Palauta funktio sen kokonaisdifferentiaalista. Differentiaaliyhtälöt kokonaisdifferentiaaleina

Vakiomuoto $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, jossa vasen puoli on jonkin funktion $F kokonaisdifferentiaali \left(x,y\right)$ kutsutaan yhtälöksi kokonaisdifferentiaaleissa.

Kokonaisdifferentiaaliyhtälö voidaan aina kirjoittaa uudelleen muotoon $dF\left(x,y\right)=0$, missä $F\left(x,y\oikea)$ on funktio, jossa $dF\left(x, y \right)=P\left(x,y\oikea)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Integroimme yhtälön $dF\left(x,y\right)=0$ molemmat puolet: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; nollan oikean puolen integraali on yhtä suuri kuin mielivaltainen vakio $C$. Täten, yhteinen päätös tämän yhtälön implisiittisessä muodossa on muoto $F\left(x,y\right)=C$.

Jotta tietty differentiaaliyhtälö olisi kokonaisdifferentiaalien yhtälö, on välttämätöntä ja riittävää, että ehto $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ täyttyy . Jos tämä ehto täyttyy, on olemassa funktio $F\left(x,y\right)$, jolle voidaan kirjoittaa: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\frac( \partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, josta saamme kaksi relaatiota: $\ frac(\ partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ ja $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\oikea)$.

Integroimme ensimmäisen suhteen $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ yli $x$ ja saamme $F\left(x,y\right)=\int P\ vasen(x,y\oikea)\cdot dx +U\left(y\oikea)$ missä $U\left(y\oikea)$ -- mielivaltainen toiminto alkaen $y$.

Valitaan se niin, että toinen relaatio $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ täyttyy. Tätä varten erotamme tuloksena olevan suhteen $F\left(x,y\right)$ suhteessa $y$:iin ja rinnastamme tuloksen $Q\left(x,y\right)$. Saamme: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\oikea)$.

Seuraava ratkaisu on:

viimeisestä yhtälöstä löydämme $U"\left(y\right)$;
integroi $U"\left(y\right)$ ja etsi $U\left(y\right)$;
korvaa $U\left(y\right)$ $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\oikea)$ ja lopuksi saadaan funktio $F\left(x,y\right)$.

Löydämme eron:

Integroimme $U"\left(y\right)$ $y$:n päälle ja löydämme $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Etsi tulos: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Kirjoitamme yleisen ratkaisun muodossa $F\left(x,y\right)=C$, nimittäin:

Etsi tietty ratkaisu $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, missä $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 dollaria:

Tietyllä ratkaisulla on muoto: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

joitain toimintoja. Jos palautamme funktion sen kokonaisdifferentiaalista, löydämme yleisen integraalin differentiaaliyhtälö. Alla puhumme aiheesta menetelmä funktion palauttamiseksi sen kokonaisdifferentiaalista.

Differentiaaliyhtälön vasen puoli on jonkin funktion kokonaisdifferentiaali U(x, y) = 0 jos ehto täyttyy.

Koska funktion kokonaisdifferentiaali U(x, y) = 0 Tämä , mikä tarkoittaa, että niissä olosuhteissa, joissa he sanovat, että .

Sitten, .

Järjestelmän ensimmäisestä yhtälöstä saamme . Löydämme funktion käyttämällä järjestelmän toista yhtälöä:

Siten löydämme halutun toiminnon U(x, y) = 0.

Esimerkki.

Etsitään DE:n yleinen ratkaisu .

Ratkaisu.

Meidän esimerkissämme. Edellytys täyttyy, koska:

Sitten alkuperäisen DE:n vasen puoli on jonkin funktion kokonaisdifferentiaali U(x, y) = 0. Meidän on löydettävä tämä toiminto.

Koska on funktion kokonaisdifferentiaali U(x, y) = 0, tarkoittaa:

Integrointi ohi x Järjestelmän 1. yhtälö ja differentioituva suhteessa y tulos:

Järjestelmän 2. yhtälöstä saamme . Keinot:

Missä KANSSA on mielivaltainen vakio.

Siten ja annetun yhtälön yleinen integraali on .

On toinen menetelmä funktion laskemiseksi sen kokonaisdifferentiaalista. Se koostuu kiinteän pisteen kaarevan integraalin ottamisesta (x0, y0) pisteeseen, jolla on muuttuvat koordinaatit (x, y): . Tässä tapauksessa integraalin arvo on riippumaton integrointipolusta. Integrointipoluksi on kätevää ottaa katkoviiva, jonka linkit ovat yhdensuuntaiset koordinaattiakseleiden kanssa.

Esimerkki.

Etsitään DE:n yleinen ratkaisu .

Ratkaisu.

Tarkistamme ehdon täyttymisen:

Siten DE:n vasen puoli on jonkin funktion kokonaisdifferentiaali U(x, y) = 0. Löydämme tämän funktion laskemalla pisteen kaarevan integraalin (1; 1) ennen (x, y). Otamme polylinjan integrointipoluksi: käymme polylinjan ensimmäisen osan läpi suoraa linjaa pitkin y = 1 pisteestä (1, 1) ennen (x, 1), polun toisena osana otamme pisteestä suoran janan (x, 1) ennen (x, y):

Joten DE:n yleinen ratkaisu näyttää tältä: .

Esimerkki.

Määritellään DE:n yleinen ratkaisu.

Ratkaisu.

Koska , silloin ehto ei täyty, DE:n vasen puoli ei ole funktion kokonaisdifferentiaali ja sinun on käytettävä toista ratkaisumenetelmää (tämä yhtälö on differentiaaliyhtälö, jossa on erotettavia muuttujia).

Näyttää kuinka tunnistaa differentiaaliyhtälö kokonaisdifferentiaaleista. Menetelmät sen ratkaisemiseksi on annettu. Tässä annetaan esimerkki yhtälön ratkaisemisesta kokonaisdifferentiaaleissa kahdella tavalla.

Sisältö

Johdanto

Ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö kokonaisdifferentiaaleissa on yhtälö, jonka muoto on:
(1) ,
jossa yhtälön vasen puoli on jonkin funktion U kokonaisdifferentiaali (x, y) muuttujista x, y :
.
Missä .

Jos tällainen funktio U (x, y), yhtälö saa muodon:
dU (x, y) = 0.
Sen yleinen integraali:
U (x, y) = C,
jossa C on vakio.

Jos ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö kirjoitetaan derivaatan avulla:
,
sitten se on helppo viedä muotoon (1) . Tee tämä kertomalla yhtälö dx:llä. Sitten . Tuloksena saamme differentiaaleina ilmaistun yhtälön:
(1) .

Differentiaaliyhtälön ominaisuus kokonaisdifferentiaaleissa

Jotta yhtälö (1) on kokonaisdifferentiaalien yhtälö, on välttämätöntä ja riittävää, että seuraava suhde täyttyy:
(2) .

Todiste

Lisäksi oletetaan, että kaikki todistuksessa käytetyt funktiot on määritelty ja niillä on vastaavat derivaatat jollain x:n ja y:n alueella. piste x 0, y0 kuuluu myös tälle alueelle.

Todistakaamme ehdon välttämättömyys (2).
Olkoon yhtälön vasen puoli (1) on jonkin funktion U differentiaali (x, y):
.
Sitten
;
.
Koska toinen derivaatta ei riipu differentiaatiojärjestyksestä, niin
;
.
Tästä seuraa, että. Välttämättömyys (2) todistettu.

Todistakaamme ehdon (2) riittävyys.
Olkoon ehto (2) :
(2) .
Osoitetaan, että on mahdollista löytää tällainen funktio U (x, y) että sen ero on:
.
Tämä tarkoittaa, että on olemassa tällainen funktio U (x, y), joka täyttää yhtälöt:
(3) ;
(4) .
Etsitään tällainen funktio. Integroimme yhtälön (3) x x:stä 0 x:ään olettaen, että y on vakio:
;
;
(5) .
Erota y:n suhteen olettaen, että x on vakio ja pätee (2) :

.
Yhtälö (4) teloitetaan jos
.
Integrointi y:n yli y:stä 0 ylle:
;
;
.
Korvaa sisään (5) :
(6) .
Joten olemme löytäneet funktion, jonka differentiaali on
.
Riittävyys on todistettu.

Kaavassa (6) , U (x0, y0) on vakio - funktion U arvo (x, y) kohdassa x 0, y0. Sille voidaan antaa mikä tahansa arvo.

Kuinka tunnistaa differentiaaliyhtälö kokonaisdifferentiaaleista

Harkitse differentiaaliyhtälöä:
(1) .
Jotta voit määrittää, onko tämä yhtälö täydessä differentiaalissa, sinun on tarkistettava ehto (2) :
(2) .
Jos se pätee, tämä on yhtälö kokonaisdifferentiaaleissa. Jos ei, tämä ei ole yhtälö kokonaisdifferentiaaleissa.

Esimerkki

Tarkista, onko yhtälö kokonaisdifferentiaaleissa:
.

Tässä
, .
Erota y:n suhteen, jos x on vakio:

.
Erottava

.
Koska:
,
silloin annettu yhtälö on kokonaisdifferentiaaleissa.

Kokonaisdifferentiaalien differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät

Sekvenssidifferentiaalinen uuttomenetelmä

Suurin osa yksinkertainen menetelmä yhtälön ratkaiseminen kokonaisdifferentiaaleissa on menetelmä differentiaalin peräkkäiseen erottamiseen. Tätä varten käytämme differentiaalimuotoon kirjoitettuja differentiaalikaavoja:
du ± dv = d (u±v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
Näissä kaavoissa u ja v ovat mielivaltaisia lausekkeita, jotka koostuvat mistä tahansa muuttujien yhdistelmästä.

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälö:
.

Aiemmin havaitsimme, että tämä yhtälö on kokonaisdifferentiaaleissa. Muunnetaan se:
(P1) .
Ratkaisemme yhtälön korostamalla differentiaalia peräkkäin.
;
;
;
;

.
Korvaa sisään (P1):
;
.

Jaksottainen integrointimenetelmä

Tässä menetelmässä etsimme funktiota U (x, y), joka täyttää yhtälöt:
(3) ;
(4) .

Integroimme yhtälön (3) x:ssä olettaen, että y on vakio:
.
Tässä φ (y) on y:n mielivaltainen määritettävä funktio. Se on integraation vakio. Korvaamme yhtälön (4) :
.
Täältä:
.
Integroimalla löydämme φ (y) ja siten U (x, y).

Esimerkki 2

Ratkaise yhtälö kokonaisdifferentiaaleina:
.

Aiemmin havaitsimme, että tämä yhtälö on kokonaisdifferentiaaleissa. Otetaan käyttöön merkintä:
, .
Etsitään toimintoa U (x, y), jonka differentiaali on yhtälön vasen puoli:
.
Sitten:
(3) ;
(4) .
Integroimme yhtälön (3) x:ssä olettaen, että y on vakio:
(P2)
.
Erota y:n suhteen:

.
Korvaa sisään (4) :
;
.
Integroimme:
.
Korvaa sisään (P2):

.
Yhtälön yleinen integraali:
U (x, y) = vakio.
Yhdistämme kaksi vakiota yhdeksi.

Menetelmä integrointiin käyrää pitkin

Relaation määrittelemä funktio U:
dU=p (x, y) dx + q(x, y) dy,
voidaan löytää integroimalla tämä yhtälö pisteitä yhdistävää käyrää pitkin (x0, y0) Ja (x, y):
(7) .
Koska
(8) ,
niin integraali riippuu vain alkuluvun koordinaateista (x0, y0) ja lopullinen (x, y) pisteitä eikä se riipu käyrän muodosta. From (7) Ja (8) löydämme:
(9) .
Tässä x 0 ja y 0 - pysyvä. Siksi U (x0, y0) on myös vakio.

Esimerkki tällaisesta U:n määritelmästä saatiin todistuksessa:
(6) .
Tässä integrointi suoritetaan ensin pisteestä y-akselin suuntaista segmenttiä pitkin (x 0, y 0) asiaan (x0, y). Sitten integrointi suoritetaan pisteestä x-akselin suuntaista segmenttiä pitkin (x0, y) asiaan (x, y) .

Enemmässä yleinen tapaus, sinun on esitettävä pisteitä yhdistävän käyrän yhtälö (x 0, y 0) Ja (x, y) parametrisessa muodossa:
x 1 = s(t1); y 1 = r(t1);
x 0 = s(t0); y 0 = r(t0);
x = s (t); y=r (t);
ja integroida yli t 1 alkaen t 0 t.

Yksinkertaisin integrointi on pisteitä yhdistävän segmentin yli (x 0, y 0) Ja (x, y). Tässä tapauksessa:
x 1 \u003d x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Korvauksen jälkeen saamme integraalin t:n yli 0 ennen 1 .
Tämä menetelmä johtaa kuitenkin melko hankalia laskelmiin.

Viitteet:
V.V. Stepanov, Differentiaaliyhtälöiden kurssi, LKI, 2015.

Määritelmä 8.4. Muodon differentiaaliyhtälö

Missä
kutsutaan kokonaisdifferentiaaliyhtälöksi.

Huomaa, että tällaisen yhtälön vasen puoli on jonkin funktion kokonaisdifferentiaali
.

Yleisessä tapauksessa yhtälö (8.4) voidaan esittää muodossa

Yhtälön (8.5) sijasta voidaan tarkastella yhtälöä

jonka ratkaisu on yhtälön (8.4) yleinen integraali. Siten yhtälön (8.4) ratkaisemiseksi on löydettävä funktio
. Yhtälön (8.4) määritelmän mukaisesti meillä on

(8.6)

Toiminto
etsimme funktiona, joka täyttää yhden näistä ehdoista (8.6):

Missä on mielivaltainen funktio, joka on riippumaton .

Toiminto
on määritelty siten, että lausekkeen (8.6) toinen ehto täyttyy

(8.7)

Lausekkeesta (8.7) määritetään funktio
. Korvaa se lausekkeelle for
ja saada alkuperäisen yhtälön yleinen integraali.

Ongelma 8.3. Integroi yhtälö

Tässä
.

Siksi tämä yhtälö kuuluu kokonaisdifferentiaalien differentiaaliyhtälöiden tyyppiin. Toiminto
etsimme lomakkeella

Toisella puolella,

Joissakin tapauksissa tila
ei saa suorittaa.

Sitten tällaiset yhtälöt pelkistetään tarkasteltavaan tyyppiin kertomalla ns. integroivalla tekijällä, joka yleensä on vain tai .

Jos jollain yhtälöllä on integroiva tekijä, joka riippuu vain , niin se määritetään kaavalla

missä on suhde pitäisi olla vain toiminto .

Vastaavasti integroiva tekijä riippuu vain , määritetään kaavalla

missä on suhde
pitäisi olla vain toiminto .

Muuttujan puuttuminen edellä mainituista suhteista, ensimmäisessä tapauksessa , ja toisessa - muuttuja , ovat merkki integroivan tekijän olemassaolosta tietylle yhtälölle.

Ongelma 8.4. Tuo tämä yhtälö yhtälöksi kokonaisdifferentiaaleissa.

Mieti suhdetta:

Aihe 8.2. Lineaariset differentiaaliyhtälöt

Määritelmä 8.5. Differentiaaliyhtälö
kutsutaan lineaariseksi, jos se on lineaarinen suhteessa haluttuun funktioon , sen johdannainen eikä se sisällä halutun funktion ja sen derivaatan tuloa.

Lineaarisen differentiaaliyhtälön yleistä muotoa edustaa seuraava suhde:

(8.8)

Jos suhteessa (8.8) oikea puoli
, niin tällaista yhtälöä kutsutaan lineaariseksi homogeeniseksi. Siinä tapauksessa, että oikea puoli
, silloin tällaista yhtälöä kutsutaan lineaariseksi epähomogeeniseksi.

Osoitetaan, että yhtälö (8.8) on integroitavissa kvadratuureissa.

Ensimmäisessä vaiheessa tarkastelemme lineaarista homogeenista yhtälöä.

Tällainen yhtälö on yhtälö, jossa on erotettavia muuttujia. Todella,

;

Viimeinen relaatio määrittää lineaarin yleisen ratkaisun homogeeninen yhtälö.

Yleisen ratkaisun löytämiseksi lineaariseen epähomogeeniseen yhtälöön käytetään vakion derivaatan variaatiomenetelmää. Menetelmän ideana on, että lineaarisen epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu samassa muodossa kuin vastaavan homogeenisen yhtälön ratkaisu, mutta mielivaltainen vakio korvattu jollain toiminnolla
olla päättäväinen. Meillä on siis:

(8.9)

Korvaamalla suhteeseen (8.8) vastaavat lausekkeet
Ja
, saamme

Korvaamalla viimeinen lauseke suhteeksi (8.9), saadaan lineaarisen epähomogeenisen yhtälön yleinen integraali.

Siten lineaarisen epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu määräytyy kahdella kvadratuurilla: lineaarisen homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu ja lineaarisen epähomogeenisen yhtälön erityinen ratkaisu.

Ongelma 8.5. Integroi yhtälö

Näin ollen alkuperäinen yhtälö kuuluu lineaaristen epähomogeenisten differentiaaliyhtälöiden tyyppiin.

Ensimmäisessä vaiheessa löydämme lineaarisen homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun.

;

Toisessa vaiheessa määritetään lineaarisen epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu, jota etsitään muodossa

Missä
on määritettävä funktio.

Meillä on siis:

Korvaa suhteet Ja alkuperäiseen lineaariseen epähomogeeniseen yhtälöön saamme:

;

Lineaarisen epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu näyttää tältä:

Ero kutsutaan muodon yhtälöksi

P(x,y)dx + K(x,y)dy = 0 ,

jossa vasen puoli on kahden muuttujan jonkin funktion kokonaisdifferentiaali.

Merkitään kahden muuttujan tuntematon funktio (se meidän on löydettävä, kun ratkaistaan yhtälöitä kokonaisdifferentiaaleissa) F ja palaamme asiaan pian.

Ensimmäinen asia, johon on kiinnitettävä huomiota, on, että yhtälön oikealla puolella on oltava nolla ja vasemmalla puolella olevat kaksi termiä yhdistävän merkin on oltava plus.

Toiseksi, jonkin verran yhtälöä on noudatettava, mikä on vahvistus sille, että annettu differentiaaliyhtälö on yhtälö täydessä differentiaalissa. Tämä tarkistus on pakollinen osa algoritmia kokonaisdifferentiaalien yhtälöiden ratkaisemiseksi (se on tämän oppitunnin toisessa kappaleessa), joten funktion löytämisprosessi F melko aikaa vievää ja alkuvaiheessa on tärkeää varmistaa, ettemme tuhlaa aikaa turhaan.

Joten löydettävä tuntematon funktio on merkitty F. Kaikkien riippumattomien muuttujien osittaisten erojen summa antaa kokonaisdifferentiaalin. Siksi, jos yhtälö on kokonaisdifferentiaalien yhtälö, yhtälön vasen puoli on osittaisdifferentiaalien summa. Siis määritelmän mukaan

dF = P(x,y)dx + K(x,y)dy .

Muistamme kaavan kahden muuttujan funktion kokonaisdifferentiaalin laskemiseksi:

Ratkaisemme kaksi viimeistä yhtälöä, voimme kirjoittaa

Ensimmäinen yhtälö on differentioitavissa muuttujan "y" suhteen, toinen - muuttujan "x" suhteen:

mikä on ehto, että annettu differentiaaliyhtälö on todellakin yhtälö kokonaisdifferentiaaleissa.

Algoritmi differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi kokonaisdifferentiaaleissa

Vaihe 1. Varmista, että yhtälö on kokonaisdifferentiaalien yhtälö. Ilmaisun vuoksi oli jonkin toiminnon kokonaisero F(x, y), on välttämätöntä ja riittävää , että . Toisin sanoen meidän on otettava osaderivaata suhteessa x ja osittainen derivaatta suhteessa y toinen termi ja jos nämä derivaatat ovat yhtä suuret, yhtälö on yhtälö kokonaisdifferentiaaleissa.

Vaihe 2 Kirjoita muistiin funktion muodostava osittaisdifferentiaaliyhtälöjärjestelmä F:

Vaihe 3 Integroi järjestelmän ensimmäinen yhtälö - yli x (y F:

,
y.

Vaihtoehtoinen vaihtoehto (jos integraali on helpompi löytää tällä tavalla) on integroida järjestelmän toinen yhtälö - y (x pysyy vakiona ja poistetaan integraalimerkistä). Näin myös toiminta palautuu F:

,
mistä on tuntematon funktio X.

Vaihe 4 Vaiheen 3 tulos (löydetty yleinen integraali) erotetaan y(vaihtoehtoisesti, by x) ja vastaa järjestelmän toista yhtälöä:

ja vaihtoehtoisesti järjestelmän ensimmäiseen yhtälöön:

Tuloksena olevasta yhtälöstä määritämme (vaihtoehtoisessa versiossa)

Vaihe 5 Vaiheen 4 tulos integroidaan ja löydetään (vaihtoehtoisesti find ).

Vaihe 6 Korvaa vaiheen 5 tulos vaiheen 3 tuloksella - osittaisella integroinnilla palautetulla toiminnolla F. Satunnainen vakio C kirjoitetaan useammin yhtäläisyysmerkin jälkeen - yhtälön oikealla puolella. Siten saamme differentiaaliyhtälön yleisen ratkaisun kokonaisdifferentiaaleina. Sillä, kuten jo mainittiin, on muoto F(x, y) = C.

Esimerkkejä differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista kokonaisdifferentiaaleissa

Esimerkki 1

Vaihe 1. yhtälö kokonaisdifferentiaaleina x yksi termi lausekkeen vasemmalla puolella

ja osittainen derivaatta suhteessa y toinen termi
yhtälö kokonaisdifferentiaaleina .

Vaihe 2 F:

Vaihe 3 Tekijä: x (y pysyy vakiona ja poistetaan integraalimerkistä). Siten palautamme toiminnon F:

mistä on tuntematon funktio y.

Vaihe 4 y

Vaihe 5

Vaihe 6 F. Satunnainen vakio C :
.

Mikä tässä on todennäköisin virhe? Yleisimmät virheet ovat ottaa osittaisintegraali funktioiden tulon tavallisen integraalin yhden muuttujan päälle ja yrittää integroida osien tai korvaavan muuttujan mukaan sekä ottaa myös kahden tekijän osittaisderivaata funktioiden tulon derivaataksi. funktioiden tulo ja etsi derivaatta sopivalla kaavalla.

Tämä on muistettava: laskettaessa osittaisintegraalia jommankumman muuttujan suhteen, toinen on vakio ja otetaan pois integraalimerkistä, ja kun lasketaan osittaisderivaata jommankumman muuttujan suhteen, toinen on myös vakio. vakio ja lausekkeen derivaatta löytyy "toimivan" muuttujan derivaatta kerrottuna vakiolla.

Joukossa yhtälöt kokonaisdifferentiaaleissa ei harvinaista - esimerkkejä eksponentin kanssa. Tämä on seuraava esimerkki. Se on huomionarvoista myös siitä, että sen ratkaisussa on käytetty vaihtoehtoista vaihtoehtoa.

Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö

Vaihe 1. Varmista, että yhtälö on yhtälö kokonaisdifferentiaaleina . Tätä varten löydämme osittaisen derivaatan suhteessa x yksi termi lausekkeen vasemmalla puolella

ja osittainen derivaatta suhteessa y toinen termi
. Nämä derivaatat ovat yhtä suuret, joten yhtälö on yhtälö kokonaisdifferentiaaleina .

Vaihe 2 Kirjoitamme muistiin funktion muodostavan osittaisdifferentiaaliyhtälöjärjestelmän F:

Vaihe 3 Integroimme järjestelmän toisen yhtälön - yli y (x pysyy vakiona ja poistetaan integraalimerkistä). Siten palautamme toiminnon F:

mistä on tuntematon funktio X.

Vaihe 4 Vaiheen 3 tulos (löytyy yleinen integraali) on differentioitavissa suhteessa X

ja sama kuin järjestelmän ensimmäinen yhtälö:

Tuloksena olevasta yhtälöstä päätämme:
.

Vaihe 5 Integroimme vaiheen 4 tuloksen ja löydämme:
.

Vaihe 6 Korvaamme vaiheen 5 tuloksen vaiheen 3 tuloksella - osittaisella integroinnilla palautettuun toimintoon F. Satunnainen vakio C kirjoita yhtäläisyysmerkin jälkeen. Näin saamme kenraalin differentiaaliyhtälön ratkaisu kokonaisdifferentiaaleissa :
.

Seuraavassa esimerkissä palaamme vaihtoehdosta pääasialliseen.

Esimerkki 3 Ratkaise differentiaaliyhtälö

Vaihe 1. Varmista, että yhtälö on yhtälö kokonaisdifferentiaaleina . Tätä varten löydämme osittaisen derivaatan suhteessa y yksi termi lausekkeen vasemmalla puolella

ja osittainen derivaatta suhteessa x toinen termi
. Nämä derivaatat ovat yhtä suuret, joten yhtälö on yhtälö kokonaisdifferentiaaleina .

Vaihe 2 Kirjoitamme muistiin funktion muodostavan osittaisdifferentiaaliyhtälöjärjestelmän F:

Vaihe 3 Integroimme järjestelmän ensimmäisen yhtälön - Tekijä: x (y pysyy vakiona ja poistetaan integraalimerkistä). Siten palautamme toiminnon F:

mistä on tuntematon funktio y.

Vaihe 4 Vaiheen 3 tulos (löytyy yleinen integraali) on differentioitavissa suhteessa y

ja vastaa järjestelmän toiseen yhtälöön:

Tuloksena olevasta yhtälöstä päätämme:
.

Vaihe 5 Integroimme vaiheen 4 tuloksen ja löydämme:

Esimerkki 4 Ratkaise differentiaaliyhtälö

Vaihe 1. Varmista, että yhtälö on yhtälö kokonaisdifferentiaaleina . Tätä varten löydämme osittaisen derivaatan suhteessa y yksi termi lausekkeen vasemmalla puolella

ja osittainen derivaatta suhteessa x toinen termi
. Nämä derivaatat ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa, että yhtälö on yhtälö kokonaisdifferentiaaleissa.

Vaihe 2 Kirjoitamme muistiin funktion muodostavan osittaisdifferentiaaliyhtälöjärjestelmän F:

Vaihe 3 Integroimme järjestelmän ensimmäisen yhtälön - Tekijä: x (y pysyy vakiona ja poistetaan integraalimerkistä). Siten palautamme toiminnon F: