YHTÄLÖIDEN TYYPIT

Algebralliset yhtälöt. Muodon yhtälöt f n= 0, missä f n- polynomi yhdessä tai useammassa muuttujassa, kutsutaan algebrallisiksi yhtälöiksi. Polynomi on muodon ilmaisu

f n = a 0 x i y j ... v k + a 1 x l y m ... v n +¼ + a s x p y q ... v r,

missä x, y, ..., v ovat muuttujia ja i, j, ..., r ovat eksponenteja (ei-negatiivisia kokonaislukuja). Yhden muuttujan polynomi kirjoitetaan näin:

f(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + ... + a n – 1 x + a n

tai tietyssä tapauksessa 3 x 4 – x 3 + 2x 2 + 4x– 1. Algebrallinen yhtälö, jossa on yksi tuntematon, on mikä tahansa muotoinen yhtälö f(x) = 0. Jos a 0 ¹ 0 siis n kutsutaan yhtälön asteeksi. Esimerkiksi 2 x+ 3 = 0 – ensimmäisen asteen yhtälö; ensimmäisen asteen yhtälöitä kutsutaan lineaariseksi, koska funktion kuvaaja y=kirves+b näyttää suoralta viivalta. Toisen asteen yhtälöitä kutsutaan neliöllisiksi ja kolmannen asteen yhtälöitä kuutioiksi. Korkeamman asteen yhtälöillä on samanlaiset nimet.

Transsendenttiset yhtälöt. Yhtälöitä, jotka sisältävät transsendenttisia funktioita, kuten logaritmia, eksponentiaalisia tai trigonometrisiä funktioita, kutsutaan transsendentaalisiksi. Seuraavat yhtälöt ovat esimerkki:

missä lg on 10 kantalogaritmi.

Differentiaaliyhtälöt. Niin sanottuja yhtälöitä, jotka sisältävät yhden tai useamman funktion ja niiden derivaatat tai differentiaalit. Differentiaaliyhtälöt ovat osoittautuneet poikkeuksellisen arvokkaiksi keinoiksi muotoilla luonnonlakeja tarkasti.

Integraaliyhtälöt. Yhtälöt, jotka sisältävät tuntemattoman funktion integraalimerkin alla, esim. f (s) = ò K (s, t) f(t) dt, missä f(s) ja K(s,t) annetaan, ja f(t) löytyy.

Diofantiiniyhtälöt. Diofantiiniyhtälö on algebrallinen yhtälö kahdessa tai useammassa tuntemattomassa kokonaislukukertoimilla, jonka ratkaisua etsitään kokonaisluvuista tai rationaalisista luvuista. Esimerkiksi yhtälö 3 x – 5y= 1:llä on ratkaisu x = 7, y= 4; yleensä sen ratkaisut ovat muodon kokonaislukuja x = 7 + 5n, y = 4 + 3n.

ALGEBRAISEN YHTÄLÖJEN RATKAISU

Kaikille yllä luetelluille yhtälötyypeille ei ole olemassa yleisiä ratkaisumenetelmiä. Silti monissa tapauksissa, erityisesti algebralliset yhtälöt tietyn tyyppisiä, niiden ratkaisusta on olemassa melko täydellinen teoria.

Lineaariset yhtälöt. Nämä yksinkertaiset yhtälöt ratkaistaan ​​pelkistämällä ne ekvivalentiksi yhtälöksi, joka näyttää suoraan tuntemattoman arvon. Esimerkiksi yhtälö x+ 2 = 7 voidaan pelkistää vastaavaksi yhtälöksi x= 5 vähentämällä luku 2 oikealta ja vasemmalta puolelta. Yksinkertaisen yhtälön vähentämiseen liittyvät vaiheet, kuten x+ 2 = 7, vastaavaan, perustuvat neljän aksiooman käyttöön.

1. Jos samoja arvoja kasvatetaan samalla numerolla, tulokset ovat yhtä suuret.

2. Jos sama luku vähennetään yhtäläisistä arvoista, tulokset ovat yhtä suuret.

3. Jos samat arvot kerrotaan samalla luvulla, tulokset ovat yhtä suuret.

4. Jos samat arvot jaetaan samalla luvulla, tulokset ovat yhtä suuret.

Esimerkiksi yhtälön 2 ratkaisemiseksi x+ 5 = 15, käytämme aksioomaa 2 ja vähennämme numeron 5 oikealta ja vasemmalta puolelta, jolloin saadaan vastaava yhtälö 2 x= 10. Sitten käytämme aksioomaa 4 ja jaamme tuloksena olevan yhtälön molemmat puolet 2:lla, minkä seurauksena alkuperäinen yhtälö pelkistyy muotoon x= 5, mikä on haluttu ratkaisu.

Toisen asteen yhtälöt. Ratkaisut yleiseen toisen asteen yhtälöön kirves 2 + bx + c= 0 voidaan saada käyttämällä kaavaa

Siten on olemassa kaksi ratkaisua, jotka voivat tietyssä tapauksessa osua yhteen.

Muut algebralliset yhtälöt. Eksplisiittisiä kaavoja, jotka ovat samanlaisia ​​kuin toisen asteen yhtälön ratkaisukaava, voidaan kirjoittaa vain kolmannen ja neljännen asteen yhtälöille. Mutta nämäkin kaavat ovat monimutkaisia ​​eivätkä aina auta helposti löytämään juuria. Mitä tulee viidennen asteen yhtälöihin tai korkeampiin, niille, kuten N. Abel todisti vuonna 1824, on mahdotonta osoittaa yleistä kaavaa, joka ilmaisi yhtälön juuret kertoimiensa kautta radikaaleilla. Joissakin erikoistapauksissa korkeamman asteen yhtälöt voidaan helposti ratkaista kertomalla niiden vasen puoli, ts. ottaa se huomioon.

Esimerkiksi yhtälö x 3 + 1 = 0 voidaan kirjoittaa kertoimella ( x + 1)(x 2 – x+ 1) = 0. Löydämme ratkaisut asettamalla jokainen tekijä nollaksi:

Juuret ovat siis x= –1, , so. vain 3 juurta.

Jos yhtälö ei ole kertoimissa, tulee käyttää likimääräisiä ratkaisuja. Tärkeimmät menetelmät likimääräisten ratkaisujen löytämiseksi ovat kehittäneet Horner, Newton ja Greffe. Kaikissa tapauksissa on kuitenkin vahva usko, että ratkaisu on olemassa: algebrallinen yhtälö n tutkinnolla on täsmälleen n juuret.

Lineaariyhtälöjärjestelmät. Kaksi lineaarista yhtälöä, joissa on kaksi tuntematonta, voidaan kirjoittaa muodossa

Tällaisen järjestelmän ratkaisu löydetään käyttämällä determinantteja

On järkevää, jos Jos D= 0, silloin kaksi tapausta on mahdollista. (1) Vähintään yksi determinanteista ja on nollasta poikkeava. Tässä tapauksessa yhtälöille ei ole ratkaisua; yhtälöt ovat epäjohdonmukaisia. Numeerinen esimerkki tällaisesta tilanteesta on järjestelmä

(2) Molemmat determinantit ovat nolla. Tässä tapauksessa toinen yhtälö on yksinkertaisesti ensimmäisen kerrannainen, ja ratkaisuja on ääretön määrä.

Yleinen teoria katsoo m lineaariset yhtälöt kanssa n muuttujat:

Jos m = n ja matriisi ( aij) ei ole rappeutunut, ratkaisu on ainutlaatuinen ja se löytyy Cramerin säännöstä:

missä A ji– alkion algebrallinen komplementti aij matriisissa ( aij). Yleisemmin on olemassa seuraavat lauseet. Päästää r on matriisin sijoitus ( aij), s on rajatun matriisin arvo ( aij; b i), joka on saatu aij lisäämällä numerosarakkeen b i. Sitten: (1) jos r = s, on sitten olemassa n–r lineaarisesti riippumattomat ratkaisut; (2) jos r< s , yhtälöt ovat epäjohdonmukaisia ​​eikä ratkaisuja ole.

, FGGU,

, Matemaattinen lyseo

Algebralliset yhtälöt ja menetelmät niiden ratkaisemiseksi

A.1 Polynomi ja sen juuret

Tarkastellaan joukkoa (n+1) reaalilukuja , asteen polynomi (polynomi). n yllä olevilla kertoimilla muodon ilmaisua kutsutaan:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image003_38.gif" width="257" height="25 src="> (2)

kutsutaan algebralliseksi asteyhtälöksi n.

Yhtälön (2) juuria kutsutaan myös polynomin juuriksi.

Tässä on joitain faktoja polynomien juurista.

Fakta 1. Jokaisella parittoman asteen polynomilla on vähintään yksi reaalijuuri.

Kommentti. Vaikka tietäisitkin, että yhtälöllä on juuri, tämän juuren löytäminen voi olla hyvin vaikeaa.

Esimerkki 1 Yhtälöllä on ilmeisesti juuret 0 ja p.

Esimerkki 2 Yhtälön juurien, jotka ovat varmasti olemassa, määrittäminen on melko vaikea tehtävä.

Fakta 2. Jos polynomin kertoimet ovat kokonaislukuja, niin tämän yhtälön rationaaliset juuret (jos niitä on) ovat muodossa, jossa luvut k ja m ovat luonnollisia ja k on vapaan termin jakaja, m on pääsanan jakaja. kerroin.

Esimerkki 3 https://pandia.ru/text/78/119/images/image010_16.gif" width="348" height="41 src="> (toistuvia numeroita on lyhennetty).

Sekki osoittaa, että numerot 2, ja ovat sopivia.

Rationaalisten juurien erottelutehtävä yksinkertaistuu huomattavasti, jos polynomin johtava kerroin on yhtä suuri kuin yksi. Tässä tapauksessa yhtälön mahdolliset rationaaliset juuret voivat olla vain kokonaislukuja, jotka jakavat polynomin vapaan termin.

Esimerkki 4 Polynomilla on seuraavat kokonaislukujuuret: . Mahdollisten juurten tarkistaminen (tämän voi tehdä melko nopeasti Hornerin suunnitelmat) varmistamme, että yhtälön ainoa kokonaislukujuuri on 2.

Fakta 3. Jos luku on polynomin juuri, tämä polynomi voidaan esittää tulona "kulmalla" jakomenetelmällä, joka on hyvin samanlainen kuin tavallisiin lukuihin sovellettava menetelmä.

Otetaan esimerkki.

Esimerkki 5 Jaetaan:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image021_6.gif" width="177" height="25">. Huomaa, että ensimmäisellä tekijällä on negatiivinen diskriminantti, joten se (ja alkuperäinen polynomi) on suurempi kuin juurilla ei ole.

Fakta 4.Mikä tahansa polynomi, jolla on todelliset kertoimet, voidaan esittää seuraavasti:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image023_6.gif" width="16 height=24" height="24"> - juuren monikertaisuus, - neliötrinomit, joilla ei ole todellisia juuria (niitä kutsutaan redusoitumattomiksi).

Kommentti. Yhtälöitä ja epäyhtälöitä ratkaistaessa voidaan pelkistää redusoitumattomiksi trinomeiksi.

P.2. Ryhmittely keinona löytää polynomin juuret

Valitettavasti (ja tämä on todistettu) ei ole olemassa universaalia algoritmia, joka sallisi (kuten neliötrinomin) löytää minkä tahansa polynomin juuret. Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen on olemassa erityisiä kaavoja, mutta ne ovat työläitä eikä niitä opiskella koulukurssilla. Siksi käytetään usein muita menetelmiä, kuten juurierottelua (käsiteltiin ensimmäisessä kappaleessa), ryhmittelymenetelmää ja sen erikoistapausta - täysien neliöiden valintaa.

Ryhmittelymenetelmän olemus on seuraava: polynomin jäsenet jaetaan ryhmiin (siis nimi) niin, että samankaltaisten vähentämisen jälkeen jokainen ryhmä hajoaa tekijöiksi ja jokaiseen sisältyy yksi tekijöistä. ryhmä. Tämä yhteinen tekijä poistetaan suluista ja alkuperäinen polynomi hajotetaan kahden alemman asteen polynomin tuloksi.

Harkitse esimerkkiä.

Esimerkki 6 Kerroin polynomi ryhmittelymenetelmällä

https://pandia.ru/text/78/119/images/image027_3.gif" width="272" height="24 src=">

(https://pandia.ru/text/78/119/images/image029_3.gif" width="64" height="21">, sisällytämme ensimmäisen termin ensimmäiseen ryhmään, toisen termin kolmanteen ryhmään ).

https://pandia.ru/text/78/119/images/image031_4.gif" width="51" height="24">, löydämme laajennuksen:

.

Molemmilla neliötrinomeilla on negatiiviset erottimet, joten niiden jatkohajoaminen on mahdotonta.

Esimerkki 7 Kerroin polynomi:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image034_3.gif" width="35" height="21"> sinun on puettava osa, joka on 14:n kerrannainen: esimerkiksi 70-1 , 84-15, 98-29 tai 42 + 27. Ensimmäinen vaihtoehto johtaa umpikujaan. Harkitse toista vaihtoehtoa. Saamme:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image036_2.gif" width="603" height="24">.

Tällä tavalla,

P.3. Esimerkkejä yksinkertaisimpien algebrallisten yhtälöiden ratkaisemisesta

Polynomit ovat yksinkertaisimpia algebrallisia yhtälöitä. Tässä alaosassa tarkastellaan joitain esimerkkejä tällaisten yhtälöiden ratkaisemisesta.

Esimerkki 8 Etsi yhtälön juuret

https://pandia.ru/text/78/119/images/image041_2.gif" width="89" height="19 src=">.

Aloitetaan pienimmällä numerolla - kolmella.

https://pandia.ru/text/78/119/images/image043_2.gif" width="40 height=23" height="23"> on yksi yhtälön juurista. Löytääksemme muut juuret jaa yhtälön vasen puoli:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image046_2.gif" width="107" height="21">. Käyttämällä esimerkiksi Vietan kaavoja saamme kaksi muuta juuria: .

Vastaus: https://pandia.ru/text/78/119/images/image049_2.gif" width="124" height="21 src=">.

Ratkaisu. Ongelma voidaan pelkistää bikvadraattiseen yhtälöön, mutta yritämme käyttää faktorointia..gif" width="616" height="24 src=">.

Ensimmäisen tekijän juuret: https://pandia.ru/text/78/119/images/image052_2.gif" width="63" height="41 src=">.

Harkitse seuraavaksi esimerkkiä yhtälöstä, joka pelkistyy rationaaliseksi. Tällaisten yhtälöiden ominaisuus on pakollinen vaatimus tarkistaa sallittujen arvojen alueen löydetyt juuret. Esimerkiksi yhtenäisessä valtionkokeessa muutama vuosi sitten ehdotettiin "yksinkertaista" tehtävää.

Esimerkki 10 ratkaise yhtälö

DIV_ADBLOCK37">

P. 4. Murtoalgebralliset yhtälöt

Yksinkertaisin murtoalgebrallinen lauseke on muotoa:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image055_2.gif" width="40" height="23 src=">.gif" width="111" height="41 src=">.

Ratkaisu: Vähennetään murtoluvut yhteiseksi nimittäjäksi:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image059_2.gif" width="207" height="41">.

Osoittajan molemmat juuret eivät ole nimittäjän juuria (varmista tämä korvaamalla molemmat juuret suoraan nimittäjään), joten ne ovat ratkaisuja tarkasteltavaan yhtälöön.

Jos murto-rationaalinen yhtälö sisältää monia alkeislausekkeita, niin muunnosten jälkeen osoittajaan voi muodostua melko hankala lauseke, jonka juurien löytäminen on erittäin vaikeaa. Mutta joissain tapauksissa on mahdollista pelkistää monimutkainen yhtälö yksinkertaisemmaksi käyttämällä esimerkiksi muuttujien muutosta. Harkitse esimerkkiä.

Esimerkki 12. ratkaise yhtälö

https://pandia.ru/text/78/119/images/image061_0.gif" width="81" height="41"> ovat keskenään käänteisiä (niiden tulo on yksi). Esitetään seuraava korvaus: Alkuperäinen yhtälö tulee näkyviin:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image064_0.gif" height="16">, saamme toisen asteen yhtälön:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image066_0.gif" width="93" height="23">. Suoritetaan käänteinen substituutio. Hanki ja ratkaise kahden yhtälön joukko: 2. Hakemisto , asuinosoite , sähköposti (jos sellainen on), puhelin (kotiin tai matkapuhelimeen)

3. Koulutiedot (esimerkiksi: MBOU nro 1 Bikin kylä)

4. Sukunimi, I. O. matematiikan opettaja (esim. matematiikan opettaja)

M 10.2.1. Ratkaise yhtälö ottamalla huomioon polynomi:

M 10.2.2. Ratkaise murto-rationaalinen yhtälö

a) https://pandia.ru/text/78/119/images/image082_0.gif" width="209" height="21 src=">. ( merkintä: kerro ensin ensimmäinen tekijä neljännellä ja toinen kolmannella. Merkitse ensimmäinen osay, toinen tuote esitetään sitten muodossa y+2. Ratkaise tuloksena oleva toisen asteen yhtälö ja tee käänteinen substituutio.)

c) https://pandia.ru/text/78/119/images/image084_0.gif" width="165" height="41 src=">. ( merkintä: yritä lisätä jokin luku kahteen ensimmäiseen termiin, jotta summa on kolmannella sijalla olevan käänteisluku kertoimella -10. Katso esimerkit 12 ja 13 alla..)

Algebralliset yhtälöt. Määritelmä

Olkoon funktiot f(x) ja u(x) määritelty jollain joukolla A. Ja olkoon tarpeen löytää joukko X, jossa nämä funktiot saavat yhtä suuret arvot, toisin sanoen löytää kaikki x:n arvot, joille yhtälö pätee: f(x)= c(x).

Tässä formulaatiossa tätä yhtälöä kutsutaan yhtälöksi tuntemattoman x:n kanssa.

Yhtälöä kutsutaan algebralliseksi, jos tuntemattomalle suoritetaan vain algebrallisia operaatioita - yhteen-, vähennys-, kerto-, jakolasku-, potenssiin korotus ja juuren erottaminen luonnollisella eksponentilla.

Algebralliset yhtälöt sisältävät vain algebrallisia funktioita (koko, rationaalinen, irrationaalinen). Algebrallinen yhtälö yleismuodossa voidaan esittää n:nnen asteen polynomilla todellisilla kertoimilla:

Esimerkiksi,

Joukkoa A kutsutaan annetulle yhtälölle tuntemattoman sallittujen arvojen joukoksi (alueeksi).

Joukkoa X kutsutaan ratkaisujen joukoksi, ja mitä tahansa sen ratkaisua x=a kutsutaan tämän yhtälön juureksi. Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa kaikkien sen ratkaisujen joukon löytämistä tai sen osoittamista, että niitä ei ole.

Algebrallisten yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Monissa tieteellisissä ja teknisissä ongelmissa on ratkaistava muotoyhtälö

jossa f(x) on annettu jatkuva epälineaarinen funktio.

Analyyttisesti on mahdollista löytää ratkaisu vain yksinkertaisimmille yhtälöille. Useimmissa tapauksissa on tarpeen ratkaista muotoa (1) oleva yhtälö numeerisin menetelmin.

Yhtälön (1) numeerinen ratkaisu suoritetaan yleensä kahdessa vaiheessa. Ensimmäisessä vaiheessa sinun on löydettävä sellaiset muuttujan x muutosvälit, joissa vain yksi juuri sijaitsee. Tämä ongelma ratkaistaan ​​yleensä graafisesti. Toisessa vaiheessa yksittäiset juuret jalostetaan. Tätä varten käytetään erilaisia ​​​​menetelmiä.

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät jaetaan suoriin ja iteratiivisiin. Suorat menetelmät antavat sinun kirjoittaa juuret kaavan muodossa. Käytännössä kohdattuja yhtälöitä ei kuitenkaan aina voida ratkaista. yksinkertaisia ​​menetelmiä. Niiden ratkaisemiseksi käytetään iteratiivisia menetelmiä, ts. peräkkäisten approksimaatioiden menetelmät.

Suorat menetelmät - ratkaisu löytyy aiemmin tunnetusta määrästä aritmeettisia operaatioita, ratkaisu on tiukka. Esimerkkejä: Gaussin menetelmä, neliöjuurimenetelmä, Cramerin sääntö jne.

Iteratiiviset menetelmät ovat peräkkäisten approksimaatioiden menetelmiä, joissa on mahdotonta ennustaa aritmeettisten operaatioiden määrää, jotka vaaditaan yhtälön (järjestelmän) ratkaisemiseksi tietyllä tarkkuudella. Esimerkkejä: yksinkertaisten iteraatioiden menetelmä, Gauss-Seidelin menetelmä, menetelmä segmentin jakamiseksi puoliksi jne.

Tässä artikkelissa tutkimme ja vertaamme yksinkertaisten iteraatioiden menetelmää ja segmentin puolijaon menetelmää.

transkriptio

1 Algebralliset yhtälöt missä Määritelmä. Algebrallinen on yhtälö muotoa 0, P () 0, joitain reaalilukuja. 0 0 Tässä tapauksessa muuttujaa kutsutaan tuntemattomaksi ja luvut 0 ovat yhtälön () kertoimia, yhtälön järjestystä (tai astetta). Määritelmä. Lukua kutsutaan yhtälön () ratkaisuksi (tai juureksi), jos kun luku korvataan yhtälöllä 0 P, saadaan oikea yhtälö 0 P. Kertoimista riippuen yhtälöllä () voi olla yksittäinen todellinen juuri, useita juuria tai ei varsinaisia ​​juuria. Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa, että etsitään kaikki sen juuret (koulukurssilla huomioidaan vain todelliset ratkaisut) tai todistetaan, ettei yhtälöllä ole ratkaisuja. ja Tarkastellaan yhtälöä () kohdassa. (Kuutioyhtälölle) on olemassa kaavat yhtälön 0 P juurille radikaaleissa, jotka tunnetaan Cordanon kaavoina. Kun yhtälö () on ratkaisematon radikaaleissa, ts. yhtälön 0 P at ratkaisua ei voida ilmaista sen kertoimilla 0 käyttämällä äärellistä määrää aritmeettisia operaatioita (lasku-, vähennys-, kerto-, jako- ja aritmeettisen juuren erotusoperaatioita). Todisteen tälle väitteelle sai ensimmäisen kerran norjalainen matemaatikko Abel vuonna 6. Joissakin tapauksissa korkeamman asteen algebrallisten yhtälöiden ratkaisu, mukaan lukien kolmas ja neljäs, voidaan löytää melko yksinkertaisesti. Sellaisen mahdollisuuden määräävät täysin polynomin P kertoimet 0. Bezoutin lauseen johdos. Jos on polynomin (P 0) juuri, niin polynomi P on jaollinen binomilla ilman jäännöstä, ts. on olemassa sellainen polynomi, että P F F. P

2 "kulma". Yhtälö () vastaa tässä tapauksessa yhtälösarjaa Jakamalla yhden polynomin yhtälön 0, F 0. P toisella Q m, m, voit tuottaa P-asteella voi olla enintään todellisia juuria, kun otetaan huomioon monikertaisuus. Lisäksi parittoman asteen yhtälöllä on aina vähintään yksi reaalijuuri. Jos reaaliluvut ..., ovat yhtälön 0 juuria, niin identtisyys P pätee. Korkeamman asteen yhtälöille () pätee Vieta-lause, jonka muotoilemme tapauksessa ja. Jos reaaliluvut ja ovat kuutioyhtälön 0, 0 juuria, ne täyttävät ehdot: b c d d, c, b. Jos reaaliluvut ja ovat neljännen asteen yhtälön juuria 0, 0, niin ne täyttävät ehdot: b c d e Jos rationaaliluku on 0 e, d, b. p, missä p q q c, pelkistymätön murtoluku, on yhtälön juuri, jossa on kokonaislukukertoimia, niin p:n on oltava vakiotermin jakaja

3 ja q on kertoimen 0 jakaja korkeimmassa asteessa. Erityisesti pelkistetyn yhtälön 0 kokonaislukujuuret 0 p kokonaislukukertoimilla ovat vapaan termin jakajia. Tämä lause seuraa (.7) viimeisestä yhtälöstä. Jos yhtälön 0 kaikkien kertoimien summalla on juuri. P on nolla, silloin yhtälö Esimerkiksi yhtälön kertoimien summa on nolla, joten sillä on juuri. Jos yhtälössä parittomien potenssien kertoimien summa on yhtä suuri kuin vapaan termin ja parillisten potenssien kertoimien summa, niin yhtälöllä on juuri. Esimerkiksi yhtälössä meillä on 6 7, joten tämän yhtälön juuri. Tarkastellaan erillisiä korkeamman asteen algebrallisten yhtälöiden luokkia ja tutkimusmenetelmiä niiden ratkaisemiseksi. Biquadratic yhtälöt. Määritelmä. Bikvadraattinen yhtälö on yhtälö, jonka muoto on 0. b c 0, () Tämän yhtälön ratkaisemiseksi käytetään muuttujien y muutosta, jossa y 0. Tässä tapauksessa saadaan toisen asteen yhtälö y arvolla c 0. Koska yhtälö () on neljännen asteen yhtälö, sillä ei ole enempää kuin neljä reaalijuurta. Jos y ja y ovat sen ratkaisuja, niin alkuperäinen kaksikvadraattinen yhtälö vastaa joukkoa: Menetelmä juuren (juurien) valintaan. 0 v v. Jos annetulla algebrallisella yhtälöllä () kokonaislukukertoimilla on kokonaislukujuuret, niin ne on etsittävä vapaan termin jakajista

4 yhtälöä (). Yhtälön () rationaaliset juuret p 0 kokonaislukukertoimilla q p tulisi etsiä lukujen joukosta siten, että p on vapaan termin jakaja, q ja q on kertoimen 0 jakaja yhtälön () korkeimmalla asteella. Nämä ominaisuudet ovat menetelmän perustana valita algebrallisen yhtälön juuret. Esimerkki. Ratkaise yhtälö 0. Ratkaisu. Tämä yhtälö on pelkistetty ja siinä on kokonaislukukertoimet. Siksi tämän yhtälön kokonaislukujuuret (jos niitä on) sisältyvät vapaan termin:, jakajien joukkoon. On helppo nähdä, että se on yhtälön juuri. Jäljelle jääneiden juurien löytämiseksi jaamme polynomin binomiaaliseen "nurkkaan": 0. Yhtälölle 0 löydämme jälleen juuri valinnalla ja jaamme sitten polynomin binomiiksi: 0, yhtälöllä 0 ei ole todellisia juuria. Siten,

Viidennen asteen yhtälöllä on kaksi reaalijuurta. Vastaus.,. Muuttujien menetelmän muutos. Jos muuttujia vaihdettaessa alkuperäistä yhtälöä yksinkertaistetaan (esimerkiksi sen aste pienenee), niin otamme rohkeasti käyttöön uuden muuttujan. Esimerkki. Ratkaise yhtälö. Ratkaisu. Jos avaat sulut ja tuot samanlaisia ​​termejä, saat yhtälön 6 0, jota on erittäin vaikea ratkaista. Vaikka se on yhtälö, jossa on kokonaislukukertoimia, mutta kuten alla näemme, sillä ei ole kokonaislukujuuria. Siksi käytämme toista menetelmää: otamme käyttöön uuden muuttujan y ja ratkaisemme toisen asteen yhtälön y y. Sen juuret ovat y ja y. Vastaavasti alkuperäinen yhtälö vastaa kahden yhtälön yhdistelmää. Ratkaisemme saadut toisen asteen yhtälöt.,. 0,D0,. tai 0, D 7 0, ratkaisuja ei ole. Siten alkuperäisellä asteen yhtälöllä on kaksi juuria ja. Vastaus.,. Esimerkki. Etsi yhtälön 0 suurin negatiivinen juuri. Ratkaisu. Tämän yhtälön juuria on erittäin vaikea löytää, joten käytämme seuraavaa temppua: kerro (tai jaa) tämä yhtälö tietyllä luvulla niin, että yhtälön korkeimmasta termistä tulee jonkin lausekkeen kuutio

6 Huomaa tämä ja lisää uusi muuttuja y. Tuloksena saadaan yhtälö y y y 6 0, joka on ekvivalentti alkuperäisen kanssa. Valitsemalla löydämme sen juuret y, y ja y, jotka vastaavat alkuperäisen yhtälön juuria ja. Suurin negatiivinen juuri on . Vastaus. Suurin negatiivinen juuri. Voit ottaa käyttöön toisen muuttujan ja tarkastella toisen asteen yhtälöä jonkin saadun ("vanhan" tai "uuden") muuttujan suhteen. Esimerkki. Etsi yhtälön 6 0 pienin juuri. Ratkaisu. Muunnetaan alkuperäinen yhtälö seuraavasti: Otetaan käyttöön uusi muuttuja y 6 ja saadaan yhtälö 6 y y 0. Ratkaistaan ​​saatu yhtälö neliöllisenä y:n suhteen. y tai y. D 6 y y 0, y, Palataan muuttujaan, saadaan kaksi toisen asteen yhtälöä.

7 6, 9 0, P 0 0, 9 0, 9 0, 9 0 6, 0, P 9 Valitsemme niistä pienimmän. Koska 0 0, sitten 9., joten pienin ratkaisu. 9 0 Vastaa. Pienin ratkaisu.. Paluuyhtälöiden määritelmä. Yhtälöitä, joiden muoto on 0 0, kutsutaan toistuviksi tai symmetrisiksi, joiden kertoimet symmetrisissä paikoissa ovat yhtä suuret, eli k 0:lle. k k Esimerkiksi se on toistuva, koska 0, 9, 6. Seuraavat lauseet pätevät käänteisyhtälöille. Parittoman asteen käänteisyhtälöllä on aina juuri ja binomiaalilla jakamisen jälkeen se pelkistetään parillisen asteen käänteisyhtälöksi. Parillisen asteen käänteisyhtälö voidaan pelkistää puolen asteen yhtälöksi ottamalla käyttöön muuttuja y. Havainnollistakaamme näitä väitteitä esimerkein. Esimerkki. Ratkaise yhtälö Ratkaisu. On helppo nähdä, että tämä yhtälö on parittoman asteen käänteisluku ja siksi sillä on juuri. Jaamme polynomin binomiiksi:

8 Vielä on ratkaistava :nnen asteen käänteisyhtälö Koska 0 ei ole tämän yhtälön juuri, voimme jakaa tämän yhtälön molemmat osat muuttujamuutoksilla ts. y.. Hanki y. Sitten y, Saadaan yhtälö y 0y 6 0 (yhtälön aste puolittuu!) Ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälö y 0y 0. Vietan lauseen mukaan luvut y ja y 6 ovat sen juuria. Meillä on lisää

9 0,6 0, D 0,6 0,9,. Siten th asteen alkuperäisellä yhtälöllä on juuret:, ja. Vastaus., ja. D Funktioiden monotonisuuden ja muiden erikoistekniikoiden käyttäminen Epästandardien algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseksi on käytettävä erilaisia ​​tekniikoita yhtälön muuntamiseksi ekvivalenttimuotoon, uusien muuttujien käyttöönottamiseksi, funktion tutkiminen. Muodon g f yhtälöiden ratkaiseminen osana yhtälöä 0 f jne. f on joskus kätevä rakentaa funktioiden monotonisuusominaisuuden käyttöön. Tämä tekniikka perustuu seuraavaan lauseeseen. Lause. Olkoon yhtälö f g määritelty joukolle X R ; funktio f on monotonisesti kasvava (pienenevä) X:llä ja g monotonisesti pienenevä (kasvava). Jos molemmat E f, E g ovat f g:n alueita joukossa X ja E f Eg, niin on olemassa ainutlaatuinen piste 0 X siten, että g f, ts. yhtälöllä 0 0 f g on ainutlaatuinen ratkaisu. Tämä lause pätee kaikille g-muodon yhtälöille algebrallisille yhtälöille. Esimerkki 6. Ratkaise yhtälö 96 E f. y f Esim 0 X g f, eikä vain Ratkaisu. Potenssifunktio y, N on määritelty koko reaaliviivalla ja on tiukasti kasvava funktio R:llä. Siksi annetun vasen puoli

Yhtälön f 10 on tiukasti kasvava funktio R:llä kahden tiukasti kasvavan funktion summana. Oikea osa 96 g on identtisesti vakio. Siksi yhtälöllä on Lauseen 6 mukaisesti ainutlaatuinen ratkaisu. On helppo nähdä, mikä se on. Vastaus.. Esimerkki 7. Ratkaise yhtälö. Ratkaisu Y. Mutta minkä tahansa R:n Y:llä, ja siksi yhtälöllä 0 Y ja siten alkuperäisellä (.), ei ole ratkaisua. Vastaus.

VENÄJÄN FEDERAATION TIEDOS- JA KOULUTUSMINISTERIÖ RYAZANIN VALTION RADIOTEKNIIKKAATEMIA GS LUKYANOVA AINOVIKOV RATIONALIT JA IRrationaaliset YHTÄLÖT JA ERÄTAVUUDET Ryazanin ministeriö

KRASNOYARSKIN ALUEEN HALLINNON OPETUSVIRASTO KRASNOYARSKIN VALTION YLIOPISTON LUONNOSTIETEIDEN KIRJOITUSKOULU Krasnojarskin valtionyliopiston alaisuudessa MATEMATIIKAN LISÄLUKUJA Arvosana 10 Moduuli 4 MENETELMÄ

Aihe 14 "Algebralliset yhtälöt ja epälineaariset yhtälöjärjestelmät" Asteen n polynomi on muotoa P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n oleva polynomi, jossa a 0, a 1 , a n-1, a n annettuja lukuja, a 0,

VENÄJÄN FEDERATION OPETUS- JA TIETEMINISTERIÖ NOVOSIBIRSKIN VALTIONYLIOPISTON ERIKOISTUTKIMUS- JA TIETEKESKUS Matematiikka Grade 8 Polynoms Novosibirsk Polynoms Rational

Irrationaaliset yhtälöt ja epäyhtälöt Sisällysluettelo Irrationaaliset yhtälöt Menetelmä yhtälön molempien puolten nostamiseksi samaan potenssiin

Algebrallisten lausekkeiden identiteettimuunnokset Algebralliset lausekkeet lausekkeet, jotka sisältävät numeroita ja kirjaimia, jotka on yhdistetty algebrallisilla operaatioilla: yhteen-, vähennys-, kerto-, jakolasku- ja konstruktio

4.. Muuttujan muutosmenetelmä algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseen. Edellisessä kappaleessa polynomin kertoimiin käytettiin muuttujan muutosmenetelmää. Tämä menetelmä käytetään laajasti

Aihe 5 Rationaaliset yhtälöjärjestelmät F (x, x,...,) 0, F (x, x,...,) 0, Yhtälöjärjestelmä, jonka muoto on jossa... Fk (x, x,... .,) 0 , F i(x, x,...,), i,..., k, joitain polynomeja, kutsutaan rationaalijärjestelmäksi

Opetus- ja tiedeministeriö Venäjän federaatio Moskovan fysiikan ja tekniikan instituutti ( valtion yliopisto) Kirjeenvaihto fyysinen ja tekninen koulu MATEMATIIKKA Polynomit. Yksinkertaisimmat yhtälöt ja

Luku 7 Neliöyhtälöt Keskustelu 8 Kuinka toisen asteen yhtälöt ratkaistiin antiikin aikana. Itse asiassa Babylonian menetelmä antaa ratkaisun järjestelmään + y =, joka on tietue ongelmasta löytää y = q, sivut

Algebra-ohjelma yleisen oppilaitoksen 7. luokalle. Selitys Ohjelman rakenne Ohjelmassa on kolme osaa: 1. Algebran hallinnan suunnitellut tulokset arvosanalla 7 2. Sisältö

I. V. Yakovlev Matematiikkamateriaalit MathUs.ru-juuri ............................................

Moskovan alueen opetusministeriö oppilaitos korkeampi ammatillinen koulutus Moskovan alue "Kansainvälinen luonnonyliopisto, yhteiskunta ja

Ohjeet, ratkaisut, vastaukset YHTÄLÖT KOKONAISLUKUNA. Yhtälö, jossa yksi tuntematon Ratkaisu. Laitetaan se yhtälöön. Saadaan yhtälö (4a b 4) (a b 8) 0. Yhtälö A B 0, jossa A ja B ovat kokonaislukuja, täyttyy,

Yhtälöt Algebrassa tarkastellaan kahdenlaisia ​​yhtäläisyyksiä - identiteettejä ja yhtälöitä. Identiteetti on yhtälö, joka pätee kaikkiin siihen sisältyvien kirjainten hyväksyttäviin) arvoihin. Identiteettien yhteydessä käytetään merkkejä

Fysikaalinen ja matemaattinen kirjelyseum "Avangard" E. N. FILATOV ALGEBRA 8 Kokeellinen oppikirja Osa MOSKVA 06 Fysikaalinen ja matemaattinen kirjelyseo "Avangard" E. N. Filatov ALGEBRA 8 Kokeellinen

Aihe 1 Reaaliluvut ja niihin liittyvät toiminnot 4 tuntia 11 Numeron 1 käsitteen kehittäminen Aluksi luvut ymmärrettiin vain luonnollisina lukuina, jotka riittävät yksittäisten esineiden laskemiseen.

KORKEIMIEN ASTEIDEN ALGEBRAISET YHTÄLÖT

MATEMATIIKKA Neliöjuuret Tehtävä 8. luokalle (006-00 lukuvuosi) 4 Johdanto Rakkaat lapset! Olet saanut toisen matematiikan tehtävän. Tässä tehtävässä esittelemme sinulle tärkeän matemaattisen käsitteen.

Luokka 8.3, Matematiikka (oppikirja Makarychev) 2016-2017 lukuvuosi Moduulin 5 aihe "Neliöjuuri. Tutkinto kokonaislukumittarilla ”Kokeessa tarkastetaan teoreettiset ja käytännön osat. AIHE Tietää Osaa tietää

Penzan osavaltion yliopiston fysiikan ja matematiikan tiedekunta "Fysical and Mathematical School by Correspondence" MATEMATIIKKA Identiteettimuunnokset. Yhtälöiden ratkaisu. Kolmiot Tehtävä 1 varten

Arvosana 0, Matematiikka (profiili) 0-08 lukuvuosi Moduulin aihe "Juuret, potenssit, logaritmit" Tunne reaaliluvun käsitteet, lukujoukot, reaalilukujen ominaisuudet, kokonaislukujen jaollisuus ****, ominaisuudet

8. luokka, matematiikka (oppikirja Makarychev) 07-08 lukuvuosi Moduulin aihe "Neliöjuuri. Tutkinto kokonaislukumittarilla ”Kokeessa tarkastetaan teoreettiset ja käytännön osat. AIHE Tunne Osaa tietää määritelmä

TOISTUVIEN YHTÄLÖIDEN RATKAISU Merkitään jonkin lausekkeen arvolla, kun siihen korvataan kokonaisluku Sitten sekvenssin jäsenen riippuvuus sekvenssin F F jäsenistä arvoilla

Luku Aste rationaalisen eksponentin kanssa Potentiofunktio Aste kokonaislukueksponentilla Hae esiin asteen määritelmä ja perusominaisuudet kokonaislukueksponentilla Jokaiselle reaaliluvulle a asetetaan a

Http://vk.ucoz.et/ Polynomien k a k operaatiot K-asteen polynomi (polynomi) on muotoa a oleva funktio, jossa muuttuja a ovat numeerisia kertoimia (=,.k) ja. Mitä tahansa nollasta poikkeavaa lukua voidaan harkita

Asteiden 3 ja 4 algebrallisten yhtälöiden analyyttinen ratkaisu Sisältö 1 Johdanto 1 2 Kolmannen asteen yhtälöt 3 3 Neljännen asteen yhtälöt 7 1 Johdanto Tämä käsikirjoitus sisältää kaavoja

Ammatti. Aste mielivaltaisella reaalieksponentilla, sen ominaisuudet. Potenssifunktio, sen ominaisuudet, grafiikka .. Hae asteen ominaisuudet rationaalisen eksponentin avulla. a a a a a luonnollisille ajoille

VIITE Joitakin luonnollisten lukujen jaollisuuden merkkejä Luonnolliset luvut ovat laskennassa käytettyjä lukuja: Luonnolliset luvut muodostavat joukon, jota kutsutaan luonnollisten lukujen joukoksi Joukko

Luku 9 Asteet Aste, jossa on kokonaislukueksponentti. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0; >>.. >. Jos jopa, niin ()< (). Например, () 0 = 0 < 0 = = () 0. Если нечетно, то () >(). Esimerkiksi () => = = (), niin

Asiakirjan tila Selitys

MODUULI 7 "Eksponentiaaliset ja logaritmiset funktiot". Tutkinnon käsitteen yleistäminen. Asteen juuri ja sen ominaisuudet.. Irrationaaliset yhtälöt.. Aste rationaalisen eksponentin kanssa.. Eksponenttifunktio..

Ural liittovaltion yliopisto, Matematiikan ja tietojenkäsittelytieteen laitos, Algebran ja diskreetin matematiikan laitos Polynomin käsite Määritelmät Polynomi yhdessä muuttujassa on muodon lauseke

Liittovaltion budjettitaloudellinen korkea-asteen ammatillinen koulutuslaitos "Tverin osavaltion yliopisto" A A G O L U B E V, T A S P A S K A

Luento Luku Joukot ja niiden operaatiot Joukon käsite Joukon käsite viittaa matematiikan tärkeimpiin käsitteisiin, joita ei määritellä yksinkertaisemmilla käsitteillä.

0.5 Logaritmiset yhtälöt ja epäyhtälöt. Käytetyt kirjat:. Algebra ja analyysin alku 0 - toimittanut A.N. Kolmogorov. Itsenäinen ja koepaperit algebrassa 0 - toimittanut E.P. Ershov

NELIÖYHTÄLÖT

Sisältö Yhtälö................................. Kokonaislukulausekkeet.. ......... .......................... Lausekkeet, joilla on potenssit................ ......... 3 Monomiaali ................................... ....... ......

Toimet murtoluvuilla: Elektroninen Toolkit tehdä kotitehtävät Kotitehtävät. ”Transformaatiot ovat voimaa ja irrationaalisia ilmaisuja. Numeeristen lausekkeiden arvojen laskeminen » Kaavat

Selitys Algebran työohjelma luokalle 8 ( syvällinen tutkimus) on koottu osavaltion koulutusstandardin liittovaltion osan, algebraohjelman, mukaisesti

I. V. Jakovlev, A. G. Malkova. Valmistautuminen matematiikan tenttiin. Sivuston materiaalit http://www.ege-study.ru Trigonometriset yhtälöt Tässä artikkelissa puhumme trigonometristen yhtälöiden päätyypeistä

Luento 7 Kompleksiluvut ja niiden esitys tasossa Algebralliset toiminnot kompleksiluvuilla Kompleksikonjugaatio Kompleksiluvun moduuli ja argumentti Algebralliset ja trigonometriset muodot

Kalenteri-teemasuunnittelu, jossa määritellään oppitunnin opetustoiminnan päätyypit Päivämäärä Osio Oppitunnin teema Opiskelijoiden päätoimintojen ominaisuudet 1 puoli vuotta 65 oppituntia; 1 neljännes

Khakassian tasavallan valtiontaloudellinen oppilaitos "Khakassian National Gymnasium sisäoppilaitos nimeltään. N.F.Katanova ""SOPIMUSTU" matematiikan ja informatiikan laitoksen kokouksessa Protocol

Luku 1. Toisen asteen ja korkeamman asteen yhtälöiden historia 1.1 Yhtälöt muinaisessa Babylonissa Algebra syntyi erilaisten ongelmien ratkaisemisen yhteydessä yhtälöiden avulla. Tehtävät vaativat yleensä

Matematiikan ohjelma Matematiikan kokeessa hakijoiden tulee osoittaa: 1. Selkeä tieto matemaattisia määritelmiä ja lauseet, algebran ja geometrian peruskaavat, kyky todistaa lauseita ja johtaa

Luento rationaalisten murtolukujen INTEGROINTI Rationaaliset murtoluvut Yksinkertaisimpien rationaalisten murtolukujen integrointi Hajotus rationaalinen murto-osa yksinkertaisiksi murtoluvuiksi Rationaalisten murtolukujen integrointi Rational

MATEMATIIKKA Rationaaliset yhtälöt Yhtälöjärjestelmät Yhtälöt, jotka sisältävät moduulin Tehtävä luokille 9 0-04 lukuvuosi Kokoonnut: op., apulaisprofessori Marina EV Penza, 0 Johdanto Muistellaanpa joitain käsitteitä

Tyypillinen muunnelma "Kompleksiluvut Polynomit ja rationaaliset murtoluvut" Tehtävä Annettu kaksi kompleksilukua ja cos sn Etsi ja kirjoita tulos algebrallisessa muodossa kirjoita tulos trigonometrisesti

Liite "Pääkoulutusohjelman peruskoulutusohjelma Yleissivistävä koulutus MBOU SOSH 5 "TYÖOHJELMA aiheesta "Algebra" 7. 8. luokille Ohjelma: Ohjelmat. Matematiikka. 5-6 luokkaa.

2.22. Poistetaan yhteinen tekijä (n on luonnollinen luku) suluista: 1) x n + 3 + x n ; 3) z3n - zn; 2) y n + 2 - y n - 2, n > 2; 4) 5n + 4 + 2 5n + 2-3 5n + 1. 2.23. Jokainen numero on annettu

Selitys 0-luokkien opiskelijoiden vapaavalintaisen oppiaineen "Algebra Plus: Algebra korkeamman matematiikan näkökulmasta" työohjelma on koottu esimerkillisen pohjalta. työohjelma opettajat

3.. Menetelmät rationaalisten epäyhtälöiden ratkaisemiseksi 3..1. Numeeriset epäyhtälöt Määritetään ensin, mitä tarkoitamme lauseella a > b. Määritelmä 3...1. Luku a on suurempi kuin luku b, jos niiden välinen ero on positiivinen.

Kalenteri-teemasuunnittelu Algebra 8b luokka Opintotaso: syventävä 4 tuntia viikossa / 144 tuntia vuodessa Aiheen sisältö harjoituskurssi 1. Arvosanan 7 materiaalin toisto (6 tuntia). Algebrallinen

Tenttilippu 1 1. Tavallisten murtolukujen muuntaminen desimaaleiksi ja päinvastoin. Toiminnot murtoluvuilla. 2. Toiminnon määritelmä. Asetustavat, määritelmäalue, funktioarvojen alue. 2 x 1 x 1

7 Trigonometriset yhtälöt ja epäyhtälöt Kommentti

57 Tarkastellaan neljännen tyypin yksinkertaisimman rationaalisen murtoluvun integrointia (M N) d () p q p Muutetaan muuttuja asettamalla d. missä a p q. Sitten integraali M N d p p p q q a, M p N Mp q d M (p q) p

Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt. Konev V.V. Luennon pääpiirteet. Sisältö 1. Peruskäsitteet 1 2. Yhtälöt, jotka mahdollistavat järjestyksen pienentämisen 2 3. Lineaarinen differentiaaliyhtälöt ylempi määräys

Toistoalgebra 7 8. Kysymykset Aloitussulut. Polynomien kertolasku Lineaarifunktion kuvaaja. 4. Polynomin hajottaminen tekijöiksi. 5. Tutkinnon ominaisuus luonnollisella indikaattorilla. 6. Lyhennetyt kaavat

Kokonaislukujen yhtälöiden ratkaisu Lineaariset yhtälöt. Suora laskentatapa Esimerkki. Kanit ja fasaanit istuvat häkissä. Heillä on yhteensä 8 jalkaa. Selvitä, kuinka monta näistä ja muista on solussa. Listaa kaikki ratkaisut. Ratkaisu.

TIETEELLINEN TUTKIMUS YLIOPISTO TALOUDELLINEN KULKU MATEMATIIKA Ohjelma "Luokka 11" 2013-2014 lukuvuosi Osa 1, algebra ja analyysin alku Sisällysluettelo Luku 1. Kurssin sisältö ja kokeet ...

Luku I Algebralliset murtoluvut 18 Luku II Neliöfunktio. Toiminto. 14 Luku III Funktio y = x. Neliöjuuren ominaisuudet 12 Luku IV Neliöyhtälöt 22 Luku V Reaaliluvut 11 Luku VI

Yhtälöiden käyttö on yleistä elämässämme. Niitä käytetään monissa laskelmissa, rakenteiden rakentamisessa ja jopa urheilussa. Ihminen on käyttänyt yhtälöitä muinaisista ajoista lähtien ja sen jälkeen niiden käyttö on vain lisääntynyt.

Yhtälöitä, jotka sisältävät symbolin \[\sqrtx\], kutsutaan yhtälöiksi kanssa neliöjuuri. Ei-negatiivisen luvun \ neliöjuuri on ei-negatiivinen luku, jonka neliö on yhtä suuri kuin \. \[(\sqrt a=x, x_2=a; x, a\pm0)\]. Juurimerkin alla olevan luvun tai lausekkeen tulee aina olla ei-negatiivinen.

Olla olemassa eri tavoilla tällaisten yhtälöiden ratkaisut:

Numeron neliöinti kertomalla luku itsellään;

Yksinkertaistaa juuret, jos mahdollista, poistamalla siitä täydelliset juuret;

Imaginaaristen lukujen käyttö negatiivisten lukujen juuren saamiseksi;

Jakoalgoritmin soveltaminen sarakkeessa;

Ja muut.

Selvyyden vuoksi ratkaisemme seuraavan yhtälön neliöjuurella:

\[\sqrt(x-5)=3\]

Kerromme yhtälön kumpikin puoli itsestään päästäksemme eroon radikaaleista:

Nyt meillä on yksinkertaisin lineaarinen yhtälö, joka ratkaistaan ​​seuraavasti:

Mistä voin ratkaista algebrallisen yhtälön verkossa?

Voit ratkaista algebrallisen yhtälön verkkosivustollamme https: //. Ilmaisen online-ratkaisijan avulla voit ratkaista minkä tahansa monimutkaisen online-yhtälön sekunneissa. Sinun tarvitsee vain syöttää tietosi ratkaisijaan. Voit myös katsoa video-ohjeet ja oppia ratkaisemaan yhtälön verkkosivuillamme. Ja jos sinulla on kysyttävää, voit kysyä niitä Vkontakte-ryhmässämme http://vk.com/pocketteacher. Liity joukkoomme, autamme sinua aina mielellämme.