menetelmät Kramer ja Gaussin yksi suosituimmista ratkaisuista SLAU. Lisäksi joissakin tapauksissa on suositeltavaa käyttää erityisiä menetelmiä. Istunto on päättynyt, ja nyt on aika toistaa tai hallita ne tyhjästä. Tänään käsittelemme ratkaisua Cramer-menetelmällä. Loppujen lopuksi järjestelmän ratkaisu lineaariset yhtälöt Cramerin menetelmä on erittäin hyödyllinen taito.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmät

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä on yhtälöjärjestelmä, jonka muoto on:

Arvo asetettu x , jossa järjestelmän yhtälöt muuttuvat identiteeteiksi, kutsutaan järjestelmän ratkaisuksi, a ja b ovat todellisia kertoimia. Yksinkertainen järjestelmä, joka koostuu kahdesta yhtälöstä, joissa on kaksi tuntematonta, voidaan ratkaista mentaalisesti tai ilmaisemalla toinen muuttuja toisen suhteen. Mutta SLAE:ssä voi olla paljon enemmän kuin kaksi muuttujaa (x), ja yksinkertaiset koulukäsittelyt ovat tässä välttämättömiä. Mitä tehdä? Ratkaise esimerkiksi SLAE Cramerin menetelmällä!

Joten anna järjestelmän olla n yhtälöt kanssa n tuntematon.

Tällainen järjestelmä voidaan kirjoittaa uudelleen matriisimuotoon

Tässä A on järjestelmän päämatriisi, X ja B , vastaavasti tuntemattomien muuttujien ja vapaiden jäsenten sarakematriisit.

SLAE-ratkaisu Cramerin menetelmällä

Jos päämatriisin determinantti ei ole nolla (matriisi on ei-singulaarinen), järjestelmä voidaan ratkaista Cramer-menetelmällä.

Cramer-menetelmän mukaan ratkaisu löydetään kaavoilla:

Tässä delta on päämatriisin determinantti, ja delta x n-th - determinantti, joka saadaan päämatriisin determinantista korvaamalla n. sarake vapaiden termien sarakkeella.

Tämä on Cramerin menetelmän koko pointti. Korvaa yllä olevilla kaavoilla löydetyt arvot x haluttuun järjestelmään, olemme vakuuttuneita ratkaisumme oikeellisuudesta (tai päinvastoin). Jotta sinun olisi helpompi ymmärtää pointti, tässä on esimerkki. yksityiskohtainen ratkaisu SLAE Cramerin menetelmällä:

Vaikka et onnistuisikaan ensimmäisellä kerralla, älä lannistu! Pienellä harjoittelulla alat poksahtaa SLOWia kuin pähkinöitä. Lisäksi nyt ei ole ehdottomasti tarpeen käydä muistikirjan yli, ratkaista hankalia laskelmia ja kirjoittaa tangolle. SLAE on helppo ratkaista Cramer-menetelmällä verkossa, vain korvaamalla kertoimet valmiiseen muotoon. kokeilla online-laskin Ratkaisut Cramer-menetelmällä voivat olla esimerkiksi tällä sivustolla.

Ja jos järjestelmä osoittautui itsepäiseksi eikä anna periksi, voit aina pyytää kirjoittajiltamme apua, esimerkiksi ostaaksesi yhteenvedon. Jos järjestelmässä on vähintään 100 tuntematonta, ratkaisemme sen varmasti oikein ja juuri ajoissa!

Olkoon kolmen lineaarisen yhtälön järjestelmä:

Lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi Cramer-menetelmällä järjestelmän päädeterminantti  kootaan tuntemattomien kertoimista. Järjestelmässä (1) päädeterminantilla on muoto
.

Seuraavaksi determinantit kootaan suhteessa muuttujiin
,,. Tätä varten päädeterminantissa kirjoitetaan vastaavan muuttujan kertoimien sarakkeen sijasta vapaiden jäsenten sarake, joka on

,
,
.

Sitten järjestelmän ratkaisu löydetään Cramer-kaavojen avulla

,
,

On huomattava, että järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu
jos päätekijä
. Jos
ja
= 0,= 0,= 0, niin järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja, joita ei löydy Cramerin kaavoilla. Jos
ja
0 tai 0 tai 0, yhtälöjärjestelmä on epäjohdonmukainen, eli sillä ei ole ratkaisuja.

Esimerkki

Ratkaisu:

1) Laadi ja laske järjestelmän päädeterminantti, joka koostuu tuntemattomien kertoimista.

.

Siksi järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu.

2) Laadi ja laske apumääritteet korvaamalla :n vastaava sarake vapaiden jäsenten sarakkeella.

Käyttämällä Cramerin kaavoja löydämme tuntemattomat:

,
,
.

Tarkistamme, että ratkaisu on oikea

Nuo.
.

, eli

, eli

Vastaus: .

Esimerkki

Ratkaise yhtälöjärjestelmä Cramerin menetelmällä:

Ratkaisu:

1) Laadi ja laske järjestelmän päädeterminantti tuntemattomien kertoimista:

.

Siksi järjestelmällä ei ole ainutlaatuista ratkaisua.

2) Laadi ja laske apumääritteet korvaamalla :n vastaava sarake vapaiden jäsenten sarakkeella:

,
, joten järjestelmä on epäjohdonmukainen.

Vastaus: järjestelmä on epäjohdonmukainen.

Gaussin menetelmä

Gaussin menetelmä koostuu kahdesta vaiheesta. Ensimmäinen vaihe koostuu muuttujien peräkkäisestä poistamisesta järjestelmän yhtälöistä toimilla, jotka eivät riko järjestelmän vastaavuutta. Tarkastellaan esimerkiksi järjestelmän (1) kahta ensimmäistä yhtälöä.

(1)

On tarpeen lisätä nämä kaksi yhtälöä yhtälöön, jossa ei ole muuttujaa . Kerro ensimmäinen yhtälö luvulla , ja toinen päällä (
) ja lisää tuloksena saadut yhtälöt

Vaihdamme kertoimen aiemmin y, z ja ilmainen jäsen päällä ,ja vastaavasti saamme uuden yhtälöparin

Huomaa, että toisessa yhtälössä ei ole muuttujaa x.

Suoritettuamme samanlaiset toiminnot järjestelmän (1) ensimmäiselle ja kolmannelle yhtälölle ja sitten summauksen tuloksena saadulle toiselle ja kolmannelle yhtälölle, muunnamme järjestelmän (1) muotoon

(2)

Tämä tulos on mahdollinen, jos järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu. Tässä tapauksessa ratkaisu löydetään käyttämällä käänteistä Gauss-menetelmää (toinen vaihe). Järjestelmän (2) viimeisestä yhtälöstä löydämme tuntemattoman muuttujan z, niin toisesta yhtälöstä löydämme y, a x vastaavasti ensimmäisestä, korvaamalla niissä jo löydetyt tuntemattomat.

Joskus kahden yhtälön lisäämisen seurauksena kokonaisyhtälö voi olla jossakin seuraavista muodoista:

MUTTA)
, missä
. Tämä tarkoittaa, että ratkaistava järjestelmä on epäjohdonmukainen.

B), eli
. Tällainen yhtälö suljetaan pois järjestelmästä, minkä seurauksena järjestelmän yhtälöiden lukumäärä tulee pienemmäksi kuin muuttujien lukumäärä ja järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja, joiden löytäminen näytetään esimerkillä.

Esimerkki

Ratkaisu:

Harkitse seuraavaa menetelmää ratkaisun ensimmäisen vaiheen toteuttamiseksi Gaussin menetelmällä. Kirjataan kolme riviä kertoimia järjestelmän kolmea yhtälöä vastaaville tuntemattomille ja vapaille termeille. Erottelemme vapaat termit kertoimista pystyviivalla ja piirrämme vaakaviivan kolmannen rivin alle.

Ympyröimme ensimmäisen rivin, joka vastaa järjestelmän ensimmäistä yhtälöä - tämän yhtälön kertoimet pysyvät ennallaan. Toisen rivin (yhtälön) sijasta sinun on saatava rivi (yhtälö), jossa kerroin on on yhtä kuin nolla. Tätä varten kerromme kaikki ensimmäisen rivin luvut (-2):lla ja lisäämme ne toisen rivin vastaaviin lukuihin. Kirjoitamme saadut määrät vaakaviivan alle (neljäs rivi). Jotta kolmannen rivin (yhtälön) sijasta saadaan myös rivi (yhtälö), jossa kerroin on nolla, kerromme kaikki ensimmäisen rivin luvut arvolla (-5) ja lisäämme ne kolmannen rivin vastaaviin lukuihin. Kirjoitamme saadut määrät viidennelle riville ja piirrämme sen alle uuden vaakaviivan. Neljäs rivi (tai viides - valinnaisesti) ympyröidään. Valitaan rivi, jolla on pienempi kerroin. Tällä rivillä kertoimet pysyvät ennallaan. Viidennen rivin sijasta sinun on saatava rivi, jossa kaksi kerrointa on jo yhtä suuri kuin nolla. Kerro neljäs rivi kolmella ja lisää se viidenteen riviin. Kirjoitamme summan vaakaviivan alle (kuudes rivi) ja ympyröimme sen.

Kaikki kuvatut toimet on esitetty taulukossa 1 käyttäen aritmeettisia merkkejä ja nuolia. Kirjoitamme taulukkoon ympyröidyt rivit uudelleen yhtälöiden (3) muotoon ja Gaussin menetelmän käänteisellä siirrolla löydämme muuttujien arvot x, y ja z.

pöytä 1

Palautamme muunnostemme tuloksena saadun yhtälöjärjestelmän:

(3)

Käänteinen Gaussin menetelmä

Kolmannesta yhtälöstä
löytö
.

Systeemin toiseen yhtälöön
korvaa löydetty arvo
, saamme
tai
.

Ensimmäisestä yhtälöstä
, korvaamalla muuttujien jo löydetyt arvot, saamme
, tuo on
.

Varmistaaksesi, että ratkaisu on oikea, on tarkastettava järjestelmän kaikki kolme yhtälöä.

Tutkimus:

, saamme

Saada

Saada

Tämä tarkoittaa, että järjestelmä on oikea.

Vastaus:
,
,
.

Esimerkki

Ratkaise järjestelmä Gaussin menetelmällä:

Ratkaisu:

Toimintojen järjestys tässä esimerkissä on samanlainen kuin edellisessä esimerkissä, ja erityiset toiminnot on esitetty taulukossa 2.

Muutosten tuloksena saamme yhtälön muodossa , joten annettu järjestelmä on epäjohdonmukainen.

Vastaus: järjestelmä on epäjohdonmukainen.

Esimerkki

Ratkaise järjestelmä Gaussin menetelmällä:

Ratkaisu:

Taulukko 3

Muutosten tuloksena saadaan yhtälö muotoa , joka jätetään huomioimatta. Näin ollen meillä on yhtälöjärjestelmä, jossa tuntemattomien lukumäärä on 3 ja yhtälöiden lukumäärä on 2.

Järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja. Näiden ratkaisujen löytämiseksi otamme käyttöön yhden ilmaisen muuttujan. (Vapaiden muuttujien määrä on aina yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärän ja järjestelmän muunnoksen jälkeen jäljellä olevien yhtälöiden lukumäärän välinen erotus. Meidän tapauksessamme 3 - 2 = 1).

Päästää
on vapaa muuttuja.

Sitten toisesta yhtälöstä löydämme
, missä
ja sitten löytää x ensimmäisestä yhtälöstä
tai
.

Tällä tavalla,
;
;
.

Tarkastetaan yhtälöt, jotka eivät olleet mukana löytämisessä ja , eli alkuperäisen järjestelmän toisessa ja kolmannessa yhtälössä.

Tutkimus:

tai saamme
.

tai saamme
.

Järjestelmä on oikea. Satunnaisen vakion antaminen erilaisia ​​merkityksiä, saamme erilaisia ​​arvoja x, y ja z.

Vastaus:
;
;
.

2. Yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen matriisimenetelmällä (käyttäen käänteismatriisia).
3. Gaussin menetelmä yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen.

Cramerin menetelmä.

Cramerin menetelmää käytetään lineaaristen algebrallisten yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen ( SLAU).

Kaavat esimerkissä kahden yhtälöjärjestelmän kahdella muuttujalla.
Annettu: Ratkaise järjestelmä Cramerin menetelmällä

Mitä tulee muuttujiin X ja klo.
Ratkaisu:
Etsi matriisin determinantti, joka koostuu järjestelmän kertoimista Determinanttien laskeminen. :

Sovelletaan Cramerin kaavoja ja etsitään muuttujien arvot:
ja .
Esimerkki 1:
Ratkaise yhtälöjärjestelmä:

muuttujien suhteen X ja klo.
Ratkaisu:


Korvataan tämän determinantin ensimmäinen sarake kertoimien sarakkeella järjestelmän oikealta puolelta ja etsitään sen arvo:

Tehdään samanlainen toimenpide korvaamalla ensimmäisen determinantin toinen sarake:

Sovellettava Cramerin kaavat ja etsi muuttujien arvot:
ja .
Vastaus:
Kommentti: Tätä menetelmää voidaan käyttää suurempien järjestelmien ratkaisemiseen.

Kommentti: Jos käy ilmi, ja nollalla jakaminen on mahdotonta, he sanovat, että järjestelmällä ei ole ainutlaatuista ratkaisua. Tässä tapauksessa järjestelmässä on joko äärettömän monta ratkaisua tai ei ratkaisuja ollenkaan.

Esimerkki 2(ääretön määrä ratkaisuja):

Ratkaise yhtälöjärjestelmä:

muuttujien suhteen X ja klo.
Ratkaisu:
Etsi järjestelmän kertoimista koostuvan matriisin determinantti:

Järjestelmien ratkaiseminen korvausmenetelmällä.

Ensimmäinen järjestelmän yhtälöistä on yhtälö, joka pätee mille tahansa muuttujien arvolle (koska 4 on aina yhtä suuri kuin 4). Joten jäljellä on vain yksi yhtälö. Tämä on muuttujien välinen suhdeyhtälö.
Saimme, että järjestelmän ratkaisu on mikä tahansa muuttujien arvopari, joka liittyy tasa-arvoon.
Yleinen ratkaisu on kirjoitettu näin:
Tietyt ratkaisut voidaan määrittää valitsemalla mielivaltainen arvo y:lle ja laskemalla x tästä suhdeyhtälöstä.

jne.
Tällaisia ​​ratkaisuja on äärettömän paljon.
Vastaus: yhteinen päätös
Yksityiset ratkaisut:

Esimerkki 3(ei ratkaisuja, järjestelmä on epäjohdonmukainen):

Ratkaise yhtälöjärjestelmä:

Ratkaisu:
Etsi järjestelmän kertoimista koostuvan matriisin determinantti:

Et voi käyttää Cramerin kaavoja. Ratkaistaan ​​tämä järjestelmä korvausmenetelmällä

Järjestelmän toinen yhtälö on yhtälö, joka ei päde millekään muuttujien arvolle (tietenkin, koska -15 ei ole yhtä suuri kuin 2). Jos jokin järjestelmän yhtälöistä ei ole totta millekään muuttujien arvolle, koko järjestelmällä ei ole ratkaisuja.
Vastaus: ei ratkaisuja

Ensimmäisessä osassa tarkastelimme joitain teoreettista materiaalia, korvausmenetelmä ja menetelmä systeemiyhtälöiden termi kerrallaan lisäämiseksi. Kaikille tämän sivun kautta sivustolle tulleille suosittelen ensimmäisen osan lukemista. Ehkä joidenkin vierailijoiden mielestä materiaali on liian yksinkertaista, mutta lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisun aikana tein joukon erittäin tärkeitä huomioita ja johtopäätöksiä matemaattisten ongelmien ratkaisusta yleensä.

Ja nyt analysoimme Cramerin sääntöä sekä lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisua käänteismatriisilla (matriisimenetelmällä). Kaikki materiaalit esitetään yksinkertaisesti, yksityiskohtaisesti ja selkeästi, melkein kaikki lukijat voivat oppia ratkaisemaan järjestelmiä yllä olevilla menetelmillä.

Tarkastellaan ensin yksityiskohtaisesti Cramerin sääntöä kahden lineaarisen yhtälön järjestelmälle kahdessa tuntemattomassa. Mitä varten? ”Yksinkertaisin järjestelmä on loppujen lopuksi ratkaistavissa koulumenetelmällä, lukukausittaisella lisäyksellä!

Tosiasia on, että vaikka joskus, mutta sellainen tehtävä on - ratkaista kahden lineaarisen yhtälön järjestelmä kahdella tuntemattomalla käyttämällä Cramerin kaavoja. Toiseksi, yksinkertaisempi esimerkki auttaa ymmärtämään, kuinka Cramerin sääntöä käytetään monimutkaisemmassa tapauksessa - kolmen yhtälön järjestelmässä, jossa on kolme tuntematonta.

Lisäksi on olemassa kahdella muuttujalla varustettuja lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, jotka on suositeltavaa ratkaista täsmälleen Cramerin säännön mukaan!

Harkitse yhtälöjärjestelmää

Ensimmäisessä vaiheessa laskemme determinantin , sitä kutsutaan järjestelmän päätekijä.

Gaussin menetelmä.

Jos , niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja juurten löytämiseksi meidän on laskettava kaksi muuta determinanttia:
ja

Käytännössä yllä olevat tarkenteet voidaan merkitä myös latinalaisella kirjaimella.

Yhtälön juuret löytyvät kaavoista:
,

Esimerkki 7

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Ratkaisu: Näemme, että yhtälön kertoimet ovat melko suuria, oikealla puolella on desimaalimurtolukuja pilkulla. Pilkku on melko harvinainen vieras käytännön tehtäviä matematiikassa otin tämän järjestelmän ekonometrisesta ongelmasta.

Kuinka ratkaista tällainen järjestelmä? Voit yrittää ilmaista yhtä muuttujaa toisella, mutta tässä tapauksessa saat varmasti kauheita hienoja murtolukuja, joiden kanssa työskentely on erittäin hankalaa, ja ratkaisun suunnittelu näyttää aivan kamalalta. Voit kertoa toisen yhtälön 6:lla ja vähentää termiltä termiltä, ​​mutta samat murtoluvut näkyvät tässä.

Mitä tehdä? Tällaisissa tapauksissa Cramerin kaavat tulevat apuun.

;

;

Vastaus: ,

Molemmilla juurilla on äärettömät häntät ja niitä löytyy likimäärin, mikä on varsin hyväksyttävää (ja jopa yleistä) ekonometristen ongelmien kannalta.

Kommentteja ei tarvita täällä, koska tehtävä ratkaistaan ​​valmiiden kaavojen mukaan, mutta siinä on yksi varoitus. Kun käytät tätä menetelmää, pakollinen Tehtävän fragmentti on seuraava fragmentti: "Joten järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu". Muussa tapauksessa arvioija voi rangaista sinua Cramerin lauseen epäkunnioituksesta.

Ei ole tarpeetonta tarkistaa, mikä on kätevää suorittaa laskimella: korvaamme likimääräiset arvot järjestelmän kunkin yhtälön vasemmalla puolella. Tämän seurauksena oikealla puolella olevat numerot tulisi saada pienellä virheellä.

Esimerkki 8

Ilmaise vastauksesi tavallisilla virheellisillä murtoluvuilla. Tee sekki.

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta (esimerkki hienosta suunnittelusta ja vastaus oppitunnin lopussa).

Siirrymme tarkastelemaan Cramerin sääntöä kolmen yhtälön järjestelmälle, jossa on kolme tuntematonta:

Löydämme järjestelmän päätekijän:

Jos , niin järjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua tai se on epäjohdonmukainen (ei ratkaisuja). Tässä tapauksessa Cramerin sääntö ei auta, sinun on käytettävä Gauss-menetelmää.

Jos , niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja juurten löytämiseksi meidän on laskettava kolme muuta determinanttia:
, ,

Ja lopuksi vastaus lasketaan kaavoilla:

Kuten näette, "kolme kertaa kolme" -tapaus ei pohjimmiltaan eroa "kaksi kolmelta" -tapauksesta, vapaiden termien sarake "kävelee" peräkkäin vasemmalta oikealle päämääritteen sarakkeita pitkin.

Esimerkki 9

Ratkaise järjestelmä Cramerin kaavoilla.

Ratkaisu: Ratkaistaan ​​järjestelmä Cramerin kaavoilla.

, joten järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu.

Vastaus: .

Itse asiassa tässä ei ole mitään erityistä kommentoitavaa, kun otetaan huomioon, että päätös tehdään valmiiden kaavojen mukaan. Mutta on pari huomautusta.

Tapahtuu, että laskelmien tuloksena saadaan "huonoja" pelkistymättömiä murtolukuja, esimerkiksi: .
Suosittelen seuraavaa "hoito"-algoritmia. Jos tietokonetta ei ole käsillä, teemme näin:

1) Laskelmissa voi olla virhe. Heti kun kohtaat "huonon" laukauksen, sinun on heti tarkistettava, onko onko ehto kirjoitettu uudelleen oikein. Jos ehto kirjoitetaan uudelleen ilman virheitä, sinun on laskettava determinantit uudelleen käyttämällä toisen rivin (sarakkeen) laajennusta.

2) Mikäli tarkastuksen tuloksena ei löytynyt virheitä, on todennäköisimmin kirjoitusvirhe tehtävän tilassa. Tässä tapauksessa ratkaise tehtävä rauhallisesti ja HUOLELLISESTI loppuun asti ja sitten muista tarkistaa ja laadittava se puhtaana kappaleena päätöksen jälkeen. Tietysti murto-osan tarkistaminen on epämiellyttävä tehtävä, mutta se on aseistariisuttava argumentti opettajalle, joka todella haluaa laittaa miinuksen mistä tahansa huonosta asiasta, kuten. Kuinka käsitellä murtolukuja, kerrotaan yksityiskohtaisesti esimerkin 8 vastauksessa.

Jos sinulla on tietokone käsillä, tarkista se automaattisella ohjelmalla, jonka voi ladata ilmaiseksi heti oppitunnin alussa. Muuten, on edullisinta käyttää ohjelmaa heti (jo ennen ratkaisun aloittamista), näet välittömästi välivaiheen, jossa teit virheen! Sama laskin laskee automaattisesti järjestelmän ratkaisun matriisimenetelmällä.

Toinen huomautus. Ajoittain tulee järjestelmiä, joiden yhtälöistä puuttuu joitain muuttujia, esim.

Tässä ensimmäisessä yhtälössä ei ole muuttujaa, toisessa ei ole muuttujaa. Tällaisissa tapauksissa on erittäin tärkeää kirjoittaa oikein ja HUOLELLISESTI päätekijä:
– puuttuvien muuttujien tilalle laitetaan nollia.
Muuten, on järkevää avata determinantit nollalla rivillä (sarakkeessa), jossa nolla sijaitsee, koska laskelmia on huomattavasti vähemmän.

Esimerkki 10

Ratkaise järjestelmä Cramerin kaavoilla.

Tämä on esimerkki itseratkaisusta (näyte ja vastaus oppitunnin lopussa).

Jos kyseessä on 4 yhtälöjärjestelmä, jossa on 4 tuntematonta, Cramerin kaavat kirjoitetaan samanlaisten periaatteiden mukaan. Voit nähdä elävän esimerkin Determinant Properties -oppitunnilla. Determinantin järjestyksen pienentäminen - viisi 4. kertaluvun determinanttia ovat melko ratkaisevia. Vaikka tehtävä muistuttaa jo kovasti professorin kenkää onnen opiskelijan rinnassa.

Järjestelmän ratkaisu käänteismatriisin avulla

Käänteismatriisimenetelmä on pohjimmiltaan erikoistapaus matriisiyhtälö(Katso määritellyn oppitunnin esimerkki nro 3).

Tämän osan tutkimiseksi sinun on kyettävä laajentamaan determinantteja, löytämään käänteismatriisi ja suorittamaan matriisin kertolasku. Asiaankuuluvat linkit annetaan selityksen edetessä.

Esimerkki 11

Ratkaise järjestelmä matriisimenetelmällä

Ratkaisu: Kirjoitamme järjestelmän matriisimuotoon:
, missä

Katso yhtälöjärjestelmä ja matriisit. Millä periaatteella kirjoitamme elementtejä matriiseihin, luulen kaikkien ymmärtävän. Ainoa kommentti: jos yhtälöistä puuttuisi joitain muuttujia, niin matriisin vastaaviin paikkoihin pitäisi laittaa nollia.

Löydämme käänteisen matriisin kaavalla:
, jossa on matriisin vastaavien elementtien algebrallisten komplementtien transponoitu matriisi.

Ensin käsitellään determinanttia:

Tässä determinanttia laajennetaan ensimmäisellä rivillä.

Huomio! Jos , niin käänteismatriisia ei ole olemassa, ja järjestelmää on mahdotonta ratkaista matriisimenetelmällä. Tässä tapauksessa järjestelmä ratkaistaan ​​eliminoimalla tuntemattomat (Gaussin menetelmä).

Nyt sinun on laskettava 9 alaikäistä ja kirjoitettava ne alaikäisten matriisiin

Viite: On hyödyllistä tietää kaksoisalaindeksien merkitys lineaarialgebrassa. Ensimmäinen numero on rivinumero, jossa elementti sijaitsee. Toinen numero on sen sarakkeen numero, jossa elementti sijaitsee:

Toisin sanoen kaksoisalaindeksi osoittaa, että elementti on ensimmäisellä rivillä, kolmannella sarakkeella, kun taas elementti on esimerkiksi 3. rivillä, 2. sarakkeessa

Olkoon lineaarisessa yhtälöjärjestelmässä yhtä monta yhtälöä kuin riippumattomia muuttujia, ts. on muotoa

Tällaisia ​​lineaarisia yhtälöjärjestelmiä kutsutaan neliöllisiksi. Järjestelmän riippumattomien muuttujien kertoimista (1.5) muodostuvaa determinanttia kutsutaan järjestelmän päädeterminantiksi. Merkitsemme sitä kreikkalaisella D-kirjaimella.

Jos päädeterminantissa mielivaltainen ( j th) sarake, korvaa se järjestelmän vapaiden jäsenten sarakkeella (1.5), niin saamme lisää n aputekijät:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramerin sääntö Lineaaristen yhtälöiden toisen asteen järjestelmien ratkaiseminen on seuraava. Jos järjestelmän (1.5) päädeterminantti D on nollasta poikkeava, niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka voidaan löytää kaavoilla:

Esimerkki 1.5. Ratkaise yhtälöjärjestelmä Cramerin menetelmällä

Lasketaan järjestelmän päädeterminantti:

D¹0:sta lähtien järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka löytyy kaavojen (1.8) avulla:

Tällä tavalla,

Matrix-toiminnot

1. Matriisin kertominen luvulla. Toiminta matriisin kertomiseksi luvulla määritellään seuraavasti.

2. Jotta voit kertoa matriisin luvulla, sinun on kerrottava kaikki sen elementit tällä luvulla. Tuo on

Esimerkki 1.6. .

Matriisin lisäys.

Tämä operaatio otetaan käyttöön vain saman järjestyksen matriiseille.

Kahden matriisin lisäämiseksi on tarpeen lisätä toisen matriisin vastaavat elementit yhden matriisin elementteihin:

(1.10)
Matriisilisäyksen operaatiolla on assosiatiivisuuden ja kommutatiivisuuden ominaisuuksia.

Esimerkki 1.7. .

Matriisin kertolasku.

Jos matriisin sarakkeiden määrä MUTTA vastaa matriisirivien lukumäärää AT, niin tällaisille matriiseille otetaan käyttöön kertolasku:

Näin ollen, kun kerrotaan matriisi MUTTA mitat m´ n matriisiin AT mitat n´ k saamme matriisin FROM mitat m´ k. Tässä tapauksessa matriisin elementit FROM lasketaan seuraavien kaavojen mukaan:

Ongelma 1.8. Etsi, jos mahdollista, matriisien tulo AB ja BA:

Ratkaisu. 1) Löytää työtä AB, tarvitset matriisirivejä A kerrotaan matriisin sarakkeilla B:

2) Taideteos BA ei ole olemassa, koska matriisin sarakkeiden määrä B ei vastaa matriisirivien määrää A.

Käänteinen matriisi. Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen matriisimenetelmällä

Matriisi A- 1:tä kutsutaan neliömatriisin käänteiseksi MUTTA jos tasa-arvo pätee:

mistä läpi minä tarkoittaa samaa kertaluokkaa olevaa identiteettimatriisia kuin matriisi MUTTA:

Jotta neliömatriisilla olisi käänteisarvo, on välttämätöntä ja riittävää, että sen determinantti on nollasta poikkeava. Käänteinen matriisi löytyy kaavasta:

missä A ij- algebralliset lisäykset elementteihin aij matriiseja MUTTA(huomaa, että algebralliset lisäykset matriisin riveihin MUTTA on järjestetty käänteismatriisiin vastaavien sarakkeiden muodossa).

Esimerkki 1.9. Etsi käänteinen matriisi A- 1 matriisiin

Löydämme käänteisen matriisin kaavalla (1.13), joka tapauksessa n= 3 näyttää tältä:

Etsitään det A = | A| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Koska alkuperäisen matriisin determinantti on eri kuin nolla, käänteinen matriisi on olemassa.

1) Etsi algebralliset lisäykset A ij:

Käänteisen matriisin löytämisen helpottamiseksi sijoitimme algebralliset lisäykset alkuperäisen matriisin riveihin vastaaviin sarakkeisiin.

Muodostetaan saaduista algebrallisista lisäyksistä uusi matriisi ja jaetaan se determinantilla det A. Siten saamme käänteisen matriisin:

Lineaaristen yhtälöiden neliölliset järjestelmät, joissa on nollasta poikkeava päädeterminantti, voidaan ratkaista käyttämällä käänteismatriisia. Tätä varten järjestelmä (1.5) kirjoitetaan matriisimuodossa:

Kerrotaan molemmat puolet yhtäläisyydestä (1.14) vasemmalla A- 1, saamme järjestelmän ratkaisun:

Siten neliöjärjestelmän ratkaisun löytämiseksi sinun on löydettävä järjestelmän päämatriisin käänteinen matriisi ja kerrottava se oikealla vapaiden termien sarakematriisilla.

Ongelma 1.10. Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä

käyttämällä käänteismatriisia.

Ratkaisu. Kirjoitamme järjestelmän matriisimuotoon: ,

missä on järjestelmän päämatriisi, on tuntemattomien sarake ja on vapaiden jäsenten sarake. Koska järjestelmän päädeterminantti on , niin järjestelmän päämatriisi MUTTA on käänteinen matriisi MUTTA-yksi . Käänteisen matriisin löytäminen MUTTA-1 , laske algebralliset komplementit matriisin kaikille elementeille MUTTA:

Saatuista luvuista muodostetaan matriisi (lisäksi algebralliset lisäykset matriisin riveihin MUTTA kirjoita asianmukaisiin sarakkeisiin) ja jaa se determinantilla D. Näin ollen olemme löytäneet käänteisen matriisin:

Järjestelmän ratkaisu löytyy kaavasta (1.15):

Tällä tavalla,

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen tavallisilla Jordanin poikkeuksilla

Olkoon mielivaltainen (ei välttämättä neliö) lineaarinen yhtälöjärjestelmä:

Järjestelmään on löydettävä ratkaisu, ts. sellainen muuttujajoukko, joka täyttää järjestelmän (1.16) kaikki yhtäläisyydet. AT yleinen tapaus järjestelmällä (1.16) ei voi olla vain yksi ratkaisu, vaan myös ääretön määrä ratkaisuja. Sillä ei ehkä myöskään ole ratkaisuja ollenkaan.

Tällaisia ​​ongelmia ratkaistaessa käytetään koulukurssilta hyvin tunnettua tuntemattomien eliminointimenetelmää, jota kutsutaan myös tavallisten Jordan-eliminaatioiden menetelmäksi. olemus tätä menetelmää johtuu siitä, että yhdessä järjestelmän (1.16) yhtälöistä yksi muuttujista ilmaistaan ​​muiden muuttujien avulla. Sitten tämä muuttuja korvataan järjestelmän muilla yhtälöillä. Tuloksena on järjestelmä, joka sisältää yhden yhtälön ja yhden vähemmän muuttujan kuin alkuperäinen järjestelmä. Yhtälö, josta muuttuja ilmaistiin, muistetaan.

Tätä prosessia toistetaan, kunnes järjestelmään jää viimeinen yhtälö. Tuntemattomien eliminoinnissa jotkut yhtälöt voivat muuttua esimerkiksi todellisiksi identiteeteiksi. Tällaiset yhtälöt suljetaan pois järjestelmästä, koska ne ovat voimassa kaikille muuttujien arvoille eivätkä siksi vaikuta järjestelmän ratkaisuun. Jos tuntemattomien eliminointiprosessissa vähintään yhdestä yhtälöstä tulee yhtälö, jota ei voida täyttää millekään muuttujien arvolle (esimerkiksi ), niin päätellään, että järjestelmällä ei ole ratkaisua.

Jos epäjohdonmukaisia ​​yhtälöitä ei ratkennut, niin yksi sen jäljellä olevista muuttujista löytyy viimeisestä yhtälöstä. Jos viimeiseen yhtälöön jää vain yksi muuttuja, se ilmaistaan ​​numerona. Jos muut muuttujat jäävät viimeiseen yhtälöön, ne katsotaan parametreiksi ja niiden kautta ilmaistu muuttuja on näiden parametrien funktio. Sitten tehdään niin sanottu "käänteinen liike". Löytynyt muuttuja korvataan viimeksi muistiin tallennettuun yhtälöön ja löydetään toinen muuttuja. Sitten kaksi löydettyä muuttujaa korvataan toiseksi viimeiseen muistiin tallennettuun yhtälöön ja löydetään kolmas muuttuja ja niin edelleen ensimmäiseen muistiin tallennettuun yhtälöön asti.

Tuloksena saamme järjestelmän ratkaisun. Tämä ratkaisu on ainoa, jos löydetyt muuttujat ovat numeroita. Jos ensimmäinen löydetty muuttuja ja sitten kaikki muut riippuvat parametreista, niin järjestelmällä on ääretön määrä ratkaisuja (jokainen parametrijoukko vastaa uutta ratkaisua). Kaavoja, jotka mahdollistavat ratkaisun löytämisen järjestelmään tietystä parametrijoukosta riippuen, kutsutaan järjestelmän yleiseksi ratkaisuksi.

Esimerkki 1.11.

x

Kun olet muistanut ensimmäisen yhtälön ja tuonut samanlaiset termit toiseen ja kolmanteen yhtälöön, pääsemme järjestelmään:

Ilmaista y toisesta yhtälöstä ja korvaa se ensimmäisellä yhtälöllä:

Muista toinen yhtälö, ja ensimmäisestä löydämme z:

Teemme päinvastaisen liikkeen, löydämme peräkkäin y ja z. Tätä varten korvaamme ensin viimeiseksi muistiin tallennettuun yhtälöön , josta löydämme y:

Sitten korvaamme ensimmäiseen muistiin tallennettuun yhtälöön , josta löydämme x:

Ongelma 1.12. Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä eliminoimalla tuntemattomat:

Ratkaisu. Ilmaistaan ​​muuttuja ensimmäisestä yhtälöstä x ja korvaa se toiseen ja kolmanteen yhtälöön:

Tässä järjestelmässä ensimmäinen ja toinen yhtälö ovat ristiriidassa keskenään. Todellakin ilmaistaan y ensimmäisestä yhtälöstä ja korvaamalla se toiseen yhtälöön, saadaan, että 14 = 17. Tämä yhtälö ei täyty millekään muuttujien arvolle x, y, ja z. Tästä syystä järjestelmä (1.17) on epäjohdonmukainen, ts. ei ole ratkaisua.

Lukijoita pyydetään varmistamaan itsenäisesti, että alkuperäisen järjestelmän päädeterminantti (1.17) on nolla.

Tarkastellaan järjestelmää, joka eroaa järjestelmästä (1.17) vain yhdellä vapaalla termillä.

Ongelma 1.13. Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä eliminoimalla tuntemattomat:

Ratkaisu. Kuten aiemmin, ilmaisemme muuttujan ensimmäisestä yhtälöstä x ja korvaa se toiseen ja kolmanteen yhtälöön:

Muista ensimmäinen yhtälö ja anna samanlaiset termit toisessa ja kolmannessa yhtälössä. Pääsemme järjestelmään:

ilmaiseva y ensimmäisestä yhtälöstä ja korvaamalla se toiseen yhtälöön saadaan identiteetti 14 = 14, joka ei vaikuta järjestelmän ratkaisuun ja siksi se voidaan sulkea pois järjestelmästä.

Viimeisessä muistissa olevassa yhtälössä muuttuja z pidetään parametrina. Me uskomme . Sitten

Korvaava y ja z ensimmäiseen ulkoa opetettuun tasa-arvoon ja löytää x:

Siten järjestelmällä (1.18) on ääretön joukko ratkaisuja, ja mikä tahansa ratkaisu voidaan löytää kaavoista (1.19) valitsemalla parametrille mielivaltainen arvo t:

(1.19)
Siten järjestelmän ratkaisut ovat esimerkiksi seuraavat muuttujajoukot (1; 2; 0), (2; 26; 14) jne. Kaavat (1.19) ilmaisevat järjestelmän (1.18) yleisen (mitä tahansa) ratkaisun ).

Siinä tapauksessa, että alkuperäisessä järjestelmässä (1.16) on riittävän suuri määrä yhtälöitä ja tuntemattomia, esitetty tavallisten Jordanin eliminaatioiden menetelmä vaikuttaa hankalalta. Se ei kuitenkaan ole. Riittää, kun johdetaan algoritmi järjestelmän kertoimien uudelleen laskemiseksi yhdessä vaiheessa yleisessä muodossa ja formalisoidaan ongelman ratkaisu erityisten Jordan-taulukoiden muodossa.

Olkoon lineaaristen muotojen (yhtälöiden) järjestelmä:

, (1.20)
missä x j- riippumattomat (halutut) muuttujat, aij- vakiokertoimet
(minä = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Järjestelmän oikeat osat y i (minä = 1, 2,…, m) voivat olla sekä muuttujia (riippuvaisia) että vakioita. Tähän järjestelmään on löydettävä ratkaisuja poistamalla tuntemattomat.

Tarkastellaan seuraavaa toimenpidettä, jota kutsutaan jäljempänä "yhdeksi tavanomaisten Jordan-poikkeusten vaiheeksi". mielivaltaisesta ( r th) yhtäläisyys, ilmaisemme mielivaltaisen muuttujan ( x s) ja korvata kaikki muut yhtäläisyydet. Tämä on tietysti mahdollista vain, jos a rs¹ 0. Kerroin a rs kutsutaan ratkaisevaksi (joskus ohjaavaksi tai pääelementiksi).

Saamme seuraavan järjestelmän:

From s järjestelmän yhtäläisyys (1.21), löydämme sen jälkeen muuttujan x s(kun muut muuttujat on löydetty). S Viisi muistetaan ja suljetaan sen jälkeen pois järjestelmästä. Jäljelle jäävä järjestelmä sisältää yhden yhtälön ja yhden vähemmän riippumattoman muuttujan kuin alkuperäinen järjestelmä.

Lasketaan tuloksena olevan järjestelmän (1.21) kertoimet alkuperäisen järjestelmän (1.20) kertoimilla. Aloitetaan r yhtälö, joka muuttujan ilmaisemisen jälkeen x s loput muuttujat näyttävät tältä:

Näin ollen uudet kertoimet r yhtälöt lasketaan seuraavilla kaavoilla:

(1.23)
Lasketaan nyt uudet kertoimet b ij(i¹ r) mielivaltaisesta yhtälöstä. Tätä varten korvaamme muuttujan (1.22) x s sisään i järjestelmän yhtälö (1.20):

Samankaltaisten ehtojen tuomisen jälkeen saamme:

(1.24)
Yhtälöstä (1.24) saadaan kaavat, joilla lasketaan järjestelmän (1.21) jäljellä olevat kertoimet (poikkeuksena r yhtälö):

(1.25)
Lineaaristen yhtälöjärjestelmien muunnos tavallisten Jordanian eliminaatioiden menetelmällä esitetään taulukoiden (matriisien) muodossa. Näitä pöytiä kutsutaan "Jordan-taulukoiksi".

Siten ongelma (1.20) liittyy seuraavaan Jordan-taulukkoon:

Taulukko 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		aij		a on		a in
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n=	olen 1	olen 2		a mj		a ms		amn

Jordan-taulukko 1.1 sisältää vasemman otsikkosarakkeen, johon kirjoitetaan järjestelmän oikeat osat (1.20), ja yläotsikon rivin, jolle kirjoitetaan riippumattomat muuttujat.

Muut taulukon elementit muodostavat järjestelmän (1.20) kertoimien päämatriisin. Jos kerromme matriisin MUTTA ylemmän otsikkorivin elementeistä koostuvaan matriisiin, niin saadaan matriisi, joka koostuu vasemman otsikkosarakkeen elementeistä. Eli pohjimmiltaan Jordan-taulukko on matriisimuoto, jolla kirjoitetaan lineaarinen yhtälöjärjestelmä: . Tässä tapauksessa seuraava Jordan-taulukko vastaa järjestelmää (1.21):

Taulukko 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b on		b sisään
…………………………………………………………………..
x s =	br 1	br 2		b rj		brs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		bmj		b ms		bmn

Salliva elementti a rs korostamme lihavoidulla. Muista, että Jordan-poikkeuksien yhden vaiheen toteuttamiseksi ratkaisevan elementin on oltava nollasta poikkeava. Sallivan elementin sisältävää taulukon riviä kutsutaan sallivaksi riviksi. Enable-elementin sisältävää saraketta kutsutaan enable-sarakkeeksi. Kun siirrytään tietystä taulukosta seuraavaan taulukkoon, yksi muuttuja ( x s) siirretään taulukon yläotsikkoriviltä vasempaan otsikkosarakkeeseen ja päinvastoin johonkin järjestelmän vapaista jäsenistä ( y r) siirretään taulukon vasemmasta otsikkosarakkeesta ylimmälle otsikkoriville.

Kuvataan algoritmi kertoimien uudelleenlaskemiseksi siirtyessään Jordan-taulukosta (1.1) taulukkoon (1.2), mikä seuraa kaavoista (1.23) ja (1.25).

1. Aktivoiva elementti korvataan käänteisellä numerolla:

2. Sallivan rivin loput elementit jaetaan sallivalla elementillä ja vaihda merkki päinvastaiseksi:

3. Muut aktivointisarakkeen elementit on jaettu sallivaan elementtiin:

4. Elementit, jotka eivät sisälly ratkaisevaan riviin ja ratkaisevaan sarakkeeseen, lasketaan uudelleen seuraavien kaavojen mukaan:

Viimeinen kaava on helppo muistaa, jos huomaat, että murto-osan muodostavat alkiot ovat leikkauskohdassa i- voi ja r-th rivit ja j th ja s-th sarakkeet (selvittävä rivi, ratkaiseva sarake ja rivi ja sarake, joiden leikkauskohdassa uudelleen laskettava elementti sijaitsee). Tarkemmin sanottuna, kun muistat kaavan, voit käyttää seuraavaa kaaviota:

-21 -26 -13 -37

Suorita Jordanian poikkeusten ensimmäinen vaihe, mikä tahansa taulukon 1.3 elementti, joka sijaitsee sarakkeissa x 1 ,…, x 5 (kaikki määritetyt elementit eivät ole nollia). Sinun ei pitäisi valita vain aktivointielementtiä viimeisestä sarakkeesta, koska täytyy löytää riippumattomia muuttujia x 1 ,…, x 5. Valitsemme esimerkiksi kertoimen 1 muuttujan kanssa x 3 taulukon 1.3 kolmannella rivillä (aktivoiva elementti on lihavoitu). Kun siirrytään taulukkoon 1.4, muuttuja x Yläotsikkorivin 3 vaihdetaan vasemman otsikkosarakkeen (kolmas rivi) vakiolla 0. Samaan aikaan muuttuja x 3 ilmaistaan ​​jäljellä olevina muuttujina.

merkkijono x 3 (Taulukko 1.4) voidaan aiemmin muistaen jättää pois taulukosta 1.4. Taulukko 1.4 jättää pois myös kolmannen sarakkeen, jonka yläotsikkorivillä on nolla. Asia on, että riippumatta tämän sarakkeen kertoimista b i 3 kaikki sitä vastaavat kunkin yhtälön 0 termit b i 3 järjestelmää on yhtä suuri kuin nolla. Siksi näitä kertoimia ei voida laskea. Yhden muuttujan poistaminen x 3 ja muistaen yhden yhtälöistä, pääsemme taulukkoa 1.4 vastaavaan järjestelmään (viiva yliviivattuina x 3). Taulukossa 1.4 valitseminen ratkaisevaksi elementiksi b 14 = -5, siirry taulukkoon 1.5. Taulukossa 1.5 muistamme ensimmäisen rivin ja suljemme sen pois taulukosta neljännen sarakkeen kanssa (nolla ylhäällä).

Taulukko 1.5 Taulukko 1.6

Viimeisestä taulukosta 1.7 löydämme: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Korvaamalla jo löydetyt muuttujat peräkkäin muistiin tallennettuihin riveihin, löydämme jäljellä olevat muuttujat:

Järjestelmällä on siis ääretön määrä ratkaisuja. muuttuja x 5, voit määrittää mielivaltaisia ​​arvoja. Tämä muuttuja toimii parametrina x 5 = t. Todistimme järjestelmän yhteensopivuuden ja löysimme sen yleisen ratkaisun:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Parametrin antaminen t eri arvoilla, saamme äärettömän määrän ratkaisuja alkuperäiseen järjestelmään. Joten esimerkiksi järjestelmän ratkaisu on seuraava muuttujien joukko (- 3; - 1; - 2; 4; 0).