Aiemmin keskustelimme yleisistä integraatiomenetelmistä. Tässä ja seuraavissa osissa puhumme tiettyjen funktioluokkien integroinnista tarkasteltujen tekniikoiden avulla.

Yksinkertaisimpien rationaalisten funktioiden integrointi

Harkitse muodon integraalia \textstyle(\int R(x)\,dx), jossa y=R(x) on rationaalinen funktio. Mikä tahansa rationaalinen lauseke R(x) voidaan esittää muodossa \frac(P(x))(Q(x)), jossa P(x) ja Q(x) ovat polynomeja. Jos tämä murtoluku on virheellinen, eli jos osoittajan aste on suurempi tai yhtä suuri kuin nimittäjän aste, se voidaan esittää polynomin (kokonaislukuosan) ja oikean murtoluvun summana. Siksi riittää, kun harkitaan oikeiden murtolukujen integrointia.

Osoitetaan, että tällaisten jakeiden integrointi pelkistyy integraatioon yksinkertaisia ​​murtolukuja, eli muodon ilmaisuja:

\mathsf(1))~\frac(A)(x-a);\quad \mathsf(2))~\frac(A)((x-a)^n);\quad \mathsf(3))~ \frac( Ax+B)(x^2+px+q);\quad \mathsf(4))~\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n).

missä A,\,B,\,a,\,p,\,q ovat reaalilukuja, ja neliötrinomilla x^2+px+q ei ole todellisia juuria. Muotoa 1) ja 2) olevia lausekkeita kutsutaan 1. tyypin murtoluvuiksi ja muotojen 3) ja 4) lausekkeita 2. tyypin murtoluvuiksi.

Ensimmäisen tyypin murtolukujen integraalit lasketaan suoraan

\begin(tasattu)\mathsf(1))&~\int\frac(A)(x-a)\,dx= A\ln|x-a|+C;\\ \mathsf(2))&~ \int\frac (A)((x-a)^n)\,dx= A\int(x-a)^(-n)\,dx= A\,\frac((x-a)^(-n+1))(-n+ 1 )+C~(n=2,3,4,\ldots). \end(tasattu)

Harkitse integraalien laskemista toisen tyypin murtoluvuista: \mathsf(3))~ \int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx\,.

Ensinnäkin huomataan se

\int\frac(dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(a)\operaattorinimi(arctg)\frac(t)(a)+C,\qquad \int\frac(t\ ,dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(2)\ln(t^2+a^2)+C.

Vähentääksemme integraalin 3) laskennan näihin kahteen integraaliin, muunnamme neliötrinomin x^2+px+q ottamalla siitä täyden neliön:

x^2+px+q= (\left(x+\frac(p)(2)\right)\^2+ \left(q-\frac{p^2}{4}\right)\!. !}

Koska olettaen, että tällä trinomilla ei ole todellisia juuria q-\frac(p^2)(4)>0 ja voimme laittaa q-\frac(p^2)(4)=a^2. Korvaus x+\frac(p)(2)=t,~ dx=dt muuntaa integraalin 3) edellä olevien kahden integraalin lineaariseksi yhdistelmäksi:

\begin(tasattu)\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx&= \int\frac(A\!\left(t-\frac(p)(2)\right )+B)(t^2+a^2)\,dt= A\int\frac(t\,dt)(t^2+a^2)+ \left(B-\frac(Ap)(2 )\right)\!\int\frac(dt)(t^2+a^2)=\\ &=\frac(A)(2)\ln(t^2+a^2)+ \frac( 1)(a)\!\left(B-\frac(Ap)(2)\oikea)\!\ \operaattorinimi(arctg)\frac(t)(a)+C. \end(tasattu)

Lopullisessa vastauksessa sinun tarvitsee vain korvata (t) x+\frac(p)(2) ja (a) \sqrt(q-\frac(p^2)(4)). Koska t^2+a^2=x^2+px+q , niin

\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx= \frac(A)(2)\ln(x^2+px+q)+ \frac(B-\dfrac( Ap)(2))(\sqrt(q-\dfrac(p^2)(4))) \operaattorinimi(arctg)\frac(x+\dfrac(p)(2))(\sqrt(q-\dfrac) (p^2)(4)))+C.

Harkitse tapausta \mathsf(4))~ \int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx.

Kuten edellisessä tapauksessa, asetamme x+\frac(p)(2)=t . Saamme:

\int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx= A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n) + \left(B-\frac(Ap)(2)\oikea)\! \int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)\,.

Ensimmäinen termi lasketaan seuraavasti:

A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n)= \frac(A)(2)\int(t^2+a^2)^(-n)\ ,d(t^2+a^2)= \frac(A)(2)\frac((t^2+a^2)^(-n+1))(-n+1)= \frac( A)(2(1-n)(t^2+a^2)^(n-1))\,.

Toinen integraali lasketaan käyttämällä toistuvaa kaavaa.

Esimerkki 1 Laskea \int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx.

Ratkaisu. Meillä on: x^2+2x+3=(x+1)^2+2. Olkoon x+1=t . Sitten dx=dt ja 3x+2=3(t-1)+2=3t-1 ja siten

\begin(tasattu)\int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx&= \int\frac(3t-1)(t^2+2)\,dt= \frac( 3)(2)\int\frac(2t\,dt)(t^2+2)- \int\frac(dt)(t^2+(\sqrt(2))^2)=\\ &= \frac(3)(2)\ln(t^2+2)- \frac(1)(\sqrt(2))\operaattorinimi(arctg)\frac(t)(\sqrt(2))+C= \\ &=\frac(3)(2)\ln(x^2+2x+3)- \frac(1)(\sqrt(2))\operaattorinimi(arctg)\frac(x+1)(\ sqrt(2))+C. \end(tasattu)

Esimerkki 2 Laskea \int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx.

Ratkaisu. Meillä on: x^2+6x+10=(x+3)^2+1. Otetaan käyttöön uusi muuttuja asettamalla x+3=t . Sitten dt=dx ja x+2=t-1. Korvaamalla muuttujan integraalimerkin alla, saamme:

\begin(tasattu)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&= \int\frac(t-1)((t^2+1)^2 )\,dt= \frac(1)(2)\int\frac(2t\,dt)((t^2+1)^2)-\int\frac(dt)((t^2+1) ^2)=\\ &=-\frac(1)(2(t^2+1))- \int\frac(dt)((t^2+1)^2)\,. \end(tasattu))

Laitetaan I_2=\int\frac(dt)((t^2+1)^2). Meillä on:

I_2=\frac(1)(2)I_1+\frac(1)(2)\frac(t)(t^2+1), mutta I_1=\int\frac(dt)(t^2+1)= \operaattorinimi(arctg)t Tällä tavalla, I_2= \frac(1)(2)\operaattorinimi(arctg)t+ \frac(t)(2(t^2+1)).

Lopulta saamme:

\begin(tasattu)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&=-\frac(1)(2(t^2+1))-\frac (1)(2)\operaattorinnimi(arctg)t-\frac(t)(2(t^2+1))=\\ &=-\frac(1)(2(x^2+6x+10) )- \frac(1)(2)\operaattorinimi(arctg)(x+3)- \frac(x+3)(2(x^2+6x+10))+C=\\ &=\frac( -x-4)(2(x^2+6x+10))-\frac(1)(2)\operaattorin nimi(arctg)(x+3)+C \end(tasattu)

Oikeiden murtolukujen integrointi

Harkitse oikeaa murtolukua R(x)=\frac(P(x))(Q(x)), missä Q(x) on n-asteinen polynomi. Yleisyyden menettämättä voidaan olettaa, että Q(x):n johtava kerroin on yhtä suuri kuin 1. Algebran aikana osoitetaan, että tällainen polynomi, jolla on reaalikertoimet, voidaan ottaa huomioon ensimmäisen ja toisen asteen tekijöiksi reaalikertoimilla. :

Q(x)= (x-x_1)^(\alpha)\lpisteet (x-x_k)^(\beta) (x^2+p\,x+q)^(\gamma)\lpisteet (x^2) +r\,x+s)^(\delta).

missä x_1,\lpisteet,x_k ovat polynomin Q(x) todellisia juuria ja neliötrinomeilla ei ole todellisia juuria. Voidaan todistaa, että silloin R(x) esitetään muodon 1) -4 yksinkertaisten murtolukujen summana):

\begin(tasattu)R(x)=&\frac(P(x))(Q(x))= \frac(A_1)((x-x_1)^(\alpha))+ \frac(A_2)( (x-x_1)^(\alpha-1))+\ldots+ \frac(A_(\alpha))(x-x_1)\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(B_1)((x- x_k)^(\beta))+ \frac(B_2)((x-x_k)^(\beta-1))+\ldots+ \frac(B_(\beta))(x-x_k)+ \frac(M_1x+ N_1)((x^2+p\,x+q)^(\gamma))\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(M_(\gamma)+ N_(\gamma))(x^ 2+ p\,x+s)+ \frac(E_1x+F_1)((x^2+rx+s)^(\delta))+\ldots+ \frac(E_(\delta)x+F_(\delta ))(x^2+rx+s)\, \end(tasattu)

jossa nimittäjien eksponentit pienenevät peräkkäin \alphasta 1:ksi, ..., \betasta 1:ksi, \gammasta 1:ksi, ..., \deltasta 1:ksi ja A_1,\ldots,F_(\delta)- määrittelemättömät kertoimet. Näiden kertoimien löytämiseksi on tarpeen päästä eroon nimittäjistä ja kahden polynomin yhtäläisyyden saatuaan käyttää epämääräisten kertoimien menetelmää.

Toinen tapa määrittää kertoimet A_1,\ldots, A_(\alpha), \ldots, F_(\delta) perustuu muuttujan x arvojen korvaamiseen. Korvaamalla minkä tahansa luvun x:n sijasta yhtälöstä (1) saatuun yhtälöön nimittäjistä vapautumisen jälkeen, päädymme lineaarinen yhtälö suhteessa haluttuihin kertoimiin. Korvaamalla tarvittava määrä tällaisia ​​muuttujan tiettyjä arvoja, saadaan yhtälöjärjestelmä kertoimien löytämiseksi. Muuttujan yksityisiksi arvoiksi on kätevintä valita nimittäjän juuret (sekä todelliset että kompleksiset). Tässä tapauksessa lähes kaikki yhtälön oikealla puolella olevat termit (eli kahden polynomin yhtäläisyys) katoavat, mikä helpottaa jäljellä olevien kertoimien löytämistä. Kompleksiarvoja korvattaessa on pidettävä mielessä, että kaksi kompleksilukua ovat yhtä suuret, jos ja vain jos niiden reaali- ja imaginaariosa ovat vastaavasti yhtä suuret. Siksi jokaisesta yhtälöstä, joka sisältää kompleksilukuja, saadaan kaksi yhtälöä.

Epämääräisten kertoimien löytämisen jälkeen jää vielä laskea saatujen yksinkertaisten murtolukujen integraalit. Koska integroitaessa yksinkertaisimpia murtolukuja, kuten olemme nähneet, saadaan vain rationaaliset funktiot, arktangentit ja logaritmit, niin minkä tahansa rationaalisen funktion integraali ilmaistaan ​​rationaalifunktiona, arktangentteina ja logaritmeina.

Esimerkki 3 Laske oikean rationaalisen murtoluvun integraali \int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx.

Ratkaisu. Jaamme integrandin nimittäjän tekijöiksi:

x^2+2x-3=(x-1)(x+3).

Kirjoitamme integrandin ja esitämme sen yksinkertaisten murtolukujen summana:

\frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(A)(x-1)+\frac(B)(B+3)\,.

Vapautettuamme itsemme tämän tasa-arvon nimittäjistä, saamme:

6x+1=A\cpiste (x+3)+B\cpiste (x-1)\,.

Kertoimien löytämiseksi käytämme osittaisten arvojen korvausmenetelmää. Kertoimen A löytämiseksi laitamme x=1 . Sitten yhtälöstä (2) saadaan 7=4A , josta A=7/4 . Kertoimen B löytämiseksi asetamme x=-3 . Sitten yhtälöstä (2) saadaan -17=-4B , josta B=17/4 .

Niin, \frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(7)(4)\cdot\frac(1)(x-1)+ \frac(17)(4)\cdot\frac (1)(x+3). tarkoittaa,

\int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx= \frac(7)(4)\int\frac(dx)(x-1)+ \frac(17)(4 )\int\frac(dx)(x+3)= \frac(7)(4)\ln|x-1|+ \frac(17)(4)\ln|x+3|+C.

Esimerkki 4 Laskea \int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx.

Ratkaisu. Kirjoitamme integrandin ja esitämme sen yksinkertaisten murtolukujen summana. Nimittäjä sisältää tekijän x^2+2, jolla ei ole todellisia juuria, se vastaa murto-osaa 2. lajista: \frac(Ax+B)(x^2+2) tekijä (x-1)^2 vastaa kahden ensimmäisen lajin murto-osan summaa: \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1); lopuksi tekijä x+2 vastaa yhtä murto-osaa 1. lajista \frac(E)(x+2) . Siten esitämme integrandin neljän murtoluvun summana:

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(Ax+B)(x^2+2 )+ \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1)+ \frac(E)(x+2)\,.

Päästään eroon nimittäjistä tässä tasa-arvossa. Saamme:

\begin(tasattu) x^4+2x^2+8x+5&= (Ax+B)(x-1)^2(x+2)+ C(x^2+2)(x+2)\, +\\ &\phantom(=)+ D(x^2+2)(x-1)(x+2)+ E(x^2+2)(x-1)^2.\end(tasattu)

Integrandin nimittäjällä on kaksi reaalijuurta: x=1 ja x=-2 . Kun x=1 korvataan yhtälöllä (4), saadaan 16=9C , josta saadaan C=16/9 . Kun korvataan x=-2, saadaan 13=54E ja määritetään E=13/54 sen mukaisesti. Korvaamalla arvon x=i\,\sqrt(2) (polynomin x^2+2 juuri) voimme siirtyä yhtälöön

4-4+8\,i\,\sqrt(2)+5= (A\,i\,\sqrt(2)+B)\cdot (i\,\sqrt(2)-1)^2\ cdot(i\,\sqrt(2)+2).

Se muuntuu muotoon:

(10A+2B)+(2A-5B)\sqrt(2)\,i= 5+8\sqrt(2)\,i, josta 10A+2B=5 ja (2A-5B)\sqrt(2)=8\sqrt(2).

Kahden yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen kahdella muuttujalla \begin(tapaukset)10A+2B=5,\\ 2A-5B=8,\end(tapaukset) löydämme: A=\frac(41)(54),~ B=-\frac(35)(27).

On vielä määritettävä kertoimen D arvo. Tätä varten yhtälössä (4) avaamme sulut, annamme samanlaiset termit ja vertaamme sitten kertoimia kohdassa x^4. Saamme:

A+D+E=1, eli D=0.

Korvataan kertoimien löydetyt arvot yhtälöön (3):

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(\drac(41)(54)\, x- \dfrac(35)(27))(x^2+2)+ \frac(16)(9)\frac(1)((x-1)^2)+ \frac(13)(54) \frac(1)(x+2)\,

ja siirry sitten integraatioon:

\begin(tasattu)\int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx&= \frac( 41)(54)\int\frac(x\,dx)(x^2+2)- \frac(35)(27)\int\frac(dx)(x^2+2)+ \frac(16) )(9) \int\frac(dx)((x-1)^2)+ \frac(13)(54)\int\frac(dx)(x+2)=\\ &=\frac(41) )(108)\ln(x^2+2)- \frac(35)(27\sqrt(2))\operaattorinimi(arctg)\frac(x)(\sqrt(2))- \frac(16) (9(x-1))+ \frac(13)(54) \ln|x+2|+C.\end(tasattu)

Väärien murtolukujen integrointi

Olkoon tarpeen integroida toiminto y=\frac(f(x))(g(x)), jossa f(x) ja g(x) ovat polynomeja ja polynomin f(x) aste on suurempi tai yhtä suuri kuin polynomin g(x) aste. Tässä tapauksessa on ensinnäkin tarpeen valita väärän murtoluvun kokonaislukuosa \frac(f(x))(g(x)), eli edustaa sitä muodossa

\frac(f(x))(g(x))=s(x)+ \frac(r(x))(g(x))\,

missä s(x) on polynomi, jonka aste on yhtä suuri kuin polynomien f(x) ja g(x) asteiden erotus, ja \frac(r(x))(g(x)) on oikea murto-osa.

Sitten meillä on \int\frac(f(x))(g(x))\,dx= \int s(x)\,dx+ \int\frac(r(x))(g(x))\,dx\, ..

Esimerkki 5 Laske väärän murtoluvun integraali \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx.

Ratkaisu. Meillä on:

\begin(tasattu)g(x)&=(x-1)(x+2)(x-3)= x^3-2x^2-5x+6,\\ f(x)&=x^4 -4x^3+x^2+16x-11. \end(tasattu)

Kokonaisluvun erottamiseksi jaamme f(x) g(x):llä: \frac(f(x))(g(x))= x-2+\frac(2x^2+1)(x^3-2x^2-5x+6)\,.

tarkoittaa, \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx= \int(x-2)dx+ \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx

Meillä on: \int(x-2)dx=\frac(x^2)(2)-2x+C.

Integraalin laskemiseen \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx sovellettiin, kuten edellä, määrittelemättömien kertoimien menetelmää. Laskelmien jälkeen, jotka jätämme lukijalle, saamme.

AIHE: Rationaalisten murtolukujen integrointi.

Huomio! Kun tutkitaan yhtä tärkeimmistä integrointimenetelmistä - rationaalisten murtolukujen integrointia - on otettava huomioon monimutkaisen alueen polynomit tiukkoja todisteita varten. Siksi se on välttämätöntä opiskella etukäteen jotkin kompleksilukujen ominaisuudet ja operaatiot niillä.

Yksinkertaisimpien rationaalisten murtolukujen integrointi.

Jos P(z) ja K(z) ovat polynomeja kompleksialueella, niin on rationaalinen murtoluku. Sitä kutsutaan oikea jos tutkinto P(z) vähemmän tutkintoa K(z) , ja väärä jos tutkinto R ei vähempää tutkintoa K.

Mikä tahansa väärä murtoluku voidaan esittää seuraavasti: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

a R(z) – polynomi, jonka aste on pienempi kuin aste K(z).

Näin ollen rationaalisten murtolukujen integrointi pelkistyy polynomien eli potenssifunktioiden ja oikeiden murtolukujen integrointiin, koska se on oikea murtoluku.

Määritelmä 5. Yksinkertaisimmat (tai alkeis-) murtoluvut ovat seuraavan tyyppisiä murto-osia:

1) , 2) , 3) , 4) .

Katsotaanpa, kuinka ne integroidaan.

3) (tutkittu aiemmin).

Lause 5. Mikä tahansa oikea murtoluku voidaan esittää yksinkertaisten murtolukujen summana (ilman todistetta).

Johtopäätös 1. Jos on oikea rationaalinen murtoluku ja jos polynomin juurien joukossa on vain yksinkertaisia ​​reaalijuuria, niin murto-osan laajennuksessa yksinkertaisten murtolukujen summaksi tulee vain ensimmäisen tyypin yksinkertaisia ​​murto-osia:

Esimerkki 1

Johtopäätös 2. Jos on oikea rationaalinen murto ja jos polynomin juurien joukossa on vain useita reaalijuuria, niin murto-osan laajennuksessa yksinkertaisten murtolukujen summaksi tulee vain 1. ja 2. tyypin yksinkertaisia ​​murtolukuja :

Esimerkki 2

Johtopäätös 3. Jos on oikea rationaalinen murtoluku ja jos polynomin juurien joukossa on vain yksinkertaisia ​​kompleksisia konjugaattijuuria, niin murto-osan laajennuksessa yksinkertaisten murtolukujen summaksi tulee vain 3. tyypin yksinkertaisia ​​murto-osia:

Esimerkki 3

Johtopäätös 4. Jos on oikea rationaalinen murto ja jos polynomin juurien joukossa on vain useita kompleksisia konjugaattijuuria, niin murto-osan laajennuksessa yksinkertaisten murtolukujen summaksi on vain 3. ja 4. tyypit:

Tuntemattomien kertoimien määrittämiseksi yllä olevissa laajennuksissa toimi seuraavasti. vasemmalle ja oikea puoli laajennus, joka sisältää tuntemattomia kertoimia kerrottuna Kahden polynomin yhtälö. Siitä saadaan yhtälöt halutuille kertoimille käyttämällä seuraavaa:

1. yhtäläisyys pätee kaikille X:n arvoille (osittaisarvojen menetelmä). Tässä tapauksessa saadaan mikä tahansa määrä yhtälöitä, joista mikä tahansa m mahdollistaa tuntemattomien kertoimien löytämisen.

2. kertoimet ovat yhteneväisiä samoilla X:n potenssilla (epämääräisten kertoimien menetelmä). Tässä tapauksessa saadaan m - yhtälöjärjestelmä m - tuntemattomien kanssa, joista löydetään tuntemattomia kertoimia.

3. yhdistetty menetelmä.

Esimerkki 5. Laajenna murto-osa yksinkertaisimpaan.

Ratkaisu:

Etsi kertoimet A ja B.

Yksi tapa - yksityinen arvomenetelmä:

Menetelmä 2 - epävarmien kertoimien menetelmä:

Vastaus:

Rationaalisten murtolukujen integrointi.

Lause 6. Minkä tahansa rationaalisen murtoluvun määrittelemätön integraali millä tahansa välillä, jolla sen nimittäjä ei ole nolla, on olemassa ja se ilmaistaan ​​alkeisfunktioina, nimittäin rationaalisilla murtoluvuilla, logaritmeilla ja arctangenteilla.

Todiste.

Edustamme rationaalista murto-osaa muodossa: . Lisäksi viimeinen termi on oikea murtoluku, ja Lauseen 5 avulla se voidaan esittää yksinkertaisten murtolukujen lineaarisena yhdistelmänä. Siten rationaalisen murtoluvun integrointi pelkistyy polynomin integroimiseksi S(x) ja yksinkertaisimmat jakeet, joiden antiderivaatat, kuten esitettiin, ovat lauseessa esitetyssä muodossa.

Kommentti. Suurin vaikeus tässä tapauksessa on nimittäjän hajottaminen tekijöiksi, eli kaikkien sen juurien etsiminen.

Esimerkki 1. Etsi integraali

Tässä aiheessa esitetty aineisto perustuu aiheessa "Rationaaliset murtoluvut. Rationaalisten murtolukujen hajottaminen alkeis(yksinkertaisiksi) murtoiksi" esitettyihin tietoihin. Suosittelen vahvasti, että luet ainakin tämän aiheen läpi ennen kuin jatkat tämän materiaalin lukemista. Lisäksi tarvitsemme määrittelemättömien integraalien taulukon.

Muistutan parista termistä. Niistä keskusteltiin kyseisessä aiheessa, joten rajoitan tässä lyhyeen muotoiluun.

Kahden polynomin suhdetta $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ kutsutaan rationaalifunktioksi tai rationaaliseksi murtoluvuksi. Rationaalista murtolukua kutsutaan oikea jos $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется väärä.

Elementaariset (yksinkertaisimmat) rationaaliset murtoluvut ovat neljän tyypin rationaalisia murtolukuja:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Huomautus (toivottava tekstin ymmärtämiseksi): näytä\piilota

Miksi $p^2-4q-ehto on välttämätön?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Esimerkiksi lausekkeelle $x^2+5x+10$ saamme: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Koska $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Muuten, tätä tarkistusta varten ei ole välttämätöntä, että kerroin $x^2$:n edessä on 1. Esimerkiksi $5x^2+7x-3=0$ saa: $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3) = 109 $. Koska $D > 0$, lauseke $5x^2+7x-3$ voidaan kertoilla.

Esimerkkejä rationaalisista murtoluvuista (säännöllisistä ja virheellisistä) sekä esimerkkejä rationaalisen murtoluvun hajoamisesta alkeisosiksi löytyy. Täällä meitä kiinnostavat vain kysymykset niiden integroinnista. Aloitetaan alkeismurtolukujen integroinnista. Joten jokainen neljästä edellä mainituista alkeismurtotyypeistä on helppo integroida alla olevien kaavojen avulla. Muistutan, että integroitaessa tyyppien (2) ja (4) murtolukuja oletetaan $n=2,3,4,\ldots$. Kaavat (3) ja (4) vaativat ehdon $p^2-4q< 0$.

\begin(yhtälö) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(yhtälö) \begin(yhtälö) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \loppu(yhtälö) \alku(yhtälö) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(yhtälö)

Kohdalle $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ tehdään korvaus $t=x+\frac(p)(2)$, jonka jälkeen tuloksena oleva integraali on jaettu kahtia. Ensimmäinen lasketaan lisäämällä se erotusmerkin alle, ja toinen näyttää tältä $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Tämä integraali otetaan käyttämällä toistuvuusrelaatiota

\begin(yhtälö) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\in N \end(yhtälö)

Tällaisen integraalin laskentaa analysoidaan esimerkissä nro 7 (katso kolmas osa).

Kaavio integraalien laskemiseksi rationaalisista funktioista (rationaaliset murtoluvut):

1. Jos integrandi on alkeisosa, käytä kaavoja (1)-(4).
2. Jos integrandi ei ole alkeisosa, esitä se alkeismurtolukujen summana ja integroi sitten kaavoilla (1)-(4).

Yllä olevalla algoritmilla rationaalisten murtolukujen integroimiseksi on kiistaton etu - se on universaali. Nuo. Tätä algoritmia käyttämällä voidaan integroida minkä tahansa rationaalinen murto-osa. Siksi lähes kaikki muuttujien korvaukset epämääräisessä integraalissa (Euler-, Chebyshev-substituutiot, universaali trigonometrinen substituutio) tehdään siten, että tämän korvauksen jälkeen saamme rationaalisen murto-osan välin alle. Ja soveltaa siihen algoritmia. Analysoimme tämän algoritmin suoraa soveltamista esimerkkien avulla pienen muistiinpanon jälkeen.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Periaatteessa tämä integraali on helppo saada ilman mekaanista kaavan soveltamista. Jos otamme vakion $7$ pois integraalimerkistä ja otamme huomioon, että $dx=d(x+9)$, niin saadaan:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Tarkempia tietoja varten suosittelen tutustumaan aiheeseen. Se selittää yksityiskohtaisesti, kuinka tällaiset integraalit ratkaistaan. Muuten, kaava todistetaan samoilla muunnoksilla, joita käytettiin tässä kappaleessa ratkaistaessa "manuaalisesti".

2) Jälleen on kaksi tapaa: soveltaa valmista kaavaa tai olla ilman sitä. Jos käytät kaavaa, sinun tulee ottaa huomioon, että kerroin $x$ (numero 4) edessä on poistettava. Voit tehdä tämän poistamalla ne neljä suluissa:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

Nyt on aika soveltaa kaavaa:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\vasen(x+\frac(19)(4) \oikea)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Voit tehdä ilman kaavaa. Ja jopa laittamatta jatkuvaa 4 dollaria pois suluista. Jos otamme huomioon, että $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, niin saamme:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Yksityiskohtaiset selitykset tällaisten integraalien löytämisestä annetaan aiheessa "Integraatio substituutiolla (johdanto differentiaalimerkin alla)" .

3) Meidän on integroitava murto-osa $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Tämän murtoluvun rakenne on $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, jossa $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Varmista kuitenkin, että tämä on todellakin kolmannen tyypin alkeisosa, sinun on tarkistettava ehto $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Ratkaistaan ​​sama esimerkki, mutta käyttämättä valmista kaavaa. Yritetään eristää osoittajan nimittäjän derivaatta. Mitä tämä tarkoittaa? Tiedämme, että $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Se on lauseke $2x+10$, joka meidän on eristettävä osoittajasta. Toistaiseksi osoittaja sisältää vain $4x+7$ , mutta tämä ei ole pitkä. Käytä seuraavaa muunnosa osoittajaan:

$$ 4x+7=2\cpiste 2x+7=2\cpiste (2x+10-10)+7=2\cpiste(2x+10)-2\cpiste 10+7=2\cpiste(2x+10) -13. $$

Nyt vaadittu lauseke $2x+10$ on ilmestynyt osoittajaan. Ja integraalimme voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Jaetaan integrandi kahtia. No, ja vastaavasti itse integraali on myös "jaettu":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2) +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \oikea)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Puhutaan ensin ensimmäisestä integraalista, ts. noin $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Koska $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, niin nimittäjädifferentiaali sijaitsee integrandin osoittajassa. Lyhyesti sanottuna, sen sijaan lausekkeen $( 2x+10)dx$ kirjoitamme $d(x^2+10x+34)$.

Sanotaan nyt muutama sana toisesta integraalista. Erotellaan nimittäjässä oleva täysi neliö: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Lisäksi otamme huomioon $dx=d(x+5)$. Nyt aiemmin saamiemme integraalien summa voidaan kirjoittaa uudelleen hieman eri muodossa:

$2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Jos teemme muutoksen $u=x^2+10x+34$ ensimmäiseen integraaliin, se saa muotoa $\int\frac(du)(u)$ ja yksinkertainen sovellus toinen kaava alkaen . Mitä tulee toiseen integraaliin, sille on mahdollista korvata $u=x+5$, jonka jälkeen se saa muotoa $\int\frac(du)(u^2+9)$. Tämä on puhtain vesi, yksitoista kaava määrittelemättömien integraalien taulukosta. Joten, kun palataan integraalien summaan, meillä on:

$2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Saimme saman vastauksen kuin kaavaa sovellettaessa, mikä ei itse asiassa ole yllättävää. Yleensä kaava todistetaan samoilla menetelmillä, joita käytimme tämän integraalin löytämiseen. Uskon, että tarkkaavaisella lukijalla voi olla tässä yksi kysymys, joten muotoilen sen:

Kysymys 1

Jos käytämme toista epämääräisten integraalien taulukon kaavaa integraaliin $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, niin saadaan seuraava:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Miksi moduuli puuttui ratkaisusta?

Vastaus kysymykseen #1

Kysymys on täysin oikeutettu. Moduuli puuttui vain, koska lauseke $x^2+10x+34$ mille tahansa $x\in R$:lle on suurempi kuin nolla. Tämä on melko helppo näyttää monella tapaa. Esimerkiksi koska $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ ja $(x+5)^2 ≥ 0$, sitten $(x+5)^2+9 > 0$ . On mahdollista arvioida eri tavalla ilman koko neliön valintaa. Koska $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ mille tahansa $x\in R$:lle (jos tämä looginen ketju on yllättävää, suosittelen katsomaan graafista menetelmää neliöepäyhtälöiden ratkaisemiseksi). Joka tapauksessa, koska $x^2+10x+34 > 0$, niin $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, ts. voit käyttää tavallisia sulkumerkkejä moduulin sijasta.

Kaikki esimerkin nro 1 kohdat on ratkaistu, jää vain kirjoittaa vastaus muistiin.

Vastaus:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x) +5)(3)+C$.

Esimerkki #2

Etsi integraali $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

Ensi silmäyksellä integrandi $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ on hyvin samanlainen kuin kolmannen tyypin alkeismurto, ts. arvoon $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Näyttää siltä, ​​että ainoa ero on kerroin $3$ kohdan $x^2$ edessä, mutta kertoimen poistaminen ei kestä kauan (sulkeista). Tämä samankaltaisuus on kuitenkin ilmeinen. Murtoluvulle $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ehto $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Kertoimemme $x^2$:n edessä ei ole yhtä suuri kuin yksi, joten tarkista ehto $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, joten lauseke $3x^2-5x-2$ voidaan kertoa. Ja tämä tarkoittaa, että murto-osa $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ei ole kolmannen tyypin alkeismurtoluku, ja se koskee integraalia $\int\frac(7x+12)( 3x^2- 5x-2)dx$-kaava ei ole sallittu.

No, jos annettu rationaalinen murtoluku ei ole alkeisosa, se on esitettävä alkeismurtolukujen summana ja sitten integroitava. Lyhyesti sanottuna, polku hyödyntää . Kuinka rationaalinen murto-osa hajotetaan alkeisosiksi, on kirjoitettu yksityiskohtaisesti. Aloitetaan ottamalla huomioon nimittäjä:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(tasattu) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \end(tasattu)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

Esitämme sisäsisäisen murto-osan seuraavassa muodossa:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Laajennataan nyt murtoluku $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ alkeisosiksi:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\oikea). $$

Kertoimien $A$ ja $B$ löytämiseksi on kaksi standarditapaa: määrittelemättömien kertoimien menetelmä ja osittaisten arvojen korvausmenetelmä. Sovelletaan osittaisen arvon korvausmenetelmää korvaamalla $x=2$ ja sitten $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\oikea); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Koska kertoimet on löydetty, jää vain kirjoittaa valmis laajennus:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

Periaatteessa voit jättää tämän merkinnän, mutta pidän tarkemmasta versiosta:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Palataksemme alkuperäiseen integraaliin, korvaamme tuloksena olevan laajennuksen siihen. Sitten jaamme integraalin kahteen osaan ja käytämme kaavaa jokaiseen. Otan mieluummin välittömästi pois integraalimerkin ulkopuoliset vakiot:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2) )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Vastaus: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\oikea| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Esimerkki #3

Etsi integraali $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Meidän on integroitava murto-osa $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Osoittaja on toisen asteen polynomi ja nimittäjä kolmannen asteen polynomi. Koska polynomin aste osoittajassa on pienempi kuin polynomin aste nimittäjässä, ts. 2 dollaria< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Meidän täytyy vain jakaa annettu integraali kolmeen osaan ja soveltaa kaavaa jokaiseen. Otan mieluummin välittömästi pois integraalimerkin ulkopuoliset vakiot:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Vastaus: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Jatkoa tämän aiheen esimerkkien analyysille on toisessa osassa.

Yksi tärkeimmistä funktioluokista, joiden integraalit ilmaistaan ​​perusfunktioina, on luokka rationaalisia toimintoja.

Määritelmä 1. Funktio muodossa jossa
- astepolynomitnjamkutsutaan rationaaliseksi. Kokonainen rationaalinen funktio, ts. polynomi, integroi suoraan. Murto-rationaalisen funktion integraali löytyy laajentamalla termeiksi, jotka muunnetaan tavanomaisella tavalla päätaulukon integraaleiksi.

Määritelmä 2. Murtoluku
kutsutaan oikeaksi, jos osoittajan astenvähemmän kuin nimittäjäm. Murtolukua, jonka osoittaja on suurempi tai yhtä suuri kuin nimittäjä, kutsutaan virheelliseksi murtoluvuksi.

Mikä tahansa väärä murtoluku voidaan esittää polynomin ja oikean murtoluvun summana. Tämä tehdään jakamalla polynomi "sarake"-polynomilla, samoin kuin jakamalla luvut.

Esimerkki.

Kuvittele murto-osa
polynomin ja oikean murtoluvun summana:

x - 1

3

3

3

Ensimmäinen termi
osamäärässä saadaan alkutermin jakamisen tuloksena
, jaollinen päätermillä X jakaja. Sitten kerrotaan
jakajaan x-1 ja vähennä tulos osingosta; epätäydellisen osamäärän loput termit löytyvät samalla tavalla.

Kun polynomit on jaettu, saamme:

Tätä toimintoa kutsutaan koko osan valinnaksi.

Määritelmä 3. Yksinkertaisimmat murtoluvut ovat seuraavan tyyppisiä oikeita rationaalisia murtolukuja:

minä

II.
(K = 2, 3, …).

III.
missä on neliötrinomi

IV.
jossa K = 2, 3, …; neliön trinomi
sillä ei ole oikeita juuria.

a) Laajenna nimittäjä
yksinkertaisimpiin todellisiin tekijöihin (algebran peruslauseen mukaan tämä jaottelu voi sisältää muodon lineaarisia binomeja
ja neliötrinomiaalit
, jolla ei ole juuria);

b) kirjoita kaavio tietyn murtoluvun laajentamiseksi yksinkertaisten murtolukujen summaksi. Lisäksi jokainen muodon tekijä
vastaa k tyypin I ja II ehdot:

jokaiseen muodon tekijään
vastaa tyyppien III ja IV termejä:

Esimerkki.

Kirjoita muistiin murto-osien hajotuskaavio
yksinkertaisimpien summassa.

c) Suorita saatujen yksinkertaisten jakeiden yhteenlasku. Kirjoita vastaanotetun ja alkumurtoluvun osoittajien yhtäläisyys;

d) etsi vastaavan laajennuksen kertoimet:
(ratkaisumenetelmiä käsitellään jäljempänä);

e) Korvaa kerrointen löydetyt arvot hajotuskaavioon.

Minkä tahansa oikeanlaisen rationaalisen murtoluvun integrointi yksinkertaisiin termeihin hajotuksen jälkeen pelkistetään yhden tyyppisten integraalien löytämiseen:

(k ja e =2, 3, …).

Integraalilaskenta pelkistyy kaavaan III:

kiinteä - kaavaan II:

kiinteä voidaan löytää neliötrinomin sisältävien funktioiden integrointiteoriassa määritellyllä säännöllä; - alla esimerkissä 4 esitetyillä muunnoksilla.

Esimerkki 1

a) kerro nimittäjä:

b) kirjoita kaavio integrandin laajentamiseksi termeiksi:

c) Suorita yksinkertaisten murtolukujen lisääminen:

Kirjoitamme murtolukujen osoittajien yhtäläisyyden:

d) tuntemattomien kertoimien A, B, C löytämiseen on kaksi tapaa.

Kaksi polynomia ovat yhtä suuria silloin ja vain, jos niiden kertoimet ovat yhtä suuret samoilla potenssilla X, joten voit tehdä vastaavan yhtälöjärjestelmän. Tämä on yksi ratkaisuista.

Kertoimet klo

vapaajäsenet (kerroin at ):4A=8.

Ratkaisemme järjestelmän, saamme A=2, B = 1, C = -10.

Toinen menetelmä - yksityisiä arvoja käsitellään seuraavassa esimerkissä;

e) korvaa löydetyt arvot laajennuskaavioon:

Korvaamalla saadun summan integraalimerkin alle ja integroimalla jokainen termi erikseen, löydämme:

Esimerkki 2

Identiteetti on tasa-arvo, joka pätee mihin tahansa siihen sisältyvien tuntemattomien arvoihin. Tämän perusteella yksityinen arvomenetelmä. Voidaan kiinnittää X mitään arvoja. Laskelmissa on helpompi ottaa ne arvot, jotka häviävät yhtälön oikealta puolelta.

Päästää x = 0. Sitten 1 = A 0(0+2)+B 0 (0-1)+C (0-1)(0+2).

Samoin kun x = -2 meillä on 1= - 2B*(-3), klo x = 1 meillä on 1 = 3A.

Näin ollen

Esimerkki 3

d) Ensin käytämme osaarvojen menetelmää.

Päästää x = 0, sitten 1 = A 1, A = 1.

klo x = -1 meillä on - 1+4+2+1 = - B(1+1+1) tai 6 = -3V, B = -2.

Löytääksesi kertoimet C ja D, sinun on muodostettava vielä kaksi yhtälöä. Voit tehdä tämän käyttämällä mitä tahansa muita arvoja X, esimerkiksi x = 1 ja x = 2. Voit käyttää ensimmäistä menetelmää, ts. rinnastaa kertoimet millä tahansa identtisellä potenssilla X esimerkiksi milloin ja . Saada

1 = A + B + C ja 4 = C +D- AT.

Tietäen A = 1, B = -2, löytö C = 2, D = 0 .

Näin ollen kertoimia laskettaessa molemmat menetelmät voidaan yhdistää.

Viimeinen integraali löydämme erikseen uuden muuttujan komentomenetelmässä määritellyn säännön mukaan. Valitsemme nimittäjästä koko neliön:

sanokaamme
sitten
Saamme:

=

Korvaamalla edellisen tasa-arvon, löydämme

Esimerkki 4

löytö

b)

e)

Integroimalla meillä on:

Muutamme ensimmäisen integraalin kaavaksi III:

Muunnamme toisen integraalin kaavaksi II:

Kolmannessa integraalissa korvaamme muuttujan:

(Kun suoritimme muunnoksia, käytimme trigonometriakaavaa

Etsi integraalit:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Kysymyksiä itsetutkiskelua varten.

Mitkä annetuista rationaalisista murtoluvuista ovat oikein:

2. Onko murto-osan laajennuskaavio yksinkertaisten murtolukujen summaksi kirjoitettu oikein?

2., 5.
,

3.
, 6.
.

Integraaleissa 1-3 as u hyväksyä . Sen jälkeen n-kertainen kaavan (19) soveltaminen, päästään yhteen taulukon integraaleista

,
,
.

Integraaleissa 4-6 erotettaessa transsendentaalinen tekijä yksinkertaistuu
,
tai
, joka pitäisi ottaa sellaisena kuin u.

Laske seuraavat integraalit.

Esimerkki 7

Esimerkki 8

Integraalien pelkistäminen itseensä

Jos integrand
näyttää:

,
,
ja niin edelleen,

sitten osilla kaksoisintegroinnin jälkeen saadaan lauseke, joka sisältää alkuperäisen integraalin :

,

missä
on jonkin verran vakio.

Tuloksena olevan yhtälön ratkaiseminen suhteessa , saamme kaavan alkuperäisen integraalin laskemiseksi:

.

Tätä tapausta, jossa sovelletaan osien integrointimenetelmää, kutsutaan " tuo integraalin itseensä».

Esimerkki 9 Laske integraali
.

Oikealla puolella on alkuperäinen integraali . Siirtämällä sitä vasemmalle, saamme:

.

Esimerkki 10 Laske integraali
.

4.5. Yksinkertaisimpien oikeiden rationaalisten murtolukujen integrointi

Määritelmä.Yksinkertaisimmat oikeat murtoluvut minä , II ja III tyypit seuraavia murtolukuja kutsutaan:

minä. ;

II.
; (
on positiivinen kokonaisluku);

III.
; (nimittäjän juuret ovat monimutkaisia, eli:
.

Tarkastellaan yksinkertaisten murtolukujen integraaleja.

minä.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Muunnamme murtoluvun osoittajaa siten, että termi erotetaan osoittajassa
yhtä suuri kuin nimittäjän derivaatta.

Harkitse ensimmäistä kahdesta saadusta integraalista ja tee siihen muutos:

Toisessa integraalissa täydennämme nimittäjä täysneliöön:

Lopuksi kolmannen tyypin murto-osan integraali on yhtä suuri:

=
+
. (22)

Siten tyypin I yksinkertaisimpien murtolukujen integraali ilmaistaan ​​logaritmeilla, tyyppi II - rationaalisilla funktioilla, tyyppi III - logaritmeilla ja arktangenteilla.

4.6 Murto-rationaalisten funktioiden integrointi

Yksi funktioluokista, joilla on alkeisfunktioilla ilmaistu integraali, on algebrallisten rationaalisten funktioiden luokka, eli funktiot, jotka johtuvat rajallisesta määrästä argumentin algebrallisia operaatioita.

Jokainen järkevä toiminto
voidaan esittää kahden polynomin suhteena
ja
:

. (23)

Oletetaan, että polynomeilla ei ole yhteisiä juuria.

Muodosta (23) kutsutaan murto-osaa oikea, jos osoittajan aste on pienempi kuin nimittäjän aste, eli m< n. Muuten - väärä.

Jos murtoluku on virheellinen, jakamalla osoittaja nimittäjällä (polynomien jakosäännön mukaan), esitämme murto-osan polynomin ja oikean murtoluvun summana:

, (24)

missä
- polynomi, on oikea murtoluku ja polynomin aste
- ei korkeampaa tutkintoa ( n-1).

Esimerkki.

Koska polynomin integrointi pelkistetään potenssifunktion taulukkointegraalien summaksi, suurin vaikeus rationaalisten murtolukujen integroinnissa on oikeiden rationaalisten murtolukujen integrointi.

Algebra todistaa, että jokainen oikea murtoluku hajoaa yllä olevien summaksi alkueläimet murto-osia, joiden muodon määrää nimittäjän juuret
.

Tarkastellaan kolmea erityistapausta. Tässä ja alla oletetaan, että kerroin nimittäjän korkeimmassa asteessa
yhtä suuri kuin yksi =1, elipelkistetty polynomi .

Tapaus 1 Nimittäjän juuret eli juuret
yhtälöt
=0 ovat todellisia ja erilaisia. Sitten edustamme nimittäjä lineaaristen tekijöiden tulona:

ja oikea murto-osa hajoaa I-tyypin yksinkertaisimmiksi jakeiksi:

, (26)

missä
- jonkin verran vakioluvut, jotka löydetään määrittelemättömien kertoimien menetelmällä.

Tätä varten tarvitset:

1. Pienennä laajennuksen oikea puoli (26) yhteiseksi nimittäjäksi.

2. Yhdistä vasemman ja oikean osan osoittajassa olevien identtisten polynomien kertoimet samoilla potenssilla. Määrittämistä varten saadaan lineaarinen yhtälöjärjestelmä
.

3. Ratkaise tuloksena oleva järjestelmä ja löydä epävarmat kertoimet
.

Tällöin murto-rationaalisen funktion (26) integraali on yhtä suuri kuin I-tyypin yksinkertaisimpien murto-osien integraalien summa laskettuna kaavalla (20).

Esimerkki. Laske integraali
.

Ratkaisu. Otetaan nimittäjä kertoimella Vietan lauseella:

Sitten integrandi laajenee yksinkertaisten murtolukujen summaksi:

.

X:

Kirjoitetaan kolmen yhtälön järjestelmä etsimistä varten
X vasemmalla ja oikealla puolella:

.

Esitetään yksinkertaisempi menetelmä määrittelemättömien kertoimien löytämiseksi, ns osittaisen arvon menetelmä.

Olettaen tasa-arvon (27)
saamme
, missä
. Olettaen
saamme
. Lopuksi olettaen
saamme
.

.

Tapaus 2 nimittäjän juuri
ovat todellisia, mutta niiden joukossa on useita (samanlaisia) juuria. Sitten edustamme nimittäjä tuloon sisältyvien lineaaristen tekijöiden tulona siltä osin kuin vastaavan juuren monikerta on:

missä
.

Oikea murto-osa I. ja II. tyypin murto-osien summaa laajennetaan. Olkoon esim. - monikertanimittäjän juuri k ja kaikki loput ( n- k) juuret ovat erilaisia.

Sitten hajoaminen näyttää tältä:

Samoin, jos on muita useita juuria. Ei-useita juuria varten laajennus (28) sisältää ensimmäisen tyypin yksinkertaisimmat jakeet.

Esimerkki. Laske integraali
.

Ratkaisu. Esitetään murto-osa ensimmäisen ja toisen tyypin yksinkertaisten murto-osien summana määrittelemättömillä kertoimilla:

.

Tuomme oikean puolen yhteiseen nimittäjään ja yhtälöimme polynomit vasemman ja oikean puolen osoittajissa:

Oikealla puolella annamme samanlaisia, joilla on samat asteet X:

Kirjataan ylös neljän yhtälön järjestelmä etsimistä varten
ja . Tätä varten vertaamme kertoimet samoilla tehoilla X vasemmalla ja oikealla puolella

.

Tapaus 3 Nimittäjän juurien joukossa
niillä on monimutkaiset kertaluonteiset juuret. Toisin sanoen nimittäjän laajennus sisältää toisen asteen tekijät
, joita ei voida hajottaa todellisiksi lineaarisiksi tekijöiksi, eivätkä ne toistu.

Sitten fraktion laajennuksessa jokainen tällainen tekijä vastaa yksinkertaisinta tyypin III fraktiota. Lineaariset tekijät vastaavat I:nnen ja II:nnen tyypin yksinkertaisimpia murto-osia.

Esimerkki. Laske integraali
.

Ratkaisu.
.

.

.