Tarkastellaan menetelmää erotettavissa olevien muuttujien differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi. Esimerkki on annettu yksityiskohtainen ratkaisu differentiaaliyhtälö erotettavilla muuttujilla.

Sisältö

Määritelmä

Katsotaanpa (x), q (x)- muuttujan x funktiot;
s (y), r (y)- muuttujan y funktiot.

Differentiaaliyhtälö, jossa on erotettavia muuttujia, on muodon yhtälö

Menetelmä erotettavien muuttujien differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi

Harkitse yhtälöä:
(i) .
Esitetään derivaatta y differentiaalien avulla.
;
.
Kerro dx:llä.
(ii)
Jaa yhtälö s:llä (x)r(y). Tämä voidaan tehdä, jos s (x) r(y) ≠ 0. s (x) r(y) ≠ 0 meillä on
.
Integroimalla saadaan yleinen integraali kvadratuurissa
(iii) .

Koska jaoimme s:llä (x)r(y), niin saadaan s:n yhtälön integraali (x) ≠ 0 ja r (y) ≠ 0. Seuraavaksi sinun on ratkaistava yhtälö
r (y) = 0.
Jos tällä yhtälöllä on juuret, ne ovat myös yhtälön (i) ratkaisuja. Olkoon yhtälö r (y) = 0. on n juurta a i , r (a i ) = 0, i = 1, 2, ... , n. Tällöin vakiot y = a i ovat yhtälön (i) ratkaisuja. Jotkut näistä ratkaisuista voivat jo sisältyä yleiseen integraaliin (iii).

Huomaa, että jos alkuperäinen yhtälö annetaan muodossa (ii), yhtälö tulee myös ratkaista
s (x) = 0.
Sen juuret b j , s (b j ) = 0, j = 1, 2, ... , m. anna ratkaisut x = b j .

Esimerkki differentiaaliyhtälön ratkaisemisesta erotettavissa olevilla muuttujilla

ratkaise yhtälö

Ilmaisemme derivaatan differentiaalien avulla:


Kerro dx:llä ja jaa luvulla . Arvolle y ≠ 0 meillä on:

Integroidaan.

Laskemme integraalit kaavan avulla.



Korvaamalla saadaan yhtälön yleinen integraali
.

Harkitse nyt tapausta, y = 0 .
On selvää, että y = 0 on ratkaisu alkuperäiseen yhtälöön. Se ei sisälly yleiseen integraaliin.
Lisätään se sitten lopputulokseen.

; y= 0 .

Viitteet:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Kokoelma korkeamman matematiikan ongelmia, Lan, 2003.

Tarkastellaan menetelmää differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi, jotka pelkistetään yhtälöiksi, joissa on erotettavia muuttujia. Esimerkki yksityiskohtaisesta ratkaisusta differentiaaliyhtälöön, joka pelkistyy yhtälöksi, jossa on erotettavia muuttujia.

Sisältö

Ongelman muotoilu

Harkitse differentiaaliyhtälöä
(i) ,
missä f on funktio, a, b, c ovat vakioita, b ≠ 0 .
Tämä yhtälö on pelkistetty yhtälöksi, jossa on erotettavia muuttujia.

Ratkaisumenetelmä

Teemme vaihdon:
u = ax + by + c
Tässä y on x:n funktio. Siksi u on myös x:n funktio.
Erota x:n suhteen
u′ = (ax + by + c)′ = a + by′
Korvaava (i)
u′ = a + by′ = a + b f(ax + by + c) = a + b f (u)
Tai:
(ii)
Erilliset muuttujat. Kerro dx:llä ja jaa a + b f:llä (u). Jos a + b f (u) ≠ 0, sitten

Integroimalla saadaan alkuperäisen yhtälön yleinen integraali (i) neliöinä:
(iii) .

Lopuksi harkitse tapausta
(iv) a + b f (u) = 0.
Oletetaan, että tällä yhtälöllä on n juurta u = r i , a + b f (r i ) = 0, i = 1, 2, ...n. Koska funktio u = r i on vakio, sen derivaatta x:n suhteen on nolla. Siksi u = r i on yhtälön ratkaisu (ii).
Kuitenkin yhtälö (ii) ei vastaa alkuperäistä yhtälöä (i) ja ehkä kaikki ratkaisut u = r i, ilmaistuna muuttujilla x ja y , eivät täytä alkuperäistä yhtälöä (i).

Siten alkuperäisen yhtälön ratkaisu on yleinen integraali (iii) ja jotkin yhtälön juuret (iv).

Esimerkki differentiaaliyhtälön ratkaisemisesta, joka pelkistyy yhtälöksi, jossa on erotettavia muuttujia

ratkaise yhtälö
(1)

Teemme vaihdon:
u = x - y
Erota x:n suhteen ja suorita muunnoksia:
;

Kerro dx:llä ja jaa u:lla 2 .

Jos u ≠ 0, niin saamme:

Integroimme:

Käytämme kaavaa integraalitaulukosta:

Laskemme integraalin

Sitten
;
, tai

Yhteinen päätös:
.

Harkitse nyt tapausta u = 0 , tai u = x - y = 0 , tai
y=x.
Koska y′ = (x)′ = 1, niin y = x on ratkaisu alkuperäiseen yhtälöön (1) .

;
.

Viitteet:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Kokoelma korkeamman matematiikan ongelmia, Lan, 2003.

Differentiaaliyhtälöt ensimmäinen tilaus. Ratkaisuesimerkkejä.
Differentiaaliyhtälöt erotettavilla muuttujilla

Differentiaaliyhtälöt (DE). Nämä kaksi sanaa yleensä pelottavat keskimääräistä maallikkoa. Differentiaaliyhtälöt näyttävät olevan jotain törkeää ja vaikeaa hallita monille opiskelijoille. Uuuuuu… differentiaaliyhtälöt, miten selviäisin tästä kaikesta?!

Tällainen mielipide ja asenne on pohjimmiltaan väärä, koska itse asiassa DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT OVAT YKSINKERTAISTA JA JOPA HAUSKAA. Mitä sinun tulee tietää ja osata ratkaista differentiaaliyhtälöitä? Jotta voit opiskella diffuureja onnistuneesti, sinun on oltava hyvä integroimaan ja erottautumaan. Mitä paremmin aiheita tutkitaan Yhden muuttujan funktion derivaatta ja Epämääräinen integraali, sitä helpompi on ymmärtää differentiaaliyhtälöitä. Sanon enemmän, jos sinulla on enemmän tai vähemmän kunnolliset integraatiotaidot, niin aihe on käytännössä hallittu! Mitä enemmän integraaleja erilaisia ​​tyyppejä tiedät kuinka päättää - sen parempi. Miksi? Sinun täytyy integroida paljon. Ja erottaa. Myös suosittelen lämpimästi oppia löytämään.

95 %:ssa tapauksista sisään valvoa työtä ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöitä on 3 tyyppiä: erotettavat yhtälöt, jota käsittelemme tällä oppitunnilla; homogeeniset yhtälöt ja lineaariset epähomogeeniset yhtälöt. Aloittelijoille, jotka opiskelevat diffuusoreita, suosittelen lukemaan oppitunnit tässä järjestyksessä, ja kahden ensimmäisen artikkelin opiskelun jälkeen ei ole haittaa lujittaa taitojasi lisätyöpajassa - yhtälöt, jotka pelkistyvät homogeenisiksi.

On olemassa vielä harvinaisempia differentiaaliyhtälöiden tyyppejä: yhtälöt kokonaisdifferentiaaleissa, Bernoullin yhtälöt ja jotkut muut. Tärkeimmät kahdesta viimeisestä tyypistä ovat yhtälöt kokonaiserot, koska tämän DE:n lisäksi harkitsen uutta materiaalia - osittainen integrointi.

Jos sinulla on vain päivä tai kaksi jäljellä, sitten erittäin nopeaan valmistukseen on blitz-kurssi pdf-muodossa.

Joten, maamerkit on asetettu - mennään:

Muistetaan ensin tavalliset algebralliset yhtälöt. Ne sisältävät muuttujia ja numeroita. Yksinkertaisin esimerkki: . Mitä tarkoittaa tavallisen yhtälön ratkaiseminen? Tämä tarkoittaa löytää joukko numeroita jotka täyttävät tämän yhtälön. On helppo nähdä, että lasten yhtälöllä on yksi juuri: . Tehdään huvin vuoksi tarkistus, korvaa löydetty juuri yhtälöimme:

- saadaan oikea yhtäläisyys, mikä tarkoittaa, että ratkaisu löytyy oikein.

Diffuusit on järjestetty pitkälti samalla tavalla!

Differentiaaliyhtälö ensimmäinen tilaus sisään yleinen tapaus sisältää:
1) riippumaton muuttuja ;
2) riippuva muuttuja (funktio);
3) funktion ensimmäinen derivaatta: .

Joissakin ensimmäisen asteen yhtälöissä ei välttämättä ole "x" tai (ja) "y", mutta tämä ei ole välttämätöntä - tärkeä niin että DU:ssa oli ensimmäinen johdannainen ja ei ollut korkeamman asteen johdannaiset - jne.

Mitä tarkoittaa ? Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen tarkoittaa löytämistä joukko kaikkia toimintoja jotka täyttävät tämän yhtälön. Tällaisella funktiojoukolla on usein muoto ( on mielivaltainen vakio), jota kutsutaan differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu.

Esimerkki 1

Ratkaise differentiaaliyhtälö

Täydet ammukset. Mistä aloittaa ratkaisu?

Ensinnäkin sinun on kirjoitettava johdannainen uudelleen hieman eri muodossa. Muistamme hankalan merkinnän, jota monet teistä luultavasti pitivät naurettavana ja tarpeettomana. Se on se, joka hallitsee diffuusereita!

Toisessa vaiheessa katsotaan, onko se mahdollista jakaa muuttujat? Mitä muuttujien erottaminen tarkoittaa? Karkeasti sanottuna, vasemmalla puolella meidän täytyy lähteä vain "pelejä", a oikealla puolella järjestää vain x:t. Muuttujien erottelu suoritetaan "koulu"-manipulaatioiden avulla: sulkumerkit, termien siirto osasta osaan etumerkin muutoksella, tekijöiden siirto osasta osaan suhteellisuussäännön mukaisesti jne.

Erot ja ovat täydellisiä kertojia ja aktiivisia osallistujia vihollisuuksiin. Tässä esimerkissä muuttujat erotetaan helposti kääntökertoimilla suhteellisuussäännön mukaisesti:

Muuttujat erotetaan toisistaan. Vasemmalla - vain "Peli", oikealla - vain "X".

Seuraava vaihe - differentiaaliyhtälön integrointi. Se on yksinkertaista, ripustamme integraalit molempiin osiin:

Integraalit on tietysti otettava. Tässä tapauksessa ne ovat taulukkomuotoisia:

Kuten muistamme, jokaiselle antijohdannaiselle on määritetty vakio. Tässä on kaksi integraalia, mutta vakion kirjoittaminen riittää kerran (koska vakio + vakio on silti sama kuin toinen vakio). Useimmissa tapauksissa se asetetaan sisään oikea puoli.

Tarkkaan ottaen, kun integraalit on otettu, differentiaaliyhtälön katsotaan olevan ratkaistu. Ainoa asia on, että meidän "y" ei ilmaista "x":n kautta, eli ratkaisu esitetään implisiittisessä muodossa. Differentiaaliyhtälön implisiittistä ratkaisua kutsutaan differentiaaliyhtälön yleinen integraali. Eli on yleinen integraali.

Vastaus tässä muodossa on varsin hyväksyttävä, mutta onko olemassa parempaa vaihtoehtoa? Yritetään saada yhteinen päätös.

Ole kiltti, muista ensimmäinen tekniikka, se on hyvin yleinen ja sitä käytetään usein käytännön tehtäviä: jos logaritmi ilmestyy oikealle puolelle integroinnin jälkeen, niin monissa tapauksissa (mutta ei suinkaan aina!) on suositeltavaa kirjoittaa vakio myös logaritmin alle. Ja kirjoita AINA, jos vain logaritmit saadaan (kuten tarkasteltavassa esimerkissä).

Tuo on, SIJASTA pöytäkirjat yleensä kirjoitetaan .

Miksi tätä tarvitaan? Ja jotta "y" olisi helpompi ilmaista. Käytämme logaritmien ominaisuutta . Tässä tapauksessa:

Nyt logaritmit ja moduulit voidaan poistaa:

Toiminto esitetään selkeästi. Tämä on yleinen ratkaisu.

Vastaus: yhteinen päätös: .

Vastaukset moniin differentiaaliyhtälöihin on melko helppo tarkistaa. Meidän tapauksessamme tämä tehdään yksinkertaisesti, otamme löydetyn ratkaisun ja erottelemme sen:

Sitten korvaamme derivaatan alkuperäiseen yhtälöön:

- saadaan oikea yhtälö, mikä tarkoittaa, että yleinen ratkaisu täyttää yhtälön , joka oli tarkistettava.

Vakion antaminen erilaisia ​​merkityksiä, voit saada äärettömän monta yksityisiä päätöksiä differentiaaliyhtälö. On selvää, että jokin funktioista , jne. täyttää differentiaaliyhtälön.

Joskus yleistä ratkaisua kutsutaan toimintoperhe. Tässä esimerkissä yleinen ratkaisu on lineaaristen funktioiden perhe, tai pikemminkin suorien suhteellisuussuhteiden perhe.

Ensimmäisen esimerkin yksityiskohtaisen keskustelun jälkeen on tarkoituksenmukaista vastata muutamaan naiiviin kysymykseen differentiaaliyhtälöistä:

1)Tässä esimerkissä onnistuimme erottamaan muuttujat. Onko tämä aina mahdollista? Ei ei aina. Ja vielä useammin muuttujia ei voida erottaa. Esimerkiksi sisään homogeeniset ensimmäisen kertaluvun yhtälöt on vaihdettava ensin. Muissa yhtälötyypeissä, esimerkiksi ensimmäisen kertaluvun lineaarisessa epähomogeenisessa yhtälössä, sinun on käytettävä erilaisia ​​temppuja ja menetelmiä yleisen ratkaisun löytämiseksi. Erottuvat muuttujayhtälöt, joita tarkastelemme ensimmäisessä oppitunnissa, ovat yksinkertaisin tyyppi differentiaaliyhtälöistä.

2) Onko aina mahdollista integroida differentiaaliyhtälö? Ei ei aina. On erittäin helppoa keksiä "upea" yhtälö, jota ei voida integroida, lisäksi on integraaleja, joita ei voida ottaa. Mutta tällaiset DE: t voidaan ratkaista suunnilleen erityisillä menetelmillä. D'Alembert ja Cauchy takaavat... ...ugh, lurkmore. Luin juuri nyt paljon, melkein lisäsin "toisesta maailmasta".

3) Tässä esimerkissä olemme saaneet ratkaisun yleisen integraalin muodossa . Onko yleisestä integraalista aina mahdollista löytää yleinen ratkaisu, eli ilmaista "y" eksplisiittisessä muodossa? Ei ei aina. Esimerkiksi: . No, miten voin ilmaista "y" täällä?! Tällaisissa tapauksissa vastaus tulee kirjoittaa yleisenä integraalina. Lisäksi joskus löytyy yleinen ratkaisu, mutta se on kirjoitettu niin hankalasti ja kömpelösti, että on parempi jättää vastaus yleisen integraalin muotoon

4) ...ehkä riittää toistaiseksi. Ensimmäisessä esimerkissä tapasimme toinen tärkeä pointti , mutta jotta "nukkeja" en peittäisi uuden tiedon lumivyöryllä, jätän sen seuraavalle oppitunnille.

Älkäämme pitäkö kiirettä. Toinen yksinkertainen kaukosäädin ja toinen tyypillinen ratkaisu:

Esimerkki 2

Etsi differentiaaliyhtälön tietty ratkaisu, joka tyydyttää alkutila

Ratkaisu: sen ehdon mukaan, mikä se on löydettävä yksityinen ratkaisu DE, joka täyttää tietyn alkuehdon. Tällaista kyseenalaistamista kutsutaan myös Cauchy ongelma.

Ensin löydämme yleisen ratkaisun. Yhtälössä ei ole x-muuttujaa, mutta tämän ei pitäisi olla noloa, pääasia, että sillä on ensimmäinen derivaatta.

Kirjoitamme derivaatan uudelleen sisään haluttu muoto:

Ilmeisesti muuttujat voidaan jakaa, pojat vasemmalle, tytöt oikealle:

Integroimme yhtälön:

Yleinen integraali saadaan. Piirsin tähän vakion korostustähdellä, tosiasia on, että se muuttuu pian toiseksi vakioksi.

Nyt yritämme muuntaa yleisen integraalin yleiseksi ratkaisuksi (ilmaista "y" eksplisiittisesti). Muistamme vanhan, hyvän koulun: . Tässä tapauksessa:

Indikaattorin vakio näyttää jotenkin ei kosherilta, joten se lasketaan yleensä taivaasta maan päälle. Yksityiskohtaisesti se tapahtuu näin. Käyttämällä asteiden ominaisuutta kirjoitamme funktion uudelleen seuraavasti:

Jos on vakio, niin on myös jokin vakio, määritä se uudelleen kirjaimella:
- samalla poistamme moduulin, jonka jälkeen vakio "ce" voi ottaa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja

Muista, että vakion "purku" on toinen tekniikka, jota käytetään usein differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa. Puhtaalla kopiolla voit heti siirtyä , mutta ole aina valmis selittämään tämä siirtymä.

Joten yleinen ratkaisu on: Hieno eksponentiaalisten funktioiden perhe.

Viimeisessä vaiheessa sinun on löydettävä tietty ratkaisu, joka täyttää annetun alkuehdon . Se on myös yksinkertainen.

Mikä on tehtävä? Pitää noutaa sellaisia vakion arvo ehdon täyttämiseksi.

Voit järjestää sen eri tavoin, mutta ehkä ymmärrettävin on tällainen. Yleisessä ratkaisussa "x":n sijasta korvataan nolla ja "y":n sijaan kaksi:



Tuo on,

Vakiomuotoiluversio:

Korvaamme nyt vakion löydetyn arvon yleiseen ratkaisuun:
– Tämä on se ratkaisu, jota tarvitsemme.

Vastaus: yksityinen ratkaisu:

Tehdään tarkistus. Tietyn ratkaisun varmentamiseen kuuluu kaksi vaihetta:

Ensin on tarkistettava, täyttääkö löydetty tietty ratkaisu todella alkuehtoa? "x":n sijasta korvaamme nollan ja katsomme mitä tapahtuu:
- kyllä, todellakin, kakkonen saatiin, mikä tarkoittaa, että alkuehto täyttyy.

Toinen vaihe on jo tuttu. Otamme tuloksena olevan tietyn ratkaisun ja löydämme johdannaisen:

Korvaa alkuperäisessä yhtälössä:

- oikea tasa-arvo saavutetaan.

Johtopäätös: tietty ratkaisu löytyy oikein.

Jatketaan merkityksellisempiin esimerkkeihin.

Esimerkki 3

Ratkaise differentiaaliyhtälö

Ratkaisu: Kirjoitamme johdannaisen uudelleen tarvitsemassamme muodossa:

Arvioidaan, voidaanko muuttujat erottaa? Voi. Siirrämme toisen termin oikealle merkin muutoksella:

Ja käännämme tekijät suhteellisuussäännön mukaan:

Muuttujat erotetaan toisistaan, integroidaan molemmat osat:

Minun täytyy varoittaa sinua, tuomiopäivä on tulossa. Jos et ole oppinut hyvin määrittelemättömät integraalit, ratkaisi muutamia esimerkkejä, niin ei ole minne mennä - sinun on hallittava ne nyt.

Vasemman puolen integraali on helppo löytää, kotangentin integraalilla käsittelemme oppitunnilla tarkasteltuamme standarditekniikkaa Trigonometristen funktioiden integrointi Viime vuonna:

Tuloksena saimme vain logaritmeja, ja ensimmäisen teknisen suositukseni mukaan määrittelemme myös vakion logaritmin alle.

Nyt yritämme yksinkertaistaa yleistä integraalia. Koska meillä on vain logaritmeja, on täysin mahdollista (ja välttämätöntä) päästä eroon niistä. Käyttämällä tunnetut ominaisuudet"pakkaa" maksimaalisesti logaritmit. Kirjoitan hyvin yksityiskohtaisesti:

Pakkaus on valmis olemaan barbaarisesti repeytynyt:
, ja anna heti-välittömästi yleinen integraali mieleen mahdollisimman pian:

Yleisesti ottaen tätä ei ole pakko tehdä, mutta aina kannattaa miellyttää professoria ;-)

Periaatteessa tämä mestariteos voidaan kirjoittaa vastaukseksi, mutta tässä on silti tarkoituksenmukaista neliöttää molemmat osat ja määritellä vakio uudelleen:

Vastaus: yleinen integraali:

! merkintä: yleinen integraali voidaan usein kirjoittaa useammalla kuin yhdellä tavalla. Jos tuloksesi ei siis osunut yhteen aiemmin tunnetun vastauksen kanssa, tämä ei tarkoita, että ratkaisit yhtälön väärin.

Onko mahdollista ilmaista "y"? Voi. Ilmaistaan ​​yleinen ratkaisu:

Tietenkin saatu tulos sopii vastaukseksi, mutta huomaa, että yleinen integraali näyttää kompaktimmalta ja ratkaisu osoittautui lyhyemmiksi.

Kolmas tekninen vinkki:jos yleisen ratkaisun saamiseksi on suoritettava huomattava määrä toimintoja, niin useimmissa tapauksissa on parempi pidättäytyä näistä toimista ja jättää vastaus yleisen integraalin muotoon. Sama pätee "huonoihin" toimiin, kun vaaditaan käänteisen funktion ilmaisemista, potenssiin korottamista, juuren ottamista jne. Tosiasia on, että yleinen ratkaisu näyttää vaativalta ja hankalalta - suurilla juurilla, merkeillä ja muilla matemaattisilla roskilla.

Kuinka tarkistaa? Vahvistus voidaan tehdä kahdella tavalla. Tapa yksi: ota yleinen ratkaisu , löydämme johdannaisen ja korvaa ne alkuperäisellä yhtälöllä. Kokeile itse!

Toinen tapa on erottaa yleinen integraali. Se on melko helppoa, tärkeintä on löytää implisiittisesti määritellyn funktion derivaatta:

jaa jokainen termi:

ja päälle:

Alkuperäinen differentiaaliyhtälö saatiin tarkasti, mikä tarkoittaa, että yleinen integraali löytyi oikein.

Esimerkki 4

Etsi differentiaaliyhtälön ratkaisu, joka täyttää alkuehdon. Suorita tarkistus.

Tämä on tee-se-itse-esimerkki.

Muistutan, että algoritmi koostuu kahdesta vaiheesta:
1) yleisen ratkaisun löytäminen;
2) tarvittavan ratkaisun löytäminen.

Tarkastus suoritetaan myös kahdessa vaiheessa (katso esimerkki esimerkissä 2), tarvitset:
1) varmista, että löydetty ratkaisu täyttää alkuperäisen ehdon;
2) tarkista, että tietty ratkaisu yleensä täyttää differentiaaliyhtälön.

Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Esimerkki 5

Etsi differentiaaliyhtälön tietty ratkaisu , joka täyttää alkuperäisen ehdon. Suorita tarkistus.

Ratkaisu: Ensin löydetään yleinen ratkaisu, joka sisältää jo valmiit differentiaalit ja , mikä tarkoittaa, että ratkaisu on yksinkertaistettu. Erottelevat muuttujat:

Integroimme yhtälön:

Vasemmanpuoleinen integraali on taulukkomuotoinen, oikeanpuoleinen integraali otetaan menetelmä, jolla funktio summataan differentiaalin merkin alla:

Yleinen integraali on saatu, onko mahdollista ilmaista yleisratkaisu onnistuneesti? Voi. Riputamme logaritmit molemmille puolille. Koska ne ovat positiivisia, modulo-merkit ovat tarpeettomia:

(Toivottavasti kaikki ymmärtävät muutoksen, sellaiset asiat pitäisi jo tietää)

Joten yleinen ratkaisu on:

Etsitään tietty ratkaisu, joka vastaa annettua alkuehtoa .
Yleisessä ratkaisussa korvataan "x":n sijaan nolla ja "y":n sijaan kahden logaritmi:

Tutumpi muotoilu:

Korvaamme vakion löydetyn arvon yleiseen ratkaisuun.

Vastaus: yksityinen ratkaisu:

Tarkista: Tarkista ensin, täyttyykö alkuehto:
- kaikki on hyvin.

Tarkastetaan nyt, täyttääkö löydetty tietty ratkaisu ollenkaan differentiaaliyhtälöä. Löydämme johdannaisen:

Katsotaanpa alkuperäistä yhtälöä: – se esitetään differentiaaleissa. On kaksi tapaa tarkistaa. On mahdollista ilmaista differentiaali löydetystä johdannaisesta:

Korvaamme löydetyn tietyn ratkaisun ja tuloksena olevan differentiaalin alkuperäiseen yhtälöön :

Käytämme logaritmisen perusidentiteettiä:

Saadaan oikea yhtäläisyys, mikä tarkoittaa, että tietty ratkaisu löytyy oikein.

Toinen tapa tarkistaa on peilattu ja tutumpi: yhtälöstä ilmaise johdannainen, tätä varten jaamme kaikki palat seuraavasti:

Ja muunnetussa DE:ssä korvaamme saadun tietyn ratkaisun ja löydetyn derivaatan . Yksinkertaistusten tuloksena tulisi myös saavuttaa oikea tasa-arvo.

Esimerkki 6

Etsi yhtälön yleinen integraali, esitä vastaus muodossa .

Tämä on esimerkki itseratkaisusta, kokonaisratkaisusta ja vastauksesta oppitunnin lopussa.

Mitä vaikeuksia odottaa erotettavien muuttujien differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa?

1) Ei ole aina selvää (etenkään teekannulle), että muuttujat voidaan erottaa toisistaan. Harkitse ehdollista esimerkkiä: . Tässä sinun on poistettava tekijät suluista: ja erotettava juuret:. Miten tästä eteenpäin, on selvää.

2) Itse integraation vaikeudet. Integraalit eivät usein synny yksinkertaisimmin, ja jos löytämisen taidoissa on puutteita epämääräinen integraali, silloin se on vaikeaa monien diffuusorien kanssa. Lisäksi kokoelmien ja käsikirjojen kääntäjät ovat suosittuja logiikalla "koska differentiaaliyhtälö on yksinkertainen, niin ainakin integraalit ovat monimutkaisempia".

3) Muunnokset vakiolla. Kuten kaikki ovat huomanneet, differentiaaliyhtälöiden vakio voidaan käsitellä melko vapaasti, ja jotkut muunnokset eivät aina ole aloittelijalle selviä. Katsotaanpa toista hypoteettista esimerkkiä: . Siinä on suositeltavaa kertoa kaikki ehdot kahdella: . Tuloksena oleva vakio on myös jonkinlainen vakio, jota voidaan merkitä seuraavasti: . Kyllä, ja koska meillä on samat logaritmit, on suositeltavaa kirjoittaa vakio toiseksi vakioksi: .

Ongelmana on, että he eivät usein välitä indeksien kanssa ja käyttävät samaa kirjainta. Tämän seurauksena päätöspöytäkirja on seuraavanlainen:

Mitä hemmettiä?! Tässä ovat virheet! Tarkkaan ottaen kyllä. Sisällön kannalta virheitä ei kuitenkaan ole, koska muuttujavakion muunnoksen tuloksena saadaan ekvivalentti muuttujavakio.

Tai toinen esimerkki, oletetaan, että yhtälön ratkaisemisen aikana saadaan yleinen integraali. Tämä vastaus näyttää rumalta, joten on suositeltavaa vaihtaa kunkin termin etumerkki: . Muodollisesti on taas virhe - oikealla, se pitäisi kirjoittaa . Mutta epävirallisesti vihjataan, että "miinus ce" on edelleen vakio, joka yhtä hyvin saa samat arvot, ja siksi "miinuksen" asettaminen ei ole järkevää.

Yritän välttää huolimatonta lähestymistapaa ja laitan silti eri indeksit vakioille niitä muunnettaessa. Mitä neuvon sinua tekemään.

Esimerkki 7

Ratkaise differentiaaliyhtälö. Suorita tarkistus.

Ratkaisu: Tämä yhtälö sallii muuttujien erottamisen. Erottelevat muuttujat:

Integroimme:

Vakiota ei tarvitse määritellä logaritmin alle, koska siitä ei seuraa mitään hyvää.

Vastaus: yleinen integraali:

Ja tietysti täällä EI TARVITTAA ilmaista "y" nimenomaisesti, koska se osoittautuu roskaksi (muista kolmas tekninen vinkki).

Tutkimus: Erottele vastaus (implisiittinen funktio):

Pääsemme eroon murtoluvuista, tätä varten kerromme molemmat termit:

Alkuperäinen differentiaaliyhtälö on saatu, mikä tarkoittaa, että yleinen integraali on löydetty oikein.

Esimerkki 8

Etsi DE:n erityinen ratkaisu.
,

Määritelmä 7. Muotoa olevaa yhtälöä kutsutaan yhtälöksi kanssa erotettavia muuttujia.

Tämä yhtälö voidaan pelkistää muotoon jakamalla kaikki yhtälön ehdot tulolla.

Ratkaise esimerkiksi yhtälö

Ratkaisu. Johdannainen on yhtä suuri kuin

Erottelemalla muuttujat, saamme:

.

Nyt integroidaan:

Ratkaise differentiaaliyhtälö

Ratkaisu. Tämä on ensimmäisen kertaluvun yhtälö, jossa on erotettavia muuttujia. Tämän yhtälön muuttujien erottaminen muodossa ja jaa se termi kerrallaan tuotteeseen . Tuloksena saamme tai

integroimalla viimeisen yhtälön molemmat osat saadaan yleinen ratkaisu

arcsin y = arcsin x + C

Etsitään nyt jokin tietty ratkaisu, joka täyttää alkuehdot. Korvaamalla alkuehdot yleisen ratkaisun saamme

; josta C = 0

Siksi tietyn ratkaisun muoto on arc sin y = arc sin x, mutta yhtäläisten kaarien sinit ovat keskenään yhtä suuret

synti (arcsin y) = synti (arcsin x).

Tästä seuraa arsinin määritelmän mukaan, että y = x.

Homogeeniset differentiaaliyhtälöt

Määritelmä 8. Muodon differentiaaliyhtälöä, joka voidaan pelkistää muotoon, kutsutaan homogeeninen.

Tällaisten yhtälöiden integroimiseksi tehdään muuttujien muutos olettaen . Tämä korvaaminen johtaa x:n ja t:n differentiaaliyhtälöön, jossa muuttujat erotetaan, minkä jälkeen yhtälö voidaan integroida. Saadaksesi lopullisen vastauksen, sinun on korvattava muuttuja t arvolla .

Esimerkiksi, ratkaise yhtälö

Ratkaisu. Kirjoitetaan yhtälö uudelleen seuraavasti:

saamme:

Kun vähennys on tehty x 2:lla, meillä on:

Korvataan t:llä:

Tarkasta kysymykset

1 Mikä on differentiaaliyhtälö?

2 Nimeä differentiaaliyhtälöiden tyypit.

3 Kerro algoritmit kaikkien näiden yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Esimerkki 3

Ratkaisu: Kirjoitamme johdannaisen uudelleen tarvitsemassamme muodossa:

Arvioidaan, voidaanko muuttujat erottaa? Voi. Siirrämme toisen termin oikealle merkin muutoksella:

Ja käännämme tekijät suhteellisuussäännön mukaan:

Muuttujat erotetaan toisistaan, integroidaan molemmat osat:

Minun täytyy varoittaa sinua, tuomiopäivä on tulossa. Jos et ole oppinut hyvin määrittelemättömät integraalit, ratkaisi muutamia esimerkkejä, niin ei ole minne mennä - sinun on hallittava ne nyt.

Vasemman puolen integraali on helppo löytää, kotangentin integraalilla käsittelemme oppitunnilla tarkasteltuamme standarditekniikkaa Trigonometristen funktioiden integrointi Viime vuonna:

Oikealla puolella saimme logaritmin, ensimmäisen teknisen suositukseni mukaan, tässä tapauksessa vakio tulee myös kirjoittaa logaritmin alle.

Nyt yritämme yksinkertaistaa yleistä integraalia. Koska meillä on vain logaritmeja, on täysin mahdollista (ja välttämätöntä) päästä eroon niistä. "Pakkaamme" logaritmit niin paljon kuin mahdollista. Pakkaaminen tapahtuu kolmella ominaisuudella:

Kirjoita nämä kolme kaavaa itsellesi uudelleen työkirja, niitä käytetään hyvin usein diffuuseiden ratkaisemisessa.

Kirjoitan ratkaisun erittäin yksityiskohtaisesti:

Pakkaus on valmis, poista logaritmit:

Onko mahdollista ilmaista "y"? Voi. Molemmat osat on oltava neliömäisiä. Mutta sinun ei tarvitse.

Kolmas tekninen vinkki: Jos yleisen ratkaisun saamiseksi sinun on nostettava tehoon tai juurtuttava, niin Useimmissa tapauksissa sinun tulee pidättäytyä näistä toimista ja jättää vastaus yleisen integraalin muodossa. Tosiasia on, että yleinen ratkaisu näyttää vaatimattomalta ja kauhealta - suurilla juurilla, merkeillä.

Siksi kirjoitamme vastauksen yleisenä integraalina. Hyvänä muotona pidetään yleisintegraalin esittämistä muodossa, eli oikealle puolelle, jos mahdollista, jätä vain vakio. Tätä ei ole pakko tehdä, mutta aina kannattaa miellyttää professoria ;-)

Vastaus: yleinen integraali:

merkintä: minkä tahansa yhtälön yleinen integraali voidaan kirjoittaa useammalla kuin yhdellä tavalla. Jos tuloksesi ei siis osunut yhteen aiemmin tunnetun vastauksen kanssa, tämä ei tarkoita, että olet ratkaissut yhtälön väärin.

Myös yleinen integraali tarkistetaan melko helposti, pääasia, että löytyy implisiittisesti määritellyn funktion derivaatat. Erotetaan vastaus:

Kerromme molemmat termit:

Ja jaamme näin:

Alkuperäinen differentiaaliyhtälö saatiin tarkasti, mikä tarkoittaa, että yleinen integraali löytyi oikein.

Esimerkki 4

Etsi differentiaaliyhtälön ratkaisu, joka täyttää alkuehdon. Suorita tarkistus.

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Muistutan, että Cauchyn ongelma koostuu kahdesta vaiheesta:
1) Yleisen ratkaisun löytäminen.
2) Tietyn ratkaisun löytäminen.

Tarkastus suoritetaan myös kahdessa vaiheessa (katso myös esimerkki esimerkistä 2), tarvitset:
1) Varmista, että löydetty ratkaisu todella täyttää alkuperäisen ehdon.
2) Tarkista, että tietty ratkaisu yleensä täyttää differentiaaliyhtälön.

Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Esimerkki 5

Etsi differentiaaliyhtälön tietty ratkaisu , joka täyttää alkuperäisen ehdon. Suorita tarkistus.

Ratkaisu: Ensin löydetään yleinen ratkaisu, joka sisältää jo valmiit differentiaalit ja , mikä tarkoittaa, että ratkaisu on yksinkertaistettu. Erottelevat muuttujat:

Integroimme yhtälön:

Vasemmanpuoleinen integraali on taulukkomuotoinen, oikeanpuoleinen integraali otetaan menetelmä, jolla funktio summataan differentiaalin merkin alla:

Yleinen integraali on saatu, onko mahdollista ilmaista yleisratkaisu onnistuneesti? Voi. Riputamme logaritmit:

(Toivottavasti kaikki ymmärtävät muutoksen, sellaiset asiat pitäisi jo tietää)

Joten yleinen ratkaisu on:

Etsitään tietty ratkaisu, joka vastaa annettua alkuehtoa . Yleisessä ratkaisussa korvataan "x":n sijaan nolla ja "y":n sijaan kahden logaritmi:

Tutumpi muotoilu:

Korvaamme vakion löydetyn arvon yleiseen ratkaisuun.

Vastaus: yksityinen ratkaisu:

Tarkista: Tarkista ensin, täyttyykö alkuehto:
- kaikki on hyvin.

Tarkastetaan nyt, täyttääkö löydetty tietty ratkaisu ollenkaan differentiaaliyhtälöä. Löydämme johdannaisen:

Katsotaanpa alkuperäistä yhtälöä: – se esitetään differentiaaleissa. On kaksi tapaa tarkistaa. On mahdollista ilmaista differentiaali löydetystä johdannaisesta:

Korvaamme löydetyn tietyn ratkaisun ja tuloksena olevan differentiaalin alkuperäiseen yhtälöön :

Käytämme logaritmisen perusidentiteettiä:

Saadaan oikea yhtäläisyys, mikä tarkoittaa, että tietty ratkaisu löytyy oikein.

Toinen tapa tarkistaa on peilattu ja tutumpi: yhtälöstä ilmaise johdannainen, tätä varten jaamme kaikki palat seuraavasti:

Ja muunnetussa DE:ssä korvaamme saadun tietyn ratkaisun ja löydetyn derivaatan . Yksinkertaistusten tuloksena tulisi myös saavuttaa oikea tasa-arvo.

Esimerkki 6

Ratkaise differentiaaliyhtälö. Ilmaise vastaus yleisenä integraalina.

Tämä on esimerkki itseratkaisusta, kokonaisratkaisusta ja vastauksesta oppitunnin lopussa.

Mitä vaikeuksia odottaa erotettavien muuttujien differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa?

1) Ei ole aina selvää (etenkään teekannulle), että muuttujat voidaan erottaa toisistaan. Harkitse ehdollista esimerkkiä: . Tässä sinun on poistettava tekijät suluista: ja erotettava juuret:. Miten tästä eteenpäin, on selvää.

2) Itse integraation vaikeudet. Integraalit eivät usein synny yksinkertaisimmin, ja jos löytämisen taidoissa on puutteita epämääräinen integraali, silloin se on vaikeaa monien diffuusorien kanssa. Lisäksi logiikka "koska differentiaaliyhtälö on yksinkertainen, olkoon integraalit monimutkaisempia" on suosittu kokoelmien ja käsikirjojen kääntäjien keskuudessa.

3) Muunnokset vakiolla. Kuten kaikki ovat huomanneet, differentiaaliyhtälöiden vakiolla voit tehdä melkein mitä tahansa. Ja tällaiset muutokset eivät aina ole selkeitä aloittelijalle. Harkitse toista ehdollista esimerkkiä: . Siinä on suositeltavaa kertoa kaikki ehdot kahdella: . Tuloksena oleva vakio on myös jonkinlainen vakio, jota voidaan merkitä seuraavasti: . Kyllä, ja koska oikealla puolella on logaritmi, on suositeltavaa kirjoittaa vakio toiseksi vakioksi: .

Ongelmana on, että he eivät usein välitä indeksien kanssa ja käyttävät samaa kirjainta . Tämän seurauksena päätöstietue on seuraavanlainen:

Mitä helvettiä? Tässä ovat virheet. Muodollisesti kyllä. Ja epävirallisesti - virhettä ei ole, ymmärretään, että vakiota muuttaessa saadaan silti jokin muu vakio.

Tai esimerkiksi oletetaan, että yhtälön ratkaisemisen aikana saadaan yleinen integraali. Tämä vastaus näyttää rumalta, joten on suositeltavaa muuttaa kaikkien kertoimien merkkejä: . Muodollisesti, pöytäkirjan mukaan, on jälleen virhe, se olisi pitänyt kirjoittaa. Mutta epävirallisesti vihjataan, että - se on silti jokin muu vakio (varsinkin se voi ottaa minkä tahansa arvon), joten vakion etumerkin muuttamisessa ei ole mitään järkeä ja voit käyttää samaa kirjainta .

Yritän välttää huolimatonta lähestymistapaa ja laitan silti eri indeksit vakioille niitä muunnettaessa.

Esimerkki 7

Ratkaise differentiaaliyhtälö. Suorita tarkistus.

Ratkaisu: Tämä yhtälö sallii muuttujien erottamisen. Erottelevat muuttujat:

Integroimme:

Vakiota ei tarvitse määritellä logaritmin alle, koska siitä ei seuraa mitään hyvää.

Vastaus: yleinen integraali:

Tarkista: Erota vastaus (implisiittinen funktio):

Pääsemme eroon murtoluvuista, tätä varten kerromme molemmat termit:

Alkuperäinen differentiaaliyhtälö on saatu, mikä tarkoittaa, että yleinen integraali on löydetty oikein.

Esimerkki 8

Etsi DE:n erityinen ratkaisu.
,

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Ainoa kommentti, täältä saat yleisen integraalin, ja oikeammin sinun täytyy keksiä ei tiettyä ratkaisua, vaan yksityinen integraali. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Kuten jo todettiin, erotettavien muuttujien diffuroissa ei usein esiinny yksinkertaisimpia integraaleja. Ja tässä on pari esimerkkiä itsenäisestä ratkaisusta. Suosittelen kaikkia ratkaisemaan esimerkit nro 9-10 koulutustasosta riippumatta, jolloin voit päivittää integraalien löytämisen taitoja tai täyttää tietopuutteita.

Esimerkki 9

Ratkaise differentiaaliyhtälö

Esimerkki 10

Ratkaise differentiaaliyhtälö

Muista, että yleinen integraali voidaan kirjoittaa useammalla kuin yhdellä tavalla, ja vastausten ulkonäkö voi poiketa ulkomuoto minun vastaukseni. Lyhyt ratkaisu ja vastaukset oppitunnin lopussa.

Onnistunut promootio!

Ratkaisut ja vastaukset:

Esimerkki 4:Ratkaisu: Etsitään yleinen ratkaisu. Erottelevat muuttujat:


Integroimme:



Yleinen integraali on saatu, yritämme yksinkertaistaa sitä. Pakkaamme logaritmit ja pääsemme niistä eroon:

Ilmaisemme funktion eksplisiittisesti käyttämällä .
Yhteinen päätös:

Etsi tietty ratkaisu, joka täyttää alkuperäisen ehdon .
Menetelmä yksi, "x":n sijasta korvaamme 1:n "y" sijaan - "e":
.
Tapa kaksi:

Korvaamme vakion löydetyn arvon yleiseksi ratkaisuksi.
Vastaus: yksityinen ratkaisu:

Tarkista: Tarkista, onko alkuehto todella totta:
, kyllä, alkutila suoritettu.
Tarkistamme, tyydyttääkö tietty ratkaisu ollenkaan differentiaaliyhtälö. Ensin löydämme johdannaisen:

Korvaamme saadun tietyn ratkaisun ja löysi johdannaisen alkuperäiseen yhtälöön :

Saadaan oikea yhtäläisyys, mikä tarkoittaa, että ratkaisu löytyy oikein.

Esimerkki 6:Ratkaisu: Tämä yhtälö sallii muuttujien erottamisen. Erottelemme muuttujat ja integroimme:




Vastaus: yleinen integraali:

Huomautus: täältä saat yleisen ratkaisun:

Mutta kolmannen teknisen vinkkini mukaan tätä ei ole toivottavaa tehdä, koska tällainen vastaus näyttää melko huonolta.

Esimerkki 8:Ratkaisu: Tämä kaukosäädin mahdollistaa muuttujien erottamisen. Erottelevat muuttujat:



Integroimme:


Yleinen integraali:
Etsi tietty ratkaisu (osittaisintegraali), joka vastaa annettua alkuehtoa . Korvaamme yleisen ratkaisun ja:

Vastaus: Yksityinen integraali:
Periaatteessa vastaus voidaan kammata ja saada jotain kompaktimpaa. .

Differentiaaliyhtälöt.

Peruskäsitteitä tavallisista differentiaaliyhtälöistä.

Määritelmä 1. Tavallinen differentiaaliyhtälö n-tehtävän tilaus y Perustelu x kutsutaan muodon suhteeksi

missä F on annettu funktio sen argumenteista. Tämän matemaattisten yhtälöiden luokan nimessä termi "differentiaali" korostaa, että ne sisältävät derivaatat (erilaistumisen seurauksena muodostuneet toiminnot); termi "tavallinen" sanoo, että haluttu funktio riippuu vain yhdestä todellisesta argumentista.

Tavallinen differentiaaliyhtälö ei saa eksplisiittisesti sisältää argumenttia x, haluttu funktio ja mikä tahansa sen derivaatta, mutta korkein derivaatta on sisällytettävä yhtälöön n- Tilaus. Esimerkiksi

a) on ensimmäisen kertaluvun yhtälö;

b) on kolmannen kertaluvun yhtälö.

Tavallisia differentiaaliyhtälöitä kirjoitettaessa käytetään usein derivaattojen merkintää differentiaalien kautta:

sisään) on toisen kertaluvun yhtälö;

d) on ensimmäisen kertaluvun yhtälö,

muodostuu jakamisen jälkeen dx yhtälön ekvivalentti muoto: .

Funktiota kutsutaan tavallisen differentiaaliyhtälön ratkaisuksi, jos siihen substituoituna siitä tulee identiteetti.

Esimerkiksi 3. asteen yhtälö

On ratkaisu .

Yhtälön täyttävän funktion löytäminen jollakin menetelmällä, esimerkiksi valinnalla, ei tarkoita sen ratkaisemista. Tavallisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen tarkoittaa löytämistä kaikki funktioita, jotka muodostavat identiteetin, kun ne korvataan yhtälöllä. Yhtälölle (1.1) tällaisten funktioiden perhe muodostetaan mielivaltaisten vakioiden avulla ja sitä kutsutaan tavallisen differentiaaliyhtälön yleiseksi ratkaisuksi n kertaluokkaa, ja vakioiden lukumäärä vastaa yhtälön järjestystä: y(x): Tässä tapauksessa ratkaisua kutsutaan yhtälön (1.1) yleiseksi integraaliksi.

Esimerkiksi seuraava lauseke on yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälöön: , ja toinen termi voidaan kirjoittaa muodossa , koska mielivaltainen vakio jaettuna kahdella voidaan korvata uudella mielivaltaisella vakiolla .

Asettamalla joitain sallittuja arvoja kaikille mielivaltaisille vakioille yleisessä ratkaisussa tai yleisessä integraalissa, saamme tietyn funktion, joka ei enää sisällä mielivaltaisia ​​vakioita. Tätä funktiota kutsutaan tietyksi ratkaisuksi tai yhtälön (1.1) erityiseksi integraaliksi. Mielivaltaisten vakioiden arvojen ja siten tietyn ratkaisun löytämiseksi käytetään useita yhtälön (1.1) lisäehtoja. Esimerkiksi (1.2):lle voidaan antaa ns. alkuehdot

Alkuehtojen (1.2) oikeissa osissa on annettu funktion ja derivaattojen numeeriset arvot ja alkuehtojen kokonaismäärä on yhtä suuri kuin määritettävien mielivaltaisten vakioiden lukumäärä.

Ongelmaa tietyn ratkaisun löytämiseksi yhtälölle (1.1) alkuehdoista kutsutaan Cauchyn ongelmaksi.

§ 2. Ensimmäisen asteen tavalliset differentiaaliyhtälöt - peruskäsitteet.

1. asteen tavallinen differentiaaliyhtälö ( n=1) on muotoa: tai, jos se voidaan ratkaista derivaatan suhteen: . Yhteinen päätös y=y(x, C) tai 1. kertaluvun yhtälöiden yleinen integraali sisältää yhden mielivaltaisen vakion. Ensimmäisen kertaluvun yhtälön ainoa alkuehto antaa sinun määrittää vakion arvon yleisestä ratkaisusta tai yleisestä integraalista. Siten tietty ratkaisu löytyy tai, joka on myös Cauchyn ongelma, ratkaistaan. Kysymys Cauchyn ongelman ratkaisun olemassaolosta ja ainutlaatuisuudesta on yksi keskeisistä kysymyksistä yleinen teoria tavallisia differentiaaliyhtälöitä. Erityisesti ensimmäisen kertaluvun yhtälölle pätee lause, joka hyväksytään tässä ilman todisteita.

Lause 2.1. Jos yhtälössä funktio ja sen osaderivaatta ovat jatkuvia jollain alueella D kone XOY , ja tällä alueella on annettu piste, silloin on olemassa ja lisäksi ainutlaatuinen ratkaisu, joka täyttää sekä yhtälön että alkuehdon.

1. kertaluvun yhtälön geometrisesti yleinen ratkaisu on tasossa oleva käyräperhe XOY, joilla ei ole yhteisiä kohtia ja eroavat toisistaan ​​yhdellä parametrilla - vakion arvolla C. Näitä käyriä kutsutaan annetun yhtälön integraalikäyriksi. Yhtälön integraalikäyrillä on ilmeinen geometrinen ominaisuus: jokaisessa pisteessä käyrän tangentin kulman tangentti on yhtä suuri kuin yhtälön oikean puolen arvo kyseisessä pisteessä: . Toisin sanoen yhtälö on annettu tasossa XOY integraalikäyrien tangenttien suuntakenttä. Kommentti: On huomattava, että yhtälön osalta yhtälö ja ns. yhtälö symmetrisessä muodossa on annettu .

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt erotettavilla muuttujilla.

Määritelmä. Differentiaaliyhtälö, jossa on erotettavia muuttujia, on muodon yhtälö (3.1)

tai yhtälö, jonka muoto on (3.2)

Jotta yhtälön (3.1) muuttujat voidaan erottaa, ts. pelkistää tämä yhtälö ns. yhtälöksi erotetuilla muuttujilla, suorita seuraavat toimet:

;

Nyt meidän on ratkaistava yhtälö g(y) = 0. Jos siihen on oikea ratkaisu y=a, sitten y=a on myös yhtälön (3.1) ratkaisu.

Yhtälö (3.2) pelkistetään yhtälöksi, jossa on erotetut muuttujat jakamalla se tulolla:

, jonka avulla voimme saada yhtälön (3.2) yleisen integraalin: . (3.3)

Integraalikäyriä (3.3) täydennetään ratkaisuilla, jos sellaisia ​​on olemassa.

Ratkaise yhtälö: .

Erottelevat muuttujat:

.

Integroimalla saamme