vektori(tai lineaarinen) tilaa- matemaattinen rakenne, joka on joukko elementtejä, joita kutsutaan vektoreiksi, joille on määritelty yhteenlasku- ja luvulla kertomisoperaatiot - skalaari. Nämä operaatiot ovat kahdeksan aksiooman alaisia. Skalaarit voivat olla reaali-, kompleksi- tai minkä tahansa muun lukukentän elementtejä. Tällaisen avaruuden erikoistapaus on tavallinen kolmiulotteinen euklidinen avaruus, jonka vektoreita käytetään esimerkiksi esittämään fyysisiä voimia. On huomattava, että vektoria vektoriavaruuden elementtinä ei tarvitse määritellä suunnatuksi segmentiksi. "Vektorin" käsitteen yleistäminen minkä tahansa tyyppisen vektoriavaruuden elementiksi ei ainoastaan ​​aiheuta termien sekaannusta, vaan antaa meille myös mahdollisuuden ymmärtää tai jopa ennakoida useita tuloksia, jotka pätevät mielivaltaisen luonteen avaruuksiin. .

Vektoriavaruudet ovat lineaarialgebran tutkimuksen kohteena. Yksi vektoriavaruuden tärkeimmistä ominaisuuksista on sen ulottuvuus. Dimensio on tilan lineaarisesti riippumattomien elementtien enimmäismäärä, eli turvautuu karkeaan geometrinen tulkinta, niiden suuntien lukumäärä, joita ei voi ilmaista toistensa suhteen pelkällä yhteenlasku- ja skalaarikerto-operaatioilla. Vektoriavaruuteen voidaan lisätä lisärakenteita, kuten normi tai pistetulo. Tällaiset avaruudet esiintyvät luonnollisesti laskennassa, pääasiassa äärettömän ulottuvuuden muodossa (Englanti), jossa vektorit ovat funktioita . Monet analyysin ongelmat edellyttävät sen selvittämistä, konvergoiko vektorijono annettu vektori. Tällaisten kysymysten tarkastelu on mahdollista vektoriavaruuksissa, joissa on lisärakenne, useimmiten sopiva topologia, jonka avulla voidaan määritellä läheisyyden ja jatkuvuuden käsitteet. Tällaiset topologiset vektoriavaruudet, erityisesti Banachin ja Hilbertin avaruudet, mahdollistavat syvemmän tutkimuksen.

Ensimmäiset teokset, jotka ennakoivat vektoriavaruuden käsitteen käyttöönottoa, ovat peräisin 1600-luvulta. Silloin kehittyivät analyyttinen geometria, matriisien oppi, lineaariset yhtälöjärjestelmät ja euklidiset vektorit.

Määritelmä [ | ]

Lineaarinen, tai vektoriavaruus V (F) (\displaystyle V\left(F\right)) kentän yli F (\displaystyle F) on tilattu nelinkertainen (V , F , + , ⋅) (\näyttötyyli (V,F,+,\cdot)), missä

• V (\displaystyle V)- ei-tyhjä joukko mielivaltaisia ​​elementtejä, joita kutsutaan vektorit;
• F (\displaystyle F)- kenttä, jonka elementtejä kutsutaan skalaarit;
• Toiminta määritelty lisäyksiä vektorit V × V → V (\displaystyle V\times V\to V), joka vastaa jokaista elementtiparia x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y)) sarjat V (\displaystyle V) V (\displaystyle V) soittamalla heille summa ja merkitty x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
• Toiminta määritelty vektorien kertominen skalaarilla F × V → V (\displaystyle F\times V\to V), joka vastaa jokaista elementtiä λ (\displaystyle \lambda) kentät F (\displaystyle F) ja jokainen elementti x (\displaystyle \mathbf (x) ) sarjat V (\displaystyle V) sarjan ainoa elementti V (\displaystyle V), merkitty λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) ) tai λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

Samalle elementtijoukolle mutta eri kentille määritellyt vektoriavaruudet ovat erilaisia ​​vektoriavaruuksia (esimerkiksi reaalilukuparien joukko R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2)) voi olla kaksiulotteinen vektoriavaruus reaalilukukentän päällä tai yksiulotteinen - kompleksilukukentän päällä).

Yksinkertaisimmat ominaisuudet[ | ]

1. Vektoriavaruus on yhteenlaskettuna Abelin ryhmä.
2. neutraali elementti 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) ) kenelle tahansa .
4. Kenelle tahansa x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V) vastakkainen elementti − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V) on ainoa, joka seuraa ryhmän ominaisuuksista.
5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) ) kenelle tahansa x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x))) mille tahansa ja x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) ) kenelle tahansa α ∈ F (\displaystyle \alpha \in F).

Aiheeseen liittyvät määritelmät ja ominaisuudet[ | ]

aliavaruus[ | ]

Algebrallinen määritelmä: Lineaarinen aliavaruus tai vektorialiavaruus on ei-tyhjä osajoukko K (\displaystyle K) lineaarinen avaruus V (\displaystyle V) sellasta K (\displaystyle K) on itse lineaarinen avaruus suhteessa määriteltyihin V (\displaystyle V) yhteen- ja kertolaskuoperaatiot skalaarilla. Kaikkien aliavaruuksien joukko merkitään yleensä nimellä L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Jotta osajoukko olisi aliavaruus, se on välttämätöntä ja riittävää

Kaksi viimeistä lausetta vastaavat seuraavia:

Kaikille vektoreille x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \in K) vektori α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) ) kuului myös K (\displaystyle K) mille tahansa α , β ∈ F (\displaystyle \alpha ,\beta \in F).

Erityisesti vain yhdestä nollavektorista koostuva vektoriavaruus on minkä tahansa avaruuden aliavaruus; mikä tahansa tila on itsensä aliavaruus. Aliavaruuksia, jotka eivät ole samat näiden kahden kanssa, kutsutaan oma tai ei-triviaali.

Alitilan ominaisuudet[ | ]

Lineaariset yhdistelmät[ | ]

Näkymän loppusumma

Lineaarista yhdistelmää kutsutaan:

Perusta. Ulottuvuus[ | ]

Vektorit x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n)) nimeltään lineaarisesti riippuvainen, jos niillä on ei-triviaali lineaarinen yhdistelmä, joka on yhtä suuri kuin nolla:

Muuten näitä vektoreita kutsutaan lineaarisesti riippumaton.

Tämä määritelmä sallii seuraavan yleistyksen: ääretön joukko vektoreita alkaen V (\displaystyle V) nimeltään lineaarisesti riippuvainen, jos jotkut lopullinen sen osajoukko ja lineaarisesti riippumaton, jos mitään lopullinen osajoukko on lineaarisesti riippumaton.

Perusominaisuudet:

Lineaarinen kuori[ | ]

Lineaarinen kuori osajoukkoja X (\displaystyle X) lineaarinen avaruus V (\displaystyle V)- kaikkien aliavaruuksien leikkauspiste V (\displaystyle V) sisältävät X (\displaystyle X).

Lineaarinen kuori on aliavaruus V (\displaystyle V).

Lineaarista kuorta kutsutaan myös aliavaruus luotu X (\displaystyle X). Sanotaan myös, että lineaarinen jänneväli V (X) (\displaystyle (\mathcal (V)) (X))- tilaa, venytetty yli paljon X (\displaystyle X).

Lineaarinen kuori V (X) (\displaystyle (\mathcal (V)) (X)) koostuu kaikista mahdollisista lineaarisista yhdistelmistä eri elementtien äärellisistä alijärjestelmistä X (\displaystyle X). Varsinkin jos X (\displaystyle X) on siis äärellinen joukko V (X) (\displaystyle (\mathcal (V)) (X)) koostuu kaikista lineaarisista elementtien yhdistelmistä X (\displaystyle X). Siten nollavektori kuuluu aina lineaariseen jänneväliin.

Jos X (\displaystyle X) on lineaarisesti riippumaton joukko, niin se on kanta V (X) (\displaystyle (\mathcal (V)) (X)), 1980. - 454 s.

Kutsutaan lineaarisen avaruuden V ei-tyhjää osajoukkoa L lineaarinen aliavaruus väli V jos

1) \mathbf(u)+\mathbf(v)\in L~~\forall \mathbf(u,v)\in L(aliavaruus on suljettu summaustoiminnon suhteen);

2) \lambda \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(v)\in L ja mikä tahansa luku \lambda (aliavaruus on suljettu vektorin luvulla kertomisen suhteen).

Lineaarisen aliavaruuden osoittamiseksi käytämme merkintää L\triangeleft V ja jätämme sanan "lineaarinen" pois lyhyyden vuoksi.

Huomautuksia 8.7

1. Määritelmän ehdot 1, 2 voidaan korvata yhdellä ehdolla: \lambda \mathbf(u)+\mu \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(u,v)\in L ja mitkä tahansa numerot \lambda ja \mu . Tietenkin tässä ja määritelmässä puhumme mielivaltaisista luvuista numerokentästä, jonka yli avaruus V on määritelty.

2. Missä tahansa lineaarisessa avaruudessa V on kaksi lineaarista aliavaruutta:

a) itse avaruus V, ts. V\kolmiokulma V ;

b) nolla-aliavaruus \(\mathbf(o)\) , joka koostuu yhdestä avaruuden V nollavektorista, ts. . Näitä aliavaruuksia kutsutaan sopimattomiksi ja kaikkia muita oikeiksi.

3. Mikä tahansa lineaarisen avaruuden V aliavaruus L on sen osajoukko: L\kolmiovasen V~\Oikea nuoli~L\alajoukko V, mutta kaikki M\alajoukon V osajoukko ei ole lineaarinen aliavaruus, koska se voi osoittautua ei-suljetuksi lineaaristen operaatioiden suhteen.

4. Lineaariavaruuden V aliavaruus L on itse lineaarinen avaruus, jossa on samat vektorien yhteenlaskemis- ja kertolaskuoperaatiot kuin avaruudessa V , koska aksioomat 1-8 pätevät niille. Siksi voimme puhua aliavaruuden ulottuvuudesta, sen perustasta ja niin edelleen.

5. Lineaarisen avaruuden V minkään aliavaruuden L mitta ei ylitä avaruuden mittaa V\colon\,\dim(L)\leqslant \dim(V). Jos aliavaruuden L\kolmiokulma V mitta on yhtä suuri kuin äärellisulotteisen avaruuden V (\dim(L)=\dim(V)) mitta, niin aliavaruus osuu yhteen itse avaruuden kanssa: L=V .

Tämä seuraa lauseesta 8.2 (vektorijärjestelmän täydentämisestä kantaan). Todellakin, kun otetaan aliavaruuden L kanta, täydennämme sitä avaruuden V kantaan. Jos mahdollista, niin \dim(L)<\dim{V} . Если нельзя дополнить, т.е. базис подпространства L является базисом пространства V , то \dim{L}=\dim{V} . Учитывая, что пространство есть линейная оболочка базиса (см. следствие 1 теоремы 8.1), получаем L=V .

6. Lineaarisen avaruuden V mille tahansa osajoukolle M lineaarinen jänneväli on V ja:n aliavaruus M\subset \operatorname(Lin)(M)\triangeleft V.

Todellakin, jos M=\varnothing (tyhjä joukko), niin määritelmän mukaan \operaattorinimi(Lin)(M)=\(\mathbf(o)\), eli on nolla-aliavaruus ja \varnothing\subset\(\mathbf(o)\)\triangeleft V. Anna M\ne\varnothing . Meidän on todistettava, että joukko \operaattorinimi(Lin)(M) suljetaan elementtien yhteenlaskemisen ja sen elementtien numerolla kertomisen yhteydessä. Muista, että lineaarisen jänteen elementit \operaattorinimi(Lin)(M) toimivat M:n vektorien lineaarisina yhdistelminä. Koska vektorien lineaaristen yhdistelmien lineaarinen yhdistelmä on niiden lineaarinen yhdistelmä, niin ottaen huomioon kohdan 1, päätämme, että \operaattorinimi(Lin)(M) on V:n aliavaruus, ts. \operaattorinimi(Lin)(M)\kolmio vasemmalla V. Inkluusio M\subset\operatorname(Lin)(M)- ilmeinen, koska mikä tahansa vektori \mathbf(v)\ in M ​​voidaan esittää lineaarisena yhdistelmänä 1\cdot\mathbf(v) , ts. joukon osana \operaattorinimi(Lin)(M).

7. Lineaarinen kuori \operaattorinimi(Lin)(L) aliavaruus L\kolmiokulma V osuu yhteen aliavaruuden L kanssa, ts. .

Todellakin, koska lineaarinen aliavaruus L sisältää kaikki mahdolliset vektoreidensa lineaariset yhdistelmät, niin \operaattorinnimi(Lin)(L)\subset L. Vastakkainen sisällyttäminen (L\subset\operatorname(Lin)(L)) seuraa kohdasta 6. \operaattorinimi(Lin)(L)=L.

Esimerkkejä lineaarisista aliavaruuksista

Osoitamme joitain lineaariavaruuksien aliavaruuksia, joista esimerkkejä tarkasteltiin aiemmin. Lineaarisen avaruuden kaikkia aliavaruuksia on mahdotonta luetella, paitsi triviaalisissa tapauksissa.

1. Avaruus \(\mathbf(o)\) , joka koostuu yhdestä avaruuden V nollavektorista, on aliavaruus, ts. \(\mathbf(o)\)\triangeleft V.

2. Olkoot V_1,\,V_2,\,V_3, kuten edellä, vektorijoukkoja (suunnattuja segmenttejä) suoralla, tasossa, vastaavasti avaruudessa. Jos viiva kuuluu tasolle, niin V_1\kolmiovasen V_2\kolmiovasen V_3. Päinvastoin, yksikkövektorijoukko ei ole lineaarinen aliavaruus, koska kertomalla vektori luvulla, joka ei ole yhtä suuri kuin yksi, saadaan vektori, joka ei kuulu joukkoon.

3. Tarkastellaan n-ulotteisessa aritmeettisessa avaruudessa \mathbb(R)^n muodon "puolinolla"-sarakkeiden joukkoa L x=\begin(pmatriisi) x_1&\cdots& x_m&0&\cdots&0\end(pmatriisi)^T viimeisten (n-m) elementtien ollessa nolla. "Puolinolla" -sarakkeiden summa on samanlainen sarake, ts. lisäystoiminto suljetaan kirjaimella L . Kertomalla "puolinolla"-sarake luvulla saadaan "puolinolla"-sarake, ts. luvulla kertomisen operaatio on suljettu L:ssä. Siksi L\triangleleft \mathbb(R)^n ja \dim(L)=m. Päinvastoin, nollasta poikkeavien sarakkeiden osajoukko \mathbb(R)^n ei ole lineaarinen aliavaruus, koska nollalla kerrottuna saadaan nollasarake, joka ei kuulu tarkasteltavana olevaan joukkoon. Esimerkkejä muista aliavaruuksista \mathbb(R)^n annetaan seuraavassa alaosassa.

4. Homogeenisen yhtälöjärjestelmän, jossa on n tuntematonta, ratkaisujen avaruus \(Ax=o\) on n-ulotteisen aritmeettisen avaruuden \mathbb(R)^n aliavaruus. Tämän aliavaruuden ulottuvuus määräytyy järjestelmän matriisin mukaan: \dim\(Ax=o\)=n-\operaattorinnimi(rg)A.

Epähomogeenisen järjestelmän ratkaisujen joukko \(Ax=b\) (jolle b\ne o ) ei ole \mathbb(R)^n :n aliavaruus, koska kahden ratkaisun summa on epähomogeeninen; järjestelmä ei ole saman järjestelmän ratkaisu.

5. Tarkastellaan kertaluvun l neliömatriisien avaruudessa M_(n\kertaa n) kahta osajoukkoa: symmetristen matriisien joukko ja joukko M_(n\kertaa n)^(\teksti(kos)) vinossa-symmetriset matriisit. Symmetristen matriisien summa on symmetrinen matriisi, ts. lisäystoiminto on suljettu M_(n\kertaa n)^(\teksti(sim)). Myöskään symmetrisen matriisin kertominen luvulla ei riko symmetriaa, ts. matriisin kertominen luvulla sulkeutuu M_(n\kertaa n)^(\teksti(sim)). Siksi symmetristen matriisien joukko on neliömatriisien avaruuden aliavaruus, ts. M_(n\kertaa n)^(\teksti(sim))\kolmiokulma M_(n\kertaa n). Tämän aliavaruuden ulottuvuus on helppo löytää. Vakioperustan muodostavat: l matriisi, jonka päädiagonaalissa on yksi nollasta poikkeava (yksi) elementti: a_(ii)=1~ i=1,\ldots,n, sekä matriisit, joissa on kaksi nollasta poikkeavaa (yhtä yhtä) alkiota, jotka ovat symmetrisiä päädiagonaalin suhteen: a_(ij)=a_(ji)=1, i=1,\ldots,n, j=i,i+1 ,\ldots, n. Yhteensä pohjalta tulee olemaan (n+(n-1)+\ldots+2+1= \frac(n(n+1))(2)) matriiseja. Näin ollen \dim(M_(n\times n)^(\text(sim)))= \frac(n(n+1))(2). Samalla tavalla saamme sen M_(n\kertaa n)^(\teksti(kos))\kolmiokulma M_(n\kertaa n) ja \dim(M_(n\times n)^(\text(kos)))= \frac(n(n+1))(2).

N:nnen kertaluvun rappeutuneiden neliömatriisien joukko ei ole M_(n\kertaa n) aliavaruus, koska kahden degeneroituneen matriisin summa voi osoittautua ei-degeneroituneeksi matriisiksi esimerkiksi avaruudessa M_(2 \times2):

\begin(pmatrix)1&0\\0&0\end(pmatrix)+ \begin(pmatrix)0&0\\0&1\end(pmatrix)= \begin(pmatrix)1&0\\0&1\end(pmatrix)\!.

6. Polynomien P(\mathbb(R)) avaruudessa todellisilla kertoimilla voidaan määrittää luonnollinen aliavaruuksien ketju

P_0(\mathbb(R))\kolmiovasen P_1(\mathbb(R))\kolmiopiste P_2(\mathbb(R))\kolmiokulma \ldots \kolmiokulma P_n(\mathbb(R))\kolmiokulma \ldots \kolmioleft P( \mathbb(R)).

Parillisten polynomien joukko (p(-x)=p(x)) on P(\mathbb(R)) lineaarinen aliavaruus, koska parillisten polynomien summa ja parillisen polynomin tulo luvulla on parillinen polynomit. Parittomien polynomien joukko (p(-x)=-p(x)) on myös lineaarinen avaruus. Polynomien joukko todellisilla juurilla ei ole lineaarinen aliavaruus, koska tällaisen kahden polynomin lisääminen voi johtaa polynomiin, jolla ei ole todellisia juuria, esim. (x^2-x)+(x+1)=x^2+1.

7. Avaruudessa C(\mathbb(R)) voidaan määrittää luonnollinen aliavaruuksien ketju:

C(\mathbb(R))\triangleright C^1(\mathbb(R))\triangleright C^2(\mathbb(R)) \triangleright \ldots\triangleright C^m(\mathbb(R))\triangleright \ldots

P(\mathbb(R)):n polynomeja voidaan tarkastella funktiona, joka on määritetty \mathbb(R) :ssä. Koska polynomi on jatkuva funktio minkä tahansa järjestyksen johdannaisten kanssa, voimme kirjoittaa: P(\mathbb(R))\kolmiokulma C(\mathbb(R)) ja P_n(\mathbb(R))\kolmiokulma C^m(\mathbb(R)) \forall m,n\in\mathbb(N). Trigonometristen binomien avaruus T_(\omega) (\mathbb(R)) on aliavaruus ×

Määritelmä 6.1. aliavaruus L n-ulotteinen tila R kutsutaan joukoksi vektoreita, jotka muodostavat lineaarisen avaruuden suhteessa määriteltyihin toimiin R.

Toisin sanoen, L kutsutaan avaruuden aliavaruudeksi R jos alkaen x, y∈L seuraa sitä x+y∈L ja jos x∈L, sitten λ x∈L, missä λ - mikä tahansa todellinen luku.

Yksinkertaisin esimerkki aliavaruudesta on nolla-aliavaruus, ts. avaruuden osajoukko R, joka koostuu yhdestä nollaelementistä. Koko tila voi olla myös alitila. R. Näitä aliavaruuksia kutsutaan triviaali tai ei-omaa.

aliavaruus n-ulotteinen avaruus on äärellisulotteinen ja sen ulottuvuus ei ylitä n: himmeä L≤ himmeä R.

Aliavaruuksien summa ja leikkauspiste

Päästää L ja M- kaksi avaruutta R.

Määrä L+M kutsutaan vektorijoukoksi x+y, missä x∈L ja y∈M. Ilmeisesti mikä tahansa vektorien lineaarinen yhdistelmä L+M kuuluu L+M, Näin ollen L+M on tilan aliavaruus R(saattaa osua yhteen tilan kanssa R).

ylitys L∩M aliavaruuksia L ja M on joukko vektoreita, jotka kuuluvat samanaikaisesti aliavaruuksiin L ja M(voi koostua vain nollavektorista).

Lause 6.1. Satunnaisten aliavaruuksien mittojen summa L ja Määrellisulotteinen lineaarinen avaruus R on yhtä suuri kuin näiden aliavaruuksien summan ja näiden aliavaruuksien leikkauspisteen mitta:

himmeä L+himmeä M=himmeä(L+M)+himmeä(L∩M).

Todiste. Merkitse F=L+M ja G=L∩M. Päästää G g-ulotteinen aliavaruus. Valitsemme siihen perustan. Koska G⊂L ja G⊂M, siis peruste G voidaan lisätä pohjaan L ja tukikohtaan M. Olkoon perusteella aliavaruuden L ja anna aliavaruuden perusta M. Osoittakaamme, että vektorit

kuuluu aliavaruuteen G=L∩M. Toisaalta vektori v voidaan esittää aliavaruuden kantavektoreiden lineaarisella yhdistelmällä G:

Yhtälöistä (6.4) ja (6.5) saamme:

Johtuen aliavaruuden perustan lineaarisesta riippumattomuudesta L meillä on:

ovat lineaarisesti riippumattomia. Mutta mikä tahansa vektori z alkaen F(aliavaruuksien summan määritelmän mukaan) voidaan esittää summalla x+y, missä x∈L, y∈M. puolestaan x on esitetty vektoreiden a lineaarisella yhdistelmällä y- vektoreiden lineaarinen yhdistelmä. Siten vektorit (6.10) generoivat aliavaruuden F. Olemme havainneet, että vektorit (6.10) muodostavat kannan F=L+M.

Osa-avaruuksien kantojen tutkiminen L ja M ja aliavaruuden perusteella F=L+M(6.10), meillä on: himmeä L=g+l, himmeä M=g+m, himmeä (L+M)=g+l+m. Näin ollen:

dimL+dimM−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Aliavaruuksien suora summa

Määritelmä 6.2. Avaruus F on aliavaruuksien suora summa L ja M, jos jokainen vektori x tilaa F voidaan esittää vain summana x=y+z, missä y∈ L ja z∈M.

Suora summa on merkitty L⊕M. He sanovat, että jos F=L⊕M, sitten F hajoaa aliavaruuksiensa suoraksi summaksi L ja M.

Lause 6.2. Vastaanottaja n-ulotteinen tila R oli aliavaruuksien suora summa L ja M, riittää, että risteys L ja M sisältää vain nolla-alkion ja että R:n mitta on yhtä suuri kuin aliavaruuksien mittojen summa L ja M.

Todiste. Valitaan jokin kanta aliavaruuteen L ja jokin kanta aliavaruuteen M. Todistetaan se

Koska (6.13):n vasen puoli on aliavaruuden vektori L, ja oikea puoli on aliavaruuden vektori M ja L∩M=0 , sitten

Missä tahansa lineaarinen avaruus on mahdollista valita tällainen osajoukko vektorit, joka operaatioiden alla on itse lineaarinen avaruus. Tämä voidaan tehdä useilla tavoilla, ja tällaisten osajoukkojen rakenne sisältää tärkeää tietoa itse lineaarista avaruudesta.

Määritelmä 2.1. Lineaarisen avaruuden osajoukko nimeltään lineaarinen aliavaruus, jos seuraavat kaksi ehtoa täyttyvät:

Määritelmä 2.1 sanoo itse asiassa, että lineaarinen aliavaruus on mikä tahansa osajoukko annettu lineaarinen avaruus, suljettu lineaarisilla operaatioilla, nuo. lineaaristen operaatioiden soveltaminen tähän osajoukkoon kuuluviin vektoreihin ei poista tulosta osajoukosta. Osoitetaan, että lineaarinen aliavaruus H itsenäisenä kohteena on lineaarinen avaruus ympäröivässä lineaariavaruudessa annettujen operaatioiden suhteen. Itse asiassa nämä toiminnot on määritelty kaikille joukon elementeille ja siten osajoukon elementeille H. Määritelmä 2.1 itse asiassa edellyttää, että elementeille from H toiminnan tulos kuului myös H. Siksi kohdassa määriteltyjä operaatioita voidaan pitää kapeamman joukon operaatioina H. Näihin toimintoihin kuvauksessa H lineaarisen avaruuden aksioomit a)-b) ja e)-h) täyttyvät, koska ne ovat voimassa . Lisäksi loput kaksi aksioomaa täyttyvät, koska määritelmän 2.1 mukaan, jos silloin:

1) ja 0- nollavektori sisään H;

2) .

Missä tahansa lineaarisessa avaruudessa lineaarista aliavaruutta on aina kaksi: itse lineaarinen avaruus ja tyhjä aliavaruus {0}, yksittäinen elementti 0. Näitä lineaarisia aliavaruuksia kutsutaan ei omista, kun taas kaikkia muita lineaarisia aliavaruuksia kutsutaan oma. Annetaan esimerkkejä oikeista lineaarisista aliavaruuksista.

Esimerkki 2.1. Kolmiulotteisen avaruuden vapaiden vektorien lineaarisessa avaruudessa lineaarinen aliavaruus muodostuu:

a) kaikki vektorit, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​annetun tason kanssa;

b) kaikki vektorit, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​annetun suoran kanssa.

Tämä seuraa seuraavista näkökohdista. Vapaiden vektorien summan määritelmästä seuraa, että kaksi vektoria ja niiden summa ovat samassa tasossa (kuva 2.1, a). Siksi, jos ja ovat yhdensuuntaiset tietyn tason kanssa, niiden summa on samansuuntainen saman tason kanssa. Näin ollen todetaan, että tapauksen a) osalta määritelmän 2.1 ehto 1) täyttyy. Jos vektori kerrotaan luvulla, saadaan alkuperäiseen nähden kollineaarinen vektori (kuva 2.1.6). Tämä todistaa määritelmän 2.1 ehdon 2) täyttymisen. Tapaus b) on perusteltu samalla tavalla.

Lineaarinen avaruus antaa visuaalisen esityksen siitä, mikä lineaarinen aliavaruus on. Todellakin, me korjaamme jonkin pisteen avaruudessa. Tällöin eri tasot ja erilaiset tämän pisteen läpi kulkevat suorat vastaavat erilaisia ​​lineaarisia aliavaruuksia (kuva 2.2).

Ei ole niin ilmeistä, ettei sisällä muita asianmukaisia ​​aliavaruuksia. Jos on lineaarisessa aliavaruudessa H ei siis ole nollasta poikkeavia vektoreita H - nolla lineaarista aliavaruutta, mikä on väärin. Jos sisään H on nollasta poikkeava vektori ja mitkä tahansa kaksi vektoria alkaen H ovat kollineaarisia, silloin kaikki tämän lineaarisen aliavaruuden vektorit ovat yhdensuuntaisia ​​jonkin kiinteän pisteen kautta kulkevan suoran kanssa. Näin ollen H osuu yhteen tapauksen b) mukaisen lineaarisen aliavaruuden kanssa. Jos sisään H on kaksi ei-kollineaarista vektoria, ja mitkä tahansa kolme vektoria ovat samassa tasossa, silloin kaikki tällaisen lineaarisen aliavaruuden vektorit ovat yhdensuuntaisia ​​jonkin kiinteän pisteen kautta kulkevan tason kanssa. Tämä on tapaus a). Päästä sisään lineaarinen aliavaruus H on kolme ei-samantasoista vektoria. Sitten ne muodostuvat perusta sisään . Mikä tahansa vapaa vektori voidaan esittää muodossa lineaarinen yhdistelmä nämä vektorit. Siten kaikki vapaat vektorit putoavat lineaariseen aliavaruuteen H, ja siksi se on sama kuin . Tässä tapauksessa saamme väärän lineaarisen aliavaruuden. Joten kaikki oikeat aliavaruudet voidaan esittää tasoina tai suorina, jotka kulkevat kiinteän pisteen kautta.

Esimerkki 2.2. Mikä tahansa homogeenisen lineaarialgebrallisen yhtälöjärjestelmän (SLAE) ratkaisu P muuttujia voidaan tarkastella vektoreina lineaariset aritmeettiset avaruudet . Kaikkien tällaisten vektoreiden joukko on lineaarinen aliavaruus . Homogeenisen SLAE:n ratkaisut voidaan todellakin lisätä komponentti kerrallaan ja kertoa reaaliluvuilla, ts. vektorien lisäämissääntöjen mukaisesti kohteesta . Toimenpiteen tuloksena tulee jälleen homogeenisen SLAE:n ratkaisu. Siten molemmat lineaarisen aliavaruuden määritelmän ehdot täyttyvät.

Yhtälössä on joukko ratkaisuja, joka on lineaarinen aliavaruus. Mutta samaa yhtälöä voidaan pitää tason yhtälönä jossain suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa. Taso kulkee origon läpi ja tason kaikkien pisteiden sädevektorit muodostavat kaksiulotteisen aliavaruuden lineaarisessa avaruudessa

Homogeenisen SLAE:n ratkaisujen joukko

muodostaa myös lineaarisen aliavaruuden . Samanaikaisesti tätä järjestelmää voidaan pitää suoran suoran yleiset yhtälöt avaruudessa, annettu jossain suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä .. Tämä viiva kulkee origon läpi, ja sen kaikkien pisteiden sädevektorit muodostavat yksiulotteisen aliavaruuden .

Esimerkki 2.3. Järjestyksen neliömatriisien lineaarisessa avaruudessa P lineaarisen aliavaruuden muodostaa:

a) kaikki symmetriset matriisit;

b) kaikki vinosymmetriset matriisit;

c) kaikki ylemmät (alemmat) kolmiomatriisit.

Kun tällaisia ​​matriiseja lasketaan yhteen tai kerrotaan luvulla, saadaan samanlainen matriisi. Sitä vastoin degeneroituneiden matriisien osajoukko ei ole lineaarinen aliavaruus, koska kahden degeneroituneen matriisin summa voi olla ei-degeneroitunut matriisi:

Esimerkki 2.4. Segmentillä jatkuvien funktioiden lineaarisessa avaruudessa voidaan erottaa seuraavat lineaariset aliavaruudet:

a) joukko funktioita, jotka ovat jatkuvia välissä ja jatkuvasti differentioituvia välillä (0,1) (tämä väite perustuu differentioituvien funktioiden ominaisuuksiin: differentioituvien funktioiden summa on differentioituva funktio, differentioituvan tulo funktio numerolla on differentioituva funktio);

b) kaikkien polynomien joukko;

c) asettaa korkeintaan kaikki astepolynomit n.

Kutsutaan lineaarisen avaruuden V ei-tyhjää osajoukkoa L lineaarinen aliavaruus väli V jos

1) \mathbf(u)+\mathbf(v)\in L~~\forall \mathbf(u,v)\in L(aliavaruus on suljettu summaustoiminnon suhteen);

2) \lambda \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(v)\in L ja mikä tahansa luku \lambda (aliavaruus on suljettu vektorin luvulla kertomisen suhteen).

Lineaarisen aliavaruuden osoittamiseksi käytämme merkintää L\triangeleft V ja jätämme sanan "lineaarinen" pois lyhyyden vuoksi.

Huomautuksia 8.7

1. Määritelmän ehdot 1, 2 voidaan korvata yhdellä ehdolla: \lambda \mathbf(u)+\mu \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(u,v)\in L ja mitkä tahansa numerot \lambda ja \mu . Tietenkin tässä ja määritelmässä puhumme mielivaltaisista luvuista numerokentästä, jonka yli avaruus V on määritelty.

2. Missä tahansa lineaarisessa avaruudessa V on kaksi lineaarista aliavaruutta:

a) itse avaruus V, ts. V\kolmiokulma V ;

b) nolla-aliavaruus \(\mathbf(o)\) , joka koostuu yhdestä avaruuden V nollavektorista, ts. . Näitä aliavaruuksia kutsutaan sopimattomiksi ja kaikkia muita oikeiksi.

3. Mikä tahansa lineaarisen avaruuden V aliavaruus L on sen osajoukko: L\kolmiovasen V~\Oikea nuoli~L\alajoukko V, mutta kaikki M\alajoukon V osajoukko ei ole lineaarinen aliavaruus, koska se voi osoittautua ei-suljetuksi lineaaristen operaatioiden suhteen.

4. Lineaariavaruuden V aliavaruus L on itse lineaarinen avaruus, jossa on samat vektorien yhteenlaskemis- ja kertolaskuoperaatiot kuin avaruudessa V , koska aksioomat 1-8 pätevät niille. Siksi voimme puhua aliavaruuden ulottuvuudesta, sen perustasta ja niin edelleen.

5. Lineaarisen avaruuden V minkään aliavaruuden L mitta ei ylitä avaruuden mittaa V\colon\,\dim(L)\leqslant \dim(V). Jos aliavaruuden L\kolmiokulma V mitta on yhtä suuri kuin äärellisulotteisen avaruuden V mitta (\dim(L)=\dim(V)), silloin aliavaruus on sama kuin itse avaruus: L=V .

Tämä seuraa lauseesta 8.2 (vektorijärjestelmän täydentämisestä kantaan). Todellakin, kun otetaan aliavaruuden L kanta, täydennämme sitä avaruuden V kantaan. Jos mahdollista, niin \dim(L)<\dim{V} . Если нельзя дополнить, т.е. базис подпространства L является базисом пространства V , то \dim{L}=\dim{V} . Учитывая, что пространство есть линейная оболочка базиса (см. следствие 1 теоремы 8.1), получаем L=V .

6. Lineaarisen avaruuden V mille tahansa osajoukolle M lineaarinen jänneväli on V ja:n aliavaruus M\subset \operatorname(Lin)(M)\triangeleft V.

Todellakin, jos M=\varnothing (tyhjä joukko), niin määritelmän mukaan \operaattorinimi(Lin)(M)=\(\mathbf(o)\), eli on nolla-aliavaruus ja \varnothing\subset\(\mathbf(o)\)\triangeleft V. Anna M\ne\varnothing . Meidän on todistettava, että joukko \operaattorinimi(Lin)(M) suljetaan elementtien yhteenlaskemisen ja sen elementtien numerolla kertomisen yhteydessä. Muista, että lineaarisen jänteen elementit \operaattorinimi(Lin)(M) toimivat M:n vektorien lineaarisina yhdistelminä. Koska vektorien lineaaristen yhdistelmien lineaarinen yhdistelmä on niiden lineaarinen yhdistelmä, niin ottaen huomioon kohdan 1, päätämme, että \operaattorinimi(Lin)(M) on V:n aliavaruus, ts. \operaattorinimi(Lin)(M)\kolmio vasemmalla V. Inkluusio M\subset\operatorname(Lin)(M)- ilmeinen, koska mikä tahansa vektori \mathbf(v)\ in M ​​voidaan esittää lineaarisena yhdistelmänä 1\cdot\mathbf(v) , ts. joukon osana \operaattorinimi(Lin)(M).

7. Lineaarinen kuori \operaattorinimi(Lin)(L) aliavaruus L\kolmiokulma V osuu yhteen aliavaruuden L kanssa, ts. .

Todellakin, koska lineaarinen aliavaruus L sisältää kaikki mahdolliset vektoreidensa lineaariset yhdistelmät, niin \operaattorinnimi(Lin)(L)\subset L. Vastakkainen sisällyttäminen (L\subset\operatorname(Lin)(L)) seuraa kohdasta 6. \operaattorinimi(Lin)(L)=L.

Esimerkkejä lineaarisista aliavaruuksista

Osoitamme joitain lineaariavaruuksien aliavaruuksia, joista esimerkkejä tarkasteltiin aiemmin. Lineaarisen avaruuden kaikkia aliavaruuksia on mahdotonta luetella, paitsi triviaalisissa tapauksissa.

1. Avaruus \(\mathbf(o)\) , joka koostuu yhdestä avaruuden V nollavektorista, on aliavaruus, ts. \(\mathbf(o)\)\triangeleft V.

2. Olkoot V_1,\,V_2,\,V_3, kuten edellä, vektorijoukkoja (suunnattuja segmenttejä) suoralla, tasossa, vastaavasti avaruudessa. Jos viiva kuuluu tasolle, niin V_1\kolmiovasen V_2\kolmiovasen V_3. Päinvastoin, yksikkövektorijoukko ei ole lineaarinen aliavaruus, koska kertomalla vektori luvulla, joka ei ole yhtä suuri kuin yksi, saadaan vektori, joka ei kuulu joukkoon.

3. Tarkastellaan n-ulotteisessa aritmeettisessa avaruudessa \mathbb(R)^n muodon "puolinolla"-sarakkeiden joukkoa L x=\begin(pmatriisi) x_1&\cdots& x_m&0&\cdots&0\end(pmatriisi)^T viimeisten (n-m) elementtien ollessa nolla. "Puolinolla" -sarakkeiden summa on samanlainen sarake, ts. lisäystoiminto suljetaan kirjaimella L . Kertomalla "puolinolla"-sarake luvulla saadaan "puolinolla"-sarake, ts. luvulla kertomisen operaatio on suljettu L:ssä. Siksi L\triangleleft \mathbb(R)^n ja \dim(L)=m. Päinvastoin, nollasta poikkeavien sarakkeiden osajoukko \mathbb(R)^n ei ole lineaarinen aliavaruus, koska nollalla kerrottuna saadaan nollasarake, joka ei kuulu tarkasteltavana olevaan joukkoon. Esimerkkejä muista aliavaruuksista \mathbb(R)^n annetaan seuraavassa alaosassa.

4. Homogeenisen yhtälöjärjestelmän, jossa on n tuntematonta, ratkaisujen avaruus \(Ax=o\) on n-ulotteisen aritmeettisen avaruuden \mathbb(R)^n aliavaruus. Tämän aliavaruuden ulottuvuus määräytyy järjestelmän matriisin mukaan: \dim\(Ax=o\)=n-\operaattorinnimi(rg)A.

Epähomogeenisen järjestelmän ratkaisujen joukko \(Ax=b\) (jolle b\ne o ) ei ole \mathbb(R)^n :n aliavaruus, koska kahden ratkaisun summa on epähomogeeninen; järjestelmä ei ole saman järjestelmän ratkaisu.

5. Tarkastellaan kertaluvun l neliömatriisien avaruudessa M_(n\kertaa n) kahta osajoukkoa: symmetristen matriisien joukko ja joukko M_(n\kertaa n)^(\teksti(kos)) vinossa-symmetriset matriisit. Symmetristen matriisien summa on symmetrinen matriisi, ts. lisäystoiminto on suljettu M_(n\kertaa n)^(\teksti(sim)). Myöskään symmetrisen matriisin kertominen luvulla ei riko symmetriaa, ts. matriisin kertominen luvulla sulkeutuu M_(n\kertaa n)^(\teksti(sim)). Siksi symmetristen matriisien joukko on neliömatriisien avaruuden aliavaruus, ts. M_(n\kertaa n)^(\teksti(sim))\kolmiokulma M_(n\kertaa n). Tämän aliavaruuden ulottuvuus on helppo löytää. Vakioperustan muodostavat: l matriisi, jonka päädiagonaalissa on yksi nollasta poikkeava (yksi) elementti: a_(ii)=1~ i=1,\ldots,n, sekä matriisit, joissa on kaksi nollasta poikkeavaa (yhtä yhtä) alkiota, jotka ovat symmetrisiä päädiagonaalin suhteen: a_(ij)=a_(ji)=1, i=1,\ldots,n, j=i,i+1 ,\ldots, n. Yhteensä pohjalta tulee olemaan (n+(n-1)+\ldots+2+1= \frac(n(n+1))(2)) matriiseja. Näin ollen \dim(M_(n\times n)^(\text(sim)))= \frac(n(n+1))(2). Samalla tavalla saamme sen M_(n\kertaa n)^(\teksti(kos))\kolmiokulma M_(n\kertaa n) ja \dim(M_(n\times n)^(\text(kos)))= \frac(n(n+1))(2).

N:nnen kertaluvun rappeutuneiden neliömatriisien joukko ei ole M_(n\kertaa n) aliavaruus, koska kahden degeneroituneen matriisin summa voi osoittautua ei-degeneroituneeksi matriisiksi esimerkiksi avaruudessa M_(2 \times2):

\begin(pmatrix)1&0\\0&0\end(pmatrix)+ \begin(pmatrix)0&0\\0&1\end(pmatrix)= \begin(pmatrix)1&0\\0&1\end(pmatrix)\!.

6. Polynomien P(\mathbb(R)) avaruudessa todellisilla kertoimilla voidaan määrittää luonnollinen aliavaruuksien ketju

P_0(\mathbb(R))\kolmiovasen P_1(\mathbb(R))\kolmiopiste P_2(\mathbb(R))\kolmiokulma \ldots \kolmiokulma P_n(\mathbb(R))\kolmiokulma \ldots \kolmioleft P( \mathbb(R)).

Parillisten polynomien joukko (p(-x)=p(x)) on P(\mathbb(R)) lineaarinen aliavaruus, koska parillisten polynomien summa ja parillisen polynomin tulo luvulla on parillinen polynomit. Parittomien polynomien joukko (p(-x)=-p(x)) on myös lineaarinen avaruus. Polynomien joukko todellisilla juurilla ei ole lineaarinen aliavaruus, koska tällaisen kahden polynomin lisääminen voi johtaa polynomiin, jolla ei ole todellisia juuria, esim. (x^2-x)+(x+1)=x^2+1.

7. Avaruudessa C(\mathbb(R)) voidaan määrittää luonnollinen aliavaruuksien ketju:

C(\mathbb(R))\triangleright C^1(\mathbb(R))\triangleright C^2(\mathbb(R)) \triangleright \ldots\triangleright C^m(\mathbb(R))\triangleright \ldots

P(\mathbb(R)):n polynomeja voidaan tarkastella funktiona, joka on määritetty \mathbb(R) :ssä. Koska polynomi on jatkuva funktio minkä tahansa järjestyksen johdannaisten kanssa, voimme kirjoittaa: P(\mathbb(R))\kolmiokulma C(\mathbb(R)) ja P_n(\mathbb(R))\kolmiokulma C^m(\mathbb(R)) \forall m,n\in\mathbb(N). Trigonometristen binomien avaruus T_(\omega) (\mathbb(R)) on C^m(\mathbb(R)) aliavaruus, koska funktion minkä tahansa järjestyksen derivaatat f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t jatkuva, ts. T_(\omega)(\mathbb(R))\kolmiokulma C^m(\mathbb(R)) \forall m\in \mathbb(N). Jatkuvien jaksollisten funktioiden joukko ei ole C(\mathbb(R)):n aliavaruus, koska kahden jaksollisen funktion summa voi osoittautua ei-jaksolliseksi funktioksi, esim. \sin(t)+\sin(\pi t).