Harmonisten värähtelyjen differentiaaliyhtälö harmoniset oskillaattorit. Harmonisen oskillaattorin liikelaki

Tarkastellaan painon m heilahteluja jousella, jonka jäykkyyskerroin on k ja joka sijaitsee tasaisella vaakasuoralla pöydällä, olettaen, ettei painon kitkaa pöydän pinnalla ole. Jos paino poistetaan tasapainoasennosta, se värähtelee tämän asennon ympärillä. Kuvaamme nämä värähtelyt ajasta riippuvalla funktiolla olettaen, että se määrittää painon poikkeaman tasapainoasemastaan hetkellä t.

Vaakasuunnassa painoon vaikuttaa vain yksi voima - jousen kimmovoima, joka määräytyy tunnetun Hooken lain mukaan.

Jousen muodonmuutos on ajan funktio, minkä vuoksi se on myös muuttuja.

Meillä on Newtonin toisesta laista

koska kiihtyvyys on siirtymän toinen derivaatta: .

Yhtälö (9) voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

Missä. Tätä yhtälöä kutsutaan harmonisen oskillaattorin yhtälöksi.

Kommentti. Matemaattisessa kirjallisuudessa differentiaaliyhtälöä kirjoitettaessa argumenttia (t) ei yleensä ilmoiteta kaikkien siitä riippuvien funktioiden lähellä. Tämä riippuvuus oletetaan oletuksena. Käytettäessä matemaattista pakettia Maple kohdassa (10), on tarpeen osoittaa funktion eksplisiittinen riippuvuus.

Toisin kuin edellisessä esimerkissä kehon liikkeestä vakiovoiman vaikutuksesta, tässä tapauksessa voima muuttuu ajan myötä, eikä yhtälöä (10) voida enää ratkaista tavanomaisella integrointimenettelyllä. Yritetään arvata tämän yhtälön ratkaisu tietäen, että se kuvaa jotain värähtelevää prosessia. Yhtälön (10) mahdollisista ratkaisuista voimme valita seuraavan funktion:

Meillä on erotustoiminto (11).

Korvaamalla lausekkeen (12) yhtälöön (10) varmistamme, että se täyttyy identtisesti mille tahansa t:n arvolle.

Funktio (11) ei kuitenkaan ole ainoa ratkaisu harmoniseen oskillaattoriyhtälöön. Toiseksi ratkaisuksi voidaan valita esimerkiksi toiminto, joka on myös helppo tarkistaa samalla tavalla. Lisäksi voidaan tarkistaa, että mikä tahansa näiden kahden satunnaisesti nimetyn ratkaisun lineaarinen yhdistelmä

vakiokertoimilla A ja B on myös ratkaisu harmonisen oskillaattoriyhtälöön.

Voidaan osoittaa, että kaksivakioratkaisu (13) on harmonisen oskillaattoriyhtälön (10) yleinen ratkaisu. Tämä tarkoittaa, että kaava (13) tyhjentää kaikki mahdolliset ratkaisut tähän yhtälöön. Toisin sanoen harmonisella oskillaattoriyhtälöllä ei ole muita erityisiä ratkaisuja, paitsi ne, jotka saadaan kaavasta (13) kiinnittämällä mielivaltaiset vakiot A ja B.

Huomaa, että fysiikassa on useimmiten tarpeen etsiä yksittäisten ODE-laitteiden tai niiden järjestelmien tiettyjä ratkaisuja. Tarkastellaan tätä kysymystä yksityiskohtaisemmin.

On mahdollista herättää värähtelyjä harkitsemamme jousen painojärjestelmässä eri tavoilla. Asetetaan seuraavat alkuehdot

Tämä tarkoittaa, että paino poistettiin alkuhetkellä tasapainoasennosta arvon a verran ja vapautettiin vapaasti (eli se aloittaa liikkeensä nollan alkunopeudella). Voidaan kuvitella monia muitakin viritystapoja, esimerkiksi tasapainoasennossa olevalle painolle annetaan "napsautuksella" jotain alkunopeutta jne. [ yleinen tapaus, ].

Käsittelemme alkuehtoja (14) lisäehtoina erottaa yleisestä ratkaisusta (13) jokin tietty ratkaisu, joka vastaa menetelmäämme painovärähtelyjen herättämiseksi.

Olettaen t=0 lausekkeessa (13), meillä on, mistä seuraa, että B=a. Siten olemme löytäneet yhden aiemmin mielivaltaisista vakioista ratkaisusta (13). Lisäksi, erottelemalla kaavassa (13), meillä on

Jos tässä lausekkeessa oletetaan t=0 ja otetaan huomioon (14) toinen alkuehto, saadaan, joten tästä seuraa, että A=0 ja siten alkuperäisellä tietyllä ratkaisulla on muoto

Se kuvaa tarkasteltavan mekaanisen järjestelmän värähtelytilaa, joka määräytyy alkuherätyksen olosuhteiden (14) perusteella.

Koulun fysiikan kurssista tiedetään, että kaavassa (16) a on värähtelyjen amplitudi (se asettaa painon suurimman poikkeaman tasapainoasennosta), on syklinen taajuus ja on värähtelyjen vaihe ( alkuvaihe osoittautuu nollaksi).

Harmoninen oskillaattoriyhtälö (10) on esimerkki lineaarisesta ODE:stä. Tämä tarkoittaa, että tuntematon funktio ja kaikki sen derivaatat sisältyvät yhtälön jokaiseen termiin ensimmäisellä kerralla. Lineaarisilla differentiaaliyhtälöillä on erittäin tärkeä erottuva ominaisuus: ne täyttävät superpositioperiaatteen. Tämä tarkoittaa, että mikä tahansa lineaarisen ODE:n kahden ratkaisun lineaarinen yhdistelmä on myös sen ratkaisu.

Tarkastelemamme harmonisen oskillaattoriyhtälön esimerkissä kahden tietyn ratkaisun mielivaltainen lineaarinen yhdistelmä ei ole vain jokin uusi ratkaisu, vaan yleinen ratkaisu tähän yhtälöön (se tyhjentää kaikki mahdolliset ratkaisunsa).

Yleisesti ottaen näin ei ole. Esimerkiksi, jos olisimme tekemisissä kolmannen asteen lineaarisen differentiaaliyhtälön kanssa (eli jos yhtälö sisältää kolmannen derivaatan), minkä tahansa kahden tietyn ratkaisun lineaarinen yhdistelmä olisi myös ratkaisu tähän yhtälöön, mutta ei edustaa häntä yhteinen päätös.

Differentiaaliyhtälöiden aikana todistetaan lause, että N:nnen kertaluvun (lineaarinen tai epälineaarinen) ODE:n yleinen ratkaisu riippuu N:stä mielivaltaisesta vakiosta. Epälineaarisen yhtälön tapauksessa nämä mielivaltaiset vakiot voivat tulla yleiseen ratkaisuun (toisin kuin (13)) epälineaarisella tavalla.

Superpositioperiaatteella on erittäin tärkeä rooli ODE-teoriassa, koska sen avulla voidaan rakentaa differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu sen yksittäisten ratkaisujen superpositiossa. Esimerkiksi lineaarisille vakiokertoimisille ODE:ille ja niiden järjestelmille (harmoninen oskillaattoriyhtälö kuuluu juuri tämän tyyppisiin yhtälöihin) on kehitetty yleinen ratkaisumenetelmä differentiaaliyhtälöiden teoriassa. Sen olemus on seuraava. Etsimme erityistä ratkaisua muodossa Sen korvaamisen seurauksena alkuperäiseen yhtälöön kaikki ajasta riippuvat tekijät kumoutuvat ja päädymme johonkin ominaisyhtälöön, joka N:nnen kertaluvun ODE on algebrallinen yhtälö N astetta. Ratkaisemalla sen löydämme siten kaikki mahdolliset erityisratkaisut, joiden mielivaltainen lineaarinen yhdistelmä antaa alkuperäisen ODE:n yleisratkaisun. Emme käsittele tätä asiaa enempää, vaan ohjaamme lukijan tutustumaan sopiviin differentiaaliyhtälöiden teorian oppikirjoihin, joista löytyy lisätietoja, erityisesti tapaus, jossa ominaisyhtälö sisältää useita juuria.

Jos tarkastellaan muuttuvien kertoimien lineaarista ODE:tä (sen kertoimet riippuvat ajasta), niin superpositioperiaatekin pätee, mutta tähän yhtälöön ei ole enää mahdollista rakentaa yleistä ratkaisua eksplisiittisessä muodossa millään standardimenetelmällä. Palaamme tähän aiheeseen myöhemmin keskustelemalla parametrisen resonanssin ilmiöstä ja sen tutkimukseen liittyvästä Mathieun yhtälöstä.

Ehkä yksinkertaisin mekaaninen järjestelmä, jonka liikettä kuvaa lineaarinen differentiaaliyhtälö, jolla on vakiokertoimet, on jousen massa. Kun paino on ripustettu jouseen, se venyy hieman tasapainottaakseen painovoimaa. Seurataan nyt massan pystysuuntaisia poikkeamia tasapainoasennosta (kuva 21.1). Merkitsemme ylöspäin suuntautuvat poikkeamat tasapainoasennosta ja oletamme, että kyseessä on täysin elastinen jousi. Tässä tapauksessa venytystä vastustavat voimat ovat suoraan verrannollisia venytykseen. Tämä tarkoittaa, että voima on yhtä suuri (miinusmerkki muistuttaa, että voima vastustaa siirtymiä). Siten kiihtyvyyden kerrottuna massalla tulisi olla yhtä suuri

Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että tapahtui (tai muutimme yksikköjärjestelmää tarpeen mukaan), että . Meidän on ratkaistava yhtälö

Kuva. 21.1. Jouseen ripustettu paino. Yksinkertainen esimerkki harmonisesta oskillaattorista.

Tämän jälkeen palataan yhtälöön (21.2), johon ja sisältyvät eksplisiittisesti.

Olemme jo kohdanneet yhtälön (21.3), kun aloimme opiskella mekaniikkaa. Ratkaisimme sen numeerisesti löytääksemme liikkeen. Numeerisen integroinnin avulla olemme löytäneet käyrän, joka osoittaa, että jos hiukkanen on alun perin epätasapainossa, mutta levossa, se palaa tasapainoasentoon. Emme seuranneet hiukkasta sen saavuttua tasapainoasemaan, mutta on selvää, että se ei pysähdy siihen, vaan värähtelee (värähtelee). Numeerisen integroinnin avulla löysimme ajan palata tasapainopisteeseen: . Koko syklin kesto on neljä kertaa pidempi: "sek". Löysimme kaiken tämän numeerisen integroinnin avulla, koska emme tienneet kuinka ratkaista se paremmin. Mutta matemaatikot ovat antaneet meille tietyn funktion, joka, jos se erotetaan kahdesti, menee itseensä kerrottuna . (Voit tietysti laskea tällaiset funktiot suoraan, mutta tämä on paljon vaikeampaa kuin pelkkä vastauksen selvittäminen.)

Tämä toiminto on: . Erotetaan se: , a . Alkuhetkellä , ja alkunopeus on nolla; Nämä ovat juuri ne oletukset, jotka teimme numeerisessa integroinnissa. Nyt, kun tiedämme sen, löydämme tarkan ajan arvon, jolloin . Vastaus: , tai 1.57108. Teimme virheen aiemmin viimeisessä merkissä, koska numeerinen integrointi oli likimääräinen, mutta virhe on hyvin pieni!

Jatketaan palataksemme yksikköjärjestelmään, jossa aika mitataan todellisissa sekunneissa. Mikä on ratkaisu tässä tapauksessa? Ehkä otamme huomioon vakiot ja kertomalla vastaavalla kertoimella? Kokeillaan. Anna sitten Ja . Valitettavasti emme onnistuneet ratkaisemaan yhtälöä (21.2), vaan palasimme taas kohtaan (21.3). Mutta olemme havainneet lineaaristen differentiaaliyhtälöiden tärkeimmän ominaisuuden: jos kerromme yhtälön ratkaisun vakiolla, saamme jälleen ratkaisun. Se on matemaattisesti selvää miksi. Jos yhtälölle on ratkaisu, niin sen jälkeen kun yhtälön molemmat osat on kerrottu derivaatalla, ne myös kerrotaan ja täyttävät yhtälön yhtä hyvin kuin . Kuunnellaan, mitä fyysikot sanovat tästä. Jos paino venyttää jousta kaksi kertaa niin paljon kuin ennen, niin voima kaksinkertaistuu, kiihtyvyys kaksinkertaistuu, saavutettu nopeus on kaksinkertainen aikaisempaan nopeus ja samalla paino kattaa kaksinkertaisen matkan. Mutta tämä on kaksinkertainen etäisyys - juuri sama etäisyys, jonka paino tarvitsee siirtyäkseen tasapainoasentoon. Näin ollen tasapainon saavuttamiseen kuluu yhtä paljon aikaa, eikä se riipu alkuperäisestä poikkeamasta. Toisin sanoen, jos liike kuvataan lineaarinen yhtälö, niin "voimakkuudesta" riippumatta se kehittyy ajan myötä samalla tavalla.

Virhe teki meille hyvää - opimme, että kertomalla ratkaisu vakiolla saamme edellisen yhtälön ratkaisun. Pienen yrityksen ja erehdyksen jälkeen saatat päätyä siihen johtopäätökseen, että manipuloinnin sijaan sinun on muutettava aikaskaalaa. Toisin sanoen yhtälöllä (21.2) on oltava muotoa oleva ratkaisu

(Tässä - ei ollenkaan pyörivän kappaleen kulmanopeus, mutta meillä ei ole tarpeeksi aakkosia, jos jokainen arvo on merkitty erityisellä kirjaimella.) Olemme antaneet indeksin 0, koska meillä on vielä paljon enemmän omegaa kohdattava: muista, mikä vastaa oskillaattorin luonnollista liikettä. Yritys käyttää (21.4) ratkaisuna onnistuu paremmin, koska Ja . Lopulta ratkaisimme yhtälön, jonka halusimme ratkaista. Tämä yhtälö on sama kuin (21.2), jos .

Nyt meidän on ymmärrettävä fyysinen merkitys. Tiedämme, että kosini "toistuu" sen jälkeen, kun kulma muuttuu . Siksi se on jaksollista liikettä; tämän liikkeen täysi sykli vastaa "kulman" muutosta . Määrää kutsutaan usein liikkeen vaiheeksi. Jos haluat vaihtaa muotoon , sinun on vaihdettava muotoon (täysi swing-jakso); tietysti löytyy yhtälöstä . Tämä tarkoittaa, että sinun on laskettava yhdelle jaksolle, ja kaikki toistetaan, jos lisäät ; tässä tapauksessa lisäämme vaihetta . Täten,

. (21.5)

Tämä tarkoittaa, että mitä painavampi paino, sitä hitaammin jousi värähtelee edestakaisin. Inertia on tässä tapauksessa suurempi, ja jos voima ei muutu, kuorman kiihdyttäminen ja hidastuminen vie enemmän aikaa. Jos otat jäykemmän jousen, liikkeen tulisi olla nopeampaa; ja todellakin jakso pienenee kevätvakion kasvaessa.

Huomaa nyt, että massan värähtelyjakso jousella ei riipu siitä, miten värähtely alkaa. Kevään osalta näyttää olevan välinpitämätöntä, kuinka paljon sitä venytetään. Liikeyhtälö (21.2) määrittää värähtelyjakson, mutta ei kerro mitään värähtelyn amplitudista. Tietenkin värähtelyamplitudi voidaan määrittää, ja nyt käsittelemme sitä, mutta tätä varten on tarpeen asettaa alkuehdot.

Asia on siinä, että emme ole vielä löytäneet yhtälön (21.2) yleisintä ratkaisua. Ratkaisuja on useita. Ratkaisu vastaa tapausta, jossa jousi alkuhetkellä venyy ja sen nopeus on nolla. Voit saada jousen liikkumaan toisella tavalla, esimerkiksi tarttumaan hetkeen, jolloin tasapainotettu jousi on levossa, ja lyödä painoa jyrkästi; tämä tarkoittaa, että tällä hetkellä keväälle raportoidaan jonkin verran nopeutta. Tällainen liike vastaa toista ratkaisua (21.2) - kosini on korvattava sinillä. Heitetään vielä yksi kivi kosiniin: jos - ratkaisu, niin jousen heilahtelevaan huoneeseen tullessamme tällä hetkellä (kutsutaanko sitä ""), kun paino kulkee tasapainoasennon läpi, joudumme korvaamaan tämän ratkaisu toisella. Siksi ei voi olla yleistä ratkaisua; yleisen ratkaisun on sallittava niin sanotusti ajan alkuperän siirtyminen. Tällaisella kiinteistöllä on esimerkiksi ratkaisu , missä on jokin vakio. Lisäksi voidaan hajottaa nimeltä kulmataajuus; on radiaanien lukumäärä, jolla vaihe muuttuu 1 sekunnissa. Se määräytyy differentiaaliyhtälön avulla. Muita suureita ei määritetä yhtälöllä, vaan ne riippuvat alkuolosuhteet. Vakio toimii kuorman suurimman poikkeaman mittana ja sitä kutsutaan värähtelyamplitudiksi. Vakiota kutsutaan joskus värähtelyn vaiheeksi, mutta tässä voi olla väärinkäsityksiä, koska muut kutsuvat vaihetta ja sanovat, että vaihe riippuu ajasta. Voimme sanoa, että - tämä on vaihesiirto verrattuna joihinkin nollaksi otettuihin. Älkäämme väittelekö sanoista. Erilaiset vastaavat liikkeitä eri vaiheilla. Tämä on totta, mutta kutsutaanko sitä vaiheeksi vai ei, on toinen kysymys.

Löytöjä kvanttikentällä ja muilla aloilla. Samalla keksitään uusia laitteita ja laitteita, joiden avulla voidaan tehdä erilaisia tutkimuksia ja selittää mikromaailman ilmiöitä. Yksi näistä mekanismeista on harmoninen oskillaattori, jonka periaatteen tunsivat jopa muinaisten sivilisaatioiden edustajat.

Laite ja sen tyypit

Harmoninen oskillaattori on liikkeessä oleva mekaaninen järjestelmä, jota kuvaa differentiaali, jonka kertoimet ovat vakioarvoisia. Suurin osa yksinkertaisia esimerkkejä tällaiset laitteet - jousen kuormitus, heiluri, akustiset järjestelmät, molekyylihiukkasten liike jne.

Perinteisesti voidaan erottaa seuraavat tämän laitteen tyypit:

Laitteen sovellus

Tätä laitetta käytetään mm eri aloilla, pääasiassa värähtelyjärjestelmien luonteen tutkimiseen. Kvanttiharmonista oskillaattoria käytetään fotonielementtien käyttäytymisen tutkimiseen. Kokeiden tuloksia voidaan käyttää eri aloilla. Joten fyysikot American Institutesta havaitsivat, että berylliumatomit, jotka sijaitsevat melko suurilla etäisyyksillä toisistaan, voivat olla vuorovaikutuksessa kvanttitasolla. Samaan aikaan näiden hiukkasten käyttäytyminen on samanlainen kuin makrokosmoksen kappaleet (metallipallot), jotka liikkuvat eteenpäin-paluujärjestyksessä, samalla tavalla kuin harmoninen oskillaattori. Beryllium-ioneja, vaikka ne ovat fyysisesti pitkät matkat, vaihtoi pienimmät energiayksiköt (kvantit). Tämä löytö mahdollistaa IT-teknologioiden merkittävän edistymisen ja tarjoaa myös uuden ratkaisun tietokonelaitteiden ja elektroniikan tuotannossa.

Harmonista oskillaattoria käytetään musiikkiteosten arvioinnissa. Tätä menetelmää kutsutaan spektroskooppiseksi tutkimukseksi. Samalla todettiin, että vakain järjestelmä on neljän muusikon (kvartetti) sävellys. Ja nykyaikaiset teokset ovat enimmäkseen anharmonisia.

HARMONISET VÄRINNÄT

Luento 1

Verisuoni

Verisuoni. AALLOT. OPTIIKKA

Värähtely on yksi yleisimmistä luonnon ja tekniikan prosesseista. Fluktuaatiot ovat prosesseja, jotka toistuvat ajan myötä. Korkeat rakennukset ja korkeajännitejohdot värähtelevät tuulen vaikutuksesta, kierretyn kellon heiluri ja auto jousilla liikkeen aikana, joen korkeus vuoden aikana ja ihmiskehon lämpötila sairauden aikana. Ääni on ilmanpaineen vaihtelua, radioaallot ovat säännöllisiä muutoksia sähkö- ja magneettikenttä, valo on myös sähkömagneettiset värähtelyt. Maanjäristykset - maan värähtelyt, nousut ja nousut - kuun vetovoiman aiheuttamat muutokset merien ja valtamerien pinnassa jne.

Värähtelyt ovat mekaanisia, sähkömagneettisia, kemiallisia, termodynaamisia jne. Huolimatta tällaisesta vaihtelusta, kaikki värähtelyt kuvataan samoilla differentiaaliyhtälöillä.

Ensimmäiset värähtelyjä tutkineet tiedemiehet olivat Galileo Galilei ja Christian Huygens. Galileo vahvisti värähtelyjakson riippumattomuuden amplitudista. Huygens keksi heilurikellon.

Jokaista järjestelmää, joka hieman epätasapainossa värähtelee tasaisesti, kutsutaan harmoniseksi oskillaattoriksi. Klassisessa fysiikassa tällaisia järjestelmiä ovat matemaattinen heiluri pienissä poikkeutuskulmissa, kuorma pienissä värähtelyamplitudeissa, sähköpiiri, joka koostuu lineaarisista kapasitanssi- ja induktanssielementeistä.

Harmonista oskillaattoria voidaan pitää lineaarisena, jos siirtymä tasapainoasennosta on suoraan verrannollinen häiriövoimaan. Harmonisen oskillaattorin värähtelytaajuus ei riipu amplitudista. Oskillaattorin kohdalla superpositioperiaate täyttyy - jos useita häiritseviä voimia vaikuttaa, niin niiden kokonaisvaikutuksen vaikutus saadaan laskemalla yhteen vaikutukset. aktiiviset voimat erikseen.

Harmoniset värähtelyt kuvataan yhtälöllä (kuva 1.1.1)

(1.1.1)

Missä X- värähtelyarvon siirtyminen tasapainoasennosta, A– värähtelyjen amplitudi, joka on yhtä suuri kuin suurimman siirtymän arvo, - värähtelyjen vaihe, joka määrittää siirtymän ajanhetkellä, - alkuvaihe, joka määrittää siirtymän suuruuden alkuajanhetkellä, - värähtelyjen syklinen taajuus.

Yhden täydellisen värähtelyn aikaa kutsutaan jaksoksi, jossa on ajan kuluessa suoritettujen värähtelyjen lukumäärä.

Värähtelytaajuus määrittää värähtelyjen määrän aikayksikköä kohti, se on suhteessa sykliseen taajuuteen, sitten jaksoon.

Värähtelevän materiaalipisteen nopeus

kiihtyvyys

Siten harmonisen oskillaattorin nopeus ja kiihtyvyys muuttuvat myös harmonisen lain mukaan amplitudien ja vastaavasti. Tässä tapauksessa nopeus on siirtymävaiheessa edellä ja kiihtyvyys - askeleella (kuva 1.1.2).

Harmonisen oskillaattorin (1.1.1) ja (1.1.2) liikeyhtälöiden vertailusta seuraa, että , tai

Tämä differentiaaliyhtälö toista kertaluokkaa kutsutaan harmoniseksi oskillaattoriyhtälöksi. Hänen ratkaisunsa sisältää kaksi vakiota A ja , jotka määritetään asettamalla alkuehdot

Jos jaksoittain toistuvaa prosessia kuvataan yhtälöillä, jotka eivät ole yhtäpitäviä (1.1.1), sitä kutsutaan anharmoniseksi. Järjestelmää, joka suorittaa epäharmonisia värähtelyjä, kutsutaan anharmoniseksi oskillaattoriksi.

1.1.2 . Järjestelmien vapaat värähtelyt yhdellä vapausasteella. monimutkainen muoto harmonisten värähtelyjen esitykset

Luonnossa pienet värähtelyt, joita järjestelmä tekee lähellä tasapainoasemaansa, ovat hyvin yleisiä. Jos tasapainosta poistettu järjestelmä jätetään itselleen, eli ulkoiset voimat eivät vaikuta siihen, niin tällainen järjestelmä suorittaa vapaita vaimentamattomia värähtelyjä. Tarkastellaan järjestelmää, jossa on yksi vapausaste.

Vakaa tasapaino vastaa järjestelmän paikkaa, jossa sen potentiaalienergialla on minimi ( q on järjestelmän yleinen koordinaatti). Järjestelmän poikkeama tasapainoasennosta johtaa voiman syntymiseen, joka pyrkii tuomaan järjestelmän takaisin. Merkitään tasapainopaikkaa vastaavan yleistetyn koordinaatin arvoa, sitten poikkeamaa tasapainopaikasta

Laskemme potentiaalisen energian minimiarvosta. Otetaan saatu funktio, laajennetaan se Maclaurin-sarjaan ja jätetään laajennuksen ensimmäinen termi, meillä on: o

Verisuoni. AALLOT. OPTIIKKA

Verisuoni

Luento 1

HARMONISET VÄRINNÄT

Ihanteellinen harmoninen oskillaattori. Yhtälö ihanteellinen oskillaattori ja hänen päätöksensä. Värähtelyn amplitudi, taajuus ja vaihe

Värähtely on yksi yleisimmistä luonnon ja tekniikan prosesseista. Fluktuaatiot ovat prosesseja, jotka toistuvat ajan myötä. Korkeat rakennukset ja korkeajännitejohdot värähtelevät tuulen vaikutuksesta, kierretyn kellon heiluri ja auto jousilla liikkeen aikana, joen korkeus vuoden aikana ja ihmiskehon lämpötila sairauden aikana. Ääni on ilmanpaineen vaihtelua, radioaallot ovat säännöllisiä muutoksia sähkö- ja magneettikenttien voimakkuudessa, valo on myös sähkömagneettista värähtelyä. Maanjäristykset - maan värähtelyt, nousut ja nousut - kuun vetovoiman aiheuttamat muutokset merien ja valtamerien pinnassa jne.

Värähtelyt ovat mekaanisia, sähkömagneettisia, kemiallisia, termodynaamisia jne. Huolimatta tällaisesta vaihtelusta, kaikki värähtelyt kuvataan samoilla differentiaaliyhtälöillä.

Ensimmäiset värähtelyjä tutkineet tiedemiehet olivat Galileo Galilei ja Christian Huygens. Galileo vahvisti värähtelyjakson riippumattomuuden amplitudista. Huygens keksi heilurikellon.

Harmoniset värähtelyt kuvataan yhtälöllä (kuva 1.1.1)

(1.1.1)

Yhden täydellisen värähtelyn aikaa kutsutaan jaksoksi, jossa on ajan kuluessa suoritettujen värähtelyjen lukumäärä.

Värähtelytaajuus määrittää värähtelyjen määrän aikayksikköä kohti, se on suhteessa sykliseen taajuuteen, sitten jaksoon.

Värähtelevän materiaalipisteen nopeus

kiihtyvyys

Harmonisen oskillaattorin (1.1.1) ja (1.1.2) liikeyhtälöiden vertailusta seuraa, että , tai

Tätä toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä kutsutaan harmoniseksi oskillaattoriyhtälöksi. Hänen ratkaisunsa sisältää kaksi vakiota A ja , jotka määritetään asettamalla alkuehdot

1.1.2 . Järjestelmien vapaat värähtelyt yhdellä vapausasteella. Monimutkainen harmonisten värähtelyjen esitysmuoto

Laskemme potentiaalisen energian minimiarvosta. Otetaan saatu funktio, laajennetaan se Maclaurin-sarjaan ja jätetään laajennuksen ensimmäinen termi, meillä on: o

Missä . Sitten, kun otetaan huomioon käyttöön otettu merkintä:

, (1.1.4)

Kun otetaan huomioon järjestelmään vaikuttavan voiman lauseke (1.1.4), saadaan:

Newtonin toisen lain mukaan järjestelmän liikeyhtälöllä on muoto:

Lauseke (1.1.5) osuu yhteen vapaiden harmonisten värähtelyjen yhtälön (1.1.3) kanssa, jos

ja sillä on kaksi itsenäistä ratkaisua: ja , joten yleinen ratkaisu on:

Kaavasta (1.1.6) seuraa, että taajuus määräytyy vain mekaanisen järjestelmän luontaisten ominaisuuksien perusteella, eikä se riipu amplitudista eikä liikkeen alkuolosuhteista.

Värähtelevän järjestelmän koordinaatin riippuvuus ajasta voidaan määrittää kompleksisen lausekkeen todelliseksi osaksi , Missä A = Xe-iα on monimutkainen amplitudi, sen moduuli on sama kuin tavallinen amplitudi ja sen argumentti on sama kuin alkuvaihe.

1.1.3 . Esimerkkejä erilaisista fysikaalisista värähtelyliikkeistä

Jousen kuormituksen vaihtelut

Harkitse jousen kuormituksen tärinää edellyttäen, että jousi ei muutu muotoaan kimmoisuuden rajojen yli. Osoitamme, että tällainen kuorma suorittaa harmonisia värähtelyjä suhteessa tasapainoasentoon (kuva 1.1.3). Todellakin, Hooken lain mukaan puristettu tai venytetty jousi luo harmonisen voiman:

Missä - jousen jäykkyyskerroin, on tasapainoaseman koordinaatti, X on kuorman (materiaalipisteen) koordinaatti ajanhetkellä , on siirtymä tasapainoasennosta.

Laitetaan koordinaatin origo järjestelmän tasapainopaikkaan. Tässä tapauksessa .

Jos jousi venyy X, vapauta sitten ajoissa t=0, silloin Newtonin toisen lain mukainen kuorman liikeyhtälö saa muodon -kx=ma, tai , Ja

(1.1.6)

Tämä yhtälö osuu muodoltaan harmonisia värähtelyjä suorittavan järjestelmän liikeyhtälön (1.1.3) kanssa, etsimme sen ratkaisua muodossa:

. (1.1.7)

Korvaamme (1.17) arvolla (1.1.6), meillä on: eli lauseke (1.1.7) on yhtälön (1.1.6) ratkaisu edellyttäen, että

Jos kuorman sijainti oli alkuhetkellä mielivaltainen, liikeyhtälö saa muodon:

Tarkastellaan kuinka kuorman energia muuttuu aiheuttaen harmonisia värähtelyjä ulkoisten voimien puuttuessa (kuva 1.14). Jos siihen aikaan t=0 lähetä offset rahtiin x=A, silloin sen kokonaisenergia tulee yhtä suureksi kuin epämuodostuneen jousen potentiaalienergia, kineettinen energia on nolla (kohta 1).

Kuormaan vaikuttava voima F = -kx, pyrkii palauttamaan sen tasapainoasentoon, jolloin kuorma liikkuu kiihtyvällä tahdilla ja lisää sen nopeutta ja siten sen liike-energiaa. Tämä voima vähentää kuorman siirtymää X, kuorman potentiaalienergia pienenee ja muuttuu kineettiseksi. "Kuorma-jousi" -järjestelmä on suljettu, joten sen kokonaisenergia säilyy, eli:

. (1.1.8)

Kuorma on tällä hetkellä tasapainossa (piste 2), sen potentiaalienergia on nolla ja liike-energia on maksimi. Löydämme kuorman maksiminopeuden energian säilymisen laista (1.1.8):

Kineettisen energiavaraston ansiosta kuorma toimii kimmovoimaa vastaan – ja kulkee tasapainoasennon läpi. Kineettinen energia muuttuu vähitellen potentiaaliksi. Kun kuormalla on suurin negatiivinen siirtymä - A, kineettinen energia vk=0, kuorma pysähtyy ja alkaa liikkua tasapainoasentoon elastisen voiman vaikutuksesta F = -kx. Jatkoliikkeet ovat samanlaisia.

Heilurit

Heiluri on jäykkä kappale, joka värähtelee kiinteän pisteen tai akselin ympäri painovoiman vaikutuksesta. On olemassa fyysisiä ja matemaattisia heilurit.

Matemaattinen heiluri on idealisoitu järjestelmä, joka koostuu painottomasta venymättömästä langasta, johon on ripustettu yhteen materiaalipisteeseen keskittynyt massa.

Esimerkiksi matemaattinen heiluri on pallo pitkällä ohuella langalla.

Heilurin poikkeamaa tasapainoasennosta luonnehtii kulma φ , joka muodostaa langan pystysuoran kanssa (kuva 1.15). Kun heiluri poikkeaa tasapainoasennosta, syntyy ulkoisten voimien momentti (painovoima): , Missä m-paino, - heilurin pituus

Tällä momentilla on taipumus palauttaa heiluri tasapainoasentoon (samanlainen kuin kvasielastinen voima) ja se on suunnattu siirtymää vastapäätä φ , joten kaavassa on miinusmerkki.

Dynaamiikan yhtälö pyörivä liike heilurilla on muoto: Iε=,

Tarkastellaan siis pienten vaihteluiden tapausta sin φ ≈φ, merkitsee,

meillä on: , tai , ja lopuksi

Tämä on harmonisten värähtelyjen yhtälö, sen ratkaisu:

Matemaattisen heilurin värähtelytaajuuden määrää vain sen pituus ja painovoiman kiihtyvyys, eikä se riipu heilurin massasta. Ajanjakso on:

Jos värähtelevää kappaletta ei voida esittää aineellisena pisteenä, heiluria kutsutaan fysikaaliseksi (kuva 1.1.6). Kirjoitamme sen liikkeen yhtälön muodossa:

Pienten vaihteluiden tapauksessa , tai =0, missä . Tämä on harmonisia värähtelyjä suorittavan kappaleen liikeyhtälö. Fyysisen heilurin värähtelytaajuus riippuu sen massasta, pituudesta ja hitausmomentista ripustuspisteen läpi kulkevan akselin suhteen.

Merkitään. Arvo kutsutaan fyysisen heilurin pienennetyksi pituudeksi. Tämä on matemaattisen heilurin pituus, jonka värähtelyjakso on sama kuin tietyn fyysisen heilurin jakson. Pistettä suoralla viivalla, joka yhdistää ripustuspisteen massakeskipisteeseen ja joka sijaitsee pienennetyn pituuden päässä pyörimisakselista, kutsutaan fyysisen heilurin kääntökeskukseksi ( NOIN'). Jos heiluri on ripustettu heilahteen keskelle, pienentynyt värähtelypituus ja -jakso ovat samat kuin pisteessä NOIN. Siten ripustuspisteellä ja kääntökeskiöllä on vastavuoroisuuden ominaisuudet: kun ripustuspiste siirretään kääntökeskukseen, vanhasta ripustuspisteestä tulee uusi kääntökeskus.

Matemaattista heiluria, joka heiluu samalla jaksolla kuin tarkasteltavana oleva fysikaalinen heiluri, kutsutaan isokroniseksi annetun fyysisen heilurin kanssa.

1.1.4. Lisätään tärinää (lyöntejä, Lissajous-figuurit). Värinälisäyksen vektorikuvaus

Tasasuuntaisten värähtelyjen lisääminen voidaan suorittaa käyttämällä vektorikaavioiden menetelmää. Mikä tahansa harmoninen värähtely voidaan esittää vektorina seuraavasti. Valitaan akseli X lähtöpisteen kanssa NOIN(kuva 1.1.7)

kohdasta NOIN rakentaa vektori, joka muodostaa kulman akselilla X. Anna tämän vektorin pyöriä kulmanopeudella . Vektorin projektio akselille X on yhtä suuri kuin:

eli se suorittaa harmonisia värähtelyjä amplitudilla A.

Tarkastellaan kahta harmonista värähtelyä, joilla on sama suunta ja sama syklinen pieni , jotka on annettu vektoreilla ja . Siirtyy akselia pitkin X ovat tasa-arvoisia:

tuloksena olevalla vektorilla on projektio ja se edustaa tuloksena olevaa värähtelyä (kuva 1.1.8), kosinilauseen mukaisesti. Näin ollen harmonisten värähtelyjen yhteenlasku suoritetaan vektorit yhteenlaskemalla.

Suoritetaan keskenään kohtisuorien värähtelyjen yhteenlasku. Tehköön materiaalipiste kaksi keskenään kohtisuoraa värähtelyä taajuudella:

Materiaalipiste itse liikkuu sitten jotakin kaarevaa liikerataa pitkin.

Liikeyhtälöstä seuraa: ,

. (1.1.9)

Yhtälöstä (1.1.9) saat ellipsiyhtälön (kuva 1.1.9):

Harkitse tämän yhtälön erikoistapauksia:

1. Värähtelyn vaihe-ero α= 0. Samaan aikaan nuo. tai Tämä on suoran yhtälö, ja tuloksena oleva värähtely tapahtuu tätä suoraa pitkin amplitudilla (kuva 1.1.10).

sen kiihtyvyys on yhtä suuri kuin siirtymän toinen derivaatta ajan suhteen silloin värähtelypisteeseen vaikuttava voima Newtonin toisen lain mukaan on yhtä suuri kuin

Eli voima on verrannollinen siirtymään X ja on suunnattu tasapainoasentoon siirtymistä vastaan. Tätä voimaa kutsutaan palautusvoimaksi. Jouseen kohdistuvan kuormituksen tapauksessa palautusvoima on kimmovoima, matemaattisen heilurin tapauksessa painovoiman komponentti.

Luonnon palauttava voima noudattaa Hooken lakia F = -kx, Missä

on palautusvoiman kerroin. Sitten värähtelypisteen potentiaalienergia on:

(integrointivakio valitaan nollaksi, joten milloin X).

Anharmoninen oskillaattori