Differentiaaliyhtälöiden ratkaisu. Kiitos meidän verkkopalvelu voit ratkaista minkä tahansa tyyppisiä ja monimutkaisia ​​differentiaaliyhtälöitä: epähomogeenisiä, homogeenisia, epälineaarisia, lineaarisia, ensimmäisen, toisen asteen, erotettavien muuttujien kanssa tai ilman jne. Saat differentiaaliyhtälöiden ratkaisun analyyttisessä muodossa Yksityiskohtainen kuvaus. Monet ovat kiinnostuneita: miksi differentiaaliyhtälöitä on tarpeen ratkaista verkossa? Tämäntyyppiset yhtälöt ovat hyvin yleisiä matematiikassa ja fysiikassa, joissa on mahdotonta ratkaista monia ongelmia ilman differentiaaliyhtälön laskemista. Myös differentiaaliyhtälöt ovat yleisiä taloustieteissä, lääketieteessä, biologiassa, kemiassa ja muissa tieteissä. Tällaisen yhtälön ratkaiseminen verkossa helpottaa suuresti tehtäviäsi, antaa mahdollisuuden ymmärtää materiaalia paremmin ja testata itseäsi. Hyödyt differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta verkossa. Nykyaikainen matemaattinen palvelusivusto mahdollistaa kaiken monimutkaisen differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisen verkossa. Kuten tiedät, differentiaaliyhtälöiden tyyppejä on suuri määrä, ja jokaisella niistä on omat ratkaisunsa. Palvelustamme löydät verkosta ratkaisun minkä tahansa järjestyksen ja tyypin differentiaaliyhtälöihin. Ratkaisun saamiseksi suosittelemme, että täytät alkutiedot ja napsautat "Ratkaisu"-painiketta. Virheet palvelun toiminnassa on poissuljettu, joten voit olla 100% varma, että sait oikean vastauksen. Ratkaise differentiaaliyhtälöt palvelumme avulla. Ratkaise differentiaaliyhtälöitä verkossa. Oletuksena tällaisessa yhtälössä y-funktio on x-muuttujan funktio. Mutta voit myös määrittää oman muuttujan nimityksen. Jos esimerkiksi määrität y(t):n differentiaaliyhtälössä, palvelumme määrittää automaattisesti, että y on t-muuttujan funktio. Koko differentiaaliyhtälön järjestys riippuu yhtälössä olevan funktion derivaatan maksimijärjestyksestä. Tällaisen yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa halutun funktion löytämistä. Palvelumme auttaa sinua ratkaisemaan differentiaaliyhtälöitä verkossa. Yhtälön ratkaiseminen ei vaadi sinulta paljon vaivaa. Sinun tarvitsee vain kirjoittaa yhtälön vasen ja oikea osa vaadittuihin kenttiin ja napsauttaa "Ratkaisu" -painiketta. Kun syötetään funktion derivaatta, se on merkittävä heittomerkillä. Muutamassa sekunnissa sinulla on yksityiskohtainen ratkaisu differentiaaliyhtälö. Palvelumme on täysin ilmainen. Differentiaaliyhtälöt jaetuilla muuttujilla. Jos differentiaaliyhtälön vasemmalla puolella on lauseke, joka riippuu y:stä ja oikealla puolella on lauseke, joka riippuu x:stä, niin tällaista differentiaaliyhtälöä kutsutaan erotettavilla muuttujilla. Vasemmalla puolella voi olla y:n derivaatta, tällaisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisu on y:n funktion muodossa, joka ilmaistaan ​​yhtälön oikean puolen integraalilla. Jos vasemmalla puolella on y:n funktion differentiaali, yhtälön molemmat osat on integroitu. Kun differentiaaliyhtälön muuttujia ei ole erotettu, ne on jaettava erillisen differentiaaliyhtälön saamiseksi. Lineaarinen differentiaaliyhtälö. Differentiaaliyhtälöä kutsutaan lineaariseksi, jos funktio ja kaikki sen derivaatat ovat ensimmäisessä asteessa. Yhtälön yleinen muoto: y'+a1(x)y=f(x). f(x) ja a1(x) ovat x:n jatkuvia funktioita. Tämän tyyppisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisu pelkistyy kahden differentiaaliyhtälön integrointiin, joissa on erotetut muuttujat. Differentiaaliyhtälön järjestys. Differentiaaliyhtälö voi olla ensimmäistä, toista, n:nnettä kertaluokkaa. Differentiaaliyhtälön järjestys määrittää sen sisältämän suurimman derivaatan järjestyksen. Palvelussamme voit ratkaista online-differentiaaliyhtälöitä ensimmäisen, toisen, kolmannen jne. Tilaus. Yhtälön ratkaisu on mikä tahansa funktio y=f(x), jonka korvaamalla yhtälöön saat identiteetin. Prosessia, jossa differentiaaliyhtälöön löydetään ratkaisu, kutsutaan integraatioksi. Cauchy ongelma. Jos itse differentiaaliyhtälön lisäksi määritellään alkuehto y(x0)=y0, niin tätä kutsutaan Cauchyn ongelmaksi. Yhtälön ratkaisuun lisätään indikaattorit y0 ja x0 ja määritetään mielivaltaisen vakion C arvo ja sitten erityinen yhtälön ratkaisu tälle C:n arvolle. Tämä on Cauchyn ongelman ratkaisu. Cauchyn ongelmaa kutsutaan myös reunaehtoongelmaksi, mikä on hyvin yleistä fysiikassa ja mekaniikassa. Sinulla on myös mahdollisuus asettaa Cauchyn ongelma, eli valita yhtälön kaikista mahdollisista ratkaisuista jokin tietty, joka täyttää annetut alkuehdot.

Erilaisten geometristen, fysikaalisten ja teknisten ongelmien ratkaisu johtaa usein yhtälöihin, jotka yhdistävät tiettyä ongelmaa luonnehtivia riippumattomia muuttujia näiden muuttujien johonkin funktioon ja tämän funktion eri kertaluvun johdannaisiin.

Esimerkkinä voidaan tarkastella yksinkertaisinta tapausta materiaalipisteen tasaisesti kiihdytetystä liikkeestä.

Tiedetään, että materiaalipisteen siirtyminen tasaisesti kiihdytetyn liikkeen aikana on ajan funktio ja ilmaistaan ​​kaavalla:

Puolestaan ​​kiihtyvyys a on ajan derivaatta t nopeudesta V, joka on myös johdannainen ajan suhteen t liikkeestä S. Nuo.

Sitten saamme:
- yhtälö yhdistää funktion f(t) riippumattomaan muuttujaan t ja funktion f(t) toisen kertaluvun derivaatan kanssa.

Määritelmä. differentiaaliyhtälö kutsutaan yhtälöksi, joka liittyy riippumattomiin muuttujiin, niiden funktioihin ja tämän funktion derivaattaisiin (tai differentiaaleihin).

Määritelmä. Jos differentiaaliyhtälössä on yksi riippumaton muuttuja, sitä kutsutaan tavallinen differentiaaliyhtälö , jos riippumattomia muuttujia on kaksi tai useampia, kutsutaan tällaista differentiaaliyhtälöä osittaisdifferentiaaliyhtälö.

Määritelmä. Yhtälön korkeinta derivaattakertaa kutsutaan differentiaaliyhtälön järjestys .

Esimerkki.

- tavallinen 1. asteen differentiaaliyhtälö. Yleensä se on kirjoitettu
.

- tavallinen 2. asteen differentiaaliyhtälö. Yleensä se on kirjoitettu

- differentiaaliyhtälö ensimmäisen kertaluvun osittaisissa derivaatoissa.

Määritelmä. Yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälö on sellainen differentioituva funktio y = (x, C), joka, kun se korvataan alkuperäiseen yhtälöön tuntemattoman funktion sijaan, muuttaa yhtälön identiteetiksi

Yleisratkaisun ominaisuudet.

1) Koska Koska vakio C on mielivaltainen arvo, niin yleensä differentiaaliyhtälöllä on ääretön määrä ratkaisuja.

2) Kaikissa alkuehdoissa x \u003d x 0, y (x 0) \u003d y 0 on sellainen arvo C \u003d C 0, jolle differentiaaliyhtälön ratkaisu on funktio y \u003d  (x, C 0).

Määritelmä. Kutsutaan ratkaisua muotoa y \u003d  (x, C 0). yksityinen päätös differentiaaliyhtälö.

Määritelmä. Cauchy ongelma (Augustin Louis Cauchy (1789-1857) - ranskalainen matemaatikko) kutsutaan jonkin tietyn ratkaisun löytämiseksi muotoa y \u003d  (x, C 0) olevaan differentiaaliyhtälöön, joka täyttää alkuehdot y (x 0) \u003d y 0 .

Cauchyn lause. (lause 1. asteen differentiaaliyhtälön ratkaisun olemassaolosta ja ainutlaatuisuudesta)

Jos toimintof(x, y) on jatkuva jollakin verkkotunnuksellaDlentokoneessaXOYja sillä on jatkuva osittainen derivaatta tällä alueella
, sitten mikä tahansa pointti (x 0 , y 0 ) alueellaD, on vain yksi ratkaisu
yhtälöt
, joka on määritelty jossain välissä, joka sisältää pisteen x 0 , hyväksytään kohdassa x = x 0 merkitys (X 0 ) = y 0 , eli differentiaaliyhtälölle on ainutlaatuinen ratkaisu.

Määritelmä. kiinteä differentiaaliyhtälö on mikä tahansa yhtälö, joka ei sisällä derivaattoja, jolle tämä differentiaaliyhtälö on seuraus.

Esimerkki. Etsi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu
.

Yhteinen päätös differentiaaliyhtälöä etsitään integroimalla yhtälön vasen ja oikea osa, joka muunnetaan alustavasti seuraavasti:

Nyt integroidaan:

on alkuperäisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu.

Oletetaan, että on annettu joitakin alkuehtoja: x 0 = 1; y 0 = 2, niin meillä on

Korvaamalla saadun vakion arvon yleisen ratkaisun saamme tietyn ratkaisun tietyille alkuolosuhteille (Cauchyn ongelman ratkaisu).

Määritelmä. integraalikäyrä kutsutaan XOY-tason differentiaaliyhtälön ratkaisun kuvaajaa y = (x).

Määritelmä. erikoisratkaisu differentiaaliyhtälön ratkaisu on sellainen ratkaisu, jonka kaikissa kohdissa kutsutaan Cauchyn ainutlaatuisuusehtoa (vrt. Cauchyn lause.) ei ole tyytyväinen, ts. jonkin pisteen (x, y) läheisyydessä on ainakin kaksi integraalikäyrää.

Yksikköratkaisut eivät riipu vakiosta C.

Yleisratkaisusta ei voida saada erikoisratkaisuja millekään vakion C arvolle. Jos muodostamme differentiaaliyhtälön integraalikäyrien perheen, niin erikoisratkaisua edustaa viiva, joka koskettaa vähintään yhtä integraalikäyrää kohdassa jokainen sen piste.

Huomaa, että jokaisella differentiaaliyhtälöllä ei ole yksittäisiä ratkaisuja.

Esimerkki. Etsi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu:
Etsi erityinen ratkaisu, jos sellainen on olemassa.

Tällä differentiaaliyhtälöllä on myös erityinen ratkaisu klo= 0. Tätä ratkaisua ei voida saada yleisestä ratkaisusta, mutta alkuperäiseen yhtälöön korvaamalla saadaan identtisyys. mielipide, että ratkaisu y = 0 voidaan saada yleisestä ratkaisusta FROM 1 = 0 väärin, koska C 1 = e C  0.

Oppilaitos "Valko-Venäjän valtio

maatalousakatemia"

Korkeamman matematiikan laitos

ENSIMMÄISEN ÄÄRÄYKSEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

Luentotiivistelmä kirjanpidon opiskelijoille

kirjeenvaihtokoulutusmuoto (NISPO)

Gorki, 2013

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälön käsite. Yleiset ja erityiset ratkaisut

Erilaisia ​​ilmiöitä tutkiessa ei useinkaan ole mahdollista löytää lakia, joka suoraan yhdistäisi riippumattoman muuttujan ja halutun funktion, mutta halutun funktion ja sen derivaattojen välille on mahdollista muodostaa yhteys.

Kutsutaan riippumattoman muuttujan, halutun funktion ja sen derivaatat yhdistävää relaatiota differentiaaliyhtälö :

Tässä x on riippumaton muuttuja, y on haluttu toiminto,
ovat halutun funktion johdannaisia. Tässä tapauksessa relaatio (1) edellyttää vähintään yhden derivaatan läsnäoloa.

Differentiaaliyhtälön järjestys on yhtälön korkeimman derivaatan järjestys.

Harkitse differentiaaliyhtälöä

. (2)

Koska tämä yhtälö sisältää vain ensimmäisen kertaluvun derivaatan, sitä kutsutaan on ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö.

Jos yhtälö (2) voidaan ratkaista derivaatan suhteen ja kirjoittaa muodossa

, (3)

silloin tällaista yhtälöä kutsutaan ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöksi normaalimuodossa.

Monissa tapauksissa on tarkoituksenmukaista tarkastella muodon yhtälöä

jota kutsutaan ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö, joka on kirjoitettu differentiaalimuotoon.

Koska
, niin yhtälö (3) voidaan kirjoittaa muodossa
tai
, jossa voi laskea
ja
. Tämä tarkoittaa, että yhtälö (3) on muutettu yhtälöksi (4).

Kirjoitamme yhtälön (4) muotoon
. Sitten
,
,
, jossa voi laskea
, eli saadaan muotoa (3) oleva yhtälö. Siten yhtälöt (3) ja (4) ovat ekvivalentteja.

Ratkaisemalla differentiaaliyhtälön (2) tai (3) mitä tahansa funktiota kutsutaan
, joka, kun se korvataan yhtälöllä (2) tai (3), muuttaa sen identiteetiksi:

tai
.

Prosessia, jossa löydetään kaikki differentiaaliyhtälön ratkaisut, kutsutaan sen prosessiksi liittäminen , ja ratkaisukaavio
kutsutaan differentiaaliyhtälöksi integraalikäyrä tämä yhtälö.

Jos differentiaaliyhtälön ratkaisu saadaan implisiittisessä muodossa
, niin sitä kutsutaan kiinteä annettu differentiaaliyhtälö.

Yleinen ratkaisu ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on muodon funktioiden perhe
, riippuen mielivaltaisesta vakiosta FROM, joista jokainen on ratkaisu annetun differentiaaliyhtälön mille tahansa sallitulle mielivaltaisen vakion arvolle FROM. Differentiaaliyhtälöllä on siis ääretön määrä ratkaisuja.

Yksityinen päätös differentiaaliyhtälöä kutsutaan ratkaisuksi, joka saadaan yleisestä ratkaisukaavasta mielivaltaisen vakion tietylle arvolle FROM, mukaan lukien
.

Cauchyn ongelma ja sen geometrinen tulkinta

Yhtälöllä (2) on ääretön määrä ratkaisuja. Jotta tästä joukosta voidaan erottaa yksi ratkaisu, jota kutsutaan tietyksi ratkaisuksi, on määritettävä joitain lisäehtoja.

Ongelmaa tietyn ratkaisun löytämisestä yhtälölle (2) tietyissä olosuhteissa kutsutaan Cauchy ongelma . Tämä ongelma on yksi tärkeimmistä differentiaaliyhtälöiden teoriassa.

Cauchyn ongelma on muotoiltu seuraavasti: Etsi yhtälön (2) kaikista ratkaisuista sellainen ratkaisu
, jossa funktio
ottaa tietyn numeerisen arvon jos riippumaton muuttuja x ottaa tietyn numeerisen arvon , eli

,
, (5)

missä D on funktion toimialue
.

Merkitys nimeltään funktion alkuarvo , a – riippumattoman muuttujan alkuarvo . Ehtoa (5) kutsutaan alkutila tai Kauhea kunto .

Geometrialta katsottuna Cauchyn ongelma differentiaaliyhtälölle (2) voidaan muotoilla seuraavasti: valitse yhtälön (2) integraalikäyrien joukosta se, joka kulkee tietyn pisteen läpi
.

Differentiaaliyhtälöt erotettavilla muuttujilla

Yksi yksinkertaisimmista differentiaaliyhtälöiden tyypeistä on ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö, joka ei sisällä haluttua funktiota:

. (6)

Olettaen että
, kirjoitamme yhtälön muotoon
tai
. Integroimalla viimeisen yhtälön molemmat puolet, saamme:
tai

. (7)

Siten (7) on yleinen ratkaisu yhtälölle (6).

Esimerkki 1 . Etsi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu
.

Ratkaisu . Kirjoitamme yhtälön muotoon
tai
. Integroimme tuloksena olevan yhtälön molemmat osat:
,
. Kirjoitetaan vihdoin ylös
.

Esimerkki 2 . Etsi ratkaisu yhtälöön
kunnossa
.

Ratkaisu . Etsitään yhtälön yleinen ratkaisu:
,
,
,
. Ehdon mukaan
,
. Korvaa yleisessä ratkaisussa:
tai
. Korvaamme mielivaltaisen vakion löydetyn arvon yleisen ratkaisun kaavaan:
. Tämä on differentiaaliyhtälön erityinen ratkaisu, joka täyttää annetun ehdon.

Yhtälö

(8)

nimeltään ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö, joka ei sisällä riippumatonta muuttujaa . Kirjoitamme sen lomakkeeseen
tai
. Integroimme molemmat viimeisen yhtälön osat:
tai
- yhtälön (8) yleinen ratkaisu.

Esimerkki . Etsi yhtälölle yleinen ratkaisu
.

Ratkaisu . Kirjoitamme tämän yhtälön muodossa:
tai
. Sitten
,
,
,
. Tällä tavalla,
on tämän yhtälön yleinen ratkaisu.

Tyyppiyhtälö

(9)

integroitu käyttämällä muuttujien erottelua. Tätä varten kirjoitamme yhtälön muotoon
, ja sitten kerto- ja jakolaskuoperaatioita käyttämällä saamme sen sellaiseen muotoon, että yksi osa sisältää vain funktion X ja erotus dx, ja toisessa osassa - funktio klo ja erotus dy. Tätä varten yhtälön molemmat puolet on kerrottava dx ja jakaa
. Tuloksena saamme yhtälön

, (10)

jossa muuttujat X ja klo erotettu. Integroimme yhtälön (10) molemmat osat:
. Tuloksena oleva relaatio on yhtälön (9) yleinen integraali.

Esimerkki 3 . Integroi yhtälö
.

Ratkaisu . Muunna yhtälö ja erota muuttujat:
,
. Integroidaan:
,
tai on tämän yhtälön yleinen integraali.
.

Olkoon yhtälö annettu muodossa

Tällaista yhtälöä kutsutaan ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö erotettavilla muuttujilla symmetrisessä muodossa.

Muuttujien erottamiseksi yhtälön molemmat puolet on jaettava
:

. (12)

Tuloksena olevaa yhtälöä kutsutaan erotettu differentiaaliyhtälö . Integroimme yhtälön (12):

.(13)

Relaatio (13) on differentiaaliyhtälön (11) yleinen integraali.

Esimerkki 4 . Integroi differentiaaliyhtälö.

Ratkaisu . Kirjoitamme yhtälön muotoon

ja jaa molemmat osat
,
. Tuloksena oleva yhtälö:
on erotettu muuttujayhtälö. Integroidaan se:

,
,

,
. Viimeinen yhtälö on annetun differentiaaliyhtälön yleinen integraali.

Esimerkki 5 . Etsi differentiaaliyhtälön tietty ratkaisu
, ehtoa tyydyttävä
.

Ratkaisu . Olettaen että
, kirjoitamme yhtälön muotoon
tai
. Erottelemme muuttujat:
. Integroidaan tämä yhtälö:
,
,
. Tuloksena oleva relaatio on tämän yhtälön yleinen integraali. Ehdon mukaan
. Korvaa yleinen integraali ja etsi FROM:
,FROM=1. Sitten ilmaisu
on tietyn differentiaaliyhtälön tietty ratkaisu, joka on kirjoitettu tietyksi integraaliksi.

Ensimmäisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

Yhtälö

(14)

nimeltään ensimmäisen asteen lineaarinen differentiaaliyhtälö . tuntematon toiminto
ja sen derivaatta syötetään tähän yhtälöön lineaarisesti, ja funktiot
ja
jatkuva.

Jos
, sitten yhtälö

(15)

nimeltään lineaarinen homogeeninen . Jos
, niin kutsutaan yhtälöä (14). lineaarinen epähomogeeninen .

Yhtälön (14) ratkaisun löytämiseksi käytetään yleensä korvausmenetelmä (Bernoulli) , jonka olemus on seuraava.

Yhtälön (14) ratkaisua etsitään kahden funktion tulon muodossa

, (16)

missä
ja
- Jotkut jatkuvat toiminnot. Korvaava
ja johdannainen
yhtälöön (14):

Toiminto v valitaan siten, että ehto
. Sitten
. Siten yhtälön (14) ratkaisun löytämiseksi on tarpeen ratkaista differentiaaliyhtälöjärjestelmä

Järjestelmän ensimmäinen yhtälö on lineaarinen homogeeninen yhtälö, ja se voidaan ratkaista muuttujien erotusmenetelmällä:
,
,
,
,
. Toiminnona
voidaan ottaa yksi homogeenisen yhtälön tietyistä ratkaisuista, ts. klo FROM=1:
. Korvaa järjestelmän toinen yhtälö:
tai
.Sitten
. Siten ensimmäisen asteen lineaarisen differentiaaliyhtälön yleisratkaisulla on muoto
.

Esimerkki 6 . ratkaise yhtälö
.

Ratkaisu . Etsimme yhtälön ratkaisua muodossa
. Sitten
. Korvaa yhtälö:

tai
. Toiminto v valita siten, että tasa-arvo
. Sitten
. Ratkaisemme ensimmäisen näistä yhtälöistä muuttujien erotusmenetelmällä:
,
,
,
,. Toiminto v Korvaa toinen yhtälö:
,
,
,
. Tämän yhtälön yleinen ratkaisu on
.

Kysymyksiä tiedon itsehallinnasta

Mikä on differentiaaliyhtälö?

Mikä on differentiaaliyhtälön järjestys?

Mitä differentiaaliyhtälöä kutsutaan ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöksi?

Miten ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö kirjoitetaan differentiaalimuotoon?

Mikä on differentiaaliyhtälön ratkaisu?

Mikä on integraalikäyrä?

Mikä on ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu?

Mikä on differentiaaliyhtälön erityinen ratkaisu?

Miten Cauchyn ongelma muotoillaan ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälölle?

Mikä on Cauchyn ongelman geometrinen tulkinta?

Miten differentiaaliyhtälö kirjoitetaan erotettavilla muuttujilla symmetrisessä muodossa?

Mitä yhtälöä kutsutaan ensimmäisen asteen lineaariseksi differentiaaliyhtälöksi?

Millä menetelmällä voidaan ratkaista ensimmäisen asteen lineaarinen differentiaaliyhtälö ja mikä on tämän menetelmän ydin?

Tehtävät itsenäiseen työhön

Ratkaise differentiaaliyhtälöt erotettavilla muuttujilla:

a)
; b)
;

sisään)
; G)
.

2. Ratkaise ensimmäisen asteen lineaariset differentiaaliyhtälöt:

a)
; b)
; sisään)
;

G)
; e)
.

Differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka sisältää funktion ja yhden tai useamman sen derivaatan. Useimmissa käytännön ongelmissa funktiot ovat fyysisiä määriä, derivaatat vastaavat näiden suureiden muutosnopeuksia, ja yhtälö määrittää niiden välisen suhteen.

Tässä artikkelissa käsitellään menetelmiä joidenkin tyyppisten tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi, joiden ratkaisut voidaan kirjoittaa muotoon perustoiminnot, eli polynomi-, eksponentiaali-, logaritmiset ja trigonometriset funktiot sekä niiden käänteisfunktiot. Monet näistä yhtälöistä esiintyvät tosielämässä, vaikka useimpia muita differentiaaliyhtälöitä ei voidakaan ratkaista näillä menetelmillä, ja niille vastaus kirjoitetaan erikoisfunktioina tai potenssisarjoina tai löydetään numeerisin menetelmin.

Tämän artikkelin ymmärtämiseksi sinun on tiedettävä differentiaali- ja integraalilaskenta sekä ymmärrettävä osittaisia ​​derivaattoja. On myös suositeltavaa tuntea lineaarisen algebran perusteet differentiaaliyhtälöiden, erityisesti toisen asteen differentiaaliyhtälöiden, perusteet, vaikka niiden ratkaisemiseen riittääkin differentiaali- ja integraalilaskennan tuntemus.

Ennakkotiedot

• Differentiaaliyhtälöillä on laaja luokitus. Tässä artikkelissa puhutaan tavallisia differentiaaliyhtälöitä, eli yhtälöistä, jotka sisältävät yhden muuttujan funktion ja sen derivaatat. Tavallisia differentiaaliyhtälöitä on paljon helpompi ymmärtää ja ratkaista kuin osittaisdifferentiaaliyhtälöt, jotka sisältävät useiden muuttujien funktioita. Tässä artikkelissa ei käsitellä osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, koska näiden yhtälöiden ratkaisumenetelmät määräytyvät yleensä niiden tietyn muodon mukaan.
  • Alla on esimerkkejä tavallisista differentiaaliyhtälöistä.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Alla on esimerkkejä osittaisdifferentiaaliyhtälöistä.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\osittainen y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Tilaus differentiaaliyhtälö määräytyy tähän yhtälöön sisältyvän suurimman derivaatan järjestyksessä. Ensimmäinen yllä olevista tavallisista differentiaaliyhtälöistä on ensimmäistä kertaluokkaa, kun taas toinen on toista kertaluokkaa. Tutkinto differentiaaliyhtälön arvoa kutsutaan suurimmaksi potenssiksi, johon yksi tämän yhtälön ehdoista on korotettu.
  • Esimerkiksi alla oleva yhtälö on kolmannen asteen ja toisen potenssin.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ oikea)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Differentiaaliyhtälö on lineaarinen differentiaaliyhtälö jos funktio ja kaikki sen derivaatat ovat ensimmäisessä potenssissa. Muuten yhtälö on epälineaarinen differentiaaliyhtälö. Lineaariset differentiaaliyhtälöt ovat merkittäviä siinä mielessä, että niiden ratkaisuista voidaan tehdä lineaarisia yhdistelmiä, jotka ovat myös ratkaisuja tähän yhtälöön.
  • Alla on esimerkkejä lineaarisista differentiaaliyhtälöistä.
  • Alla on esimerkkejä epälineaarisista differentiaaliyhtälöistä. Ensimmäinen yhtälö on epälineaarinen sinitermin vuoksi.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Yhteinen päätös tavallinen differentiaaliyhtälö ei ole ainutlaatuinen, se sisältää mielivaltaiset integroinnin vakiot. Useimmissa tapauksissa mielivaltaisten vakioiden määrä on yhtä suuri kuin yhtälön järjestys. Käytännössä näiden vakioiden arvot määräytyvät annettujen mukaan alkuolosuhteet eli funktion ja sen johdannaisten arvoilla at x = 0. (\displaystyle x=0.) Löytämiseen tarvittavien alkuehtojen lukumäärä yksityinen päätös differentiaaliyhtälö, useimmissa tapauksissa on myös yhtä suuri kuin tämän yhtälön järjestys.
  • Esimerkiksi tässä artikkelissa tarkastellaan alla olevan yhtälön ratkaisemista. Tämä on toisen asteen lineaarinen differentiaaliyhtälö. Sen yleinen ratkaisu sisältää kaksi mielivaltaista vakiota. Näiden vakioiden löytämiseksi on tarpeen tietää alkuehdot at x (0) (\displaystyle x(0)) ja x' (0) . (\displaystyle x"(0).) Yleensä alkuehdot annetaan pisteessä x = 0, (\displaystyle x=0,), vaikka tämä ei ole pakollista. Tässä artikkelissa pohditaan myös, kuinka löytää tiettyjä ratkaisuja tietyille alkuolosuhteille.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Askeleet

Osa 1

Tätä palvelua käytettäessä osa tiedoista saatetaan siirtää YouTubeen.

1. Ensimmäisen kertaluvun lineaariset yhtälöt. Tässä osiossa käsitellään menetelmiä ensimmäisen kertaluvun lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi yleisissä ja erikoistapauksissa, kun jotkut termit ovat nolla. Teeskennetäänpä sitä y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x)) ja q (x) (\displaystyle q(x)) ovat toimintoja x . (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\näyttötyyli (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) Yhden matemaattisen analyysin päälauseen mukaan funktion derivaatan integraali on myös funktio. Näin ollen riittää, että yhtälö yksinkertaisesti integroidaan ratkaisun löytämiseksi. Tässä tapauksessa on otettava huomioon, että määrittämätöntä integraalia laskettaessa ilmestyy mielivaltainen vakio.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\näyttötyyli y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Käytämme menetelmää muuttujien erottelu. Tässä tapauksessa eri muuttujat siirretään eri puolia yhtälöt. Voit esimerkiksi siirtää kaikki jäsenet kohteesta y (\displaystyle y) yhdeksi ja kaikki jäsenet x (\displaystyle x) yhtälön toiselle puolelle. Jäseniä voidaan myös siirtää d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x) ja d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), jotka sisältyvät johdannaislausekkeisiin, on kuitenkin muistettava, että tämä on vain sopimus, mikä on kätevää monimutkaisen funktion erottamisessa. Keskustelu näistä termeistä, joita kutsutaan erottimet, ei kuulu tämän artikkelin piiriin.

   • Ensin sinun on siirrettävä muuttujat yhtäläisyysmerkin vastakkaisille puolille.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\näyttötyyli (\frac (1) (y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Integroimme yhtälön molemmat puolet. Integroinnin jälkeen molemmille puolille ilmestyy mielivaltaisia ​​vakioita, joihin voidaan siirtää oikea puoli yhtälöt.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\näyttötyyli y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Esimerkki 1.1. Käytössä viimeinen askel käytimme sääntöä e a + b = e a e b (\näyttötyyli e^(a+b)=e^(a)e^(b)) ja vaihdettu e C (\displaystyle e^(C)) päällä C (\displaystyle C), koska se on myös mielivaltainen integroinnin vakio.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1) (2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(tasattu)))

   P (x) ≠ 0, q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Yleisen ratkaisun löytämiseksi esittelimme integroiva tekijä funktiona x (\displaystyle x) pelkistääksesi vasemman puolen yhteiseksi derivaatiksi ja siten ratkaistaksesi yhtälön.

   • Kerro molemmat puolet μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Vasemman puolen pelkistämiseksi yhteiseksi derivaatiksi on tehtävä seuraavat muunnokset:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Viimeinen tasa-arvo tarkoittaa sitä d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Tämä on integroiva tekijä, joka riittää ratkaisemaan minkä tahansa ensimmäisen asteen lineaarisen yhtälön. Nyt voimme johtaa kaavan tämän yhtälön ratkaisemiseksi suhteessa µ , (\displaystyle \mu ,) vaikka koulutusta varten on hyödyllistä tehdä kaikki välilaskelmat.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Esimerkki 1.2. Tässä esimerkissä pohditaan, kuinka löytää tietty ratkaisu differentiaaliyhtälöön annetulla alkuolosuhteet.
     • t d y d t + 2 y = t 2, y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\näyttötyyli \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d t t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(tasattu)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(tasattu)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4, C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Ensimmäisen kertaluvun lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen (tallennettu Intuit - National Open University).

2. Epälineaariset ensimmäisen asteen yhtälöt. Tässä osiossa tarkastellaan menetelmiä joidenkin ensimmäisen kertaluvun epälineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi. Vaikka tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseen ei ole olemassa yleistä menetelmää, jotkin niistä voidaan ratkaista alla olevilla menetelmillä.

   D y d x = f (x, y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Jos toiminto f (x , y) = h (x) g (y) (\näyttötyyli f(x,y)=h(x)g(y)) voidaan jakaa yhden muuttujan funktioiksi, tällaista yhtälöä kutsutaan erotettava differentiaaliyhtälö. Tässä tapauksessa voit käyttää yllä olevaa menetelmää:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • Esimerkki 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\näyttötyyli (\ alkaa(tasattu)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(tasattu)))

   D y d x = g(x, y) h(x, y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Teeskennetäänpä sitä g (x , y) (\displaystyle g(x, y)) ja h (x , y) (\displaystyle h(x, y)) ovat toimintoja x (\displaystyle x) ja y . (\displaystyle y.) Sitten homogeeninen differentiaaliyhtälö on yhtälö, jossa g (\displaystyle g) ja h (\displaystyle h) ovat homogeeniset toiminnot sama tutkinto. Eli toimintojen on täytettävä ehto g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) missä k (\displaystyle k) kutsutaan homogeenisuusasteeksi. Mikä tahansa homogeeninen differentiaaliyhtälö voidaan antaa sopivalla muuttujien muutos (v = y / x (\displaystyle v=y/x) tai v = x / y (\displaystyle v=x/y)) muuntaaksesi yhtälöksi, jossa on erotettavia muuttujia.

   • Esimerkki 1.4. Yllä oleva homogeenisuuden kuvaus saattaa tuntua epäselvältä. Katsotaanpa tätä konseptia esimerkin avulla.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Aluksi on huomattava, että tämä yhtälö on epälineaarinen suhteessa y . (\displaystyle y.) Näemme myös, että tässä tapauksessa on mahdotonta erottaa muuttujia. Tämä differentiaaliyhtälö on kuitenkin homogeeninen, koska sekä osoittaja että nimittäjä ovat homogeenisia potenssilla 3. Siksi voimme tehdä muuttujien muutoksen v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Tämän seurauksena meillä on yhtälö for v (\displaystyle v) jaetuilla muuttujilla.
     • v (x) = − 3 log ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) se Bernoullin differentiaaliyhtälö- erityinen ensimmäisen asteen epälineaarinen yhtälö, jonka ratkaisu voidaan kirjoittaa alkeisfunktioilla.

   • Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\näyttötyyli (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Käytämme vasemmalla puolella olevaa kompleksisen funktion differentiaatiosääntöä ja muunnamme yhtälön lineaariseksi yhtälöksi suhteessa y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) jotka voidaan ratkaista yllä olevilla menetelmillä.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\näyttötyyli M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) = 0.) se yhtälö sisään kokonaiserot . On tarpeen löytää ns potentiaalinen toiminto φ (x, y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), joka täyttää ehdon d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Tämän ehdon täyttämiseksi tarvitaan kokonaisjohdannainen. Kokonaisderivaata ottaa huomioon riippuvuuden muista muuttujista. Kokonaisjohdannaisen laskeminen φ (\displaystyle \varphi) päällä x , (\displaystyle x,) oletamme niin y (\displaystyle y) voi myös riippua x . (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Ehtojen vertailu antaa meille M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))) ja N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Tämä on tyypillinen tulos useammille muuttujille yhtälöille, joissa tasaisten funktioiden sekaderivaatat ovat keskenään yhtä suuret. Joskus tätä tapausta kutsutaan Clairaut'n lause. Tässä tapauksessa differentiaaliyhtälö on kokonaisdifferentiaalien yhtälö, jos seuraava ehto täyttyy:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • Menetelmä kokonaisdifferentiaalien yhtälöiden ratkaisemiseksi on samanlainen kuin potentiaalisten funktioiden löytäminen useiden derivaattojen läsnä ollessa, joita käsittelemme lyhyesti. Ensin integroidaan M (\displaystyle M) päällä x . (\displaystyle x.) Koska M (\displaystyle M) on toiminto ja x (\displaystyle x), ja y , (\displaystyle y,) integroimalla saamme epätäydellisen funktion φ , (\displaystyle \varphi ,) merkitty nimellä φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Tulos sisältää myös riippuvaisen y (\displaystyle y) integraation vakio.
     • φ (x, y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Sen jälkeen saada c (y) (\displaystyle c(y)) voit ottaa tuloksena olevan funktion osittaisen derivaatan suhteessa y , (\displaystyle y,) rinnastaa tulos N (x, y) (\displaystyle N(x, y)) ja integroida. Voidaan myös integroida ensin N (\displaystyle N), ja ota sitten osaderivaata suhteessa x (\displaystyle x), jonka avulla voit löytää mielivaltainen toiminto d(x). (\displaystyle d(x).) Molemmat menetelmät ovat sopivia, ja yleensä integrointiin valitaan yksinkertaisempi funktio.
     • N (x, y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\) osittainen (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Esimerkki 1.5. Voit ottaa osittaisia ​​derivaattoja ja varmistaa, että alla oleva yhtälö on kokonaisdifferentiaaliyhtälö.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\näyttötyyli 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x, y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(tasattu)\varphi) &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\osittinen \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(tasattu)))
     • d c d y = 0, c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\näyttötyyli x^(3)+xy^(2)=C)
   • Jos differentiaaliyhtälö ei ole kokonaisdifferentiaaliyhtälö, joissakin tapauksissa voit löytää integroivan tekijän, jonka avulla voit muuntaa sen kokonaisdifferentiaaliyhtälöksi. Tällaisia ​​yhtälöitä käytetään kuitenkin harvoin käytännössä, ja vaikka integroiva tekijä olemassa, huomaa, että se tapahtuu ei helppoa, joten näitä yhtälöitä ei käsitellä tässä artikkelissa.

Osa 2

1. Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt vakiokertoimilla. Näitä yhtälöitä käytetään laajasti käytännössä, joten niiden ratkaiseminen on ensiarvoisen tärkeää. Tässä tapauksessa ei puhuta homogeenisista funktioista, vaan siitä, että yhtälön oikealla puolella on 0. Seuraavassa osiossa näytämme kuinka vastaava heterogeeninen differentiaaliyhtälöt. Alla a (\displaystyle a) ja b (\displaystyle b) ovat vakioita.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Ominainen yhtälö. Tämä differentiaaliyhtälö on merkittävä siinä mielessä, että se voidaan ratkaista erittäin helposti, jos kiinnittää huomiota siihen, mitä ominaisuuksia sen ratkaisuilla tulisi olla. Yhtälöstä voidaan nähdä, että y (\displaystyle y) ja sen johdannaiset ovat verrannollisia toisiinsa. Edellisistä esimerkeistä, joita käsiteltiin ensimmäisen kertaluvun yhtälöitä käsittelevässä osassa, tiedämme, että vain eksponentiaalisella funktiolla on tämä ominaisuus. Siksi on mahdollista esittää ansatz(valtuutettu arvaus) siitä, mikä on annetun yhtälön ratkaisu.

   • Ratkaisu on eksponentiaalisen funktion muodossa e r x , (\displaystyle e^(rx),) missä r (\displaystyle r) on vakio, jonka arvo on löydettävä. Korvaa tämä funktio yhtälöön ja hanki seuraava lauseke
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Tämä yhtälö osoittaa, että eksponentiaalisen funktion ja polynomin tulon on oltava nolla. Tiedetään, että eksponentti ei voi olla yhtä suuri kuin nolla millekään asteen arvolle. Tästä päätämme, että polynomi on yhtä suuri kuin nolla. Näin ollen olemme pelkistäneet differentiaaliyhtälön ratkaisuongelman paljon yksinkertaisemmalle algebrallisen yhtälön ratkaisutehtäväksi, jota kutsutaan tietyn differentiaaliyhtälön ominaisyhtälöksi.
     • r 2 + a r + b = 0 (\näyttötyyli r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Meillä on kaksi juurta. Koska tämä differentiaaliyhtälö on lineaarinen, sen yleinen ratkaisu on osittaisten ratkaisujen lineaarinen yhdistelmä. Koska tämä on toisen asteen yhtälö, tiedämme, että näin on Todella yleinen ratkaisu, eikä muita ole. Ankarampi perustelu tälle on ratkaisun olemassaoloa ja ainutlaatuisuutta koskevissa teoreemoissa, jotka löytyvät oppikirjoista.
   • Hyödyllinen tapa tarkistaa, ovatko kaksi ratkaisua lineaarisesti riippumattomia, on laskea Wronskian. Wronskian W (\displaystyle W)- tämä on matriisin determinantti, jonka sarakkeissa on funktioita ja niiden peräkkäisiä derivaattoja. Lineaarialgebran lauseessa sanotaan, että Wronskin funktiot ovat lineaarisesti riippuvaisia, jos Wronskin on nolla. Tässä osiossa voimme testata, ovatko kaksi ratkaisua lineaarisesti riippumattomia varmistamalla, että Wronskin on nollasta poikkeava. Wronskian on tärkeä ratkaistaessa epähomogeenisiä differentiaaliyhtälöitä vakiokertoimilla parametrivariaatiomenetelmällä.
     • w = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • Lineaarialgebran kannalta muodostuu tietyn differentiaaliyhtälön kaikkien ratkaisujen joukko vektoriavaruus, jonka mitta on yhtä suuri kuin differentiaaliyhtälön järjestys. Tässä tilassa voi valita pohjan lineaarisesti riippumaton päätöksiä toisiltaan. Tämä on mahdollista, koska toiminto y (x) (\displaystyle y(x)) pätevä lineaarinen operaattori. Johdannainen On lineaarinen operaattori, koska se muuttaa differentioituvien funktioiden avaruuden kaikkien funktioiden avaruuteen. Yhtälöitä kutsutaan homogeenisiksi tapauksissa, joissa jollekin lineaariselle operaattorille L (\displaystyle L) yhtälöön on löydettävä ratkaisu L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Siirrytään nyt muutamiin konkreettisiin esimerkkeihin. Karakteriyhtälön useiden juurien tapausta tarkastellaan hieman myöhemmin, tilauksen vähentämistä käsittelevässä osiossa.

   Jos juuret r ± (\displaystyle r_(\pm )) ovat erilaisia ​​reaalilukuja, differentiaaliyhtälöllä on seuraava ratkaisu

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\näyttötyyli y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Kaksi monimutkaista juurta. Algebran peruslauseesta seuraa, että polynomiyhtälöiden ratkaisuilla reaalikertoimilla on juuret, jotka ovat reaalisia tai muodostavat konjugaattipareja. Siksi, jos kompleksiluku r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta) on siis ominaisyhtälön juuri r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) on myös tämän yhtälön juuri. Siten ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) Tämä on kuitenkin monimutkainen luku, eikä se ole toivottavaa käytännön ongelmien ratkaisemisessa.

   • Sen sijaan voit käyttää Eulerin kaava e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), jonka avulla voit kirjoittaa ratkaisun trigonometristen funktioiden muodossa:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − ic 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Nyt voit sen sijaan, että jatkuvasti c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) Kirjoita ylös c 1 (\displaystyle c_(1)), ja ilmaisu i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) korvattu c 2. (\displaystyle c_(2).) Sen jälkeen saamme seuraavan ratkaisun:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
   • On olemassa toinen tapa kirjoittaa ratkaisu amplitudin ja vaiheen suhteen, mikä sopii paremmin fyysisiin ongelmiin.
   • Esimerkki 2.1. Etsitään alla olevan differentiaaliyhtälön ratkaisu annetuilla alkuehdoilla. Tätä varten on otettava saatu ratkaisu, sekä sen johdannainen, ja korvaa ne alkuehtoihin, jolloin voimme määrittää mielivaltaisia ​​vakioita.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0, x (0) = 1, x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0, r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\näyttötyyli r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\sqrt (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\ näyttötyyli x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\oikea))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 ( − 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(tasattu)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\oikea)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\oikea)\end(tasattu)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2, c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0) = -1 =-(\frac (3) (2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\oikea))
   
   N:nnen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen vakiokertoimilla (tallennettu Intuit - National Open University).

2. Alennettu tilaus. Järjestyspelkistys on menetelmä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi, kun tunnetaan yksi lineaarisesti riippumaton ratkaisu. Tämä menetelmä koostuu yhtälön järjestyksen alentamisesta yhdellä, mikä mahdollistaa yhtälön ratkaisemisen edellisessä osiossa kuvatuilla menetelmillä. Olkoon ratkaisu tiedossa. Tilauksen alentamisen pääideana on löytää ratkaisu alla olevaan muotoon, jossa on tarpeen määritellä toiminto v (x) (\displaystyle v(x)), korvaa se differentiaaliyhtälöön ja löytää v(x). (\displaystyle v(x).) Pohditaan, kuinka järjestysvähennystä voidaan käyttää differentiaaliyhtälön ratkaisemiseen vakiokertoimilla ja monijuurilla.

   
   

   Useita juuria homogeeninen differentiaaliyhtälö vakiokertoimilla. Muista, että toisen kertaluvun yhtälöllä on oltava kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua. Jos ominaisyhtälöllä on useita juuria, ratkaisujen joukko ei muodostaa avaruuden, koska nämä ratkaisut ovat lineaarisesti riippuvaisia. Tässä tapauksessa on käytettävä järjestysvähennystä toisen lineaarisesti riippumattoman ratkaisun löytämiseksi.

   • Olkoon ominaisyhtälöllä useita juuria r (\displaystyle r). Oletetaan, että toinen ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), ja korvaa se differentiaaliyhtälöön. Tässä tapauksessa suurin osa termeistä, lukuun ottamatta termiä, jossa on funktion toinen derivaatta v , (\displaystyle v,) vähennetään.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Esimerkki 2.2. Annettu seuraava yhtälö, jolla on useita juuria r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Korvaamisen yhteydessä suurin osa ehdoista peruuntuu.
     • d 2 v d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(tasattu)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(tasattu)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(tasattu) )v""e^(-4x)&-(\peruuta (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e) ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(tasattu)))
   • Kuten ansatzmme differentiaaliyhtälölle, jolla on vakiokertoimet, tässä tapauksessa vain toinen derivaatta voi olla nolla. Integroimme kahdesti ja saamme halutun lausekkeen for v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Sitten vakiokertoimien differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu, jos ominaisyhtälöllä on useita juuria, voidaan kirjoittaa seuraavaan muotoon. Mukavuuden vuoksi voit muistaa, että lineaarisen riippumattomuuden saamiseksi riittää yksinkertaisesti kertoa toinen termi x (\displaystyle x). Tämä ratkaisujoukko on lineaarisesti riippumaton, joten olemme löytäneet kaikki ratkaisut tähän yhtälöön.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\näyttötyyli y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Tilauksen alennusta sovelletaan, jos ratkaisu on tiedossa y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), joka löytyy tai annetaan ongelmalausekkeessa.

   • Etsimme ratkaisua muodossa y (x) = v (x) y 1 (x) (\näyttötyyli y(x)=v(x)y_(1)(x)) ja liitä se tähän yhtälöön:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Koska y 1 (\displaystyle y_(1)) on ratkaisu differentiaaliyhtälöön, kaikki termit v (\displaystyle v) ovat kutistumassa. Tämän seurauksena se jää ensimmäisen asteen lineaarinen yhtälö. Jos haluat nähdä tämän selkeämmin, muutetaan muuttujia w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\) frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\oikea)(\mathrm (d) )x\oikea))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Jos integraalit voidaan laskea, saadaan yleinen ratkaisu alkeisfunktioiden yhdistelmänä. Muuten ratkaisu voidaan jättää kiinteään muotoon.

3. Cauchy-Euler yhtälö. Cauchy-Euler-yhtälö on esimerkki toisen asteen differentiaaliyhtälöstä, jossa muuttujia kertoimet, joilla on tarkat ratkaisut. Tätä yhtälöä käytetään käytännössä esimerkiksi Laplacen yhtälön ratkaisemiseen pallokoordinaateissa.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Ominainen yhtälö. Kuten näette, tässä differentiaaliyhtälössä jokainen termi sisältää tehokertoimen, jonka aste on yhtä suuri kuin vastaavan derivaatan järjestys.

   • Ratkaisua voidaan siis yrittää etsiä muodosta y (x) = x n , (\näyttötyyli y(x)=x^(n),) missä määritellään n (\displaystyle n), aivan kuten etsimme ratkaisua eksponentiaalisen funktion muodossa lineaariselle differentiaaliyhtälölle, jolla on vakiokertoimet. Erilaistumisen ja korvaamisen jälkeen saamme
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\näyttötyyli x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Käyttääksemme ominaisyhtälöä meidän on oletettava, että se x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Piste x = 0 (\displaystyle x=0) nimeltään säännöllinen yksikköpiste differentiaaliyhtälö. Tällaiset pisteet ovat tärkeitä ratkaistaessa differentiaaliyhtälöitä potenssisarjoilla. Tällä yhtälöllä on kaksi juurta, jotka voivat olla eri ja reaali-, moni- tai monimutkainen konjugaatti.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)))

   Kaksi erilaista todellista juurta. Jos juuret n ± (\displaystyle n_(\pm )) ovat todellisia ja erilaisia, niin differentiaaliyhtälön ratkaisulla on seuraava muoto:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\näyttötyyli y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Kaksi monimutkaista juurta. Jos ominaisyhtälöllä on juuret n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), ratkaisu on monimutkainen funktio.

   • Muuttaaksemme ratkaisun todelliseksi funktioksi teemme muuttujien muutoksen x = e t , (\näyttötyyli x=e^(t),) tuo on t = ln ⁡ x , (\näyttötyyli t=\ln x,) ja käytä Eulerin kaavaa. Samanlaisia ​​toimintoja tehtiin aiemmin mielivaltaisia ​​vakioita määriteltäessä.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\näyttötyyli y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Sitten yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Useita juuria. Toisen lineaarisesti riippumattoman ratkaisun saamiseksi on tarpeen pienentää järjestystä uudelleen.

   • Se vaatii melko vähän laskentaa, mutta periaate on sama: korvaamme y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) yhtälöön, jonka ensimmäinen ratkaisu on y 1 (\displaystyle y_(1)). Vähennysten jälkeen saadaan seuraava yhtälö:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Tämä on ensimmäisen kertaluvun lineaarinen yhtälö suhteessa v' (x) . (\displaystyle v"(x).) Hänen ratkaisunsa on v (x) = c 1 + c 2 ln x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Siten ratkaisu voidaan kirjoittaa seuraavaan muotoon. Se on melko helppo muistaa - saadaksesi toisen lineaarisesti riippumattoman ratkaisun, tarvitset vain lisätermin ln ⁡ x (\näyttötyyli \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\näyttötyyli y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Epähomogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt vakiokertoimilla. Epähomogeenisilla yhtälöillä on muoto L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) missä f (x) (\displaystyle f(x))- niin sanottu vapaa jäsen. Differentiaaliyhtälöiden teorian mukaan tämän yhtälön yleinen ratkaisu on superpositio yksityinen päätös y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) ja lisäratkaisu y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) Tässä tapauksessa tietty ratkaisu ei kuitenkaan tarkoita alkuolosuhteiden antamaa ratkaisua, vaan ratkaisua, joka johtuu epähomogeenisuuden esiintymisestä (vapaa jäsen). Lisäpäätös on vastaavan päätöksen homogeeninen yhtälö, jossa f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Yleinen ratkaisu on näiden kahden ratkaisun päällekkäisyys, koska L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\näyttötyyli L=L+L=f(x)), ja siitä lähtien L [ y c ] = 0, (\displaystyle L=0,) tällainen superpositio on todellakin yleinen ratkaisu.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Epämääräisten kertoimien menetelmä. Epämääräisten kertoimien menetelmää käytetään tapauksissa, joissa vapaa termi on eksponentiaalisen, trigonometrisen, hyperbolisen tai potenssifunktion yhdistelmä. Vain näillä funktioilla taataan äärellinen määrä lineaarisesti riippumattomia derivaattoja. Tässä osiossa löydämme erityisen ratkaisun yhtälöön.

   • Vertaa termejä f (x) (\displaystyle f(x)) vakiotekijöiden huomioimatta jättämisellä. Kolme tapausta on mahdollista.
     • Ei ole identtisiä jäseniä. Tässä tapauksessa erityinen ratkaisu y p (\displaystyle y_(p)) on lineaarinen yhdistelmä termejä alkaen y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) sisältää jäsenen x n (\displaystyle x^(n)) ja jäsen vuodesta y c , (\displaystyle y_(c),) missä n (\displaystyle n) on nolla tai positiivinen kokonaisluku, ja tämä termi vastaa ominaisyhtälön yhtä juurta. Tässä tapauksessa y p (\displaystyle y_(p)) koostuu toimintojen yhdistelmästä x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) sen lineaarisesti riippumattomat johdannaiset sekä muut termit f (x) (\displaystyle f(x)) ja niiden lineaarisesti riippumattomat derivaatat.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) sisältää jäsenen h (x) , (\displaystyle h(x),) joka on teos x n (\displaystyle x^(n)) ja jäsen vuodesta y c , (\displaystyle y_(c),) missä n (\displaystyle n) on yhtä suuri kuin 0 tai positiivinen kokonaisluku, ja tämä termi vastaa useita ominaisyhtälön juuri. Tässä tapauksessa y p (\displaystyle y_(p)) on funktion lineaarinen yhdistelmä x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(missä s (\displaystyle s)- juuren monikerta) ja sen lineaarisesti riippumattomat derivaatat sekä muut funktion jäsenet f (x) (\displaystyle f(x)) ja sen lineaarisesti riippumattomat johdannaiset.
   • Kirjoitetaanpa ylös y p (\displaystyle y_(p)) edellä olevien termien lineaarisena yhdistelmänä. Näiden kertoimien ansiosta lineaarisessa yhdistelmässä tätä menetelmää kutsutaan määrittelemättömien kertoimien menetelmäksi. Niiden ilmestyessä, jotka sisältyvät y c (\displaystyle y_(c)) niiden jäsenet voidaan hylätä mielivaltaisten vakioiden vuoksi y c . (\displaystyle y_(c).) Sen jälkeen vaihdamme y p (\displaystyle y_(p)) yhtälöksi ja rinnastaa samanlaisia ​​termejä.
   • Määritämme kertoimet. Käytössä tämä vaihe se käy ilmi järjestelmästä algebralliset yhtälöt, joka voidaan yleensä ratkaista ilman ongelmia. Tämän järjestelmän ratkaisu tekee mahdolliseksi saada y p (\displaystyle y_(p)) ja siten ratkaise yhtälö.
   • Esimerkki 2.3. Tarkastellaan epähomogeenistä differentiaaliyhtälöä, jonka vapaa termi sisältää äärellisen määrän lineaarisesti riippumattomia derivaattoja. Erityinen ratkaisu tällaiselle yhtälölle voidaan löytää määrittelemättömien kertoimien menetelmällä.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\näyttötyyli y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\näyttötyyli y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 Ae 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(tasattu)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 - 25 B + 6 B = - 1 , B = 1 19 - 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A) =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ loppu (tapaukset)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Lagrangen menetelmä. Lagrangen menetelmä eli mielivaltaisten vakioiden variaatiomenetelmä on yleisempi menetelmä epähomogeenisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi, erityisesti tapauksissa, joissa vapaa termi ei sisällä rajallista määrää lineaarisesti riippumattomia derivaattoja. Esimerkiksi ilmaisilla jäsenillä tan ⁡ x (\näyttötyyli \rusketus x) tai x − n (\displaystyle x^(-n)) tietyn ratkaisun löytämiseksi on käytettävä Lagrange-menetelmää. Lagrange-menetelmää voidaan käyttää jopa muuttuvien kertoimien differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen, vaikka tässä tapauksessa Cauchy-Euler-yhtälöä lukuun ottamatta sitä käytetään harvemmin, koska lisäratkaisua ei yleensä ilmaista alkeisfunktioilla.

   • Oletetaan, että ratkaisulla on seuraava muoto. Sen johdannainen annetaan toisella rivillä.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\näyttötyyli y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ' = v 1 ' y 1 + v 1 y 1 ' + v 2 ' y 2 + v 2 y 2 ' (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Koska ehdotettu ratkaisu sisältää kaksi tuntemattomia määriä, on tarpeen määrätä lisää kunto. Valitsemme tämän lisäehdon seuraavassa muodossa:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Nyt voimme saada toisen yhtälön. Kun olet vaihtanut ja jakanut jäseniä uudelleen, voit ryhmitellä jäseniä v 1 (\displaystyle v_(1)) ja jäseniä kohteesta v 2 (\displaystyle v_(2)). Nämä ehdot peruutetaan, koska y 1 (\displaystyle y_(1)) ja y 2 (\displaystyle y_(2)) ovat vastaavan homogeenisen yhtälön ratkaisuja. Tuloksena saamme seuraavan yhtälöjärjestelmän
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(tasattu)))
   • Tämä järjestelmä voidaan muuntaa muodon matriisiyhtälöksi A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) kenen ratkaisu on x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Matriisille 2 × 2 (\näyttötyyli 2\kertaa 2) käänteinen matriisi löydetään jakamalla determinantilla, permutoimalla diagonaaliset elementit ja muuttamalla diagonaalista poikkeavien elementtien etumerkkiä. Itse asiassa tämän matriisin determinantti on Wronskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_() 2)"\end(pmatriisi))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Ilmaisut for v 1 (\displaystyle v_(1)) ja v 2 (\displaystyle v_(2)) on lueteltu alla. Kuten järjestysvähennysmenetelmässä, tässä tapauksessa integroinnin aikana esiintyy mielivaltainen vakio, joka sisältää lisäratkaisun differentiaaliyhtälön yleisessä ratkaisussa.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1) (x)=-\int (\frac (1) (W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2) (x)=\int (\frac (1) (W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   National Open University Intuitin luento "N:nnen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt vakiokertoimilla".

Käytännöllinen käyttö

Differentiaaliyhtälöt muodostavat suhteen funktion ja yhden tai useamman sen derivaatan välille. Koska tällaiset suhteet ovat niin yleisiä, differentiaaliyhtälöt ovat löytäneet laajan sovelluksen monilla alueilla, ja koska elämme neljässä ulottuvuudessa, nämä yhtälöt ovat usein differentiaaliyhtälöitä. yksityinen johdannaisia. Tässä osiossa käsitellään joitakin tämän tyyppisiä tärkeimpiä yhtälöitä.

• Eksponentiaalinen kasvu ja rappeutuminen. radioaktiivinen hajoaminen. Korkoa korolle. Nopeus kemialliset reaktiot. Lääkkeiden pitoisuus veressä. Rajoittamaton väestönkasvu. Newton-Richmannin laki. AT todellista maailmaa on monia järjestelmiä, joissa kasvu- tai heikkenemisnopeus milloin tahansa on verrannollinen kyseisen ajankohdan määrään tai se voidaan hyvin approksimoida mallilla. Tämä johtuu siitä, että tämän differentiaaliyhtälön ratkaisu, eksponentiaalinen funktio, on yksi matematiikan ja muiden tieteiden tärkeimmistä funktioista. Yleisemmin hallitun väestönkasvun aikana järjestelmä voi sisältää lisätermejä, jotka rajoittavat kasvua. Alla olevassa yhtälössä vakio k (\displaystyle k) voi olla suurempi tai pienempi kuin nolla.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Harmoniset värähtelyt. Sekä klassisessa että kvanttimekaniikassa harmoninen oskillaattori on yksi tärkeimmistä fysikaalisista systeemeistä yksinkertaisuutensa ja yleiseen käyttöön monimutkaisempien järjestelmien, kuten yksinkertaisen heilurin, lähentämiseksi. Klassisessa mekaniikassa harmonisia värähtelyjä Kuvataan yhtälöllä, joka yhdistää aineellisen pisteen sijainnin sen kiihtyvyyteen Hooken lain mukaisesti. Tässä tapauksessa voidaan ottaa huomioon myös vaimennus- ja käyttövoimat. Alla olevassa ilmaisussa x ˙ (\displaystyle (\piste (x)))- aikajohdannainen x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta) on parametri, joka kuvaa vaimennusvoimaa, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- järjestelmän kulmataajuus, F (t) (\displaystyle F(t)) on ajasta riippuva liikkeellepaneva voima. Harmoninen oskillaattori sitä esiintyy myös sähkömagneettisissa värähtelypiireissä, joissa se voidaan toteuttaa mekaanisia järjestelmiä tarkemmin.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\piste (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Besselin yhtälö. Besselin differentiaaliyhtälöä käytetään monilla fysiikan alueilla, mukaan lukien aaltoyhtälön ratkaisu, Laplacen yhtälö ja Schrödingerin yhtälö, erityisesti sylinteri- tai pallosymmetrian läsnäollessa. Tämä muuttujakertoiminen toisen asteen differentiaaliyhtälö ei ole Cauchy-Euler-yhtälö, joten sen ratkaisuja ei voida kirjoittaa alkeisfunktioina. Besselin yhtälön ratkaisut ovat Besselin funktiot, jotka ovat hyvin tutkittuja, koska niitä käytetään monilla alueilla. Alla olevassa ilmaisussa α (\displaystyle \alpha ) on vakio, joka vastaa Tilaus Besselin toiminnot.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Maxwellin yhtälöt. Lorentzin voiman ohella Maxwellin yhtälöt muodostavat klassisen sähködynamiikan perustan. Nämä ovat neljä osittaista differentiaaliyhtälöä sähkölle E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) ja magneettinen B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) kentät. Alla olevissa ilmaisuissa ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- lataustiheys, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t)) on virrantiheys ja ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) ja μ 0 (\displaystyle \mu _(0)) ovat sähköinen ja magneettinen vakio.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\dotnabla(tasattu)) (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(tasattu)))
• Schrödingerin yhtälö. Kvanttimekaniikassa Schrödingerin yhtälö on liikkeen perusyhtälö, joka kuvaa hiukkasten liikettä aaltofunktion muutoksen mukaisesti. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) ajan kanssa. Liikeyhtälö kuvataan käyttäytymisellä Hamiltonin H ^ (\displaystyle (\hat(H))) - operaattori, joka kuvaa järjestelmän energiaa. Yksi tunnetuista esimerkeistä Schrödingerin yhtälöstä fysiikassa on yhtälö yhdelle ei-relativistiselle hiukkaselle, joka on alttiina potentiaalille. V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Monia järjestelmiä kuvataan ajasta riippuvalla Schrödingerin yhtälöllä, jonka yhtälö on vasemmalla E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) missä E (\displaystyle E) on hiukkasen energia. Alla olevissa ilmaisuissa ℏ (\displaystyle \hbar ) on pelkistetty Planck-vakio.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\oikea)\Psi )
• aaltoyhtälö. On mahdotonta kuvitella fysiikkaa ja tekniikkaa ilman aaltoja, niitä on kaikentyyppisissä järjestelmissä. Yleensä aallot kuvataan alla olevalla yhtälöllä, jossa u = u (r , t) (\näyttötyyli u=u((\mathbf (r) ),t)) on haluttu toiminto ja c (\displaystyle c)- kokeellisesti määritetty vakio. d'Alembert havaitsi ensimmäisenä, että yksiulotteisen tapauksen ratkaisu aaltoyhtälöön on minkä tahansa funktio argumentin kanssa x − c t (\displaystyle x-ct), joka kuvaa mielivaltaista oikealle etenevää aaltoa. Yksiulotteisen tapauksen yleinen ratkaisu on tämän funktion lineaarinen yhdistelmä toisen argumentin sisältävän funktion kanssa x + c t (\displaystyle x+ct), joka kuvaa vasemmalle etenevää aaltoa. Tämä ratkaisu esitetään toisella rivillä.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\näyttötyyli u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Navier-Stokes yhtälöt. Navier-Stokes-yhtälöt kuvaavat nesteiden liikettä. Koska nesteitä esiintyy käytännössä kaikilla tieteen ja teknologian aloilla, nämä yhtälöt ovat erittäin tärkeitä sään ennustamisessa, lentokoneiden suunnittelussa, merivirroissa ja monissa muissa sovelluksissa. Navier-Stokes-yhtälöt ovat epälineaarisia osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, ja useimmissa tapauksissa niiden ratkaiseminen on erittäin vaikeaa, koska epälineaarisuus johtaa turbulenssiin ja vakaan ratkaisun saamiseksi numeerisilla menetelmillä, jakamalla ne hyvin pieniin. solut ovat välttämättömiä, mikä vaatii huomattavaa laskentatehoa. Hydrodynamiikan käytännön syistä turbulenttisten virtausten mallintamiseen käytetään menetelmiä, kuten aikakeskiarvon laskemista. Jopa peruskysymykset, kuten ei-lineaaristen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisujen olemassaolo ja ainutlaatuisuus, ovat monimutkaisia ​​ongelmia, ja Navier-Stokes-yhtälöiden ratkaisujen olemassaolon ja ainutlaatuisuuden todistaminen kolmessa ulottuvuudessa on vuosituhannen matemaattisten ongelmien joukossa. . Alla on kokoonpuristumattoman nesteen virtausyhtälö ja jatkuvuusyhtälö.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h, ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\näyttötyyli (\frac (\osittais (\math)b )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Monia differentiaaliyhtälöitä ei yksinkertaisesti voida ratkaista yllä olevilla menetelmillä, etenkään niillä, jotka mainittiin viimeisessä osassa. Tämä pätee silloin, kun yhtälö sisältää muuttuvia kertoimia, eikä se ole Cauchy-Euler-yhtälö, tai kun yhtälö on epälineaarinen, lukuun ottamatta muutamia erittäin harvinaisia ​​tapauksia. Yllä olevat menetelmät antavat kuitenkin mahdollisuuden ratkaista monia tärkeitä differentiaaliyhtälöitä, joita usein kohdataan eri tieteenaloilla.
• Toisin kuin differentiaatio, jonka avulla voit löytää minkä tahansa funktion derivaatan, monien lausekkeiden integraalia ei voida ilmaista alkeisfunktioissa. Siksi älä tuhlaa aikaa integraalin laskemiseen siellä, missä se on mahdotonta. Katso integraalitaulukkoa. Jos differentiaaliyhtälön ratkaisua ei voida ilmaista alkeisfunktioilla, se voidaan joskus esittää integraalimuodossa, ja tässä tapauksessa ei ole väliä, voidaanko tämä integraali laskea analyyttisesti.

Varoitukset

• Ulkomuoto differentiaaliyhtälö voi olla harhaanjohtava. Esimerkiksi alla on kaksi ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöä. Ensimmäinen yhtälö on helppo ratkaista tässä artikkelissa kuvatuilla menetelmillä. Ensi silmäyksellä pieni muutos y (\displaystyle y) päällä y 2 (\displaystyle y^(2)) toisessa yhtälössä tekee siitä epälineaarisen ja siitä tulee erittäin vaikea ratkaista.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))