Lyhennetyt kertolaskukaavat.
Lyhennetyn kertolaskukaavojen tutkiminen: summan neliö ja kahden lausekkeen erotuksen neliö; kahden lausekkeen neliöiden erotus; kahden lausekkeen summan kuutio ja erotuksen kuutio; kahden lausekkeen kuutioiden summat ja erot.
Lyhennettyjen kertolaskujen soveltaminen esimerkkejä ratkaistaessa.
Lausekkeiden yksinkertaistamiseksi, polynomien kertoimella ja polynomien pelkistämiseksi vakiomuotoon käytetään lyhennettyjä kertolaskukaavoja. Lyhennetyt kertolaskut, jotka sinun on tiedettävä ulkoa.
Olkoon a, b R. Sitten:
1. Kahden lausekkeen summan neliö on ensimmäisen lausekkeen neliö plus kaksi kertaa ensimmäisen lausekkeen tulo ja toinen plus toisen lausekkeen neliö.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Kahden lausekkeen eron neliö on ensimmäisen lausekkeen neliö miinus kaksi kertaa ensimmäisen lausekkeen tulo ja toinen plus toisen lausekkeen neliö.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Neliöiden ero kaksi lauseketta on yhtä suuri kuin näiden lausekkeiden ja niiden summan erotuksen tulo.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. summa kuutio kahdesta lausekkeesta on yhtä suuri kuin ensimmäisen lausekkeen kuutio plus kolme kertaa ensimmäisen lausekkeen neliö kertaa toinen plus kolme kertaa ensimmäisen lausekkeen tulo kertaa toisen lausekkeen neliö plus toisen lausekkeen kuutio.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. ero kuutio kahdesta lausekkeesta on yhtä suuri kuin ensimmäisen lausekkeen kuutio miinus kolme kertaa ensimmäisen lausekkeen neliön tulo ja toisen plus kolme kertaa ensimmäisen lausekkeen ja toisen lausekkeen neliö miinus toisen lausekkeen kuutio.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Kuutioiden summa kaksi lauseketta on yhtä suuri kuin ensimmäisen ja toisen lausekkeen summan tulo näiden lausekkeiden erotuksen epätäydellisellä neliöllä.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Kuutioiden ero kahdesta lausekkeesta on yhtä suuri kuin ensimmäisen ja toisen lausekkeen eron tulos näiden lausekkeiden summan epätäydellisellä neliöllä.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Lyhennettyjen kertolaskujen soveltaminen esimerkkejä ratkaistaessa.
Esimerkki 1
Laskea
a) Käyttämällä kaavaa kahden lausekkeen summan neliölle, saamme
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Käyttämällä kahden lausekkeen neliöeron kaavaa saadaan
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
Esimerkki 2
Laskea
Käyttämällä kaavaa kahden lausekkeen neliöiden erolle saamme
Esimerkki 3
Yksinkertaista ilmaisua
(x - y) 2 + (x + y) 2
Käytämme kaavoja kahden lausekkeen summan neliön ja erotuksen neliöön
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Lyhennetyt kertolaskukaavat yhdessä taulukossa:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Lyhennettyjä kertolaskukaavoja (FSU) käytetään lukujen ja lausekkeiden eksponentioimiseen ja kertomiseen. Usein näiden kaavojen avulla voit tehdä laskelmia kompaktimmin ja nopeammin.
Tässä artikkelissa luetellaan lyhennettyjen kertolaskujen pääkaavat, ryhmitellään ne taulukkoon, tarkastellaan esimerkkejä näiden kaavojen käytöstä ja myös lyhennettyjen kertolaskujen todistamisen periaatteissa.
Ensimmäistä kertaa FSU-aihetta tarkastellaan 7. luokan kurssilla "Algebra". Alla on 7 peruskaavaa.
Lyhennetyt kertolaskukaavat
- summaneliökaava: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- erotuksen neliökaava: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
- summakuution kaava: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- erotuskuution kaava: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- neliöiden erotuskaava: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
- kaava kuutioiden summalle: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
- kuution erotuskaava: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2
Näiden lausekkeiden kirjaimet a, b, c voivat olla mitä tahansa numeroita, muuttujia tai lausekkeita. Käytön helpottamiseksi on parempi oppia seitsemän peruskaavaa ulkoa. Teemme niistä yhteenvedon taulukossa ja annamme ne alla ympyröimällä ne laatikolla.
Neljän ensimmäisen kaavan avulla voit laskea vastaavasti kahden lausekkeen summan tai erotuksen neliön tai kuution.
Viides kaava laskee lausekkeiden neliöiden eron kertomalla niiden summan ja erotuksen.
Kuudes ja seitsemäs kaava ovat vastaavasti lausekkeiden summan ja erotuksen kertominen erotuksen epätäydellisellä neliöllä ja summan epätäydellisellä neliöllä.
Lyhennettyä kertolaskukaavaa kutsutaan joskus myös lyhennetyksi kertolasku-identiteetiksi. Tämä ei ole yllättävää, koska jokainen tasa-arvo on identiteetti.
Käytännön esimerkkejä ratkaistaessa käytetään usein lyhennettyjen kertolaskujen kaavoja, joissa vasen ja oikea osa on järjestetty uudelleen. Tämä on erityisen kätevää, kun otetaan huomioon polynomi.
Muita lyhennettyjä kertolaskukaavoja
Emme rajoitu 7. luokan algebran kurssiin vaan lisäämme FSU-taulukkoomme muutamia kaavoja.
Harkitse ensin Newtonin binomikaavaa.
a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n
Tässä C n k ovat binomiaalikertoimia, jotka ovat Pascalin kolmion rivillä n. Binomikertoimet lasketaan kaavalla:
C nk = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2). . (n - (k - 1)) k !
Kuten näet, erotuksen ja summan neliön ja kuution FSU on Newtonin binomiaalikaavan erikoistapaus, kun n=2 ja n=3, vastaavasti.
Mutta entä jos potenssiin korotettavassa summassa on enemmän kuin kaksi termiä? Kolmen, neljän tai useamman termin summan neliön kaava on hyödyllinen.
a 1 + a 2 +. . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n
Toinen kaava, joka voi olla hyödyllinen, on kaava kahden termin n:nnen potenssin erolle.
a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1
Tämä kaava on tavallisesti jaettu kahteen kaavaan - vastaavasti parillisille ja parittomille asteille.
Parillisille eksponenteille 2m:
a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. . + b 2 m - 2
Parittomille eksponenteille 2m+1:
a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 +. . + b 2 m
Arvasit, että neliöiden eron ja kuutioiden eron kaavat ovat tämän kaavan erikoistapauksia, kun n = 2 ja n = 3. Kuutioiden erona b korvataan myös -b:llä.
Kuinka lukea lyhennettyjä kertolaskukaavoja?
Annamme kunkin kaavan vastaavat formulaatiot, mutta ensin käsittelemme kaavojen lukemisen periaatetta. Helpoin tapa tehdä tämä on esimerkin avulla. Otetaan ensimmäinen kaava kahden luvun summan neliölle.
a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .
He sanovat: kahden lausekkeen a ja b summan neliö on yhtä suuri kuin ensimmäisen lausekkeen neliön summa, kaksi kertaa lausekkeiden tulo ja toisen lausekkeen neliö.
Kaikki muut kaavat luetaan samalla tavalla. Neliöerolle a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 kirjoitamme:
kahden lausekkeen a ja b erotuksen neliö on yhtä suuri kuin näiden lausekkeiden neliöiden summa miinus kaksi kertaa ensimmäisen ja toisen lausekkeen tulo.
Luetaan kaava a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Kahden lausekkeen a ja b summan kuutio on yhtä suuri kuin näiden lausekkeiden kuutioiden summa, kolme kertaa ensimmäisen ja toisen lausekkeen neliön tulo ja kolme kertaa toisen lausekkeen neliön tulo ja ensimmäinen lauseke.
Jatkamme kuutioiden a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 erotuksen kaavan lukemista. Kahden lausekkeen a ja b erotuksen kuutio on yhtä suuri kuin ensimmäisen lausekkeen kuutio miinus kolme kertaa ensimmäisen lausekkeen ja toisen lausekkeen neliö plus kolme kertaa toisen lausekkeen ja ensimmäisen lausekkeen neliö, josta on vähennetty kuutio toisesta lausekkeesta.
Viides kaava a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (neliöiden ero) kuuluu näin: kahden lausekkeen neliöiden ero on yhtä suuri kuin eron ja kahden lausekkeen summan tulo.
Sellaisia lausekkeita kuin a 2 + a b + b 2 ja a 2 - a b + b 2 kutsutaan vastaavasti summan epätäydelliseksi neliöksi ja erotuksen epätäydelliseksi neliöksi.
Tätä silmällä pitäen kuutioiden summan ja eron kaavat luetaan seuraavasti:
Kahden lausekkeen kuutioiden summa on yhtä suuri kuin näiden lausekkeiden summan ja niiden erotuksen epätäydellisen neliön tulo.
Kahden lausekkeen kuutioiden erotus on yhtä suuri kuin näiden lausekkeiden eron tulo niiden summan epätäydellisellä neliöllä.
FSU todiste
FSU:n todistaminen on melko yksinkertaista. Kertomisen ominaisuuksien perusteella suoritamme suluissa olevien kaavojen osien kertomisen.
Harkitse esimerkiksi erotuksen neliön kaavaa.
a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Lausekkeen nostamiseksi toiseen potenssiin lauseke on kerrottava itsestään.
a - b 2 \u003d a - b a - b.
Laajennamme sulkuja:
a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Kaava on todistettu. Muut FSO:t ovat todistettu samalla tavalla.
Esimerkkejä FSO:n soveltamisesta
Supistettujen kertolaskujen käyttötarkoitus on kertoa ja eksponentioida lausekkeita nopeasti ja ytimekkäästi. Tämä ei kuitenkaan ole koko FSO:n soveltamisala. Niitä käytetään laajalti lausekkeiden vähentämiseen, murtolukujen vähentämiseen ja polynomien tekijöihin laskemiseen. Annetaan esimerkkejä.
Esimerkki 1. FSO
Yksinkertaistetaan lauseke 9 y - (1 + 3 y) 2 .
Käytä neliöiden summakaavaa ja saat:
9 v - (1 + 3 v) 2 = 9 v - (1 + 6 v + 9 v 2) = 9 v - 1 - 6 v - 9 v 2 = 3 v - 1 - 9 v 2
Esimerkki 2. FSO
Pienennä murto-osaa 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .
Huomaamme, että osoittajassa oleva lauseke on kuutioiden erotus ja nimittäjässä neliöiden erotus.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.
Vähennämme ja saamme:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
FSU:t auttavat myös laskemaan lausekkeiden arvot. Tärkeintä on pystyä huomaamaan, mihin kaavaa sovelletaan. Osoitetaan tämä esimerkillä.
Nelitetään luku 79. Hankalien laskelmien sijaan kirjoitamme:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Vaikuttaa siltä, että monimutkainen laskenta suoritettiin nopeasti vain lyhennettyjen kertolaskujen ja kertotaulukon avulla.
Toinen tärkeä pointti- binomiaalin neliön valinta. Lauseke 4 x 2 + 4 x - 3 voidaan muuntaa 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Tällaisia muunnoksia käytetään laajasti integraatiossa.
Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter
Neliöiden ero
Johdetaan kaava neliöiden $a^2-b^2$ erolle.
Muista seuraava sääntö tehdäksesi tämän:
Jos lausekkeeseen lisätään mikä tahansa monomi ja sama monomi vähennetään, saadaan oikea identiteetti.
Lisätään lausekkeeseen ja vähennetään siitä monomi $ab$:
Yhteensä saamme:
Eli kahden monomin neliöiden erotus on yhtä suuri kuin niiden eron ja niiden summan tulo.
Esimerkki 1
Ilmaise $(4x)^2-y^2$ tulona
\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]
\[((2x))^2-y^2=\vasen(2x-y\oikea)(2x+y)\]
Kuutioiden summa
Johdetaan kaava kuutioiden $a^3+b^3$ summalle.
Otetaan yleiset tekijät pois suluista:
Otetaan $\left(a+b\right)$ suluista:
Yhteensä saamme:
Toisin sanoen kahden monomin kuutioiden summa on yhtä suuri kuin niiden summan tulo niiden erotuksen epätäydellisellä neliöllä.
Esimerkki 2
Express tuotteena $(8x)^3+y^3$
Tämä lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavaan muotoon:
\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]
Neliöiden erotuskaavan avulla saamme:
\[((2x))^3+y^3=\vasen(2x+y\oikea)(4x^2-2xy+y^2)\]
Kuutioiden ero
Johdetaan kaava kuutioiden $a^3-b^3$ erolle.
Tätä varten käytämme samaa sääntöä kuin yllä.
Lisätään lausekkeeseen ja vähennetään siitä monomit $a^2b\ ja\ (ab)^2$:
Otetaan yleiset tekijät pois suluista:
Otetaan $\left(a-b\right)$ suluista:
Yhteensä saamme:
Toisin sanoen kahden monomin kuutioiden erotus on yhtä suuri kuin niiden eron tulo niiden summan epätäydellisellä neliöllä.
Esimerkki 3
Express $(8x)^3-y^3$ tuotteena
Tämä lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavaan muotoon:
\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]
Neliöiden erotuskaavan avulla saamme:
\[((2x))^3-y^3=\vasen(2x-y\oikea)(4x^2+2xy+y^2)\]
Esimerkki tehtävistä neliöiden erotuksen ja kuutioiden summan ja eron kaavojen käyttämiseksi
Esimerkki 4
Kerro.
a) $((a+5))^2-9$
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Ratkaisu:
a) $((a+5))^2-9$
\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]
Käyttämällä neliöiden erotuskaavaa saamme:
\[((a+5))^2-3^2=\vasen(a+5-3\oikea)\vasen(a+5+3\oikea)=\vasen(a+2\oikea)(a +8)\]
Kirjoitetaan tämä lauseke muodossa:
Sovelletaan kuutioiden kuutioiden kaavaa:
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Kirjoitetaan tämä lauseke muodossa:
\[-x^3+\frac(1)(27)=(\vasen(\frac(1)(3)\oikea))^3-x^3\]
Sovelletaan kuutioiden kuutioiden kaavaa:
\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\oikea)\]
