Fysikaalisten suureiden mittojen analyysi. Dimensionaalinen analyysi

Fysikaalisia suureita, joiden numeerinen arvo ei riipu valitusta yksiköiden asteikosta, kutsutaan dimensiottomiksi. Esimerkkejä dimensiottomista suureista ovat kulma (kaaren pituuden suhde säteeseen), aineen taitekerroin (valon nopeuden suhde tyhjiössä valon nopeuteen aineessa).

Fysikaalisia suureita, jotka muuttavat numeerista arvoaan, kun yksiköiden asteikkoa muutetaan, kutsutaan dimensioiksi. Esimerkkejä mittasuureista ovat pituus, voima jne. Fyysisen suuren yksikön ilmaisua perusyksiköinä kutsutaan sen dimensioksi (tai mittakaavaksi). Esimerkiksi voiman mitta CGS- ja SI-järjestelmissä ilmaistaan kaavalla

Fysikaalisia tehtäviä ratkaistaessa saatujen vastausten oikeellisuuden voidaan tarkistaa ulottuvuuden huomioiden avulla: saatujen lausekkeiden oikean ja vasemman osan sekä kunkin osan yksittäisten termien on oltava samat.

Mittausmenetelmää voidaan käyttää myös kaavojen ja yhtälöiden johtamiseen, kun tiedetään, mistä fysikaalisista parametreista haluttu arvo voi riippua. Menetelmän ydin on helpoin ymmärtää konkreettisilla esimerkeillä.

Mittausmenetelmän sovellukset. Ajatellaanpa ongelmaa, johon tiedämme hyvin vastauksen: millä nopeudella kappale putoaa maahan, putoaa vapaasti ilman alkunopeutta korkealta, jos ilmanvastus voidaan jättää huomiotta? Liikelakeihin perustuvan suoran laskennan sijaan väitämme seuraavasti.

Mietitään, mistä haluttu nopeus voi riippua. On selvää, että sen täytyy riippua alkukorkeudesta ja vapaan pudotuksen kiihtyvyydestä. Aristoteleen mukaan voidaan olettaa, että se riippuu myös massasta. Koska vain saman mittasuhteen arvoja voidaan lisätä, voidaan seuraavaa kaavaa ehdottaa halutulle nopeudelle:

jossa C on jokin dimensioton vakio (numeerinen kerroin), ja x, y ja z ovat tuntemattomia numeroita, joka olisi määritettävä.

Tämän yhtälön oikean ja vasemman osan mittojen on oltava samat, ja juuri tämän ehdon avulla voidaan määrittää eksponentit x, y, z kohdassa (2). Nopeusmitta on korkeusmitta, vapaan pudotuksen kiihtyvyyden mitta on , ja lopuksi massan mitta on M. Koska vakio C on dimensioton, kaava (2) vastaa seuraavaa mittojen yhtälöä:

Tämän tasa-arvon on oltava voimassa riippumatta siitä, mitkä numeroarvot ovat. Siksi on välttämätöntä rinnastaa eksponentit kohdassa ja M yhtälön (3) vasemmalla ja oikealla puolella:

Tästä yhtälöjärjestelmästä saamme Siksi kaava (2) saa muodon

Nopeuden todellinen arvo, kuten tiedetään, on yhtä suuri kuin

Joten käytetty lähestymistapa mahdollisti riippuvuuden määrittämisen oikein eikä arvon löytämisen mahdollistanut

dimensioton vakio C. Vaikka emme ole saaneet tyhjentävää vastausta, on kuitenkin saatu erittäin merkittävää tietoa. Voidaan esimerkiksi täysin varmuudella todeta, että jos alkukorkeus nelinkertaistuu, putoamishetken nopeus kaksinkertaistuu ja, toisin kuin Aristoteles uskoo, tämä nopeus ei riipu putoavan kappaleen massasta.

Vaihtoehtojen valinta. Dimensiomenetelmää käytettäessä tulee ennen kaikkea tunnistaa ne parametrit, jotka määrittävät tarkasteltavana olevan ilmiön. Tämä on helppo tehdä, jos sitä kuvaavat fysikaaliset lait tunnetaan. Useissa tapauksissa ilmiön määräävät parametrit voidaan määritellä, vaikka fysikaalisia lakeja ei tunneta. Pääsääntöisesti sinun täytyy tietää vähemmän käyttääksesi dimensioanalyysimenetelmää kuin kirjoittaaksesi liikeyhtälöitä.

Jos tutkittavan ilmiön määrittävien parametrien lukumäärä on suurempi kuin niiden perusyksiköiden lukumäärä, joille valittu yksikköjärjestelmä on rakennettu, ei tietenkään voida määrittää kaikkia ehdotetun kaavan eksponenteja haetulle arvolle. Tässä tapauksessa on hyödyllistä ennen kaikkea määrittää valittujen parametrien kaikki itsenäiset dimensiottomat yhdistelmät. Tällöin haluttua fyysistä määrää ei määritetä tyypin (2) kaavalla, vaan jonkin (yksinkertaisimman) parametrien yhdistelmän tulolla, jolla on haluttu ulottuvuus (ts. halutun suuren mitta), jollakin funktiolla löydetyt dimensiottomat parametrit.

On helppo havaita, että yllä olevassa esimerkissä korkeudesta putoavasta kappaleesta on mahdotonta muodostaa dimensiotonta yhdistelmää suureista ja mitoimattomasta yhdistelmästä. Siksi kaava (2) tyhjentää kaikki mahdolliset tapaukset.

Mitaton parametri. Tarkastellaan nyt seuraavaa ongelmaa: määritetään vaakasuuntaan ammutun ammuksen vaakasuuntainen lennon kantama korkealla vuorella sijaitsevasta aseesta alkunopeudella.

Ilmanvastuksen puuttuessa parametrien lukumäärä, joista haluttu alue voi riippua, on yhtä suuri kuin neljä: ja m. Koska perusyksiköiden lukumäärä on kolme, ongelman täydellinen ratkaisu mittamenetelmällä on mahdotonta . Etsitään ensin kaikki itsenäiset dimensioimattomat parametrit y, jotka voidaan muodostaa ja

Tämä lauseke vastaa seuraavaa mittojen yhtäläisyyttä:

Täältä saamme yhtälöjärjestelmän

joka antaa ja halutulle dimensiottomalle parametrille saamme

Voidaan nähdä, että ainoa riippumaton dimensioton parametri tarkasteltavassa ongelmassa on .

missä on dimensiottoman parametrin vielä tuntematon funktio Mittojen menetelmä (esitetyssä versiossa) ei salli tätä funktiota määrittää. Mutta jos tiedämme jostain, esimerkiksi kokemuksesta, että haluttu alue on verrannollinen ammuksen vaakasuuntaiseen nopeuteen, niin funktion muoto määritetään välittömästi: nopeuden on tultava siihen ensimmäiseen potenssiin, ts.

Nyt alkaen (5) saatavamme ammuksen kantamalle

joka vastaa oikeaa vastausta

Korostamme, että tällä menetelmällä funktion tyypin määrittämiseksi meille riittää, että tiedämme lentoetäisyyden kokeellisesti määritetyn riippuvuuden luonteen ei kaikista parametreista, vaan vain yhdestä niistä.

Vektoripituuden yksiköt. Mutta on mahdollista määrittää alue (7) vain ulottuvuusnäkökohtien perusteella, jos lisäämme neljään perusyksiköiden lukumäärä, joiden kautta parametrit ilmaistaan jne. Tähän asti mittakaavoja kirjoitettaessa ei ole tehty eroa mittayksiköiden välillä. pituus vaaka- ja pystysuunnassa. Tällainen ero voidaan kuitenkin tehdä sen perusteella, että painovoima vaikuttaa vain pystysuoraan.

Merkitään pituusmitta vaakasuunnassa läpi ja pystysuunnassa - läpi Silloin lentoetäisyyden mitta vaakasuunnassa on korkeusmitta vaakanopeuden mitta on ja kiihtyvyydelle

saamme vapaan pudotuksen Nyt, katsomalla kaavaa (5), näemme, että ainoa tapa saada oikea mitta oikealle puolelle on pitää sitä suhteellisena. Tulemme jälleen kaavaan (7).

Tietysti neljällä perusyksiköllä ja M:llä voidaan suoraan rakentaa vaaditun mittasuhteen arvo neljästä parametrista ja

Vasemman ja mittojen yhtäläisyys oikeat osat on muotoa

Yhtälöjärjestelmä x:lle, y:lle, z:lle ja ja antaa arvot ja päästään taas kaavaan (7).

Tässä käytettyjä erilaisia pituusyksikköjä keskenään kohtisuorassa suunnassa kutsutaan joskus vektoripituusyksiköiksi. Niiden soveltaminen laajentaa merkittävästi dimensioanalyysimenetelmän mahdollisuuksia.

Dimensioanalyysimenetelmää käytettäessä on hyödyllistä kehittää taitoja siinä määrin, että halutun kaavan eksponenteille ei tehdä yhtälöjärjestelmää, vaan valitaan ne suoraan. Havainnollistetaan tätä seuraavassa tehtävässä.

Tehtävä

Suurin kantama. Missä kulmassa vaakatasoon nähden kiviä tulisi heittää vaakasuuntaisen lentoetäisyyden maksimoimiseksi?

Ratkaisu. Oletetaan, että olemme "unohtaneet" kaikki kinemaattiset kaavat ja yritetään saada vastaus ulottuvuusnäkökohdista. Ensi silmäyksellä saattaa vaikuttaa siltä, että mittojen menetelmä ei sovellu tähän ollenkaan, koska vastaukseen on tultava jokin heittokulman trigonometrinen funktio. Siksi itse kulman a sijasta yritämme etsiä lauseketta alueelle. On selvää, että emme tule toimeen ilman pituusvektoriyksiköitä.

On syytä korostaa, että perimmäinen tavoite tarkasteltavana olevassa tapauksessa säilyy samana: samankaltaisuuslukujen löytäminen, joille tulisi tehdä mallinnus, mutta se ratkaistaan huomattavasti pienemmällä tietomäärällä prosessin luonteesta.

Selventääksemme seuraavaa käymme lyhyesti läpi joitakin peruskäsitteitä. Yksityiskohtainen esitys löytyy A.N. Lebedevin kirjasta "Mallentaminen tieteellisessä ja teknisessä tutkimuksessa". - M.: Radio ja viestintä. 1989. -224 s.

Jokaisella materiaalilla on useita ominaisuuksia, jotka mahdollistavat kvantitatiivisen ilmaisun. Lisäksi jokaiselle ominaisuudelle on ominaista tietyn fyysisen suuren koko. Joidenkin fyysisten suureiden yksiköt voidaan valita mielivaltaisesti ja niiden avulla edustaa kaikkien muiden yksiköitä. Satunnaisesti valittuja fyysisiä yksiköitä kutsutaan pää. Kansainvälisessä järjestelmässä (mekaniikassa) tämä on kilogramma, metri ja sekunti. Loput näistä kolmesta ilmaistuista suureista kutsutaan johdannaiset.

Perusyksikkö voidaan merkitä joko vastaavan suuren symbolilla tai erikoissymbolilla. Esimerkiksi pituusyksiköt ovat L, massayksiköt - M, aikayksikkö - T. Tai pituusyksikkö on metri (m), massayksikkö kilogramma (kg), ajan yksikkö on sekunti (s).

Dimensio ymmärretään symboliseksi ilmaisuksi (jota joskus kutsutaan kaavaksi) potenssimonomiaalin muodossa, joka yhdistää johdetun arvon tärkeimpiin. Tämän säännöllisyyden yleisellä muodolla on muoto

missä x, y, z- Mittaosoittimet.

Esimerkiksi nopeuden mitta

Mitattomaan määrään kaikki indikaattorit , ja siten .

Seuraavat kaksi väitettä ovat melko selkeitä eivätkä vaadi erityisiä todisteita.

Kahden objektin koon suhde on vakioarvo riippumatta siitä, millä yksiköillä ne ilmaistaan. Joten esimerkiksi jos ikkunoiden pinta-alan suhde seinien pinta-alaan on 0,2, tämä tulos pysyy ennallaan, jos itse alat ilmaistaan mm2, m2 tai km2.

Toinen asema voidaan muotoilla seuraavasti. Jokaisen oikean fyysisen suhteen on oltava mitoiltaan yhtenäinen. Tämä tarkoittaa, että kaikilla sen oikealla ja vasemmalla puolella olevilla termeillä on oltava sama ulottuvuus. Tämä yksinkertainen sääntö toteutetaan selkeästi jokapäiväisessä elämässä. Kaikki ymmärtävät, että metrejä voidaan lisätä vain metreihin, ei kiloihin tai sekunteihin. On ymmärrettävä selvästi, että sääntö pysyy voimassa, kun otetaan huomioon monimutkaisimmatkin yhtälöt.

Dimensioanalyysin menetelmä perustuu ns. -lauseeseen (lue: pi-lauseeseen). -lause muodostaa yhteyden ulottuvuusparametreilla ilmaistun funktion ja dimensiottoman funktion välille. Lause voidaan muotoilla täydellisemmin seuraavasti:

Mikä tahansa funktionaalinen suhde ulottuvuussuureiden välillä voidaan esittää suhteena välillä N Näistä suureista koostuvia dimensiottomia komplekseja (lukuja). Näiden kompleksien lukumäärä , missä n- perusyksiköiden lukumäärä. Kuten edellä mainittiin, hydromekaniikassa (kg, m, s).

Olkoon esimerkiksi arvo MUTTA on viisiulotteisen suuren () funktio, ts.

(13.12)

Lauseesta seuraa, että tämä riippuvuus voidaan muuttaa riippuvuudeksi, joka sisältää kaksi numeroa ( )

(13.13)

missä ja ovat dimensiosuureista koostuvia dimensioimattomia komplekseja.

Tätä lausetta kutsutaan joskus Buckinghamin lauseeksi ja sitä kutsutaan Buckinghamin lauseeksi. Itse asiassa monet merkittävät tiedemiehet osallistuivat sen kehittämiseen, mukaan lukien Fourier, Ryabushinsky ja Rayleigh.

Lauseen todistus ei kuulu kurssin piiriin. Tarvittaessa se löytyy L.I. Sedovin kirjasta "Mekaniikan samankaltaisuuden ja mittojen menetelmät" - M .: Nauka, 1972. - 440 s. Menetelmän yksityiskohtainen perustelu on myös V. A. Venikovin ja G. V. Venikovin kirjassa "Samankaltaisuuden ja mallinnuksen teoria" - M.: Higher school, 1984. -439 s. Tämän kirjan ominaisuus on, että se sisältää samankaltaisuuteen liittyvien kysymysten lisäksi tietoa kokeen perustamisen ja tulosten käsittelyn metodologiasta.

Dimensioanalyysin käyttö tiettyjen käytännön ongelmien ratkaisemiseen liittyy tarpeeseen koota muodon (13.12) toiminnallinen riippuvuus, joka seuraavassa vaiheessa käsitellään erityisillä tekniikoilla, jotka lopulta johtavat numeroiden (samankaltaisuuslukujen) saamiseen.

Luovan päävaihe on ensimmäinen vaihe, koska saadut tulokset riippuvat siitä, kuinka oikea ja täydellinen tutkijan käsitys prosessin fyysisestä luonteesta on. Toisin sanoen kuinka toiminnallinen riippuvuus (13.12) ottaa oikein ja täysin huomioon kaikki tutkittavaan prosessiin vaikuttavat parametrit. Jokainen virhe tässä johtaa väistämättä virheellisiin johtopäätöksiin. Niin kutsuttu "Rayleigh'n virhe" tunnetaan tieteen historiassa. Sen ydin on, että tutkiessaan lämmönsiirron ongelmaa turbulentissa virtauksessa Rayleigh ei ottanut huomioon virtauksen viskositeetin vaikutusta, ts. ei sisällyttänyt sitä riippuvuuteen (13.12). Tämän seurauksena hänen saamiinsa lopullisiin suhteisiin ei sisältynyt Reynoldsin samankaltaisuuslukua, jolla on erittäin tärkeä rooli lämmönsiirrossa.

Ymmärtääksesi menetelmän olemuksen, harkitse esimerkkiä, kuvaa sekä yleistä lähestymistapaa ongelmaan että menetelmää samankaltaisuuslukujen saamiseksi.

On tarpeen määrittää riippuvuuden tyyppi, joka mahdollistaa painehäviön tai painehäviön määrittämisen pyörteissä putkissa.

Muista, että tätä ongelmaa on jo käsitelty kohdassa 12.6. Siksi on epäilemättä mielenkiintoista selvittää, kuinka se voidaan ratkaista dimensioanalyysin avulla ja antaako tämä ratkaisu mitään uutta tietoa.

On selvää, että painehäviö putkea pitkin viskoosien kitkavoimien voittamiseksi käytetyn energian vuoksi on kääntäen verrannollinen sen pituuteen, joten muuttujien määrän vähentämiseksi on suositeltavaa harkita, ettei , vaan , eli painehäviö putken pituusyksikköä kohti. Muista, että suhdetta , jossa on painehäviö, kutsutaan hydrauliseksi kaltevuudeksi.

Prosessin fysikaalisen luonteen käsitteestä voidaan olettaa, että tuloksena olevien häviöiden pitäisi riippua: työväliaineen keskimääräisestä virtausnopeudesta (v); putkilinjan koosta sen halkaisijan mukaan ( d); alkaen fyysiset ominaisuudet kuljetettava väliaine, jolle on tunnusomaista sen tiheys () ja viskositeetti (); ja lopuksi on perusteltua olettaa, että häviöiden täytyy olla jotenkin yhteydessä putken sisäpinnan tilaan, ts. karkeudella ( k) sen seinistä. Siten riippuvuudella (13.12) on tarkasteltavassa tapauksessa muoto

(13.14)

Tähän päättyy ensimmäinen ja, on korostettava, tärkein vaihe mittasuhteiden analysoinnissa.

-lauseen mukaan riippuvuuteen sisältyvien vaikuttavien parametrien lukumäärä on . Näin ollen dimensiottomien kompleksien lukumäärä, ts. asianmukaisen käsittelyn jälkeen (13.14) tulee ottaa muotoon

(13.15)

On olemassa useita tapoja löytää numeroita. Käytämme Rayleighin ehdottamaa menetelmää.

Sen tärkein etu on, että se on eräänlainen algoritmi, joka johtaa ongelman ratkaisuun.

Kohdan (13.15) sisältämistä parametreista on valittava mitkä tahansa kolme, mutta niin, että ne sisältävät perusyksiköt, ts. metri, kilo ja sekunti. Olkoon ne v, d, . On helppo varmistaa, että ne täyttävät asetetun vaatimuksen.

Luvut muodostetaan potenssimonomiaaleina valituista parametreista kerrottuna yhdellä (13.14) jäljellä olevista parametreista.

; (13.16)

; (13.17)

; (13.18)

Nyt ongelma rajoittuu kaikkien eksponentien löytämiseen. Samalla ne on valittava niin, että luvut ovat ulottumattomia.

Tämän ongelman ratkaisemiseksi määritämme ensin kaikkien parametrien mitat:

; ;

Viskositeetti , eli .

Parametri , ja .

Ja lopuksi, .

Näin ollen numeroiden mitat ovat

Samoin kaksi muuta

Kappaleen 13.3 alussa todettiin jo, että mille tahansa dimensiottomalle suurelle ulottuvuuseksponentit . Siksi esimerkiksi numerolle voimme kirjoittaa

Eksponenttien yhtälöllä saamme kolme yhtälöä, joissa on kolme tuntematonta

Mistä löydämme; ; .

Korvaamalla nämä arvot arvolla (13.6), saamme

(13.19)

Jatketaan samalla tavalla, se on helppo osoittaa

ja .

Siten riippuvuus (13.15) saa muodon

(13.20)

Koska on olemassa määrittelemätön samankaltaisuusluku (Euler-luku), niin (13.20) voidaan kirjoittaa funktionaaliseksi riippuvuudeksi

(13.21)

On pidettävä mielessä, että mittojen analyysi ei anna eikä periaatteessa voi antaa numeerisia arvoja sen avulla saaduissa suhteissa. Sen vuoksi sen tulisi päättyä tulosten analysointiin ja tarvittaessa niiden korjaamiseen yleisten fysikaalisten käsitteiden perusteella. Tarkastellaan lauseketta (13.21) näistä paikoista. Sen oikea puoli sisältää nopeuden neliön, mutta tämä merkintä ei ilmaise mitään muuta kuin sitä, että nopeus on neliöity. Jos kuitenkin jaamme tämän arvon kahdella, ts. , silloin, kuten hydromekaniikasta tiedetään, se saa tärkeän fyysisen merkityksen: spesifisen kineettinen energia, a - dynaaminen paine, joka johtuu keskinopeudesta. Tämän huomioon ottaen lomakkeeseen on tarkoituksenmukaista kirjoittaa (13.21).

(13.22)

Jos nyt, kuten kohdassa (12.26), merkitsemme kirjaimella , niin päästään Darcyn kaavaan

(13.23)

(13.24)

missä on hydraulinen kitkakerroin, joka, kuten (13.22) seuraa, on Reynoldsin luvun ja suhteellisen karkeuden funktio ( k/d). Tämän riippuvuuden muoto voidaan löytää vain kokeellisesti.

KIRJALLISUUS

1. Kalnitsky L.A., Dobrotin D.A., Zheverzheev V.F. Korkeamman matematiikan erikoiskurssi korkeakouluille. M.: Korkeakoulu, 1976. - 389s.

2. Astarita J., Marruchi J. Ei-newtonilaisten nesteiden hydromekaniikan perusteet. - M.: Mir, 1978.-307s.

3. Fedjajevski K.K., Faddeev Yu.I. Hydromekaniikka. - M.: Laivanrakennus, 1968. - 567 s.

4. Fabrikant N.Ya. Aerodynamiikka. - M.: Nauka, 1964. - 814 s.

5. Arzhanikov N.S. ja Maltsev V.N. Aerodynamiikka. - M.: Oborongiz, 1956 - 483 s.

6. Filchakov P.F. Likimääräiset menetelmät konformisiin kartoituksiin. - K .: Naukova Dumka, 1964. - 530 s.

7. Lavrentiev M.A., Shabat B.V. Kompleksisen muuttujan funktioteorian menetelmät. - M.: Nauka, 1987. - 688 s.

8. Daly J., Harleman D. Fluid Mechanics. -M.: Energia, 1971. - 480 s.

9. KUTEN. Monin, A.M. Yaglom "Tilastollinen hydromekaniikka" (osa 1. - M .: Nauka, 1968. - 639 s.)

10. Schlichting G. Rajakerroksen teoria. - M.: Nauka, 1974. - 711 s.

11. Pavlenko V.G. Nestemekaniikan perusteet. - L.: Laivanrakennus, 1988. - 240 s.

12. Altshul A.D. hydraulinen vastus. - M.: Nedra, 1970. - 215 s.

13. A.A. Gukhman "Johdatus samankaltaisuusteoriaan." - M.: Higher School, 1963. - 253 s.

14. S. Kline "Samankaltaisuudet ja likimääräiset menetelmät". - M.: Mir, 1968. - 302 s.

15. A.A. Gukhman "Samankaltaisuusteorian soveltaminen lämmön ja massansiirtoprosessien tutkimukseen. Siirtoprosessit liikkuvassa väliaineessa. - M.: Korkeampi mittakaava, 1967. - 302 s.

16. A.N. Lebedev "Mallinnus tieteellisessä ja teknisessä tutkimuksessa". - M.: Radio ja viestintä. 1989. -224 s.

17. L.I. Sedov "Mekaniikan samankaltaisuuden menetelmät ja mitat" - M .: Nauka, 1972. - 440 s.

18. V.A.Venikov ja G.V.Venikov "Samankaltaisuuden teoria ja mallinnus" - M.: Higher school, 1984. -439 s.

1. NESTEMEKANIIKASSA KÄYTETTY MATEMAATTINEN LAITTEET ............................................................. ................................................... .............................. 3

1.1. Vektorit ja operaatiot niillä .................................................. .............. ...... neljä

1.2. Ensimmäisen asteen toiminnot (kentän differentiaaliset ominaisuudet). ................................................... . ................................................ .. ... 5

1.3. Toisen luokan toiminnot................................................ .................................. 6

1.4. Kenttäteorian integraalisuhteet................................................ .. 7

1.4.1. Vektorikentän virtaus ................................................... ............................ 7

1.4.2. Kenttävektorin kierto .................................................. .. 7

1.4.3. Stokes-kaava ................................................ .............. 7

1.4.4. Gauss-Ostrogradsky-kaava................................................ 7

2. NESTEEN FYSIKAALISET PERUSOMINAISUUDET JA PARAMETRIT. VOIMAT JA STRESSIT ................................................ ................................................ kahdeksan

2.1. Tiheys................................................. ................................... kahdeksan

2.2. Viskositeetti................................................. ...................................... 9

2.3. Voimien luokittelu ................................................... ............................... 12

2.3.1. Massavoimat ................................................... .......................................... 12

2.3.2. Pintavoimat ................................................... .................................. 12

2.3.3. Stressitensori ................................................... .......................... 13

2.3.4. Liikkeen yhtälö jännitteissä .................................. 16

3. HYDROSTATIIKKA................................................ .................................. kahdeksantoista

3.1. Nestetasapainoyhtälö................................................ 18

3.2. Hydrostaattisen perusyhtälö differentiaalimuodossa. ................................................... . ................................................ .. ... 19

3.3. Potentiaalitasapainopinnat ja samanpaineiset pinnat. ................................................... . ................................................ .. ... kaksikymmentä

3.4. Homogeenisen kokoonpuristumattoman nesteen tasapaino painovoimakentässä. Pascalin laki. Paineen jakautumisen hydrostaattinen laki... 20

3.5. Nestepaineen voiman määrittäminen kappaleiden pintaan .... 22

3.5.1. Tasainen pinta................................................ .... 24

4. KINEMATIIKKA................................................ ...................................... 26

4.1. Nesteen tasainen ja epätasainen liike ...... 26

4.2. Jatkuvuus (jatkuvuus)yhtälö................................................ .. 27

4.3. Virtaviivat ja liikeradat ................................................... .............................. 29

4.4 Virtausputki (virran pinta)................................................ ... ... 29

4.5. Suihkuvirtausmalli ................................................... .............................. 29

4.6. Jatkuvuusyhtälö tihkulle................................................ .. 30

4.7. Nestemäisen hiukkasen kiihtyvyys .................................................. .............................. 31

4.8. Nestemäisen hiukkasen liikkeen analyysi ................................................... .... 32

4.8.1. Kulmien muodonmuutokset ................................................ .................. 32

4.8.2. Lineaariset muodonmuutokset ................................................... .................. .36

5. NESTEEN VORTEX-LIIKKE ................................................... ................... .38

5.1. Pyörteen liikkeen kinematiikka ................................................... 38

5.2. Pyörteen intensiteetti ................................................... .............................. 39

5.3. Kiertonopeus ................................................... .................................. 41

5.4. Stokesin lause .................................................. ...................................... 42

6. MAHDOLLINEN NESTEEN LIIKKUMINEN ................................................... 44

6.1. Nopeuspotentiaali .................................................. ................................ 44

6.2. Laplacen yhtälö ................................................ .. .................. 46

6.3. Nopeuskierto potentiaalikentässä................................... 47

6.4 Tasovirtausvirtatoiminto .................................................. .................. .47

6.5. Nykyisen funktion hydromekaaninen merkitys .................................. 49

6.6. Nopeuspotentiaalin ja virtafunktion välinen suhde ................................. 49

6.7. Potentiaalisten virtojen laskentamenetelmät ................................................... 50

6.8 Mahdollisten virtojen päällekkäisyys................................................ ...... 54

6.9 Kiertämätön virtaus pyöreän sylinterin ohi .................. 58

6.10. Kompleksisen muuttujan funktioteorian soveltaminen ihanteellisen nesteen tasovirtausten tutkimiseen ..... 60

6.11. Yhdenmukaiset kartoitukset ................................................... .............................. 62

7. IDEAALISEN NESTEEN HYDRODYNAMIIKKA .................................. 65

7.1. Ihanteellisen nesteen liikeyhtälöt................................... 65

7.2. Gromeka-Lamb muunnos................................................ 66

7.3. Liikeyhtälö Gromeka-Lamb-muodossa ................................... 67

7.4 Liikeyhtälön integrointi tasaiselle virtaukselle................................................ .......................................................... ........................... 68

7.5 Bernoullin yhtälön yksinkertaistettu johtaminen................................... 69

7.6 Bernoulli-yhtälön energiamerkitys ................................. 70

7.7. Bernoullin yhtälö päiden muodossa................................................ .... 71

8. VISKOOSIN NESTEEN HYDRODYNAMIIKKA ................................................... ... 72

8.1. Viskoosin nesteen malli ................................................ .............................. 72

8.1.1. Lineaarisuushypoteesi ................................................... .................. 72

8.1.2. Homogeenisuushypoteesi ................................................... .................. 74

8.1.3. Hypoteesi isotropiasta ................................................................ ............... .74

8.2 Viskoosin nesteen liikeyhtälö. (Navier-Stokes yhtälö) ................................................ ................................................... .......................... 74

9. PAINEMATTOMAN NESTEEN YKSIULOTTEINEN VIRTAUS (hydrauliikan perusteet) .................................... .............................................................. .................................. 77

9.1. Virtausnopeus ja keskinopeus................................................ ................. 77

9.2. Heikosti muodonmuuttuneet virtaukset ja niiden ominaisuudet................................. 78

9.3. Bernoullin yhtälö viskoosin nesteen virtaukselle ................................................ 79

9.4 Coriolis-kertoimen fysikaalinen merkitys .................................. 82

10. NESTEVIRTAUSTEN LUOKITUS. LIIKKEEN VAKAUS................................................ ................................................................ ......... 84

11. LAMINAARIVIRTAUKSEN SÄÄNNÖSTÄ PYÖREISSÄ PUTKESSA ............................................ .................................................. ...................................... 86

12. TURBULENTTILIIKKEEN TÄRKEIMMÄT SÄÄNNÖKSET. ................................................... . ................................................ .. ............ 90

12.1. Yleistä tietoa................................................ ............................... 90

12.2. Reynoldsin yhtälöt................................................ ............... 92

12.3. Puoliempiiriset turbulenssiteoriat................................................ ... 93

12.4. Pyörteinen virtaus putkissa ................................................... 95

12.5. Nopeusjakauman teholainsäädäntö........................ 100

12.6. Painehäviö (paine) pyörteisen virtauksen aikana putkissa. ................................................... . ................................................ .. ... 100

13. SAMANLAISUUSTEORIAN JA MALLINNAN PERUSTEET .......... 102

13.1. Differentiaaliyhtälöiden tarkastusanalyysi..... 106

13.2. Itsen samankaltaisuuden käsite ................................................ ................... .110

13.3. Ulottuvuusanalyysi ................................................... .............................. 111

Kirjallisuus ………………………………………………………………………..118

USKOTTAVILLA "LOPUSTA ALKUUN" SYITÄ TEKNOLOGISEN PROSESSITEKIJÖIDEN ARVIOINTIIN

Yleistä tietoa dimensioanalyysimenetelmästä

Opiskellessaan mekaanisia ilmiöitä otetaan käyttöön useita käsitteitä, esimerkiksi energia, nopeus, jännite jne., jotka kuvaavat tarkasteltavaa ilmiötä ja jotka voidaan antaa ja määrittää luvun avulla. Kaikki liikettä ja tasapainoa koskevat kysymykset on muotoiltu ongelmina tiettyjen funktioiden ja numeeristen arvojen määrittämisessä ilmiötä karakterisoiville suureille, ja kun tällaisia ongelmia ratkaistaan puhtaasti teoreettisissa tutkimuksissa, luonnonlait ja erilaiset geometriset (tila)suhteet esitetään kuvassa. funktionaalisten yhtälöiden muoto - yleensä differentiaali.

Hyvin usein meillä ei ole mahdollisuutta muotoilla ongelmaa matemaattisessa muodossa, koska tutkittu mekaaninen ilmiö on niin monimutkainen, ettei sille ole vielä hyväksyttävää kaaviota eikä liikeyhtälöitä ole vielä olemassa. Kohtaamme tällaisen tilanteen ratkottaessa ongelmia lentokonemekaniikan, hydromekaniikan, lujuuden ja muodonmuutosten tutkimisen ongelmissa ja niin edelleen. Näissä tapauksissa päärooli on kokeellisilla tutkimusmenetelmillä, joiden avulla voidaan muodostaa yksinkertaisimmat kokeelliset tiedot, jotka muodostavat myöhemmin johdonmukaisten teorioiden perustan tiukalla matemaattisella laitteistolla. Itse kokeet voidaan kuitenkin suorittaa vain alustavan teoreettisen analyysin perusteella. Ristiriita ratkaistaan iteratiivisessa tutkimuksen prosessissa esittämällä oletuksia ja hypoteeseja ja testaamalla niitä kokeellisesti. Samalla ne perustuvat luonnonilmiöiden samankaltaisuuden olemassaoloon yleisenä laina. Samankaltaisuuden ja ulottuvuuksien teoria on jossain määrin kokeilun "kielioppi".

Summien mitat

Erilaisten fysikaalisten suureiden mittayksiköt, jotka yhdistetään niiden johdonmukaisuuden perusteella, muodostavat yksikköjärjestelmän. Tällä hetkellä käytössä on kansainvälinen yksikköjärjestelmä (SI). SI:ssä valitaan toisistaan riippumatta ns. primäärisuureiden mittayksiköt - massa (kg, kg), pituus (metri, m), aika (sekunti, sek, s), virran voimakkuus (ampeeri). , a), lämpötila (Kelvin-asteet, K) ja valon voimakkuus (kynttilä, sv). Niitä kutsutaan perusyksiköiksi. Jäljellä olevien, toissijaisten suureiden mittayksiköt ilmaistaan tärkeimmillä määrillä. Kaavaa, joka ilmaisee toissijaisen suuren mittayksikön riippuvuuden päämittayksiköistä, kutsutaan tämän suuren dimensioksi.

Toissijaisen suuren ulottuvuus löydetään määrittelyyhtälön avulla, joka toimii tämän suuren määritelmänä matemaattisessa muodossa. Esimerkiksi nopeuden määrittävä yhtälö on

Merkitsemme suuren mittasuhteen käyttämällä tämän suuren symbolia hakasulkeissa

, tai
,

missä [L], [T] ovat pituuden ja ajan mitat, vastaavasti.

Voiman määrittävää yhtälöä voidaan pitää Newtonin toisena laina

Silloin voiman mitta on seuraavanlainen

[F]=[M][L][T] .

Määrittävä yhtälö ja vastaavasti työn ulottuvuuden kaava saavat muodon

A=Fs ja [A]=[M][L] [T] .

Yleensä meillä on suhde

[Q] =[M] [L] [T] (1).

Kiinnitämme huomiota mittasuhteiden tallenteeseen, siitä on meille silti hyötyä.

Samankaltaisuuslauseet

Samankaltaisuusteorian muodostumista historiallisesta näkökulmasta leimaa sen kolme päälausetta.

Ensimmäinen samankaltaisuuslause muotoilee tällaisten järjestelmien tarvittavat ehdot ja ominaisuudet, toteamalla, että samankaltaisilla ilmiöillä on samat samankaltaisuuskriteerit dimensiottomien ilmaisujen muodossa, jotka ovat kahden tutkittavalle prosessille välttämättömän fyysisen vaikutuksen intensiteetin suhteen mitta.

Toinen samankaltaisuuslause(P-lause) todistaa mahdollisuuden pelkistää yhtälö kriteerimuotoon määrittämättä ehtojen riittävyyttä samankaltaisuuden olemassaololle.

Kolmas samankaltaisuuslause viittaa yksittäisen kokemuksen säännöllisen jakautumisen rajoihin, koska samankaltaisia ilmiöitä ovat ne, joilla on samanlaiset ainutlaatuisuuden ehdot ja samat määrittelykriteerit.

Dimensioteorian metodologinen ydin on siis siinä, että mikä tahansa yhtälöjärjestelmä, joka sisältää matemaattisen tallenteen ilmiötä säätelevistä laeista, voidaan muotoilla dimensioimattomien suureiden väliseksi suhteeksi. Määrittelykriteerit koostuvat toisistaan riippumattomista suureista, jotka sisältyvät ainutlaatuisuusehtoihin: geometriset suhteet, fysikaaliset parametrit, rajaehdot (alku- ja reunaehdot). Parametrien määrittelyjärjestelmällä on oltava täydellisyyden ominaisuudet. Jotkut määrittävät parametrit voivat olla fyysisiä mittavakioita, kutsumme niitä perusmuuttujiksi, toisin kuin toiset - ohjatuiksi muuttujiksi. Esimerkkinä on painovoiman kiihtyvyys. Hän on perusmuuttuja. Maanpäällisissä olosuhteissa vakio ja on muuttuja avaruusolosuhteissa.

Dimensioanalyysin oikeaa soveltamista varten tutkijan on tiedettävä kokeensa perustavanlaatuisten ja ohjattujen muuttujien luonne ja lukumäärä.

Tässä tapauksessa on olemassa käytännöllinen johtopäätös dimensioanalyysin teoriasta ja se piilee siinä, että jos kokeilija todella tietää kaikki tutkittavan prosessin muuttujat, eikä laista ole vieläkään matemaattista tallennetta yhtälö, hänellä on oikeus muuttaa ne soveltamalla ensimmäistä osaa Buckinghamin lauseet: "Jos mikä tahansa yhtälö on yksiselitteinen dimensioiden suhteen, se voidaan muuntaa suhteeksi, joka sisältää joukon dimensiottomia suureiden yhdistelmiä."

Mittojen suhteen homogeeninen on yhtälö, jonka muoto ei riipu perusyksiköiden valinnasta.

PS. Empiiriset mallit ovat yleensä likimääräisiä. Nämä ovat kuvauksia epähomogeenisten yhtälöiden muodossa. Niiden suunnittelussa on mittakertoimia, jotka "toimivat" vain tietyssä mittayksikköjärjestelmässä. Myöhemmin dataa kerryttäessä päästään kuvaukseen homogeenisten yhtälöiden muodossa, eli mittayksikköjärjestelmästä riippumatta.

Mitattomat yhdistelmät kyseessä olevat tuotteet tai määrien suhteet, jotka on laadittu siten, että jokaisessa mittojen yhdistelmässä pienennetään. Tässä tapauksessa muodostuu useiden erilaisten fysikaalisten määrien tulot komplekseja, saman fyysisen luonteen omaavien kaksiulotteisten suureiden suhde - yksinkertaisuudet.

Sen sijaan, että muuttaisit kutakin muuttujaa vuorotellen,ja joidenkin niistä muuttaminen voi aiheuttaavaikeuksia, tutkija voi vain vaihdellayhdistelmiä. Tämä seikka yksinkertaistaa koetta huomattavasti ja mahdollistaa saatujen tietojen esittämisen graafisessa muodossa ja analysoinnin paljon nopeammin ja tarkemmin.

Dimensioanalyysin menetelmää käyttämällä uskottavan päättelyn järjestäminen "lopusta alkuun".

Tutustuttuaan yleistä tietoa, on kiinnitettävä erityistä huomiota seuraaviin kohtiin.

Mittaanalyysin tehokkain käyttö on yhden dimensiottoman yhdistelmän läsnäolo. Tässä tapauksessa riittää, että määritetään kokeellisesti vain sovituskerroin (riittää asettaa yksi koe yhden yhtälön laatimiseksi ja ratkaisemiseksi). Tehtävä muuttuu monimutkaisemmaksi dimensiottomien yhdistelmien määrän kasvaessa. Fyysisen järjestelmän täydellisen kuvauksen vaatimuksen noudattaminen on pääsääntöisesti mahdollista (tai ehkä he ajattelevat niin), kun muuttujien lukumäärä otetaan huomioon. Mutta samaan aikaan funktion muodon komplikaatioiden todennäköisyys kasvaa ja mikä tärkeintä, kokeellisen työn määrä kasvaa jyrkästi. Lisäperusyksiköiden käyttöönotto jotenkin helpottaa ongelmaa, mutta ei aina eikä täysin. Se, että ulottuvuusanalyysin teoria kehittyy ajan myötä, on erittäin rohkaisevaa ja suuntaa uusien mahdollisuuksien etsimiseen.

No, entä jos, kun etsitään ja muodostetaan joukko huomioon otettavia tekijöitä, eli itse asiassa luomme uudelleen tutkittavan fyysisen järjestelmän rakennetta, käytämme uskottavan päättelyn organisointia "päästä alkuun" sen mukaan. Pappus?

Yllä olevan ehdotuksen ymmärtämiseksi ja dimensioanalyysimenetelmän perusteiden vahvistamiseksi ehdotamme esimerkin analysointia räjähdysainerikkoutumisen tehokkuutta määräävien tekijöiden välisen suhteen selvittämiseksi malmiesiintymien maanalaisessa louhinnassa.

Systeemilähestymistavan periaatteet huomioon ottaen voimme perustellusti päätellä, että kaksi systeemistä vuorovaikutuksessa olevaa objektia muodostavat uuden dynaamisen järjestelmän. Tuotantotoiminnassa nämä esineet ovat muuntamisen kohde ja muuntamisen subjektiinstrumentti.

Malmia rikottaessa räjähdysmäisen tuhoutumisen perusteella voidaan pitää malmimassaa ja räjähdyspanosjärjestelmää (kaivoja) sellaisenaan.

Kun käytetään dimensioanalyysin periaatteita uskottavan päättelyn järjestämisessä "päästä alkuun", saadaan seuraava päättelylinja ja vuorovaikutusjärjestelmä räjähdysainekompleksin parametrien ja taulukon ominaisuuksien välillä.

d m = f 1 (V, I 0 ,t sijainen , s)	d m = k 1 W(st sijainen ¤ minä 0 W) n (1)
minä 0 = f 2 (I c ,V Boer ,K ja )	minä 0 = k 2 minä c V Boer K ja (2)
minä c = f 3 (t sijainen ,Q,A)	minä Kanssa = k 3 t ilmaa 2/3 K 2/3 A 1/3 (3)
t ilmaa = f 4 (r zab ,P Max l hyvin )	t ilmaa = k 4 r zab 1/2 P Max –1/2 l hyvin (4)
P Max = f 5 (r zar D)	P Max = k 5 r zar D 2 (5)

Käytettyjen muuttujien mittojen nimet ja kaavat on esitetty taulukossa.

MUUTTUJAT	Nimitys	mitat
Suurin murskaushalkaisija	d m	[ L]
Pienimmän vastuksen linja		[ L]
Kivien puristuslujuus
Räjäytystyön hidastusjakso (intervalli).	t sijainen	[ T]
Räjähdysimpulssi per 1 m 3 ryhmää	minä 0
Porauksen ominaiskulutus, m / m 3	V Boer	[ L -2 ]
Maksullisten kaivojen käyttöaste	Vastaanottaja On
Räjähdysimpulssi 1 m kaivoa kohti	minä c
Räjähdysenergia 1 m latausta kohti
Väliaineen akustinen kovuus (A=gC)
Räjähdyksen iskuaika kaivossa	t ilmaa	[ T]
syntyvä tiheys	r zab	[ L -3 M]
No pituus	l hyvin	[ L]
Kaivon suurin alkupaine		[ L -1 M T -2 ]
Varauksen tiheys kaivossa	r zar	[ L -3 M]
Räjähtävän räjähdysnopeus		[ L T -1 ]

Siirtyminen kaavasta (5) kaavaan (1), paljastaen vakiintuneet suhteet ja pitäen myös mielessä aiemmin vakiintuneen keskiarvon halkaisijan ja suurimman kappaleen halkaisijan välisen romahduksen suhteen

d ke = k 6 d m 2/3 , (6)

saamme yleisen yhtälön murskauslaadun määräävien tekijöiden suhteelle:

d ke = kW 2/3 [ s t sijainen / r zab 1/3 D -2/3 l hyvin 2/3 M zar 2|3 U vuosisadat 2/3 MUTTA 1/3 V Boer Vastaanottaja On W] n (7)

Muunnetaan viimeinen lauseke muodostaaksemme ulottumattomia komplekseja pitäen samalla mielessä:

K= M zar U vuosisadat ; q vuosisadat =M zar V Boer Vastaanottaja On ; M zab =0.25 s r zab d hyvin 2 ;

missä M zar on räjähdepanoksen massa 1 m:ssä kaivon pituutta, kg/m;

M zab – varren massa 1 m varressa, kg/m;

U vuosisadat – räjähteiden lämpöarvo, kcal/kg.

Käytämme osoittajassa ja nimittäjässä [M zar 1/3 U vuosisadat 1/3 (0.25 sd hyvin 2 ) 1/3 ] . Lopulta saamme

Kaikilla komplekseilla ja yksinkertaisilla on fyysinen merkitys. Kokeellisten tietojen ja käytännön tietojen mukaan tehoeksponentti n=1/3, ja kerroin k määräytyy lausekkeen yksinkertaistamisen asteikon mukaan (8).

Vaikka dimensioanalyysin onnistuminen riippuu tietyn ongelman fyysisen merkityksen oikeasta ymmärtämisestä, muuttujien ja perusmittojen valinnan jälkeen tätä menetelmää voidaan soveltaa täysin automaattisesti. Tästä syystä tämä menetelmä voidaan helposti ilmaista reseptimuodossa, pitäen kuitenkin mielessä, että tällainen "resepti" edellyttää, että tutkija valitsee ainesosat oikein. Ainoa mitä voimme tehdä tässä, on antaa yleisiä neuvoja.

Vaihe 1. Valitse riippumattomat muuttujat, jotka vaikuttavat järjestelmään. Myös mittakertoimet ja fysikaaliset vakiot tulee ottaa huomioon, jos niillä on tärkeä rooli. Tämä on vastuullisinkoko työn missä vaiheessa.

Vaihe 2. Valitse perusmittojen järjestelmä, jonka avulla voit ilmaista kaikkien valittujen muuttujien yksiköt. Seuraavia järjestelmiä käytetään yleisesti: mekaniikassa ja virtausdynamiikassa MLq(joskus FLq), sisään termodynamiikka MLqT tai MLqTH; sähkötekniikassa ja ydinfysiikassa MLqVastaanottaja tai MLqm., tässä tapauksessa lämpötilaa voidaan pitää joko perussuurena tai ilmaistaan molekyylien kineettisenä energiana.

Vaihe 3. Kirjoita muistiin valittujen riippumattomien muuttujien mitat ja tee dimensioimattomia yhdistelmiä. Ratkaisu on oikea, jos: 1) kukin yhdistelmä on dimensioton; 2) yhdistelmien lukumäärä ei ole pienempi kuin p-lauseen ennustama määrä; 3) jokainen muuttuja esiintyy yhdistelminä vähintään kerran.

Vaihe 4. Tutki tuloksena saatuja yhdistelmiä niiden hyväksyttävyyden, fysikaalisen merkityksen ja (jos käytetään pienimmän neliösumman menetelmää) epävarmuuspitoisuuden suhteen yhdessä yhdistelmässä, jos mahdollista. Jos yhdistelmät eivät täytä näitä kriteerejä, voidaan: 1) saada toinen ratkaisu yhtälöihin eksponenteille parhaan yhdistelmäjoukon löytämiseksi; 2) valita toinen perusmittojen järjestelmä ja tehdä kaikki työ alusta alkaen; 3) tarkistaa riippumattomien muuttujien valinnan oikeellisuus.

Vaihe 5. Kun tyydyttävä joukko dimensiottomia yhdistelmiä on saatu, tutkija voi suunnitella yhdistelmien muuttamista muuttamalla valittujen muuttujien arvoja laitteistossaan. Kokeiden suunnitteluun tulee kiinnittää erityistä huomiota.

Käytettäessä dimensioanalyysimenetelmää uskottavan päättelyn järjestämisellä "lopusta alkuun", on tarpeen ottaa käyttöön vakavia korjauksia ja erityisesti ensimmäisessä vaiheessa.

Lyhyet johtopäätökset

Nykyään on mahdollista muodostaa tutkimustyön käsitteelliset määräykset jo vakiintuneen normatiivisen algoritmin mukaan. Vaiheittaisten ohjeiden avulla voit virtaviivaistaa aiheen hakua ja määrittää sen toteutusvaiheet tieteellisten määräysten ja suositusten avulla. Yksittäisten menettelyjen sisällön tuntemus edistää niiden asiantuntevaa arviointia ja sopivimman ja tehokkaimman valintaa.

Tieteellisen tutkimuksen edistyminen voidaan esittää loogisen kaavion muodossa, joka määritetään tutkimuksen suorittamisprosessissa ja korostaa kolmea vaihetta, jotka ovat ominaisia mille tahansa toiminnalle:

Valmisteluvaihe: Sitä voidaan kutsua myös tutkimuksen metodologisen valmistelun ja tutkimuksen metodologisen tuen muodostumisen vaiheeksi. Työn laajuus on seuraava. Ongelman määrittely, tutkimusaiheen käsitteellisen kuvauksen kehittäminen ja tutkimusaiheen määrittely (muotoilu). Tutkimusohjelman laatiminen tehtävien muotoilulla ja suunnitelman laatiminen niiden ratkaisemiseksi. Kohtuullinen tutkimusmenetelmien valinta. Kokeellisen työn metodologian kehittäminen.

Päälava: - toimeenpano (teknologinen), ohjelman täytäntöönpano ja tutkimussuunnitelma.

viimeinen taso: - tutkimustulosten käsittely, pääsäännösten, suositusten, asiantuntemuksen muotoilu.

Tieteelliset määräykset ovat uusi tieteellinen totuus - tätä tarvitaan ja sitä voidaan puolustaa. Tieteellisten säännösten muotoilu voi olla matemaattista tai loogista. Tieteelliset säännökset auttavat syyn, ongelman ratkaisun. Tieteelliset määräykset olisi kohdistettava, ts. heijastavat (sisältävät) aihetta, jota varten ne on ratkaistu. T&K-toiminnan sisällön yleisen kytkemisen toteuttamiseksi sen toteuttamisstrategiaan on suositeltavaa työstää T&K-raportin rakennetta ennen ja (tai) näiden säännösten kehittämisen jälkeen. Ensimmäisessä tapauksessa raportin rakenteen työllä on jopa heuristista potentiaalia, se edistää T&K-ideoiden ymmärtämistä, toisessa tapauksessa se toimii eräänlaisena T&K-johtamisen strategiatestinä ja palautteena.

Muistakaamme, että on olemassa logiikka etsiä, tehdä työtä ja niin nörtti esitys. Ensimmäinen on dialektinen - dynaaminen, syklisillä, palautuksilla, vaikea formalisoitava, toinen on staattisen tilan logiikka, muodollinen, ts. jolla on tiukasti määritelty muoto.

Johtopäätöksenä Raportin rakenteen työstämistä ei toivottavaa lopettaa koko tutkimuksen ajaksi ja siten episodisesti "tarkistaa KAHDEN LOGIIKAN kelloja".

Kaivostoiminnan nykyaikaisten ongelmien systematisointi hallinnollisella tasolla edistää konseptityön tehokkuutta.

Tutkimustyön metodologisessa tuessa kohtaamme usein tilanteita, joissa tiettyä ongelmaa koskevia teoreettisia säännöksiä ei ole vielä täysin kehitetty. On tarkoituksenmukaista käyttää metodologista "leasingia". Esimerkkinä tällaisesta lähestymistavasta ja sen mahdollisesta käytöstä on kiinnostava dimensioanalyysimenetelmä, jossa järjestetään uskottava päättely "päästä alkuun".

Perustermit ja käsitteet

Toiminnan kohde ja aihe	Merkityksellisyys	kaivostekniikka
Konsepti		Kaivostekniikkalaitos
Tarkoitus ja tavoitteen asettaminen		Kaivosteknologian työkalut
ongelma ongelmatilanne	Rakenne	Fyysinen ja tekninen vaikutus
Tutkimuksen vaiheet ja vaiheet		Tieteellinen kanta
Samankaltaisuuslauseet	Ulottuvuus	Perusyksiköt

Kokemus on luonnon tutkija. Hän ei koskaan petä... Meidän täytyy tehdä kokeita, muuttaa olosuhteita, kunnes saamme niistä irti yleiset säännöt, koska kokemus antaa todelliset säännöt.

Leonardo da Vinci

Fysiikassa ei ole sijaa sekavalle ajatukselle...
Ymmärtää todella luontoa
Tämän tai tuon ilmiön pitäisi saada pääasia
Lait ulottuvuuden näkökulmasta. E. Fermi

Tämän tai toisen ongelman kuvaus, keskustelu teoreettisista ja kokeellisista kysymyksistä alkaa laadullisella kuvauksella ja arvioimalla tämän työn vaikutusta.

Ongelmaa kuvattaessa on ennen kaikkea arvioitava odotetun vaikutuksen suuruusluokka, yksinkertaiset rajatapaukset sekä tätä ilmiötä kuvaavien suureiden toiminnallisen suhteen luonne. Näitä kysymyksiä kutsutaan fyysisen tilanteen laadulliseksi kuvaukseksi.

Yksi kaikista tehokkaita menetelmiä tällainen analyysi on ulottuvuuksien menetelmä.

Tässä on joitain mittamenetelmän etuja ja sovelluksia:

tutkittavien ilmiöiden laajuuden nopea arviointi;
laadullisten ja toiminnallisten riippuvuuksien saaminen;
kokeissa unohdettujen kaavojen palauttaminen;
joidenkin kokeen tehtävien suorittaminen;
ongelmien ratkaisun oikeellisuuden tarkistaminen.

Dimensioanalyysiä on käytetty fysiikassa Newtonin ajoista lähtien. Newton muotoili läheisesti mittamenetelmään liittyen samankaltaisuuden periaate (analogia).

Dimensiomenetelmän oppilaat kohtaavat ensimmäisen kerran lämpösäteilyä opiskellessaan 11. luokan fysiikan kurssilla:

Kehon lämpösäteilyn spektriominaisuus on energian valoisuuden spektritiheys r v - säteilevän sähkömagneettisen säteilyn energia aikayksikköä kohden kehon pinnan pinta-alayksikköä kohti yksikkötaajuusvälillä.

Energian valoisuuden spektritiheyden yksikkö on joule per neliömetri(1 J/m2). Mustan kappaleen lämpösäteilyn energia riippuu lämpötilasta ja aallonpituudesta. Ainoa näiden suureiden yhdistelmä J/m 2 -mitan kanssa on kT/2 ( = c/v). Tarkka laskelma, jonka Rayleigh ja Jeans teki vuonna 1900 klassisen aaltoteorian puitteissa, antoi seuraavan tuloksen:

missä k on Boltzmannin vakio.

Kuten kokemus on osoittanut, tämä lauseke on yhdenmukainen kokeellisten tietojen kanssa vain riittävän alhaisten taajuuksien alueella. Korkeilla taajuuksilla, erityisesti spektrin ultraviolettialueella, Rayleigh-Jeansin kaava on virheellinen: se eroaa jyrkästi kokeesta. Klassisen fysiikan menetelmät osoittautuivat riittämättömiksi selittämään mustan kappaleen säteilyn ominaisuuksia. Siksi klassisen aaltoteorian ja kokeen tulosten välinen ristiriita 1800-luvun lopulla kutsutaan "ultraviolettikatastrofiksi".

Esitetään dimensiomenetelmän soveltaminen yksinkertaisella ja hyvin ymmärrettävällä esimerkillä.

Kuva 1

Mustan kappaleen lämpösäteily: ultraviolettikatastrofi - ristiriita lämpösäteilyn klassisen teorian ja kokemuksen välillä.

Kuvittele, että kappale, jonka massa on m, liikkuu suorassa linjassa vakiovoiman F vaikutuksesta. Jos kappaleen alkunopeus on nolla ja nopeus s pituisen reitin kuljetun osuuden lopussa on yhtä kuin v, niin voimme kirjoittaa kineettisen energian lauseen: Arvojen F, m, v ja s välillä on toiminnallinen yhteys.

Oletetaan, että kineettisen energian lause on unohdettu, mutta ymmärrämme, että funktionaalinen riippuvuus v:n, F:n, m:n ja s:n välillä on olemassa ja sillä on potenssilaki.

Tässä x, y, z ovat joitain lukuja. Määritellään ne. Merkki ~ tarkoittaa, että kaavan vasen puoli on verrannollinen oikeaan, eli missä k on numeerinen kerroin, siinä ei ole mittayksikköä eikä sitä määritetä dimensiomenetelmällä.

Relaation (1) vasemmalla ja oikealla osalla on samat mitat. V:n, F:n, m:n ja s:n mitat ovat: [v] = m/c = ms -1, [F] = H = kgms -2, [m] = kg, [s] = m. (Symboli [A) ] merkitsee A:n ulottuvuutta.) Kirjoitetaan dimensioiden yhtäläisyys suhteen (1) vasempaan ja oikeaan osaan:

m c-1 = kg x m x c -2x kg y m Z = kg x+y m x+z c -2x.

Yhtälön vasemmalla puolella ei ole kiloja ollenkaan, joten niitä ei pitäisi olla myöskään oikealla.

Se tarkoittaa sitä

Oikealla mittarit sisältyvät potenssiin x + z ja vasemmalla 1:n potenssiin, joten

Samoin sekunneissa esitettyjen eksponentien vertailusta seuraa

Saatuista yhtälöistä löydämme luvut x, y, z:

x = 1/2, y = -1/2, z = 1/2.

Lopullinen kaava näyttää tältä

Neliöimällä tämän suhteen vasemman ja oikean puolen saamme sen

Viimeinen kaava on kineettisen energian lauseen matemaattinen merkintä, vaikkakin ilman numeerista kerrointa.

Newtonin muotoilema samankaltaisuusperiaate on, että suhde v 2 /s on suoraan verrannollinen suhteeseen F/m. Esimerkiksi kaksi kappaletta, joilla on eri massat m 1 ja m 2 ; me vaikutamme niihin eri voimilla F 1 ja F 2, mutta siten, että suhteet F 1 / m 1 ja F 2 / m 2 ovat samat. Näiden voimien vaikutuksesta kehot alkavat liikkua. Jos alkunopeudet ovat yhtä suuret kuin nolla, niin kappaleiden saavuttamat nopeudet matkan s pituisella segmentillä ovat yhtä suuret. Tämä on samankaltaisuuden laki, johon päädyimme ajatuksen avulla kaavan oikean ja vasemman osan mittojen yhtäläisyydestä, joka kuvaa loppunopeuden arvon potenssilakisuhdetta voiman, massan ja polun pituuden arvot.

Mittausmenetelmä otettiin käyttöön klassisen mekaniikan perusteita rakennettaessa, mutta sen tehokas soveltaminen fyysisten ongelmien ratkaisemiseen alkoi menneisyyden lopulla - vuosisadamme alussa. Suuri ansio tämän menetelmän edistämisessä ja mielenkiintoisten ja tärkeiden ongelmien ratkaisemisessa sen avulla kuuluu erinomaiselle fyysikolle Lord Rayleighille. Rayleigh kirjoitti vuonna 1915: Olen usein hämmästynyt siitä, kuinka vähän huomiota kiinnitetään suureen samankaltaisuuden periaatteeseen, jopa erittäin merkittävien tiedemiesten taholta. Usein tapahtuu, että huolellisen tutkimuksen tulokset esitetään vasta löydettyinä "lakeina", jotka kuitenkin voitaisiin saada etukäteen muutamassa minuutissa.

Nykyään fyysikoita ei voida enää moittia halveksuvasta asenteesta tai riittämättömästä huomioinnista samankaltaisuuden periaatteeseen ja ulottuvuuksien menetelmään. Harkitse yhtä klassisista Rayleigh-ongelmista.

Rayleigh'n ongelma langalla olevan pallon värähtelyistä.

Venytetään merkkijono pisteiden A ja B väliin. Langan F jännitysvoima. Tämän langan keskellä pisteessä C on painava pallo. Segmentin AC (ja vastaavasti CB) pituus on 1. Pallon massa M on paljon suurempi kuin itse nauhan massa. Naurasta vedetään ja vapautetaan. On melko selvää, että pallo värähtelee. Jos näiden x värähtelyjen amplitudi on paljon pienempi kuin merkkijonon pituus, prosessi on harmoninen.

Määritetään pallon värähtelytaajuus langalla. Olkoon suuret , F, M ja 1 yhdistetty teholain avulla:

Eksponentit x, y, z ovat lukuja, jotka meidän on määritettävä.

Kirjoitetaan meitä kiinnostavien määrien mitat SI-järjestelmään:

C-1, [F] = kgm s -2, [M] = kg, = m.

Jos kaava (2) ilmaisee todellisen fysikaalisen säännönmukaisuuden, niin tämän kaavan oikean ja vasemman osan mittojen on täsmättävä, eli yhtälön

c -1 = kg x m x c -2x kg y m z = kg x + y m x + z c -2x

Tämän yhtälön vasen puoli ei sisällä metrejä ja kilogrammoja ollenkaan, ja sekunnit sisältyvät potenssiin - 1. Tämä tarkoittaa, että x:n, y:n ja z:n yhtälöt täyttyvät:

x+y=0, x+z=0, -2x=-1

Ratkaisemalla tämän järjestelmän löydämme:

x = 1/2, y = -1/2, z = -1/2

Näin ollen

~F 1/2 M -1/2 1 -1/2

Tarkka taajuuden kaava eroaa löydetystä vain kertoimella ( 2 = 2F/(M1)).

Näin saatiin ei vain kvalitatiivinen, vaan myös kvantitatiivinen arvio riippuvuudesta F, M ja 1. Suuruusjärjestyksessä löydetty tehoyhdistelmä antaa oikean taajuuden arvon. Arviointi kiinnostaa aina suuruusjärjestyksessä. Yksinkertaisissa tehtävissä kertoimia, joita ei määritetä dimensioiden menetelmällä, voidaan usein pitää yksikköluokan lukuina. Tämä ei ole tiukka sääntö.

Aaltoja tutkiessani harkitsen äänen nopeuden kvalitatiivista ennustamista dimensioanalyysin menetelmällä. Etsimme äänen nopeutta puristus- ja harventumisaallon etenemisnopeudena kaasussa. Opiskelijat eivät epäile kaasun äänennopeuden riippuvuutta kaasun tiheydestä ja sen paineesta p.

Etsimme vastausta lomakkeella:

missä С on dimensioton tekijä, jonka numeerista arvoa ei voida löytää mittojen analyysistä. Siirtyminen (1) ulottuvuuksien yhtäläisyyteen.

m / s \u003d (kg / m 3) x Maksu,

m / s \u003d (kg / m 3) x (kg m / (s 2 m 2)) y,

m 1 s -1 \u003d kg x m -3x kg v m y c -2 v m -2 v,

m 1 s -1 \u003d kg x + y m -3x + y-2y c -2 v,

m 1 s -1 \u003d kg x + y m -3x-y c -2 v.

Mittojen yhtäläisyys yhtäläisyyden vasemmalla ja oikealla puolella antaa:

x + y = 0, -3x-y = 1, -2y = -1,

x = -y, -3+x = 1, -2x = 1,

x = -1/2, y = 1/2.

Eli äänen nopeus kaasussa

Kaavan (2) C=1:ssä sai ensin I. Newton. Mutta tämän kaavan kvantitatiiviset johtamiset olivat erittäin vaikeita.

Äänennopeuden kokeellinen määritys ilmassa tehtiin Pariisin tiedeakatemian jäsenten yhteistyössä vuonna 1738, jossa mitattiin aika, joka kului kanuunalaukauksesta kulkeakseen 30 km:n matkan.

Toistamalla tätä materiaalia 11. luokalla kiinnitetään opiskelijoiden huomio siihen, että tulos (2) voidaan saada äänen etenemisen isotermisen prosessin mallille käyttämällä Mendeleev-Clapeyron yhtälöä ja tiheyden käsitettä:

on äänen etenemisnopeus.

Tutustuttuani opiskelijoille mittamenetelmän annan heille tämän menetelmän ideaalikaasun MKT-perusyhtälön johtamiseksi.

Opiskelija ymmärtää, että ihanteellisen kaasun paine riippuu ihanteellisen kaasun yksittäisten molekyylien massasta, molekyylien määrästä tilavuusyksikköä kohti - n (kaasumolekyylien pitoisuus) ja molekyylien liikkeen nopeudesta -.

Kun tiedämme tähän yhtälöön sisältyvien määrien mitat, meillä on:

Vertaamalla tämän yhtälön vasemman ja oikean osan mittoja, meillä on:

Siksi MKT:n perusyhtälöllä on seuraava muoto:

- tämä tarkoittaa

Se näkyy varjostetusta kolmiosta

Vastaus: B).

Olemme käyttäneet mittamenetelmää.

Mittausmenetelmä, sen lisäksi, että se suorittaa perinteisen tehtävien ratkaisun oikeellisuuden varmentamisen, suorittaa joitakin yhtenäisen valtiontutkinnon tehtäviä, auttaa löytämään toiminnallisia suhteita eri fyysisten suureiden välillä, mutta vain niihin tilanteisiin, joissa nämä riippuvuudet ovat voima- laki. Tällaisia riippuvuuksia on luonnossa monia, ja ulottuvuuksien menetelmä on hyvä apu tällaisten ongelmien ratkaisemisessa.

Tapauksissa, joissa tutkittavia prosesseja ei kuvata differentiaaliyhtälöt Yksi tapa analysoida niitä on koe, jonka tulokset esitetään parhaiten yleistetyssä muodossa (dimensioimattomina komplekseina). Tällaisten kompleksien kokoamismenetelmä on ulottuvuusanalyysimenetelmä.

Minkä tahansa fyysisen suuren mittasuhteet määrittävät sen ja niiden fyysisten suureiden välisen suhteen, jotka pidetään pääasiallisina (ensisijaisina). Jokaisella yksikköjärjestelmällä on omat perusyksikkönsä. Esimerkiksi kansainvälisessä yksikköjärjestelmässä SI pituuden, massan ja ajan yksiköt ovat vastaavasti metri (m), kilogramma (kg) ja sekunti (s). Muiden fysikaalisten suureiden mittayksiköt, niin sanotut johdetut suureet (toissijaiset), otetaan käyttöön näiden yksiköiden välisen suhteen luovien lakien perusteella. Tämä suhde voidaan esittää ns. ulottuvuuskaavan muodossa.

Dimensioteoria perustuu kahteen oletukseen.

1. Minkä tahansa suuren kahden numeerisen arvon suhde ei riipu päämittayksiköiden asteikkojen valinnasta (esimerkiksi kahden lineaarisen mittasuhteen suhde ei riipu yksiköistä, joissa ne mitataan) .
2. Mikä tahansa ulottuvuussuureiden välinen suhde voidaan muotoilla dimensiottomien suureiden väliseksi suhteeksi. Tämä lausunto edustaa ns P-lause ulottuvuusteoriassa.

Ensimmäisestä asennosta seuraa, että fysikaalisten suureiden ulottuvuuden kaavoilla tulee olla tehoriippuvuuksien muoto

missä ovat perusyksiköiden mitat.

P-lauseen matemaattinen lauseke voidaan saada seuraavien näkökohtien perusteella. Olkoon jokin mitta-arvo a 1 on useiden itsenäisten mittasuureiden funktio, ts.

Tästä seuraa siis

Oletetaan, että niiden perusmittayksiköiden määrä, joiden kautta kaikki voidaan ilmaista P muuttujat, on yhtä suuri kuin t. P-lause sanoo, että jos kaikki P perusyksikköinä ilmaistuja muuttujia, niin ne voidaan ryhmitellä dimensiottomiksi P-termeiksi, ts.

Tässä tapauksessa jokainen P-termi sisältää muuttujan.

Hydromekaniikan tehtävissä P-termeihin sisältyvien muuttujien lukumäärän tulee olla neljä. Kolme niistä on ratkaisevia (yleensä se on ominaispituus, nesteen virtausnopeus ja sen tiheys) - ne sisältyvät jokaiseen P-termiin. Yksi näistä muuttujista (neljäs) on erilainen siirtyessään P-termistä toiseen. Kriteerien määrittelyn asteindikaattorit (merkitkäämme niitä x, y , z ) ovat tuntemattomia. Mukavuuden vuoksi otamme neljännen muuttujan eksponentin yhtä suureksi kuin -1.

P-termien suhteet näyttävät tältä

P-termeihin sisältyvät muuttujat voidaan ilmaista perusmitoilla. Koska nämä termit ovat dimensioimattomia, kunkin perusmitan eksponentin on oltava nolla. Tämän seurauksena kullekin P-termille on mahdollista muodostaa kolme riippumatonta yhtälöä (yksi kullekin ulottuvuudelle), jotka yhdistävät niihin sisältyvien muuttujien eksponentit. Tuloksena olevan yhtälöjärjestelmän ratkaisu mahdollistaa tuntemattomien eksponentien numeeristen arvojen löytämisen X , klo , z. Tämän seurauksena jokainen P-termi määritetään kaavan muodossa, joka koostuu tietyistä määristä (ympäristöparametreista) sopivassa määrin.

Erityisenä esimerkkinä löydämme ratkaisun ongelmaan määrittää kitkasta johtuva painehäviö turbulentissa nestevirtauksessa.

Yleisten näkökohtien perusteella voimme päätellä, että putkilinjan painehäviö riippuu seuraavista päätekijöistä: halkaisija d , pituus l , seinän karheus k, väliaineen tiheys ρ ja viskositeetti µ, keskimääräinen virtausnopeus v , alkuleikkausjännitys, ts.

(5.8)

Yhtälö (5.8) sisältää n = 7 jäseniä ja perusmittayksiköiden lukumäärää. P-lauseen mukaan saadaan yhtälö, joka koostuu ulottumattomista P-termeistä:

(5.9)

Jokainen tällainen P-termi sisältää 4 muuttujaa. Otetaan päämuuttujiksi halkaisija d , nopeus v , tiheys ja yhdistämällä ne muiden yhtälön (5.8) muuttujien kanssa, saadaan

Muodostamalla dimensioyhtälön ensimmäiselle П-termille saamme

Lisäämällä eksponentit samoilla kantakantoilla, löydämme

Mittasuhteen vuoksi P 1 oli yhtä kuin 1 ( P 1 on dimensioton suure), on välttämätöntä edellyttää, että kaikki eksponentit ovat yhtä suuret kuin nolla, ts.

(5.10)

Järjestelmä algebralliset yhtälöt(5.10) sisältää kolme tuntematonta määrää x 1, y 1,z 1. Tämän yhtälöjärjestelmän ratkaisusta löydämme x 1 = 1; klo 1=1; z 1= 1.