Péndulo de resorte oscilador armónico. Oscilador armónico ideal

F, proporcional al desplazamiento X :

si un F- la única fuerza que actúa sobre el sistema, entonces el sistema se llama simple o oscilador armónico conservativo. Las oscilaciones libres de tal sistema representan un movimiento periódico alrededor de la posición de equilibrio (oscilaciones armónicas). La frecuencia y la amplitud son constantes y la frecuencia no depende de la amplitud.

Los ejemplos mecánicos de un oscilador armónico son el péndulo matemático (con pequeños ángulos de desviación), un peso sobre un resorte, un péndulo de torsión y sistemas acústicos. Entre los análogos no mecánicos de un oscilador armónico, se puede destacar un oscilador armónico eléctrico (ver circuito LC).

Dejar X- desplazamiento de un punto material relativo a su posición de equilibrio, y F- actuando sobre un punto restaurando la fuerza de cualquier naturaleza de la forma

dónde k= constante Entonces, usando la segunda ley de Newton, se puede escribir la aceleración como

La amplitud se reduce. Esto significa que puede tener cualquier valor (incluido cero; esto significa que el punto material está en reposo en la posición de equilibrio). El seno también se puede reducir, ya que la igualdad debe cumplirse en cualquier momento. t. Por lo tanto, la condición para la frecuencia de oscilación sigue siendo:

El movimiento armónico simple es la base de algunas formas de analizar tipos de movimiento más complejos. Uno de estos métodos se basa en la transformada de Fourier, cuya esencia es descomponer un tipo de movimiento más complejo en una serie de movimientos armónicos simples.

Cualquier sistema en el que se produzca un movimiento armónico simple tiene dos propiedades clave:

Un ejemplo típico de un sistema en el que se produce un movimiento armónico simple es el sistema masa-resorte idealizado, en el que una masa se une a un resorte y se coloca sobre una superficie horizontal. Si el resorte no está comprimido ni estirado, entonces ninguna fuerza variable actúa sobre la carga y se encuentra en un estado de equilibrio mecánico. Sin embargo, si la carga se retira de la posición de equilibrio, el resorte se deforma y una fuerza actuará desde su costado, tendiendo a devolver la carga a la posición de equilibrio. En el caso de un sistema carga-resorte, tal fuerza es la fuerza elástica del resorte, que obedece la ley de Hooke:

dónde k tiene un significado muy específico: este es el coeficiente de rigidez del resorte.

Una vez que la carga desplazada se somete a la acción de una fuerza restauradora, acelerándola y tendiendo a devolverla al punto de partida, es decir, a la posición de equilibrio. A medida que la carga se acerca a la posición de equilibrio, la fuerza restauradora disminuye y tiende a cero. Sin embargo, en posición X = 0 la carga tiene una cierta cantidad de movimiento (cantidad de movimiento), adquirida debido a la acción de la fuerza restauradora. Por lo tanto, la carga salta la posición de equilibrio, comenzando a deformar el resorte nuevamente (pero en la dirección opuesta). La fuerza restauradora tenderá a ralentizarlo hasta que la velocidad sea cero; y la fuerza buscará de nuevo devolver la carga a su posición de equilibrio.

Si no hay pérdida de energía, la carga oscilará como se describe anteriormente; este movimiento es periódico.

Movimiento armónico simple mostrado simultáneamente en espacio real y espacio de fase. Espacio Real - espacio real; Espacio de fase - espacio de fase; velocidad; posición - posición (posición).

En el caso de una carga suspendida verticalmente de un resorte, junto con la fuerza elástica actúa la gravedad, es decir, la fuerza total será

Las mediciones de la frecuencia (o período) de las oscilaciones de una carga en un resorte se utilizan en dispositivos para determinar la masa corporal, los llamados medidores de masa, utilizados en estaciones espaciales cuando el equilibrio no puede funcionar debido a la ingravidez.

En algunos casos, el movimiento armónico simple puede considerarse como una proyección unidimensional del movimiento circular universal.

Si un objeto se mueve con una velocidad angular constante ω a lo largo de un círculo de radio r, cuyo centro es el origen del plano x − y, entonces tal movimiento a lo largo de cada uno de los ejes de coordenadas es armónico simple con amplitud r y frecuencia circular ω .

En la aproximación de ángulos pequeños, el movimiento de un péndulo simple es cercano al armónico simple. El período de oscilación de tal péndulo unido a una barra de longitud ℓ , está dada por la fórmula

dónde gramo- aceleración de la gravedad. Esto demuestra que el período de oscilación no depende de la amplitud y la masa del péndulo, sino de gramo, por lo tanto, con la misma longitud del péndulo, en la Luna oscilará más lentamente, ya que allí la gravedad es más débil y el valor de la aceleración de caída libre es menor.

La aproximación especificada es correcta solo para ángulos de desviación pequeños, ya que la expresión de la aceleración angular es proporcional al seno de la coordenada:

dónde yo- momento de inercia ; en este caso yo = mℓ 2. Los ángulos pequeños se realizan en condiciones en las que la amplitud de oscilación es mucho menor que la longitud de la varilla.

lo que hace que la aceleración angular sea directamente proporcional al ángulo θ, y esto satisface la definición de movimiento armónico simple.

Al considerar un oscilador amortiguado, se toma como base el modelo de un oscilador conservativo, al que se suma la fuerza de fricción viscosa. La fuerza de fricción viscosa se dirige contra la velocidad de la carga relativa al medio y es directamente proporcional a esta velocidad. Entonces, la fuerza total que actúa sobre la carga se escribe de la siguiente manera:

Usando la segunda ley de Newton, obtenemos ecuación diferencial describiendo el oscilador amortiguado:

Por eso, en los indicadores de puntero (por ejemplo, en los amperímetros), suelen intentar introducir una atenuación crítica precisa para que la flecha se calme lo más rápido posible para leer sus lecturas.

Un oscilador con amortiguamiento crítico tiene un factor de calidad de 0,5. En consecuencia, el factor de calidad indica la naturaleza del comportamiento del oscilador. Si el factor de calidad es superior a 0,5, el movimiento libre del oscilador es una oscilación; teóricamente, con el tiempo, cruzará la posición de equilibrio un número ilimitado de veces. Un factor de calidad menor o igual a 0,5 corresponde al movimiento no oscilatorio del oscilador; en movimiento libre, cruzará la posición de equilibrio como máximo una vez.

En el caso del movimiento oscilatorio, la atenuación también se caracteriza por parámetros tales como:

Este tiempo se considera como el tiempo requerido para el amortiguamiento (cese) de las oscilaciones (aunque, formalmente, las oscilaciones libres continúan indefinidamente).

Las oscilaciones de un oscilador se llaman forzadas cuando sobre él se ejerce alguna influencia externa adicional. Esta influencia puede producirse por diversos medios y según diversas leyes. Por ejemplo, la excitación de la fuerza es el efecto sobre la carga de una fuerza que depende solo del tiempo de acuerdo con una determinada ley. La excitación cinemática es la acción sobre el oscilador por el movimiento del punto de fijación del resorte de acuerdo con una ley dada. El efecto de fricción también es posible cuando, por ejemplo, el medio con el que la carga experimenta fricción se mueve de acuerdo con una ley dada.

Considere las oscilaciones de un peso m sobre un resorte con coeficiente de rigidez k, que se encuentra sobre una mesa plana horizontal, suponiendo que no hay fricción del peso sobre la superficie de la mesa. Si el peso se retira de la posición de equilibrio, oscilará alrededor de esta posición. Describiremos estas oscilaciones mediante una función dependiente del tiempo, suponiendo que determina la desviación del peso de su posición de equilibrio en el tiempo t.

En la dirección horizontal, solo una fuerza actúa sobre el peso: la fuerza elástica del resorte, determinada por la conocida ley de Hooke.

La deformación del resorte es función del tiempo, por lo que también es variable.

De la segunda ley de Newton tenemos

porque la aceleración es la segunda derivada del desplazamiento: .

La ecuación (9) se puede reescribir en la forma

dónde. Esta ecuación se llama la ecuación del oscilador armónico.

Comentario. En la literatura matemática, al escribir una ecuación diferencial, generalmente no se indica el argumento (t) cerca de todas las funciones que dependen de él. Esta dependencia se asume por defecto. Al utilizar el paquete matemático Maple en (10), es necesario indicar la dependencia explícita de la función.

A diferencia del ejemplo anterior del movimiento de un cuerpo bajo la acción de una fuerza constante, en nuestro caso la fuerza cambia con el tiempo y la ecuación (10) ya no puede resolverse utilizando el procedimiento de integración habitual. Tratemos de adivinar la solución de esta ecuación, sabiendo que describe algún proceso oscilatorio. Como una de las posibles soluciones a la ecuación (10), podemos elegir la siguiente función:

Derivando la función (11), tenemos

Sustituyendo la expresión (12) en la ecuación (10), nos aseguramos de que se cumple de forma idéntica para cualquier valor de t.

Sin embargo, la función (11) no es la única solución a la ecuación del oscilador armónico. Por ejemplo, se puede elegir una función como otra solución, que también es fácil de verificar de manera similar. Además, se puede verificar que cualquier combinación lineal de estas dos soluciones nombradas aleatoriamente

con coeficientes constantes A y B es también una solución a la ecuación del oscilador armónico.

Se puede probar que la solución de dos constantes (13) es la solución general de la ecuación del oscilador armónico (10). Esto significa que la fórmula (13) agota todas las posibles soluciones de esta ecuación. En otras palabras, la ecuación del oscilador armónico no tiene otras soluciones particulares, excepto las que se obtienen de la fórmula (13) fijando constantes arbitrarias A y B.

Tenga en cuenta que en física es necesario con mayor frecuencia buscar solo algunas soluciones particulares de ODE individuales o sus sistemas. Consideremos esta pregunta con más detalle.

Es posible excitar oscilaciones en el sistema de peso en un resorte que estamos considerando diferentes caminos. Establezcamos las siguientes condiciones iniciales

Esto significa que en el momento inicial, el peso se retiró de la posición de equilibrio por un valor a y se soltó libremente (es decir, comienza su movimiento con velocidad inicial cero). Uno puede imaginar muchas otras formas de excitación, por ejemplo, un peso en la posición de equilibrio recibe cierta velocidad inicial mediante un "clic", etc. [ caso general, ].

Consideramos las condiciones iniciales (14) como algunas condiciones adicionales para separar de la solución general (13) alguna solución particular correspondiente a nuestro método de excitación de las oscilaciones de peso.

Suponiendo t=0 en la expresión (13), tenemos, de donde se sigue que B=a. Por lo tanto, hemos encontrado una de las constantes previamente arbitrarias en la solución (13). Además, derivando en la fórmula (13), tenemos

Suponiendo t=0 en esta expresión y teniendo en cuenta la segunda condición inicial de (14), obtenemos, de ahí se sigue que A=0 y, por tanto, la solución particular inicial tiene la forma

Describe el modo oscilatorio del sistema mecánico considerado, que está determinado por las condiciones de la excitación inicial (14).

Se sabe por el curso de física escolar que en la fórmula (16) a es la amplitud de las oscilaciones (establece la desviación máxima del peso de su posición de equilibrio), es la frecuencia cíclica y es la fase de las oscilaciones (la fase inicial resulta ser igual a cero).

La ecuación del oscilador armónico (10) es un ejemplo de una EDO lineal. Esto significa que la función desconocida y todas sus derivadas están incluidas en cada término de la ecuación hasta el primer grado. Las ecuaciones diferenciales lineales tienen una propiedad distintiva extremadamente importante: satisfacen el principio de superposición. Esto significa que cualquier combinación lineal de dos soluciones cualesquiera de una EDO lineal también es su solución.

En el ejemplo de la ecuación del oscilador armónico que estamos considerando, una combinación lineal arbitraria de dos soluciones particulares no es solo una solución nueva, sino una solución general para esta ecuación (agota todas sus soluciones posibles).

En general, este no es el caso. Por ejemplo, si estuviéramos tratando con una ecuación diferencial lineal de tercer orden (es decir, si la ecuación incluyera una tercera derivada), entonces una combinación lineal de cualquiera de sus dos soluciones particulares también sería una solución para esta ecuación, pero no representarlo decisión común.

En el curso de ecuaciones diferenciales, se demuestra un teorema de que la solución general de una EDO de N-ésimo orden (lineal o no lineal) depende de N constantes arbitrarias. En el caso de una ecuación no lineal, estas constantes arbitrarias pueden entrar en la solución general (a diferencia de (13)), de forma no lineal.

El principio de superposición juega un papel extremadamente importante en la teoría de las EDO, ya que se puede utilizar para construir una solución general de una ecuación diferencial en forma de superposición de sus soluciones particulares. Por ejemplo, para el caso de las EDO lineales con coeficientes constantes y sus sistemas (la ecuación del oscilador armónico pertenece precisamente a este tipo de ecuaciones), se ha desarrollado un método de solución general en la teoría de ecuaciones diferenciales. Su esencia es la siguiente. Estamos buscando una solución particular en la forma Como resultado de su sustitución en la ecuación original, todos los factores dependientes del tiempo se cancelan y llegamos a una ecuación característica, que para la EDO de orden N es ecuación algebraica enésimo grado. Resolviéndola, encontramos, por lo tanto, todas las soluciones particulares posibles, una combinación lineal arbitraria de las cuales da la solución general de la EDO original. No nos detendremos más en este tema, refiriendo al lector a los libros de texto apropiados sobre la teoría de ecuaciones diferenciales, donde se pueden encontrar más detalles, en particular, el caso cuando la ecuación característica contiene múltiples raíces.

Si se considera una EDO lineal con coeficientes variables (sus coeficientes dependen del tiempo), entonces el principio de superposición también es válido, pero ya no es posible construir una solución general para esta ecuación de forma explícita mediante ningún método estándar. Volveremos sobre este tema más adelante, discutiendo el fenómeno de la resonancia paramétrica y la ecuación de Mathieu relacionada con su estudio.

VASCULACIÓN. ONDAS. ÓPTICA

VASCULACIÓN

Conferencia 1

OSCILACIONES ARMÓNICAS

Oscilador armónico ideal. Ecuación del oscilador ideal y su solución. Amplitud, frecuencia y fase de las oscilaciones

La oscilación es uno de los procesos más comunes en la naturaleza y la tecnología. Las fluctuaciones son procesos que se repiten en el tiempo. Los edificios de gran altura y los cables de alta tensión oscilan bajo la influencia del viento, el péndulo de un reloj de cuerda y un automóvil sobre resortes durante el movimiento, el nivel del río durante el año y la temperatura del cuerpo humano durante la enfermedad. El sonido son fluctuaciones en la presión del aire, las ondas de radio son cambios periódicos en la fuerza de la electricidad y campo magnético, la luz también es oscilaciones electromagnéticas. Terremotos - vibraciones del suelo, flujos y reflujos - cambios en los niveles de los mares y océanos causados por la atracción de la luna, etc.

Las oscilaciones son mecánicas, electromagnéticas, químicas, termodinámicas, etc. A pesar de tal variedad, todas las oscilaciones se describen mediante las mismas ecuaciones diferenciales.

Los primeros científicos en estudiar las vibraciones fueron Galileo Galilei y Christian Huygens. Galileo estableció la independencia del período de las oscilaciones de la amplitud. Huygens inventó el reloj de péndulo.

Cualquier sistema que, cuando está ligeramente desequilibrado, oscila constantemente se llama oscilador armónico. En la física clásica, tales sistemas son un péndulo matemático dentro de pequeños ángulos de desviación, una carga dentro de pequeñas amplitudes de oscilación, un circuito eléctrico que consta de elementos lineales de capacitancia e inductancia.

Un oscilador armónico puede considerarse lineal si el desplazamiento desde la posición de equilibrio es directamente proporcional a la fuerza perturbadora. La frecuencia de oscilación de un oscilador armónico no depende de la amplitud. Para el oscilador, se cumple el principio de superposición: si actúan varias fuerzas perturbadoras, entonces el efecto de su acción total se puede obtener como resultado de sumar los efectos de fuerzas activas por separado.

Las oscilaciones armónicas se describen mediante la ecuación (Fig. 1.1.1)

(1.1.1)

dónde X- desplazamiento del valor oscilante desde la posición de equilibrio, PERO– amplitud de oscilaciones igual al valor del desplazamiento máximo, - fase de oscilaciones, que determina el desplazamiento en el tiempo, - fase inicial, que determina la magnitud del desplazamiento en el momento inicial, - frecuencia cíclica de las oscilaciones.

El tiempo de una oscilación completa se llama período, donde es el número de oscilaciones completadas durante el tiempo.

La frecuencia de oscilación determina el número de oscilaciones por unidad de tiempo, está relacionada con la frecuencia cíclica por la relación, luego el período.

La velocidad de un punto material oscilante.

aceleración

Por lo tanto, la velocidad y la aceleración del oscilador armónico también cambian de acuerdo con ley armónica con amplitudes y respectivamente. En este caso, la velocidad está por delante del desplazamiento de fase por , y la aceleración - por (Fig. 1.1.2).

De una comparación de las ecuaciones de movimiento de un oscilador armónico (1.1.1) y (1.1.2) se sigue que , o

Esta ecuación diferencial de segundo orden se llama ecuación del oscilador armónico. Su solución contiene dos constantes. a y , que están determinados por la tarea condiciones iniciales

Si un proceso que se repite periódicamente se describe mediante ecuaciones que no coinciden con (1.1.1), se denomina anarmónico. Un sistema que realiza oscilaciones anarmónicas se llama oscilador anarmónico.

1.1.2 . Oscilaciones libres de sistemas con un grado de libertad. forma compleja representaciones de vibraciones armónicas

En la naturaleza, las pequeñas oscilaciones que hace un sistema cerca de su posición de equilibrio son muy comunes. Si un sistema sacado del equilibrio se deja solo, es decir, las fuerzas externas no actúan sobre él, entonces dicho sistema realizará oscilaciones libres no amortiguadas. Considere un sistema con un grado de libertad.

Un equilibrio estable corresponde a una posición del sistema en la que su energía potencial tiene un mínimo ( q es la coordenada generalizada del sistema). La desviación del sistema de la posición de equilibrio conduce a la aparición de una fuerza que tiende a hacer retroceder al sistema. Denotamos el valor de la coordenada generalizada correspondiente a la posición de equilibrio, luego la desviación de la posición de equilibrio

Contaremos la energía potencial a partir del valor mínimo. Tomemos la función resultante, la expandamos en una serie de Maclaurin y dejemos el primer término de la expansión, tenemos: o

dónde . Entonces, teniendo en cuenta la notación introducida:

, (1.1.4)

Teniendo en cuenta la expresión (1.1.4) para la fuerza que actúa sobre el sistema, se obtiene:

De acuerdo con la segunda ley de Newton, la ecuación de movimiento del sistema tiene la forma:

La expresión (1.1.5) coincide con la ecuación (1.1.3) de oscilaciones armónicas libres, siempre que

y tiene dos soluciones independientes: y , por lo que la solución general es:

De la fórmula (1.1.6) se deduce que la frecuencia está determinada únicamente por las propiedades intrínsecas del sistema mecánico y no depende de la amplitud ni de las condiciones iniciales de movimiento.

La dependencia de la coordenada del sistema oscilante en el tiempo se puede determinar como la parte real de la expresión compleja , dónde A=Xe-iα es una amplitud compleja, su módulo coincide con la amplitud habitual y su argumento coincide con la fase inicial.

1.1.3 . Ejemplos de movimientos oscilatorios de diversa naturaleza física

Fluctuaciones de la carga en el resorte.

Considere las oscilaciones de una carga sobre un resorte, siempre que el resorte no se deforme más allá de los límites de elasticidad. Mostraremos que tal carga realizará oscilaciones armónicas relativas a la posición de equilibrio (Fig. 1.1.3). De hecho, según la ley de Hooke, un resorte comprimido o estirado crea una fuerza armónica:

dónde - coeficiente de rigidez del resorte, es la coordenada de la posición de equilibrio, X es la coordenada de la carga (punto material) en el momento del tiempo, es el desplazamiento desde la posición de equilibrio.

Situemos el origen de coordenadas en la posición de equilibrio del sistema. En este caso .

Si el resorte se estira por X, luego suelte a la vez t=0, entonces la ecuación de movimiento de la carga según la segunda ley de Newton tomará la forma -kx=ma, o , y

(1.1.6)

Esta ecuación coincide en forma con la ecuación de movimiento (1.1.3) de un sistema que realiza oscilaciones armónicas, buscaremos su solución en la forma:

. (1.1.7)

Sustituimos (1.17) en (1.1.6), tenemos: es decir, la expresión (1.1.7) es una solución a la ecuación (1.1.6) siempre que

Si en el momento inicial la posición de la carga era arbitraria, entonces la ecuación de movimiento tomará la forma:

Consideremos cómo cambia la energía de la carga, haciendo oscilaciones armónicas en ausencia de fuerzas externas (Fig. 1.14). si en ese momento t=0 enviar compensación a la carga x=A, entonces su energía total será igual a la energía potencial del resorte deformado, energía cinética es igual a cero (punto 1).

Fuerza actuando sobre la carga F= -kx, buscando devolverla a la posición de equilibrio, de modo que la carga se mueva con aceleración y aumente su velocidad y, en consecuencia, su energía cinética. Esta fuerza reduce el desplazamiento de la carga. X, la energía potencial de la carga disminuye, convirtiéndose en cinética. El sistema "carga - resorte" es cerrado, por lo que se conserva su energía total, es decir:

. (1.1.8)

En el momento del tiempo, la carga está en equilibrio (punto 2), su energía potencial es cero y su energía cinética es máxima. Encontramos la velocidad máxima de la carga a partir de la ley de conservación de la energía (1.1.8):

Debido al stock de energía cinética, la carga realiza trabajo contra la fuerza elástica. – y pasa por la posición de equilibrio. La energía cinética se convierte gradualmente en potencial. Cuando la carga tiene un desplazamiento negativo máximo - PERO, energía cinética semana=0, la carga se detiene y comienza a moverse a la posición de equilibrio bajo la acción de una fuerza elástica F= -kx. El movimiento posterior es similar.

Péndulos

Un péndulo es un cuerpo rígido que oscila alrededor de un punto o eje fijo bajo la acción de la gravedad. Hay péndulos físicos y matemáticos.

Un péndulo matemático es un sistema idealizado que consiste en un hilo inextensible y sin peso en el que está suspendida una masa concentrada en un punto material.

Un péndulo matemático, por ejemplo, es una bola en un hilo largo y delgado.

La desviación del péndulo de la posición de equilibrio se caracteriza por el ángulo φ , que forma un hilo con una vertical (Fig. 1.15). Cuando el péndulo se desvía de la posición de equilibrio, surge un momento de fuerzas externas (gravedad): , dónde metro- peso, - longitud del péndulo

Este momento tiende a devolver el péndulo a la posición de equilibrio (similar a la fuerza cuasi-elástica) y tiene una dirección opuesta al desplazamiento φ , por lo que hay un signo menos en la fórmula.

Ecuación de la dinámica movimiento rotatorio para un péndulo tiene la forma: yo=,

Consideraremos el caso de pequeñas fluctuaciones, por lo tanto sen φ ≈φ, denota ,

tenemos: , o , y finalmente

Esta es la ecuación de las oscilaciones armónicas, su solución:

La frecuencia de oscilación de un péndulo matemático está determinada únicamente por su longitud y la aceleración de la gravedad, y no depende de la masa del péndulo. El período es:

Si el cuerpo oscilante no se puede representar como un punto material, entonces el péndulo se llama físico (Fig. 1.1.6). Escribimos la ecuación de su movimiento en la forma:

En el caso de pequeñas fluctuaciones , o =0, donde . Esta es la ecuación de movimiento de un cuerpo que realiza oscilaciones armónicas. La frecuencia de oscilación de un péndulo físico depende de su masa, longitud y momento de inercia alrededor del eje que pasa por el punto de suspensión.

Denotemos. Valor se llama la longitud reducida del péndulo físico. Esta es la longitud de un péndulo matemático cuyo período de oscilación coincide con el período de un péndulo físico dado. Un punto en una línea recta que conecta el punto de suspensión con el centro de masa, que se encuentra a una distancia de longitud reducida del eje de rotación, se denomina centro de oscilación de un péndulo físico ( oh). Si el péndulo está suspendido en el centro de la oscilación, entonces la longitud y el período de oscilación reducidos serán los mismos que en el punto O. Así, el punto de suspensión y el centro de giro tienen las propiedades de reciprocidad: cuando el punto de suspensión se transfiere al centro de giro, el antiguo punto de suspensión se convierte en el nuevo centro de giro.

Un péndulo matemático que oscila con el mismo período que el físico en cuestión se llama isócrono al péndulo físico dado.

1.1.4. Adición de vibraciones (golpes, figuras de Lissajous). Descripción vectorial de la suma de oscilaciones

La adición de oscilaciones igualmente dirigidas se puede realizar utilizando el método de diagramas vectoriales. Cualquier oscilación armónica se puede representar como un vector de la siguiente manera. Elijamos un eje X con origen en el punto O(fig.1.1.7)

desde un punto O construye un vector que forma el ángulo con eje X. Deje que este vector gire con velocidad angular. Proyección de un vector sobre un eje X es igual a:

es decir, realiza oscilaciones armónicas con una amplitud una.

Consideremos dos oscilaciones armónicas de la misma dirección y del mismo pequeño ciclo, dadas por los vectores y . Compensaciones a lo largo del eje X son iguales:

el vector resultante tiene una proyección y representa la oscilación resultante (Fig. 1.1.8), según el teorema del coseno. Así, la suma de las oscilaciones armónicas se realiza sumando los vectores.

Realicemos la suma de oscilaciones mutuamente perpendiculares. Deje que el punto material haga dos oscilaciones mutuamente perpendiculares con una frecuencia:

El punto material en sí se moverá a lo largo de una trayectoria curvilínea.

De la ecuación de movimiento se sigue: ,

. (1.1.9)

De la ecuación (1.1.9) puedes obtener la ecuación de la elipse (Fig.1.1.9):

Considere casos especiales de esta ecuación:

1. Diferencia de fase de oscilación α= 0. Al mismo tiempo aquellos. o Esta es la ecuación de una línea recta, y la oscilación resultante ocurre a lo largo de esta línea recta con amplitud (Fig. 1.1.10).

su aceleración es igual a la segunda derivada del desplazamiento con respecto al tiempo entonces la fuerza que actúa sobre el punto oscilante, según la segunda ley de Newton, es igual a

Es decir, la fuerza es proporcional al desplazamiento. X y está dirigido contra el desplazamiento a la posición de equilibrio. Esta fuerza se llama fuerza restauradora. En el caso de una carga sobre un resorte, la fuerza restauradora es la fuerza elástica, en el caso de un péndulo matemático, es la componente de la gravedad.

La fuerza restauradora por naturaleza obedece la ley de Hooke F= -kx, dónde

es el coeficiente de la fuerza restauradora. Entonces la energía potencial del punto oscilante es:

(la constante de integración se elige igual a cero, de modo que cuando X).

Oscilador anarmónico

OSCILACIONES ARMÓNICAS

Conferencia 1

VASCULACIÓN

VASCULACIÓN. ONDAS. ÓPTICA

La oscilación es uno de los procesos más comunes en la naturaleza y la tecnología. Las fluctuaciones son procesos que se repiten en el tiempo. Los edificios de gran altura y los cables de alta tensión oscilan bajo la influencia del viento, el péndulo de un reloj de cuerda y un automóvil sobre resortes durante el movimiento, el nivel del río durante el año y la temperatura del cuerpo humano durante la enfermedad. El sonido son fluctuaciones en la presión del aire, las ondas de radio son cambios periódicos en la fuerza de los campos eléctricos y magnéticos, la luz también son vibraciones electromagnéticas. Terremotos - vibraciones del suelo, flujos y reflujos - cambios en los niveles de los mares y océanos causados por la atracción de la luna, etc.

Las oscilaciones son mecánicas, electromagnéticas, químicas, termodinámicas, etc. A pesar de tal variedad, todas las oscilaciones se describen mediante las mismas ecuaciones diferenciales.

Las oscilaciones armónicas se describen mediante la ecuación (Fig. 1.1.1)

(1.1.1)

El tiempo de una oscilación completa se llama período, donde es el número de oscilaciones completadas durante el tiempo.

La frecuencia de oscilación determina el número de oscilaciones por unidad de tiempo, está relacionada con la frecuencia cíclica por la relación, luego el período.

La velocidad de un punto material oscilante.

aceleración

Así, la velocidad y la aceleración del oscilador armónico también cambian según la ley armónica con amplitudes y respectivamente. En este caso, la velocidad está por delante del desplazamiento de fase por , y la aceleración - por (Fig. 1.1.2).

De una comparación de las ecuaciones de movimiento de un oscilador armónico (1.1.1) y (1.1.2) se sigue que , o

Esta ecuación diferencial de segundo orden se llama ecuación del oscilador armónico. Su solución contiene dos constantes. a y , que se determinan fijando las condiciones iniciales

1.1.2 . Oscilaciones libres de sistemas con un grado de libertad. Forma compleja de representación de oscilaciones armónicas.

Contaremos la energía potencial a partir del valor mínimo. Tomemos la función resultante, la expandamos en una serie de Maclaurin y dejemos el primer término de la expansión, tenemos: o

Oscilador armónico(en mecánica clásica) - un sistema que, cuando se desplaza de una posición de equilibrio, experimenta la acción de una fuerza restauradora F, proporcional al desplazamiento X(según la ley de Hooke):

F = − k x (\displaystyle F=-kx)

dónde k- coeficiente rigidez del sistema.

Los ejemplos mecánicos de un oscilador armónico son un péndulo matemático (con ángulos de desviación pequeños), un péndulo de torsión y sistemas acústicos. Entre otros análogos del oscilador armónico, cabe destacar el oscilador armónico eléctrico (ver circuito LC).

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vibraciones libres

oscilador armónico conservativo

Como modelo de un oscilador armónico conservativo, tomamos la carga de masa metro, fijado en un resorte con rigidez k .

Dejar X- desplazamiento de la carga con respecto a la posición de equilibrio. Entonces, según la ley de Hooke, la fuerza restauradora actuará sobre él:

F = - k X . (\displaystyle F=-kx.)

Sustituimos en la ecuación diferencial.

x ¨ (t) = − UN ω 2 pecado ⁡ (ω t + φ) , (\displaystyle (\ddot (x))(t)=-A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi) ,) − UN ω 2 pecado ⁡ (ω t + φ) + ω 0 2 UN pecado ⁡ (ω t + φ) = 0. (\displaystyle -A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)+\ omega _(0)^(2)A\sin(\omega t+\varphi)=0.)

La amplitud se reduce. Esto significa que puede tener cualquier valor (incluido cero, lo que significa que la carga está en reposo en la posición de equilibrio). El seno también se puede reducir, ya que la igualdad debe cumplirse en cualquier momento. t. Por lo tanto, la condición para la frecuencia de oscilación sigue siendo:

− ω 2 + ω 0 2 = 0 , (\displaystyle -\omega ^(2)+\omega _(0)^(2)=0,) ω = ± ω 0 . (\displaystyle \omega =\pm \omega _(0).) U = 1 2 k X 2 = 1 2 k UN 2 pecado 2 ⁡ (ω 0 t + φ) , (\displaystyle U=(\frac (1)(2))kx^(2)=(\frac (1) (2))kA^(2)\sen ^(2)(\omega _(0)t+\varphi),)

entonces la energía total es constante

mi = 1 2 k UN 2 . (\displaystyle E=(\frac (1)(2))kA^(2).)

movimiento armónico simple es un movimiento sencillo oscilador armónico, un movimiento periódico que no es ni forzado ni amortiguado. Un cuerpo en movimiento armónico simple está sujeto a una sola fuerza variable que es directamente proporcional en valor absoluto al desplazamiento X desde la posición de equilibrio y se dirige en la dirección opuesta.

Este movimiento es periódico: el cuerpo oscila alrededor de la posición de equilibrio según una ley sinusoidal. Cada oscilación posterior es igual a la anterior, y el período, la frecuencia y la amplitud de las oscilaciones permanecen constantes. Si suponemos que la posición de equilibrio está en un punto con una coordenada igual a cero, entonces el desplazamiento X cuerpo desde la posición de equilibrio en cualquier momento está dada por la fórmula:

x (t) = A porque ⁡ (2 π F t + φ) , (\displaystyle x(t)=A\cos \left(2\pi \!ft+\varphi \right),)

dónde A- amplitud de oscilación, F- frecuencia, φ - fase inicial.

La frecuencia del movimiento está determinada por las propiedades características del sistema (por ejemplo, la masa del cuerpo en movimiento), mientras que la amplitud y la fase inicial están determinadas por las condiciones iniciales: el movimiento y la velocidad del cuerpo en el momento de las oscilaciones. empezar. Las energías cinética y potencial del sistema también dependen de estas propiedades y condiciones.

El movimiento armónico simple se puede ver como un modelo matemático varios tipos movimiento, como la oscilación de un resorte. Otros casos que pueden considerarse aproximadamente como movimiento armónico simple son el movimiento de un péndulo y las vibraciones de las moléculas.

Un ejemplo típico de un sistema en el que se produce un movimiento armónico simple es un sistema masa-resorte idealizado en el que una masa está unida a un resorte. Si el resorte no está comprimido ni estirado, entonces ninguna fuerza variable actúa sobre la carga y la carga se encuentra en un estado de equilibrio mecánico. Sin embargo, si la carga se retira de la posición de equilibrio, el resorte se deforma y una fuerza actuará sobre la carga desde su lado, lo que tenderá a devolver la carga a la posición de equilibrio. En el caso de un sistema carga-resorte, tal fuerza es la fuerza elástica del resorte, que obedece la ley de Hooke:

F = − k X , (\displaystyle F=-kx,) F- fuerza restauradora X- movimiento de la carga (deformación del resorte), k- coeficiente de rigidez del resorte.

Cualquier sistema en el que se produzca un movimiento armónico simple tiene dos propiedades clave:

Cuando se saca un sistema del equilibrio, debe haber una fuerza restauradora que tienda a devolver el sistema al equilibrio.
La fuerza restauradora debe ser exacta o aproximadamente proporcional al desplazamiento.

El sistema peso-resorte satisface ambas condiciones.

Una vez que la carga desplazada se somete a la acción de una fuerza restauradora, acelerándola y tendiendo a volver al punto de partida, es decir, a la posición de equilibrio. A medida que la carga se acerca a la posición de equilibrio, la fuerza restauradora disminuye y tiende a cero. Sin embargo, en posición X = 0 la carga tiene una cierta cantidad de movimiento (cantidad de movimiento), adquirida debido a la acción de la fuerza restauradora. Por lo tanto, la carga salta la posición de equilibrio, comenzando a deformar el resorte nuevamente (pero en la dirección opuesta). La fuerza restauradora tenderá a ralentizarlo hasta que la velocidad sea cero; y la fuerza buscará de nuevo devolver la carga a su posición de equilibrio.

Siempre que no haya pérdida de energía en el sistema, la carga oscilará como se describe anteriormente; tal movimiento se llama periódico.

Un análisis más detallado mostrará que en el caso de un sistema masa-resorte, el movimiento es armónico simple.

Dinámica del movimiento armónico simple

Para una oscilación en un espacio unidimensional, teniendo en cuenta la Segunda Ley de Newton ( F= metro d² X/d t² ) y la ley de Hooke ( F = −kx, como se describió anteriormente), tenemos una ecuación diferencial lineal de segundo orden:

metro re 2 X re t 2 = - k X , (\displaystyle m(\frac (\mathrm (d) ^(2)x)(\mathrm (d) t^(2)))=-kx,) metro- masa corporal, X- su desplazamiento con respecto a la posición de equilibrio, k- constante (factor de rigidez del resorte).

La solución a esta ecuación diferencial es sinusoidal; una solución es esta:

x (t) = A porque ⁡ (ω t + φ) , (\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),)

dónde A, ω y φ - constantes, y la posición de equilibrio se toma como la inicial. Cada una de estas constantes es importante propiedad fisica movimientos: A es la amplitud, ω = 2π F es la frecuencia circular y φ es la fase inicial.

U (t) = 1 2 k X (t) 2 = 1 2 k UN 2 porque 2 ⁡ (ω t + φ) . (\displaystyle U(t)=(\frac (1)(2))kx(t)^(2)=(\frac (1)(2))kA^(2)\cos ^(2)(\ omega t+\varphi).)

Movimiento circular universal

En algunos casos, el movimiento armónico simple puede considerarse como una proyección unidimensional del movimiento circular universal.

Si un objeto se mueve con una velocidad angular constante ω a lo largo de un círculo de radio r, cuyo centro es el origen de las coordenadas del plano x − y, entonces tal movimiento a lo largo de cada uno de los ejes de coordenadas es armónico simple con amplitud r y frecuencia circular ω .

Peso como un péndulo simple

En la aproximación de ángulos pequeños, el movimiento de un péndulo simple es cercano al armónico simple. El período de oscilación de tal péndulo unido a una barra de longitud ℓ con aceleración de caída libre gramo está dada por la fórmula

T = 2πℓg. (\displaystyle T=2\pi (\sqrt (\frac (\ell )(g))).)

Esto demuestra que el período de oscilación no depende de la amplitud y la masa del péndulo, sino de la aceleración de caída libre. gramo, por lo tanto, con la misma longitud del péndulo, en la Luna oscilará más lentamente, ya que allí la gravedad es más débil y el valor de la aceleración de caída libre es menor.

Esta aproximación es correcta solo para ángulos de desviación pequeños, ya que la expresión para la aceleración angular es proporcional al seno de la coordenada:

ℓ metro gramo pecado ⁡ θ = yo α , (\displaystyle \ell mg\sin \theta =I\alpha ,)

dónde yo- momento de inercia ; en este caso yo = mℓ 2 .

ℓ metro gramo θ = yo α (\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha ),

lo que hace que la aceleración angular sea directamente proporcional al ángulo θ, y esto satisface la definición de movimiento armónico simple.

Oscilador armónico amortiguado

Tomando el mismo modelo como base, le agregamos la fuerza de fricción viscosa. La fuerza de fricción viscosa se dirige contra la velocidad de la carga relativa al medio y es directamente proporcional a esta velocidad. Entonces, la fuerza total que actúa sobre la carga se escribe de la siguiente manera:

F = − k X − α v (\displaystyle F=-kx-\alpha v)

Realizando acciones similares, obtenemos una ecuación diferencial que describe un oscilador amortiguado:

x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0 (\displaystyle (\ddot (x))+2\gamma (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x=0)

Aquí está la notación: 2 γ = α metro (\displaystyle 2\gamma =(\frac (\alpha )(m))). Coeficiente γ (\ estilo de visualización \ gamma) se llama constante de amortiguamiento. También tiene la dimensión de la frecuencia.

La solución se divide en tres casos.

x (t) = UN mi - γ t s yo norte (ω F t + φ) (\displaystyle x(t)=Ae^(-\gamma t)sin(\omega _(f)t+\varphi)),

dónde ω F = ω 0 2 − γ 2 (\displaystyle \omega _(f)=(\sqrt (\omega _(0)^(2)-\gamma ^(2))))- frecuencia de oscilaciones libres.

x (t) = (A + segundo t) mi − γ t (\displaystyle \ x(t)=(A+Bt)e^(-\gamma t)) x (t) = UN mi − β 1 t + segundo mi − β 2 t (\displaystyle x(t)=Ae^(-\beta _(1)t)+Be^(-\beta _(2)t )),

dónde β 1 , 2 = γ ± γ 2 − ω 0 2 (\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2) ))).

El amortiguamiento crítico se destaca por el hecho de que es durante el amortiguamiento crítico que el oscilador tiende más rápidamente a la posición de equilibrio. Si la fricción es menor que la crítica, alcanzará la posición de equilibrio más rápido, sin embargo, se “deslizará” por inercia y oscilará. Si la fricción es mayor que la crítica, entonces el oscilador tenderá exponencialmente a la posición de equilibrio, pero cuanto más lento, mayor será la fricción.

La amortiguación de un oscilador también suele caracterizarse por un parámetro adimensional denominado factor de calidad. El factor de calidad generalmente se denota con la letra Q (\ estilo de visualización Q). Por definición, el factor de calidad es:

Q = ω 0 2 γ (\displaystyle Q=(\frac (\omega _(0))(2\gamma )))

Cuanto mayor sea el factor de calidad, más lentas serán las oscilaciones del oscilador.

El factor de calidad a veces se denomina ganancia del oscilador, ya que con algunos métodos de excitación, cuando la frecuencia de excitación coincide con la frecuencia de resonancia de las oscilaciones, su amplitud se establece en aproximadamente Q (\ estilo de visualización Q) veces mayor que cuando se excita con la misma intensidad a baja frecuencia.

Además, el factor de calidad es aproximadamente igual al número de ciclos oscilatorios, durante los cuales la amplitud de oscilación disminuye en e (\ estilo de visualización e) veces multiplicado por π (\ estilo de visualización \ pi).

En el caso del movimiento oscilatorio, la atenuación también se caracteriza por parámetros tales como:

Toda la vida fluctuaciones (alias Tiempo de decaimiento, es tiempo de relajacion) τ es el tiempo durante el cual la amplitud de oscilación disminuirá en mi una vez.

τ = 1 / γ . (\displaystyle\tau =1/\gamma.) Este tiempo se considera como el tiempo requerido para el amortiguamiento (cese) de las oscilaciones (aunque las oscilaciones formalmente libres continúan indefinidamente).