Jos lähdetään halutun ja ongelman datan välisestä suhteesta, niin ongelman ehto konstruktiolle voidaan ilmaista analyyttisesti.

Rakennusongelman analyyttinen ilmaus yhtälön muodossa ja sen ratkaisut tämän yhtälön juurien muodossa auttavat löytämään geometrisen ratkaisun sekä määrittämään, millä työkaluilla se voidaan suorittaa.

Tehtävien ratkaisu algebrallisella menetelmällä rajoittuu konstruktioon:

• keskiarvo, joka on verrannollinen kahteen annettuun segmenttiin x = 4ab
• neljäs verrannollinen kolmeen annettuun segmenttiin ilmaistuna

. „ eKr

painetaan kaavalla x \u003d -;

Näiden segmenttien algebrallisella summalla x = a±b, x-a + b-c + d,

x = 3a±2b jne.; _

Kaavoilla kuten x = 1a + b.

Algebrallinen menetelmä geometristen rakennusongelmien ratkaisemiseksi on seuraava:

• 1) ongelmatilanteessa esiintyvät tuntemattomat suureet on merkitty kirjaimilla x, y, z jne.;
• 2) muodosta yhtälöt, jotka yhdistävät nämä tuntemattomat tehtävässä annettuihin arvoihin a, b, c, ...;
• 3) ratkaista muodostetut yhtälöt;
• 4) tutkia saadut vastaukset;
• 5) suorittaa vaadittu rakentaminen.

Ennen kuin siirrytään rakentamisongelmien ratkaisemiseen algebrallisella menetelmällä, tarkastellaan joidenkin segmenttien rakentamista muiden segmenttien pituuksien välisillä suhteilla.

1. Joskus geometrisissa rakennustehtävissä kahden suuren suhde annetaan muodossa a:b; a 3: b 3; a 4: b 4 jne.

Osoitetaan, että mikä tahansa näistä suhteista voidaan korvata kahden segmentin suhteella.

Tehtävä 6.47. Muodosta suhdeluvun antama segmentti a p: b p, missä

p e N.

Ratkaisu

Piirrä kaksi mielivaltaista keskenään kohtisuoraa viivaa KL ja MN(Kuva 6.52) ja merkitse O-kirjaimella niiden leikkauspiste. Suorilla linjoilla KL ja MN pisteestä O siirrämme segmenttejä OA ja oa x, vastaavasti tiettyjä segmenttejä Kommersant ja a. Yhdistämällä pisteet A ja A b palauttaa kohtaan A g kohtisuoraan AA X KL jossain vaiheessa L 2 . Pisteessä A 2 palautetaan kohtisuora A 2 A 1 ja jatka sitä, kunnes se leikkaa viivan MN pisteessä A3 jne.

Määritetään kunkin seuraavan suhteen arvo: OA x: OA; OA 2 : OA x; OA 3: OA g jne.

Suorakulmaisista kolmioista lähtien OAA x, OA, A 2, OA^A 3 ,... ovat samanlaisia, mikä tarkoittaa:

oa, ja ,

Rakentamalla saamme - L = -, ja siksi yhtälöiden (*) perusteella saamme OA b

Määrittäkäämme suhteen arvo Se ei muutu, jos me

jokainen sen termi jaetaan samalla määrällä OA b ja siksi

t t OA, a O Ap a OA 2 a OA b

Mutta yhtälöistä -- = - ja -- = - näemme, että -- = - ja -= -.

OAOA x b oa, Kommersant oa, a

Kahdesta viimeisestä yhtäläisyydestä johtuen voimme kirjoittaa tasa-arvon (**) uudelleen seuraavasti:

OA 2 _ a 2 OA ~ b 2 "

Voimme löytää muita suhteita analogisella päättelyllä.

2. Harkitse ongelmaa kahden tietyn segmentin keskiarvon muodostamisesta, ts. segmentti -tökätä.

Tehtävä 6.48. Muodosta segmenttien suhteellinen keskiarvo a ja b. Ratkaisu

Yhdelle suoralle linjalle asetamme segmentit peräkkäin AC = a ja SW = b(Kuva 6.53)

Riisi. 6.53

Segmentillä AB kuinka rakentaa ympyrä ofiC, 1 halkaisijalle.

Pisteessä C palautamme kohtisuoran suoraa vastaan AB.

Meillä on NC = -jab. Todella, AANB- suorakaiteen muotoinen.

Tunnetun lauseen mukaan AACN samanlainen ANCB, mikä tarkoittaa missä

NC 2 = AC CB, tai muulla merkinnällä NC 2 = ab. Lopulta meillä on NC-Jab.

3. Rakennusongelmia ratkaistaessa on hyvin usein tarpeen rakentaa segmentti, joka on neljäs verrannollinen kolmeen annettuun segmenttiin. Mietitäänpä ratkaisua tähän ongelmaan.

Tehtävä 6.49. Annettu kolme segmenttiä a, b, s. Rakenna sellainen linja X,

a c mitä - = -.

Ratkaisu

Ota mikä tahansa kulma O. Aseta kulman toiselta puolelta segmentit sivuun OA = a ja OS = s, ja toisaalta - segmentti OB-b(Kuva 6.54)

Piirrä viiva pisteen C läpi R || AB. Hän ylittää säteen OV pisteessä D. Todistetaan se OD- haluttu segmentti X. kolmiot OAB

ja OCD ovat samankaltaisia. Siksi ts. OD = x.

Riisi. 6.54

Tietyssä tapauksessa tämä ongelma mahdollistaa segmentin jakamisen P yhtä suuret osat. Merkitään tämä segmentti nimellä b. Ota mikä tahansa segmentti Kanssa, Anna olla a - ps(Kuva 6.55).

Riisi. 6.55

"ac b b 1 .

Koska - = -, sitten x =- kanssa = - c = - b. oh a ps p

4. Harkitse monimutkaisempaa segmenttien suhdetta.

Tehtävä 6.50. Muodosta suhdeluvun antama segmentti 2 [a: 2/b, missä p e N.

Ratkaisu

Oletetaan, että määrien suhde on annettu muodossa [a: -Jb, missä a ja Kommersant- segmenttitiedot.

Määrittääksemme ne kaksi segmenttiä, joiden suhde on yhtä suuri kuin Va:Vb, toimimme seuraavasti.

Satunnaisella suoralla valitusta pisteestä Vastaanottaja Laitetaan sivuun kaksi jaksoa peräkkäin: KN-a ja NM = b(Kuva 6.56)

Riisi. 6.56

Segmentillä KM, kuten halkaisija, rakentaa puoliympyrän KRM.

Pisteessä N palautetaan kohtisuora NN" segmenttiin KM. Suoraan NN" ylittää kaaren KRM jossain vaiheessa L.

Pisteen yhdistäminen LsKim. Segmentit KL ja LM- haluttu, ts.

Todellakin, meillä on -=--. Mutta A KLM samanlainen kuin A LMN, mutta-

KL LN KL 2 LN 2

tämä-=-ja siksi -=--, mutta viimeisestä yhtälöstä

LM NM LM NM 2

KN LN 2 KL 2 KN „

ja tasa-arvo-=-- siitä seuraa, että-- =-. Poimitaan neliö

NM NM 2 LM 2 NM

viimeisen yhtäläisyyden molempien osien juuresta löydämme:

Saadaksesi kaksi segmenttiä, joiden suhde on [a: yfb, sinun on ensin rakennettava tällaiset kaksi segmenttiä tyyppi, suhde

ryh määräytyy yhtälöllä - = -j=, ja sitten saman kautta

rakentamisen löytää segmentit R ja q, jotka määritellään tasa-arvolla p_yfm h Vn

Samanlaisia ​​rakenteita voidaan käyttää segmenttien etsimiseen, joiden suhde on yhtä suuri 2 fa: 2 yх 2 + h h 2, niin yhtälöstä (*) saadaan

Rakentaminen. 1. Rakennamme segmentin y \u003d yj (2t b) 2 -h a 2(Kuva 6.61).

Riisi. 6.61

2. Rakennus x = ^^-(Kuva 6.62).

Riisi. 6.62

3. Lopuksi rakennamme halutun tasakylkisen kolmion ABC syystä AC \u003d 2hi korkeus DB = hb(Kuva 6.63).

Riisi. 6.63

Todiste. On tarpeen todistaa, että rakennetussa tasakylkisessä kolmiossa ABC korkeuksia BD-hb ja AE-h a. Ensimmäinen yhtälö on ilmeinen, ja toisen pätevyys seuraa kaikkien analyysissä annettujen kaavojen käänteisyydestä. _

Opiskelu. Huomaamme, että segmentti y \u003d yyli (.2 h b) 2 - h 2 voidaan rakentaa vain, jos (2/i b) 2 -h ja 2>0 tai 2 h b > h a.

Tällä ehdolla on mahdollista rakentaa jana x ja sitä kautta haluttu kolmio ABC. Koska kaksi tasakylkistä kolmiota, joilla on sama kanta ja sama korkeus, ovat yhtä suuret, ongelmalla on ainutlaatuinen ratkaisu.

Kommentti. Ongelma sallii yksinkertaisemman ratkaisun toisella tavalla. Jos pisteen kautta D piirrä korkeuden kanssa yhdensuuntainen viiva AE ja risteyksen puoli aurinko pisteessä F, sitten kolmio DFB voidaan rakentaa jalkaan 0,5 h a ja hypotenuusa h b, joka johtaa halutun kolmion rakentamiseen.

Tehtävä 6.57. Tietyn pisteen kautta ympyrän ulkopuolella MUTTA piirrä sekantti, joka olisi jaettu tällä ympyrällä tässä suhteessa.

Ratkaisu

Analyysi. Oletetaan, että ongelma on ratkaistu: secant AL täyttää ongelman ehdon (kuva 6.64). Piirrä sekantti pisteestä A AU, joka kulkee annetun ympyrän keskipisteen O läpi. Koska piste A on annettu meille, se tarkoittaa, että tunnemme segmentit ILMOITUS ja kuten. Merkitse janan pituus kirjaimella x AK. Jos piirretään sekantit pisteestä A, joka on ympyrän ulkopuolella, niin koko sekantin tulo sen ulkoosan mukaan on vakioarvo, ja siksi

Riisi. 6.64

Piirustuksesta näemme, että AL = x + LK.

l shs.. ph

Ja koska ehdon x mukaan: LK = m : P, nuo. bk =- se tarkoittaa AL=x+ - -

= -(t + p). t

Siksi yhtäläisyys (*) on seuraavassa muodossa: x-(m + n) = AD? AU, missä

Rakentaminen. 1. Kaavan (**) perusteella määritetään jana x tunnetulla konstruktiolla.

• 2. Kohdasta MUTTA tee lovi tähän ympyrään Vastaanottaja jonka säde on yhtä suuri kuin löydetty x.
• 3. Pisteiden yhdistäminen MUTTA ja Vastaanottaja ja jatkamalla tätä riviä, saamme halutun sekantin.

Huomaa, että emme ole esittäneet päättelyä, joka tapahtuu tämän ongelman ratkaisemisessa todistus- ja tutkimusvaiheissa (jätämme lukijan suorittaa nämä vaiheet itse).

Tehtävä 6.58. Etsi piste annetun ympyrän ulkopuolelta siten, että siitä piirretty tangentti tähän ympyrään on puolet samasta pisteestä keskustan läpi vedetystä sekantista.

Ratkaisu

Analyysi(Kuva 6.65). Merkitään kirjaimella x etäisyys haluttuun pisteeseen ympyrän keskipisteestä O. Kuten tiedetään, AB 2 -DA? AC(1) mutta DA = x - z (2), AC = x + z(3) ja siksi AB 2\u003d (x - g) (x + g) \u003d x 2 - g 2 ja AB \u003d 1x 2 -g 2 (4).

Riisi. 6.65

Koska kunnon mukaan AC \u003d 2AB, niin meillä on kaavoista (3) ja (4). x + r - \u003d 21x 2 - r 2, josta x 2 + 2rx + r 2 \u003d 4x 2 - 4r 2 tai Zx 2 - 2rx - 5r 2 \u003d 0.

nuo. x a \u003d - g ja x 2 \u003d - g.

Tässä tehtävässä x ei voi olla negatiivinen arvo, ja siksi hylätään toinen juuri.

Rakentaminen. Jatketaan yhtä halkaisijaa (CD) annettu ympyrä

ja sen päälle jätimme syrjään pisteestä D Jana D.A., yhtä suuri -g (DA = AO - OD = 5 2 3

Г - г = -г (6)).

Piste MUTTA- haluttu.

Todiste. AC = x + z = -z + z, nuo. ac=-g (7).

.- /2 8 4 AC

Kaavoista (1), (6), (7) löydämme: AB=y/DA-AC=J-r--r=-r=

joka vahvistaa tehdyn konstruktion oikeellisuuden (pyydämme lukijaa suorittamaan tutkimusvaiheen itsenäisesti).

1. Yleisiä huomioita tehtävien ratkaisusta algebrallisella menetelmällä.

2. Liikkumistehtävät.

3. Työtehtävät.

4. Seosten ja prosenttiosuuksien tehtävät.

Algebrallisen menetelmän avulla etsitään aritmeettinen tapa ratkaista tekstitehtävät.

1. Kun tehtäviä ratkaistaan ​​algebrallisella menetelmällä, halutut suureet tai muut suureet, joista on mahdollista määrittää halutut, merkitään kirjaimilla (yleensä x, y,z). Kaikki riippumattomat suhteet tiedon ja tuntemattomien suureiden välillä, jotka ovat joko suoraan muotoiltuja ehtoon (sanallisessa muodossa) tai johtuvat ongelman merkityksestä (esimerkiksi fysikaalisista laeista, joita tarkasteltavat suureet noudattavat) tai seuraavat ehto ja jotkut perustelut, kirjoitetaan epätasa-arvon muodossa. Yleensä nämä suhteet muodostavat tietyn sekajärjestelmän. Erityistapauksissa tämä järjestelmä ei saa sisältää epäyhtälöitä tai yhtälöitä tai se voi koostua vain yhdestä yhtälöstä tai epäyhtälöstä.

Tehtävien ratkaisu algebrallisella menetelmällä ei ole yhden ainoan riittävän yleismaailmallisen järjestelmän alainen. Siksi kaikki kaikkiin tehtäviin liittyvät viittaukset ovat luonteeltaan yleisimpiä. Käytännön ja teoreettisten kysymysten ratkaisemisessa esiin tulevilla tehtävillä on omat yksilölliset ominaisuutensa. Siksi niiden tutkimus ja ratkaisu ovat luonteeltaan mitä monipuolisimpia.

Pysähdytään ongelmien ratkaisemiseen, joiden matemaattinen malli on annettu yhtälöllä, jossa on yksi tuntematon.

Muista, että tehtävä ongelman ratkaisemiseksi koostuu neljästä vaiheesta. Ensimmäisen vaiheen työ (ongelman sisällön analyysi) ei riipu valitusta ratkaisumenetelmästä eikä siinä ole perustavanlaatuisia eroja. Toisessa vaiheessa (kun etsitään tapaa ratkaista ongelma ja laaditaan suunnitelma sen ratkaisemiseksi), käytettäessä algebrallista ratkaisumenetelmää, suoritetaan seuraavat: valitaan päärelaation laatiminen. yhtälö; tuntemattoman valinta ja sen nimityksen käyttöönotto; pääsuhteeseen sisältyvien määrien ilmaisu tuntemattoman ja datan kautta. Kolmas vaihe (ongelman ratkaisusuunnitelman toteuttaminen) sisältää yhtälön laatimisen ja sen ratkaisun. Neljäs vaihe (ongelman ratkaisun tarkistaminen) suoritetaan tavallisella tavalla.

Yleensä kirjoitettaessa yhtälöitä, joissa on yksi tuntematon X noudata seuraavia kahta sääntöä.

sääntö minä . Yksi näistä määristä ilmaistaan ​​tuntemattomana X ja muut tiedot (eli laaditaan yhtälö, jossa yksi osa sisältää tietyn arvon ja toinen sisältää saman arvon ilmaistuna X ja muut annetut määrät).

sääntö II . Samalle suurelle käännetään kaksi algebrallista lauseketta, jotka sitten rinnastetaan toisiinsa.

Ulkoisesti näyttää siltä, ​​​​että ensimmäinen sääntö on yksinkertaisempi kuin toinen.

Ensimmäisessä tapauksessa on aina laadittava yksi algebrallinen lauseke ja toisessa kaksi. Usein on kuitenkin ongelmia, joissa on kätevämpää tehdä kaksi algebrallista lauseketta samalle suurelle kuin valita jo tunnettu lauseke ja tehdä sille yksi lauseke.

Tekstiongelmien ratkaisuprosessi algebrallisella tavalla suoritetaan seuraavan algoritmin mukaan:

1. Valitse ensin suhde, jonka perusteella yhtälö laaditaan. Jos tehtävässä on enemmän kuin kaksi suhdetta, niin yhtälön laadinnan perustaksi tulee ottaa suhde, joka muodostaa jonkin yhteyden kaikkien tuntemattomien välille.

Sitten valitaan tuntematon, jota merkitään vastaavalla kirjaimella.

Kaikki yhtälön laatimiseen valittuun suhteeseen sisältyvät tuntemattomat suureet on ilmaistava valitulla tuntemattomalla, joka perustuu muihin tehtävään sisältyviin suhteisiin, paitsi pääasialliseen.

4. Näistä kolmesta operaatiosta seuraa suoraan yhtälön laatiminen verbaalisen tietueen suunnitteluna matemaattisten symbolien avulla.

Keskeinen paikka lueteltujen operaatioiden joukossa on yhtälöiden laatimisen päärelaation valinta. Käsitellyt esimerkit osoittavat, että pääsuhteen valinta on ratkaiseva yhtälöiden muotoilussa, tuo loogista harmoniaa ongelman joskus epämääräiseen sanalliseen tekstiin, antaa luottamusta orientaatioon ja suojaa kaoottisilta toiminnoilta ilmaista kaikki suureet, jotka sisältyvät laskentaan. ongelman tietojen ja haluttujen kautta.

Algebrallinen ongelmanratkaisumenetelmä on erittäin käytännönläheinen. Sen avulla he ratkaisevat monenlaisia ​​tehtäviä tekniikan, maatalouden ja arkielämän aloilta. Opiskelijat käyttävät yhtälöitä jo lukiossa fysiikan, kemian ja tähtitieteen opiskelussa. Siellä missä aritmetiikka osoittautuu voimattomaksi tai vaatii parhaimmillaan äärimmäisen raskasta päättelyä, siellä algebrallinen menetelmä johtaa helposti ja nopeasti vastaukseen. Ja jopa niin kutsutuissa "tyypillisissä" aritmeettisissa ongelmissa, jotka on suhteellisen helposti ratkaistavissa aritmeettisesti, algebrallinen ratkaisu on yleensä sekä lyhyempi että luonnollisempi.

Algebrallisen tehtävien ratkaisumenetelmän avulla on helppo osoittaa, että joillakin ongelmilla, jotka eroavat toisistaan ​​vain kaaviossa, ei ole vain samoja suhteita datan ja haluttujen arvojen välillä, vaan ne johtavat myös tyypilliseen päättelyyn, jonka avulla nämä suhteet muodostetaan. Tällaiset ongelmat antavat vain erilaisia ​​spesifisiä tulkintoja samasta matemaattisesta päättelystä, samoista suhteista, eli niillä on sama matemaattinen malli.

2. Liikkeen tehtäväryhmä sisältää tehtäviä, jotka puhuvat kolmesta suuresta: polkuja (s), nopeus ( v) ja aika ( t). Yleensä he puhuvat tasaisesta suoraviivaisesta liikkeestä, kun nopeus on vakio suuruus- ja suuntasuhteessa. Tässä tapauksessa kaikki kolme määrää liittyvät toisiinsa seuraavalla suhteella: S = vt. Esimerkiksi jos pyöräilijän nopeus on 12 km/h, niin hän ajaa 1,5 tunnissa 12 km/h  1,5 h = 18 km. On ongelmia, joissa tarkastellaan tasaisesti kiihdytettyä suoraviivaista liikettä, eli liikettä jatkuvalla kiihtyvyydellä (a). Kuljettu matka s tässä tapauksessa lasketaan kaavalla: S = v 0 t + klo 2 /2, missä v 0 – alkunopeus. Eli 10 sekunnissa putoamisen alkunopeudella 5 m/s ja vapaan pudotuksen kiihtyvyydellä 9,8 m 2 /s, keho lentää matkan, joka on 5 m/s  10s + 9,8 m 2 /s  10 2 s 2/2 = 50 m + 490 m = 540 m.

Kuten jo todettiin, tekstitehtävien ja ennen kaikkea liikkumiseen liittyvien ongelmien ratkaisemisen aikana on erittäin hyödyllistä tehdä havainnollistava piirros (tehtävän apugraafisen mallin rakentamiseksi). Piirustus tulee tehdä siten, että se näyttää liikkeen dynamiikan kaikissa kohtaamisissa, pysähdyksissä ja käännöksissä. Hyvin suunniteltu piirros ei ainoastaan ​​mahdollista syvempää ymmärrystä ongelman sisällöstä, vaan myös helpottaa yhtälöiden ja epäyhtälöiden laatimista. Esimerkkejä tällaisista piirustuksista annetaan alla.

Seuraavia käytäntöjä käytetään yleensä liikeongelmissa.

Ellei tehtävässä erikseen mainita, yksittäisten osien liike katsotaan yhtenäiseksi (olipa se liikettä suorassa tai ympyrässä).

Liikkuvien kappaleiden käännöksiä pidetään hetkellisinä, eli ne tapahtuvat ilman aikaa; myös nopeus muuttuu välittömästi.

Tämä tehtäväryhmä puolestaan ​​voidaan jakaa tehtäviin, joissa tarkastellaan kehon liikkeitä: 1) toisiaan kohti; 2) yhteen suuntaan ("jälkeen"); 3) vastakkaisiin suuntiin; 4) suljettua lentorataa pitkin; 5) joen varrella.

Jos kappaleiden välinen etäisyys on S, ja kappaleiden nopeudet ovat yhtä suuret v 1 ja v 2 (kuva 16 a), sitten kun ruumiit liikkuvat toisiaan kohti, aika, jonka jälkeen ne kohtaavat, on yhtä suuri S/(v 1 + v 2).

2. Jos kappaleiden välinen etäisyys on S, ja kappaleiden nopeudet ovat yhtä suuret v 1 ja v 2 (kuva 16 b), sitten kun ruumiit liikkuvat yhteen suuntaan ( v 1 > v 2) aika, jonka jälkeen ensimmäinen kappale ohittaa toisen on S/(v 1 – v 2).

3. Jos kappaleiden välinen etäisyys on S, ja kappaleiden nopeudet ovat yhtä suuret v 1 ja v 2 (kuva 16 sisään), silloin, kun ne ovat lähteneet samanaikaisesti vastakkaisiin suuntiin, ruumiit ovat ajoissa t olla etäällä S 1 = S + (v 1 + v 2 ) t.

Riisi. 16

4. Jos kappaleet liikkuvat yhteen suuntaan suljettua pituusrataa pitkin s nopeuksien kanssa v 1 ja v 2 , aika, jonka jälkeen kappaleet kohtaavat uudelleen (yksi kappale ohittaa toisen), lähtevät samanaikaisesti yhdestä pisteestä, saadaan kaavalla t = S/(v 1 – v 2) edellyttäen, että v 1 > v 2 .

Tämä seuraa siitä tosiasiasta, että samanaikaisella liikkeellä suljetulla liikeradalla yhteen suuntaan nopeampi kappale alkaa saavuttaa hitaamman nopeuden kappaletta. Ensimmäistä kertaa se tavoittaa hänet, kun hän on matkustanut pitkän matkan S enemmän kuin toinen ruumis. Jos se ohittaa hänet toisen, kolmannen kerran ja niin edelleen, tämä tarkoittaa, että se kulkee 2 matkan S, mennessä 3 S ja niin edelleen enemmän kuin toinen ruumis.

Jos kappaleet liikkuvat eri suuntiin pitkin suljettua pituutta S nopeuksien kanssa v 1 ja v 2 , aika, jonka jälkeen he tapaavat, kun he ovat lähteneet samanaikaisesti yhdestä pisteestä, saadaan kaavalla t = v(v 1 + v 2). Tässä tapauksessa heti liikkeen alkamisen jälkeen syntyy tilanne, kun kehot alkavat liikkua toisiaan kohti.

5. Jos kappale liikkuu jokea pitkin, niin sen nopeus suhteessa rantaan ja on kehon nopeuden summa tyynessä vedessä v ja joen nopeus w: ja =v + w. Jos kappale liikkuu joen virtausta vastaan, sen nopeus on ja =v – w. Esimerkiksi jos veneen nopeus v\u003d 12 km / h, ja joen nopeus w \u003d 3 km/h, sitten 3 tunnissa vene kulkee jokea pitkin (12 km/h + 3 km/h)  3 tuntia = 45 km ja virtausta vastaan ​​- (12 km/h - 3 km / h)  3 tuntia = 27 km. Uskotaan, että nollanopeudella olevien esineiden nopeus tyynessä vedessä (lautta, tukki jne.) on yhtä suuri kuin joen nopeus.

Katsotaanpa muutama esimerkki.

Esimerkki.Yhdestä pisteestä yhteen suuntaan 20 minuutin välein. autot lähtevät. Toinen auto kulkee 60 km/h nopeudella, ja ensimmäisen nopeus on 50 % suurempi kuin toisen. Selvitä kolmannen auton nopeus, jos tiedetään, että se ohitti ensimmäisen auton 5,5 tuntia myöhemmin kuin toinen.

Ratkaisu. Olkoon x km/h kolmannen auton nopeus. Ensimmäisen auton nopeus on 50 % suurempi kuin toisen, joten se on yhtä suuri kuin

Kun liikutaan yhteen suuntaan, kohtaamisaika saadaan kohteiden välisen etäisyyden ja niiden nopeuksien eron suhteena. Ensimmäinen auto 40 min päästä. (2/3 h) kulkee 90  (2/3) = 60 km. Siksi kolmas ohittaa hänet (he tapaavat) 60/( X– 90) tuntia. Toinen 20 minuutissa. (1/3 h) kulkee 60  (1/3) = 20 km. Tämä tarkoittaa, että kolmas tavoittaa hänet (he tapaavat) 20/( X- 60) tuntia (kuva 17).

P
ongelman tilasta

Riisi. 17

Yksinkertaisten muunnosten jälkeen saadaan toisen asteen yhtälö 11x 2 - 1730x + 63000 = 0, jonka ratkaisemalla löydämme

Tarkastus osoittaa, että toinen juuri ei täytä ongelman ehtoa, koska tässä tapauksessa kolmas auto ei saavuta muita autoja. Vastaus: Kolmannen auton nopeus on 100 km/h.

Esimerkki Moottorilaiva kulki jokea pitkin 96 km, palasi takaisin ja seisoi jonkin aikaa lastauksen alla, viettäen kaikille 32 tuntia Joen nopeus on 2 km/h. Määritä aluksen nopeus tyynessä vedessä, jos lastausaika on 37,5 % koko meno-paluumatkasta.

Ratkaisu. Olkoon x km/h laivan nopeus tyynessä vedessä. Sitten ( X+ 2) km/h - sen nopeus alavirtaan; (X - 2) km/h - virtaa vastaan; 96/( X+ 2) tunnit - liikkeen aika virtauksen mukana; 96/( X- 2) tuntia - liikkeen aika virtaa vastaan. Koska 37,5 % aluksen kokonaisajasta oli lastauksen alla, nettoliikeaika on 62,5 %  32/100 % = 20 (tuntia). Siksi ongelman ehdon mukaan meillä on yhtälö:

Muuntamalla sitä saamme: 24( X – 2 + X + 2) = 5(X + 2)(X – 2) => 5X 2 – 4X– 20 = 0. Ratkaistuamme toisen asteen yhtälön, löydämme: X 1 = 10; X 2 = -0,4. Toinen juuri ei täytä ongelman ehtoa.

Vastaus: 10 km/h on laivan nopeus tyynessä vedessä.

Esimerkki. Auto ajoi ulos kaupungista MUTTA kaupunkiin C kaupungin kautta AT Ilman pysähdyksiä. Etäisyys AB, 120 km:n verran, hän kulki vakionopeudella 1 tunnin matkaa nopeammin aurinko, vastaa 90 km. Määritä auton keskinopeus kaupungista MUTTA kaupunkiin C, jos tiedetään, että nopeus osuudella AB 30 km/h enemmän nopeutta työmaalla Aurinko.

Ratkaisu. Päästää X km / h - auton nopeus sivustolla Aurinko.

Sitten ( X+ 30) km/h – nopeus osuudella AB, 120/(X+ 30) h, 90/ X h on auton matka-aika AB ja aurinko vastaavasti.

Siksi ongelman ehdon mukaan meillä on yhtälö:

.

Muunnetaan se:

120X+ 1(X + 30)X = 90(X + 30) => X 2 + 60X – 2700 = 0.

Ratkaisemalla toisen asteen yhtälön, löydämme: X 1 = 30, X 2 = -90. Toinen juuri ei täytä ongelman ehtoa. Nopeus siis osassa aurinko 30 km/h, osuudella AB - 60 km/h Tästä seuraa, että etäisyys AB auto kulki 2 tunnissa (120 km: 60 km/h = 2 tuntia), ja matka aurinko - 3 tunnissa (90 km: 30 km/h = 3 tuntia), joten koko matkan AC hän matkusti 5 tunnissa (3 tuntia + 2 tuntia = 5 tuntia). Sitten keskimääräinen liikkumisnopeus sivustolla AU, jonka pituus on 210 km, on yhtä suuri kuin 210 km: 5 tuntia \u003d 42 km / h.

Vastaus: 42 km / h - auton keskinopeus sivustolla KUTEN.

Työtehtävien ryhmä sisältää tehtävät, jotka puhuvat kolmesta suuresta: työ MUTTA, aika t, jonka aikana työtä tehdään, tuottavuus R - aikayksikköä kohden tehty työ. Nämä kolme suuretta liittyvät yhtälöön MUTTA = Rt. Työtehtäviin kuuluvat myös säiliöiden (alukset, säiliöt, altaat jne.) täyttö- ja tyhjennystehtävät putkien, pumppujen ja muiden laitteiden avulla. Tässä tapauksessa pumpatun veden määrä katsotaan tehdyksi työksi.

Työtehtävät voidaan yleisesti ottaen katsoa liikuntatehtävien ryhmäksi, koska tämän tyyppisissä tehtävissä voidaan katsoa, ​​että kaikki työ tai säiliön kokonaistilavuus on etäisyyden ja esineiden tuottavuuden roolissa. tehdä työtä on samanlainen kuin liikkeen nopeus. Juonen mukaan nämä tehtävät kuitenkin luonnollisesti eroavat toisistaan, ja joissakin työtehtävissä on omat erityiset ratkaisutavat. Joten niissä tehtävissä, joissa suoritetun työn määrää ei ole määritelty, kaikki työ otetaan yksikkönä.

Esimerkki. Kahden joukkueen piti suorittaa tilaus 12 päivässä. 8 päivän yhteistyön jälkeen ensimmäinen tiimi sai uuden tehtävän, joten toinen tiimi viimeisteli tilauksen vielä 7 päivää. Kuinka monessa päivässä kukin tiimi voi suorittaa tilauksen toimiessaan erikseen?

Ratkaisu. Anna ensimmäisen prikaatin suorittaa tehtävä X päivää, toinen prikaati - varten y päivää. Otetaan kaikki työ yhtenä kokonaisuutena. Sitten 1/ X - ensimmäisen prikaatin tuottavuus, 1/ y – toinen. Koska kahden joukkueen tulee suorittaa tilaus 12 päivässä, saamme ensimmäisen yhtälön 12(1/ X + 1/klo) = 1.

Toisesta ehdosta seuraa, että toinen ryhmä työskenteli 15 päivää ja ensimmäinen - vain 8 päivää. Joten toinen yhtälö on:

8/X+ 15/klo= 1.

Meillä on siis järjestelmä:

Kun ensimmäinen yhtälö vähennetään toisesta yhtälöstä, saadaan:

21/y = 1 => y= 21.

Sitten 12/ X + 12/21 = 1 => 12/X – = 3/7 => x = 28.

Vastaus: ensimmäinen prikaati suorittaa tilauksen 28 päivässä, toinen 21 päivässä.

Esimerkki. Työntekijä MUTTA ja työskentelee AT voi suorittaa työn 12 päivässä MUTTA ja työskentelee FROM– 9 päivässä, toimii AT ja työskentely C - 12 päivässä. Kuinka monta päivää heillä kestää työskennellä yhdessä?

Ratkaisu. Anna työntekijän MUTTA voi tehdä työn X päivää, töissä AT- per klo päivää, töissä FROM- per z päivää. Otetaan kaikki työ yhtenä kokonaisuutena. Sitten 1/ x, 1/y ja 1/ z – työntekijöiden tuottavuus A, B ja FROM vastaavasti. Tehtävän ehdon avulla päädymme seuraavaan taulukossa esitettyyn yhtälöjärjestelmään.

pöytä 1

Kun yhtälöt on muutettu, meillä on kolmen yhtälön järjestelmä, jossa on kolme tuntematonta:

Lisäämällä järjestelmän yhtälöt termeiltä saamme:

tai

Summa on työntekijöiden yhteinen tuottavuus, joten aika, jossa he tekevät kaiken työn, on yhtä suuri

Vastaus: 7,2 päivää.

Esimerkki. Altaaseen laitetaan kaksi putkea - tulo ja poisto, ja ensimmäisen putken kautta allasta täytetään 2 tuntia pidempään kuin toisen putken kautta vesi kaadetaan pois altaalta. Kun uima-allas oli kolmasosan täynnä, molemmat putket avattiin ja allas osoittautui tyhjäksi 8 tunnin kuluttua Kuinka monta tuntia allas voi täyttyä ensimmäisestä putkesta ja kuinka monta tuntia täysi allas voi tyhjentyä toisen putken kautta ?

Ratkaisu. Päästää V m 3 - altaan tilavuus, X m 3 / h - syöttöputken suorituskyky, klo m 3 / h - ulostulo. Sitten V/ x tuntia - aika, joka tarvitaan syöttöputken täyttämiseen altaassa, V/ y tuntia - aika, jonka poistoputki vaatii altaan tyhjentämiseen. Tehtävän mukaan V/ x – V/ y = 2.

Koska poistoputken tuottavuus on suurempi kuin täyttöputken tuottavuus, kun molemmat putket kytketään päälle, allas tyhjenee ja kolmasosa altaasta kuivuu ajoissa (V/3)/(y – x), joka tehtävän ehdon mukaan on 8 tuntia. Joten tehtävän ehto voidaan kirjoittaa kahden yhtälön järjestelmäksi, jossa on kolme tuntematonta:

Tehtävänä on löytää V/ x ja V/ y. Erottakaamme yhtälöistä yhdistelmä tuntemattomia V/ x ja V/ y, kirjoita järjestelmä seuraavasti:

Esittelyssä uusia tuntemattomia V/ x= a ja V/ y = b, saamme seuraavan järjestelmän:

Korvataan lauseke toiseen yhtälöön a= b + 2, meillä on yhtälö b:

päättää kumman löydämme b 1 = 6, b 2 = -kahdeksan. Tehtävän ehdon täyttää ensimmäinen juuri 6, = 6 (s.). Viimeisen järjestelmän ensimmäisestä yhtälöstä löydämme a= 8 (h), eli ensimmäinen putki täyttää altaan 8 tunnissa.

Vastaus: ensimmäisen putken kautta allas täytetään 8 tunnissa, toisesta putkesta allas tyhjennetään 6 tunnin kuluttua.

Esimerkki. Toinen traktoritiimi joutuu kyntämään 240 hehtaaria ja toisen 35 % enemmän kuin ensimmäinen. Ensimmäinen prikaati, joka kynsi päivittäin 3 ha vähemmän kuin toinen prikaati, lopetti työnsä 2 päivää aikaisemmin kuin toinen prikaati. Kuinka monta hehtaaria kukin prikaati kynsi päivittäin?

Ratkaisu. Etsitään 35 % 240 ha:sta: 240 ha  35 % / 100 % = 84 ha.

Tämän seurauksena toisen joukkueen täytyi kyntää 240 ha + 84 ha = 324 ha. Anna ensimmäisen prikaatin kyntää päivittäin X ha. Sitten toinen prikaati kynsi päivittäin ( X+ 3) ha; 240/ X– ensimmäisen prikaatin työajat; 324/( X+ 3) - toisen prikaatin aika. Ongelman tilanteen mukaan ensimmäinen tiimi lopetti työn 2 päivää aikaisemmin kuin toinen, joten meillä on yhtälö

joka muunnosten jälkeen voidaan kirjoittaa seuraavasti:

324X – 240X - 720 = 2 x 2 + 6x=> 2x 2 - 78x + 720 = 0 => x 2 - 39x + 360 = 0.

Kun olet ratkaissut toisen asteen yhtälön, löydämme x 1 \u003d 24, x 2 \u003d 15. Tämä on ensimmäisen prikaatin normi.

Tämän seurauksena toinen prikaati kynsi 27 ha ja 18 ha päivässä. Molemmat ratkaisut täyttävät ongelman ehdon.

Vastaus: Ensimmäinen prikaati kynsi 24 hehtaaria päivässä, toinen 27 hehtaaria; Ensimmäinen prikaati kynsi 15 hehtaaria päivässä, toinen 18 hehtaaria.

Esimerkki. Toukokuussa kaksi konepajaa valmisti 1080 osaa. Kesäkuussa ensimmäinen myymälä lisäsi osien tuotantoa 15 % ja toinen 12 %, joten molemmat myymälät tuottivat 1224 osaa. Kuinka monta osaa kukin myymälä tuotti kesäkuussa?

Ratkaisu. Päästää X osat valmistettiin toukokuussa ensimmäisessä työpajassa, klo yksityiskohdat - toinen. Koska 1080 osaa valmistettiin toukokuussa, ongelman tilanteen mukaan meillä on yhtälö x + y = 1080.

Löydä 15% alennus X:

Eli 0.15 X osat lisäsivät ensimmäisen konepajan tuotantoa, joten kesäkuussa se tuotti x + 0,15 X = 1,15 x yksityiskohdat. Vastaavasti havaitsemme, että kesäkuun toinen myymälä tuotti 1.12 y yksityiskohdat. Joten toinen yhtälö näyttää tältä: 1.15 x + 1,12 klo= 1224. Siten meillä on järjestelmä:

josta löydämme x = 480, y= 600. Näin ollen kesäkuussa konepajat tuottivat 552 osaa ja 672 osaa.

Vastaus: ensimmäinen työpaja tuotti 552 osaa, toinen - 672 osaa.

4. Seosten ja prosenttiosuuksien tehtäväryhmä sisältää tehtäviä, joissa puhutaan eri aineiden sekoittamisesta tietyissä suhteissa, sekä prosenttitehtäviä.

Keskittymis- ja prosenttitehtävät

Selvennetään joitakin käsitteitä. Olkoon sekoitus P erilaisia ​​aineita (komponentteja) MUTTA 1 MUTTA 2 , ..., MUTTA n vastaavasti, joiden tilavuudet ovat yhtä suuret V 1 , V 2 , ..., V n . Sekoita tilavuus V 0 koostuu puhtaiden komponenttien määristä: V 0 = V 1 + V 2 + ... + V n .

Tilavuuspitoisuus aineita MUTTA i (i = 1, 2, ..., P) seoksessa kutsutaan suureksi c i, lasketaan kaavalla:

Aineen A tilavuusprosentti i (i = 1, 2, ..., P) seoksessa kutsutaan määräksi s i , lasketaan kaavalla R i = Kanssa i ,  100 %. Pitoisuudet Kanssa 1, Kanssa 2 , ..., Kanssa n, jotka ovat ulottumattomia suureita, liittyvät yhtäläisyyteen Kanssa 1 + kanssa 2 + ... + kanssa n = 1 ja suhteet

osoittavat, mikä osa seoksen kokonaistilavuudesta on yksittäisten komponenttien tilavuus.

Jos prosentti on tiedossa i-komponentti, niin sen pitoisuus löydetään kaavasta:

tuo on Pi – on keskittyminen i seoksen aine, prosentteina ilmaistuna. Esimerkiksi jos aineen prosenttiosuus on 70 %, sen vastaava pitoisuus on 0,7. Päinvastoin, jos pitoisuus on 0,33, prosenttiosuus on 33%. Summa siis R 1 + s 2 + …+ s n = 100 %. Jos pitoisuudet tunnetaan Kanssa 1 , Kanssa 2 , ..., Kanssa n komponentit, jotka muodostavat tämän tilavuusseoksen V 0 , Sitten komponenttien vastaavat tilavuudet löydetään kaavoilla:

Käsitteet paino (massa) conkeskittäminen seoksen komponentit ja vastaavat prosenttiosuudet. Ne määritellään puhtaan aineen painon (massan) suhteeksi MUTTA i , lejeeringissä koko seoksen painoon (massaan). Mikä konsentraatio, tilavuus tai paino, liittyy tiettyyn ongelmaan, on aina selvää sen ehdoista.

On tehtäviä, joissa tilavuuspitoisuus on laskettava uudelleen painopitoisuudeksi tai päinvastoin. Tämän tekemiseksi on tarpeen tietää liuoksen tai seoksen muodostavien komponenttien tiheys (ominaispaino). Tarkastellaan esimerkiksi kaksikomponenttista seosta, jossa on komponenttien tilavuuspitoisuudet Kanssa 1 ja Kanssa 2 (Kanssa 1 + kanssa 2 = 1) ja komponenttien ominaispaino d 1 ja d 2 . Seoksen massa löytyy kaavasta:

jossa V 1 ja V 2 – seoksen muodostavien komponenttien tilavuudet. Komponenttien painopitoisuudet saadaan yhtälöistä:

jotka määrittävät näiden määrien suhteen tilavuuspitoisuuksiin.

Yleensä tällaisten ongelmien teksteissä esiintyy yksi ja sama toistuva tila: kahdesta tai useammasta seoksesta, jotka sisältävät komponentteja A 1 , A 2 , MUTTA 3 , ..., MUTTA n , uusi seos kootaan sekoittamalla alkuperäisiä seoksia, jotka on otettu tietyssä suhteessa. Tässä tapauksessa on selvitettävä, missä suhteessa komponentit ovat MUTTA 1, MUTTA 2 , MUTTA 3 , ..., MUTTA n lisää tuloksena oleva seos. Tämän ongelman ratkaisemiseksi on kätevää ottaa huomioon kunkin seoksen tilavuus tai painomäärä sekä sen aineosien pitoisuudet MUTTA 1, MUTTA 2 , MUTTA 3 , ..., MUTTA n . Konsentraatioiden avulla on tarpeen "jakaa" jokainen seos erillisiksi komponenteiksi ja muodostaa sitten ongelmatilanteessa ilmoitetulla tavalla uusi seos. Tässä tapauksessa on helppo laskea, kuinka paljon kutakin komponenttia sisältyy tuloksena olevaan seokseen, sekä tämän seoksen kokonaismäärä. Sen jälkeen määritetään komponenttien pitoisuudet MUTTA 1, MUTTA 2 , MUTTA 3 , ..., MUTTA n uudessa sekoituksessa.

Esimerkki.Kupari-sinkkiseosta on kaksi kappaletta, joiden kuparipitoisuus on 80 % ja 30 %. Missä suhteessa nämä seokset tulisi ottaa, jotta sulattamalla palat yhteen saadaan seos, joka sisältää 60 % kuparia?

Ratkaisu. Otetaan ensimmäinen seos X kg ja toinen - klo kg. Ehdon mukaan kuparin pitoisuus ensimmäisessä lejeeringissä on 80/100 = 0,8, toisessa - 30/100 = 0,3 (on selvää, että puhumme painopitoisuuksista), mikä tarkoittaa, että ensimmäisessä seoksessa 0,8 X kg kuparia ja (1 - 0,8) X = 0,2X kg sinkkiä, toisessa - 0,3 klo kg kuparia ja (1 - 0,3) y = 0,7klo kg sinkkiä. Tuloksena olevan seoksen kuparin määrä on (0,8  X + 0,3  y) kg, ja tämän seoksen massa on (x + y) kg. Siksi seoksen uusi kuparin pitoisuus määritelmän mukaan on yhtä suuri kuin

Ongelman tilanteen mukaan tämän pitoisuuden tulisi olla 0,6. Siksi saamme yhtälön:

Tämä yhtälö sisältää kaksi tuntematonta X ja y. Ongelman tilanteen mukaan määriä ei kuitenkaan tarvitse määrittää itse X ja y, vaan vain heidän asenteensa. Yksinkertaisten muutosten jälkeen saamme

Vastaus: seokset on otettava suhteessa 3:2.

Esimerkki.Vedessä on kaksi rikkihappoliuosta: ensimmäinen on 40 %, toinen 60 %. Nämä kaksi liuosta sekoitettiin, minkä jälkeen lisättiin 5 kg puhdasta vettä ja saatiin 20 % liuos. Jos 5 kg:n puhtaan veden sijasta lisättiin 5 kg 80-prosenttista liuosta, saadaan 70-prosenttinen liuos. Kuinka monta 40 % ja 60 % liuosta oli?

Ratkaisu. Päästää X kg on ensimmäisen liuoksen massa, klo kg - toinen. Sitten 20 % liuoksen massa ( X + klo+ 5) kg. Vuodesta lähtien X kg 40 % liuosta sisältää 0,4 X kg happoa klo kg 60 % liuosta sisältää 0,6 y kg happoa ja (x + y + 5) kg 20 % liuosta sisältää 0,2( X + y + 5) kg happoa, niin ehdolla meillä on ensimmäinen yhtälö 0,4 X + 0,6y = 0,2(X +y + 5).

Jos lisäät 5 kg:n veden sijaan 5 kg 80-prosenttista liuosta, saat liuoksen, jonka massa on (x + y+ 5) kg, jossa tulee olemaan (0,4 X + 0,6klo+ 0,8  5) kg happoa, josta tulee 70 % (x + y+ 5) kg.

Tärkeimmät menetelmät geometristen ongelmien ratkaisemiseksi: geometrinen - vaadittu väite johdetaan loogista päättelyä käyttäen useista tunnetuista lauseista; algebrallinen - haluttu geometrinen arvo lasketaan erilaisten elementtien välisten riippuvuuksien perusteella geometriset kuviot suoraan tai yhtälöiden avulla; yhdistetty - joissakin vaiheissa ratkaisu suoritetaan geometrisella menetelmällä ja toisissa algebrallisella menetelmällä.

Kolmiot Kolmioiden tasa-arvomerkit, suorakulmaiset kolmiot. Tasakylkisen kolmion ominaisuudet ja merkit. Tehtävä 1. Kolmion ABC mediaani AM on yhtä suuri kuin jana VM. Osoita, että yksi kolmion ABC kulmista on yhtä suuri kuin kahden muun kulman summa. Tehtävä 2. Jaksot AB ja CD leikkaavat yhteisen keskipisteensä O. Pisteet K 1 on merkitty AC:lle ja BD:lle siten, että AK=BK 1. Osoita, että a) OK=OK 1, b) piste O on suoralla KK 1. Tehtävä 3 (tasakylkisen kolmion merkki). Jos kolmion puolittaja on mediaani, niin kolmio on tasakylkinen.

Tehtävä 4 (suorakulmaisen kolmion merkki mediaanilla). Osoita, että jos kolmion mediaani on yhtä suuri kuin puolet sen sivusta, johon se on vedetty, niin kolmio on suorakulmainen. Tehtävä 5 (suoran kolmion mediaanin ominaisuus). Osoita, että suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusaan piirretty mediaani on puolet siitä. Tehtävä 6. Todista, että suorakulmaisessa kolmiossa, jossa on eri jalat, puolittaja oikea kulma puolittaa korkeuden ja samasta kärjestä vedetyn mediaanin välisen kulman. Tehtävä 7. Yhdestä kärjestä piirretyn kolmion mediaani ja korkeus jakavat tämän kulman kolmeen yhtä suureen osaan. Todista, että kolmio on suorakulmainen kolmio.

Alueen ominaisuudet. Monikulmioiden pinta-alat Seuraus kolmion pinta-alalauseesta. Jos kahden kolmion korkeudet ovat yhtä suuret, niin niiden pinta-alat suhteutetaan kantaviksi. Lause kolmioiden pinta-alojen suhteesta, joilla on samat kulmat. Jos yhden kolmion kulma on yhtä suuri kuin toisen kolmion kulma, niin näiden kolmioiden pinta-alat suhteutetaan samat kulmat sisältävien sivujen tuloina.

Cevian leikkauspisteen lauseet Lause. Missä tahansa kolmiossa mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä (keskipiste, painopiste) ja jaetaan tällä pisteellä suhteessa 2:1 ylhäältä laskettuna. Mediaanin ominaisuudet: 1. Mediaani jakaa kolmion kahdeksi yhtä suureksi, eli jolla on sama pinta-ala. 2. Kolme mediaania jakaa kolmion kuuteen yhtä suureen osaan. 3. Janat, jotka yhdistävät sentroidin kolmion kärkipisteisiin, jakavat kolmion kolmeen yhtä suureen osaan.

Yksi tärkeimmistä menetelmistä ratkaista ongelmia, joissa kolmion mediaanit ovat mukana, on "mediaanin kaksinkertaistaminen". Täydennä kolmio suunnikkaaksi ja käytä lausetta sen diagonaalien neliöiden summasta. Tehtävä 8. Etsi kolmion mediaanien neliösumman suhde sen kaikkien sivujen neliöiden summaan.

Kolmion sisäkulman puolittajaominaisuus. Kolmion sisäkulman puolittaja jakaa vastakkaisen sivun osiin, jotka ovat verrannollisia sitä ympäröiviin sivuihin. Lause. Missä tahansa kolmiossa puolittajat leikkaavat yhdessä pisteessä (ja keskipisteessä), joka on siihen piirretyn ympyrän keskipiste. Huomaa: Kolmion sentroidi ja keskipiste ovat luonnollisesti aina sen sisällä.

. Ratkaisu. B A 1 1) Kolmiossa ABC AA 1 on kulman A puolittaja, joten AB: AC = BA 1: CA 1 = BA 1: (BC - BA 1) I tai C А B 1 2) Kolmiossa ABA 1 BI on kulman B puolittaja, joten AI: IA 1 = BA: BA 1 tai

Lause kohtisuorasta janan puolittajasta. Jokainen janaan nähden kohtisuoran puolittajan piste on yhtä kaukana tämän janan päistä. Sitä vastoin jokainen piste, joka on yhtä kaukana janan päistä, on siihen nähden kohtisuorassa puolittajassa. Lause. Kolmion sivuille kohtisuorat puolittajat leikkaavat yhdessä pisteessä, joka on sen ympärille piirretyn ympyrän keskipiste. Lause. Missä tahansa kolmiossa korkeudet leikkaavat yhdessä pisteessä (kolmion ortokeskipisteessä). Kysymys. Missä on terävän, oikeanpuoleisen, tylpän kolmion ortosentti?

Ratkaisu. B 1) Kolmio BC 1 H on suorakulmainen ja C 1 H 2) Kolmio BC 1 C on suorakulmainen ja A B 1 C

Valettu kaavojen käyttö. Missä on muistiinpano. Jos yksi kulmista on tylppä, niin kohdassa (*) vastaava kosini on otettava modulo.

Mielenkiintoisia ovat ongelmat etäisyyden löytämisessä kolmion mielivaltaisesta kärjestä johonkin sen merkittävään pisteeseen. Ensin ratkaisemme ongelman löytää etäisyys kärjestä ortokeskiöön. Tehtävä 11. Kolmiosta ABC jätetään pois korkeudet BB 1 ja CC 1. Laske janan HB pituus, jossa H on korkeuksien leikkauspiste. B 1) kolmio BC 1 Н on suorakulmainen, ja Ratkaisu. C 1 H 2) kolmio BC 1 C on suorakulmainen kolmio ja A B 1 C

Tehtävä 12. Etsi etäisyys kolmion ABC kärjestä B ortokeskiöön, jos Ratkaisu. Kosinusten lain mukaan

Tehtävä 13. Kolmion ABC kulmissa A ja B (A

Tehtävä 14. Mikä kolmion kärjestä on lähempänä keskustaa? Ratkaisu. C D I A Olkoon I keskipiste, kolmion ABC puolittajien leikkauspiste.. Käytetään sitä, että suurempi kulma on kolmion suurempaa sivua vasten. Jos AB > BC, niin A

Tehtävä 15. Mikä kolmion korkeuksista on pienin? Ratkaisu. C B 1 A 1 H A C 1 Olkoon H kolmion ABC korkeuksien leikkauspiste. Jos AC B. Ympyrä, jonka halkaisija on BC, kulkee pisteiden C 1 ja B 1 läpi. B Ottaen huomioon, että kahdesta jänteestä pienempi on se, johon pienempi sisäänkirjoitettu kulma lepää, saadaan, että CC 1

Tehtävä 16. Jana AH on kolmion ABC korkeus. Pisteistä B ja C piirretään kohtisuorat BB 1 ja CC 1 pisteen A kautta kulkevalle suoralle. Osoita, että kolmiot ABC ja HB 1 C 1 ovat samanlaisia. Laske kolmion HB 1 C 1 pinta-ala, jos kolmion ABC pinta-ala on yhtä suuri kuin S, ja AC: HC 1 =5: 3. Todistus. Koska kolmiot ANS ja ACC 1 ovat suorakaiteen muotoisia, ovat pisteet H ja C 1 A ympyrällä, jonka halkaisija on AC. C 1 B B 1 H Samoin pisteet B 1 ja H sijaitsevat ympyrällä, jonka halkaisija on AB. Kolmiolla ACC 1

Näin ollen, koska (1) ja (2) pätevät, Ja sitten kolmiot ABC ja HB 1 C 1 ovat samanlaisia. C 1 Samankaltaisuuskerroin B B 1 H C tarkoittaa

Tehtävä 17. Olkoon teräväkulmaisen kolmion ABC pisteet A 1, B 1, C 1 korkeuksien kanta. Osoita, että piste H - kolmion ABC korkeuksien leikkauspiste on kolmion A 1 B 1 C 1 puolittajien leikkauspiste. Ratkaisu. Kolmion ABC sivuille AC ja BC B, kuten halkaisijoille C 1 A, muodostetaan ympyröitä. H Pisteet A 1, B 1, C 1 kuuluvat näihin ympyröihin. 1 A B 1 C Siksi B 1 C 1 C = B 1 BC, kulmina, jotka perustuvat samaan ympyräkaareen. B 1 BC = CAA 1, kulmina, joiden sivut ovat keskenään kohtisuorat.

CAA 1 = CC 1 A 1 kulmina, jotka perustuvat samaan ympyräkaareen. Siksi B 1 C 1 C = CC 1 A 1, eli C 1 C on kulman B 1 C 1 A 1 puolittaja. Samoin osoitetaan, että AA 1 ja BB 1 ovat kulmien B 1 A puolittajia. 1 C 1 ja A 1 B 1 C 1. B C 1 A 1 H A B 1 C Tutki itsenäisesti suorakulmaisen ja tylpän kolmion tapauksia.

Algebrallisten ja geometristen menetelmien integrointi ongelmanratkaisuun

Yksi koulujen matemaattisen koulutuksen kiireellisistä ongelmista nykyisessä vaiheessa on matemaattisen tiedon yhdistämisen ongelma, opiskelijoiden kokonaisvaltaisten käsitysten muodostuminen matematiikasta tieteenä. Tämän ongelman ratkaisu on erityisen tärkeä peruskoululle, jossa opiskellaan kahta matemaattista tieteenalaa: algebraa ja geometriaa.

Käsite "integraatio" [lat. integratio - entisöinti, täydentäminen; kokonaisluku - kokonaisuus] tulkitaan minkä tahansa osien, elementtien palauttamiseksi, yhdistämiseksi kokonaisuudeksi; kytkeytymisen tilana erillisiksi eriytyneiksi osiksi kokonaisuudeksi ja myös sellaiseen tilaan johtavana prosessina. Koulutuksessa integraatio ymmärretään usein eri akateemisten tieteenalojen sisällön molemminpuoliseksi vaikuttamiseksi, tunkeutumiseksi ja yhteenliittämiseksi.

Koska opiskelijoiden pääasiallinen toiminta matematiikan opetuksessa on ongelmanratkaisu, on suositeltavaa integroida algebra ja geometria niiden menetelmien mukaisesti. Algebrallinen menetelmä (alkeimaattisen matematiikan suhteen) tulkitaan menetelmäksi, joka koostuu kirjaimien ja kirjaimellisten lausekkeiden käytöstä, jotka muunnetaan tiettyjen sääntöjen mukaan. Sitä kutsutaan myös kirjaimellisten laskelmien menetelmäksi.

Geometrinen menetelmä on luonnehdittu menetelmäksi, joka tulee visuaalisista esityksistä. Tämän käsitteen olennaisia ​​piirteitä ovat geometriset (visuaaliset) esitykset ja geometrian lait, jotka heijastavat geometristen muotojen ominaisuuksia.

Jos otamme sen tietojärjestelmän, johon menetelmä perustuu, algebrallisten ja geometristen menetelmien luokittelun perustaksi, saadaan seuraavat menetelmät.

1. Algebrallinen: identtisten muunnosten menetelmä; yhtälöt ja epäyhtälöt; toiminnallinen menetelmä; vektori menetelmä; koordinaattimenetelmä.

2. Geometrinen(rajoitamme vain planimetriaan): pituusmenetelmä; kolmio menetelmä; rinnakkaisten viivojen menetelmä; kolmion sivujen ja kulmien välisten suhteiden menetelmä; nelikulmion menetelmä; alue menetelmä; kolmion samankaltaisuusmenetelmä; trigonometrinen menetelmä (menetelmä, joka perustuu kolmion sivujen ja kulmien välisiin suhteisiin, jotka ilmaistaan ​​trigonometrisilla funktioilla); geometristen muunnosten menetelmä; graafinen menetelmä (vaikka tätä menetelmää tutkitaan algebran aikana, se perustuu geometristen funktioiden ja niihin liittyvien geometrian lakien käyttöön).

Oletetaan, että jokainen menetelmä koostuu tietyistä tekniikoista ja jokainen tekniikka koostuu toimista. Algebrallisten ja geometristen menetelmien integroinnilla tarkoitamme näiden menetelmien yhdistämistä tai niiden tekniikoiden yhdistämistä yhdeksi menetelmäksi.

Ongelmanratkaisun opetuksen alalla menetelmien integrointi käsittää ongelman rinnakkaisratkaisun (yhdellä oppitunnilla) eri menetelmillä (algebrallinen ja geometrinen) tai algebrallisen ongelman ratkaisun geometrisella menetelmällä ja geometrisen ongelman ratkaisun algebrallinen menetelmä. Integrointikeinoina voivat olla erityiset tehtävälohkot, jotka sisältävät sekä algebrallisia että geometrisia ongelmia. Annetaan esimerkkejä.

7. luokka

Täällä voit käyttää algebran kurssin tekstitehtäviä ja yhtälömenetelmällä ratkaistavia geometrisia tehtäviä.

Tehtävä 1. Yhdessä elevaattorissa oli kaksi kertaa enemmän viljaa kuin toisessa. Ensimmäisestä elevaattorista nostettiin 750 tonnia viljaa, toiseen elevaattoriin tuotiin 350 tonnia, minkä jälkeen viljat tasaantuivat molemmissa elevaattoreissa. Kuinka paljon viljaa oli alun perin kussakin elevaattorissa?

Tämän ongelman ratkaisemiseksi käytämme yhtälöiden ja epäyhtälöiden menetelmää algebrasta ja pituuksien menetelmää geometriasta segmentin pituuden ominaisuuksien perusteella.

Algebrallinen menetelmä. Olkoon x tonnia viljaa alun perin toisessa elevaattorissa, sitten 2x tonnia viljaa oli alun perin ensimmäisessä elevaattorissa; Ensimmäiseen elevaattoriin jäi (2x – 750) tonnia viljaa ja toiseen elevaattoriin tuli (x + 350) tonnia viljaa. Koska molemmissa elevaattoreissa viljasta tuli yhtä suuri, voimme tehdä yhtälön

2x - 750 = x + 350, joten x = 1100, 2x = 2 1100 = 2200.

Vastaus: Ensimmäisessä elevaattorissa oli 2200 tonnia viljaa ja toisessa 1100 tonnia.

geometrinen menetelmä. Ratkaisemme tämän ongelman viivakaavion avulla. Viivakaavio on yleensä segmentti tai useita segmenttejä, joiden pituudet vastaavat kyseessä olevan suuren numeerisia arvoja. Ratkaisemme ongelman vaiheittain.

1. vaihe. Viivakaavion rakentaminen. Tehtävän tekstin luettuaan opiskelijat keskustelevat seuraavista kysymyksistä (opettajan apu on mahdollista).

1. Kuinka monta tilannetta ongelmassa huomioidaan?

[Kaksi: ensimmäinen ja viimeinen.]

2. Mistä tilanteesta viivakaavion rakentaminen kannattaa aloittaa?

[Voit aloittaa rakentamisen ensimmäisestä tilanteesta ja siirtyä siitä toiseen, tai voit
rakentaa ensin viivakaavio lopullisesta tilanteesta ja siirtyä siitä
alkukirjain. Harkitse ensimmäistä vaihtoehtoa viivakaavion luomiseksi.]

3. Mikä on lähtötilanteen viivakaavio?

[Kaksi segmenttiä, joista toinen on kaksi kertaa niin pitkä kuin toinen. Ensimmäinen segmentti edustaa
viljan määrä ensimmäisessä elevaattorissa ja toisessa - toisessa elevaattorissa.]

Sen jälkeen opiskelijat rakentavat kaavion lähtötilanteesta. Sitten keskustelu jatkuu.

4. Kuinka siirtyä kaaviossa ensimmäisestä tilanteesta toiseen?

[Ensimmäisestä segmentistä on vähennettävä segmentti, joka kuvaa tavanomaisesti 750 tonnia, ja
lisää 350 tonnia edustava segmentti toiseen segmenttiin.]

5. Otetaanko nämä segmentit mielivaltaisesti?

[Ei, on otettava huomioon, että uusien segmenttien on oltava
olla tasa-arvoinen, koska molemmissa elevaattoreissa vilja muuttui tasaiseksi.]

Suoritettuaan toimintoja segmenteillä opiskelijat saavat kaavion lopullisesta tilanteesta. Tehtävän ensimmäinen työvaihe päättyy segmenttien merkitsemiseen ja piirustuksen merkintöjen suunnitteluun.

2. vaihe. Tuloksena olevan geometrisen ongelman ratkaisu. Muodostettu viivakaavio muuttaa algebrallisen ongelman geometriseksi, jonka ratkaisu perustuu segmentin pituuden ominaisuuksien käyttöön, nimittäin:

1) yhtä suurilla segmenteillä on yhtä pitkiä; pienemmällä segmentillä on lyhyempi pituus;
2) jos piste jakaa janan kahteen osaan, niin koko janan pituus on yhtä suuri kuin näiden kahden janan pituuksien summa.

Opiskelija kirjoittaa ratkaisun geometrisella kielellä segmenttien merkintää käyttäen ja tulos käännetään kielelle luonnollinen kieli. Tässä tapauksessa tämä käännös suoritetaan automaattisesti terminologian siirron vuoksi (3. vaihe). Ensin ratkaisusta tulee tehdä yksityiskohtainen muistiinpano, josta käy ilmi, mitä kukin segmentti edustaa. Vähitellen voit siirtyä lyhyeen muistiinpanoon, koska kuvasta näkyy joitain tosiasioita.

Esitetään yksityiskohtainen selvitys tehtävän 1 ratkaisusta.

Ratkaisu. 1. vaihe. Olkoon segmentti AB edustaa viljan määrää ensimmäisessä elevaattorissa (kuva 1), sitten segmentti edustaa viljan määrää toisessa elevaattorissa.

AB = 2CD - viljan alkujakauma elevaattorien välillä. Ensimmäisestä elevaattorista otettiin ulos 750 tonnia viljaa ja toiseen elevaattoriin tuotiin 350 tonnia, joten vähennämme segmentistä AB segmentistä BK, joka vastaa ehdollisesti 750 tonnia, ja lisäämme segmenttiin CD segmentin DE, joka edustaa 350 tonnia.

2. vaihe. Menetelmä I. CD = AF = FB (rakenteen mukaan),

FB = FK + KB = 350 + 750 = 1100, joten CD = 1100, AB = 1100 2 = 2200.

3. vaihe. Vastaus: ensimmäisessä elevaattorissa oli 2200 tonnia viljaa, toisessa 1100 tonnia.

Opiskelijat voivat tehdä lyhyen muistiinpanon ongelman ratkaisusta, esimerkiksi se voi olla näin.

Ratkaisu. AB = 2CD - viljan alkujakauma kahden elevaattorin välillä; BK = 750, DE = 350.

AK = CE - viljan lopullinen jakautuminen elevaattorien välillä.

CD = AF = FB (rakenteen mukaan), FB = 350 + 750 = 1100, sitten

CD = 1100, AB = 1100 2 = 2200.

Vastaus: 2200 tonnia, 1100 tonnia.

Viivakaavion avulla voit tehdä erilaisia ​​yhtälöitä tehtävälle, jota opiskelijat eivät voi kirjoittaa muistiin ilman piirustusta, eli tehtävä on mahdollista ratkaista algebrallisesti eri tavoin. Katsotaanpa joitain niistä.

Menetelmä II. Olkoon AK = CE = x, niin koska AB = 2CD, saamme x + 750 = 2(x - 350),

mistä x = 1450, CD = 1450 - 350 = 1100, AB = 1100 2 = 2200.

Vastaus: 2200 tonnia, 1100 tonnia.

Menetelmä III. Olkoon CD = x, sitten AB = 2x. Koska AK = CE, meillä on 2x - 750 = x + 350

(Sama yhtälö saadaan, kun ongelma ratkaistaan ​​ilman kaaviota.)

Viivakaavion avulla ei vain ratkaista ongelmaa ilman yhtälöä, vaan usein vastaus voidaan "nähdä" suoraan piirroksesta.

Tehtävä 2. Yhdellä puutarhapalstalla on viisi kertaa niin paljon vadelmapensaita kuin toisella. Kun 22 pensasta oli istutettu ensimmäisestä osasta toiseen, vadelmapensaiden molemmissa osissa se jakautui tasaisesti. Kuinka monta vadelmapensasta oli kullakin tontilla?

Ratkaisu. 1. vaihe. Olkoon segmentti AB edustaa vadelmapensaiden lukumäärää ensimmäisellä alueella ja segmentti CD vadelmapensaiden lukumäärää toisella alueella (kuva 2). AB ja 5CD - vadelmapensaiden alkujakauma tonttien välillä.

Koska vadelmapensaiden molemmat osat tasaantuivat, jaetaan segmentti BE kahtia (BF = FE) ja vähennetään segmentti BF segmentistä AB ja lisätään segmentti DK segmenttiin CD (DK = BF). AF = CK - vadelmapensaiden lopullinen jakautuminen tonttien välillä.

2. vaihe. Kunnon mukaan 22 pensasta istutettiin ensimmäisestä paikasta toiseen, mikä tarkoittaa, että BF = 22 = 2CD, sitten CD = 11, AB = 5CD = 5 11 = 55.

Vastaus: ensimmäisessä paikassa oli 55 vadelmapensasta, toisella 11 pensasta.

Yksi geometrisen menetelmän käytön eduista tarkasteltujen ongelmien ratkaisemisessa on sen selkeys. Viivakaavion rakentaminen ja sen tilasta toiseen siirtyminen antaa opiskelijoille mahdollisuuden hahmottaa paremmin ongelmassa kuvatut tilanteet ja auttaa siten löytämään tapoja ratkaista se. Joskus vastaus on melkein ilmeinen piirustuksessa, mikä mahdollistaa viivakaavion avulla ongelman ratkaisun tarkistamisen, joka suoritetaan algebrallisella menetelmällä ilman piirustusta.

Geometrisen menetelmän muodostuksen motivaatiovaiheessa on suositeltavaa ehdottaa ongelman ratkaisemista kahdella menetelmällä: algebrallinen ja geometrinen. Tehtävä tulee valita siten, että sen ratkaisu viivakaavion avulla on järkevämpi kuin ratkaisu ilman piirustusta. Otetaan esimerkki yhden näistä ongelmista ratkaisemisesta.

Tehtävä 3. Ensimmäinen säiliö sisältää neljä kertaa enemmän nestettä kuin toinen. Kun 10 litraa nestettä kaadettiin ensimmäisestä säiliöstä toiseen, kävi ilmi, että se, mikä oli jäljellä ensimmäisessä, joutui toiseen säiliöön. Kuinka monta litraa nestettä kussakin säiliössä oli alun perin?

Ratkaisu. Algebrallinen menetelmä. Siirrymme yhtälöön

missä x l on nesteen alkuperäinen määrä toisessa säiliössä.

Ratkaisemalla tämän yhtälön löydämme sitten x = 10

4x = 4 10 = 40.

Joten ensimmäisessä säiliössä oli 40 litraa ja toisessa 10 litraa.

Geometrinen menetelmä. Rakennetaan viivakaavio nesteen alkuperäisestä jakautumisesta kahden säiliön välillä. Olkoon segmentin AB edustava nestemäärä (l) ensimmäisessä säiliössä (kuva 3), sitten segmentti CD edustaa nesteen määrää (l) toisessa säiliössä (rakentaminen voidaan aloittaa segmentistä CD). AB = 4CD - nesteen alkujakauma kahden säiliön välillä.

Nesteen kaataminen säiliöstä toiseen näytetään vähentämällä jokin segmentti segmentistä AB ja lisäämällä se segmenttiin CD. Segmentistä AB vähennettävän segmentin pituuden selvittämiseksi on huomioitava seuraava: ensimmäisessä ja toisessa säiliössä oli 5 osaa nestettä ja ensimmäisessä säiliössä 4 osaa ja säiliössä. toinen 1 osa.

Transfuusion jälkeen nesteen kokonaismäärä (5 osaa) ei muuttunut, mutta toisessa säiliössä siitä tuli 2 osaa ja ensimmäisessä 3 osassa. Tämä tarkoittaa, että segmentti BE on vähennettävä segmentistä AB (BE = CD) ja segmentti DK (DK = BE) on lisättävä segmenttiin CD, jolloin , joka vastaa nesteensiirtoa. Siksi BE = 10

AB = 40, CD = BE = 10.

Joten ensimmäisessä säiliössä oli 40 litraa nestettä ja toisessa 10 litraa.

Ongelman ratkaisemisen jälkeen sinun tulee verrata molempia ratkaisumenetelmiä opiskelijoiden kanssa, tunnistaa kunkin edut ja haitat.

On huomattava, että viivakaavioiden avulla ratkaistaan ​​ongelmia, joissa on annettu määrien arvojen suhteet (vähemmän, enemmän, by, in, sama) ja tarkastellaan yhtä tai useampaa tilannetta.

Tekstitehtävät, joissa yksi suureista on kahden muun tulo, mahdollistavat alueen ominaisuuksiin perustuvan aluemenetelmän integroinnin sekä yhtälöiden ja epäyhtälöiden menetelmän. Annetaan esimerkkejä.

Tehtävä 4. Metsätyöporukka ylitti päivittäisen normin 16 m 3 , joten viikkonormin (kuusi työpäivää) suoritettiin neljässä päivässä. Kuinka monta kuutiometriä puuta prikaati korjui päivässä?

Ratkaisu. Algebrallinen menetelmä. Tulemme yhtälöön

missä x m 3 on prikaatin päivänormi suunnitelman mukaan.

Geometrinen menetelmä. Koska tehtävässä tarkastellaan kahden suuren tuloa (A = pn), esitämme sen selvyyden vuoksi kaksiulotteisena kaaviona. Kaksiulotteinen kaavio on yhden tai useamman suorakulmion pinta-ala, joiden sivut edustavat tarkasteltavien suureiden (p ja n) numeerisia arvoja ja suorakulmion pinta-ala edustaa niiden tuloa (S = A).

Ongelman ratkaisu, kuten lineaarisen (yksiulotteisen) kaavion tapauksessa, tapahtuu kolmessa vaiheessa:

1) kaksiulotteisen kaavion rakentaminen, eli ongelman kääntäminen segmenttien ja kuvioalueiden kielelle;
2) tuloksena olevan geometrisen ongelman ratkaiseminen laatimalla yhtälö, joka perustuu monikulmion alueen ominaisuuksien käyttöön;
3) saadun vastauksen kääntäminen geometrisestä kielestä luonnolliselle kielelle.

1. vaihe. Se toteutetaan tehtävätekstin analyysin aikana. Oppilaat vastaavat seuraaviin kysymyksiin.

1. Onko mahdollista rakentaa kaksiulotteinen kaavio tehtävän tilanteen mukaan?

[Se on mahdollista, koska yksi määristä (prikaatin viikoittainen normi) on yhtä suuri
kahden muun tulo: prikaatin päivänormi ja päivien lukumäärä.]

2. Mikä on 2D-kaavio?

[Suorakulmio, jonka toinen puoli määrittää
prikaatin päiväraha, ja toinen - päivien lukumäärä.]

3. Kuinka monta suorakulmiota tulisi rakentaa?

[Kaksi, niiden alueet määräävät prikaatin viikkomaksun
suunnitelman mukaan ja tosiasiallisesti tehty työ neljässä päivässä.]

4. Mitä voidaan sanoa näiden suorakulmioiden pinta-aloista?

[Ne ovat samanarvoisia, koska ne valmistuivat neljässä
työpäivä on yhtä suuri kuin viikon palkka.]

Sitten oppilaat suorittavat opettajan avustuksella rakentamisen valmiiksi. Ensimmäisen suorakulmion kanta ja korkeus otetaan mielivaltaisesti, toinen suorakulmio on yhtä suuri kuin ensimmäinen ja niiden kantat ovat samalla säteellä olevia segmenttejä, joilla on yhteinen origo (kuva 4). Ensimmäinen vaihe päättyy suorakulmioiden merkitsemiseen ja piirustuksen merkintöjen suunnitteluun.

Geometrisen menetelmän oppimisen alussa pidetään yksityiskohtaista kirjaa siitä, mitä kunkin suorakulmion pituus, leveys ja pinta-ala tarkoittaa, eli tehtävä käännetään geometriselle kielelle.

2. vaihe. Vaihe alkaa tuloksena olevien suorakulmioiden pinta-alojen tarkastelulla ja niiden välisten suhteiden luomisella (yhtä-arvot, epätasa-arvot). Opiskelijoille esitetään kysymys: Nimeä suorakulmiot, joiden pinta-ala on yhtä suuri. Vastaava merkintä on:

S ABCD \u003d S AMNK \u003d S, S 1 \u003d S 2, koska S 1 + S 3 \u003d S 2 + S 3.

Opiskelijoiden joukossa saattaa olla niitä, jotka täydentävät piirustuksen suurella epätarkkuudella, eli piirustuksessa BMNE- ja KECD-suorakulmiot eivät ilmeisesti ole samankokoisia. On kiinnitettävä heidän huomionsa ja huomioitava, että viivojen KB ja CN tulee olla yhdensuuntaisia.

Käyttämällä ehtoa S 1 \u003d S 2, laaditaan yhtälö. Tehdään likimääräinen esitys tehtävän 4 ratkaisusta geometrisella menetelmällä.

Ratkaisu. Anna S ABCD:n määrittää viikoittainen normi metsuriryhmälle. AB - prikaatin tuottavuus (m 3) päivässä suunnitelman mukaan; AD - päivien lukumäärä; S AMNK - tiimin neljässä päivässä tekemän työn määrä.

SAMNK=SABCD=S;

S 1 \u003d S 2, koska S 1 + S 3 \u003d S 2 + S 3.

S 1 \u003d 2KE, S 2 \u003d 16 4 \u003d 64,

tarkoittaa 2KE = 64, sitten KE = 32.

AB = KE = 32, AM = AB + BM = 32 + 16 = 48.

Vastaus: Prikaati korjasi 48 m 3 metsää päivässä.

Kaksiulotteisen kaavion ja geometristen suhteiden, erityisesti suorakulmioiden ABCD ja AMNK yhtäläisen alueen, avulla voidaan tehdä toinen yhtälö. Jos AB = x, niin saamme

(sama yhtälö saadaan, kun ongelma ratkaistaan ​​ilman piirustusta).

Tehtävä 5. Tehtaan piti saada autojen tuotantotilaus valmiiksi 15 päivässä. Mutta jo kaksi päivää ennen määräaikaa tehdas ei vain täytynyt suunnitelmaan, vaan myös tuotti kuusi autoa lisää suunnitelman yli, koska se tuotti joka päivä kaksi autoa suunnitelman yli. Kuinka monta autoa tehtaan piti tuottaa suunnitelman mukaan?

Tämän ongelman geometrisella menetelmällä ratkaisemisen erikoisuus verrattuna edellisen ongelman ratkaisuun on se, että alueet S 1 ja S 2 (ks. kuva 4) eivät ole yhtä suuret, koska tilan mukaan kasvi ei täytti vain suunnitelman, mutta tuotti myös suunnitelman yli kuusi autoa lisää. Opiskelijoiden tulee pitää tämä mielessä sekä piirustusta että yhtälöä tehdessään.

Ratkaisu. Olkoon AB laitoksen tuotantokapasiteetti vuorokaudessa suunnitelman mukaan (kuva 5). AD - tilauksen valmistumispäivä suunnitelman mukaan. Sitten S ABCD määrittää koko tilauksen autojen tuotantoa varten, AM edustaa autojen määrää, jonka tehdas tuotti päivittäin, AP on läpimenoaika ja S AMNP vastaa autojen määrää, jotka tehdas tuotti 13 päivässä.

Tilan mukaan tehdas tuotti kuusi autoa yli suunnitelman, joten olemme tehneet

S 1 + S 3 + 6 \u003d S 3 + S 2 tai S 1 + 6 \u003d S 2,

mutta S 2 = 2 13 = 26, joten S 1 + 6 = 26, josta S 1 = 20. Toisaalta S 1 = 2AB, joten 2AB = 20, sitten AB = 10, S ABCD = AB 15 = 10 15 = 150.

Vastaus: tehtaan piti tuottaa suunnitelman mukaan 150 autoa.

Geometriset tehtävät voivat toimia myös menetelmien integrointikeinona 7. luokalla. Annetaan esimerkkejä.

Tehtävä 6. Piste A jakaa janan CD kahtia ja piste B jakaa sen eriarvoisiin osiin. Osoita, että suorakulmion, jonka mitat ovat CB ja BD, pinta-ala on yhtä suuri kuin niiden neliöiden pinta-alojen erotus, joiden sivut ovat AD ja AB

Ratkaisu. Olkoon CD = x, BD = y. Sitten

Siksi ongelman ratkaisemiseksi on tarpeen todistaa henkilöllisyys

Kuten näette, alueen menetelmä ja identtisten muunnosten menetelmä ovat mukana tämän ongelman ratkaisemisessa.

Tehtävä 7. AP = PQ = QR = RB = BC, AB = AC (kuva 7). Etsi kulma A.

Ratkaisu. Olkoon Р A = x, sitten Р 1 = Р A = x. P 2 \u003d 2x (kolmion APQ ulkokulmana), P 4 \u003d P 2 \u003d 2x.

P 3 \u003d 180 ° - (P 2 + P 4) \u003d 180 ° - 4x,

P 5 \u003d 180 ° - (P 1 + P 3) \u003d 3x,

P 6 = P 5 = 3x. P 7 = P B - P 6, mutta

siksi

Koska P 8 \u003d P C, sitten P C + P 8 + P 7 \u003d 2P C + P 7 \u003d 180 ° tai

Ratkaisemalla tämän yhtälön saamme x = 20°.

Vastaus: P A \u003d 20 °.

Tämän ongelman ratkaisemisessa käytettiin kolmioiden menetelmää sekä yhtälöiden ja epäyhtälöiden menetelmää. Samanlaisia ​​ongelmia löytyy geometrian oppikirjoista.

Iteratiiviset algebralliset menetelmät kuvan rekonstruktioon

jatkotyötä

4.1 Algebrallinen menetelmä

Olkoon funktio f(x) = f(x, y) kuvaava tiheysjakaumaa objektin jossakin valitussa osassa. Laskennallisen tomografian päätehtävä on rekonstruoida funktio f(x) kokeellisesti saatujen projektioiden joukosta:

jotka ovat halutun jakauman lineaarisia integraaleja viivoja L: pitkin. Tässä on skannauskulma, on delta-toiminto.

Käytännössä ennusteita ei pääsääntöisesti aseteta kaikille arvoille, vaan vain rajalliselle määrälle niitä. On olemassa useita käytännön ongelmia, joissa 0:n diskretisointien määrä on hyvin rajoitettu (3:sta 5:een). Tämän tyyppiset ongelmat liittyvät matalakulmatomografian ongelmiin ja ovat vaikeimpia ratkaista. Tehtävä voidaan muotoilla seuraavasti: annetulle kahden muuttujan funktion projektiojoukolle saadaan tämän funktion paras estimaatti.

Muotoilkaamme yleinen lausunto ongelman (4.1) ratkaisun palauttamisesta algebrallisilla menetelmillä ja konstruoidaan iteratiivinen algoritmi tällaisten ongelmien palauttamiseksi. Algebrallisten menetelmien käyttö eroaa olennaisesti integraalisten muunnosten menetelmästä, koska se sisältää kuvan diskretisoinnin ennen palautusalgoritmin aloittamista. Kuvan rekonstruktioongelman diskreetin mallin rakentaminen voidaan kuvata seuraavasti.

Vaaditaan palauttamaan alueella D R2 määritelty kaksiulotteinen funktio f(x)=f(x,y). Oletetaan, että palautusalue D on suljettu neliöön K, joka on jaettu n yhtä suureen pieneen neliöön, joita kutsutaan eliseiksi. Numeroidaan kaikki eliset 1:stä n:ään. Samalla hyväksymme päärajoituksen, joka on, että palautettu funktio f(x) saa vakioarvon fj j:nnen elizan sisällä, eli korvaamme funktion f ( x) diskretisoidulla lausekkeella

jos (x) j-th elise;

muuten. (4.3)

Oletetaan, että meille annetaan joukko lineaarisia jatkuvia funktionaalisia, jotka edustavat suoraa Radon-muunnosta joidenkin rivien sarjaa pitkin:

Sitten on funktion f(x) projektio pitkin sädettä Li.

Soveltamalla operaattoreita tasa-arvoon (4.2) ja ottaen huomioon niiden jatkuvuus ja lineaarisuus, saadaan lineaarinen järjestelmä algebralliset yhtälöt

jossa i = 1, ..., m; j = 1, ..., n.

Jos kantafunktioiden perhe (bj) on annettu kaavalla (4.3), niin

I:nnen säteen ja j:nnen elisen leikkauspisteen pituus.

Merkitään kerroinmatriisia A=(), kuvavektoria f=(f1, f2, ..., fn), projektiovektoria R=(R1, R1, ..., Rt). Sitten tehtävän ratkaisu pelkistetään muotoisen lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi

Tässä tapauksessa vektori R tunnetaan jollakin virheellä.

On huomattava, että järjestelmän (4.5) muoto riippuu kantafunktioiden bi ja funktionaalisten joukon Ri erityisestä valinnasta. On muitakin tapoja valita alueen D osioruudukko (ja siten perusfunktiot bi). Funktionaalit valitaan paitsi muodossa (4.4), myös ottaen huomioon säteiden todellinen pituus ja käyttämällä paloittain vakiofunktioita. Lisäksi ongelman ilmaisu ei riipu säteiden geometriasta ja se on helppo muotoilla kolmiulotteiseen tapaukseen.

4.2 Interline-operaattoreiden käyttö

Tässä alaosassa tarkastellaan uutta menetelmää litteän tietokonetomografian (CT) ongelman likimääräisen ratkaisun esittämiseksi paloittain vakiofunktioiden muodossa. Menetelmällä on suurempi tarkkuus kuin klassisella menetelmällä taso-RKT-ongelman ratkaisemiseksi paloittain vakiofunktioita käyttämällä.

jakamalla E2 nelikulmioiksi. Otetaan käyttöön seuraava merkintä.

Operaattori О1 on f(x,y):n approksimoinnin operaattori x:n paloittain vakiofunktioilla. Jos y=const, niin se saadaan kaistan parhaan approksimation f(x,y) ehdosta yE. Vastaavasti operaattori О2 on f(x, y):n approksimoinnin operaattori y:n paloittain vakiofunktioilla.

Jos x=const, niin j(x) löydetään kaistan parhaasta sovituksesta f(x,y), xE.

Esittelemme seuraavat operaattorit:

Löydämme arvot f:n parhaan approksimation ehdosta luvulla f(оij, ij)

Lemma 3.1 Olkoon funktio, r=1,2 tai ja funktio, jolla on rajoitettu vaihtelu. Sitten operaattoreilla Onm on ominaisuudet

Todiste. Ominaisuudet (3.25) ja (3.26) johtuvat siitä, että

Omaisuus (3.27) seuraa siitä, että

Ominaisuudet (3.29) pätevät kaikille differentioituville funktioille ja jatkuville funktioille, joiden vaihtelu on rajoitettu.

Lemma 1 on todistettu.

Seuraus 1. Jatkuville funktioille, joilla on rajoitettu vaihtelu, saadaan seuraava virheestimaatti.

Seuraus 2. Funktioiden korvaaminen yhden muuttujan paloittain vakiofunktioilla, joilla on sama virheestimaatti

saamme operaattorin

Hanki arvot gi:lle (x)

Hanki arvot Gi (y)

seuraavilla ominaisuuksilla:

Seuraus 3. Käyttäjä

sillä on seuraavat ominaisuudet:

Jos r=1,2 tai u on funktio, jolla on rajoitettu vaihtelu, niin

Todiste. Virheelle voimme kirjoittaa yhtäläisyyden

Tämä tarkoittaa eriarvoisuutta

Soveltamalla estimaatit 3 ja 4 saadun lausekkeen oikealle puolelle päästään estimaatiin (3.42).

Seuraus 3 on todistettu.

Jos m=n, niin operaattorissa on virhe (se käyttää vakioita); operaattorin likiarvossa on virhe. Eli operaattorilla (se käyttää vakioita) on sama virhe kuin operaattorilla:

Seuraavissa kappaleissa korostetaan tämän menetelmän etuja.

Tuntemattomien määrä

Funktioiden interlinoinnin käyttö likimääräisen ratkaisun rakentamisessa, nimittäin likimääräisen ratkaisun esittäminen muodossa:

johti 2n3+n2 vakioiden ilmaantumiseen, joita ei tunneta. Tästä syystä operaattori käyttää O(n3) vakio-tuntemattomia. Operaattorissa on virhe.

Operaattorin käyttäminen - likimääräisen ratkaisun klassinen esitys - johtaa n4 vakioiden ilmaantumiseen, joita ei tunneta. Tästä syystä operaattori käyttää O(n4) vakio-tuntemattomia. Operaattorissa on virhe.

Yhteenvetona edellä esitetystä päättelemme, että operaattorin käyttäminen edellyttää O(n3) tuntemattomien löytämistä, kun taas operaattorin käyttö edellyttää O(n4) tuntemattomien löytämistä ratkaisun approksimoimiseksi samalla virheellä.

Siksi operaattorin käyttö antaa merkittäviä etuja aritmeettisten operaatioiden lukumäärän suhteen, koska saman tarkkuuden saavuttamiseksi on tarpeen ratkaista pienempien lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä.

Tämän tosiasian havainnollistamiseksi esitämme seuraavan taulukon:

pöytä 1

	Tuntematon	Tuntematon	Virhe

Vertailut osoittavat, että saman tarkkuuden saavuttamiseksi operaattoria käytettäessä voit ottaa vähemmän yhtälöitä. Esimerkiksi arvolla n=9 klassisen menetelmän tuntemattomien määrä on 4 kertaa suurempi.

Koska järjestelmän on oltava ylimäärätty ja n=9 tuntemattomalle 1539 (interlinaation tapauksessa) ja 6561 (klassiselle menetelmälle), ja yhtälöiden lukumäärä tulee ottaa enemmän kuin tuntemattomien lukumäärä, se on selvää, että interlinaatiomenetelmässä nämä yhtälöt ovat pienempiä.

Kehitetyillä algoritmeilla ja ohjelmilla suoritettu laskennallinen koe vahvisti nämä väitteet.

Alueen diskretointi

Kaavioiden käyttö litteän tietokonetomografian ongelman ratkaisemiseksi, joka perustuu käyttöön ja määrittää alueen diskretoinnin.

Epäsäännölliselle ruudukolle: jaottelu neliöiksi, joissa on sivu ja suorakulmioiksi, joissa on sivut, ja pidennettyinä Ox- ja Oy-akselia pitkin. Ruudukon solmut sijaitsevat neliöiden ja suorakulmioiden keskipisteissä.

- Tavallinen ruudukko: jaottelu neliöiksi, joissa on sivu. Ruudukkosolmut sijaitsevat neliöiden keskellä.

Operaattorin soveltamisen positiivinen vaikutus saavutetaan solmujen erilaisen järjestelyn ansiosta, mikä aiheuttaa yhteyden seuraavan suhteen:

Jotka ovat samat solmujen kanssa, jotka sijaitsevat vastaavien neliön, pysty- ja vaakasuorakulmion keskuksissa.

Näille pisteille, koska näissä keskuksissa meillä on tarkat ratkaisut.

Siten avulla muodostettu likimääräinen ratkaisu on interpolointikaava. Sen avulla funktion arvo lasketaan missä tahansa D-alueen pisteessä, paitsi niissä, joissa on tarkka vastaavuus

Tarkka vastaavuus määritetyissä keskuksissa. tarkoittaa,

Antagonistinen peli

On kaksi tapausta ratkaista tehtäviä algebrallisella menetelmällä: 1. matriisissa on satulapiste; 2. matriisissa ei ole satulapistettä. Ensimmäisessä tapauksessa ratkaisu on strategioiden pari, jotka muodostavat pelin satulankohdan. Harkitse toista tapausta...

Laskennallinen matematiikka

Menetelmä segmentin jakamiseksi puoliksi on yksinkertaisin ja luotettavin tapa ratkaista epälineaarinen yhtälö. Olkoon alustavan analyysin perusteella tiedossa, että yhtälön (2.1) juuri on välillä , eli x*, joten f(x*) = 0...

Laskennallinen matematiikka

Newtonin menetelmä on eniten tehokas menetelmä epälineaaristen yhtälöiden ratkaisuja. Olkoon juuri x* , jolloin f(a)f(b)< 0. Предполагаем, что функция f(x) непрерывна на отрезке и дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b). Положим x0 = b...

Laskennallinen matematiikka

Tässä ja seuraavassa osiossa tarkastelemme Newtonin menetelmän muunnelmia. Kuten kaavasta (2.13) voidaan nähdä, Newtonin menetelmä vaatii toteutukseensa derivaatan laskemisen, mikä rajoittaa sen soveltamista. Sekanttimenetelmässä ei ole tätä puutetta...

Iteratiivinen algebrallisia menetelmiä kuvan rekonstruktio

Olkoon funktio f(x) = f(x, y) kuvaava tiheysjakaumaa objektin jossakin valitussa osassa. Laskennallisen tomografian päätehtävänä on palauttaa funktio f(x) kokeellisesti saatujen projektioiden joukosta: (4...

x2, x4, x5, x6 - perusmuuttujat, x1, x3 - vapaat muuttujat x1?F? x3?F? Valitsemalla x3? x4 x2, x3, x5, x6 - perusmuuttujat, x1, x4 - vapaat muuttujat x1?F? x4?F? Valitsemalla x1? x5 x1, x2, x3, x6 - perusmuuttujat, x4...

Lineaarinen ja epälineaarinen ohjelmointi

Globaali minimihakumenetelmä, jota kutsutaan ruudukkohakumenetelmäksi, on luotettava, mutta soveltuu vain pieniulotteisiin ongelmiin (n<4). Неправильный выбор начального шага сетки может привести к тому...

Lineaarinen ja epälineaarinen ohjelmointi

Iterointi 1. Iterointimäärä k = 0 Iterointi 2. Iterointimäärä k = 1 Haku suoritettu 3.3...

Teoreettista tietoa Olkoon funktio y = f(x) jatkuva janalla . Meidän on laskettava kiinteä integraali. Kuten paraabelimenetelmässä, jaamme segmentit. Suorakaidemenetelmän ydin on...

Matemaattinen mallinnus ja numeeriset menetelmät teknisten ongelmien ratkaisemisessa

Teoreettinen tausta Oletetaan, että meidän on laskettava määrätty integraali, jossa y = f(x) on jatkuva välillä . Jaetaan jana n yhtä suureen h pituiseen väliin pisteillä. Tässä tapauksessa osiointivaihe määritetään samalla tavalla kuin parabolimenetelmässä...

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät

Suorakulmiomenetelmä on menetelmä yhden muuttujan funktion numeeriseen integrointiin, joka koostuu integrandin korvaamisesta nolla-asteen polynomilla, eli vakiolla, jokaisessa alkeissegmentissä ...

Rubikin kuution tilojen muunnosryhmien järjestelmäanalyysi

CFOP on neljän kokoonpanovaiheen nimi (kuva 3.2): Risti, F2L, OLL, PLL: 1) Risti - poikkikokoonpano ...

Lineaariyhtälöjärjestelmät

Tarkastellaan 3 lineaarisen yhtälön järjestelmää, joissa on kolme tuntematonta: Kolmannen asteen determinantti, joka vastaa järjestelmän matriisia, ts. Tuntemattomien kertoimista koostuvaa kutsutaan järjestelmän determinantiksi...

Lineaariyhtälöjärjestelmät

Gaussin menetelmä perustuu seuraavaan lauseeseen: järjestelmän laajennetun matriisin rivien alkeismuunnokset vastaavat tämän järjestelmän muuntamista ekvivalentiksi. Lisätyn matriisin perusrivimuunnosten avulla...

Numeeriset menetelmät transsendenttisten yhtälöiden ratkaisemiseen

Olkoon yhtälöllä (1) juuri janalla, ja f (x) ja f "(x) ovat jatkuvia ja säilyttävät vakiomerkkejä koko intervallin ajan. Newtonin menetelmän geometrinen merkitys on, että käyrän y kaari \u003d f (x) korvataan tangentilla...