Vastaanotetut yhtälöjärjestelmät laaja sovellus talouden alalla matemaattinen mallinnus erilaisia ​​prosesseja. Esimerkiksi kun ratkaistaan ​​johtamisen ja tuotannon suunnittelun ongelmia, logistiikkareittejä ( kuljetustehtävä) tai laitteiden sijoitusta.

Yhtälöjärjestelmiä ei käytetä vain matematiikan alalla, vaan myös fysiikassa, kemiassa ja biologiassa populaation koon selvittämiseen liittyviä ongelmia ratkaistaessa.

järjestelmä lineaariset yhtälöt Nimeä kaksi tai useampia yhtälöitä useilla muuttujilla, joille on löydettävä yhteinen ratkaisu. Sellainen lukujono, jonka kaikista yhtälöistä tulee todellisia yhtäläisyyksiä tai todistetaan, että sarjaa ei ole olemassa.

Lineaarinen yhtälö

Yhtälöitä, joiden muoto on ax+by=c, kutsutaan lineaariseksi. Nimet x, y ovat tuntemattomia, joiden arvo on löydettävä, b, a ovat muuttujien kertoimet, c on yhtälön vapaa termi.
Yhtälön ratkaiseminen piirtämällä sen kaavio näyttää suoralta, jonka kaikki pisteet ovat polynomin ratkaisuja.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien tyypit

Yksinkertaisimmat ovat esimerkkejä lineaarisista yhtälöjärjestelmistä, joissa on kaksi muuttujaa X ja Y.

F1(x, y) = 0 ja F2(x, y) = 0, missä F1,2 ovat funktioita ja (x, y) ovat funktiomuuttujia.

Ratkaise yhtälöjärjestelmä - se tarkoittaa sellaisten arvojen (x, y) löytämistä, joille järjestelmästä tulee todellinen yhtäläisyys, tai sen toteamista, ettei x:n ja y:n ole sopivia arvoja.

Pistekoordinaateiksi kirjoitettua arvoparia (x, y) kutsutaan lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisuksi.

Jos järjestelmillä on yksi yhteinen ratkaisu tai ratkaisua ei ole, niitä kutsutaan vastaaviksi.

Homogeeniset lineaariyhtälöjärjestelmät ovat järjestelmiä, joiden oikea puoli on nolla. Jos "yhtäsuuruus"-merkin jälkeisellä oikealla osalla on arvo tai se ilmaistaan ​​funktiolla, tällainen järjestelmä ei ole homogeeninen.

Muuttujien lukumäärä voi olla paljon enemmän kuin kaksi, silloin meidän pitäisi puhua esimerkistä lineaarisesta yhtälöjärjestelmästä, jossa on kolme muuttujaa tai enemmän.

Järjestelmien edessä koululaiset olettavat, että yhtälöiden lukumäärän on välttämättä oltava sama kuin tuntemattomien lukumäärä, mutta näin ei ole. Yhtälöiden määrä järjestelmässä ei riipu muuttujista, niitä voi olla mielivaltaisen paljon.

Yksinkertaisia ​​ja monimutkaisia ​​menetelmiä yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen

Ei ole olemassa yleistä analyyttistä tapaa ratkaista tällaisia ​​järjestelmiä, kaikki menetelmät perustuvat numeerisiin ratkaisuihin. Koulun matematiikan kurssilla kuvataan yksityiskohtaisesti sellaisia ​​menetelmiä kuin permutaatio, algebrallinen yhteenlasku, substituutio sekä graafinen ja matriisimenetelmä, ratkaisu Gaussin menetelmällä.

Ratkaisumenetelmien opetuksen päätehtävänä on opettaa analysoimaan järjestelmää oikein ja löytämään kullekin esimerkille optimaalinen ratkaisualgoritmi. Tärkeintä ei ole muistaa kunkin menetelmän sääntö- ja toimintajärjestelmää, vaan ymmärtää tietyn menetelmän soveltamisen periaatteet.

Yleissivistävän kouluohjelman 7. luokan lineaariyhtälöjärjestelmien esimerkkien ratkaisu on melko yksinkertainen ja se on selitetty erittäin yksityiskohtaisesti. Kaikissa matematiikan oppikirjoissa tähän osioon on kiinnitetty riittävästi huomiota. Lineaaristen yhtälöjärjestelmien esimerkkien ratkaisua Gaussin ja Cramerin menetelmällä tutkitaan tarkemmin korkeakoulujen ensimmäisillä kursseilla.

Järjestelmien ratkaisu korvausmenetelmällä

Korvausmenetelmän toiminnot tähtäävät yhden muuttujan arvon ilmaisemiseen toiseen. Lauseke korvataan jäljellä olevalla yhtälöllä, jonka jälkeen se pelkistetään yhdeksi muuttujaksi. Toiminto toistetaan riippuen järjestelmän tuntemattomien määrästä

Otetaan esimerkki 7. luokan lineaarisesta yhtälöjärjestelmästä korvausmenetelmällä:

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, muuttuja x ilmaistiin kaavalla F(X) = 7 + Y. Tuloksena oleva lauseke, joka korvattiin järjestelmän 2. yhtälöllä X:n tilalla, auttoi saamaan yhden muuttujan Y 2. yhtälöön . Tämän esimerkin ratkaisu ei aiheuta vaikeuksia ja antaa sinun saada Y-arvon. Viimeinen askel tämä on vastaanotettujen arvojen testi.

Aina ei ole mahdollista ratkaista esimerkkiä lineaarisesta yhtälöjärjestelmästä korvaamalla. Yhtälöt voivat olla monimutkaisia ​​ja muuttujan ilmaisu toiseksi tuntemattomaksi tulee olemaan liian hankalaa jatkolaskutoimille. Kun järjestelmässä on enemmän kuin 3 tuntematonta, korvausratkaisu on myös epäkäytännöllinen.

Lineaarisen epähomogeenisen yhtälöjärjestelmän esimerkin ratkaisu:

Ratkaisu käyttämällä algebrallista summaa

Kun etsitään ratkaisua järjestelmiin summausmenetelmällä, suoritetaan termi kerrallaan yhtälöiden yhteenlasku ja kertominen eri luvuilla. Matemaattisten operaatioiden perimmäinen tavoite on yhtälö, jossa on yksi muuttuja.

Sovelluksia varten tätä menetelmää vaatii harjoittelua ja tarkkailua. Ei ole helppoa ratkaista lineaarista yhtälöjärjestelmää summausmenetelmällä, jossa muuttujia on 3 tai enemmän. Algebrallinen yhteenlasku on hyödyllinen, kun yhtälöt sisältävät murto- ja desimaalilukuja.

Ratkaisun toimintoalgoritmi:

1. Kerro yhtälön molemmat puolet jollakin luvulla. Aritmeettisen operaation seurauksena muuttujan yhden kertoimen tulee olla yhtä suuri kuin 1.
2. Lisää tuloksena oleva lauseke termi kerrallaan ja etsi yksi tuntemattomista.
3. Korvaa tuloksena oleva arvo järjestelmän 2. yhtälöön löytääksesi jäljellä olevan muuttujan.

Ratkaisumenetelmä ottamalla käyttöön uusi muuttuja

Uusi muuttuja voidaan ottaa käyttöön, jos järjestelmän on löydettävä ratkaisu enintään kahdelle yhtälölle, myös tuntemattomien lukumäärä saa olla enintään kaksi.

Menetelmää käytetään yksinkertaistamaan yhtä yhtälöistä ottamalla käyttöön uusi muuttuja. Uusi yhtälö ratkaistaan ​​syötetyn tuntemattoman suhteen ja saatua arvoa käytetään alkuperäisen muuttujan määrittämiseen.

Esimerkistä voidaan nähdä, että ottamalla käyttöön uusi muuttuja t oli mahdollista pelkistää järjestelmän 1. yhtälö standardineliötrinomiksi. Voit ratkaista polynomin etsimällä diskriminantin.

Diskriminantin arvo on löydettävä hyvin tunnetulla kaavalla: D = b2 - 4*a*c, missä D on haluttu diskriminantti, b, a, c ovat polynomin kertoimet. Annetussa esimerkissä a=1, b=16, c=39, joten D=100. Jos diskriminantti on suurempi kuin nolla, on olemassa kaksi ratkaisua: t = -b±√D / 2*a, jos diskriminantti on pienempi kuin nolla, niin ratkaisuja on vain yksi: x= -b / 2*a.

Ratkaisu syntyneille järjestelmille löydetään summausmenetelmällä.

Visuaalinen menetelmä järjestelmien ratkaisemiseen

Sopii järjestelmiin, joissa on 3 yhtälöä. Menetelmä koostuu kunkin järjestelmään sisältyvän yhtälön kuvaajien piirtämisestä koordinaattiakselille. Käyrien ja tulee leikkauspisteiden koordinaatit yhteinen ratkaisu järjestelmät.

Graafisessa menetelmässä on useita vivahteita. Harkitse useita esimerkkejä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisesta visuaalisella tavalla.

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, kullekin riville rakennettiin kaksi pistettä, muuttujan x arvot valittiin mielivaltaisesti: 0 ja 3. X:n arvojen perusteella löydettiin y:n arvot: 3 ja 0. Pisteet koordinaatilla (0, 3) ja (3, 0) merkittiin kuvaajaan ja yhdistettiin viivalla.

Vaiheet on toistettava toiselle yhtälölle. Viivojen leikkauspiste on järjestelmän ratkaisu.

Seuraavassa esimerkissä täytyy löytää graafinen ratkaisu lineaariyhtälöjärjestelmälle: 0.5x-y+2=0 ja 0.5x-y-1=0.

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, järjestelmällä ei ole ratkaisua, koska kuvaajat ovat yhdensuuntaisia ​​eivätkä leikkaa koko pituudeltaan.

Esimerkkien 2 ja 3 järjestelmät ovat samankaltaisia, mutta rakennettaessa käy ilmi, että niiden ratkaisut ovat erilaisia. On syytä muistaa, että aina ei voida sanoa, onko järjestelmällä ratkaisu vai ei, aina on tarpeen rakentaa graafi.

Matrix ja sen lajikkeet

Matriiseja käytetään lyhyesti lineaarisen yhtälöjärjestelmän kirjoittamiseen. Matriisi on erityinen numeroilla täytetty taulukko. n*m:ssä on n - riviä ja m - saraketta.

Matriisi on neliö, kun sarakkeiden ja rivien määrä on yhtä suuri. Matriisivektori on yksisarakkeinen matriisi, jossa on äärettömän mahdollinen määrä rivejä. Matriisia, jossa on yksiköitä pitkin diagonaalia ja muita nollaelementtejä, kutsutaan identiteetiksi.

Käänteismatriisi on sellainen matriisi, jolla kerrottuna alkuperäinen muuttuu yksikkömatriisiksi, tällainen matriisi on olemassa vain alkuperäiselle neliömäiselle.

Säännöt yhtälöjärjestelmän muuntamiseksi matriisiksi

Mitä tulee yhtälöjärjestelmiin, yhtälöiden kertoimet ja vapaat jäsenet kirjoitetaan matriisin numeroina, yksi yhtälö on yksi matriisin rivi.

Matriisiriviä kutsutaan nollasta poikkeavaksi, jos vähintään yksi rivin elementti ei ole yhtä suuri kuin nolla. Siksi, jos jossakin yhtälössä muuttujien lukumäärä vaihtelee, puuttuvan tuntemattoman tilalle on syötettävä nolla.

Matriisin sarakkeiden on vastattava tarkasti muuttujia. Tämä tarkoittaa, että muuttujan x kertoimet voidaan kirjoittaa vain yhteen sarakkeeseen, esimerkiksi ensimmäinen, tuntemattoman y:n kerroin - vain toiseen.

Kun matriisia kerrotaan, kaikki matriisin elementit kerrotaan peräkkäin luvulla.

Vaihtoehdot käänteismatriisin löytämiseksi

Käänteimatriisin löytämisen kaava on melko yksinkertainen: K -1 = 1 / |K|, missä K -1 on käänteimatriisi ja |K| - matriisideterminantti. |K| ei saa olla nolla, niin järjestelmällä on ratkaisu.

Determinantti on helppo laskea kaksi kertaa kaksi matriisille, tarvitsee vain kertoa alkiot diagonaalisesti toisillaan. "Kolme kertaa kolme" -vaihtoehdolle on kaava |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Voit käyttää kaavaa tai muistaa, että jokaiselta riviltä ja sarakkeelta on otettava yksi elementti, jotta elementtien sarake- ja rivinumerot eivät toistu tuotteessa.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien esimerkkien ratkaisu matriisimenetelmällä

Ratkaisun matriisimenetelmällä voidaan vähentää hankalia syötteitä ratkaistaessa järjestelmiä, joissa on suuri määrä muuttujia ja yhtälöitä.

Esimerkissä a nm ovat yhtälöiden kertoimet, matriisi on vektori x n ovat muuttujat ja b n ovat vapaita termejä.

Systeemien ratkaisu Gaussin menetelmällä

Korkeammassa matematiikassa Gauss-menetelmää tutkitaan yhdessä Cramer-menetelmän kanssa ja ratkaisun löytämistä järjestelmiin kutsutaan Gauss-Cramer-ratkaisumenetelmäksi. Näitä menetelmiä käytetään sellaisten järjestelmien muuttujien etsimiseen, joissa on suuri määrä lineaarisia yhtälöitä.

Gaussin menetelmä on hyvin samanlainen kuin substituutio- ja algebrallinen summausratkaisu, mutta on systemaattisempi. Koulukurssilla Gaussin ratkaisua käytetään 3 ja 4 yhtälöjärjestelmille. Menetelmän tarkoituksena on saada järjestelmä käänteisen puolisuunnikkaan muotoon. Algebrallisilla muunnoksilla ja substituutioilla löydetään yhden muuttujan arvo jostakin järjestelmän yhtälöistä. Toinen yhtälö on lauseke, jossa on 2 tuntematonta ja 3 ja 4 - vastaavasti 3 ja 4 muuttujaa.

Kun järjestelmä on saatettu kuvattuun muotoon, jatkoratkaisu pelkistetään tunnettujen muuttujien peräkkäiseen korvaamiseen järjestelmän yhtälöihin.

AT koulun oppikirjoja arvosanalle 7 kuvataan esimerkki ratkaisusta Gaussin menetelmällä seuraavasti:

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, vaiheessa (3) saatiin kaksi yhtälöä 3x3 -2x4 =11 ja 3x3 +2x4 =7. Minkä tahansa yhtälön ratkaisu antaa sinun selvittää yhden muuttujista x n.

Lause 5, joka on mainittu tekstissä, sanoo, että jos jokin järjestelmän yhtälöistä korvataan vastaavalla, niin tuloksena oleva järjestelmä on myös ekvivalentti alkuperäisen kanssa.

Gaussin menetelmää on opiskelijoiden vaikea ymmärtää lukio, mutta se on yksi mielenkiintoisimmista tavoista kehittää ohjelmaan osallistuvien lasten kekseliäisyyttä syvällinen tutkimus matematiikan ja fysiikan tunneilla.

Tallennuslaskelmien helpottamiseksi on tapana tehdä seuraavaa:

Yhtälökertoimet ja vapaat termit kirjoitetaan matriisin muotoon, jossa jokainen matriisin rivi vastaa yhtä järjestelmän yhtälöistä. erottaa yhtälön vasemman puolen oikeasta. Roomalaiset numerot osoittavat yhtälöiden numeroita järjestelmässä.

Ensin he kirjoittavat muistiin matriisin, jonka kanssa työskentelevät, ja sitten kaikki yhdellä rivillä suoritetut toimet. Tuloksena oleva matriisi kirjoitetaan "nuoli" -merkin jälkeen ja jatka tarvittavien algebrallisten toimintojen suorittamista, kunnes tulos saavutetaan.

Tämän seurauksena tulisi saada matriisi, jossa yksi diagonaaleista on 1 ja kaikki muut kertoimet ovat nolla, eli matriisi pelkistetään yhteen muotoon. Emme saa unohtaa tehdä laskelmia yhtälön kummankin puolen luvuilla.

Tämä merkintä on vähemmän hankala ja sallii lukuisten tuntemattomien luetteloimisen välttää häiritsevän huomion.

Minkä tahansa ratkaisumenetelmän ilmainen soveltaminen vaatii huolellisuutta ja jonkin verran kokemusta. Kaikkia menetelmiä ei käytetä. Jotkut tavat löytää ratkaisuja ovat parempia tietyllä ihmisen toiminnan alueella, kun taas toiset ovat olemassa oppimista varten.

Lineaariyhtälöjärjestelmät. Luento 6

Lineaariyhtälöjärjestelmät.

Peruskonseptit.

katselujärjestelmä

nimeltään järjestelmä - lineaariset yhtälöt tuntemattomilla.

Numeroita , , kutsutaan järjestelmän kertoimet.

Numeroita kutsutaan järjestelmän ilmaiset jäsenet, – järjestelmän muuttujat. Matriisi

nimeltään järjestelmän päämatriisi, ja matriisi

– laajennettu matriisijärjestelmä. Matriisit - sarakkeet

Ja vastaavasti järjestelmän vapaiden jäsenten ja tuntemattomien matriiseja. Sitten matriisimuodossa yhtälöjärjestelmä voidaan kirjoittaa muodossa . Järjestelmäratkaisu kutsutaan muuttujien arvoiksi, joita korvattaessa kaikki järjestelmän yhtälöt muuttuvat todellisiksi numeerisiksi yhtälöiksi. Mikä tahansa järjestelmän ratkaisu voidaan esittää matriisisarakkeena. Silloin matriisiyhtälö on totta.

Yhtälöjärjestelmä on ns liitos jos siinä on ainakin yksi ratkaisu ja yhteensopimaton jos siihen ei ole ratkaisua.

Lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen tarkoittaa sen selvittämistä, onko se yhteensopiva, ja jos se on yhteensopiva, sen yleisen ratkaisun löytämistä.

Järjestelmää kutsutaan homogeeninen jos kaikki sen vapaat ehdot ovat nolla. Homogeeninen järjestelmä on aina yhteensopiva, koska sillä on ratkaisu

Kronecker-Kopelli-lause.

Vastaus kysymykseen lineaaristen järjestelmien ratkaisujen olemassaolosta ja niiden ainutlaatuisuudesta antaa meille mahdollisuuden saada seuraava tulos, joka voidaan muotoilla seuraavina väittäminä lineaaristen yhtälöjen järjestelmästä, jossa on tuntemattomia

(1)

Lause 2. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä (1) on johdonmukainen silloin ja vain, jos päämatriisin järjestys on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin (.

Lause 3. Jos yhteisen lineaariyhtälöjärjestelmän päämatriisin arvo on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä, niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu.

Lause 4. Jos yhteisen järjestelmän päämatriisin arvo on pienempi kuin tuntemattomien lukumäärä, niin järjestelmällä on ääretön määrä ratkaisuja.

Säännöt järjestelmien ratkaisemiseksi.

3. Etsi päämuuttujien lauseke vapailla muuttujilla ja hanki järjestelmän yleinen ratkaisu.

4. Antamalla mielivaltaisia ​​arvoja vapaille muuttujille saadaan kaikki päämuuttujien arvot.

Menetelmiä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi.

Käänteismatriisimenetelmä.

ja eli järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu. Kirjoitamme järjestelmän matriisimuotoon

missä , , .

Kerro vasemmalla olevan matriisiyhtälön molemmat puolet matriisilla

Koska , Saamme , josta saamme tasa-arvon tuntemattomien löytämiseksi

Esimerkki 27. Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä käänteismatriisimenetelmällä

Ratkaisu. Merkitään järjestelmän päämatriisilla

.

Olkoon , niin löydämme ratkaisun kaavalla .

Lasketaan.

Siitä lähtien järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu. Etsi kaikki algebralliset lisäykset

, ,

, ,

, ,

, ,

Tällä tavalla

.

Tarkistetaan

.

Käänteinen matriisi löytyy oikein. Täältä löydät kaavan avulla muuttujien matriisin .

.

Vertaamalla matriisien arvoja saamme vastauksen: .

Cramerin menetelmä.

Olkoon lineaarinen yhtälöjärjestelmä tuntemattomien kanssa

ja eli järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu. Kirjoitamme järjestelmän ratkaisun matriisimuotoon tai

Merkitse

. . . . . . . . . . . . . . ,

Siten saamme kaavat tuntemattomien arvojen löytämiseksi, joita kutsutaan Cramerin kaavat.

Esimerkki 28. Ratkaise seuraava lineaarinen yhtälöjärjestelmä Cramerin menetelmällä .

Ratkaisu. Etsi järjestelmän päämatriisin determinantti

.

Siitä lähtien järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu.

Etsi jäljellä olevat determinantit Cramerin kaavoille

,

,

.

Cramerin kaavojen avulla löydämme muuttujien arvot

Gaussin menetelmä.

Menetelmä koostuu muuttujien peräkkäisestä poissulkemisesta.

Olkoon lineaarinen yhtälöjärjestelmä tuntemattomien kanssa.

Gaussin ratkaisuprosessi koostuu kahdesta vaiheesta:

Ensimmäisessä vaiheessa järjestelmän laajennettu matriisi pelkistetään vaiheittaiseen muotoon alkeismuunnosten avulla

,

missä , joka vastaa järjestelmää

Sen jälkeen muuttujat katsotaan vapaiksi ja ne siirretään jokaisessa yhtälössä oikea puoli.

Toisessa vaiheessa muuttuja ilmaistaan ​​viimeisestä yhtälöstä, saatu arvo korvataan yhtälöön. Tästä yhtälöstä

muuttuja ilmaistaan. Tämä prosessi jatkuu ensimmäiseen yhtälöön asti. Tuloksena on päämuuttujien lauseke vapaina muuttujina .

Esimerkki 29. Ratkaise seuraava järjestelmä Gaussin menetelmällä

Ratkaisu. Kirjoitetaan järjestelmän laajennettu matriisi ja pelkistetään se askelmuotoon

.

Koska on suurempi kuin tuntemattomien lukumäärä, niin järjestelmä on yhteensopiva ja sillä on ääretön määrä ratkaisuja. Kirjataan ylös askelmatriisin järjestelmä

Tämän järjestelmän laajennetun matriisin, joka koostuu kolmesta ensimmäisestä sarakkeesta, determinantti ei ole yhtä suuri kuin nolla, joten pidämme sitä perusarvona. Muuttujat

On perus ja muuttuja on ilmainen. Siirretään se kaikissa yhtälöissä vasemmalle puolelle

Viimeisestä yhtälöstä ilmaisemme

Korvaamalla tämän arvon toiseksi viimeiseen yhtälöön, saamme

missä . Korvaamalla muuttujien arvot ensimmäiseen yhtälöön, löydämme . Kirjoitamme vastauksen seuraavaan muotoon

Lineaarinen yhtälöjärjestelmä on n lineaarisen yhtälön liitto, joista jokainen sisältää k muuttujaa. Se on kirjoitettu näin:

Monet, kun he kohtaavat korkeamman algebran ensimmäistä kertaa, uskovat virheellisesti, että yhtälöiden lukumäärän on välttämättä oltava sama kuin muuttujien lukumäärä. Koulualgebrassa näin yleensä on, mutta korkeamman algebran kohdalla tämä ei yleisesti ottaen pidä paikkaansa.

Yhtälöjärjestelmän ratkaisu on lukujono (k 1 , k 2 , ..., k n ), joka on ratkaisu järjestelmän jokaiselle yhtälölle, ts. kun tähän yhtälöön korvataan muuttujien x 1 , x 2 , ..., x n sijaan, saadaan oikea numeerinen yhtälö.

Vastaavasti yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen tarkoittaa kaikkien sen ratkaisujen joukon löytämistä tai sen osoittamista, että tämä joukko on tyhjä. Koska yhtälöiden määrä ja tuntemattomien määrä eivät välttämättä ole samat, kolme tapausta on mahdollista:

1. Järjestelmä on epäjohdonmukainen, ts. kaikkien ratkaisujen joukko on tyhjä. Melko harvinainen tapaus, joka havaitaan helposti riippumatta siitä, millä menetelmällä järjestelmä ratkaistaan.
2. Järjestelmä on johdonmukainen ja määritelty, ts. on täsmälleen yksi ratkaisu. Klassinen versio, tunnettu koulusta asti.
3. Järjestelmä on johdonmukainen ja määrittelemätön, ts. on äärettömän monta ratkaisua. Tämä on vaikein vaihtoehto. Ei riitä, että todetaan, että "järjestelmällä on ääretön joukko ratkaisuja" - on tarpeen kuvata, kuinka tämä joukko on järjestetty.

Muuttujaa x i kutsutaan sallituksi, jos se sisältyy vain yhteen järjestelmän yhtälöön ja kertoimella 1. Toisin sanoen, muissa yhtälöissä muuttujan x i kertoimen on oltava nolla.

Jos valitsemme kustakin yhtälöstä yhden sallitun muuttujan, saamme joukon sallittuja muuttujia koko yhtälöjärjestelmälle. Itse järjestelmää, joka on kirjoitettu tähän muotoon, kutsutaan myös sallituksi. Yleisesti ottaen yksi ja sama alkujärjestelmä voidaan pelkistää erilaisiksi sallituiksi järjestelmiksi, mutta tämä ei nyt koske meitä. Tässä on esimerkkejä sallituista järjestelmistä:

Molemmat järjestelmät ovat sallittuja muuttujien x 1 , x 3 ja x 4 suhteen . Samalla menestyksellä voidaan kuitenkin väittää, että toinen järjestelmä on sallittu x1:n, x3:n ja x5:n suhteen. Riittää, kun uusin yhtälö kirjoitetaan uudelleen muotoon x 5 = x 4 .

Mieti nyt lisää yleinen tapaus. Oletetaan, että meillä on yhteensä k muuttujaa, joista r on sallittu. Sitten kaksi tapausta on mahdollista:

1. Sallittujen muuttujien lukumäärä r on yhtä suuri kuin muuttujien kokonaismäärä k: r = k. Saadaan k yhtälöjärjestelmä, jossa r = k sallittua muuttujaa. Tällainen järjestelmä on yhteistyökykyinen ja määrätietoinen, koska x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
2. Sallittujen muuttujien lukumäärä r on pienempi kuin muuttujien kokonaismäärä k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Joten yllä olevissa järjestelmissä muuttujat x 2 , x 5 , x 6 (ensimmäiselle järjestelmälle) ja x 2 , x 5 (toiselle) ovat vapaita. Tapaus, jossa on vapaita muuttujia, on parempi muotoilla lauseena:

Huomaa: tämä on erittäin tärkeä pointti! Riippuen siitä, miten kirjoitat lopullisen järjestelmän, sama muuttuja voi olla sekä sallittu että vapaa. Useimmat edistyneemmät matematiikan opettajat suosittelevat muuttujien kirjoittamista leksikografisessa järjestyksessä, ts. nouseva indeksi. Sinun ei kuitenkaan tarvitse noudattaa tätä neuvoa ollenkaan.

Lause. Jos n yhtälöjärjestelmässä muuttujat x 1 , x 2 , ..., x r ovat sallittuja ja x r + 1 , x r + 2 , ..., x k ovat vapaita, niin:

1. Jos asetamme vapaiden muuttujien arvot (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), ja etsimme sitten arvot x 1 , x 2 , . .., x r , saamme yhden ratkaisuista.
2. Jos kahdessa ratkaisussa vapaiden muuttujien arvot ovat samat, niin myös sallittujen muuttujien arvot ovat samat, ts. ratkaisut ovat tasa-arvoisia.

Mikä tämän lauseen merkitys on? Sallitun yhtälöjärjestelmän kaikkien ratkaisujen saamiseksi riittää, että erotetaan vapaat muuttujat. Sitten määritetään vapaat muuttujat erilaisia ​​merkityksiä, saamme avaimet käteen -ratkaisut. Siinä kaikki - tällä tavalla saat kaikki järjestelmän ratkaisut. Muita ratkaisuja ei ole.

Johtopäätös: sallittu yhtälöjärjestelmä on aina yhteensopiva. Jos yhtälöiden lukumäärä sallitussa järjestelmässä on yhtä suuri kuin muuttujien lukumäärä, järjestelmä on määrällinen, jos vähemmän, se on määrittelemätön.

Ja kaikki olisi hyvin, mutta herää kysymys: kuinka saada ratkaistu alkuperäisestä yhtälöjärjestelmästä? Tätä varten on

Oppitunnin sisältö

Lineaariset yhtälöt kahdella muuttujalla

Oppilaalla on 200 ruplaa koululounasta varten. Kakku maksaa 25 ruplaa ja kuppi kahvia 10 ruplaa. Kuinka monta kakkua ja kuppia kahvia voi ostaa 200 ruplalla?

Merkitse läpi kakkujen lukumäärä x ja kahvikuppien määrä y. Sitten kakkujen hinta merkitään lausekkeella 25 x, ja kahvikuppien hinta 10:ssä y .

25x- hinta x kakut
10y- hinta y kupit kahvia

Kokonaissumman tulee olla 200 ruplaa. Sitten saadaan yhtälö, jossa on kaksi muuttujaa x ja y

25x+ 10y= 200

Kuinka monta juuria tällä yhtälöllä on?

Kaikki riippuu opiskelijan ruokahalusta. Jos hän ostaa 6 kakkua ja 5 kupillista kahvia, yhtälön juuret ovat luvut 6 ja 5.

Arvojen 6 ja 5 parin sanotaan olevan yhtälön 25 juuret x+ 10y= 200. Kirjoitetaan muodossa (6; 5) , jolloin ensimmäinen numero on muuttujan arvo x, ja toinen - muuttujan arvo y .

6 ja 5 eivät ole ainoita juuria, jotka kääntävät yhtälön 25 x+ 10y= 200 identiteettiin. Halutessaan opiskelija voi ostaa samalla 200 ruplalla 4 kakkua ja 10 kuppia kahvia:

Tässä tapauksessa yhtälön 25 juuret x+ 10y= 200 on arvojen pari (4; 10) .

Lisäksi opiskelija ei voi ostaa kahvia ollenkaan, mutta ostaa kakkuja kaikilla 200 ruplalla. Sitten yhtälön 25 juuret x+ 10y= 200 ovat arvot 8 ja 0

Tai päinvastoin, älä osta kakkuja, vaan osta kahvia kaikilla 200 ruplalla. Sitten yhtälön 25 juuret x+ 10y= 200 ovat arvot 0 ja 20

Yritetään luetella kaikki yhtälön 25 mahdolliset juuret x+ 10y= 200. Olkaamme samaa mieltä siitä, että arvot x ja y kuuluvat kokonaislukujen joukkoon. Ja olkoon näiden arvojen suurempi tai yhtä suuri kuin nolla:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Joten se on kätevä opiskelijalle itselleen. On helpompi ostaa kakut kokonaisina kuin esimerkiksi useita kokonaisia ​​kakkuja ja puolikas kakku. On myös mukavampaa ottaa kahvi kokonaisina kuppeina kuin esimerkiksi useita kokonaisia ​​kuppeja ja puoli kuppia.

Huomaa, että outoa x on mahdotonta saavuttaa tasa-arvoa minkään kanssa y. Sitten arvot x siellä on seuraavat luvut 0, 2, 4, 6, 8. Ja tietäen x voidaan määrittää helposti y

Näin ollen saimme seuraavat arvoparit (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Nämä parit ovat yhtälön 25 ratkaisuja tai juuria x+ 10y= 200. He muuttavat tämän yhtälön identiteetiksi.

Tyyppiyhtälö ax + by = c nimeltään lineaarinen yhtälö kahdella muuttujalla. Tämän yhtälön ratkaisu tai juuret on arvopari ( x; y), mikä muuttaa sen identiteetiksi.

Huomaa myös, että jos lineaarinen yhtälö, jossa on kaksi muuttujaa, kirjoitetaan muodossa ax + b y = c , sitten he sanovat, että se on kirjoitettu kanoninen(normaali) muoto.

Jotkut lineaariset yhtälöt kahdessa muuttujassa voidaan pelkistää kanoniseen muotoon.

Esimerkiksi yhtälö 2(16x+ 3y- 4) = 2(12 + 8x − y) voidaan tuoda mieleen ax + by = c. Avataan sulut tämän yhtälön molemmissa osissa, saamme 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Tuntemattomia sisältävät termit on ryhmitelty yhtälön vasemmalle puolelle ja tuntemattomista vapaat termit oikealle. Sitten saamme 32x - 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Tuomme samanlaiset termit molempiin osiin, saamme yhtälön 16 x+ 8y= 32. Tämä yhtälö pelkistetään muotoon ax + by = c ja on kanoninen.

Aikaisemmin tarkasteltu yhtälö 25 x+ 10y= 200 on myös kaksimuuttujainen lineaarinen yhtälö kanonisessa muodossa. Tässä yhtälössä parametrit a , b ja c ovat samat kuin arvot 25, 10 ja 200.

Itse asiassa yhtälö ax + by = c on ääretön määrä ratkaisuja. Yhtälön ratkaiseminen 25x+ 10y= 200, etsimme sen juuria vain kokonaislukujoukosta. Tuloksena saimme useita arvopareja, jotka muuttivat tämän yhtälön identiteetiksi. Mutta rationaalisten lukujen joukossa yhtälö 25 x+ 10y= 200:lla on ääretön määrä ratkaisuja.

Saadaksesi uusia arvopareja, sinun on otettava mielivaltainen arvo x, sitten ilmaista y. Otetaan esimerkiksi muuttuja x arvo 7. Sitten saadaan yhtälö, jossa on yksi muuttuja 25×7 + 10y= 200 jossa ilmaista y

Päästää x= 15. Sitten yhtälö 25x+ 10y= 200 muuttuu 25 × 15:ksi + 10y= 200. Täältä löydämme sen y = −17,5

Päästää x= -3. Sitten yhtälö 25x+ 10y= 200 muuttuu 25 × (−3) + 10y= 200. Täältä löydämme sen y = −27,5

Kahden lineaarisen yhtälön järjestelmä kahdella muuttujalla

Yhtälölle ax + by = c voit ottaa minkä tahansa määrän mielivaltaisia ​​arvoja x ja löytää arvot y. Erikseen otettuna tällaisella yhtälöllä on ääretön määrä ratkaisuja.

Mutta myös tapahtuu, että muuttujat x ja y ei yhdistetty yhdellä, vaan kahdella yhtälöllä. Tässä tapauksessa ne muodostavat ns lineaarinen yhtälöjärjestelmä kahdella muuttujalla. Tällaisella yhtälöjärjestelmällä voi olla yksi arvopari (tai toisin sanoen: "yksi ratkaisu").

Voi myös käydä niin, ettei järjestelmällä ole ratkaisuja ollenkaan. Lineaariyhtälöjärjestelmällä voi olla ääretön määrä ratkaisuja harvinaisissa ja poikkeuksellisissa tapauksissa.

Kaksi lineaarista yhtälöä muodostavat järjestelmän, kun arvot x ja y sisältyvät jokaiseen näistä yhtälöistä.

Palataanpa aivan ensimmäiseen yhtälöön 25 x+ 10y= 200. Yksi tämän yhtälön arvopareista oli pari (6; 5) . Näin on, kun 200 ruplalla voisi ostaa 6 kakkua ja 5 kuppia kahvia.

Teemme tehtävän niin, että parista (6; 5) tulee yhtälön 25 ainoa ratkaisu x+ 10y= 200. Tätä varten laadimme toisen yhtälön, joka yhdistäisi saman x kakut ja y kupit kahvia.

Laitetaan tehtävän teksti seuraavasti:

”Koulupoika osti useita kakkuja ja useita kupillisia kahvia 200 ruplalla. Kakku maksaa 25 ruplaa ja kuppi kahvia 10 ruplaa. Kuinka monta kakkua ja kuppia kahvia opiskelija osti, jos tiedetään, että kakkuja on yksi enemmän kuin kupillisia kahvia?

Meillä on jo ensimmäinen yhtälö. Tämä on yhtälö 25 x+ 10y= 200. Nyt kirjoitetaan yhtälö ehdolle "kakkujen määrä on yksi yksikkö enemmän kuin kahvikuppien määrä" .

Kakkujen määrä on x, ja kahvikuppien määrä on y. Voit kirjoittaa tämän lauseen yhtälön avulla x − y= 1. Tämä yhtälö tarkoittaisi, että kakkujen ja kahvin välinen ero on 1.

x=y+ 1. Tämä yhtälö tarkoittaa, että kakkujen määrä on yksi enemmän kuin kahvikuppien määrä. Siksi tasa-arvon saavuttamiseksi kahvikuppien määrään lisätään yksi. Tämä voidaan helposti ymmärtää, jos käytämme painomallia, jota harkitsimme tutkiessamme yksinkertaisimpia ongelmia:

Saatiin kaksi yhtälöä: 25 x+ 10y= 200 ja x=y+ 1. Koska arvot x ja y, nimittäin 6 ja 5 sisältyvät jokaiseen näistä yhtälöistä, niin ne yhdessä muodostavat järjestelmän. Kirjoitetaan tämä järjestelmä ylös. Jos yhtälöt muodostavat järjestelmän, ne kehystetään järjestelmän etumerkillä. Järjestelmämerkki on kihara aaltosulje:

Päätetään tämä järjestelmä. Tämä antaa meille mahdollisuuden nähdä, kuinka saavutamme arvot 6 ja 5. Tällaisten järjestelmien ratkaisemiseen on monia menetelmiä. Harkitse niistä suosituimpia.

Korvausmenetelmä

Tämän menetelmän nimi puhuu puolestaan. Sen olemus on korvata yhtälö toisella, kun se on aiemmin ilmaissut yhden muuttujista.

Meidän järjestelmässämme ei tarvitse ilmaista mitään. Toisessa yhtälössä x = y+ 1 muuttuja x jo ilmaistu. Tämä muuttuja on yhtä suuri kuin lauseke y+ 1. Sitten voit korvata tämän lausekkeen ensimmäisessä yhtälössä muuttujan sijaan x

Ilmaisun korvaamisen jälkeen y+ 1 ensimmäiseen yhtälöön sen sijaan x, saamme yhtälön 25(y+ 1) + 10y= 200 . Tämä on lineaarinen yhtälö, jossa on yksi muuttuja. Tämä yhtälö on melko helppo ratkaista:

Löysimme muuttujan arvon y. Nyt korvaamme tämän arvon johonkin yhtälöstä ja löydämme arvon x. Tätä varten on kätevää käyttää toista yhtälöä x = y+ 1. Laitetaan arvo siihen y

Joten pari (6; 5) on ratkaisu yhtälöjärjestelmään, kuten tarkoitimme. Tarkistamme ja varmistamme, että pari (6; 5) täyttää järjestelmän:

Esimerkki 2

Korvaa ensimmäinen yhtälö x= 2 + y toiseen yhtälöön 3 x - 2y= 9. Ensimmäisessä yhtälössä muuttuja x on yhtä suuri kuin lauseke 2 + y. Korvaamme tämän lausekkeen toiseen yhtälöön sen sijaan x

Etsitään nyt arvo x. Voit tehdä tämän korvaamalla arvon y ensimmäiseen yhtälöön x= 2 + y

Joten järjestelmän ratkaisu on parin arvo (5; 3)

Esimerkki 3. Ratkaise seuraava yhtälöjärjestelmä korvausmenetelmällä:

Tässä, toisin kuin edellisissä esimerkeissä, yhtä muuttujista ei ole eksplisiittisesti ilmaistu.

Korvaaksesi yhtälön toisella, tarvitset ensin .

On toivottavaa ilmaista muuttuja, jonka kerroin on yksi. Kertoimen yksikössä on muuttuja x, joka sisältyy ensimmäiseen yhtälöön x+ 2y= 11. Ilmaistaan ​​tämä muuttuja.

Muuttuvan lausekkeen jälkeen x, järjestelmämme näyttää tältä:

Nyt korvaamme ensimmäisen yhtälön toisella ja löydämme arvon y

Korvaava y x

Joten järjestelmän ratkaisu on arvojen pari (3; 4)

Voit tietysti myös ilmaista muuttujan y. Juuret eivät muutu. Mutta jos ilmaiset y, tuloksena ei ole kovin yksinkertainen yhtälö, jonka ratkaiseminen vie enemmän aikaa. Se näyttää tältä:

Näemme sen tässä esimerkissä ilmaista x paljon kätevämpää kuin ilmaiseminen y .

Esimerkki 4. Ratkaise seuraava yhtälöjärjestelmä korvausmenetelmällä:

Ilmaise ensimmäisessä yhtälössä x. Sitten järjestelmä saa muodon:

y

Korvaava y ensimmäiseen yhtälöön ja löydä x. Voit käyttää alkuperäistä yhtälöä 7 x+ 9y= 8 tai käytä yhtälöä, jossa muuttuja ilmaistaan x. Käytämme tätä yhtälöä, koska se on kätevä:

Joten järjestelmän ratkaisu on arvopari (5; −3)

Lisäysmenetelmä

Yhteenlaskumenetelmä on lisätä termi kerrallaan järjestelmään sisältyvät yhtälöt. Tämä summaus johtaa uuteen yhden muuttujan yhtälöön. Ja tämä yhtälö on melko helppo ratkaista.

Ratkaistaan ​​seuraava yhtälöjärjestelmä:

Lisää ensimmäisen yhtälön vasen puoli toisen yhtälön vasemmalle puolelle. Ja ensimmäisen yhtälön oikea puoli toisen yhtälön oikean puolen kanssa. Saamme seuraavan tasa-arvon:

Tässä on samanlaisia ​​termejä:

Tuloksena saimme yksinkertaisimman yhtälön 3 x= 27 jonka juuri on 9. Arvon tunteminen x voit löytää arvon y. Korvaa arvo x toiseen yhtälöön x − y= 3. Saamme 9 − y= 3. Täältä y= 6 .

Joten järjestelmän ratkaisu on arvojen pari (9; 6)

Esimerkki 2

Lisää ensimmäisen yhtälön vasen puoli toisen yhtälön vasemmalle puolelle. Ja ensimmäisen yhtälön oikea puoli toisen yhtälön oikean puolen kanssa. Tuloksena olevassa tasa-arvossa esitämme samankaltaiset termit:

Tuloksena saimme yksinkertaisimman yhtälön 5 x= 20, jonka juuri on 4. Arvon tunteminen x voit löytää arvon y. Korvaa arvo x ensimmäiseen yhtälöön 2 x+y= 11. Otetaan 8+ y= 11. Täältä y= 3 .

Joten järjestelmän ratkaisu on arvopari (4;3)

Lisäysprosessia ei kuvata yksityiskohtaisesti. Se on tehtävä mielessä. Kun lisäät, molemmat yhtälöt on pelkistettävä kanoniseen muotoon. Tarkoittaen ac+by=c .

Tarkastetuista esimerkeistä voidaan nähdä, että yhtälöiden lisäämisen päätavoite on päästä eroon yhdestä muuttujasta. Mutta yhtälöjärjestelmää ei aina ole mahdollista ratkaista välittömästi summausmenetelmällä. Useimmiten järjestelmä saatetaan alustavasti sellaiseen muotoon, jossa on mahdollista lisätä tähän järjestelmään sisältyvät yhtälöt.

Esimerkiksi järjestelmä voidaan ratkaista suoraan lisäysmenetelmällä. Kun lisäät molemmat yhtälöt, termit y ja −y katoavat, koska niiden summa on nolla. Tuloksena muodostuu yksinkertaisin yhtälö 11 x= 22 , jonka juuri on 2. Silloin on mahdollista määrittää y yhtä suuri kuin 5.

Ja yhtälöjärjestelmä summausmenetelmää ei voida ratkaista heti, koska se ei johda yhden muuttujan katoamiseen. Lisäys johtaa yhtälöön 8 x+ y= 28 , jolla on ääretön määrä ratkaisuja.

Jos yhtälön molemmat osat kerrotaan tai jaetaan samalla luvulla, joka ei ole nolla, saadaan yhtälö, joka vastaa annettua yhtälöä. Tämä sääntö pätee myös lineaarisille yhtälöille, joissa on kaksi muuttujaa. Toinen yhtälöistä (tai molemmat yhtälöt) voidaan kertoa jollakin luvulla. Tuloksena on vastaava järjestelmä, jonka juuret ovat samat kuin edellisen.

Palataan aivan ensimmäiseen järjestelmään, jossa kuvattiin kuinka monta kakkua ja kuppia kahvia opiskelija osti. Tämän järjestelmän ratkaisu oli arvopari (6; 5) .

Kerromme molemmat tähän järjestelmään sisältyvät yhtälöt joillakin luvuilla. Oletetaan, että kerromme ensimmäisen yhtälön 2:lla ja toisen 3:lla

Tuloksena on järjestelmä
Ratkaisu tähän järjestelmään on edelleen arvopari (6; 5)

Tämä tarkoittaa, että järjestelmään sisältyvät yhtälöt voidaan pelkistää summausmenetelmän soveltamiseen sopivaan muotoon.

Takaisin järjestelmään , jota emme voineet ratkaista summausmenetelmällä.

Kerro ensimmäinen yhtälö 6:lla ja toinen -2:lla

Sitten saamme seuraavan järjestelmän:

Lisäämme tähän järjestelmään sisältyvät yhtälöt. Komponenttien lisäys 12 x ja -12 x tuloksena on 0, lisäys 18 y ja 4 y antaa 22 y, ja lisäämällä 108 ja −20 saadaan 88. Sitten saadaan yhtälö 22 y= 88, siis y = 4 .

Jos yhtälöiden lisääminen on aluksi vaikeaa mielessäsi, voit kirjoittaa ylös, kuinka ensimmäisen yhtälön vasen puoli lisätään toisen yhtälön vasempaan puolelle ja ensimmäisen yhtälön oikea puoli toinen yhtälö:

Tietäen, että muuttujan arvo y on 4, löydät arvon x. Korvaava y johonkin yhtälöstä, esimerkiksi ensimmäiseen yhtälöön 2 x+ 3y= 18. Sitten saamme yhtälön yhdellä muuttujalla 2 x+ 12 = 18 . Siirrämme 12 oikealle vaihtamalla merkkiä, saamme 2 x= 6, siis x = 3 .

Esimerkki 4. Ratkaise seuraava yhtälöjärjestelmä summausmenetelmällä:

Kerro toinen yhtälö −1:llä. Sitten järjestelmä saa seuraavan muodon:

Lisätään molemmat yhtälöt. Komponenttien lisäys x ja −x tuloksena on 0, lisäys 5 y ja 3 y antaa 8 y, ja lisäämällä 7 ja 1 saadaan 8. Tuloksena on yhtälö 8 y= 8 , jonka juuri on 1. Tietäen, että arvo y on 1, voit löytää arvon x .

Korvaava y ensimmäiseen yhtälöön, saamme x+5 = 7, siis x= 2

Esimerkki 5. Ratkaise seuraava yhtälöjärjestelmä summausmenetelmällä:

On toivottavaa, että samat muuttujat sisältävät termit sijaitsevat toistensa alla. Siksi toisessa yhtälössä termit 5 y ja −2 x vaihtaa paikkaa. Tämän seurauksena järjestelmä saa muotoa:

Kerro toinen yhtälö kolmella. Sitten järjestelmä saa muodon:

Lisätään nyt molemmat yhtälöt. Summauksen tuloksena saamme yhtälön 8 y= 16 , jonka juuri on 2.

Korvaava y ensimmäiseen yhtälöön, saamme 6 x− 14 = 40 . Siirrämme termin −14 oikealle vaihtamalla merkkiä, saamme 6 x= 54. Täältä x= 9.

Esimerkki 6. Ratkaise seuraava yhtälöjärjestelmä summausmenetelmällä:

Päästään eroon murtoluvuista. Kerro ensimmäinen yhtälö 36:lla ja toinen 12:lla

Tuloksena syntyvässä järjestelmässä ensimmäinen yhtälö voidaan kertoa −5:llä ja toinen 8:lla

Lisätään yhtälöt tuloksena olevaan järjestelmään. Sitten saadaan yksinkertaisin yhtälö −13 y= -156 . Täältä y= 12. Korvaava y ensimmäiseen yhtälöön ja löydä x

Esimerkki 7. Ratkaise seuraava yhtälöjärjestelmä summausmenetelmällä:

Tuomme molemmat yhtälöt normaalimuotoon. Tässä on kätevää soveltaa suhteellisuussääntöä molemmissa yhtälöissä. Jos ensimmäisessä yhtälössä oikea puoli esitetään muodossa , ja toisen yhtälön oikea puoli on , niin järjestelmä saa muodon:

Meillä on suhde. Kerromme sen ääri- ja keskitermit. Sitten järjestelmä saa muodon:

Kerrotaan ensimmäinen yhtälö −3:lla ja avataan sulut toisessa:

Lisätään nyt molemmat yhtälöt. Näiden yhtälöiden lisäämisen tuloksena saamme yhtälön, jonka molemmissa osissa on nolla:

Osoittautuu, että järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja.

Mutta emme voi vain ottaa mielivaltaisia ​​arvoja taivaalta x ja y. Voimme määrittää yhden arvoista, ja toinen määritetään määrittämämme arvon mukaan. Esimerkiksi anna x= 2. Korvaa tämä arvo järjestelmään:

Yhden yhtälön ratkaisemisen seurauksena arvo for y, joka täyttää molemmat yhtälöt:

Tuloksena oleva arvopari (2; −2) täyttää järjestelmän:

Etsitään toinen arvopari. Päästää x= 4. Korvaa tämä arvo järjestelmään:

Se voidaan määrittää silmällä y on yhtä kuin nolla. Sitten saamme arvoparin (4; 0), joka täyttää järjestelmämme:

Esimerkki 8. Ratkaise seuraava yhtälöjärjestelmä summausmenetelmällä:

Kerro ensimmäinen yhtälö 6:lla ja toinen 12:lla

Kirjoitetaan uudelleen, mitä on jäljellä:

Kerro ensimmäinen yhtälö −1:llä. Sitten järjestelmä saa muodon:

Lisätään nyt molemmat yhtälöt. Summauksen tuloksena muodostuu yhtälö 6 b= 48 , jonka juuri on 8. Korvaa b ensimmäiseen yhtälöön ja löydä a

Lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jossa on kolme muuttujaa

Lineaarinen yhtälö, jossa on kolme muuttujaa, sisältää kolme muuttujaa kertoimilla sekä leikkauspisteen. Kanonisessa muodossa se voidaan kirjoittaa seuraavasti:

ax + by + cz = d

Tällä yhtälöllä on ääretön määrä ratkaisuja. Antaa kaksi muuttujaa erilaisia ​​merkityksiä, löydät kolmannen arvon. Ratkaisu tässä tapauksessa on arvojen kolminkertainen ( x; y; z), joka muuttaa yhtälön identiteetiksi.

Jos muuttujia x, y, z on yhdistetty kolmella yhtälöllä, niin muodostuu kolmen lineaarisen yhtälön järjestelmä, jossa on kolme muuttujaa. Sellaisen järjestelmän ratkaisemiseksi voit käyttää samoja menetelmiä kuin lineaarisissa yhtälöissä, joissa on kaksi muuttujaa: korvausmenetelmä ja summausmenetelmä.

Esimerkki 1. Ratkaise seuraava yhtälöjärjestelmä korvausmenetelmällä:

Ilmaisemme kolmannessa yhtälössä x. Sitten järjestelmä saa muodon:

Tehdään nyt vaihto. Muuttuva x on yhtä suuri kuin lauseke 3 − 2y − 2z . Korvaa tämä lauseke ensimmäiseen ja toiseen yhtälöön:

Avataan molempien yhtälöiden sulut ja annetaan vastaavat termit:

Olemme päässeet lineaariseen yhtälöjärjestelmään, jossa on kaksi muuttujaa. Tässä tapauksessa on kätevää käyttää lisäysmenetelmää. Tämän seurauksena muuttuja y katoaa ja voimme löytää muuttujan arvon z

Etsitään nyt arvo y. Tätä varten on kätevää käyttää yhtälöä − y+ z= 4. Korvaa arvo z

Etsitään nyt arvo x. Tätä varten on kätevää käyttää yhtälöä x= 3 − 2y − 2z . Korvaa arvot siihen y ja z

Siten arvojen kolmoisosa (3; −2; 2) on ratkaisu järjestelmäämme. Tarkistamalla varmistamme, että nämä arvot täyttävät järjestelmän:

Esimerkki 2. Ratkaise järjestelmä summausmenetelmällä

Lisätään ensimmäinen yhtälö ja toinen kerrottuna −2:lla.

Jos toinen yhtälö kerrotaan -2:lla, se saa muodon −6x+ 6y- 4z = −4 . Lisää se nyt ensimmäiseen yhtälöön:

Näemme, että alkeismuunnosten tuloksena muuttujan arvo määritettiin x. Se on yhtä suuri kuin yksi.

Palataan pääjärjestelmään. Lisätään toinen yhtälö kolmanteen kerrottuna −1:llä. Jos kolmas yhtälö kerrotaan −1:llä, se saa muodon −4x + 5y − 2z = −1 . Lisää se nyt toiseen yhtälöön:

Selvisi yhtälö x - 2y= -1. Korvaa arvo siihen x jonka löysimme aiemmin. Sitten voimme määrittää arvon y

Nyt tunnemme arvot x ja y. Tämän avulla voit määrittää arvon z. Käytämme yhtä järjestelmään sisältyvistä yhtälöistä:

Siten arvojen kolmoisosa (1; 1; 1) on ratkaisu järjestelmäämme. Tarkistamalla varmistamme, että nämä arvot täyttävät järjestelmän:

Tehtävät lineaaristen yhtälöjärjestelmien laatimiseen

Yhtälöjärjestelmien laatimistehtävä ratkaistaan ​​ottamalla käyttöön useita muuttujia. Seuraavaksi laaditaan yhtälöt tehtävän ehtojen perusteella. Käännetyistä yhtälöistä ne muodostavat järjestelmän ja ratkaisevat sen. Kun järjestelmä on ratkaistu, on tarpeen tarkistaa, täyttääkö sen ratkaisu ongelman ehdot.

Tehtävä 1. Volga-auto lähti kaupungista kolhoosiin. Hän palasi takaisin toista tietä, joka oli 5 km lyhyempi kuin ensimmäinen. Yhteensä autolla ajettiin 35 km molempiin suuntiin. Kuinka monta kilometriä kukin tie on pitkä?

Ratkaisu

Päästää x- ensimmäisen tien pituus, y- toisen pituus. Jos auto ajoi 35 km molempiin suuntiin, niin ensimmäinen yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa x+ y= 35. Tämä yhtälö kuvaa molempien teiden pituuksien summaa.

Auton kerrotaan palaavan takaisin tietä, joka oli 5 km lyhyempi kuin ensimmäinen. Sitten toinen yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa x− y= 5. Tämä yhtälö osoittaa, että teiden pituuksien ero on 5 km.

Tai toinen yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa x= y+ 5. Käytämme tätä yhtälöä.

Koska muuttujat x ja y molemmissa yhtälöissä merkitsevät samaa numeroa, niin voimme muodostaa niistä järjestelmän:

Ratkaistaan ​​tämä järjestelmä jollakin aiemmin tutkituista menetelmistä. Tässä tapauksessa on kätevää käyttää korvausmenetelmää, koska toisessa yhtälössä muuttuja x jo ilmaistu.

Korvaa toinen yhtälö ensimmäisellä ja etsi y

Korvaa löydetty arvo y toiseen yhtälöön x= y+ 5 ja löydä x

Ensimmäisen tien pituus merkittiin muuttujalla x. Nyt olemme löytäneet sen merkityksen. Muuttuva x on 20. Ensimmäisen tien pituus on siis 20 km.

Ja toisen tien pituus osoitti y. Tämän muuttujan arvo on 15. Toisen tien pituus on siis 15 km.

Tehdään tarkistus. Varmista ensin, että järjestelmä on ratkaistu oikein:

Tarkastetaan nyt, täyttääkö ratkaisu (20; 15) ongelman ehdot.

Autolla kerrottiin ajaneen yhteensä 35 km molempiin suuntiin. Laskemme yhteen molempien teiden pituudet ja varmistamme, että ratkaisu (20; 15) täyttää tämän ehdon: 20 km + 15 km = 35 km

Seuraava ehto: auto palasi takaisin toista tietä, joka oli 5 km lyhyempi kuin ensimmäinen . Näemme, että ratkaisu (20; 15) myös täyttää tämän ehdon, koska 15 km on lyhyempi kuin 20 km x 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Järjestelmää laadittaessa on tärkeää, että muuttujat merkitsevät samoja lukuja kaikissa tähän järjestelmään sisältyvissä yhtälöissä.

Joten järjestelmämme sisältää kaksi yhtälöä. Nämä yhtälöt puolestaan ​​sisältävät muuttujat x ja y, jotka merkitsevät samoja numeroita molemmissa yhtälöissä, nimittäin teiden pituuksia 20 km ja 15 km.

Tehtävä 2. Lavalle lastattiin tammi- ja mänty ratapölkyjä, yhteensä 300 ratapölkkyä. Tiedetään, että kaikki tammi ratapölkyt painoivat 1 tonnin vähemmän kuin kaikki mänty ratapölkyt. Selvitä kuinka monta tammi- ja mänty ratapölkkyjä oli erikseen, jos jokainen tammi ratapölkky painoi 46 kg ja kukin mänty ratapölkky 28 kg.

Ratkaisu

Päästää x tammi ja y mänty ratapölkyt lastattiin laiturille. Jos ratapölkyjä oli yhteensä 300, niin ensimmäinen yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa x+y = 300 .

Kaikki tammi ratapölkyt painoivat 46 x kg ja mänty painoi 28 y kg. Koska tammi ratapölkky painoi 1 tonnin vähemmän kuin mänty ratapölkky, toinen yhtälö voidaan kirjoittaa 28y- 46x= 1000 . Tämä yhtälö osoittaa, että tammi- ja mänty ratapölkkyjen välinen massaero on 1000 kg.

Tonnit on muutettu kilogrammoiksi, koska tammi- ja mäntypölkkyjen massa mitataan kilogrammoina.

Tuloksena saadaan kaksi yhtälöä, jotka muodostavat järjestelmän

Ratkaistaan ​​tämä järjestelmä. Ilmaise ensimmäisessä yhtälössä x. Sitten järjestelmä saa muodon:

Korvaa ensimmäinen yhtälö toisella ja etsi y

Korvaava y yhtälöön x= 300 − y ja ota selvää mitä x

Tämä tarkoittaa, että lavalle lastattiin 100 tammi- ja 200 mäntyä ratapölkkyä.

Tarkastetaan, täyttääkö ratkaisu (100; 200) ongelman ehdot. Varmista ensin, että järjestelmä on ratkaistu oikein:

Nukkujia kerrottiin olevan yhteensä 300. Laskemme yhteen tammi- ja mäntypölkkyjen lukumäärät ja varmistamme, että ratkaisu (100; 200) täyttää tämän ehdon: 100 + 200 = 300.

Seuraava ehto: kaikki tammi ratapölkyt painoivat 1 tonnin vähemmän kuin kaikki mänty . Näemme, että ratkaisu (100; 200) myös täyttää tämän ehdon, koska 46 × 100 kg tammi ratapölkkyjä on kevyempiä kuin 28 × 200 kg mänty ratapölkkyjä: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Tehtävä 3. Otimme kolme kappaletta kuparin ja nikkelin seosta painosuhteissa 2:1, 3:1 ja 5:1. Näistä 12 kg painava kappale sulatettiin kuparin ja nikkelin suhteen 4:1. Etsi jokaisen alkuperäisen kappaleen massa, jos ensimmäisen kappaleen massa on kaksi kertaa toisen massa.

M lineaarisen yhtälön järjestelmä, jossa on n tuntematonta kutsutaan muotojärjestelmäksi

missä aij ja b i (i=1,…,m; b=1,…,n) ovat joitain tunnettuja numeroita ja x 1,…,x n- tuntematon. Kertoimien merkinnöissä aij ensimmäinen indeksi i tarkoittaa yhtälön numeroa ja toista j on tuntemattoman numero, jossa tämä kerroin on.

Tuntemattomien kertoimet kirjoitetaan matriisin muotoon , jota kutsumme järjestelmämatriisi.

Numerot yhtälöiden oikealla puolella b 1,…,b m nimeltään ilmaisia ​​jäseniä.

Aggregaatti n numeroita c 1,…,c n nimeltään päätös tämän järjestelmän, jos jokaisesta järjestelmän yhtälöstä tulee yhtälö sen jälkeen, kun siihen on korvattu lukuja c 1,…,c n vastaavien tuntemattomien sijaan x 1,…,x n.

Tehtävämme on löytää ratkaisuja järjestelmään. Tässä tapauksessa voi syntyä kolme tilannetta:

Lineaariyhtälöjärjestelmää, jolla on vähintään yksi ratkaisu, kutsutaan liitos. Muuten, ts. jos järjestelmällä ei ole ratkaisuja, niin sitä kutsutaan yhteensopimaton.

Harkitse tapoja löytää ratkaisuja järjestelmään.

MATRIISIMENETELMÄ LINEAARIEN YHTÄLÖJÄRJESTELMIEN RATKAISEMINEN

Matriisit mahdollistavat lineaarisen yhtälöjärjestelmän lyhyen kirjoittamisen. Olkoon 3 yhtälöjärjestelmä, jossa on kolme tuntematonta:

Harkitse järjestelmän matriisia ja matriisisarakkeet tuntemattomista ja vapaista jäsenistä

Etsitään tuote

nuo. tuotteen tuloksena saamme tämän järjestelmän yhtälöiden vasemmat puolet. Sitten, käyttämällä matriisiyhtälön määritelmää, tämä järjestelmä voidaan kirjoittaa muodossa

tai lyhyempi A∙X = B.

Tässä matriiseja A ja B tunnetaan, ja matriisi X tuntematon. Hänet on löydettävä, koska. sen elementit ovat tämän järjestelmän ratkaisu. Tätä yhtälöä kutsutaan matriisiyhtälö.

Olkoon matriisideterminantti eri kuin nolla | A| ≠ 0. Sitten matriisiyhtälö ratkaistaan ​​seuraavasti. Kerro vasemmalla olevan yhtälön molemmat puolet matriisilla A-1, matriisin käänteis A: . Koska A -1 A = E ja E∙X = X, niin saadaan matriisiyhtälön ratkaisu muodossa X = A -1 B .

Huomaa, että koska käänteimatriisi löytyy vain neliömatriiseille, matriisimenetelmä voi ratkaista vain ne järjestelmät, joissa yhtälöiden määrä on sama kuin tuntemattomien lukumäärä. Järjestelmän matriisimerkintä on kuitenkin mahdollista myös siinä tapauksessa, että yhtälöiden lukumäärä ei ole yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä, niin matriisi A ei ole neliö ja siksi on mahdotonta löytää ratkaisua järjestelmään muodossa X = A -1 B.

Esimerkkejä. Ratkaise yhtälöjärjestelmiä.

CRAMERIN SÄÄNTÖ

Tarkastellaan 3 lineaarisen yhtälön järjestelmää, joissa on kolme tuntematonta:

Kolmannen kertaluvun determinantti, joka vastaa järjestelmän matriisia, ts. koostuu kertoimista tuntemattomissa,

nimeltään järjestelmän määräävä tekijä.

Muodostamme kolme muuta determinanttia seuraavasti: korvaamme peräkkäin 1, 2 ja 3 saraketta determinantissa D vapaiden termien sarakkeella

Sitten voimme todistaa seuraavan tuloksen.

Lause (Cramerin sääntö). Jos järjestelmän determinantti on Δ ≠ 0, niin tarkasteltavalla järjestelmällä on yksi ja vain yksi ratkaisu, ja

Todiste. Tarkastellaan siis kolmen yhtälön järjestelmää, jossa on kolme tuntematonta. Kerro järjestelmän 1. yhtälö algebrallisella komplementilla A 11 elementti a 11, 2. yhtälö - päällä A21 ja 3. - päällä A 31:

Lisätään nämä yhtälöt:

Harkitse tämän yhtälön jokaista sulkua ja oikeaa puolta. Lauseen mukaan determinantin laajenemisesta 1. sarakkeen elementtien suhteen

Samalla tavalla voidaan osoittaa, että ja .

Lopulta se on helppo nähdä

Siten saamme tasa-arvon: .

Tämän seurauksena,.

Yhtälöt ja johdetaan samalla tavalla, mistä seuraa lauseen väite.

Näin ollen todetaan, että jos järjestelmän determinantti on Δ ≠ 0, niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu ja päinvastoin. Jos järjestelmän determinantti on nolla, niin systeemillä on joko ääretön joukko ratkaisuja tai ei ole ratkaisuja, ts. yhteensopimaton.

Esimerkkejä. Ratkaise yhtälöjärjestelmä

GAUSS-MENETELMÄ

Aiemmin käsitellyillä menetelmillä voidaan ratkaista vain sellaisia ​​järjestelmiä, joissa yhtälöiden lukumäärä on sama kuin tuntemattomien lukumäärä ja järjestelmän determinantin on oltava eri kuin nolla. Gaussin menetelmä on yleismaailmallisempi ja sopii järjestelmiin, joissa on mikä tahansa määrä yhtälöitä. Se koostuu tuntemattomien peräkkäisestä poistamisesta järjestelmän yhtälöistä.

Tarkastellaan jälleen kolmen yhtälön järjestelmää, jossa on kolme tuntematonta:

.

Jätämme ensimmäisen yhtälön ennalleen, ja 2. ja 3:sta jätämme pois sisältävät termit x 1. Tätä varten jaamme toisen yhtälön arvolla a 21 ja kerro - a 11 ja lisää sitten 1. yhtälöllä. Samalla tavalla jaamme kolmannen yhtälön a 31 ja kerro - a 11 ja lisää se sitten ensimmäiseen. Tämän seurauksena alkuperäinen järjestelmä on seuraavanlainen:

Nyt, viimeisestä yhtälöstä, poistamme termin sisältävän x2. Voit tehdä tämän jakamalla kolmannen yhtälön luvulla, kertomalla ja lisäämällä sen toiseen. Sitten meillä on yhtälöjärjestelmä:

Siksi se on helppo löytää viimeisestä yhtälöstä x 3, sitten 2. yhtälöstä x2 ja lopuksi 1. päivästä - x 1.

Gaussin menetelmää käytettäessä yhtälöt voidaan tarvittaessa vaihtaa keskenään.

Usein uuden yhtälöjärjestelmän kirjoittamisen sijaan he rajoittuvat kirjoittamaan järjestelmän laajennetun matriisin:

ja tuo se sitten kolmion tai diagonaalin muotoon käyttämällä alkeismuunnoksia.

Vastaanottaja alkeellisia muunnoksia matriisit sisältävät seuraavat muunnokset:

1. rivien tai sarakkeiden permutaatio;
2. merkkijonon kertominen nollasta poikkeavalla luvulla;
3. lisäämällä yhdelle riville muita rivejä.

Esimerkkejä: Ratkaise yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä.

Järjestelmällä on siis ääretön määrä ratkaisuja.