Siinä esitetään, kuinka yleistetty homogeeninen differentiaaliyhtälö tunnistetaan. Tarkastellaan menetelmää ensimmäisen kertaluvun yleisen homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi. Esimerkki on annettu yksityiskohtainen ratkaisu tällainen yhtälö.

Sisältö

Määritelmä

Yleistetty ensimmäisen asteen homogeeninen differentiaaliyhtälö on muotoa:
, missä ≠ 0 , α ≠ 1 , f - funktio.

Kuinka määrittää, onko differentiaaliyhtälö yleistetty homogeeninen

Sen määrittämiseksi, onko differentiaaliyhtälö yleistetty homogeeninen, meidän on otettava käyttöön vakio t ja tehtävä substituutio:
y → t α y, x → t x.
Jos onnistumme valitsemaan sellaisen arvon α, jossa vakio t pienenee, niin tämä on - yleistetty homogeeninen differentiaaliyhtälö. Muutoksen johdannaisessa y′ tällaisen korvauksen yhteydessä on muotoa:
.

Esimerkki

Selvitä, onko annettu yhtälö yleistetty homogeeninen:
.

Teemme muutoksen y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 v:
;
.
Jaa t α+:lla 5 :
;
.
Yhtälö ei sisällä arvoa t, jos
4α - 6 = 0, α = 3/2 .
Koska α = 3/2 , t pienennetään sitten tämä on yleistetty homogeeninen yhtälö.

Ratkaisumenetelmä

Tarkastellaan ensimmäisen asteen yleistettyä homogeenista differentiaaliyhtälöä:
(1) .
Osoitetaan, että se voidaan pelkistää homogeeniseksi yhtälöksi substituutiolla:
t = xα.
Todella,
.
Täältä
; .
(1) :
;
.

Tämä on homogeeninen yhtälö. Se ratkaistaan ​​korvaamalla:
y = z t,
missä z on t:n funktio.
Ongelmia ratkaistaessa on helpompi soveltaa korvausta välittömästi:
y = z x α ,
missä z on x:n funktio.

Esimerkki ensimmäisen kertaluvun yleisen homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisemisesta

Ratkaise differentiaaliyhtälö
(P.1) .

Tarkastetaan, onko annettu yhtälö yleistetty homogeeninen. Tätä varten sisään (P.1) vaihdon tekeminen:
y → t α y, x → t x, y′ → t α- 1 v.
.
Jaa t α:lla:
.
t pienenee, jos laitamme α = - 1 . Tämä on siis yleistetty homogeeninen yhtälö.

Teemme vaihdon:
y = z x α = z x - 1 ,
missä z on x:n funktio.
.
Korvaamme alkuperäisen yhtälön (P.1):
(P.1) ;
;
.
Kerro x:llä ja avaa sulut:
;
;
.
Jaa muuttujat - kerro dx:llä ja jaa x z:llä 2 . Jos z ≠ 0 meillä on:
.
Integroimme integraalitaulukon avulla:
;
;
;
.
Vahvistaa:
.
Korvaamme vakion e C → C ja poistamme moduulin etumerkin, koska halutun merkin valinta määräytyy vakion C etumerkin valinnan mukaan:
.

Palataan muuttujaan y. Korvaa z = xy:
.
Jaa x:llä:
(P.2) .

Kun jaetaan z:llä 2 , oletimme, että z ≠ 0 . Tarkastellaan nyt ratkaisua z = xy = 0 , tai y = 0 .
Koska y = 0 , lausekkeen vasen puoli (P.2) ei ole määritelty, niin saatuun yleisintegraaliin lisätään ratkaisu y = 0 .

;
.

Viitteet:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Kokoelma korkeamman matematiikan ongelmia, Lan, 2003.

Napsauta "Lataa arkisto" -painiketta, lataat tarvitsemasi tiedoston ilmaiseksi.
Ennen kuin lataat tämän tiedoston, muista nuo hyvät esseet, kontrollit, lukukausityöt, opinnäytetyöt, artikkeleita ja muita asiakirjoja, joita ei ole lunastettu tietokoneellasi. Tämä on sinun työtäsi, sen pitäisi osallistua yhteiskunnan kehitykseen ja hyödyttää ihmisiä. Etsi nämä teokset ja lähetä ne tietokantaan.
Me ja kaikki opiskelijat, jatko-opiskelijat, nuoret tutkijat, jotka käyttävät tietopohjaa opinnoissaan ja työssään, olemme erittäin kiitollisia sinulle.

Jos haluat ladata asiakirjan sisältävän arkiston, syötä viisinumeroinen luku alla olevaan kenttään ja napsauta "Lataa arkisto" -painiketta

Samanlaisia ​​asiakirjoja

Cauchyn ongelmat differentiaaliyhtälöille. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisun kuvaaja. Yhtälöt, joissa on erotettavissa olevat muuttujat ja pelkistys homogeenisiksi. Ensimmäisen kertaluvun homogeeniset ja epähomogeeniset lineaariyhtälöt. Bernoullin yhtälö.

luento, lisätty 18.8.2012


Tavallisten differentiaaliyhtälöiden teorian peruskäsitteet. Yhtälön merkki sisään kokonaiserot, yleisen integraalin rakentaminen. Yksinkertaisimmat tapaukset integroivan tekijän löytämiseksi. Kertoimen tapaus riippuu vain X:stä ja vain Y:stä.

lukukausityö, lisätty 24.12.2014


Differentiaaliyhtälöiden erityispiirteet funktioiden ja niiden derivaattojen välisinä suhteina. Todistus lauseen olemassaolosta ja ratkaisun ainutlaatuisuudesta. Esimerkkejä ja algoritmeja kokonaisdifferentiaalien yhtälöiden ratkaisemiseen. Integroiva tekijä esimerkeissä.

lukukausityö, lisätty 11.2.2014


Differentiaaliyhtälöt Riccati. Lineaarisen yhtälön yleinen ratkaisu. Bernoullin differentiaaliyhtälön kaikkien mahdollisten ratkaisujen löytäminen. Erotettavien muuttujien yhtälöiden ratkaisu. Clairaut'n differentiaaliyhtälön yleiset ja erikoisratkaisut.

lukukausityö, lisätty 26.1.2015


Yhtälö, jossa on erotettavia muuttujia. Homogeeniset ja lineaariset differentiaaliyhtälöt. Integraalikäyrien geometriset ominaisuudet. Kahden muuttujan funktion kokonaisdifferentiaali. Integraalin määritys Bernoullin menetelmillä ja mielivaltaisen vakion variaatiot.

tiivistelmä, lisätty 24.8.2015


Yksinkertaisimpien differentiaaliyhtälöiden ja mielivaltaisen järjestyksen differentiaaliyhtälöiden käsitteet ja ratkaisut, mukaan lukien ne, joiden analyyttiset kertoimet ovat vakioita. Lineaariyhtälöjärjestelmät. Joidenkin lineaaristen järjestelmien ratkaisujen asymptoottinen käyttäytyminen.

opinnäytetyö, lisätty 10.6.2010


Yhtälön yleinen integraali, Lagrange-menetelmän soveltaminen epähomogeenisen lineaarisen yhtälön ratkaisemiseen tuntemattoman funktion kanssa. Differentiaaliyhtälön ratkaisu parametrimuodossa. Eulerin ehto, ensimmäisen kertaluvun yhtälö kokonaisdifferentiaaleissa.

valvontatyö, lisätty 11.2.2011

def 1 tyypin ohjaus

nimeltään ensimmäisen asteen homogeeninen differentiaaliyhtälö(OODI).

Th1 Olkoon seuraavat ehdot täyttyvät funktiolle:

1) jatkuva klo

Sitten ODE:llä (1) on yhteinen integraali, joka saadaan kaavalla:

missä on jokin funktion antiderivaata Kanssa on mielivaltainen vakio.

Huomautus 1 Jos joidenkin kohdalla ehto täyttyy, niin ODE:n (1) ratkaisuprosessissa muodon mukaiset ratkaisut voivat kadota, tällaisia ​​tapauksia tulee käsitellä huolellisemmin ja jokainen niistä tulee tarkistaa erikseen.

Siis lauseesta Th1 pitäisi yleinen algoritmi ODE:n ratkaisemiseksi (1):

1) Tee vaihto:

2) Siten saadaan erotettavia muuttujia sisältävä DE, joka tulisi integroida;

3) Palaa vanhoihin g-muuttujiin;

4) Tarkista arvot niiden osallistumiselle ratkaisuun alkuperäinen kaukosäädin, jonka ehdolla

5) Kirjoita vastaus muistiin.

Esimerkki 1 Ratkaise DE (4).

Ratkaisu: DE (4) on homogeeninen differentiaaliyhtälö, koska sen muoto on (1). Tehdään korvaus (3), tämä tuo yhtälön (4) muotoon:

Yhtälö (5) on DE:n (4) yleinen integraali.

Huomaa, että muuttujia erotettaessa ja jakamisessa ratkaisut voivat hävitä, mutta se ei ole ratkaisu DE:lle (4), joka on helppo todentaa vaihtamalla suoraan tasa-arvoon (4), koska tämä arvo ei sisälly määritelmäalueeseen. alkuperäisestä DE:stä.

Vastaus:

Huomautus 2 Joskus ODE:t voidaan kirjoittaa muuttujien differentiaalien perusteella X ja y. On suositeltavaa siirtyä tästä DE-merkinnästä lausekkeeseen derivaatan kautta ja vasta sitten suorittaa korvaus (3).

Differentiaaliyhtälöt pelkistyvät homogeenisiksi.

def 2 Funktiota kutsutaan asteen k homogeeninen funktio alueella, jolle tasa-arvo täyttyy:

Tässä ovat yleisimmät DE-tyypit, jotka voidaan pelkistää muotoon (1) erilaisten muunnosten jälkeen.

1) missä on funktio on homogeeninen, nolla astetta, eli seuraava yhtälö on totta: DE (6) voidaan helposti pelkistää muotoon (1), jos laitamme , joka integroidaan edelleen käyttämällä korvausta (3).

2) (7), jossa funktiot ovat samanasteisia homogeenisia k . Myös lomakkeen (7) DE on integroitu muutoksen (3) avulla.

Esimerkki 2 Ratkaise DE (8).

Ratkaisu: Osoitetaan, että DE (8) on homogeeninen. Jaetaan sillä, mikä on mahdollista, koska se ei ole ratkaisu differentiaaliyhtälöön (8).

Tehdään korvaus (3), tämä tuo yhtälön (9) muotoon:

Yhtälö (10) on DE:n (8) yleinen integraali.

Huomaa, että muuttujia erotettaessa ja arvolla jakamalla ja arvoja vastaavat ratkaisut voivat kadota. Tarkastellaan näitä ilmaisuja. Korvataan ne DE:ksi (8):

Vastaus:

On mielenkiintoista huomata, että tätä esimerkkiä ratkaistaessa ilmestyy funktio, jota kutsutaan numeron "merkiksi". X(lukea " merkki x”), joka määritellään lausekkeella:

Huomautus 3 Ei ole tarpeen tuoda DE (6) tai (7) muotoon (1), jos on selvää, että DE on homogeeninen, on mahdollista vaihtaa välittömästi

3) Lomakkeen (11) DE integroidaan ODE:ksi, jos , kun taas korvaus suoritetaan aluksi:

(12), jossa on järjestelmän ratkaisu: (13), ja käytä sitten funktiolle korvausta (3) Kun yleinen integraali on saatu, palaa muuttujiin X ja klo.

Jos , niin yhtälön (11) oletuksena saamme DE:n erotettavilla muuttujilla.

Esimerkki 3 Ratkaise Cauchyn tehtävä (14).

Ratkaisu: Osoitetaan, että DE (14) pelkistetään homogeeniseksi DE:ksi ja integroidaan yllä olevan kaavion mukaisesti:

Ratkaisemme epähomogeenisen lineaarijärjestelmän algebralliset yhtälöt(15) Cramerin menetelmä:

Teemme muuttujien muutoksen ja integroimme tuloksena olevan yhtälön:

(16) – DE:n yleinen integraali (14). Muuttujia jaettaessa ratkaisut voivat hävitä jaettaessa lausekkeella, joka voidaan saada eksplisiittisesti toisen asteen yhtälön ratkaisemisen jälkeen. Ne otetaan kuitenkin huomioon yleisessä integraalissa (16) at

Etsitään ratkaisu Cauchyn ongelmaan: korvaamme arvot ja arvot yleisintegraaliin (16) ja löydämme Kanssa.

Siten osittaisintegraali saadaan kaavalla:

Vastaus:

4) Joitakin DE:itä on mahdollista johtaa homogeenisiin uudelle, vielä tuntemattomalle funktiolle, jos korvaamme muotoa:

Samalla numero m valitaan ehdosta, että tuloksena oleva yhtälö tulee, jos mahdollista, jossain määrin homogeeniseksi. Jos tätä ei kuitenkaan voida tehdä, tarkasteltua DE:tä ei voida pelkistää homogeeniseksi tällä tavalla.

Esimerkki 4 Ratkaise DU. (kahdeksantoista)

Ratkaisu: Osoitetaan, että DE (18) pelkistetään homogeeniseksi DE:ksi käyttämällä substituutiota (17) ja integroidaan sitten käyttämällä korvausta (3):

Etsitään Kanssa:

Siten tietyllä DE:n (24) ratkaisulla on muoto

.
Differentiaaliyhtälöt.

§ 1. Tavallisten differentiaaliyhtälöiden peruskäsitteet.

Määritelmä 1. Tavallinen differentiaaliyhtälö n-tehtävän tilaus y Perustelu x kutsutaan muodon suhteeksi

missä F on annettu funktio sen argumenteista. Tämän matemaattisten yhtälöiden luokan nimessä termi "differentiaali" korostaa, että ne sisältävät derivaatat
(erilaistumisen seurauksena muodostuneet toiminnot); termi "tavallinen" sanoo, että haluttu funktio riippuu vain yhdestä todellisesta argumentista.

Tavallinen differentiaaliyhtälö ei saa eksplisiittisesti sisältää argumenttia x, haluttu toiminto
ja mikä tahansa sen johdannainen, mutta korkein johdannainen
tulee sisällyttää yhtälöön n- Tilaus. Esimerkiksi

a)
on ensimmäisen kertaluvun yhtälö;

b)
on kolmannen kertaluvun yhtälö.

Tavallisia differentiaaliyhtälöitä kirjoitettaessa käytetään usein derivaattojen merkintää differentiaalien kautta:

sisään)
on toisen kertaluvun yhtälö;

G)
on ensimmäisen kertaluvun yhtälö,

muodostuu jakamisen jälkeen dx yhtälön vastaava muoto:
.

Toiminto
kutsutaan ratkaisuksi tavalliseen differentiaaliyhtälöön, jos siihen substituoituna siitä tulee identiteetti.

Esimerkiksi 3. asteen yhtälö

On ratkaisu
.

Yhtälön täyttävän funktion löytäminen jollakin menetelmällä, esimerkiksi valinnalla, ei tarkoita sen ratkaisemista. Tavallisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen tarkoittaa löytämistä kaikki funktioita, jotka muodostavat identiteetin, kun ne korvataan yhtälöllä. Yhtälölle (1.1) tällaisten funktioiden perhe muodostetaan mielivaltaisten vakioiden avulla ja sitä kutsutaan tavallisen differentiaaliyhtälön yleiseksi ratkaisuksi n kertaluokkaa, ja vakioiden lukumäärä vastaa yhtälön järjestystä: y(x) : Tässä tapauksessa ratkaisua kutsutaan yhtälön (1.1) yleiseksi integraaliksi.

Esimerkiksi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu
on seuraava lauseke: , ja toinen termi voidaan kirjoittaa myös muodossa
, koska mielivaltainen vakio jaettuna kahdella voidaan korvata uudella mielivaltaisella vakiolla .

Asettamalla joitain sallittuja arvoja kaikille mielivaltaisille vakioille yleisessä ratkaisussa tai yleisessä integraalissa, saamme tietyn funktion, joka ei enää sisällä mielivaltaisia ​​vakioita. Tätä funktiota kutsutaan tietyksi ratkaisuksi tai yhtälön (1.1) erityiseksi integraaliksi. Mielivaltaisten vakioiden arvojen ja siten tietyn ratkaisun löytämiseksi käytetään useita yhtälön (1.1) lisäehtoja. Esimerkiksi (1.2):lle voidaan antaa ns. alkuehdot

Alkuehtojen (1.2) oikeissa osissa on annettu funktion ja derivaattojen numeeriset arvot ja alkuehtojen kokonaismäärä on yhtä suuri kuin määritettävien mielivaltaisten vakioiden lukumäärä.

Ongelmaa tietyn ratkaisun löytämiseksi yhtälölle (1.1) alkuehdoista kutsutaan Cauchyn ongelmaksi.

§ 2. Ensimmäisen asteen tavalliset differentiaaliyhtälöt - peruskäsitteet.

1. asteen tavallinen differentiaaliyhtälö ( n=1) on muotoa:
tai jos se voidaan ratkaista johdannaisen suhteen:
. Yhteinen päätös y= y(x,FROM) tai yleinen integraali
Ensimmäisen asteen yhtälöt sisältävät yhden mielivaltaisen vakion. Ainoa alkuehto 1. asteen yhtälölle
voit määrittää vakion arvon yleisestä ratkaisusta tai yleisestä integraalista. Siten tietty ratkaisu löytyy tai, joka on myös Cauchyn ongelma, ratkaistaan. Kysymys Cauchyn ongelman ratkaisun olemassaolosta ja ainutlaatuisuudesta on yksi keskeisistä kysymyksistä yleinen teoria tavallisia differentiaaliyhtälöitä. Erityisesti ensimmäisen kertaluvun yhtälölle pätee lause, joka hyväksytään tässä ilman todisteita.

Lause 2.1. Jos yhtälössä funktio
ja sen osittainen johdannainen
jatkuva jollain alueella D kone XOY, ja tällä alueella annetaan piste
, silloin on olemassa ja lisäksi ainutlaatuinen ratkaisu, joka täyttää sekä yhtälön että alkutila
.

Geometrisesti yhteinen päätös Ensimmäisen kertaluvun yhtälöt ovat tasossa olevien käyrien perhe XOY, joilla ei ole yhteisiä kohtia ja eroavat toisistaan ​​yhdellä parametrilla - vakion arvolla C. Näitä käyriä kutsutaan annetun yhtälön integraalikäyriksi. Yhtälön integraalikäyrillä on ilmeinen geometrinen ominaisuus: jokaisessa pisteessä käyrän tangentin kulman tangentti on yhtä suuri kuin yhtälön oikean puolen arvo kyseisessä pisteessä:
. Toisin sanoen yhtälö on annettu tasossa XOY integraalikäyrien tangenttien suuntakenttä. Kommentti: On huomattava, että yhtälön osalta
yhtälö ja ns. yhtälö symmetrisessä muodossa on annettu
.

§ 3. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt erotettavilla muuttujilla.

Määritelmä. Differentiaaliyhtälö, jossa on erotettavia muuttujia, on muodon yhtälö
(3.1)

tai yhtälö, jonka muoto on (3.2)

Jotta yhtälön (3.1) muuttujat voidaan erottaa, ts. pelkistää tämä yhtälö ns. yhtälöksi erotetuilla muuttujilla, suorita seuraavat toimet:

;

Nyt meidän on ratkaistava yhtälö g(y)= 0 . Jos siihen on oikea ratkaisu y= a, sitten y= a on myös yhtälön (3.1) ratkaisu.

Yhtälö (3.2) pelkistetään erotetuksi muuttujayhtälöksi jakamalla tulolla
:

, jonka avulla voimme saada yhtälön (3.2) yleisen integraalin:
. (3.3)

Integraalikäyriä (3.3) täydennetään ratkaisuilla
jos tällaisia ​​ratkaisuja on olemassa.

Ratkaise yhtälö: .

Erottelevat muuttujat:

.

Integroimalla saamme

Kauempana yhtälöistä
ja
löytö x=1, y=-1. Nämä päätökset ovat yksityisiä päätöksiä.

§ 4. Ensimmäisen kertaluvun homogeeniset differentiaaliyhtälöt.

Määritelmä 1. Ensimmäisen kertaluvun yhtälöä kutsutaan homogeeniseksi, jos sen oikealla puolella tahansa
suhde
, jota kutsutaan kahden muuttujan funktion homogeenisuuden ehdoksi nolla ulottuvuus.

Esimerkki 1 Näytä se toiminto
- homogeeninen nollamitta.

Ratkaisu.

,

Q.E.D.

Lause. Mikä tahansa toiminto
on homogeeninen ja päinvastoin mikä tahansa homogeeninen funktio
nollamitta pienennetään muotoon
.

Todiste.

Lauseen ensimmäinen väite on ilmeinen, koska
. Todistakaamme toinen väite. Laitetaan
, sitten homogeeniselle funktiolle
, joka oli todistettava.

Määritelmä 2. Yhtälö (4.1)

jossa M ja N ovat samanasteisia homogeenisia funktioita, ts. omistaa kiinteistön kaikille , kutsutaan homogeeniseksi.

Ilmeisesti tämä yhtälö voidaan aina pelkistää muotoon
(4.2) , vaikka tätä ei ehkä tehdä sen ratkaisemiseksi.

Homogeeninen yhtälö pelkistetään yhtälöksi, jossa on erotettavia muuttujia korvaamalla haluttu funktio y kaavan mukaan y= zx, missä z(x) on uusi haluttu toiminto. Kun tämä korvaus on suoritettu yhtälössä (4.2), saadaan:
tai
tai
.

Integroimalla saadaan yhtälön yleinen integraali funktion suhteen z(x)
, joka toistuvan vaihdon jälkeen
antaa alkuperäisen yhtälön yleisen integraalin. Lisäksi jos - yhtälön juuret
, sitten toiminnot
- homogeenisen yhtälön ratkaisut. Jos
, yhtälö (4.2) saa muodon

ja siitä tulee yhtälö, jossa on erotettavia muuttujia. Sen ratkaisut ovat puolisuorat:
.

Kommentti. Joskus on suositeltavaa käyttää vaihtoa yllä olevan korvauksen sijaan x= zy.

§ 5. Differentiaaliyhtälöt pelkistyvät homogeenisiksi.

Harkitse muodon yhtälöä
. (5.1)

Jos
, niin tämä yhtälö on korvauksella , jossa ja ovat uusia muuttujia ja - jonkin verran vakioluvut määritetään järjestelmästä

Pelkistetty homogeeniseksi yhtälöksi

Jos
, yhtälö (5.1) saa muodon

.

Olettaen z= kirves+ kirjoittaja, saamme yhtälön, joka ei sisällä riippumatonta muuttujaa.

Harkitse esimerkkejä.

Esimerkki 1

Integroi yhtälö

ja korosta pisteiden läpi kulkeva integraalikäyrä: a) (2;2); b) (1;-1).

Ratkaisu.

Laitetaan y= zx. Sitten dy= xdz+ zdx ja

Lyhennetään sitä ja kerää jäseniä klo dx ja dz:

Erottelemme muuttujat:

.

Integroimalla saamme ;

tai
,
.

Korvaa täällä z päällä , saadaan annetun yhtälön yleinen integraali muodossa (5.2)
tai

.

Tämä piirien perhe
, jonka keskipisteet ovat suoralla linjalla y = x ja jotka origossa ovat suoran tangentit y + x = 0. Tämä suoraany = - x puolestaan ​​yhtälön erityinen ratkaisu.

Nyt Cauchyn tehtävätila:

A) oletetaan yleisessä integraalissa x=2, y=2, löytö C=2, niin haluttu ratkaisu on
.

B) yksikään ympyröistä (5.2) ei kulje pisteen (1;-1) läpi. Mutta puoliviiva y = - x,
kulkee pisteen läpi ja antaa halutun ratkaisun.

Esimerkki 2 Ratkaise yhtälö: .

Ratkaisu.

Yhtälö on yhtälön (5.1) erikoistapaus.

Determinantti
tässä esimerkissä
, joten meidän on ratkaistava seuraava järjestelmä

Ratkaisemalla saamme sen
. Korvauksen suorittaminen annetussa yhtälössä
, saamme homogeenisen yhtälön . Integroimalla sen korvaamiseen
, löydämme
.

Paluu vanhoihin muuttujiin x ja y kaavat
, meillä on .

§ 6. Yleistetty homogeeninen yhtälö.

Yhtälö M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 kutsutaan yleistetyksi homogeeniseksi, jos sellainen luku on mahdollista valita k että tämän yhtälön vasemmalta puolelta tulee jossain määrin homogeeninen funktio m suhteellisesti x, y, dx ja dy edellyttäen että x pidetään ensimmäisen mittauksen arvona, y – k th mittaus , dx ja dy – nolla ja (k-1) th mittaukset. Esimerkiksi tämä olisi yhtälö
. (6.1)

Voimassa mitoista tehdyn oletuksen mukaan

x, y, dx ja dy vasemman puolen jäseniä
ja dy on vastaavasti mitat -2, 2 k ja k-yksi. Yhdistämällä ne saamme ehdon, joka halutun luvun on täytettävä k: -2 = 2k=k-yksi. Tämä ehto täyttyy, kun k= -1 (sellaisen kanssa k kaikilla tarkasteltavan yhtälön vasemmalla puolella olevilla termeillä on mitat -2). Näin ollen yhtälö (6.1) on yleistetty homogeeninen.

Yleistetty homogeeninen yhtälö pelkistetään yhtälöksi, jossa on erotettavissa olevia muuttujia käyttämällä substituutiota
, missä z on uusi tuntematon toiminto. Integroidaan yhtälö (6.1) esitetyllä menetelmällä. Koska k= -1 siis
, jonka jälkeen saamme yhtälön .

Integroimalla sen löydämme
, missä
. Tämä on yhtälön (6.1) yleinen ratkaisu.

§ 7. Ensimmäisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt.

Ensimmäisen asteen lineaarinen yhtälö on yhtälö, joka on lineaarinen halutun funktion ja sen derivaatan suhteen. Se näyttää:

, (7.1)

missä P(x) ja K(x) niille annetaan jatkuvia toimintoja x. Jos toiminto
, silloin yhtälö (7.1) on muotoa:
(7.2)

ja sitä kutsutaan muuten lineaariseksi homogeeniseksi yhtälöksi
sitä kutsutaan lineaariseksi epähomogeeniseksi yhtälöksi.

Lineaarinen homogeeninen differentiaaliyhtälö (7.2) on yhtälö, jossa on erotettavia muuttujia:

(7.3)

Lauseke (7.3) on yhtälön (7.2) yleinen ratkaisu. Löytää yhtälön (7.1) yleinen ratkaisu, jossa funktio P(x) tarkoittaa samaa funktiota kuin yhtälössä (7.2), käytämme menetelmää, jota kutsutaan mielivaltaisen vakion variaatiomenetelmäksi ja joka koostuu seuraavasta: yritämme valita funktion C=C(x) niin, että lineaarisen homogeenisen yhtälön (7.2) yleinen ratkaisu olisi epähomogeenisen lineaarisen yhtälön (7.1) ratkaisu. Sitten funktion (7.3) derivaatalle saadaan:

.

Korvaamalla löydetyn derivaatan yhtälöön (7.1), saamme:

tai
.

Missä
, missä on mielivaltainen vakio. Tämän seurauksena epähomogeenisen lineaarisen yhtälön (7.1) yleinen ratkaisu on (7.4)

Tämän kaavan ensimmäinen termi edustaa lineaarisen homogeenisen differentiaaliyhtälön (7.2) yleistä ratkaisua (7.3) ja kaavan (7.4) toinen termi on yleisestä (7.4) saadun lineaarisen epähomogeenisen yhtälön (7.1) erityinen ratkaisu. ) kanssa
. Otetaan tämä tärkeä johtopäätös lauseen muodossa.

Lause. Jos lineaarisen epähomogeenisen differentiaaliyhtälön tietty ratkaisu tunnetaan
, silloin kaikilla muilla ratkaisuilla on muoto
, missä
on vastaavan lineaarisen homogeenisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu.

On kuitenkin huomattava, että 1. asteen lineaarisen epähomogeenisen differentiaaliyhtälön (7.1) ratkaisemiseen käytetään useammin toista menetelmää, jota joskus kutsutaan Bernoullin menetelmäksi. Etsimme ratkaisua yhtälöön (7.1) muodossa
. Sitten
. Korvaamme löydetyn derivaatan alkuperäiseen yhtälöön:
.

Yhdistetään esimerkiksi viimeisen lausekkeen toinen ja kolmas termi ja otetaan funktio pois u(x) suluille:
(7.5)

Vaadimme sulkujen katoavan:
.

Ratkaisemme tämän yhtälön asettamalla mielivaltaisen vakion C yhtä kuin nolla:
. Löydetyllä toiminnolla v(x) takaisin yhtälöön (7.5):
.

Ratkaisemalla sen saamme:
.

Siksi yhtälön (7.1) yleinen ratkaisu on muotoa:

§ 8. Bernoullin yhtälö.

Määritelmä.

Muodon differentiaaliyhtälö
, missä
, kutsutaan Bernoullin yhtälöksi.

Olettaen että
, jaamme Bernoullin yhtälön molemmat puolet arvolla . Tuloksena saamme:
(8.1)

Esittelemme uuden toiminnon
. Sitten
. Kerrotaan yhtälö (8.1) luvulla
ja siirrä se funktioon z(x) :
, eli toimintoa varten z(x) sai ensimmäisen asteen lineaarisen epähomogeenisen yhtälön. Tämä yhtälö ratkaistaan ​​edellisessä kappaleessa käsitellyillä menetelmillä. Korvataan sen sijaan sen yleiseen ratkaisuun z(x) ilmaisu
, saadaan Bernoulli-yhtälön yleinen integraali, joka on helppo ratkaista suhteessa y. klo
liuos lisätään y(x)=0 . Bernoullin yhtälö voidaan ratkaista myös ilman siirtymistä lineaariseen yhtälöön korvaamalla
ja soveltamalla Bernoulli-menetelmää, jota käsitellään yksityiskohtaisesti julkaisussa § 7. Harkitse tämän menetelmän soveltamista Bernoullin yhtälön ratkaisemiseen käyttämällä erityistä esimerkkiä.

Esimerkki. Etsi yhtälön yleinen ratkaisu:
(8.2)

Ratkaisu.

Siksi tämän yhtälön yleisratkaisulla on muoto:
, y(x)=0.

§ 9. Differentiaaliyhtälöt kokonaisdifferentiaaleissa.

Määritelmä. Jos yhtälössä M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 (9.1) vasen puoli on jonkin funktion kokonaisdifferentiaali U(x, y) , niin sitä kutsutaan yhtälöksi kokonaisdifferentiaaleissa. Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon du(x, y)=0 , siksi sen yleinen integraali on u(x, y)= c.

Esimerkiksi yhtälö xdy+ ydx=0 on yhtälö kokonaisdifferentiaaleissa, koska se voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon d(xy)=0. Yleinen integraali tulee olemaan xy= c on mielivaltainen differentioituva funktio. Erottelemme (9.3) u:n suhteen
§ 10. Integroiva tekijä.

Jos yhtälö M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 ei ole yhtälö kokonaisdifferentiaaleissa ja siinä on funktio µ = µ(x, y) , niin että kun yhtälön molemmat puolet kerrotaan sillä, saadaan yhtälö

µ(Mdx + Ndy) = 0 kokonaiseroissa, ts. µ(Mdx + Ndy)du, sitten toiminto µ(x, y) kutsutaan yhtälön integroivaksi tekijäksi. Siinä tapauksessa, että yhtälö on jo kokonaisdifferentiaalien yhtälö, oletamme µ = 1.

Jos integroiva tekijä löytyy µ , niin tämän yhtälön integrointi pelkistyy kertomalla molemmat sen osat luvulla µ ja tuloksena olevan yhtälön yleisen integraalin löytäminen kokonaisdifferentiaaleista.

Jos µ on jatkuvasti differentioituva funktio x ja y, sitten
.

Tästä seuraa, että integroiva tekijä µ täyttää seuraavan 1. tilauksen PDE:n:

(10.1).

Jos se tiedetään etukäteen µ= µ(ω) , missä ω on annettu funktio alkaen x ja y, yhtälö (10.1) pelkistyy tavalliseksi (ja lisäksi lineaariseksi) yhtälöksi, jolla on tuntematon funktio µ riippumattomasta muuttujasta ω :

(10.2),

missä
, eli murtoluku on vain funktio ω .

Ratkaisemalla yhtälön (10.2) löydämme integroivan tekijän

, Kanssa = 1.

Erityisesti yhtälö M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 on integroiva tekijä, joka riippuu vain x(ω = x) tai vain alkaen y(ω = y) jos seuraavat ehdot täyttyvät:

,

,
.

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt erotettavilla muuttujilla.

Määritelmä. Erotettavia muuttujia sisältävä differentiaaliyhtälö on muotoa (3.1) tai muotoa (3.2) oleva yhtälö.

Jotta yhtälön (3.1) muuttujat voidaan erottaa, ts. pelkistää tämä yhtälö ns. yhtälöksi erotetuilla muuttujilla, suorita seuraavat toimet: ;

Nyt meidän on ratkaistava yhtälö g(y) = 0. Jos siihen on oikea ratkaisu y=a, sitten y=a on myös yhtälön (3.1) ratkaisu.

Yhtälö (3.2) pelkistetään yhtälöksi, jossa on erotetut muuttujat jakamalla se tulolla:

, jonka avulla voimme saada yhtälön (3.2) yleisen integraalin: . (3.3)

Integraalikäyriä (3.3) täydennetään ratkaisuilla jos tällaisia ​​ratkaisuja on olemassa.

Homogeeniset 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt.

Määritelmä 1. Ensimmäisen asteen yhtälöä kutsutaan homogeeniseksi, jos relaatio , jota kutsutaan homogeenisuusehdoksi kahden nollamittaisen muuttujan funktiolle.

Esimerkki 1 Osoita, että funktio on homogeeninen nolladimensio.

Ratkaisu. ,

Q.E.D.

Lause. Mikä tahansa funktio on homogeeninen ja päinvastoin mikä tahansa homogeeninen nollaulotteinen funktio pelkistyy muotoon .

Todiste. Lauseen ensimmäinen väite on ilmeinen, koska . Todistakaamme toinen väite. Anna , sitten homogeeniselle funktiolle , joka oli todistettava.

Määritelmä 2. Yhtälö (4.1), jossa M ja N ovat samanasteisia homogeenisia funktioita, ts. on omaisuutta kaikille , kutsutaan homogeeniseksi. Ilmeisesti tämä yhtälö voidaan aina pelkistää muotoon (4.2) , vaikka sitä ei ehkä tehdäkään sen ratkaisemiseksi. Homogeeninen yhtälö pelkistetään yhtälöksi, jossa on erotettavia muuttujia korvaamalla haluttu funktio y kaavan mukaan y=zx, missä z(x) on uusi haluttu toiminto. Kun tämä korvaus on suoritettu yhtälössä (4.2), saadaan: tai tai .

Integroimalla saadaan yhtälön yleinen integraali funktion suhteen z(x) , joka toistuvan korvaamisen jälkeen antaa alkuperäisen yhtälön yleisen integraalin. Lisäksi, jos ovat yhtälön juuret, niin funktiot ovat homogeenisen annetun yhtälön ratkaisuja. Jos , yhtälö (4.2) saa muodon

Ja siitä tulee yhtälö, jossa on erotettavia muuttujia. Sen ratkaisut ovat puoliviivoja: .

Kommentti. Joskus on suositeltavaa käyttää vaihtoa yllä olevan korvauksen sijaan x=zy.

Yleistetty homogeeninen yhtälö.

Yhtälö M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 kutsutaan yleistetyksi homogeeniseksi, jos sellainen luku on mahdollista valita k että tämän yhtälön vasemmalta puolelta tulee jossain määrin homogeeninen funktio m suhteellisesti x, y, dx ja dy edellyttäen että x pidetään ensimmäisen mittauksen arvona, y – k- th mittaus , dx ja dy- nolla ja (k-1) th mittaukset. Esimerkiksi tämä olisi yhtälö . (6.1) Itse asiassa mittauksista tehdyn oletuksen mukaan x, y, dx ja dy vasemman puolen jäsenet ja dy on vastaavasti mitat -2, 2 k ja k-yksi. Yhdistämällä ne saamme ehdon, joka halutun luvun on täytettävä k: -2 = 2k=k-yksi. Tämä ehto täyttyy, kun k= -1 (sellaisen kanssa k kaikilla tarkasteltavan yhtälön vasemmalla puolella olevilla termeillä on mitat -2). Näin ollen yhtälö (6.1) on yleistetty homogeeninen.