehtoja jne. Matemaattisessa mallintamisessa käytetyt matemaattiset suhteet määräävät prosessin, jossa tutkimuskohteen tila muuttuu sen parametrien, tulosignaalien, alkuolosuhteet ja aikaa. Pohjimmiltaan kaikki matematiikka on suunniteltu muodostamaan matemaattisia malleja.

O hyvin tärkeä matematiikka kaikille muille tieteille (mukaan lukien mallintaminen) sanoo seuraavan tosiasian. Suuri englantilainen fyysikko I. Newton (1643-1727) tutustui 1600-luvun puolivälissä Rene Descartesin ja Pierre Gassendin töihin. Näissä teoksissa todettiin, että koko maailman rakennetta voidaan kuvata matemaattisilla kaavoilla. Näiden teosten vaikutuksesta I. Newton aloitti intensiivisen matematiikan opiskelun. Hänen panoksensa fysiikkaan ja matematiikkaan tunnetaan laajalti.

Matemaattinen mallintaminen on menetelmä, jolla tutkitaan tutkimuskohdetta, joka perustuu sen matemaattisen mallin luomiseen ja sen avulla uuden tiedon hankkimiseen, tutkimuksen kohteen parantamiseen tai kohteen hallintaan.

Matemaattiselle mallinnukselle on ominaista, että objektin toiminnan prosessit kirjoitetaan matemaattisten suhteiden muodossa (algebrallinen, integraali), kirjoitetaan loogisten ehtojen muodossa.

Differentiaaliyhtälöt ovat yksi tärkeimmistä tavoista koota matemaattisia malleja, joita käytetään laajimmin matemaattisten ongelmien ratkaisemisessa. Kun tutkitaan fysikaalisia prosesseja, ratkaistaessa erilaisia ​​sovellettavia ongelmia, ei yleensä voida suoraan löytää lakeja, jotka yhdistävät tutkittavia ilmiöitä kuvaavia suureita. Yleensä on helpompi luoda suhteita samojen suureiden ja niiden derivaattojen tai differentiaalien välille. Tällaisia ​​suhteita kutsutaan differentiaaliyhtälöiksi. Differentiaaliyhtälöiden laatimismahdollisuudet ja säännöt määräytyvät sen tieteenalan lakien tuntemisesta, johon tutkittavan ongelman luonne liittyy. Joten esimerkiksi Newtonin lakeja voidaan käyttää mekaniikassa, nopeuksien teoriassa kemialliset reaktiot- massatoiminnan laki jne. Käytännössä on kuitenkin usein tapauksia, joissa ei tunneta lakeja, jotka mahdollistaisivat differentiaaliyhtälön laatimisen. Sitten turvaudutaan erilaisiin yksinkertaistaviin oletuksiin prosessin kulusta pienillä muutoksilla parametreihin-muuttujiin. Tässä tapauksessa rajaan siirtyminen johtaa differentiaaliyhtälöihin. Kysymys matemaattisen mallin ja todellisen ilmiön vastaavuudesta ratkaistaan ​​tulosten analysoinnin, kokeiden ja niiden vertailun perusteella saadun differentiaaliyhtälön ratkaisun käyttäytymiseen.

Matemaattiset mallit

Matemaattinen malli - likimääräinen opimallinnuksen kohteen kuvaus, ilmaistuna käyttämälläschyu matemaattinen symboliikka.

Matemaattiset mallit ilmestyivät matematiikan rinnalle vuosisatoja sitten. Valtavan sysäyksen matemaattisen mallintamisen kehitykselle antoi tietokoneiden ilmestyminen. Tietokoneiden käyttö mahdollisti monien sellaisten matemaattisten mallien analysoinnin ja toteuttamisen, jotka eivät olleet aikaisemmin olleet analyyttisen tutkimuksen kohteena. Tietokoneella toteutettu matematiikkataivas malli nimeltään tietokoneen matemaattinen malli, a kohdennettujen laskelmien tekeminen tietokonemallin avulla nimeltään laskennallinen kokeilu.

Tietokonematematiikan vaiheetpoisto näkyy kuvassa. Ensimmäinenvaiheessa - mallinnuksen tavoitteiden määrittely. Nämä tavoitteet voivat olla erilaisia:

1. mallia tarvitaan ymmärtämään, miten tietty esine toimii, mikä on sen rakenne, perusominaisuudet, kehityksen ja vuorovaikutuksen lait
   ulkomaailman kanssa (ymmärrys);
2. mallia tarvitaan, jotta opitaan hallitsemaan kohdetta (tai prosessia) ja määrittämään parhaita tapoja johtaminen tietyillä tavoitteilla ja kriteereillä (johtaminen);
3. Mallia tarvitaan, jotta voidaan ennustaa määriteltyjen menetelmien ja vaikutusmuotojen toteutuksen suoria ja välillisiä seurauksia kohteeseen (ennuste).

Selitetäänpä esimerkein. Olkoon tutkimuksen kohteena neste- tai kaasuvirran vuorovaikutus tämän virtauksen esteenä olevan kappaleen kanssa. Kokemus osoittaa, että kehon sivulta tuleva virtausvastus kasvaa virtausnopeuden kasvaessa, mutta jollain riittävän suurella nopeudella tämä voima pienenee äkillisesti kasvaakseen uudelleen nopeuden lisääntyessä. Mikä aiheutti vastusvoiman pienenemisen? Matemaattisen mallinnuksen avulla saamme selkeän vastauksen: vastuksen äkillisen laskun hetkellä virtaviivaisen kappaleen takana neste- tai kaasuvirtauksessa muodostuneet pyörteet alkavat irtautua siitä ja kulkeutuvat virtauksen mukana.

Esimerkki täysin toiselta alueelta: rauhanomaisesti rinnakkain kahden yksilölajin vakaan populaation kanssa, joilla on yhteinen ravintopohja, "yhtäkkiä" alkaa dramaattisesti muuttaa niiden lukumäärää. Ja tässä matemaattinen mallinnus mahdollistaa (tietyllä varmuudella) syyn selvittämisen (tai ainakin tietyn hypoteesin kumoamisen).

Objektinhallinnan käsitteen kehittäminen on toinen mahdollinen mallintamisen tavoite. Mikä lentokoneen lentotapa tulisi valita, jotta lento olisi turvallinen ja taloudellisesti edullisin? Kuinka ajoittaa satoja erilaisia ​​töitä suuren laitoksen rakentamiseen niin, että se päättyy mahdollisimman pian? Monet tällaiset ongelmat syntyvät systemaattisesti ekonomistien, suunnittelijoiden ja tiedemiesten edessä.

Lopuksi, tiettyjen vaikutusten vaikutusten ennustaminen esineeseen voi olla sekä suhteellisen yksinkertaista yksinkertaisissa fysikaalisissa järjestelmissä että erittäin monimutkaista - toteutettavuuden partaalla - biologisissa, taloudellisissa ja sosiaalisissa järjestelmissä. Jos on suhteellisen helppo vastata kysymykseen lämmön etenemistavan muutoksesta ohuessa sauvassa sen koostuvan seoksen muutoksilla, niin on verrattain vaikeampaa jäljittää (ennakoida) ympäristöön ja ilmastoon liittyviä seurauksia, jotka aiheutuvat ohuesta sauvasta. suuri vesivoimala tai verolainsäädännön muutosten sosiaaliset seuraukset. Ehkä tässäkin matemaattisista mallinnusmenetelmistä on tulevaisuudessa merkittävämpää apua.

Toinen vaihe: mallin tulo- ja lähtöparametrien määrittely; syöttöparametrien jako sen mukaan, kuinka tärkeät niiden muutokset vaikuttavat tuottoon. Tätä prosessia kutsutaan rankingiksi tai jakamiseksi arvon mukaan (katso alla). "Formalisamallinnus").

Kolmas vaihe: matemaattisen mallin rakentaminen. Tässä vaiheessa tapahtuu siirtymä mallin abstraktista muotoilusta formulaatioon, jolla on tietty matemaattinen esitys. Matemaattinen malli on yhtälöt, yhtälöjärjestelmät, epäyhtälöjärjestelmät, differentiaaliyhtälöt tai tällaisten yhtälöiden järjestelmät jne.

Neljäs vaihe: menetelmän valinta matemaattisen mallin tutkimiseen. Useimmiten tässä käytetään numeerisia menetelmiä, jotka sopivat hyvin ohjelmointiin. Pääsääntöisesti useat menetelmät sopivat saman ongelman ratkaisemiseen, jotka eroavat tarkkuudesta, stabiilisuudesta jne. Koko mallinnusprosessin onnistuminen riippuu usein oikean menetelmän valinnasta.

Viides vaihe: algoritmin kehittäminen, tietokoneohjelman kokoaminen ja virheenkorjaus on prosessi, jota on vaikea formalisoida. Ohjelmointikielistä monet matemaattisen mallintamisen ammattilaiset suosivat FORTRANia: sekä perinteen että kääntäjien (laskennalliseen työhön) ylittämättömän tehokkuuden ja valtavien, huolellisesti korjattujen ja optimoitujen matemaattisten menetelmien standardiohjelmien kirjastojen vuoksi. se. Kielet kuten PASCAL, BASIC, C ovat myös käytössä, riippuen tehtävän luonteesta ja ohjelmoijan taipumuksista.

Kuudes vaihe: ohjelman testaus. Ohjelman toiminta tarkistetaan testitehtävä tunnetulla vastauksella. Tämä on vasta alkua testausmenettelylle, jota on vaikea kuvata muodollisesti tyhjentävästi. Yleensä testaus päättyy, kun käyttäjä ammatillisten ominaisuuksiensa mukaisesti pitää ohjelmaa oikeana.

Seitsemäs vaihe: varsinainen laskennallinen koe, jonka aikana selviää, vastaako malli todellista objektia (prosessia). Malli on riittävän riittävä todelliseen prosessiin, jos jotkin tietokoneella saadut prosessin ominaisuudet osuvat yhteen kokeellisesti saatujen ominaisuuksien kanssa tietyllä tarkkuudella. Jos malli ei vastaa todellista prosessia, palataan johonkin edellisistä vaiheista.

Matemaattisten mallien luokittelu

Matemaattisten mallien luokittelu voi perustua erilaisia ​​periaatteita. Malleja on mahdollista luokitella tieteenalojen mukaan (fysiikan, biologian, sosiologian matemaattiset mallit jne.). Se voidaan luokitella käytetyn matemaattisen laitteiston mukaan (tavallisiin differentiaaliyhtälöihin perustuvat mallit, osittaisdifferentiaaliyhtälöt, stokastiset menetelmät, diskreetit algebralliset muunnokset jne.). Lopuksi perustuen yhteisiä tehtäviä mallinnus eri tieteissä, matemaattisesta laitteesta riippumatta, seuraava luokittelu on luonnollisin:

• kuvailevat (kuvaavat) mallit;
• optimointimallit;
• monikriteerimallit;
• pelien mallit.

Selitetään tämä esimerkein.

Kuvailevat (kuvaavat) mallit. Esimerkiksi tunkeutuneen komeetan liikkeen mallintaminen aurinkokunta, tehdään sen lentoradan ennustamiseksi, etäisyyden, jolla se kulkee maasta jne. Tässä tapauksessa mallinnuksen tavoitteet ovat kuvailevia, koska komeetan liikkeeseen ei voi vaikuttaa, siinä jotain muuttaa.

Optimointimallit käytetään kuvaamaan prosesseja, joihin voidaan vaikuttaa yritettäessä saavuttaa tietty tavoite. Tässä tapauksessa malli sisältää yhden tai useamman parametrin, johon voidaan vaikuttaa. Esimerkiksi muuttamalla aitan lämpötilaa voidaan asettaa tavoitteeksi valita tällainen järjestelmä, jotta saavutetaan maksimaalinen viljan säilyvyys, ts. optimoida varastointiprosessi.

Monikriteerimallit. Usein on tarpeen optimoida prosessi useissa parametreissa samanaikaisesti, ja tavoitteet voivat olla hyvinkin ristiriitaisia. Esimerkiksi elintarvikkeiden hinnat ja ihmisen ruuan tarpeet tiedossa on suurille ihmisryhmille (armeijassa, lasten kesäleirillä jne.) järjestettävä ruokailut fysiologisesti oikein ja samalla mahdollisimman edullisesti. On selvää, että nämä tavoitteet eivät ole ollenkaan samat; mallintamisessa käytetään useita kriteerejä, joiden välillä on pyrittävä tasapainoon.

Pelimallit voi liittyä paitsi tietokonepelit mutta myös erittäin vakaviin asioihin. Esimerkiksi ennen taistelua, jos vastustajan armeijasta on puutteellisia tietoja, komentajan on laadittava suunnitelma: missä järjestyksessä tietyt yksiköt saatetaan taisteluun jne., ottaen huomioon vihollisen mahdollinen reaktio. Nykyaikaisessa matematiikassa on erityinen osa - peliteoria - joka tutkii päätöksentekomenetelmiä epätäydellisen tiedon olosuhteissa.

Tietojenkäsittelytieteen koulukurssilla opiskelijat saavat alustavan käsityksen tietokonematemaattisesta mallintamisesta peruskurssi. Lukiossa matemaattista mallintamista voi syvällisesti opiskella fysiikan ja matematiikan luokkien yleissivistävällä kurssilla sekä valinnaisella erikoiskurssilla.

Tietokonematemaattisen mallinnuksen pääasialliset opetusmuodot lukiossa ovat luennot, laboratorio- ja opintotunnit. Yleensä jokaisen uuden mallin luominen ja tutkimukseen valmistautuminen kestää 3-4 oppituntia. Aineiston esittelyn aikana asetetaan tehtäviä, jotka opiskelijoiden tulee jatkossa ratkaista itse, ja yleisellä tasolla hahmotellaan tapoja niiden ratkaisemiseen. Muotoillaan kysymyksiä, joihin pitäisi saada vastauksia tehtäviä suoritettaessa. Lisäkirjallisuutta on ilmoitettu, mikä mahdollistaa aputietojen hankkimisen tehtävien onnistuneemmaksi suorittamiseksi.

Uuden materiaalin opiskelun tuntien järjestämisen muoto on yleensä luento. Seuraavan mallin keskustelun päätyttyä opiskelijat heillä on käytettävissään tarvittavat teoreettiset tiedot ja tehtävät jatkotyöskentelyä varten. Tehtävään valmistautuessaan opiskelija valitsee sopivan ratkaisutavan, jollain tunnetulla yksityisellä ratkaisulla testataan kehitettyä ohjelmaa. Mikäli tehtävien suorittamisessa on täysin mahdollisia vaikeuksia, neuvotellaan, tehdään ehdotus näiden osien tarkentamiseksi kirjallisuudessa.

Tietokonemallinnuksen opetuksen käytännön osan kannalta oleellisin on projektien menetelmä. Tehtävä muotoillaan opiskelijalle opetusprojektin muodossa ja suoritetaan useiden oppituntien aikana, pääasiallisena organisaatiomuoto tehdessään tietokonelaboratoriotyötä. Oppimisprojektimenetelmällä mallintamisen oppimista voidaan toteuttaa eri tasoilla. Ensimmäinen on projektin toteutusprosessin ongelmanselvitys, jota johtaa opettaja. Toinen on projektin toteuttaminen opiskelijoiden toimesta opettajan ohjauksessa. Kolmas on kasvatustutkimusprojektin opiskelijoiden itsenäinen toteuttaminen.

Työn tulokset tulee esittää numeerisessa muodossa, kaavioiden, kaavioiden muodossa. Jos mahdollista, prosessi esitetään tietokoneen näytöllä dynaamisesti. Laskelmien valmistumisen ja tulosten vastaanoton jälkeen ne analysoidaan, verrataan teoriasta tunnettuihin faktoihin, varmistetaan luotettavuus ja tehdään mielekäs tulkinta, joka heijastuu myöhemmin kirjalliseen raporttiin.

Jos tulokset tyydyttävät opiskelijaa ja opettajaa, niin työ laskee valmis, ja sen viimeinen vaihe on raportin laatiminen. Raportti sisältää lyhyet teoreettiset tiedot tutkittavasta aiheesta, ongelman matemaattinen muotoilu, ratkaisualgoritmi ja sen perustelut, tietokoneohjelma, ohjelman tulokset, tulosten analysointi ja johtopäätökset, lähdeluettelo.

Kun kaikki raportit on laadittu, opiskelijat raportoivat koeistunnossa lyhyesti tehdystä työstä, puolustavat projektiaan. Tämä on tehokas tapa raportoida projektiryhmältä luokalle, mukaan lukien ongelman asettaminen, muodollisen mallin rakentaminen, mallin työskentelymenetelmien valinta, mallin toteuttaminen tietokoneella, työskentely valmiin mallin kanssa, tulosten tulkitseminen, ennustaminen. Tämän seurauksena opiskelijat voivat saada kaksi arvosanaa: ensimmäinen on projektin laatimisesta ja sen puolustamisen onnistumisesta, toinen on ohjelmasta, sen algoritmin optimaalisuudesta, käyttöliittymästä jne. Opiskelijat saavat arvosanat myös teoriakyselyiden aikana.

Olennainen kysymys on, millaisia ​​työkaluja käytetään koulun informatiikan kurssilla matemaattiseen mallinnukseen? Mallien tietokonetoteutus voidaan suorittaa:

• käyttämällä laskentataulukkoa (yleensä MS Excel);
• luomalla ohjelmia perinteisillä ohjelmointikielillä (Pascal, BASIC jne.) sekä niiden nykyaikaisilla versioilla (Delphi, Visual
  Basic for Application jne.);
• käyttämällä erityisiä ohjelmistopaketteja matemaattisten ongelmien ratkaisemiseen (MathCAD jne.).

Peruskoulun tasolla ensimmäinen parannuskeino näyttää olevan suositeltavampi. Kuitenkin lukiossa, kun ohjelmointi on mallinnuksen ohella tietojenkäsittelytieteen keskeinen aihe, se kannattaa ottaa mallinnustyökaluksi. Ohjelmoinnin aikana matemaattisten menettelyjen yksityiskohdat tulevat opiskelijoiden saataville; Lisäksi heidän on yksinkertaisesti pakko hallita ne, ja tämä edistää myös matemaattista koulutusta. Mitä tulee erikoisohjelmistopakettien käyttöön, tämä sopii profiilitietotekniikan kurssille muiden työkalujen täydennykseksi.

Harjoittele :

• Esittele keskeiset käsitteet.

LUENTO 4

Matemaattisen mallinnuksen määritelmä ja tarkoitus

Alla malli-(latinan moduulista - mitta, näyte, normi) ymmärrämme sellaisen aineellisesti tai henkisesti esitettävän esineen, joka kognitioprosessissa (tutkimuksessa) korvaa alkuperäisen kohteen säilyttäen osan sen tyypillisistä piirteistä, jotka ovat tärkeitä tämän tutkimuksen kannalta. . Mallin rakentamis- ja käyttöprosessia kutsutaan mallintamiseksi.

olemus matemaattinen mallinnus (MM) on korvata tutkittu objekti (prosessi) riittävällä matemaattisella mallilla ja sitten tutkia tämän mallin ominaisuuksia joko analyyttisin menetelmin tai laskennallisin kokein.

Joskus on hyödyllisempää tiukkojen määritelmien antamisen sijaan kuvata tiettyä käsitettä tietyllä esimerkillä. Siksi kuvaamme yllä olevia MM:n määritelmiä käyttämällä esimerkkiä ominaisimpulssin laskentaongelmasta. 1960-luvun alussa tutkijoiden tehtävänä oli kehittää rakettipolttoainetta, jolla on suurin ominaisimpulssi. Raketin liikkeen periaate on seuraava: nestemäinen polttoaine ja hapetin rakettisäiliöistä syötetään moottoriin, jossa ne poltetaan ja palamistuotteet vapautuvat ilmakehään. Liikemäärän säilymisen laista seuraa, että tässä tapauksessa raketti liikkuu nopeudella.

Polttoaineen ominaisimpulssi on tuloksena saatu impulssi jaettuna polttoaineen massalla. Kokeet olivat erittäin kalliita ja johtivat järjestelmällisiin vaurioihin. Kävi ilmi, että on helpompaa ja halvempaa laskea ihanteellisten kaasujen termodynaamiset funktiot, laskea niiden avulla vapautuvien kaasujen koostumus ja plasman lämpötila ja sitten ominaisimpulssi. Eli polttoaineen palamisprosessin MM:n suorittamiseksi.

Matemaattisen mallinnuksen (MM) käsite on nykyään yksi yleisimmistä tieteellisessä kirjallisuudessa. Valtaosa nykyaikaisista opinnäytteistä ja väitöskirjoista liittyy sopivien matemaattisten mallien kehittämiseen ja käyttöön. Tietokone-MM on nykyään olennainen osa monia ihmisen toiminnan aloja (tiede, teknologia, taloustiede, sosiologia jne.). Tämä on yksi syy tämän päivän tietotekniikan asiantuntijoiden pulaan.

Matemaattisen mallinnuksen nopea kasvu johtuu tietotekniikan nopeasta kehittymisestä. Jos vielä 20 vuotta sitten vain pieni määrä ohjelmoijia harjoitti numeerisia laskelmia, nyt nykyaikaisten tietokoneiden muistin määrä ja nopeus, jotka mahdollistavat matemaattisen mallinnuksen ongelmien ratkaisemisen, ovat kaikkien asiantuntijoiden, myös yliopisto-opiskelijoiden, käytettävissä.

Millä tahansa tieteenalalla ilmiöistä annetaan ensin laadullinen kuvaus. Ja sitten - kvantitatiivinen, muotoiltu lakien muodossa, jotka luovat suhteita eri määrien (kentänvoimakkuus, sirontaintensiteetti, elektronin varaus, ...) välille matemaattisten yhtälöiden muodossa. Siksi voimme sanoa, että jokaisella tieteenalalla on yhtä paljon tiedettä kuin siinä on matemaatikkoja, ja tämä tosiasia antaa meille mahdollisuuden ratkaista monia ongelmia menestyksekkäästi matemaattisten mallintamismenetelmien avulla.

Kurssi on tarkoitettu sovelletun matematiikan opiskelijoille, jotka tekevät opinnäytetyötään eri alojen johtavien tutkijoiden valvonnassa. Siksi tämä kurssi on tarpeen paitsi koulutusmateriaalia mutta myös valmistautumiseen opinnäytetyö. Opiskelua varten Tämä kurssi tarvitsemme seuraavat matematiikan osat:

1. Matemaattisen fysiikan yhtälöt (kantilainen mekaniikka, kaasu ja hydrodynamiikka)

2. Lineaarinen algebra (joustoteoria)

3. Skalaari- ja vektorikentät (kenttäteoria)

4. Todennäköisyysteoria (kvanttimekaniikka, tilastollinen fysiikka, fysikaalinen kinetiikka)

5. Erikoisominaisuudet.

6. Tensorianalyysi (elastisuusteoria)

7. Matemaattinen analyysi

MM luonnontieteissä, tekniikassa ja taloustieteissä

Tarkastellaanpa ensin luonnontieteen, tekniikan ja taloustieteen eri aloja, joissa käytetään matemaattisia malleja.

luonnontiede

Fysiikka, joka vahvistaa luonnontieteen peruslait, on pitkään jaettu teoreettiseen ja kokeelliseen. Teoreettinen fysiikka käsittelee fysikaalisia ilmiöitä kuvaavien yhtälöiden johtamista. Näin ollen myös teoreettista fysiikkaa voidaan pitää yhtenä matemaattisen mallinnuksen osa-alueista. (Muista, että ensimmäisen fysiikan kirjan otsikko - I. Newtonin "The Mathematical Principles of Natural Philosophy" - voidaan kääntää moderni kieli"Luonnontieteiden matemaattisina malleina.") Saatujen lakien perusteella suoritetaan teknisiä laskelmia, joita suoritetaan eri laitoksissa, yrityksissä, suunnittelutoimistoissa. Nämä organisaatiot kehittävät teknologioita nykyaikaisten, tiedeintensiivisten tuotteiden valmistukseen, joten tiedeintensiivisten teknologioiden käsitteeseen sisältyy laskelmia sopivilla matemaattisilla malleilla.

Yksi fysiikan laajimmista aloista - klassinen mekaniikka(joskus tätä osaa kutsutaan teoreettiseksi tai analyyttiseksi mekaniikaksi). Tämä teoreettisen fysiikan osa tutkii kappaleiden liikettä ja vuorovaikutusta. Teoreettisen mekaniikan kaavoja käyttäviä laskelmia tarvitaan tutkittaessa kappaleiden pyörimistä (hitausmomenttien laskeminen, gyrostaatit - laitteet, jotka pitävät pyörimisakselit paikallaan), analysoitaessa kappaleen liikettä tyhjiössä jne. Yksi osioista Teoreettista mekaniikkaa kutsutaan vakauden teoriaksi ja se on monien matemaattisten mallien taustalla, jotka kuvaavat lentokoneiden, laivojen ja rakettien liikettä. Käytännön mekaniikan osia - kursseja "Koneiden ja mekanismien teoria", "Koneen osat" opiskelevat melkein kaikkien teknisten yliopistojen opiskelijat (mukaan lukien MGIU).

Elastisuuden teoria- osa jaksoa jatkumomekaniikka, joka olettaa, että elastisen kappaleen materiaali on homogeeninen ja jatkuvasti jakautunut rungon koko tilavuuteen, joten rungosta leikatulla pienimmällä elementillä on sama fyysiset ominaisuudet, joka on koko keho. Elastisuusteorian soveltamista - kurssi "materiaalien lujuus" opiskelee kaikkien teknisten yliopistojen (mukaan lukien MGIU) opiskelijat. Tämä osio vaaditaan kaikissa lujuuslaskelmissa. Tässä on laskenta laivojen, lentokoneiden, ohjusten runkojen lujuudesta, rakennusten teräs- ja teräsbetonirakenteiden lujuuden laskenta ja paljon muuta.

Kaasu ja hydrodynamiikka, sekä elastisuusteoria - osa leikkausta jatkumomekaniikka, ottaa huomioon nesteen ja kaasun liikkeen lakeja. Kaasun ja hydrodynamiikan yhtälöt ovat välttämättömiä analysoitaessa ruumiiden liikettä nestemäisessä ja kaasumaisessa väliaineessa (satelliitit, sukellusveneet, raketit, kuoret, autot), laskettaessa kaasun ulosvirtausta rakettien ja lentokoneiden moottoreiden suuttimista. Nestedynamiikan käytännön sovellus – Hydrauliikka (jarru, peräsin,…)

Aiemmat mekaniikan osat käsittelivät kappaleiden liikettä makrokosmuksessa, ja makrokosmoksen fysikaalisia lakeja ei voida soveltaa mikrokosmuksessa, jossa aineen hiukkaset liikkuvat - protonit, neutronit, elektronit. Täällä toimivat täysin erilaiset periaatteet, ja mikromaailman kuvaamiseksi se on välttämätöntä kvanttimekaniikka. Mikrohiukkasten käyttäytymistä kuvaava perusyhtälö on Schrödingerin yhtälö: . Tässä on Hamiltonin operaattori (Hamiltonin). Yksiulotteiselle hiukkasten liikeyhtälölle https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-potentiaalienergia. Tämän yhtälön ratkaisu on joukko energian ominaisarvoja ja ominaisfunktioita..gif" width="55" height="24 src="> – todennäköisyystiheys. Kvanttimekaanisia laskelmia tarvitaan uusien materiaalien (mikropiirien) kehittämiseen, laserien luomiseen, spektrianalyysimenetelmien kehittämiseen jne.

Suuri määrä tehtäviä ratkaistaan kinetiikka kuvaavat hiukkasten liikettä ja vuorovaikutusta. Tässä diffuusio, lämmönsiirto, plasmateoria - aineen neljäs tila.

tilastollinen fysiikka ottaa huomioon hiukkasten ryhmiä, antaa sinun sanoa ryhmän parametreista yksittäisten hiukkasten ominaisuuksien perusteella. Jos kokonaisuus koostuu kaasumolekyyleistä, niin tilastollisen fysiikan menetelmillä johdetut yhdistelmän ominaisuudet ovat lukiosta hyvin tuttuja kaasutilan yhtälöitä: https://pandia.ru/text/78/009/images/ image009_85.gif" width="16" height="17 src=">.gif" width="16" height="17"> - kaasun molekyylipaino. K on Rydbergin vakio. Tilastolliset menetelmät lasketaan myös metallien liuosten, kiteiden ja elektronien ominaisuudet. MM tilastollinen fysiikka - teoreettinen perusta termodynamiikka, joka on moottoreiden, lämpöverkkojen ja asemien laskennan taustalla.

Kenttäteoria kuvaa MM-menetelmillä yhtä aineen päämuodoista - kenttää. Tässä tapauksessa sähkömagneettiset kentät ovat ensisijaisen tärkeitä. Maxwell johti sähkömagneettisen kentän (elektrodynamiikan) yhtälöt: , , . Täällä ja https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - varaustiheys, - virrantiheys. Sähködynamiikan yhtälöt ovat laskelmien taustalla. sähkömagneettisten aaltojen eteneminen tarvitaan kuvaamaan radioaaltojen etenemistä (radio, televisio, solukkoviestintä), selittää tutka-asemien toimintaa.

Kemia voidaan esittää kahdella tavalla, korostaen kuvaavaa kemiaa - kemiallisten tekijöiden löytämistä ja niiden kuvausta - ja teoreettista kemiaa - sellaisten teorioiden kehittämistä, jotka mahdollistavat vakiintuneiden tekijöiden yleistämisen ja esittämisen tietyn järjestelmän muodossa (L. Pauling) . Teoreettista kemiaa kutsutaan myös fysikaaliseksi kemiaksi ja se on pohjimmiltaan fysiikan haara, joka tutkii aineita ja niiden vuorovaikutuksia. Siksi kaikki, mitä on sanottu fysiikasta, pätee täysin kemiaan. Fysikaalisen kemian osiot ovat lämpökemia, joka tutkii reaktioiden lämpövaikutuksia, kemiallista kinetiikkaa (reaktionopeudet), kvanttikemiaa (molekyylien rakennetta). Samaan aikaan kemian ongelmat ovat erittäin monimutkaisia. Joten esimerkiksi kvanttikemian - atomien ja molekyylien rakenteen tieteen - ongelmien ratkaisemiseksi käytetään ohjelmia, jotka ovat volyymiltaan verrattavissa maan ilmapuolustusohjelmiin. Esimerkiksi, jotta voit kuvata UCl4-molekyyliä, joka koostuu 5 atomiytimestä ja +17 * 4) elektronista, sinun on kirjoitettava liikeyhtälö - yhtälöt osittaisina derivaattaina.

Biologia

Matematiikka todella tuli biologiaan vasta 1900-luvun jälkipuoliskolla. Ensimmäiset yritykset kuvata matemaattisesti biologisia prosesseja liittyvät populaatiodynamiikan malleihin. Populaatio on saman lajin yksilöiden yhteisö, joka miehittää tietyn avaruusalueen maan päällä. Tämä matemaattisen biologian alue, joka tutkii populaation koon muutosta erilaisissa olosuhteissa (kilpailevien lajien, petoeläinten, sairauksien jne. läsnäolo), toimi edelleen matemaattisena testausalustana, jolla matemaattisia malleja "suoritettiin" biologian eri aloilla. Sisältää malleja evoluutiosta, mikrobiologiasta, immunologiasta ja muista solupopulaatioihin liittyvistä alueista.
Aivan ensimmäinen tunnettu biologisessa ympäristössä muotoiltu malli on kuuluisa Fibonacci-sarja (jokainen myöhempi luku on kahden edellisen summa), johon Leonardo Pisalainen 1200-luvulla siteerataan teoksessaan. Tämä on sarja numeroita, jotka kuvaavat kuukausittain syntyvien kaniparien määrää, jos kanit alkavat lisääntyä toisesta kuukaudesta lähtien ja tuottavat kaniiniparin joka kuukausi. Rivi edustaa numerosarjaa: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

1,

2 ,

3,

5,

8, 13, …

Toinen esimerkki on ionisten transmembraanisten kuljetusprosessien tutkimus keinotekoisella kaksikerroksisella kalvolla. Tässä, jotta voidaan tutkia huokosten muodostumislakeja, joiden kautta ioni kulkee kalvon läpi soluun, on tarpeen luoda mallijärjestelmä, jota voidaan tutkia kokeellisesti ja jolle voidaan laatia hyvin kehittynyt fysikaalinen kuvaus. käytetty.

Klassinen esimerkki MM:stä on myös Drosophila-populaatio. Vielä kätevämpi malli on virukset, jotka voidaan levittää koeputkessa. Biologian mallintamisen menetelmiä ovat dynaamisen systeemiteorian menetelmät ja välineinä differentiaali- ja differentiaaliyhtälöt, differentiaaliyhtälöiden kvalitatiivisen teorian menetelmät, simulaatiomallinnus.
Biologian mallintamisen tavoitteet:
3. Järjestelmän elementtien välisten vuorovaikutusmekanismien selvittäminen
4. Mallin parametrien tunnistaminen ja todentaminen kokeellisen datan avulla.
5. Järjestelmän (mallin) vakauden arviointi.

6. Järjestelmän käyttäytymisen ennustaminen erilaisten ulkoisten vaikutusten alaisena, eri tavoilla hallinta ja niin edelleen.
7. Järjestelmän optimaalinen ohjaus valitun optimaalisuuskriteerin mukaisesti.

Tekniikka

Teknologian parantamiseen osallistuu suuri joukko asiantuntijoita, jotka luottavat työssään tuloksiin tieteellinen tutkimus. Siksi MM:t tekniikassa ovat samat kuin luonnontieteiden MM, joista keskusteltiin edellä.

Talous ja sosiaaliset prosessit

On yleisesti hyväksyttyä, että matemaattista mallintamista makrotaloudellisten prosessien analysointimenetelmänä käytti ensimmäisenä kuningas Ludvig XV:n lääkäri, Dr. François Quesnay, joka julkaisi vuonna 1758 teoksen "Taloudellinen taulukko". Tässä työssä yritettiin ensimmäistä kertaa kuvata kansantaloutta kvantitatiivisesti. Ja vuonna 1838 kirjassa O. Cournot"Rikkausteorian matemaattisten periaatteiden tutkiminen" kvantitatiivisia menetelmiä käytettiin aluksi analysoimaan kilpailua tavaramarkkinoilla erilaisissa markkinatilanteissa.

Laajalti tunnettu on myös Malthuksen väestöteoria, jossa hän esitti ajatuksen, että väestönkasvu ei ole läheskään aina toivottavaa, ja tämä kasvu on nopeampaa kuin kasvavat mahdollisuudet tarjota väestölle ruokaa. Tällaisen prosessin matemaattinen malli on melko yksinkertainen: Olkoon - väestönkasvu ajan myötä https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> väestö oli yhtä suuri kuin . ja ovat kertoimet ottaen huomioon syntyvyys- ja kuolleisuusluvut (hlöä/vuosi).

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Instrumentaaliset ja matemaattiset menetelmät" href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="bookmark">matemaattiset analyysimenetelmät (esim. viime vuosikymmeninä humanistisissa tieteissä on ilmestynyt matemaattisia kulttuurin kehityksen teorioita, mobilisoinnin matemaattisia malleja, sosiokulttuuristen prosessien syklistä kehitystä, ihmisten ja hallituksen välisen vuorovaikutuksen mallia, aseita rotumalli jne.) on rakennettu ja tutkittu.

Yleisimmin sosioekonomisten prosessien MM-prosessi voidaan jakaa ehdollisesti neljään vaiheeseen:

hypoteesijärjestelmän muodostaminen ja käsitteellisen mallin kehittäminen; matemaattisen mallin kehittäminen; mallilaskelmien tulosten analysointi, joka sisältää niiden vertailun käytäntöön; uusien hypoteesien muotoilu ja mallin tarkentaminen, jos laskelmien ja käytännön tietojen välillä on ristiriita.

Huomioi, että matemaattisen mallintamisen prosessi on pääsääntöisesti syklinen, koska suhteellisen yksinkertaisia ​​prosesseja tutkiessa on harvoin mahdollista rakentaa alusta alkaen riittävä matemaattinen malli ja valita sen tarkat parametrit.

Tällä hetkellä taloutta pidetään monimutkaisena kehittyvänä järjestelmänä, jonka kvantitatiiviseen kuvaamiseen käytetään vaihtelevan monimutkaisuuden dynaamisia matemaattisia malleja. Yksi makrotalouden dynamiikan tutkimusalueista liittyy suhteellisen yksinkertaisten epälineaaristen simulaatiomallien rakentamiseen ja analysointiin, jotka heijastavat eri osajärjestelmien - työmarkkinoiden, tavaramarkkinoiden, rahoitusjärjestelmän, luonnonympäristön jne. - vuorovaikutusta.

Katastrofiteoria kehittyy menestyksekkäästi. Tämä teoria käsittelee kysymystä olosuhteista, joissa epälineaarisen järjestelmän parametrien muutos saa järjestelmän tilaa kuvaavan vaiheavaruuden pisteen siirtymään vetovoimaalueelta alkuperäiseen tasapainoasemaan vetovoiman alueelle. toiseen tasapainoasentoon. Jälkimmäinen on erittäin tärkeä paitsi teknisten järjestelmien analysoinnin, myös sosioekonomisten prosessien kestävyyden ymmärtämisen kannalta. Tältä osin havainnot epälineaaristen mallien tutkimuksen merkityksestä johtamiselle. Vuonna 1990 julkaistussa kirjassa "Katastrofien teoria" hän kirjoittaa erityisesti: "... nykyinen rakennemuutos johtuu suurelta osin siitä, että ainakin jotkut palautemekanismit (henkilökohtaisen tuhon pelko) ovat alkaneet toimia. ."

(mallin parametrit)

Kun rakennetaan malleja todellisista esineistä ja ilmiöistä, kohtaa usein tiedon puutetta. Tutkittavan kohteen osalta ominaisuuksien jakautuminen, vaikutuksen parametrit ja alkutila tunnetaan vaihtelevalla epävarmuudella. Mallia rakennettaessa seuraavat vaihtoehdot epävarmojen parametrien kuvaamiseen ovat mahdollisia:

Matemaattisten mallien luokittelu

(toteutusmenetelmät)

MM-toteutusmenetelmät voidaan luokitella alla olevan taulukon mukaan.

MM-toteutusmenetelmät Hyvin usein mallin analyyttinen ratkaisu esitetään funktioiden muodossa. Näiden funktioiden arvojen saamiseksi tietyille syöttöparametrien arvoille käytetään niiden laajentamista sarjaan (esimerkiksi Taylor), ja funktion arvo kullekin argumentin arvolle määritetään likimääräisesti. Tätä tekniikkaa käyttäviä malleja kutsutaan ns lähentää. klo numeerinen lähestymistapa mallin matemaattisten suhteiden joukko korvataan äärellisulotteisella analogilla. Tämä saavutetaan useimmiten diskretisoimalla alkurelaatiot, ts. siirtymällä jatkuvan argumentin funktioista diskreetin argumentin funktioihin (grid-menetelmät). Tietokoneella suoritettujen laskelmien jälkeen löydettyä ratkaisua pidetään alkuperäisen tehtävän likimääräisenä ratkaisuna. Useimmat olemassa olevat järjestelmät ovat hyvin monimutkaisia, ja niille on mahdotonta luoda todellista, analyyttisesti kuvattua mallia. Tällaisia ​​järjestelmiä tulisi tutkia käyttämällä simulaatiomallinnus. Yksi tärkeimmistä simulaatiomallinnuksen menetelmistä liittyy satunnaislukugeneraattorin käyttöön. Koska MM-menetelmillä ratkaistaan ​​valtava määrä ongelmia, MM:n toteutusmenetelmiä tutkitaan useammassa kuin yhdessä harjoituskurssi. Tässä on osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, numeerisia menetelmiä näiden yhtälöiden ratkaisemiseksi, laskennallista matematiikkaa, tietokonesimulaatiota jne. PAULING, Linus Carl (Pauling, Linus Carl) (), yhdysvaltalainen kemisti ja fyysikko, palkittu vuonna 1954 Nobel palkinto kemiassa luonnontutkimuksia varten kemiallinen sidos ja proteiinien rakenteen määrittäminen. Syntynyt 28. helmikuuta 1901 Portlandissa, Oregonissa. Hän kehitti kvanttimekaanisen menetelmän molekyylien rakenteen tutkimiseen (yhdessä amerikkalaisen fyysikon J. Slayerin kanssa) - valenssisidosmenetelmän sekä resonanssiteorian, jonka avulla voidaan selittää hiiltä sisältävien yhdisteiden rakenne. , pääasiassa aromaattisen sarjan yhdisteitä. Neuvostoliiton persoonallisuuskultin aikana kvanttikemiaan osallistuneita tutkijoita vainottiin ja syytettiin "polingismista". MALTHUS, THOMAS ROBERT (Malthus, Thomas Robert) (), englantilainen taloustieteilijä. Syntynyt Rookeryssa lähellä Dorkingia Surreyssa 15. tai 17. helmikuuta 1766. Vuonna 1798 hän julkaisi nimettömänä Kokeilu väestön laista. Vuonna 1819 Malthus valittiin Royal Societyn jäseneksi.