Staattisesti määrittelemättömien järjestelmien laskenta. Staattisesti määrittelemättömien järjestelmien laskenta voimamenetelmällä

Tällaisia sauvoja ja sauvajärjestelmiä kutsutaan staattisesti määrittelemättömiksi, joissa reaktiivisia tekijöitä ja sisäisiä voimia ei voida määrittää pelkästään tasapainoyhtälöistä. Nämä järjestelmät luokitellaan staattisen määrittelemättömyyden asteen mukaan. Staattisen epämääräisyyden aste on erotus tuntemattomien reaktioiden lukumäärän ja tasapainoyhtälöiden lukumäärän välillä. Järjestelmän staattisen määrittämättömyyden aste määrittää lisäyhtälöiden (siirtymäyhtälöiden) lukumäärän, jotka on laadittava staattista epämääräisyyttä paljastaessa.

Staattisesti määrätyissä tankojärjestelmissä voimat syntyvät vain ulkoisen kuorman vaikutuksesta. Staattisesti määrittelemättömissä sauvajärjestelmissä voimia ei synny vain ulkoisista kuormista, vaan myös järjestelmän yksittäisten elementtien valmistuksen epätarkkuuksista, järjestelmän elementtien lämpötilan muutoksista jne. Kun tankojen todelliset pituusmitat poikkeavat nimellisarvosta (lasketuista) staattisesti määrittelemättömien järjestelmien asennuksen aikana, syntyy ylimääräisiä, ns. kiinnitysvoimia ja jännityksiä. Staattisesti määrittelemättömän sauvajärjestelmän lämpötilan muuttuessa sen elementteihin syntyy ylimääräisiä, ns. lämpöjännityksiä ja jännityksiä.

Staattisesti määrittelemättömien sauvojen ja sauvajärjestelmien laskenta suoritetaan seuraavan menetelmän mukaisesti.

1. Suoritetaan kiinnityskaavion analyysi ja määritetään tankojärjestelmän staattisen epämääräisyyden aste.

2. Tarkastellaan ongelman staattista puolta, ts. laaditaan tasapainoyhtälöt.

3. Tehtävän geometrinen puoli analysoidaan. Järjestelmää tarkastellaan epämuodostuneena, järjestelmän yksittäisten elementtien muodonmuutosten tai siirtymien välinen suhde määritetään. Tuloksena olevat yhtälöt ovat siirtymien (deformaatioiden) yhteensopivuuden yhtälöitä. Siirtymien (muodonmuutosten) yhteensopivuusyhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin järjestelmän staattisen määrittämättömyyden aste.

4. Ongelman fyysinen puoli otetaan huomioon. R. Hooken lain perusteella järjestelmän elementtien siirtymät tai muodonmuutokset ilmaistaan niissä vaikuttavien sisäisten voimien kautta ja tämä huomioon ottaen siirtymien yhteensopivuusyhtälöt kirjoitetaan laajennetussa muodossa.

5. Ratkaisemalla yhdessä tasapaino- ja siirtymien yhteensopivuusyhtälöt laajennetussa muodossa, määritetään tuntemattomat reaktiot, ts. sauvajärjestelmän staattinen epämääräisyys paljastuu.

6. Lujuuden ja jäykkyyden lisälaskenta on samanlainen kuin staattisesti määrättyjen järjestelmien laskenta.

Tekniikka staattisesti määrittelemättömien sauvojen ja sauvajärjestelmien ratkaisemiseksi on esitetty erilaisten ongelmien ratkaisuesimerkeissä.

Esimerkki 1 Porrastettu sauva, kiinnitetty molemmilta puolilta, kuormitettu voimilla F(Kuva 10, a). On tarpeen paljastaa tangon staattinen epämääräisyys ja määrittää poikkileikkausala.

Alkutiedot: sauvan osan pituus l , tangon poikkileikkausala MUTTA tangon materiaalin kimmokerroin E, sallittu stressi .

Määritelty sauvajärjestelmä.

1. Ulkoisten voimien vaikutuksesta tankoon syntyy kaksi tukireaktiota R1 ja R2. Tasapainoyhtälöt tasaiselle sauvajärjestelmälle voidaan muodostaa yksi, joten sauva on kerran staattisesti määrittelemätön (kuva 10.6).

2. Ongelman staattista puolta tarkastellaan. Valitaan suunnittelukaavio (kuva 10.6) ja laaditaan tasapainoyhtälö:

3. Analysoidaan sauvan muodonmuutoksen tila ja ongelman geometrinen puoli, laaditaan siirtymien yhteensopivuusyhtälö.

4. Ongelman fyysinen puoli otetaan huomioon. Ehdollisesti olettaen, että reaktiot R1 ja R2 tunnetaan, normaalivoimat määritetään osissa

R. Hooken lain perusteella jokaiseen jaksoon kirjoitetaan lausekkeet siirtymille, minkä jälkeen laaditaan yhtälö siirtymien yhteensopivuudesta laajennetussa muodossa:

Kuva 10. Määritelty tanko, tangon suunnittelukaavio, normaalivoiman, normaalijännityksen ja siirtymien kaaviot

5. Tasapainoyhtälön ja siirtymien yhteensopivuusyhtälön yhteinen ratkaisu laajennetussa muodossa mahdollistaa tuntemattomien reaktioiden määrittämisen Tangon staattinen epämääräisyys paljastuu.

6. Kaaviot N z , σ z , δ rakennetaan (kuva 10). Vahvuusehto on kirjoitettu

ja sauvan poikkileikkauspinta-ala määritetään

Esimerkki 2 Täysin jäykkä tanko on kääntyvästi kiinnitetty tankoihin ja lepää kääntyvästi kiinnitetyn tuen päällä (kuva 11, a). Tankoon kohdistetaan voima F. Sen tulee paljastaa tankojärjestelmän staattinen epämääräisyys ja määrittää sallitun voiman [F] arvo.

Lähtötiedot: tankojen pituudet ja palkkiosien pituudet on annettu murto-osina a, tankojen A 1 \u003d 2A ja A 2 \u003d A poikkileikkauspinta-ala, tankojen materiaalin kimmomoduuli E, sallittu jännitys.

Kuva 11,a 11b

1. Tietty sauvajärjestelmä on kerran staattisesti määrittelemätön, koska on olemassa neljä tuntematonta reaktiota - H, R, R 1, R 2, ja tasaiselle voimajärjestelmälle on kolme tasapainoyhtälöä.

2. Tarkastellaan tehtävän staattista puolta (kuva 11.6). Tasapainoyhtälöt laaditaan

3. Analysoidaan tehtävän geometrinen puoli (kuva 11, c) ja laaditaan yhtälö siirtymien yhteensopivuudelle. Kolmioiden samankaltaisuudesta saamme:

4. Ongelman fyysinen puoli otetaan huomioon. R. Hooken lain perusteella määritetään muodonmuutoslausekkeet , ja sitten siirtymän yhteensopivuusyhtälö kirjoitetaan laajennetussa muodossa:

5. Tasapainoyhtälöiden ja siirtymien yhteensopivuuden laajennetun yhtälön yhteisratkaisu mahdollistaa sauvojen ulkoisen kuormituksen aiheuttamien voimien suuruuden määrittämisen. N 1=0,442P, N 2= 0,552R. Järjestelmän staattinen epämääräisyys on esitetty.

Vavan vahvuustilasta I

sallittu kuorma on

II-vavan vahvuudesta

sallittu kuorma on

Lopuksi hyväksymme tankojärjestelmälle pienemmän arvon. Tässä tapauksessa toisen tangon käyttöjännitykset ovat yhtä suuret kuin sallitut, ja ensimmäinen sauva on alikuormitettu.

Kysymyksiä ja tehtäviä itsetutkiskelua varten,

1. Mitä sauvoja ja sauvajärjestelmiä kutsutaan staattisesti määrittelemättömiksi?

2. Miten staattisen epämääräisyyden aste määritetään?

3. Mitkä ovat siirtymän yhteensopivuusyhtälöt?

4. Mitä voimia ja jännityksiä kutsutaan asennukseksi?

5. Mitä ponnistuksia ja rasituksia kutsutaan lämpötilaksi?

6. Listaa staattisesti määrittelemättömien järjestelmien lujuuden ja jäykkyyden laskennan päävaiheet jännityksessä (puristuksessa).

LASKENTA- JA SUUNNITTELUTYÖN VAIHTOEHDOT

STAATTISesti MÄÄRITTÄMÄTTÖMIEN TAUVOJEN JA TAUVOJÄRJESTELMIEN LASKELMAT LUJUN JA JÄYKKYYDEN SUOSITTELEESTA VIRITYS (PUISTUS)

Täysin jäykkä palkki K, joka on kuormitettu voimilla F;, pidetään tasapainossa pitkien terästankojen avulla sch ja kiinnitetään tukilaitteilla. On suoritettava suunnittelulaskelma (etsi sauvojen poikkileikkausalat).

Viimeinen numero vastaa kaavion numeroa (kuvat 12 ... 14).

Varianttitiedot on esitetty taulukossa 3.

Ota laskelmissa: P \u003d 10 kN.

Taulukko 3. RPR-tehtävän tiedot

Jotta tankojärjestelmät (palkit, kehykset jne.) toimisivat rakenteina ja kestäisivät ulkoisia kuormia, niihin on asetettava tiettyjä sidoksia, jotka jakavat ne ulkoisiin ja sisäisiin sidoksiin. Yhteydellä tarkoitetaan yleensä kappaleita (esteitä), jotka rajoittavat rakenteen muiden kappaleiden, pisteiden tai osien liikkumista. Käytännössä tällaisia kappaleita kutsutaan tukilaitteiksi, perustuksiksi jne. Teknisissä laskelmissa otetaan käyttöön ideaalisten liitosten käsite. Jos esimerkiksi palkin vasempaan päähän asetetaan ehto (kuva 1.1, a), joka estää pystysuuntaisen liikkeen, niin sanotaan, että tässä kohdassa on yksi ulkoinen yhteys. Perinteisesti se on kuvattu tangona, jossa on kaksi saranaa. Jos pysty- ja vaakasuuntaiset siirtymät ovat kiellettyjä, järjestelmään asetetaan kaksi ulkoista linkkiä (kuva 1.1, b). Tasaiseen järjestelmään upottaminen antaa kolme ulkoista liitäntää (kuva 1.1, c), jotka estävät upotusosan pystysuorat, vaakasuuntaiset siirtymät ja pyörimisen. ld Fig. 1.1 Rungon (tangon) kiinnittämiseksi tasoon ja sen geometrisen muuttumattomuuden varmistamiseksi on välttämätöntä ja riittävää asettaa siihen kolme sidosta (kuva 1.2), eivätkä kaikki kolme sidosta saa olla keskenään yhdensuuntaisia eivätkä leikkaa keskenään yksi piste. Jatkossa järjestelmän geometrisen muuttumattomuuden ja sen staattisen määriteltävyyden varmistavat yhteydet ymmärretään välttämättömiksi yhteyksiksi. Geometrisesti muuttumaton järjestelmä on järjestelmä, joka voi muuttaa muotoaan vain elementtiensä muodonmuutoksen vuoksi (kuva 1.2), kun taas geometrisesti muuttuva järjestelmä voi sallia liikkeen myös ilman muodonmuutosta (kuva 1.3). Tällainen järjestelmä on mekanismi (kuva 1.3, a). 5 Kuva. 1.2 Mainittujen ohella on olemassa myös hetkellisiä järjestelmiä, joilla tarkoitetaan järjestelmiä, jotka mahdollistavat äärettömän pienet siirtymät ilman elementtien muodonmuutoksia (kuva 1.4). Riisi. 1.3 Joten esimerkiksi saranaan D kohdistetun voiman P vaikutuksesta (kuva 1.4, a) tangot DV ja DS ilman muodonmuutoksia pyörivät suhteessa saranoihin B ja C äärettömän pienen kulman d läpi. Tällöin voiman P pienellä arvolla leikatusta tasapainotilasta DW:n ja DS:n sauvojen voimat pyrkivät äärettömyyteen aiheuttaen sauvojen aksiaalista muodonmuutosta ja muuttaen järjestelmän asentoa. 6 Kuva. 1.4 Kuvan kehykselle. 1.4, b, kun tarkastellaan staattisen yhtälöä, voiman momentti P ei ole tasapainossa (reaktio R1, ei voi aiheuttaa momenttia suhteessa tarkasteltavaan pisteeseen, koska sen toimintalinja kulkee tämän pisteen kautta). Samanlainen ominaisuus ilmenee myös kuvassa 2 esitetyssä järjestelmässä. 1.4, c. Voiman P momentti suhteessa pisteeseen k ei ole tasapainossa. Siten nämä järjestelmät sallivat myös äärettömän pienet siirtymät (momenttipisteeseen nähden) ilman elementtien muodonmuutoksia. Rakennuksissa ja rakenteissa tällaisia järjestelmiä ei voida hyväksyä. Jos geometrisesti muuttumattomassa järjestelmässä on ylimääräisiä rajoituksia välttämättömien lisäksi, niin staattisen riippumattomat yhtälöt eivät riitä määrittelemään tuntemattomia voimia (rajoitteiden reaktioita) ja tällaista järjestelmää kutsutaan staattisesti määrittelemättömäksi. Määritettävien tuntemattomien voimien lukumäärän ja staattisten riippumattomien yhtälöiden lukumäärän välinen ero kuvaa staattisen määrittelemättömyyden astetta, jota yleensä merkitään symbolilla n. Siten kuvassa 2 esitetty palkki ja runko. 1,5 ovat kaksi kertaa (kahdesti) staattisesti määrittelemättömiä. Näissä kaavioissa tuntemattomia reaktioita on viisi ja jokaiselle niistä kirjoitettavissa olevien riippumattomien staattisten yhtälöiden lukumäärä on kolme. Mikä tahansa suljettu piiri on kolme kertaa staattisesti määrittelemätön järjestelmä (kuva 1.6). Riisi. 1.6 Yhden saranan asettaminen vähentää järjestelmän staattista epämääräisyyttä yhdellä (kuva 1.7, a), koska saranassa ei ole taivutusmomenttia. Yksi sarana ymmärretään tarkoittavan saranaa, joka yhdistää kahden tangon päät. Riisi. 1.7 Solmussa oleva sarana, jossa useiden sauvojen päät yhtyvät, vähentää järjestelmän staattisen epämääräisyyden astetta yksittäisten saranoiden lukumäärällä, joka määritetään kaavalla O=C–1. Tässä C ymmärretään solmussa konvergoivien sauvojen lukumääräksi. Esimerkiksi kehyksessä (kuva 1.7, b) yksittäisten saranoiden lukumäärä on O=C–1=3-1=2, joten staattisen epävarmuuden aste pienenee kahdella yksiköllä ja tulee yhtä suureksi kuin n4.

Staattisesti määrättyjen kehysten laskenta

Peruskäsitteet Runko on tankojärjestelmä, jossa kaikki tai osa solmuliitännöistä on jäykkiä (kuva 1.8 a). Jäykälle solmulle on ominaista se, että sen muodostavien tankojen akselien välinen kulma ei muutu kuormituksen vaikutuksesta (kuva 1.8 a). Poikittaispalkin elastisten linjojen ja kaltevan tolpan tangenttien välinen kulma solmupisteessä B pysyy muuttumattomana α, ja saman poikkipalkin ja oikean pylvään elastisten linjojen tangenttien välinen kulma solmussa D säilyttää saman arvon β. Kehykset voivat olla litteitä, kun tankojen kaikki akselit ovat samassa tasossa (kuvat 1.8 a, b, c) ja tilallisia (kuva 1.8 d). Rungon vaakasuoraa tankoa kutsutaan poikkipalkiksi ja sitä tukevia tankoja kutsutaan telineeksi. Vasen asento on vino ja oikea pystysuora. Kehykset voivat olla yksinkertaisia, koostuvat kolmesta tangosta (kuva 1.8), monimutkaisia, monivälisiä (kuva 1.8 b) ja monikerroksisia (kuva 1.8 c). Ne jaetaan myös staattisesti määrättyihin (kuva 1.8 b), kun tuntemattomien reaktioiden, ponnistelujen määrä on pienempi tai yhtä suuri kuin riippumattomien staattisten yhtälöiden määrä, joka voidaan laatia tietylle kehykselle, ja staattisesti määrittelemättömiin, jos tämä ehto ei ole. met (Kuva 1.8 a, c, d) Tästä keskustellaan myöhemmin. Toisin kuin palkeissa, runkojen poikkileikkauksissa on taivutusmomenttien, poikittaisvoiman lisäksi myös pitkittäinen voima. Riisi. 1.8 Voimien (M, Q, N) määritys suoritetaan samalla tavalla kuin palkeissa leikkausmenetelmällä (ROSE). Tässä tapauksessa taivutusmomentin M ja poikittaisen voiman Q merkkisääntö on sama kuin palkeilla ja pitkittäisvoimalla N, kuten 9 tangossa jännityksessä - puristuksessa. Normaalien n- ja leikkausjännitysten määritys suoritetaan samojen riippuvuuksien mukaan kuin palkeilla, jos tanko on taivutettu. Kun kyseessä on monimutkainen vastus, kun taivutusmomentin ohella tankoon syntyy myös pitkittäisvoima, niin laskenta suoritetaan kuten "Monimutkainen vastus" -osiossa kuvattu taivutus jännityksellä - puristus. 1.1 Piirrä tietylle rungolle (kuva 1.9) sisäiset voimat ja selvitä osan K kokonaissiirtymän suuruus ja suunta, jos P = 5 kN; q = 10 kN/m; EIz = const; pylväiden osat ja poikkipalkit ovat samat I = 8000 cm4: 1. Etsi tukireaktiot: a) pystyreaktiot V1, V2: b) vaakareaktiot H1 ja H2: 2. Rakennamme kaavioita sisävoimista M, Q, N. a. Rakenne kaaviosta taivutusmomenteista M.

Staattisesti määrittelemättömien tankojärjestelmien laskenta voimamenetelmällä

Valitsemme havaintopisteen olettaen, että se on ääriviivan sisällä. Tässä tapauksessa kentät sijaitsevat osioiden 1-3, 3-4, 4-K, 4-2 yläpuolella, katsotaan ulkoisiksi ja ääriviivan sisällä - sisäisiksi. Taivutusmomentteja määritettäessä noudatamme samoja sääntöjä kuin palkkeissa. Laskemme momentit kehyksen kunkin osan tunnusomaisissa osissa. Juoni 1-3. Momentti tuen sivulta katsottuna lopussa on 1, M13 = 0. Momentti solmupisteessä on 3, Etumerkki on miinus, koska kohdassa 1-3 alempi leikkausosa on taivutettu ylöspäin kuperasti kohti tarkkailija. Tontti 3-4 (poikkipalkki). Momentti osan alussa (solmun 3 osiossa) M34, sama kuin telineessä 1 - Momentti Saranassa momentti on nolla. Osa 2-4 (kalteva pylväs) Osa 4-K Leikkauksen alussa momentti MK4 = 0. Osan lopussa taivutusmomenttien käyrä on esitetty (Kuva 1.10, a) 1.10 Tarkistamme kaavion M rakenteen oikeellisuuden. Jos kaavio M on rakennettu oikein, niin minkä tahansa tukisolmun tai minkä tahansa rungon osan ulkoisten ja sisäisten voimien vaikutuksesta on oltava tasapainossa. Leikkaamme kehyksestä solmun äärettömän lähellä olevat osat esimerkiksi solmu (4) ja tarkastelemme sen tasapainoa. Otamme momenttien arvot vastaavissa osissa kaaviosta M (kuva 1.10, b). Solmumomenttiyhtälöillä (4) on muoto

Laskennan ominaisuudet monivälisten jatkuvien palkkien voimien menetelmällä

Ehto täyttyy, mikä tarkoittaa, että solmun (4) viereisissä osissa momentit on määritetty oikein. Vastaavasti tarkastus suoritetaan solmussa (3) jne. Huomautus Jos solmussa kohdistetaan keskittyneitä ulkoisia voimia (momentti tai voimia), ne on otettava huomioon tarkastuksessa. Jaettua kuormaa ei näytetä, koska dx on pieni arvo. b. Poikittaisvoimien Q kaavion rakentaminen. Noudatamme samaa merkkisääntöä kuin palkkeissa: jos leikkausvasemmalla oleva ulkovoimien resultantti on suunnattu ylöspäin ja oikealle alaspäin, poikittaisvoima Q > 0, jos päinvastoin - m Osa 1–3. Kun otetaan huomioon vasen leikkausosa 10 kN (miinus koska vasen katkaisuosa on alaspäin suunnatun voiman H1 12 vaikutuksen alaisena, jos katsotaan katkaisuosaa havainnointipisteestä). Poikittaisvoima on vakio tämän osan pituudella (kuva 1.11, a) 1.11 Kappale 3-4 Leikkausvoima missä tahansa osassa etäisyydellä x solmusta (3) otettuna, kun otetaan huomioon osasta vasemmalle vaikuttavat voimat, on 103 01QV xqx. Kun x = 0, saadaan poikittaisvoima solmun (3) vasemmalla puolella, eli Q34 30kN; kohdassa x = 3 m saadaan poikittaisvoima Q, eli solmun (4) vasemmalla puolella olevassa osassa. Kohdan 3-4 poikittaisvoima muuttuu lineaarisen lain mukaan (kuva 1.11, a). Tontti 4-K. Leikkauksessa, joka on etäisyydellä x leikkauksen oikeasta päästä (kuva 1.11, a), poikittaisvoima on yhtä suuri kuin (lineaarinen laki). Kohdassa x = 0 saadaan ja kohdassa x = 3 m jakso 2-4. Tämän leikkauksen poikittaisvoima saadaan projisoimalla pisteeseen 2 kohdistuvat ulkoiset voimat H2, V2 (kuva 1.11, a) Y-akselille, kohtisuoraan tangon pituusakseliin nähden. Leikkauksen 3–4 pituudella poikittaisvoima on vakio. Poikittaisvoimien kaavio on esitetty (Kuva 1.11, a).

Symmetriaominaisuuksien käyttö sauvajärjestelmien staattisen määrittelemättömyyden paljastamisessa

sisään. Pitkittäisvoimien N kaavion rakentaminen. Laskemme pituussuuntaisen voiman kunkin osan poikkileikkauksessa. Juoni 1-3. Tarkastellaan alaosaa (kuva 1.12) Miinus otetaan, koska reaktiota tasapainottava pituussuuntainen voima V1 on suunnattu kohti leikkausta eli reaktiota V1, mikä tarkoittaa, että leikkausalue on puristuksen alaisena. Jos pituussuuntainen voima suunnattaisiin poispäin leikkauksesta, niin N:n etumerkki on positiivinen. Tontti 3-4 (poikkipalkissa). Pituusvoima N30 kN, negatiivinen, puristusvoimana. Leikkauksessa x (kuva 1.12, b) osassa 4-K: kohtisuorassa leikkauksen pituusakseliin nähden. Juoni 2-4. Riisi. 1.12 Kaltevalla pylvään x leikkauksella saadaan pituussuuntainen voima projisoimalla ulkoiset voimat V2 ja H2 X-akselille, jotka ovat samat kuin tangon akseli (kuva 1.12): 34 5 4 (puristus), siksi määritämme miinusmerkki N24 kN. 14 Pituusvoimien kaavio on esitetty (Kuva 1.11, b). 3. Määritämme osan K siirtymät. Tätä varten käytämme Mohrin integraalia, kaavoja A.K. Vereshchagin, Simpson, (katso kohta "Suora taivutus"). Määritämme osan K pystysuuntaisen siirtymän. Tätä varten vapautamme rungon kaikista ulkoisista kuormituksista (q, P) ja kohdistamme tähän osaan yhtä mittatonta voimaa (kuva 1.13, a) Suunta otamme itse vastaan voimat, esim. pohjaan.

Staattisesti määrittelemättömien järjestelmien voimien laskenta menetelmällä, jotka toimivat jännityksessä tai puristuksessa

Riisi. 1.13 Kuvassa 1.13, esitetään käyrä taivutusmomenteista M1 tästä voimasta. Kerrotaan kaaviot M ja M1 Vereshchaginin menetelmän mukaan, saadaan K-leikkauksen pystysuuntainen siirtymä. 4-K-osassa käytettiin Simpsonin kaavaa ja 2-4-osassa Vereshchaginin kaavaa. Määritämme osan K vaakasuuntaisen siirtymän. Tätä varten vapautamme rungon ulkoisista kuormista, kuormitamme sitä yhdellä vaakasuoraan kohdistetulla mitoimattomalla voimalla (kuva 1.13, b). Tämän voiman käyrä on esitetty kuvassa. 1.13b. Laskemme vaakasuuntaisen siirtymän Vereshchaginin ja Simpsonin kaavoilla. Miinusmerkki osoittaa, että todellinen vaakasuuntainen siirtymä on suunnattu vastakkaiseen suuntaan kuin yksikkövoiman kohdistaminen, eli vasemmalle. 15 Löydettyjen siirtymien geometrisena summana on K-leikkauksen kokonaissiirtymä. Täysliikkeen suunta määräytyy kulman mukaan (kuva 1.14, b). Määritetään leikkauksen K kiertokulma. Levylle K sovelletaan yhtä dimensioimatonta momenttia (kuva 1.14, a) ja rakennetaan siitä kaavio taivutusmomenteista.

Staattisesti määrittelemättömien tankojärjestelmien laskenta voimamenetelmällä matriisimuodossa

Riisi. 1.14 Kerrotaan kaaviot M ja M3 käyttämällä Vereshchaginin kaavaa, löydämme leikkauksen K kiertokulman: 16 1.3. Staattisesti määrittelemättömien sauvajärjestelmien laskenta voimien menetelmällä Eniten käytetty menetelmä sauvajärjestelmien staattisen määrittämättömyyden paljastamiseksi on voimien menetelmä. Se johtuu siitä, että tietty staattisesti määrittelemätön järjestelmä vapautetaan ylimääräisistä (ylimääräisistä) yhteyksistä, sekä ulkoisista että sisäisistä, ja niiden toiminta korvataan voimilla ja momenteilla. Niiden arvo määritetään edelleen siten, että siirtymät vastaavat rajoituksia, jotka hylätyt linkit asettavat järjestelmälle. Siten esitetyllä ratkaisumenetelmällä hylättyjen tai leikattujen sidosten kohdissa vaikuttavat voimat tai momentit ovat tuntemattomia. Tästä johtuu nimi "voimien menetelmä". Tarkastellaanpa voimamenetelmän olemusta käyttämällä esimerkkiä staattisesti määrittelemättömän kehyksen laskemisesta kuvassa 1. 1.15. Oletetaan, että tankojen ulkoinen kuormitus, mitat ja jäykkyys tunnetaan. Laskentamenettely 2.1. Asetamme staattisen määrittelemättömyyden asteen, johon käytämme lauseketta, jossa X on tuntemattomien lukumäärä (ulkoisia linkkejä on 5); Y on riippumattomien staattisten yhtälöiden lukumäärä, jotka voidaan koota tarkasteltavalle järjestelmälle. Tietyllä kehyksellä tuntemattomia reaktioita on viisi ja riippumattomia yhtälöitä kolme, koska voimajärjestelmä on tasainen ja mielivaltaisesti sijoitettu, joten järjestelmä on kahdesti staattisesti määrittelemätön. 2.2. Muutetaan tämä järjestelmä staattisesti määräytyväksi, geometrisesti muuttumattomaksi ja ekvivalenssiksi annetun järjestelmän kanssa, eli muodostamme pääjärjestelmän. Tätä varten poistamme tarpeettomat liitokset hävittämällä tai leikkaamalla ne. Kuvassa 1.15 esittää pääjärjestelmää, joka on saatu hylkäämällä tarpeettomat tukilinkit, ja kuvassa 1. 1.16 pääjärjestelmät muodostetaan poistamalla ja leikkaamalla lenkkejä. Esimerkiksi (kuva 1.16, a) kannattimessa A vaakasuora liitos hylätään ja tuessa C leikataan liitos, joka estää osan pyörimisen. Siten jokaiselle staattisesti määrittelemättömälle sauvajärjestelmälle voidaan 1.15 17 valitse useita vaihtoehtoja pääjärjestelmille (Kuva 1.15, 1.16). On tarpeen kiinnittää erityistä huomiota siihen, että joukkojen menetelmän pääjärjestelmän muodostuksessa uusien yhteyksien käyttöönottoa ei voida hyväksyä. On toivottavaa, että pääjärjestelmä on rationaalinen, eli sellainen, jolle on helpompi rakentaa kaavioita sisäisistä voimatekijöistä ja laskelmien määrä on pienin. Tällainen järjestelmä on esitetty kuvassa. 1,15 (vaihtoehto I). Tässä ei tarvitse määrittää tukireaktioita, jos rakennat kaavioita kehyksen vapaasta (löysästä) päästä. Riisi. 1.16 2.3. Muodostamme vastaavan järjestelmän kuormittamalla pääjärjestelmää ulkoisilla voimilla ja hylättyjen (katkaistujen) sidosten voimilla (kuva 1.17). Tuntemattomat voimatekijät merkitään symbolilla Xi, jossa i on tuntemattoman luku. Jos hylätyt rajoitukset estävät lineaariset siirtymät, niin tuntemattomat ovat voimia, jos kulmasiirtymät ovat kiellettyjä, momentteja. Jos pääjärjestelmä on saatu leikkaamalla ylimääräisiä liitoksia, niin leikkauskohdissa kohdistetaan samansuuruiset ja vastakkaiset voimat ja momentit leikatun järjestelmän sekä oikeaan että vasempaan osaan. Tarkasteltavana olevassa esimerkissä X1 ja X2 edustavat kääntötuen A reaktion pysty- ja vaakakomponentteja. 2.4. Laadimme voimamenetelmän kanoniset yhtälöt, jotka ilmaisevat matemaattisessa muodossa pää- ja annettujen järjestelmien ekvivalenssiehdot. Muussa tapauksessa ne ilmaisevat ehtoja, jotka osoittavat, että ulkoisen kuorman ja tuntemattomien voimien yhteisvaikutuksesta aiheutuvien etäisten tarpeettomien linkkien suhteellisten siirtymien on oltava nolla. Tarkasteltavan esimerkin vastaavalle järjestelmälle, joka perustuu voimien toiminnan riippumattomuuden periaatteeseen ja kuva 1. 1.18 kanoniset yhtälöt kirjoitetaan muodossa

Ristikot varauksin sisältävät ristikkopalkit, jotka ovat kahden tai kolmen jännevälin jatkuvan palkin ja jousivedon yhdistelmä; ne ovat tyypillisiä teräs- ja puurakenteille, joiden yläjänne on jatkuvaa valssattua profiilia (sahatavara tai liimattu levypaketti). Voi olla myös pienijänteisiä teräsbetoniristikkoja.
Wikipediasta, ilmaisesta tietosanakirjasta

missä 11 on saman voiman aiheuttama suhteellinen siirtymä pääjärjestelmässä ylimääräisen tuntemattoman X1:n suunnassa; 12 - suhteellinen liike ylimääräisen tuntemattoman X1:n suuntaan, jonka aiheuttaa voima X2; 1P - suhteellinen siirtymä tuntemattoman X1:n toimintasuunnassa tietyn kuorman aiheuttama. Riisi. 1.18 Näiden yhtälöiden fyysinen merkitys. Ensimmäinen yhtälö kieltää tukiosan A pystysuuntaisen liikkeen ylimääräisen tuntemattoman X1:n suunnassa tietyn kuorman P ja yhteisvaikutuksen seurauksena. täydet arvot tuntematon X1 ja X2. Toisella yhtälöllä on samanlainen merkitys. Tässä muodossa (1.1) yhtälöiden käyttö teknisissä laskelmissa on vaikeaa, joten muunnetaan ne uuteen muotoon. Ottaen huomioon sen lineaariset järjestelmät lauseke voidaan kirjoittaa oikein: missä 11 on suhteellinen siirtymä pääjärjestelmässä voiman X1 suunnassa voiman X1 1 vaikutuksesta (kuva 1.19); 21 on suhteellinen siirtymä pääjärjestelmässä voiman X2 suunnassa voimasta X1 1. Tässä X1 ja X2 ovat pudonneiden sidosten reaktioiden todelliset arvot. Sitten voimamenetelmän (1.1) kanoniset yhtälöt voidaan kirjoittaa muotoon. Analogisesti n kertaa staattisesti määrittelemättömissä järjestelmissä kanoniset yhtälöt ovat muotoa Johtavat kertoimet ovat aina positiivisia. Sivutekijät voivat olla positiivisia, negatiivisia tai nolla. 1P  - kutsutaan vapaa- tai kuormituskertoimiksi. 2.5. Määritämme kanonisten yhtälöiden kertoimet. Nämä kertoimet edustavat järjestelmän pisteiden siirtymiä pudonneiden linkkien suunnassa, joten ne voidaan löytää Mohr-integraalin avulla: Kertoimien määrittämismenettely: Kuva 1. 1.19 20 a) piirretään pääjärjestelmän taivutusmomenttidiagrammit annetusta ulkokuormasta P ja pudonneiden sidosten yksikkövoimista X11 (kuva 1.20); Riisi. 1.20 b) laskemme kanonisten yhtälöiden kertoimet. Koska tarkasteltava järjestelmä koostuu vain suoraviivaisista sauvoista ja tankojen jäykkyys niiden pituuksilla on vakio, niin Mohrin integraalin laskenta suoritetaan A.K.:n menetelmän mukaisesti. Vereshchagin kertomalla vastaavat kaaviot käyttämällä Simpsonin kaavoja ja puolisuunnikkaita: 2.6. Kirjoitamme muistiin kanonisen yhtälöjärjestelmän. Kun löydetyt kertoimet on korvattu yhtälöllä (1.3), saadaan: Ratkaisemme yhtälöjärjestelmän ja etsimme tuntemattomat voimat, kN: Huom. Jos voimamerkki osoittautui negatiiviseksi, tämä tarkoittaa, että todellinen voima (reaktio) on suunnattu vastakkaiseen suuntaan kuin vastaavassa järjestelmässä käytetty voima Xi. Siten paljastuu järjestelmän staattinen määrittelemättömyys. 2.7. Rakennamme lopulliset (todelliset) kaaviot sisäisistä voimatekijöistä tietylle järjestelmälle. Piirustus voidaan tehdä kahdella tavalla. Ensimmäinen tapa Kuormitetaan pääjärjestelmää annetulla kuormalla ja löydetyillä voimilla X1 ja X2 (kuva 1.17), minkä jälkeen rakennetaan kaaviot M, Q ja N samalla tavalla kuin perinteisessä staattisesti määräytyvässä järjestelmässä. Tällä tavalla muodostetut kaaviot on esitetty kuvassa. 1.21, jossa taivutusmomenttidiagrammin ordinaatit on piirretty venytettyjen kuitujen sivulta. Tämä menetelmä on kätevin yksinkertaisille järjestelmille. Toinen tapa Laskemme taivutusmomenttien arvot missä tahansa (yleensä ominaisessa) osassa voimien vaikutuksen riippumattomuuden periaatteen perusteella kaavan 22 mukaisesti, jossa k on sen osan numero, jonka taivutusarvo on hetki on määritetty; n on järjestelmän staattisen määrittelemättömyyden aste. Riisi. 1.21 Tässä tapauksessa, jos löydetty voima Xi on negatiivinen merkki , niin vastaava kaavio Mi on peilattava tankojen akseleiden suhteen. Taivutusmomenttien todellisia arvoja määritettäessä laskettujen osien momenttien ordinaatit otetaan kaavioista M1, M2 ja MP ottaen huomioon niiden etumerkit. Momenttien merkit tarkasteltavalla osuudella määräytyvät sen mukaan, kummalla puolella kantaviivaa momenttien ordinaatit sijaitsevat ja tarkkailijapisteen sijainnista. Tässä tapauksessa oletamme, että havainnointipiste sijaitsee ääriviivan sisällä, joten momenttien positiivisiksi arvoiksi katsotaan momentteja, jotka aiheuttavat jännitystä sisäisten kuitujen lasketussa osassa, ja negatiivisiksi arvoiksi. ääriviivan ulkoisista kuiduista. Esimerkiksi kehyksen D-osalle saadaan Samalla tavalla muille osille. Lopullinen kaavio tietyn järjestelmän taivutusmomenteista on esitetty kuvassa. 1.21 a. 23 2.8. Suoritamme muodonmuutostarkistuksen todellisen taivutusmomenttien kaavion rakentamisen oikeellisuudesta. Muodonmuutostestin tarkoituksena on vahvistaa siirtymien puuttuminen pääjärjestelmässä hylättyjen (leikattujen) sidosten suuntaan tuntemattomien voimien löydetyillä arvoilla. Eli jos tuntemattomat voimat löydetään oikein, niin tarkasteltavassa esimerkissä yhtäläisyydet tulee täyttyä: Jos rakennat kaavion yksittäisistä momenteista 2, niin tarkistusta kutsutaan ryhmän siirtymän tarkistukseksi (kuva 1.22): siirtymän puuttuminen vahvistaa ongelman ratkaisun oikeellisuuden. Jos suoritetut laskelmat eivät vahvista pääjärjestelmän pisteiden siirtymien puuttumista hylättyjen linkkien suuntaan, laskentavirheen tunnistamiseksi on tarpeen tarkistaa kanonisten yhtälöiden kertoimien määrityksen oikeellisuus. kaavan mukaan Jos tässä yhtälössä ei ole yhtälöä, suoritetaan kanonisten yhtälöiden kertoimien rivi riviltä tarkistus. Ensimmäinen linja: . Jos tällä rivillä ei ole laskentavirhettä, niin ehdon tulee täyttyä: Samoin voit tarkistaa 2. ja muut rivit. Näitä tarkastuksia suoritettaessa tulee tarkistaa kuormituskertoimien laskennan oikeellisuus: 2.9. Rakennamme poikittaisvoimien Q kaavion taivutusmomenttien M kaavion mukaisesti leikkaamalla tangot peräkkäin tietystä järjestelmästä ja pitämällä niitä saranoituina staattisesti määrättyinä palkkeina. Tankojen päissä käytetään momentteja, joiden arvot ja suunnat valitaan vastaavien osioiden kaaviosta M. Ulkoisten voimien läsnä ollessa käytämme niitä sopivilla alueilla. Määritämme tukireaktiot staattisen tasapainon ehdoista ja kuvaamme Q tavalliseen tapaan staattisesti määrätyille säteille. Tietylle rungolle (kuva 1.15) telineen poikittaisvoimien kaaviota laadittaessa leikataan leikkaus AB ja osaan B käytetään momenttia B 3, 56 M P, joka on otettu todellisten momenttien M kaaviosta (kuva 1). 1,21, b). Määritämme kannatusreaktiot tasapainotilan 3 P perusteella ja rakennamme kaavion poikittaisvoimista Q (kuva 1.23). Riisi. 1.22 25 Samalla tavalla leikkaamme vaakatangon (poikkitanko) BC, tarkastelemme sen tasapainoa ja piirrämme Q tälle rungon osalle (kuva 1.24). Siirrämme yksittäisten sauvojen Q-kaaviot tiettyyn järjestelmään. Lopullinen kaavio tietyn kehyksen poikittaisvoimista on esitetty kuvassa 7.14, b. Poikittaisvoimien kaavion rakentaminen taivutusmomenttikaavion mukaan on mahdollista myös differentiaaliriippuvuuden perusteella: missä α on taivutusmomenttien kaavion hahmottavan suoran kaltevuuskulma perusviivaan (palkin akseliin) nähden ). Poikittaisvoima katsotaan positiiviseksi, jos taivutusmomentti kasvaa akselin suunnassa. Tarkastetussa esimerkissä: 2.10. Rakennamme kaavion pituussuuntaisista voimista N.
Riisi. 7.16 Kuva. 1.24 26 Tätä varten käytämme solmujen katkaisumenetelmää (leikkaamme vain tukisolmut, joiden osat ovat äärettömän lähellä solmua) ja tarkastelemme niiden tasapainoa ulkoisen kuormituksen vaikutuksesta (jos solmuihin kohdistuu) ja voimat hylätyissä (leikatuissa) linkeissä. Leikkaamme solmun B. Käytämme siihen poikittaisvoimia, jotka on otettu vastaavista osista kaaviosta Q (kuva 1.23, b). Solmun on oltava tasapainossa (kuva 1.25) poikittaisten ja pitkittäisten voimien (tuntematon) vaikutuksesta. Määritämme tuntemattomat pituussuuntaiset voimat staattisen tasapainon ehdosta. Pituussuuntaisten voimien kaavio on esitetty kuvassa. 1,23, c. 2.11. Suoritamme lopputarkastuksen ongelman ratkaisun oikeellisuudesta. Järjestelmän (runko), tukiyksikön tai jonkin järjestelmän osan on oltava tasapainossa ulkoisen kuormituksen ja hylättyjen (katkaistujen) linkkien voimien vaikutuksesta. Tarkastellaan annetussa esimerkissä kehyksen tasapainoa staattisen yhtälön avulla (kuva 1.26):

Tasapainoehto täyttyy. Huomautuksia. 1. Jos kehyksessä on useita tukisolmuja, kaikki solmut kuuluvat tarkistuksen piiriin.

Bibliografinen luettelo

Riisi. 1.25 Kuva. 1,26 27 2. Tarkastettaessa tukisolmun tasapainoa on sisäisten voimien (M, Q, N) lisäksi kohdistettava vastaaviin osioihin myös ulkoisia voimia (keskitetty voima ja momentti), jos sellaisia on, käytetään solmussa. Meidän tapauksessamme solmussa ei ole kuormaa.

Ohjeet selvitys- ja graafisten töiden toteuttamiseen erikoisalojen opiskelijoille 2903, 2906,2907, 2908, 2910

Kazan, 2006

Kokoanut: R.A. Kayumov

UDC 539.3

Laske staattisesti määrittelemättömästä sauvajärjestelmästä, joka sisältää ehdottoman jäykän elementin; Ohjeet selvitys- ja graafisten töiden toteuttamiseen erikoisalojen opiskelijoille 2903, 2906, 2907, 2908, 2910 / KazGASU; comp. R.A. Kajumov. Kazan, 2005, 24 s.

Näissä ohjeissa hahmotellaan lyhyesti menetelmät yksinkertaisimpien jäykällä elementillä varustettujen ristikkorakenteiden laskentaan ja annetaan esimerkki laskennasta.

Kuva 6.

Fysiikan ja matematiikan arvostelijakandidaatti tieteet, prof. Tuolit teoreettinen mekaniikka KSUAE Shigabutdinov F.G.

ã Kazanin osavaltion arkkitehtuurin ja rakennustekniikan yliopisto

TEHTÄVÄ #3

STAATTISELLISESTI MÄÄRITTÄMÄTÖN SARANAJÄRJESTELMÄN LASKENTA

Tietylle saranatankojärjestelmälle (katso kaavio), joka koostuu ehdottoman jäykästä palkista ja joustavista tangoista tietyillä poikkileikkauspinta-alasuhteilla, vaaditaan:

1. Aseta staattisen epämääräisyyden aste.

2. Etsi sauvojen voimat.

3. Kirjoita tankojen lujuusolosuhteet voimavaikutuksista ja valitse sauvojen poikkileikkaukset ottaen huomioon annetut pinta-alasuhteet. Materiaali St-3, myötörajaksi otettu 240 MPa = 24 kN/cm 2, varmuuskerroin k = 1,5.

4. Etsi tangoissa esiintyvät jännitykset, jotka johtuvat tankojen valmistuksen epätarkkuudesta d 1 = d 2 = d 3 = (katso taulukko 3). Jos siinä on plusmerkki, sauvasta tehdään pidempi; jos miinus - lyhyempi.

5. Laske sauvojen lämpötilan muutoksesta johtuvat jännitykset Dt°:lla (katso taulukko 3). Lineaarinen laajenemiskerroin teräkselle 1/aste.

6. Tarkista järjestelmän vahvuus osoitteessa erilaisia vaihtoehtoja voima- ja ei-voima-iskut: 1) rakenne on koottu, ei vielä kuormitettu, mutta lämpötilaero on tapahtunut; 2) tapaus, jossa lämpötilaeroa ei ole ja rakenne on koottu ja kuormitettu. 3) tapaus, jossa rakenne on koottu, kuormitettu ja siinä on lämpötilaero.

7. Määritä järjestelmän lopullinen kuormituskyky ja todellinen varmuuskerroin olettamalla vakiosuhteeksi välillä ja .

Tehtävän suorittavat kokonaisuudessaan erikoisalojen PGS ja AD opiskelijat. Muiden erikoisalojen opiskelijat suorittavat järjestelmän laskennan vain ulkoiselle kuormitukselle sallittujen jännitysten ja sallitun kuormituksen mukaan, poislukien tanko 3.

Lähtötiedot selvitys- ja graafisten töiden suorittamiseen valitaan opettajan antaman koodin mukaan.

Kaaviot tehtävälle numero 3

taulukko 3

	MUTTA	B	AT	G	B	sisään	AT
, kN	, kN/m	, m	, m	, m	, m	, m		, mm
									0.3	3/2
								-30	-0.4	1/2
									0.5		3/2
								-25	-0.6	3/4	3/2
									0.7	5/4	1/2
								-35	-0.4	1/2	4/5
									0.5	2/3	1/2
									-0.7	1/2	4/5
								-20	-0.3	3/2	2/3
									0.6	2/3	5/4

ONGELMAN MUOTTAMINEN

Tarkastellaan saranatankojärjestelmää (kuva 1), joka koostuu jäykästä palkista ja muotoaan muuttavista tangoista, jotka on tehty tietyllä poikkileikkauspinta-alojen suhteella, joka on osoitettu tehtävässä. Tunnetut suunnittelukuormat F , q ; rakennusmitat h 1 , h 2 , L 1 , L 2 , L 3; suunnittelulämpötilan vaihtelut: D t 1 - ensimmäisessä sauvassa, D t 2 - toisessa, D t 3 - kolmannessa; epätarkkuudet tankojen valmistuksessa, nimittäin d 1 - ero ensimmäisen palkin suunnittelupituudesta, d 2 - toisessa, d 3 - kolmannessa. tiedossa mekaaniset ominaisuudet materiaali: kimmokerroin E \u003d 2 × 10 4 kN / cm 2, myötöraja s t\u003d 24 kN / cm 2, lämpölaajenemiskerroin a=125 × 10 -7 1/aste. turvallisuus tekijä k tälle mallille otetaan 1,5.

On tarpeen ratkaista 3 tehtävää:

1. Valitse tämän järjestelmän valmistukseen käytettävät tankojen osat näiden tankojen lujuuden ehdoista mitattuna sallituilla jännityksillä mitoituskuormituksilla.

2. Tee johtopäätös mitoituslämpötilan vaihteluiden ja epätarkkuuksien hyväksyttävyydestä tankojen valmistuksessa.

3. Selvitä rakenteen maksimikantavuus, sallitut kuormat ja todellinen turvamarginaali.

Työ koostuu siis suunnittelulaskennasta, tarkastuslaskelmasta, järjestelmän rajakuormituksen laskemisesta.

RGR:n tulee sisältää 3 piirustusta (piirretty mittakaavassa): tankojärjestelmän alkukaavio, tehokaavio ja rakenteen muodonmuutoksen kinemaattinen kaavio.

2. Ositusmenetelmä.

3. Hooken laki.

4. Venymä lämpötilan muutoksesta.

5. Vetolujuus, sallittu jännitys, lujuustila.

6. Muovinen virtaus, myötöraja.

7. Staattinen määrittelemättömyys.

8. Muodonmuutosten yhteensopivuuden ehto.

9. Sallittujen jännitysten laskeminen.

10. Rajatasapainon teorian mukainen laskenta.

YLEINEN SUUNNITTELUSUUNNITELMA

Ensin rakenne vapautetaan sidoksista ja korvataan ne reaktioilla. Poikkileikkausmenetelmässä otetaan huomioon tangoissa esiintyvät sisäiset pituussuuntaiset voimat (normaalivoimat). Tässä tapauksessa ne on ohjattava osiosta, ts. pidä ehdollisesti tangot venytettyinä. Tasapainoyhtälöistä ei ole mahdollista määrittää reaktioita ja pituussuuntaisia voimia, koska Statiikan tasotehtävässä on mahdollista muodostaa 3 itsenäistä tasapainoyhtälöä, kun taas tuntemattomien voimatekijöiden (reaktiot ja pituussuuntaiset voimat) lukumäärä on enemmän kuin kolme. Siksi on tarpeen laatia lisäyhtälöitä, jotka seuraavat tankojen muodonmuutosoletuksesta (muodonmuutosten yhteensopivuusyhtälöt, jotka yhdistävät sauvojen venymät toisiinsa). Ne johtuvat geometrisista näkökohdista. Tässä tapauksessa käytetään oletusta muodonmuutosten pienuudesta. Lisäksi on otettava huomioon seuraava merkkien sääntö. Kokonaisero tangon suunnittelupituuden välillä l ja lopullinen todellinen pituus l con merkitty D l . Siksi, jos sauva pitenee, niin , jos lyhennetään, niin .

Kuten kuviosta 2 voidaan nähdä, tangon pituuden muutos D l koostuu laajennuksesta D l (N) , joka johtuu aksiaalisen jännityksen voimasta N , venymä D l(t) johtuvat lämpötilan muutoksista ja valmistusvirheistä d.

Jos lämpötila laskee, niin D t < 0, то длина стержня уменьшается, т.е. ; если стержень сделан короче проектного, то d< 0. С учетом закона Гука это соотношение примет вид:

Koska venymät ilmaistaan pituussuuntaisina voimina kaavojen (1) mukaan, seuraa sitten yhteensopivuusyhtälöistä suhteita, jotka yhdistävät halutut ponnistelut. Tässä ja alla merkinnän yksinkertaistamiseksi käytetään seuraavia nimityksiä: pituussuuntainen voima ja jännitys tangossa numerolla i .

Tarkastetussa RGR:ssä ei tarvitse etsiä reaktioita. Siksi kolmesta tasapainoyhtälöstä riittää, että jätetään yksi - yhtäläisyysehto nollaan kaikkien ulkoisten ja sisäisten voimien momenteista suhteessa saranan D keskustan läpi kulkevaan akseliin (kuva 1). Tuloksena olevan järjestelmän ratkaisu (tasapaino- ja muodonmuutosyhtälöt) mahdollistaa voimien löytämisen tangoissa.

Lisäksi suunnittelu (tehtävä 1) ja todentamislaskelmat (tehtävä 2) suoritetaan sallitun jännityksen menetelmällä. Myötöraja pidetään vaarallisena jännityksenä s t. Sallitun jännitysmenetelmän mukaan suunnittelu pidetään epäkunnossa jos jännite on saavuttanut vaarallisen arvon ainakin yhdessä sauvassa, ts. osoittautui tuhoutuneeksi ainakin yksi tangoista:

Rakenteen turvallisuuden varmistamiseksi vaaditaan turvamarginaali, ts. on suoritettava vahvuustila kiltti

, (3)

missä k - turvallisuus tekijä, [ s] - sallittu jännite.

Yhden rakenneosan tuhoutuminen ei aina tarkoita sen käyttöominaisuuksien menetystä (eli romahtamista). Muut elementit voivat ottaa haltuunsa kuorman tai osan siitä, jota tuhoutuneen elementin piti kantaa. Tätä pohdintaa käytetään tehtävässä 3, joka on ratkaistu rajatasapainomenetelmä, kutsutaan myös sallittu kuormitusmenetelmä.

Ongelman muotoilussa oletetaan, että voimat R ja K kasvaa suhteellisesti ( R / K = const), sauvojen poikkileikkausalat tunnetaan tehtävän 1 ratkaisusta, tankojen materiaali on elastinen-ideaali-muovi. Kuorman kasvaessa yksi tanko ensin "virtaa", jännitys siinä ei kasva muodonmuutosten myötä ja pysyy moduuliltaan yhtä suuri kuin myötöraja s t(katso kuva 3). Myöhempi kuormien lisääntyminen johtaa siihen, että ensin, toisessa ja sitten kolmannessa tangossa alkaa muovivirtaus, ts. jännitys on saavuttanut myötörajan. Ilmeisesti riippumatta siitä, mitkä asennus- tai lämpötilajännitykset olivat prosessin alussa, lopulta tulee hetki, jolloin jännitykset saavuttavat myötörajan kaikissa tangoissa (koska ne eivät voi ottaa suuria arvoja, kuvan 3 muodonmuutoskaavion mukaan) . Saavutetut voimaarvot F = F jne ja K = K jne kutsutaan rajoittaviksi, koska niiden lisääntyminen on mahdotonta, ja järjestelmä alkaa muuttaa muotoaan loputtomasti. Yrityksistä lähtien N i rajatilassa tunnetaan (koska ne ilmaistaan jännitteinä), niin tasapainoyhtälöstä määritetään F jne. Kuormausturvatilanteesta löytyy sallitut kuormat

Kuten ongelman 3 ratkaisun perusteluista ilmenee, lämpötilan muutosten esiintyminen tai epätarkkuudet tankojen valmistuksessa ei vähennä rakenteen kantokykyä, jos tangot on valmistettu elastisesta-ideaali-muovista.

HUOMAUTUKSIA

1. Opettaja voi määritellä sauvojen valintatehtävän vaatimalla valssatun teräslajitelman käyttöä, esimerkiksi valita komposiittiprofiili kulmista lajitelmataulukoiden mukaan (katso laskentaesimerkki).

2. Laskettaessa riittää, että jätetään 3 merkitsevää numeroa.

3. Tankojen mittoja valittaessa sallitaan 5 % ylikuormitus.

Laskuesimerkki

Oletetaan saranatankojärjestelmä (kuva 4). On tiedossa, että

E \u003d 2 × 10 4 kN / cm 2, s t \u003d 24 kN / cm 2, a = 125 × 10 -7 1 / astetta. (5)

Tehtävä. Määritä jännitys terästankoista, jotka tukevat ehdottoman jäykkää palkkia. Materiaali - teräs St3, α=60°, [σ]=160MPa.

Piirrämme kaavion skaalata. Numeroimme tangot.

Sarana-kiinteässä tuessa MUTTA reaktioita tapahtuu R A ja PÄÄLLÄ . Vavoissa 1 ja 2 ponnisteluja syntyy N 1 ja N 2 . Sovellettava . Leikkaa suljetulla leikkauksella keskellä osa järjestelmää. Näytämme jäykän palkin kaavamaisesti - viivalla, ponnisteluilla N 1 ja N 2 lähettää osiosta.

Kokoaminen tasapainoyhtälöt

Tuntemattomien määrä ylittää staattisten yhtälöiden lukumäärä per 1 . Siksi järjestelmä ja sen ratkaisu vaaditaan yksi ylimääräinen yhtälö. säveltää lisää yhtälö huomioon otettavaksi järjestelmän muodonmuutoskaavio. Saranoitu kiinteä tuki MUTTA pysyy paikallaan ja tangot muotoutuvat voiman vaikutuksesta.

Muodonmuutoskaavio

Muodonmuutoskaavion mukaan muodostamme muodonmuutosyhteensopivuus kolmioiden samankaltaisuuden huomioimisesta ACC 1 ja ABB 1 . Kolmioiden samankaltaisuudesta ABB 1 ja ACC 1 kirjoita suhde:

, missä BB 1 = ∆ ℓ 1 (ensimmäisen sauvan jatke)

Nyt ilmaisemme SS 1 muodonmuutoksen kautta toinen sauva. Suurennetaan fragmenttia kaaviosta.

Kuvasta näkee, että SS 2 = SS yksi · cos(90º- α )= SS yksi · sinα.

Mutta SS 2 = ∆ ℓ 2 , sitten Δ ℓ 2 = SS yksi · sinα , missä:

Käännytään muodonmuutosyhteensopivuus(4) sisään muodonmuutoksen yhteensopivuusyhtälö käyttämällä . Näin tehdessämme meidän on otettava huomioon muodonmuutosten luonne(lyhennys kirjoitetaan "-"-merkillä, pidentäminen "+"-merkillä).

Sitten se tulee olemaan:

Lyhennämme molempia osia E , korvaa numeeriset arvot ja ilmaise N 1 kautta N 2

Korvaa suhde (6) yhtälöön (3) mistä löydämme:

N 1 = 7,12 kN (venytetty),

N 2 = -20,35 kN (puristettu).

Määritellään Jännite tangoissa.

Palkin laskenta rakolla. Muodosta staattisesti määrittelemättömälle teräsporraspalkille kaaviot pituussuuntaisista voimista, normaaleista jännityksistä ja siirtymistä. Tarkista palkin lujuus. Ennen lastausta yläpään ja tuen välissä oli rako Δ=0,1 mm. Materiaali - teräs St 3, pituussuuntainen kimmomoduuli E=2·10 5 MPa, sallittu jännitys [σ]=160 MPa.

Latauksen jälkeen kuilu sulkeutuu ja reaktiot nousta ja alareunassa, ja sisään alkuun tuki. Näytämme heille mielivaltaisesti, nämä ovat reaktioita R A ja R B . Säveldään staattisen yhtälön.

∑klo=0 R A- F 1 + F 2 - R B=0

Yhtälössä 2 tuntemattomat ja yhtälö yksi, siis tehtävä 1 yhden kerran staattisesti määrittelemätön, ja sen ratkaisu vaatii 1 lisäyhtälö.

se muodonmuutoksen yhteensopivuusyhtälö. Tässä tapauksessa palkkiosien muodonmuutosten yhteensopivuus on se palkin pituuden muutos (venymä) ei saa ylittää rakoa, eli Δ ℓ =Δ , Tämä on muodonmuutosyhteensopivuus.

Nyt jaamme palkin osiin ja piirrämme niihin osia - heidän 4 määrässä ominaisuus juonet. Jokainen jakso harkitaan erikseen, liikkuva yhteen suuntaan- alatuesta ylöspäin. Jokaisessa osiossa ilmaisemme voiman N kautta tuntematon reaktio. Ohjaus N osiosta.

Arvot kirjoitetaan erikseen pituussuuntaiset voimat osissa:

N 1 = -R A

N 2 = 120 -R A

N 3 = 120 -R A

N 4 = 30-R A

3. Takaisin kokoamiseen muodonmuutosyhteensopivuusolosuhteet. Meillä on 4 alueella, mikä tarkoittaa

Δ ℓ 1 + ∆ ℓ 2+∆ ℓ 3+∆ ℓ 4 = Δ (raon koko).

Käyttämällä kaavaa varten absoluuttisen jännityksen määritelmä säveltää muodonmuutoksen yhteensopivuusyhtälö, on juuri sitä lisää yhtälö, joka tarvitaan ongelman ratkaisemiseen.

Kokeillaan yksinkertaistaa yhtälö. Muista, että raon koko A = 0,1 mm = 0,1 10-3 m

E- kimmomoduuli, E\u003d 2 10 5 MPa \u003d 2 10 8 kPa.

Korvaamme sen sijaan N heidän arvonsa, jotka on kirjoitettu tukireaktion kautta R A .

4. Laske N ja rakentaa pituussuuntainen voimakaavio.

N 1 =-RA =-47,5kN

N 2 =120 -RA = 72,5 kN

N 3 =120 -RA = 72,5 kN

N 4 =30-RA =-17,5kN.

5. Määrittele normaalit jännitykset σ kaavan mukaan ja rakentaa niiden kaaviot

Rakennamme kaavio normaalit stressit.

Tarkistetaan vahvuus.

σ max= 90,63 MPa< [σ]=160МПа.

Vahvuus taattu.

Laskea siirtymä, käyttämällä muodonmuutoskaavaa.

Mennään seinästä MUTTA aukkoon.

Sain arvon ω 4 yhtä suuri kuin rako, tämä on siirtymien määritelmän oikeellisuuden tarkistus.

Rakennamme siirtymäkaavio.

Terästankoon vaikuttaa pituussuuntainen voima P ja sen oma paino (γ = 78 kN / m 3). Etsi osan 1 –1 siirtymä.

Annettu: E \u003d 2 10 5 MPa, A = 11 cm 2, a = 3,0 m, b = 3,0 m, c = 1,3 m, P = 2 kN.

Osion siirtymä 1–1 muodostuu siirtymisestä voiman R vaikutuksesta, oman painonsa vaikutuksesta yllä oleva osio ja oman painonsa vaikutuksesta alla olevasta osiosta. liikkuva voiman R vaikutuksesta on yhtä suuri kuin tangon osan venymä pituus b+a sijaitsee edellä osiot 1-1. Kuorma P aiheuttaa venymistä vain alue a, koska sillä on vain pituussuuntainen voima tästä kuormasta. Mukaan Hooken laki venymä voiman P vaikutuksesta on yhtä suuri kuin: Määritä venymä tangon omasta painosta osan alapuolella 1–1.

Merkitään se nimellä. Sitä kutsutaan tontin oma paino ja tangon paino osassa a + b

Määritellään venymä tangon omasta painosta osan yläpuolella 1–1.

Merkitään se nimellä sitä kutsutaan osan a+b oma paino

Sitten osan 1-1 täysi siirtymä:

Nuo, osa 1-1 putoaa 0,022 mm.

Täysin jäykkä palkki lepää kääntyvästi kiinteällä tuella ja on kiinnitetty kahteen tankoon saranoiden avulla. On tarpeen: 1) löytää tangoissa olevat voimat ja jännitykset ilmaistaen ne voimana Q; 2) Laske sallittu kuorma Q add vertaamalla suurempi kahden tangon jännitykset sallittuun jännitykseen ; 3) selvitä järjestelmän lopullinen kantavuus, jos myötöraja 4) vertaa molempia arvoja, jotka on saatu sallittujen jännitysten ja murtokuormien laskennassa. Mitat: a=2,1 m, b=3,0 m, c=1,8 m, poikkipinta-ala A=20 cm 2

Tämä järjestelmä kerran staattisesti määrittelemätön. Staattisen määrittämättömyyden paljastamiseksi on tarpeen ratkaista yhdessä tasapainoyhtälö ja sauvojen muodonmuutosten yhteensopivuusyhtälö.

(1) -tasapainoyhtälö

Säveldään muodonmuutoskaavio- katso kuva Sitten skeemasta: (2)

Tekijä: Hooken laki meillä on:

Tankojen pituudet:Sitten saamme:

Korvaa tuloksena oleva relaatio yhtälöön (1):

Me määrittelemme Jännite tangoissa:

Rajatilassa: Korvaamme saadut suhteet yhtälöön (1):

Verrattaessa näemme kuormituksen lisääntyneen:

Terästangosta ja kupariputkesta koostuvaa kolonnia puristetaan voimalla P. Pilarin pituus on ℓ. Ilmaise terästangossa ja kupariputkessa esiintyvät voimat ja jännitykset.
Piirretään leikkaus 1 - 1 ja tarkastellaan leikkausosan tasapainoa

Säveldään staattinen yhtälö: N C + N M - P = 0 , N C + N M = P (1)

Ongelma on staattisesti määrittelemätön. Muodonmuutosyhtälö kirjoittaa siitä ehdosta, että terästangon ja kupariputken venymät ovat samat:(2) taiPerutaan molemmat osat tangon pituudella ja express voima kupariputkessa terästangon voiman kautta:

(3) Korvaa löydetty arvo yhtälöön (1), saamme:

Aina yhdessä korkean kimmokertoimen omaavasta materiaalista valmistettua elementtiä rasitetaan voimakkaammin. klo E C \u003d 2 10 5 MPa, E M \u003d 1 10 5 MPa:

Määritä pylvään jännitykset kaikissa osissa. Voiman P kohdistamisen jälkeen rako sulkeutuu, P = 200 kN, E = 2. 10 5 MPa, A \u003d 25 cm 2 Voiman P käytön jälkeen tulee puristamispyrkimykset. Kutsutaan niitä C:ksi ja B:ksi.

Sävellytään staattinen yhtälö: ∑y = 0; C + B - P \u003d 0; (yksi)

Lisätiedot muodonmuutoksen yhteensopivuusyhtälö: ∆ℓ 1 + ∆ℓ 2 =0,3 mm (2);

Löytää absoluuttinen muodonmuutos, sinun pitää tietää pituussuuntainen voima Sijainti päällä. Käytössä ensimmäinen poikkileikkaus, pituussuuntainen voima on yhtä suuri kuin FROM, päällä toinen eroja (S-R). Korvataan nämä arvot absoluuttisten muodonmuutosten lausekkeisiin: (3)

Korvaamme ilmaisun (3 ) ilmaisuksi ( 2) ja löytää: C = 150 kN, ja alkaen (1) B = 50 kN .

Sitten Jännite alueilla:

Jäykkä palkki on ripustettu kolmeen terästankoon; sauva 2 on tehty mallia lyhyemmäksi. Määritä tankojen jännitykset järjestelmän asennuksen jälkeen. Annettu:

Tämän järjestelmän kokoonpanon päätyttyä jäykkä palkki tulee kääntymään ja ota uusi asema.

pisteitä C, D ja Vastaanottaja siirtyä asentoihin С 1, D 1 ja K 1

Mukaan muodonmuutos kuvio SS 1 = Δℓ 1, DD 1 =Δ−D 1 D 2 = Δ−Δℓ 2, KK 1 \u003d ℓ 3, kun taas tangot 1 ja 3 kokeminen puristus, ja sauva 2 – venyttely.

Muodonmuutoskaavion mukaan tasapainoyhtälö tulee muodossa:

Lisäyhtälöitä voidaan saada perustuen muodonmuutoskaavion analyysi; vastaavista kolmioista VSS 1 ja BDD 1, kolmiot VSS 1 ja BKK 1 seuraa:

Mukaan Hooken lain absoluuttiset muodonmuutokset:

Sitten lisäyhtälöt kirjoitetaan seuraavasti: Ratkaisemalla yhdessä tämä saatujen lisäyhtälöiden järjestelmä ja tasapainoyhtälö saadaan:

N 1 \u003d 14,3 kN (sauva on puristettu), N 2 \u003d 71,5 kN (tanko on venytetty), N 3 \u003d 42,9 kN (tanko on puristettu).

Siten haluttu jännityksiä tangoissa on merkityksiä:
Ongelma ratkaistu.

Porrastettu kuparitanko kuumennetaan lämpötilasta t H =20ºС t К =50ºС. Tarkista tangon lujuus. Annettu:

Sävellytään sauvan tasapainoyhtälö olettaen, että ulkoiset linkit korvataan reaktiivisilla voimilla: Kuten näet, järjestelmä on staattisesti määrittelemätön, ja sen ratkaisemiseksi tarvitaan lisäyhtälö.

Venymän yhteensopivuusyhtälö seuraa ehdosta, että ulkoisten linkkien siirtymät ovat 0 - W B =0 tai W K =0. Tällä tavalla:

Missä:

Tuloksena R B \u003d 20723N.

Normaalit voimat ja stressit alueilla:

Laskelmien tulosten mukaan σ max =│69,1│MPa, jossa σmax< σ adm , (69,1<80). Näin ollen tangon lujuusehto täyttyy.

Aukolla varustetun tangon laskenta. Teräsporrastetussa tangossa, jonka alapään ja tuen välissä on rako, vaaditaan: laadittava kaaviot normaaleista voimista ja jännityksistä, siirtymistä; tarkista vahvuus. Annettu:

Säveldään tasapainoyhtälö sauva:

Hänessä kaksi tuntematon, järjestelmä kerran staattisesti määrittelemätön,vaaditaan lisäyhtälö on venymäyhtälö.

Lisäyhtälö voidaan kirjoittaa tilasta, jossa aukko suljetaan tangon muodonmuutosprosessissa:

Tarkasteltavana oleville alueille absoluuttiset muodonmuutokset:

Määritellään normaalit (pitkittäiset) voimat, siirry seinästä aukkoon:

Korvaa kaikki löydetyt arvot lisäyhtälö:

Alkutietojen ja lyhenteiden korvaamisen jälkeen:

From tasapainoyhtälöt saamme:

Tällä tavalla, R B \u003d 40,74 kN, R K = 9,26 kN.

Laskeminen normaalit voimat:
Rakennamme juoni N

Laskeminen normaalit stressit:
Rakennamme normaali jännityskaavio

Laskeminen liikkeet ominaisia osia.

Siirtymien merkkien sääntö on otettu käyttöön: alas - positiivinen, ylös - negatiivinen.
Rakennamme liikekaavio.

Staattisesti määrittelemätön sauvajärjestelmä on annettu (osa BCD on jäykkä). Tankojen 1 ja 2 poikkileikkausalat on valittava.

Merkitse ponnisteluja tangoissa 1 ja 2, vastaavasti N1 ja N 2.

Esitetään järjestelmän kaavio ponnisteluilla N 1 ja N 2

Kirjoita tätä järjestelmää varten tasapaino yhtälö, jättäen huomioimatta tuen C reaktiiviset voimat Tämä yhtälö sisältää kaksi tuntematonta: N 1 ja N 2. Siksi järjestelmä kerran staattisesti määrittelemätön, ja sen ratkaisuun se vaaditaan lisäyhtälö. se jännitysyhtälö. Esitetään järjestelmä sisään muotoutuva tila kuormituksen alla :

From järjestelmän analyysi deformoituvassa tilassa seuraa että:

Koska , ja koska voimme kirjoittaa: Viimeinen merkintä on välttämätön lisä jännitysyhtälö.

Kirjoitetaan tankojen absoluuttisten muodonmuutosten arvot:

Sitten alkutiedot huomioon ottaen lisäyhtälö tulee muodossa:

Kiinnitä huomiota tasapainoyhtälö, saamme järjestelmän:

Tämän yhtälöjärjestelmän ratkaisusta seuraa:

N 1 \u003d 48 kN (sauva venytetty), N 2 \u003d -36,31 kN (sauva puristettuna).

Mukaan tangon 1 vahvuus:

sitten kunto huomioon ottaen A 1 \u003d 1,5A 2 annettuna tehtävän saamme

Mukaan tangon vahvuus 2:Sitten

Lopulta hyväksymme:

Tankoja ja saranoituja sauvajärjestelmiä, joissa tietyn kuorman sisäiset voimat voidaan määrittää tasapainoyhtälöiden (staattisten yhtälöiden) avulla, kutsutaan staattisesti määrätyiksi.

Sitä vastoin tangoja ja järjestelmiä kutsutaan staattisesti määrittelemättömiksi, joiden sisäisiä voimia ei voida määrittää pelkästään tasapainoyhtälöiden avulla. Siksi niitä laskettaessa on tarpeen laatia lisäyhtälöitä (siirtymäyhtälöitä, jotka ottavat huomioon järjestelmän muodonmuutoksen luonteen. Järjestelmän laskemiseen tarvittavien lisäyhtälöiden määrä luonnehtii sen staattisen määrittämättömyyden astetta. Voit muodostaa niin monta lisäyhtälöä kuin on tarpeen ongelman ratkaisemiseksi.

Staattisesti määrättyjen järjestelmien elementeissä olevat voimat syntyvät vain ulkoisen kuorman vaikutuksesta (mukaan lukien rakenteen oma paino). Staattisesti määrittelemättömien järjestelmien elementeissä voimia voi syntyä myös ulkoisen kuormituksen puuttuessa - seurauksena esimerkiksi lämpötilan muutoksista, tukikiinnikkeiden siirtymisestä ja yksittäisten rakenneosien valmistuksen epätarkkuuksista.

Staattisesti määrittelemättömien järjestelmien laskennassa tärkein vaihe on (tasapainoyhtälöiden lisäksi) siirtymäyhtälöiden laatiminen. Tarkastellaan niiden kokoamismenetelmiä käyttämällä esimerkkejä staattisesti määrittelemättömien järjestelmien laskentaongelmien ratkaisemisesta.

Tarkastellaan tankoa, joka on puristettu (upotettu) molemmista päistä ja kuormitettu voimalla P (kuva 26.2, a). Voiman P vaikutuksesta tiivisteissä tapahtuu reaktioita ja näiden voimien suuruus on määritettävä. Tässä tapauksessa (kun kaikki voimat vaikuttavat yhtä suoraa pitkin) staattinen avulla voit luoda vain yhden tasapainoyhtälön:

Siksi kahden tuntemattoman määrittämiseksi on tarpeen muodostaa yksi ylimääräinen yhtälö. Siksi tarkasteltava sauva on kerran staattisesti määrittelemätön (eli sen staattisen määrittämättömyyden aste on yksi). Lisäyhtälön laatimiseksi hylkäämme alemman upotuksen ja korvaamme sen vaikutuksen sauvaan reaktiolla (kuva 26.2, b). Oletetaan, että vain yksi voima P vaikuttaa, eikä voimaa ole. Voiman R vaikutuksesta vain sen tangon yläosa, jonka pituus on a, vääntyy, minkä seurauksena se osa, johon voima P kohdistuu, siirtyy jonkin verran alaspäin. pituus b ei väänny, vaan liikkuu alas, kuten jäykkä kappale, saman verran, minkä verran osa liikkuu siellä, missä voima P. Erityisesti tangon alapää liikkuu alas saman verran.

Oletetaan nyt, että vain voima vaikuttaa ja voima P puuttuu.

Voiman vaikutuksesta koko sauva vääntyy, minkä seurauksena tangon alapää liikkuu ylöspäin arvon verran.

Itse asiassa tangon alapää, joka on upotettu, ei vastaanota liikettä. Siksi sen siirtämisen alaspäin voiman P aiheuttamana tulee olla yhtä suuri kuin ylöspäin siirtymisen, jonka aiheuttaa voima, josta Yhtälön (46.2) arvo löytyy.

Voiman P vaikutuksesta aiheutuvien reaktioiden määrittämisen jälkeen suoritetaan pitkittäisvoimien piirtäminen ja lujuuslaskenta, kuten staattisesti määritettävissä olevan ongelman tapauksessa.

On huomattava, että tuntemattomien reaktioiden, siirtymien jne. suunnat voidaan ottaa melko mielivaltaisesti. Tarkastetussa esimerkissä reaktioiden suunta oletetaan ylöspäin. Laskennan tuloksena molempien reaktioiden arvot käsiteltiin positiivisina; tämä tarkoittaa, että heidän todelliset suuntansa ovat samat kuin aiemmin hyväksytyt. Jos otamme esimerkiksi reaktion suunnan alaspäin, niin lisäyhtälön ratkaisemisen tuloksena saamme "miinus"-merkin, joka osoittaa, että alemman sinetin reaktion todellinen suunta on päinvastainen kuin sen hyväksytty suunta, eli että se on suunnattu ylöspäin. Laskennan lopputulos ei siis riipu siitä, mihin suuntaan reaktiota alustavasti otetaan.

Tarkastellaan staattisesti määrittelemätöntä litteää saranatankojärjestelmää, joka koostuu kolmesta tangosta, joiden alapäät on yhdistetty yhteisellä saranalla D (kuva 27.2). Keskitangon poikkileikkauspinta-ala on yhtä suuri kuin ulompien tankojen a

Saranaan D kohdistetaan pystysuuntainen voima P. Tämän voiman vaikutuksesta on määritettävä tangoissa olevat voimat.

Koska tankojen kaikkien päiden liitokset ovat saranoituja, saranoiden A, B ja C reaktiot suuntautuvat tankojen akseleita pitkin ja leikkaavat siten pisteessä D.

Reaktioiden määrä on kolme. Mutta koska järjestelmä ja kuorma ovat symmetrisiä pystyakselin suhteen, reaktiot RA ja ovat keskenään yhtä suuret, ja siksi ongelman ratkaisemiseksi riittää määrittää kaksi reaktiota RA ja

Yhdessä pisteessä leikkaavalle tasoiselle voimajärjestelmälle tiedetään, että voidaan muodostaa kaksi tasapainoyhtälöä: ja Nämä kaksi yhtälöä eivät kuitenkaan riitä määrittämään reaktioita ja RB:tä, koska symmetriaehtoa on jo käytetty, ja tämä on Vastaa tasapainoyhtälön käyttöä. Jäljelle jää vain yksi tasapainoyhtälö ja tuntemattomien voimien lukumäärä on kaksi. Siten ongelman ratkaisemiseksi on tarpeen muodostaa yksi lisäyhtälö ja siksi ongelma on kerran staattisesti määrittelemätön.

Tasapainoyhtälöllä on muoto

Muodostaaksesi lisäyhtälön, harkitse järjestelmän siirtymiä.

Tankoissa AD, BD ja CD syntyy vastaavasti pituussuuntaisia voimia. Tanko BD pitkittäisvoiman vaikutuksesta pitenee arvon verran Tanko AD pitenee arvon verran Ottaen huomioon, että saamme

Sarana D laskee arvon verran ja siirtyy asentoon D (kuva 27.2).

Jotta tangon AD pidentyminen voidaan ilmaista siirtymänä, tämä siirtymä on projisoitava tangon akselin suuntaan:

Koska siirtymä on pieni tankojen pituuteen verrattuna, kulma ADB (kuva 27.2) on tässä yhtä suuri kuin a, eli kulma ADB (tankojen AD ja BD akselien välillä muotoutumaton rakenne).

Korvaamme yhtälöön (48.2) edellä saadut lausekkeet ja DB:

Ratkaisemalla tämän yhtälön yhdessä tasapainoyhtälön (47.2) kanssa saadaan

Lausekkeista (49.2) voidaan nähdä, että tankojen AD ja CD poikkileikkauspintojen kasvaessa (eli kasvaessa ) niissä olevat voimat kasvavat ja tangon BD voima pienenee.

Tämä tulos heijastaa staattisesti määrittelemättömien järjestelmien piirteitä, joissa joidenkin elementtien jäykkyyden lisääntyminen johtaa niissä olevien voimien lisääntymiseen ja yleensä muiden elementtien voimien vähenemiseen. Staattisesti määrätyissä järjestelmissä voimien jakautuminen rakenteessa ei riipu sen elementtien jäykkyydestä.

Tarkastellaan järjestelmää, joka koostuu kolmesta tangosta: teräsputken 2 alumiiniputkesta, joka on työnnetty alumiiniputkeen, ja valurautaisesta kiinteästä tangosta 3, joka sijaitsee teräsputken sisällä (kuva 28.2, a).

Sekä putket että valurautatanko asetetaan ehdottoman jäykkien levyjen väliin ja puristuu voimalla P. Jokaisen tangon poikkileikkauksissa on määritettävä voiman P aiheuttamat jännitykset.

Piirretään vaakaleikkaus ja laaditaan tasapainoyhtälö järjestelmän yläosaan (kuva 28.2, b):

missä ovat normaalit jännitykset alumiini-, teräs- ja valurautatankojen poikkileikkauksissa (tässä normaalipuristusjännitysten oletetaan olevan positiivisia); ovat näiden sauvojen poikkileikkausalat.

Tuotteet edustavat pituussuuntaisia voimia tankojen poikkileikkauksissa.

Muita tasapainoyhtälöitä tarkasteltavalle rinnakkaisten voimien järjestelmälle ei voida laatia, ja siksi kolmen tuntemattoman jännityksen määrittämiseksi on tasapainoyhtälön (50.2) lisäksi laadittava kaksi lisäyhtälöä. Näin ollen tarkasteltava järjestelmä on kahdesti (kahdesti) staattisesti määrittelemätön.

Lisäyhtälöiden laatimiseen käytämme sitä tosiasiaa, että kaikki kolme sauvaa on puristettu kahden jäykän levyn väliin, ja siksi kaikkien sauvojen pituussuuntaiset muodonmuutokset ovat samat. Merkitään sauvojen suhteellinen pituussuuntainen muodonmuutos.

Perustuu Hooken lakiin

missä ovat tangon materiaalien kimmomoduulit.

Tästä yhtälöstä saamme kaksi lisäyhtälöä:

Korvaamalla yhtälöiden (52.2) arvot yhtälöön (50.2) saadaan

missä on alumiiniksi vähennetyn koko komposiittitangon poikkileikkausala:

Kuvassa 28.2, b esittää kaavion tarkasteltavan järjestelmän normaaleista jännityksistä kimmomoduulien välisen suhteen ollessa 1:3:2.

Annettuja alueita käytetään heterogeenisen elastisuuden omaavien tankojen suunnittelussa, esimerkiksi teräsbetonipylväät, jotka koostuvat betoniin sijoitetuista terästankoista (raudoitustangoista). Raudoituksen ja betonin välinen sidos estää raudoituksen liikkumisen ympäröivään betoniin nähden. Siksi betonin ja raudoituksen pituussuuntaiset muodonmuutokset ovat samat, ja raudoituksen normaalijännitysten suhde betonin jännityksiin on yhtä suuri kuin näiden materiaalien kimmomoduulien suhde.

Harkitse nyt kuvassa esitettyä järjestelmää. 29.2, a, joka koostuu täysin jäykästä tangosta, joka on tuettu saranoituun tukeen ja kiinnitetty kahteen tankoon AAX ja CCX (valmistettu sitkeästä teräksestä) saranoiden avulla.

Määritetään terästankojen lujuuden tilasta sallittu kuorma, enimmäiskuorma ja suurin sallittu kuorma.

Reaktiot ja päistä saranoidut tangot suunnataan näiden sauvojen akseleita pitkin. Tuen B reaktiossa on vaakakomponentti ja pystykomponentti, koska tämä tuki estää palkin pisteen B vaaka- ja pystysuuntaiset liikkeet.

Tuntemattomia reaktioita on siis yhteensä neljä (kuva 29.2, b), ja tasaiselle voimajärjestelmälle voidaan laatia vain kolme tasapainoyhtälöä. Siksi tämä järjestelmä on kerran staattisesti määrittelemätön ja sen ratkaisua varten on muodostettava yksi lisäyhtälö.

Tehtävän tilanteen mukaan on tarpeen määrittää terästankojen AAX ja SCX reaktiot (yhtä kuin pituussuuntaiset voimat näiden tankojen poikkileikkauksissa), eikä reaktioita tarvitse määrittää. Siksi riittää, että käytetään yhtä kolmesta mahdollisesta tasapainoyhtälöstä, joka ei sisältäisi reaktiot ja .

Tämä on yhtälö kaikkien voimien momenttien summan muodossa suhteessa saranaan B:

Muodostaaksesi lisäyhtälön, harkitse järjestelmän muodonmuutosta. Kuvassa 29.2, b, katkoviiva näyttää palkin akselin järjestelmän muodonmuutoksen jälkeen. Tämä akseli pysyy suoraviivaisena, koska tanko on ehdottoman jäykkä eikä siksi muotoudu, vaan voi pyöriä vain pisteen B ympäri. Muodon muuttamisen jälkeen saranat A ja C siirtyvät asentoihin A ja C, eli ne liikkuvat pystysuunnassa arvojen mukaan. Kolmioiden AAB ja CCB samankaltaisuudesta löydämme

Ilmaisemme tangon pidentymisen ja tangon pidentymisen siirtymien kautta. Tätä varten suunnittelemme siirtymät tankojen suuntiin:

tai tasa-arvo huomioon ottaen (56.2)

Mutta Hooken lain mukaan [kaavan (13.2) mukaan]

ja siksi tasa-arvon perusteella (57.2)

Kun yhtälö (58.2) on ratkaistu yhdessä tasapainoyhtälön (55.2) kanssa, saadaan kuorman Q kautta ilmaistujen pitkittäisvoimien arvot. Jakamalla voimat vastaavasti poikkileikkauspinta-aloilla, määritetään normaalijännitykset teräs tangot. Kun sitten rinnastetaan suurempi näistä jännityksistä sallittuun jännitykseen, saadaan Q:n arvo, joka on yhtä suuri kuin sallittu kuorma

Kun kuorma Q kasvaa yli jännityksen arvon molemmissa tangoissa, ne ensin kasvavat suoraan suhteessa kuormaan. Jos esimerkiksi ja siten arvo saadaan ehdosta, niin kuorman noustessa tiettyyn arvoon ensimmäisen tangon jännitykset saavuttavat myötörajan, jolloin toisessa tangossa jännitykset jäävät pienemmiksi.

Kuorman lisäntyessä jännitykset ensimmäisessä tangossa pysyvät vakioina myötölujuuden suuruisina ja toisessa ne kasvavat, kunnes ne ovat myös yhtä suuret. Tätä järjestelmän tilaa kutsutaan rajatilaksi, vastaavasti. kantokyvyn loppumiseen; lisäksi jopa pieni kuormituksen lisäys liittyy järjestelmän erittäin suuriin muodonmuutoksiin. Q:n arvo, joka aiheuttaa rajatilan, on nimetty ja sitä kutsutaan rajakuormitukseksi.

Arvon määrittämiseksi laadimme tasapainoyhtälön kaikkien rajatilassa jäykään tankoon vaikuttavien voimien momenttien summana (suhteessa saranaan B), kun

Jakamalla kantokyvyn vakioturvallisuuskertoimella, saadaan suurimman sallitun kuorman arvo:

Jos kaavan (59.2) arvo on yhtä suuri kuin arvo [katso. kaava (42.2)], silloin suurimman sallitun kuorman arvo on suurempi kuin sallitun kuormituksen arvo, joka saadaan laskemalla sallitut jännitykset.

Yksityiskohtaisemmin suurimman ja suurimman sallitun kuormituksen määrittämiseen liittyviä kysymyksiä tarkastellaan kohdassa Ch. 17.

Otetaan nyt käyttöön menetelmä staattisesti määrittelemättömän rakenteen asennusjännitysten määrittämiseksi sen elementtien valmistuksen epätarkkuuksista. Tarkastellaan esimerkiksi rakennetta, joka koostuu kolmesta poikkipinta-alaisesta terästangosta, joiden päät on kääntyvästi kiinnitetty kahteen jäykkään levyyn (kuva 30.2, a). Kaikkien vapojen piti olla samanpituisia l, mutta ensimmäinen sauva tehtiin pidempi ja toinen 68 lyhyempi kuin malli, erittäin pieni verrattuna I). Tältä osin asennuksen jälkeen tangoissa syntyi niin sanottuja alku- (tai asennus-) jännityksiä. Määritellään nämä jännitykset.

Oletetaan, että rakenteen asennuksen jälkeen pohjalevy on ottanut kuvan 1 mukaisen asennon. 30.2, mutta katkoviivalla, eli että asennuksen aikana kaikki tangot pidentyivät ja siksi ne kaikki venyvät.

Piirretään sauvojen läpi leikkaus (kuva 30.2, o) ja laaditaan tasapainoolosuhteet rakenteen alemmalle (katkaistulle) osalle (kuva 30.2, b):

a) pystysuoraan kohdistuvien voimien projektioiden summa

b) voimien momenttien summa suhteessa vasempaan saranaan A

Yhtälö (61.2) osoittaa, että toisen ja kolmannen tangon voimilla on eri etumerkit, eli toinen niistä on venytetty ja toinen puristettu.

Siksi oletus, että kaikki tangot ovat venyneet, on virheellinen; Se kuitenkin yksinkertaistaa lisäperusteluja eikä aiheuta virheitä laskentatuloksiin.

Kaksi tasapainoyhtälöä (60.2) ja (61.2) sisältävät kolme tuntematonta voimaa. Näin ollen tarkasteltava rakenne on kerran staattisesti määrittelemätön.

Lisäyhtälön laatimiseksi ota huomioon sauvojen venymä asennuksen aikana. Merkitään ensimmäisen, toisen ja kolmannen tangon jatkeet vastaavasti (kuva 30.2, a). Levyjen absoluuttisen jäykkyyden oletuksen perusteella päättelemme, että kaikki kolme alasaranaa sijaitsevat samalla suoralla linjalla. Tämän avulla voimme muodostaa samankaltaisille kolmioille ACE ja BCD (kuva 30.2, a) seuraavan suhteen: